mokinių pasiekimų apibendrinamojo vertinimo (įsivertinimo) kriterijai

Kalba netaisyta

1

P R O J E K T A S

„MOKYMOSI KRYPTIES PASIRINKIMO GALIMYBI Ų DIDINIMAS 14 –19 METŲ MOKINIAMS, II ETAPAS: GILESNIS MOKYMOSI DIFERENCIJAVIMAS IR INDIVIDUALIZAVIMAS, SIEKIANT UG DYMO KOKYB ĖS, REIKALINGOS ŠIUOLAIKINIAM DARBO

PASAULIUI“

Medžiagą parengė:

Ekspertų grupės vadovė Regina Rudalevičienė

Ekspertai Romualdas Kašuba, Rūta Švelnikienė

I. MOKINI Ų PASIEKIM Ų APIBENDRINAMOJO VERTINIMO / ĮSIVERTINIMO KRITERIJAI PAGAL PASIEKIM Ų

LYGIUS

1. Modulis B-1 Veiksmai realiųjų skaičių aibėje

1.1. Modulio B-1 Veiksmai realiųjų skaičių aibėje mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui

Mokini ų pasiekimų lygiai

Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis

Pasiekimų sritis: Žinios ir supratimas

1. Perskaito, užrašo pateiktus realiuosius skaičius. 2. Atpažįsta natūraliuosius, sveikuosius, racionaliuosius, iracionaliuosius ir realiuosius skaičius. 3. Skaičių tiesėje atideda sveikąjį arba paprastąja trupmena užrašytą skaičių. 4. Supranta, ką reiškia ženklai „<“, „>“. 5. Palygina du vienodo tipo skaičius. 6. Palygina du realiuosius skaičius, kai informacija pateikiama vaizdžiai (skaičiai pažymėti skaičių tiesėje ar skalėje). 7. Apvalina skaičius iki šimtųjų, dešimtųjų, vienetų,

1. Skaičių tiesėje atideda kelis paprastosiomis arba baigtinėmis dešimtainėmis trupmenomis užrašytus racionaliuosius skaičius. 2. Palygina du skirtingo tipo skaičius bent vienu būdu (vaizduojant skaičių tiesėje, remiantis skaičių skirtumu, keliant kvadratu ar kitaip). Užrašo vienodo tipo realiuosius skaičius didėjimo (mažėjimo) tvarka. 3. Apvalina skaičius iki nurodyto skyriaus. 4. Supranta, kada uždavinio atsakymas užrašomas atsižvelgiant į uždavinio sąlygą ir kada jis užrašomas atsižvelgiant į apvalinimo taisykles.

1. Skaičių tiesėje pažymi iracionalųjį skaičių. 2. Supranta, kuo skiriasi ženklai „≥“, „ ≤“ nuo ženklų „>“, „<“. 3. Palygina skirtingo tipo skaičius įvairiais būdais. 4. Nesudėtingais atvejais teisingai pasirenka veiksmų tvarką skaitiniuose reiškiniuose. 5. Apibrėžia kvadratinę ir kubinę šaknį. 6. Iškelia daugiklį prieš kvadratinės šaknies ženklą. 7. Įkelia daugiklį po kvadratinės šaknies ženklu. 8. Nesudėtingais atvejais pertvarko skaitinį reiškinį, kuriame yra šaknys: atskliaudžia, suvienodina

Kalba netaisyta

2

dešimčių. 8. Randa duotajam skaičiui atvirkštinį arba priešingąjį skaičių. 9. Paprasčiausiais atvejais suprastina trupmenas. 10. Paprasčiausiais atvejais atlieka veiksmus su paprastosiomis trupmenomis. 11. Nesudėtingais atvejais atlieka veiksmus su dešimtainėmis trupmenomis. 12. Skaičių pakelia natūraliuoju laipsniu. Vienaženklius skaičius pakelia kvadratu mintinai. 13. Paprastais atvejais skaičių pakelia sveikuoju laipsniu. 14. Paprasčiausiais atvejais taiko laipsnių su sveikaisiais rodikliais savybes. 15. Apskaičiuoja paprastų skaitinių reiškinių reikšmes. 16. Nesudėtingais atvejais randa raidinio reiškinio reikšmę, kai duota kintamojo reikšmė yra sveikasis skaičius. 17. Skaičiuotuvu ištraukia kvadratinę šaknį. 18. Paprasčiausiais atvejais atlieka sudėtį, atimtį, daugybą, dalybą, kėlimą kvadratu su kvadratinėmis šaknimis. 19. Paprasčiausiais atvejais taiko kvadratinės šaknies traukimą sprendžiant uždavinius. 20. Paprastais atvejais užrašo skaičių standartine išraiška.

5. Paaiškina, kokie du skaičiai vadinami vienas kitam atvirkštiniais, priešingais. 6. Suprastina trupmeną, taikydamas dalumo požymius. 7. Dešimtainę trupmeną užrašo paprastąja ir atvirkščiai. Paprastąją trupmena užrašo periodine trupmena. Palygina periodinę trupmeną su baigtine. 8. Apibrėžia laipsnį su sveikuoju rodikliu. 9. Paprastais atvejais taiko laipsnių su sveikaisiais rodikliais savybes. 10. Paaiškina, ką reiškia ištraukti kvadratinę ir kubinę šaknį. 11. Skaičiuotuvu ištraukia kubinę šaknį. 12. Paprastais atvejais atlieka veiksmus (sudėtį, atimtį, daugybą, dalybą, kėlimą laipsniu) su kvadratinėmis šaknimis. 13. Paprastais atvejais taiko kvadratinės šaknies savybes. 14. Iškelia daugiklį prieš kvadratinės šaknies ženklą. 15. Įkelia daugiklį po kvadratinės šaknies ženklu. 16. Apskaičiuoja nesudėtingų skaitinių reiškinių reikšmes. 17. Nesudėtingais atvejais apskaičiuoja raidinio reiškinio reikšmę, kai duota kintamojo reikšmė. 18. Žino, kas yra skaičiaus eilė, kai jis užrašytas standartine išraiška. 19. Atlieka veiksmus su tos pačios eilės standartinės išraiškos skaičiais.

pošaknius, sutraukia panašiuosius narius. 9. Nustato skaičiaus eilę. 10. Atlieka veiksmus su skirtingos eilės standartinės išraiškos skaičiais.

Pasiekimų sritis: Matematinis komunikavimas

1. Teisingai supranta paprastų uždavinių sąlygas. 2. Supranta ir geba nubraižyti paprasčiausius brėžinius. 3. Teisingai perskaito matematinį laipsnio ir kvadratinės šaknies iš skaičiaus užrašą. 4. Formulių rinkiniuose randa laipsnių arba kvadratinės šaknies savybes. 5. Apskaičiuoja laipsnių ir kvadratinės šaknies reikšmes naudodamiesi lentelėmis ir/arba skaičiuokliu.

1. Teisingai supranta aiškinamąjį vadovėlio tekstą, paprastų uždavinių sprendimo pavyzdžius. Supranta įvairiais būdais pateiktas uždavinių sąlygas. 2. Naudoja brėžinius paprastų uždavinių sprendimams paaiškinti. 3. Teisingai perskaito matematinį kubinės šaknies iš skaičiaus užrašą. 4. Kubinės šaknies reikšmės radimo užrašymui naudoja

1. Tikslingai naudoja matematinius simbolius. 2. Atskiria ir naudoja skaičių aibių žymėjimus: N, Z, Q, I, R. Popieriaus lape sprendimas išdėstytas tvarkingai. Aiški sprendimo eiga. 3. Argumentuoja sprendimą. Sprendime nerašo perteklinės informacijos. 4. Geba pristatyti atliktą užduotį.

Kalba netaisyta

3

6. Paprasčiausiais atvejais skaičiavimo rezultatus pasitikrina skaičiuokliu. 7. Laipsnių ir kvadratinės šaknies reikšmių radimą užrašo naudodami laipsnio ir kvadratinės šaknies simbolius.

kubinės šaknies ženklą. 5. Supranta sąvokas „šaknies rodiklis“, „pošaknio reiškinys“, „standartinės išraiškos skaičiaus eilė“. 6. Skaičiavimų rezultatą užrašo nesuprastinama paprastąja trupmena arba atsižvelgdamas į uždavinio sąlygą: jei sąlygoje mišrieji skaičiai, tai ir atsakymas – mišrusis skaičius, o ne netaisyklingoji trupmena. 7. Laikosi veiksmų atlikimo tvarkos, bet ne visi sprendimai racionalūs. 8. Gerai naudojasi skaičiuokliu. 9. Sprendimą užrašo nuosekliai, tvarkingai.

Pasiekimų sritis: Mok ėjimas mokytis

1. Dalyvauja mokymosi procese, tačiau mokosi neplaningai ir nesistemingai. 2. Trūksta gebėjimų dirbti savarankiškai. Priima draugų ir mokytojo pagalbą.

1. Imasi spręsti standartiniais būdais suformuluotas užduotis. 2. Pasitiki savo jėgomis, mokosi planingai. Aktyviai dalyvauja mokymosi procese. Siekia gauti geresnį pažymį, įgyti daugiau žinių. Prašo mokytojo papildomų užduočių, jei mato, kad kažko dar gerai neįsisavino. 3. Vertina matematikos žinias ir gebėjimus, taiko juos mokydamasis kitų dalykų.

1. Imasi spręsti įvairiais būdais suformuluotas užduotis. 2. Padeda mokytis kitiems. 3. Prašo mokytojo papildomų užduočių. Vertina pamokos laiką. Prašo mokytojo patikrinti jo atliktą darbą, kad galėtų įsivertinti gebėjimų lygį. 4. Užduotis atlieka kūrybingai.

Pasiekimų sritis: Problemų sprendimas

1. Atsako į paprasčiausius tiesioginius klausimus. 2. Paprastais atvejais įvertina, kuri schema yra / nėra uždavinio sprendimo vaizdinė iliustracija. 3. Pagal uždavinio sąlygos reikalavimą papildo brėžinį / schemą. 4. Argumentuoja atsakymus į paprasčiausius klausimus. 5. Sprendžia paprasčiausius uždavinius, kai norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus būtina susieti su uždavinio sąlyga. (Pavyzdžiui, skaičiuojant atstumą negalima gauti neigiamo skaičiaus ir pan.).

1. Paprastais atvejais abstraktų teiginį pritaiko konkrečiu atveju (pvz., laipsnio su sveikuoju rodikliu apibrėžimą arba kvadratinės šaknies savybių formules). 2. Įžvelgia skaičių aibių ryšius. 3. Išanalizavęs pateiktus paprasčiausius abstrakčius teiginius, geba įvertinti, kuris iš jų teisingas/klaidingas. Sprendžia nesudėtingus struktūruotus uždavinius, kuriuose užduotis suskaidyta į atskiras dalis, iliustruota schema (piešiniu), derinami keli algoritmai. 4. Pasirenka tinkamą sprendimo būdą, bet kartais sprendime pasitaiko klaidų. 5. Pateikdamas uždavinio sprendimą ir atsakymą laikosi svarbiausių susitarimų, sprendimą stengiasi argumentuoti.

1. Nesudėtingais atvejais pagrindžia savo samprotavimus, remdamasis žinomais apibrėžimais (pvz., skaičiaus priskyrimą tam tikrai aibei pagrindžia skaičių aibių apibūdinimu). 2. Nustato ir apibūdina ryšius tarp skaičių aibių. 3. Pritaiko matematinį modelį nepažįstamame kontekste; atranda ryšius tarp elementų, sujungia kelias matematines idėjas; derina įvairias matematines procedūras siekdamas gauti rezultatus, taiko gebėjimą derinti kelių sričių gebėjimus (pvz., norėdamas atidėti iracionalųjį skaičių skaičių tiesėje, performuluoja uždavinį į geometrinio turinio uždavinį, kuriame vienos iš stačiojo trikampio kraštinių ilgis būtų lygus iracionaliajam skaičiui, o kitų dviejų kraštinių ilgiai – natūralieji skaičiai).

Kalba netaisyta

4

4. Sprendžia nesudėtingus probleminius uždavinius, kuriuose taiko gebėjimą derinti kelių sričių gebėjimus (pvz., norėdamas skaičių tiesėje atidėti iracionalųjį skaičių, suranda skaičių, kurių kvadratai gali būti siejami Pitagoro teoremos lygybe, trejetą; nubraižo statųjį trikampį, kai žinomi to trikampio dviejų kraštinių ilgiai; supranta, kad trikampio kraštinių ilgiai ir skaičių tiesės padalos matuojamos tais pačiais ilgio vienetais). 5. Uždavinių sprendimas tikslus, racionalus, iš jo padaromos pagrįstos, logiškos išvados.

1.2. Modulio B-1 Veiksmai realiųjų skaičių aibėje mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokiniui

Gebėjimai Pasiekimų lygiai


1. Perskaityti, užrašyti žodžiais, skaitmenimis, standartine išraiška skaičius. Įvairiais būdais palyginti bet kokius du skaičius. Taikyti apytikslio skaičiavimo ir skaičių apvalinimo taisykles nesudėtingiems uždaviniams spręsti.

1. Perskaitykite skaičius: 28282828; 167

4;

13 ; 8,746; −89; 0,0087; 5,7·10 10− . 2. Užrašykite žodžiais skaičius: −30125; 78,089. 3. Užrašykite skaitmenimis skaičius: a) vienuolika milijonų vienuolika; b) minus aštuoni sveiki trys keturioliktosios; c) trys sveiki septynios šimtosios; d) kvadratinė šaknis iš septyniasdešimt devynių. 4. Nubraižykite skaičių tiesę ir pažymėkite joje taškus, atitinkančius skaičius 0; 4; −3; −4,5; 2,4. 5. Užrašykite skaičius standartine išraiška: a) 36000000; b) 23,5; c) 0,000000012. 6. Suapvalinkite skaičius: a) iki vienetų 123,123; b) iki dešimčių 1427,782;

1. Išvardykite skaičių aibes ir pateikite toms aibėms priklausančių skaičių pavyzdžių. 2. Paaiškinkite sąvokas skaičius ir skaitmuo. 3. Iš duotųjų skaičių –5,3; 5 ;

5

2; 0; π; 7;

1,75; −9; 5

212 ; 2,1(6) išrinkite:

a) natūraliuosius skaičius; b) sveikuosius skaičius; c) racionaliuosius skaičius; d) iracionaliuosius skaičius. 4. Užrašykite skaičius standartine išraiška: a) 346 · 106; b) 0,078 ⋅ 105 ; c) 609 · 10−6. 5. Palyginkite skaičius:

a) 13 ir 4; b) 5

2 ir

7

3 ;

c) 25 ir 35 ; d) 25− ir 35− .

1. Apibūdinkite skaičių aibes: N, Q, Z, I, R. 2. Atidėkite skaičių tiesėje skaičius: a) 2 ; 5 ; b) 3 ; 8 . 3. Kokia yra skaičiaus eilė: a) 5,3 · 107; b) 7,3 · 10−8? 3. Duota m = 1,7 · 105 , n = 3,4·104 . Raskite: a) m + n; b) m − n; c) m · n; d) m : n. 4. Veneros masė 4,87·1024 kg, Jupiterio masė − 1,9 · 1027 kg. Kieno masė didesnė – Veneros ar Jupiterio? Kiek kartų? Atsakymą parašykite vienetų tikslumu.

5. Palyginkite skaičius 3

3

11

−

− ir

2

3

11

−

− .

Kalba netaisyta

5

c) iki šimtų 4567,425; d) iki dešimtųjų 782,148; e) iki šimtųjų 4892,732. 7. Skaičiuokliu apskaičiuokite 250 ir suapvalinkite rezultatą iki: a) dešimčių; b) vienetų; c) dešimtųjų; d) šimtųjų. 7. Palyginkite skaičius: a) ‒7 ir ‒8; b) 8,0123 ir 8,0133;

c) 2

1ir

3

1; d)

9

8 ir

9

4; e) 5 ir 7 .

2. Atlikti aritmetinius veiksmus su realiaisiais skaičiais. Pasirinkti tinkamus veiksmus ir skaičiavimo būdą nesudėtingiems įvairaus turinio uždaviniams spręsti. Numatyti ir įvertinti skaičiavimo rezultatus, pasitikrinti juos skaičiuotuvu ar atvirkštiniais veiksmais.

1. Atlikite veiksmus:

a) 4

3

5

2+ ; b)

4

3

5

2− ; c)

4

3

5

2⋅ ; d)

4

3:

5

2.

2. Apskaičiuokite: a) ‒4,8 : 0,6 + 17; b) ‒9 · 2,1 ‒ (‒4) · 3; c) ‒43 – 22 + (‒8)0 . 3. Raskite 0,5 skaičiaus 7,5. 4. Žmogus į darbą buvo priimtas 1983 metų rugpjūčio 25 dieną. 2013 metų gegužės 13 dieną jis pakeitė darbovietę. Koks žmogaus darbo stažas pilnais metais, mėnesiais ir dienomis pirmojoje darbovietėje?

1. Raskite skaičių, kai jo 0,6 lygu 6,5. 2. Apskaičiuokite:

a) 3

21:4

5

25 − ; b)

48

7:

8

35

8

56

− ;

c) 5

28,5 + ; d) 2100:2100 .

3. Gimnastikos varžybų dalyvės pasirodymas įvertintas tokiais balais: 5,7; 5,6; 5,4; 5,6; 5,5; 5,5. Raskite sportininkės balų vidurkį.

1. Raskite 7

3 skaičiaus

13

33 .

2. Raskite skaičių, kai jo 3

2 lygu

4

13 .

3. Apskaičiuokite: ( )

.

3

11

4

11

3

22

4,5162

3

⋅+

−⋅−

3. Spręsti paprastus uždavinius, kuriuose reikia taikyti laipsnio su sveikuoju rodikliu ir kvadratinės šaknies savybes.

1. Apskaičiuokite: a) 2−3; b) 4−2 + 2−1; c) 24 · 23; d) 712 : 78 ;

e) 27 ; f) ( )27− .

1. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę: a) 2516 ⋅ ; b) 49:04,0 ;

c) 246 ⋅ ; d) 2

192;

e) ( ) 42

3

232:

5

1325 −

−

−⋅−⋅ .

1. Suprastinkite reiškinius: a) 252338 +⋅ ;

b) ( ) ( )2525252 +−− . 2. Parašykite laipsniu: a) 720 · 423 · 723 · 420; b) 35 · 5100 − 10 · 5100.

3. Palyginkite skaičius 87 ir 68 .

4. Nesudėtingais atvejais taikyti dalumo požymius, sąvokas (priešingas,

1. Iš skaičių 35; 42;72; 85; 5030; 126; 5086 išrinkite tuos, kurie dalijasi iš: a) 2; b) 3; c) 5; d) 9; e) 10.

1. Raskite skaičių 26 ir ‒57: a) priešinguosius skaičius; b) atvirkštinius skaičius.

1. Pateikite pirminių ir sudėtinių skaičių pavyzdžių. 2. Išskaidykite skaičius 126; 90; 455

Kalba netaisyta

6

atvirkštinis, lyginis (nelyginis), modulis, dviejų skaičių (didžiausias) bendrasis daliklis ar (mažiausias) bendrasis kartotinis, skaičiaus dalis, pirminiai ir sudėtiniai skaičiai).

2. Pateikite lyginių ir nelyginių skaičių pavyzdžių.

2. Raskite skaičių 120 ir 112 didžiausiąjį bendrąjį daliklį ir mažiausiąjį bendrąjį kartotinį. 3. Apskaičiuokite: |−86|; | 97|. 4. Mama savo vaikams padalijo po lygiai 12 obuolių ir 18 kriaušių. 1) Kiek daugiausia vaikų galėjo turėti mama? 2) Po kiek vaisių gavo kiekvienas vaikas?

pirminiais daugikliais. 3. Knygos pakuojamos į dviejų rūšių dėžes: po 20 arba po 12. Kiek mažiausiai knygų reikia paimti, kad pakuojant tiek vienu, tiek ir kitu būdu visos knygos patektų į vienodo dydžio dėžes ir dėžėse knygų būtų po lygiai? 4. Įrodykite, kad skaičius 545 – 544 yra skaičiaus 4 kartotinis.

5. Skaičiuotuvu ir be jo apskaičiuoti nesudėtingų skaitinių reiškinių reikšmes, sveikųjų ir trupmeninių reiškinių skaitines reikšmes.

1. Apskaičiuokite: a) (‒12+1,2) − (‒5); b) 2,9 : (‒0,2)+2; c) ‒4,8 − (12 ‒ 15).

1. Apskaičiuokite:

a)

−

−−5

212:

4

37 ; b) ( )

7

45,0

2

11 ⋅−⋅− ;

c)

+−

+7

13

6

14:

2

13

3

12 .

1. Apskaičiuokite:

a) ( )

( ) 11:6,58,7

9,16,23

22,18,0

−

+⋅

⋅−;

b) 2

13

2

134,3

5

245,34,1:5,31 ⋅

⋅−⋅− .

6. Pertvarkant skaitinius reiškinius taikyti veiksmų su laipsniais, kurių rodiklis sveikasis, savybes, veiksmų su kvadratinėmis šaknimis savybes.

1. Apskaičiuokite:

a) 18

119

7

77 ⋅; b) 2

4· 210

·2− 14; c) 3−1 ‒ 2−1 · 8.

1. Apskaičiuokite:

a) 1625,08

1

17

6

9

1

3

2 2012

⋅−⋅

+

−

−−−

;

b) ( ) ( )262

3725 −−+ .

1. Apskaičiuokite:

a) ( )( ) 213724223 −+− ;

b) 5,17

22,0125

94

75

13

15

1 −+⋅−

⋅

.

7. Spręsti nesudėtingus uždavinius, kuriuose reikia naudoti įvairių matavimų rezultatus, užrašytus standartine ir nestandartine išraiška.

1. Apskaičiuokite: a) 44 1023,5103,4 ⋅+⋅ ; b) 77 103,6109,9 ⋅−⋅ ; c) ( ) ( )125 108,5108,3 −⋅⋅⋅ ; d) ( ) ( )59 105,1:104,6 ⋅⋅ − .

1. Apskaičiuokite ir rezultatą parašykite standartine išraiška: a) 14,3 · 103 + 4,8 · 104 ; b) 19,6 · 10−7 – 0,24 · 10−6 ; c) 0,0000723 + 5 · 10−5 ;

d) 0007,0

1000061,1 ⋅ .

2. Išreikškite: a) 3,4 · 10−2 m milimetrais; b) 5,15 · 108 cm kilometrais; c) 1200 cm2 kvadratiniais metrais; d) 7,5 km2 kvadratiniais metrais.

Kalba netaisyta

7

2. Modulis B-2 Plokštumos geometrija

2.1. Modulio B-2 Plokštumos geometrija mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui




1. Atpažįsta ir nubrėžia trikampį ir keturkampį. 2. Pagal nurodytus požymius klasifikuoja trikampius ir keturkampius. 3. Taikydami formules paprasčiausiais atvejais moka apskaičiuoti trikampių ir keturkampių perimetrą ir plotą. 4. Atpažįsta kampus ir moka juos išmatuoti. 5. Nubrėžia apskritimą ir brėžinyje parodo jo elementus. 6. Žino, ką reiškia „lygios figūros“. 7. Tinkamai naudoja matavimo vienetus. 8. Pavaizduoja brėžinyje apskritimo kirstinę ir liestinę. 9. Brėžinyje randa kampą tarp apskritimo liestinės ir spindulio, išvesto į lietimosi tašką. 10. Naudodamasis kampainiu, nubrėžia apskritimo liestinę per pažymėtą to apskritimo spindulio galą. 11. Nubrėžia trikampio vidurinę linij ą. 12. Nubrėžia trapecijos vidurinę linij ą. 13. Randa trikampio pusiaukraštinių susikirtimo tašką 14. Atpažįsta panašias figūras plokštumoje. Savais žodžiais paaiškina, kokios plokštumos figūros vadinamos panašiomis. 15. Savais žodžiais paaiškina, kaip apskaičiuoti smailiojo kampo sinusą, kosinusą, tangentą. 16. Iš reikšmių lentelės randa 300, 450, 600 kampo sinuso, kosinuso ir tangento reikšmes. 17. Nurodytu tikslumu randa stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso, kosinuso ir tangento reikšmes, kai žinomi dviejų to trikampio kraštinių ilgiai.

1. Žino kampų prie dviejų lygiagrečiųjų tiesių ir kirstinės pavadinimus ir savybes bei taiko juos paprastuose uždaviniuose. 2. Suformuluoja trikampio nelygybę, lygiašonio ir lygiakraščio trikampio savybes bei taiko jas paprastuose uždaviniuose. 3. Randa daugiakampio kampų sumą. 4. Žino simetrijos sąvoką ir moka nubrėžti figūrą, simetrišką duotajai. 5. Suformuluoja apskritimo liestinės savybę. 6. Paprastais atvejais taiko liestinės savybę spręsdamas uždavinius. 7. Apibrėžia trikampio vidurinę linij ą. 8. Apibrėžia trapecijos vidurinę linij ą. 9. Paprastais atvejais taiko trikampio vidurinės linijos savybę. 10. Paprastais atvejais taiko trapecijos vidurinės linijos savybę. 11. Suformuluoja trikampio pusiaukraštinių susikirtimo taško savybę. 12. Paprastais atvejais taiko trikampio pusiaukraštinių susikirtimo taško savybę. 13. Supranta atkarpų proporcingumo sąvoką. Nustato, ar dvi (trys) atkarpos yra proporcingos kitoms dviems (trims) atkarpoms, kai žinomi tų atkarpų ilgiai. 14. Žino trikampių panašumo požymius. 15. Taiko trikampių panašumo požymius spręsdamas

1. Paaiškina, kaip palyginti plotus trikampių, turinčių bendrą aukštinę (pagrindą). 2. Žino ir taiko uždavinių sprendime statinio, esančio prieš 30° kampą, savybę. 3. Nesudėtingais atvejais taiko liestinės savybę. 4. Nesudėtingais atvejais taiko trikampio vidurinės linijos savybę. 5. Nesudėtingais atvejais taiko trapecijos vidurinės linijos savybę. 6. Nesudėtingais atvejais taiko trikampio pusiaukraštinių susikirtimo taško savybę. 7. Taiko trikampių panašumo požymius spręsdamas nesudėtingus uždavinius. 8. Paaiškina, kaip ir kodėl susiję panašių figūrų atitinkamų kraštinių ilgiai, perimetrai, plotai. 9. Randa stačiojo trikampio nežinomus kraštinių ilgius nurodytu tikslumu, kai žinomas smailiojo kampo didumas (laipsniais) ir vienos kraštinės ilgis. 10. Pagal brėžinį paaiškina, kaip randamas nuopjovos plotas, kai žinomi tą nuopjovą atitinkančios išpjovos ir trikampio, kurio viršūnės yra skritulio centre ir nuopjovą atitinkančio lanko galuose, plotai. 11. Apskaičiuoja apskritimo spindulį, kai žinomas to apskritimo lanko ilgis ir tą lanką atitinkantis centrinis kampas. 12. Apskaičiuoja apskritimo lanką atitinkančio centrinio kampo didumą, kai žinomi to apskritimo spindulys ir to

Kalba netaisyta

8

18. Brėžinyje pavaizduoja apskritimo lanką ir pažymi tą lanką atitinkantį centrinį kampą. 19. Brėžinyje pavaizduoja skritulio išpjovą ir pažymi tą išpjovą atitinkantį centrinį kampą. 20. Žino apskritimo lanko ilgio ir skritulio išpjovos ploto formules. Pagal pateiktas formules apskaičiuoja apskritimo lanko ilgį ir skritulio išpjovos plotą.

paprastus uždavinius. 16. Skaičiuotuvu randa laipsniais išreikšto smailiojo kampo sinuso, kosinuso ir tangento reikšmes nurodytu tikslumu. 17. Nurodytu tikslumu randa stačiojo trikampio smailiojo kampo didumą, kai žinomi dviejų to trikampio kraštinių ilgiai. 18. Randa stačiojo trikampio nežinomus kraštinių ilgius nurodytu tikslumu, kai žinomas to trikampio smailiojo kampo sinusas, kosinusas arba tangentas ir vienos kraštinės ilgis. 19. Brėžinyje pavaizduoja skritulio nuopjovą ir pažymi tą nuopjovą atitinkantį centrinį kampą. 20. Apskaičiuoja apskritimo lanko ilgį. 21. Apskaičiuoja skritulio išpjovos plotą.

lanko ilgis. 13. Apskaičiuoja skritulio spindulį, kai žinomas to skritulio išpjovos plotas ir tą išpjovą atitinkantis centrinis kampas. 14. Apskaičiuoja skritulio išpjovos centrinio kampo didumą, kai žinomi to skritulio spindulys ir tos išpjovos plotas. 15. Apskaičiuoja skritulio nuopjovos plotą.


1. Teisingai supranta paprastų uždavinių sąlygas. 2. Supranta ir geba padaryti paprasčiausius brėžinius. 3. Teisingai vartoja sąvokas: apskritimo kirstinė, liestinė, lankas, apskritimo lanką atitinkantis centrinis kampas, skritulio išpjova, skritulio išpjovos kampas, trikampio pusiaukraštinių susikirtimo taškas, trikampio vidurinė linija, trapecijos vidurinė linija, panašiosios figūros, kampo sinusas, kampo kosinusas, kampo tangentas. 4. Teisingai perskaito trikampių panašumo, kampo sinuso, kosinuso ir tangento matematinį užrašą. 5. Formulių rinkiniuose randa įprastines trikampio ir keturkampio ploto, apskritimo lanko ilgio, skritulio nuojovos ploto formules, kampo sinuso, kosinuso ir tangento reikšmių lenteles. 6. Apskaičiuoja laipsniais išreikšto smailiojo kampo sinuso, kosinuso ir tangento reikšmes, naudodamasis lentelėmis. 7. Paprasčiausiais atvejais skaičiavimo rezultatus pasitikrina skaičiuokliu. 8. Kampo sinuso, kosinuso ir tangento reikšmių radimą

1. Teisingai supranta aiškinamąjį vadovėlio tekstą, paprastų uždavinių sprendimo pavyzdžius. Supranta įvairiais būdais pateiktas uždavinių sąlygas. 2. Naudoja brėžinius paprastų uždavinių sprendimams paaiškinti. 3. Supranta, kas yra skritulio nuopjova. 4. Užrašo lygybe trikampio pusiaukraštinių susikirtimo taško savybę, atkarpų proporcingumą. 5. Užrašo trikampių panašumą, naudodamas simbolį „~“ ir atsižvelgdamas į trikampių atitinkamų kampų lygumą. 6. Skaičiuotuvu randa laipsniais išreikšto smailiojo kampo sinuso, kosinuso ir tangento reikšmes nurodytu tikslumu.

1. Tikslingai naudoja matematinius simbolius. 2. Uždavinio sprendimą išdėsto aiškiai, tvarkingai. 3. Geba pristatyti atliktą užduotį.

Kalba netaisyta

9

užrašo naudodamasis sin, cos ir tg simbolius.


1. Dalyvauja mokymosi procese, tačiau mokosi neplaningai ir nesistemingai. 2. Trūksta gebėjimų dirbti savarankiškai, tačiau priima draugų ir mokytojo pagalbą.

1. Nebijo spręsti standartiniais būdais suformuluotų užduočių. 2. Pasitiki savo jėgomis, mokosi planingai. Aktyviai dalyvauja mokymosi procese. Siekia gauti geresnį pažymį, įgyti daugiau žinių. Prašo mokytojo papildomų užduočių, jei mato, kad kažko dar gerai neįsisavino. 3. Vertina matematikos žinias ir gebėjimus, taiko juos mokydamasis kitų dalykų.

1. Imasi spręsti įvairiais būdais suformuluotas užduotis. 2. Padeda mokytis kitiems. 3. Vertina pamokos laiką. Prašo mokytojo papildomų užduočių. Prašo mokytojo patikrinti jo atliktą darbą, kad galėtų įsivertinti gebėjimų lygį. 4. Užduotis atlieka kūrybingai.


1. Atsako į paprasčiausius tiesioginius klausimus. 2. Paprastais atvejais įvertina, kuri schema yra / nėra uždavinio sprendimo vaizdinė iliustracija. 3. Pagal uždavinio sąlygos reikalavimą papildo brėžinį / schemą. 4. Argumentuoja atsakymus į paprasčiausius klausimus. 5. Sprendžia paprasčiausius uždavinius.

1. Paprastais atvejais abstraktų teiginį pritaiko konkrečiu atveju (pvz., trikampių panašumo požymį spręsdamas uždavinį). 2. Įžvelgia panašiųjų figūrų atitinkamų kampų didumų ir atitinkamų kraštinių ilgių sąryšius. 3. Sprendžia nesudėtingus struktūruotus uždavinius, kuriuose užduotis suskaidyta į atskiras dalis, iliustruota schema (piešiniu), derinami keli algoritmai. 4. Pasirenka tinkamą sprendimo būdą. 5. Pateikdamas uždavinio sprendimą ir atsakymą laikosi svarbiausių susitarimų, sprendimą stengiasi argumentuoti.

1. Nesudėtingais atvejais pagrindžia savo samprotavimus, remdamasis žinomais apibrėžimais ir savybėmis (pvz., įrodant apskritimo lanko ilgio arba skritulio išpjovos ploto skaičiavimo formules). 2. Nustato ir apibūdina ryšius tarp trikampių atitinkamų kampų didumų ir atitinkamų kraštinių ilgių ir padaro išvadą apie tų trikampių panašumą. 3. Atranda ryšius tarp elementų; derina įvairias matematines procedūras siekdamas gauti rezultatus (pvz., norėdamas rasti nežinomą stačiojo trikampio kraštinę, kai žinomi to trikampio smailusis kampas ir kraštinė, nustato, kurį apibrėžimą reikia taikyti – smailiojo kampo sinuso, kosinuso ar tangento, performuluoja geometrinį uždavinį į lygties sprendimo ar ieškomo dydžio išsireiškimo ir reikšmės skaičiavimo uždavinį, kuriame randa smailiojo kampo sinuso, kosinuso ar tangento reikšmę, atlieka skaičiavimus, jei reikia, apvalina skaičius). 4. Sprendžia nesudėtingus probleminius uždavinius, kuriuose taiko gebėjimą derinti kelių sričių gebėjimus (pvz., norėdamas apskaičiuoti skritulio nuopjovos plotą, pavaizduoja situaciją brėžiniu / schema, iš kurios nustato, kokį veiksmą (sudėti ar atimti) reikia atlikti su atitinkamų skritulio dalių (išpjovos ir trikampio) plotų reikšmėmis; sprendžia geometrinio turinio uždavinius,

Kalba netaisyta

10

kuriuose apskaičiuoja skritulio išpjovos ir trikampio plotus; jei reikia, apvalina skaičius). 5. Uždavinių sprendimas tikslus, racionalus, iš jo padaromos pagrįstos, logiškos išvados.

2.2. Modulio B-2 Plokštumos geometrija mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokiniui

Gebėjimai Pasiekimų lygiai Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis

1. Atpažinti ir pavaizduoti plokštumos geometrines figūras. Taikyti jau žinomus apibrėžimus, savybes ir formules. Taikyti gretutinių ir kryžminių kampų savybes, lygiagrečiųjų tiesių savybes paprastiems uždaviniams spręsti.

1. Nubrėžkite tiesę, spindulį, atkarpą. Pažymėkite juos raidėmis. 2. Nubrėžkite statųjį, smailųjį, bukąjį, ištiestinį kampus. Pažymėkite juos raidėmis. Išmatuokite kampų didumus ir rezultatą užrašykite lygybėmis. 3. Nubrėžkite kampo pusiaukampinę. 4. Nubrėžkite smailųjį, statųjį ir bukąjį trikampius. Nurodykite trikampio viršūnes, kraštines. 5. Trikampio kraštinės lygios 16 cm, 20 cm ir 13 cm. Apskaičiuokite šio trikampio perimetrą. 6. Trikampio aukštinė lygi 4 cm, o kraštinė, į kurią nubrėžta ši aukštinė, lygi 18 cm. Koks šio trikampio plotas? 7. Nubrėžkite stačiakampį, kvadratą, lygiagretainį, rombą, trapeciją.

1. Jei BCD∠ = 50°, tai ACB∠ = ... .

2. Jei ACD∠ =135°, tai ECB∠ = ... ir

DCB∠ = ... .

3. Ar yra trikampis, kurio kraštinių ilgiai 3 cm, 4 cm ir 8 cm? 4. Ar trikampis, kurio kraštinių ilgiai 25 cm, 20 cm ir 15 cm, yra statusis? 5. ∆ABC=∆KLM. Užrašykite jų atitinkamai lygius kampus ir atitinkamai lygias kraštines. 6. Lygiašoniame trikampyje kampai prie pagrindo lygūs 30o, o aukštinė, nubrėžta iš viršūnės į pagrindą, lygi 8 cm. Apskaičiuokite trikampio perimetrą ir plotą.

1. a || b, c – kirstinė, 4∠ =50°. Raskite likusius septynis kampus.

2. Tiesės SR ir DP susikerta taške J. Įrodykite, kad ∆SJD = ∆PJR, jei SJ = JP ir

DSJ∠ = RPJ∠ . 3. Trikampio plotas 100 cm2, o viena aukštinė lygi 12 cm. Apskaičiuokite kraštinės, į kurią išvesta ši aukštinė, ilgį. 4. Lygiagretainio aukštinės lygios 8 cm ir 16 cm, o trumpesnioji kraštinė lygi 6 cm. Apskaičiuokite lygiagretainio plotą ir perimetrą. 5. Stačiosios trapecijos plotas lygus 2,8 dm2, o pagrindai yra 16 cm ir 40 cm ilgio. Raskite trapecijos šonines kraštines ir perimetrą.

Kalba netaisyta

11

7. Stačiakampio viena kraštinė lygi 15 cm, o įstrižainė 39 cm. Apskaičiuokite stačiakampio perimetrą ir plotą. 8. Rombo įstrižainės lygios 18 cm ir 10 cm. Apskaičiuokite rombo plotą. 9. Trapecijos pagrindai 10 cm ir 74 cm, o aukštinė 24 сm. Apskaičiuokite trapecijos plotą.

2. Apibrėžti trikampio ir trapecijos vidurinę linij ą. Taikyti trikampio ir trapecijos vidurinės linijos savybes uždavinius sprendžiant.

1. Trikampyje nubrėžkite vidurio liniją. 2. Nubrėžkite trapecijos vidurio liniją. 3. Trikampio kraštinė lygi 18 cm. Raskite jai lygiagrečios trikampio vidurinės linijos ilgį.

1. Raskite trapecijos vidurinę linij ą, jeigu trapecijos pagrindai lygūs 12 cm ir 28 cm.

1. Įrodykite trikampio ir trapecijos vidurio linij ų savybes. 2. Trikampio KDE perimetras lygus 20 cm. Raskite trikampio KAB perimetrą, jei AB – trikampio KDE vidurinė linija ir AB||DE.

3. Brėžinyje pavaizduoti apskritimo kirstinę, liestinę, centrinį kampą, centrinį kampą atitinkantį lanką, skritulio išpjovą, nuopjovą. Taikyti apskritimo liestinės savybę sprendžiant uždavinius. Apskaičiuoti apskritimo lanko ilgį, skritulio išpjovos, nuopjovos plotą.

1. Nubrėžkite 4 cm ilgio spindulio apskritimą. Brėžinyje pažymėkite apskritimo centrą O, spindulį r, skersmenį d, apskritimo tašką A. Nubrėžkite: kirstinę k; per tašką A einančią liestinę l. 2. Apskritimo spindulys r = 5 cm. Apskaičiuokite apskritimo ilgį ir to apskritimo ribojamo skritulio plotą.

1. Skritulyje, kurio spindulys lygus 8 cm, nubraižytas centrinis kampas lygus 52°. Apskaičiuokite šios išpjovos lanko ilgį ir plotą. 2. Tiesė AB liečia apskritimą taške B, taškas O yra apskritimo centras. Apskaičiuokite OA ilgį, jei AB = 12 cm, OB = 9 cm. 3. Tiesės AB ir AC taškuose B ir C liečia apskritimą, kurio centras O. Raskite BC, kai

BOA∠ =60°, AB=15 cm.

1. r − apskritimo spindulys, α − to apskritimo centrinis kampas, l − kampą α atitinkančio lanko ilgis. Įrodykite, kad

απ

⋅180

=r

l .

2. r − skritulio spindulys, α – to skritulio išpjovos kampas. Įrodykite, kad išpjovos plotas S skaičiuojamas pagal formulę

S = απ

⋅360

2r.

3. BOA∠ = 60o, o spindulys 14 cm. Apskaičiuokite skritulio nuopjovų plotus.

4. Iš šalia apskritimo esančio taško A išvestos dvi apskritimo liestinės, O −

Kalba netaisyta

12

apskritimo centras, B ir C – lietimosi taškai. Įrodykite, kad: a) ∆AOB = ∆AOC; b) AB = AC; c) AO yra kampo BAC pusiaukampinė.

4. Taikyti proporcingumo, panašumo sąvokas sprendžiant uždavinius.

1. Ar skaičiai 2; 5; 6; 9 atitinkamai proporcingi skaičiams 8; 20; 24; 36? 2. Duota: ∆KLM ir ∆PSR; KL=8; LM=6,3; KM=6; PS=4; SR=3,5; PR=3. Ar šie trikampiai panašūs? 3. Ar panašūs paveikslėlyje pavaizduoti trikampiai? a)

b)

1. Trikampiai ABC ir A1B1C1 yra panašūs. AC=35 cm, AB=21 cm, BC=28 cm ir B1C1=8 cm. Raskite: a) trikampių ABC ir A1B1C1 panašumo koeficientą k; b) trikampio A1B1C1 nežinomas kraštines. 2. Trikampio kraštinės yra 6 сm, 9 cm ir 12 cm. Panašaus į jį trikampio perimetras yra 45 cm. Apskaičiuokite šio trikampio kraštines.

1. Duotas ∆KDM. Taškai A ir J yra kraštinėse DM ir KM, KD||AJ, JM=4 cm, AJ=10 cm, DK=28 cm. a) Įrodykite, kad ∆AMJ ~ ∆DMK.

b) Raskite JM

KM.

c) Raskite KM. 2. Trikampiai ABC ir A1B1C1 yra panašūs. BC=28 cm, B1C1=16 cm ir ∆ABC plotas lygus 980 cm2. Raskite: a) panašumo koeficientą; b) trikampio A1B1C1 plotą.

5.Taikyti trigonometrinius sąryšius stačiojo trikampio elementams rasti.

1. Kaip rasti sinC, cosC, tgC, sinB, cosB, tgB, žinant stačiojo trikampio kraštines?

2. Iš reikšmių lentelių arba skaičiuotuvu raskite sin56o, cos 72o, tg 42o dešimtųjų tikslumu.

1. Nubrėžkite kampą A, kai:

a) 3

2sin =A ; b)

4

3cos =A ; c)

2

1=tgA .

2. Apskaičiuokite x. Atsakymą pateikite dešimtųjų tikslumu.

1. Raskite tg30°, tg45°, tg60°. 2. Duota: ∆ABC, ACBD⊥ , °=∠ 48A ,

°=∠ 25С , AB=14 cm. Raskite BD ir CD. Atsakymą suapvalinkite iki dešimtųjų. 3. Paaiškinkite, kodėl

2

130sin =° ,

2

245sin =° ,

2

360sin =° .

4. Paaiškinkite, kodėl

2

330cos =° ,

2

245cos =° ,

2

160cos =° .

Kalba netaisyta

13

3. Modulis B-3 Lygtys ir lygčių sistemos

3.1. Modulio B-3 Lygtys ir lygčių sistemos mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui




1. Moka patikrinti, ar duotasis skaičius yra lygties sprendinys. 2. Sprendžia paprastą tiesinę lygtį su vienu nežinomuoju. 3. Paprasčiausiais atvejais atpažįsta kvadratinę lygtį. Sprendžia kvadratinę lygtį, kurios koeficientai sveikieji skaičiai, remdamasis kvadratinės lygties sprendinių formule. 4. Atpažįsta tiesinę lygtį su dviem nežinomaisiais. 5. Patikrina, ar skaičių pora yra tiesinės lygties su dviem nežinomaisiais sprendinys. 6. Atpažįsta tiesinės lygties su dviem nežinomaisiais sprendinį, užrašytą kaip taško koordinatės. 7. Paprasčiausiais atvejais išreiškia tiesinės lygties su dviem nežinomaisiais vieną nežinomąjį kitu. 8. Patikrina, ar skaičių pora yra dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos sprendinys. 9. Sprendžia paprasčiausią dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą, kai koeficientai yra sveikieji skaičiai. 10. Moka užrašyti lygčių sistemos sprendinį.

1. Sprendžia nesudėtingą tiesinę lygtį su vienu nežinomuoju. 2. Sprendžia nepilnąją kvadratinę lygtį, pertvarkydamas ją į sandaugą, lygią nuliui. 3. Paaiškina, kaip kvadratinės lygties sprendinių skaičius priklauso nuo diskriminanto ženklo. 4. Sprendžia nestandartinio pavidalo kvadratines lygtis. Sprendžia lygtis ax2 = b (a, b > 0). 5. Paprastą situaciją užrašo kvadratine lygtimi. Gautus lygties sprendinius susieja su situacija. 6. Skaido kvadratinį trinarį tiesiniais daugikliais remdamasis formule:

( )( )212 xxxxacbxax −−=++ .

7. Paaiškina, kas yra lygties su dviem nežinomaisiais sprendinys, moka jį užrašyti ir pavaizduoti koordinačių plokštumoje. 8. Randa tiesinės lygties su dviem nežinomaisiais sprendinį. 9. Iš grafikų randa dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais bendrą sprendinį. 10. Suvokia dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos prasmę. 11. Paaiškina, kokie yra tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos sprendimo būdai, kas yra jos sprendinys. 12. Sprendžia dviejų tiesinių lygčių su dviem

1. Paaiškina nesudėtingų tiesinių lygčių sprendimo algoritmą. 2. Pertvarko nesudėtingą kvadratinę lygtį į standartinį pavidalą ir ją sprendžia. 3. Supranta, kad lygtis A(x)·B(x)=0, kurioje A(x), B(x) – pirmojo laipsnio dvinariai, yra kvadratinė. 4. Sprendžia lygtis ax3 = b (a, b > 0). 5. Nesudėtingą situaciją aprašo kvadratine lygtimi. Gautus lygties sprendinius susieja su situacija. 6. Pavaizduoja tiesinės lygties su dviem nežinomaisiais ir lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos sprendinius koordinačių sistemoje. 7. Sprendžia dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą grafiniu būdu. 8. Nesudėtingą situaciją užrašo dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistema. Gautus lygčių sistemos sprendinius susieja su situacija.

Kalba netaisyta

14

nežinomaisiais sistemą keitimo ir sudėties būdais. 13. Paprastą situaciją užrašo dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistema. Gautus lygčių sistemos sprendinius susieja su situacija.


1. Teisingai supranta paprastų uždavinių sąlygas. 2. Supranta ir geba padaryti paprasčiausius brėžinius. 3. Teisingai perskaito lygčių sistemos užrašą. 4. Paprasčiausiais atvejais skaičiavimo rezultatus pasitikrina skaičiuokliu. 5. Laikosi kvadratinės lygties sprendimo algoritmo. 6. Užrašo lygties su vienu nežinomuoju, kvadratinės lygties, dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos sprendinius. 7. Supranta sąvokas „tiesinė lygtis su vienu nežinomuoju“, „kvadratinė lygtis“, „lygties su vienu nežinomuoju sprendinys“, „lygčių su dviem nežinomaisiais sistema“, „lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos sprendinys“, „dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais bendras sprendinys“.

1. Teisingai supranta aiškinamąjį vadovėlio tekstą, paprastų uždavinių sprendimo pavyzdžius. 2. Supranta įvairiais būdais pateiktas uždavinių sąlygas. 3. Naudoja brėžinius paprastų uždavinių sprendimams paaiškinti. 4. Supranta sąvokas „kvadratinio trinario skaidymas daugikliais“, „lygties su dviem nežinomaisiais sprendinys“. 5. Laikosi lygčių ir lygčių sistemų sprendimo tvarkos, bet ne visi sprendimai racionalūs. 6. Trumpai užrašo situaciją lygtimi ar lygčių sistema.

1. Pagrindžia situacijos užrašymą lygtimi ar lygčių sistema. 2. Mokydamasis naudoja anksčiau įgytą savo patirtį. 3. Tikslingai naudoja matematinius simbolius. 4. Sprendimą išdėstyto nuosekliai, aiškiai, tvarkingai. Geba pristatyti atliktą užduotį.


1. Dalyvauja mokymosi procese, tačiau mokosi neplaningai ir nesistemingai. 2. Priima draugų ir mokytojos pagalbą, bet trūksta gebėjimų dirbti savarankiškai. 3. Valdo nedidelį informacijos kiekį.

1. Imasi spręsti standartiniais būdais suformuluotas užduotis. 2. Uždavinį sprendžia sau suprantamiausiu būdu. 3. Pasitiki savo jėgomis, mokosi planingai. Aktyviai dalyvauja mokymosi procese. Siekia gauti geresnį pažymį, įgyti daugiau žinių. Prašo mokytojo papildomų užduočių, jei mato, kad kažko dar gerai neįsisavino. 4. Vertina matematikos žinias ir gebėjimus, taiko juos mokydamasis kitų dalykų.

1. Imasi spręsti įvairiais būdais suformuluotas užduotis. Mokosi visų uždavinio sprendimo būdų. 2. Padeda mokytis kitiems. 3. Vertina pamokos laiką. Prašo mokytojo papildomų užduočių. Prašo mokytojo patikrinti jo atliktą darbą, kad galėtų įsivertinti gebėjimų lygį. 4. Užduotis atlieka kūrybingai.


1. Atsako į paprasčiausius tiesioginius klausimus. 2. Paprastais atvejais įvertina, kuri schema yra / nėra uždavinio sprendimo vaizdinė iliustracija.

1. Paprastais atvejais abstraktų teiginį pritaiko konkrečiu atveju (pvz., randa lygties su dviem nežinomaisiais sprendinį).

1. Nesudėtingais atvejais pagrindžia savo samprotavimus, remdamasis žinomais apibrėžimais (pvz., lygties sprendimo būdo pasirinkimą pagrindžia

Kalba netaisyta

15

3. Pagal uždavinio sąlygos reikalavimą papildo brėžinį / schemą. 4. Argumentuoja atsakymus į paprasčiausius klausimus. 5. Sprendžia paprasčiausius uždavinius, kai norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus būtina susieti su uždavinio sąlyga.

2. Išanalizavęs pateiktus paprasčiausius abstrakčius teiginius, geba įvertinti, kuris iš jų teisingas/klaidingas. 3. Sprendžia nesudėtingus struktūruotus uždavinius, kuriuose užduotis suskaidyta į atskiras dalis, iliustruota schema (piešiniu), derinami keli algoritmai. 4. Pateikdamas uždavinio sprendimą ir atsakymą laikosi svarbiausių susitarimų, sprendimą stengiasi argumentuoti. 5. Pasirenka tinkamą sprendimo būdą, bet ne visuomet racionalų. 6. Randa klaidas savo sprendime.

lygties tipo nustatymu). Apibūdina ryšius tarp lygties tipo ir tos lygties sprendinio užrašymo. 2. Pritaiko matematinį modelį nepažįstamame kontekste; atranda ryšius tarp elementų, sujungia kelias matematines idėjas; derina įvairias matematines procedūras, siekdamas gauti rezultatus, taiko gebėjimą derinti kelių sričių gebėjimus (pvz., norėdamas išspręsti dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą grafiniu būdu, performuluoja uždavinį į dviejų tiesių brėžimo ir jų susikirtimo taško ieškojimo uždavinį). 3. Sprendžia nesudėtingus probleminius uždavinius, kuriuose taiko gebėjimą derinti kelių sričių gebėjimus (pvz., spręsdamas tekstinį uždavinį, situaciją užrašo lygtimi ar lygčių sistema, taiko lygties ar lygčių sistemos sprendimo būdą, tikrina gautų sprendinių tinkamumą pagal uždavinio sąlygą, formuluoja uždavinio atsakymą uždavinio sąlygos kontekste. 4. Uždavinių sprendimas tikslus, racionalus, iš jo padaromos pagrįstos, logiškos išvados.

3.2. Modulio B-3 Lygtys ir lygčių sistemos mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokiniui


1. Paaiškinti, ką reiškia išspręsti lygtį, ką vadiname lygties sprendiniu, kaip jį užrašome, kaip pavaizduojame skaičių tiesėje, kaip patikriname, ar skaičius yra lygties sprendinys. Spręsti pirmojo laipsnio lygtį su vienu nežinomuoju.

1. Išspręskite lygtis, patikrinkite, ar gautieji skaičiai yra sprendiniai, ir užrašykite atsakymus: a) 737 −=−x ; b) ( ) 8234 =+− x ;

c) 423 −=+ xx ; d) ( ) 23416 −=− xx .

1. Išspręskite lygtis ir nurodykite, kokiai skaičių aibei priklauso lygties sprendinys: a) ( ) ( )xx 4,33,032732,1 −=−− ;

b) 3

27

9

4 xx=− ;

c) ( )2

35

3

2154

−=

−−

xx .

2. Su kuria x reikšme reiškinių 5(x+3) ir 2x−7 suma lygi 0?

1. Išspręskite lygtis:

a) 13

13

155

12+

+=−

− yyy ;

b) ( ) ( ) 45,12

2 =+−− xxx ;

c) ( )( ) 22 )12(1216 −=−+− xxxx . 2. Kokia turi būti a reikšmė, kad skaičius ‒7 būtų tiesinės lygties 6(x+a)=5a sprendinys?

2. Atpažinti kvadratinę lygtį. 1. Išspręskite lygtis: 1. Išspręskite lygtis: 1. Išspręskite lygtis:

Kalba netaisyta

16

Pasinaudoti diskriminanto ir sprendinių formulėmis lygčiai ax2 + bx +c = 0 spręsti. Pavyzdžiais paaiškinti nestandartinio pavidalo kvadratinių lygčių sprendimo būdus: pertvarkymą į pavidalą ax2+bx +c =0 arba A(x)·B(x) =0, kur A(x) ir B(x) – pirmojo laipsnio dvinariai.

a) 0365 2 =+− xx ; b) 03072 2 =−+ xx ; c) 081182 =++ xx ; d) 025102 =+− xx ; e) 02845 2 =++ xx .

a) 3072 =+ xx ; b) 0166 2 =+− xx ; c) xx 82 2 =− ; d) )1(712 −=+ xxx ;

e) 4

)3(

2

3 +=+

xxx .

2. Su kuriomis x reikšmėmis reiškinių x(2x+1) ir 7−4x skirtumas lygus 0?

a) ( ) 05)8( =+− xx ; b) ( ) 405)8( −=+− xx ;

c) 02581 2 =−x ;

d) ( ) ( ) 392

13253)53( −=−−−+ xxx . 2. Gėlynas yra stačiojo trikampio formos. Vienas trikampio statinis 2 m ilgesnis už kitą, o įžambinė lygi 10 m. Raskite gėlyno plotą.

3. Spręsti ax2 = b ir ax3 = b (a, b > 0) pavidalo lygtis.

1. Išspręskite lygtis: a) 72 =x ; b) 82 2 =x .


a) 3

2

2

11 2 =x , 4

2

1 3 =x , 4,64,0 3 =x ;

b) ( ) 02 2 =+x , ( ) 02 3 =+x ;

c) ( ) 163 2 =−x , ( ) 272 3 =−x ;

d) ( ) 34 2 =−x , ( ) 154 3 −=−x ;

e) ( ) 545,0 2 =−x , ( ) 1642 3 =+− x ;

f) ( )( ) 0258 23 =−+ xx .

4. Skaidyti kvadratinį trinarį tiesiniais daugikliais.

1. Jei įmanoma, užrašykite kvadratinį trinarį dviejų dvinarių sandauga: a) 862 +− xx ; b) 1643 2 −+− xx ; c) 422 2 +−− xx ; d) 65,52 −+− xx .

1. Išskaidykite tiesiniais daugikliais:

a) xx5

3

3

2 2 − ;

b) 52 −x ;

c) ( ) ( )22 34 +−− xx ;

d) xxx 86 23 ++ .

5. Spręsti paprasčiausias lygčių sistemas, patikrinti, ar skaičių pora yra lygčių sistemos sprendinys. Užrašyti lygčių sistemos sprendinį taško koordinatėmis.

1. Kuri iš skaičių porų (1; −11), (2;10) yra lygties 26 =− yx sprendinys? 2. Kuri iš skaičių porų (‒2;6); (‒6;2); (6;‒2) yra lygčių sistemos

1. Raskite bent du lygties sprendinius: a) 952 =+ yx ; b) 143 −=+− yx . 2. Pavaizduokite koordinačių plokštumoje visus lygties yx =+ 2 sprendinius. 3. a) Nubrėžkite tiesę 3+−= xy .

1. Iš pradžių išreikškite nežinomąjį y nežinomuoju x, po to ‒ nežinomąjį x nežinomuoju y:

a) 30

1

53

32=

+−

− yxyx ;

Kalba netaisyta

17

Paaiškinti, kokie yra tiesinių lygčių sprendimo būdai ir taikyti juos uždavinių sprendimui.

=−

=+

74710

,8115

yx

yx sprendinys?

3. Išreikškite nežinomąjį y nežinomuoju x: a) 3−=+ yx ; b) 5=− yx ; c) yx 42 = . 4. Išreikškite nežinomąjį x nežinomuoju y: a) 3−=+ yx ; b) 5=− yx ; c). yx 42 = . 5. Išspręskite lygčių sistemas:

a)

=−

=+

;8

,2

yx

yx

b)

=−

=+

;023

,144

yx

yx

c)

=−

−=

.014

,5

xy

yx

6. Išspręskite uždavinį, sudarydami lygčių sistemą. Broliui ir seseriai kartu yra 36 metai. Brolis yra 2 kartus vyresnis už seserį. Kiek metų kiekvienam iš jų?

b) Remdamiesi brėžiniu, raskite tris lygties 3=+ yx sprendinius. 4. Išspręskite lygčių sistemas:

a)

=−

−=+

;4567

,854

yx

yx

b) ( )

−=−

−=−

;3162

,123

yx

xyx

c) ( )

=−

−=−

.44

,5444

yyx

xxy

5. Raskite du skaičius, kurių skirtumas lygus 6, o santykis lygus 4:3. 6. Raskite stačiakampio kraštines, jei jo perimetras lygus 44 m, o viena kraštinė ilgesnė už kitą 6 m. 7. Vienas trikampio kampas 25°

mažesnis už antrąjį, o trečiasis lygus 53°. Raskite nežinomus trikampio kampus. 8. Atstumas tarp punktų A ir B, plaukiant upe, lygus 12 km. Valtis, plaukdama upe pasroviui nuo punkto A iki B, užtrunka 2 valandas, o grįždama − 3 valandas. Raskite upės tėkmės greitį.

b) 3

2

4

23=

+−

y

x .

2. Išspręskite tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą

=−

=+

7

,93

yx

yx grafiškai.

3. Išspręskite lygčių sistemas:

a) ( )

=−

−−=+−

;22

,22323

yx

yxyyx

b)

=−

−=−

;144

,142 22

xy

yx

c) ( )( )

=−

=+−

.11

,9101

yx

yx

4. Nebraižydami grafikų, įrodykite, kad tiesės 2347 =+ yx ir 19108 =− yx susikerta

taške (3; 0,5). 5. Raskite k ir m reikšmes, jei žinoma, kad skaičių poros (2; 5), (10; 30) yra lygties

ymkx =+ sprendiniai. 6. Devintokams buvo nupirkta į teatrą 30 bilietų po 5 Lt ir po 6 Lt. Visi bilietai kainavo 162 Lt. Kiek buvo nupirkta bilietų po 5 Lt ir kiek po 6 Lt? 7. Broliui ir seseriai kartu dabar yra 36 metai. Prieš 3 metus brolis buvo du kartus jaunesnis už seserį. Kiek metų kiekvienam iš jų yra dabar? 8. Po kiek gramų reikia paimti 850 prabos ir 720 prabos sidabro, kad, juos sulydę, gautume 1300 g sidabro, kurio praba 800?

Kalba netaisyta

18

4. Modulis B-4 Funkcija. Funkcijų bkxy += , x

ky = , cbxaxy ++= 2 grafikai

4.1. Modulio B-4 Funkcija.Funkcijų bkxy += , x

ky= , cbxaxy ++= 2 grafikai mokinių pasiekimų vertinimo pavyzdys mokytojui




1. Žino nepriklausomo kintamojo, priklausomo kintamojo sąvokas. 2. Moka apibūdinti nepriklausomą kintamąjį, priklausomą kintamąjį. 3. Skiria grafiku pavaizduotą funkcinę priklausomybę nuo nefunkcinės. 4. Žino funkcijos reiškimo būdus: lentelės, žodžiai, formulės, grafikai. 5. Moka apskaičiuoti funkcijos reikšmę, kai žinoma argumento reikšmė. 6. Remdamasis funkcijos formule, patikrina, ar taškas priklauso tos funkcijos grafikui. 7. Paprasčiausiais atvejais iš grafiko randa funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritį. 8. Žino tiesinės ir kvadratinės funkcijos formulių išraiškas. 9. Žino tiesioginio proporcingumo, atvirkštinio proporcingumo, tiesinės ir kvadratinės funkcijos grafikų pavadinimus. 10. Moka užpildyti funkcijos reikšmių lentelę, kai nurodytos argumento reikšmės. 11. Paprastais atvejais moka nubrėžti tiesioginio ir atvirkštinio proporcingumo, tiesinės ir kvadratinės funkcijų grafikus, kai duotos reikšmių lentelės.

1. Moka apibūdinti argumento ir funkcijos reikšmės sąvokas, užrašyti jų žymenis. 2. Moka paaiškinti, kodėl grafiku pavaizduota dviejų dydžių priklausomybė yra funkcinė arba nefunkcinė. 3. Supranta užrašus y = f(x), f(2), f(x) = 2, (x; f(x)). 4. Moka paaiškinti, kaip apskaičiuoti argumento reikšmę, kai žinoma funkcijos reikšmė ir ją apskaičiuoja. 5. Moka paaiškinti, kaip patikrinti, ar taškas priklauso (nepriklauso) funkcijos grafikui ir patikrina. 6. Remdamasis funkcijos grafiku nustato funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritį, didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę. 7. Atpažįsta formule arba grafiku pavaizduotą tiesioginio proporcingumo, atvirkštinio proporcingumo, tiesinę, kvadratinę funkcijas. 8. Tikslingai pasirenka argumento reikšmes sudarydamas reikšmių lenteles, kuriomis naudosis

brėždamas funkcijų bkxy += , x

ky = ,

cbxaxy ++= 2 grafikus. 9. Supranta, kaip pavaizduoti ir pavaizduoja tiesioginio

1. Moka suformuluoti funkcijos apibrėžimą. 2. Paaiškina, kas sudaro funkcijos apibrėžimo sritį, kas − reikšmių sritį. 3. Sugalvoja funkcijų ir ne funkcijų pavyzdžių. Argumentuoja, kodėl pateiktas pavyzdys yra / nėra funkcija. 4. Paprastais atvejais iš grafiko, lentelės ar formulės nustato, kuris dydis yra priklausomas, kuris – nepriklausomas. 5. Iš grafiko moka užrašyti funkcijos didėjimo, mažėjimo, pastovumo intervalus. Moka paaiškinti, kodėl. 6. Iš grafiko moka užrašyti funkcijos teigiamų ir neigiamų reikšmių intervalus. 7. Atpažįsta lentele išreikštą tiesioginio proporcingumo, atvirkštinio proporcingumo, tiesinę, kvadratinę funkcijas. 8. Suformuluoja tiesioginio proporcingumo, atvirkštinio proporcingumo, tiesinės, kvadratinės funkcijų apibrėžtis. 9. Supranta ir argumentuoja, kiek taškų reikia

pasirinkti norint nubrėžti bkxy += , x

ky = ,

Kalba netaisyta

19

proporcingumo, atvirkštinio proporcingumo, tiesinės, kvadratinės funkcijų scheminius grafikus. 10. Remdamasis nubrėžtais grafikais nurodo lygčių f(x) = a, f(x) = g(x) sprendinius, kai f(x) ir g(x) yra tiesioginio proporcingumo, atvirkštinio proporcingumo, tiesinės, kvadratinės funkcijos, o a yra skaičius.

cbxaxy ++= 2 grafikus. 10. Supranta ir moka pasirinkti funkcijų

bkxxf +=)( , x

kxf =)( , cbxaxxf ++= 2)(

grafikų esminius taškus ir nubrėžti grafikus. 11. Moka grafiškai spręsti lygtis f(x) = a, f(x) = g(x), kai f(x) ir g(x) yra tiesioginio proporcingumo, atvirkštinio proporcingumo, tiesinės, kvadratinės funkcijos, o a yra skaičius.


1. Perskaito ir supranta įprasto konteksto sąlygas apie funkcijas. 2. Remdamasis nubrėžtu grafiku, atsako į pateiktus klausimus, išvardija funkcijos savybes. 3. Paprastais atvejais formule išreikštą tiesinę funkciją f(x) = kx + b ir kvadratinę funkciją f(x) = ax², f(x) = ax² + c sieja su grafiku. 4. Remdamiesi grafiku, žodžiais moka apibūdinti funkcijos kitimo pobūdį. 5. Pagal duotą reikšmių lentelę koordinačių plokštumoje atideda taškus ir nubrėžia grafikus. 6. Nubrėžtiems funkcijų grafikams priskiria pavadinimus.

1. Perskaito arba išklauso ir supranta nesudėtingą su žinomomis funkcijomis susijusią uždavinio sąlygą. 2. Tinkamai vartoja sąvokas: funkcija, funkcijos apibrėžimo sritis, funkcijos reikšmių sritis, funkcijos didžiausia reikšmė, funkcijos mažiausia reikšmė. Moka apibūdinti šias sąvokas. 3. Supranta ir moka paaiškinti su funkcijomis susijusių uždavinių pateiktus sprendimus. 4. Kvadratinę funkciją, išreikštą formulėmis

( )2)( mxaxf −= ; ( ) nmxaxf +−=2

)( , sieja su jos grafiku koordinačių plokštumoje. 5. Sieja funkcijos grafiką su jos pavadinimu.

1. Perskaito arba išklauso ir supranta bei paaiškina su žinomomis funkcijomis susijusį nesudėtingą matematinį tekstą arba uždavinio sąlygą. 2. Tinkamai vartoja visus su funkcijos sąvoka susijusius terminus ir žymenis. 3. Argumentuoja, kaip naudojantis funkcijos savybėmis galima atsakyti į uždavinio klausimą. 4. Naudodamasis funkcijos grafiku paaiškina uždavinio sprendimo idėją. 5. Moka paaiškinti lygčių f(x) = a, f(x) = g(x) grafinio sprendimo esmę, kai f(x) ir g(x) yra tiesioginio proporcingumo, atvirkštinio proporcingumo, tiesinės, kvadratines funkcijos, o a yra skaičius.


1. Mokytojui padedant, išsiaiškina, ar: a) moka paprastais atvejais nubrėžti tiesioginio ir atvirkštinio proporcingumo, tiesinės ir kvadratinės funkcijų grafikus, kai duotos reikšmių lentelės; b) supranta, kaip užpildyti reikšmių lentelę . 2. Mokytojui padedant, įvardija, ką moka padaryti gerai, ištaiso nurodytas klaidas. 3. Stengiasi išlaikyti dėmesį mokymosi užduočiai atlikti. 4. Iš dalies prisiima atsakomybę produktyviai mokytis.

1. Mokosi siedamas naują mokymosi medžiagą apie funkcijas su turimomis žiniomis apie dviejų dydžių tarpusavio priklausomybę. 2. Savarankiškai įvardija, ką jau moka atlikti gerai; taiso nurodytas klaidas. 3. Suformuluoja klausimus, kad įsitikintų ar pasitikslintų, ar: a) gerai supranta naują medžiagą apie funkcijas, jų savybes; b) gerai atliko užduotis, susijusias su funkcijos sąvoka; c) tikslingai pritaikė funkcijos

1. Prisiima atsakomybę mokytis produktyviai. 2 Savarankiškai randa reikalingą informaciją apie nagrinėjamas funkcijas įvairiuose informacijos šaltiniuose. 3. Moka sukaupti dėmesį atliekant užduotį. 4. Tvarko informaciją apie funkcijas: randa, suvokia, atrenka, sistemina, kritiškai vertina. 5. Naudoja mokomąsias kompiuterines programas (pavyzdžiui, GeoGebra) uždaviniams spręsti.

Kalba netaisyta

20

savybes spręsdami užduotį; d) žinios apie funkcijas yra teisingai suprastos. 4. Ieško informacijos apie funkcijas ir jų savybes nurodytuose informacijos šaltiniuose.


1. Atpažinęs žinomą kontekstą patikrina, ar taškas priklauso funkcijos grafikui. 2. Brėžia tiesioginio proporcingumo, atvirkštinio proporcingumo, tiesinės, kvadratinės funkcijos grafikus analogiškose situacijose. 3. Intuityviai numato galimą praktinės užduoties atsakymą, bet nepasiūlo, kaip tai galima patikrinti.

1. Įprasto konteksto užduotyse moka pritaikyti funkcijos savybes. 2. Paaiškina užduoties sprendimo eigą, savo samprotavimus dėl funkcijos savybių taikymo tikslingumo. 3. Kvadratinės funkcijos grafiką naudoja kaip iliustraciją uždavinio sprendimui pagrįsti.

1. Kelia hipotezes, kaip galima pritaikyti tiesinės ir kvadratinės funkcijos savybes sprendžiant žodinius uždavinius 2. Daro tikslias, loginiais samprotavimais pagrįstas išvadas apie uždavinio sprendimą taikant funkcijos savybes. 3. Išsamiai pristato uždavinio, paremto funkcijos savybių taikymu, sprendimą, jį argumentuoja pradinės sąlygos kontekste.

4.2. Modulio B-4 Funkcija. Funkcijų bkxy += ,x

ky= , cbxaxy ++= 2 grafikai pasiekimų vertinimo pavyzdys mokiniui


1. Sieti įvairius funkcijų reiškimo būdus, taikyti funkcijos savybes sprendžiant paprastus praktinio ir matematinio turinio uždavinius.

1. Perskaitykite lygybę ir nurodykite priklausomąjį ir nepriklausomąjį kintamąjį: a) y = 2x + 5; b) C(r) = 2πr. 2. Kurie grafikai vaizduoja funkcinę priklausomybę?

1. Grafikas vaizduoja funkcinę priklausomybę.

Remdamiesi grafiku, užrašykite: a) funkcijos apibrėžimo sritį ir reikšmių

1. Kurioje iš lentelių surašytos funkcijos reikšmės? Paaiškinkite. a)

x 1 2 3 4 5 6 52 y −3 −3 4,2 4,2 10,7 12,1 52

b) x 3 3 3 4 10 11 12 y 7 8 10 42 34 18 52

2. Kurios iš nurodytų priklausomybių yra funkcinės: a) kintamojo x reikšmėms priskiriamos joms priešingos reikšmės; b) kvadrato perimetras yra keturis kartus didesnis už kvadrato kraštinę;

Kalba netaisyta

21

3. Apskaičiuokite funkcijos f(x) = 2x – 8 reikšmes, kai x = {4; −2; 0,5}. 4. Patikrinkite, ar taškai A(2; 6), B(-1; -3),

sritį; b) grafiko susikirtimo su koordinačių ašimis koordinates; c) didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę; d) x reikšmę, su kuria y = 4; e) y reikšmę, su kuria x = − 3. 2. Viena stačiakampio kraštinė yra x, kita – 4 cm ilgesnė. a) Užrašykite stačiakampio perimetro P(x) ir ploto S(x) priklausomybę nuo kraštinės ilgio x. b) Raskite P(5); S(5). c) Su kuria x reikšme perimetro reikšmė lygi 36 cm? 3. Funkcija išreikšta formule f(x) = −5x + 6. Apskaičiuokite x reikšmę, su kuria f(x) = −14.

c) ėjimo į mokyklą trukmė ir nueito kelio ilgis, kai ėjimo greitis pastovus? 3. Nubrėžtas funkcijos grafikas:

Remdamiesi grafiku, nurodykite funkcijos: a) apibrėžimo sritį ir reikšmių sritį; b) didėjimo, mažėjimo, pastovumo intervalus; c) teigiamų ir neigiamų reikšmių intervalus; d) x reikšmes, su kuriomis funkcijos reikšmės lygios nuliui. 3.

Kuris grafikas tiksliausiai atspindi vandens lygio kitimą, jei vanduo pastoviu greičiu teka į pavaizduotą indą?

Kalba netaisyta

22

C(1,5; −4,5) priklauso funkcijos f(x) = 3x grafikui. 5. Remdamiesi grafiku nurodykite funkcijos apibrėžimo sritį ir reikšmių sritį.

2.Remtis tiesioginio ar atvirkščiojo proporcingumo, tiesinės, kvadratinės funkcijos modeliais bei savybėmis, proporcijos savybe aiškinantis paprastų įvairaus turinio uždavinių sprendimus.

1. Duota funkcija f(x) = 3x. Užpildykite reikšmių lentelę ir nubrėžkite funkcijos grafiką.

x −1 0 1 2 y

2. Kurie taškai nepriklauso funkcijos f(x) = 0,5x grafikui: A(1,5; 1,5), B(-2; -1), C(4; -2), D(6; 3)? 3. Užpildę reikšmių lentelę, nubrėžkite tiesinės funkcijos f(x) = 2x – 4 grafiką:

x 1 2 3 y

4. Atvirkštinio proporcingumo funkcija

išreikšta formule x

axf =)( , 0≠x . Raskite

atvirkštinio proporcingumo koeficientą ir, baigę pildyti reikšmių lentelę, nubrėžkite atvirkštinio proporcingumo grafiką.

1. Ar lentele išreikšta funkcija yra tiesioginio proporcingumo funkcija?

x −5 −2,5 2,5 5 y −2 −1 1 2

2. Nubrėžkite funkcijos f(x) = kx grafiką, jei žinoma, kad jam priklauso taškas A(2; 6). 3. Ar formule išreikšta priklausomybė yra tiesinė funkcija y = kx + b? Jei taip, parašykite koeficientų k ir b reikšmes: a) y = 3x + 4; b) y = 2,5 – x;

c) 2

1+=

xy ; d) 32−+=xy ;

e) 15+=

xy .

4. Tiesinę funkciją f(x) = x + 2 išreikškite lentele ir grafiku. 1) Nurodykite: a) koeficientų k ir b reikšmes;

1. Tiesioginio proporcingumo funkcija išreikšta lentele:

x 2 3 4 y 4 6 60

Raskite trūkstamas reikšmes. 2. Tiesė eina per koordinačių pradžios tašką ir per tašką A(−3; 12). Ar ši tiesė yra funkcijos f(x) grafikas: a) f(x) = 4x; b) f(x) = 2x; c) f(x) = −4x; d) f(x) = −2x? 3. Vienoje koordinačių plokštumoje nubrėžkite funkcijų f(x) = 0,5x, g(x) = −0,5x + 4, h(x) = 2x – 3 grafikus. Kokią įtaką šių tiesių padėčiai turi koeficientų k ir b reikšmės? 4. Žinodami, kad atvirkštinio proporcingumo grafikas turi eiti per tašką

5

41;

3

2A , išreikškite atvirkštinį

proporcingumą formule.

Kalba netaisyta

23

x −8 −4 −2 −1 1 2 4 8 y −1 1

5. Užrašykite kvadratinę funkciją

cbxaxy ++= 2 , kurios koeficientai būtų: a = 4, b = −3, c = 1. 6. Užpildykite reikšmių lentelę ir nubrėžkite grafikus:

x −3 −2 −1 0 1 2 3 x²

−x²

7. Užrašykite grafiškai pavaizduotų funkcijų pavadinimus ir jų grafikų pavadinimus:

A B

C D

b) taškų, kuriuose kertamos x ir y ašys, koordinates. 2) Kaip keičiasi funkcijos reikšmės priklausomai nuo argumento x reikšmių? 3) Su kuria nepriklausomo kintamojo reikšme funkcijos reikšmė lygi 1?

5. Nubrėžkite funkcijos x

xf2

)( −=

grafiką ir remdamiesi juo nurodykite kelias x reikšmes, su kuriomis y reikšmės būtų: a) didesnės už 0; b) mažesnės už −1. 6. Nurodykite kvadratinės funkcijos

2)( axxf = koeficiento a reikšmes:

a) 24)( xxf = ; b) 22,1)( xxf −= ;

c) 7

2)(

xxf = ; d)

3

10)(

2xxf −= .

7. Sudarykite reikšmių lentelę ir nubrėžkite funkcijos

2

2)(

xxf −= , kai x kinta nuo −4 iki 4.

8. Nubrėžkite funkcijos xxy 22 += grafiką. Remdamiesi grafiku palyginkite: a) f(−1) ir f(−2); b) f(−3) ir f(0). 9. Kurios iš užrašytų funkcijų grafikas yra parabolė; kurios − tiesė; kurios − hiperbolė:

a) ( ) xxf 2= ; b) x

xf5

)( = ;

c) 4

2)(

xxf = ?

5. Kuria lentele apibūdinama funkcija negali būti kvadratinė? Atsakymą pagrįskite. A

x −2 −1 0 1 2 y 4 1 0 −1 −4

B x −2 −1 0 1 2 y 4 1 0 −1 −4

6. Užrašykite grafikais pavaizduotų funkcijų apibrėžimo sritį ir reikšmių sritį:

A B

7. Nustatykite parabolės viršūnės taško koordinates:

a) ( ) 425 += xxf ;

b) 191222)( −+−= xxxf ;

c) xxxf 225,0)( −= .

8. Nubrėžkite funkcijos 862)( +−= xxxf grafiką. Nurodykite funkcijos: a) reikšmių didėjimo intervalą; b) reikšmių mažėjimo intervalą; c) mažiausią reikšmę; d) reikšmių sritį; e) apibrėžimo sritį; f) teigiamų reikšmių intervalus; g) neigiamų reikšmių intervalą.

Kalba netaisyta

24

9. Kuriuose koordinačių plokštumos ketvirčiuose yra šių funkcijų grafikai:

a) 62)( −= xxf ; b) 219)( xxf −= ;

c) ( ) 12 −−= xxf ; d) x

xf5

)( −= ;

e) ( ) xxf 45= .

3. Grafiniu būdu apytiksliai spręsti lygtis f(x) = a, f(x) = g(x), kurių f(x) ir g(x) yra tiesioginio, atvirkštinio proporcingumo, tiesinės, kvadratinės funkcijos, o a yra skaičius.

1. Duotos dvi tiesinės funkcijos ( ) 34 −= xxf ir ( ) 25,0 += xxg .

a) Vienoje koordinačių plokštumoje nubrėžkite funkcijų grafikus. b) Remdamiesi grafikais, raskite lygties 4x – 3 = 0,5x + 2 sprendinį. 2. Remdamiesi nubrėžtais grafikais, nustatykite, kiek sprendinių turi lygtis

xx

24 = .

Naudodami MKP GeoGebra atlikite šias užduotis. 1. Grafiškai raskite lygties sprendinių skaičių:

a) x

x3

24 =− ; b) x

x323 −=− ;

c) 022 =−x . 2. Grafiškai išspręskite lygtis:

a) x

62 = ; b) 1222 +=− xx ;

c) x

xx4

22 =− .

Kalba netaisyta

25

5. Modulis B-5 Nelygybės. Nelygybių sistemos

5.1. Modulio B-5 Nelygybės. Nelygybių sistemos mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui




1. Žino sąvokas: nelygybė, pirmojo laipsnio nelygybė su vienu nežinomuoju, kvadratinė nelygybė su vienu nežinomuoju, nelygybių sistema, nelygybės sprendinys, nelygybių sistemos sprendinys. 2. Žino pirmojo laipsnio nelygybės su vienu nežinomuoju, kvadratinės nelygybės su vienu nežinomuoju, dviejų nelygybių sistemos sprendimo algoritmus. 3. Moka spręsti paprastą pirmojo laipsnio, kvadratinę nelygybę su vienu nežinomuoju ir dviejų pirmojo laipsnio nelygybių su vienu nežinomuoju sistemą. 4. Pavaizduoja nelygybės ir nelygybių sistemos sprendinius skaičių tiesėje, užrašo juos intervalu. 5. Žino, kaip patikrinti, ar duotasis skaičius yra nelygybės, nelygybių sistemos sprendinys. 6. Pagal pateiktą brėžinį sprendžia x2 > (≥) a, x2 < (≤) a (a – sveikasis skaičius) pavidalo nelygybes.

1. Apibrėžia, kas yra nelygybės su vienu nežinomuoju ir nelygybių su vienu nežinomuoju sistemos sprendinys. 2. Paaiškina nelygybių sistemos sprendimo etapus. 3. Moka spręsti nesudėtingas pirmojo laipsnio nelygybes su vienu nežinomuoju ir jų sistemas. 4. Sprendžia paprastas kvadratines nelygybes algebriniu ir grafiniu būdu. 5. Sprendžia paprastas dvigubąsias nelygybes. 6. Paprastais atvejais nustato papildomas sąlygas tenkinančius nelygybės ar nelygybių sistemos su vienu nežinomuoju sprendinius. 7. Paprastą situaciją aprašo nelygybe (pvz., ieškant kintamojo reikšmių, su kuriomis reiškinys ar funkcija turi prasmę, yra didesni/mažesni už konkretų skaičių). 8. Savais žodžiais paaiškina nelygybių sprendimo algebriniu arba grafiniu būdu esmę. 9. Grafiniu būdu apytiksliai sprendžia nelygybes f(x) < a, f(x) > a, f(x) ≤ a, f(x) ≥ a, kur f(x) yra tiesioginio, tiesinė, kvadratinė funkcijos, o a yra skaičius.

1. Sudaro, pertvarko ir sprendžia nesudėtingas pirmojo laipsnio nelygybes su vienu nežinomuoju ir pirmojo laipsnio nelygybių su vienu nežinomuoju sistemas. 2. Sprendžia nesudėtingas kvadratines nelygybes su vienu nežinomuoju. 3. Sprendžia nesudėtingas dvigubąsias nelygybes. 4. Grafiniu būdu apytiksliai sprendžia nelygybes f(x) < a, f(x) > a, f(x) ≤ a, f(x) ≥ a, kur f(x) yra atvirkščiojo proporcingumo funkcija, o a yra skaičius.


1. Perskaito ir suvokia paprastą matematinį tekstą ir uždavinio sąlygą. 2. Teisingai naudoja nelygybės, nelygybių sistemos, skaičių intervalų žymėjimo ženklus. 3. Atpažįsta pirmojo laipsnio ir kvadratines nelygybes

1. Teisingai supranta aiškinamąjį vadovėlio tekstą, paprastų uždavinių sprendimo pavyzdžius. Supranta įvairiais būdais pateiktas uždavinių sąlygas. 2. Naudoja brėžinius arba schemas paprastų uždavinių sprendimams paaiškinti.

1. Teisingai vartoja visas su nelygybėmis ir jų sistemomis susijusias sąvokas. 2. Aiškiai ir nuosekliai pateikia uždavinių sprendimus. 3. Geba pristatyti atliktą užduotį. 4. Naudoja funkcijų grafikų braižymo kompiuterines

Kalba netaisyta

26

su vienu nežinomuoju. 4. Nelygybės sprendinius užrašo įvairiais būdais: nelygybe, skaičių intervalu, pavaizduoja skaičių tiesėje. 5. Teisingai skaito paprastas nelygybes, dvigubąsias nelygybes, skaičių intervalus. 6. Paprastais atvejais atlieka reiškinių tapačiuosius pertvarkius, pritaiko kvadratinio trinario skaidymo daugikliais formulę.

3. Nesudėtingais atvejais atlieka reiškinių tapačiuosius pertvarkymus, pritaiko formules. 4. Teisingai vartoja su nelygybėmis ir jų sistemomis susijusias sąvokas. 5. Užrašo uždavinio atsakymą, atitinkantį užduoties reikalavimus.

programas.


1. Dalyvauja mokymosi procese, tačiau mokosi tik mokytojo vadovaujamas, neplaningai ir nesistemingai. Kontroliuojamas atlieka tik privalomas užduotis. Priima draugų ir mokytojos pagalbą, bet trūksta gebėjimų dirbti savarankiškai. 2. Didesnę dalį užduočių atlieka tik pagal pavyzdžius.

1. Imasi spręsti standartiniais būdais suformuluotų užduočių. 2. Moka nelygybių ir jų sistemų sprendimo algoritmus. 3. Pasitiki savo jėgomis, mokosi planingai. Aktyviai dalyvauja mokymosi procese. Siekia gauti geresnį pažymį, įgyti daugiau žinių. Prašo mokytojo papildomų užduočių, jei mato, kad kažko dar gerai neįsisavino. 4. Vertina matematikos žinias ir gebėjimus, taiko juos mokydamasis kitų dalykų. Sieja anksčiau įgytas žinias ir gebėjimus naujai įgyjamų žinių ir gebėjimų kontekste.

1. Savarankiškai išmoksta vadovėlio medžiagą. 2. Imasi spręsti įvairiais būdais suformuluotas ir įvairaus sudėtingumo užduotis. 3. Planuoja mokymosi laiką. Prašo mokytojo papildomų užduočių. Vertina pamokos laiką. Realiai įsivertina pasiekimų lygį pagal mokytojo pateiktus vertinimo kriterijus. 4. Padeda mokytis kitiems. 5. Užduotis atlieka kūrybingai. 6. Vertina įgyjamas matematikos žinias ir gebėjimus, įžvelgia jų reikalingumą ir naudingumą.


1. Atsako į paprasčiausius tiesioginius klausimus. 2. Paprastais atvejais įvertina, kuri schema yra / nėra uždavinio sprendimo vaizdinė iliustracija. 3. Suvokia pagrindinius su nelygybėmis ir jų sistemomis susijusius simbolius. 4. Atpažįsta nelygybės rūšį. 5. Argumentuoja atsakymus į paprasčiausius klausimus. 6. Vienu būdu pateiktą matematinę informaciją perteikia kitu būdu. 7. Sprendžia paprasčiausius uždavinius, kuriuose remiasi žinomu algoritmu arba pavyzdžiu. 8. Paprasčiausiais atvejais iš dviejų dauginamųjų sandaugos ženklo nustato galimus dauginamųjų ženklų variantus.

1. Sukuria nesudėtingo uždavinio sąlygą atitinkantį modelį, pvz., spręsdamas kvadratinę nelygybę nubraižo parabolės eskizą. 2. Įžvelgia ryšius: nesudėtingais atvejais nustato nelygybės rūšį ir pasinaudoja atitinkamu sprendimo algoritmu. 3. Paprastais atvejais sudaro abstrakčius teiginius, kuriuos išanalizavęs daro išvadas (pvz., pagal kvadratinės lygties diskriminanto ir koeficiento a ženklus nustato parabolės padėtį OX ašies atžvilgiu). 4. Išanalizavęs pateiktus paprasčiausius abstrakčius teiginius, geba įvertinti, kuris iš jų teisingas / klaidingas. 5. Sprendžia nesudėtingus uždavinius, kuriuos sprendžiant derinami keli algoritmai.

1. Pritaiko matematinį modelį (funkciją) neįprastame kontekste; atranda ryšius tarp dviejų dyžių, sujungia kelias matematines idėjas; derina įvairias matematines procedūras siekdamas gauti rezultatus, derina kelių sričių gebėjimus. 2. Kelia ir tikrina paprastas hipotezes. 3. Nesudėtingais atvejais įrodo/argumentuoja/ pagrindžia savo samprotavimus, remdamasis nelygybių rūšių žinojimu ir sprendimo būdų supratimu, savo sukurtais brėžiniais (eskizais). 4. Probleminio uždavinio sprendimą iliustruoja kūrybiškai modeliuodamas situaciją (pvz., du dydžius palygina pagal jų skirtumą ar dalmenį; reiškinio reikšmę įvertina pastebėdamas, kad jis kito reiškinio kvadratas;

Kalba netaisyta

27

9. Paprasčiausiais atvejais sieja pateiktų nelygybės reiškinių grafikų taškų padėtį su nelygybės ženklu.

6. Pateikdamas uždavinio sprendimą ir atsakymą laikosi svarbiausių susitarimų, sprendimą argumentuoja. 7. Pasirenka tinkamą veiksmą, metodą, sprendimo būdą.

nelygybės sprendinius nustato nesinaudodamas nelygybės sprendimo algoritmu ir pan.). 5. Sprendžia nesudėtingus įvairaus turinio uždavinius, kuriuose derina kelių sričių gebėjimus. 6. Apibūdina ryšius tarp nagrinėjamų objektų. 7. Įvairiais būdais pateikia uždavinių įrodymo idėjas. 8. Uždavinių sprendimas išsamus, racionalus, nuoseklus, iš jo padaromos pagrįstos, logiškos išvados.

5.2. Modulio B-5 Nelygybės. Nelygybių sistemos mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokiniui


1. Spręsti pirmojo laipsnio nelygybes su vienu nežinomuoju ir jų sistemas, kvadratines nelygybes su vienu nežinomuoju.

1. Kuris skaičius skaičių tiesėje yra dešiniau: a) 2,3 ar 2,17; b) −3,12 ar −3,13;

c) 5

2 ar 9

4 ; d) 2

1− ar

4

3− ?

2. Perskaitykite nelygybes: a) x > 2; b) x ≤ 2; c) 3 < x < 8. 3. Pavaizduokite skaičių tiesėje šiuos intervalus: a) (−2; 3); b) (‒∞; 4); c) [−3; +∞). 4. Pavaizduokite skaičių tiesėje skaičius, tenkinančius nelygybę: a) x > 3; b) x ≤ 1; c) ‒2 < x ≤ 5. 5. Užrašykite intervalus, pavaizduotus paveiksle:

1. Kuris skaičius skaičių tiesėje yra dešiniau: a) 5,1 ar 5,(1); b) −4,5 ar −4;

c) 5

4 ar 6

5 ; d) 10− ar 11− ?

2. Išdėstykite skaičius didėjimo tvarka:

3,(3); −2,1; 7

2 ; −2,01; 3,3.

3. Perskaitykite nelygybę −2 < x ≤ 2,4. Pavaizduokite jos sprendinius skaičių tiesėje ir užrašykite intervalu. 4. 1) Užrašykite nelygybėmis teiginius: a) x ir 5 suma ne didesnė už 2; b) 7 ir x skirtumas ne mažesnis už 8. 2) Išspręskite gautas nelygybes. 5. Išspręskite nelygybes: a) 2(x+1) > 8 + 4x; b) –4(1,5x – 2) + 5x – 8 < 2x – 10;

c) 42

5>

37

xx− ;

d) (x + 5)(x ‒ 5) < (x – 3)² – 3;

1. Palyginkite skaičius, naudodami dalybos arba atimties veiksmą:

a) 1,4 ir 2 ; b) 17

4 ar 16

3 ;

c) 2 7 ar 2

14.

2. Skaičių tiesėje pažymėkite skaičius 2 ir

5. 3. Skaičių intervalą pažymėkite skaičių tiesėje ir užrašykite nelygybe: a) (−3; 2); b) [−2,4; 3); c) (1; +∞). 4. Išspręskite nelygybes: a) 3(x + 1)(x ‒ 1) + 4 < (3 – x) ² + x – 1;

b) 7462

11

3

23 −≥−−

xxx ;

c) –2,1(x – 3) 0,3(–7x + 2,1). 5. Raskite didžiausią sveikąjį nelygybių sistemos sprendinį:

Kalba netaisyta

28

6. Paaiškinkite, kodėl skaičius 2 yra nelygybės x + 2 > 3 sprendinys, o skaičius –2 nėra jos sprendinys. 7. Išspręskite nelygybes: a); x+3 < 4; b) −2x > 6; c) −3x+5 ≤ 2; d) 4x + 6 ≥ 6x + 6. 8. Išspręskite nelygybių sistemas:

a)

−

+

7;>12x

4,>3x b)

−−

≤

;9>3

,62

x

x

c)

≤−

−+

8.25x

3,>14x

9. Nustatykite sandaugos A·B ženklą, jei: a) A > 0 ir B > 0; b) A > 0 ir B < 0; c) A < 0 ir B > 0; d) A < 0 ir B < 0. 10. Turime dvi kvadratines nelygybes: (x − 2)(x + 3) < 0 ir (x − 2)(x + 3) > 0. Kurios nelygybės sprendinius rasime išsprendę nelygybių sistemas

+

−

0<3

0,>2

x

x arba

+

−

0>3

,0<2

x

x?

11. Išspręskite kvadratines nelygybes sudarydami nelygybių sistemas (algebriniu būdu): a) (x + 4)(x + 6) > 0; b) (x + 1)(x − 5) ≤ 0; c) x² ‒ 3² < 0.

e) 4(1 – x) + 2 > 7 – 4x. 6. Išspręskite dvigubąsias nelygybes: a) −3 < 2x − 1 < 5; b) 2,4 ≤ 3 ‒ x < 5,6. Raskite jų sveikuosius sprendinius. 7. Raskite x reikšmes, su kuriomis reiškinio 0,4x – 5 reikšmės priklauso intervalui (– 2; 4). 8. Išspręskite kvadratines nelygybes sudarydami nelygybių sistemas: a) (x – 2)(2x + 6) < 0; b) x² – 3x > 0; c) 2x² – 7x – 4 ≤ 0. 9. Apskaičiuokite nelygybės 19x + 7 – 6x² > 0 natūraliųjų sprendinių sumą ir sandaugą.

a)

+≤−

−−−

5;3x0,5)2(x

3,5x>)2(4 x

b)

≤+−

≥+−

1.6)(x3

12,3x

3,2,05

2x

x

6. Nustatykite, su kuriomis argumento reikšmėmis funkcijos f(x) = 2 – x reikšmės priklauso intervalui [3; 11]. 7. Išspręskite kvadratines nelygybes:

a) 04

452≤

−

++ xx; b) .0

342

3≥

−−

−

xx

8. Išspręskite nelygybę 3x² + 5x – 28 ≤ 0 ir raskite jos: a) neigiamuosius sprendinius; b) sveikųjų sprendinių modulių sumą.

9. Nustatykite reiškinio ( )( )51 +− xx

apibrėžimo sritį.

2. Grafiniu būdu apytiksliai spręsti nelygybes f(x) < a, f(x) >a, f(x) ≤ a, f(x) ≥ a, kur f(x) yra tiesioginio arba atvirkštinio proporcingumo, tiesinė, kvadratinė funkcijos, o a yra skaičius.

1. 1. Grafiniu būdu išspręskite šias nelygybes: a) 3x – 5 > 2x + 2; b) x² + x – 6 < x + 3; c) x² ≥ 2x + 1. 2. Schemiškai pavaizduokite parabolės

1. Grafiniu būdu išspręskite šias nelygybes:

a) 0>5

x; b) 0

5<

x;

c) 14≥−

x; d) .1

5≤−

x

2. Išspręskite nelygybes: a) (x + 1)² > 0;

Kalba netaisyta

29

a) Užrašykite x reikšmes, su kuriomis parabolės y = x² − 4 taškai ir tiesės y = −3 taškai turi tą pačią ordinatę (koordinatę y). Patikrinkite, ar užrašytos x reikšmės yra lygties x² − 4 = −3 sprendiniai. b) Užrašykite x reikšmių intervalą, kuriame parabolės y = x² − 4 taškai yra žemiau negu tiesės y = −3 taškai. Ar galima teigti, kad intervalu užrašyti skaičiai yra nelygybės x² − 4 < −3 sprendiniai? c) Užrašykite x reikšmių intervalus, kuriuose parabolės y = x² − 4 taškai yra aukščiau negu tiesės y = −3 taškai. Ar galima teigti, kad intervalu užrašyti skaičiai yra nelygybės x² − 4 > −3 sprendiniai? 2. a) Vienoje koordinačių plokštumoje nubraižykite parabolę y = x² ir tiesę y = 4x – 3; b) nustatykite grafikų susikirtimo taškų abscises (x reikšmes); c) remdamiesi brėžiniu, išspręskite lygtį x² = 4x – 3 ir nelygybes x² > 4x –3 ir x² < 4x – 3.

cbxaxy ++= 2 padėtį Ox ašies atžvilgiu pagal diskriminanto D ir koeficiento a reikšmes: a) D > 0, a > 0; b) D > 0, a < 0; c) D = 0, a > 0; d) D = 0, a < 0; e) D < 0, a > 0; f) D < 0, a < 0. 3. Grafiniu būdu išspręskite kvadratines nelygybes. a) x² – 5x + 6 > 0; b) x² + 2x + 3 > 0; c) x² + 2x + 1 > 0; d) –x² + 7x – 12 > 0; e) –x² + 6x − 9 > 0; f) –x² + 5x − 7 > 0.

b) (x + 1)² < 0; c) (x + 1)² ≥ 0; d) (x + 1)² ≤ 0.

Kalba netaisyta

30

6. Modulis B-6 Racionalieji reiškiniai ir jų pertvarkiai

6.1. Modulio B-6 Racionalieji reiškiniai ir jų pertvarkiai mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui




1. Paprastais atvejais nustato veiksmų tvarką skaitiniame reiškinyje ir apskaičiuoja reiškinio reikšmę. 2. Paprastais atvejais apskaičiuoja raidinio reiškinio reikšmę, kai žinoma kintamojo reikšmė. 3. Paprasčiausiais atvejais atlieka veiksmus su kvadratinėmis šaknimis. 4. Paprastais atvejais randa kintamojo reikšmes, su kuriomis reiškinys įgyja tam tikrą reikšmę arba reikšmių neįgyja. 5. Žino sąvokas „reiškinio apibrėžimo sritis“, „galimos kintamojo reikšmės“, „reiškinys turi prasmę“ („yra apibrėžtas“). 6. Paprasčiausiais atvejais nustato reiškinio apibrėžimo sritį. 7. Žino sąvokas „sveikasis reiškinys“, „racionalusis reiškinys“. 8. Pateikia reiškinių su vienu ar dviem kintamaisiais, vienanario, dvinario, trinario pavyzdžių. 9. Skiria pirmojo, antrojo laipsnio daugianarius. 10. Pertvarko paprastus raidinius reiškinius taikydamas sudėties ir daugybos perstatomumo ir jungiamumo dėsnius, atskliausdamas reiškinius ir (ar) sutraukdamas juose esančius panašiuosius narius. 11. Paprasčiausiais atvejais skaido daugianarius daugikliais taikydamas bendrojo daugiklio iškėlimą prieš skliaustus, greitosios daugybos formules. 12. Paprastais atvejais subendravardiklina dvi algebrines

1. Nesudėtingais atvejais nustato veiksmų tvarką skaitiniame reiškinyje ir apskaičiuoja reiškinio reikšmę. 2. Nesudėtingais atvejais apskaičiuoja raidinio reiškinio reikšmę, kai žinoma kintamojo reikšmė. 3. Paprastais atvejais atlieka veiksmus su kvadratinėmis šaknimis. 4. Nesudėtingais atvejais randa kintamojo reikšmes, su kuriomis reiškinys įgyja tam tikrą reikšmę arba reikšmių neįgyja. 5. Paaiškina sąvokas „reiškinio apibrėžimo sritis“, „galimos kintamojo reikšmės“, „reiškinys turi prasmę“ („yra apibrėžtas“). 6. Paprastais atvejais nustato reiškinio apibrėžimo sritį. 7. Paaiškina sąvokas „sveikasis reiškinys“, „racionalusis reiškinys“, žino sąvoką „algebrinė trupmena“. 8. Paaiškina, ką vadiname daugianario su vienu kintamuoju laipsniu. Paprastais atvejais nustato daugianario su vienu kintamuoju laipsnį. 9. Nesudėtingais atvejais skaido daugianarius daugikliais taikydamas kvadratinio trinario skaidymo tiesiniais daugikliais formulę, grupavimą. 10. Nesudėtingais atvejais subendravardiklina dvi algebrines trupmenas. 11. Nesudėtingais atvejais atlieka racionaliųjų reiškinių sudėtį, atimtį, daugybą, dalybą, kėlimą sveikuoju laipsniu. 12. Nesudėtingas situacijas aprašo antrojo laipsnio

1. Nesudėtingais atvejais apskaičiuoja reiškinio reikšmę. 2. Nesudėtingais atvejais atlieka veiksmus su kvadratinėmis šaknimis. 3. Nesudėtingais atvejais nustato reiškinio apibrėžimo sritį. 4. Nesudėtingais atvejais skaido daugianarius daugikliais taikant grupavimą. 5. Subendravardiklina daugiau negu dvi algebrines trupmenas. 6. Nesudėtingais atvejais atlieka racionaliųjų reiškinių sudėtį, atimtį, daugybą, dalybą, kėlimą sveikuoju laipsniu. 7. Nesudėtingas situacijas aprašo racionaliaisiais reiškiniais.

Kalba netaisyta

31

trupmenas. 13. Žino laipsnio su sveikuoju rodikliu apibrėžimą ir savybes. 14. Paprastais atvejais atlieka racionaliųjų reiškinių sudėtį, atimtį, daugybą, dalybą, kėlimą sveikuoju laipsniu. 15. Paprastais atvejais suprastina algebrines trupmenas. 16. Paprastas situacijas aprašo pirmojo laipsnio daugianariais, antrojo laipsnio daugianariais, suvedamais į kvadratinį trinarį.

daugianariais, suvedamais į kvadratinį trinarį, algebriniais trupmeniniais reiškiniais.


1. Perskaito ir suvokia paprastą matematinį tekstą ir uždavinio sąlygą. 2. Teisingai užrašo skaitinius ir raidinius reiškinius, jų veiksmus. 3. Sudarydamas raidinį reiškinį, užrašo, kokį dydį pažymi kokia raide. 4. Skiria sveikuosius ir racionaliuosius reiškinius. 5. Naudojasi skaičiuotuvu. 6. Užrašo uždavinio atsakymą, atitinkantį užduoties reikalavimus.

1. Teisingai supranta aiškinamąjį vadovėlio tekstą, paprastų uždavinių sprendimo pavyzdžius, įvairiais būdais pateiktas uždavinių sąlygas. 2. Įvairiais būdais pateikia uždavinių sprendimus taip, kad kiti galėtų juos suprasti. 3. Naudoja brėžinius, schemas, lenteles uždavinių raidinių reiškinių sudarymui paaiškinti. 4. Argumentuoja raidinių reiškinių sudarymą. 5. Kalba ir rašo taisyklingai.

1. Perskaito, supranta bei interpretuoja nesudėtingą matematinį tekstą ar uždavinio sąlygą. 2. Svarsto, koks uždavinio sprendimas ir atsakymas, vieno ar kito teiginio argumentavimas (pagrindimas) bei jų užrašymo būdai laikomi tinkamais. 3. Tikslingai naudoja su reiškinių pertvarkiais susijusius matematinius simbolius. 4. Argumentuoja nesudėtingų uždavinių sprendimus. 5. Aiškiai ir nuosekliai pateikia sprendimo eigą. 6. Geba pristatyti atliktą užduotį.


1. Dalyvauja mokymosi procese, tačiau mokosi tik mokytojo vadovaujamas, neplaningai ir nesistemingai. Priima draugų ir mokytojo pagalbą, bet trūksta gebėjimų dirbti savarankiškai. 2. Imasi spręsti paprastas įprasto konteksto užduotis. 3. Pateikia reiškinių reikšmių skaičiavimo ir pertvarkių pritaikymo kituose mokomuosiuose dalykuose pavyzdžių.

1. Imasi spręsti nesudėtingų standartiniais būdais suformuluotų užduočių. 2. Pasitiki savo jėgomis, mokosi planingai. Aktyviai dalyvauja mokymosi procese. Siekia gauti geresnį pažymį, įgyti daugiau žinių. Prašo mokytojo papildomų užduočių, jei mato, kad kažko dar gerai neįsisavino. 3. Vertina matematikos žinias ir gebėjimus, taiko juos mokydamasis kitų dalykų. 4. Sieja anksčiau įgytas žinias ir gebėjimus naujai įgyjamų žinių ir gebėjimų kontekste.

1. Imasi spręsti įvairiais būdais suformuluotas nestandartines užduotis. 2. Planuoja mokymosi laiką. Vertina pamokos laiką. Prašo mokytojo papildomų užduočių. Tikrinasi atliktą darbą. 3. Realiai įsivertina pasiekimų lygį pagal mokytojo pateiktus vertinimo kriterijus. 4. Padeda mokytis kitiems. 5. Užduotis atlieka kūrybingai. 6. Vertina įgyjamas matematikos žinias ir gebėjimus, įžvelgia jų reikalingumą ir naudingumą.


1. Atsako į paprasčiausius tiesioginius klausimus. 1. Sprendžia paprastus nestandartinius įvairaus turinio 1. Nesudėtingais atvejais pritaiko matematinį modelį

Kalba netaisyta

32

2. Suvokia pagrindinius su racionaliaisiais reiškiniais ir veiksmais juose susijusius simbolius. 3. Paprastais atvejais vienu būdu pateiktą matematinę informaciją perteikia kitu būdu (pvz., situaciją aprašo raidiniu reiškiniu). 4. Argumentuoja atsakymus į paprasčiausius klausimus. 5. Sprendžia paprasčiausius uždavinius, kai norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus būtina susieti su uždavinio sąlyga. 6. Paprastais atvejais patikrina, ar gautas sprendinys tenkina uždavinio sąlygą.

uždavinius: neįprasto konteksto; kai reikia pasirinkti racionalų sprendimo būdą; kai uždavinio sąlygoje nepateikta informacija apie nežinomo dydžio galimas reikšmes. 2. Nesudėtingais atvejais vienu būdu pateiktą matematinę informaciją perteikia kitu būdu, sudaro realią situaciją aprašančius abstrakčius teiginius, sukuria uždavinio sąlygą atitinkantį modelį (pvz., raidinį reiškinį judėjimo, darbo uždaviniuose). 3. Nesudėtingais atvejais įžvelgia ryšius: pastebi dydžių priklausomybes, jomis remiantis pasinaudoja atitinkamais sprendimo algoritmais, sudaro reiškinį, nustato reiškinio rūšį. 4. Paprastais atvejais analizuoja realią situaciją ir ją aprašo abstrakčiais teiginiais. 5. Sprendžia nesudėtingus uždavinius, kuriuose derinami keli algoritmai ar kelių matematikos sričių gebėjimai. 6. Pateikdamas uždavinio sprendimą ir atsakymą laikosi svarbiausių susitarimų, sprendimą argumentuoja. 7. Nesudėtingais atvejais pasirenka tinkamą veiksmą, metodą, sprendimo būdą.

(racionalų reiškinį) nepažįstamame kontekste; atranda ryšius tarp dviejų dyžių, sujungia kelias matematines idėjas; derina įvairias matematines procedūras siekdamas gauti rezultatus, derina kelių sričių gebėjimus. 2. Kelia ir tikrina paprastas hipotezes. 3. Nesudėtingais atvejais įrodo/ argumentuoja/ pagrindžia savo samprotavimus, remdamasis matematikos ir kitų mokomųjų dalykų žiniomis, savo sukurtais modeliais. 4. Apibūdina ryšius tarp nagrinėjamų objektų. 5. Įvairiais būdais pateikia uždavinių įrodymo idėjas. 6. Uždavinių sprendimas išsamus, racionalus, nuoseklus, iš jo padaromos pagrįstos, logiškos išvados.

6.2. Modulio B-6 Racionalieji reiškiniai ir jų pertvarkiai mokini ų pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdžiai mokiniui


1.Skaičiuotuvu ir be jo apskaičiuoti nesudėtingų sveikųjų ir racionaliųjų reiškinių skaitines reikšmes ir įvairių dydžių reikšmes pagal nurodytą formulę. Rasti kintamųjų reikšmes, su kuriomis reiškinys įgyja tam

1. Nustatykite veiksmų tvarką ir apskaičiuokite skaitinio reiškinio reikšmę:

a)

−+

6

52

3

14

4

32 ; b)

( ) ( )310

82

3

+−

−+−;

c) ( ) ( )252

1132 −⋅−−⋅− ;

1. Apskaičiuokite skaitinio reiškinio reikšmę:

a) 5

21:

5

32

7

23

3

12 +⋅ ;

b) ( )02552

3

12

2

7

3−⋅−+

−

;

1. Apskaičiuokite:

a)

6

1

5

111

41

2

5

31

3

12

−

⋅−

; b) 2,(3) + 5,6 · 3,(6);

Kalba netaisyta

33

tikras reikšmes arba jų neįgyja. d)

5

21:

5

3

7

21

3

12 −⋅ .

2. Raskite duotojo reiškinio reikšmę: a) 2a + 3, kai a = 2; b) –7x – x², kai x = –2;

c) 5

43

+−

+

y

x, kai x = –1, y = 3.

3. Su kuria kintamojo reikšme trupmenos:

a) 3

62 +x reikšmė lygi 0;

b) 10

27 x− reikšmė lygi 4?

4. Kurie iš reiškinių 2

x ; x

2 ; 4,5x – 7x²;

7

5

3

2+x ;

9

312 −x ; x

x

+

−

1

53 yra sveikieji,

kurie – racionalieji? 5. Paaiškinkite, ką reiškia teiginys „Raidinis reiškinys turi prasmę, kai x ≠ 0“. 6. Su kuriomis x reikšmėmis turi prasmę duotieji reiškiniai ir su kuriomis neturi prasmės?

a) x

6 ; b) 2

3

−

+

x

x ; c) 4−x .

c) ( ) 232

5 −− ;

d) ( )23:2

3

23412 −−⋅

;

e) ( ) 203521477

1+− .

2. Apskaičiuokite reiškinio 1213

+

−

m

m

reikšmę, kai m = 3

2 ; –0,1; 5.

3. Paaiškinkite, kas yra raidinio reiškinio kintamojo galimos reikšmės ir apibrėžimo sritis. 4. Nustatykite reiškinių kintamojo x galimas reikšmes:

a) x

x

x

x

++

−−

−

826

3

4 ; b) 42

5

−x

x;

c) 42

5

+x

x; d)

1

3

−

−

x

x;

e) xx −++ 582 . 5. Su kuriomis kintamojo reikšmėmis trupmenos reikšmė lygi 0?

a) ( )8

1−xx ; b) ( )( )4

42

+

+−

x

xx ;

c) 3

52 −x; d)

15

110225

−

+−

x

xx.

c) 133527

79153

−

+;

d) ( )( )321321 −+++ ;

e) ( )4

325,0

1

7

333,0 ⋅−−+−

+−

.

2. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę dviem būdais: a) 2a² – 0,5a. kai a = 1,25;

b) aa3

12 − , kai 3

12=a .

3. Apskaičiuokite reiškinio x² + 2x reikšmę, kai 12 −=x . 4. Nustatykite reiškinio apibrėžimo sritį:

a) 42 −x ; b) x

x

−

+

6

52;

c) 83

5,032

−

++−

x

xx .

5. Įrodykite, kad su kiekviena kintamojo reikšme trupmenos:

a) 12

4

+x reikšmė yra teigiama;

b) 3

22

−

+x reikšmė yra neigiama;

c) ( )

12

23

+

−

x

x reikšmė yra neneigiama;

d) ( )

12

25

−−

−

x

x reikšmė yra neteigiama.

2. Paprastas praktines ir teorines situacijas aprašyti

1. Kelionėje iš vieno miesto į kitą automobilis sugaišo 5 valandas. Pirmąsias 3

1. Kvadrato, kurio kraštinė lygi a, vienos poros priešingas kraštines

1. 1) Perskaitykite teiginius A, B ir C: A Sveikuoju reiškiniu vadiname reiškinį,

Kalba netaisyta

34

pirmojo laipsnio daugianariais, antrojo laipsnio daugianariais, suvedamais į kvadratinį trinarį, algebriniais trupmeniniais reiškiniais.

valandas automobilis važiavo x km/h greičiu, o likusį laiką – 20 km/h didesniu greičiu. Sudarykite raidinį reiškinį atstumui tarp miestų apskaičiuoti. 2. Tėvas su sūnumi, dirbdami kartu, iškasa sniegą iš namo kiemo per x valandų. Kurią sniego dalį jie iškasa per vieną valandą? Per 3 valandas?

sutrumpino 1 cm, o kitos – pailgino 4 cm. Sudarykite reiškinius gauto stačiakampio perimetrui ir plotui apskaičiuoti. 2. Mama gėlyną nuravi per x valandų, dukra sugaišta 2 valandomis daugiau. Kurią gėlyno dalį nuravėtų mama ir dukra, kartu dirbdamos 1 valandą? 3 valandas?

kuriame nėra dalybos iš reiškinio su kintamuoju. B Racionaliaisiais reiškiniais vadinami skaitiniai ir raidiniai reiškiniai, kuriuose naudojami sudėties, atimties, daugybos, dalybos ir kėlimo sveikuoju laipsniu veiksmai. C Algebrine trupmena vadinamas reiškinys,

užrašytas trupmena b

a , kur a ir b yra

sveikieji reiškiniai. 2) Nustatykite, kurie iš reiškinių yra sveikieji reiškiniai, kurie – racionalieji ir kurie – algebrinės trupmenos:

a) 2x²y – 3xy²; b) 14²; c) 14 ; d) 3

12 ;

e) (x + 5) : 4; f) (x + 5) : (x + 4);

g) 4

5

−

+

x

x ; h) b

aa + ; g)

7

5 .

2. Sudarykite raidinį reiškinį ir įrodykite, kad trijų iš eilės einančių natūraliųjų skaičių suma dalijasi iš 3 be liekanos.

3.Pertvarkant paprastus raidinius reiškinius taikyti sudėties ir daugybos perstatomumo ir jungiamumo dėsnius. Atskliausti reiškinius ir (ar) sutraukti juose esančius panašiuosius narius. Paprasčiausiais atvejais skaidyti daugianarius daugikliais. Pertvarkant algebrinius reiškinius taikyti veiksmų su laipsniais, kurių rodiklis sveikasis, savybes, veiksmų su kvadratinėmis šaknimis

1. Pertvarkykite reiškinius taip, kad gautumėte daugianarius:

a) ( )13225 −− xxx ;

b) ( )2238 −−−− xxx ; c) (3b – 2)(b² −4b – 5); d) (3b – 2) (3b + 2); e) (3b – 2)²; f)(2b + 3)(b – 2) + 6(1 – b). 2. Išskaidykite dauginamaisiais: a) 9ab + 3cd – 21; b) x³y − xy³; c) x² − 81; d) x² + 18x + 81.

1. Pakeiskite daugianariu: a) (3b – 2a)(2a + 3b) – 3a²; b) (3y + 4z)² − 8z(3y – 2z); c) (a – 2)² + (1 – a)(a + 1) + 5a; d) (−3x − 4y)² − (2x − 7y)(4x + 2y);

e) 2

12

4

3 −+

xx ;

f) (2a +1)³. 2. Išreikškite sandauga: a) 12x³ − 3x²y – 18xy²; b) x³ + x² + 2x + 2; c) 8ab – 14a – 12b + 21; d) 4b² − 0,01; e) 9a² − 12ab + 4b²;

1. Įrodykite, kad lygybė

( )( )1212124 +−++=++ aaaaaa yra teisinga su bet kuria a reikšme. 2. Suprastinkite:

a) ( )

124

221

−

−

x

x; b)

( )92

23

−

−−

a

a;

c) ( )

( )( )23

23

++

++

xx

xx;

d) 924

30202332

−

+++

a

aaa .

3. Parodykite, kad reiškinio

Kalba netaisyta

35

savybes, veiksmų su trupmeniniais reiškiniais savybes.

3. Suprastinkite trupmenas:

a) b

a

77

99 ; b) xz

xy

45

405 ; c) yx

yx

535

2328;

d) ( )

( )( )55

52

+−

+

aa

a; e)

( )7

27

−−

x

x;

f) 2)7(7

−−

x

x; g)

)34(173417

++

a

a; h)

3

92

+

−

x

x;

i) ( )

252

25

−+

a

a.


a) 2

12+

x; b)

x

x

4

5

4

3− ; c)

2

56

bb+ ;

d) 2

13

+−

xx; e)

3

32

x

x

x

−− ;

f)

2

3

2

c

ba ; g) 4

2

2−

x

y;

h) 3366

512

x

y

y

x⋅ ; i)

8

215:

6

5 xx;

j) 36

:12

2 ab

b

a; k) 4

523

−−xx

;

l) 12

812−

−+

xx.

f) x² − x − 42; g) 3y² − 13y − 10. 3. Suprastinkite trupmenas:

a) abb

aba

1228

10215

−

−; b)

567

2452

−

−−

y

yy ;

c) 292225

22259029

xy

yxyx

−

++.


a) b

b

b

b

10

34

5

23 +−

+ ; b) ( )

bba

a+

−

2

2;

c) x

x

x

x

33

47

22

35

−

+−

−

+ ;

d) 4222

44242

−

−+

++

+

x

xx

xx

x;

e) )

−

+− 26

12

6 x

x

x

x; f)

3

3

22

−

cz

ba ;

g) 2

325

5

2

xy

ba

ab

yx⋅ ; h)

25

9:

310

3

aa

x;

i) ( )8442

8−⋅

−

+x

x

x ; j) 9

2

23 bab

b

a +⋅ ;

k) ( )xx

x8:

3

622−

+; l) x

x

x8:

3

622 +;

m) y

xyx

xy

yx

3

22:

242 −− ;

( ) 22

22

21223

2)32(1

−

+⋅

−−

−−

x

x

x

x reikšmė nepriklauso

nuo kintamojo reikšmių. 4. Sudarykite reiškinį ir įrodykite, kad dviejų skirtingų nelygių nuliui skaičių sandauga, padauginta iš tiems skaičiams atvirkštinių skaičių sumos, yra lygi tų skaičių sumai. 5. Atlikite veiksmus:

a) ( )

b

cbc

2

2+− ; b)

aa

a

a

aa

52

92:

252

32

+

−

−

−;

c)

x

x1

1

11

+

−; d)

−+⋅

−

−

x

xx

x

x

23

2;

e) 236

2

6

3

6 a

a

aa

a

−+

+−

−;

f)

2

159

1

233

2−

−−

−

−

ba

ba.

Kalba netaisyta

36

n)

+−

xyxy

x 11:

12

;

o) ( )3

24

323425,0

−−⋅−−

y

xyx .

Kalba netaisyta

37

7. Modulis B-7 Racionaliosios lygtys. Lygčių sistemos, kurių viena lygtis netiesinė

7.1. Modulio B-7 Racionaliosios lygtys. Lygčių sistemos, kurių viena lygtis netiesinė mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui




1. Žino racionaliosios lygties ir jos sprendinio, lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos sprendinio sąvokas. 2. Atpažįsta racionaliąją lygtį ir lygčių sistemą, kurios viena lygtis netiesinė. 3. Moka paaiškinti trupmenos lygumo nuliui sąlygą. 4. Sprendžia paprastą racionaliąją lygtį su vienu nežinomuoju, remdamasis trupmenos lygumo nuliui sąlyga. 5. Patikrina, ar skaičius yra racionaliosios lygties su vienu nežinomuoju sprendinys. 6. Paprastais atvejais išreiškia tiesinės lygties su dviem nežinomaisiais vieną nežinomąjį kitu. 7. Patikrina, ar skaičių pora yra lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos, kurios viena lygtis netiesinė, sprendinys. 8. Sprendžia paprastą dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą, kurios viena lygtis netiesinė. 9. Užrašo racionaliosios lygties ir lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos sprendinį. 10. Sprendžia paprastus realaus turinio uždavinius sudarydamas racionaliąsias lygtis. 11. Paprastas situacijas aprašo dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistema, kurios viena lygtis netiesinė. 12. Atrenka uždavinio sąlygą tenkinančius uždavinio sprendinius.

1. Apibrėžia racionaliosios lygties ir jos sprendinio sąvokas. 2. Paaiškina racionaliosios lygties sprendimo algoritmą. 3. Paprastais atvejais nustato racionaliosios lygties apibrėžimo sritį. 4. Sprendžia nesudėtingas racionaliąsias lygtis. 5. Sprendžia nesudėtingus įvairaus konteksto uždavinius sudarydamas racionaliąsias lygtis. 6. Paaiškina dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos, kurios viena lygtis netiesinė, sprendimo algoritmą. 7. Sprendžia nesudėtingą dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą, kurios viena lygtis netiesinė. 8. Nesudėtingas situacijas aprašo dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistema, kurios viena lygtis netiesinė. 9. Gautus lygties ar lygčių sistemos sprendinius susieja su uždavinyje aprašyta situacija.

1. Sprendžia nesudėtingus įvairaus konteksto uždavinius sudarydamas racionaliąsias lygtis. 2. Sprendžia nesudėtingas lygčių su dviem nežinomaisiais sistemas, kurių viena lygtis pirmojo laipsnio, o kita – racionalioji. 3. Nesudėtingas situacijas aprašo lygčių su dviem nežinomaisiais sistema, kurios viena lygtis pirmojo laipsnio, o kita – ne aukštesnio kaip antrojo laipsnio arba racionalioji. 4. Pasiūlo kelis užduoties sprendimo būdus ir argumentuotai pasirenka vieną iš jų. 5. Numato galimą rezultatą ir pasiūlo, kaip jį galima būtų patikrinti.


Kalba netaisyta

38

1. Perskaito ir suvokia paprastą matematinį tekstą ir uždavinio sąlygą. 2. Teisingai naudoja lygties ar lygčių sistemos užrašymo ženklus. 3. Sudarydamas lygtį ar lygčių sistemą, užrašo, kokį dydį pažymi kokia raide, kokie to dydžio matavimo vienetai. 4. Atskiria tiesines, kvadratines ir racionaliąsias lygtis, dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemas, kurių viena lygtis netiesinė. 5. Naudojasi skaičiuotuvu. 6. Užrašo uždavinio atsakymą, atitinkantį užduoties reikalavimus.

1. Teisingai supranta aiškinamąjį vadovėlio tekstą, paprastų uždavinių sprendimo pavyzdžius, įvairiais būdais pateiktas uždavinių sąlygas. 2. Įvairiais būdais pateikia uždavinių sprendimus taip, kad kiti galėtų juos suprasti. 3. Naudoja brėžinius, schemas, lenteles uždavinių sprendimams paaiškinti. 4. Argumentuoja uždavinio sprendimui reikalingų raidinių reiškinių sudarymą. 5. Argumentuoja uždavinio sąlygą ar sprendimą tenkinančių sprendinių atrinkimą. 6. Kalba ir rašo taisyklingai.

1. Perskaito, supranta bei interpretuoja nesudėtingą matematinį tekstą ar uždavinio sąlygą. 2. Svarsto, koks uždavinio sprendimas ir atsakymas, vieno ar kito teiginio argumentavimas (pagrindimas) bei jų užrašymo būdai laikomi tinkamais. 3. Tikslingai naudoja su lygtimis ir jų sistemomis susijusius matematinius simbolius. 4. Argumentuoja nesudėtingų uždavinių sprendimus. 5. Aiškiai ir nuosekliai pateikia sprendimo eigą. 6. Geba pristatyti atliktą užduotį.


1. Dalyvauja mokymosi procese, tačiau mokosi tik mokytojo vadovaujamas, neplaningai ir nesistemingai. Priima draugų ir mokytojos pagalbą, bet trūksta gebėjimų dirbti savarankiškai. 2. Imasi spręsti paprastas įprasto konteksto užduotis. 3. Pateikia lygčių ir jų sistemų teorijos pritaikymo kituose mokomuosiuose dalykuose pavyzdžių.

1. Imasi spręsti nesudėtingas standartiniais būdais suformuluotas užduotis. 2. Pasitiki savo jėgomis, mokosi planingai. Aktyviai dalyvauja mokymosi procese. Siekia gauti geresnį pažymį, įgyti daugiau žinių. Prašo mokytojo papildomų užduočių, jei mato, kad kažko dar gerai neįsisavino. 3. Vertina matematikos žinias ir gebėjimus, taiko juos mokydamasis kitų dalykų. 4. Sieja anksčiau įgytas žinias ir gebėjimus naujai įgyjamų žinių ir gebėjimų kontekste.

1. Imasi spręsti įvairiais būdais suformuluotas nestandartines užduotis. 2. Planuoja mokymosi laiką. Vertina pamokos laiką. Prašo mokytojo papildomų užduočių. Tikrinasi atliktą darbą. Realiai įsivertina pasiekimų lygį pagal mokytojo pateiktus vertinimo kriterijus. 3. Padeda mokytis kitiems. 4. Užduotis atlieka kūrybingai. 5. Vertina įgyjamas matematikos žinias ir gebėjimus, įžvelgia jų reikalingumą ir naudingumą.


1. Atsako į paprasčiausius tiesioginius klausimus. 2. Suvokia pagrindinius su lygtimis, nelygybėmis ir jų sistemomis susijusius simbolius. 3. Paprastais atvejais vienu būdu pateiktą matematinę informaciją perteikia kitu būdu − situaciją aprašo raidiniu reiškiniu, lygtimi ar lygčių sistema. 4. Argumentuoja atsakymus į paprasčiausius klausimus. 5. Sprendžia paprasčiausius uždavinius, kai norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus būtina susieti su uždavinio sąlyga.

1. Sprendžia paprastus nestandartinius įvairaus turinio uždavinius: neįprasto konteksto; kai reikia pasirinkti racionalų sprendimo būdą; kai uždavinio sąlygoje nepateikta informacija apie nežinomo dydžio galimas reikšmes; kai norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus būtina įvertinti pradinės uždavinio sąlygos kontekste. 2. Nesudėtingais atvejais vienu būdu pateiktą matematinę informaciją perteikia kitu būdu, sudaro realią situaciją aprašančius abstrakčius teiginius, sukuria

1. Nesudėtingais atvejais pritaiko matematinį modelį (lygtį ar lygčių sistemą) nepažįstamame kontekste; atranda ryšius tarp dviejų dydžių, sujungia kelias matematines idėjas; derina įvairias matematines procedūras siekdamas gauti rezultatus, derina kelių sričių gebėjimus. 2. Kelia ir tikrina paprastas hipotezes. 3. Nesudėtingais atvejais įrodo/argumentuoja/ pagrindžia savo samprotavimus, remdamasis matematikos ir kitų mokomųjų dalykų žiniomis, savo

Kalba netaisyta

39

Paprastais atvejais patikrina, ar gautas sprendinys tenkina uždavinio sąlygą.

uždavinio sąlygą atitinkantį modelį, pvz., lygtį ar lygčių sistemą. 3. Nesudėtingais atvejais įžvelgia ryšius: pastebi dydžių priklausomybes, jomis remdamasis sudaro lygtį ar lygčių sistemą, nustato lygties ar lygčių sistemos rūšį ir pasinaudoja atitinkamais sprendimo algoritmais. 4. Paprastais atvejais analizuoja realią situaciją aprašančius abstrakčius teiginius ir daro išvadas. 5. Sprendžia nesudėtingus uždavinius, kuriuose derinami keli algoritmai ar kelių matematikos sričių gebėjimai. 6. Pateikdamas uždavinio sprendimą ir atsakymą laikosi svarbiausių susitarimų, sprendimą argumentuoja. 7. Nesudėtingais atvejais pasirenka tinkamą veiksmą, metodą, sprendimo būdą.

sukurtais modeliais. 4. Apibūdina ryšius tarp nagrinėjamų objektų. 5. Įvairiais būdais pateikia uždavinių įrodymo idėjas. 6. Uždavinių sprendimas išsamus, racionalus, nuoseklus, iš jo padaromos pagrįstos, logiškos išvados.

7.2. Modulio B-7 Racionaliosios lygtys. Lygčių sistemos, kurių viena lygtis netiesinė mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdžiai mokiniui


1. Paprastas praktines ir teorines situacijas aprašyti pirmojo laipsnio daugianariais, antrojo laipsnio daugianariais, suvedamais į kvadratinį trinarį, algebriniais racionaliaisiais reiškiniais.

1. Komersantas nepaklausios prekės kainą x sumažino 20 %, o tada aukcione ją pardavė 20 % brangiau. Užrašykite raidinį reiškinį prekės pardavimo kainai rasti. 2. Motorinės valties greitis x km/h. Ji plaukia upe, kurios tėkmės greitis 2 km/h, 10 km pirmyn ir 10 km atgal. Sudarykite reiškinį kelionėje sugaištam laikui apskaičiuoti.

3. Žinodami, kad 5=y

x, raskite reiškinio

x

y reikšmę.

1. Automobilis išvyko į miestą, esantį už 100 km. Pirmąją kelio pusę jis važiavo v km/h greičiu, o antrąją 10 km/h didesniu greičiu. Sudarykite reiškinį automobilio kelionės laikui apskaičiuoti. 2. Laikrodis rodė a valandų, kai turistai išėjo iš Varėnos. Kai jie pasiekė Druskininkus buvo b valandų. Kitą rytą jie iškeliavo į Lazdijus a + 3 valandą, ir kelionę baigė b + 3 valandą. Įrodykite, kad abi dienas turistai keliavo tiek pat valandų.

3. a) Reiškinį y

yx+išreikškite sveikojo

reiškinio ir trupmenos suma.

1. Duoti keturi vienas po kito einantys lyginiai skaičiai. Įrodykite, kad visada vidurinių skaičių sandauga 8 vienetais didesnė už kraštinių skaičių sandaugą. 2. Turistai keliavo dvi dienas. Kiekvieną dieną jie per b valandų nukeliavo po a km, per visą kelionę ilsėdamiesi c valandų. Parašykite reiškinį turistų vidutiniam greičiui kelionėje apskaičiuoti. 3. Mokytoja paprašė mokinių: „Išreikškite

trupmeną 5

2572

−

−+

x

xx sveikojo reiškinio ir

trupmenos suma“. Mokiniai pateikė tris atsakymus:

Kalba netaisyta

40

b) Žinodami, kad 5=x

y , raskite

reiškinio 5=+

y

yx reikšmę.

1) 5

75

−++

x

xx ; 2)

5

3512

−++

xx ;

3) 5

252

−

−+−

x

xx . Ar visi atsakymai teisingi?

2. Spręsti A(x)/B(x) =0 pavidalo lygtis ir paprastas lygtis, suvedamas į tam tikrą pavidalą. Paprastais atvejais modeliuoti racionaliosiomis lygtimis uždavinio sąlygoje nurodytas situacijas.

1. Kurios iš duotų lygčių yra tiesinės, kurios – kvadratinės, kurios – racionaliosios?

a) 15

21

3

2

5=+

x ; b) 01622 =+− xx ;

c) 3223 xxx =+ ; d) 45=

x;

e) ( ) 37 =−xx ; f) ( ) 4:2 =+ xx . 2. Išvardykite racionaliosios lygties sprendimo etapus. 3. Išspręskite racionaliąsias lygtis:

a) 02

811=

−

+

x

x ; b) 22

811=

+

−

x

x ;

c) ( )( )0

2

23=

−

−+

x

xx ;

d) 07

52

5

32=

−−

−

x

x

x

x ;

e) a

a

a

a

9

35

3

24 −=

− ; f) 22

36=

++

xx.

Išspręskite uždavinius, sudarydami lygtis. 4. Trupmenos vardiklis septyniais didesnis už skaitiklį. Jei iš tos trupmenos skaitiklio atimsime 4, o iš vardiklio 8, tai gausime trupmeną, lygią duotajai. Raskite šią trupmeną. 5. Turistas, sugaišęs kelionėje 8 valandas, baidare nuplaukė pasroviui 12 km ir grįžo atgal. Apskaičiuokite, kokiu greičiu turistas plauktų baidare stovinčiame vandenyje, jei upės tėkmės greitis 2 km/h.


a) 02

73

217

=+

−

x

x; b) ( )

31

2=

−

−

x

xx ;

c) 07

32

5

34=

++

−

y

y

y

y;

d) 020

54

15

311=

−−

+− aa ;

e) x

x

x

x 29

1

−=

−;

f) 17

1

7

8−=

−+

−

−

xx

x ;

g) 02

1

424

=−

−− xx

;

h) 4

142816

451

−=

+−+

xxx;

i) 1

3

122

32

+=

−+

−

xxx

x;

j) ( ) ( )21

1211

21 −=

−+

− xxxxx

x.

Išspręskite uždavinius, sudarydami lygtis. 2. Iš miesto A į miestą B, tarp kurių atstumas 30 km, išvažiavo autobusas, o po 15 min. paskui jį – lengvasis


a) ( )( )

01

212=

−

−+

x

xx;

b) 9,3

13

1

3,1

13

12 −

=+ xx

;

c) 9

1

9

2

3

1

++

+=

+−

xx

x

x

x ;

d) 021

3823

22

4

1

7=

−

−+

−

++

+ x

x

x

x

x;

e) 1223

6

2

11

2

1

−

−−

−=−

− x

x

xx;

f) 5

3

154210

−=

++

−− xx

x

xx.

Išspręskite uždavinius, sudarydami lygtis. 2. Iš prieplaukos A į prieplauką B, tarp kurių atstumas 36 km, išplaukė plaustas. Po 3 h priešais jį iš prieplaukos B išplaukė motorinė valtis. Jie susitiko 10 km nuo prieplaukos A. Raskite plausto greitį, jeigu motorinės valties greitis stovinčiame vandenyje 15 km/h. 3. Prekių sandėlyje du autokrautuvai, dirbdami kartu, sukrautų visas prekes per 2 valandas. Jei pirmasis dirbtų 2 valandas, o

antrasis – vieną, būtų atlikta 6

5 viso darbo.

Kalba netaisyta

41

automobilis, kurio greitis 20 km/h didesnis už autobuso greitį. Raskite lengvojo automobilio greitį, jeigu automobiliai į miestą atvyko kartu. 3.Dizaineris per nustatytą laiką turėjo sukurti 50 kostiumų modelių. Tačiau kiekvieną savaitę jis sukurdavo 3 modeliais daugiau, todėl jau savaitę prieš terminą viršijo užsakymą 2 modeliais. Kiek modelių per savaitę turėjo sukurti dizaineris?

Per kiek valandų gali sukrauti visas prekes kiekvienas autokrautuvas, dirbdamas atskirai?

3. Keitimo būdu spręsti paprastas lygčių su dviem nežinomaisiais sistemas, kurių viena lygtis pirmojo, o kita – ne aukštesnio kaip antrojo laipsnio. Aprašyti paprastas situacijas sistemomis su dviem nežinomaisiais, kurių viena lygtis pirmojo, o kita – ne aukštesnio kaip antrojo laipsnio.


a)

=+

=+

;165

,227

yx

yx b)

=

=+

;12

,7

xy

yx

c)

=−

=−

.4

,5

411

yxxy

2. Paaiškinkite, kaip sprendžiama dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistema, kurios viena lygtis netiesinė. Išspręskite uždavinius, sudarydami lygčių sistemas. 3. Stačiakampis žemės sklypas aptvertas 44 m ilgio tvora. Sklypo plotas lygus 120 m². Raskite sklypo ilgį ir plotį. 4. Iš oro uosto vienu metu išskrido du lėktuvai į vietovę, esančią už 3200 km. Pirmasis lėktuvas skrido 160 km/h greičiau už antrąjį, todėl į nurodytą vietovę atskrido 1 valanda anksčiau negu antrasis. Apskaičiuokite kiekvieno lėktuvo greitį. 5. Vienas dažytojas gali nudažyti pastato sienas 24 h greičiau už kitą. Dirbdami kartu, jie nudažytų to pastato sienas per 35 h. Per kiek laiko nudažytų pastato sienas


a)

=−

=+

;9356

,267

yx

yx b)

=−

=+

;22

,8922

yx

yx

c) ( )( )

=−

=−+

;12

,0

yx

yxyx

d)

=+

=+

.5

,3

11

21

yxyx

Išspręskite uždavinius, sudarydami lygčių sistemas. 2. Dviženklio skaičiaus 10a + b dešimčių skaitmuo 3 vienetais mažesnis už vienetų skaitmenį, o šio dviženklio skaičiaus ir jo skaitmenų sumos sandauga lygi 70. Raskite šį skaičių. 3. Iš stačiojo kampo viršūnės jo kraštinėmis tuo pačiu metu pradeda judėti du kūnai. Po 15 s atstumas tarp jų lygus 3 m. Pirmas kūnas per 6 s pasislenka tokiu atstumu, kokiu antrasis – per 8 s. Kokiu greičiu juda kiekvienas kūnas?


a)

=+

+−

=−

++

;143

2

,123

2

yxyx

yxyx

b)

−=+

=−

;43

,222

yx

yx

c) ( )( )

=+

=−−

.7

22

,012

yx

yx

Išspręskite uždavinį dviem būdais − sudarydami lygtį su vienu nežinomuoju ir lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą. 2. Medelyne yra tiek medžių eilių, kiek medžių auga kiekvienoje eilėje. Eilių skaičių sumažinus 4 kartus ir kiekvieną eilę papildžius 10 medžių, medžių skaičius medelyne sumažėtų 250. Kiek medžių eilių medelyne? Išspręskite uždavinius, sudarydami lygčių sistemas. 3. Iš miestų A ir B, tarp kurių atstumas lygus 90 km, išvyko du automobiliai ir susitiko po valandos. Pirmasis į miestą B atvyko 27 min. vėliau negu antrasis į A. Raskite kiekvieno automobilio greitį. 4. Dviem vamzdžiais bakas pripildomas per

Kalba netaisyta

42

kiekvienas dažytojas, dirbdamas atskirai? 4. Du ekskavatoriai, dirbdami kartu, iškasa duobę per 3 h 45 min. Vienas ekskavatorius, dirbdamas atskirai, gali iškasti tą duobę 4 h greičiau už kitą. Per kiek laiko iškastų tą duobę kiekvienas ekskavatorius, dirbdamas atskirai?

12 minučių. Jei pusė bako būtų pripildyta pirmuoju vamzdžiu, o tada kita pusė – antruoju vamzdžiu, tai bakas būtų pripildytas per 25 minutes. Per kiek minučių kiekvienu vamzdžiu galima pripildyti baką?

Kalba netaisyta

43

8. Modulis B-8 Erdvės geometrija

8.1. Modulio B-8 Erdvės geometrija mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui




1. Žino erdvinių figūrų pavadinimus. 2. Modelyje ar brėžinyje moka parodyti kubo, stačiakampio gretasienio, stačiosios prizmės, taisyklingosios piramidės, ritinio, kūgio, rutulio elementus. 3. Paprasčiausiais atvejais apskaičiuoja kubo, stačiakampio gretasienio, stačiosios prizmės, taisyklingosios piramidės, ritinio, kūgio elementus. 4. Paprastais atvejais apskaičiuoja pavaizduotos pasvirosios arba jos projekcijos ilgį. 5. Žinomų geometrinių figūrų modeliuose ar brėžiniuose parodo lygiagrečiąsias, statmenąsias, susikertančias tieses. 6. Moka pavaizduoti stačiakampio gretasienio įstrižainę. 7. Kubo, stačiakampio gretasienio, stačiosios prizmės, ritinio modeliuose parodo lygiagrečiąsias plokštumas. 8. Atpažįsta lygias ir panašias figūras erdvėje. 9. Paprasčiausiais atvejais moka apskaičiuoti kubo, stačiakampio gretasienio, stačiosios prizmės, taisyklingosios piramidės, ritinio, kūgio paviršiaus plotą ir tūrį, rutulio tūrį. 10. Paprasčiausiais atvejais randa dviejų erdvinių figūrų tūrių santykį.

1. Savais žodžiais moka apibūdinti žinomas erdvines figūras. 2. Pavaizduotą išklotinę priskiria erdvinei figūrai. 3. Paprastais atvejais apskaičiuoja kubo, stačiakampio gretasienio, stačiosios prizmės, taisyklingosios piramidės, ritinio, kūgio, rutulio elementus. 4. Apibūdina pasvirąją ir jos projekciją. Paprastais atvejais pavaizduoja ir apskaičiuoja pasvirosios arba jos projekcijos ilgį. 5. Žinomų erdvinių figūrų modeliuose arba brėžiniuose parodo prasilenkiančias tieses. 6. Žinomų erdvinių kūnų modeliuose, brėžiniuose parodo statmenas, susikertančias plokštumas. 7. Supranta ir moka parodyti kampą tarp stačiakampio gretasienio įstrižainės ir pagrindo plokštumos. 8. Paprastais atvejais moka apskaičiuoti kubo, stačiakampio gretasienio, stačiosios prizmės, taisyklingosios piramidės, ritinio, kūgio paviršiaus plotą ir tūrį, rutulio tūrį. 9. Moka rasti vieną iš dydžių, kai nurodytas jų santykis ir vienas iš dydžių. 10. Moka pagaminti kūgio modelį.

1. Moka klasifikuoti erdvines figūras. 2. Moka pavaizduoti žinomų erdvinių figūrų išklotines. 3. Supranta ir moka pasiūlyti, kaip apskaičiuoti erdvinių figūrų atskirus elementus. 4. Moka parodyti ir pavaizduoti: kampus tarp tiesių, kampą tarp tiesės ir plokštumos. 5. Moka parodyti ir pavaizduoti kampą tarp taisyklingosios piramidės briaunos ir pagrindo plokštumos. 6. Žino ir supranta, kaip susiję panašiųjų figūrų atitinkami matmenys, perimetrai, plotai, tūriai. 7. Supranta ir moka tiksliai arba nurodytu tikslumu apskaičiuoti žinomų erdvinių figūrų paviršiaus plotus ir tūrius. 8. Supranta ir naudojasi masteliu apskaičiuojant panašiųjų figūrų tūrius.


Kalba netaisyta

44

1. Supranta svarbiausias erdvės geometrijos sąvokas. 2. Perskaito ir supranta paprasčiausio geometrinio uždavinio sąlygą. 3. Paprasčiausiais atvejais iš brėžinio įvardija, kas yra duota ir ką reikia apskaičiuoti. 4. Tiesiogiai taiko erdvinių figūrų paviršiaus ploto ir tūrio formules. 5. Užrašo trumpus paprasčiausių erdvės geometrijos uždavinių sprendimus.

1. Teisingai supranta erdvės geometrijos sąvokas. 2. Moka pavaizduoti brėžiniu visus žinomus erdvinius kūnus. 3. Perskaitęs ar išklausęs supranta paprasto geometrinio uždavinio sąlygą. 4. Pavaizduoja geometrinio uždavinio sąlygą brėžiniu, užrašo, kas yra duota ir ką reikia rasti. 5. Tinkamai vartoja geometrijos terminus ir simbolius. 6. Naudodamiesi duotu brėžiniu užrašo, kas yra duota ir ką reikia rasti arba įrodyti. Nuosekliai užrašo uždavinio sprendimą. 7. Taiko erdvinių figūrų paviršiaus ploto ir tūrio formules nežinomiems dydžiams rasti. 8. Sieja gretimus tūrio, ploto matavimo vienetus. 9. Tinkamai naudojasi geometrijos formulių rinkiniu.

1. Apibūdina erdvinių kūnų elementus. 2. Pavaizduoja žinomų erdvinių kūnų išklotines. 3. Pagal duotą erdvinio kūno išklotinę modeliuoja erdvinio kūno brėžinį. 4. Paaiškina, kaip gaunami sukiniai. 5. Perskaitęs ar išklausęs supranta nesudėtingo geometrinio uždavinio sąlygą. 6. Tikslingai papildo nubrėžtą brėžinį. 7. Tikslingai vartoja geometrijos simbolius. 8. Pasiūlo geometrinio uždavinio sprendimo idėją ir ją argumentuotai pristato. 9. Nuosekliai ir išsamiai užrašo geometrinio uždavinio sprendimą, jį paaiškina. 10. Daro pagrįstas ir logiškas išvadas apie numatomą uždavinio rezultatą. 11. Sieja negretimus tūrio, ploto matavimo vienetus.


1. Stengiasi sutelkti dėmesį ir atlikti paskirtas užduotis. 2. Bando pasinaudoti nurodytais analogiškais erdvės geometrijos uždavinių pavyzdžiais. 3. Noriai priima mokytojo ar bendramokslių pagalbą. Mokytojui padedant įvardija, ką jau moka atlikti gerai. Stengiasi įvardyti, kas jam iš erdvės geometrijos neaišku. 4. Bando pasinaudoti nurodytu informacijos šaltiniu.

1. Sistemingai rūpinasi geometrijos žinių perėmimu: moka įvardyti, ką iš erdvės geometrijos moka gerai. Sistemingai užduoda klausimus, kad pasitikslintų ir įsitikintų, ar gerai suprato nagrinėjamą erdvės geometrijos temą, ar turimos žinios teisingai suprastos. Aktyviai dalyvauja mokymosi procese aptariant erdvės geometrijos uždavinių sprendimą, taikymą gyvenime. 2. Stengiasi savarankiškai ištaisyti nurodytas klaidas. 3. Savarankiškai ieško informacijos įvairiuose prieinamuose šaltiniuose.

1. Planuoja ir tikslingai susiskirsto mokymosi laiką. Susitelkia ir išlaiko dėmesį mokymosi užduočiai atlikti. 2. Savarankiškai nagrinėja informaciją apie erdvines figūras, jų savybes. 3. Savarankiškai ieško reikalingos informacijos apie geometrines figūras įvairiuose šaltiniuose. 4. Sieja naujas žinias apie geometrines figūras su turimomis. 5. Tikslingai atsirenka informaciją erdvės geometrijos užduočiai atlikti. Kritiškai vertina turimą informaciją. 6. Naudojasi mokomosiomis kompiuterinėmis programomis geometrijos uždaviniams spręsti. 7. Įžvelgia erdvės geometrijos žinių pritaikomumą, reikalingumą, naudingumą.


1. Atpažinę jau žinomą kontekstą sprendžia paprasčiausius erdvės geometrijos uždavinius.

1. Išnagrinėja panašios užduoties sprendimo pavyzdį. Susidaro erdvės geometrijos uždavinio sprendimo planą. Paaiškina savo samprotavimus apie geometrijos

1. Atlieka erdvės geometrijos uždavinio sąlygos analizę. Tikrina paprastus pastebėjimus. 2. Formuluoja tarpinius klausimus, padedančius išspręsti

Kalba netaisyta

45

uždavinio sprendimo kelią. 2. Paprastose situacijose formuluoja tarpinius klausimus, padedančius išspręsti erdvės geometrijos uždavinį.

erdvės geometrijos uždavinį. 3. Numato erdvės geometrijos uždavinio galimą rezultatą ir argumentuoja, kaip jį galima patikrinti.

8.2. Modulio B-8 Erdvės geometrija mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokiniui


1. Parodyti ir paprastais atvejais apskaičiuoti kubo, stačiakampio gretasienio, stačiosios prizmės, taisyklingosios piramidės, ritinio, kūgio, rutulio elementus. Klasifikuoti briaunainius ir sukinius.

1. Užrašykite pavaizduotų erdvinių figūrų pavadinimus ir išvardykite jų elementus:

2. Pavaizduokite kūgį. Jame nubrėžkite aukštinę, pagrindo spindulį, sudaromąją. 3. Pavaizduota taisyklingoji keturkampė piramidė EABCD, kurios pagrindo įstrižainės ilgis 6 cm, o šoninės briaunos ilgis 5 cm.

1. Kūgio aukštinė 15 cm, o pagrindo plotas 18,84 cm². Apskaičiuokite kūgio sudaromosios ilgį (laikykite π = 3,14). 2. Kuri išklotinė yra taisyklingosios trikampės piramidės; ritinio; kubo; kūgio; stačiakampio gretasienio, trikampės prizmės?

3. Taisyklingosios keturkampės piramidės pagrindo kraštinė 4 cm, o šoninė briauna 6 cm. Nubrėžkite brėžinį. Apskaičiuokite piramidės aukštinės ilgį ir piramidės pagrindo plotą.

1. Pavaizduotus erdvinius kūnus suskirstykite į briaunainius ir sukinius:

2. Pavaizduokite išklotines: taisyklingosios trikampės piramidės; stačiosios trikampės prizmės; kūgio; ritinio; stačiakampio gretasienio. 3.Taisyklingos keturkampės piramidės aukštinė 12 cm, o jos šoninės sienos aukštinė 13 cm. Nubrėžkite brėžinį. Apskaičiuokite piramidės: a) pagrindo briaunos ilgį; b) šoninės sienos briaunos ilgį; c) pagrindo plotą; d) šoninės sienos plotą. 4. Iš taško A į plokštumą nutiestos dvi pasvirosios 20 cm ir 15 cm. Pirmosios

Kalba netaisyta

46

Apskaičiuokite piramidės aukštinės ilgį ir pagrindo plotą. 4. Pavaizduota pasviroji AB ir jos projekcija plokštumoje BH. Apskaičiuokite projekcijos ilgį, jei AB = 10 cm, AH = 8 cm.

4. Pasvirosios AB ilgis 25 cm. Taškas B yra plokštumoje α. Raskite atstumą nuo taško A iki plokštumos α, jei atkarpos AB projekcijos šioje plokštumoje ilgis 15 cm.

pasvirosios projekcija plokštumoje yra 16 cm. Apskaičiuokite kitos pasvirosios projekcijos ilgį.

2. Modelyje ar brėžinyje parodyti lygiagrečiąsias ir statmenąsias tieses ir (ar) plokštumas, kampus tarp dviejų tiesių, tarp tiesės ir plokštumos. Mokytojui padedant, pagaminti kūgio modelį.

1.

1111

DCBABCDA – stačiakampis gretasienis. Išvardykite: a) tieses, lygiagrečias su tiese BC; b) tieses, susikertančias su BC; c) plokštumas, lygiagrečias su plokštuma ABC; d) tieses, lygiagrečias su plokštuma ABC. 2. Nubrėžkite pavaizduoto stačiakampio gretasienio įstrižainę ir apskaičiuokite jos ilgį:

1. Pavaizduokite kubą 1111 DCBABCDA

. Remdamiesi brėžiniu, užrašykite: a) tiesę

1AA kertančias tieses; b) su tiese AD prasilenkiančias tieses; c) plokštumai

1ADD statmenas plokštumas; d) plokštumai

1ADD statmenas tieses. 2.

1111DCBABCDA – stačiakampis

gretasienis, kurio įstrižainė su pagrindo plokštuma sudaro 30° kampą.

Brėžinyje pavaizduokite kampą tarp stačiakampio gretasienio įstrižainės

1BD ir pagrindo plokštumos. Apskaičiuokite įstrižainės ilgį, jei

cmAA 31= .

1.Taisyklingosios piramidės modelyje raskite prasilenkiančias tieses ir paaiškinkite, kaip nustatyti kampą tarp jų. 2. Brėžinyje pavaizduota plokštuma α ir ją kertanti tiesė AB.

Persibraižę brėžinį, pavaizduokite kampą tarp tiesės AB ir plokštumos α. 3. Pagaminkite kūgio modelį, kurio pagrindo skersmuo būtų 16 cm, o sudaromoji 17 cm. 4. Taisyklingosios keturkampės piramidės šoninės briaunos ilgis 23 cm, o pagrindo įstrižainės ilgis 6 cm. a) Brėžinyje pavaizduokite kampą tarp piramidės šoninės briaunos ir pagrindo plokštumos. b) Raskite kokio didumo kampą sudaro šoninė briauna su pagrindo plokštuma.

Kalba netaisyta

47

3. Taikyti lygumo ir panašumo sąvokas sprendžiant paprastus uždavinius.

1. Kurios pavaizduotos erdvinės figūros yra lygios ir kurios panašios:

Parašykite šių erdvinių figūrų pavadinimus.

1. Ritinio aukštis 8 cm, o pagrindo skersmuo 6 cm. Kaip pasikeis tūris, jei: a) abu matmenis padidinsime du kartus; b) aukštį padidinsime du kartus, o skersmenį sumažinsime du kartus; c) aukštį sumažinsime du kartus, o skersmenį padidinsime du kartus? Suformuluokite išvadą.

1. Kaip pasikeis taisyklingosios trikampės piramidės tūris, jei jos aukštinę pailginsime du kartus; jei pagrindo kraštinę pailginsime du kartus? 2. Pavaizduoti du panašūs kūgiai. Jų aukštinės ir spinduliai skiriasi 3 kartus. Kiek kartų skiriasi jų tūriai?

4. Apskaičiuoti (tiksliai arba nurodytu tikslumu) kubo, stačiakampio gretasienio, ritinio, kūgio, taisyklingosios piramidės, stačiosios prizmės tūrį ir paviršiaus plotą, rutulio tūrį.

1. Stačiosios prizmės pagrindas yra statusis trikampis, kurio statinių ilgiai yra 4 cm ir 3 cm. Prizmės aukštis lygus 6 cm.

Apskaičiuokite prizmės: a) pagrindo įžambinės ilgį; b) pagrindo plotą; c) šoninio paviršiaus plotą; d) viso paviršiaus plotą; e) tūrį. 2. Taisyklingosios trikampės piramidės aukštinė 6cm, o pagrindo plotas 16 cm². Apskaičiuokite piramidės tūrį.

1. Paveikslėlyje pavaizduota stačiakampio gretasienio išklotinė.

Apskaičiuokite stačiakampio gretasienio: a) paviršiaus plotą; b) tūrį; c) įstrižainės ilgį; d) įstrižainės ir pagrindo sudaromo kampo didumą. 2. Apskaičiuokite kūgio paviršiaus plotą ir tūrį, jei pagrindo apskritimo ilgis 24π cm, o sudaromoji 20 cm. 3. Taisyklingosios keturkampės piramidės pagrindo briaunos ilgis 4 cm. Piramidės aukštinės ilgis 8 cm.

1. Lygiakraščio trikampio kraštinės ilgis 6 cm. Pavaizduokite brėžiniu, kokį erdvinį kūną gausime, kai šį trikampį suksime apie aukštinę. Apskaičiuokite gauto erdvinio kūno: a) pagrindo spindulio ilgį; b) sudaromosios ilgį; c) paviršiaus plotą; d) tūrį. 2. Išlydžius tris metalinius rutulius, kurių spinduliai yra 2 cm, 3 cm, 4 cm, padarytas vienas rutulys. Apskaičiuokite gauto rutulio spindulį. 3. Paveikslėlyje pavaizduota taisyklingosios keturkampės piramidės išklotinė.

Kalba netaisyta

48

3. Ritinio aukštis 4 cm, o pagrindo spindulio ilgis 3 cm. Apskaičiuokite ritinio: a) pagrindo plotą; b) šoninio paviršiaus plotą; c) tūrį. Laikykite π = 3,14.

4. Kūgio aukštis 24 cm, o sudaromosios ilgis lygus 25 cm.

Apskaičiuokite kūgio: a) pagrindo spindulio ilgį; b) pagrindo plotą; c) šoninio paviršiaus plotą; d) viso paviršiaus plotą; e) tūrį. Laikykite π = 3,14.

Apskaičiuokite piramidės paviršiaus plotą. 4. Rutulio spindulio ilgis 1,6 cm. Apskaičiuokite rutulio tūrį. Palyginkite jį su ritinio, kurio aukščio ir skersmens ilgis lygus rutulio skersmeniui, tūriu.

Apskaičiuokite šios piramidės paviršiaus plotą ir tūrį. 4. Kvadratas, kurio įstrižainės ilgis 26 , sukamas apie vieną kraštinę. Brėžiniu pavaizduokite gaunamą sukinį. Apskaičiuokite jo paviršiaus plotą.

5. Taikyti mastelį, santykį paprastiems tūrio radimo uždaviniams spręsti.

1. Apskaičiuokite kubo, kurio briaunos ilgis 6 dm, viso paviršiaus plotą ir tūrį ir kubo, kurio briaunos ilgis 12 dm viso paviršiaus plotą ir tūrį. Raskite, kiek kartų skiriasi kubų briaunų ilgiai ir kiek kartų skiriasi kubų tūriai.

1. Kūgių tūrių santykis 3:2. Didesniojo kūgio tūris 513 cm³. Apskaičiuokite mažesniojo kūgio tūrį. 2. Vandens lašo forma yra rutuliukas, kurio skersmuo 1 mm. Kiek lašų reikia, norint surinkti 0,5 litro vandens (π = 3,14)?

1. Dviejų kubų tūrių santykis 27:8. Mažesniojo kubo briauna 4 cm. Apskaičiuokite didesniojo kubo briauną. 2. Paveiksle pavaizduoto ritinio pagrindo skersmuo 2 cm, o aukštis 4 cm. Imdami mastelį 1:4, pagaminkite ritinio modelį.

Kalba netaisyta

49

9. Modulis B-10 Sprendimo strategijos paieška

9.1. Modulio B-10 Sprendimo strategijos paieška mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui




1. Atpažįsta nagrinėjamus matematinius objektus, apibūdina, kuo jie panašūs ir kuo skiriasi. 2. Paprasčiausiais atvejais žino ir supranta, ką turi daryti, kad atsakytų į uždavinio klausimą. 3. Pasiūlo, kokias išvadas galima būtų formuluoti iš kelių pateiktų pavyzdžių. 4. Supranta, kaip taikoma taisyklė, apibrėžimas, teorema konkrečiu paprasčiausiu atveju. 5. Supranta ir pasiūlo bent vieną paprastos užduoties sprendimo būdą.

1. Paprastais atvejais įžvelgia matematinių reiškinių ryšius, apibūdina, kuo jie panašūs ir kuo skiriasi. 2. Paprastais atvejais supranta ir gali paaiškinti, ką ketina daryti ir kodėl, kad atsakytų ir į netiesiogiai pateiktus uždavinio klausimus. 3. Paaiškina, koks pasiūlytas ar pasirinktas uždavinio atsakymas būtų prasmingas. 4. Paaiškina, kokias išvadas galima formuluoti ir kokių negalima formuluoti iš pateiktų kelių pavyzdžių. 5. Supranta ir apibūdina, kaip taikoma taisyklė, apibrėžimas, teorema konkrečiu nesudėtingu atveju. 6. Žino ir supranta, kad norint atsakyti į uždavinio klausimą reikia formuluoti tarpinius klausimus. 7. Nagrinėjant paprastą matematinį tekstą atrenka, kas žinoma iš anksčiau ir kas yra nauja. 8. Žino ir supranta, jog turint perteklinės informacijos reikia atsirinkti uždaviniui išspręsti reikalingus duomenis.

1. Paaiškina, kuo nagrinėjami matematiniai modeliai ar struktūros panašūs ir kuo skiriasi. 2. Žino ir supranta, kaip paaiškinti, ką ir kodėl darys, kad įrodytų teiginį. Pasiūlo ir argumentuoja, koks uždavinio atsakymas būtų prasmingas. 3. Supranta ir paaiškina, kokios išvados laikomos pagrįstomis (išnagrinėjus kelis pavyzdžius). 4. Supranta ir apibūdina kaip taikoma tam tikra taisyklė, apibrėžimas, teorema bendruoju atveju. 5. Pasiūlo bent du alternatyvius teiginio įrodymo būdus ir kriterijus, pagal kuriuos verta pasirinkti vieną iš jų. 6. Supranta, kad norint atsakyti į uždavinio klausimą reikia formuluoti tarpinius klausimus, ir argumentuoja kodėl. 7. Supranta, jog galima numatyti rezultatą ir jį patikrinti. 8. Nagrinėjant nesudėtingą matematinį tekstą supranta, kas yra nauja ir kas žinoma iš anksčiau. Supranta ir paaiškina, kaip ir kur rasti informaciją, reikalingą uždaviniui išspręsti, jei sąlygoje informacijos trūksta.


1. Teisingai supranta paprasčiausių uždavinių sąlygas ir bando žodžiais perteikti svarbiausias mintis. 2. Formuluoja atsakymus į tiesioginius klausimus. 3. Užrašo paprasčiausio uždavinio sprendimą. 4. Nubraižo paprasčiausius brėžinius. 5. Patikrina skaičiavimo rezultatus skaičiuokliu.

1. Apibūdina matematinių objektų ar reiškinių ryšius. 2. Teisingai supranta paprastų matematinio ir praktinio turinio uždavinių sąlygas. 3. Skaito, supranta ir analizuoja įvairiais būdais (naudojantis tekstu, lentelėmis, grafikais, diagramomis) pateiktą informaciją bei ja remiantis daro pagrįstas

1. Teisingai supranta įvairiais būdais pateiktas uždavinio sąlygas ir matematinę informaciją. 2. Sprendžia įvairaus konteksto uždavinius. 3. Išreiškia žodžiu, raštu, vizualiai uždavinių sprendimų, teiginių įrodymo idėjas. 4. Aiškiai, glaustai perteikia savo mintis.

Kalba netaisyta

50

išvadas. 4. Nuosekliai užrašo uždavinio sprendimą. 5. Teisingai ir aiškiai perteikia pagrindines mintis. 6. Tinkamai vartoja terminus ir simbolius.

5. Tiksliai ir išsamiai pagrįsdamas užrašo uždavinio sprendimą ar teiginio įrodymą. 6. Tikslingai vartoja tinkamus terminus ir simbolius.


1. Atlieka pavestas užduotis. 2. Patariant mokytojui susidaro su matematikos žiniomis susijusį mokymosi planą 1–2 savaitėms. Mokytojui padedant įvardija, ką jau moka gerai padaryti. 3. Pagal duotą pavyzdį ištaiso nurodytas klaidas.

1. Supranta matematikos svarbą, prisiima atsakomybę už mokymosi rezultatus, aktyviai dalyvauja mokymosi procese. 2. Suvokia, ką jau moka padaryti gerai, pagal pateiktas pastabas ištaiso klaidas. 3. Užduoda klausimus, kad pasitikslintų ar įsitikintų, kad gerai suprato ar gerai atliko užduotį. 4. Naudojasi įvairiais nurodytais šaltiniais, norėdami rasti su uždavinių sprendimo strategijomis susijusios informacijos. 5. Pasako, pateikia matematikos taikymo kasdieniame gyvenime pavyzdžių.

1. Prisiima atsakomybę produktyviai mokytis matematikos. 2. Užduoda klausimus, kad įsitikintų, jog turimos žinios teisingai suprastos. Apibūdina, kiek yra tikras dėl turimų žinių. 3. Savarankiškai randa su matematikos uždavinių sprendimo strategijomis, su teiginių įrodymo strategijomis susijusios informacijos ir ja naudojasi. 4. Apibendrina, klasifikuoja ir kritiškai vertina surastą informaciją. 5. Pateikia matematikos mokslo atradimų, kurie yra pritaikomi įvairių profesijų veikloje, pavyzdžių.


1. Atpažinę žinomą kontekstą, sprendžia paprasčiausius uždavinius. 2. Nagrinėja duotus pavyzdžius. 3. Ieško informacijos nurodytuose šaltiniuose. 4. Bando perrinkti galimus variantus.

1. Formuluoja tarpinius klausimus, atlikdami užduotį. 2. Pasiūlo bent du užduoties sprendimo būdus ir kriterijus, pagal kuriuos verta pasirinkti vieną iš jų. 3. Atlikdamas užduotį įžvelgia ryšius, taiko analizę ir sintezę. 4. Spręsdamas paprastą uždavinį, suderina kelis algoritmus ir randa teisingą atsakymą.

1. Iš teksto išskiria esminę informaciją. Nustato, ar pakanka informacijos. Jei nepakanka, išsiaiškina, kur jos galima rasti arba iš kur gauti. 2. Pasirenka veiksmingą ir racionalią užduoties sprendimo strategiją. 3. Pasirenka matematinį modelį užduočiai atlikti. 4. Numato galimą rezultatą ir jį patikrina pradinės sąlygos kontekste. 5. Daro tikslias logines išvadas, paremtas teisingu sprendimu ir loginiais samprotavimais.

Kalba netaisyta

51

9.2. Modulio B-10 Sprendimo strategijos paieška mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokiniui


1. Klasifikuoti matematinius objektus pagal pasiūlytą arba pasirinktą požymį. Iš kelių atvejų nurodyti, kuris yra bendresnis. Pasitikrinti ir ištaisyti savo darbą, atsižvelgiant į išsakytas pastabas ar pagal teisingo darbo pavyzdį. Iš kelių išnagrinėtų pavyzdžių padaryti išvadas, jas pagrįsti remiantis logine argumentacija. Pritaikyti apibrėžimą, taisyklę ar teoremą (teiginį) konkrečiu ar bendruoju atveju.

1. Ar galime teigti, kad kiekvienoje poroje pavaizduoti trikampiai lygūs? Jei taip, paaiškinkite kodėl.

2. Remdamiesi pavyzdžiu išspręskite nelygybių sistemas:

a)

≤−

+

;93

,2112 <x

x b)

−

−≤−

.x<

xx

72

,84

Pavyzdys Išspręskime nelygybių sistemą

+−

−≥−

.82

422

x<x

,xx

Sprendžiame Samprotaujame

−

−≥−

6;<2

,63

x

x

−

≤

;3>

,2

x

x

Išsprendžiame kiekvieną nelygybę. Pavaizduojame skaičių tiesėje atitinkamų nelygybių

1. Pagrįskite, kad trikampiai EBC ir ADC yra panašūs:

2. Užrašykite šiuos sakinius, naudodami simbolius <, >, ≤, ≥, =. a) Jo ūgis u didesnis negu 1,90 metro; b) Jos pavėlavimo laikas t ne didesnis kaip 5 minutės; c) Parduotuvėje esančių basučių dydis d buvo nuo 37 iki 41; d) Jo kelionės į mokyklą trukmė t ne mažesnė kaip 10 minučių. 3. Išnagrinėję pavyzdžius, pakartokite, kaip sprendžiamos lygtys ax² + bx = 0 arba ax² – c = 0 . 1 pavyzdys Išspręskime lygtį x² – 8x = 0. Sprendžiame Samprotaujame x(x − 8) = 0, Kairiąją šios

lygybės pusę išskaidome daugikliais, prieš skliaustus iškeldami x.

x = 0 arba x – 8 = 0,

Kiekvieną daugiklį prilyginame

1. Paaiškinkite, kodėl brėžinyje pavaizduoti trikampiai nėra lygūs.

2. Brėžinyje raskite panašiuosius trikampius ir įrodykite, kad jie tokie yra.

3. Į kvadratą įbrėžti du trikampiai taip, kad kiekvieno jų pagrindas sutampa su kvadrato kraštine, o viršūnė yra priešingoje kvadrato kraštinėje. Kvadrato kraštinę pažymėkite x ir reiškiniu užrašykite kiekvieno trikampio plotą. Palyginkite gautus reiškinius. 4. Pasiūlykite būdą, kaip iš nubraižyto funkcijos y = ax² grafiko galima nustatyti koeficiento a reikšmę. Apskaičiuokite ją, jei grafikas toks: a)

b)

Kalba netaisyta

52

]( 2;3−∈x Atsakymas:

]( 2;3−∈x .

sprendinius, tada bendrąją jų dalį – skaičių intervalą. Šis intervalas ir yra nelygybių sistemos sprendiniai (atsakymas į uždavinio klausimą).

3. Brėžiniuose išmatuokite atstumą nuo apskritimo centro iki tiesės.

nuliui. x = 0 arba x = 8.

Išsprendžiame gautas lygtis.

0² – 8·0 = 0, 8² – 8·8 = 0.

Įrašę gautus skaičius į pradinę lygtį, įsitikiname, kad jie yra tos lygties sprendiniai.

Atsakymas: x = 0, x = 8.

2 pavyzdys Išspręskime lygtį x² – 36 = 0. Sprendžiame Samprotaujame (x – 6)(x + 6) = 0, Kairiąją šios

lygybės pusę išskaidome daugikliais, taikydami kvadratų skirtumo formulę.

x – 6 = 0 arba x + 6 = 0,

Kiekvieną daugiklį prilyginame nuliui.

x = 6 arba x = − 6.

Išsprendžiame gautas lygtis.

Atsakymas: 6; − 6.

Įrašę gautus skaičius į pradinę lygtį, įsitikiname, kad jie yra tos lygties sprendiniai.

c)

Padarykite išvadą, kokią įtaką parabolės šakų krypčiai ir pločiui turi koeficiento a reikšmės.

2. Pasiūlyti kelias alternatyvas ir pasirinkti vieną iš jų.

1. Trapecijos įstrižainė vidurinę linija dalija į 2 cm ir 5 cm atkarpas. Apskaičiuokite

1. Trapecijos vidurinė linija 6, o aukštinė – 3. Apskaičiuokite trapecijos

1. Remdamiesi pateiktais nurodymais, įrodykite, kad trapecijos vidurinė linija yra

Kalba netaisyta

53

Kryptingai siekti tikslo, kai yra kliūčių arba ribojančių sąlygų. Kelti ir tikrinti paprastas hipotezes. Išnagrinėti ir įvertinti anksčiau įgytas žinias ir gebėjimus naujai įgytų žinių bei gebėjimų kontekste.

trapecijos pagrindų ilgius. 2. Užbaikite sudaryti lygčių sistemą

=−

=+

?2

,83?

yx

y taip, kad lygčių sistemos

sprendiniu būtų skaičių pora (1; 2).

plotą. 2. Įrodysime, kad apskritimo liestinių, einančių iš vieno taško, atkarpos AB ir AC yra lygios. Perrašykite įrodymą į sąsiuvinį ir prie kiekvieno teiginio parašykite paaiškinimą. Duota: O – apskritimo centras; AB ir AC – liestinės. Įrodyti: AB = AC.

Įrodymas

Papildykite brėžinį – sujunkite atkarpomis tašką O su taškais A, B, C. 1) OB = OC, nes ... . 2) OB ⊥ AB ir OC ⊥ AC, nes ... . 3) OA − ... . 4) ∆AOB = ∆AOC, nes ... . 5) AB = AC, nes ... . Įrodyta.

lygiagreti su trapecijos pagrindais ir lygi jų sumos pusei.

1) Papildykite brėžinį, per trapecijos viršūnę B ir kraštinės CD vidurio tašką N nubrėždami tiesę, kuri kirstų AD taške K. 2) Paaiškinkite, kodėl ∆CNB lygus ∆DNK. 3) Kodėl BN = NK ir BC = DK? 4) Ar trapecijos ABCD vidurinė linija MN yra ir trikampio ABK vidurinė linija? 5) Su kuria trikampio kraštine lygiagreti trikampio vidurinė linija MN? 6) Kodėl MN || AD? 7) Kodėl MN || BC? 8) Įrodykite trapecijos vidurinės linijos savybę, papildydami brėžinį tiese, einančia per viršūnę C ir kertančia AD taške L. 9) Įrodykite trapecijos vidurinės linijos savybę, papildydami brėžinį atkarpa BE, lygiagrečia su CD (atkarpa BE kerta AD taške E).

3. Priimti sprendimą imtis veiklos, susijusios su žinių tobulinimu. Sistemingai rūpintis žinių perėmimu. Nustatyti, ar neliko neaiškumų ir ar galima būti užtikrintam (-ai), jog išmokta teisingai. Sieti matematikos žinias su gyvenimu.

1. Palei kelią stovėjo mediniai stulpai kas 50 m. Juos nutarta pakeisti gelžbetoniniais stulpais, tarp kurių atstumas turi būti 85 m. Pirmasis stulpas buvo pastatytas į medinio vietą. Po kelių metrų arčiausiai gelžbetoninis stulpas vėl bus pastatytas į medinio vietą?

1. Ūkininkas ketina aptverti žemės ūkio sklypą tvora. Vaizduojamo sklypo mastelis 1 : 200.

1.

Stasys, skaitydamas stogo montavimo instrukciją, rado tokį sakinį: „Čerpes imituojančiais skardos lakštais galima dengti stogą, kurio mažiausias nuolydis yra 7,7° (t.

Kalba netaisyta

54

a) Kokio ilgio bus tvora (1 m tikslumu)? b) Kiek metrų vielinės tvoros reiks ūkininkui pirkti, jei parduotuvėje ji parduodama tik po 10 metrų? c) Nustatykite, koks šio sklypo plotas.

y. 13,5 %); esant tokiam stogo nuolydžiui, skardos lakšto plokštuma turi minimalų 5,7° (t. y. 10 %) nuolydį“. (Kadangi lakštai pradedami dėti nuo apačios, ir sekančiolakšto priekinis kraštas uždedamas ant ankstesnio lakšto užpakalinio krašto, tai nuolydžio kampas sumažėja; jei nuolydžio kampas per mažas, dalis lietaus vandens pateks po danga: įsivaizduokite plokščią stogą, tada visas vanduo subėgs po danga). Ar instrukcijoje, skaičiuojant stogo dangos ir skardos plokštumos procentinį nuolydį, taikoma nuolydžio kampo sinuso, kosinuso ar tangento reikšmė? Atsakymą pagrįskite.

4. Įvairiuose informacijos šaltiniuose savarankiškai rasti reikiamos informacijos apie matematikos ir kitų tiksliųjų mokslų, technologijų laimėjimus, tą informaciją apibendrinti, klasifikuoti ir kritiškai vertinti. Gerbti autorių teises. Vertinti įgyjamas matematikos žinias ir gebėjimus, įžvelgti jų pritaikomumą, reikalingumą, naudingumą.

1. Lietuvoje kiekvieno dirbančio piliečio pajamų mokestis priklauso nuo atlyginimo dydžio. Ar ši priklausomybė yra tiesinė? Atsakymą pagrįskite paieškoję papildomos informacijos kituose šaltiniuose.

1.

Paveiksle vaizduojamas kelio ženklas „Stati nuokalnė“ rodo kelio nuolydžio kampą. Kelio ženklu perteikiamą informaciją pavaizduokite geometriniu brėžiniu. Apskaičiuokite kelio nuolydžio kampo tangentą ir patį kampą.

1. Saulius žynine šalia stačiojo trikampio ABC rado žymenį ctg A. Pasidomėkite, koks šiuo simboliu pažymėto santykio pavadinimas ir kurių stačiojo trikampio kraštinių santykį jis nusako.

Kalba netaisyta

55

10. Modulis A-1 Geometrinių sąryšių paieška

10.1. Modulio A-1 Geometrinių sąryšių paieška mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui




1. Apskaičiuoja atkarpos, lygiagrečios koordinačių ašiai, ilgį, kai žinomos atkarpos galų koordinatės. 2. Be matavimo įrankių įvertina artimiausios aplinkos objektų ar daiktų ilgį, kampo rūšį. Iš akies nubrėžia trikampio pusiaukraštinę, pusiaukampinę ir aukštinę. 3. Sprendžia paprasčiausius uždavinius, kuriuose reikia naudoti įvairių matavimų rezultatus, pateiktus skirtingais matavimo vienetais. 4. Apskaičiuoja (tiksliai arba nurodytu tikslumu) apskritimo ilgį; trikampio, keturkampio perimetrą; kvadrato, stačiakampio, lygiagretainio, trapecijos plotą; kubo, stačiakampio gretasienio tūrį ir paviršiaus plotą. 5. Taiko mastelį paprastiems ilgio radimo uždaviniams spręsti. 6. Naudodamasis duomenimis iš brėžinių ir taikydamas formules apskaičiuoja reikiamus dydžius. Moka dirbti pagal nurodytą algoritmą.

1. Apskaičiuoja atkarpos ilgį, atkarpos vidurio taško koordinates, kai žinomos atkarpos galų koordinatės. 2. Be matavimo įrankių įvertina artimiausios aplinkos objektų ar daiktų parametrus (plotą, tūrį, kampo didumą). Naudodamasis liniuote, matlankiu ir kampainiu nubrėžia bet kokio trikampio pusiaukraštinę, pusiaukampinę ir aukštinę. 3. Sprendžia paprastus uždavinius, kuriuose reikia naudoti įvairių matavimų rezultatus, užrašytus skirtingos išraiškos (standartine ir nestandartine) skaičiais arba tos pačios eilės standartinės išraiškos skaičiais. Atlieka veiksmus su tos pačios eilės standartinės išraiškos skaičiais. 4. Apskaičiuoja (tiksliai arba nurodytu tikslumu) rombo plotą; ritinio, stačiosios prizmės tūrį ir paviršiaus plotą. 5. Paprastuose uždaviniuose taiko daugiakampio kampų sumos formulę. 6. Taiko mastelį, santykį paprastiems ploto radimo uždaviniams.

1. Apskaičiuoja atkarpos galo koordinates, kai žinomos tos atkarpos vidurio taško ir kito galo koordinatės. Taiko atkarpos ilgio skaičiavimo formulę, spręsdamas nesudėtingus geometrinio turinio uždavinius (pvz., žinant trikampio viršūnių koordinates nustatyti trikampio rūšį pagal kampus ar kraštinių ilgius). Randa nežinomas kvadrato, stačiakampio, lygiagretainio, rombo viršūnės koordinates, kai žinomos likusių viršūnių koordinatės. 2. Naudojantis skriestuvu, liniuote nubrėžia trikampio pusiaukraštinę, pusiaukampinę. 3. Sprendžia nesudėtingus uždavinius, kuriuose reikia naudoti įvairių matavimų rezultatus, užrašytus skirtingos išraiškos skaičiais. 4. Apskaičiuoja (tiksliai arba nurodytu tikslumu) žinomų plokštumos figūrų junginių perimetrą ir plotą. 5. Nesudėtinguose uždaviniuose taiko daugiakampio kampų sumos formulę. 6. Taiko mastelį, santykį nesudėtingiems ilgio, ploto ir tūrio radimo uždaviniams spręsti. Pasirinkęs tinkamą mastelį, nubraižo paprastą planą.


1. Perskaito ir suvokia paprastą matematinį tekstą ir uždavinio sąlygą. 2. Teisingai naudoja taško, taško koordinačių, atkarpos,

1. Teisingai supranta aiškinamąjį vadovėlio tekstą, paprastų uždavinių sprendimo pavyzdžius. 2. Supranta įvairiais būdais pateiktas uždavinių sąlygas.

1. Tikslingai naudoja matematinius simbolius. 2. Naudoja brėžinius nesudėtingų uždavinių sprendimams paaiškinti.

Kalba netaisyta

56

kampo, daugiakampio, perimetro, ploto žymėjimus. 3. Naudoja tinkamus matavimo vienetus. 4. Formulių rinkiniuose randa tinkamą formulę. 5. Naudojasi skaičiuotuvu. 6. Uždavinio atsakymą užrašo tiksliai arba nurodytu tikslumu. 7. Pagal uždavinio sąlygos reikalavimą paprasčiausiais atvejais nubrėžia arba papildo brėžinį.

3. Naudoja brėžinius paprastų uždavinių sprendimams paaiškinti. 4. Pritaiko atkarpos ilgio, atkarpos vidurio taško koordinačių radimo formules. 5. Argumentuodamas sprendimą naudoja mastelį, panašiųjų figūrų perimetrų, plotų santykių savybes. 6. Interpretuoja paprastą matematinį tekstą ar uždavinio sąlygą. 7. Įvairiais būdais pateikia uždavinių sprendimus.

3. Argumentuodamas sprendimą naudoja panašiųjų figūrų tūrių santykio savybę. 4. Aiškiai pateikia sprendimo eigą. 5. Geba pristatyti atliktą užduotį.


1. Dalyvauja mokymosi procese, tačiau mokosi tik mokytojo vadovaujamas, neplaningai ir nesistemingai. Priima draugų ir mokytojos pagalbą, bet trūksta gebėjimų dirbti savarankiškai. 2. Pateikia paprasčiausių pavyzdžių iš aplinkos apie įgytų žinių ir gebėjimų pritaikomumą.

1. Imasi spręsti standartiniais būdais suformuluotų užduočių. 2. Pasitiki savo jėgomis, mokosi planingai. Aktyviai dalyvauja mokymosi procese. Siekia gauti geresnį pažymį, įgyti daugiau žinių. Prašo mokytojo papildomų užduočių, jei mato, kad kažko dar gerai neįsisavino. 3. Vertina matematikos žinias ir gebėjimus, taiko juos mokydamasis kitų dalykų. 4. Sieja anksčiau įgytas žinias ir gebėjimus naujai įgyjamų žinių ir gebėjimų kontekste.

1. Imasi spręsti įvairiais būdais suformuluotas užduotis. 2. Planuoja mokymosi laiką. Prašo mokytojo papildomų užduočių. Vertina pamokos laiką. Prašo mokytojo patikrinti jo atliktą darbą, kad galėtų įsivertinti gebėjimų lygį. 3. Padeda mokytis kitiems. 4. Užduotis atlieka kūrybingai. 5. Vertina įgyjamas matematikos žinias ir gebėjimus, įžvelgia jų reikalingumą ir naudingumą.


1. Atsako į paprasčiausius tiesioginius klausimus. 2. Paprastais atvejais įvertina, kuri schema yra / nėra uždavinio sprendimo vaizdinė iliustracija. 3. Suvokia paprasčiausių formulių žymėjimus. 4. Atpažįsta tinkamą formulę. 5. Argumentuoja atsakymus į paprasčiausius klausimus. 6. Sprendžia paprasčiausius uždavinius, kai norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus būtina susieti su uždavinio sąlyga.

1. Sprendžia paprastus nestandartinius geometrinio turinio uždavinius: neįprasto konteksto; kai uždavinio sąlygoje pateikta papildomos informacijos ar perteklinių duomenų; kai norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus būtina įvertinti pradinės uždavinio sąlygos kontekste. 2. Nesudėtingais atvejais pagal uždavinio sąlygos reikalavimus nubrėžia/papildo brėžinį. 3. Įžvelgia ryšius: nesudėtingais atvejais pastebi panašiąsias figūras ir pasinaudoja jų atitinkamų matmenų, plotų, tūrių sąryšiais . 4. Paprastais atvejais abstraktų teiginį pritaiko konkrečiu atveju (pvz., atstumo tarp taškų, atkarpos vidurio taško koordinačių radimo formules).

1. Pritaiko matematinį modelį nepažįstamame kontekste; atranda ryšius tarp elementų, sujungia kelias matematines idėjas; derina įvairias matematines procedūras siekdamas gauti rezultatus, derina kelių sričių gebėjimus. 2. Kelia ir tikrina paprastas hipotezes. 3. Nesudėtingais atvejais įrodo/ argumentuoja/ pagrindžia savo samprotavimus, remdamasis savo žinomais apibrėžimais, teoremomis (pvz., išveda atstumo tarp taškų formulę). 4. Probleminio uždavinio sprendimą iliustruoja kūrybiškai modeliuodamas situaciją (pvz., iš erdvinės figūros brėžinio išsikelia atskirus fragmentus). 5. Sprendžia nesudėtingus geometrinio turinio

Kalba netaisyta

57

5. Išanalizavęs pateiktus paprasčiausius abstrakčius teiginius, geba įvertinti, kuris iš jų teisingas/klaidingas. 6. Sprendžia nesudėtingus struktūruotus uždavinius, kuriuose užduotis suskaidyta į atskiras dalis, iliustruota schema (piešiniu), derinami keli algoritmai. 7. Pateikdamas uždavinio sprendimą ir atsakymą, laikosi svarbiausių susitarimų, sprendimą stengiasi argumentuoti. 8. Paprastais atvejais pasirenka tinkamą veiksmą, metodą, sprendimo būdą. 9. Vienu būdu pateiktą matematinę informaciją perteikia kitu būdu. Sukuria paprasto uždavinio sąlygą atitinkantį modelį (pvz., brėžinį).

uždavinius, kuriuose derina kelių sričių gebėjimus. 6. Apibūdina ryšius tarp nagrinėjamų objektų. 7. Įvairiais būdais pateikia uždavinių įrodymo idėjas. 8. Uždavinių sprendimas tikslus, racionalus, iš jo padaromos pagrįstos, logiškos išvados.

10.2. Modulio A-1 Geometrinių sąryšių paieška mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokiniui


1. Rasti atkarpos ilgį, atkarpos vidurio taško koordinates, kai žinomos tos atkarpos galų koordinatės.

1. Koordinačių tiesėje pažymėkite taškus A(3), B(7), C(−2), D(−4,5) ir raskite atstumus AB, AC, CD. 2. Apskaičiuokite atstumus tarp taškų A ir B, A ir C, C ir D, kai A(300), B(−200), C(70), D(−450). 3. Taškas B yra atkarpos AC vidurio taškas. Apskaičiuokite taško B koordinatę, kai A(−2), C(8). 4. Raskite atstumą nuo taško M(−2;5) iki: a) OY ašies; b) OX ašies. 5. Duotos trys kvadrato ABCD viršūnės A(−1;1), B(4;1), C(4;−4). Raskite viršūnės D koordinates ir nubraižykite kvadratą. 6. Remdamiesi atstumo tarp taškų A(xA;yA) ir B(xB;yB) formule

22

−+

−=

By

Ay

Bx

AxAB ,

1. Duotos trys kvadrato ABCD viršūnės A(1;1), B(4;4), D(−2;4). Raskite viršūnės C koordinates ir nubraižykite kvadratą. 2. Raskite atstumą nuo taško M(12;−5) iki koordinačių pradžios. 3. Taškas C yra atkarpos AB vidurio taškas. Apskaičiuokite:

a) taško C koordinates, kai A(7

3− ;−6),

B(−1;9

4);

b) taško B koordinates, kai A(−3;−6), C(−1;4).

1. Duotos trys kvadrato ABCD viršūnės A(100;100), B(400;400), C(100;700). Apskaičiuokite viršūnės D koordinates. 2. Taškas B yra atkarpos AC vidurio taškas. Apskaičiuokite taško B koordinates, kai A(

7;32− ), C( 74;128 − ). 3. Taškai M(−4;−1) ir N(2;5) yra atkarpos MN galai. a) Nubrėžkite atkarpą M1N1, simetrišką atkarpai MN abscisių ašies atžvilgiu. b) Parašykite nubrėžtosios atkarpos M1N1 galų koordinates. c) Apskaičiuokite atkarpos MN ilgį. d) Raskite atkarpos MN vidurio taško A koordinates. 4. Įrodykite, kad taškai D(−2;2), E(2;4), F(6;−2) yra lygiašonio trikampio DEF viršūnės.

Kalba netaisyta

58

apskaičiuokite atkarpos AB ilgį, kai A(4;1), B(8;2). Atsakymą suapvalinkite iki vienetų.

5. Ar status trikampis ABC, kai A(−4;8), B(8;8), C(2;−2)?

2. Nesudėtingais atvejais be matavimo įrankių įvertinti artimiausios aplinkos objektų ar daiktų parametrus (ilgį, plotą, tūrį, kampo didumą). Naudojantis skriestuvu, liniuote ir kampainiu nubrėžti trikampio pusiaukampinę, pusiaukraštinę ir aukštinę.

1. Iš akies nustatykite, ar tarp nubraižytų keturkampių yra lygiagretainių, rombų, stačiųjų trapecijų, lygiašonių trapecijų.

2. Penki kaimynai A, B, C, D ir E turi vienodus stačiakampius sklypus. Kiekvienas kaimynas savo sklype tvora aptvėrė daržą:

Kurio iš kaimynų tvora ilgiausia? 3.1) Iš akies nubraižykite smailiojo trikampio: a) pusiaukraštines; b) pusiaukampines; c) aukštines. 2) Naudodamiesi liniuote, kampainiu ir matlankiu, patikrinkite, ar teisingai nubrėžėte.

1. Brėžinyje kvadratėlio kraštinės ilgis lygus 10 mm.

Raskite daugiakampio ABCDEFGH plotą kvadratiniais centimetrais. 2. Ūkininkui reikia aptverti rombo, kurio kraštinė lygi 63 dm, formos gėlyną. Kiek jam reikės stulpelių, jeigu jie bus kasami kas 0,9 m? 3. Kokiu kampu susikerta lygiakraščio trikampio pusiaukraštinės? 4. Nubraižykite stačiojo ir bukojo trikampių: a) pusiaukraštines; b) pusiaukampines; c) aukštines.

1. Brėžinyje kvadratėlio kraštinės ilgis lygus 5 mm.

Remdamiesi brėžiniu, raskite kiekvieno daugiakampio plotą kvadratiniais centimetrais. 2. Naudodamiesi liniuote be padalų ir skriestuvu, nubraižykite smailiojo trikampio: a) pusiaukraštines; b) pusiaukampines.

3. Spręsti nesudėtingus uždavinius, kuriuose reikia naudoti įvairių matavimų rezultatus, užrašytus standartine ir nestandartine išraiška.

1. Stačiakampio daržo tvoros ilgis lygus 26 m, o daržo plotis 150 dm. Apskaičiuokite daržo plotą kvadratiniais metrais. 2. Parašykite standartine išraiška: a) 0,7 km = ... m = ? · 10? m; b) 100 mylių = … km = ? · 10? km; (1 mylia = 1,609344 km).

1. Pateikite kitose valstybėse naudojamų matų pavyzdžių. Išreikškite juos mums įprastais matais. Pavyzdžiui, 1 jūrmylė = 1852 m, 1 barelis naftos = 158,99 l. 2. Parašykite standartine išraiška 0,0000037 dm ir išreikškite metrais.

1. Ritinio, kurio pagrindo plotas 50 dm², o aukštis 8 m, formos cisternoje laikomas benzinas. Kiek benzino telpa cisternoje? Atsakymą pateikite amerikietiškaisiais galonais (1 gal = 3,78 l), angliškaisiais galonais (1 gal = 4,54 l) ir užrašykite vienetų tikslumu.

Kalba netaisyta

59

3. Medinio kubelio paviršiaus plotas 1,5·102 mm2. Raskite: a) vienos sienos plotą; b) kubelio briaunos ilgį.

3. Medinio kubelio tūris lygus 343 cm3. a) Koks kubelio briaunos ilgis? b) Koks kubelio paviršiaus plotas? c) Keliais milimetrais reikėtų pailginti kubelio briauną, kad jo paviršiaus plotas padidėtų 218 cm2?

2. Sugalvokite ir išspręskite uždavinį su kitose valstybėse naudojamais ilgio, ploto ar tūrio matais. 3. Stačiakampio gretasienio formos akvariumo dugno matmenys 45 cm ir 40 cm. Koks turėtų būti vandens aukštis akvariume, kad vandens akvariume būtų daugiau negu 60 l, bet mažiau negu 90 l?

4. Apskaičiuoti (tiksliai arba nurodytu tikslumu) apskritimo ilgį, trikampio, keturkampio bei žinomų figūrų junginių perimetrą; kvadrato, stačiakampio, lygiagretainio, rombo, trapecijos, trikampio, skritulio ir jų junginių plotą; kubo, stačiakampio gretasienio, ritinio, stačiosios prizmės tūrį ir paviršiaus plotą, Taikyti daugiakampio kampų sumą nesudėtingiems uždaviniams spręsti.

1.

Paveikslėlyje pavaizduotų kvadratų kraštinių ilgiai lygūs 28 cm ir 8 cm. a) Kiek kartų skiriasi tų kvadratų perimetrai? b) Kiek kartų skiriasi tų kvadratų plotai? 2. Stačioji prizmė turi 12 viršūnių. a) Koks daugiakampis yra prizmės pagrindas? b) Kiek šoninių briaunų turi ši prizmė? c) Pavaizduokite šią prizmę. d) Apskaičiuokite šios prizmės visų briaunų

ilgių sumą, jei kiekviena briauna lygi 4

32

cm? 3. Rombo smailusis kampas lygus 40°. Apskaičiuokite to rombo bukojo kampo didumą.

1.

Šešiakampio ABCDEF visos kraštinės ir visi kampai lygūs (žr. brėžinį). Iš jo viršūnių kaip iš centrų nubrėžti šeši apskritimai su lygiais spinduliais taip, kad visi jie paeiliui liečia vienas kitą. Šešiakampio ABCDEF perimetras lygus 36. Koks yra užtušuotos figūros perimetras? 2. Stačioji prizmė turi 9 briaunas. a) Koks daugiakampis yra šios prizmės pagrindas? b) Apskaičiuokite šios prizmės paviršiaus plotą, jei visos briaunos

lygios 3

22 cm?

3. Apskaičiuokite dešimtkampio kampų sumą. 4. Kiek kraštinių turi daugiakampis, kurio kampų suma lygi 1260°? 5. Visi dvylikakampio kampai yra lygūs. Raskite kampo didumą.

1. Koks yra užtušuotos figūros plotas ir perimetras?

. 2. Stačiosios prizmės visos šoninės briaunos lygios 30 cm, o visos pagrindo briaunos lygios 6 cm. Visų prizmės briaunų ilgių suma lygi 2,52 m. Koks daugiakampis yra prizmės pagrindas? 3. Gardelę, pavaizduotą brėžinyje, sudaro kvadratai 1cm × 1cm. Koks yra plotas „ąsočio“, apriboto apskritimų lankais?

4. Ar egzistuoja daugiakampis, kurio kiekvienas kampas lygus 100°? 5. Visi daugiakampio kampai yra lygūs. Iš kiekvienos daugiakampio viršūnės galima nubrėžti 45 įstrižaines. Apskaičiuokite to daugiakampio kampo didumą.

Kalba netaisyta

60

5. Taikyti mastelį, santykį nesudėtingiems ilgio, ploto ir tūrio radimo uždaviniams spręsti. Pasirinkti tinkamą mastelį, kad būtų galima nubraižyti paprastą planą.

1. Atstumas tarp dviejų miestų žemėlapyje lygus 15 cm. Žemėlapio mastelis 1:500000. Koks atstumas tarp tų miestų tikrovėje?

1. Vietovės plano mastelis 1:5000. Plane pavaizduota ganykla yra stačiakampio, kurio gretimų kraštinių ilgiai yra 4,3 cm ir 5,6 cm, formos. a) Kiek metrų vielos reikės ganyklos aptvarui, naudojant jam dvi eiles vielos? b) Kiek reiks stulpų vielai pritvirtinti, jei atstumas tarp stulpų turi būti lygus 4 m?

1. Brėžinyje pavaizduoto stačiakampio viena kraštinė lygi 6 cm, o įstrižainė ─ 10 cm. Brėžinio mastelis 5:2. Apskaičiuokite tikrąjį stačiakampio plotą. 2. Sąsiuvinio lape nubraižykite klasės, kurioje mokotės, planą. Jame pavaizduokite klasės durų vietą, (į patalpoje esančius baldus ir daiktus nekreipkite dėmesio).

6. Paprasčiausiose standartinėse situacijose, sprendžiant praktinio turinio uždavinius, taikyti matematikos žinias.

1.

Paveikslėlyje pavaizduota kvadrato ABCD formos žolės plote iš lentų sukalta kvadratinė pakyla koncertuojantiems atlikėjams. Pakylą vaizduojančio kvadrato kraštinės ilgis lygus 10 m. Raskite, kiek lentų sunaudota pakylos paviršiui, jei lentos matmenys 200 cm × 20 cm?

1. Iš skardos padarytas keturkampės prizmės formos kaminas, kurio aukštis 3,5 m. Prizmės pagrindas − kvadratas, kurio kraštinės ilgis 15 cm. Kiek kvadratinių decimetrų skardos reikėjo kaminui pagaminti, jei skardos sujungimui sunaudojama 5% skardos?

1. Stačiakampio kiemo ilgis 20 m, plotis 10 m. Jame yra apskritas baseinas, kurio skersmens ilgis 8 m. Kiemą reikia iškloti stačiakampėmis plytelėmis 40 cm × 30 cm, o baseino dugną ̶ kvadratinėmis mozaikos plytelėmis 2 cm×2 cm. a) Koks baseino dugno plotas? b) Koks kiemo plotas be baseino? c) Kiek plytelių reikės kiemo išklojimui? d) Kiek plytelių reikės baseino išklojimui?

7. Perskaityti, suprasti bei interpretuoti paprastą arba nesudėtingą matematinį tekstą, arba uždavinio sąlygą ir sprendimą, taisyklę arba įrodymą. Įvairiais būdais pateikti uždavinių sprendimus, įrodymų idėjas taip, kad kiti galėtų tai suprasti ir įvertinti.

1.

Paveikslėlyje pavaizduotų apskritimų centras yra taške A. Taškas B yra atkarpos EA vidurio taškas, EA=10 cm. Iš didžiojo skritulio iškerpama mažojo skritulio formos skylė. Koks skylės plotas?

Išspręskite uždavinį bent dviem būdais. 1. Lygiašonio trikampio perimetras lygus 108 cm, o lygiagreti pagrindui vidurio linija lygi 24 cm. Apskaičiuokite trikampio kraštinių ilgius. 2. Taškas O − lygiakraščio trikampio ABC pusiaukraštinių susikirtimo taškas. Trikampio kraštinė lygi 12 cm. Apskaičiuokite trikampių AOB, AOC ir BOC plotus. 3. Ar tilps į stačiakampio gretasienio formos lagaminą 70 cm ilgio skėtis, kai

1. Įrodykite, kad atstumą tarp taškų A(xA; yA) ir B(xB ;yB) galima apskaičiuoti pagal formulę

22

−+

−=

By

Ay

Bx

AxAB .

2. Kurie iš teiginių yra neteisingi: 1) visi rombai yra lygiagretainiai; 2) visi kvadratai yra rombai; 3) kai kurie rombai yra kvadratai; 4) nei vienas stačiakampis nėra rombas; 5) kai kurie rombai yra stačiakampiai; 6) nei vienas rombas nėra kvadratas?

Kalba netaisyta

61

lagamino matmenys yra 50 cm, 40 cm ir 20 cm?

8. Pritaikyti apibrėžimą, taisyklę ar teoremą (teiginį) konkrečiu ir bendruoju atveju.

1. Paaiškinkite, kada: 1) lygiagretainis yra stačiakampis; 2) lygiagretainis vadinamas rombu; 3) stačiakampis vadinamas kvadratu; 4) stačiakampis yra rombas; 5) rombas vadinamas kvadratu.

1. Lygiagretainio plotas lygus 384 cm2, viena aukštinė lygi 24 cm, o kita yra trigubai trumpesnė. Apskaičiuokite lygiagretainio perimetrą.

1.

Paveikslėlyje pavaizduotų apskritimų centras yra taške A. Taškas B yra atkarpos EA vidurio taškas. a) Kiek kartų skiriasi tų apskritimų spindulių ilgiai? Tų apskritimų ilgiai? Tų apskritimų ribojamų skritulių plotai? b) Iš didžiojo skritulio iškerpama mažojo skritulio formos skylė. Kurią didžiojo skritulio ploto dalį sudaro likusio žiedo plotas?

9. Kelti ir tikrinti paprastas hipotezes. Išnagrinėti ir įvertinti anksčiau įgytas žinias ir gebėjimus naujai įgytų žinių ir gebėjimų kontekste.

1. Pėsčiomis apeiti kvadratinę aikštę reikia 10 minučių. Kiek minučių prireiks apeiti kvadratinę aikštę, kurios perimetras keturis kartus didesnis?

1. Pėsčiomis apeiti kvadratinę aikštę reikia 10 minučių. Kiek minučių prireiks apeiti kvadratinę aikštę, kurios plotas keturis kartus didesnis?

1. Trikampiai ACB ir AOB turi bendrą pagrindą AB. Trikampių aukštinių, nubrėžtų į pagrindą AB, ilgiai skiriasi 3 kartus. Kiek kartų skiriasi tų trikampių plotai? 2. Trikampio ABC kraštinėje BC pažymėtas taškas O taip, kad BO : CO = 3 : 4. Raskite trikampių ABO ir AOC plotų santykį.

10. Vertinti įgyjamas matematikos žinias ir gebėjimus, įžvelgti jų pritaikomumą, reikalingumą, naudingumą.

1. Stačiakampio formos žemės sklypo matmenys paveiksle masteliu 1:25000 yra 4 cm ir 2 cm. Raskite: a) tikruosius sklypo matmenis; b) sklypo perimetrą; c) plotą arais.

1.

1. Kiek litrų vandens prabėga per 20 minučių ritinio formos vamzdžiu, kurio vidaus skersmuo lygus 3 cm, jei vandens tėkmės greitis lygus 4 cm/s? 2. Geležinio ir aliumininio tašelių masės lygios. Kiek kartų aliuminio tašelio tūris didesnis už geležinio tašelio tūrį, jei aliuminio tankis lygus 2,7 g/cm3, o geležinio tašelio tankis − 7,8 g/cm3?

Kalba netaisyta

62

Verslininkas įrengė prekių sandėlį pusritinio formos angare. Sandėlio grindys yra stačiakampis, kurio kraštinės 12 m ir 30 m. Apskaičiuokite angaro tūrį ir stogo paviršiaus plotą.

Kalba netaisyta

63

11. Modulis A-2 Finansinio raštingumo elementai. Statistika. Tikimybių teorija

11.1. Modulio A-2 Finansinio raštingumo elementai. Statistika. Tikimybių teorija mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui




1. Žino, kaip surasti skaičiaus (dydžio) pusę (50% ), ketvirtį (25%), penktadalį (20%), dešimtąją dalį (10%) arba visą skaičių (dydį), kai žinoma jo dalis. 2. Paprasčiausiais atvejais moka skaičių (dydį) padidinti (sumažinti) tam tikru procentų skaičiumi. 3. Sprendžia paprastus matematinio ir praktinio turinio procentų uždavinius ir uždavinius, kuriuose reikia naudotis kalendoriumi, tvarkaraščiais ir įvairių valiutų kursų lentelėmis. 4. Moka paaiškinti, kas yra palūkanos ir palūkanų norma. 5. Atpažįsta paprastąsias ir sudėtines palūkanas. 6. Paprastais atvejais apskaičiuoja paprastąsias ir sudėtines palūkanas. 7. Supranta, kaip paprasčiausiose situacijose pasirinkti finansines paslaugas, planuojant biudžetą. 8. Supranta sąvokas „požymis ir jo reikšmės“, „dažnis“, „dažnių ašis“, „padala“, „imtis“, „imties didumas“. 9. Paprastais atvejais surinktus duomenis užrašo negrupuotų duomenų dažnių lentele. 10. Pavaizduoja duomenis paprasčiausia stulpeline diagrama. 11. Skirtingais būdais pateiktą statistinę informaciją susieja ir įterpia trūkstamus elementus. 12. Paprastais atvejais moka apskaičiuoti imties vidurkį, kai duoti duomenys.

1. Paprastais atvejais randa skaičiaus dalį (procentais) ir skaičių, kai žinoma dalis (procentais). 2. Paprastais atvejais moka skaičių (dydį) padidinti (sumažinti) tam tikru procentų skaičiumi. 3. Sprendžia nesudėtingus matematinio ir praktinio turinio procentų uždavinius ir uždavinius, kuriuose reikia naudotis kalendoriumi, tvarkaraščiais ir įvairių valiutų kursų lentelėmis. 4. Moka paaiškinti, kas yra paprastosios palūkanos ir sudėtinės palūkanos. 5. Moka apskaičiuoti, kiek padidėjo (sumažėjo) indėlis per nurodytą laiką, kai žinoma palūkanų norma, apskaičiuoti pelną. 6. Žino sudėtinių procentų skaičiavimo formulę ir moka ją pritaikyti. 7. Nustato pabrangimo, atpigimo procentinę dalį. 8. Moka paprastose situacijose pasirinkti finansines paslaugas planuojant biudžetą. 9. Nesudėtingais atvejais surinktus duomenis užrašo negrupuotų duomenų dažnių lentele. 10. Moka naudotis sąvokomis „kokybiniai ir kiekybiniai požymiai“, „procentinis dažnis“. 11. Paprastais atvejais pavaizduoja duomenis stulpeline, stačiakampe ar linijine diagrama. 12. Nesudėtingais atvejais duomenis pavaizduoja skrituline diagrama. 12. Moka paaiškinti, kaip iš duomenų eilutės, lentelės

1. Nesudėtingais atvejais randa skaičiaus dalį (procentais) ir skaičių, kai žinoma dalis (procentais). 2. Nesudėtingais atvejais moka skaičių (dydį) padidinti (sumažinti) tam tikru procentų skaičiumi. 3. Moka apskaičiuoti palūkanų normą. 4. Žino, kaip skaičiuojamas pelnas, ir moka paskirstyti pelną pagal įnašus. 5. Nesudėtingose situacijose argumentuotai pasirenka finansines paslaugas, planuojant biudžetą. 6. Nesudėtingais atvejais surinktus duomenis užrašo negrupuotų ar grupuotų duomenų dažnių lentele. 7. Nesudėtingais atvejais pavaizduoja duomenis įvairių tipų diagramomis. 8. Nesudėtingais atvejais pavaizduoja duomenis tinkamo tipo diagrama ar (ir) sieja dažnių lentelėje ir diagramoje pateiktus duomenis. 9. Paprastais atvejais apskaičiuoja imties medianą. 10. Paaiškina, kada galima taikyti sudėties taisyklę. 11. Sprendžia nesudėtingus kombinatorikos uždavinius taikydamas galimybių medžius, lenteles, kombinatorines sudėties ir daugybos taisykles. 12. Spręsdamas nesudėtingus uždavinius taiko klasikinį įvykio tikimybės apibrėžimą ir tikimybės savybes.

Kalba netaisyta

64

13. Pateikia kelių elementų rinkinių pavyzdžių, paaiškina, kaip jie koduojami ir kaip užrašoma šių rinkinių aibė. 14. Pateikia kelių elementų rinkinių, kuriuose elementų tvarka svarbi, ir rinkinių, kuriuose elementų tvarka nesvarbi, pavyzdžių. 15. Sudaro dviejų elementų rinkinių aibę, kai poros elementai imami iš skirtingų aibių, ir nurodo rinkinių variantų skaičių. 16. Nubraižo galimybių medį ar galimybių lentelę dviejų elementų rinkiniams sudaryti, kai bendrasis rinkinių skaičius neviršija 12. 17. Paprasčiausiais atvejais taiko kombinatorinę daugybos taisyklę uždaviniams spręsti, kai elementų tvarka svarbi. 18. Paaiškina, kas yra bandymas, pateikia klasikinio ir neklasikinio bandymo pavyzdžių. 19. Paprasčiausiais atvejais užrašo bandymo baigčių aibę, randa įvykiui palankių baigčių skaičių. 20. Taiko klasikinį tikimybės apibrėžimą spręsdamas paprasčiausius uždavinius. Palygina įvykius pagal jų tikėtinumą.

ar diagramos rasti imties vidurkį, medianą, modą, imties plotį. 13. Paprastais atvejais apskaičiuoja imties vidurkį, imties plotį, nustato modą, kai duomenys pateikti paprasta eilute, dažnių lentele ar diagrama. 14. Paaiškina koreliacijos prasmę, remdamasis duomenų išsidėstymu koordinačių sistemoje. 15. Paaiškina, kas yra (stochastinis) bandymas, kuo jis skiriasi nuo per kitus mokymo dalykus aptariamų bandymų. Pateikia klasikinio ir neklasikinio bandymo pavyzdžių. 16. Apskaičiuoja elementų rinkinių, kuriuose elementų tvarka svarbi, ir rinkinių, kuriuose elementų tvarka nesvarbi, skaičių. 17. Paprastais atvejais suskaičiuoja skirtingas galimybes, sudarydamas sąrašą, braižydamas galimybių medį, sudarydamas galimybių lentelę ar kitaip išrašydamas visas galimybes. 18. Žino sudėties taisyklę. 19. Paprastais atvejais taiko kombinatorinę daugybos taisyklę uždaviniams spręsti, kai elementų tvarka svarbi. 20. Paprastais atvejais užrašo bandymo baigčių aibę, randa įvykiui palankių baigčių skaičių. 21. Paprastais atvejais apskaičiuoja bandymų tikimybes remdamasis klasikiniu tikimybės apibrėžimu. 22. Paprastose situacijose atpažįsta būtinąjį, negalimąjį ir įvykiui priešingą įvykius, apskaičiuoja jų tikimybes. 23. Paaiškina, koks įvykis yra būtinas, negalimas, įvykiui priešingas. 24. Kartojant paprasčiausią bandymą daug kartų, apskaičiuoja santykinį baigties dažnį, juo remiasi vertindamas įvykio tikėtinumą. 25. Žino tikimybės savybes.

Kalba netaisyta

65


1. Moka naudotis skaičiuotuvu skaičiuodamas procentus. 2. Skaito informaciją, pateiktą stulpeline, stačiakampe, linijine diagramomis ar lentelėmis. 3. Moka naudoti pagrindines sąvokas: palūkanos, palūkanų norma, imties vidurkis, dažnis, dažnių lentelė, galimybių medis, rinkiniai, tvarka rinkiniuose, bandymo baigčių skaičius, įvykiui palankių baigčių skaičius, tikimybė ir pan. 4. Supranta svarbiausius matematinius žymenis (pvz., P(A) − įvykio A tikimybė). 5. Nubrėžia diagramas, galimybių medį. 6. Moka naudotis įvairiais informacijos šaltiniais ieškant reikiamos informacijos.

1. Formuluoja klausimus, susijusius su statistinių duomenų rinkimu. 2. Skaito nesudėtingas dažnių lenteles ir diagramas. 3. Apibūdina/apibrėžia, interpretuoja terminus: paprastieji ir sudėtiniai procentai, imties vidurkis, mediana, moda, imties plotis, koreliacija, santykinis dažnis, įvykis (būtinas, negalimas, įvykiui priešingas). 4. Supranta simbolius sudėtinių procentų, tikimybės formulėse, tikimybės savybėse. 5. Aptaria užduoties sprendimo, teiginio pagrindimo bei jų užrašymo būdų tinkamumą. 6. Uždavinių sprendimą komentuoja, iliustruoja / pagrindžia schema, lentele.

1. Aptaria užduoties sprendimą, atsakymą, vieną ar kitą teiginį. 2. Nesudėtingais atvejais pavaizduoja duomenis tinkamo tipo diagrama skaičiuokle (pvz., „Microsoft Excel“). 3. Išsamiai pateikia brėžinius, schemas, lenteles, diagramas, paaiškina žymėjimus formulėse, taisyklių taikymą.


1. Dalyvauja mokymosi procese, tačiau mokosi neplaningai ir nesistemingai. 2. Priima draugų ir mokytojos pagalbą, bet trūksta gebėjimų dirbti savarankiškai. 3. Pateikia paprasčiausių pavyzdžių iš gyvenimo apie įgytų žinių ir gebėjimų pritaikymą.

1. Imasi spręsti standartiniais būdais suformuluotas užduotis. 2. Pasitiki savo jėgomis, mokosi planingai. Aktyviai dalyvauja mokymosi procese. Siekia gauti geresnį pažymį, įgyti daugiau žinių. Prašo mokytojo papildomų užduočių, jei mato, kad ko nors dar gerai neįsisavino. Mokytojo vadovaujamas geba įsivertinti. 3. Vertina matematikos žinias ir gebėjimus, taiko juos mokydamasis kitų dalykų. 4. Pateikia matematikos taikymo kasdieniame gyvenime ir mokomuosiuose dalykuose pavyzdžių. 5. Sieja anksčiau įgytas žinias ir gebėjimus su naujai įgyjamomis žiniomis ir gebėjimais.

1. Imasi spręsti įvairiais būdais suformuluotas užduotis. 2. Padeda mokytis kitiems. 3. Prašo mokytojo papildomų užduočių. Vertina pamokos laiką. 4. Pagal pateiktus vertinimo kriterijus įsivertina gebėjimų lygį. 5. Užduotis atlieka kūrybingai, išsamiai.


1. Naudojasi dviejų dydžių priklausomybes nusakančiomis lentelėmis, grafikais, formulėmis diagramomis, spręsdamas paprastus ir matematinio turinio uždavinius. Paprastais atvejais iš grafiko, formulės, lentelės randa vieno dydžio reikšmę, kai

1. Paprastais atvejais abstraktų teiginį pritaiko konkrečiu atveju (pvz., sudėtinių procentų, tikimybės ir jos savybių formules). 2. Įžvelgia diagramomis, lentelėmis, grafiku išreikštus sąryšius.

1. Analizuoja statistinius duomenis remiantis vidurkiu, mediana, moda. 2. Numato galimą rezultatą ir jį patikrina. 3. Turėdamas perteklinės informacijos, atsirenka uždaviniui spręsti reikalingus duomenis, o esant

Kalba netaisyta

66

nurodyta kito dydžio reikšmė. 2. Įvertina savo finansines pajamas ir išlaidas. 3. Atsako į paprasčiausius tiesioginius klausimus. 4. Paprastais atvejais įvertina, kuri schema yra/nėra uždavinio sprendimo vaizdinė iliustracija. 5. Paprastais atvejais pagal uždavinio sąlygos reikalavimą nubrėžia brėžinį/schemą, lentelę, diagramą. 6. Argumentuoja atsakymus į paprasčiausius klausimus. 7. Sprendžia paprasčiausias problemas ir atlieka standartines procedūras.

3. Daro pagrįstas išvadas (pvz., apie dydžių koreliaciją). 4. Sprendžia nesudėtingus struktūruotus uždavinius, kuriuose užduotis suskaidyta į atskiras dalis, iliustruota schema (piešiniu), derinami keli algoritmai. 5. Pateikdamas uždavinio sprendimą ir atsakymą laikosi svarbiausių susitarimų, sprendimą stengiasi argumentuoti. 6. Pasirenka tinkamas, tačiau ne visada racionalias problemų sprendimo strategijas.

informacijos trūkumui, nurodo, kur ir kaip galima jos rasti. 4. Interpretuoja imties vidurkio, medianos, santykinio dažnio skaičiavimų rezultatus. 5. Paaiškina, kaip taikomos sudėties ir daugybos taisyklės. 6. Nesudėtingais atvejais pagrindžia savo samprotavimus, remdamasis žinomais apibrėžimais ir savybėmis (pvz., įrodo tikimybės savybes). 7. Atranda ryšius tarp elementų; derina įvairias matematines procedūras, siekdamas gauti rezultatą (pvz., norėdamas rasti įvykio tikimybę, performuluoja uždavinį į bandymo baigčių ir palankių baigčių skaičiaus radimo uždavinį, nustato, kokiu būdu ras baigčių skaičių, atlieka tikimybės skaičiavimus, jei reikia, apvalina skaičius ar tikimybę išreiškia procentais). 8. Sprendžia nesudėtingus probleminius uždavinius, kuriuose taiko gebėjimą derinti kelių sričių žinias (pvz., norėdamas apskaičiuoti įvykio baigčių skaičių, pavaizduoja situaciją schema; arba norėdamas nustatyti koreliacijos egzistavimą pavaizduoja situaciją brėžiniu ir pan.). 9. Uždavinių sprendimas tikslus, racionalus, iš jo daromos pagrįstos, logiškos išvados. 10. Daugeliu atveju pasirenka racionalią problemų sprendimo strategiją.

11.2. Modulio A-2 Finansinio raštingumo elementai. Statistika. Tikimybių teorija mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokiniui


1. Nesudėtingais atvejais taikyti sąvokas (skaičiaus dalis, procentas).

1. Baldų komplektas kainavo 1280 Lt. Kokia dabar baldų komplekto kaina, jeigu ji: a) padidėjo 7%;

1. Baldų komplektas kainavo 1280 Lt. Kokia dabar baldų komplekto kaina, jeigu ji: a) padidėjo 2,3%;

1. Dviračio kaina iš pradžių buvo 320 Lt. Po pusmečio dviratis pabrango 20%, o po antro pusmečio − 25%. Kiek procentų pabrango dviratis per metus?

Kalba netaisyta

67

b) sumažėjo 6%? 2. Kiek procentų 300 Lt sumos sudaro 75 Lt? 3. Nojus padėjo į banką 7000 Lt. Kiek palūkanų jis gaus po 2 metų, jei banko palūkanų norma lygi 10%, ir bankas skaičiuoja: a) paprastąsias palūkanas? b) sudėtines palūkanas? 4. Vita padėjo į banką trijų mėnesių trukmės terminuotą indėlį − 7000 Lt. Banko palūkanų norma lygi 4%, ir bankas skaičiuoja paprastąsias palūkanas. Kiek palūkanų gaus Vita? 5. Prekė kainavo 300 Lt. Ji pigo du kartus po 24%. a) Kokia prekės kaina po atpigimo? b) Keliais litais prekė atpigo? c) Keliais procentais prekė atpigo? 6. Sklypą pirko du ūkininkai, kurie sumokėjo 40000 Lt ir 60000 Lt. Padalykite 18 hektarų sklypą ūkininkams proporcingai jų sumokėtoms sumoms.

b) sumažėjo 0,15%? 2. Kiek procentų 5,12 Lt sumos sudaro 28,16 Lt? 3. Per metus internetinės naujienų svetainės puslapių peržiūrų skaičius išaugo 2,5 karto. Keliais procentais išaugo peržiūrų skaičius? 4. Bankas moka 3,2% metinių sudėtinių palūkanų. Kokią sumą reikia padėti į banką, kad po 2 metų sąskaitoje būtų 15900 Lt? Atsakymą parašykite vieno lito tikslumu. 5. Prekė kainavo 88 Lt. Du kartus po tiek pat procentų pabranginus prekę, dabar ji kainuoja 116,38 Lt. Keliais procentais kiekvieną kartą pabrango prekė? 6. Prekė atpigo tris kartus po 6%. Dabar ji kainuoja 2076,46 Lt. a) Kiek kainavo prekė iš pradžių? b) Kiek procentų iš viso atpigo prekė? c) Kiek kainavo prekė po pirmojo kainos sumažinimo? d) Kiek kainuotų prekė jos dabartinę kainą padidinus tris kartus po 6%? 7. Sklypą pirko trys ūkininkai, kurie sumokėjo 40000 Lt, 60000 Lt ir 80000 Lt. Padalykite 18 hektarų sklypą ūkininkams proporcingai jų sumokėtoms sumoms.

2. Kiek procentų skaičius 3,15 mažesnis už skaičių 4,41? 3. Agnė padėjo į banką 30000 Lt. Kokia banko metinių sudėtinių palūkanų norma, jeigu po 3 metų indėlis išaugo iki 37791,36 Lt? 4. Sodininkas sodino obelų, kriaušių, slyvų ir vyšnių sodinukus proporcingai skaičiams 14 : 5 : 7 : 9. Kiek obelų, kriaušių, slyvų ir vyšnių buvo pasodinta stačiakampiame sklype, jeigu jo dydis 150 m × 70 m, ir kiekvienam medžiui buvo skiriama 5 m2?

2. Įvairiuose informacijos šaltiniuose ieškoti informacijos, kuri padėtų rasti atsakymą į iškeltą klausimą. Rinkti duomenis pagal vieną požymį ir juos sutvarkyti.

1. Surašykite per mokslo metus savo gautus lietuvių kalbos pažymius. a) Sudarykite tų pažymių variacinę eilutę. b) Sudarykite tų pažymių dažnių lentelę. c) Nubraižykite tuos pažymius vaizduojančią taškinę diagramą.

1. Surašykite savo klasės mergaičių ir berniukų ūgius. a) Apskaičiuokite mergaičių ir berniukų ūgių vidurkius. b) Ar jūsų apskaičiuoti vidurkiai yra panašūs su visų šio amžiaus Lietuvos mokinių ūgių vidurkiais? Atsakymą

1. Šaulys, šaudydamas į taikinį, gavo tokius rezultatus: Rezultatas 2 3 4 5 6 8 9 10

Dažnis 2 3 2 2 1 5 2 3 a) Sudarykite sugrupuotų duomenų dažnių lentelę, imdami intervalus nuo 2 iki 10 kas 2.

Kalba netaisyta

68

pagrįskite. b) Pavaizduokite imtį histograma.

3. Skaityti informaciją, pateiktą įvairiomis diagramomis ar lentelėmis, paprasčiausiais atvejais pavaizduoti surinktus ir (ar) pateiktus duomenis tinkamo tipo diagrama skaičiuokle (pvz., „Microsoft Excel“), programa ar (ir) be jos.

1. Mokiniai parašė kontrolinį darbą. Gauti tokie kontrolinio darbo rezultatai: 8, 7, 7, 3, 4, 4, 10, 9, 6, 5, 6, 7, 4, 3, 3, 5, 6, 8, 9, 7. a) Sudarykite duomenų variacinę eilutę. b) Koks imties didumas? c) Sudarykite pažymių dažnių lentelę. d) Nubraižykite stulpelinę diagramą. 2. Klasėje yra 20 sportuojančių mokinių. 12 žaidžia futbolą, 14 lanko bėgimą. a) Kiek mokinių lanko dvi sporto šakas? b) Į atitinkamas skritulių dalis įrašykite skaičius, iliustruojančius šio uždavinio sprendimą.

1.

Vaikai pasvėrė savo kuprines ir gautus duomenis pavaizdavo diagrama. a) Kiek vaikų svėrė kuprines? b) Sudarykite dažnių lentelę. c) Duomenis pavaizduokite stačiakampe diagrama. d) Duomenis pavaizduokite skrituline diagrama.

1. Bendrovė „Gamtinės dujos“ skelbia gamtinių dujų tarifus vartotojams nuo 2013 m. sausio 1 d.:

Vartotojų pogrupis

1 2

Sunaudojamų dujų kiekis (Q) per kalendorinius metus

Iki 500 m3 (Q≤500 m3)

Nuo 500 m3 iki 20 000 m3 (500 m3< Q≤20000 m3)

Pastovioji tarifo dalis, Lt/m ėn. su PVM

1,95

13,81

Kintamoji tarifo dalis, Lt/m 3 su PVM

2,71

2,09

Dujų tarifai vartotojams taikomi pagal vartotojų faktiškai per metus suvartojamą gamtinių dujų kiekį. Pastovioji tarifo dalis mokama kiekvieną mėnesį nepriklausomai nuo suvartoto gamtinių dujų kiekio. Kintamoji tarifo dalis mokama už suvartotą dujų kiekį. a) Nustatykite, kuriam vartotojų pogrupiui priklauso vartotojas A ir vartotojas B, jei 2012 metų kiekvieną mėnesį jų suvartoti dujų kiekiai surašyti eilute: A: 80, 90, 85, 70, 60, 60, 30, 30, 30, 55, 70, 80; B: 10, 10, 7, 6, 10, 15, 15, 15, 15, 10, 7, 15. b) Apskaičiuokite, kiek litų sumokėjo

2 3 4 5 8012345

Masė (kg)

Daž

nis

Kalba netaisyta

69

kiekvienas vartotojas už dujas per metus. c) Kiek procentų savo metinio uždarbio sumokėjo už dujas kiekvienas vartotojas, jei vartotojo A mėnesio atlyginimas buvo 3000 Lt, o vartotojo B − 2500 Lt?

4. Skaičiuokle (pvz., „Microsoft Excel“) ar (ir) be jos rasti imties vidurkį, medianą, modą, siūlyti sprendimus, paremtus jų analize. Koreliacijos idėją paaiškinti remiantis duomenų išsidėstymu koordinačių sistemoje.

1.

Mokinio per metus gauti matematikos pažymiai pavaizduoti diagramoje. a) Parašykite imties variacinę eilutę. b) Koks imties didumas? c) Kokia gautų pažymių suma? d) Koks pažymių vidurkis?

1. Kęstas rideno lošimo kauliuką ir stebėjo atsivertusių akučių skaičių. Rezultatus pavaizdavo diagrama.

a) Koks imties didumas? b) Koks atsivertusių akučių vidurkis? c) Nustatykite atsivertusių akučių modą. d) Nustatykite atsivertusių akučių medianą. 2. Dydžių X ir Y reikšmės surašytos lentelėje:

X 2 3 4 5 6 7 8 9 Y 10 20 40 40 50 65 70 75

a) Pavaizduokite duomenis koordinačių plokštumoje. b) Nustatykite, ar dydžiai X ir Y yra koreliuoti. Jei taip, tai teigiama ar neigiama yra koreliacija?

1. Matematikos olimpiadoje vieno mokinio išspręstų uždavinių skaičiaus vidurkis yra 7. Olimpiados rezultatai pavaizduoti dažnių lentele:

1 mokinio išspręstų uždavinių skaičius

5 6 7 8 9 10

Dažnis 1 x 1 2 1 3

Apskaičiuokite x. 2. Užbaikite mintį: „Jei koordinačių plokštumos taškai, vaizduojantys dviejų nagrinėjamų požymių atitinkamas reikšmes, grupuojasi apie pasvirąją tiesę, tai sakome, kad tie požymiai ...“.

5. Sprendžiant paprastus uždavinius, sudaryti kelių elementų rinkinių aibę, kai elementai imami iš skirtingų

1. Iš skaitmenų 0, 1, 3 ir 6 sudaromi dviženkliai skaičiai. a) Sudarykite galimybių lentelę. b) Kiek skaičių gaunama?

1. Taikydami daugybos taisyklę, apskaičiuokite, kiek yra keturženklių skaičių. 2. Keliais būdais knygų lentynėlėje

1. Taikydami daugybos taisyklę, apskaičiuokite, kiek yra keturženklių skaičių, kuriuose skaitmenys nesikartoja ir nėra skaitmens 3.

5 6 7 8 90

2

4

6

8

Pažymys

Da

žnis

123456

0 1 2 3 4 5 6

Akučių skaičius

Da

žnis

Kalba netaisyta

70

arba iš vienos aibės. Apskaičiuoti rinkinių variantų skaičių, kai elementų tvarka rinkinyje yra svarbi arba nesvarbi ir (ar) kai reikia taikyti sudėties ir (ar) daugybos taisyklę.

2. Moneta metama tris kartus ir iš eilės surašoma, kuria puse į viršų ji atvirto kiekvieną kartą (herbą žymime H, skaičių žymime S). Nubraižykite galimybių medį ir surašykite visas galimas šio bandymo baigtis. 3. Valgykloje yra 3 rūšių sulčių ir 2 rūšių vaisvandenių. a) Keliais būdais galima išsirinkti vieną gėrimą? b) Keliais būdais galima išsirinkti skirtingų gėrimų porą? 4. Spynos kodas sudaromas iš 2 ženklų: pirmasis yra vienas iš skaitmenų 5, 6, 7, antrasis − viena iš raidžių a, b, c. Kiek skirtingų spynos kodų galima sudaryti? 5. Pateikite po vieną pavyzdį, kuriame būtų sudaromas kelių elementų rinkinys, atsižvelgiant į elementų tvarką rinkinyje, ir kelių elementų rinkinys, neatsižvelgiant į elementų tvarką rinkinyje.

galima sustatyti 5 skirtingas knygas? 3. Prekybos centre yra ketverios durys. a) Keliais būdais galima apsilankyti (įeiti ir išeiti) prekybos centre? b) Keliais būdais galima apsilankyti prekybos centre, jei pro tas pačias duris neinama du kartus? 4. Sporto varžybose dalyvavo 8 vienodo pajėgumo gimnastės. Keliais būdais šios gimnastės gali užimti tris pirmąsias vietas? 4. Konkurse 2 darbo vietoms užimti dalyvauja 5 kandidatai. Keliais skirtingais būdais gali būti užimtos šios darbo vietos, jei jos yra: a) vienodos; b) skirtingos?

2. Iš penkių skaitmenų 2, 4, 5, 6, 9, panaudodami kiekvieną iš jų po vieną kartą, sudarykite dviženklį ir triženklį skaičius, kad jų sandauga būtų: a) didžiausia; b) mažiausia. 3. Šachmatų turnyre kiekvienas dalyvis sužaidė su kiekvienu. Buvo sužaistos 55 partijos. Kiek žaidėjų dalyvavo turnyre? 4. Išspręskite uždavinį dviem būdais: Kokių dviženklių skaičių yra daugiau – ar kurių užraše yra bent vienas skaitmuo 3, ar kuriuose skaitmens 3 nėra?

6. Taikyti statistinį ir klasikinį tikimybės apibrėžimus, tikimybės savybę realaus turinio uždaviniams ir problemoms spręsti.

1. Metamas lošimo kauliukas, ant kurio sienelių sužymėtos 1, 2, 3, 4, 5, 6 akutės, ir stebima, kiek viršutinėje sienelėje atvirto akučių. a) Apskaičiuokite tikimybes įvykių: A − atvirto 3 akutės; B − atvirto lyginis akučių skaičius; C − atvirto mažiau negu 5 akutės; D − atvirto ne daugiau negu 5 akutės. b) Kuris iš įvykių A, B, C, D yra tikėtiniausias? 2. Krepšyje yra 12 obuolių ir 9 kriaušės. Nežiūrint traukiamas vienas vaisius. Kuris įvykis tikėtinesnis: „ištrauktas obuolys“ ar „ištraukta kriaušė“?

1. Metami du lošimo kauliukai ir randama iškritusių akučių sandauga. a) Sudarykite galimybių lentelę. b) Apskaičiuokite tikimybes įvykių: A − iškritusių akučių sandauga yra dviženklis skaičius; B − iškritusių akučių sandauga yra pirminis skaičius; C − iškritusių akučių sandauga yra 4 kartotinis; D − iškritusių akučių sandauga yra 200 daliklis. 2. a) Mokinys apskaičiavo įvykio A tikimybę ir gavo 1,2. Ar teisingas skaičiavimo rezultatas? Atsakymą pagrįskite.

1. Kokia tikimybė, kad iš skaičių 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 atsitiktinai paimtas vienas skaičius bus nelygybių sistemos

≥

−≥−

2,02,0

,4

x

x sprendinys?

2. Klasėje yra 25 mokiniai. Tikimybė, kad atsitiktinai pakviestas prie lentos mokinys yra berniukas, lygi 0,6. Kiek klasėje mokosi mergaičių? 3. Dėžėje yra 8 balti ir 4 raudoni rutuliai. Atsitiktinai ištraukiami du rutuliai. Apskaičiuokite tikimybę įvykio: A − abu ištraukti rutuliai yra raudoni; B − abu ištraukti rutuliai yra balti; C − vienas ištrauktas rutulys yra baltas, o

Kalba netaisyta

71

b) Mokinys skaičiuodamas gavo, kad įvykio B tikimybė lygi 0,2, o įvykiui B priešingo įvykio tikimybė − 0,8. Ar teisingas skaičiavimo rezultatas? Atsakymą pagrįskite. 3. Paaiškinkite, kaip skaičiuojama

įvykio tikimybė. 4. Suformuluokite tikimybės savybes. 5. Mėtome monetą ir stebime, kuria puse (skaičiumi ar herbu) į viršų ji krisdama atvirs. a) Meskite monetą 20 kartų ir apskaičiuokite herbo atvirtimų santykinį dažnį. b) Ko galima būtų tikėtis, jei monetą mestume 100, 1000 kartų ir skaičiuotume herbo atvirtimų santykinį dažnį? 6. Pateikite būtinojo ir negalimojo

įvykių pavyzdžių.

kitas − raudonas; D − abu ištraukti rutuliai yra mėlyni; E − abu ištraukti rutuliai yra tos pačios spalvos. 4. Suformuluokite šiems įvykius priešingus

įvykius: A − metant lošimo kauliuką iškrito 4 akutės; B − metant lošimo kauliuką iškrito daugiau negu 4 akutės; C − metant lošimo kauliuką iškrito ne mažiau kaip 4 akutės. 5. Įrodykite įvykio A tikimybės savybes: a) P(A) = 1, jei A − būtinas įvykis; b) P(A) = 0, jei A − negalimas įvykis; c) 0 ≤ P(A) ≤ 1; d) P(įvykiui A priešingo įvykio) = 1− P(A).

7. Paprasčiausiose standartinėse situacijose sprendžiant uždavinius taikyti matematines žinias.

1. Kelionių mugėje vyko skrydžių lėktuvu išpardavimas ir buvo taikoma iki 65% nuolaida. Skrydis į Vieną kainuoja 500 Lt, į Prahą − 600 Lt, į Pekiną − 1800 Lt. Kiek mažiausiai galėjo kainuoti skrydžiai į šiuos miestus? 2. Kiek yra skirtingų galimybių pasirinkti vieną būrelį devintokui mokykloje, kurioje veikia 4 sporto, 2 meno ir 3 mokslo būreliai?

1. Iš banko pasiskolinta 3000 Lt su 12% pastoviųjų metinių palūkanų norma (kai už paskolą, grąžinamą dalimis, palūkanos skaičiuojamos nuo pradinės paskolos sumos). Paskolą reikia grąžinti per 2 metus kas mėnesį mokant lygiomis dalimis. a) Kiek litų skolos reikia grąžinti bankui kiekvieną mėnesį? b) Kiek procentų paskolintos sumos sudaro palūkanos, mokamos kiekvieną mėnesį? c) Kiek litų palūkanų bankas priskaičiuoja kiekvieną mėnesį? d) Kokią pinigų sumą teks sumokėti bankui kiekvieną mėnesį? 2. Iš 1000000 loterijos bilietų laimi

1. Indėlininkas atidarė 10000 Lt sąskaitą banke, kuris moka 7,5% metinių sudėtinių palūkanų. Po kelerių mažiausiai metų sąskaitoje bus ne mažiau kaip 12000 Lt? 2. Iš lapelių, sunumeruotų nuo 1 iki 15, atsitiktinai ištrauktas vienas lapelis. Kokia tikimybė įvykio, priešingo įvykiui „ištrauktas sudėtinis skaičius“?

Kalba netaisyta

72

1500. Kokia tikimybė laimėti perkant vieną bilietą? Atsakymą pateikite procento šimtųjų dalių tikslumu.

8. Perskaityti arba išklausyti ir suprasti bei interpretuoti paprastą ar nesudėtingą matematinį tekstą ar uždavinio sąlygą, sprendimą, taisyklę. Tinkamai vartoti terminus bei žymenis sąvokoms, ryšiams tarp jų nusakyti, situacijoms modeliuoti. Įvairiais būdais pateikti uždavinių sprendimus ir kitą informaciją taip, kad kiti galėtų ją suprasti ir įvertinti.

1. 200 žmonių dalyvavo loterijoje. Laimėjimų duomenys surašyti procentinių dažnių lentelėje:

Suma (Lt)

0 5 50 100

Dažnis (%)

70 20 5 5

a) Apskaičiuokite, kiek žmonių nelaimėjo nieko, laimėjo 5, 50 ir 100 Lt. b) Sudarykite dažnių lentelę. c) Rezultatus pavaizduokite tiesine diagrama. d) Koks laimėjimų vidurkis?

1. 300 žmonių dalyvavo loterijoje. Laimėjimų duomenys surašyti procentinių dažnių lentelėje:

Suma (Lt) 0 5 50 100

Dažnis (%) 70 20 5 5

a) Apskaičiuokite, kiek žmonių nelaimėjo nieko, laimėjo 5, 50 ir 100 Lt. b) Sudarykite dažnių lentelę. c) Rezultatus pavaizduokite tiesine diagrama. d) Koks laimėjimų vidurkis? e) Kokia turėtų būti loterijos bilietų kaina, kad loterijos organizatoriai nepatirtų nuostolių? f) Kokia turėtų būti loterijos bilietų kaina, kad loterijos organizatoriai gautų pelno?

1. Loterijai atspausdinta 1000 bilietų. 300 jų laimi po 1 Lt, 50 − po 5 Lt, 100 − po 10 Lt, 20 − po 50 Lt. Kiek mažiausiai turėtų kainuoti vienas loterijos bilietas, kad loterija atneštų 200 Lt pelno loterijos rengėjams (organizavimo išlaidas sudarė 300Lt)?

9. Iš kelių išnagrinėtų pavyzdžių padaryti išvadas, jas pagrįsti remiantis logine argumentacija. Pritaikyti apibrėžimą, taisyklę konkrečiu ir (ar) bendruoju atveju.

1. Ridenamas lošimo kauliukas ir stebimas atvirtusių akučių skaičius. a) Sugalvokite šio bandymo būtinąjį įvykį B ir negalimąjį įvykį N. c) Raskite P(B) ir P(N).

1. Kūno kultūros pamokoje berniukai šokinėjo į aukštį. Mokytojas pasižymėjo tokius rezultatus: 90 cm, 125 cm, 125 cm, 130 cm, 130 cm. 135 cm, 135 cm, 135 cm, 140 cm, 140 cm, 140 cm. a) Raskite šios imties vidurkį, modą, medianą. b) Remdamiesi gautais skaičiais, apibūdinkite šią imtį.

1. Vaistinė skelbia: „Dabar kompensuojamųjų vaistų priemokos 75% mažesnės“. Kiek pinigų sumokės žmogus, pirkdamas šioje vaistinėje 80 Lt kainuojančius kompensuojamuosius vaistus, kuriems taikoma 25% kompensacija ir vaistinės 75% nuolaida kompensuojamųjų vaistų priemokai? (Priemoka = Kaina – Kompensacija).

10. Kryptingai siekti tikslo, kai yra kliūčių arba ribojančių sąlygų. Kelti ir tikrinti paprastas hipotezes. Išnagrinėti ir įvertinti

1. Tolimoje kelionėje sugedo automobilis, kurio remontui prireikė 5000 Lt. Automobilio savininkas neturėjo tiek pinigų, todėl nutarė pasiskolinti šią sumą

1. Tolimoje kelionėje sugedo automobilis, kurio remontui prireikė 5000 Lt. Automobilio savininkas neturėjo tiek pinigų, todėl nutarė

1. Šeima paėmė iš banko 40000 Lt paskolą su 12% mažėjančiųjų metinių palūkanų norma (už paskolą, grąžinamą dalimis, palūkanos skaičiuojamos tik nuo dar negrąžintos

Kalba netaisyta

73

anksčiau įgytas žinias ir gebėjimus naujai įgytų žinių ir gebėjimų kontekste.

mėnesiui iš bendrovės „Greitasis kreditas“. Skolinimosi sąlygos: mėnesinė procentinė norma – 9 %. a) Kiek litų automobilio savininkas sumokės bendrovei už paskolinimą, jei paskolą grąžins laiku? b) Kiek litų automobilio savininkas sumokės bendrovei už paskolinimą, jei paskolą grąžins mėnesiu vėliau?

pasiskolinti šią sumą mėnesiui iš bendrovės „Greitasis kreditas“. Skolinimosi sąlygos:

Pirmas kreditas iki 1000 Lt nemokamai, mėnesinė procentinė norma − 9,4%.

Kiek mažiausiai litų automobilio savininkas sumokės bendrovei už paskolinimą?

paskolos dalies). Kas mėnesį šeima turi mokėti po 500 Lt. Dalį šios sumos sudaro palūkanos, o likusioji dalis skiriama skolai mažinti. a) Užbaikite pildyti lentelę: Mėnuo Skola

(Lt) Palūka-nos (Lt)

Įmoka (Lt)

Grąži-nama skolos dalis (Lt)

1 40000,00 400,00 500,00 100,00

2 39900,00 399,00 500,00 101,00

3 39799,00 397,99 500,00 102,01

4 39696,99 396,97 500,00 103,03

5

6

7

8

b) Kokio dydžio skola liks, kai šeima 8 kartus sumokės reikiamas įmokas?

11. Įvairiuose informacijos šaltiniuose savarankiškai rasti reikiamos informacijos, ją apibendrinti klasifikuoti ir kritiškai vertinti.

1. Sudarykite savaitės oro temperatūros naktimis lentelę ir nubraižykite grafiką. Apskaičiuokite tos savaitės vidutinę nakties temperatūrą.

1. Kam lygi tikimybė pasirinkti iš triženklių skaičių tokį, kurio skaitmenų suma yra 3?

1. Vienoje Lietuvos vietovėje stovi televizijos siųstuvas, kuris patikimai veikia 100 km spinduliu. Apskaičiuokite tikimybę, kad Lietuvos teritorijoje esantis televizorius rodo laidas, perduodamas šio siųstuvo.

Kalba netaisyta

74

12. Modulis A-3 Problemų sprendimas, taikant funkcijų savybes

12.1. Modulio A-3 Problemų sprendimas, taikant funkcijų savybes mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui




1. Žino funkcijos sąvoką. Supranta su funkcijos sąvoka susijusius terminus (funkcija, funkcijos argumentas / nepriklausomas kintamasis, funkcijos reikšmė / priklausomas kintamasis, funkcijos apibrėžimo sritis, funkcijos reikšmių sritis, funkcijos reikšmių didėjimo / mažėjimo intervalai, didžiausia/mažiausia funkcijos reikšmė) sąvokas ir žymenis (pvz., y = f(x), f(2), (x; f(x))). 2. Sieja tiesinę ir kvadratinę funkcijas, atvirkščiąjį proporcingumą atitinkamai su tiese, parabole, hiperbole. 3. Paprasčiausiais atvejai žodžiais aprašytą funkciją moka išreikšti formule. 4. Paprastais atvejais iš funkcijos formulės randa argumento reikšmę, kai duota funkcijos reikšmė. 5. Lentele išreikštą funkciją moka išreikšti grafiku. Formule išreikštą funkciją moka išreikšti lentele. 6. Iš grafiko randa taškus, kuriuose funkcijos grafikas kerta koordinačių ašis. 7. Paprasčiausiais atvejais iš formulės randa taškus, kuriuose funkcijos grafikas kerta koordinačių ašis. 8. Paprastais atvejais atvejais patikrina, ar taškas priklauso grafiku arba formule išreikštos funkcijos grafikui. 9. Remdamasis pateiktu grafiku, sprendžia paprastus realaus ar matematinio turinio uždavinius.

1. Apibrėžia bei interpretuoja su funkcijomis susijusius matematinius terminus ir simbolius. 2. Nurodo, apibūdina pagrindinius su funkcijos sąvoka susijusius teiginius. 3. Pateikia funkcijų pritaikymo kasdieniame gyvenime ir mokomuosiuose dalykuose pavyzdžių. 4. Funkcijos y = f(x) grafiką supranta kaip taškų (x; f(x)) visumą. 5. Iš grafiko nustato, ar dviejų dydžių priklausomybė yra funkcinė. 6. Nesudėtingais atvejais iš funkcijos formulės išreiškia nurodytą dydį. 7. Paprastais atvejais žodžiais aprašytą funkciją moka išreikšti formule, lentele ir grafiku. 8. Paprastais atvejais grafiku arba žodžiais išreikštą funkciją moka išreikšti formule. Paaiškina, kaip iš tiesinės ir kvadratinės funkcijos grafikų užrašyti funkcijos išraišką. 9. Paprastais atvejais iš formulės randa taškus, kuriuose funkcijos grafikas kerta koordinačių ašis. 10. Atlieka grafiko y = x2 transformacijas: tempimą ašimi Oy (y = ax2), postūmius ašimis Ox ir Oy (y = x2 + n ir y = (x – m)2), simetriją ašies Ox atžvilgiu (y = – x2). 11. Aprašytą paprastą situaciją užrašo tiesinės arba kvadratinės funkcijos formule, pavaizduoja grafiku ir juo naudojantis sprendžia optimizavimo uždavinius.

1. Iš aprašymo žodžiais nustato, ar dviejų dydžių priklausomybė yra funkcinė. Pateikia funkcijų ir nefunkcijų pavyzdžių iš aplinkos ir kitų mokomųjų dalykų. 2. Nesudėtingais atvejais grafiku išreikštą funkciją moka išreikšti formule. 3. Nesudėtingais atvejais iš formulės randa taškus, kuriuose funkcijos grafikas kerta koordinačių ašis. 4. Sieja grafiko y = x2 transformacijas su formulės y = x2 pasikeitimais. Argumentuoja, kaip keičiasi funkcijos formulės išraiška, atliekant jos grafiko transformacijas. 5. Atlieka nesudėtingus grafiko y = x2 transformacijų (tempimo ašimi Oy (y = ax2), postūmių ašimis Ox ir Oy (y = x2 + n ir y = (x – m)2), simetrijos ašies Ox atžvilgiu (y = – x2 )) derinius. 6. Aprašytą nesudėtingą situaciją užrašo tiesinės arba kvadratinės funkcijos, atvirkščiojo proporcingumo formule, pavaizduoja grafiku ir juo naudodamasis sprendžia įvairaus turinio uždavinius. 7. Argumentuoja, kuri sprendimo strategija yra tinkamesnė konkrečiu atveju ir bendruoju atveju.

Kalba netaisyta

75


1. Perskaito ir suvokia paprastą matematinį tekstą ir uždavinio sąlygą. 2. Teisingai naudoja funkcijos žymėjimus. 3. Supranta įvairiais būdais pateiktas funkcijas. 4. Atskiria tiesės, parabolės, hiperbolės formules. 5. Naudojasi skaičiuotuvu. 6. Užrašo uždavinio atsakymą, atitinkantį užduoties reikalavimus.

1. Teisingai supranta aiškinamąjį vadovėlio tekstą, paprastų uždavinių sprendimo pavyzdžius. 2. Supranta įvairiais būdais pateiktas uždavinių sąlygas. 3. Naudoja brėžinius arba schemas paprastų uždavinių sprendimams paaiškinti. 4. Pritaiko bendrąsias tiesės, parabolės, hiperbolės formules. 5. Argumentuodamas sprendimą naudoja konkrečių funkcijų savybes. 6. Interpretuoja paprastą brėžinį, lentelę, matematinį tekstą ar uždavinio sąlygą. 7. Įvairiais būdais pateikia uždavinių sprendimus.

1. Tikslingai naudoja su funkcijos sąvoka susijusius matematinius simbolius. 2. Naudoja brėžinius nesudėtingų uždavinių sprendimams paaiškinti. 3. Argumentuodamas sprendimą naudoja funkcijų savybes. 4. Aiškiai ir nuosekliai pateikia sprendimo eigą. 5. Geba pristatyti atliktą užduotį. 6. Naudoja funkcijų grafikų braižymo kompiuterines programas.


1. Dalyvauja mokymosi procese, tačiau mokosi tik mokytojo vadovaujamas, neplaningai ir nesistemingai. Priima draugų ir mokytojos pagalbą, bet trūksta gebėjimų dirbti savarankiškai. 2. Pateikia paprasčiausių pavyzdžių iš aplinkos apie įgytų žinių ir gebėjimų pritaikomumą.

1. Imasi spręsti standartiniais būdais suformuluotas užduotis. 2. Pasitiki savo jėgomis, mokosi planingai. Aktyviai dalyvauja mokymosi procese. Siekia gauti geresnį pažymį, įgyti daugiau žinių. Prašo mokytojo papildomų užduočių, jei mato, kad kažko dar gerai neįsisavino. 3. Vertina matematikos žinias ir gebėjimus, taiko juos mokydamasis kitų dalykų. 4. Sieja anksčiau įgytas žinias ir gebėjimus su naujai įgyjamomis žiniomis ir gebėjimais.

1. Imasi spręsti įvairiais būdais suformuluotas užduotis. 2. Planuoja mokymosi laiką. Prašo mokytojo papildomų užduočių. Vertina pamokos laiką. 3. Prašo mokytojo patikrinti jo atliktą darbą, kad galėtų įsivertinti gebėjimų lygį. Realiai įsivertina savo pasiekimų lygį pagal iš mokytojo pateiktus vertinimo kriterijus. 4. Padeda mokytis kitiems. 5. Užduotis atlieka kūrybingai. 6. Vertina įgyjamas matematikos žinias ir gebėjimus, įžvelgia jų reikalingumą ir naudingumą.


1. Atsako į paprasčiausius tiesioginius klausimus. 2. Paprastais atvejais įvertina, kuri schema yra/nėra uždavinio sprendimo vaizdinė iliustracija. 3. Suvokia pagrindinius su funkcijomis susijusius simbolius. 4. Atpažįsta tinkamą formulę. 5. Argumentuoja atsakymus į paprasčiausius klausimus. 6. Sprendžia paprasčiausius uždavinius, kai norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus

1. Sprendžia paprastus nestandartinius įvairaus turinio uždavinius: neįprasto konteksto ar neįprasto funkcijų simbolių naudojimo uždavinio sąlygoje; kai reikia pasirinkti, kurią funkcijų savybę naudinga taikyti; kai uždavinio sąlygoje nepateikta informacija apie nežinomo dydžio reikšmių ribas; kai norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus būtina įvertinti pradinės uždavinio sąlygos kontekste. 2. Vienu būdu pateiktą matematinę informaciją perteikia

1. Pritaiko matematinį modelį (funkciją) nepažįstamame kontekste; atranda ryšius tarp dviejų dyžių, sujungia kelias matematines idėjas; derina įvairias matematines procedūras siekdamas gauti rezultatus, derina kelių sričių gebėjimus. 2. Kelia ir tikrina paprastas hipotezes. 3. Nesudėtingais atvejais įrodo / argumentuoja / pagrindžia savo samprotavimus, remdamasis funkcijų rūšių ir savybių žinojimu, savo sukurtais

Kalba netaisyta

76

būtina susieti su uždavinio sąlyga. 7. Paprasčiausiais atvejais sieja pateiktą dviejų dydžių priklausomybės grafiką su tų dydžių savybių nagrinėjimu. 8. Paprasčiausiais atvejais iš grafiko nustato dviejų dydžių priklausomybės savybes.

kitu būdu. Sukuria paprasto uždavinio sąlygą atitinkantį modelį, pvz., brėžinį. 3. Įžvelgia ryšius: nesudėtingais atvejais pastebi dviejų dydžių priklausomybę, nustato jos rūšį (tiesinė, kvadratinė funkcija ar atvirkščias proporcingumas) ir pasinaudoja atitinkamos funkcijos savybėmis. 4. Paprastais atvejais sudaro abstrakčius teiginius, kuriuos išanalizavęs daro išvadas (pvz., taško priklausymo funkcijos grafikui panaudojimas funkcijos formulei parašyti). 5. Išanalizavęs pateiktus paprasčiausius abstrakčius teiginius, geba įvertinti, kuris iš jų teisingas / klaidingas. 6. Sprendžia nesudėtingus struktūruotus uždavinius, kuriuose užduotis suskaidyta į atskiras dalis, iliustruota schema (piešiniu), derinami keli algoritmai. 7. Pateikdamas uždavinio sprendimą ir atsakymą laikosi svarbiausių susitarimų, sprendimą argumentuoja. 8. Paprastais atvejais pasirenka tinkamą veiksmą, metodą, sprendimo būdą.

brėžiniais (eskizais). 4. Probleminio uždavinio sprendimą iliustruoja kūrybiškai modeliuodamas situaciją (pvz., nagrinėja funkciją, atsižvelgdamas į jos apibrėžimo sritį ar uždavinio sąlygą atitinkančias argumento reikšmes). 5. Sprendžia nesudėtingus įvairaus turinio uždavinius, kuriuose derina kelių sričių gebėjimus. 6. Apibūdina ryšius tarp nagrinėjamų objektų. 7. Įvairiais būdais pateikia uždavinių įrodymo idėjas. 8. Uždavinių sprendimas išsamus, racionalus, nuoseklus, iš jo padaromos pagrįstos, logiškos išvados.

12.2. Modulio A-3 Problemų sprendimas, taikant funkcijų savybes mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokiniui


1. Sieti įvairius funkcijų reiškimo būdus, taikyti funkcijos savybes.

1. Stačiojo trikampio statinių ilgiai lygūs 3 cm ir x cm. a) Užrašykite formulę to trikampio plotui y apskaičiuoti; b) apskaičiuokite trikampio plotą, kai statinis x lygus 4 cm; 2,6 cm; c) apskaičiuokite statinio x ilgį, jei trikampio plotas y lygus 24 cm2; 13,5 cm2. 2.

1. Stačiakampio gretasienio pagrindo plotas lygus S cm2, aukštinė h cm, o tūris 20 cm3. Išreikškite plotą S aukštine h. 2. Kuri iš kreivių A, B, C yra funkcijos grafikas?

1. Išsiaiškinkite, kuriuo atveju dviejų kintamųjų priklausomybė yra funkcija. Laikykite, kad iš paminėtų kintamųjų antrasis yra nepriklausomas kintamasis. a) Stačiakampio plotas S (m2) ir ilgis a (m), jei plotis lygus 5 m. b) Žmogaus kūno masė M (kg) ir jo amžius (metais). c) Kubo briaunos ilgis a (cm) ir tūris V (cm3). d) Dažymui sunaudojamų dažų masė M (kg) ir nudažomas plotas S (m2), jei 1 m2 nudažyti

Kalba netaisyta

77

Remdamiesi funkcijos y = f(x) grafiku, raskite: a) funkcijos reikšmes f(−1) ir f(1); b) apytiksles nepriklausomo kintamojo x reikšmes, su kuriomis f(x) = 0; c) funkcijos apibrėžimo sritį; d) funkcijos reikšmių sritį; e) funkcijos reikšmių didėjimo intervalą; f) funkcijos reikšmių mažėjimo intervalus; g) funkcijos didžiausią ir mažiausią reikšmes intervale [−1,5; 1,5]. 3. Nubraižykite funkcijos f(x) = 5x – 2 grafiką. Remdamiesi grafiku, nustatykite: a) funkcijos reikšmę, atitinkančią argumento reikšmę –1; 1; b) apytikslę argumento reikšmę, atitinkančią funkcijos reikšmę 3; −4; c) grafiko ir OX ašies susikirtimo taško koordinates; d) grafiko ir OY ašies susikirtimo taško koordinates; e) ar taškas (0; −2) priklauso grafikui. 4. Apskaičiuokite funkcijos y = x² − 9 grafiko susikirtimo su Ox ašimi taškų koordinates.

3. Duota funkcija y = 4x², kur x yra sveikasis skaičius ir −5 < x < 3. Sudarykite kintamųjų x ir y atitinkamų reikšmių lentelę, parašykite šios funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritis ir nubraižykite grafiką. 4. Apskaičiuokite funkcijos f(x) = 3x − 4 grafiko taškų A(√7; y) , B( x ;− √2) ,C(10; f (10))

nežinomas koordinates.

reikia 0,15 kg dažų. 2. Funkcijos g(x) = 2,5x + b grafikas eina per tašką A(−4; 1). Ar šis grafikas eina per tašką B(6,3; 8,17)? 3. Nubraižykite pirmame koordinatiniame ketvirtyje keletą stačiakampių, kurių plotas lygus 12 cm², taip, kad kiekvieno stačiakampio viena kraštinė būtų Ox ašyje, o kita − Oy ašyje. Kokią kreivę sudaro visų galimų tokių stačiakampių viršūnės, nepriklausančios koordinačių ašims? Nubraižykite šią kreivę. Kokios funkcijos grafikas yra ši kreivė?

2. Atlikti grafiko y = x2 1. Kuri iš paveikslėlyje pavaizduotų tiesių 1. Kuri iš paveikslėlyje pavaizduotų 1. Ar galima stumdant sutapdinti parabolės

Kalba netaisyta

78

transformacijas: tempimą ašimi Oy (y = ax2), postūmius ašimis Ox ir Oy (y = x2 + n ir y = (x – m)2), simetriją ašies Ox atžvilgiu (y = –x2); sieti grafiko transformacijas su formulės y = x pasikeitimais.

A, B, Cyra kiekvienos iš funkcijų y = 2x, y = 2x + 1, y = 2x − 2 grafikas?

parabolių A, B, C, D yra kiekvienos iš funkcijų y = x², y = −x², y = −x² +1, y = −x² − 1 grafikas?

y = 3x² − 40 grafiką su parabolės y = 3x² + 40 grafiku? 2. Kvadratinės funkcijos y = x² grafikas buvo pastumtas 2 vienetais į dešinę ašimi Ox, po to atvaizduotas simetriškai ašies Ox atžvilgiu ir vėl pastumtas 3 vienetais žemyn ašimi Oy. Kokios funkcijos grafikas gautas atlikus šias transformacijas?

3. Remtis tiesioginio ar atvirkščiojo proporcingumo, tiesinės, kvadratinės funkcijos modeliais bei savybėmis aiškinantis įvairaus turinio nesudėtingų uždavinių sprendimus.

1. Kuris iš taškų A(‒3; 1), B(2; ‒2), C(‒2,5; 1,6) priklauso funkcijos g(x) = −4:x grafikui? 2. Pagal pateiktą formulę nurodykite funkcijos pavadinimą ir kokia figūra yra tos funkcijos grafikas: a) f(x) = −2x; b) g(x) = 3x² − 5; c) g(x) = 3x + 5. 3. OX ašyje pažymėta vieno gaminio kaina (Lt), OP ašyje pažymėtas įmonės savaitės pelnas (Lt). Remdamiesi eskizu, nustatykite: a) kokia turi būti vieno gaminio kaina, kad įmonė gautų savaitinį pelną; b) kokia turi būti vieno gaminio kaina, kad įmonės savaitinis pelnas didėtų; c) kokiai vieno gaminio kainai esant, savaitinis pelnas mažėja;

1. Funkcijos x

ay = grafikas eina per

tašką (−1,5; 4). Raskite a reikšmę ir parašykite funkcijos formulę. 2. Tiesinės funkcijos ( ) bxxf += 4

reikšmė lygi 6,5, kai x = 2. Raskite b reikšmę. 3. Raskite funkcijos f(x) = x² apibrėžimo sritį, jei šios funkcijos reikšmių sritis užrašoma nelygybėmis 0 ≤ f(x) ≤ 36. 4. Vertikaliai aukštyn mesto kūno aukščio h (m) ir nuo metimo pradžios praėjusio laiko x (s) priklausomybė išreiškiama formule h(x) = 30x ‒ 5x². a) Pagal uždavinio sąlygą nustatykite funkcijos apibrėžimo sritį.

1. Parašykite koordinates taško, per kurį eina visų trijų duotų tiesinių funkcijų grafikai: y = 3x + 5; y = −3x + 5; y = 5x + 5. 2. Kodėl atvirkščiojo proporcingumo grafike nėra taško, kurio abscisė lygi 0? 3. Kokias reikšmes įgyja reiškinys x², jei: a) 0,5 ≤ x ≤ 1,5; b) ‒3 ≤ x ≤ ‒1; c) ‒3 ≤ x ≤ 1. 4. Kvadratinės funkcijos f(x) = ax² + bx grafikas eina per tašką (3; −9), o jo simetrijos ašis yra tiesė x = 1. Raskite koeficientų a ir b reikšmes. 5. Raskite realųjį skaičių, iš kurio atėmus jo paties kvadratą, skirtumas būtų didžiausias.

Kalba netaisyta

79

d) koks didžiausias įmonės savaitinis pelnas.

b) Apskaičiuokite funkcijos grafiko susikirtimo su OX ašimi x reikšmes. c) Apskaičiuokite parabolės viršūnės koordinates. d) Nubraižykite scheminį grafiką, atsižvelgdami į parabolės šakų kryptį, viršūnės koordinates ir susikirtimo su Ox ašimi taškų abscises. e) Nustatykite, po kiek sekundžių kūnas bus pakilęs aukščiausiai. f) Nustatykite kūno didžiausią aukštį nuo žemės.

4. Nesudėtingose situacijose, sprendžiant uždavinius taikyti matematines žinias.

1. Raskite kvadratinės funkcijos y = x² + 2x ‒ 4 grafiko viršūnės koordinates ir susikirtimo su Oy ašimi taško koordinates.

1. Paaiškinkite, kodėl funkcijos y = a x² grafikas eina per tašką (1; a).

1. Taškas A(m; n) priklauso kvadratinės funkcijos f(x) = 16 x² grafikui. Įrodykite, kad taškas B(4m; n) priklauso kvadratinės funkcijos g(x) = x² grafikui.

5. Tinkamai vartoti terminus bei žymenis sąvokoms, ryšiams tarp jų nusakyti, situacijoms modeliuoti.

1. Nustatykite didėja ar mažėja savo apibrėžimo srityje tiesinė funkcija: a) y = 16x ‒ 50; b) y = ‒26x + 70; c) y = 16 ‒ 50x.

1. Nustatykite koeficiento a ženklą, jei žinoma, kad funkcijos y = a x² reikšmių sritis yra neneigiamųjų skaičių aibė.

1. Tiesė y = kx+b ir parabolė y = x² kertasi taškuose (0,5; −0,25) ir (−3; −9). a) Parodykite, kad minėtos tiesės lygtis yra y = 2,5x+1,5. b) Parašykite kvadratinę lygtį, kurios sprendiniai yra lygūs tų susikirtimo taškų abscisėms.

6. Pritaikyti taisyklę, formulę konkrečiu ir (ar) bendruoju atveju.

1. Plieninis trosas, kurio skersinio pjūvio skersmuo lygus d mm, išlaiko krovinį, kurio masė M = 0,01d². Apskaičiuokite sunkiausio išlaikomo krovinio masę, jei troso skersinio pjūvio skersmuo lygus 30 mm? 2,5 cm?

1. Funkcijos f(x) = −2x² + bx grafiko viršūnės abscisė lygi 2. Raskite: a) b reikšmę; b) argumento reikšmes, su kuriomis funkcijos reikšmė lygi 0; c) viršūnės ordinatę.

1. Nustatykite koeficiento a ženklą, jei

žinoma, kad funkcijos x

ay = reikšmės yra

neigiami skaičiai, kai argumento reikšmės yra teigiami skaičiai. 2. Kvadratinės funkcijos y = a x² + bx + c grafikas kerta abscisių ašį taškuose (5; 0) ir (−3; 0). Raskite šio grafiko simetrijos ašies susikirtimo su abscisių ašimi taško koordinates.

Kalba netaisyta

80

7. Sieti matematikos žinias su gyvenimu, įžvelgti jų pritaikomumą, reikalingumą, naudingumą.

1. Paveikslėlyje pavaizduota priklausomybė tarp atstumų, kuriuos nuėjo trys berniukai, ir tiems atstumams įveikti sugaišto laiko. Kurio berniuko greitis buvo didžiausias?

2. Kvadrato ABCD kraštinės ilgis lygus 5. Pažymėkime CE = DF = x.

1) Trikampių BCE ir EDF plotus išreikškite kintamuoju x. 2) Parodykite, kad keturkampio ABEF plotas skaičiuojamas pagal formulę S(x) = 0,5x² − 5x + 25. 3) Remdamiesi funkcijos S(x) = 0,5x² − 5x + 25 grafiko eskizu, raskite x reikšmę, su kuria keturkampio ABEF plotas yra mažiausias. 4) Apskaičiuokite mažiausią keturkampio ABEF plotą.

1. Milimetriniame popieriuje nubraižykite funkcijos f(x) = x² grafiką. Remdamiesi juo, raskite: a) skaičių 1,2; 1,5; 2,1; 2,6 kvadratų reikšmes 0,1 tikslumu;

b) √0,7,√1,3,√2 ,√2,5 0,1 tikslumu. 2. Parabolės formos pastato stogo elemento ABCB1A1 laikančiąją konstrukciją sudaro atramos AB, BC, CB1, B1A1, BE, CD, B1E1. Kiek metrų metalinio strypo iš viso reikia šioms atramoms pagaminti, jeigu AA1 = 80 m, CD = 10 m, AE = ED = DE1 = E1A1? Atsakymą parašykite 0,1 m tikslumu.

Kalba netaisyta

81

13. Modulis T-1 Geometrija kasdieniniame gyvenime

13.1. Modulio T-1 Geometrija kasdieniniame gyvenime mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui




1. Remdamiesi pavyzdžiu, apskaičiuoja atkarpos ilgį. 2. Moka spręsti paprasčiausius praktinio turinio uždavinius, kuriuose duomenys pateikti vienodais matavimo vienetais. 3. Susipažinę su kitose ES valstybėse ir pasaulio šalyse naudojamais matais ir taiko juos paprasčiausiuose skaičiavimuose. 4. Paprasčiausiais atvejais moka apskaičiuoti perimetrą, plotą, tūrį figūros, kuri yra žinomų figūrų junginys. 5. Pagal pavyzdį nusibrėžia nurodytų matmenų kubo, stačiakampio gretasienio, stačiosios prizmės išklotines. 6. Supranta, kad mastelis yra rodomo plane ir tikrojo dydžio santykis.

1. Paaiškina, kaip rasti atkarpos ilgį, kai žinomos atkarpos galų taškų koordinatės. 2. Moka spręsti paprastus praktinio turinio uždavinius, kuriuose duomenys pateikti skirtingais matavimo vienetais. 3. Susipažinę su kitose ES valstybėse ir pasaulio šalyse naudojamais matais ir taiko juos paprastuose skaičiavimuose. 4. Paprastais atvejais skaičiuoja perimetrą, plotą, tūrį figūros, kuri yra žinomų figūrų junginys. 5. Skaičiuoja pasigaminto paprasto modelio paviršiaus plotą, tūrį. 6. Nusibrėžia taisyklingosios piramidės, ritinio, kūgio išklotines. 7. Mastelį naudoja paprasčiausių kasdieniškų problemų sprendimui.

1. Paaiškina, kaip susijusios atkarpos vidurio taško koordinatės su atkarpos galų taškų koordinatėmis, moka apskaičiuoti atkarpos ilgį, atkarpos vidurio taško koordinates. 2. Susipažinę su kitose ES valstybėse ir pasaulio šalyse naudojamais matais ir taiko juos nesudėtinguose skaičiavimuose. 3. Nesudėtingais atvejais skaičiuoja perimetrą, plotą, tūrį figūros, kuri yra žinomų figūrų junginys. 4. Skaičiuoja nesudėtingo pasigaminto modelio paviršiaus plotą, tūrį. 5. Sprendžia tekstinius geometrijos uždavinius, susijusius su artima aplinka. 6. Mastelį sieja su panašumo koeficientu. 7. Mastelį naudoja paprastų kasdieniškų problemų sprendimui.


1. Teisingai supranta pagrindines geometrines sąvokas, procedūras. 2. Teisingai supranta paprasčiausių praktinių geometrinių uždavinių sąlygas. 3. Mokytojo padedamas susieja praktinę situaciją su matematiniu modeliu. 4. Perteikia trumpus, be paaiškinimų, nesusijusius praktinio uždavinio sprendimo fragmentus.

1. Teisingai supranta svarbiausias geometrijos sąvokas, procedūras ir paprastų praktinio turinio uždavinių sąlygas. 2. Daugeliu atvejų sugeba savais žodžiais interpretuoti ir aiškinti sąvokas, praktinio geometrijos uždavinio sprendimus ar daromas logines išvadas. 3. Teisingai ir aiškiai perteikia pagrindines mintis bei pateikia uždavinio sprendimą, tačiau komunikuojant

1. Teisingai supranta įvairiais būdais pateiktas praktinio geometrijos uždavinio sąlygas, sprendžia įvairaus konteksto uždavinius. 2. Nuosekliai, tiksliai, aiškiai, glaustai, taisyklingai perteikia pagrindines mintis apie praktinės užduoties kontekstą. 3. Tiksliai ir tikslingai geometrijos praktiniam uždaviniui pritaiko matematinį modelį, vartoja tinkamus

Kalba netaisyta

82

trūksta tikslumo, nuoseklumo, glaustumo, nepagrindžiami esminiai momentai.

geometrijos terminus ir simbolius. 4. Nuosekliai, aiškiai, glaustai pateikia praktinio geometrijos uždavinio sprendimą.


1. Mokydamasis noriai bendrauja su kitais, bet nepasitiki savo jėgomis. 2. Daugeliu atvejų atlieka tik tai, kas pavesta. Menkas praktinis žinių pasitikrinimas.

1. Supranta matematikos mokymosi svarbą, jaučia atsakomybę už mokymosi rezultatus, stengiasi, aktyviai dalyvauja mokymosi procese. 2. Teigiamai vertina savo ir kitų daromą pažangą, vertina įgyjamas praktines matematikos žinias ir gebėjimus.

1. Domisi matematika, aktyviai dalyvauja mokymosi procese, pasitiki savo jėgomis, siūlo originalių praktinių idėjų ir jų įgyvendinimo būdų atliekant praktines geometrijos užduotis. 2. Noriai padeda kitiems mokytis, vertina įgyjamas praktines matematikos žinias ir gebėjimus.


1. Sprendžia paprasčiausius kasdieniame gyvenime pasitaikančius geometrinio konteksto uždavinius, kai uždavinio sąlyga pateikta neįprastu būdu, kai norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus būtina susieti su uždavinio sąlyga. 2. Paprastais atvejais pagal uždavinio sąlygos kontekstą nubraižo /papildo brėžinį. 3. Nesudėtingais atvejais nežinomą kelių figūros dalių plotą apskaičiuoja kaip žinomos figūros ploto dalį/plotą. 4. Paprasčiausiais atvejais išrašo ir perrenka kelis variantus, randa uždavinio sąlygą tenkinantį atvejį.

1. Sprendžia paprastus neįprasto konteksto geometrijos praktinius uždavinius, kurių sąlygoje pateikiama papildoma informacija, kuriuose norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus būtina patikrinti atsižvelgiant į pradinės sąlygos kontekstą. 2. Paprastais atvejais abstraktų geometrinį teiginį pritaiko praktinio geometrijos uždavinio atveju. 3. Nesudėtingais atvejais praktinio geometrijos uždavinio sprendimą (atskirą jo etapą) iliustruoja brėžiniu. 4. Nesudėtingais atvejais randa būdą figūrų junginio plotui, perimetrui, tūriui apskaičiuoti, kai figūros junginyje nepersidengia. 5. Paprastais atvejais sugalvoja, kaip perrenkant variantus rasti praktinio geometrijos uždavinio sąlygą tenkinantį variantą.

1. Sprendžia nesudėtingus neįprasto konteksto geometrijos praktinius uždavinius, kurių sąlygoje pateikiama perteklinė informacija, ir norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus būtina įvertinti pradinės praktinio geometrijos uždavinio sąlygos kontekste. 2. Nesudėtingais atvejais abstraktų geometrijos teiginį pritaiko praktinio geometrijos uždavinio konkrečiam atvejui. 3. Aprašytoje praktinėje geometrijos turinio situacijoje parenka matematinį modelį figūrų junginio perimetrui, plotui, tūriui apskaičiuoti, kai papildomai reikia rasti tam tikrus reikalingus matmenis, pasinaudoti masteliu. 4. Nesudėtingais atvejais sugalvoja, kaip perrenkant variantus rasti praktinio geometrijos uždavinio sąlygą tenkinantį variantą.

13.2. Modulio T-1 Geometrija kasdieniniame gyvenime mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokiniui


1. Rasti atkarpos ilgį, atkarpos 1. Išmatuokite atkarpos ilgį. Užrašykite jo 1. Pažymėkite koordinačių plokštumoje 1. Koordinačių plokštumoje pažymėkite

Kalba netaisyta

83

vidurio taško koordinates, kai žinomos atkarpos galų koordinatės.

didumą milimetrais, centimetrais, metrais, vienetinėmis atkarpomis.

2. Remdamiesi brėžiniu, užrašykite taškų A ir B koordinates. Pagal formulę

( ) ( )22ABAB yyxxAB −+−=

apskaičiuokite atstumą tarp taškų A ir B.

tašką N, simetrišką taškui M (−3; −4) koordinačių pradžios atžvilgiu. Apskaičiuokite atstumą tarp taškų MN. 2. Apskaičiuokite trikampio ABC perimetrą, kai duotos jo viršūnių taškų koordinatės A(1; 7), B(7; 15), C(−2; 3).

taškus A(2; 3) ir B(4; 6). Apskaičiuokite taško, kurio atžvilgiu simetriški šie du taškai, koordinates. 2. Parodykite, kad trikampis KLM statusis, ir apskaičiuokite jo plotą, kai M(5; 0), N(0; 5), K(3; 6).

2. Nesudėtingais atvejais be matavimo įrankių įvertinti artimiausios aplinkos objektų ar daiktų parametrus (ilgį, plotą, tūrį, kampo didumą). Naudojantis skriestuvu, liniuote ir kampainiu nubrėžti trikampio pusiaukampinę, pusiaukraštinę ir aukštinę.

1. Kaip turint tik virvutę nustatyti keturkampio rūšį, jei tas keturkampis: rombas? Stačiakampis? Kvadratas? Lygiagretainis? 2. Naudodamiesi kampainiu ir liniuote nubrėžkite: smailiojo trikampio aukštines ir pusiaukraštines.

1. Stačiakampio gretasienio formos dėžutės matmenys 1 dm × 0,6 dm × 0,5 dm. Ar tilps šioje dėžutėje 1,2 dm ilgio lazdelė? 2. Naudodamiesi liniuote ir kampainiu nubrėžkite bukojo trikampio pusiaukraštines ir aukštines.

3. Paskui 1,8 m ūgio žmogų nutįsta 3 m ilgio jo šešėlis. Kokio dydžio kampą (1º tikslumu) saulės spinduliai sudaro su Žemės paviršiumi? 4. Naudodamiesi skriestuvu ir liniuote nubrėžkite trikampio (stačiojo, smailiojo, bukojo) pusiaukampines, pusiaukraštines, aukštines.

3. Spręsti paprastus uždavinius, kuriuose reikia naudoti įvairių matavimų rezultatus.

1. Apskaičiuokite buto grindų plotą, kai yra žinoma, kad kambario plotas 20 m2, virtuvės – 9 m2, likęs buto plotas 12,5m2. Žinodami, kad 1 m2 šildymo kaina yra 5 Lt 25 ct, apskaičiuokite, kiek kainuos šio buto šildymas mėnesiui.

1. Dažytojas dažo dviejų kambarių buto grindis. Vieno kambario grindų plotas 18,2 m2, kito – 2250 cm2. Kokį plotą turi nudažyti dažytojas? Jei 1m2 nudažyti reikia 150g dažų, tai kiek kilogramų dažų reikės, norint nudažyti abiejų kambarių grindis? Kiek kainuos dažai, jei 1 kg kaina 18 Lt?

1. Dažytojas dažo dviejų kambarių buto grindis. Vieno kambario grindų plotas 18,2 m2, kito – 2250 dm2. Ar užteks 8 kg dažų grindims nudažyti, jei 1 m² dažymui sunaudojama 200 g dažų? Kaip pigiausia pirkti dažus, jei jie parduodami dėžutėse po 1 kg už 18 Lt, dėžutėse po 2 kg už 34 Lt ir po 3 kg už 46,5 Lt? Atsakymą pagrįskite.

4. Apskaičiuoti (tiksliai arba nurodytu tikslumu) trikampio, keturkampio, skritulio perimetrą; kvadrato,

1. Sujungus du lygius kvadratus, gaunamas stačiakampis. Koks stačiakampio perimetras, jei kiekvieno kvadrato plotas 1 cm²?

1. Stačiojo trikampio vienas kampas 30º, o mažesnysis statinis – 6 cm. Išvestos trys trikampio vidurinės linijos sudaro trikampį. Apskaičiuokite gauto

1. Trikampiai ABC ir MNK panašūs. Jų atitinkamųjų kraštinių santykis 8 : 5. Trikampio ABC plotas 25 cm² didesnis už trikampio MNK plotą. Apskaičiuokite

Kalba netaisyta

84

stačiakampio, lygiagretainio, rombo, trapecijos, trikampio, skritulio plotą; kubo, stačiakampio gretasienio, ritinio, kūgio, taisyklingosios piramidės, stačiosios prizmės tūrį ir paviršiaus plotą, rutulio tūrį. Taikyti daugiakampio kampų sumą paprastiems uždaviniams spręsti.

2. Stačiakampio gretasienio formos patalynės dėžės tūris 216 dm³, o pagrindo plotas 36 dm². Apskaičiuokite šios dėžės aukštį.

trikampio perimetrą. 2. Bokšto stogas yra kūgio, kurio aukštis 5 m, o skersmuo 8 m, formos. Kiek kainuos dažai bokšto stogui perdažyti, jei 1 m² reikia 300 g dažų, o dažyti reikia du kartus? 1 kg dažų kainuoja 32 Lt (π ≈ 3,14).

trikampių plotus. 2. Apskaičiuokite medinės tuščiavidurės ritės masę (m = ρV), jei medžio tankis 700 kg/m³. Atsakymą užrašykite 0,1 kg tikslumu (π ≈ 3,14).

5. Taikyti mastelį, santykį paprastiems ilgio, ploto ir tūrio radimo uždaviniams spręsti. Pasirinkti tinkamą mastelį, kad būtų galima nubraižyti paprastą planą.

1. Žemėlapio mastelis 1 : 500000. Atstumas šiame žemėlapyje tarp Kėdainių ir Utenos 21 cm. Koks realus atstumas tarp Kėdainių ir Utenos? 2. Išmatuokite savo kambario ilgį ir plotį. Pasirinkę tinkamą mastelį, nubraižykite savo kambario planą.

1. Nemuno ilgis 937 km, o Lietuvoje tekančios šios upės dalies ilgis 475 km. Koks ilgis Nemuno, tekančio Lietuvoje, yra žemėlapyje, kurio mastelis 1 : 3000000? Atsakymą parašykite centimetro tikslumu. 2. Pagal paveikslo duomenis apskaičiuokite sklypo plotą hektarais, kai mastelis 1 : 10000.

1. Atstumas nuo sodybos iki artimiausio kultūros centro yra 2 km 300 m, o žemėlapyje 2,3 cm. Nustatykite žemėlapio mastelį. 2. Vėliavos pločio ir ilgio santykis 3 : 5. Vėliavos kraštams apsiūti turime 5,4 m juostelės. Kokių matmenų vėliavą galėtume apsiūti, jei panaudosime visą juostelę. Atsakymą pateikite 1 cm tikslumu. Kiek kvadratinių metrų medžiagos reikėtų tokiai vėliavai pasiūti? 3. Marso skersmuo apytiksliai dvigubai mažesnis už Žemės skersmenį. Kiek kartų jo tūris mažesnis už Žemės tūrį?

6. Sprendžiant paprasčiausius standartinius praktinio turinio uždavinius, taikyti matematikos žinias.

1. Pagaminęs stovą gėlėms, meistras apvertė stovą ir tarp stovo kojų galų ištempė virvutes taip, kaip parodyta paveiksle.

1. Saulė nusprendė iš kartono pasigaminti kubo formos dėžutę smulkiems daiktams sudėti. Dėžutės aukštis 12 cm. Ar užteks šios dėžutės

1. Plieninio vamzdžio ilgis 4,2 m. Vidinis vamzdžio skersmuo 56 cm, o išorinis – 58cm. Ar gali mašina, kurios keliamoji galia 3 tonos, iš karto atvežti 5 tokius vamzdžius?

Kalba netaisyta

85

Kokią išvadą padarys meistras, jei virvutės liesis? Jei virvutės nesilies?

gaminimui nusipirkti 50 cm × 25 cm dydžio kartono lapo ? Atsakymą pagrįskite.

Plieno tankis 7,8 g/cm³.

7. Perskaityti arba išklausyti ir suprasti paprastą matematinį tekstą ar uždavinio sąlygą. Tinkamai vartoti terminus bei žymenis sąvokoms ir ryšiams tarp jų nustatyti.

1. Pažvelkite į šią figūrą ir pasakykite, kelių mažiausiai kraštinių ilgį reikia žinoti, kad apskaičiuotume tikslų perimetrą ir plotą? Atsakymą paaiškinkite.

1. Skardinė yra ritinio formos. Jos pagrindo skersmuo lygus 6 cm. Kokio aukščio turi būti skardinė, kad joje tilptų 0,5 l gėrimo?

1. Ūkininkas turi žemės, kurią nori po lygiai padalyti keturiems savo vaikams – kiekvienam po sklypą. Padalyti sklypai turi būti vienodo dydžio ir formos. Nubraižykite šių sklypų ribas.

8. Klasifikuoti matematinius objektus pagal pasiūlytą arba pasirinktą požymį.

1. Sugalvokite penkis buities daiktus, kurių forma panaši į ritinį, kūgį, kubą, stačiakampį gretasienį, rutulį.

1. Pavaizduokite du skirtingus briaunainius ir du skirtingus sukinius.

1. Suklasifikuokite pavaizduotas figūras pagal kraštines:

9. Išnagrinėti ir įvertinti anksčiau įgytas žinias ir gebėjimus naujai įgytų žinių kontekste.

1. Ar kvadrato perimetras ir jo kraštinė yra tiesiogiai proporcingi dydžiai?

1. Stačiakampio plotas 60 cm². Koks nuspalvinto trikampio plotas?

1. Dirbtuvėse yra dvi stačiakampės ir viena kvadratinė medžio plaušo plokštės. Jų plotai vienodi, kai kurie matmenys parodyti paveiksle. Kiek kvadratinių plokštelių, kurių kraštinė 12 cm, galima išpjauti iš kiekvienos

Kalba netaisyta

86

medžio plaušo plokštės? Kiek procentų faneros bus sunaudojama kiekvienu atveju?

10. Vertinti įgyjamas matematikos žinias ir gebėjimus, įžvelgti jų pritaikomumą, reikalingumą, naudingumą.

1. Iš vielos reikia pagaminti kubo formos karkasą, kurio briaunos ilgis 8 cm. Kiek centimetrų vielos mums prireiks?

1. Namų valdos žemės sklypo plotas 6 arai. Taką, vedantį į namą, šeimininkai nusprendė iškloti trinkelėmis, o likusią dalį užsėti veja. Kiek kilogramų sėklų reikės nusipirkti vejai, jei žinoma, kad 1 m² reikia apie 30 g sėklų?

1. Ieva iš druskų kasyklos parsivežė suvenyrinę taisyklingąja keturkampę piramidę, kurios pagrindo kraštinės ilgis 6 cm, o šoninės briaunos ilgis 8 cm. Ar tilps šis suvenyras į stačiakampio gretasienio formos dėžutę, kurios matmenys 7 cm × 6,2 cm × 6,5 cm?

Kalba netaisyta

87

14. Modulis T-2 Planuojame, renkame duomenis, kombinuojame, tikimės...

14.1. Modulio T-2 Planuojame, renkame duomenis, kombinuojame, tikimės...mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui




1. Žino, kaip dydį padidinti (sumažinti) tam tikru procentų skaičiumi. Paprasčiausiais atvejais apskaičiuoja dydžio, padidinto (sumažinto) tam tikru procentų skaičiumi reikšmę 2. Žino sąvokas paprastosios ir sudėtinės palūkanos, palūkanų norma, paprastieji ir sudėtiniai procentai. Paprasčiausiais atvejais apskaičiuoja: paprastąsias palūkanas; sudėtines palūkanas; paprastuosius procentus, sudėtinius procentus. Pagal pavyzdį apskaičiuoja pabrangimo (atpigimo) procentinę dalį. 3. Žino sąvokas: požymis ir jo reikšmės, dažnis, procentinis dažnis. Moka surinkti duomenis pagal vieną požymį ir paprasčiausiai juos sutvarkyti negrupuotų duomenų dažnių lentele. 4. Paprastais atvejais moka surinktus duomenis pavaizduoti tinkamo tipo diagrama. 5. Žino sąvokas imties vidurkis, mediana, moda. Moka nurodyti medianą, modą, apskaičiuoti imties vidurkį. 6. Pateikia rinkinių pavyzdžių. Spręsdami paprastus praktinius uždavinius sudaro rinkinių aibę. Moka apskaičiuoti rinkinių variantų skaičių, kai į elementų tvarką rinkinyje neatsižvelgiama. Paprasčiausiais atvejais taiko sudėties ir daugybos taisyklę skaičiuodami rinkinių skaičių. 7. Moka kartoti paprasčiausią bandymą daug kartų,

1. Paaiškina, kaip dydį padidinti (sumažinti) tam tikru procentų skaičiumi. 2. Supranta ir paaiškina sąvokas: paprastosios palūkanos, sudėtinės palūkanos, palūkanų norma, paprastieji procentai, sudėtiniai procentai. Nesudėtingais atvejais apskaičiuoja paprastuosius ir sudėtinius procentus. Supranta, kaip reikia apskaičiuoti, kiek padidėjo indėlis per nurodytą laiką, kai žinoma palūkanų norma. Supranta ir moka apskaičiuoti pabrangimo (atpigimo) procentinę dalį. Žino, kaip skaičiuojamas pelnas. Supranta, kaip apskaičiuoti kokią sumą reikės grąžinti paėmus paskolą. 3. Paprastais atvejais užrašo surinktus duomenis grupuotųjų duomenų dažnių lentele. 4. Supranta sąvokas: kokybiniai ir kiekybiniai duomenys, imties didumas. 5. Nesudėtingais atvejais pavaizduoja duomenis tinkamo tipo diagrama skaičiuokle (MS Excel). Sieja dažnių lentelėje ir diagramoje pateiktus duomenis. Pasirenka tinkamo ilgio padalas, dažnių ašį. 6. Supranta koreliacijos sąvoką, remdamiesi duomenų išsidėstymu koordinačių plokštumoje. 7. Pateikia pavyzdžių rinkinių, kuriuose į elementų tvarką atsižvelgiama ir moka apskaičiuoti jų skaičių.

1. Nesudėtingais atvejais apskaičiuoja palūkanų normą, kai žinomos paprastosios arba sudėtinės palūkanos. 2. Nesudėtingais atvejais moka padalyti pelną pagal įnašus. 3. Moka naudotis sąvokomis: „požymis ir jo reikšmės“, „kokybiniai ir kiekybiniai duomenys“, „dažnis“ („procentinis dažnis“), „dažnių ašis“, „padala“, „imtis“, „imties didumas“. 4. Supranta koreliacijos sąvoką, remdamiesi duomenų išsidėstymu koordinačių plokštumoje. 5. Supranta, kaip rinkiniai koduojami ir moka tai atlikti. 6. Sugalvoja ir pateikia klasikinio ir neklasikinio bandymo pavyzdžių praktinėse situacijose. 7. Argumentuodami paaiškina įvykio tikimybės savybę.

Kalba netaisyta

88

apskaičiuoja santykinius baigčių dažnius. 8. Žino būtinojo įvykio, negalimojo įvykio, įvykiui priešingo įvykio sąvokas. 9. Paprasčiausiais atvejais apskaičiuoja bandymų tikimybes.

Paprastais atvejais taiko daugybos taisyklę skaičiuodami rinkinių skaičių. 8. Supranta ir paaiškina būtinojo įvykio, negalimojo įvykio, įvykiui priešingo įvykio, palankaus įvykio sąvokas. 9. Paaiškina klasikinį įvykio tikimybės apibrėžimą. Spręsdami praktinio turinio uždavinius paprastais atvejais apskaičiuoja įvykių tikimybes, remdamiesi klasikiniu arba statistiniu įvykio tikimybės apibrėžimu.


1. Perskaito ir teisingai supranta paprasčiausių uždavinių, susijusių su procentais, sąlygas. Perteikia kai kuriuos, labai trumpus, be paaiškinimų, nesusietus procentų uždavinio sprendimo fragmentus, matematinę informaciją dažniausiai perteikia nerišliai ir padrikai. 2. Paprasčiausiais atvejais komentuoja statistinę informaciją, kai ji pateikta stulpeline ar linijine diagrama. 3. Teisingai supranta paprasčiausių praktinių uždavinių apie rinkinių sudarymą sąlygas. Perteikia kai kuriuos rinkinių sudarymo uždavinio sprendimo fragmentus be paaiškinimų. 4. Teisingai supranta paprasčiausių uždavinių apie atsitiktinius įvykius sąlygas. 5. Komentuodami atliktą bandymą tinkamai vartoja būtino, negalimo, priešingo įvykio sąvokas. 6. Savais žodžiais nenuosekliai paaiškina tikimybės apskaičiavimo uždavinio sprendimą.

1. Teisingai supranta ir daugeliu atveju sugeba savais žodžiais interpretuoti ir aiškinti paprastųjų ir sudėtinių palūkanų sąvokas. Teisingai supranta paprastų užduočių, susijusių su šeimos biudžetu, sąlygas ir daugeliu atveju sugeba savais žodžiais interpretuoti ir aiškinti sprendimus ar daromas logines išvadas. 2. Teisingai ir aiškiai perteikia pagrindines mintis apie paprastąsias ir sudėtines palūkanas kasdieniame gyvenime bei pateikia uždavinio sprendimą, tačiau trūksta nuoseklumo ir išsamumo, nepagrindžiami esminiai momentai. 3. Tinkamai vartoja paskolos, pirkimo išsimokėtinai, taupymo, kaupimo terminus; procentų simbolį. 4. Teisingai supranta ir sugeba savais žodžiais interpretuoti ir paaiškinti statistikos sąvokas: kokybiniai ir kiekybiniai duomenys, dažnių ašis, padala, imtis, imties didumas. 5. Teisingai supranta paprastų praktinių su statistika susijusių uždavinių sąlygas.Teisingai ir aiškiai pateikia statistinio uždavinio sprendimą. 6. Tinkamai vartoja terminus: vidurkis, mediana, moda. 7. Teisingai supranta ir paaiškina sąvokas: elementų rinkinys, galimybių medis, galimybių lentelė. 8. Teisingai supranta paprastų praktinių uždavinių apie rinkinius sąlygas. Teisingai ir aiškiai pateikia rinkinių sudarymo uždavinio sprendimą, tačiau pristatant kitiems

Teisingai supranta įvairiais būdais pateiktas praktinių uždavinių , susijusių su paprastosiomis ir sudėtinėmis palūkanomis, sąlygas, sprendžia įvairaus konteksto praktinius procentų uždavinius. 1. Nuosekliai, aiškiai, glaustai, sklandžiai ir taisyklingai perteikia pagrindines su procentų sąvoka susijusias mintis, pateikia uždavinio sprendimą arba jo idėją taip, kad kiti galėtų tai suprasti ir įvertinti. 2. Tiksliai ir tikslingai vartoja su sudėtinėmis palūkanomis susijusius terminus; procentų simbolį 3. Teisingai supranta statistinę informaciją pateiktą dažnių lentelėmis, diagramomis, žodžiais. Nuosekliai, tiksliai, aiškiai komentuoja įvairiais būdais pateiktą statistinę informaciją. 4. Paaiškina koreliacijos idėją remdamiesi duomenų išdėstymu koordinačių plokštumoje. 5. Teisingai supranta įvairaus konteksto uždavinių apie rinkinius sąlygas. Glaustai, sklandžiai paaiškina: kaip rinkiniai koduojami; kaip taikoma daugybos taisyklė sudėtingesniais atvejais, apskaičiuojant rinkinių variantų skaičių; kada galima taikyti sudėties taisyklę apskaičiuojant rinkinių variantų skaičių. Nuosekliai, tiksliai, aiškiai, glaustai, sklandžiai ir taisyklingai pateikia rinkinių sudarymo praktinių uždavinių sprendimą. 6. Teisingai supranta ir sprendžia įvairaus konteksto

Kalba netaisyta

89

pritrūksta rišlumo, kartojasi nutrūksta mintys. 9. Teisingai supranta sąvokas: bandymas, bandymo baigtis, bandymo baigčių aibė, santykinis baigčių dažnis, įvykis (galimas, būtinas, priešingas), savais žodžiais jas paaiškina ir interpretuoja. 10. Teisingai supranta paprastų praktinių uždavinių apie įvykius ir jų tikimybę sąlygas. 11. Tinkamai vartoja terminus: baigtis, įvykis, įvykio tikimybė; simbolinį užrašą P(A). 12. Teisingai ir aiškiai perteikia pagrindines mintis, pateikia praktinio įvykio tikimybės uždavinio sprendimą.

praktinius su įvykio tikimybę susijusius uždavinius. Tiksliai ir tikslingai vartoja tinkamus tikimybių teorijos terminus. Nuosekliai, tiksliai, aiškiai, glaustai pateikia praktinio tikimybių uždavinio sprendimą.


1. Dalyvauja mokymosi procese, tačiau mokosi nesistemingai. Priima draugų ir mokytojo pagalbą, bet trūksta pasitikėjimo savimi ir gebėjimų dirbti savarankiškai.

1. Imasi spręsti standartiniais būdais suformuluotas užduotis. 2. Pasitiki savo jėgomis, mokosi planingai. Aktyviai dalyvauja mokymosi procese. Siekia aukštesniojo pasiekimų lygio, siekia įgyti daugiau žinių ir įgūdžių aukštesniesiems gebėjimams susiformuoti. Prašo mokytojo papildomų užduočių, siekdami susiformuoti gilius taikymo gebėjimus. 3. Vertina matematikos žinias ir gebėjimus, taiko juos mokydamasis kitų dalykų.

1. Imasi spręsti įvairiais būdais suformuluotas užduotis. 2. Padeda mokytis kitiems. 3. Pasiūlytuose šaltiniuose pasirenka papildomų užduočių. Vertina pamokos laiką. 4. Įsivertina gebėjimų lygį, nagrinėdami arba lygindami kitaip išspręstą tą pačią situaciją. 5. Užduotis atlieka kūrybingai.


1. Atpažinęs jau žinomą kontekstą sprendžia paprasčiausias palūkanų, pirkimų problemas, atlieka pagrindines standartines procedūras analogiškose situacijose. 2. Gauna tam tikrus rezultatus ar sprendimu bei samprotavimais paremtas išvadas, tačiau dėl sprendime pasitaikančių klaidų gauti rezultatai ar daromos išvados dažniausiai yra klaidingos, nedera su konkrečiais nagrinėtais atvejais, jos nepagrįstos loginiais samprotavimais. Gauto atsakymo ar išvados neargumentuoja ir neinterpretuoja pradinės konteksto sąlygos.

1. Pasirenka tinkamas ir teisingas, tačiau ne visai racionalias su sudėtiniais ir paprastaisiais procentais susijusių problemų sprendimo strategijas, paaiškina uždavinio sprendimą, savo samprotavimus ir gautus rezultatus ar išvadas. Standartinėse situacijose spręsdamas su sudėtinais ir paprastaisiais procentais susijusią problemą suderina kelis algoritmus ir randa teisingą atsakymą, jį patikrina, tačiau ne visada gautą atsakymą ar išvadą interpretuoja pradinės sąlygos kontekste. Su sudėtiniais ir paprastaisiais procentais susijusi problema lyg ir išspręsta, tačiau nevisiškai susiejami sprendimo etapai, dėl to kartais sprendimas

1. Daugeliu atvejų pasirenka veiksmingą ir racionalią su sudėtiniais ir paprastaisiais procentais susijusią problemos sprendimo strategiją. Tinkamai reflektuoja, daro galutines ir tikslias išvadas, paremtas teisingu su sudėtiniais ir paprastaisiais procentais susijusios problemos sprendimu ar loginiais samprotavimais. Randa teisingą atsakymą ar paaiškinimą, interpretuoja jį pradinės sąlygos kontekste. 2. Daugeliu atvejų pasirenka veiksmingą ir racionalią statistikos ar tikimybių problemos sprendimo strategiją. Tinkamai reflektuoja, daro galutines ir tikslias išvadas, paremtas teisingu statistikos ar tikimybių problemos

Kalba netaisyta

90

3. Atpažinęs jau žinomą kontekstą sprendžia paprasčiausias statistikos, ar tikimybių problemas, atlieka pagrindines standartines procedūras analogiškose situacijose. 4. Atsako į paprasčiausius, tiesioginius klausimus. 5. Paprastais atvejais įvertina, kuri schema, diagrama yra/nėra uždavinio sprendimo vaizdinė iliustracija. 6. Pagal uždavinio sąlygos reikalavimą sudaro diagramą / schemą. 7. Argumentuoja atsakymus į paprasčiausius klausimus. 8. Sprendžia paprasčiausius uždavinius, kai norint padaryti teisingą išvadą, uždavinio sprendimo rezultatus būtina susieti su uždavinio sąlyga.

tarsi nutrūksta ir nepateikiamas galutinis atsakymas ar nepadaroma galutinė išvada. 2. Pasirenka tinkamas ir teisingas, tačiau ne visai racionalias statistikos ar tikimybių problemų sprendimo strategijas, paaiškina uždavinio sprendimą, savo samprotavimus ir gautus rezultatus ar išvadas. Standartinėse situacijose spręsdamas statistikos ar tikimybių problemą suderina kelis algoritmus ir randa teisingą atsakymą, jį patikrina, tačiau ne visada gautą atsakymą ar išvadą interpretuoja pradinės sąlygos kontekste. Statistikos ar tikimybių problema lyg ir išspręsta, tačiau nevisiškai susiejami sprendimo etapai, dėl to kartais sprendimas tarsi nutrūksta ir nepateikiamas galutinis atsakymas ar nepadaroma galutinė išvada. 3. Paprastais atvejais abstraktų teiginį pritaiko konkrečiu atveju (pvz., paprastųjų ir sudėtinių palūkanų sąryšius praktiniams uždaviniams). 4. Įžvelgia diagramos ir aprašytos situacijos ryšius. 5. Išanalizavę pateiktus paprasčiausius abstrakčius teiginius, geba įvertinti, kuris iš jų teisingas / klaidingas. 6. Sprendžia nesudėtingus struktūruotus uždavinius, kuriuose užduotis suskaidyta į atskiras dalis, iliustruota schema (piešiniu), derinami keli algoritmai. 7. Pateikdamas uždavinio sprendimą ir atsakymą laikosi svarbiausių susitarimų, sprendimą stengiasi argumentuoti. 8. Pasirenka tinkamą sprendimo būdą, bet ne visuomet išsprendžia be klaidų.

sprendimu ar loginiais samprotavimais. Randa teisingą atsakymą ar paaiškinimą, interpretuoja jį pradinės sąlygos kontekste. 3. Nesudėtingais atvejais pagrindžia savo samprotavimus, remdamasis žinomais apibrėžimais (pvz., įvykio tikimybės savybe ( ) 00 ≤≤ AP ). 4. Nustato ir apibūdina ryšius procentais. 5. Pritaiko matematinį modelį nepažįstamame kontekste; atranda ryšius tarp elementų, sujungia kelias matematines idėjas; derina įvairias matematines procedūras siekdamas gauti rezultatus, taiko gebėjimą derinti kelių sričių gebėjimus (pvz., pavaizduoja aprašytą praktinę situaciją geometrine figūra ir taiko jos savybes, spręsdami procentų uždavinį). 5. Sprendžia nesudėtingus probleminius uždavinius, kuriuose taiko gebėjimą derinti kelių sričių gebėjimus (pvz., spręsdami procentų, rinkinių sudarymo, įvykio tikimybės uždavinius sudaro lygtis). Uždavinių sprendimas tikslus, racionalus, iš jo padaromos pagrįstos, logiškos išvados.

Kalba netaisyta

91

14.2. Modulio T-2 Planuojame, renkame duomenis, kombinuojame, tikimės... pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokiniui

Gebėjimai Pasiekimų lygiai


1. Nesudėtingais atvejais taikyti sąvokas „skaičiaus dalis“, „procentas“.

1. Agurkų sultyse yra būtinų gyvybei elementų – 40 % kalio, 10 % natrio, 20 % fosforo. Kiek ml kiekvieno elemento yra 200 ml agurkų sulčių? 2. Parduotuvėje 1 kg apelsinų su 30 % nuolaida kainuoja 2 Lt 69 ct. Kiek kainavo kilogramas apelsinų iki nukainavimo? 3. Į banką padėta 10000 Lt. Kokia indėlio ir palūkanų suma bus banke po trejų metų, jei bankas kartą per metus priskaičiuoja 2 % sudėtinių palūkanų?

1. Baigiantis žiemos sezonui pūkinė striukė buvo nukainuota du kartus: pirmąjį kartą 20 %, o antrąjį dar 10 %. Kiek kainuoja striukė, jei žiemos pradžioje ji kainavo 1160 Lt? 2. Kokia banko metinių palūkanų norma, jei už 16000 Lt indėlį banke po metų gauta 800 Lt palūkanų? 3. Vilius už pasiskolintą 1500 Lt sumą su 7,5 metinėmis palūkanomis, po dvejų metų grąžino 1725 Lt. Kokias palūkanas, paprastąsias ar sudėtines, skaičiavo skolintojas?

1. Baltijos jūros druskingumas Belto sąsiauriuose siekia 1,7 %. Kiek kilogramų gėlo vandens reikia įpilti į 10 kg jūros vandens, kad druska gautame tirpale sudarytų 0,3 %? 2. Mokant iš karto, kompiuteris kainuoja 4000 Lt. Perkant išsimokėtinai, reikia sumokėti 20 % pradinį įnašą ir 36 mėnesius mokėti 89 Lt įnašus. Kokia metinė palūkanų norma perkant išsimokėtinai? 3. Po kelerių metų liks 2700 Lt suma, kasmet išleidžiant po ketvirtadalį likusios sumos, jei iš pradžių turėta 4800 Lt?

2. Įvairiuose informacijos šaltiniuose ieškoti informacijos, kuri padėtų rasti atsakymą į iškeltą klausimą. Rinkti duomenis pagal vieną požymį ir juos sutvarkyti.

1. Parduotuvėje 3 rūšių duona supakuota po 0,5 kg. Jų kaina: 2,64 Lt, 2,78 Lt ir 4,12 Lt. Kuri duona pigiausia? 2. Tomo klasės draugų ūgis (m) yra toks: 1,62; 1,70; 1,77; 1,80; 1,88; 1,60; 1,72; 1,65; 1,68; 1,72; 1,75; 1,88; 1,69; 1,70; 1,85; 1,65; 1,76; 1,70; 1,67; 1,66; 1,78; 1,71; 1,74; 1,63; 1,64; 1,65; 177; 1,74; 1,67; 1,82; 1,85. Sudarykite surinktų duomenų dažnių lentelę.

1. Parduotuvėje 3 rūšių duona supakuota po 0,5 kg. Jų kaina 2,64 Lt,

2

9 Lt ir 4

14 Lt. Kuri duona pigiausia?

2. Tomo klasės draugų ūgis (m) yra toks: 1,62; 1,70; 1,77; 1,80; 1,88; 1,60; 1,72; 1,65; 1,68; 1,72; 1,75; 1,88; 1,69; 1,70; 1,85; 1,65; 1,76; 1,70; 1,67; 1,66; 1,78; 1,71; 1,74; 1,63; 1,64; 1,65; 177; 1,74; 1,67; 1,82; 1,85. Sudarykite sugrupuotų surinktų duomenų dažnių lentelę.

1. Parduotuvėje 3 rūšių duona supakuota: po 0,5 kg ir kainuoja 2,64 Lt, po 450 g − 2,45 Lt ir 1 kg – 8,12 Lt. Kuri duona pigiausia? 2. Tomo klasės draugų ūgis (m) yra toks: 1,62; 1,70; 1,77; 1,80; 1,88; 1,60; 1,72; 1,65; 1,68; 1,72; 1,75; 1,88; 1,69; 1,70; 1,85; 1,65; 1,76; 1,70; 1,67; 1,66; 1,78; 1,71; 1,74; 1,63; 1,64; 1,65; 177; 1,74; 1,67; 1,82; 1,85. Sugrupuokite duomenis į keturis vienodo ilgio intervalus. Sudarykite sugrupuotų duomenų dažnių lentelę.

Ūgio intervalas [1,55; 1,65) [1,65; 1,75) [1,75; 1,85) [1,85; 1,95)

Mokinių skaičius

Kalba netaisyta

92

3. Skaityti informaciją, pateiktą įvairiomis diagramomis ar lentelėmis, paprasčiausiais atvejais pavaizduoti surinktus ir (ar) pateiktus duomenis tinkamo tipo diagrama skaičiuokle (pvz., „Microsoft Excel“), programa ar (ir) be jos.

1. Monikos istorijos pažymiai tokie: 7; 8; 9; 8; 10; 7; 10; 8. Pavaizduokite duomenis stulpeline diagrama. 2. Pakomentuokite Lietuvos Statistikos departamento e-svetainėje pateiktą informaciją:

a) Kiek žmonių emigravo iš Lietuvos 2011 metais? b) Kiek žmonių emigravo iš Lietuvos 2007−2011 metais? c) Kiek žmonių atvyko gyventi į Lietuvą per 2007−2011 metus? d) Kelintais metais iš Lietuvos emigravo daugiausiai žmonių? e) Kelintais metais nurodytu laikotarpiu emigracija buvo mažiausia? f) Kaip kito imigracija nurodytu laikotarpiu? g) Kaip kito emigracija 2007−2011 metais?

1. Monikos istorijos pažymiai tokie: 7; 8; 9; 8; 10; 7; 10; 8. Pavaizduokite duomenis skrituline diagrama. 2. Pakomentuokite Lietuvos Statistikos departamento e-svetainėje pateiktą informaciją apie vyrų ir moterų skaičiaus kitimą pagal žmonių amžių 2001 ir 2011 metais:

a) 1. Monikos istorijos pažymiai tokie: 7; 8; 9; 8; 10; 7; 10; 8. Naudodami skaičiuoklę pavaizduokite duomenis linijine ir skrituline diagrama. b) 2. Pakomentuokite statistikos departamento e-svetainėje pateiktą informaciją „Vaikai, kuriems išduotas leidimas nuolat gyventi Lietuvos Respublikoje arba Europos Bendrijų valstybės narės piliečio leidimas gyventi nuolat (Migracijos departamento prie Lietuvos Respublikos vidaus reikalų ministerijos duomenys)“

4. Skaičiuokle (pvz., „Microsoft Excel“) ar (ir) be jos rasti imties vidurkį, medianą, modą, siūlyti sprendimus, paremtus nustatytomis charakteristikomis. Koreliacijos idėją paaiškinti remiantis duomenų išsidėstymu koordinačių sistemoje.

1. Mokykloje buvo tiriama, kiek minučių mokiniai užtrunka kelionėje iš namų į mokyklą. Gauti tokie duomenys: 22, 13, 19, 18, 10, 24, 14, 14, 18, 12, 12, 17, 21, 9, 26, 15, 11, 23, 18, 16, 21, 11, 10, 19, 15, 13, 18, 20, 20, 15. Apskaičiuokite šių duomenų vidurkį, modą medianą.

1. Nubrėžta diagrama vaizduoja, kiek elektros energijos sunaudoja soliariumas per savaitę. a) Sudarykite elektros energijos kiekio sunaudoto kiekvieną parą, lentelę.

1. a) Skaičiuokle (pvz., „Microsoft Excel“) raskite imties vidurkį, medianą, modą, kai duomenys pavaizduoti diagrama:

Kalba netaisyta

93

b) Raskite imties vidurkį, medianą, modą.

b) Koreliacijos idėją paaiškinkite remiantis duomenų išsidėstymu koordinačių sistemoje. 2. Remdamiesi duomenų išsidėstymu koordinačių plokštumoje nustatykite, ar yra ryšys tarp dviejų požymių:

Kalba netaisyta

94

5. Sprendžiant paprastus uždavinius, sudaryti rinkinių aibę, kai rinkinio elementai imami iš skirtingų aibių arba iš vienos aibės. Apskaičiuoti rinkinių variantų skaičių, kai į elementų tvarką rinkinyje atsižvelgiama (neatsižvelgiama) ir (ar) kai reikia taikyti sudėties ir (ar) daugybos taisyklę.

1. Saulius pamiršo keturženklį mobiliojo telefono PIN kodą, bet žino, kad jis sudarytas iš skirtingų skaitmenų – 2, 4, 6, 8. Kokius skaičių derinius reikėtų išbandyti, kad tikrai surinktų teisingą kodą? 2. Parduotuvėje yra keturių rūšių ledų: vanilinių, šokoladinių, bananinių, kriaušinių. Kiek yra galimybių pasirinkti dviejų skirtingų rūšių ledų?

1. Dešimtokai iš penkių kandidatų – Jono, Sigos, Tomo, Ritos, Viliaus – renka du kandidatus į mokinių parlamentą. Pavaizduokite rinkimų rezultatus lentele ir galimybių medžiu. 2. Penkios draugės atėjo į teatrą. Keliais skirtingais būdais jos gali susėsti į penkias eile sustatytas teatro kėdes?

1. Krepšinio čempionato superfinale žaidžia A ir B krepšinio komandos. Superfinalą laimi ta komanda, kuri per finalines rungtynes pirmoji pasiekia tris pergales. Užrašykite visus galimus rungtynių baigčių rinkinius, kai superfinalą laimi komanda B, jei per jį buvo sužaistos ketverios rungtynės. Nubraižykite galimybių medį, vaizduojantį finalo rungtynių serijos visus galimus baigčių rinkinius. 2. Devintokams mokykloje pasiūlytas 8 pasirenkamų dalykų sąrašas, iš kurių jie gali pasirinkti mokytis du arba tris dalykus. Kiek pasirinkimo galimybių turi kiekvienas šios mokyklos devintokas?

6. Taikyti statistinį ir klasikinį tikimybės apibrėžimus, tikimybės savybę paprastiems praktinio turinio uždaviniams spręsti.

1. Loterijos būgne yra 6 bilietai, kurių laimėjimai dideli, 124 – maži ir 12 tuščių bilietų. Kokia tikimybė ištraukti vieną bilietą, kurio laimėjimas didelis? 2. Meskite monetą 50 kartų ir suskaičiuokite kiek kartų išmesta moneta atvirto skaičiumi, o kiek herbu. Apskaičiuokite kiekvienos baigties santykinį dažnį.

1. Apklausus 50 mokyklos dešimtokų, kaip jie vertina savo matematikos dalyko žinias pagal 10 balų sistemą, gauti tokie rezultatai:

Apskaičiuokite santykinį dažnį, kad atsitiktinai išrinktas dešimtokas savo matematikos žinias vertina ne mažiau negu 5 balais. 2. Lukas sužinojo, kad jo draugės Vitos gimtadienis yra kovo mėnesį. Kokia tikimybė atspėti Vitos gimimo dieną, jeigu žinoma, kad 2011 metais jos gimtadienis buvo savaitgalį?

1. Penki geriausi mokyklos krepšininkai dalyvavo baudų mėtymo varžybose. Kiekvienas krepšininkas į krepšį mėtė po 30 kartų, ir jų pataikytų metimų santykiniai

dažniai buvo tokie: Vido − 3

2, Jono −

5

2,

Sauliaus − 15

8, Luko −

5

4, Tomo −

6

5.

Kuris iš krepšininkų laimėjo turnyrą? 2. Mokykloje vyksiančiam renginiui ieškoma vedėjų. Organizatoriai nusprendė vedėją išrinkti atsitiktiniu būdu. Į atranką atvyko 5 merginos ir trys vaikinai. Kuris įvykis labiau tikėtinas, burtais renkant tik vieną renginio vedėją: A – „renginio vedėja išrinkta mergina“ ar B – „renginio vedėju išrinktas vaikinas“? Atsakymą pagrįskite.

7. Paprasčiausiose standartinėse 1. Baltijos jūros vandens druskingumas 1. Lentelėje pateikti vieno banko kai 1. Keturių asmenų šeima (mama, tėtis ir du

Balai 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Moki-nių skaičius

3 2 5 7 8 9 8 4 6

Kalba netaisyta

95

situacijose sprendžiant uždavinius taikyti matematikos žinias.

(druskos masės dalis jūros vandenyje) mažesnis negu daugelio panašių jūrų ir labai svyruoja atskirose jos vietose. Remdamiesi lentelėje pateikta informacija, atsakykite kiek gramų druskos yra 1000 g jūros vandens, pasemto Belto sąsiauryje, ties Nida, Suomijos įlankoje?

kurių valiutų keitimo (pirkimo / pardavimo) kursai:

Lietuvos banko nustatytas oficialus Didžiosios Britanijos svaro sterlingų ir lito santykis – 6,4752. Kiek procentų bankas ima keičiant (perkant ir parduodant) šią valiutą? Atsakymą suapvalinkite iki šimtųjų procento dalių.

vaikai) planuoja iš Klaipėdos (Lietuvoje) persikelti per jūrą keltu į Kyl į (Vokietijoje). Jie turės sumokėti už automobilio perkėlimą ir keturvietę kajutę su langu. Jei šeima pageidautų maitintis savitarnos restorane, turėtų mokėti papildomai. Visos kainos nurodytos lentelėse.

Šeima šiai kelionei planuoja išleisti ne daugiau kaip 1300 Lt. Ar užteks šių pinigų šeimai ne tik persikelti, bet ir užsisakyti savitarnos restorane maitinimą, jei pietus, vakarienę, pusryčius kiekvienas šeimos narys valgytų po vieną kartą?

8. Perskaityti arba išklausyti ir suprasti paprastą matematinį tekstą ar uždavinio sąlygą, sprendimą, taisyklę. Tinkamai vartoti terminus bei žymenis sąvokoms, ryšiams tarp jų nusakyti, situacijoms modeliuoti. Pateikti uždavinių sprendimus ir kitą informaciją taip, kad kiti galėtų ją suprasti ir įvertinti.

1. Slėgis p (barais), kurį patiria naras, priklauso nuo jo panirimo gylio h (metrais) ir yra apskaičiuojamas pagal formulę

( ) 110

+=h

hp . Kokį slėgį patiria naras 10

metrų gylyje?

1. Slėgis p (barais), kurį patiria naras, priklauso nuo jo panirimo gylio h (metrais) ir yra apskaičiuojamas pagal

formulę ( ) 110

+=h

hp . Kokiame gylyje

slėgis lygus 4 barams?

1. Lietuvoje temperatūrai matuoti naudojama Celsijaus skalė. Kai kuriose šalyse naudojamasi Farenheito skale. Taisyklė, pagal kurią temperatūrą x, duotą Celsijaus laipsniais, galima perskaičiuoti į temperatūrą y Farenheito laipsniais, yra tokia: temperatūrą, išreikštą Celsijaus laipsniais, reikia padvigubinti, po to gautąjį skaičių sumažinti 10% ir prie gautojo rezultato pridėti 32. Vilniuje temperatūra yra 20 laipsnių Celsijaus. Kiek tai bus Farenheito

Kalba netaisyta

96

laipsniais?

9. Iš kelių išnagrinėtų pavyzdžių padaryti išvadas, jas pagrįsti remiantis logine argumentacija. Pritaikyti apibrėžimą, taisyklę ar teoremą (teiginį) konkrečiu ir (ar) bendruoju atveju.

1. Dešimtokai svarstė keturis išvykos pasiūlymus. Kiekvienas mokinys nurodė jam labiausiai patinkantį variantą. Apklausos rezultatai pateikti stulpeline diagrama.

Kokią išvyką pasirinko dešimtokai? Kiek procentų mokinių pasisakė už kelionę su nakvyne Žibučių poilsiavietėje?

1. Renata ir Eglė žaidžia žaidimą, kurio taisyklės pateiktos lentelėje.

Pateiktos diagramos vaizduoja Renatos ir Eglės žaidimo rezultatus (dažnis rodo, kiek kartų iškrito atitinkamas akučių skaičius).

a) Kiek kartų kauliuką metė Eglė ir kiek kartų Renata? b) Kas laimėjo šį žaidimą – Eglė ar Renata?

1. Norėdami palyginti kelionės traukiniu kainą su kelionės išsinuomotu autobusu kaina, dešimtokai naudojosi tokia informacija:

Kiek pinigų grupė sutaupytų, jei vyktų pigesniąja transporto priemone?

10. Kryptingai siekti tikslo, kai yra kliūčių. Išnagrinėti anksčiau įgytas žinias ir gebėjimus naujai

1. Mieste yra du bankai, jie moka skirtingas palūkanas. Išsiaiškinkite, kuriame banke yra naudingiau laikyti tokią pačią sumą.

1. Mieste yra trys bankai, jie moka skirtingas palūkanas. Išsiaiškinkite, kuriame banke yra naudingiau laikyti

1. Mieste yra keturi bankai, jie moka skirtingas palūkanas. Išsiaiškinkite, kuriame banke yra naudingiau laikyti tokią pačią

Kalba netaisyta

97

įgytų žinių ir gebėjimų kontekste.

tokią pačią sumą. sumą.

11. Įvairiuose informacijos šaltiniuose rasti reikiamos informacijos, ją apibendrinti, klasifikuoti.

1. Naudodamiesi termometro matavimais sudarykite savaitės oro temperatūros stulpelinę diagramą.

1. Naudodamiesi interneto duomenimis sudarykite savaitės oro temperatūros stulpelinę diagramą.

1. Naudodamiesi termometro matavimais ir interneto duomenimis, sudarykite savaitės oro temperatūros stulpelines diagramas. Jas palyginkite.

Kalba netaisyta

98

15. Modulis T-3 Funkcijų savybių taikymas nagrinėjant realias situacijas

15.1. Modulio T-3 Funkcijų savybių taikymas nagrinėjant realias situacijas mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokytojui




1. Paprastais atvejais susieja realių dydžių tiesinę ir kvadratinę priklausomybę nusakančią lentelę, formulę ir grafiką. 2. Naudodami pasigamintą šabloną atlieka grafiko y = x² transformacijas: y = x² + n, y = –x². 3. Paprastais atvejais iš grafiko, formulės arba lentelės nustato, ar du dydžiai susiję tiesine (kvadratine) priklausomybe, ir paaiškina savo atsakymą.

1. Pateikia su tiesine funkcija susijusių realių dydžių pavyzdžių. 2. Naudodami šabloną atlieka grafiko y = x² transformaciją =(� �) .

1. Pateikia su kvadratine funkcija susijusių realių dydžių pavyzdžių. 2. Žodžiais, lentele, grafiku tarp dviejų realių dydžių išreikštą ryšį (tiesinį, kvadratinį) užrašo formule ir paaiškina, kokia funkcija aprašo šį ryšį. 3. Supranta, kaip kinta funkcijos y = x² grafikas atliekant transformaciją y = ax², ir moka pavaizduoti pakitusį grafiką.

1. Pateikia su tiesine funkcija susijusių realių dydžių pavyzdžių. 2. Naudodami šabloną atlieka grafiko y = x² transformaciją y =(x − m)².

1. Pateikia su kvadratine funkcija susijusių realių dydžių pavyzdžių. 2. Žodžiais, lentele, grafiku tarp dviejų realių dydžių išreikštą ryšį (tiesinį, kvadratinį) užrašo formule ir paaiškina, kokia funkcija aprašo šį ryšį. 3. Supranta, kaip kinta funkcijos y = x² grafikas atliekant transformaciją y = ax², ir moka pavaizduoti pakitusį grafiką.


1. Iš realių dviejų dydžių priklausomybės, išreikštos tiesinės (kvadratinės) funkcijos grafiku, išrenka tiesioginę informaciją.

1. Iš dviejų realiųjų dydžių kvadratinę priklausomybę vaizduojančio grafiko išrenka informaciją, kai atsakymas nusakomas reikšmių intervalu. 2. Teisingai ir tikslingai vartoja su funkcijos sąvoka susijusius terminus bei simbolius. 3. Nesudėtingais atvejais skaito tiesinės ir kvadratinės funkcijos grafiku vaizduojamą realaus turinio informaciją. 4. Moka nubrėžti funkcijos grafiką, kai funkcija išreikšta formule.

1. Iš realiųjų dydžių kvadratinę priklausomybę vaizduojančių grafikų išrenka informaciją, kai atsakymas nusakomas keliomis reikšmėmis ar reikšmių intervalais. 2. Naudodamasis IKT nubraižo funkcijos grafiką. 3. Pavaizduoja grafiku aprašytą neįprasto konteksto situaciją.


1. Įvardija, ką moka padaryti gerai. 2. Mokytojui padedant, taiso nurodytas klaidas. 3. Sieja žinias apie tiesinę funkciją su gyvenimiškomis situacijomis.

1. Moka užduoti klausimus, kad patikslintų ar įsitikintų, jog gerai suprato ir atliko užduotis taikydamas funkcijų savybes. 2. Naudojasi rašytiniais ir virtualios aplinkos

1. Pasako ir pateikia tiesinės ir kvadratinės funkcijos savybių pritaikymo kasdieniame gyvenime ir per kitus mokomuosius dalykus pavyzdžių. 2. Moka apibendrinti, klasifikuoti ir kritiškai vertinti

Kalba netaisyta

99

informacijos šaltiniais, ieškodamas su tiesine ir kvadratine funkcijomis susijusios informacijos.

įvairiuose informacijos šaltiniuose savarankiškai surastą informaciją apie tiesinę ir kvadratinę funkcijas. 3. Įžvelgia įgytų apie funkcijas žinių pritaikomumą, reikalingumą, naudingumą.


1. Paprasčiausiais atvejais supranta, kaip pasinaudoti tiesinės ir kvadratinės funkcijos savybėmis aiškinant paprastų, realias situacijas aprašančių, uždavinių sprendimą. 2. Paprastais atvejais skaito tiesinės ir kvadratinės funkcijos grafiku vaizduojamą realaus turinio informaciją.

1. Paprastais atvejais supranta, kaip pasinaudoti tiesinės ir kvadratinės funkcijos savybėmis aiškinant paprastų realias situacijas aprašančių uždavinių sprendimą.

1. Neįprasto konteksto atvejais skaito tiesinės ir kvadratinės funkcijos grafiku vaizduojamą informaciją. 2. Neįprasto konteksto situacijose supranta kaip pasinaudoti tiesinės ir kvadratinės funkcijos savybėmis aiškinant nesudėtingų, realias situacijas aprašančių, uždavinių sprendimą. 3. Taiko funkcijų teoriją kitų dalykų pamokose.

15.2. Modulio T-3 Funkcijų savybių taikymas nagrinėjant realias situacijas mokinių pasiekimų vertinimo kriterij ų pavyzdys mokiniui


1. Sieti įvairius funkcijų reiškimo būdus, nagrinėti funkcijų savybes.

1. Funkcija išreikšta formule f(x) = −x + 2.

a) Apskaičiuokite f(2), f(−3), f( 5 ); b) su kuriomis kintamojo x reikšmėmis funkcijos reikšmės lygios −2; 3; 0,5; c) kurie taškai M(0; 2), N(3; 1); K(− 0,5; 2,5) priklauso funkcijos grafikui? 2. Jungtinėse Amerikos Valstijose ledo tirpimo ir vandens virimo temperatūra matuojama pagal Farenheito skalę, o Lietuvoje – pagal Celsijaus. Jeigu y žymi Farenheito laipsnių skaičių, o x – Celsijaus, tai laipsnių perskaičiavimo formulė yra tokia y = 1,8x + 32. Nubrėžkite ir užpildykite lentelę, po to pavaizduokite priklausomybę grafiku, kai x∈ [−5; 10]. 3. Ar parabolę y = − 2x² kerta tiesė: a) y = 4x; b) y = −1?

1. Tiesinė funkcija išreikšta formule f(x) = x + 3. a) Išreikškite ją lentele ir grafiku; b) nurodykite koeficientų k ir b reikšmes; c) nurodykite taškų, kuriuose grafikas kerta x ir y ašis, koordinates; d) su kuriomis kintamojo x reikšmėmis funkcija įgyja teigiamas reikšmes; e) su kuriomis kintamojo x reikšmėmis funkcija įgyja neigiamas reikšmes? 2. Pradinė vandens temperatūra yra 7°C. Kaitinant temperatūra kiekvieną minutę pakyla 2°C. Užrašykite temperatūros T (°C) priklausomybę nuo kaitinimo laiko t (min.). a) Ar funkcija T(t) tiesinė? b) Apskaičiuokite T(20); T(32).

1. Funkcija išreikšta formule f(x) = −2x + 1. a) Apskaičiuokite x reikšmes, su kuriomis funkcijos reikšmės lygios nuliui; b) nubrėžkite šios funkcijos grafiką; c) parašykite, kaip keičiasi funkcijos reikšmės priklausomai nuo argumento x reikšmių; d) raskite tokias argumento x reikšmes, su kuriomis funkcijos reikšmės yra mažesnės už 4. 2. Per geografijos pamoką Saulius sužinojo, kad oro temperatūra kinta priklausomai nuo aukščio virš jūros lygio. Panagrinėję lentelės duomenis, užrašykite formulę, apibūdinančią oro temperatūros kitimą:

Au

kštis

, km

-1 0 1 2 3 4 5

Kalba netaisyta

100

c) Po kurio laiko vanduo užvirs? d) Nubrėžkite grafiką. 3. Parašykite kubo paviršiaus ploto radimo formulę, kai kubo kraštinės ilgis lygus x. Kokią funkciją gavote?

Tem

per

a

tūra

, °C

21,5 17 12,5 8 3,5 −0,5 −5

Ar ši priklausomybė yra tiesinė? 3.Vienas trapecijos pagrindas ilgesnis už kitą 4 mm. Trapecijos aukštinės ilgis yra lygus trumpesniojo pagrindo ilgiui. a) Trapecijos pagrindą pažymėję a, patikrinkite, ar trapecijos plotas apskaičiuojamas pagal formulę S(a) = a² + 2a; b) nubraižykite funkcijos S(a) = a² + 2a grafiką; c) kokie galėtų būti trapecijos pagrindų ilgiai?

2. Atlikti grafiko y = x2 transformacijas: tempimą ašimi Oy (y = ax2), postūmius ašimis Ox ir Oy (y = x2 + n ir y = (x – m)2), simetriją ašies Ox atžvilgiu (y = –x2).

1. Pasigaminkite grafiko y = x² šabloną. Naudodami šabloną, koordinačių plokštumoje nubrėžkite grafikus: y = x², y = x² + 3, y = x² − 2, y = −x². Paaiškinkite, kaip kinta grafiko vieta koordinačių plokštumoje. 2. Užrašykite formule funkcijas, kurių grafikus gautume, y = x² grafiką pastūmę: a) per 2 vienetus aukštyn; b) per 5 vienetus žemyn.

1. Naudodami grafiko y = x² šabloną,

nubrėžkite grafikus ( )23−= xy ,

( )21+= xy . Užrašykite šių funkcijų savybes. 2. Užrašykite formule funkcijas, kurių grafikus gautume y = x² grafiką pastūmę: a) per 2 vienetus į dešinę; b) per 5 vienetus į kairę.

1. Vienoje koordinačių plokštumoje nubrėžkite funkcijų y = x², y = 3x², y = 0,5x², y = −0,25 x² grafikus. Paaiškinkite, kaip kinta funkcijos grafiko vaizdas. 2. Aprašykite, kaip iš funkcijos y = x² grafiko galėtume gauti grafiką šių funkcijų:

a) � =a) ( ) 32 2 −+= xy ; b)

( ) 12 2 +−= xy ;

c) 42 2 −= xy .

3. Remtis tiesinės, kvadratinės funkcijos modeliais bei savybėmis aiškinantis paprastų įvairaus turinio uždavinių sprendimą.

1. Gaisrinės mašinos švirkščiamo vandens srovė yra parabolės, atitinkančios funkcijos f(x) = 3x – 0,2x² grafiką, formos. Raskite didžiausią vandens pakilimo aukštį ir didžiausią nuotolį, kurį pasiekia vanduo. 2. Slėgis p, kurį patiria naras, priklauso nuo nardymo gylio h. Šią priklausomybę galima užrašyti formule p = k · h + 1 (k – pastovus dydis). Kai h = 0 m, tai slėgis 1 atmosfera. Slėgis 100 metrų gylyje yra apie 10,82 atmosferų.

1. Nubrėžti grafikai vaizduoja stabdymo kelio (metrais) priklausomybę nuo kelio važiavimo greičio (km/h), kai kelio danga sausa ir kai šlapia.

a) Koks yra 90 km/h važiuojančio automobilio stabdymo kelias, kai kelio

1. Krisdamas iš viršaus žemyn, kamuolys pasiekė žemę (h = 0) ir atšoko. Po 0,7 sekundės jis vėl pakeitė kryptį − ėmė kristi žemyn, ir po 2,8 sekundės antrą kartą pasiekė žemę. Kamuolio pakilimo nuo žemės aukštį, jam atšokus nuo žemės, galima apskaičiuoti pagal formulę h = −4,9(t − *)(t − *), čia h – pakilimo aukštis metrais ir t – laikas sekundėmis, jei žinotume, kokie skaičiai yra vietoje žvaigždučių. a) Remdamiesi sąlygoje pateikta informacija

Kalba netaisyta

101

a) Nustatykite k dydį. b) Koks slėgis 50 m gylyje? c) Pasidomėkite, koks saugus nardymo be specialios aprangos gylis.

danga yra sausa ir kai šlapia? b) Kokiu greičiu važiuojant stabdymo kelias šlapia danga yra 50 m ilgesnis negu stabdymo kelias sausa danga? c) Stabdymo kelio priklausomybė reiškiama kvadratine funkcija, kurios grafiko viršūnė yra taške (0; 0). Užrašykite šios priklausomybės formules abiem atvejais. 2. Simas pradėjo taupyti pinigus snieglentei pirkti. Savo taupyklėje jis jau turi 150 litų. Simas nusprendė kiekvieną mėnesį įdėti į taupyklę po 100 Lt. Užrašykite Simo taupymo planą formule. Nubrėžkite grafiką. Ar ši priklausomybė yra tiesinė?

raskite šiuos skaičius. b) Kodėl net nežinant skaičių, kurie turėtų būti vietoje žvaigždučių formulėje h = −4,9(t − *)(t − *), galima teigti, kad ši funkcija yra kvadratinė? c) Funkcijos h = −4,9(t − *)(t − *) grafikas yra parabolė. Ką šiame uždavinyje reiškia parabolės viršūnės koordinatės? 2. Medienos įmonės darbuotojai gali pasirinkti vieną iš trijų mokėjimo būdų, pagal kuriuos jiems apskaičiuojamas atlyginimas. Pateikiami grafikai vaizduoja šiuos būdus:

Kalba netaisyta

102

Andrius pasirinko mokėjimo būdą A, Benas pasirinko mokėjimo būdą B, Celestinas pasirinko mokėjimo būdą C. a) Sausio mėnesį Andrius, Benas ir Celestinas uždirbo 1400 Lt. Kiek stalų pagamino kiekvienas iš jų sausio mėnesį? b) Parašykite kiekvieno mokėjimo būdą atitinkančią formulę.

4. Standartinėse situacijose 1. Stačiakampės mašinų aikštelės ilgis 10 m, 1. Kūnas laisvai krenta iš 490 m aukščio. 1. Figūra apribota parabole y = 4 – x² ir Ox

Kalba netaisyta

103

taikyti matematikos žinias. o plotis 8 m. Namo gyventojai gavo leidimą aikštelę padidinti. Užrašykite formule naujos aikštelės plotą, jei: a) mašinų aikštelė bus pailginta x m, o plotis nebus pakeistas; b) mašinų aikštelės ilgis ir plotis bus padidintas po x metrų. Kiekvienu atveju pavaizduokite naujos aikštelės ploto priklausomybę nuo x grafiškai. 2.

Brėžinyje pavaizduoti pėsčiojo (OP) ir dviratininko (OD) judėjimo pastoviu greičiu grafikai. Naudodamiesi grafikais nustatykite: a) Kiek laiko keliavo dviratininkas ir kiek – pėsčiasis? b) Koks yra kiekvieno keliautojo greitis? c) Kiek kartų dviratininko per dvi valandas nuvažiuotas kelias yra ilgesnis nei pėsčiojo kelias, nueitas per tą patį laiką?

Po t sekundžių jo aukštį nuo žemės metrais galima apskaičiuoti pagal formulę h(t) = −4,9t² + 490. a) Kokiame aukštyje bus kūnas po 5 sekundžių? b) Po kelių sekundžių kūnas nukris ant žemės? 2. Natūralųjį skaičių dalijant iš 7, gaunama liekana, lygi 2. Parašykite bet kurio natūraliojo skaičiaus, turinčio šią savybę, išraišką formule. Pavaizduokite ją grafiškai.

ašimi. Į ją įbrėžtas stačiakampis, kurio dvi viršūnės priklauso parabolei, o kitos dvi – ašiai x. Apskaičiuokite tokius šio stačiakampio kraštinių ilgius, kad jo perimetras būtų didžiausias. 2. Nuo vienetinio kvadrato nukerpamos dvi pločio x juostelės. Užrašykite formulę, pagal kurią galima būtų apskaičiuoti likusio kvadrato plotą.

5. Perskaityti arba išklausyti ir suprasti paprastą matematinį tekstą arba uždavinio sąlygą.

1. Kūno kinetinę energiją E galima apskaičiuoti apskaičiuoti pagal formulę Įveskitelygtįčia.apskaičiuoti pagal formulę

1. Praktinė taisyklė, pagal kurią galima apskaičiuoti lengvosios mašinos stabdymo kelią metrais, važiuojant v kilometrų per valandą greičiu, yra tokia:

1. Mokyklos skautai išvyko į stovyklavietę. Pirmą valandą jie nuėjo 7 km, antrą – 3 km, paskui 1 valandą ilsėjosi ir tada eidami 6 km/h pastoviu greičiu po 1,5 h pasiekė

Kalba netaisyta

104

2

2mvE =

(m – kūno masė, v – kūno greitis ). Uodas sveria 0,1 g. Formule užrašykite skrendančio uodo kinetinės energijos priklausomybę nuo skridimo greičio. Raskite uodo kinetinę energiją, kai uodas skrenda 1 m/s greičiu.

greičio kvadratas dalijamas iš 200 ir prie gauto rezultato pridedamas penktadalis greičio. Užrašykite stabdymo kelio s priklausomybę nuo greičio v.

stovyklavietę. Po 3 h jie išvyko į namus. Per 2 h nuėję 10 km ir 0,5 h pailsėję per 1,5 h grįžo namo. a) Sudarykite skautų judėjimo grafiką. b) Iš grafiko nustatykite, kiek kilometrų nuo namų buvo nuėję skautai po 3,5 h. c) Sudarykite kiekvieną grafiko atkarpą atitinkančią formulę, pagal kurią būtų galima apskaičiuoti skautų atstumą nuo namų.

6. Pritaikyti apibrėžimą, taisyklę konkrečiu atveju.

1.

Užrašykite nubraižytos figūros ploto formulę. Kokia tai funkcija? 2. Ar parabolę y = –2x² kerta tiesė: a) y = 4x; b) y = –1?

1. Trikampio aukštinė 3 cm ilgesnė už kraštinę, į kurią ji nubrėžta. Pažymėkite šią kraštinę x ir užrašykite tokio trikampio ploto formulę. Kokia tai funkcija?

1. Lygiakraščio trikampio kraštinė yra x. Formule užrašykite trikampio ploto priklausomybę nuo kraštinės ilgio. Kokia tai funkcija?

mokinių pasiekimų apibendrinamojo vertinimo (įsivertinimo) kriterijai

Documents