modulo ii(175-176-177)

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA

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ESTUDIOS GENERALES

Universidad Nacional Abierta Apartado Postal No 2096 Caracas 1.010 A, Carmelitas, Venezuela

Copyright O UNA 1998

Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio gráfico, audiovisual o computarizado, sin previa autorización escrita.

CAV QA3 7.2 Matemática I: Funciones y representacio M35 Universidad Nacional Abierta; conten v. 2 Mauricio Orellana Chacín y Luis Mar 1998 -Caracas: IINA, 1998.

270p. : il. ; 29 cm. "Estudios Generales".

1. Matemática. 2. Educación a distancia. estudio. 3. Orellana Chacín, Mauricio. 4. Marqués. I. Universidad Nacional Abierh

ISBN 980-236-581-5 (Vol 2)

Registro de Publicaciones de la Universidad Nacional Abierta

N" UNA-EG-98-0462

grájcas / por; E Gordones. -

Iódulos de .dones, Luis . Título

PRESENTACIÓN DEL CURSO MATEMÁTICA 1

El texto presente inicia una nueva fase dentro de los estudios de las asignaturas de matemática correspondientes al CICLO DE ESTUDIOS GENERALES de la UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA, el cual está conformado, en lo concerniente a matemática, por dos asignaturas: Matemática 1 y Matemática 11. El texto que aquí presentamos se refiere a MATEMÁTICA 1(175,176,177).

El contenido inicial del curso de Matemática 1 y los textos precedentes, con los que se inauguraron los estudios de dicha asignatura en la Universidad Nacional Abierta, se remontan al año 1980, data en que la naciente universidad comenzaba a recibir su primer contingente de estudiantes en el Ciclo de Estudios Gene- rales. Estos estudiantes se diversificaron hacia las distintas carreras ofrecidas por la Universidad y sus estudios se desarrollaron mediante la modalidad de EDUCACION A DISTANCIA. Para la época era una modalidad de estudio innovadora en Venezuela, aunque otras instituciones universitarias ya tenian ciertos estudios "super- visados", sin carácter presencial. El inicio de la Universidad, totalmente centrada en la educación a distancia, marcó hito en la educacion superiorvenezolana.

Es'razonable pensar que, frente a un ensayo tan novedoso para ese entonces, parte de los diseños curriculares y del material instruccional con el que se contaba presentaba algunas carencias entre ellas las de tipo metodológico, puesto que el material instruccional tuvo que adaptarse a esa forma innovadora de en- selianza y el pais no tenía la experiencia suficiente en ese campo educativo.

El primer texto del curso de Matemática 1 estubo constituido por dos tomos conformados por nueve módulos de instrucción. Los primeros cambiosde este texto se realizaron en el primer año de su implantación cuando se elaboró un folleto complementario donde se incorporaron un conjunto de problemas de apopyo al estudiante y las distintasfe de erratas de los módulos de instrucción. En 1981 se fusionaron en un único tomo los dos volúmenes existentes, incorporando los ejercicios del folleto complementario y eliminando el último módulo del texto, relacionado con estructuras algebraicas. Posteriormente, en el año 1985 se agregaron mas de 200 ejercicios, con el fin de reforzar y complementar los contenidos del curso y finalmente en 1986 se elaboró otra edición incluyendo las respuestas detalladas de las distintas autoevaluaciones, explicando el por qué de cada alternativa correcta de respuesta. En esta distintas ediciones no se modificaron los contenidos programáticos (salvo la exclusión del Último módulo del primer texto) ni el diselio del texto, tanto en su diagramación como en el diseño de instrucción, el cual ha permanecido hasta el presente en sus ediciones sucecivas.

Pasados varios anos de utilización de ese material instruccional, muchos miembros de la comunidad universitaria de la Universidad Nacional Abierta, entre ellos, personal académico del área de Matemática, autoridades universitarias, asesores de Matemática de los centros locales, personal docente de otras áreas académicas de la Universidad y estudiantes, consideraban necesario hacer una revisión de los contenidos de matemática impartidos en el ciclo de Estudios Generales e igualmente se hacían señalamientos en torno a aspectos metodológicos.

Fue así que, hacia mediados de 1993, las autoridades de la Universidad decidieron realizar una renova- ción de varios textos en respuesta a las inquietudes antes mencionadas y, en consecuencia, se decidió llevar adelante un proyecto para la elaboración de nuevos materiales instruccionales de Matemática l y Matemática 11, entre los que se encuentran la producción de módulos, audiocassettes (con guía de actividades) y videocassettes de estas asignaturas.

Para emprender esta labor era imperatibo detectar previamente un conjunto de necesidades vinculadas con los cambios que luego fueron propuestos, concernientes a las mencionadas asignaturas. En el estudio que se llevó a cabo, a trav6s de encuestas, entrevistas grabadas y diversas discusiones, participaron los miembros del área de Matemática, asesores de matemática y estudiantes de Varios centros locales, algunos miembros de otras áreas académicas de la Universidad y docentes de otras instituciones relacionados con las carreras de Preescolar y Dificultades de Aprendizaje.

Producto de la información recabada se concluyó que los materiales in truccionales de Maternátlca I y Matemática 11 oresentaban diversas deficiencias: entre otras: oresentació 1 v desarrollo de los contenidos. aspectos metodolósicos, utilización escasa de los videocasse~es elaboraddi para dichas asignaturas. Por esto era necesario elaborar nuevos materiales instruccionales que se orienta n a superar las fallas encontra- das, con un diseno distinto y, además, actualizar los contenidos pues los ant 'b riores tenlan más de diez anos devigencia. I

Sobre la base de ciertos materiales instruccionales que he escrito los iiltimos anos, de trabajos acerca de la ensefianza de la matemática y de las diversas discusiones con miembros del personal docente del área de Matemática y de otras instituciones, y de las tendenci a la presentación y diaaramación de libros. se aeneró un nuevo modelo oara escribir los oublicaciones e s h a s por mi anteriormeñte. Su seguimiento poierior, por Clocentes y diantes, será el encargado de decidir si nos encontramos en un camino adecuado y cuáles serán los para el mismo.

Considero que los nuevos libros para ensefiarmatemdtica, especial ente en los primeros dos afios universitarios. deben tener ciertas caracterlsticas aue romoan con el tradicional. con un oatrón muv generalizado,'de escribir los libros de matemática, en eii la secuencia siguiente: Concepto (Definición)-Teorema o

Con el objeto de innovar se plantea un diseno divergentey una diagra ción que combine aspectos de lo tradicional con varios de los "procesos"que son esenciales para la de la matemática de parte de los estudiantes, entre los que destacan: observar, comparar, analizar, sintetizar y generalizar.

Estimo que el modelo para escribir los libros, lo que está plasmad en la lectura de los diferentes Módulos que integran este curso. se puede lograr incorporando los

Cuadros resúmenes de repaso. I El diseno de las páginas con un ángulo recto que permite escri en el margen derecho, notas oara recordar tóoicos conocidos oor los estudiantes o llamar sobre alaiin asoecto b e se está estudiando. evitando su incorooración en lo que se &stá desarrollando alos fines de no distraer lo esencial y, en el margen inférior (pie de página), serias históricas, comentarios sobre el tema estudiado, referencias bibliogrhficas. f Iconos colocados en el margen derecho.

Resaltar lo esencial.

Repetir, cuando sea necesario, contenidos ya desarrollados temas anteriores con el fin de no distraer la atención de los estudiantes retrocediendo a o páginas anteriores.

Incorporación de desplegados.

Mapas conceptuales.

Resolver y proponer ejercicios que tengan una connotación histórica del tipo "matemática recreativa". P Graduación por habilidades y niveles de razonamiento de los rcicios resueltos y propuestos. Estos se han clasificado en: ejemplos, ejercicios y necesario evitar el recar- go en los ejemplos de tipo rutinario que es ensefianza de la mate- mhtica en las etapas anteriores a la educación y no permite a los estudiantes el desarrollo de las habilidades de razonamientos superiores.

Diagramación bifurcada cuando sea necesario, escribiendo e dos, tres o cuatro columnas, con el objeto de comparar y relacionar.

Además, se utiliza la tecnología actual de los procesadores de textos con el fin de lograr una diagramación "agradable" para la lectura del material escrito. Se ilustran, en la medida de lo posible, los conceptos, proposiciones y, en general, el contenido matemático con profusión de gráficos y diagramas y se hace uso intensivo de las calculadoras científicas.

El curso de Matemática 1 está compuesto de cuatro módulos de aprendizaje, tres de ellos son comunes y un cuarto diferenciado el cual está orientado a proporcionar recursos utilizados en situaciones relacionadas con los campos profesionales de las distintas carreras. Los tres módulos comunes son:

Módulo S: Conjuntos numéricos

Módulo 11: Funciones y representaciones gráficas

Módulo 111: Sucesiones. Nociones elementales de limites y continuidad de funciones de R en R.

Y los módulos diferenciados son:

Módulo I V Pensamiento matemático y modelando con matemática. (177) (Ingenieria de Sistemas, Ingeniería Industrial, Matemática y Educación Matemática)

Módulo IV Aplicaciones de las funciones a las ciencias administrativas (176) (Administración y Contaduria)

Módulo I V Algunos tópicos de Geometria, Aritmética y Álgebra desarrollados en Preescolar (175) y en la primera y segunda etapas de la Educación Básica. . .

(~ducación, menciones ~ificultades de Aprendizaje y Preescolar).

La mayor parte de los dos primeros módulos comunes, así como algunos aspectos de sucesiones en el tercer Módulo y parte del contenido del Módulo IV para Educación (~ificultades de Aprendizaje y Preescolar), se refieren a contenidos programaticos estudiados en las etapas previas a la educación superior y, en consecuencia, ello establece el enlace necesario entre esas etapas previas y la educación superior, lo cual se hace más imprescindible en una educación a distancia. Estimamos que el estudio de estos módulos debe ser más rápido que el Módulo 111 y los módulos diferenciados, lo que requiere de los estudiantes una mejor organización y distribución de su tiempo de estudio. En cada uno de los módulos encuentras las "Orientaciones Generales" y la "Presentación" que te indican cómo estudiarlo y te presentan una panorámica del contenido del mismo.

Aqui tratamos de dar una mayor fundamentación a aquellos contenidos que conoce el estudiante y resolver ciertos ejercicios y problemas de un nivel de razonamiento mayor que lo usualmente exigido en la educación secundaria.

En nombre del equipo que redactó las unidades de aprendizaje de los módulos de Matemática 1, de los docentes que validaron las distintas unidades y de los que procesaron el texto en su versión final, a quienes agradecemos por todo el esfuerzo realizado durante más de un ano de trabajo, nos complacerá recibir comentarios y sugerencias de parte de los estudiantes y docentes que utilicen estos módulos pues esto nos permitirá hacer algunos cambios en una edición futura.

Mauricio Orellana Chacín

MODULOS QUE INTEG

Ingenieda, Matemiítica y

ORIENTACIONES GENERALES

Para facilitarte el logro de los objetivos previstos en este Móduloque forma parte del curso de MATEMÁ- TlCA 1(175,176,177), nos permitimos indicarte algunas orientaciones que te ayudarán en el desarrollo de las actividades que el mismo prevé.

En primer lugar, lee la presentación o introducción del Módulo y su objetivo, que te proporcionan una panorámica global de lo que se intenta logar.

Cada módulo se divide en Unidades de Aprendizaje y cada Unidad comprende, a su vez, diversos temas o experiencias de aprendizaje.

4 En segundo lugar, en el momento que inicies el estudio de cada Unidadde Aprendizaje, lee los objetivos y la presentación o introducción de la Unidad en cuestión, lo cual te sumi- nistraia información acerca de lo que se pretende alcanzar cuando finalices el estudio de dicha Unidad. También hacemos presentaciones o introducciones a distintos temas en que se divide la unidad de aprendizaje.

Las Unidades de Aprendizaje se dividen en temas que se numeran con dos dígitos. Por ejemplo: 4.5 indica el quinto tema de la unidad 4. También a la presentación se le asigna un par de dígitos.

Hay algunos temas que pueden dividirse en subtemas y en éstos la numeración tiene tres dígitos. Por ejemplo: 4.2.1 indica el subtema uno, tema dos, unidad cuatro.

. En el desarrollo del módulo encuentras lo siguiente:

1. Objetivo del módulo,

2. Objetivos de las unidades de aprendizaje.

3. Presentación del módulo y de las distintas unidades de aprendizaje o de los temas

4. Ejemplos, ejercicios, problemas y ejerciciospropuestos, que te sirven para adquirir familiaridad con los conceptos y proposiciones que se dan.

Los ejercicios resueltos se clasifican en tres categorías según sus dificultades y niveles de razonamiento:

Ejemplos: Son ejercicios para adquirir habilidades de cálculos simples y aplicaciones de fórmulas; son de tipo operatorio. Con estos ejemplos se aclaran las definiciones o se aplican directamente fórmulas o propasiciones y teoremas. Los ejemplos no deberían presentar dificultades de comprensión ni de resolu- ción a ningún estudiante.

Ejercicios: Incluyen desde cálculos no inmediatos, pasando por la interpretación de un hecho, hasta demostraciones breves. En estos ejercicios se requiere realizar algún razonamiento que combine varios pasos, esto es, donde hay una integración de conocimientos. Para la resolución de esos ejercicios se precisa, frecuentemente, el haber desarrollado las habilidades de cálculo suministradas por los ejemplos.

1

Problemas: Corresponden al nivel de mayor exigencia matemática. pues hay más integración de conocimientos, con pasos y razonamientos más profundos. De estos hemos colocado solamente unos pocos.

Ejerciciospropuestos: La distinción de los tres niveles anterior en los ejercicios propuestos se hace, respectivamente, sin colocar asteriscos, con un o y con dos asteriscos, en el margen derecho de la página donde figura el enucicado del ~erc i~ io~ropues to . Las soluciones de los ejercicios propuestos se el módulo. Se debe hacer el esfuerzo de resolver los el punto final de la solución en algunos de ellos. tos, con el objeto de a esos

Además de los ejerclc~os propuestos, y a medida que desarroll mos los contenidos progra - máticos, formulamos preguntas o se propone alguna actividad, con spuestas breves, que tienden a esclarecer algún aspecto puntual del tópico que se está explican o. Estas preguntas y actividades se manifiestan ut~lizando expresiones como las siguientes, scrltas en letra cursiva: ¿Por qub?, Efectúa el cálculo, u otras análogas. En caso de que tengas das o no sepas responderlas, debes consultar con el Asesor de Matemática del Centro Local don e estás inscrito. t Los niveles de razonamiento a que nos hemos referidos están exp en términos de la taxo- nomía utilizada por la OPSU-CENAMEC (Oficina de Planificación Na- cional para el Mejoramiento de la Ensefíanza de la Ciencia; 1984).

5. En el módulo encuentras autoevaiuaciones que te sirven para verif arel logro de los objetivos. Las soluciones figuran a continuación de las mismas. t

6. Al finalizar el módulo hay: I Resumen del módulo, que destaca los aspectos más importantes d arrollados en el mismo. d. Notas histdricas al finalizar la unidad (en caso de existir). 1 Glosario de tbrminos, donde se dan los conceptos y enunciados imp rtantes que se presentaron en el módulo.

Bibliografia para el estud!ante, con algunos comentarios, donde puede obtener información adicional, hacer más ejercicios resueltos y ejercicios propuestos, y studiar otros enfoques sobre algunos temas. t lndice analitico. I

7. El disefio de las páginas donde se desarrollan los contenidos progra ticos comprende, además de estos contenidos, lo siguiente:

Notas de pie de página que complementan algún aspeto del tópico de arrollado, dan alguna informa- ción de tipo histórico o alguna resefia bibliográfica.

Notas al margen derecho para llamar la atención sobre el tópico d arrollado o recordar alguna fórmula, proposición o concepto de los estudiados en unidades de ndizaje anteriores o en estudios previos a la Educación Superior.

Cuadros resúmenes de repaso acerca de contenidos que se nec ¡tan para el desarrollo de la unldad y que debe conocer el estudiante por sds estudios previos. t

Sconos y

Sepa~adones Utilizados al margen o en el texto de los Módulos, indicando lo siguiente:

Hace hincapié en la importancia del objetivo u objetivosdel Módulo y Unidades, respectivamente.

Hay una definición, fórmula o enunciado importante al que es preciso prestar bastante 0 O e atención puesto que será de gran utilidad en el desarrollo siguiente.

m Señala que hay alguna lectura

3 Esto indica que se hacen preguntas importantesque se responderán a continuación.

@ Se refiere a que hay ejerciciospropuestos.

e debe utilizar un videocassette como apoyo al tema desarrollado.

m Se debe oir un audiocassette y trabajar con la guía de actividades como apoyo al tema desarrollado.

Se deben utilizar calculadoras cientlficas

A lndica inicio de solución de ejemplo, ejercicio o problema.

lndica fin de enunciado de definición, de teorema o de proposición,

1 lndica fin de ejercicio resuelto (ejemplo, ejercicio, problema), de demostración de una proposición o fin de alguna observación o tópico desarrollado.

.::*,+,-,o,*, 4, ,*,O,+,* Son separadores de ltems, de propiedades o de distintos enunciados.

S í n b o h s Algunos slmbolos utilizados en los contenidos del curso son los siguieqfes: 1

;J Aproximadamente igual a

t Pertenece a (slmbolo de pertenencia).

(E NO pertenece a.

c Es subconjunto de o está incluido o contenido en (simbolo de inclusión de conjuntos)

u Unión o reunión de conjuntos.

n Intersección de conjuntos.

0 Conjunto vaclo.

XI

Implica (símboJo de la implicación). I o Si y s6lo si o si y solamente si (símbolo de la doble

d Angulo.

h Angulo recto.

11 Es paralelo a (símbolo del paralelismo).

I Es perpendicular a.

n Arco de curva.

m Infinito.

A (Delta) Simbolo de incremento.

dotaciones

Y S¿mhoJos Notaciones de la teorla de conjuntos y otros utilizados er los contenidos:

( : Notación de conjunto.

x-11 Es un convenio de la notación x E (-1,l).

a, b, c, E A ES un convenio de a E A, b E A y c E A. I AB Longuitud del segmento AB. I

A-B Denota la diferencia del conjunto A con el conlunto B.

N,Z,Q,R Denotan, respectivamente, los conjuntos de los números aturales, los números enteros, los niimeros racionales y los números reales. E

N* Denota el conjunto N-(O} (conjunto de los n0meros natura s no nulos). 1 R' Denota el conjunto de los números reales positivos. 1 R' Denota el conjunto de los números reales negativos. I log Denota logaritmo decimal (en base 10). I Ln Denota logaritmo neperiano (en base e).

Iím Denota límite de sucesiones. n-tw

Iírn Denota límite de funciones. x+xo

Resp. Indica respectivamente

XII

UNIVERSIDAD NACIONAL ABiERTA ÁREA DE MATEMÁTICA

MATEMATICA 1 ( 1 75,176,1773 COORDINACI~N GENERAL Mauricio Orellana Chacín, UNA

CONTENIDOS Unidades 4 y 5 Mauricio Orellana Chacín, UNA

Unidad 6 Luis Márquez Gordones, UNA

VALIDANTES Unidades 4 y 5 Walter Beyer, UNA Inés Carrera d e Orellana. CENAMEC

Unidad 6 Walter Beyer, UNA Mauncio Orellana Chacín, UNA Rafael Orellana Chacín, UCV

DISENO ~STRUCCIONAL Mauncio Orellana Chacín, UNA

REVISI~N GENERAL OOORDMAUON Jesús Eduardo Ramirez, UNA

OOLABORAWRES Alejandra Lameda, UNA Alvaro Stephens, UNA

Divi5idn de Pubticacionne DISENO GRÁHCO Y A R ~ FINAL Scarlet Cabrera F. Fanny Cordero H.

Pág . 21

UNIDAD 4

SISTEMAS DE COORDENADAS . RELACIONES Y FUNCIONES

4.2 SISTEMAS DE COORDENADAS

4.2.1 Sistemas de coordenadas unidimensionales . La recta numérica ................................. . .............................. 4.2.2 Sistemas de coordenadas en dos dimensiones Plano cartesiano

4.3 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE UN PLANO ...........................................................

4.4 REGIONES DE UN PLANO . ECUACIONES E INECUACIONES .................................................................................................... CON DOS VARIABLES

4.5 RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES . RECTAS Y SEMIPLANOS

............................................................................................................. DE UN PLANO

@ Relaciones de proporcionalidad y porcentajes ........ .................... ............................... Rectas y semiplanos de un plano cartesiano ............................................................

CUADRO RESUMEN DE REPASO ............................... ... ...................................... 4.6 RELACIONES Y FUNCIONES . NOCIONES GENERALES .............................................

4.6.1 Producto cartesiano . Relaciones ............................................................................. 4.6.2 Funciones . Dominio, codominio y recorrido o rango . Representación gráfica ................

NOTA HISTORIA AGERCA DE LOS SISTEMA DE COORDENADAS ......................................................... Y DE LA GEOMETR~A ANAL~ICA .......... ....

UNIDAD 5

FUNCIONES ELEMENTALES Y SUS CARACTER~STICAS ...... ... ........................... 87

5.1 PRESENTACI~N ............................................................................................................. 89

5.2 FORMAS DE DAR UNA FUNCIÓN ............ .... .......................................................... 90

5.3 FUNCIONES ELEMENTALES: POLINÓMICAS. RACIONALES.

EXPONENCIALES Y LOGAR~TMICAS . SUCESIONES ................................................... 103

.......................................................................................... e Funciones elementales 103

e Gráficas trasladadas y funciones definidas por trozos o secciones .............................. 112

................ 5.4 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES ........................ e Propiedades de simetría de las funciones ............ ... .......... e Propiedades de crecimiento y decrecimiento de las funciones

........................ Propiedades de periodicidad de las funciones

5.5 ALGEBRADE FUNCIONES . COMPOSICI~N DE FUNCIONES . FUNCIONES INYECTIVAS . SOBREYECTIVASY BIYECTIVAS . FUNCIÓN INVERSA ............... .. ..................................................

.... Adición. multiplicación. sustracción y división de funciones Composición de funciones .......... .... .................................. Funciones inyectivas. sobreyectivas y biyectivas . Función inve

............................................................................. AUTOEVALUACI~N II

UNIDAD 6

OTRAS REPRESENTACIONES GRAFICAS ...................................... .

6.1 PRESENTAC16N ........................................................................... 6.2 REPRESENTACIONES GRAFICAS: DIAGRAMA3 DE BARRAS . DEL

............................................................................. PICTOGRAMAS

.......... 6.3 VARIABLES . VARIABLES CONTINUAS Y DISCRETAS ..... ..................................... 6.4 REPRESENTACIÓN GRAFICA DE DATOS

6.4.1 Organización de los datos .................... .... ................................. ............................ 6.4.2 Frecuencia. proporción y porcentaje de una clase

6.4.3 Clases elementales y clases compuestas ......... ... ...................... 6.4.4 Números y amplitud de los intervalos ........... ....... ...................... 6.4.5 Histograma y polígono de frecuencias ........ A ................................ 6.4.6 Diagrama de frecuencias acumuladas ............. .. .......................... 6.4.7 Diagrama de barras agrupadas .......... ... ......................................

.............. 6.4.8 Gráfico en forma de torta (sectores circulares) .. ............ ......................................................................... 6.4.9 Pictogramas

6.5 ESCALAS DE REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS EN UNA RECTP

6.5.1 Escala aritmética o uniforme .............................. .. ................. 6.5.2 Escala logarítmica ................................................................ 6.5.3 Representaciones gráficas con dos escalas .......................... 6.5.4 Papeles especiales para representaciones gráficas: papel rnilim

iogarítmico y semilogarltmico .... .... .................................. 6.5.5 Interpretación de grhficos ......................................................

............................... AS. TORTAS Y ...............................

Pág . .................. 220

...................................................................................................... RESUMEN ..................... ... 227

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS ............................................................................ 228

GLOSARIO ............................................................................................................................... 263

Gar ~ u e conocen a esfe señor dePhm6an y dePhra>2 7uey.a no se Layo Lecho uzo

de /á~ uen/+s yue y4o~r ecenyboen ueriezohno p e ue aiIo uns/n i/us/mción eri /as

mo/em<i/icos p u e h es/u&adopormá~ de coforce años eri 6spañr< y rancia, otie

/a na6h am6ieián de consogmrse aldien de supais sin más recompema, ademá3

de una má&co su6sis/eneia, p i l e e/Lwior de /ri6dfafé su* semicios y merecer Je e& modo /o es/imociónpú6kco.

Objetivo ~ ~ s ~ u ~ ~ h ~ e ~ ~ ~ á y ~ r e z k z b s y

~esoAer"a~mdAmas a p ~ k a ? ~ h s concephs

dászeos coneernz~nhs az6srez6czone4

/6ncz0nes~r~resen/ac~bnes~r~¿.as

En este Módulo se aborda el problema de los sistemas de,representacibn: a) Coordenadas cartesianas en una recta y en un plano. b) Otros tipos de representaciones como son: diagramas de barras, diagramas de líneas, histogramas,

sectores circulares "tortas" y pictogramas, y también estudiaremos las escalas: escalas uniformes o aritméticas, escalas semilogarítmicas y escalas logaritmicas.

Los sistemas, de representacion, nos permiten asociar ideas algebraicas, concernientes a números reales o pares de números reales, a conceptos geométricos. Por ejemplo, una ecuación en dos variables Ax+By+C=O determina el conjunto de puntos del plano ((x,y): Ax+By+C=O} que se representa mediante una recta. Esta idea de poner en correspondencia biunivoca los entes geométricos con los números constituye. en el fondo, lo que se denomina la Geometría Analítica;lo que iniciamos en el Módulo 1 cuando representamos los números reales mediante los puntos de una recta. Ahora avanzaremos en esta rama de la Matemática al hacer una breve y sencilla introducción a la Geometría Analítica en dos dimensiones, esto es, en un piano.

Pretendemos revisar varios contenidos programáticos que forman parte de los programas instruccionales de las etapas previas a la Educación Superior y, de esta forma. continuamos el enlace necesario entre esas etapas previas y la Educación Superior lo que, como se dijo en la presentación del Módulo 1, se hace imprescindible en una educación fundamentada en la metodología de EDUCACIÓN A DISTANCIA. Con frecuencia utilizaremos nociones que has estudiado anteriormente. Algunos las recordaremos,.bien sea dentro del texto o con notas marginales o de pie de página; otras se utilizarán libremente sin recordatorios previos.

Continuaremos con el uso de las CALCULADORAS ClENTlFlCAS iniciado en el Módulo 1, pero, en este Módulo deberás aprender a utilizar otras teclas de tales calculadoras que te permitirán trabajar con diversas funciones, entre ellas: función logaritmo y función exponencial (con base 10 y con base e), funciones trigonométricas, función x -t llx. etc6tera.

Los contenidos que estudiaremos se refieren a: sistemas de coordenadas unidimensionales (en una recta) y bidimensionales (en un plano). las relaciones y las funciones con énfasis en estas últimas, caracterís- ticas de las funciones y funciones "elementales" (cuadraticas, afines. polinómicas, exponenciales, logaritmicas, entre otras), álgebra de funciones y función inversa, datos y representaciones gráficas de datos (diagramas de barras, sectores circulares o "tortas", pictogramas, histogramas) y escalas (uniforme, logarítmica y semilogarítmica). La mayor parte de estos contenidos se estudia entre el noveno grado de la Escuela Básica y en la Educación Media. Diversificada y Profesional (EMDP) y forman parte de los programas instruccionales de esas etapas. Inclusive algunos contenidos, como los relacionados con datos, frecuencia, diagramas de barras, entre otros, son anteriores a ese noveno grado. Otros de esos conte'nidos (pocos) han sido eliminados de los programas de ensayo que adelanta el CENAMEC (Centro Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Ciencia) y que son objeto de ensayo en varios Liceos de la República.

La primera unidad de aprendizaje 4 del Módulo se refiere a los sistemas de coordenadas en una recta y en un plano, al estudio de las nociones generales acerca de las relaciones y las funciones y a la representación de ciertas regiones de un plano definidas mediante ecuaciones o inecuaciones. En especial, estudiaremos en esa Unidad la función afín f (x) = mx+b cuya representación gráfica es una línea recta.

La seguna unidad de aprendizaje 5 concierne al estudio de las usualmente denominadas "funciones elementales", esto es. las funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logaritmicas. entre otras. Determinaremos las caracteristicas de estas funciones que nos ayudan para representarlas gráficamente. como son: crecimiento y decrecimiento, inyectividad, periodicidad, corte con los ejes de coordenadas, simetrías respecto de los ejes de coordenadas y del origen de coordenadas. Además, definiremos el álgebra de funciones, la composición de funciones y la función inversa de una función biyectiva.

Se insistirá en las consideraciones de tipo geométrico en relación con las funciones, pero, se motivará y justificará la necesidad de determinar características de una función desde un punto de vista analítico.

Por último, la unidad de aprendizaje 6 se refiere a otras representaciones gráficas que son muy I

utilizadas en Estadística y que con frecuencia observamos en la prensa y en otros medios de comunicación. Se trata de representar datos, para lo cual se utilizan los diagramas de barras, los sectores circulares ("tortas'?, los diagramas de líneas, los histogramas y los pictogramas. En esta Unidad también estudiaremos

i con detalle lo referente a las escalas, lo cual iniciamos en la Unidad 4; en especial. definiremos las escalas uniformes o aritméticas, las escalas logaritmicas y las escalas semilogaritmicas.

. s ~ p n u a p ~ o o 3 ap sowafsrs opuz>?l;yi o y d

un ap o D ~ J J oun ap s o ~ u n d m f u a s a ~ d a x ~ W ~ S O

"Yopienro, luego existo'' (RenéDercarter,franeér, 1,596-1610.)

En esta Unidad de Aprendizaje estudiaremos las RELACIONES y las FUNCIONES en sus aspectos generales, haciendo énfasis en lo concerniente a las funciones. Previamente a este estudio debemos considerar los sistemas de coordenadas sobre un plano, lo que nos permitirá hacer representaciones gráficas de las relaciones y de las funciones reales.

Las funciones pueden darse de cuatro formas usuales: a) en forma descriptiva (lenguaje verbal); b) mediante fórmulas (lenguaje simbólico); c) mediante gráficos o dibujos (lenguaje gráfico); d) mediante una tabla de valores (valores que pueden ser números o letras o combinación de ambos; en general son elementos de dos conjuntos: el dominio y el conjunto donde toma valores o codominio).

Lo mismo es válido para las relaciones y también para una clase especial de funciones como son las denominadas sucesiones que definiremos en la próxima Unidad 5. 1'1

De manera específica, en esta Unidad estudiaremos las rectas y algunas nociones sobre los semiplanos dados por sus ecuaciones e inecuaciones. respectivamente. Relacionaremos las funciones y =mx e y =mx+ b con la proporcionalidad directa y con los porcentajes.

Para hacer gráficos o dibujos de funciones reales de una variable real necesitamos los sistemas de coordenadas de un plano, lo que estudiaremos en el primer tema de esta Unidad.

En la última parte de la Unidad se precisarán las nociones de relación y de función y, una vez finalizada la Unidad, anexamos una nota histórica relacionada con los sistemas de coordenadas y la geometria analítica.

Debemos señalar que la mayor parte de los tópicos desarrollados en esta Unidad 4 lo estudiastes en el noveno grado de la Escuela Básica y en la Educación Media y Diversificada, varios de ellos en una forma netamente operativa. Aquí precisaremos los conceptos y enfatizaremos en la resolución de problemas, y también en la aplicación de los temas estudiados.

4.2 SISTEMAS DE COORDENADAS

De una manera general. podemos decir que los sistemas de coordenadas proporcionan una regla que permite asociar a los puntos de una recta, de un plano o del espacio, respectivamente, un número real, un par de números reales o una terna de números reales (dados en cierto orden). Estos sistemas de coordenadas permiten, de manera general, ubicar posiciones de objetos en relación con otros. o bien, representar gráficamente relaciones entre "magnitu- des"con las que se trabaja en las distintas áreas del conocimiento humano: Física, ingeniería, Economía, Educación, y otras.

Algunas situaciones conocidas donde utilizamos sistemas de coordenadas o sistemas de referencia, aunque explícitamente no se le hayan dado esos nombres, son los siguientes:

r*1 En el Módulo 111 se estudiarán con más detalles las sucesiones de númerosreales Y fundamentalmente lo relacionado con los "limites de sucesiones". Luego,en el Módulo N para las carreras de"Dificu1tades deA~rendizaie"v "Preescolar" se volverá sobre el tema de las sucesiones o "seriaciones". como son conicidas en la primera y Segunda etapa de la Escuela Básica.

25

a) La ubicación de una vivienda en una ciudad se d ermina conociendo la calle o avenida y el número de la vivienda.

b) Ei rendimiento de un alumno, en una asignatura, S mediante un número (o una letra) que es su calificación. En el "sistema calificaciones" más utilizado en Venezuela, se considera el referencia y toda calificacibn igual o mayor concede la y en caso contrario el aplazamiento. Observemos (la califica- ción) en relación con otro número

c) La posición de un barco que este navegando se conociendo su latitud y su longitud sobre la superficie terrestre (en de tiempo).l'l Aquí necesitamos dos números para ubicar el barco.

d) La posición de un avibn en vuelo se determina, n cada instante de tiempo. conociendo la latitud, la longitud y la aMura sobre superficie terrestre. En este ejemplo O ~ S ~ N ~ ~ O S que se necesitan tres númer para determinar la posición del avi6n.

4.2.1 Sistemas de coordenadas unidimensionales. numérica

En el Módulo 1, al representar los números reales como p tos de una recta, trabajamos frecuentemente con sistemas de coordenadas (se necesita un sólo número para determinar la posición de un punto). Ahora, en este tem revisaremos algunos de los aspectos previamente estudiados y avanzaremos en los mismo . 1

Comencemos analizando el ejemplo anterior (a) ongamos que estamos en Barquisimeto y un estudiante le pregunta a un compaiiero, e vives?, y este le responde: vivo en la Avenida 20 en el número 14. Con esa puede ubicar la vivienda del estudiante recorriendo la Aven~da 20 en un o hasta encontrar el No 14, digamos que esa Avenida se numera en el sentido Este-Oeste

También la respuesta puede ser la siguiente: para llegar mi casa caminas 70 metros a partir del inicio de la Avenida y allí la ubicarás.

¿Que significa, desde un punto de vista matem ico, la situación planteada en ese ejemplo? t

La Avenida 20, que se extiende en línea recta, la represe itamos como una recta L (en realidad es un segmento de la recta L) y el sentido Este-Oeste indica un sentido en la recta que lo podemos senalar "hacia la derecha" mediante una flechi :

Correspondea la casa 1 lo 14 (la séptima, en unade las aceras, a pariirde la prii iera situadaal iniciode la avenida)

O U L A > L

O 1 70 70m >

se tratará lo concer-

Para dar un número a la vivienda, en este caso el No 14 o la distancia de 70 metros, primero se debe ubicar el punto de partida. donde se inicia la avenida. Las viviendas se numeran a partir de la primera situada al comienzo de la avenida (si están bien numeradas). '"1

Asi, el modelo geométrico de ese ejemplo consiste en una recta L, un punto origen O y un punto unidad U de tal forma que adoptamos la longitud del segmento OU como unidad.

Luego medimos una distancia de 70m hacia la derecha del punto O (s~=70m). Esto es, necesitamos dar, además de L, O y U, un número a los fines de ubicar la casa del estudiante.

Al tener fijados esos dos puntos O y U, se determina un sentido de la recta L. En este curso siempre supondremos que U lo ubicamos "a la derecha" de O si dibujamos la recta "horizontalmente" o bien U está situado arriba de O en el caso de dibujar la recta "verticalmente":

-> A la derecha O 1 U 1 Hacia arriba f

o t o I

Caso en que L se dibuja "oblicuamente" O a las direcciones horizontal y ve!iical.

También se dice que el "sentido de O hacia U" es el sentido positivo en la orientación de la recta y el sentido contrario es el sentido negativo.

Cuando sobre una tal recta L se han fijado los puntos O y U, decimos que se ha definido un sistema de coordenadas sobre la recta L y se puede demostrar lo siguiente:

A cada punto de la recta se asocia un único número real que es su coordenada, y recíprocamente, cada número real es la coordenada de un único punto de la recta. Esto se resume diciendo que hemos esta- blecido una correspondencia biyectiva entre los puntos de la recta y los números reales.

Si al punto P E L le asociamos el número real x, esto se denota mediante P(x), diciendo que x es la coordenada o abscisa del punto P. De tal forma que O(0) y U(1), esto es, las abscisas de los puntos O y U son, respectivamente, O y 1 . Una recta L sobre la cual se ha fijado un sistema de coordenadas, se denomina frecuéntemente recta real o recta num6rica, lo que no es más que una "cinta de medir idealizada" que nos permite medir la longitud de cualquier segmento. La recta L se dice que es un eje y la semirrecta de origen O que contiene a U se dice que es el semieje positivo, siendo la semirrecta opuesta el semieje negativo. Se acostumbra denotar a la recta L mediante la letra X o x colocándola al lado de la flecha que indica su orientación:

==l.

Si 6Ü representa Im, en tonce~ - OA=70 OU.

u

[*1 Es costumbre, en las avenidas y calles de las ciudades, quese numeren lasviviendas de un lado de la avenidacon nomero pares y las del otro lado con números impares.

27

Sean P(x) y M(xV). Recordemos que la longitud d 1 segmento PM o distancia d(P,M) es igual a 1x'-xl, esto es:

- PM = d (P,M) = lx'-xl.

Cuando fijamos la unidad de medida =el, se tiene a graduación de la recta L marcando sobre L los puntos que se obtienen al llevar ente la longitud m hacia la izquierda y hacia la derecha de O.

Podemos efectuar subgraduaciones o "graduaciones ás finas" si dividimos el segmento OU y hacemos la misma construcción que antes, por ej mplo: 1

O A U iC > Aqul dlvidlmos el segmento OU n diez segmentos de Igual longitud. I

En una "regla graduada" (el borde donde está la graduación lo pensamos como un "segmento del semieje positivo con extremo el punto 0 ) es costumbre graduarla tomando m = l cm y dividiendo este segmentos de igual longitud donde cada uno mide 1 mm. A veces se esos bordes en cm y mm y el otro en dimos los dos bordes sobre una

1 En pulgadas

- x ' 62 En centímetros

Obsewemos que lo representado en ese dibujo son dos temas de coordenadas sobre el eje OX con el mismo origen 0=0. El punto U corresponde cm y el punto U' a 1 pulgada, y tenemos una fórmula de transformación de centlmetros a y viceversa que es la siguiente: si la absclsa de P es x en cm y x' en pulgadas,

x = 2,54x' 't 'T (Fórmula de transformacl6n de ordenadas o de transformaci6n de

cm pulgadas esos sistemas de medidas de ngitudes). b y por lo tanto x' = x /2,54. Por ejemplo, si x=2,54 (cm) entonc x'=2,54 / 2,54 = 1, es decir 1 pulgada = 2,54 cm. t

Ese ejemplo nos indica que sobre una misma recta se p en definir distintos sistemas de coordenadas, pues basta con tomar puntos orlgenes o pun unidad diferentes. Luego, si tenemos dos sistemas de coordenadas sobre una misma recta nsideramos un punto P en dicha recta, entonces la abscisa de P en uno de esos sistemas Je coordenadas es distinta de la abscisa x' del mismo punto P en el otro sistema de coordeni das.

Ejemplos 4.2.1

1. En una recta numérica se tienen los puntos A (3) y B (t). Calcula t de tal manera que d (A,B)=4.

A De ese enunciado resulta lo siguiente:

d (A,B)= jt - 31 = 4 t - 3= -4 o t - 3 = 4 3 t=-1 o t=7, luego, hay dos puntos que satisfacen el enunciado dado y son los puntos B(-1) y B'(7):

2. Ya sabemos que algunos termómetros miden la temperatura en grados centígrados OC (escala Celsius) y otros en grados Fahrenheit OF siendo la relación entre esas dos escalas de temperatura dada por

Cada una de esas escalas nos origina un sistema de coordenadas (una graduación) sobre una recta con puntos origen y puntos unidad distintos. Representemos esas dos escalas de temperatura sobre una misma recta.

A Dibujamos "verticalmente" la recta. tal como se leen los termómetros:

En grados + 5 Centigrados

o Si F = 32 entonces C=O y si F=O entonces

es la temperatura de fu- sión del hielo y 1OO0C= 212 OF es la temperatura de ebullición del agua (a presión at- mosférica). Si 0=100 OC - 0 OC=100 'C o bien 8 =21Z°F - 3ZDF, entonces

R

[*] En Venezuela utilizamos los grados centígrados o Celsius para dar la temperatura. En otros paises, como en los Estados Unidos e Inglaterra, se utilizan los grados Fahrenheit.

Por lo tanto al cero de la escala Celsius (0%) correspon 'e a 3Z°F y el cero de la escala Fahrenheit (O°F) corresponde a -(5~32)19 OC * -17,78OC.

cuántos OF son 1% y cuántos "C son I0F? I

En la siguiente figura tenemos una recta L con dos de coordenadas que tienen el mismo punto origen 0=0' y donde el punto U medio del segmento O'U'. En la parte superior escribimos las abscisas de de L en relación con el sistema de coordenadas definido por los puntos inferior escribimos las absc~sas de algunos puntos de L referidas al definido por los puntos 0' y U':

O .1

A Coordenadas en el sistema 0.U -1 O 1 2

4 '2 "

) L Coordenadas en el sistema O',U' -112 O 112 1 3

-?

y podemos observar lo siguiente: I En el sistema de coordenadas definido por los p ntos 0,U se tiene: 0(0), U(1), U'(2), A(3).

* Las abscisas de esos mismos puntos en relación on el sistema de coordenadas definido por los puntos 0'=0 y U' son: = 0(0), U 1/2), U'(l), A(312).

Podemos notar que la abscisa x de un punto P en el sis ma de coordenadas 0,U es el doble de la abscisa x' de P en el sistema de coordena S O',U', esto es, x=Zx' o bien x'=x/2. Esas fórmulas son las fórmulas de transforma i6n de coordenadas. 1 t

4. En el lenguaje corriente utilizamos frecuentemente dista cias entre pueblos o ciudades. Por ejemplo. decimos que de Caracas a Barquisimeto ha 1 355 km. Es necesario precisar de cual "distancia" se trata puesto que hay varias a ir desde Caracas hasta Barquisimeto y, además. si medimos esa distancia en I cta, es decir, si calculamos en un mapa la longitud del segmento que une los dos esas ciudades, obtendriamos lo que antes denomin una recta que, en general, es distinta de la que dan I de carreteras a menos que se trate de dos pueblos cercanos unidos por una En los mapas de carreteras y en los mapas turísticos, cia" indica la correspondiente a la ruta con menor recorrido por autopistas y El camino para ir de una ciudad a otra puede estar es decir por una "linea poligonal" o por una cierta cu

Camino formado por una línea pollgonal

amlno formado por

ctlllneas

Cuando se trata de una línea poligonal que une el punto A con el punto E (ver dibujo anterior) también podemos determinar la posición de un punto cualquiera P de esa poligonal. manteniéndonos dentro de la misma, sin más que calcular la suma de longitudes de los - - - segmentos desde el "punto origen A" hasta el punto P, es decir AB+BC+CP. Si A y E representan dos ciudades y esa poligonal es la ruta más corta por carretera entre ambas ciudades, entonces la "distancia" que las separa es la longitud de la poligonal, es decir ~~+~+FD+FE ("distancia" medida a lo largo de la carretera).Si se trata de una curva que une el punto A con el punto E, también podemos determinar la posición de un punto cualquiera P de esa curva, sin salirnos de la misma. sin más que calcular la "longitud del arco AP" a partir del "origen A de la curva". Por ejemplo, esto es fácil determinar si la curva en cuestión es un arco de circunferencia:

Arco de circunferencia de radio R. La longitud del arco AE es igual a R o donde el ángulo a se mide en radianes.

"Distancia" a lo largo de un camino.

Cuando representamos objetos mediante dibujos, bien sea haciendo un croquis, un mapa, o un plano, etcétera, las longitudes de los segmentos sobre el dibujo no son, en general, las mismas que las longitudes reales del objeto que dibujamos. Si el objeto es "muy pequefio" entonces en el dibujo ampliamos las longitudes y, por el contrario, si el objeto es "muy grande" entonces reducimos las longitudes sobre el dibujo. Por ejemplo, en los mapas y cartas geográficas las longitudes sobre el dibujo son menores que las correspondientes longitudes reales y esa razón entre ambas longitudes es lo que se denomina la escala en el mapa, carta o plano. Así, se define la escala de la siguiente forma:

longitud sobre el dibujo escala =

longitud real

Por ejemplo, consideremos en el mapa siguiente una parte del Norte de Venezuela que comprende al Distrito Federal:

Encontramos en el recuadro de la parte inferior derecha que hay: I A La siguiente leyenda. ESCALA + Un segmento marcado en kilómetros:

1:650.000, que se lee "uno es a o 10 20 30 seiscientos cincuenta mil" o "uno l i - i m i I sobre seiscientos cincuenta mil". KILOMETROS En este caso se dice que la esca- En este caso se dice que la escala la está en forma numérica. está en forma gráfica.

Analicemos cada una de ellas:

+ LA ESCALA DADA EN FORMA NUMÉRICA:

1 longitud sobre el dibujo El número 1:650.000 indica lo siguiente: --- =

650000 longitud real

de donde longitud real = 650000 x longitud sobre el dibujo. Como lo usual en los mapas y cartas geográficas es utilizar los centímetros para las longitudes entonces, mientras no se diga nada, consideramos la unidad de longitud igual a I cm m. Por lo tanto, 1 cm de longitud sobre el dibujo es igual a

650000 x 1 cm de longitud real = 6,5 km de longitud real.

Por ejemplo, si queremos determinar la distancia entre Caucagua y El Clavo, medida en línea recta, y con una regla graduada cuyo borde pase por los dos puntos indicando esas ciudades, resulta 3.5 cm y por lo tanto esa distancia es igual a 3,5 . 6,5 km = 22,75 km. Si medimos la "distancia" a lo largo de la carretera que las une, que no es un segmento de recta, resulta 15+17 = 32 km, según observamos en el mapa. ¿Cuál es la distancia que hay entre Naiguatá y Chuspa medida en línea recta? ¿Cuál es esa "distancia" s i la mides a lo largo de la carretera de la costa?

Si medimos la longitud del segmento marcado en sus extremos con O y 30, resulta 4,7 cm (salvo imperfecciones en la medición) y, mediante una regla de tres simple calculamos la escala en forma numérica como sigue:

obteniendo (1 . 30)/4.7 % 6,3829787 y esto indica que

1 cm en el dibujo equivale a % 6,3829787 km.

lo oue redondeado con tres cifras sianificativas da 6.38 km. La discre~ancia con lo - ~ 8 ~ - - determinado antes es debida a la medición con la regla graduada en cm y a imperfecciones del dibujo. El error porcentual cometido en esa aproximación es pequeño ya que es igual a

[*] La pulgada para los países anglosajones.

Observación:

Lo que hacemos al unir los puntos que indican Caucagua El Clavo es determik- una recta y sobre ella tomamos dos graduaciones, como se in ica en el siguiente dibujo: I

Longitud real 6,s 22,75 en kil6metros 1 .

0 1 2 4 Longitud sobre I t 1 dibujo en centirRstros

Ejercicios propuestos 4.2.1 I 1. En la siguiente figura, los puntos O,U,A y B tienen, respect amente, las abscisas O, 1, 3

Y 4.

P O " A B , M 1 a) Si la longitud del segmento MB es tres veces la longitu del segmento AB, ¿cuál es la

abscisa del punto M? b) Si la longitud del segmento AP es igual a dos veces la gitud del segmento UA, ¿cuál

es la abscisa delpunto P?

, Si en una recta numérlca se dan los puntos A(3) y B(-4), a) La coordenada del punto M simétrico del punto A con b) La coordenada del punto N simétrico del punto B con c) Las coordenadas de los puntos del segmento BA que

mento en tres segmentos de igual longitqd.

. Sabemos que 1 libra = 0,454 kg. Representg, sobra una r ta que graduas en libras y en kilogramos con el mismo origen 0=0' en los dos sistemas e coordenadas (de medidas), las coordenadas de algunos puntos. Da las.fórmulas de t ansformación entre esos dos sistemas de coordenadas (se dice: fórmulas de transform ción entre esos dos sistemas de medidas). 1

. Consideremos una cuerda de longitud L dispuesta en a de circunferencia. Supon- gamos que el radio de esta circunferencia ek igual a 1 c Si cortamos la cuerda y la estiramos sobre el borde de y milímetros, de tal manera que colocamos qn en el punto 0(0), ¿en qu6 división de la regla graduada se ubica el

, En el mapa del No 4 de los ejemplos 4.2.1, calcula la (en llnea recta) que hay entre Paracotos y Tejerlas. ¿Cuál es la "distancia" entre esos dos pueblos a lo largo de la autopista regional del centro? ¿ CuBl es el errorporcentual al tomar la distancia una aproximaci6n de la "distancia" medida a lo largo de la autopista

6. En la escala gráfica ( O ) del No 4 de los ejemplos 4.2.1 calculamos la escala atendiendo a la equivalencia de 4,7 cm con 30 km como resultado de la medición que hicimos sobre el dibujo (recuadro inferior derecho) con una regla graduada en centímetros y en milime- tros. Si disponemos de un instruménto de medici6n más preciso que mida hasta decimas de mm (como un vernier), 'cuánto debería darla longitud del segmento que alli está indicado como de 30 kilómetros para tener un valor más próximo con la escala 1:650000?

7. En el plano siguiente te mostramos una parte del centro de Caracas. ¿Cuáles la distancia que hay entre las esquinas de Carmelitas y Candilito?

9. La introducción de coordenadas en una recta hace que se puedan traducir los enunciados geométricos relativos a la recta en tbrminos de enunciados aigebraicos con números reales y viceversa. Por ejemplo, un enunciado geométrico como el siguiente:

En una recta orientada el punto A está situado a la izquierda del punto B. I Se traduce en: I La abscisa a del punto A es menor que la abscisa b del punto B (A(a) y B(b) con a<b).

Atendiendo a esa correspondencia entre entes geométricos y números y sobre la base de que trabajamos con una recta en la cual se ha definido un sistema de coordenadas mediante los puntos O(0) y U(1), escribe los correspondientes enunciados dados en forma numérico- algebraica (resp. dados en forma geométrica) o en la forma geométrica (resp. en la forma numérico-algebraica): a) M es el punto medio del segmento AB. b) El número x es negativo (x<O). c) La distancia del número x al número y es 2 y además x > y. d) M es el punto simétrico del punto N respecto del punto A. e) Sean A y B dos puntos de la recta orientada L y tal que A está a la izquierda de B.

Consideremos un punto H E L situado entre A y B.

4.2.2 Sistemas de coordenadas en dos dimensiones. Plano cartesiano

En este tema estudiaremos los sistemas de coordenadas definidos sobre un plano. Salvo indicación contraria, al referirnos a un plano entenderemos que se trata del plano de la página donde estamos leyendo o escribiendo, o del plano del pizarrón.

Antes de definir los sistemas de coordenadas en un plano comencemos analizando la situación siguiente: supongamos que nos encontramos en la Plaza Bolívar de Caracas, específicamente en la esquina de Principal donde se encuentra la Gobernación del Distrito Fe- deral (ver plano del No 7 de ejercicios propuestos 4.2.1) lo que esquematizamos en el dibujo siguiente: N

E

, L

Si le preguntamos a una persona que pasa por la esquina de Principal cómo podemos hacer para llegar hasta la esquina de Balconcito, ésta nos puede indicar que caminemos dos cuadras hacia el Oeste y luego tres cuadras hacia el Norte. Observemos que nuestro punto de partida u origen se ubica en la esquina de Principal y, para situar la esquina de Balconcito nos indicaron dos direcciones a tomar (Oeste y Norte) y dos números 2 y 3 (cuadras).

AI punto A correspon. den los nú. meros -2 y 3 (en este or. den) o blen -200 y 300.

Se obtlene el punto B.

Es decir, en el plano de una cludad y a los fines de ubicar una esqu a a partir de un determinado origen, en nuestro caso la esquina de Principal, se necesita dar d direcciones y dos números. En lugar de indicar cuadras, se pueden indicar distancias, digamo 200m hacia el Oeste y luego 300m hacia el Norte, lo que serla equivalente a las cuadras en e caso de que la ciudad fuese cuadriculada y cada cuadra tuviese 100m de longitud. De e a forma tambi6n se dan dos números 200 y 300 y las dos direcciones Oeste y Norte.

Si hacemos un modelo geom6trico de esa situación, de nera análoga a lo realizado para el caso unidimensional de la Avenida 20 de Barquisimeto, e tiene lo siguiente: de una parte tenemos una región de un piano que representa la ciudad d nde hay calles con dirección Oeste-Este, indicadas mediante rectas "horizontales" y, otras c lles con dirección Sur-Norte indicadas mediante rectas "verticales", obteni6ndose un "cuadric lado" donde destacamos con los puntos O y A los que corresponden a las esquinas de Princip 1 I y de Balconcito, respectivamente:

Observemos que en la esquina de Principal se rectas perpendiculares y a partir de este punto de intersección O podemos del centro de Caracas sin más que dar un par de números en un indica el número de cuadras hacia el Este (resp. hacia el y el segundo número seiíala el número de cuadras negativo) o tambi6n el par de

Porejemplo, si damos el par de números -1, 3 (en este ello nos indica que debemos caminar, a partir de la esquina de Principal, una cuadra y luego tres cuadras hacia el Norte, y asl llegamos a la esquina de Salas (donde Ministerio de Educa- ción). ¿A cuál esquina llegas, partiendo de la esquina de Principal, si e l par de números -1, -2 o bien e l par 3, O? ¿Si cada cuadra tuviese IOOm, cuBles son que debes dar?

La idea esencial que se concluye del análisis del es que para ublcar la posición de un punto en un piano se necesitan dos tanto, cualquier enunciado de tipo geom6trico relativo a puntos se traduce en a números. Esta as la idea básica de la rama de la matemática

I"] Muchas cludades, o en forma cuadriculada a veces con la Plaza Mavor en e "Dleao de Henares fue el autor del trazado de Caracas. que orlenti exactamente de ~orte-a Sur, ... mayor fue trazada exactamente cuadraday no alargada como lo dlsponlan las Ordenanzas cludad formaba ungran cuadrado de clncomanzanás por lado con calles de trelnta y dos pies d( ancho. Cada manzana se divldla en cuatro solares,..:'. El ordenamiento v realamentacl6n aara la construcción de las cludade 1 en Ambrlca fue producto de las "Ordenanzas de &s~ubrlmlanto y ~oblaci6n" de Felipe 11, en el ano Esto se tradujo en una gran amonla y correccl6n en las edlflcaclones de las ciudades a tal punto que "Para el momento de declararse la Indeoendencla norteamerlcana. no habla al11 cludad aue pudlera eauloarame con nuestra Caracas colonlal." .. (...) '6...nuestras cludades tuvieron un d sarrollo ordenado y armonioso y eran un ejemplo de pulcritud para las cludades europeas que todavía t en el slglo XVlll rendían culto al desaseo". Eduardo Arclla Fsrlas, "Hlstorla de la Ingeniería en Venezuela", Tomo Colegio de lngenleros de Venezuela, p6g. 23-37. Caracas, 1961.

Generalicemos entonces la situacibn planteada desde un punto de vista matemático: Consi- deremos un plano y tracemos dos rectas perpendiculares L y L' que se cortan en el punto O. Una de esas rectas, digamos la recta L la llamaremos eje horizontal y la dibujandose "horizontalmente" y a la otra recta L' la llamaremos eje vertical y la dibujandose "verticalmente". Sobre cada una de esas rectas definamos un sistema de coordenadas con el punto origen O y un segmento unidad OU en e l eje horizontal y otro segmento unidad Oü' con igual longitud (OU=OU'=l) en el eje vertical,

hacia arriba

Esto es con- vencional para facilitar los dibujos.

Poster lor - mente estudiaremos el caso de segmentos unidades con distintas longitudes rn#Ou.

El conjunto de esos ejes y la unidad de longitud (son rectas graduadas) se denomina un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el plano o simplemente un sistema 1 de coordenadas cartesianas en el plano. m

Es costumbre utilizar las siguientes convenciones para denotar los ejes: a) El eje L se denomina el eje equis (X o bien x) o eje de abscisas; b) El eje L' se denomina el eje ye (Y o bien y) o eje de ordenadas. También se dice eje OX y eje OY a los fines de indicar el origen O:

y Eje de ordenadas

P~X,Y) ,-..\ .. . . . . . . . . . ordenada de P

B ( ~ , Y ) Los puntos sobre el eje OY tienen abscisa nula ++x 4

Eje de abscisas

A(X,O) LOS puntossobre el eje OXtienen ordenada nula I

Sea P un punto del plano considerado. A este punto le asociamos dos números, denominados sus coordenadas y obtenidos como sigue: trazamos por P las rectas perpendiculares a los ejes OX y OY; de esta manera obtenemos los puntos A y B sobre los ejes OX y OY, respectivamente, A es la proyección ortogonal de P sobre el eje OX y B es la proyección ortogonal de P sobre el eje OY.

Como los ejes OX y OY son rectas graduadas, entonces al punto A (resp. al punto B) le corresponde una coordenada XE R (resp. y E R) y por lo tanto al punto P le asociamos los dos números reales x e y (en este orden) que son las coordendas de P. Esto se denota mediante P(x,y), donde x se llama la abscisa del punto P e y la ordenada del punto P.

Los puntos del eje OX tienen la ordenada nula, es decir son puntos de la forma A(x,O) y los puntos del eje OY tienen la abscisa nula, es decir son puntos de la forma B(0,y). El origen tiene sus dos coordendas nulas, o sea O(0,O).

[7 El origen de ese nombre se debe a Ren6 Descartes (francés. 1596-1650). Ver noia histbrlca al final de esta Unidad.

que se caracterizan como sigue: un punto P(x,y) pertenece al primer cuadrante si y solo si x>O, yz0. Análogamente para los otros cuadrantes.

Ejemplos 4.2.2 I 1. Para definir un sistema de coordenadas cartesianas en un plano consideramos dos rec-

tas perpendiculares que se cortan en el punto O.

También podíamos haber tomado dos rectas L y L', no necesariamente perpendiculares pero que sean secantes en un punto O, y graduar cada una de ellas:

Si tenemos un punto P del plano y trazamos por P las rectas S' y S paralelas, respectivamente, a los ejes L' y L, se obtienen los puntos AE L y BE L' (ver dibujo). P1 Como L y L' son rectas numéricas, entonces A tiene una coordenada a sobre el eje L y B tiene una coordenada b sobre el eje L'. Luego el punto P determina de manera única el par ordenado de números reales (a,b), denotándose como antes P(a,b). Así hemos definido un sistema de coordenadas cartesianas cuyos ejes de coordenadas no son ortogonales.

EN ESTE CURSO, CUANDO NOS REFERI- MOS A SISTEMAS DE COORDENADAS EN- TENDEMOS QUE SE TRATA DE SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS REC- TANGULARES U ORTOGONALES, ES DECIR, LOS EJES DE COORDENADAS SON PERPENDICULARES.

S'fl L = {A}. S nL3=(B}.

2. Efectos que se producen al elegir unidades de longitudes distintas sobre los dos ejes de coordenadas.

Al definir los sistemas de coordenad* elegimos sobre los ejes de coordenadas OX, OY la misma unidad de longitud ~Ü=ou', es decir estamos tomando la misma graduación o escala en ambos ejes de coordenadas. Necesariamente esto no tiene por que ser de esa forma; tendremos la oportunidad de presentar en las Unidades de Aprendizaje siguiente5 diversos ejemplos donde los dos ejes de coordenadas tienen distintas escalas o graduaciones. (Recuerda que en el tema anterior 4.2.1 se dieron ejemplos de graduaciones diferentes sobre una misma recta).

r] El punto A (resp. al punto B) es la proyección del punto P sobre la recta L (resp. sobre la recta L') obtenido mediante la proyección paralela a la recta L' (resp. a la recta L).

41

A los fines ilustrativos presentamos a continuación un

la unidad de 1 cm, se obtiene el rectángul

Es bastante frecuente trabajar con distintas escalas sobre los ejes de coordenadas. Por ejemplo, el gráfico sigu~ente representa las TARIFAS POSTALES NACIONALES PARA CARTAS (VIGENTES EN 1994):

donde se ha representado sobre el eje de abscisas los pesos de las cartas en gramos (g) (hasta 2000 g) y sobre el eje de ordenadas sus respectivos costos en bolívares (Bs) (hasta 21 0,00 8s). Observemos que utilizamos escalas (graduaciones) diferentes sobre ambos ejes de coordenadas. I*' I

3. En el comercio se pueden adquirir papeles cuadriculados y papeles milimetrados como los mostrados a continuación (un pedazo de una página de esos papeles):

Papel cuadriculado. El área de cada uno de los cuadrados más pequefios es (0,5)'cm2 = 0.25 cm2.

Estos "papeles" nos facilitan mucho el dibujo de los gráficos cuando utilizamos un sistema de coordenadas. I

Papel milimitrado. El área de cada uno de los cuadrados mas pequelios es Immz.

y] En la Unidad 6 dO este Módulo estudiaremos con más detalles lo referente a las escalas.

I

Ejerciclos propuestos 4.2.2

1. Dibuja un sistema de coordenadas y representa los ue tienen las siguientes coordenadas:

M(-2,3); A(0,3); B(1,1), P(-1 ,O).

2. Da las coordenadas de cuatro puntos que sean los vB un rectángulo y dibújalo.

3. Da las coordenadas de tres puntos que sean los vB n triángulo rectángulo y dibújalo.

4. Dado el punto A(-2,3), ¿cuáles son las coordenadas d Btrico de A con respecto al origen de coordenadas?

5. Representa los siguientes puntos (1,1), (1,2), (3,2) y istema de coordenadas, tomando: a) La misma unidad de longitud sobre ambos ejes b) La unidad de longitud sobre el eje de abscisas ig unidad de longitud

sobre el eje de ordenadas. c) La unidad de longitud sobre el eje de abscisas

longitud sobre el eje de ordenadas. d) La unidad de longitud sobre el eje de abscisas i

sobre el eje de ordenadas.

6. Observa que el conjunto de los puntos que e abscisa positiva y es el conjunto formado por la re conjunto es el semiplano a la derecha del eje P(x,y) tales que x>O. Define, de manera análoga, los siguientes semiplanos: a) semiplano a la izquierda del eje OY. b) semiplano superior o "arriba" del eje OX. c) semiplano inferior o "abajo" del eje OX. ¿De qu6 manera puedes definir los distintos c esos semiplanos?

7. a) ¿Cómo son las coordenadas de los puntos b) ¿Cómo son las coordenadas de los puntos c) ¿ Qu6 representa geom6tricamente el c

aue x 2 O? d) esp pon de lo análogo de la parte (c) en los siguientes os: i) x S O; ii) y 2 O;

iii) y 5 O.

8. a) Si un punto P tiene coordenadas (a,b), ¿que coordena tiene el punto P'simbtrico de P respecto del eje OX?

b) Si un punto M tiene coordenadas (d,c), ¿qu6 coorden tiene el punto N sim6trico de M respecto del eje OY?

c) Si un punto P tiene coordenadas (x,y), ¿que coorden tiene el punto H sim6trico de P respecto del origen de coordenadas?

1 4.3 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE UN PLANO I Recordemos que, si tenemos una recta numerica L y ntos M(x) y N(x'), entonces

la longitud m del segmento MN, o distancia d (M,N), M N - X X'

Ahora queremos calcular, utilizando coordenadas, la distancia entre dos puntos Pl'y P2 de un plano cartesiano, denotada por d (P1, P2), que es lo mismo que la longitud w2 del segmen- to P,P2:

- d = P, P, (es la distancia euclidiana)

Comencemos, en primer lugar, por establecer la distancia entre P1 y P2 cuando estos puntos tienen la misma proyección sobre el eje de las Y. Entonces, si las coordenadas de Pl y P2 son, respectivamente. (xl, y l) y ( ~ 2 , y2).

Y

+lx2-xl l -- l

P , ( X , . Y , l p,[X,. V ? l

tendremos en este caso y1 = y2, luego la recta que contiene a Pl y Pi es paralela al eje de las X, por lo tanto,

Análogamente, si P7 y P2 tienen la misma proyección sobre el eje de las X, es decir x l = x2, entonces, la recta que pasa por PI y P2 es paralela al eje de las Y, luego

d (P1, P2) = ly2 -YII=Y~.YI VI

Consideremos el caso general. Suponemos que PI (xl, yl) y P;! (x2, y2) son puntos cualesquiera del plano.

Ejemplos 4.3

1. La distancia entre los puntos P1 (-3,4) y P2 (2,-1) es

d(P P ) \/(2 - (-3))' + (-1 - 4) 2 = J"= 25+25 = 5 f i 9

i

1

. .- I

2. La distancia entre el origen de coordenadas 0(0,0) y un punto cualquiera P (x,y) es I

2 2 3. Como (XZ-XI)~ = (xl -x2) e (y2 - y?)' = (yl - y2) , entonces se deduce que

y por lo tanto se dice, indistintamente, distancia de P1 a P2 o distancia de P2 a P1 O

bien distancia entre Pl y P2. I

4. Si estuviésemos en una ciudad cuadriculada con calles y avenidas representadas horizontalmente y verticalmente en un papel cuadriculado, y queremos caminar desde un cierto sitio indicado por el punto M hasta otro sitio indicado por el punto N. ¿Cuál es la "distancia" que debemos caminar?

/"Distancia del + x

A Consideremos las coordenadas de los puntos M y N: M(a,b) y N(a3.b'). Como no podemos caminar directamente desde M hasta N, sino recorriendo calles o avenidas (paralelas a los ejes de coordenadas), entonces la "distancia" que debemos caminar no se obtiene con la fórmula [3]. Podemos primero caminar desde M hasta P y luego desde P hasta N o también siguiendo la trayectoria MHN. Por lo tanto, la "distancia"que se camina está dada por KP + PN = la' - al + lb' - bl. Nota: Hay otras formas para ir de M a N, todas con la misma longitud igual a fi + 1

taxista" ya que este no puede condu-

;ent,"d;$; N ,in, a tra. ves de las ca-

d:s,Y avEs;i < ~ d i ~ ~ ~ ~ ~ i ~ , ~ ~ ~ mayor que la d i s t a n c i a euclidiana.

47

4.4 REGIONES DE UN PLANO. ECUACIONES E INECUACIONES CON DOS VARIABLES

Anteriormente estudiamos ecuaciones e inecuaciones con una sola variable. En este tema daremos algunas nociones relativas a las ecuaciones e inecuaciones con dos variables.

La relación entre dos cantidades es frecuente expresarla en términos de ecuaciones y de inecuaciones, lo que se traduce geométricamente en un subconjunto del plano que representamos utilizando un sistema de coordenadas.

Por ejemplo, el conjunto de los puntos P (x,y) tales que x z O e y > O es el primer cuadrante.

Observemos, entonces, que el cuadrante 1 está definido mediante un sistema de inecuaciones con dos variables

en cambio, el eje OX está definido por la ecuación y =O puesto que todo punto M(x,y) del eje OX tiene ordenada nula. es decir es un punto de la forma M(x,O).

En general, podemos decir que las ecuaciones e inecuaciones con dos variables x,y determinan subconjuntos de un plano en el cual hemos definido un sistema de coordenadas.

A los subconjuntos (no vacíos) de un plano también se les llama figuras geometricas del plano y se representan geométricamente utilizando un sistema de coordenadas. Esta representación geométrica es una gráfica (o gráfico) dada (o dado) por el conjunto de puntos P(x,y) que pertenecen a la figura.

Así. una gráfica (o gráfico) en un plano cartesiano es un subconjunto no vacío de dicho plano. O ~ S ~ N ~ ~ O S entonces que gráfica en un plano, figura geométrica o subconjunto del plano son expresiones sinónimas.

Un subconjunto del plano puede tener un número finito o infinito de puntos. En el caso de los cuadrantes, de una recta, de un segmento, de una circunferencia, entre otros, tenemos subconjuntos con infinitos puntos.

Por ejemplo, si representamos el conjunto de puntos {P(x,y): x=a), donde azO es una constante, observamos que el gráfico obtenido es una recta paralela al eje OY, que es una figura con infinitos puntos:

Y

+ recta de ecuación x=a

d x :..

o

En esos ejemplos observamos que (1) y (6 ) son "regiones acotadas", por el contrario. (2), (3), (4) y (5) son "regiones no acotadas':

Esas regiones se definen mediante inecuaciones en dos variables. Sus fronteras o bordes, que son curvas, se definen mediante ecuaciones con dos variables x,y.

Por ejemplo, la región dibujada a continuación (sin incluir la frontera): v

está definida por el par de inecuaciones x>l, y>2, y su frontera está dada por las ecuaciones x=l (recta paralela al eje Oy) e y=2 (recta paralela al eje Ox). I

Ejercicios propuestos 4.4

1. Utilizando un sistema de coordenadas, representa los siguientes subconjuntos del plano:

b) {(x,~): x = -1, Y O);

Indicando en cada caso de qué tipo de subconjuntos se trata: conjuntos con un número finito de puntos, curvas, regiones acotadas o regiones no acotadas, etcétera.

2. Utilizando un sistema de coordenadas,,deterrnina las ecuaciones o inecuaciones de las siguientes figuras del plano (curvas o regiones) y haz las representaciones gráficas correspondientes:

a) La circunferencia de centro O (0,O) y radio R=l . b) El círculo o disco cerrado (incluye su frontera o borde) de centro (1 ,O) y radio R=2.

c) El "exterior" del círculo cerrado de centro C (0,l) y radio R=l.

d) La circunferencia de centro C (a,b) y radio R>O.

e) El círculo o disco abierto (no incluye su frontera o borde) de centro C (a,b) y radio

R>O.

Es la inter- sección de los dos se. miplanos definidos por x>l e y a .

RECTAS Y SEMIPLANOS DE UN PLANO

y=mx. Comencemos dando algunos ejemplos:

lo que conduce a la proporcionalidad

1 I

700 Es decir, x es proporcional a H siendo K=700/8 la constante x=- H = K H ,

8 de proporcionalidad. I

ASi a>O es un número dado y se nos pide calcular el a% de un número x, lo que hacemos es calcular el número y dado por

solución de la siguiente regla de tres I 1 O0 X

a Y "Si el 100% es x, entonces el a% es y." I

AConsideremos una varilla metálica bastante delgada de longitud 6. I La varilla se dilata cuando la calentamos, es decir aumenta su longitud a medida que la estamos calentando (dentro de ciertos Ilmites).

Designemos por To la temperatura de la varilla antes de calentarla, esto es, cuando su longitud es 6 y por T su temperatura una vez dilatada mando tiene longitud t.

~a'longitud dilatada l es igual a 6 más un incremento de longitud 6 6 denotado por A l rl, esto es,

A t = G 6 obien L = 6 + AL. I Si denotamos por AT el incremento de temperatura al pasar ésta de To a T, es decir,

A T = T-To o bien T = To + A T, entonces se verifica que I A e = ato A T: donde a es una constante denominada "coeficiente de dilatación o de expansión lineal ':

Por lo tanto, "el incremento de longitud de la varilla es proporcional al incremento de

temperatura" ( A 1 = k A T, siendo k=a lo).

El orden de magnitud de a esl0"por cada grado centfgrado.

I r] La letra griega mayúscula DELTA A es utilizada para denotar INCREMENTO o DIFERENCIA dedos cantida-

des. Asi, la diferbncla x-xi se denota Ax=x-xi, luego x-xt + A x. Ax se lee "delta x" y por lo tanto x es Igual al valor x i m6s su incremento delta x.

l

A Y = m A X

t Y - Y , x - x ,

AY o blen - = m Ax

Esto también lo podemos expresar de la siguiente forma diante un cociente incremental:

Ae -- A! - ae, o bien -- - - a AT e , AT

donde la última igualdad expresa que "a es el aumento romedio del cambio de longitud por unidad de longitud y por grado de aumento e temperatura". 1 i Los tres primeros ejemplos se refieren a dos variables qu son directamente proporciona-

les, o proporcionales como se dice habitualmente, y el cuarto e mplo se refiere a dos variables tales que el incremento de una de ellas es proporcional al incre ento de la otra. Estas situaciones se pueden pensar en términos generales como sigue:

Tenemos dos varlables reales x,y relacionadas media te alguna de las dos siguientes ecuaciones: t

I O y = mx, m constante. I I 0 y-y, = m (x-xl), m constante lo que también odemos escribir en la forma

y = mx + b, siendo b = yl-mxi.

Es decir, los cuatro ejemplos dados referentes a la prop y a los porcentajes se describen v estudian utilizando las funciones v=mx o constantes) cuvas gráficas son líneas rectas. ~e allí se dice que esas describen mediante unmide- lo Ilneal.

Por ejemplo, lo concerniente a los PORCENTAJES, qu son dados por funciones y=mx (x e mx), lo mostramos en la tabla siguiente: I

.................... Ejercicios 4.5.1 t

Si en el término del segundo semestre de 1994 y el aflo de 1995, el preclo de un kilogramo de tomates perita tuvo un aumento despues otro aumento de 20% y un último aumento de 15%, y en la es de Bs. 350, ¿cuanto era el precio anterior al primer aumento ha aumentado ese precio durante el ano y medio considerado? A Denotemos por x el precio de un del aumento del 30%.

Después del aumento del 30%, el precio de 1 kg es x+(30/100)x = x+0,3x = 1,3x. Con el segundo aumento del 20%, el precio de 1 kg es igual a 1,3x + (201100)1,3x= 1,3x + 0,20 . 1,3x = 1,56x. Con el último aumento del 15%, el precio de 1 kg de tomates pasó a ser 1,56x + ' (15/100)1,56x = 1 .56~ + 0,15.1,56x = 1,794~ y por lo tanto 1,794~ = 350, de donde obtenemos x = 195,09 Bs. Es decir, el precio inicial de 1 kg de tomates, antes de los aumentos considerados, era de Bs. 195,09. Observemos que para pasar del precio x al precio 1,794x, el coeficiente por el cual multiplicamos x es

y por lo tanto, el alza total en esos tres semestres es 79,4%. i Observación: El porcentaje de 79,4% también puede obtenerse mediante el siguiente razonamiento: Si el precio actual es de Bs. 350,oo y el precio inicial era de Bs. 195.09, entonces el aumento neto por kilogramo en ese ano y medio es de 350,OO- 195,09 = 154,91 (8s). Necesitamos calcular qué porcentaje es 154,91 de 195,09, lo que fácilmente obtenemos mediante la regla de tres.

195,09 1 O0 Resultando (154,91 . 100) /195,09 = 79,40.

2. Si un determinado Banco posee el 49% de las acciones de una Sociedad Financiera y ésta a su vez posee el 51% de las acclones de una Compañía de Seguros. ¿qué porcentaje de las acciones de la Compañía de Seguros le corresponden al Banco por intermedio de la Sociedad Financiera?

A Debemos calcular el 49% del 51 % del número total de acciones x de la Compafiía de Seguros, esto (49 .51)x 1 100 = 24,99 x. lo que significa el 24,99% de acciones. Observa el siguiente cálculo: 0,51x y luego (0,49) (0,51x) = 0,2499x, es decir el 24,99% de x. 1

Ejercicios propuestos 4.5.1 I 1. ¿De cuál número es 80 el 40%?

2. Si al comprar un artículo nos dan el 20% de descuento y lo que pagamos fue Bs. 10000,00, 'cuál es el precio original del artículo, es decir, el precio sin el descuento que nos hicieron?

3. a) Si tenemos un conjunto A con n elementos y un subconjunto 6 (9 c A) con p elementos, ¿qué porcentaje representa B de A?

b) Si el Centro Local Barinas de la UNA tiene, aproximadamente, 2200 estudiantes, y la UNA en su totalidad tiene, aproximadamente, 58000 estudiantes. ¿qué porcentaje de estudiantes representa el Centro Local Barinas?

4. Para irrigar con agua cinco campos, indicados con las letras A,B,C.D y E, se bombea

agua mediante la tuberla MN:

aumentaron más de una vez anualmente.

15% y el precio se colocará en 6s. 135,oo por litro.

mismo 15%, ¿qué cambio se produjo?

!

Rectas y semiplanos de un plano cartesiano. I Antes de iniciar el estudio de la ecuación de una recta en un plano cartesiano, es preciso

recordar algunas nociones de trigonometría, especialmente lo relacionado con la tangente de ángulos. Esto lo presentamos mediante el siguiente cuadro resumen:

57

1 1

CUADRO RESUMEN DE REPASO

TANGENTE TRIGINOMÉTRICA DE UN ÁNGULO

* Si tenemos un triángulo rectángulo con ángulo recto en C, se define la tangente del ángulo a, denotada por tg a mediante

- BC

tgoc = , esto es AC cateto opuesto a a

tga = -. catetoadyacente a a A A:

La tangente de a está relacionada con el seno y con el coseno den mediante la siguiente fórmula

i -

- BC

sena = =, sen a

tg a = -- debido a que AB

cos a AC COS a = =.

AB

Algunos valores conocidos de la tangente de ángulos (en grados o en radianes) son los siguientes:

tg 0' = O; tg 30°= tg (n 16) = f i / 3 3 0,5774

tg45"= tg (n /4 )=1 ; tg6O0=tg(n 13)=&=1,7321.

Observamos que si la medida de a está en el intervalo [O; nl2) entonces la tangente de a es positiva y va creciendo a medida que crece a . Cuando la medida de a es "próxima" a n 12 entonces tg a se hace infinito.

* Cuando trabajamos con ángulos obtusos, es decir con ángulos a cuya medida está en el intervalos ( 7112; n ] o bien (90°; 180°] ( a "está" en el segundo cuadrante) entonces tg a es negativa y sus valores se determinan mediante la siguiente relación tg ( n - a ) = - tg a .

* Y

a X

o

* El cálculo práctico de la tangente y de su "función inversa" arcotangente (arctg) se hace con las CALCULADORAS ClENTlFlCAS utilizando las

teclas m ( p a r a la tangente);ml/fZkpara el arcotangente), es decir

m,

Es ampliamente conocido lo que son las rectas de un I: estudiar cómo es la ecuación de una recta cuando se fija en el plano.

I Anteriormente hemos dicho que las siguientes ecuacio

l x = a (recta paralela al eje OY o recta 'Vvt

y = b (recta paralela al eje OX o recta 'Ac

y = mx, y = mx + b son ecuaciones de r~

1 y nuestra pregunta es:

~ C 6 r n o se obtienen esas ecuacic

1 La respuesta es inmediata para ias rectas paralelas a I

n -a Estudiemos el caso de una recta cualquiera L no par en radianes. Esta recta corta a los ejes y forma con el eje de

suplementarios: a y 180°- a , donde hemos denotado con a el sentido positivo del eje OX:

Este ángulo puede tomar valores entre O y n (O0 y 18 anteriores.

1 Al ángulo a lo denominaremos inclinacl6n de la rec

no. Nuestro propósito es sistema de coordenadas .

s definen rectas:

cal", a constante)

zontal", b constante)

as (m, b son constantes)

ejes de coordenadas

ila a los ejes de coordenadas. iscisas dos ángulos que son !I ángulo que forma la recta con

como vimos en las dos figuras

L.

I Las rectas paralelas al eje de las x tienen inclinación nula y las paralelas al eje de las y 1

inclinación de ó 90'. 2

Conocemos de la geometria elemental que si varias rectas L,, L2, L3 L4, L 5 L6... son paralelas y son cortadas por el eje de las x, los ángulos "correspondientes" son iguales y re- cíprocamente; por lo tanto, las rectas L1, L2, L3, Lq, L5,, y L6 tienen la misma inclinación.

Además, las rectas que tienen la misma inclinación son paralelas.

Rectas paralelas tienen la misma In- clinación v

I - ..

reciproca- mente.

inclinaci6n a se define por

m = tg a.

El concepto de inclinación es sumamente sencillo, pero presenta dificultades para su uso en geometria analítica. Por esta razón introduciremos la noción de pendiente de una recta, con inclinación a, mediante la tangente trigonométrica del ángulo a, que sabemos es un nú- mero real m.

:p , o x Y

m = t g a =- .

(2 Consideremos la recta L determinada por los puntos PI (xl, yl) y P2 (x2, y2). Tracemos

por Pl y P2, respectivamente, rectas paralelas a los ejes cartesianos; obtenemos así el triángulo tg a < o, rectángulo en Q (triángulo P1 Q P2) donde el ángulo en Pl es la inclinación a de la recta L. En el triángulo P1 Q P2 se tiene.

Por lo tanto, toda recta paralela el eje de las x tiene pendiente cero, mientras que toda recta de inclinación igual a un águlo obtuso tiene pendiente negativa.

lYz-Yrl= Y?-Yr, 1x2-x,l= X2-X,

ya que Y?: > YI, x 2 > X,.

tg 0°= 0.

Si a E ( z . ~ ) .

En el caso de ser cr obtuso tenemos que:

x l ,' XZ, este dada por

OBSERVACIONES:

utillzar para las rectas "verticales" las cuales tienen inclinacidn de 90°.

3. Utilizando la notaclón de incrementos, se tiene:

l

Ax corrimiento

m no está definida por la fórmula [ # 1. Se dice que m es "infinita".

...............................

Ejemplos 4.5.1

1. La pendiente de la recta que pasa por los puntos PI (-1.4) Y P2 (5,-2) es

-2 - 4 -6 - - -1. m = - --

( 1 ) 6

Como m = tg a resulta tg a = -1 y por lo tanto la inclinación a de esa recta es a = arctg (-1) = -2

135O (o bien 3 n 14). 1

DOS RECTAS SON PARALE SI SUS PENDIENTES SON

El dato de la pendiente igual a 15% indica que

m = tga = 15% = 151100 = 0,15.

Hay varias formas de calcula re^.

CBlculo de BC utilizando el sen a y una calculadora:

Con una calculadora obtenemos:

1 l l

1

' La secuencia de instrucciones con la calculadora que estamos utilizando es la siguiente:

TECLAS PULSADAS 1

LO QUE APARECE EN PANTALLA

DEG indica que la calculadora está en "MODE DEG", es decir en grados sexagesima- les.

y este último valor lo redondeamos a 74,91. I .a

Otra manera de calcular a es utilizando los teoremas de Pitágoras y de Thales, como sigue:

1 THALES:

B

Si ED ll BC e n t o n c e s

Ahora aplicamos el teorema de Thales y resulta:

- - - Si consideramos un segmento AD de longitud 100, entonces el segmento DE tiene longitud 15 ya que tg a = DEIAD = DEI100 y por lo tanto ¡% =lo0 tg a = 100.0,15= 15 Por el teorema de Pitágoras se tiene

- E BC 505

- -a-=- de donde obtenemos ED AE 15 101,12

E E i Z - _ - - - oj PE Fii

En conclus~ón, la persona subió aproximadamente 74,91m sobre la horizontal. I T a m b i b n puedes calcular cosa , luego AC y por último c7i (Hazlo).

63

t g a = m # O

entonces la pendiente viene dada por:

i-b

y-b = m(x-O) es decir

I

Todos los distintos casos estudiados de ecuaciones de rectas pueden resumirse median te el siguiente cuadro:

L a ecuación general de una recta cualquiera es d e la forma

A x + B y + C = O donde los números A y B n o s o n s imul táneamente nulos.

1 V I A = O . B + O A#O,B=O A t . 0 , B t O

resulta una recta "horizontal" resulta una recta "vertical" resulta la ecuación (despejanao y)

y = -C/B. x = -CIA. y = m x + b

Si C = O, se tiene y = O que es Si C = O, se tiene x = O que la ecuación del eje OX es la ecuación del eje OY. donde m =- AIB, b = - CIB.

Ejemplos 4.5.2

1. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,3) y tiene pendiente igual a 3.

A Utilizando la ecuación y-y1 = m(x-xi) resulta

y = 3 x + 9 o también 3 x - y + 9 = 0

2. Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0,l) y (2.-1). I A Utilizando la ecuación y-y1 = m(x-xi) donde P1 (xl,yl) es alguno de los dos

puntos dados, por ejemplo Pl (0,1), obtenemos

Halla la ecuación de la recta que pasa por (-1,2) y es ralela a la recta de ecuación x + 2 y + l =o. 4 A La recta pedida pasa por el punto (-1,2) y es a la recta de ecuación x +

2 y + 1 = 0; luego, debemos hallar la recta y para ello despejemos la y en su ecuación:

1 1 2 y = - x - 1 luego y = - ecuación de la forma

2 2

Y A

> X

snsideramos la ecuación gene- Pf (0,l) y P2 (2,-1) en esa

o la recta tiene por ecuación y=-

a =are tg (-1) = 135O.

Nos hace falta calcular la pendiente m. Si P2 (2,-1) es et otro punto dado en la recta, sabemos que

m = -- -1-1 = -1 2- 0

por io tanto, la ecuación de la recta es y-l=(-l)x, es decir y-l=-x o bien x+y-l=O.

Otra forma de resolver este ejemplo es la siguiente: c ral y=mx+b, sustituyamos las coordenadas de los punto: ecuación:

si x = O, y = 1 resulta 1 = m.0 + b = b

si x = 2, y = -1 resulta -1 = m.2 + b

y de esas dos ecuaciones se obtiene b=l, m=-1 por lo tar x+?. l

a = arctg (-112) S 153,43" w 153' 26'.

Para dibular una recta de e c u a c i ó n Ax+By+C=O neaesitamos dos puntos dela mlsma. Usualmente se toman los puntos de corte con los ejes.

66

y = rnx + b por lo tanto m = -112. En consecuencia, la ei el punto (-1,2) y tiene pendiente igual a -112, es

1 y-2 = - - (x- (-1)) 2

io que resulta, una vez efectuados los cálculos, x + 2y

uación de la recta que pasa por

: 3 que es la ecuación pedida.

4. En este ejemplo resumiremos lo anteriormente estudia tarnente proporciona1es"j de acuerdo con las siguiente

LOS NÚMEROS XI, ~ 2 , XJ, ... SON

RESPECTIVAMENTE, A LOS NUMEROS yq,

1

lo de proporcionalidad ("direc 5 interpretaciones:

PR3PORCIONALES,

yz, yj, ...

* Forma analítica + Forma gráfica utilizan- (modelo lineal). do un sistema de coor-

denadas. Existe un número m tal que Los puntos (xl, yl), (x2, y2), 10s puntos (xi, YI), ( ~ 2 , ~2) . ( ~ 3 , y3), ... están alineados ( ~ 3 , y3), .... Pertenecen a la con el punto origen O (0,0), recta de ecuación y=mx. También podemos expresar- lo diciendo que la función (lineal) x H mx asocia a los números xl, x2, x3 ..., los nú- 0 :Y1 I meros yl, y2. y3 ...., respectivamente.

Y3 / X2-W

I

* Mediante una tabla de proporcionalidad.

o bien en términos de cocientes: I lo que se lee así: "yl está con x l como y2 está con I

En la práctica se utiliza frecuentemente la interpretación dada por la tercera columna. Por ejemplo, si 12 naranjas cuestan Bs. 60, ¿.cuánto costarán 300 naranias? 1 - Esto puede plantearse como sigue: I Con una igualdad de cocientes: Con la función lineal f(x)=mx que denotamos m = 60112 =J.

por y=mx: I

en la que esta interrogante es nuestra incógnita Esto es simplemente la tabla de proporcionalidad

que se trabaja frecuentemente en términos de una regla de tres:

obteniéndose (300.60)112 = 1500,OO (Bs.).

x representa el número de naranjas e y=f(x) el correspondiente precio en bolívares. Se tiene: 60=f (12) = 12m, luego m-5. Así tenemos la función y=f (x) =5x. La solución está dada por y = f (300)=5.300 1500 Bs.

- - Con la fun- c16n y=5x se tiene la venta- ja de resolver e j e m p l o s análogos sin necesidad de plantear en cada caso una regla de t r e s . P o r e j e m p l o : ¿ C u á n t o cuestan 200 naranjas?, re. sulta f(200)=1000. (Escalas diferentes sobre los ejes de , coordenadas).

los puntos dados: a) (13) Y (-22); b) (03) y (-1.3); C) (-1.3) Y (2,l).

c) Pasa por los puntos (33) y (-1,3). d) Pasa por los puntos (2,3) y (5,3). e) Pasa por los puntos (-1,8) y (-1 ,-9).

(3,6) y es paralela a la recta de ecuación x+y+l=O.

X- X, X 2 - X ,

utilizando tres procedimientos.

10. Representa las rectas siguientes:

a) e - e =a e (T-To), donde a > 0, e o > O y To 20 son constantes. Recuerda que esa fórmula describe el incremento de longitud de una varilla metálica cuando se calienta, siendo el coeficiente de dilatación lineal.

Nota: se consideran unicamente valores T O y e 2 O y por lo tanto se obtiene una semirrecta y no una recta.

b) v = vo + at, donde vo > O y a son constantes (ecuación del movimiento rectílineo uniformementevariado con velocidad inicial vo y aceleración constante a).

Nota: se consideran únicamente valores t 2 O y v 2 O y por lo tanto se obtiene una semirrecta o un segmento y no una recta.

11. Representa las dos rectas L y L' de ecuaciones, respectivamente, y-x-2=0 e y-2x- 3=0. determina el punto de corte de esas dos rectas gráficamente y analiticamente,

12. Dado un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

Ax + By + C = O + recta L

A'x + B'y + C' = O + recta L'

donde cada una de esas ecuaciones se representa geométricamente como una recta, entonces podemos interpretar la solución del sistema mediante la intersección de las dos rectas. Supongamos que son rectas no paralelas al eje OY (B * O, B'+ O). Completa el siguiente cuadro donde se dejan los espacios en blanco. La segunda fila la escribimos totalmente a titulo de ejemplo:

Compatible inde- terminado (tiene infinitas solucio-

RELACIÓN ENTRE LOS

COEFICIENTES

Compatible determinado (tiene so- lución única).

Las rectas L y L' son distintas y no se cortan.

? Haz los dibujos correspondientes de las posiciones de las dos rectas L y L' en cada uno de estos casos.

EN TÉRMINOS DE LA PENDIENTE

TIPO DE SISTEMA

A I B = A ' I B ' =C/C' (=m) esto es, la ecua- ción de Les igual a la de L" multiplicada por

INTERPRETACI~N GEOMÉTRICA

L y L' son rectas secantes. La solu- ción está dada por el punto de corte deLyL' .

6x+3y+ l=O Resuelve el sistema e interprétalo de conformidad con el

2x+y =- 2 cuadro anterior.

Las pendientes de L y L' son diferentes. A I B t A ' I B '

a) Consideremos dos rectas L y L', no paralelas al ejt m', respectivamente. Demuestra la siguiente proposici entonces mm' = -1 (condicibn de perpendicularidad

tg (a +90°) = -cotg a :

b) Determina la ecuación de la recta que pasa por el pu la recta que pasa por los puntos P1 (3,l) y P2(-2.-1

c) Determina la ecuaclón de la recta que tiene ordenad perpendicular a la recta de ecuación 2x+3y=6.

) Determina la ecuación de la bisectriz dellcuadrante

abemos que toda recta divide al plano en dos subcon, i la recta no pasa por el origen, entonces uno sólo de

Cuando las rectas son verticales u horii

a) Representa el conjunto de los puntos P (x,y) cuyas siguiente:

x>o, y>o , x c 2 , y < l . b) Representa el conjunto de los puntos P (x,y) cuyas

siguiente: 1 x á 2 , y2-1, y < :

c) Dado el cuadrado dibujado a continuación (incluyes

l

I determina las desigualdades que satisfacen las coordei de ese cuadrado.

Sugerencia: Recuerda que un Bngulo exterior a un t dos Bngulos interiores no adyacentes y

. Si una recta L tiene por ecuación y=mx+b, los dos se * 1 l5 dados por las inecuaciones siguientes:

y > mx+b e y < mx+b (estos semiplanos no contiener borde: si escribimos los símbolos á y 2, es decir y á semiplanos contienen a su frontera la recta L), que rep

Y, cuyas pendientes son m y si L y L' son perpendiculares dos rectas de un plano).

tgulo es igual a le suma de los e:

Lga . M(-2.3) y es perpendicular a I

n el origen igual a -2 y es I I del11 cuadrante. Representa I :os denominados semiplanos. ' 1 3s semiplanos contiene al tales, es fácil determlnar los

ordenadas x.y verifican lo

ordenadas x,y verifican lo

lados), I

as x,y de un punto cualquiera

danos que L define estan

a recta L que es su frontera o +b e y 2 mx+b entonces los entamos a continuación: 1

1

y > mx+b

X ycmx+b semiplano por debajo de L

a) Representa el conjunto de los puntos P (x.y) cuyas coordenadas x,y verifican: i) y > x-1; ii) x z O, y > x-1; iii) x >O, y > O, x+y < 1; iv) 3x+4y-6 2 O.

b) Dado el triángulo dibujado a continuación (incluye sus lados),

Observa que un triángulo es la intersección de tres semiplanos.

determina las desigualdades que satisfacen las coordenadas x,y de un punto cualquiera de ese triángulo.

16. Investiga, o consulta con el Asesor de Matemática del Centro Local donde estás inscrito, acerca de diversos fenómenos que puedan ser descritos en términos de un "modelo lineal"(y=mx o bien y=mx+b). También consulta en relación con otros sistemas de coordenadas en un plano y cómo se pueden definir los sistemas de coordenadas en el, espacio.

4.6 RELACIONES Y FUNCIONES. NOCIONES GENERALES . I Usualmente, las palabras relación y función son utilizadas para irdicar la dependencia

de una cantidad respecto de otra. Las encontramos en diversas situaciones como las siguientes, entre otras:

V Fórmulas que permitan calcular longitudes, áreas y volúmenes, ... : I 4 Expresiones matemáticas en dos variables x,y dadas explícitamente: I

y = x2, y = mx + b, y = senx, I o dadas implícitamente: I

.F Leyes en Física, Biología, Química, ... : I PV = k (Ley de Boyle-Mariotte; P presión, V volumen, k constante), l F = kx (Ley de Hooke; F fuerza, x elongación, k constante), I F = GMmlR2 (Ley de la gravitación de Newton; F fuerza, M y m masas, R

distancia; G constante).

* Gráficos en Biología, Economía, Matemática, Estadistica, ..., en un sistema de coordenadas cartesianas o representados con otros métodos que se estudiarán en la Unidad 6 de este Módulo.

En este tema queremos estudiar las cuestiones que permiten describir las relaciones de dependencia entre dos variables y que nos a definir las RELACIONES YLAS FUNCIONES, DONDE ESTAS ÚLTIMAS SON UN DE LASPRIMERAS.

No es necesario que esas dos variables sean que sean números reales, puesto que pueden variar en dos conjuntos de

*La rellcibn de un determinado pais pertenece a un rminado continente. En este caso tenemos dos conjuntos, digamos: X es el e todos los pafses e Y es el conjunto formado por los cinco continentes y la elemento a de X con un elemento b de Y es la de que a sea un país Una tal relación entre a y b podemos es para indicar que a está relacionado con b. Por ejemplo Venezuela R América.

*Sea X el conjunto de todas las posibles entradas programa de computación dado y. sea Y el conjunto de todas las posibles mismo programa Se define la relación R de X a Y como sigue: -

aRb si y sólo si b es la salida producida por el programa utilizamos la entrada a. 2 Por ejemplo, si el programa de computación permite cal en la fórmula a = b .

entonces al colocar a = 9 se obtiene b = -3 y b = 3.

Tanto relación como función del conjunto X en el conjunt Y se entienden hab:t~aimente como s:nónimos de "regla" o "correspondencia". AsI. en una oescriptiva y prhctica defin mos función f de un coniunto Xen un coniunto Ycomo una reala ade asigna a cada elemento a E

X un único elemento b E Y. El conjunto X se llama dominio de efiniclón de f o simplemente ' dominio de la funcibn f y el conjunto Y que es el wnjvnto donde - 'p f toma - valores es denominado

codominio de f. Una función f de X en Y se denota de algula de las formas siguientes:

x denota un elemento gen6rico de X.

f : X t-----, y, f : X - Y, o también

f : x t---, f (x), x t - - - - - - -+ f (x

(leemos: a "x corresponde o se asocia efe de x" o corresponde el valor efe de x").

En caso de que sea necesario Ilustrar la función un diagrama del tipo siguiente:

f X -Y

La correspondencia definida por una función es con letras minúsculas como f, g, h. .. o bien con letras griegas <P V se utilizan letras mayúsculas F, G, H, ...

Un elemento cualquiera en el conjunto X se x. Decimos que x es un elemento generico de X y que es la Y se acostumbra denotar por y. Decimos escripe mediante y = f (x). ATENCI~N: Se utilizan también otras notaciones para designa

como son: y = f (t), v = g (u), y = H (t), u = cp (

72

las variables y las funciones, :) ,...

1 Por ejemplo, si a cada número le asignamos su cubo, escribiremos tal función mediante x ++ x3 (leemos: a x le corresponde x3) o utilizando la notación con la letra f escribimos x M f (x) = x3 O simplemente f (x) = x3 (leemos: "el valor de f en x es igual a x3" o "f de x es igual a x3").

También podemos denotar esa función mediante y = t3,<p (x) = x3, v=u3. ... donde O ~ S ~ N ~ ~ O S que lo importante es la "Ley de correspondencia" (a cada número le asociamos su cubo) y no la notación de las variables.

i 1 1

Ejemplos 4.6.1 I 1. Sea X el conjunto de todos los venezolanos. Definimos la función f : X --+ N *

que asocia a cada venezolano (fallecido o vivo) el número de su cédula de identidad venezolana. 1

1 2. Determina el área de un triángulo equilátero en función de su lado. l

A Denotemos por a el lado de un triángulo equilátero y por A su área. Se tiene.

- 2 -2 - 2

PH = PN - HN (teorema de Pitágoras)

- 2

PH = a2 - (a12)' = 3a2/4

- &a y por lo tanto PH = , que es 2

una altura del triángulo PMN. M A H N

l b a l2 4

-- MN PH - 6 a 2

En consecuencia A = --- - -- 2

, que determina A como función de a. El dominio 2

de esta función es el conjunto Rt de todos los números reales positivos ya que a>O pues a es lado de un triángulo equilátero

Nota: Si pensamos en la función A = (&a2)/2 sin conexión con área de triángulos equiiáteros, sino como una relación entre los números a y A, entonces su dominio es todo el conjunto R. Esto nos hace ver que a veces la misma "expresión matemática" puede originar más de una función puesto que se consideran con dominios diferentes. En un caso como este, el contexto del trabajo dirá de qué se trata. i

3. Sea X el conjunto formado por dos señores. Supongamos que uno de estos señores 1

1 tiene tres hijos y el otro dos hijos y consideremos Y el conjunto formado por esos cinco hijos Consideremos la correspondencia de X en Y que asocia a cada elemento de X con sus hijos esta correspondencia una función de X en Y?

A No es una función de X en Y ya que a uno de los señores de X le asociamos tres elementos de Y (sus tres hijos) y al otro le asociamos dos elementos de Y (sus dos hijos) y en la definición de función de X en Y debemos recordar que a cada elemento de X se asocia un único elemento de Y. 1

4.6.1 Producto cartesiano. Relaciones

Para tratar el caso del anterior ejemplo 3, se generaliza i noción de función mendiante la noción de RELACI~N. Además, la definición dada de función es e tipo práctica como sinónimo de correspondencia. A los fines de precisar esas nociones in roduciremos el concepto de PRODUCTO CARTESIANO de dos conjuntos. 1

Previamente observemos que en los temas anteriores he trabajado con elementos de dos conjuntos, dando los elementos en un cierto orden.

*Al definir l,os sistemas de coordenadas de un plano, se los pares ordenados de números reales (a,b). Recordando que el par es distinto del par ordenado (b, a), excepto en el caso a = b (el distinto del punto M (b, a) si a *b). I

*Cuando se define una función f de X en Y, cada elemento x E X le asociamos un elemento y EY, estamos x. y tales que y = f (x) y, por lo tanto, esos dos este orden x, y, lo que da origen a un par ordenado (x, y). 1

La noción de par ordenado (a, b), donde a es la era componente y b la segunda componente del par, satisface la siguiente pares ordenados: [*]

- -

(a, b) = (c. d) o a = c y b = d Es decir, dos pares ordenados son iguales si y sólo si son i uales sus primeras componentes y son iguales sus segundas componente+

Así, la noción de par ordenado (a, b) es la de una lista objetos a y b dados en un orden prescrito, donde a figura en el primer lugar y b en Esta noción permite definir otro concepto como es el de producto cartesiano de o producto de dos conjuntos: I Definición 4.1 (Producto cartesiano de dos conjuntos)

Dados dos conjuntos X e Y, se define otro con nto denotado porXx Y, llamado producto cartesiano o conjunto prod to de X por Y, como el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) co x e X e y E Y. Es decir, 1

X XY = {(x, y): x E X, y € Y)

También se denota X x Y. +

Ejemplos

1. Si X = {1,2,3} e Y=(a,b), entonces

X x Y = {(l,a), ( l b ) (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)l,

t.] Observemos la dlferencla entre par ordenado y conjunto de dos elemento .Si a, b son dos elementos, entonces (a, b) t (b, a) pero, los conjuntos (a, b} y (b, a} son iguales pues 1 lenen los mlsmos elementos.

lo que podemos representar mediante un "arreglo" tabular o en una "cuadrícula" (como hicimos con los pares ordenados de números reales) tal como se muestra a continuación:

X El conjunto de esos puntos es la GRAFICA DEL PRODUCTO CARTESIANO O CONJUNTO PRODUCTO X x Y.

Obse~emos que en este ejemplo X tiene 3 elementos e Y tiene 2 elementos y el conjunto producto X x Y tiene 6 = 3 x 2 elementos.

Determina Y x X y su representación grdfica. 1 I 2. El conjunto R x R de todos los pares ordenados de números reales se denota por R ~ . En

4.2.2 se estableció que, fijado un sistema de coordenadas en un plano entonces se puede establecer una correspondencia biyectiva entre ese plano y el conjunto RZ. Debido a esa correspondencia biyectiva es frecuente decir que R2 es el conjunto de los puntos de un plano: el par ordenado (a, b) E RZ es el punto P (a, b) en el plano. I

3. El conjunto N x N de todos los pares ordenados de números naturales tiene infinitos elementos. En un papel cuadriculado dibujamos una parte de este conjunto:

Dados dos conjuntos X, Y, frecuentemente nos interesamos no en todo el producto cartesiano X x Y sino en subconjuntos de este conjunto.

Ejemplos 4.6.2

1. Los siguientes son subconjuntos de R2= R x R:

A = ((x, y) E R2: y = X)

Los diversos ejemplos dados anteriormente inducen la si iente definición de relación: 4

Y tiene 12 elementos Y R tiene 5 elementos.

Definición 4.2 (Relación de un conjunto X en un conjunto Dados dos conjuntos no vacíos X e Y, de X en Y es un subconjunto R del producto cartesiano X x Si (a, b) E R se dice que a está escribe aRb. Si X e Y son iguales se dice relación de X en X. +

2. Sean X = {l, 2,3,4} y Y = (5, 6, 7) y consideremos el onjunto R c X x Y formado por los pares ordenados (a, b) tales que "a divide a b Entonces:

R = ((1, 5), (1 6), (1, 7), (2, E), (3, 6)). I

Dar un subconjunto R de X x Y es lo que antes se utilizando la palabra "correspondencia" o "regla que asocia elementos" de un conjunto Y. Esto es, una m$nera descriptiva e informal de definir una relación una relación Rde un conjunto X en un conjunto Y es una correspondenoia de X (pueden ser todos o algunos elementos de X) elementos de Y esa relación es tal que a cada elemento de X se le asigna un úpico

Asl, en el No 2 anterior de ejemplos 4.6.2, se tiene que es una relación de X en Y. Observa que al elemento4 E X no se le asigna ningún ento de Y. En la notación de

la definición 4.2, escribimos:

y al elemento 1 E X se le asignan los tres elementos de Y. Esta relación R no es una función de X en Y.

76

Según como sean las propiedades que verifique una relación R, se definen usualmente tres tipos especiales de relaciones: las relaciones de orden, las relaciones de equivalencia y las funciones. No estudiaremos con detalles las dos primeras aunque ya trabajamos bastante con una de ellas en un caso particular, nos referimos a la relación de orden con números. En este Módulo discutiremos esencialmente lo concerniente a las funciones.[q

Ejercicios propuestos 4.6.1

l. Dados los conjuntos A = {a. 1. c} y B = {b. c. d). determina los conjuntos A x A,I A x B y B x A .

Represéntalos en una cuadricula. ¿Cuáles son los elementos del conjunto R = {(x, y) E A x B: y = x}?

¿R es una función de A en B?

2. Determina los elementos de la siguiente relación R en N: n R m si y sólo si n2 + m2 =I * 3. Sea R la relación del conjunto A = (2, 3,4, 5) en el conjunto B = {3,6, 7, lo} definida

mediante x R y si y sólo si "x divide a y", x t A, y E B.

Escribe R como conjunto de pares ordenados y representala en una cuadricula. 1 ¿Es R una función de A en B? I

4. Una caja de base cuadrada con lado x y altura h, tiene una capacidad de 1 litro. Determina h como función de x sabiendo que x y h se miden en centímetros. l

5. Una industria fabrica telas que se venden a precios unitarios p,, p2, ... pioo. El conjunto de estos precios lo denotamos por P. Las telas se venden por retazos de longitudes e l , p 2i. ., e números enteros que var

desde I m hasta 100m. El conjunto de estas longitudes lo denotamos por L. ¿Cómo se puede interpretar el conjunto producto L x P?

¿Cbrno se puede interpretar un pedido de un cliente y cuál es el costo de ese pedido?

Sexo: masculino y femenino. Nivelde educación alcanzado: Escuela Básica. Ciclo Diversificado, Técnico

Superior, Licenciatura.

6. Una empresa que realiza una investigación de mercado clasifica la población según los dos siguientes criterios:

Determina todas las posibles clasificaciones que se pueden hacer de la población utilizando los dos criterios simultáneamente. I

*

1 [*] En el Módulo IV, diferenciado para las licenciaturas de Dificultades de Aprendizaje y Preescolar, se estudiarhn algunos aspectos de las relaciones de equivalencia y de orden, esto es, el CLASIFICAR y el ORDENAR, que son "operaciones fundamentales del pensamiento" (J. Piaget) o "procesos básicos del pensamiento". Los estudiantes de Ingeniería de Sistemas, de Matemáticas y de Educación Matemática, las estudiaran en cursos posteriores.

1

Tambl6n se utillza el vo- cablo APLI- CACldN de X en Y en lugar de funclón. En Geometria es muv

4.6.2 Funciones. Dominio, codominio y recorrido o r 1 Representacibn gibfica

Las nociones dadas anteriormente y los ejemplos dados n relación con lo que son las funciones, las precisamos en la definición siguiente:

Deflnlción 4.3 (Función de un conjunto X en un Una función F de X en Y es subconjunto de X x Y, que satisfqce Para cada x E X hay exactamente

La oro~iedad de la definición 4.3 es lo aue da un sianifilado ~reciso a la "definición" práctica y'dekiptiva dada anteriormente cuando decíamos función de X en Y es una "regla" (o %orrespondencia"J que "asigna" (o "asocia") XEX un Únlco elemento y E Y. La propiedad da un sentido preciso a las S "asignar" o "asociar".

Tratándose de funciones se utilizan las siguientes

*Si F es una función de X en Y, en lugar de escribir La propiedad de la definición 4.3 nos dice que si los a F, entonces y = z, es decir, si y = F(x) y z = coloquial decimos: "un elemento x de X va a ejemplo, si X = {x,, xi, x3} es el conjunto Y = (yr, y,, y ~ , y4} es el conjunto de cuatro momento dado, que deben ser atendidos, en las gráficas siguientes en donde las momento a tal paciente y":

/ 'y'

'y2 xa. .Y3

.Y4

) Esta no es una funcidn de X en Y pues al mbdico x2 le hacemos corresponder dos pacientes simult4neamente.

/ 'yi

xi'/ X2.

x3. .y3

.Y4

(3) SI es una funcidn de X en Y. Observemos que el paciente y3 no está atendido por ningOn m8dico. m

+ Ya sabemos que se utilizan otras letras, como: y = f (x), y = <p(x), ... para denotar funciones. Frecuentemente denotaremos las funciones mediante f. S

Si f X -+Y es una función de X en Y, se tiene:

V El conjunto X se llama dominio de la función f y se denota por Dom (f).

6 El conjunto Y se llama contradominio o codominio de la función o conjunto donde f toma sus valores.

* SI x EX, entonces el elemento f (x) E Y se denomina el valor de f en x o la imagen de x mediante f. El conjunto de las imágenes de todos los elementos del dominio de f, esto es:

{f (x): X EX}

se llama el recorrido o el rango de la función f y lo denotaremos por Rg (f); por lo tanto:

Rg (f) = {f (x): x E X}

Observemos que. Rg (f) es un subconjunto de Y:

O conjunto de "llegada" de

a También se llama la imagen de la función f.

En el ejemplo (3) de los médicos y los pacientes, el rango de la función es {y,, y2, y4}CY. En el ejemplo (4) de los médicos y los pacientes, el rango de la función es {y,, y,}rY.

* El gráfico de la función f es el siguiente subconjunto del producto cartesiano X x Y: 1

gráfico (f) = {(x, f (x)): x EX) . I

Ejemplos 4.6.3 l

Utilizando una cuadricula podemos representar los puntos (x. f (x)) y así obtenemos la representación gráfica o gráfica de la función f [*! Esto es lo que hacemos frecuentemente cuando se trata defuciones f: X+Y donde X, Y son subconjuntos de R y usamos un sistema de coordenadas. Tales funciones se denominan funciones reales de una variable real y son el tipo de funciones que más trabajaremos en este curso, las que denominaremos simplemente funciones reales. I

1. Sea f: R ---t R definida mediante f (x) = x2. Se tiene: I

a

a f es una función cuyo dominio es R (Dom (f) = R). I 1

[*] En la práctica es usual hablar indistintamente del gráfico o de la representación gráfica como SinónimOS, ya que los pares (x, f (x)), x E X, se representan gráficamente.

La gráfica de f es la dibujada a continuaci6n:

nta a una función. Observemos que si X ={a, b, c, d) e Y ={a, 0; y}, e se trata de la gráfica de

R = tía, O), (b, a), (c, P), (c, y), (d, y))

I 80

y no es una función ya que los pares (c, p) y (c, y) pertenecen a R y tienen la misma primera componente y distintas las segundas componentes.

Las gráficas (a) y (c) si representan a funciones. ' 1 En la gráfica (a) podemos observar que el dominio de la función es el intervalo cerrado [-1, 21 c R y el rango es el intervalo cerrado [O, 11 c R. Denotemos esta función por f, luego f: [-1, 21 -4 R. La gráfica de f está formada por segmentos y es fácil deducir las ecuaciones de esos segmentos sin más que determinar las rectas que los contienen, resultando la siguiente expresión para la función f:

I l + x si - l < x < O (y = 1 +x es la ecuación de la recta que Pasa Por (-1, O) Y (O, l)),

f (x) = I I si O < x < l (y = 1 es la recta horizontal que pasa por ((0, 1) Y (1, l)),

- x + 2 S¡ 1 5 x 5 2 (y = -x+2 es la ecuación de la recta que pasa por (1, 1) Y (2,O)).

Este tipo de funciones ("funciones definidas a trozos") son muy usuales y las estud~aremos más detenidamente en la próxima Unidad No 5.

En la gráfica (c) podemos observar que el dominio de la función, denotada por F, es R (los puntos suspensivos de la gráfica indican que la misma se prolonga indefinidamente) y su recorrido es el intervalo [O, m) luego F: R + R.

Como antes, podemos determinar la expresión de la función F obteniendo: I Observemos que la gráfica presenta una simetría respecto al eje OY. verificándose que F (-a) = F (a) para todo a E R.

-x si x O -x si x E (-m, O]

F (x) = equivalentemente F (x) = x si x Z 0 x si X E [O,m)

y por lo tanto se reconoce que F (x) = 1x1. es decir "la función valor absoluto de x". 1

[o. m)= R+ (0).


1. Dadas las siguientes gráficas, indica cuáles de ellas son gráficas de funciones y cuáles no lo son:

b) \ ;[ ,/ * 4 ~ ~. X

-~. -. ... ~~~ ----- ~-

a

) y@2 x -3 -2 -1 0 1 2 3

Indica algunas propiedades, deducidas de las gráficas, de I S que son funciones. I 2. A continuación damos conjuntos X e Y y ciertas o relaciones de

X en Y. Indica cuáles de ellas son funciones y

a) Sea X el conjunto de los días de un determinado mes. del 1 hasta el último del mes, y sea Y el conjunto de los nombres lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sabado y Se define la "correspondencia" que asocia a un día almanaque.

b) Sea X el conjunto de todos los ciudadanos venezolano Y el conjunto de los números enteros positivos que tienen seis dígitos. Se la relación x R m si m es el número del pasaporte del ciudadano x, x E X,

c) Sea X = Y el conjunto de toda; las rectas de un plano. define la relación R en X mediante L RS si y sólo si L es paralela a S. t

d) Sea X = Y el conjunto de todas las rectas de un plano. define la relación R en X mediante L R S si y sólo si L es perpendicular a S. t

e) Sean X = (2,4, 6} e Y = (1, 3, 6, 12} y R la relación d X en Y definida mediante x R y si y sólo si "x divide a y".

3. Sea X el conjunto de los meses de un aiio. Sabiendo que la de inflación en Venezuela durante el aiio 1994, está dada por la siguiente tabla

Meses % Meses I %

Enero 4,3 Julio Febrero 1 3 Agosto Marzo 2,8 Septiembre Abril 3,3 Octubre Mayo 5 2 Noviembre Junio 9,O Diciembre

(Fuente: Banco Central de Venezuela). 1 haz un gráfico de la relación que expresa esa variación de durante el a?i0 1994, marcando los correspondientes puntos de la relación en Luego, une esos puntos con segmentos. ~Cuánfo fue la tasa de inflación acumulada durante ¿Cuánto fue la inflación total del año 19947 Sugerencla: Observa que el porcentaje en un precios en relaci6n con el mes anterior

4. Determina el perímetro de un cuadrado en función de su área. I

Calcula la distancia d entre los automóviles en función del

OESTE tiempo t. si contamos a t a partir &.-~ del instante cuando el automóvil

B pasa por M.

5. Un automóvil A que viaja en sentido Oeste - Este con velocidad constante de 80 kmlh pasa por un punto M como indica el dibujo. Dos horas más tarde el automóvil B, que viaja en sentido Sur-Norte con velocidad constante de 90 kmlh, pasa por el mismo punto M:

NORTE

t

4 SUR

*

Para cada x, O < x < 10, denotamos por A(x) el área del poligono que sombreamo en el dibujo. Se obtiene as1 una función A: [0,10] + R y queremos determinar la expresión de esta función, para lo cual procedemos como sigue:

6. Consideremos el pollgono dibujado a continuación sobre un papel cuadriculado, donde tomamos como unidad de longitud la del lado del cuadrado más pequeno de la cuadricula:

Primero: Calcula los valores A (O), A (2), A ( 9 , A (7) y A (10).

**

Segundo: Determina la expresión de A (x) en cada uno de los siguientes intervalos [O. 21, i2. 51, 15, 71 Y [7, 101.

Tercero: Gráfica la función A(x) asi obtenida que te da la forma como varía esa área.

NOTA HISTÓRICA ACERCA DE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS Y D LA GEOMETR~A ANALITICA 1 Descartes la aplicación del a la geomeiria, una aplicación que ha orooorcionado la clave mavores descubrimientos en todas las'raias de la matemática. 1 '

(". -agrange. 1736.1813 rances nacido en tala. Con1r:b-y6 noiabiemente a, progres oe la matem81,ca. la mechnica. la astronomla y las probabili des ) 'T

El siglo XVll fue muy prolífico para la ciencia en general y en la Matemática y la Física. Es el siglo de R. Descartes, P. Fermat, Galileo Galilei, Ch. e l. Newton, entre otros eminentes científicos. A dos de ellos, R. Descartes y P. de serlos fundadores de la geometria analítica.

En el siglo XVll se producirá la conjunción entre el álgebra y la geo etría. dando nacimiento a una nueva rama de la matemática: la geometria analítica. Desde las más remot S civilizaciones que crearon la matemática: los sumerios, los babilonios y los egipcios, pasando por los grie S, y en las etapas posteriores, el álgebra y la geometria se desarrollaron de manera independiente una d la otra. De un lado estaba la geometría y del otro la aritmética y el álgebra, esta última con un desarrollo s lento que el de la geometria, en parte debido a la falta de una notación adecuada. t

El simbolismo algebraico que hoy nos es tan familiar desde la escuel básica, como son los símbolos

de las operaciones más elementales (+. -. c , x). de la igualdad =. de la pote cia a; de la raíz cuadrada J , las letras para las incógnitas, tardaron muchos siglos en ser creados. 1

La lenta evolución de la notación en álgebra fue una traba para su de arrollo cuando la comparamos con la de la geometría. Para dar una idea de como se kscribia la matemática tes del siglo XVII, citamos dos ejemplos: * 3x2- 5x + 6 =O se escribía así: t

Sr Una expresión algebraica como BA2+ DA = Z se escribía así: I %Pmrr/~r J7m LT padm/um + se utilizaba el latín para D ,,, LT oey!Jm, z toLd0

('&?/o en 159l)

La introducción de una notación adecuada en álgebra y la ocasionó una revolución en el pensamiento matemático y abonó parte infinitesimal de Newton y Leibniz en el último tercio del siglo XVII.

Ren6 Descartes (Renato en español) nació en Francia en 1596 y en Suecia en 1650 adonde habia viajado invitado a la Corte de la reina Cristina de Suecia. Fue primeros grandes filósofos modernos. De joven había realizado estudios de Derecho y Medicina y de bachiller y licenciado en Derecho en 1616.

El único escrito matemático de Descartes, en un libro, es sus otros trgbajos rnaternáticos se encuentran en la correspondencia sostenida con de Descartes figura como uno de los apéndices de su obra más célebre y buscarla verdad en las ciencias. Además La Dióptrica, conocemos como el "Discurso del método", publicada en 1637.

Esta obra, La Geometrla, contiene sus ideas sobre las "coordenadas y el álgebra". Sin embargo, es menester decir que Descartes no elaboró un "sistema de coordenadas" como lo presentamos en el desarrollo de la Unidad. Parte de lo que Descartes hizo fue lo siguiente: utilizó una recta AL como una linea de base (eje de referencia) con origen en un punto A que es el origen de segmentos variables y, de esta manera, los valores de x son longitudes de estos segmentos y los valores de y corresponden a longitudes medidas desde la recta AL sobre segmentos que forman un cierto ángulo constante con dicha recta,

y esta sería la forma cartesiana de introducir ese método que luego se denominó de las coordenadas, aunque este nombre "sistema de coordenadas" no figura en los escritos de Descartes. Es a Leibniz a quien se debe el nombre de "coordenadas" así como los de "abscisa" y "ordenada". Lo de cartesiano es en honor a Descartes pues "Cartesius" era su nombre en latín.

Descartes no fue el único en el descubrimiento antes descrito; otro egregio matemhtico francés Pierre Fermat (Pedro en espafiol, 1601 - 1665) llegó a la misma conclusión. Fermat pasó toda su vida ejerciendo el Derecho y en sus momentos libres se dedicaba a la literatura y a las matemáticas. Pocas veces publicó los resultados que obtuvo en matemáticas, los que generalmente aparecian como apéndices de tratados escritos por otros y, los más importantes, en los márgenes de estos tratados. Sus escritos principales los publicó su hijo Samuel en 1679.

En uno de sus cortos ensayos, escrito antes de 1637, presentó los principios fundamentales de la geometría analítica y utilizando lo que serían las "coordenadas oblicuas" obtiene la ecuación de la recta enunciada en la forma de "DinZ aeyualur Z i n e" (DA = BE, donde D y B son constantes, lo que actualmente sería Dx = By).

Ni Descartes ni Fermat inventaron lo que hoy son los sistemas de coordenadas, pero sus ideas fueron el germen de éstos, pues esencialmente obtuvieron la conclusión de que una ecuación dada con dos incógnitas sepuede considerar como la determinación de una curva plana, con respecto a un sistema de coordenadas. Por todos sus trabajos se les reconoce como los fundadores de la geometría analítica.

Snc iones C/emen/&sY sus Gmacferist'icas

Objetivos 17 Disfinyuir dioersas C U Q C ~ ~ T ~ S ~ ~ C Q S de una

J¿nción, yeoméfrica y andficamenfe.

O Z'esoher pro6/emas rehcimados con fa

composición de,hnciones.

Cualquiera que sobresale del nivel medio ha recibida do! cducacioner: ln primeva, de rw maestras; la segunda, máx personal e importante, derÍmirmo. (Eduardo Gibbon, 1737.1794, hirroviador ingle's)

1 En esta Unidad de Aprendizaje nos dedicaremos de manera especial al estudio de las ~ funciones reales de una variable real, que simplemente denominaremos funciones reales.

I Haremos énfasis en las usualmente llamadas "funciones elementales", esto es:

* Las funciones polinómicas: x i-t anxn+aa,.jxn-'+ ...+ a,x+ao, especialmente en los

casos n = l (función afin), n=2 (función cuadrática).

P(x) * Las funciones racionales: x H - definidas como el cociente de dos funciones

polinómicas, entre ellas la función x H alx.

+ Algunas funciones irracionales, como la función raíz cuadrada x H

* Las funciones exponenciales y las logaritmicas. x H e x ' x ~ a x , x t s L n x, X H 109 X.

* También algunas funciones trigonométricas, aunque estas las estudiaremos menos que las anteriores.

Luego, con el álgebra de funciones, esto es, al combinar funciones mediante las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división, y con la operación denominada composición de funciones, se generarán otras funciones a partir de las anteriores.

Aprenderemos a distinguir las característhas de las funciones desde un punto de vista geométrico y también analíticamente. Las características de las funciones lo que hacen es clasificarlas en distintos tipos. Asi, tenemos funciones: inyectivas, sobreyectivas, biyectivas, pares e impares, crecientes y decrecientes, periódicas y no periódicas.

En esta Unidad precisaremos las distintas formas de dar las funciones. Usualmente de cuatro maneras: a) en forma descriptiva (lenguaje verbal); b) mediante fórmulas (lenguaje simbólico); c) mediante gráficos o dibujos (lenguaje gráfico); d) mediante una tabla de valores (lenguaje numérico, experimentalmente) a lo cual agregamos las funciones dadas mediante un algoritmo de cálculo utilizando las teclas de una calculadora, esto es, mediante una secuencia finita de instrucciones que se ejecutan con una calculadora científica y que permiten construir tablas de valores.

Varias de las definciones que aqui daremos son válidas tanto para las relaciones como para las funciones de un conjunto X en un conjunto Y. Sin embargo, nos limitaremos a estudiar el caso de funciones cuando X e Y son subconjuntos de R ilustrando gráficamente, en un sistema de coordenadas cartesianas, las definiciones y propiedades dadas. En la próxima unidad de aprendizaje estudiarás otras formas de representaciones gráficas.

5.2 FORMAS DE DAR UNA FUNCIÓN

Cuando damos una correspondencia como la siguiente:

Luego, Dom (f) = [l,m).

. Algunas se dieron mediante grefica (N@ 2-a y 2-c de los

Óbtuvimos dos funciones:

f q : ~ ~ m, f2:xt+- K7. Por lo tanto, preguntamos:

¿De qué manera se puede dar una función?

O En forma descriptiva (lenguaje verbal).

O Mediante fórmulas (lenguaje simbólico).

O Mediante gráficos o dibujos (lenguaje gráfico).

O Dando una tabla de valores (lenguaje numérico, resultados experimentales).

a lo cual podemos agregar el cálculo de valores f (a) de la función f para nomeros dados a, mediante un algorltmo de cálculo utilizando una calculadora cientlfica, esto es, mediante una secuencia finita de instrucciones que se ejecutan con una calculadora. Observemos que esto permite construir rápidamente una tabla de valores a partir de una fórmula dada (pasa del lenguaje simbólico al lenguaje.numérico).

A continuación presentamos esas cuatro maneras de dar las funciones, para 10 cual utilizaremos cuatro columnas a titulo de comparación y luego daremos algunos ejemplos usando una calculadora cientlfica.

EN FORMA DESCRIPTIVA

La función se especifica utilizando el lenguaje verbal mediante una descrip- ción de la misma. Así, se enuncia una relación funcional de dependencia, como es usual en ias ciencias naturales y en las ciencias económicas y sociales.

Ejemplos:

1 ) La inflación depende del déficit fiscal. Si el déficit fiscal aumenta entonces aumenta la inflación.

En este ejemplo ademas de dar la función (la inflación es función del déficit fiscal) se indica una propiedad de la función (es una fun- ción creciente).

2) La presión en el fondo de un estan- que de agua depende directamente de la profundidad.

3) A cada número le asociamos el producto por el mismo y luego le sumamos el número dos.

MEDl NTE FÓRMULAS E fórmula expllcita y = f (x)

ecuación R(x, y) = O en x, y que define a y

como función de x

4 Ejemplo : l -5x +2u-3 . y = 3 e ,

definidas expllcita-

2) La e uación Ax + By + C = 0, con B ir definea y comofunción de x. En ecto, si despejamos y se obti 4 e y = mx+ b con m = -A/B,

ión y2 - x2 = 1 define a y ción de x. Sin embargo, al

v = . k + u2 .es decir la función , - - - - - . . , .- . - . . - . - .

f (X) m ' 1". y = - m ;es decir, la función I

I l I ia función

F (x) = x2 + 2,

definida para todo número x,

MEDIANTE REPRESENTA CIONES GRAFICAS (DIBUJOS)

V Como su nombre lo indica. lo que se da es la representación gráfica de la función en un sistema de coordenadas.

A veces no se da toda la gráfica de la función sino un conjunto de puntos que pertenecen a la gráfica; en este caso, una de las técnicas utilizadas es unir esos puntos mediante segmentos de rectas, o una curva con trazo continuo (siempre que el dominio de la función sea un intervalo o una reunión de intervalos; se estudiará con más detalles este tópico en la Unidad 9 del Módulo 111).

MEDIANTE TABLAS DE VALORES (EN FORMA NUMÉRICAJ

1 Cuando se estudia una determinada situación en ciencias naturales o sociales, a veces podemos modelarla mediante alguna ley y expresarla por una fórmula. Esto no siempre es posible y la información que podemos obtener es suplida experimentalmente, en forma cualitativa o bien cuantitativamente utilizando valoresde las variables que intervienen, lo cual constituye una tabla de valores que contiene los datos experimentales. Para esto se disponen en dos filas, o en dos columnas, los valores

1 1 l encontrados de las variables

i V Ejemplos:

1) Gráfica de una función y = f (x): También se construyen tablas de valores cuando se conoce la exoresión de la función (y = f (x)): se'tornan valores de x y se calculan los correspondientes valores de y. Esta es una de las formas más simples para representar gráficamente la función, uniendo los puntos (x, f(x)) asi obtenidos mediante una "curva suave".

i 2) La representación gráfica de la

función dada ~ o r la tsbla de valo- 1 ' Ejemplos:

3) He aquí la gráfica de la función 2 y = x + 2

. Y

res presión-v&~nen, al lado, es la siguiente (escalas distintas sobre los ejes coordenados):

l un experimento con un gas en el que se mantuvo constante la temperatura: l I

1) La tabla siguiente expresa los vaiores correspondientes de la presión P (en barias) y del volumen V (en cm3 ) de

2) Dada la función y = x3, podemos construir la siguiente tabla de valores:

(La gráfica está dada en el ejemplo 1 de la columna anterior; escalas distintas sobre los ejes).

3) He aquí una tabla de valores de una función y = f (x): ! I

Teclas que se pulsan

-

estamos utilizando:

-

así, para a = 6, obtenemos:

Teclas que se pulsan Lo que aparece en la pantalla

Procediendo según lo indicado, obtenemos la siguiente tabla de valores de esa función (la escribimos en columnas) y con dicha tabla dibujamos la gráfica de la función:

Cálculo de f(6) = 0,75 en

3

Existe la te-

cla m

De esta gráfica obtenemos varias propiedades de la funci

O El signo de la función,

La gráfica de f no corta el eje OX.

x E (2, m) 3 f(x) >O

O El rango de la función es R-{O) Observa que no e valores de x tales que y =O, es decir, si y = f (x) es la función, entonces f (x) = O no tiene solución.

1 O La gráfica corta al eje OY en e punto (0 ; -1.5) y corta al eje OX. + x < o Y 1x1 "muy grande" o x > o y 1x1 "muy grande"

"muy peque- Ao". o X>2 y X-2 "muy peque- AO".

O A medida que x toma valores "muy grandes" (en va r absoluto), entonces f (x),se aproxima al valor 0.i'I

O A medida que x se aproxima a 2 pero con valores enores que 2 (se aproxima a 2 por la "Izquierda"), entonces f (x) < O se hace " uy grande" en valor absoluto (f (x) "decrece indefinidamente") y a medida que x se aproxima a 2 pero con valores mayores que 2 (se aproxima a 2 por la "de cha") entonces f (x) se hace "muy grande" (f (x) "crece indefinidamente") i*'l I t

Para cada función dada y = f (x) se pueden tablas de valores. Si Dom(f) c R es un intervalo o una reunión de el ejemplo anterior (Dom(f) = R-{2} = (-m,2) (2,m )), no se puede la tabla de valores de f pues su dominio es un conjunto con Lo que se hace es construir una tabla elementos comq para dibujar aproximadamente mediante una curva. Existen que permiten dibujar de

Cuando tenemos tablas de valores de experimentalmente, puede suceder que los valores hallados estén debidos a las mediciones realizadas. Es conveniente escribir sobre' los la tabla de valores los nombres o abreviaturas de las con las cuales se miden: cm por centímetro, S por Frecuentemente, para que más clara, se utilizan diferentes unidades sobre

3. Los puntos que pertenecen a una gráfica y que quere os sefialar se indican con un pequeno círculo en negro y aquellos que no pertenec a la gráf~ca se indican con un pequeno círculo en blanco o (sin rellenar)

derecha.

96 I

l i*I Estas noclones se precisarán en la Unidad 8 del Módulo 111, cuando se

tiende a cero si x tiende a -m o a + m r*I Estas nocionesseprecisarhnen la Unidad 8 del Módulo 111, cuando se

studien los limltes. Se dlce que f (x)

istudien los limites. Se dlce que f (x) tlende a -.a cuando x tiende a 2 por la izquierda y que f (x) tiendr a + m cuando x tiende a 2 por la

A veces indicamos con puntos suspensivos el hecho de que la gráfica (curva que representa a la función) se prolonga indefinidamente de la misma forma.ri

Ejemplos de estas convenciones las mostramos en las gráficas siguientes: I

Punto en negro (pequeño círculo en negro) Punto en blanco (pequeño circulo en blanco) indica que pertenece a 14 gráfica (curva). De indica que no pertenece a la gráfica (curva). esta forma sehalamos los puntos "inicial" y "final" de una curva.

1"

: Vertical punteada . . . . Puntos suspensivos indica que el número (abscisa) xo no tiene se utilizan para indicar que la curva imagen (no pertenece al dominio de la continúa indefinidamente de la misma función). También la utilizamos para señalar forma (es una rama infinita de la que la curva se "aproxima" cada vez más a curva). la recta pero no la corta, o para la ordenada de un punto.

(Anteriormente utilizamos estas convenciones,por ejemplo. en la gráfica de la función y = 3 l (x - 2)). 1

En diversos ejemplosdados anteriormente determinamos el dominio y el rango de una función f observando su gráfica la que, en la mayoría de los casos, se ha dibujado utilizando alguna tabla de valores o con funciones "elementales" conocidas previamente. Sin embargo, usualmente damos la función f mediante alguna fórmula y = f (x) y nos preguntamos

¿ Cómo determinar el dominio y e l rango de f ?

i*I Hay funciones para las cuales no se puede dar una representación gráfica. Por ejemplo, la función f:R i. R definida como sigue

1 Si x es un numero racional yx) =

O si x es un numero irracional

no admite representación gráfica, (intenta representarla y constata tú mismo que no puedes hacerlo). l

Recuerda el No 1 de los eJemplw 3.6.3 (Módulo 1).

Recuerda el No 1 de los ejemplos 3.6.6 (Módulo 1).

Recordemos que al inicio de este tema 5.2 afirmamos I siguiente: I l

El dominio de la función f es el mayor su conjunto de los números reales para el cual f

Por lo tanto, debemos determinar los valores X E R f (x)E R Muchas veces la determinación del dominio de f conduce a resolver

Por ejemplo: 1 I ~ 1

V El dominio de la función f (x) =--2 es todo el njunto R (Dom(f) = R) ya que l + x

Dom(f) está formado por todos los valores de x que el denominador 1+x2 es distinto de cero y sabemos que 1+x2 >O para x E R (¿por qu6?)

V El dominio de la función h (t) == es el interval infinito [ - 2 , ~ ) (Dom (f) = [-2,m))

ya que f i es un número real si y sólo si t+ 2

V El dominio de la función f (x) = Ln (x+3)(x-1) es el (- m , -3 ) u (1 ,W ) pues este conjunto es la solución de la inecuación (x +

P (x) = (x + 3)(x - 1) I Intervalo k Valor de P (k)

A veces es inmediato la determinación esto no es posible y queremos hallar el entonces debemos determinar para qué R tal que y = f (x). De manera práctica esto x de la expresión y = f (x), analizando la expresión

1 Por ejemplo:

+ Si f(x) = mx + b, m t O, entonces el rango de la función f es R. Para demostrar esto despejamos x:

Y -b y = mx + b S x = - lo cual está definido para todo y E R. m

O

Dom (O=R

Rg (9 = R

* Y Dom (9 = R

R ~ ( o = { a )

1 y = a

la1

> x

1

+ Consideremos la función dada por la fórmula y = .\/2-x y queremos determinar su rango, para lo cual despejamos x:

v = ./2 x y2 = 2 - x x x = 2 - y2 lo cual está definido para todo valor de y.

Como y = .\/2-x 2 O , entonces únicamente consideramos y E[ O, m), luego el rango

de la función f(x) == es [O, m) = R'U {O).

Dom (O = (-m,2]

Rg (9 =[O,-)

Obtuvimos la función x = g(Y) =

y-b - tal que m

Dom (g) = R (cualquier recta paralela al eje OXcorta a la gráfica de O.

Obtuvimos la función x = h (y) -2-y2 cuyo dominio es R . Pero

G>o entonces nos

al intervalo [O,-) (Cualquier recta paralela al eje OX situada en el


1. A continuación damos las gráficas de dos funciones:

cada una de ellas y luego represéntalas gráficamente.

en lenguaje simbólico (una fórmula):

1

1 5. ¿Cuales son las secuencias de instrucciones que ejecutas en la calculadora que estas utilizando, a los fines de calcular el valor f (a) para las siguientes funciones:

x + 5 c) f (x) = -x2 + 1; d)f(x)=-- , ~ $ 8

x - 8

Calcula los valores f(2), f(1,3) y f(-4) para cada una de esas funciones

6. A continuación te presentamos dos secuencias de instrucciones con calculadoras científicas:

¿Qué resultado se obtiene en cada caso para a = 6?

¿Cuáles son las funciones que determinan esas secuencias de instrucciones?

7. A continuación damos varias ecuaciones con dos variables x, y, luego despejamos y (se toma y comovariabledependiente) o bien x (se toma x comovariable dependiente). Indica en cada caso si lo obtenido representa o no una función:

8. A continuación damos dos funciones y = f (x) e y = g (x) definidas, respectivamente, por las siguientes secuencias de instrucciones que permiten calcular sus valores cuando x = a:

a # O

a # -0.6

a) Calcula los valores f(2), g(2), f(5) y g(5). Compáralos. b) Compara las funciones f(x) y g(x).

f(x) = O (función constante igual a cero o funci6n nula), = x (funci6n identidad),

) =Ixl (función valor absoluto),

a Ln-- Lna-Lnb.

b

* C) Determina el dominio y el rango de las funciones:

f(x) = ~'77, g(x) = Isen xl.

b) (,Que significa gráficamente calcular f(0)7

el sistema de ecuaciones:

(PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL). I * I I ** l l

102

xo y x l (se supone que la gráfica de f no presenta interrupciones para los valores de x comprendidos entre xo y xl, es decir, está formada por un solo "trazo continuo")?. Aplica el procedimiento que has descubierto a la función f(x) = 3x2 + 1 para los números xo = 1,4; x l = 1,5; a = 1,45 y compara el valor hallado con el determinado mediante una calculadora.

Sugerencia: La idea es reemplazar el "pequefio arco de curva" que une los puntos A y B por el segmento AB.

5.3 FUNCIONES ELEMENTALES: POLINÓMICAS, RACIONALES, EXPONENCIALES Y LOGAR~TMICAS. SUCESIONES

FUNCIONES ELEMENTALES

En la práctica y en muchas situaciones matemáticas se presentan con frecuencia varias funciones que se acostumbran denominar funciones elementales o funciones usuales de referencia. Entre estas funciones mencionamos las siguientes:

V Las funciones polinómicas que son del tipo f(x) = anx"+an .lxn-l+.....+alx+ao, a, + 0, que es un polinomio en la variable x y donde los coeficientes ai (i = O,l, ..., n-1,n) son números reales. Se dice que y = f (x) es una función polinómica de grado n. En esta Unidad trabajaremos con los casos n = O, 1, 2, 3:

n = O n = 1 n = 2 Se trata de la fun- Se trata de la función Se trata de la función cua- ción constante f(x) = arx+ao, al + O. cuya grá- dratica f(x)= a2x2+arx+ao. f(x) = a. cuya gráfi- fica es una recta ('oblicua"). Las gráficas de estas funcio- caes una recta hori- Es costumbre denotarla por nes son parábolas, de las zontal de ecuación y = mx + b, (m, b son cons- cuales las dos más usua- y = ao: tantes) y se denomina fun- les son las de ecuaciones

ción afín: y = x2, y = -x2, siendo x -x2 la función cuadrado:

lY

Y = ' .

~~p~- .-. +: /j/x p~ p~ + 9 4 n - 3 Se trata de la función f(x) = a3x3+a2x2+alx+ao. De estas funciones, la más usual es la función cubo y = ~ 3 :

interr lineal.

Observamos en las gráficas algunas caracteristicas comunes a estas funciones: I I

a) . El dominio de las mismas es R (están definidas para todo número real). b) El rango de esas funciones es el conjunto R+ de los números reales positivos,

esto significa que aX>O, a-'>0 para todo número real x, siendo a>O. c) Cualquiera de esas funciones toma el valor 1 cuando x = O (aO=aMO=l). d) Las funciones f(x) = loX, g(x) = ex son tales que, a medida que x>O toma valores

cada vez mayores entonces los valores f(x) y g(x) también van aumentando y, si xcO aumenta en valor absoluto entonces f(x) y g(x) decrecen y se van "aproximando" a cero.

e) Las funciones F(x) = 10" y G(x) = e-' son tales que, a medida que x>O toma valores cada vez mayores entonces F(x) y G(x) decrecen y se "aproximan" a cero y, si x<O va aumentando en valor absoluto entonces los valores F(x) y G(x) también van aumentando.

f) Las gráficas de y = 10' e y = ex son "análogas"; lo que cambia son los valores de esas funciones para un mismo valor de x. De manera parecida se tienen lasgráficas de las funciones y = 10.' e y = e-'.

A Las funciones inversas ['l de las funciones exponenciales y = 10' e y = ex son, respectivamente, las funciones logarítmicas ["l, denotadas por:

f(x) = log x g(x) = Lnx I FUNCIÓN LOGARITMO DE BASE 10 FUNCIÓN LOGARITMO DE BASE EL NÚMERO O LOGARITMO DECIMAL: "e"0 LOGARITMO NATURAL, O LOGARITMO

NEPERIANO:

Observemos en las gráficas algunas caracteristicas comunes a estas dos funciones:

a) El dominio de dichas funciones logaritmicas es el conjunto de los números reales positivos: Dom(f) = Dom(g) = R' = (0,m). El rango de esas funciones es todo el conjunto R.

b) El logaritmo de la base es 1, esto es: log 10 = 1, L n e = 1,

y el logaritmo del número l e s O, esto es : log 1 = O, Ln 1 = 0.

c) Si un número x es menor que 1 entonces su logaritmo es negativo y si es mayor que 1 entonces su logaritmo es positivo:

O<x<l 3 log x < O, L n x < O

x > l 3 logx>O, Ln x > 0.

d) A r;;-dida que x se "aproxima" a cero, entonces log x y Ln x, que son negativos, se hacen "muy grandes" en valor absoluto ("decrecen indefinidamente").

I

1.1 En la última parte de esta Unidad precisaremos lo de función Inversa de una función dada. ["l Recuerda la nota histórica acerca del número "e" y de los logaritmos neporianos en el Módulo l.

Con las calculadoras científicas se determinan los valores de esas funciones as1 como de sus inversas: arcsen x (arcoseno de x), arcos x (arcoseno de x) y arctg x (arcotangente de x).

9 Por Último, mencionaremos,las sucesiones que se estudiarán más detenidamente en el Módulo 111. Adiferencia de las funciones elementales anteriormente dadas, cuyos dominios 1 son intervalos o reuniones de intervalos de R, el dominio de las sucesiones es el conjunto 1 Z* = N-{O} = {1 ,2 , 3 ,4 , 5, ......} de los números enteros positivos. Esto es, una sucesión de números reales es una función f : {l, 2, 3, 4 ,..... } H R. A cada número natural n z l le asociamos un número real f(n), que en el caso de sucesiones es costumbre denotarlo con un subíndice. así f(n) se denota f,. Por ejemplo, la sucesión dada por f, = l ln, nz l , cuyos términos. esto es, los valores que toma f,, a medida que n varía, son fl = 1, f2 = 112, f3 = 113 ,..... De estas sucesiones debes recordar dos especiales que estudiastes anteriormente. las denominadas progresiones aritméticas y las progresiones geométricas (las estudiaremos en la Unidad 7 del Módulo 111) . 1

Antes de dar varios ejemplos donde se presentan funciones como las indicadas, algunas de ellas multiplicadas por constantes. hagamos un cuadro resumen de las mismas.i"

CONTINUACI~N

FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGAR~TMICA DE BASE " e "

Función exponencial Función exponencial Función logaritmo neperiano

, , = n X v=e-X y=Lnx

OTRAS FUNCIONES

11 unción raíz Función "inverso de x" Función valor absoluto :uadrada 1

I I I

efecto V = k ~ ~ , siendo k = 4n /3

sonido, la intensidad 1 de la sensación crece con

En acústica, la intensidad sonora J (intensidad del sonido o fuerza del sonido) se mide en w/m2 (vatio por metro cuadrado). Para efectos de la medición de la audibilidad del sonido por parte del oído humano, se utiliza otra unidad de medida: en lugar de considerar el valor de la intensidad se introduce la denominada "diferencia de niveles" de intensidades J, y J2 que denotaremos por D y está dada por el logaritmo decimal de JZ/Jl, esto es D = log (J2/J1). Si D es igual a 1 (resp. 0,l) se dice que se tiene 1 belio o 1 be1 (resp. 1 decibelio o decibel, denotado 1 dB) E'] . Así, cuando la "diferencia" de sonidos D es igual a 1 decibel (0,1B), resulta J2/J, = 1 0 ~ " 1,259 y por lo tanto J2 1,259J1 y la "diferencia" D de intensidad del sonido medida en decibeles se determina mediante la fórmula

La potencia acústica(flujo de energía acústica) se mide en vatios.

1 belio da la diferencia de los niveles de dos intensidades cuyo cociente es igual a diez.

Nota: La terminología de vatios y decibeles en acústica te debe ser familiar. Por ejemplo, cuando compras un aparato para escuchar música para ser instalado en un automóvil (digamos un casete estéreo ("cassette stereo") para automóvil), en el capitulo de especificaciones del manual del aparato figura cuanto es la potencia de salida del amplificador. En un ejemplo de ese manual se lee: "la potencia de salida en continuo es,de 3,2 W por canal. Cuando compras "cornetas" para el tocadiscos es usual hacerlo indicando la potencia de la misma: 20 vatios, 30 vatios ,..... Los decibeles también figuran en varias partes de las especificaciones que vienen en los manuales de los aparatos de sonido (investlgalo en uno de esos manuales) según los fines de la legislación. Por ejemplo, en la "ley del ambiente y ruido" de Venezuela, se especifica que no se permite colocar aparatos musicales en sitios abiertos o hacer ruido estruendoso (bastante decibles) pues esto causa daños al organismo, entre los que se encuentra la pérdida de la capacidad auditiva por daños al tímpano. 1

Si consideramos el valor de Jo para la frecuencia de 1000 Hertz (1 Hertz es igual a un ciclo por segundo; la frecuencia de las oscilaciones de las ondas sonoras se mide en Hertz), resulta Jo w 10-l2 w/m2. La ley de Fechner-Weber no es válida para valores muy grandes de J. Así, más allá del umbral en que se produce dolor, aproximadamente en los 120 decibeles, es imposible medir la intensidad fisiológica del sonido. En un local de dimensiones media (habitación, aula de clases pequeña), la voz normal se percibe como un sonido cuyo nivel, respecto del umbral de audición Jo , es aproximadamente 40 a 60 dB.

3. Escala de Richter.

Un avión a re- acci6n produce a 10 m del mismo, en el despegue. . 130dB.

La magnitud de un sismo (temblor, terremoto) se determina utilizando la denominada escala de Richter. En los periódicos, al indicar que ocurrió un determinado temblor o terremoto en una cierta zona de la Tierra, señalan la magnitud del sismo diciendo que tuvo una intensidad de x grados (un número) en la escala de Richter. Por ejemplo, el último terremoto fuerte en Caracas, ocurrió el 29 de julio de 1967 y tuvo una intensidad de 6,7 grados en la escala de Richter. Más recientemente (1710111995) en Kobe y Osaka (Japón) se produjo un terremoto de 7,2 grados en la escala de Richter. Esos dos terremotos, de gran intensidad, produjeron daños considerables.

L Que es, por lo tanto, la escala de Richter? I

La escala de Richter va de 1 a 10 grados. Hay otra escala, la de Mercalli, que llega hasta 12 grados.

Esta escala se usa para cuantificar la magnitud de un sismo y se define mediante el número:

i'l En honor al físico Alejandro Graham Be11 (norteamericano, nació en Edimburgo-Escocia, 1847-1922) uno de los Inventores del teléfono en 1876.

1 R = l0g - r donde 1 es la intensidad del sismo e 1, s una intensidad estándar.

10

Esto se determina mediante un sismógrafo.

Nota: Como en los ejemplos 2 y 3, existen muchas otras situa iones de nuestro entorno que se expresan mediante funciones logarltmicas o exponen iales, o con los otros tipos de funciones antes estudiados. A tal respecto consulta con e/ Asesor de Matemática del Centro Local. 1 l

GRÁFICAS TRASLADADAS Y FUNCIONES DEFINIDAS P R TROZOS O SECCIONES I A partir de las funciones elementales se pueden generar f nciones mediante traslación

de sus variables. Expliquemos en qué consiste este procedimi nto mediante un ejemplo:

+ Consideremos la funcibn y = 1x1 cuya gráfica es la siguie te, 1 Si trasladam S esta gráfica en dos unidades ha t ia arriba ir es^. I lacia abajo), obte emos las'sighentes gráficas, I

las cuales son, respectivamente, las gráficas de las funcio es y = 1x1+2 e y = Ixl -2, puesto que a la ordenada de cada punto de la gráfica d y = Ixl le hemos sumado (resp restado) dos unidades. 6 Ahora traslademos la gráfica inicial, la de la funcibn y = 1) 1, en dos unidades hacia la derecha (resp hacia la izquierda), se obtienen las siguient :S gráficas:

las cuales son, respectivamente, las gráficas de las funciones y=Ix-21 e y=[x+21, es decir f(x-2)=Ix-21 y f(x+2)=1x+21.

Este ejemplo lo podemos generalizar y obtenemos lo siguiente:

SE DA LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN y=f(x) Y UN NÚMERO o 0

FUNCIÓN SU GRÁFICA SE OBTIENE MEDIANTE TRASLACIÓN DE LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN y = f(x)

y =f(x) + c en c unidades hacia arriba

y = f(x) - c en c unidades hacia abajo

y = f(x - c) en c unidades hacia la derecha

y = f(x + c) en c unidades hacia la izquierda

Otro ejemplo:

V Si consideramos la gráfica de la función y=xZ,

entonces se obtienen las siguientes gráficas de las funciones:

y=x2+3 y=xZ-3 y=(x-3)2 y=(x+3)2

Trasladamos la gráfica Trasladamos la gráfica Trasladamos la gráfica Trasladamos la gráfica Iu' etl 3 unidades hacia l n l en 3 unidades hacia ' " en3 unidades hacia lelen 3 unidades hacia arrriba. abajo. la derecha. la izquierda. 1

* Otra de las formas como obtenemos funciones a partir S funciones elementales es lo que se denomina funciones definidas por trozos secciones. Esto significa. en el caso de funciones definidas por fórmulas, que la no necesariamente está definida por una única fórmula. Esto se traduce en de la función en que la misma está formada por partes de distintas curvas. si consideramos la gráfica dada en el No 2 de ejemplos 4 6.3:

Observamos qut ! la gráfica se compone de tres segmentcs AB, BC y CD. Para determinar la e: presión de la función y = f (x) definida po esta gráfica, lo hacemos

--h. -- x para cada un de esos segmentos,

resultando la fur ci6n f: [-1,2] -t R de nida mediante:

(y = 1 t x es la ecuación la recta que pasa porA y 6). l t x si -1sxso

si Osxsl (y = 1 es la recta horizon al que pasa por B y C). - x t2 si 1sx<2

(y = -x +2 es la ecuación e la recta que pasa por C y D). t N6tese que el dominio de la función f (x) es el interval cerrado [-1,2] el cual es la reunión de los intervalos [-1,0], [0,1] y [1,2]. 1

+ Otro ejemplo de una función definida a trozos o por secci es está dado por el No 1 -b de los ejercicios propuestos 4.6.2 (ver soluci6n al final del M oulo) 1 t Damos un tercer ejemplo de este tipo de funciones o como solución de un problema: el NO6 de los ejercicios propuestos 4.6.2. de este problema es el siguiente: consideremos el pollgono cuadriculado, donde tomamos como unidad peque60 de la cuadrlcula:

Para cada x, 0 ~ ~ ~ 1 0 , denotamos por A(x) el área del poligono que sombreamos en el dibujo. Se obtiene asi una función A: [0,10]-+ R y queremosdeterminar la expresión de esta función.

A En primer lugar calculemos los valores A(0). A(2), A(5). A(7) y A(10), los que se obtienen fácilmente como suma de áreas de rectángulos:

A(O)=O; A(2)=2x3=6; A(5)=6+3x5=21; A(7)=21+2x6=33; A(10)=33+3x7=54.

En segundo lugar, determinamos la expresión de A(x) en cada uno de los intervalos [0,2]

[2,51, [5,71 Y [7,101.

Vamos a dar dos formas de como resolver este problema:

Primera forma para resolver el problema: I

En el intervalo [0,2]: si el área del rectángulo dibujo es igual a 3x.

x~ [0 ,2 ] , entonces sombreado en el

T En el intervalo [2,5]: si x€[2,5]. entonces el área del poligonosombreado en el dibujo es igual a 3.2+5(x-2)=5x-4.

i

T En el ~ntervalo [5,7]: si x€[5,11, mtonces el área del poligono sombreado en el dibujo es igual a 3.2 + 5.3 + 6(x-5) = 6x-9. r

H x-5

De manera análoga puedes obtener el área cuando x E [7,1 O] resultando A (x) = 7x-16.

En consecuencia, la función A,[0,10]+ R es una fu ción definida por secciones mediante:

si 0 5 x 5 2

5x- 4 si 2 5 x 5 5 A(x) =

6x -9 si 5 5 x 5 7

7x-16 si 75x510.

.Y

60

a

80

20

10

d-. X

10

Segunda forma para resolver el problema:

Observemos que a medida que x aumenta enton :es A(x) tambi6n aumenta proporcionalmente con x y como .4!x) # O (excepto para K=O), se tiene que la expresión de A(x) en cada uno de esos intervalos está dada por L l a función afln A(x) = mx + b y necesitamos calcular m,b en cada uno de dichos inte rvalos.

En el intervalo [0,2], se tiene A(0) = O y A(2) = 6, lueg 1

m.O+b= O obteniéndose b = O, m = 3 y por lo .anto A(x) = 3x si ~€[0,2] .

m.2+b= 6

En el intervalo [2,5] se tiene A (2) = 6 y A (5) = 21, lu go

{ m.2+b=6

obteniéndose b =-4, m = 5 y por lo into A(x) = 5x-4 si x € [2,5]. m.5+b=21

De manera análoga obtenemos:

A(x) = 6x - 9 si x ~ [ 5 , 7 ] y A(x) = 7x - 1 i si x€[7,10].

Nota: La misma función A se puede definir considerando lo: intervalos [0,2] , (2,5], (5,7] y (7,101

( ¿por qu6? ):

+ El último ejemplo a que hacemos referenciaes el de las tarifaspostalesnacionales para cartas (vigentes en 1994) del que ¿iimos su representación gráfica en el No 2 de ejemplos 4.2.2. La función "tarifas postales nacionales" es la funcidn t: (0,2000]+R definida por mediante:

donde x indica el peso de la carta en gramos y t (x) su costo de envio en bolívares. I Observa que la gráfica de esta función está formada por segmentos horizontales de tal forma que el extremo izquierdo de estos segmentos no pertenece a la gráfica. I 1


1. ¿Qué secuencia de instrucciones, en la calculadora que utilizas, te sirve para calcular valores de la función f (x) = 3Ln ( X + I ) ~ - 2 (x+-1).

¿Por qué el dominio de esta función es el conjunto R-{-l)?

¿cuál es la funcidn que esa secuencia define y cuál es el dominio de dicha función? I

l 2. Si damos la siguiente secuencia de instrucciones 6n una calculadora

3. A partir de la gráfica de la función f (x) = -x2, dibuja las gráficas de las funciones:

2 y = -x2 -1, y = -x2+2, y = -(x - 1) , y = -(x + z ) ~ .

4. A partir de las gráficas de las funciones f (x) = A, g (t) = sent, h (x) = l / x (x>O), dibuja las gráficas de las funciones:

*

y = f (x) + 4, y = f (x - 2), y = h (x - 3).

117

l 8. Representa gráficamente las siguientes funciones definidas por secciones:

I

f(x) si x t O Dibuja la gráfica de g. ¿ En qué se diferencian las funciones f y g?

l

1 1 x2, x<? ¿Cuál es el dominio y el rango de g?

c) g(x) = 1 , 1 < x 5 2 x - 1 , 2 < x i 4

i 9. Consideremos la función f(x) = Ixllx definida para x ii: 0.

a) Define a f por secciones. N,

b) Dibuja la gráfica de f.

l c) Si definimos la función g: R+R mediante

.k

a) Representa gráficamente esta función. b) Si consideramos únicamente los valores de x en el intervalo [-2,3), entonces E(x)

en dicho intervalo se define por secciones, ¿de qué forma?

10. Recordemos que (Módulo 1) a cada número real x le asociamos un número entero E (x), denominado su parte entera de tal forma que E(x) <x <E(x) + I(E(x) es el mayor entero que es menor o igual que x), verificándose que E (x) = x si y sólo si x es entero.

l De esta forma tenemos definida una función E de dominio R y rango ZCR. i

* E (x) también Se

por [x].

11. Determina la expresión analltica de las funciones que tienen las siguientes gráficas: 1 1

* b)

5.4 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

algunas funciones, las cuales observamos en sus gráficas.

I

En la gráfica anterior observamos las siguientes propiedades de la función f(x):

V Corte con los ejes de coordenadas: O (0.0) (el origen), A (-2,0), B (2,O).

V Signo de la función: f(x) < O si x E [-3,-2) U (2,3], f(x) > O si x E (-2,2).

V Hay rectas horizontales (paralelas al eje OX) que cortan a la gráfica en dos, en tres o en cuatro puntos.

Todas estas son propiedades mencionadas en varios ejemplos y ejercicios anteriores. Además, se observan otras tres propiedades de la función:

1 Los puntos situados "más alto" en la curva son C(-1,2) y D(1,2). Se dice que 2 es el valor máximo de la función f y este valor es alcanzado en x = - 1 y en x = l .

Los puntos situados "más bajo" en la curva son E(-3,-2) y F(3,-2). Se dice que -2 es el valor mínimo de la función f y este valor es alcanzado en x = - 3 y en x = 3 .

4 La gráfica de f es simétrica respecto del eje OY

1 En los intervalos [-3, -1) y [O, 11 del eje OX, a medida que x "aumenta" ("crece") entonces los valores f(x) también "aumentan" ("crecen"). Por ejemplo,

1

Por lo contrario, en los intervalos 1-1, O] y [ l , 31 del eje OX, a medida que x "aumenta" entonces los valores f(x) "disminuyen" ("decrecen"). Por ejemplo,

I Se nos presenta entonces la siguiente interrogante:

El valor máxi- mo de la fun- ción es la ordenada del punto de la curva situado mas alto. El valor mínl- mo de la fun- ción es la ordenada del punto de la curva situado mas bajo.

¿Cómo determinar las propiedades de una función y=f(x) conocemos su gráfica? características o

En io que sigue estudiaremos cuatro tipos de propiedadeslde las funciones:

Propiedades de simetría.

Propiedades de crecimiento y d crecimiento.

Propiedades de periocidad.

Propiedades de inyectividad, so reyectividad y

biyectividad.

onde el Líltimo tipo de propiedades lo estudiaremos al fin I de la Unidad, al considerar la "función inversa".

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ T _ _ _ -_---_--

• PROPIEDADES DE SIMETR~A DE LAS FUNCIONES 1 Dada una función y = f(x) se verifica que.

La gráfica de f es sim6trica con La gráfica respecto al eje OY si pecto al 01

f(-x) = f(x)

para todo x, -x E Dom(f). para todo

Las funciones f que satisfacen esta Las funci~ propiedad se denominan FUNCIONES propiedad PARES. IMPARES.

Las siguientes son gráficas de funciones Las siguiei pares: impares'

m f es simetrica con res- an si

f(-x) = -f(x)

-XE Dom(f).

!S f que satisfacen esta N denominan FUNCIONES

s son gráficas de funciones

¿Por qué la gráfica de una función y = f(x) no puede ser simétrica con respecto al eje OX?

...........................

Ejemplos 5.4.1

1. Determina si las siguientes funciones son pares o impares:

a) f(x) = -x2+2; b) g(x) = x3; C) h(t) = I 1 (t-1).

A Tenemos lo siguiente: Dom(f) = Dom(g) = R, Dorn(h) = R - {l}. Procedemos con esas funciones de acuerdo con la definición dada de función par o de función impar:

a) Calcularnosf(-x) y lo com- b) Calculamos g(-x) y lo c) Calculamos h(-t) y lo paramos con f(x): comparamos con g(x): comparamos con h(t):

f(-x)=-(-~)~+2=-x~+2 = f(x), g(-x)=(-x)3=-x3=-g(x), 1 - 1 h(-t) - - -- .

-t -1 t + 1 luego, f es una función par. luego, g es una fun-

ción impar. que es diferente de h(t) y de -h(t), luego, h no es función par ni impar. 1

2. ¿En qué nos ayuda para construir la gráfica de una función y=f(x) el hecho de que f sea par o impar?

Aplicar la conclusión obtenida a las funciones f(x) = -x2+2, g(x) = x3. I A Si la función y=f(x) es par entonces, para cada punto (x, f(x)) perteneciente a la

gráfica de f, el punto (-x, f(x)) tambi6n pertenece a la gráfica de f, y estos dos puntos son simétricos respecto al eje OY. Por lo tanto. basta dibujar la gráfica de f en el semiplano cerrado a la derecha del eje OY (o en el semiplano cerrado a la izquierda del eje OY) y luego completarla por simetría con respecto al eje OY en el semiplano cerrado a la izquierda del eje OY (o en el semiplano cerrado a la derecha del eje OY):

~jempló con la función g(x) = x3:

PROPIEDADES DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE LAS FUNCIONES I Estas propiedades se refieren a la forma de como varian los valores de una función

real f según los valores que toma la variable independiente. Esto es útil a los fines de construir la gráfica de f.

Consideremos una función y = f(x) en el intervalo [-1,3] y la curva que la representa:

¿Cómo podemos traducir matemática- mente que la gráfica de f se "eleva" en el intervalo [-1 ,l] y "desciende" en elinterva- lo [1,3l(recorriendo la gráfica en el sentido

X de las x crecientes, es decir de 4

2 3 izquierda a derecha?

' 1 Esto significa que:

+ En el intervalo [-1,1] si la "x aumenta (crece)" entonces "f (x) aumenta (crece)". En tal caso se diceque la función f es creciente en ese intervalo.

+ En el intervalo [1,3] si la "x aumenta (crece)"entonces "f(x) disminuye (decrece)". En tal caso se dice que la función f es decreciente en ese intervalo.

Decir que una variable aumenta (crece) o disminuye (decrece) se expresa en términos de la relación de orden de los números reales.

Por lo tanto, las consideraciones anteriores se precisan mediante la siguiente definición:

Definiclón 5.1 (Funciones creciente y decreciente)

Sea f una funcidn definida en un internalo V Se dice que f es creciente en J si, c

XI y x 2 en J tales que x l < x2 ento

4 Se dice que f es decreclente en J si, x1 y x2 en J tales que x l e x 2 ento

I Esta definición se ilustra en los dos gráficc

X,' X2*f (X1)<f (X2)

cualquiera que sean

X1,XzEJ (f es creciente en J).

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - - Ejemplos 5.4.2

l. En la gráfica de una función y = f(x) se leen las va! decrecimiento) recorriendo la curva de izquierda a

V Si la curva se "eleva", entonces la f 4 Si la curva "desciende", eptonces Ié

Por ejemplo, en la siguiente curva que representa a [a,b], se tiene lo siguiente:

Y

rquiera que sean los números f(x1) < ffX2).

9squiera que sean los números f(X?)>f(~2) .

uientes:

alquiera que sean

,X2 E J

9s decreciente en J).

les de la función (crecimiento o :ha:

n es creciente; ión es decreciente.

unción f definida en el intervalo

V f es creciente en los intervalos [c,d] y [g,b] ; 4 f es decreciente en los intervalos [a,c] y [d,e]

¿ Y qué sucede en el intervalo [e,g]?

Observamos que en este intervalo la gráfica de f "no se eleva" y "tampoco desciende", se mantiene "horizontal"; por lo tanto, en el intervalo [e,g] la función es constante. t

2. Consideremos las funciones:

1 a) f(x) =- con x E ( O, m ); xZ

b) g(x) =-+ 1 con x E [1,5]. X 4

I Determinemos como varían esas funciones en dichos intervalos en relación con su crecimiento o decrecimiento. 1 A Para estudiar esa variación analiticamente consideramos dos valores cualesquiera

x l y x2, en los respectivos intervalos, con la condición ~ 1 ~ x 2 . Se tiene:

a) XI , xz E (0, m), luego XI , x2 b) x l ,x2 ~[1,5] , luego x,, x2 son son números positivos y por números positivos y por lo tanto: lo tanto:

en consecuencia, la es decreciente en el (O, m ):

función f intervalo en consecuencia, la función g es

creciente en el intervalo [1,5]:

l

1

! rama de hipérbola

3

2

1

usamos propiedades de los números p o s i t i v o s : b 7 a z O S

I lb < l la y

bZ > aZ.

¿Cuales son las propiedades análogas si b, ason negativos?

Demostrar analíticamente, a partir de la definición ue una función dada f es creciente o decreciente, no es fácil, excepto para funciones sea bastante sencilla como las del ejemplo anterior. Existen métodos más determinar el crecimiento o decrecimiento de una función, que no

A es el simbolo de incremento o "diferencia".

I V f es creciente SI satisface la

Sin embargo, un aspecto relativamente fácil en relación con definición 5.1 es expresarla en otra forma equivalente, lo que haremos a continuación int la noción de tasa media de variación o tasa media de cambio.

Recordemos que en 4.5 se introdujo la notación de incre ento para lo cual se utilizó la letra griega delta A . Si una variable real x pasa de un valor a otro valor x2, entonces su incremento, denotado Ax, se define mediante Ax = xz - x l t

Si tenemos una función y = f(x) entonces, a un increme to A x = x2 - x l de la variable x le corresponde un incremento A y = Af (x) de la función f da o por A f (x) = f (x2) - f (xl), lo que también se denota mediante A y = y2 - y1 siendo y2 = f(x ) e y1 = f(xl). 1

Con estas notaciones O ~ S ~ N ~ ~ O S que:

x i <x2 e A x > O,

f (x1 ) e f(X2 ) e Af (X) > O;

y por lo tanto, la definición 5.1 se escribe como sigue: I Ax>O 3 Af(x)>O

o bien

Ax<O Af(x)<O

Es decir, los incrementos de la variable indep x y de la función f tienen el mismo signo.

4 f es decreciente si satisface

A x > O a A f ( x ) < O

o bien

Es decir, los incrementos de la variable independie e x y de la función f(x) tienen signos distintos.

Tasa Luego, si introducimos el cociente entre los incremen S denominado tasa media de promedio de cambio, cambio o de variación de la función f en [x,, x,] '" , P

podemos formular los conceptos de crecimiento y decrecimie i to como sigue:

"1 Este cociente ya lo definlmos en 4.5 al dar la noción de pendiente m de una recta de eeuaclón y = mx + b. Observemos que m es igual a la tasa media de variación de la funclc n f(x) = mx + b.

V La función f es creciente en el intervalo J si su tasa media de variación es 4 x Y AfM) positiva para todo par de números xl, x2 E J. tienen el mis-

mo signo.

sewación3 de 4.5 (antes de

4 La función f es decreciente en el intervalo J si su tasa media de variación es negativa para todo par de números x j , x2 E J.

' Y f

La tasa media de variación que denominaremos simplemente tasa de variación o tasa de cambio['], figura en la terminología de distintas ciencias con diversos nombres entre los cuales citamos: tasa de crecimiento, velocidad media, aceleración media, tasa de reacción.

4 x y 4f(x) tienen signos distintos.

Damos tres ejemplos de tasas de variación. I 1. Si una partícula se mueve en linea recta en cada instante de tiempo t, en el transcurso

del movimiento, determinamos su posición e = e(t) en función del tiempo t, donde e es el espacio recorrido desde un punto dado O de la recta, entonces la velocidad promedio o velocidad media de la partícula en el intervalo de tiempo J = [tl, t i ] está dada por

donde 0bServamOS que esta velocidad promedio Ae e(t,)-eít,) -- - es una tasa de variación en [tl, t2] e indica el At t2 -t i "espacio recorrido por unidad de tiempo". I

2. Sea N el número de individuos de una población (humana, de animales o de plantas). Sabemos que N cambia con el tiempo, es decir N es una función del tiempo t que denotamos por N = N(t). Si consideramos dos instantes de tiempo t l y t2 con t2 > tl, entonces la diferencia AN = N(t2 ) - N(tl ) es el cambio total del "tamafio" de la población en el intervalo J = [tl, t i ] . Si AN>O entonces la población aumentó en ese intervalo de tiempo J. Por el contrario, si A N<O entonces la población disminuyó en ese intervalo de tiempo J.

1'1 Hay otros tipos de tasas de cambio que no se estudiarán en este curso. Por ejemplo, la tasa de variación instantanea obtenida al hacer tender Ax a cero.

129

La tasa de cambio x= población por unidad de tiempo.

A t = 1981-1971 = 10 (afios),

de la población de Venezuela entre 1971 y 1981 fue de

proporcionalidad)

En 4.5 dimos el siguiente ejemplo: cuando se calienta una varilla metálica de longitud to que está a una temperatura To entonces, entre la longitud t? de la varilla y la temperatura T a la cual se calienta existe la siguiente relación: A l = a to AT ( a es una constante denominada el coeficiente de dilatación o de expansión lineal), y por lo tanto el incremento A t = t - e, de la longitud de la varilla es proporcional al incremento AT = T - To de temperatura, siendo m = a to la constante de proporcionalidad. I

Otro ejemplo lo podemos obtener utilizando el No 2 anterior al considerar la variación de la población de Venezuela en el periodo 1971-1981 donde suponemos que la tasa de cambio A NIA t es constante e igual a m = 379521,3 (habitantes por año).

Una manera usual de obtener este crecimiento poblacional en relación al primer año del periodo se obtiene al dividir la tasa de cambio por la población al inicio del periodo y luego expresarla como un porcentaje. En el período considerado 1971-1981 se tiene

379521,3 lo que podemos escribir como un porcentaje = 0,03539808

10721522 multiplicándolo por 100, obteniéndose , 3,54%, lo cual

resulta de la regla de tres

Observa que el crecimiento total A N = 3795213 hab. en los diez afios considerados es aproximadamente igual al 35,39808% 35,40% de la población inicial 10721522 (Atención: según los cálculos que hagas se cometen errores de redondeo).

OBSERVACIÓN: Si se.mantuviese el porcentaje de crecimiento de 3,54% durante cada año del periodo 1971-1981 (tasa anual de crecimiento constante), lo que indica un crecimiento poblacional bastante elevado, el cálculo de la población para el año 1981 a partir de la del ano 1971, seria como sigue: N, = 10721522; NI = N, +(3,54%de N,) 11101064; N;! = NI+ (3,54% de NI) m 11494042; y así sucesivamente hasta Nlo= Ng+ (3,54% de Ng ) m 15182318, cifra que es mayorque la del censo (hemos redondeado para tener únicamente números enteros). Esta discrepancia puede interpretarse en el sentido de que no se mantuvo constante esa tasa anual de 3,54% y que en algunos años del periodo considerado fue menor. También se debe a posibles errores de redondeo que cometemos en las aproximaciones y por que estamos tomando porcentajes sucesivos: el mismo porcentaje de crecimiento para cada año que transcurre sobre la poblacidn del año anterior, lo que en definitiva resulta más del 35,40 % del total. I

a PROPIEDADES DE PERIODICIDAD DE LAS FUNCIONES

Si observamos la gráfica de la función f(x) = senx .notamos que: cada vez que aumentamos o disminuimos la abscisa x en 2 n entonces las correspondientes ordenadas son las mismas, esto es, si P(x,y) es un punto de la gráfica de f entonces los puntos M (x-2% ,y) y S(x+2n ,y) tambien pertenecen a dicha gráfica, lo que significa en términos de la función seno que sen(x-2n ) = sen(x+2Z ) = senx,

N9 (resp. NIQ) corresponde al ano 1980 (resp. 1981).

Revlsa las

cos (X + 271 ) = COSX,

En general, las funciones periódicas están presentes en muchos fenómenos de tipo "oscilatorio": a) la oscilación de un peso suspendido de un muelle o resorte; b) la oscilación de un péndulo simple; c) las variaciones de temperatura.

La siguiente gráfica es otro ejemplo de función periódica con periodo T = 1, I


1. Observa las curvas dibujadas a continuación y determina las propiedades de las funciones que ellas representan relacionadas con los tipos de propiedades estudiadas anteriormente:

6. Una rama de la hipérbola de ecuación y = l /x , x + 0, está representada a continuación:

Completa la gráfica de esta hipérbola justificando la construcción que haces.

7. Si una función f es impar y par a la vez, 'cómo es esa función?

8. La función h es periódica de período 2 y su representación gráfica en el intervalo [-1, 11 está dada por la figura siguiente:

Dibuja la gráfica de h en los siguientes intervalos: a) [-231 ; b) i-3,61

9. La función dada por y = G(t) es periódica de periodo T = 2a (a>O) y su gráfica en el intervalo (Za, 4a) es la dibujada a continuación:

i ' i 4

. . ~ i ~ - - * - t

O 1 la 2c1 !a 40 50 60

- 1 i l

Dibuja la gráfica de G para valores t>O.

10. Una y solamente una de las curvas C,, C2 y C3 dibujadas a continuación representa 2 4 3 las funciones y = x , y = x , y = x , en el intervalo [O, m ).

Determina cuál curva representa a cada una de esas func ones sin que sea necesario calcular valores de dichas funciones:

C:

c, C

- -- -. o /;. -- X

11. En un mismo sistema de coordenadas representa gráfica Ente las funciones dadas por y = l lx, y = 2/x, x # O y compara sus gráficas.

12. Si f(t) = Asen (wt + U ) donde A, w y U son consta ites (w>O), demuestra que

f t+- = f(t) para todo t E R. i Y ¿Qu6 conclusión obbenes de ese result ido7

13. El costo C de producción de cierto artículo en función de a cantidad producida q, está dado por la función C definida mediante C(q) = 300 + q2 Calcula la variación promedio en el costo (denominada "cc sto medio marginal") cuando la producción varia de 10 a 20 unidades

14. El censo de población realizado en Venezuela en 1936 como resultado 3194543 habitantes Luego se realizó otro censo el 2611 111950 obtuvo como población 5043838 habitantes. Calcula: a) El crecimiento total d la población de Venezuela en el perfodo 1936-1950; b) La tasa de cambio de di a población en ese mismo perlodo y el porcentaje de crecimiento en relación con a población del aiio 1936. t

15. La matricula de los aiios escolares 1981-1982 y 1982-1 83 en el nivel de educación preescolar fue, respectivamente, de 461017 y 499093 lumnos b a) Calcula el crecimiento total de la matricula al pasar del o escolar 1981-1982 al aiio

escolar 1982-1983, la tasa de cambio de esta matrfcul t y el porcentaje de crecimien- to que la misma tuvo,

b) SI suponemos que ese porcentaje de crecimiento se hasta el aiio escolar 1985 1986, ¿cuál serla la matricula en dicho aiio con el dato suministrado por la División de Estadistica de la Presupuesto que fue de 561846 alumnos?

c) S1 el número de docentes en educación preescolar durante los arios escolares 1985-1986 y 1990-1991 fue, respectivamente, de 22 02 y 32223, determina. 1) La tasa de cambio del número de docentes entre l! 85-1990 y su porcentaje de

crecimiento al pasar del aiio escolar 1965-1986 al afic escolar 1986-1987,

2) Suponiendo que este porcentaje de crecimiento se mantuvo a partir del año escolar 1991-1992 hasta el año 2003, ¿cuántos docentes se necesitarían para el nivel de educación preescolar en el año 2003? (compara el número obtenido con lo previsto en el "Plan Decena1 de Educación 1993-2003, que prevé incorporar 36752 docentes activos en esos diez años; fuente: Diario El Nacional, p.CI1, 21110194).

16. Consideremos una función f definida en el intervalo [-2,5] que presenta las siguientes características: a) Es creciente en el intervalo [0,3]; b) Es decreciente en[-2,0] y en [3,5]; c) La imagen de O por f es igual a -1 y f se anula en los puntos de abscisas - 1 ,2 y 4; d) f toma un valor máximo igual a 3 que se alcanza en -2 y un valor mínimo igual a -2 que se alcanza en 5; e) f(3) = 1,5. Dibuja, aproximadamente, una posible gráfica de una tal función f.

17. Si conocemos la gráfica de una función y = f(x), explica de qué manera puedes resolver gráficamente lo siguiente: a) La ecuación f(x) = O y la determinación del punto de la gráfica que tiene ordenada igual a f(0); b) La ecuación f(x) = a , donde CL es un número real dado; c) La inecuación f(x)>b, donde b es un número real dado; d) La inecuación f(x) 5 A, donde A es un número real dado. Utiliza las conclusiones obtenidas a los fines de resolver gráficamente las siguientes ecuaciones o inecuaciones: 1) f(x) = -1; 2) f(x) 5 2; 3) f(x) > 3; 4) f(x) = 7, donde f es la función cuya represen- tación gráfica es la siguiente:

i Y

X

18. La población mundial en el año de 1961 era de 3060x10~ habitantes. Sabiendo que la tasa de crecimiento de la población mundial, expresada en porcentaje, aumentó en una razón de aproximadamente 2% anual en la década 1961-1971: a) 'Cuál era, aproximadamente, la población mundial en el año 1971? b) Si suponemos que esa tasa de crecimiento del 2% anual se mantuvo en el período

1971-1992, ¿cuál era la población mundial para el alio 1994? (compara el número obtenido con'el suministrado en la Conferencia Internacional sobre Población de la ONU celebrada en El Cairo (septiembre de 1994) el cual es 5670 millones de habitantes; Fuente: El Nacional,'09/09/94; p. c14).

JC

JC

JC

-

'De que manera p~edes reso~ver grafxamente las nles ecuaciones. obteniendo * 1 Igi valores aproximaoos oe as raices oe las m smas S = 2 8 , o) ~ n x = -x2 ¿Cómo generalizas tus resultados para resolver gráficam nte una ecuación de la forma f(x) = h(x) donde f y h son funciones~ 1

ANTES DE CONTINUAR CON EL TEMA SI1 ;UIENTE, TE INVITAMOS A ESCUCHAR UN AUDIOC WSETTE Y A TRABAJAR CON SU CORRESPONDIE ITE GUlA DE ACTIVIDADES EN RELACION CON EL TEMA DE FUNCIONES.

5.5 ÁLGEBRA DE FUNCIONES. COMPOSICIÓN FUNCIONES INYECTIVAS, FUNCIÓN INVERSA

En el conjunto de los números reales se definieron dos op básicas, la adición y la multiplicación, y a partir de ellas se definen otras dos y la división.

Tambibn en el conjunto de las funciones reales se puede definir operaciones, esto es, diversas maneras de como combinamos dos funciones a los fin S de obtener otra función. Se definen dos operaciones básicas con las funciones: 1

V La adición o suma f+g de dos funciones f y

4 La multiplicación o producto f . g de dos funcio es f y g. 4 1 y a partir de estas. o directamente. se pueden definir I 1 $ La sustracción o resta f - g de dos funciones f 4 g

1 + La división o cociente flq de dos funciones f y d para los valores de x tales

Además de esas operaciones se define otra operación denominada composición de funciones, y con la ayuda de esta última de una función dada; en el caso de que dicha función imponer cierta condición a la función f , la de ser función

ADICIÓN, MULTIPLICACIÓN, SUSTRACCIÓN Y DIVISIÓN E FUNCIONES 1 Una funci6n f se puede combinar con otra función g media te las operaciones aritmeticas

de suma, producto, resta y cociente para formar otras

I La suma f+g el producto fg la resta f -g Y el cociente flg I 1 las que definimos a continuación: 1

Definición 5.3 (Operaciones aritméticas sobre las funciones)

1 Sean f y g funciones definidas en el conjunto D c R [Y

I Definimos las siguientes funciones: I FUNCIÓN SUMA

f+g

Es la función que a todo x E D le Es la función que a todo x E D le asocia el número que se obtiene asocia el número que se obtiene al sumar los valores al restar los valores f(x) y g(x), f(x) y g(x), es decir: es decir:

FuNCIÓN PRODUCTO fg

Adición y sustracción de funciones.

FUNCIÓN COCIENTE f/g I

Ejemplos 5.5.1 I

1 Es la funcidn que a todo x E D le Es la función que a todo x E D le asocia el número que se obtiene asocia el número que se obt~ene a l multiplicar los valores f(x) y al dividir los valores f(x) y g(x), g(x), es decir: siempre que g(x)#O, es decir:

(fgJ(x) = f (x) g (x). f(x) . •

ff/g)(x) = g(xJ

1. Consideremos las funciones f: R+ R y g: R -t R, definidas mediante I

Multiplicación Y ~~~~~~~ de fUn-

EI dominio de la funcidn flg ex- cluye 10s valores de x tales que g(x) = 0.

2 f (x) = x +x-2, g (x) = 3x-6

Encuentra las funciones f + g, f - g, fg y flg.

A Se tiene:

(f+g) (x) = f(x)+g (x) = (x2+x-2) + (3x-6) = x2+4x-8

(f-g) (x) = f(x) - g (x) = (x2+x-2) - (3x-6) = x2-2x+4

(fg) (x) = f(x) g (x) = (x2+x-2) (3x-6) = 3x3-3x2-12x+12

O ~ S ~ N ~ ~ O S que el dominio de las funciones f+g, f-g, fg es el conjunto R y el dominio de la función flg es R- {2}. 1

1'1 Más general es lo siguiente: a) El dominio de las funciones suma f+g, diferencia f-g y producto fg es la intersección del dominio de f con el dominio de g; b) El dominio de la función cociente flg es la intersección de los dominio de f y g sin incluir los números x tales que g(x) = 0, esto es,

f fIX) - (X) = - S' 1 g(x)#o. 9

139

ea c E R un número real dado y consideremos la fut g: X + R, entonces la función producto fg: X -t R f(x) g(x) = cg(x) y se denomina el producto de la funcidn denota mediante cg, es decir: (cg) (x) = cg (x). La gráfica de la función cg se obtiene a partir de la gráfica multiplicar la ordenada de cada punto de esta última por el

ción constante f(x) = c. Si :stá definida por (fg) (x) = 7 por el número real c y se

de la función g sin más que número c:

y fy

-,-- - -.-.-- x -.- --- X I O 2 S T i o - 1 2

2

-3

4

g(x) = 2 ~ - 2 3g(x) = 3(2~-2) = 6~ - 6

- -3--r- - -

2

- --- r $ 7 h: , x 0 H , x2 ,YX paX

(-2) : X H -2x2 I

Si en el ejemplo (2) anterior tomamos c=-1 , entonces la fu ición (-1)g definida mediante [(-l)g](x) = (-1) g(x) = -g(x) se denomina la funcidn opuea ta de g y se denota por -9; luego, (-g)(x) = -g(x). La gráfica de la función -g es la simétrica de la gráfica de a función g respecto del eje OX, como se muestra en los siguientes dibujos:


1. Si f(x) = x2+x-3 y g(x) = 2/(x-l), calcula:

a) (f-g)(3); b) (gf) (2); C f - ; d) (g13f)(0); e) (2f+4g)(-2)

2. Si tenemos una función f: X + R y un número natural n>l entonces la potencia n-ésima de f es la función que resulta de multiplicar f por si misma n veces, es decir

la funcibn XH [f(x)In.

Dadas las funciones definidas por: G (x) = ( ~ ~ - 2 x + l ) / ( x + l ) ~ I F (t) = 3e'-'+(t-1)~,

escribelas en la forma siguiente:

G (x) = f ( ~ ) l [ h ( x ) ] ~

F (t) = m (t) e"') + [p(t)I3

con ciertas funciones f, h, m, k y p que debes encontrar

3. Determina las funciones f+g, g-f, fg, ( fg )f, glf, 2f-4g, sabiendo que f(x) = x-1, g(x) = xl(x+l).

4. a) Sabiendo que el dominio de la función producto fg (resp. de la funcibn cociente flg) es igual a Dom(f) n Dom(g) (resp. Dom(f) n Dom(g) excepto los valores x tales que g(x) =O), determina el dominio de las siguientes funciones:

l ) h ( x ) = =m; 2) H (x) = ,/El ,/a ;

3) f (t) = =/m ; 4) G (u) = J ; I ? / f i .

b) Determina el dominio de la funci6n F(x) = utilizando lo encontrado

a>O, b - 0 ,Jab= a s o , b 5 0 a&=

creciente en D.

entonces la función producto fg es creciente en D.

2 . . 8. A partir de la gráfica de la función y = x , dibuja la gráfica de la función h(x) = (x-4)'/ 2 en el intervalo [-1,5].

9. Explica cómo harías para dibujar la gráfica de la función f(t) = a+ b ( t + ~ ) ~ a partir de la gráfica de la función y = t3, sabiendo que a, b, c son números dados no nulos

10. La función f está dada por su gráfica dibujada a continuación,

Dibuja, aproximadamente, la gráfica de la función

h(x) = x2f(x), XE[-0,5, 21.

11. La gráfica dada a continuación representa la función de Costo TotalCT (en miles de Bs.) para la producción de Q objetos de un bien.

CT f (en miles de 6s.)

a) Calcula el Costo Fijo, esto es el Costo Total cuando la producción es nula. b) ¿A partir de que cantidad Qo de objetos producidos, el creciniiento del Costo Total es

proporcional a la cantidad producida y cuál es la función CT para Q ~ [Q~,5000]? c) Si el Costo Medio Unitario de la producción de Q objetos se define como el Costo

Total entre Q, 'Cuál es este Costo Medio Unitario para la prciducción de 500 objetos y para la producción de 3000 objetos.

d) Utilizando una tabla de valores, haz la representación gráfica del Costo Medio Unitario.

La naítalina se utiliza para ahu- yentar las poli- llas en los arma- rios, baúles y cajones.

El slmbolo "o" es el utilizado para esta opera- ción de compo- slción con las funciones.

Antes de proceder a definir la composición de dos nes f y g, presentamos dos ejemplos que motivarán la definición que luego daremos.

* Si consideramos una pastilla de naftalina de ésta va disminuyendo SU volumen Vcomo consecuencia de la tanto V depende del radio R, que también va disminuyendo, del tiempo t que transcurre a medida que la pastilla se por V = V (R) al volumen en función del radio tiempo t, al sustituir R = R (t) en V= función de la variable t. Esto es, como de t, entonces V depende de t. 1

* Consideremos las funciones I y determinemos qué sucede cuando aplicamos la nción g sobre los elementos del rango de f, es decir, cuando g se aplica sobre S elementos de la forma f (x). El resultado de aplicar g sobre el elemento f (x), enotado mediante g(f (x)), se determina asl: t

I lo que nos permite definir la función h mediante I

I es decir h(x) = g(f(x)). I

Lo anterior origina la siguiente definición que es otra la composición de funciones.

Definición 5.4 (Composición de funciones)

Cons~deremos dos funciones

F X d Y

La composlci6n de f seguida de g, de

gof: X - definida mediante (g00 (x) = g (f(x)) para todo x E X. gof se lee g compuesta con f o f s

1 Observemos que al calcular la imagen (g09(x) de un

ra de combinar dos funciones,

' ---+z. t por goí, es la función:

!nto x E X mediante la función

. función compuesta gd, primero calculamos f(x)eY (la imagen de x mediante f) y a I este elemento del conjunto Y le calculamos su imagen mediante la función g, esto es,

g ( f ( x ) )~ Z. Esto se ilustra en el siguiente gráfico:

o bien,

X H f(x) H g(f(X)) = (gof)(X).

L T ---------------------------

Además de los dos ejemplos introductorios, damos los siguientes:

Ejemplos 5.5.2 I l. Dadas las funciones f: R+ R y g: R + R definidas por f (x) = 2x+1, g (x) = 3eX,

determina las funciones compuestas g.f y f.g.

A Se tiene. (gd) (x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3eZX+', lo que podemos visualizar de la forma siguiente:

Ahora determinamos la función compuesta fog:

( f~g) (x) = f (g(x)) = f (3eX) = 2 (3eX)+1 = 6eX + 1,

lo que visualizamos de la forma siguiente:

Siy=f(x)=ix+l , entonces

g ( f (~ ) ) = 9 (Y) =

Si u=g(x) = 3ex, entonces f(g(x)) = f(u) = 2u + l = 2(3ex) + 1 = SeX+ l.

~écuerda la propiedad analoga con la suma y el producto de nú- meros.

y podemos obse~ar que g (f(x))#f (g(x)), es decir g ~ f # f ~ ( , de donde concluimos que, en general. la composición de funciones no es conmuta tiva 1

2. Si H (x) = x2-1 y consideramos las funciones del ejempi )anterior, determina la función Ho(f0g).

A En este ejemplo estamos componiendo tres funciones f, g y H. Del ejemplo anterior sabemos que (f~g) (x) = 6eX+ 1, luego

y por lo tanto

X m 36eZx+ 12ex .

Si ahora calculamos la función Hof y luego (H~f).,g, result

Hd: x H 4x2+4x, (Hof)~g: x H 36eZX + 12eX es decir,

Luego, (H0(fog) (x) = ((H090g) (x).

1 La conclusión obtenida en este ejemplo es válida de mhnera general: si f,g,H son tres funciones que se pueden componer para obtener las f nciones Ho(foG) y (Hof)~g, 1 entonces se verifica que Ho(foG) = ( H & g (propiedad 4 ocialha de la composición

I de funciones). Por tal razón, en la práctica a esta fun ión compuesta la denotamos mediante Hof~g sin importarnos la forma como asociem s. I I

3. La mayor parte de las funciones que trabajamos en la resultan de combinar las funciones elementales (estudiadas en 5.3) mediante de adición, sus- tracción, multiplicación, división y la composición. La "compli- cadas" que se trabajan en "Cálculo" resultan de

Así, por ejemplo, si tenemos la función dada por. h(x) = podemos considerar las siguientes funciones:

f: X H X* ; g:X H - X Cl X H &

FUNC16N FUNCIÓN FUNCI~N RAIZ CUADRADO "OPUESTO CUADRADA

DE X CONSTAN

IDENTIDA

y la función h se obtiene como composición h = q O p O g O f, ya que

lo que también podemos calcular como sigue: l

m,m, y la operación de adición

Cuando queremos calcular valores de una tal función h mediante una calculadora cientifica, lo que se hace es una descomposición de h usando las funciones f, g, p y q puesto que la calculadora tiene las funciones

Dom (h)=[-I,I].


Efectivamente, si queremos calcular h(a) para un valor a E[-1,1], tenemos la siguiente secuencia de teclas que pulsamos en la calculadora:

1. Dadas las funciones f, g y h, definidas mediante: f(x) = x2 + 1, g(x) = 3x + 3,

h(x) = a calcula: a) Las funciones fog, go(h+f), ho(fog), 2f o 3g o h.

b) Los valores f(g(l)), h(f(g(-l)), ih(f(-1)) + f(g(O))l lígoh) (2)l.

laz=l+( -2) .

2: a) Dadas las funciones f, g y F definidas en el intervalo (O, m ) mediante f(x) = I lx , 1 g(x) =& , F(x) = Lnx determina: a) fog y gof. b) goF y Fog

3. ¿Cómo se obtienen las funciones?

Recuerda las gráficas trasladadas.

x H f(x-c); x H f(x+c); x H f(x)+c; x H f(x)-c a partir de la función f, siendo c>O un número dado.

4. Dadas las funciones definidas por: F(x) = 4x2-2, f(x) = x-2, g(x) = 2x y h(x) = x2, ¿de que manera puedes obtener F como compuesta de las funciones f, g, h en un cierto orden? ¿Cómo utilizas esa descomposición para calcular valores F(a) usando una calculadora científica?

5. Expresa la función dada por: f(x) = ~n(3x'-5) como la compuesta de dos funciones y de dos maneras distintas.

6. Considera una cuerda con longitud variable de x metros la cual enrollamos en forma de circunferencia. Determina el área A = A(x) del clrculo. de borde esa circunferencia, expresada como una función compuesta.

7. Consideremos la func16n defintda por G(t) = Ln(1 + ). Obten G como una ompo- sición de cinco funciones y aprovechar esto a los dar una secuencia de instrucciones en una calculadora cientlfica que te vdlores G(a); y luego determina los valores G(0,5) y G(-0,25).

8. Supongamos que el dominio de la función f es el inte a) ¿De qué manera puedes escribir la función g x H f una función compuesta

de dos funciones? b) ¿Cuál es el dominio de la función g?

En el tema 5.4, al estudiar las propiedades de denominadas propiedades de inyectividad, sobreyectividad de esta Unidad al considerar la función inversa de

Presentamos dos ejemplos que motivarán las

V Sea f: R+ R definida por f(x) = x2+1. Se tiene: - Dom (f) = R. - Rg (9 = 11, m ), por lo tanto, no todas

las rectas horizontales cortan a la gráfica de f. Únicamente las rectas horizontales

gráfica de f. - La función f es par, luego, su

gráfica es simétrica respecto del eje OY. Por lo tanto, las rectas horizontales y = e,

V Si y = x2+1, al despejar x obtenemos

x = + m - es decir, resultan dos funciones

Denotemos estas funciones por g y h,

respectivamente, es decir: g(y) =m, h (Y) = - m .l* l Calculemos

(gof)(x)= g (x2+1) = d G i = @ = (4

Si y = x + 1, al despejar x obtenemos x = y-1 es decir, la función y ++y - 1 que denotamos por G, esto es G(y) = y-l. 1-1

Calculemos las siguientes funciones compuestas:

(GoF) (x) = G(x+l) = (x+l) -1 = x

(FoG) (y) = F(y-1) = (y-1) + l = y y por lo tanto GoF = l d y también FoG = id, donde Id es la función identidad (t H t ) . I

(fog)(y)=f (,/Fi)=iJy-1)2+1=~,~~r lo tanto fog = Id, donde Id denota la función identidad (t H t).

(hof)(x)=h(x2+1)= - f i = -6= -Ix/

( f ~ h ) ( ~ ) = f ( - m ) = ( m ) ' + l = y

y por lo tanto foh = Id. 8

Estos dos ejemplos nos revelan lo siguiente:

C Hay funciones tales que, dos o más elementos distintos del dominio pueden tener la misma imagen. Esto significa geométricamente que hay rectas horizontales que cortan a la gráfica de dichas funciones en dos o mAs puntos (f: R-+ R definida por f(x) = x2+1). Hay funciones tales que, a dos elementos distintos del dominio corresponden imágenes diferentes y por lo tanto, si una recta horizontal corta a la gráfica de una tal función entonces la corta en un sólo punto (F: R+ R definida por F(x) = x+l).

C Hay funciones F: X+ Y cuyo rango es todo el conjunto Y (F: R-t R definida por F(x) = x+l, Rg(f) = R) y otras funciones f: X + Y cuyo rango no es igual a todo el conjunto Y (f: R-t R definida por f(x) = x2+1, Rg(9 = [ l , co) c R).

C Hay funciones y = H(x) tales que, al despejar x en términos de la variable y se obtiene más de una función, y otras en las que se obtiene una única función. Si F: X + Y es una función tal que al despejar x en términos de y se obtiene una única función G: Y -+ X satisfaciendo las dos propiedades siguientes

- X . Y

L GoF = Id G(F (x) ) = x para todo x EX,

i"1 En la práctica, a la variable y la volvemos a denotar por x. Por lo tanto, las funciones g, h. G se denotan

mediante g (x) = 6, h(x) =-G, G (x) = x-l. Recuerda que tambibn podemos utilizar otras letras en lugar de x, como t, y así tendríamos

g(t) = i/I-; ,........., G(t) = t-l.

lo que ilustramos como sigue,

Sea f X -t Y una funcibn.

F U N C I ~ N INYECTIVA NCldN SOBREYECTIVA

tlva o "uno a

Tamblen se dice tintas en Y mediante f

cualesquiera x l , x2 E X tales que a f es una "sobre- x l f x 2 , entonces f(xl)+f(x2).

Tambi6n se dice I

va si y sblo si es f

OBSERVACIÓN: Las definiciones anteriores son validas cualesquiera que sean los conjuntos no vacios X, Y sin necesidad de ser subconjuntos de R. Aunque en esta Unidad nos estamos refiriendo esencialmente a funciones reales, es conveniente ilustrar esas definiciones de forma general, tal como lo hacemos con lossiguientes diagramas en que los puntos de la izquierda (resp. de la derecha) indican los elementos de X (resp. de Y):

Esta función de X = {x l . x2 , x3 , xq } Esta función de X = { x, , x, , x3 } en

en Y =(y, ,y2, y3} no es inyectiva Y = ( Y, . Y ~ . YJ , Y$) es inyectiva Y pero si es sobreyectiva. no es sobreyectiva.

Esta función de X = (xq , x 2 , x3 ) Esta función de X = {xl , xi , x3 , x4 ) en Y = (Y, , y2 . ~ 3 , ~ 4 ) no es ni en Y = ( y1 , y i , y3, y4 ) es biyectiva. inyectiva ni sobreyectiva.

I

Definición 5.6 (Función inversa)

Consideremos una función f X + Y Una func~ón g Y + X es la función

inversa de f si se verifica

g(f(x)) = x para todo x X,

f(g(y)) = y para todo y t Y,

es decir, gof y fog son las funciones identidad '"1.

La función inversa de f se denota por f -l. luego:

f -'(f(x)) = x (x E X), f(f -'(y)) = y (y Y). +

Revisa el ejemplo de los médi- cos y l o s pa- c ientes dado después de la def inc ión 4.3 (Unidad 4).

V I Si S es un conjunto, la función que a cada elemento x t S asocia el mismo elemento x se denomina la

FUNCIÓN IDENTIDAD DEL CONJUNTO S y se dei.!ota mediante Ids. Por lo tanto, Id$: S + S se define mediante Ids(x) = x para todo x S.

Las dos igualdades que definen a g: Y +X como la función inversa de t X 4 Y son

g.f = Id,. x tf f(x) tf g(f(x)) = x, x E X, fog Idy, Y M gíy) t+ f(g(y)) = Y , Y e y.

151

I Esa definición se ilustra en el diagrama siguiente

y a grosso modo podemos decir que si componemos una orden u otro) obtenemos dos funciones que no cambian los de X y de Y)i'l

¿Qué condiciones debe satisfacer la función f: X->Y para que exista la función inversa g: Y -> X?

I La respuesta a esta pregunta es I

f tiene inversa si y sólo s i es biyectiva.

Si la función f: X+Y es biyectiva, entonces existe la función inversa f -': Y + X de f. Recíprocamente, si existe la inversa de f, entonces f es biyectiva.

Ejemplos 5.5.3

I 1. a) En el cuarto diagrama de la 0bSe~ación anterlor

1 Se trata de una funciói

f: {xl , X2 , X3 3 X4 1 -) y por lo tanto tiene funs

f-l :(Y, , Y2 8 Y3, Y4 definida por

x'+ - .Y4 f-l (Yl) = X3, f -1

f-l ( ~ 3 ) = X2, f-1

b) Sean F: R+R y G: R- t R las funciones definic Se tiene: G(F(x)) = x, F(G(x)) = x para todo XER; poi de F (G = F.') o bien F es la función inversa de '2

I I*I Si g es la función inversa de f, entonces f es la función inversa dc

Observa que esto es an61ogo a la propiedad de los números; si el ni aeR (b = a.' = lla; a f O) entonces a es el inverso de b (a = b.' =

inción con su inversa (en un lores (las funciones identidad

~iyectiva

Y1 8 Y2 > Y3 i Y4 ) >n inversa

S por F(x) = x+l, G(x) = x- l . 1 tanto G es la función Inversa F = G-?).

1: g=f .' - f = g .', es decir (f.').' =f . iero b t R es el inverso del número lb), es decir (a") .' = a.

c) Consideremos la función f: R+ R definida por f(x) = x3. Demostremos que f es biyectiva. En primer lugar vemos que f es inyectiva, pues x1l ix2 implica xI3r xZ3, es

decir x l t x:! 3 f(x1 ) f f(x2). En segundo lugar veamos que f es sobreyectiva: consideremos un numero cualquiera beR y necesitamos encontrar x t R tal que

f(x) = b, es decir x3 = b, lo cual se verifica para x = iib F R . En consecuencia, la función f es biyectiva y por lo tanto tiene función inversa.

¿Cómo determinamos la función inversa f.' de f ? 19 Mediante la siguiente regla práctica l

Si una función dada por: y=f(x) tiene inversa 1 definida por: x=g(y), esta se encuentra despejando x en y=f(x).

3 Si y=f(x) = x3, entonces debemos encontrar x=g(y) despejando a x c' y=x , lo que

resulta x = 6. Luego. la función inversa f -': R+ R de f está definida por f -'(y) = $

Nota: Es costumbre en la función inversa x=f .'(y) redenominar las variables, esto es, a la variable independiente se le denota de nuevo como x y a la variable dependiente se le vuelve a denotar y. Con este convenio, la función inversa de f(x) = x3 se denota / mediante f-'(x) =y; 1'1. I 1

2. Prueba de la recta horizontal para saber si una función es inyectiva. Dada una función real dada por: y = f(x) de dominio el conjunto X ( X c R ) y una recta horizontal L de ecuación y=c (c constante), entonces dicha recta puede cortar o no cortar a la gráfica de f. Si la función f es inyectiva, entonces L corta a la gráfica de f a lo sumo en un punto. Además, si toda recta horizontal que corte a la gráfica de f lo hace a lo mas en un punto, entonces la función f es inyectiva. recta vertical

Por lo tanto, si alguna recta horizontal corta a la gráfica de f en mas de un punto, entonces f no es inyectiva. o IPO es .la

i : La recta L corta a la gráfica de f en mas de un Cualquier recta L paralela al eje OX corta a la punto, luego f no es inyectiva. Observa que gráfica de F a lo mas en un punto, luego F es

f(x,)=fíx,) Y que x, t x,. Domif)=[a.bI, RgíO=[a , P l. inyectiva. Dom(F)=(a,b], Rg(F)=[a . p],

f: [a, bl -> 1 cr , D 1 no es biyectiva. F: [a, b] -t ( u , (3 ] es biyectiva. I

1'1 Otra regla práctica para encontrar la inversa g de f es la siguiente: se escribe la ecuación f(g(x))=x , utilizando la expresión de f se encuentra g. Por ejemplo, si f (x )=x3, setiene: f(g(x))=x a tg(x)l3 =

La función f no es biyectiva. Observe que la grtifica simetrica de f respecto de la diagonal principal no es una función.

4. Sabiendo que la función f: (0,w) -t (1,m) definida por f(x) = ex + 1 es biyectiva, determina su función inversa.

A Sea y = ex + 1, entonces:

y-1 = ex* Ln(y-1) = Ln(ex) = x(Lne) = x.1 = x, por lo tanto la función inversa f -' : (1 ,m ) -, (0,m) de f está definida por

f -l (x) = Ln (x-1).

Comprueba que f(f -'(x)) = x y f -' (f(x)) = x. I


1. Analiza cada una de las siguientes representaciones gráficas e indica si las funciones 1 correspondientes son inyect vas, sobreyectivas, b yec&as o no tienen ninguna de estas caracteristicas y cudles de ellas tienen función inversa:

e) H: R+ R, H(u) = 1-u

-2 ' si -4 5 x < -2

4 si 4 < x < 6

entonces f es sobreyectiva.

*

3. A continuación damos varias funciones f: X -> Y donde X, Y son subconjuntos de R. Decide cuáles de ellas son biyectivas y cuáles no lo son y determina la inversa de las que son biyectivas:

a) f: N + N definida por f(n) = 2n.

b) f: Z+ N definida por f(m) = m2.

c) f: R+ R definida por f(x) = k (k constante). 2 d) F R + [O,m) definida por f(x) = x

2 e) f: [O,m)+ [O,m) definida por f(x) = x .

i 4. a) Dibuja la gráfica de la función f 'l sabiendo que la gráfica de f es la siguiente

I

b) Dibuja la gráfica de f sabiendo que la gráfica de f -' es la siguiente

5. a) Si f . R + R está definida mediante f(x) = ( ~ + a ) ~ + b, siendo a y b constantes, determina la función inversa de f.

b) Si g: [-1 ,a) + [O,m) está definida por g(x) =a , determina la función inversa de g.

Dibuja la gráfica de g a partir de la gráfica de la función x +& y luego dibuja la gráfica de g-l

6. Sea f: J -t R una función creciente definida en un intervalo J. Demuestra que f es inyectiva. (Análogamente si f es decreciente).

7. Sea f: X+ Y Demuestra que f es inyectiva si y sólo si satisface la siguiente propiedad: si x l , x2 E X entonces la igualdad f(xl) = f(x2) implica la igualdad x l = x2.

(Esta proposición se utiliza frecuentemente para demostrar SI una función es o no inyecfiva).

H(t) = arcsen (m)+ 2

Calcula H(2,5) y H(3)

Sugerencia: En las caluladoras, al trabajar con es tr~gonométricas hay que

l

TIEMPO ESTIMADO: 3 horas a INSTRUCCIONES: En esta autoevaluación encuentras preguntas de dos tipos: "selección simple"

o y 'desarrollo". Intenta responder todas las preguntas sin buscar las soluciones que se dan al finalizar los enunciados de las mismas.

PARTE 1

En los siguientes enunciados selecciona la alternativa correcta y da alguna explicación breve que justifique tu respuesta.

1. La distancia que hay entre la Habana y México medida en línea recta y el tiempo minimo de vuelo que tarda un avión en recorrer la distancia que separa a esas dos ciudades que viaja con una rapidez promedio de 800 kmlh es, respectivamente (cálculos redondeados):

a) 800 km y 2 h 13 min. b) 1772,73 km y 2 h 13 min. c) 2000 km y 3 h. d) 1472,73 km y 2 h 35 min.

2. La ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,5) y (-1,4) y la inclinación a de la misma son, respectivamente:

3. Si al comprar un articulo nos dan el 15% de descuento y pagamos Bs. 20060,oo entonces el precio orig~nal del artículo, esto es, el precio sin el descuento que nos hicieron es igual a:

a) Bs. 23600,oo. b) Bs. 20000,00.

C) BS. 24600,00. d) Bs. 24000,00.

PARTE 11

l. Si aumentamos la altura de un cono circular recto en un 20% y disminuimos el radio de la base en el mismo porcentaje, ¿se modifica el volumen de ese cono? En caso de que si se modifique, ¿en que porcentaje cambia el volumen?

2. Consideremos la función f: R+R definida por f(x) = x2-2x+3. a) Determina tres funciones F, G, H tales que f = FoG + H. b) Dibuja la gráfica de f a partir de la gráfica de una función que conoces,

3. a) Sabiendo que la función h: [-3,3]+R es par y que una parte de su gráfica es la dibujada a continuación,

completa la gráfica de h

b) Si ahora suponemos que h está definida en todo R y además que es periódica con periodo 6, dibuja su gráfica en el intervalo [1,7].

4. El siguiente dibujo es la gráfica de una función f definida en el intervalo [-4,8),

Deduce de dicha gráfica al menos seis propiedades de la función f

5. . Determina el dominio, el rango y la función inversa de la función f . definida por f(x) = Ln (x+2).Dibuja la gráfica de f y la de f- ' .

PARTE 1

1. La respuesta correcta es la (b) Si en la escala gráfica medimos lo correspondiente a I( si medimos en linea recta la distancia de La Habana luego

1, lcm 500km resultand 3,9cm 7 (3,9)500 /

Por otra parte,

500 km, se obtiene 1,lcm y México se obtiene 3,9 cm,

00 2,22 h = 2 h 13 min

2. La respuesta correcta es la (c) Con una calculadora obt 26' 34' (Dfbuja la recta) I

3. La respuesta correcta es la (a) Si Bs x es el precio original del articulo, se tiene x - ( 20060 =1 0,85x = 20060 =1 x = 20060/0,85 = 23600.

4. La respuesta correcta es la (d) (FoG) (x) = F(G(x)) = ~(2 ' ) = (2x)2 = 2' 2' = 2" 1

5. La respuesta correcta es la (d).

Esto se obtiene por qué la gráfica de f(t) = .\/t + 1 es I

unidad de la gráfica de la funci6n g definida por g(t) =

También puede deducirse del hecho de que (a) y (b) ba de la recta vertical) y en (c) se tiene el punto (-1 ,O) f pues -1eDom(f) I

5 6. La respuesta correcta es la (b), g(x) = --- - 2

3x + 4

les a = arctg (03) 26,57' e

trasladada hacia arriba en una

o representan funciones (prue- lue no pertenece a la gráfica de

PARTE 11

1 1. V =- n h R' siendo h y R, respectivamente, la altura y el radio de la base del cono

3

La altura h pasa a ser h' = h + (20% de h) = h+0,20 h = 1,20 h El radio R pasa a ser R' = R - (20% de R) = R-0,20R = 0,80R

En consecuencia el volumen V pasa a ser

V' = es decir, el 76,8% de V y por lo tanto el volumen disminuyó en 23,2%

Nota: La razón de esta disminución en el volumen es por que V es lineal en h pero es cuadrática en R. I

2. Observemos que f(x) = x2-2x+3 = (x-1)' + 2 (lo que se obtiene por cornpletación de cuadrados). a) Definimos las funciones F, G y H mediante

F(x) = x2, G(x) = x-1, H(x) = 2 y resulta fácil comprobar que f = FoG + H.

b) La gráfica de f resulta de trasladar la gráfica de F en una unidad hacia la derecha y luego trasladar la gráfica resultante en dos unidades hacia arriba:

y= ,x- 1,. + 2

3. a) La gráfica de h es

b) La gráfica de h en el intervalo [1,7] es

a) Dom(f) = [-4,8), Rg(f) = (-2,4] b) f no es inyectiva

Si consideramos f con valores en (-2,4], es decir, es sobreyectiva. f no tiene función inversa pues no es biyectlva.

c) f no es par ni es impar. d) Signo de la función.

f: [-4,8) + (-2,4], entonces f

x E [-4,-3) U (73 ; 8) f(x)<O x E (-3 , 7,5) 3 f(x)>O.

e) f es creciente en los intervalos 1-4 , -1,5] y [1,3] f es decreciente en el intervalo [5,8) f es constante en los intervalos [-1,5 ; l ] y [3,5], ve

X E [-1,5; 11 ;J f(x)= 1,5 x E [3,5] S f(x) = 4.

fichndose que:

f) También es fácil determinar la expresión de f(x) en el ntervalo [-4 ; -1,5] puesto que al11 la gráfica es un segmento de recta que pasa por lo puntos (-4, -1) y (-1,5 ; 1,5), luego

f(x)=x+3 si - 45x5 -1 ,5

Únicamente en el intervalo [1,3] no conocemos la ex esión de f(x).

g) El mayor valor que toma la función f es 4 que se al nza para cualquier x en el intervalo [3,5] donde f es constante (4 es el "máxi o" valor de f). f no toma un menor valor que todos los demás. Ob rvemos que 8 e: Dom(f) y por lo tanto -2 e Rg(f) (se dice que f no tiene un valor" inimo" en [-4,8)) 1

Dom (f) = {xeR: x+2>0) = (-2,m) ; Rg (f) = (-ml m) = R

Consideremos f: (-2,m) + R y determinemos la funció inversa f " de f.

y = Ln (x+2) =1 eY = x+2 3 x = e - 2

por lo tanto, la función f.'. R + (-2,m) está definida po f" (y) = eY - 2. Recordemos que es costumbre redenominar lasvariabl y por lo tanto la función f-' se

X expresa mediante fS'(x) = e - 2. También se puede encontrar la funci6n inversa g = f-' omo sigue:

f(g(x)) = x =, Ln(g(x)+2) = x S g(x) 2 = ex 164

y por lo tanto g (x) = ex - 2

i '

Gráfica de la funci6n h (x) = Lnx. xzO, Gráfica de la función f (x) = Ln(x+2) = h(x+2). x>-2 obtenida a partir de la gráfica de h por traslación en dos unidades hacia la izauierda.

Gráfica de f.' obtenida de la de f por simetna respecto a la recta y = x I

UNIDAD 6

Oiras .Tepreseniacimes Sr@cas

Objetivos e Ij Xepresenfar dafos ufiLzmdo A h r e n f e ~

qra,/(rcas

O Xesoher pro6hmas rehcionados con h noción de ese&.

Esta unidad se divide en dos partes: la primera versará sobre algunas representaciones gráficas que no fueron discutidas en unidades precedentes de este módulo, y la segunda sobre escalas numéricas de uso común en los textos técnicos, algunas de ellas distintas a las que tradicionalmente usamos.

Con respecto a las representaciones gráficas que mostraremos en esta unidad, éstas son de importancia capital en estudios estadísticos, y es por eso que consideramos colocarlas aquí, a pesar que las verá de nuevo en cursos posteriores. Su importancia radica en el invalorable aporte que brindan en los estudios que se basan en la representación de datos.

Es de hacer notar, desde ahora, que los métodos de graficación y la posterior interpretación de los dibujos, no son definitorios en el estudio que se lleve a cabo. en el sentido que un gráfico - no es definitivo para tomar decisiones. I 6.2 REPRESENTACIONES GRAFICAS: DIAGRAMAS DE BARRAS,

DE L~NEAS, TORTAS Y PICTOGRAMAS

En esta parte de la unidad nos dedicaremos a presentar las distintas maneras con las cuales podemos hacer representaciones gráficas de datos; presentaremos algunos métodos distintos a los expuestos en unidades precedentes de este módulo.

Acontinuación mostraremos una tabla en la que se han agrupado ciertos datos, y distintas maneras de representación sin dar, por ahora. ninguna explicación de cómo se elaboraron tales gráficos pues, este será nuestro trabajo en lo sucesivo.

Ejemplo 6.2.1

Los números en la siguiente tabla corresponden a las puntuaciones logradas por 903 hombres y 547 mujeres en la prueba de aptitud académica del C.N.U.

INTERVALO DE PUNTUACIONES

( 1 20 PTOS ) 11 - 12 10 -11

9 - 1 0 8 - 9 7 - 8 6 - 7 5 - 6 4 - 5 3 - 4

HOMBRES

1 27 63

138 174 202 171

96 25

MUJERES

4 28 56 85

117 128 86 32 9

TOTALES

1 TOTAL: 1450 1 903 547

GRAFJCA EN FORMA DE COLUMNA AGRUPADA

GRAFICA EN FORMA DE SUPERFICIE SUBDIVIDIDA W

2W

1M

im

140

120

1w

m

80

K,

20

o I Z 4 5 8 7 o S e 11 12

Como se puede ver, si disponemos sólo de los datos tabulados, cualquier estudio de ellos nos conducirá a hacer comparaciones entre clasificaciones (puntuaciones y sexo) que podrían ser muy engorrosas, sin la ayuda de algunos de los gráficos mostrados en páginas anteriores. I

............................

A fin de dar una idea más concreta del tema de interés en esta unidad y de comprender mejor los gráficos anteriores. daremos a continuación algunas definiciones.

Definición 6.1 (Dato) Un Dato es un valor observado, o una medición de una variable en proceso de estudio. 6

Por lo general, denot'aremos mediante una consonante en mayúscula a la variable, y con la misma consonante en minúscula, y con subindice, a los valores que observemos de ella. Esta definición se da en el marco de lo que estamos hablando ya que, fuera de él, cambia totalmente.

: Denotamos por X el del estudiante en alguno de los intervalos de calific

atos resultantes para X son:

x l = 27 hombres xz = 28 mujeres

9 ¿Podríamos definir m6s de una variable? m ¿La calificación sería una variable?

xactos sino mAs bien, aproximaciones al valor real.

y simplemente incluimos la

intervalos en los cuales podemos incluir sus mediciones.

comunicaciones, etc.

l de las variables continuas

1 o, si se usara un cronómetro 1

1

172

Ejemplos 6.3.1 I 1. El número de hijos de una persona puede ser 0, 1, 2, ... pero por supuesto, no pueden

haber 3 2 5 hijos. La variable número de hijos no puede tomar valores entre dos enteros, así que es una variable discreta. I

2. El peso (en kilogramos) de una persona puede, perfectamente, ser 68,750 kg y podemos ubicarlo en el intervalo real [68,69] asi que la variable peso es una variable continua. 1

3. La cantidad de zapatos vendidos en una tienda es una variable discreta (no se pueden vender, por ejemplo, 437.1 5 zapatos). I

Como bien se ha dicho. las variables se pueden clasificar según los valores que tomen; en base a esto presentamos las siguientes definiciones:

Definición 6.2 (Variable Continua) Una variable se dice continua si con ella es posible obtener todos y cada uno de los puntos contenidos en un determinado intervalo +

Esta definición significa, intuitivamente, que podemos tener un trazo continuo csin saltos) en el intervalo que determinemos para la variable. Ejemplos de este tipo de variables son el tiempo, la edad, proporción de accidentes automovilisticos fatales en un período de tiempo, etc.

Definición 6.3 (Variable Discreta) Una variable se dice discreta si los valores que toma se pueden considerar como valores separados y no continuos. +

Ejemplos de este tipo de variables son: el número de personas que usan un cajero automático, el número de niños que padecieron Sarampión. etc. Nótese que en ninguno de estos casos podemos tener un valor de, por ejemplo, 2,451, valor éste que es perfectamente factible en el caso continuo.

Ejemplo 6.3.2 I Clasifica las siguientes variables según su tipo:

a) La calificación obtenida por una persona en una prueba.

b) La distancia recorrida por un automóvil.

c) El número de personas que abordan un vagón del metro en una estación.

d) El tiempo de duración de un bombillo.

e) El número de sacos de harina llenados por una máquina por día.

f ) El valor de un inmueble basado en el número de ambientes que posee.

real. Esta variable es continua.

sacos sera entero, asl, esta es una variable discreta.

Ejercicio propuesto 6.3.3

Número de habitaciones por inmueble.

Número de personas en el grupo familiar.

Edades de los integrantes del grupo familiar.

Nivel de instrucción de la familia.

1 1

6.4 REPRESENTACI~N GRAFICA DE DATOS 1

174

1

I

l en comparación con las gráficas estudiadas en unidades precedentes de este módulo, en aquellas, graficábamos una función usando su expresión, y en éstas representaremos datos sin conocer la función

Se debe hacer una advertencia importante desde ahora: Las representaciones gráficas que presentaremos no invalidan de ninguna manera las ya presentadas en otras unidades; cada tipo será útil según la clase de estudio que se esté realizando.

¿Por qué un gráfico?

4 Brinda mejor comprensión de los datos que todo lo que podamos escribir de ellos en un texto.

4 Se puede realizar un análisis más claro de la variable bajo estudio. I 4 Permiten visualizar con mayor claridad lo más importante de la información que

brindan los datos.

Antes de exponer las distintas representaciones gráficas de datos, presentaremos cómo hacer una organización más eficiente de ellos.

6.4.1 Organización de los datos

Observando el ejemplo 6.2.1 nos podemos hacer algunas preguntas:

¿Cómo se recabaron los datos? ¿Cómo se clasificaron? ¿Es la Única manera de definir los Nitervalos? ¿Se pueden tomar sólo dos modalidades (hembras y varones)?

En lo que sigue trataremos de responder algunas de estas preguntas. La primera de ellas sólo se podrá responder en un curso de Estadistica, y las otras nos darán sólo un poco de trabajo.

Nótese que en el ejemplo 6.2.1 se trabajó con 1450 personas. cantidad suficientemente alta como para no querer trabajar con todas y cada una de ellas, y es por eso que presentaremos cómo "reducirla" . Ya presentamos una modalidad en el ejemplo 6.2.1 la información se resume en "Intervalos de Clase" o simplemente "Clase".

A fin de que las clases estén bien definidas, debemos tener en cuenta algunas observaciones importantes:

Definición 6.4 (Intervalos de Clase) Se denominan Intervalos de Clase (o simplemente Clase) al intervalo cuyos extremos encierran parte del intervalo de variabilidad de la característica que se estudia. +

a

Si permitimos que su intersección sea no vacia, se n originar problemas en el momento de hacer la clasificación de un dato. Por si tenemos las clases

1. CUANDO SE DEFINEN LOS INTERVALOS DE CLASE FORMA QUE SU INTERSECCldN SEA VACíA.

y queremos clasificar el dato 11,5, ¿en cuál clase lo Por otro lado, observe que en el ejemplo 6.2.1 los intervalos continuos se pegan: vale aqui aclarar que esto puede hacerse siempre y cuando definan semiabiertos (abiertos en un extremo y cerrados en el otro), de evita la intersección. Esto último se debe usar tomando en cuenta es abierto a la derecha y cerrado a la izquierda, lo decidiremos siguiendo nuestra intervalos dependerá directamente de nosotros.

SE DEBE HACER DETAL

Esta primera observación se cita en la literatura como "ci ses mutuamente excluyente$" O "clases exclusivas".

2. UNA VEZ DEFINIDAS LAS CLASES, ESTAS DEBEN SER SE CLASIFIQUEN LOS DATOS, NO QUEDE NINGUNO A ALGUNA DE ELLAS.

Dicho de otra manera, la definición de los intervalos debe riginar lo que se denomina en la literatura "clases exhaustivas".

En terminos de conjuntos, estas observaciones las pode os escribir como sigue: Si C es el conjunto de todos los datos iniciales, y C, , i = 1, ..... son las clases, entonces se deben cumplir:

Daremos algunas sugerencias básicas para definir las cla S de tal forma que se cumplan estas observaciones, pero antes presentaremos algunas definiciones necesarias. t

6.4.2 Frecuencla, proporción y porcentaje de una cla e t Para las siguientes deflnlciones consideramos que los agrupados en intervalos

de clase; Bstas varían un poco cuando se dan para datos sin embargo no se presentan aqul:

Deflnlclón 6.5 (Frecuencla de una Clase) Tambi6n llamada Frecuencia Absoluta de a clase, es el niimero de observaciones contenidas dentro de ella.

l Definición 6.6 (Proporción de una Clase)

Esta viene dada por el cociente entre la frecuencia de la clase y el número total de datos. Este cociente se denomina en la literatura FRE- CUENCIA RELATIVA de la clase. 6

Definición 6.7 (Porcentaje de una Clase) Se refiere a la clase y es el número obtenido al multiplicar de la proporción asociada a la clase. por 100. 6

Ejemplo 6.4.1

Consideremos las s~guientes 50 calificaciones obtenidas por igual número de estudiantes en una prueba de Historia.

8 1 O 13 9 14 14 10 6 13 13

11 16 14 12 11 17 19 15 12 7

11 6 9 16 15 11 12 16 12 12

8 12 13 8 6 6 11 16 8 14

9 19 15 7 14 9 12 12 17 12

Supongamos que se han escogido las siguientes siete clases para estos datos:

[6 ,8 )

[ % , l o )

[ l o , 12)

[12, 14)

[14,16)

[ l e , 18)

[m, 20)

y hagamos el conteo dedatos por cada clase: Conteo Frecuencia

[ l a , 20) 11 2

Total 50

Intervalos de clase.

Las respectivas frecuencias relativas (proporciones) y

Frecuencia Frecuencia Relativa

6 6 / 50 (

8 8 150 (

7 7 / 50 (

13 13 /50 (

8 8 / 50 (

6 6 150 (

2 2 / 50 ( Total 50

6.4.3 Clases elementales y clases compuestas I

lo

Haremos ahora la tercera sugerencia para definir las ci ses. 1

3 porcentajes son:

3. CADA VALOR ENTERO REPRESENTA A TODOS MEDIA UNIDAD A SU IZQUIERDA Y MEDIA UNIDAD

Porcentaje

x l 0 0 = ) 12 %

x 100 = ) 16 %

x 100 = ) 14 %

x 100 = ) 26 %

x 100 = ) 16 %

x 100 = ) 12 %

x 100 = ) 4 %

100 %

Esto quiere decir que cada valor entero de longitud la unidad (que llamaremos elemental), pero no coincidan con las clases que se van a definir sino más en el momento de clasificar datos decimales:

Ejemplo 6.4.2

Supongamos que una vez examinados los datos decidimos ue dos de las clases deben ser

y tenemos que clasificar el dato 12,751. Según los extre de las clases mostradas no sabemos a simple vista dónde hacerlo; siguiendo esta la primera clase abarcarla hasta 12,755 y podríamos entonces contarlo la segunda clase comenzarla en 12,750 asi que también es posible esta sugerencia tomamos como polltica de una) de estas posibilidade-, a fin de evitar confusiones.

Cuando fusionamos varios de estos intervalos elementa ss, el intervalo se denomina compuesto. I

Afcn de uniformizar la futura representación de los datos. presentamos la sigucente como cuarta sugerencia.

4. TODOS LOS INTERVALOS COMPUESTOS DEBEN DEFINIRSE CON EL MISMO NÚMERO DE INTERVALOS ELEMENTALES.

Este número común de intervalos elementales se denominará en lo sucesivo Amplitud. De hecho, si observamos los ejemplos anteriores se puede notar que esta regla se ha respetado pues. todos los intervalos presentados hasta ahora en cada ejemplo tienen la misma longitud en cada caso.

6.4.4 Número y amplitud de los intervalos

Haremos hincapié en el hecho siguiente: No hay regla única para definir el número y la amplitud más apropiada para una muestra dada; esto dependerá del tipo de variable que se esté estudiando y de la cantidad que se maneje de datos. Lo que haremos a continuación será listar algunos puntos de interés al respecto, puntos estos que han sido reportados a lo largo del tiempo por personas interesadas en optimizar los métodos (no son reglas, más bien, sugerencias).

Si el número de datos es mayor que 100, el número de intervalos ho debe ser menor que 12 ni mayor que 18. Según otros, no debe ser menor que 10 ni mayor que 20; esto lo decidiremos en cada caso, tomando lo más conveniente para el estudio.

Llamando amplitud total o Rango total de la muestra a la diferencia entre el mayor y el menor de los datos, definiremos la amplitud de los intervalos dividiendo esta diferencia entre el número de intervalos deseados.

Si el número de datos es menor que 100, el número de intervalos dependerá de los que se desee obtener con la información que se tiene.

6.4.5 Histograma y polígono de frecuencias

Trabajaremos ahora bajo la suposición que todos los intervalos tienen la misma amplitud, y todos los datos han sido clasificados.

Definición 6.8 (Marca de Clase) Llamaremos marca de clase al punto medio de cada intervalo de clase. +

Un Histograma es una gráfico de barras rectangulares que tienen como base los intervalos de clase y como altura las respectivas frecuencias absolutas de cada clase.

SI unimos, además, las marcas de clase (con altura, la frecuencia absoluta asociada) con segmentos de rectas, obtendremos otra representación gráfica de datos como es el polígono de frecuencias.

En lo que sigue, mostraremos algunos ejemplos de estos y discutiremos la conveniencia del número de intervalos. de las amplitudes y de la clasificación en si, llegando a construir el histograma y el polígono de frecuencias.

OBSERVACIONES IMPORTANTES I

Ejemplo 6.4.3

Consideremos los siguientes datos agrupados de las edac varones y 70 hembras con defectos auditivos y en los cua (1971) estudiaron algunas implicaciones educativas de la consideremos como intervalos cerrados a la derecha)

EDAD FRECUENCIA (VARONES)

(20 ; 221 17 8 ; 201 2 1

6 ; 181 33

4 ; 161 15

2; 141 1

87

bsérvese en esta clasificación la poca conveniencia de ase 12-14 de varones tiene sólo frecuencia 1 la clase It os puede hacer inferir que los problemas auditivos se pra uando un adolescente se encuentra entre esas edades. F 4 y 14-16 podrlamos tener más información al respecto, I( ividir la clase 16-18 en dos intervalos (por ejemplo).

ecuerde que todas estas observaciones se deben poner S sugerencias generales presentadas anteriormente.

Haremos el histograma y el poligono de frecuencia de los

A fin de no dejar lugares vacios entre barras consid amos intervalos abiertos a la izquierda y cerrados a la derecha; de esta manera, 18-20 representa, a fines gráficos, el intervalo (18,201. Esto no debe causar de interpretación.

es de 157 adolescentes, 87 es Balow, Fulton y Pepioe sordera: (las ciases las

FRECUENCIA (HEMBRAS)

13

25

16

16

O

70

ener cinco ciases: mientras la -18 tiene 33 elementos; esto tsentan con mayor frecuencia ero, si fundimos las clases 12- mismo sucederla si logramos

?n práctica tomando en cuenta

varones:

Para el polígono de frecuencias, consideramos a la izquierda del primer dato y media unidad a la derecha del último de comenzar y finalizar el polígono en cero, (puntos A y E). curso de Estadistica.

El símbolo que hemos colocado en el principio I eje x( +) se emplea para indicar que se hizo una alteración en la escala n tural que posee el instrumento geomktrico con el que se dibujó.

1 f

En el problema que planteamos en el ejemplo anterior, podríamos querer comparar las frecuencias de las dos clasificaciones dadas para la variable sexo (varones y hembras); esto lo logramos haciendo los dos polígonos de frecuencias en un mismo gráfico tal como lo mostramos a continuación:

Del gráfico podemos inferir varias cosas:

Y

1. En los dos primeros grupos de adolescentes las frecuencias en defectos auditivos no indican mucha diferencia entre varones y hembras (el crecimiento en esta zona es bastante parejo).

VARONES - - - - HEMBRAS

2. Existe una marcada diferencia entre los adolescentes entre los 16 y los 18 años; el crecimiento en esta zona es mucho más pronunciado para los varones que en el intervalo anterior. Esto podría indicar que los defectos auditivos se presentan frecuentemente en varones en esta etapa de la adolecencia (mucho más que en las hembras).

3. La diferencia mencionada en el punto anterior cambia en la siguiente etapa de la ado- lescencia, cuando se tienen más hembras con defectos auditivos que varones; sin embargo, y con el fin de lograr buenas conclusiones no es tan marcada como en el caso anterior.

4. Finalmente, en el último intervaio secontrarrestan las dife del gráfico I

Debemos recordar en este punto lo indicado al principio di considerar como concluyente en el estudio de un problen conclusión, y después de estudios más profundos, para E realizado.

6.4.6 Diagrama de frecuencias acumuladas

I Este es s61o una pequetia variante del anterior:

La altura de las barras (o columnas) se obtiene sumandc intervaio hasta el intervalo donde se está dibujando. Al parecs forma de dibujar, pero es de vital importancia en estudios este

Usaremos el mismo ejemplo que presentamos anterior frecuencias asociadas con las hembras:

I ' EDAD FRECUENCIA FREC (HEMBRAS) ACUr

icias indicadas en este análisis

i unidad: Un gráfico no se debe Bste sirve para una primera nzar las ideas en el análisis

ts frecuencias desde el primer esto es un cambio s61o en la sticos.

?nte, escogiendo esta vez las

ENCIAS LADAS

Seguiremos explotando un poco más las ventajas que nos dá la representación en barras; veremos a continuación cómo la usamos para dos clasificaciones. Esta vez cambiamos un poco el mod6 de representarlas, haciéndolo ahora en sentido horizontal en vez de la orientación vertical que les hemos dado hasta aquí.

6.4.7 Diagrama de barras agrupadas

Seguimos con la clasificación en intervalos. y dibujaremos las dos clases en el mismo gráfico; debemos tener especial cuidado en distinguirlas sin que haya lugar a ninguna confusión parael momento de interpretar el dibujo.

Es de hacer notar quesu interpretación la hacemos de la misma manera que interpretamos el polígono doble de frecuencias que presentamos antes.

Existe una ligera variante de esta representación que se asemeja más a la vista anteriormente: en un mismo gráfico colocamos una columna sobre otra (de clasificaciones de variables distintas), remarcando de tal forma que no se preste a confusiones: Las recomendaciones y reglas dadas en el caso del diagrama de barras. se mantienen para todos estos gráficos.

Presentamos a continuación la forma gráfica de la variante que estamos comentando; se remarcará solamente la diferencia en cada columna usando un rayado distinto.

Las ventajas de esta represe

* Mejora notablemente la manera de comparar dos clasificaciones que se tienen en los gráficos de barras.

* Permite comparar más de dos clasificaciones minimizando la posibilidad de confusión.

* Son más útiles cuando se quieren dar resultados más cuantitativos en vez de cualitativos (en estos últimos resultan más ventajosos los diagramas de barras).

Sin embargo, en estudios económicos (que se pueden considerar como cuantitativos) no es muy conveniente usar estos gráficos por lo siguiente. Consideremos, por ejemplo, el caso de la producción agrdpecuaria; un productor puede, mediante un gráfico de torta, saber cuál de los rubros que administra le deparará las mayores ganancias.

Sin embargo, como bien sabemos, la mayoría de los productos agropecuarios depende de la época del año en que se hace el estudio (sequia, lluvias excesivas, la temperatura en si, etc), asi que nuestro productor tendria que hacer un gráfico de torta por cada mes del año, dificultad ésta que puede evitarse si hacemos un diagrama de barras escogiendo como intervalos de clase los meses del año (mesl, mes2, ... mesl?).

Planteamos esta situación para remarcar el hecho de que la conveniencia o no de un tipo de diagrama en particular dependerá del tipo de estudio que se requiera realizar.

Presentaremos a continuación un ejemplo de representación usando diagramas de tortas.

Ejemplo 6.4.4

Se requiere investigar si el ajuste al matrimonio de una persona está relacionado con su nivel de educación; para esto se realizo un estudio en parejas que tenian un matrimonio estable y sin graves problemas de entendimiento (se escogió sólo uno de los cónyugues sin importar el sexo). Los datos obtenidos fueron:

Profesional 245 Preparatoria 120 Postprofesional 98

Para representar estos datos en un diagrama de torta expresémoslos primero en porcentajes: El total de datos que contendrá la torta es:

lo cual representa el 100%, asi que de 463 encuestados, se tiene

- 245 = 0.52915 x 100 = 52,92% son p[ofesionales 463

- I 2 O = 0,25917 x 100 = 25,92% tienen nivel preparatorio 463

= 0,21166 x 100 = 21,17% tienen nivel post-profesional 463

Por ejemplo, para la variable sexo se tienen dos posibles clasificaciones: Varones y Hembras; cada una de estas se puede representar únicamente de la siguiente manera:

Supongamos que en una situación particular queremos representar 65 varones y 75 hembras; una de las posibles escogencias para la escala es:

~ e ~ r e s e i t a r á 1 O Varones

Representará 10 Hembras 1 por lo tanto representar lo requerido equivaldría a:

65 Varones ~ ~ ~ & ~ - f i ~ ' ni'w LJ

/iJO 75 Hembras

En vista de lo anterior. haremos un pictograma del ejemplo que planteamos en el diagrama de torta (ejemplo 6.4.4); se tiene:

Profesional 245 Preparatoria 120 Postprofesional 98

escogeremos los siguientes símbolos para las tres categorías

y la unidad de medida será de 50 individuos por cada dibujo en todas las clasificaciones; el pictograma quedaría entonces

/ q::Icx-j5Lfi LJ L n i ~ J L profesional 1 a 1 Cka m 9 - 1 ~ostpmfesional 1 ( f i ~ / preparatoria ( 1

Ejercicios 6.4.5

En los siguientes ejercicios, elabora el histograma y el polígono de frecuencias (escoja al menos tres posibles clasificaciones para los datos)

1. 50 valores del tiempo (en segundos) que un computador emplea para ejecutar bloques de programas con el mismo número de instrucciones.

187

(ii) Para 8 intervalos, éstos tendrán longitud

CONTEO FRECUENCIA

[0,092 ; 0,094875)

[0,094875 ; 0,09775)

[0,09775 ; 0,100625)

[0,100625 ; 0.1035)

[O, 1035 ; O, 106375)

[0,106375 ; 0,10925)

[0,10925 ; 0,712125)

[0,112125 ; 0,1151

3

5

9

13

9

7

4

1

Total 50

(111) Veamos ahora lo que sucede en el caso de 16 interl intervalos es

CONTEO

0

los; aqui, la longitud de los

FRECUENCIA

1

2

3

2

6

3

7

5

4

5

3

4

2

2

o 1

'otal 50

2. Cantidad de carbón (en porcentaje) contenido en la hulla

A Contrario al caso anterior, con esta cantidad de datos no podemos hacer mucho (en cuanto a escogencia del número de intervalos); sin embargo, esta muestra tiene una particularidad de importancia que trataremos de evidenciar usando varias clasificaciones.

Escogeremos 4, 5, 7 y 9 intervalos; el mayor de los datos es 87 y el menor 73, así que si queremos:

(i) 4 intervalos de clase, éstos tendrán longitud

(iii) Veamos ahora si para 7 intervalos la acumulación de los datos hacia los últimos de ellos sigue siendo tan marcada como en el caso anterior. Para 7 Intervalos, la longitud es

CONTEO FRECUENCIA

1

0

1

1

3

5

9

Total 20

Obsérvese que aqui es mucho más marcada la difere gráfico; esto, bajo el conteo del problema, indica que I

de carbón en la hulla varia entre 81 y 87 (esto podria químicos de la hulla). A continuaci6n mostraremos el casi seguramente, la diferencia será total.

(iv) Para 10 intervalos, su longitud será:

y estos vienen dados como: CONTEO

ia entre el principio y el final del ilmente el contenido porcentual r de importancia en los usos so de 10 intervalos en el cual,

FRECUENCIA

3. Muestra de 125 valores de la resistencia a la ruptura bajo cargas de tensibn, en kg 1 plg2, de cilindros de concreto (con diámetro de 15,24 cm y longitud de 30,48 cm)

423 435 430 458 416 441 448 429 421 437

438 440 450 436 447 437 438 452 429 454

460 412 438 419 445 420 438 443 448 417

426 443 432 443 424 435 441 435 453 436

A Con este grupo de datos, escogeremos tres clasificaciones: 10, 15 y 20 intervalos de clase; no es muy conveniente escoger un número bajo dada la cantidad de datos disponebles.

(i) Para 10 intervalos: de los datos, el mayor es 465 y el menor es 408, por lo tanto, la longitud de los intervalos es:

éstos, son entonces

CONTEO 1 FRECUENCIA

Total 125

El histograma junto al pollgono de frecuencias respectivo I mostramos en la siguiente figura:

l (ii) Para 15 intervalos, tenemos por longitud

l y quedan

I CONTEO FRECUENCIA

Total 125

CONTEO FRECUENCIA

1

3

3

4

6

7

7

9

6

13

12

13

11

3

10

5

3

2

5

2

Total 125

Ejercicios 6.4.6

Representa los siguientes grupos de datos usando diagramas de tortas o pictogramas.

1. Durante un periodo de 30 anos se llevó a cabo un estudio mbdico para determinar, entre otras cosas, si el hábito de fumar influye en el desarrollo de una enfermedad cardiaca; a lo largo de este tiempo 160 personas desarrollaron alguna afecci6n cardíaca, y fueron clasificados de la siguiente manera:

Fumador agudo: Más de dos cajetillas al día. Fumador moderado: Entre una y dos cajetillas al día. Fumador ocasional: Menos de una cajetilla al día. No fumador

El estudio arrojó los siguientes datos

Fumador Fumador Fumador No Agudo Moderado Ocasional Fumador

58 54 36 12

A Por la naturaleza de los datos, es más representativo usar un diagrama de torta que un pictograma, puesto que es muy complicado, via dibujo, diferenciar realmente un fumador agudo de un moderado.

Procedamos entonces con el pictograma; el total de datos es 160 y hay 58 fumadores agudos: el porcentaje de éstos es entonces

hay 54 fumadores moderados, y un porcentaje

Los 36 fumadores ocasionales representan un porcentaje de

y finalmente, el porcentaje de los no fumadores:

En cuanto a porción de torta para cada uno:

fumadores agudos: (36-25) (360") = 1300,5 1 O0

fumadores moderados: (33,75) (360") 1 O0

fumadores ocasionales: (223) (360") - - 1 O0

No fumadores: (7,5) (360") 1 O0

= 27"

1 FUM,

FUMADORES 01

160 Personas que desarrollaron alguna afecci6n cardiaca

2. Se llevó a cabo una encuesta con respecto a la preferencia ( si existía alguna predilección para tres marcas compe dependiendo de la región geográfica en la que habita el cc muestra aleatoria de consumidores, se obtuvo la siguiente distintas

REGI~N 1 REGI~N 2

MARCA A 40 52

MARCA B 52 70

MARCA C 68 78

)ORES AGUDOS: 36,25%

+NO FUMADORES: 27%

ACIONALES: 22,5%

I

1 consumidor para determinar tivas de jabones (A, B y C) sumidor. Basandose en una Formación para tres regiones

A Puesto que ninguna de las representaciones exigidas aquí, permite clasificaciones múltiples, escogeremos por marca el estilo en que lo haremos. Tomando el pictograma para la región 1 y el diagrama de torta para la región 2; cambie usted los estilos y compárelos con los que le damos a continuación:

Pictograma Región 1: Designaremos con cada uno de los siguientes símbolos diez encuestados por marca:

Diagrama de torta de la Región 2

En base a esto tenemos entonces

Región 1

MARCA A m j

6.5 ESCALAS DE REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS EN UNA RECTA

MARCA B

MARCA C

Como hemos visto en secciones antenores de esta unidad, es importante escoger la forma más apropiada para representar eficientemente los datos que manejamos, con el fin de realizar buenos análisis.

En esta sección nos dedicaremos al estudio de escalas, su construcción y pautas para escoger la que mejor se adapte a los datos.

~ 1 s t ~

C ~ C ~ C

B

C

B

c l c l c l

Consideraremos un conjunto de datos x, , x, , ... x, los ales queremos representar en un intervalo 1; para esto, trataremos de obtener la na función tal que al evaluarla en, digamos, w, , w2 , ... w, nos d6 nuestros datos xl ( i = n) pero con valores en 1.

Más precisamente, debemos construir la ecuación de u función f que relacione cada uno de nuestros datos con los puntos del segmento de definido por el intervalo 1; denotaremos en lo sucesivo por f tal función.

Según esto entonces. puesto que queremos represen r los puntos de coordenadas xl , i = 1, ... n , la función f a obtener debe ser tal que f (w,) e t

A fin de dejar bien claras las ideas que expondremos a ntinuación. supondremos que el intervalo de representación 1 es finito, es decir, 1 un segmento de recta con extremos finitos A y B.

LA ECUACIÓN DE LA FUNCIÓN f SE C 'NOMINA EC

1 Con esto debemos hacer ciertos ajustes en las consider)ciones iniciales:

JACIÓN DE LA ESCALA

I 1. Supondremos ordenados de menor a mayor los punt

W, c W2 c W3C ... c W".

2. Si m es la longitud del intentalo definido por el segment AB, distinguiremos dos casos:

2.1 Si f (w,) - f (w,) = m diremos que lo$ números w , w, , ... w, se representarhn tomando A =f (w,), siendo la ecuación de la

2.2 Si f (w,) - f (w,) t m signiflcarh que tenemos pocos atos para ese intervalo, o bien que el intervalo, es muy pequeflo para la magnitud e los datos. En este caso, determinaremos una constante k positiva tal que l

k [ f (w,) - f (wdl = m;

esta constante se denomina M ~ D U L O DE LA ESC LA. Tomando A = f (w,), la ecuación de la escala viene da por

x ~ = k [ f (w~)-f(w,)I

(es claro que si k = 1 tenemos el caso anterior).

Veremos a continuaci6n las escalas más uales de rep sentación de datos.

Escala arltm6tica o uniforme t I Esta es la escala cuando la función f es de la forma I

y es la más usual de las escalas (es la que figura en los instrumentos geométricos que empleamos para dibujar).

i La ecuación correspondiente a esa escala viene dada por I

obtenemos

x, = M(w, - w,) ; m = M(w, - wl).

Ejemplo 6.5.1 I Se encuestaron 10 transeúntes en una gran avenida y una de las preguntas era la edad; los datos obtenidos fueron 15,25, 18,57,31,43.22,65,20,17, queremos dibujar estos datos en un segmento de recta de longitud de 15cm.

Ordenados los datos de la siguiente manera: I

En este caso

m m = M(w, - w,) =,M=

W" - Wl

por lo tanto. la constante M es

y la ecuación de la escala es I I

6.5.2 Escala logarítmica

Este tipo de escalas es usual cuando el rango de variabilidad de los datos es muy amplio; se usa cuando la función es de la forma

f(w,)=logw, i = l , ....., n

y la ecuación correspondiente de la escala es

Mostraremos a continuación el ejemplo anterior usando ahora la escala logarítmica; escogeremos, igualmente, un segmento de longitud 15 cm. En este caso, de

m = k (log w, - log w,)

obtenemos

m k =

lag wi - log w,

Si i = 10 y m = 15, entonces: I k = 15

= 23.55 log 65 - log 15

por lo tanto, la ecuación correspondiente de la escala es

x, = 2335 (log w, - log 15)

Las nuevas abscisas son entonces

y la representación gráfica resultante es:

Con este módulo. la ecuación de la escala correspondiente es:

XI = 0,000085715 (wI - 3).

Siendo las abscisas:

Como podemos observar, si queremos representar estos números usando un instrumen- to geométrico normal, no distinguiremos x, , x, y x3 (todos los pondríamos en el cero) así que no podriamos hacer ningún análisis posterior. Veamos qu6 pasa con la escala logarítmica; el módulo de esta escala viene dado por

k = 15

= 3,147 log 175000 - log 3

y la ecuaci6n de la escala correspondiente es: xi = 3,147 (log wi - log 3).

Siendo:

y su representación gráfica se ilustra en la siguiente página:

Las ecuaciones de escalas correspondiente son:

Ec. 1: x,=k,[ f (w,)- f (w,) ] !

Ec. 2: Y, = k, [ g (r,) - g (r,) 1 donde f y g son las funciones asociadas a los datos x, y y, respectivamente; dado esto y tomando en cuenta los dos tipos de escalas que hemos presentado, tenemos tres posibilidades para nuestro problema:

1. Las ecuaciones Ec. 1 y Ec. 2 se refiere a escalas aritméticas. I 2. Una escala es aritmética y la otra es logarítmica. I 3. Ambas ecuaciones son escalas logaritmicas. I Ilustremos estas posibilidades con ejemplos:

Caso 1

La empresa METRO DE CARACAS C.A. realiza un estudio a fin de mejorar la atención a los usuarios en lo que respecta a la llegada de trenes a una estación y el abordaje de pasajeros para su traslado.

Para esto, toma obse~aciones en una de las estaciones, hora por hora, durante una mañana; éstas fueron las siguientes:

HORA

5h 30'

6h 30'

7h 30'

8h 30'

9h 30'

10h 30'

I l h 3 0 '

12h 30'

No DE PASAJEROS

54

162

486

1458

162

18

54

486

Para graficar estos datos, se dispone de un segmento de longitud m, = 5cm sobre el eje OX, y de otro segmento de longitud m, = 10cm sobre el eje OY; haremos las representaciones respectivas usando escalas uniformes. Para esto. 30 minutos representan media unidad de hora y así, por ejemplo, 5h 30min será considerado como 5,5 horas; ob- tengamos ahora la ecuación de la escala para estos datos:

El mayor de los datos es 123 horas y el menor es 5,5 horas, por lo tanto I I Siendo la ecuación de la escala aritmética: 1 1

Si observamos de nuevo los datos originales en yi (número de pasajeros) podemos notar lo siguiente

(datos hasta las 8h 30min); con esto se puede concluir que los pares dados (x, , y, ) corresponden a valores de la función exponencial

Si tomamos logaritmos en esa expresión. obtenemos

log r = log 2 + S log 3.

Sea T = log r; puesto que iog 2 y log 3 son constantes tenemos, tomando n = log 2 y m = log 3 :

que es la ecuación de una recta. Esto cambia muy a nuestra conveniencia la representación hecha anteriormente de estos datos, pues, en lugar de tener los cambios tan marcados de aquella, tendremos una línea recta. Lo anteriormente expuesto forma parte del siguiente caso:

Caso 2

Tenemos de nuevo pares de observaciones, y por conveniencia, determinamos que una de las escalas debe ser aritmética y la otra logaritmica.

En este caso, bastará con tener cuidado en mantener la relación entre las ordenadas y las abscisas. es decir, si tenemos el par (x, , y, ) en los datos originales, cuando las adaptemos a sus respectivas escalas

1 xi ----+ xi ( en la escala)

Y I

Y, A Y, ( en la escala)

se debe tener

(Xi3 Y i ) ---> (4. Y;)

Y, finalmente, sólo nos resta comentar que el caso 3, en el cual ambas escalas son logaritmicas, se debe tratar tal y como se estudió el caso 1. I

En las unldades anteriores utlilzamos con frecuencia los papeles uiadriuiiados Y mlilmetradoo.

6.5.4 Papeles especiales para representaciones gráfic papel mlllmetrado, logarítmlco y semilogaritmico

Como ya hemos presentado en parágrafos anteriores, diferentes maneras de representar datos usando distintas escalas; se da el caso en q representaciones se hacen dificultosas en el papel por el número (o los números) esto sucede muy a menudo con las escalas logaritmicas.

Con el objeto de salvar un poco estas dificultades, podem librerías, hojas especialmente disefladas para estos fines, entre cuales, presentaremos a continuación, tres de ellas que son las de uso más común mllimetrado, papel semilogaritmlco (o logarítmico simple) y papel logarítmico

Escala Logarltrnica ( en rnn )

3' Ciclo

Z0 Ciclo

lo Ciclo

El papel mlllmetrado no necesita mayor presentación p es es de regular uso en la educación media. por lo tanto nos dedicaremos primerament al papel semilogarltmico; mostramos a continuación fragmentos de papeles semilogarltmi os de dos o tres ciclos. Un clclo, es el espacio entre las unidades que permanecen iguales; es a longitud común representa a log 10 y se aplica en el eje OY. Esto significa que se represe 1 arán en las unidades (como

3 longitud) al logaritmo de la razón - = 3 ; la longitud entre los números marcados con los

1 I 5

números 2 y 5 corresponde al logaritmo de la razón - , etc.. 2

La expilcación que acabamos de dar con respecto al eje Y el papel semilogarltmico, es válida para el papel logarltmico en los ejes X y Y. 1 Ejercicios propuestos 6.5.2 I 1. La tabla adjunta formó parte de un estudio publicado en un di io capitalino, sobre la capaci-

dad instalada en centrales eléctricas (en Mw) en la Repúbli f de Colombia, hasta el aRo ¡ CAPACIDAD INSTALADA

CENTRALES ELECTRICAS (MW 1

El Nacional, marzo 1994 I Para cada uno de los rubros que aparecen en la tabla (Hid ulica, TBrmica, Turbo Gas y Diesei) haz representaciones de los datos usando segme

HIDRUILIC& R W I C A V

T W O O*8

ME8EL

7 0 T A L

(a) m = 5 cm (b) m=15cm (c) m = 16 cm

Tu~r i~ lml~moni iU.v iu i l lXJ

10-78 7s-W w-OS 00-m m-02

e.1 .o.a 8.0 o o 0.8 O , Ud 2.8 O

1.6 1.8 . P.8 1.0

8.7 7. I 8.1 0.0 2,s

1010 1915 lOMl 19115 198o 19117 10W 10119 1990 1091 1092

P,iil$.

IMI m> JOI? ~ t o MYO e t r uiro u i io p i u aro7 oiot

813 017 !U( 1 9 8 1470 ,478 1443 iW3 iW0 fW4 W 4

O o O MI 441 191 M I 197 O10 819 019

O O O 20( %4 00 X4 Pl i 138 1 M PM

P U 7 l - ~ - 4 7 8 8 0 4 l l D l 8W W U W U Pli3 WO) W M

y escalas aritméticas. I

E~YUGI

IW01 u.@ 1l.e

8.7

1.0

lW.0

2. Haz lo mismo con los siguientes datos, usando ahora seg entos de longitud

(a) m = 10 cm (b) m = 14 cm (c) m=16cm 1

y escala logarítmica.

P E T R O L E O A N O S I .- Pmd~ci6n

10^6& 1970 1971

1971 1975 1871) ion $978 ,979

lsel 531 1982 610 lm3

1115 1289

laee 1911 1987 XQ7 1088 2128 1089 1IY7

El Nacional, marzo 1994

6.5.5 Interpretación de gráficos

Ya hemos expuesto en secciones anteriores algunas representaciones gráficas de datos, y casi todas ellas las hemos interpretado; en aquellos casos teníamos el detalle de los datos, sin embargo, cuando estos gráficos los conseguimos ya hechos (sobre todo en la prensa) contamos con el dibujo solamente.

Presentaremos a continuación algunos ejemplos con su interpretación sin dejar de advertir que cualquier explicación sobre un gráfico es subjetiva y dependiente de lo que realmente le interese a la persona que lo haga.

MNEZUELA : TASA DE ASISTENCIA ESCOLAR DE7A14AÑOSSEGUN AREAS DE RESIDENCIA, 1990

El Nacional , marzo 1994

VARONES HEMBRAS I -8 AREARURAL -8 AREAURBANA

El gráfico anterior lo tomamos de un reportaje presentado por la Oficina Central de Estadística e Informatica, OCEI, sobre el XII Censo General de Población y Vivienda, de 1990. Como vemos en el titular del gráfico, se trata de la tasa de asistencia escolar de nifios -varones y hembras- entre 7 y 14 anos según su área de residencia; podemos inferir varias cosas:

l '- Es un gráfico en forma de columnas agrupadas.

2. Representa un estudio comparativo de escolares en el rural y en la urbana. 3. Aproximadamente, el 90% de los infantes varones del urbana asisten a la escuela,

cifra que supera en un 15% a los infantes con iguales en el área rural.

Esta diferencia se puede interpretar de vanas maneras: ) no hay suficientes escuelas en el área rural, (b) falta de interés de sus padres por la (c) poca capacidad adquisitiva de los padres para dotarlos de los artículos nec proceso educativo, etc..

Sin embargo, cualquier a de estas interpretaciones debe r conformada con un estudio complementario en las poblaciones representadas aquí. t

4. Tambibn podemos observar la ligera diferencia entre hemb S y varones en el área urbana; las primeras representan aproximadamente el 91 %, mie ras que los segundos representan un 90%, por lo tanto, la diferencia es de sólo el 1 . Podemos pensar entonces que no hay distinción entre unos y otros. 1

1 t Queremos llamar la atención sobre lo siguiente: Hay una diferencia entre las inferencias 3 y 4; en la 3 se comparan solamente los rural con los del área urbana, mientras que en la 4 se comparan por

A esto nos referimos al inicio de esta sección cuando co ntamos que la interpretación de un gfáfico puede ser subjetiva, y dependerá interbs del intbrprete.

Haremos una inferencia más sobre un gráf~co en forma d torta. 1 Ejemplo 6.5.3

Venezuela Porcentaje de vivlendas seg condiciones estructurales 1990

Sin Deficiencia

Este diagrama forma parte de un estudio realizado por la CEI sobre la situaci6n habitacional en Venezuela hasta 1990; por lo general, con tipo de gráficos (tal como comentamos en su oportunidad) se puede representar variable, y en este caso es la calidad de las viviendas en Venezuela.

El gráfico nos muestra que 73 de cada cien viviendas en nuestro pals no presentan deficiencias estructurales (pero entonces, y al menos en C aracas, ¿por qu6 se le teme a las lluvias?).

Esto nos puede hacer pensar que los gráficos podrían manipularse siempre y cuando no se aclare cuál fue el método utilizado para recabar los datos. Sin embargo, esto le resultará totalniente nítido en el curso de Inferencia Estadistica que estudiarás más adelante.

Continuando con este gráfico, vemos que el 14% de lasviviendas presentan deficiencias en sus condiciones estructurales, y según estas condiciones, 13 de cada 100 viviendas son inaceptables. 1

AHORA, QUE HAS FINALIZADO LA UNIDAD DE

APRENDIZAJE 6 Y ANTES DE RESOLVER LA AUTOEVALUACIÓN 111, TE INVITAMOS A VER EN TU CENTRO LOCAL UN VIDEOCASSETTE RELACIONADO

CON EL C0NTENIí)O.

TIEMPO ESTIMADO: 4 horas O

1. Define los siguientes t6rminos: I 1.1 Frecuencia de una clase.

1.2 Frecuencia relativa de una clase.

1.3 Intervalo de clase. 1.4 Intervalo compuesto.

1.5 Intervalo simple.

2. Elabora un cuadro resumen de las distintas representacion s gráficas de datos, en el cual se expongan las ventajas y desventajas de cada una.

3. Elabora el histograma, el poligono de frecuencias y el pollg no de frecuencias acumula das para los siguientes datos:

Tiempo de vida (en horas) de bombillas I

4. Toma las frecuencias del ejercicio anterior y represbnteias sando G 4.1 Escala aritmbtica y un segmento de longitud m =

4.2 Escala logaritmica y un segmento de longitud m

1. Las definiciones de estos términos puedes consultarlas en el Glosario de esta unidad o en las secciones anteriores.

2. Las representaciones gráficas que presentamos en esta unidad son: Histograma, Poligo- no de Frecuencias, y de Frecuencias acumuladas, Diagrama de barras agrupadas, Sec- tores circulares y Pictogramas; elaboremos el cuadro sin considerar las gráficas de frecuencias pues estas las estudiarás con detalle en los cursos de Estadistica.

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Recordemos que las frecuencias acumuladas las obtene de la clase. las frecuencias de las clases anteriores:

TIEMPOS DE VIDA FRECUENCIA TIEMPO! ACUMULADA

Tenemos entonces que hacer un polígono de frecuencie

TIEMPOS DE VIDA FRECUENCIA TIEMPO!

os sumAndole a la frecuencia

DE VlDA FRECUENCIA ACUMULADA

con los siguientes datos:

DE VlDA FRECUENCIA

4.1 Escala aritmbtica y un segmento de longitud m = 8 cr

Los datos son 4, 9, 19, 36, 51, 58, 53. 57, 20, 9,

y al ordenarlos tenemos:l, 3, 4, 9, 19, 20, '36, ,

La ecuaclbn de la escala es entonces:

X, =0,14 ( w , - 1 )

y estos valores son:

x, = O x, = 2,66

x, = 0,28 x, = 4,9

x, = 0,42 x, = 5,04

x, = 1,12 XIO = 7 x, = 1,12 x,, = 7,28

x, = 2,52 x,, = 7,98

4.2 Escala logarltmica y un segmento de longitud m = 12

Los datos ya ordenados son:

Obtenemos la escala haciendo

m k =

log w,, - log w,

y así, la ecuación de escala es:

X, = 6,8 ( lag W, - lag W, ).

Los datos se transforman en:

REGLA EN ESCALA LOGARlTMlCA

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12

REGLA EN CENTIMETROS

RESUMEN

En este Módulo, al igual que en el Módulo 1, se han estudiado dos tipos de contenidos:

1. Contenidos que forman parte de las etapas previas a la Educación Superior tales como: los sistemas de coordenadas cartesianas en una recta y en un plano, las nociones generales acerca de las funciones con sus propiedades de inyectividad, sobreyectividad y biyectividad, la función Inversa de una función biyectiva y. especialmente, las funciones reales (afines, cuadráticas, logaritmicas, exponenciales y trigonométricas), la linea recta y diversas ecuaciones de la misma (rectas horizontales y rectas verticales, forma punto-intersección, forma punto-pendiente, ecuación de la recta que pasa por dos puntos y ecuación general de la recta). inecuaciones lineales sencillas con dos variables y nociones elementales de Estadistica Descriptiva (datos. variables discretas y continuas, frecuencias, intervalos de clases, representaciones de datos) y diversos tipos de escalas.

La mayor parte de estos contenidos se estudian entre el noveno grado de la Escuela Básica y en los dos años de la Educación Media, Diversificada y Profesional (EMDP) y forman parte de los programas instruccionales de esas etapas. Aún más, varios contenidos reiacionadbs con la ~s t~d i s t i ca Descriptiva son anteriores al noveno grado.

Otros de esos contenidos han sidoeliminados de los programas de ensayo que adelanta el CENAMEC (Centro Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Ciencia) y que son objeto de ensayo en varios Liceos de la República. En estos programas de ensayo de la EMDP figuran como Unidades de estudio las siguientes: funciones reales, trigonometría e inecuaciones que incluye las inecuaciones lineales con dos variables.

En el estudio de estos temas se han precisado diversos conceptos y varios de ellos estudiados con mayor detenimiento. Además. hemos insistido en cuatro formas de dar las funciones: mediante fórmulas (lenguaje analítico), mediante gráficos (lenguaje gráfico), mediante tablas de valores y cálculo numérico de valores de las funci~nes utilizando calculadoras (lenguaje numérico) y mediante enunciados verbales (lenguaje descriptivo).

2. Contenidos nuevos tales como: escalas en un mapa o en un plano (en forma gráfica y en forma numérica), énfasis en lo relativo a los porcentajes y a las relaciones de proporcionalidad estudiadas desde el punto de vista de las funciones afines. Diversos tipos de propiedades de las funciones (crecimiento, decrecimiento, tasa media de variación, simetrías, periodicidad), gráficas trasladadas, pictogramas, lectura e interpretación de diversos tipos de gráficos y, dependiendo de los programas cursados por los alumnos en la EMDP, escalas de diversos tipos (aritmética o uniforme, logaritmica) y los papeles milimetrado, semilogaritmico y logaritmico.

Si bien, como antes mencionamos, varios de los temas estudiados en este Módulo forman parte de los programas instruccionales de las etapas previas a la Educación Superior. Aquí hemos procurado, en diversas explicaciones dadas y en ejercicios propuestos, que el lector aprenda a observar, reflexionar y

j matematizar en relación con "realidades" que encuentra en el mundo circundante. Es por ello que varias I situaciones analizadas y diversos ejercicios propuestos son construidos con datos extraidos de la "realidad"

y no inventados por los autores. A esto se le suma un uso intensivo de las calculadoras científicas que economizan tiempo en los cálculos numéricos y que permiten resolver problemas de manera distinta al enfoque puramente analítico (como es el caso. por ejemplo. del ejercicio 4.5.2 en donde no es necesario escribir el seno de un águlo en función de su tangente para resolver el ejercicio sino utilizar una calculadora para encontrar el seno del ángulo).

Los temas aquí desarrollados serán frecuentemente utilizados en el siguiente Módulo donde se analizarán los limites de sucesiones y de funciones y la propiedad de "continuidad" de las funciones. lo que te introducirá en temas nuevos que no has estudiado anteriormente.

Por último, se proponen ejercicios que no son únicamente "operatorios". de simple cálculo, como son los que denominamos ejemplos atendiendo a la taxonomia utilizada. Estos son los ejercicios y los problemas (resueltos) y aquellos ejercicios propuestos que están clasificados con un asterisco (*) o con

dos asteriscos (**).

-

OS EJERCICIOS PROPUESTOS

En lo que sigue damos las soluciones de casi todos los ejercicios propuestos en las Unidades 4, 5 y 6. En algunos de ellos, que se resuelven con cálculos muy sencillos, únicamente daremos las respuestas. Hay algunos (pocos) ejercicios de los cuales no daremos las soluciones

UNIDAD 4

Ejerclclos propuestos 4.2.1

1. a)7; b)-1.

las libras).

4. s ;J 6,28 cm (6,2 < 6 < 6,3) h

S30 Paulo se tienen 9,8 cm en 6 6,5 7 , la distancia, medida en línea

5. Distancia en línea recta medida sobre el dibujo: 3,7 cm. Distancia en línea recta entre Paracotos y Tejerlas, en kilómetros:

3,7 x 6,5 = 24,05. para cubrir esa distancia

Distancia entre esas dos poblaciones medida a una velocidad promedio a lo largo de la autopista, en kilómetros: 8+19=27.

Error porcentual cometido:

/27-24,05I 'O0

1271

6. 6,5 km - 1 cm

228

b) El punto P está a la "izquierda" del punto O.

c) AB = I x - y1 = x-y = 2, y el punto B está a la "izquierda" del punto A (x es la coordenada de A).

d) Si a, x, x'son lasabscisas, respectivamente, de los puntos A, M y N, se tiene x = 2 a - x'

X t X ' (esto se deduce de a = -

2 ) .

I l También se puede escribir la propiedad de I ser M el punto simétrico de N respecto de A,

en la forma siguiente a - x' = x - a (si M está a la "derecha" de A), o bien

a - x = x' - a (si M está a la "izquierda" de A). (Recuerda los ejercicios 2-a y 2-b anteriores).

ObSe~a que:

a - x ' = x - a siysólosi a - x = x ' - a


2. De manera general los cuatro vértices son :A (a,b), B (as), C (d,b) y D (d.c). si los lados del rectángulo son paralelos a los ejes de coorde-nadas.

3. De manera general los tres vértices son A (a,b), B (a$) y C (d,b). si los catetos son paralelos a los ejes de coordenadas (ángulo recto en el vértice A).

6. a) {@,y): x < O}.

b) I(x,Y): Y > 0).

c) {(x,y): Y < 0).

Sobreentendemos que x E R, y E R en el par ordenado (x,y).

c) El semiplano a la derecha del eje OY reunión con ei propio eje OY.


2. Área = 6; Perímetro = 11; )- 4,27.

3. Dos soluciones: t = 2 + A, t = 2 - J6

La abscisa del punto medio del segmento OA,

0 + 8 donde O (0,O) y A (8,O) es igual a -- -

2 - 4, luego B (4,y).

Debemos calcular y > O. Como LO = g = 8, resulta

Nota: T a m b i ~ podemos calcular y mediante BAt* OA = 8.

En este gráfico el punto M es el punto medio del segmento P1 P2. Al trazar las paralelas P l A, MC y P2 B al eje OY, por el teorema de Thales resulta:

- - - AC y como PI M = M P2, entonces = 1, - - CB '

luego AC = CB y por lo tanto C es el punto medio del segmento AB, luego la abscisa de C, que es igual a la abscisa de M, vale

x1 +x2 -. 2

De manera análoga se demuestra que la

Y1 +Y2 ordenada de M es igual a - . 2 '


La semirrecta abierta AL (sin el punto A).

X

b)

i La semirrecta cerrada AL (incluye el punto A).

i La semirrecta abierta AL (no incluye al punto A).

i L

La semirrecta abierta AL (no incluye al punto A).

Sea P(x,y) un puntocualquierade la circunferencia. Se verifica que d (0,P) = 1, luego -=I y por lo tanto

x2+ y2 = 1, que es la ecuación de la

circunferencia de centro O (0,O) y radio R = 1

b)

X (1 + -)2 = 2,

1 O0

luego 1 + = f i (solamente 1 O0


consideramos la raíz positiva ya que 1 + 1 O0 . .

> O) y por lo tanto

x = i o o ( h - 1 ) - 4 1 , 4 2

esto es, el lado del cuadrado debe aumentar. aproximadamente, en 41,42%.

11. Sea P = presión en ~gf lcm' y h = profundidad en cm. Se tiene P = K h donde K es la constante de proporcionalidad.

h

Cuando h = I m = 100 cm, se tiene P = 0,06 ~ ~ f l c m ' . luego 0,06 = 100 K, resultando

0,06 K = - = 6 x l o 4 , luego

100

Si h = 1,5 m = 150 cm. obtenemos I

12. Sea C = costo de la pizza en Bs. y R su radio. Se tiene C = K R~ donde K es la constante de proporcionalidad.

Cuando R = 14 cm entonces C = 1400 Bs, luego

1400 = K (14)' = 196 K, resultando

1400 1400 R2, K = - y por lo tanto C = --

196 196

Si C = 1800 obtenemos

= E"" 15,87 (cm).

2. a ) y - 2 = 4 ( x + 3 ) y = 4 x + 1 4

a = arctg 4 a m 76O.

Y = (tg 50") x + tg 50' + 2, es decir, I Y m 1,192 X + 3.192 (en este caso escribimos I

1. 1 1 7 c) m= -, y-5=-(x-3) es decir y =-x+-. 2 2 2 2

Si x = O entoices 7y-7 = 0, luego

Si y = O entonces 3x-7 = 0, luego

Los puntos de corte con los ejes de coordenadas son A (0,l) y B (713; 0). I

1 b) Utilizando la fórmula de la parte (a):

o bien 5 x + 3y - 19 = O

En la ecuación y-yl = m (x-xl), es decir y-8 = m (x+l) ( o bien y - 3 = m (x-2)) se sustituye la pendiente

En la ecuación y = mx + b calculamos rn y b mediante el sistema

19 5 resultado b=- m = - - .

3 ' 3

8. Análogo al ejercicio 4.5.2

luego, la secuencia en una calculadora para caicular BC es:

y por lo tanto

B(:w 0,11915km= 119,15m.

9. F = m C + b donde F y C indican, respectivamente, grados Fahrenheit y grados centígrados.

1 C =O, F = 32, resulta 32 = b

1 C = 100, F=212, resulta 212=.100 m + b =

9 100 m + 32, luego m = - .

5

Por lo tanto la ecuación de la recta es

9 F = - C + 3 2 .

5

Se tienen los puntos

160 A (- - , O)

9

B (032)

C 5 10

1 La pendiente es m = IX 6 > 0.

I La pendiente es m = a < 0. Aquí se obtiene un segmento.

Resolviendo el sistema de ecuaciones

obtenemos x = -1, y=l, es decir, el punto A (- 1 .l) como observamos en la gráfica.

12. Los cuadros se completan de la siguiente forma, en el orden que allí figuran:

Las rectas L y L' coinciden (L = Lo).

Laspendientesde L y de C son iguales.

Incompatible (no tiene solución).

Laspendientesde L y de C son iguales.

A A' --- - C = m y m # - .

B B' C'

Los tres gráficos siguientes dan las interpretaciones geom6tricas en los tres casos:

y por lo tanto 114. a) + Y

b) La recta que pasa por los puntos P1 (3,l)

L y P2 (-2,-1) tiene pendiente a m = -, luego

5 cualquier recta perpendicular tiene pendiente

La ecuación de la recta solicitada es

3 y = - x - 2 es la ecuación pedida. 2

I

El rectángulo (sin los lados).

El rectángulo (incluyendo los lados).

c) x>-1 , x 1 2 , y>-1 , y 1 2 .

ii) TLy

b) y r O, x S 2,5, y <; x.


R = {(b,b), (c,c)) no es una función de A en B.

2. R= {(0,5), (3,4), (4,3), (5,0)}. observa que los pares (3,4) y (4.3) los puedes interpretar en términos del teorema de Pitágoras:

R no es una función de A en B pues el elemento 4 E A no está en relación con ningún elemento de B.

v=hx2 ycomo v = l l t = l d m 3 = 1000 cm3, entonces

1000 porlotanto h = - (x>O) x2

de todos los despachos efectuar la fabrica,

ordenados de la longitud ten

I I p es el pr cio del retazo. I Un pedido un cliente es un subonjunto de L x P. Por e mplo, un pedido de Ri metros con precio nitario p3, de R2 metros con unitario p4 de R3 metros con precio unitario p5, está da por el conjunto t

1 El costo de e pedido es el p3 + 4 p4 + Lj p5 + Masculino Femenino

F}, Y = {B,D.T,L), el conjunto

Ejercicios pioplestos 4.6.2

ión: hay números en el eje OX más de un valor (hay que cortan a la gráfica en

b) Si es una función de dominio [-3,3] y rango [1,3]. Denotemos esta función por f. Se tiene

está definida por

ObSe~a que la gráfica de f es simétrica con respecto al eje OY, luego f (-x) = f (x) para todo XG[-3.31.

c) Si es una función de dominio R y rango [O,m), es decir

f : R + [~.m)

donde denotamos por f a la función. Se tiene

Observemos que la gráfica de f es simétrica respecto de la recta vertical x = 3 y que esa gráfica se obtiene de la de la función y = Ixl al trasladarnos hacia la derecha en 3 unidades. Se tiene f(x) = Ix-31, lo cual comproba- mos utilizando las propiedades del valor absoluto:

Si x - 32 O, o sea x 2 3, resulta f(x) = 1x31 = x-3.

Si x - 3 5 O, o sea x 2 3, resulta f(x) = Ix-31 = - (x-3) = 3 - x.

d) Si es una función con dominio el conjunto IE,F,H, A, M'}.

2. a) Si es una función con rango el conjunto de 7 elementos (lunes, martes, ..., domingo}. Su dominio es el conjunto de los números naturales n tales que:

0 I ~ n s 2 8 Ó l ~ n ~ 2 9 e n e l c a s o de que consideremos el mes de febrero (año no bisiesto o aiio bisiesto).

1 < n < 30 ó 1 s n 31 según el mes de que se trate.

b) Si es una función.

c) No es una función de X en X: a una misma recta L le asociamos infinitas rectas que son paralelas a L.

d) No es una función de X en X ya que dada una recta L existen infinitas rectas que son perpendiculares a L.

e) R = {(2,6), (2,12), (4.12), (6,6), (6,12)} no es una función de X en Y.

3. Determinemos el aumento de 6s. 1 ,O0 (los cálculos los hacemos con una calculadora y redondeamos con tres cifras después de la coma decimal):

29,5 Como 1,295 = 1 + - 1 O0

entonces: a) la tasa de inflación durante el primer semestre de 1994 fue 29,5%; b) la tasa de inflación del año 1994 fue 71%.

o J , I e F M A M J A S O N D E

94 95 Meses

(GrAfica tornada del Diario El Nacional. p Dl2.0702195)

5. De acuerdo con el enunciado del problema se tiene - MB = 90 t (km) - MA = 80 (t+2) (km)

ya que: espacio = velocidad x tiempo; y si el automóvil B se tarda t horas para llegar de M a B, entonces el automóvil A tarda t + 2 horas para llegar de M a A pues el A ha viajado durante 2 horas más que el B.

Se tiene

6. La solución de este problema se da en la Unidad No 5 en el tema 5.3, donde se estudian las "funciones definidas por trozos o secciones" (es el tercer ejemplo anterior a los ejercicios propuestos 5.3).

UNIDAD 5


1. a) Sea f la función. Se tiene: Dom (f) = [-5,6]; Rg (f) = 1-2.41. Puntos de corte con los ejes de coordenadas: (-4,0), (4,5;0), (0,4).

Signo de f:

XE [-5-4) u (4,555 ; o] => f(x) < O

x 4 4 ; 45) f(x) > o. b) Sea g la función. Se tiene:

Dom (g) = R - {O} = (-m , O) u (O, m), Rg (g) =R.

Puntos de corte con los ejes: (2,O).

Signo de g:

xe(0,2) 3 f(x) c O. Si x se aproxima a cero por la izquierda, entonces f(x) > O "crece indefinidamente" (tiende a + m).

Si x se aproxima a cero por la derecha, entonces f (x) < O "decrece indefinidamente" (tiende a - m ).

A medida que x toma valores "muy grandes" (en valor absoluto), f (x) se aproxima a cero.

En el intervalo de tiempo [0,3] se tiene v = 5 t, y por lo tanto el movimiento es uniformemente acelerado en ese intervalo de tiempo (la ace-

m 2 leracion a = 5 1s es constante).

En el intervalo de tiempo [0,6] la velocidad aumenta y se hace constante en el intervalo [6,11] para luego disminuir en [11,17] hacién. dose nula para t = 17s.

( k constante de proporcionalidad).

a) Si son funciones;

b) x no es función de y;

c)x no es función de y; y no es función de x.

2x b) f ( x ) = g (x) = -

1+2x

Ln (x-3), tiene dominio igual a

: x > 3) y Rango igual a R.

La solución de esta inecuación m ), luego Dom (f) = (-m, -11 u

*dy2 + 1 comc(y2 + 12 O para todo y siendo

e la función y = &, es urva hiperbola de ecuación

Dorn (g) = R.

Como -1 i sen x 2 1 para todo x, esto equivale a Icen x l s l (recuerda que la1 5 1 a -1 a 2 l ) , y por lo tanto Rg (g) = [O ,?], pues Icen xl

O para todo x.

10. a) Hallar las abscisas de los puntos de corte del eje x con la gráfica de f.

b) Hallar la ordenada el punto de corte del eje OY con la gráfica de f.

c) Determinar los puntos de corte de la gráfica de f con la recta dada.

d) A lo más en un punto.

e) Puede cortarla infinitas veces. Por ejemplo, la gráfica de la función y = sen x, x E R y la

1 recta horizontal y = -

2

f) f (O) = 0.

9)

t'

Consideramos el segmento AB en lugar del arco de curva m. Sea C (a, f(a)). Si 1x1- xo 1 es "bastante peque- iio", entonces la ordenada f (a) del punto C es "casi igual" a la ordenada del punto D luego, debemos calcular la ordenada del punto D, lo cual se hace utilizando el hecho que los puntos A, D, B están en línea recta:

,,",) .......................................... IV

y por lo tanto

(esos cocientes son iguales a la pendiente de la recta que une esos puntos), y de allí se despeja h, siendo f (a) h. Ejemplo: en el caso f(x)=3x2+1; xo=1,4; X1=1,5;a=1,45; f (1,4) = 6,88; f (1,5) = 7,75.

Se tiene

y de aquí se calcula h = 7,315.

Observa que el valor de f (1,45) calculado en 3 (1,45)' + 1 es igual a 7,3075, siendo h = 7.31 5 una aproximación de f (1,45) = 7.3075.

Nota: El procedimiento descrito se denomina "INTERPOLACIÓN LINEAL".


1.

La respuesta cor cta es la (c) (gráfica trasladada de y = 1x1 en unidades hacia la derecha). Observa que pod mos descartar las alterna- tivas (a) y (d) pu to que en la gráfica todos los puntos tiene 1 ordenada2 0, lo que no es

t 1 1 cierto para f (x) = 4 ni para - = -. .

f(x) x- 4

a función no está definidz es R -{4}) y la gráfica dada

descartar la opción sigue: y = f (1x1) =

la trasladada de

valor en x =4.

1 la gráfica de g se obtiene a

X

1 partir de la gráfica de y = - trasladándola en

X unidad hacia abajo.

8. a) f (x) = g(x) + I =IXI + l .

1 1 si x > o

g(x)= O si x = O

-1 SI x > O

Dom (g) = R Dom (0 = R - {O).

10. a) Y,

3 -- C....

2 -- c-0

1 -- - A b

-3 -i -1 0 - 1 2 3 4 x

->-1 - ---2 b)


1. Denotamos las funciones por f.

a) f es una función impar, cuyo dominio es

[-5,oh(0,5]=[-5,5f-{o].

b) f es una función par; Dom (f) = [-5,5].

f es decreciente en [-5,-41 y en [0,a]

f es creciente en [-a,~] y en [4.5].

f es constante en [-4,-a] y en [a,4 . El máximo valor de f (x) es igual a 3 para x = 0. El minimo valor de f (x) es -1 para x = 0.

c) f es periódica de período 1.

d) f no es par ni impar.

f es creciente en [d, a] y en [O, b]. f es decreciente en [a,O].

f es constante en [b,c].

f) f es periódica de periodo n y su dominio es

[o,.r).

2. a) y d) son pares. b) y c) son impares. e) no es par ni es impar.

3. a) Sea x l < x2. Distinguimos dos casos:

i) x l < x;! < O (son negativos) ii) O < x l < x2 (son positivos). Se tiene:

2 2 i ) x ~ < x z < O J x:>x$ 3 1-X, < i - x Z

3 f (xl) < f (XZ) luego f es creciente en

i i ) O < x ~ < x z s X $ X ~ 3 I - x ~ > I - ~ ~ 3 f (xl) > f (xz), luego f es decreciente en [O,w).

Esto también puede observarse en la gráfica de f.

b) f es creciente en (-m . O) y decreciente en ( 0.m ).

c) F es creciente en todo su dominio [O, m )

d) h es decreciente en (-m,~] y crecienteen [O, m).

4. Como f (-x) = - f (x), al hacer x = O obtenemos f (-O) = - f (O), es decir, f (O) = - f (O), 2 f (O) = 0. f (O) = o.

6. f (x) = ' , x t O es una función impar. Se " A

completa la gráfica por simetria respecto al origen de coordenadas.

f (-x) = -f (x) 1 ;.f (-x) = - f (x) = f (x) =) 2 f(x) = f(-x)= f(x)

= O 1-, f(x) = O. f es la función constante igual a

cero (función nula).

3 10. C1 para y = x4

C2 para y = x 2

Csparay=x ,

10 cual resulta de lo siguiente:

x E [0,1] * x4 5 x3 2 x2

X E ( l , r n ) ~ x4>x3>x2.

11. 1

211 luego f es unafunci periódica de período -.

W

a) AN = 5043838 - 194543 = 1849295 (habitantes).

es decir, en la población de Vene- habitantes por cada

AN

= 0,0413,

A t = 1 (aflo),

At

(se redondearon los resultados para obtener números enteros).

Si consideramos NI = 633265 como un valor aproximado de N = 561846, se comete un er ror absoluto por exceso igual a 71419, un error relativo aproximado a O,? 271 y un error porcentual aproximado de 12,7I0h que es bastante pequetio.

0,0916, es decir, el 9,16%. 22102

ii)1990 - 1991 : 32223 1991 - 1992 : 32223 + 9,16% de32223 -35175 1992 - 1993 : 351 75 + 9,16% de 35175 38397 1993-1994:38397+9,16%de38397=41914 etc. 2000 - 2001 : 7741 1 2001 -2002 : 7741 1 +9,16% de 7741 1 - 84502 2002 - 2003 : 84502 + 9,16% de 84502 w 92242.

La diferencia entre el número de docentes de los años 1993 y 2003 es 92242 - 41914 = 50328, y de este número se prevé que 36752 serán docentes activos.

Nota: Una forma más rápida de hacer los cálculos anteriores. cuando se supone una tasa de crecimiento constante (r = 9,16% en este caso) es la siguiente:

Sea No = 32223. Se tiene entonces

De manera análoga resulta

. . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . N, = (1,0916)" No (progresión geométrica de

razón 1,0916 y primer término No),

Como 2002 - 2003 corresponde a Nq2 entonces

NI2 = (1,0916)'~ 32223 * 92241,91 que

redondeamos a 92242.

El último cálculo es inmediato con una calculadora:

17. a) Corte de la gráfica de f, con el eje OX y corte de la gráfica de f con el'eje OY.

b) Corte de la gráfica de f con la recta y = a y luego las abscisas de los puntos de corte así obtenidos.

c) Se traza la recta L de ecuación y = b. Se observa la parte de la gráfica de f que está situada por encima de L y luego se leen las abscisas de los puntos correspondientes que se escriben en forma de intervalos:

f (x) > b, la solución es el intervalo (xl, xz),

249

d) Se traza la recta L de ecuación y = A. Se observa la parte de la gráfica de f que está por debajo de L, incluyendo los puntos de esta recta, y luego se leen las abscisas de los puntos correspondientes, que se escriben en forma de intervalos.

iii) x E (x3, x4) donde x3 S -1.25 y x4 w 1,25.

iv) No tiene solución

18. a)No=3060x106en1961. 1962:N1 =No+2%deN~=3121,2x106 1963 : N2 = NI + 2% de N1 = 3183,62 x 10" 1964 : N3 = N2 + 2% de N2 = 3247,29 x lo6 etc.

1971 : Nlo m 3730,12 x lo6 o sea aproximadamente 3730 millones de habitantes.

Nota: En lugar de ir calculando sucesivamente NI, N2, ..., NI0, se procede más rápidamente como se observó en la nota del ejercicio 15; siendo en este caso r = 2% = 0,02 y por lo tanto:

N, = (1,02)%0 y as1 se obtiene para 1971:Nlo

= ( 1 ~ 0 2 ) ~ ~ 3060 x 106*3730,12 x lo6.

b) Si queremos calcular la población mundial en el ano 1994, correspondiente a N33, se tiene:

N33 = (1 - 0 2 ) ~ ~ 3060 x 1 o6 5862,03 x lo6 es decir, aproximadamente 5882 millones de habitantes.

Nota: En los últimos años la tasa anual de crecimiento de la población mundial es i. 1,9%.

19. a) Representamos en un mismo sistema de coordenadas la recta de ecuación y = 3 x + 5 y la función exponencial y = 2 e-'.

Comprobemos e

Si f (x) = 3 x + 5,

f (-0,5) = 3,5 I "valores próximos" h (-0,5) m 3,297

Luego, un valor a roximado de la ralz de la ecuación

b) De manera an loga se procede con la ecuación

ntando las funciones definidas por:

x2 en un mismo sistema de

se cortan esas dos curvas

Comprobemos: I

que son "valores róximos". i Luego, un valor roximado de la raíz de la ecuación Ln x = x2 es 0,65 (x w 0,65). t

para una ecuación de la consiste en representar

gráficamente las funciones y = f (x), y = h (x) (preferiblemente en un papel milimetrado) en un mismo sistema de cordenadas y leer en el gráfico obtenido las abscisas de los puntos de corte de las dos curvas; estas abscisas son raíces aproximadas de la ecuación propuesta.

Nota: En la Unidad No 9 del Módulo 111 estudiarás otro método de obtener valores aproximados de esas raices.


iii) Dom (f) = [l ,m)-{l)=(l ,m).

iv) Dom (G) = [ l ,m).

b ) x + 3 t O Y X-1 >o=F(x)=J~+~JZ lo que está definido en [l,m) por (a-1).

x + 3 < 0 y X-1 <O=F(X)= J-x-3Jzl lo queestá definidoen (-,a] n (+, I]=(-,3] . Luego;

Nota: Recuerda que Dom (F) también se puede determinar directamente al resolver la inecuación

2. f (x) = x3 -2 x + 1 h ( x ) = x + l m (t) = 3 k (t) = t-2 p (t) = t-1 .

X 3. (f+g) (x) = f(x) + g (x) = x-1 + - - - X + l

- x2+x-1 --

X+l (x#-1)

Análogamente resulta

2 (S-f) (x) =

x- x +l.

X + l

"A V A Se tiene -1

CT-55000= 80000-55000 (Q - 3000),

5000 - 3000

luego

al CT=5 25 Q~17500.Q t[3000;5000] ,

C) CM indica costo medio unitario, siendo CM

i (Q) = -- CT(Q) ,

l

(El corte con el eje OY de y=(x-4)2 es (0,16) y la curva se prolonga hasta el punto (-1,25)).

1

9. Se traslada la gráfica C de y = t3 en c unidades hacia la derecha si c O, o bien en c unidades hacia la izquierda si c > O. Se obtiene la gráfica c1. Se multiplica la ordenada de cada punto de Cl por b. Se obtiene la gráfica C2. Se traslada la gráfica C2 en a unidades hacia arriba si a > O o bien en a unidades hacia abajo si a < 0.

Q

Se tiene

15000 CM (500) = -_ - - 30 500

55000 CM (3000) = - =18,33. 3000

d)

1 o.

1.25

0.75

0.5

0.25 10

11. a) 5000 Es. b) Qo = 3000. Puntos (3000; 55000) y (5000; 80000). Observamos que si

Q E [3000; 50001, entonces

253

*(g o (h + f)) (x) = g (h (x) + f (x))

= g ( ~ + x 2 + 1 ) = 3 ( ~ + x 2 + 1 ) +3

*(h o (f o g)) (x) = d= (2 f o 3 g o h)(x)=2(9

= 1 6 2 ( h z + 1 ) ~ +2= b) 37; A; 108.

En este caso se tiene f o g = g o f .

b) (g o F) (x) = G, si x 1.

(F o g) (x) = Ln (&)

en este caso g o F # F o g.

3. Sean h (x) = x-c, p (x) = x+c.

f (x-C) = (f O h) (x) f (x+c) = (f O p) (x) f (x)+c = (p O f) (x) f (x)- c = (h o f) (x).

4. F = f o h o g

l Ejercicios propuestos 5.5.3 I 1. a) No es inyectiva; no es sobreyectiva (Rg (f) =

[ 0, m)).

b) No es inyectiva; no es sobreyectiva (Rg (g) = (0,Il). l

! c) No es inyectiva; es sobreyectiva. I d) Es biyectiva; luego, tiene función inversa.

l I 1 e) Es biyectiva; luego, tiene función inversa. l I 9 No es inyectiva; sí es sobreyectiva.

2. a) F.

Existe b E Y tal que b e Rg (f) a Rg (f) # Y =, f no es sobreyectiva.

Como -a t a y f (-a) = f (a), entonces f no es inyectiva.

c) v. Por las pruebas de la recta vertical y de la recta horizontal y como se refiere a cualquier recta vertical y cualquier recta horizontal. entonces: Dom (g) = Rg (g) = R.

Ya que existen xl. x2 con XI + x2 tales que h (xl)= h (x2)=0. I

3. a) Es inyectiva; no es sobreyectiva pues el rango de f es el conjunto de los números pares.

b) No es inyectiva (f (-m) = f (m) = m'); no es

sobreyectiva pues Rg (f) = (0,1,4,9,16,25 ,... ).

c) No es inyectiva ni es sobreyectiva. Rg (f) = (k), I

Observa la diferencia con (d) donde aqul restringimos el dominio al intervalo [O,m) y por ello x H x2 es inyectiva.

d) No es inyectiva. Si es sobreyectiva.

e) Es biyectiva; f1 (y) = & o bien,

redenominando las variables, i1 (x) = A.

5. a ) ~ = ( x + a ) ~ + b = , x = ~ J y - b . a luego

6

f -' (Y) = 3Jy-b - a , o bien, redefiniendo las

variables, f (x) = 3a -a, 2 2 b ) ~ = J x + - j x = y - ~ , ~ u e ~ o ~ - ~ ( x ) = x - ~

g-l: [O,~)+[-I ,m). Sean xl, x2 E J. Si XI + x2 entonces x l < x2 o bien x2 < xl.

Tenemos entonces dos casos:

i) x l < x2, luego f (xl) < f (x2), ii) x2 < xl , luego f (x2) < f (xl).

y en cualquiera de ellos se verifica f (xl) # f (~2).

Asl, hemos demostrado que x l # x2 3 f (xl) t f (x2) y por lo tanto f es inyectiva.

. i) Supongamos que f es inyectiva entonces debemos demostrar la siguiente implicación:

f (xl) = f (x2) * X1 = X2.

En efecto. si x l # x2 entonces f (xl) + f (x2) (pues f es inyectiva), contrariamente a lo supuesto de f (x,) = f (x2) La contradicción proviene de x l + x2, y por lo tanto x l = X2.

ii) Recíprocamente, supongamos valida la implicación (l), entonces debemos demostrar que f es inyectiva. Sean xl, x2 E X tales que x l # x2.

Si fuese f (xl) = f (x2) se tendría x l = x2 (por (1)). lo que contradice a lo supuesto. Por lo tanto f (xl) # f !y2) y, en consecuencia, f es inyectiva.

Observa que las dos proposiciones demostra- das lo que nos indican es lo siguiente: El enunciado

x l # xz * f (xl) # f (x2) es equivalente al enunciado f (xl) = f ( ~ 2 ) * XI = X2.

8. a) ~ s t o indica que la calculadora este en MODE RADIAN

UNIDAD 6


0 Número de habitaciones por inmueble Puesto que no pueden haber 1,5 ó 3,75 habitaciones (es decir, el número de habitaciones es entero), ésta es una variable discreta.

Número de personas en el grupo familiar En este caso ocurre lo mismo que en el anterior: no pueden haber 4,25 personas, asi que esta variable es discreta

O Número de niños (varones y hembras) Con esta variable se tiene la misma situación que con la anterior, por lo tanto es discreta.

.Cuándo de estos niños están en educación preescolar. Es, básicamente, la misma variable anterior (seguimos contando niños) asi que es discreta.

0 Edades de los integrantes del grupo familiar Esta variable podría tomar valores decimales si la medimos en base a meses, es decir, una persona podría tener 45 meses de experiencia y esto representaria 3,75 años, por lo tanto seria de tipo continuo.

Sin embargo, la edad de la persona se mide oficialmente en años cumplidos, así que, a efecto del censo, es discreta.

Nivel de instrucción de la familia Oficiai- mente, se tienen cuatro niveles de instrucción (preparatoria, técnica, profesional y postprofesional) y cada uno tiene un número asig- nado, por lo tanto esta variable es'discreta.

Tipo de vivienda Con esta variable ocurre lo mismo que con la variable "Nivel de Instrucción": según el censo hay viviendas Tipo 1, Tipo II, etc., asi que también es discreta.

Tiempo que tiene el grupo familiar habitan- do la vivienda Aquí vale la misma explicación dada para la variable "Edades de los integrantes". Es, según la versión oficial, de tipo discreto.


1. (Capacidad instalada - Centrales eléctricas (en megavatios). Trataremos primeramente, la capacidad

1 hidráulica; los datos son 1465,2227,3017, 4428,5028,6317,6670,6707,6707,6749. (Observe que ya están ordenados). a) Escala artimética con m = 5 cm Para obtener la ecuación de la escala. halla- mos M

y la ecuación es entonces

o 1 2 3 4 5

REGIA EN CENIMElROS

Obsérvese que tenemos problemas para representar los datos 6670,6707 y 6749 por la cercanía de los números en la escala 434; 497; 5. Vemos lo que pasa con un segmento más largo:

b) Escala aritmética con m = 15 cm En este caso, el valor de M es:

asi que la ecuación de la escala es: x, = 0,009 ( y -0) = 0,009y !

b) Para m = 1 5 cm, el valor de M es I

y la ecuación de la escala es: & = 0,027 y. 1

c) Para m = 12 cm, el valor de M es: I y la ecuación de la escala es: l

Finalmente, veamos los datos refe[entes ai diesel; estos son 0, 209, 223, 236, 250.

a) Para m = 5 cro, M vale:

y la ecuación de la escala es:

b) Para m = 15 cm, IVI toma el valor

y la ecuación de la escala es

;q = 0,06 w.

I y por lo tanto, la ecuación de la escala es:

b) Para m = 14 cm, el valor de k es:

y la ecuación de la escala es:

& = 18,71 ( log 'q - log 380).

0 1 2 S < I . 7 0 S ,o t ? , ? ? , , ,

REDU a -m

c) Para m = 16 cm, k toma el valor

y la ecuación de la escala es xi = 21,39 (lag Wi -10~~380)

lrcuolmmmm Trabajaremos ahora con los datos referentes a Producción; los datos ordenados ascendentemente son: 44979,45629,47335,48852,49788,51765, 52905,55525,56742,61084,61320,64754, 67160,71540,78475,79935,109953,137568, 140254,147037,155329,159983,160543.

a) Para m = 10 cm, k toma el valor

k = 1 o = 18,097

l0g160 - 10944979


b) Para m = 14 cm, el valor de k es.

log160543 - log44979


x, = 25,336 (log W, -10g44979).

w, Xl WI x, Wl 44979 O 56742 2,56 109953 9.84 45629 0,16 61084 3,37 137568 12,30 47335 036 61320 3,41 140254 12,51 48852 0,91 64754 4,OO 147037 13,03 49788 1.12 67160 4,41 155329 13,64 51765 1,55 71540 5,11 159983 13,96 52905 1,79 78475 6,12 160543 14 55525 2,32 79935 633

-

44979 0,18 61084 3,85 137568 14,06 47335 0,64 61320 3,90 140254 14,30

GLOSARIO

AMPLITUD DE UNA CLASE: Es la longitud del intervalo de clase.

BIYECCIÓN (BIYECTIVA): Es una función que es a la vez inyectiva y sobreyectiva

CARTESIANO-PRODUCTO (CONJUNTO PRODUCTO): El producto cartesiano X x Y de dos conjuntos X y Y es el conjunto de todos los pares ordenados (x,y), donde x E X e y E Y

CARTESIANO-PLANO (PLANO REAL): Es un plano dotado de un sistema de coordenadas cartesianas.

CLASE (INTERVALO DE CLASE): Intervalo cuyos extremos encierran parte del rango de variabilidad de la característica que se estudia

COMPOSICION DE FUNCIONES (FUNCION COMPUESTA): Dadas dos funciones f: X +Y, g: Y+Z, la composición de f seguida de g, denotada g o f, es la función g o f: X+Z definida mediante (g o f) (x) = g (f (x)) para todo x t X. g o f se lee "g compuesta con f " o bien "f seguida de g".

CONSTANTE - FUNCIÓN: En cálculo, una función constante es una función real f tal que f(x)=k para todo x E R, donde k, el valor L ! la función f, es un número real fijo

CONTRADOMINIO DE UNA FUNCIÓN: Si f: X+Y es una función, el conjunto Y se denomina contradominio de f (conjunto donde f toma sus valores).

CRECIENTE-FUNCIÓN: Una función f definida en un intervalo J es creciente si verifica la siguiente propiedad: f(xl) < f(x2) para todos los XI,X~ del intervalo J satisfaciendo xl<x2.

DATO (EN ESTAD~STICA): Valor observado o medición de una variable

DECRECIENTE-FUNCI~N: Una función f definida en un intervalo J es decreciente si verifica la siguiente propiedad: f(xl)>f(x2) para

, todos los xl,x2 del intervalo J satisfaciendo x.i<xz.

DISTANCIA: a) Entre dos números reales xl,x2 O dos puntos A(xl), B(x2) de una recta real, es el número 1x2 -x,l

-

b) Entre dos puntos A (xl ,yl) B(x2,y2) de un plano real, es el nOmero J62 x i l2 +(Y 2 - Y 1 y En ambos casos la distancia es la longitud AB del segmento AB

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN: Si f: X+Y es una función definida en el conjunto X, se dice que X es su dominio.

ECUACIÓN DE UNA RECTA: a) Recta horizontal y=k. b) Recta vertical x=k. c) Forma punto-intersección. y=mx+b. d) Forma punto-pendiente y-y1 =m(x-xl). e) Que pasa por dos puntos y-y1 = [(y2-yl)l(x2-xl)] (x-xl) si XI t. XZ. f ) Ecuación general Ax+By+C=O, con A y B no simultáneamente nulos.

ESCALA EN UN PLANO O MAPA O DIBUJO: Es igual a la longitud sobre el dibujo dividida por la longitud real. I FRECUENCIA0 FRECUENCIA ABSOLUTA DE UNACLASE: Es el número de 0bse~ac ione~ contenidas en la clase. I FUNCI~N (APLICACI~N): Una función F de X en Y, donde X e Y son conjuntos, es una relación de en Y, esto es un subconjunto de XxY satisfaciendo la siguiente propiedad: para cada x E X hay mente un único y EY tal que (x,y) EF. En forma descriptiva y práctica se dice que una función de X en regla F (o correspondencia) que asociaaa cada elemento x E X un único elemento y EY

GRAFICA(REPRESENTACI~N GRAFICA) DE UNA FuNCI~N F EN UN P CARTESIANO: Es el subconjunto de todos los puntos P(x,y) del plano tales que y=F(x).

IDENTIDAD-FUNCI~N: La función identidad de un conjunto S es la función que a cada elemento x E S asocia el mismo elemento x. Esta función se denota mediante Id,, luego Id,: S-tS está definida p r Id,(x)=x para todo x ES. I IMAGEN: Sea f: X+Y una función. a) La imagen del elemento x E X es el element f(x) EY. b) La imagen o rango 1 o recorrido de la función f es el subconjunto de Y formado por las imhge S f(x) de todos los elementos x E X. La imagen de f se denota Rg(f), luego Rg(f)=(f(x): x EX} c Y. I IMPAR-FUNCI~N: Una función f es impar si verifica que f(-x) = -f(x) para todo x,-x E Dom(9.L gráfica de una función Impar es simétrica respecto al origen de coordenadas.

INCLINACIÓN DE UNA RECTA: Es el ángulo que forma dicha recta con el semieje positivo de las absclsas. I INTERVALO DE CLASE: (Ver clase).

INYECTIVA-FUNCIÓN (INYECCIÓN): I Una función f: X-rY es inyectiva si para todo par xl,x2 tales que x i 8 x2 ntonces f(xi) # f(x2). Esta definición es equivalente a que f verifique la siguiente propiedad: f(xl i PAR-FUNCI~N: Una función f es par si verifica que f(-x) = f(x) para todo x,-x E Dom(f). gráfica de una función par es simétrica respecto al~eje de ordenadas OY.

PENDIENTE DE UNA RECTA: Si una recta tiene inclinación a, su pendiente m se define por m=tg a. I l PERI~DICA-FUNCI~N: Una función f se dice que es periódica de periodo un verifica que f(x+T)=f(x) para todo x E Dom(f) con x+T E Dom(f). El menor periódica f es el que usualmente se denomina el PERIODO de la función. I

1 PORCENTAJE DE UNACLASE: Se obtiene multiplicando la proporción de la clase por 100. I PLANO CARTESIANO O PLANO REAL: (Ver cartesiano-piano).

PRODUCTO CARTESIANO: (Ver cartesiano-producto).

264

PROPORCIÓN DE UNACLASE: Es el cociente entre la frecuencia de la clase y el número total de datos

RANGO O RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN: (Ver imagen).

RELACIÓN: Una relación del conjunto X en el conjunto Y es un subconjunto R de X xY. Si (a,b) E R se dice que a está relacionado con b y se escribe a R b. SI X=Y se habla de relación en X

SOBREYECTNA-FUNCI~N (SOBREYECCIÓN): Una función f: X+Y es sobreyectiva si el recorrido de f es todo el conjunto Y. Esto significa que dado cualquier elemento b E Y, entonces existe algún elemento a E X tal que b=f(a).

SUCESIÓN: Una sucesión en un conjunto X es una función f:N-{O) +X. Si X=R se dice que f es una sucesión de número reales.

TASA MEDIA DE VARIACIÓN O TASA MEDIA DE CAMBIO'DE UNA FUNCIÓN: Si f es una función entonces su tasa media de cambio o de variación en el intervalo [xl ,x2] se define como el siguiente cociente incremental:

VALOR MÁXIMO DE UNA FUNCIÓN: Es la ordenada del punto "más alto" en la gráfica de la función. Pueden existir más de uno de tales puntos "más altos" con la misma ordenada.

VALOR MINIMo DE UNA FuNCIÓN: Es la ordenada del punto;'más bajo" en la gráfica de la función. Pueden existir más de uno de tales puntos "más bajos" con la misma ordenada.

VARlAüLE CONTINUA: Es el tipo de variable con el que se pueden obtener todos los puntos contenidos en un determinado intervalo.

VARIABLE DISCRETA: Una variable se dice discreta si los valores que toma se pueden considerar como valores separados y no continuos.

BIBLIOGRAF~A

la Bibliografla complementaria para estudiar otros pu ercicios resueltos además de hacer ejercicios propuestos concernientes a los contenidos de seflaiar que gran parte de estos contenidos se estudian en las etapas p y, en consecuencia, puedes repasar varios de ellos en algunos de los noveno grado de la Escuela Básica y en los dos aflos de la Educación Media ada, en los cuales puedes revisar ejemplos, hacer prácticas con funciones, con de coordenadas y diversas representaciones gráficas de datos. Por otra parte, puedes necesitan para la comprensión de este Módulo y de los siguientes.

En cuanto a los libros de "CALCULO" o de "CALCULO CON frecuentemente se titulan en la Educaclón Superior, en su mayoria, en lo relativo a los sistemas de coordenadas, las funciones y sus gráfica uno o dos de estos textos pues te serán útiles en los Módulos que sigu estudies otras asignaturas de Matemátrca. Entre estos sugerimos los si 1) en relación con el contenido de las Un~dades 4 y 5:

1. LARSON, ROLAND & HOSTETLER, Robert, Cálcul McGraw-Hill, México, 1986 (2da. edición). El capitulo 1.

2. LEITHOLD, Louis, El Cálculo con Geometrla Analitic Una parte de los capitulas 1 y 2: lo relacionado con el pla fórmula de la distancia, ecuaclones de una recta, funci funciones y algunas funciones especiales.

3. ZILL, Dennis G., Cálculo con Geometrla Analítica, 1987. El capltulo 1 y el punto 7.1 del capltulo 7 que trata de inversa (pág. 382-385), aqul debes prestar atención a I aspecto de la nuestra: lo que nosotros denominamos texto "ámbito o contradominio" (ver la pág. 28).

Para la Unidad 6, esto es. lo de "otras representaciones sobre Estadistica Descriptiva. A continuación sugerimos dos de orden mencionado:

1. RiVAS GONZALEZ, Ernesto, Estadística General Venezuela (UCV), Caracas.

2. KREYSZIG, Erwin, Estadistica Matemática, Apll MBxico.

Y en lo concerniente al estudio de los distintos tip

3. SADOSKY, Manuel, Cálculo Númerlco y Gráfic Aires, 1973.

4. HALL, A.C., Construcción de Gráficas y Diqgr

Y si además te interesa conocer otros aspectos mapas y planos, puedes consultar:

5. AROCHA REYES, Jos6 Luis, La Escala en el Biblioteca, Universidad Central de Venezuela, C

266

Abscisa o coordenada x, 27

Aniplitud de una clase, 179

Aplicación (ver función), 78 Aritmética

escala (ver escala), 204

Rase de los logaritmos, 105 (ve: Iogaritmos)

Biyectiva (verfunción), 148, 150

Cartesiano plano, 37. 57 producto, 74

Cerrado, seniiplano, 70

Clase (S) compuestas, 178 elementales, 178 intelvalo de, 175, 176

Codominio de una función, 78, 79

Componentes de un par ordenado, 38.40,74-76

Composición de fiinciones, 138, 144

Compuesta (ver composición), 138. 144 Compuesto, 178.179 Constante,

función, 103, 108 Coordenadas

cartesianas o rectangulares, 27.37,41 ejes de, 39 en un plano, 39,40 en una recta, 27 sistema de. 26

Continua variable (vervariable). 173

Contradominio de una función, 79

Correspondencia, 27,72,78 Creciente

función, 125. 126 Crecimiento

de funciones (ver creciente), 125, 126 Cuadrantes, 40,49 Cuadrática

función, 103, 108 Cubo.

función. 108

Dato, 171 Decreciente,

función, 425, 126 Decrecimiento

de funciones (ver decreciente), 125,126 Dependiente,

variable (ver variable), 128 Descartes, René, 39, 84

Diagrama de barras agriuoadas, 1x3 de írncuencia.? acvmu!adzs, :82

Discrnía, variahle (ver vzriob'e!. 172

Dista'rcia del "taxis!a". 47 enFe dos núveros rnaies o 0'3s. pi.infos de una recia. 4.1 entre dos pi~qtcs de i!n nlzne, 45 fór-i.u!íi r;e ;a d'siaqcia euc;licisna, cíj

Dominio de ima furcihn, A 8 78. 79. PO

Ecuación (es) de una recta, 64.55.67 con dos variables, 49: 130 forma ou~:o-inte~sncci6~, 64. forma punto:pe~die~le. 64 lineal con dos variabtes, 67, 130 sistema linea! de. M, 69

Eje (S) de abscisas o eje OX, 39 de coordenadas, 39 de ordenadas o eje OY, 39 ho;izonia!.. 39 vertical, 39

Elemental. 778 Elementales

funcrones, 89,97. 103. 119. Escala

aritmética o uniforme 204 Celsius o centicrada,'29 de Richter, 11 1 en el mapa. carta o plano. 31 en forma gráfica, 33 en forma numérica, 33 Fahrenheit, 29 logarítmica, 207

Exponencial, función, 104, 109

Fechner- Weber, Ley de, 110

Fermat, Pierre. 84 Figura

geométrica, 49 Forma

punto-intersección de la ecuación de una recta, 64 punto-pend enre de la ec..acihn on .nn rccta 64

Fórrn- a Dara a o s'anc'a euc oiatia A h

(ver distancia) Frecuencia

de una clase, 176 Frontera

o borde de una región, 50,70 Función (es)

afin. 103, 108, 130 biyectiva, 148. 750 cociente de, 138, 139 codominio de.una, 78, 79 compiiesta (composiciin de), ?nd constante. 13w. '27

contradominio de una, 79 creciente, 125, 126 cuadrAtica, 103. 108 cubo, 108 decreciente, 125, 126 definición de, 71.72,78 definida por trozos o por secciones, 81,114 diferencia de, 138,139 dominio de una, 72,78,79. 90, 93 exponencial, 104,109 gráfica de una, 78 identidad, 108, 151 imagen de una, 79 impar, 122 inversa de una, 138,148 inverso de x, 109 inyectiva (Biunfvoca o uno a uno), 148,150 Irraccionales, 104 lineal, 67, 108 logarltmica, 104,109 máximo de una, número de una, mínimo de una, 121 "opuesto de x", 108 par, 122 periódica (periodicidad de funciones), 132 polinimica, 103 por trozos o por secciones, 112 producto, 138, 139 racionales, 104 raíz cuadrada, 104,105 rango o recorrido de una, 78,79 real, 79 representación gráfica de una, 78 (ver gráfica) sobreyectiva, 148,150 suma de, 138,139 triaonométrlcas, 106 v i o r de una, 98 tabla de valores de una, 93 tasa media de variación o tasa media de, 93 cambio de una, 128

Geometría analítica. 38.89

Gráfica (as) de una función, 79,154 reoresentación, 79,93,210,214,217 trasladadas, 112

Hipérbola, 104 Histograma, 179

Imagen de un elemento, 79 de una función (ver rango), 79

Impar función (verfunción), 122

Inclinación de una recta, 58

Incremento (S) de x, 126,130 de y, 128,130

(ver variable), 128,172

Intervalo

Inversa

Leibniz, G P . , 84 Linea rect 27

m0 A lo, 54,67,71,130 Logarítmi

Ln, 105, 1

Marca

Máximo

Mínimo

Modelo

Ordenada

Origen, U 27.37

Papel

Par I

deuna clase, 177 Producto

cartesiano, 74, 75 de funciones, 139

Proporción de una clase, I 77

Proporcionalidad directa, 52, 66, 130 relaciones de, 52, 130 inversa, 110 tabla de, 67

Proyección ortogonal, 39 Prueba

de la recta horizontal, 153 de la recta vertical, 102

Punto medio, 60 intersección, forma, 64 pendiente, forma, 64

Raiz cuadrada, función, 104. 109

i Ranao ., ~

(recorrido) de una funcidn, 78,79 Recta (S)

corrimiento o avance, 60 o desplazamiento de una, 60 desnivel o elevación de una, 60 ecuación de una. 64.65 horizontal, 27.38,58: 65, 153 inclinación de una, 58,59, 62 paralelas, 58. 62

t pendiente de una, 59,60 perpendiculares, 70 real o numérica, 26,27,57 vertical, 27, 38, 58,60, 65, 102

Regiones acotadas, 51 de un plano, 49,50 no acotadas, 51

Regla graduada, 28 de tres simple directa, 52

Relación (es) definición de, 71, 74, 76, de proporcionalidad, 52,130

secciones, funciones definidas por, 114 Sectores circulares, 184 Semipiano (S), 44

abierto (S), 70 cerrado (S), 70

Simetría de las funciones (propiedades de), 121,1 respecto al eje OY, 121, 127 respecto al origen, 121, 122

Sistema de coordenadas, 25,37,89 linea de dos ecuaciones, 69

Sobreyectiva (verfunción), 148 Sucesión, 107 Suma de funciones, 138,139

Sustracción de funciones, 138, 139

Tabla de proporcionalidad, 67 de valores de una función, 93

Tangente trigonometrica, 57, 106 Tasa

media de variación o media de cambio de una función, 128

Thales, teorema de, 48.63 Transformación

de coordenadas en una recta, fórmula de, 30

Trasladadas. gráficas (ver gráfica), 112

Torfas, diagrama de (ver sectores circulares), 184

Uniforme, escala (ver escala), 204

Valor (es) absoluto de una función, 109 de una función, 121 máximo de una función, 121 minimo de una función, 121 tabla de, 93

Variable continua, 173 dependiente, 72,128 discreta, 173 independiente, 72, 128

Variacidn de una función, 128 directamente proporcional, I 10 inversamente proporcional, 110 tasa media de, 128

Velocidad media, 69

- ~.

Este libro se terminó de imprimir en el mes de Junio de 1998

en los talleres de Grabados Nacionales, C.A. La Victoria, Estado Aragua.

Telefonos: (044)-22.02.85 - 2206.12 22.07.42 Telefax: (044)-22.02.45

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