MOLTIPLICAZIONE COMBINATORIA

Con esempi e problemi

AUTORE

ADRIANA LANZA

Liceo scientifico “Cavour”

1 2 3

a a1 a2 a3

b b1 b2 b3

Unconcetto molto semplice ma fondamentale per comprendere i metodi del Calcolo combinatorio è

Il concetto di MOLTIPLICAZIONE COMBINATORIA

di due insiemi di cardinalità

m ed n , rispettivamente

CARDINALITA’ DI UN INSIEME• Ricordiamo in proposito

che si chiama cardinalità di un insieme finito il numero dei suoi elementi

• L’insieme dei piccoli e vivaci animali, rappresentati a lato, ha cardinalità 4

• L’insieme di queste altre bestioline” più tranquille” ha invece cardinalità 3

Siano A e B due insiemi aventi rispettivamente n ed m elementi

Il numero delle coppie ordinate che si possono formare con un elemento di A ed un elemento di B sono

n*m

ESEMPIO• Proviamo ad associare un

animale del secondo gruppo con un componente del primo.

• Pensiamo per esempio al gufo che legge tranquillamente il suo libro

Quale ,tra i chiassosi amici, verrà a disturbarlo?

1

2

3

4

Si ottengono pertanto 4 possibili accoppiamenti

• Il ragionamento si può ripetere a partire dal gatto addormentato

O dal silenzioso pesciolino

Complessivamente i possibili accoppiamenti sono

3*4 =12

Un modello più generale si ottiene mediante il

DIAGRAMMA AD ALBERO

A gne llin o M ic in o G alle tto P u lc in o

G u fo

A gne llin o M ic in o G a lle tto P u lc in o

G atto

A gne llin o M ic in o G a lle tto P u lc in o

P esce

GENERALIZZANDO

Siano A1 A2 A3 A4 ...................Ak

k insiemi contenenti rispettivamente n1 n2 n3 n4...nk elementi ,

il numero delle kappuple ordinate che

si possono formare scegliendo un elemento da ciascun insieme sono n1 n2 n3 n4...nk

Per costruire l’albero dei possibili percorsi basta procedere come nell’esempio precedente:

si sceglie uno degli n1 elementi di A1e lo si collega con gli n2 elementi di A2

da ciascuno di essi si fanno si fanno partire altri n3 rami collegati con gli n3 elementi di A3 ... e così via.

Diagramma ad albero ottenuto a partire dal primo elemento di A1:i possibili percorsi sono n2*n3

c1 c2 c3

b 1

c1 c2 c3

b 2

c1 c2 c3

b 3

c1 c2 c3

b 4

a1

Poiché si possono costruire n1 alberi, in corrispondenza di ciascun elemento di A1, si hanno complessivamente n1*n2*n3 scelte possibili

L’operazione così definita prende il nome di

Moltiplicazione combinatoria

problemiCalcolo combinatorio

Calcolo combinatorio

• Il metodo della Moltiplicazione combinatoria permette di risolvere i problemi classici di Calcolo combinatorio e determinare le formule delle principali funzioni:

• Disposizioni semplici• Disposizioni con ripetizione• Permutazioni semplici • Permutazioni con elementi ripetuti• Combinazioni semplici• Combinazioni con ripetizione

DISPOSIZIONI• Consideriamo ora un solo insieme di n

elementi e vediamo in quanti modi si può da esso estrarre un gruppo di k elementi

( kappupla ) disponendoli secondo l’ordine di estrazione

Si parla di disposizioni semplici (D n,k) se ciascun elemento può essere scelto una sola volta

Si parla di disposizioni con ripetizione (Dr n,k) se ciascun elemento può essere scelto più di una volta

Chiamiamo Disposizioni di n oggetti a k a k

il numero che determina in quanti modi si possono scegliere k elementi in un insieme di cardinalità n, considerando distinti due gruppi che differiscano almeno per un elemento o per l’ordine di scelta

Si devono disporre ,in ordine, k degli elementi di un insieme di cardinalità n.

• 1) Si sceglie il primo elemento: la scelta può essere fatta in n modi diversi

• 2) Si sceglie il secondo elemento: la scelta può essere fatta in n-1 modi diversi, poiché l’elemento scelto non può essere ripetuto

• 3) Si sceglie il terzo elemento: la scelta può essere fatta in n-2 modi diversi

• ......................................................................................................................

• .......................................................................................................................

• k) Si sceglie il k-esimo elemento: la scelta può essere fatta in n-(k-1) = n-k+1 modi diversi.

Come si può osservare , ogni scelta modifica l’insieme di partenza, pertanto il problema è analogo a quello della formazione di un gruppo di k elementi scegliendo un elemento da ciascuno dei k insiemi a disposizione.

Con il metodo della Moltiplicazione Combinatoria si trova pertanto che il numero delle disposizioni semplici di n oggetti a k a k sono

D n,k = n(n-1)(n-2)....(n-k+1)

←Calcolo combinatorio

DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE

Supponiamo di dover formare un gruppo di k elementi scelti in un insieme di cardinalià n, potendo ripetere più volte lo stesso elemento. Due gruppi sono diversi se differiscono per qualche elemento o anche per l’ordine.

Ripetendo un ragionamento analogo a quello fatto per le disposizioni semplici, si osserva che

il primo elemento può essere scelto in n modi diversi

il secondo elemento può essere scelto ancora in n modi diversi

così tutti gli altri k-2 elementi

Pertanto

D r n,k = n*n*n*n...n = n k ←Calcolo combinatorio

Permutazioni

• Come caso particolare di Disposizioni semplici si consideri il caso k=n:

• In questo caso i gruppi da formare sono costituiti sempre da tutti gli elementi dell’insieme, posti però in ordine diverso.

• Si parla in questo caso di permutazioni di classe n

La formula dellePERMUTAZIONI SEMPLICI si ottiene

come caso particolare delle DISPOSIZIONI→Pn=Dn,n

Pn = n(n-1)(n-2)...3*2*1 = n!

 

←Calcolo combinatorio

PERMUTAZIONI CON ELEMENTI RIPETUTI

Consideriamo n elementi non tutti distinti, tra cui siano presenti per esempio h elementi uguali.

Fra le n! permutazioni, quelle che permutano tra di loro gli elementi uguali, lasciando inalterati gli altri, non sono tra di loro distinguibili

Poiché queste ultime sono in numero di h!, il numero totale va diviso per h!.

In generale, se sono presenti h1,h2,h3...hi elementi tra di loro uguali, il numero di permutazioni è

 

!!...!!

!

321 khhhh

n

←Calcolo combinatorio

COMBINAZIONI SEMPLICI

Si vogliono formare gruppi di k elementi scelti in n insieme di cardinalità N. I gruppi sono distinti solo se differiscono per qualche elemento.

A differenza del caso delle disposizioni, i gruppi che differiscono solo per l’ordine e in cui compaiono gli stessi elementi vanno considerati come un unico gruppo.

Pertanto il numero delle Combinazioni di N oggetti a k a k è uguale al rapporto tra le analoghe Disposizioni e le permutazioni di classe k

Cn,k = Dn,k/ k! =

!

)1)...(2)(1(

k

knnnn

)!(!

!

knk

n

.

come si può facilmente dimostrare

Le combinazione si indicano anche con il simbolo

k

n

←Calcolo combinatorio

COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE

• Ci limitiamo a dare la formula delle • C r n,k verificandone la validità con un

esempio.C r n,k = C n+k-1,k

←Calcolo combinatorio

Il metodo della moltiplicazione combinatoria

Può essere applicato anche nel caso in cui il gruppo debba essere formato

scegliendo più elementi da ciascun insieme

Se , per esempio, si devono scegliere n elementi dall’insieme A e k elementi

dall’insieme B

Basta sostituire ad A l’insieme delle n-ple che si possono formare nel suo interno

e a B l’insieme delle rispettive k-ple!

ESEMPI

• Combinazioni semplici• Combinazioni con ripetizione

• semplici•Con ripetizioneDisposizioni• semplici•Con elementi ripetutiPermutazioni

Gruppo formato con elementi di due insiemiCon scelta multipla all’interno di ciascun insieme

Se , tornando all’esempio iniziale, supponiamo che uno degli animali <<tranquilli>> sia disturbato da due amici per volta

ESEMPIO N.1

Si ottengono C3,1*C4,2=3*6 =18

situazioni possibili

si deve associare un elemento del primo insieme con una coppia di elementi del secondo insieme

<=esempi

ESEMPIO N 2 ESEMPIO N 3Disposizioni

• In un Circolo di 100 soci devono essere eletti un Presidente ed un Segretario.

• Le due cariche sono incompatibili• Se tutti i soci sono candidati, quante sono le possibili scelte?• Risposta D 100,2 = 100*99• ( l'ordine in cui vengono estratti i due nominativi è significativo)•

• Con riferimento all’esempio precedente, supponiamo che le cariche siano compatibili.

• In questo caso lo stesso individuo può essere scelto due volte

• Risposta : Dr 100, 2=1002

<=esempi

ESEMPIO N. 3 ESEMPIO N.4

Anagramma( parole con lettere distinte)

Quanti sono i possibili anagrammi della parola Roma?Risposta 4! = 4.3.2.1 = 24

• Anagramma• (parole con lettere ripetute)• Quanti sono i possibili anagrammi della parola <<mamma>> ?• Risposta 10•

!2!3

!5

<=esempi

ESEMPIO N 5- Combinazioni semplici

In quanti modi si possono eleggere i 2 rappresentanti di classe in una classe di 15 alunni?

Risposta : C 15, 2= 15*14/2

l'ordine in cui vengono estratti i due nominativi non è significativo

<=esempi

Consideriamo un insieme di 4 oggetti [ A ,B , C , D] e costruiamo tutti i possibili gruppi di tre elementi, non necessariamente distinti•C r 4,3 = C 6,3 = 20

SPIEGAZIONE3 elementi uguali => C 4,1 = 4 [A,A,A] [B,B,B] [C,C,C] [D,D,D]

2 elementi uguali => C 4,1*C 3,1 =12 [A,A,B] [B,B,A] [C,C,A] [D,D,A] [A,A,C] [B,B,C] [C,C,B] [D,D,B] [A,A,D] [B,B,D] [C,C,D] [D,D,C]

3 elementi distinti => C 4,3 [A,B,C] [ B,C,D] [A,C,D] [A,B,D]

In tutto 4+ 12+ 4 = 20 casi

ESEMPIO N 6- Combinazioni con ripetizione

<=esempi

PROBLEMI

Da risolvere solo col metodoDella

MOLTIPLICAZIONE COMBINATORIA

ELENCO-PROBLEMI

1. Numeri2. Menù semplice3. Menù complesso4. Concerto5. Percorsi6. Regali7. Schedina8. Ballerini9. Urna10.Poker

PROBLEMA N1 NUMERI

QUANTI SONO I NUMERI DI 4 CIFRE CHE TERMINANO CON LA CIFRA 2?

SOLUZIONE

SOLUZIONE (Numeri)

• La prima cifra va scelta in un insieme di 9 elementi • La seconda cifra va scelta in un insieme di 10

elementi• La seconda cifra va scelta in un insieme di 10

elementi• La seconda cifra va scelta in un insieme di 1 solo

elemento

Risultato : 9*10*10*1=900

PROBLEMI

PROBLEMA N.2Menù semplice

Quanti tipi di pranzo(1 antipasto, 1 primo, 1 secondo, 1 contorno,1 dessert) si possono organizzare con 3 antipasti, 2 primi, 4 secondi, 4 dessert?

Risposta 3*2*4*4 = 96

PROBLEMI

PROBLEMA N.3 Menù complesso

In quanti modi si può scegliere un pranzo formato da un antipasto, due primi, tre secondi, 2 dessert

scegliendo da un MenùComprendente

• 3 antipasti• 5 primi• 8 secondi• 4 dessert

SOLUZIONE

SOLUZIONE-Menù complesso

• L’antipasto si può scegliere in un solo modo• i primi in C5,2 modi

• i secondi in C8,3 modi

• i dessert in C4,2 modi

• Con il metodo della Moltiplicazione Combinatoria si trova in totale

• C 5,2 * C8,3 * C4,2 = 10* 56*6 = 3360

•

PROBLEMI

PROBLEMA N.4CONCERTO

Fra 10 violinisti, 5 suonatori di viola e 5 di violoncello si deve formare un sestetto composto da 2 violini, 3 viole e 1 violoncello.

In quanti modi ciò è possibile? SOLUZIONE:C 10,2 *C 5,3*C 5,1 PROBLEMI

PROBLEMA N.5 PERCORSI

• La figura seguente rappresenta la mappa dei collegamenti di 4 città

A B

CD

a. In quanti modi si può andare da A a D passando per B e C?

b. Quanti percorsi ABCDCBA sono possibili?

c. Una persona compie il circuito ABCDCBA: in quanti modi può farlo non ripassando mai sulle strade imboccate nell’andare da

A a D?

SOLUZIONE

SOLUZIONE-Percorsi

a. 2*3*4 = 24

b. (2*3*4) 2 =576

c. 2*3*4*3*2*1 = 144

indietroPROBLEMI

PROBLEMA N.6REGALI

In quanti modi si possono assegnare 2 regali a 3 bambini, se ciascun bambino può avere più di un oggetto?

SoluzioneIl primo regalo può essere assegnato in 3 modi diversiIl secondo regalo può essere assegnato in 3 modi diversi

• Risposta 3*3=9

PROBLEMI

PROBLEMA N.7 Schedina

• Quante sono le possibili colonne della schedina del totocalcio?

• risposta 3*3*3*3……….*3 13 volte = 3 13

indietroPROBLEMI

PROBLEMA N.8Ballerini

• In una piccola scuola di ballo sono presenti 10 ballerini e 10 ballerine

• A)In quanti modi si possono

costituire le coppie danzanti ( con ballerini di sesso diverso)?B)In quanti modi si può scegliere

una coppia per rappresentare la scuola in una gara di <<liscio>>?

SOLUZIONE

SOLUZIONE-BalleriniA) 10!Si immaginino le 10 ballerine fermee i 10 ballerini-cavalieri dirigersi verso di loro per scegliere la

damaIl primo sceglie tra 10, il secondo tra 9 etc. etc. L’ultimo avrà la <<scelta obbligata>> dell’ultima dama

rimastaIn effetti le varie configurazioni corrispondono ad un scambio

di posto ( ballerina) dei 10 ballerini →Permutazioni

B) 10*10 = 100 PROBLEMI

PROBLEMA N.9URNA

     Un’urna contiene 10 palline di cui 5 bianche e 5 nere.

Si estraggono in blocco (senza reimmissione) 4 palline

Quante sono le possibili quaterne che contengono esattamente 3 palline bianche e una nera?

SOLUZIONE

SOLUZIONE-urna

La pallina nera può essere scelta in 5 modi diversi

Le 3 palline bianche possono essere scelte in C5,3 modi diversi

Risposta 3* C5,3=30

PROBLEMI

PROBLEMA N.10 POKER

Si gioca a Poker con un mazzo di 32 carte, assegnando 5 carte a ciascun giocatore.In quanti modi si può avere un Poker <<servito>>?

SOLUZIONE Le 4 carte uguali possono essere scelte in 8 modi diversiLa carta diversa può essere scelta in 28 modi diversi

Risposta: 8*28=224

PROBLEMI

FINE