TÉCNICAS DE CONTEOProf. Enely Freitez

Enero, 2015

Sean dos artículos escogidos al azar de un grupo de 12 artículos, de los cuales cuatro son defectuosos

a) La probabilidad de que los dos artículos sean defectuosos.

b) La probabilidad de que los dos artículos sean no defectuosos.

A1 A2 A3 A4 A5 A6

A7 A8 AD1 AD2 AD3 AD4

La resolución de este ejemplo se hace un poco tediosa, puesto que existen infinitas maneras de seleccionar dos artículos de 12, así como también la cantidad de maneras de seleccionar dos artículos no defectuosos de 8 artículos defectuosos

Por ello vamos a estudiar unas técnicas que nos facilitan el calculo de los mismos

Diferentes posibilidades en un modelo de Selección

Muestra Ordenada

Muestra no Ordenada

Remplazamiento

Sin Remplazamiento

nmVR ,

nmV ,

nmCR ,

nmCR ,

Es necesario Definir

Factorial de un Número Número Combinatorio

Se define como el producto sucesivo desde el 1 hasta n inclusive.

n!= 1x2x3x….xn

Lo denotamos por el símbolo n!

Se lee n factorial

El numero combinatorio de m en n, se define

Sean m y n números enteros.

Se lee “combinatorio m n”

567.8!6!6.7.8

!6!8

120645!345!56321!3

221!2

xxxxxx

x

Ejemplos:

Número Factorial

Ejemplos:

Número Combinatorio

Supongamos que se tiene una representación de 4 objetos distintos a, b, c y d, y dos de estas letras son seleccionadas

Sin Remplazamiento, con Orden

a b c d a ab ac ad b ba bc bd c ca cb cd d da db dc

Sin Remplazamiento, sin Orden

a b c d a ab ac ad b bc bd c cd d

Con Remplazamiento, con Orden

a b c d a aa ab ac ad b ba bb bc bd c ca cb cc cd d da db dc cc

Con Remplazamiento, sin Orden

a b c d a aa ab ac ad b bb bc bd c cc cd d cc

a b c d

Las VariacionesSon aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:

Influye el orden en que se colocan

Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación.

Existen dos tipos de variaciones: variaciones sin repetición y variaciones con repetición

Variaciones Sin Repeticiónse definen como las distintas agrupaciones formadas con n elementos distintos, eligiéndolos de entre los m elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento, como si están situados en distinto orden .El número de variaciones que se pueden construir se pueden calcular mediante la formula

Con n < m

;)!(!

, nmmV nm

Ejemplo:Variación sin Repetición

De doce manzanas de una caja se desean escoger dos de ellas . ¿Cuántas maneras hay de hacerlo?Solución:

132)!212(!12

2,12

V

Interpretación: de 132 maneras se pueden seleccionar 2 manzanas de 12 que hay en la caja

Variaciones Con Repeticiónse definen como las distintas agrupaciones formadas con n elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los m elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento, como si están situados en distinto orden .El número de variaciones que se pueden construir se pueden calcular mediante la formula

nnm mVR ,

Ejemplo:Variación con

RepeticiónSe desea colocar códigos a determinados productos en una compañía. ¿Cuántos códigos de exactamente cuatro cifras se pueden formar con los dígitos impares?Solución:Tenemos 5 dígitos impares 1,3, 5, 7 y 9, por lo tanto hay

62555555 4 xxxInterpretación: hay 625 códigos de 4 cifras todos impares

Las PermutacionesSon aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que: Influye el orden en que se colocanSe toman todos los elementos de que se

disponenSerán permutaciones sin repetición cuando

todos los elementos de que disponemos son distintos.

Serán permutaciones con repetición si disponemos de elementos repetidos

También son llamadas ordenaciones

Permutaciones Sin Repetición

Se definen como las distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación en los elementos.El número de permutaciones, se pueden calcular mediante la formula

!mPm

Ejemplo:

Permutaciones sin Repetición

¿De cuantas maneras podemos colocar 6 envases de jugos en un estante?

SoluciónEl primero puede ser cualquiera de los 6, el segundo cualquiera de los 5, el tercero cualquiera de los 4 y así sucesivamente.. Esto es: 720!6123456 xxxxx

Interpretación: Se pueden colocar 6 jugos en un estante de 720 maneras

Permutaciones con Repetición

Llamamos a las permutaciones con repetición de m elementos tomados de a en a, de b en b, de c en c, etc., cuando en los n elementos existen elementos repetidos (un elemento aparece a veces, otro b veces, otro c veces, etc).El número de permutaciones, con términos a, b y c que se repiten son:

!!!!cba

mPRm

Ejemplo:Permutaciones con

Repetición

Se tienen 4 gaseosas de naranja, 3 gaseosas de uva, y 2 gaseosas de colita. ¿En cuantas maneras diferentes se puede ordenar en línea recta todos las gaseosas?

SoluciónEl primero puede ser cualquiera de los 6, el segundo cualquiera de los 5, el tercero cualquiera de los 4 y así sucesivamente.. Esto es:

1260!2!3!4!9

9 PR

Interpretación: las gaseosas se pueden ordenar en línea recta de 1260 maneras.

Las CombinacionesSon aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:No influye el orden en que se colocanSi permitimos que se repitan los elementos,

podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación

También son llamadas ordenaciones

Combinaciones sin Repetición

Las combinaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n, se definen como las distintas agrupaciones formadas con n elementos distintos, eligiéndolos de entre los m elementos de que disponemos, considerando una combinación distinta de otra solo si difieren en algún elemento.

El numero de combinaciones sin repetición se calcula mediante la formula:

=

Ejemplo:

Combinaciones sin Repetición

¿De cuantas maneras podemos escoger 5 personas de 10, para aplicarles una encuesta sobre la preferencia de un producto?

=

InterpretaciónSe pueden escoger 5 personas de 10 para aplicar la encuesta de 252 maneras

Principios Básicos del Conteo

Regla de la Suma

Supongamos que A y B son dos sucesos disjuntos, es decir, no se presentan al mismo tiempo. Si el suceso A se puede realizar de m maneras y el B de n maneras. Entonces el suceso A o el B se podrá realizar de m + n maneras distintas.

Principios Básicos del Conteo

Regla de la SumaEjemploUn producto alimenticio se vende en 6 tiendas en Cabudare o en 8 tiendas en Barquisimeto. ¿De cuantas formas se puede adquirir el producto?

6 formas + 8 formas = 14 formas

Principios Básicos del Conteo

Regla del ProductoSea C un suceso que pueda descomponerse en dos etapas sucesivas A y B independientemente entre si. Supongamos que la etapa A se puede realizar de m maneras y que la B se puede realizar de n maneras, independientemente de cual sea el resultado obtenido en la etapa A. Entonces, el suceso C se podrá realizar de m.n maneras distintas.

Principios Básicos del ConteoRegla de la

ProductoEjemplo

Una bodeguera tiene tres tipos de arroz, cinco clases de azúcar, y ocho tipo de leche en polvo. ¿De cuantas maneras puede escoger un producto de cada tipo para conformar bolsas de comida para vender?

Solución:

3x5x8= 120 maneras

¿Cómo identificar la técnica de muestreo a

aplicar?Veamos el siguiente

esquema

Son Variaciones o Permutaciones

Para formar las agrupaciones ¿Influye el

orden de colocación de los elementos?

¿Vamos a usar todos los elementos de que

disponemos?

Son Permutaciones Son Variaciones

¿Existen elementos repetidos en el conjunto?

Son Permutaciones CON repetición

Son Permutaciones SIN repetición

Son Combinaciones

Serán con o sin repetición, si se

pueden o no repetir los elementos,

respectivamente

SI NO

SI NO

NO

SI

Técnicas de ContarReferencia Bibliográfica

ARMAS, J. Estadística Sencilla, Teoría de Probabilidad. Universidad de los Andes. Facultad de Ciencias Económicas y Sociales. Dpto. de Estadística Mérida (1996).

ORTEGA, J. Elementos de Probabilidad. Editorial CENAMEC. Caracas – Venezuela (1998)