modulo de reaccion
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ANÁLISIS DEL MÓDULO DE REACCIÓN LATERAL EN SUELOS LIMOSOS
Pedro A. Arrúa(1); Franco M. Francisca(2)(3); Roberto E. Terzariol (1)(3) y Emilio R. Redolfi (1)(3)
1 Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Córdoba. Departamento de Ingeniería Civil. Maestro M. López esq. Cruz Roja Argentina. Ciudad Universitaria - CP 5016. Email: [email protected]
2 CONICET - Universidad Nacional de Córdoba. Vélez Sarsfield 1611, CP 5016. Email: [email protected]
3 Universidad Nacional de Córdoba, FCEFyN, Área Geotecnia.
RESUMEN Para el cálculo y análisis de pilotes sometido a esfuerzos laterales utilizando curvas presión-deflexión (p-y) se requiere de la variación del módulo de reacción lateral del suelo para diferentes niveles de deflexión y profundidad ya que se trata de un problema con no linealidades importantes. Diferentes autores proponen la utilización de coeficientes que permiten estimar la presión desarrollada en el suelo en relación a la deflexión del pilote, considerando constante o lineal la variación del módulo del suelo en profundidad para arcillas y arenas respectivamente. Para el caso de suelos limosos, la obtención de curvas p-y requiere de análisis particulares con variaciones intermedias a la lineal y constante del módulo de reacción del suelo. En este trabajo se presenta un análisis inverso utilizando simulaciones numéricas para la determinación de las propiedades del suelo e interacción suelo-pilote para diferentes niveles de carga y deformación. Los resultados obtenidos muestran que es posible establecer un coeficiente (mh) como función de la deflexión para calcular la variación en profundidad del módulo de reacción horizontal para diferentes deformaciones. Las modelaciones indican que no existen diferencias importantes en la estimación de las deflexiones producto de las condiciones de vínculo adoptadas para la punta del pilote.
PALABRAS CLAVES: módulo de reacción lateral - curvas p-y - elementos finitos planos
ABSTRACT Piles under lateral loads are usually analyzed by using p-y curves. This procedure requires the lateral reaction soil modulus at different strain levels and depth since the soil-pile interaction is highly nonlinear. In general, soil reaction modulus is considered depth independent for clays. On the other hand, in case of sandy soils the modulus increase almost lineally with dept. In this work an inverse analysis is performed to compute the reaction modulus and p-y curves for piles bored in silty soils. Results show that pile deflection are related to the subgrade reaction modulus, which in turns increase almost linearly with depth with similar behavior than for sandy soils. Numerical results show that the boundary conditions at the pile tip have little relevance for the simulated pile response.
KEY WORDS: lateral reaction modulus - curve p-y - plane finite element
INTRODUCCIÓN El diseño de pilotes sometidos a esfuerzos horizontales generalmente se realiza en base a dos criterios, que conducen a metodologías de cálculo diferentes. Estas alternativas consisten en determinar la resistencia lateral última (Rowe 1956, Brinch Hansen 1961, Broms 1964a, Broms 1964b, Slack y Walker 1970, Shen y The 2004, entre otros) y el cálculo de la carga de servicio para una deformación aceptable (Matlock y Reese 1960, Matlock 1970, Poulos 1971, Reese et al. 1974, Reese y Welch 1975, Duncan et al. 1994, Hsiung y Chen 1997, Hsiung 2003). Gran parte de estos métodos se basan en la formulación desarrollada por Timoshenko (1930), quien en base al modelo de Winkler (1867) establece la solución al problema de la viga sobre fundación elástica que resulta ser la base de las formulaciones en pilotes sometidos a esfuerzos laterales. Se considera al pilote como un elemento de viga y se asume que las secciones se mantienen planas y normales al eje longitudinal durante las deformaciones por flexión. A partir de la ecuación de la elástica se define el momento (M), el esfuerzo de corte (Q) y la carga de reacción lateral del suelo sobre el pilote (q) como:
2
2
3
3
4
4
d yM EIdx
d yQ EIdxd yq EIdx
= −
=
=
(1)
Donde y = deflexión del pilote y x = profundidad. Considerando una viga prismática apoyada sobre un medio elástico durante las deformaciones, la reacción del suelo es una función de la deflexión la cual a su vez depende del módulo de reacción del suelo (k). Para bajas deformaciones donde el comportamiento del suelo puede asumirse lineal elástico, resulta:
q k y= ⋅ (2)
Reemplazando la ecuación (1) en (2) y operando se obtiene la ecuación que gobierna el comportamiento del pilote sometido a carga lateral (3), cuya solución exacta se presenta en la ecuación (4):
4
40d yEI ky
dx− = (3)
( ) ( )( ) ( ) ( )( )cos cosβx βxy e A βx Bsen βx e C βx Dsen βx−= + + + (4)
Donde 4 /β k EI= y los coeficientes A, B, C y D, se determinan en base a las condiciones de contorno del problema. En el caso de la viga semi-infinita sobre fundación elástica se espera que en el extremo, la deformada y el giro sean nulos. La solución de la ecuación diferencial (3), posee coeficiente A = B = 0 con lo cual los coeficientes C y D de la ecuación se determinan para las condiciones del problema particular (ecuaciones (5)). Resolviendo el sistema lineal de ecuaciones se obtiene las expresiones (6) que reemplazadas en (4) permiten obtener la deflexión, momento flector y el esfuerzo de corte como:
2 3
02 30 0
x x
d y d yEI M EI Pdx dx= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ∧ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (5)
0 03 2
2 2
P βM MC DEIβ EIβ−
= ∧ = (6)
( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( )
03
0
0
cos cos2
2 cos
cos
βx
βx
βx
ey P βx M β βx sen βxEIβ
Q e βM sen βx P βx sen βx
PM e M sen βx βx sen βxβ
−
−
−
= − ⎡ − ⎤⎣ ⎦
= − ⎡ − ⎤⎣ ⎦
⎧ ⎫= ⎡ + ⎤ −⎨ ⎬⎣ ⎦
⎩ ⎭
(7)
Para la aplicación de las expresiones mostradas en la ecuación (7) es necesario establecer parámetros altamente dependientes de las características y variabilidad de las propiedades del suelo. Las hipótesis utilizadas por diferentes investigadores limitan la universalidad de las mismas, que consideran el módulo de reacción lateral del suelo constante en profundidad. Consideración que no es aceptable para suelos granulares.
VARIACIÓN DEL MÓDULO DE REACCIÓN LATERAL EN PROFUNDIDAD Para el cómputo de deflexiones en pilotes sometido a cargas laterales, se requiere de la definición de la rigidez flexural, obtenida por el producto entre el módulo de elasticidad y el momento de inercia (EI) y el módulo de elasticidad del suelo (Es) o el módulo transversal de corte (Gs) o el módulo de reacción lateral del suelo (kh). En el rango elástico (pequeñas deformaciones) es suficiente conocer Es y Gs, para los cuales, generalmente no se considera su variación en profundidad. Cuando se pretende analizar el rango no lineal, estos parámetros son insuficientes y en consecuencia se recurre al módulo de reacción lateral (kh) definido como el cociente entre la presión desarrollada por el suelo (p) ante la aplicación de la carga y la deflexión producida (y):
h
pky
= (8)
La Fig. 1. presenta una representación esquemática de la variación del módulo del suelo. La cual varía conceptualmente del módulo de Young. En el primer caso (módulo de reacción lateral) se establece como la relación entre la carga distribuida aplicada al pilote por la reacción en el suelo y las deflexiones provocadas por la solicitación aplicada a la cabeza del pilote. En el segundo caso (módulo de Young), se establece a partir de la relación entre tensión y deformación específica. Se asume que la reacción del suelo es independiente de la continuidad entre partículas y se considera que el medio, puede ser reemplazado por resortes elásticos independientes entre sí, colocados a una distancia tan pequeña como se quiera. Por otro lado, cuando se realizan análisis de capacidad, se acepta que los módulos dependen de la relación entre la capacidad y la demanda. Para relaciones entre 1/3 a 1/2 de la capacidad última del suelo se recomienda la utilización del módulo tangente, y para valores superiores el módulo secante (ver Fig. 1). Cuando los niveles de deformación son superiores es necesario establecer degradación del módulo.
Módulo secante
Módulo tangente inicial
Rea
cció
n de
l sue
lo p
(kN
/m)
Deformación lateral y (m)
p(y)
Módulo secante
Módulo tangente inicial
Rea
cció
n de
l sue
lo p
(kN
/m)
Deformación lateral y (m)
p(y)p(y)
Figura 1: Reacción lateral del suelo en función de la deflexión
Terzaghi (1955) propone que el módulo de reacción lateral de las arcillas (kh) es constante en profundidad, mientras que para las arenas el mismo varía en forma lineal con la profundidad de tapada (kh = nh x). Trabajos más recientes muestran que la variación en profundidad depende del tipo de suelo analizado. La Fig. 2 presenta la variación del módulo de reacción lateral en profundidad probable comparado con el idealizado (Davissson 1963).
Prof
undi
dad
kh
k = constante
Siuación mas probable
(a)
Prof
undi
dad Siuación mas
probable
k = nh x
kh
(b)
Prof
undi
dad
kh
(c)
Prof
undi
dad
kh
(d)
Figura 2: variación del módulo de reacción lateral en profundidad. (a) suelo cohesivo. (b) suelo granular. (c) arcilla normalmente consolidada y disecada. (d) estrato superficial blando (Davisson
1963 en Prakash y Sharma 1990)
En suelos limosos la determinación de la ley de variación de “kh” está ligada a los parámetros resistentes, índices de Atterberg y condiciones generales del suelo. Terzariol et al. (2006a,b) obtuvieron para suelos limosos expresiones empíricas que relacionan el módulo de reacción lateral con la profundidad para suelos con humedad natural (kh(HN)) y próximo a la saturación (kh(SAT)):
( )( )( )( )
0,95
0,94
9365.
9146.
L zkh D LL zkh D L
=
= (9)
Las ecuaciones (9) asumen pequeñas deflexiones y nula degradación del módulo con el nivel de deformación.
Los métodos basados en curvas p-y tradicionalmente aceptados no permiten considerar los pilotes instalados en suelos diferentes de arcillas y arenas. Se ha propuesto una modificación a estos procedimientos que permite extender los métodos de cálculo existentes para el caso de suelos limosos. Se han efectuado calibraciones considerando curvas p-y desarrolladas para arcillas y arenas, encontrando que para suelos loéssicos el comportamiento de pilotes a largo plazo se aproxima al observado en suelos granulares. Similares observaciones fueron realizadas por Terzariol et al. (2006a,b). Las curvas p-y empleadas para efectuar la aproximación a los resultados experimentales se componen de tres tramos: a) inicial con comportamiento lineal, b) intermedio con comportamiento exponencial y c) final con comportamiento lineal. Cada uno de los tramos es obtenido a partir de los parámetros resistentes medios del modelo de Mohr-Coulomb. Se consideran los parámetros del suelo a través de un análisis probabilístico y se proponen que la variación en profundidad del módulo de reacción horizontal presenta una función intermedia a la de suelos arenosos o arcillosos. Se adoptan para la variación en profundidad del módulo de reacción lateral kh una expresión modificada de la propuesta por Palmer y Thompson (1948) que responde a la ecuación:
n
h h
xk mD
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
(10)
Donde n es un coeficiente que establece las características de variación en profundidad que para valor unitario, la expresión resultante indica un comportamiento del módulo de reacción lateral de variación lineal en profundidad caracterizado por la pendiente mh. Si n es nulo el módulo de reacción lateral permanece constante en profundidad. Finalmente establecen que el valor de n que calibra la respuesta del pilote a nivel de terreno corresponde a n = 0.8 (Arrúa 2006). La Fig. 3 muestra la relación que existe en las variantes enunciadas para suelos arcillosos, limosos y arenosos. La Tabla 1 presenta una recopilación de valores frecuentemente recomendados de coeficiente de reacción lateral del suelo y módulo de reacción del suelo útiles en la estimación de deflexiones laterales. La utilización de estos módulos y coeficientes, requiere de especial cuidado, por cuanto su rango de variación es elevado. En este trabajo, la tridimensionalidad del problema no se tiene en cuenta si bien numerosos autores consideran que la variabilidad de las condiciones del suelo tiene mayor influencia en la estimación del comportamiento que los errores producidos por el modelo (Harr 1987).
REDUCCIÓN AL COMPORTAMIENTO BIDIMENSIONAL La ecuación diferencial que gobierna el problema de pilotes en estado plano de tensiones asumiendo que se comporta como una viga lineal elástica puede escribirse como:
2 2
2 2( ) ( , ) 0d d y d dyEI P z p z y
dz dz dz dz⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ (11)
El primer término representa el comportamiento en flexión, el segundo tiene en cuenta la carga axial sobre el pilote y su efecto ante el desplazamiento horizontal y el tercero la reacción del suelo. Un esquema del problema se presenta en la Fig. 4.
0
1
2
3
4
5
0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000Módulo de reacción lateral (kN/m )
Prof
undi
dad
(m)
Variación para arena
Var
iaci
ón p
ara
arci
lla
Variación propuesta por Terzariol et al. (2005)
Variación propuesta por Arrúa et al. (2006)
20
1
2
3
4
5
0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000Módulo de reacción lateral (kN/m )
Prof
undi
dad
(m)
Variación para arena
Var
iaci
ón p
ara
arci
lla
Variación propuesta por Terzariol et al. (2005)
Variación propuesta por Arrúa et al. (2006)
2
Figura 3: Variación del módulo de reacción lateral en profundidad
Tabla 1: Valores recomendados de kh y nh del suelo
Módulo de reacción lateral [kN/m2] Tipo de suelo kh Comentario
Arcilla con gravas 5180 Arcilla Limosa 2590 Limo y turba 1260
Limo arcillo orgánico 2100 Arcilla rígida 3500
Los valores de módulo de reacción lateral (kh) presentados corresponden niveles de carga de 30 kN aplicada a nivel de superficie con movimientos horizontales entre 0.0264m a 0.00787m. Robinson (1979)
Coeficiente de reacción lateral [kN/m3] Densidad Relativa Suelta Media Densa
Terzagui (1955). Valores recomendados para arenas sumergidas 720 – 2130 2130 – 7190 7190 – 14098
Reese et al. (1974) 5530 16585 34553 Das (2001). Arena saturada 1000 – 1400 3500 – 4500 9000 – 12000
Das (2001). Arenas secas o húmedas 1800 – 2200 5500 – 7000 15000 – 18000
Davisson (1970) Entorno: 420 – 55290 En general: 2770 – 27640
y
x
Longitud del pilote por debajo del nivel de terreno
“L”
Carga Vertical “N”
Momento aplicado “M”Carga
Lateral “Q”
Diámetro del pilote “D”
Pilote deformado
y
x
Longitud del pilote por debajo del nivel de terreno
“L”
Carga Vertical “N”
Momento aplicado “M”Carga
Lateral “Q”
Diámetro del pilote “D”
Pilote deformado
Figura 4: Pilote sometido a carga vertical, lateral y momento con cabezal libre
En general se acepta que el término de reacción del suelo es de comportamiento no lineal y variable en profundidad. Esta ecuación no posee solución cerrada por lo cual, a los fines de simplificar el problema, se considera aceptable discretizar el pilote con el propósito de obtener la respuesta del comportamiento del suelo para cada profundidad. Debido a que el desplazamiento debe ser conocido antes de poder evaluar la presión de suelo se requiere de un proceso iterativo en el cual, es necesario para definir paso a paso el módulo de elasticidad tangente del suelo. El análisis resulta viable si son conocidas las curvas p-y y su relación con las propiedades físico-mecánicas del suelo. Cuando estas no están disponibles se requiere de análisis inversos para su obtención y posterior generalización. Diferentes autores efectuaron ensayos sobre pilotes cargados lateralmente instalados en arena o arcillas y proponen curvas p-y mediante funciones compuestas o relaciones parabólicas e hiperbólicas (Murchison y O’Neill 1989, Matlock 1970, Reese et al. 1974, Reese y Welch 1975). El problema reside en establecer un modelo que represente adecuadamente el comportamiento del pilote y cuyas condiciones de contornos sean consistentes. De este modo es posible establecer variaciones en profundidad y en deflexión del los módulos de reacción del suelo. Puede efectuarse a tal fin un análisis inverso empleando resultados experimentales y herramientas computacionales las cuales facilitan el cómputo y permiten obtener resultados de manipulación no muy complicados.
METODOLOGÍA DE ANÁLISIS Se consideran pilotes sometidos a una carga horizontal referidos al sistema de coordenadas global de 5 m de longitud y 0.40m de diámetro. Las alternativas de análisis planteadas se presentan en la Fig. 5. Se asume que a la profundidad de implante, la sección posee rotaciones y deflexiones pequeñas o nulas lo cual se condiciona mediante dos vínculos de segunda especie y resortes en profundidad. En la segunda alternativa se asume que no existen desplazamientos importantes en el pie del pilote pero que pueden existir rotaciones de la sección por efecto de la carga lateral aplicada a nivel de superficie, situación que pretende ser contemplada mediante un apoyo fijo y resortes tanto en la punta como en profundidad. Finalmente la tercera alternativa contempla la situación de traslación en la punta del pilote y rotaciones de la sección inferior. Este comportamiento pretende ser capturado por condiciones de vínculo elástico en la punta y a lo largo del fuste. En las modelaciones no se contemplan eventuales variación del contenido de humedad, lo cual tiene una influencia importante en el comportamiento del conjunto suelo pilote.
Se asume estado plano de tensiones mediante elementos planos (plane element) de nueve nudos empleados para modelar sólidos de dos dimensiones con espesor uniforme y paralelo a los planos principales globales. Esto permite establecer la trayectoria de tensiones en estado plano. Cada elemento posee su propio sistema coordenado local que se alinea con el sistema global.
Q QQ
(a) (b) (c)
Q QQ
(a) (b) (c) Figura 5: Situaciones de análisis en el modelo. (a) Dos apoyos fijos y resortes laterales. (b) Un
apoyo fijo, resortes en la punta y laterales. (c) Resortes en la punta y en laterales
Los elementos discretos del pilote se asumen isotrópicos sin variación de su estado tensional por variación de temperatura. Las tensiones en el sistema coordenado local del elemento se evalúan en los puntos de la integración y se extrapolan a los nudos del elemento. La Fig. 6 muestra la definición de caras y conectividad de nudos en el sistema coordenado local.
Tensión Plana: 33 0=σ
Cara 3
Cara 4
Cara 2
Cara 1
(a) (b)
Tensión Plana: 33 0=σ
Cara 3
Cara 4
Cara 2
Cara 1
Cara 3
Cara 4
Cara 2
Cara 1
(a) (b)
Figura 6: Elementos planos. (a) Conectividad de los nudos y definición de las caras. (b) Sistema
coordenado local y definición de espesor (Modificado de Sap2000 Análisis Reference)
CALIBRACIÓN A RESULTADOS EXPERIMENTALES El análisis inverso se basa en los resultados experimentales obtenidos para un pilote de hormigón armado de 40cm de diámetro y 5m de longitud instalado en la Ciudad Universitaria de la ciudad de Córdoba. El perfil de suelo esta compuesto por un horizonte de limo arenoso marrón claro desde el
nivel de terreno hasta una profundidad de 2,50m. Entre los 2,50m hasta los 3,75m se desarrolla un horizonte de limo con arena fina y desde los 3,75m y hasta el fin de la exploración (5,00m) se encuentra un limo arenoso algo cementado. Los pesos unitarios secos del suelo en profundidad variaron entre 12,3 kN/m3 a 13,3 kN/m3. La humedad promedio del perfil fue de 15% (Terzariol et al. 2006a,b). La Figura 7 presenta la deflexión del pilote respecto a la carga (Q-∆) para el primer modelo (a). El ajuste se logra en un proceso iterativo calibrando el coeficiente mh de la ecuación (10) con n = 0.8 para lograr una minimización del error cuadrático entre el modelo numérico y el ensayo experimental sin perder en el proceso la suavidad de la respuesta obtenida con SAP2000.
0
20
40
60
80
100
120
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025Deflexiones horizontales (m)
Car
gas a
niv
el d
e su
perf
icie
(kN
)
Resultados ExperimentalesCalibración para n = 0.8
Q
(a)0
20
40
60
80
100
120
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025Deflexiones horizontales (m)
Car
gas a
niv
el d
e su
perf
icie
(kN
)
Resultados ExperimentalesCalibración para n = 0.8Resultados ExperimentalesCalibración para n = 0.8
Q
(a)
Q
(a)
Figura 7: Curva de carga-deflexión a nivel de superficie para el modelo (a). (Los resultados
experimentales fueron obtenidos por Denapoli et al. 2005) La Fig. 7 muestra un tramo lineal a bajas deflexiones con incremento de curvatura entre los 0.0025m y los 0.0075m, luego del cual puede aproximarse nuevamente a una recta. El ajuste a los resultados experimentales es aceptable hasta los 0.025m de deflexión horizontal. Para capturar la no linealidad en carga-deflexión en la cabeza del pilote es necesario establecer la degradación del coeficiente mh con el incremento de deflexión lo cual provoca variaciones del módulo de reacción lateral kh en profundidad. La Fig. 8 presenta esta degradación para diferentes niveles de deformación transversal. Se muestra que en el tramo lineal de la curva carga deflexión (Fig. 7) el entorno de valores mh son aproximados al valor propuesto por Terzariol et al. (2006a,b). La Fig. 8 presenta un valor de mh que permanece constante mientras el pilote se mantiene en rango elástico del suelo, momento a partir del cual éste comienza a perder rigidez, caracterizado por la curvatura cóncava. La función se hace asintótica horizontalmente a un valor aproximado de 2000 kN/m2, valor para el cual se ha logrado la fluencia del pilote y se considera la falla a solicitación lateral (condición de deformabilidad admisible). Por su parte el módulo de reacción horizontal resulta variable dependiente del nivel de deflexión y la profundidad en el cual se considere la presión del suelo contra el pilote. La Fig. 9 presenta la relación entre deflexiones a nivel de superficie, profundidad y módulo de reacción. Puede apreciarse que posee un tramo constante inicial en coincidencia con el campo lineal de deflexiones. Así, a partir del coeficiente mh es posible establecer la variación del módulo de reacción horizontal en profundidad lo que posibilita establecer el valor, que se debe adjudicar, a cada resorte lineal en el
programa dependiendo de la separación entre ellos, para obtener la deflexión a la cabeza del pilote bajo una condición de carga previamente establecida.
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
Deflexiones horizontales (m)
Coe
ficie
nte
m (
kN/m
)2h
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
Deflexiones horizontales (m)
Coe
ficie
nte
m (
kN/m
)2h
Coe
ficie
nte
m (
kN/m
)2h
Figura 8: Degradación del coeficiente mh con el incremento de deflexión
La Fig. 10 muestra la variación de kh para diferentes los valores de mh en profundidad que permiten ajustar los resultados numéricos a los experimentales. Se observa que el módulo posee una variación intermedia entre la lineal adjudicada a suelos arenosos y la constante establecida para suelos arcillosos. Esto favorece la calibración a los resultados experimentales y a la posterior obtención de las curvas p-y.
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
Deflexiones a nivel de superficie (m)
Mód
ulo
de re
acci
ón h
oriz
onta
l k (
kN/m
)2h
5,00 m
4,00 m
3,00 m
2,00 m
1,00 m
0,50 m
Q
(a)
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
Deflexiones a nivel de superficie (m)
Mód
ulo
de re
acci
ón h
oriz
onta
l k (
kN/m
)2h
5,00 m
4,00 m
3,00 m
2,00 m
1,00 m
0,50 m
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
Deflexiones a nivel de superficie (m)
Mód
ulo
de re
acci
ón h
oriz
onta
l k (
kN/m
)2h
Mód
ulo
de re
acci
ón h
oriz
onta
l k (
kN/m
)2h
5,00 m
4,00 m
3,00 m
2,00 m
1,00 m
0,50 m
Q
(a)
Q
(a)
Q
(a)
Figura 9: Variación del módulo de reacción horizontal dependiente de la deflexión en profundidad
Conocida la variación en profundidad del módulo de reacción horizontal para cada profundidad es posible establecer las curvas p-y en el análisis inverso (Fig. 11) como el cociente entre el módulo de reacción y la deflexión. Estas curvas p-y pueden ser parametrizadas, para permitir la estimación del comportamiento de pilotes en suelos limosos, desarrollo que no se lleva a cabo en este trabajo.
Las curvas de presión-deflexión presentan un tramo lineal que varía en función de la profundidad analizada. Algunos autores han propuesto calibrar curvas de este tipo mediante funciones hiperbólicas o funciones racionales no enteras.
0
1
2
3
4
5
0 30000 60000 90000 120000Pr
ofun
dida
d (m
)Módulo de reacción horizontal k (kN/m )2
h
m =2770 kN
/mh
2
m =15000 kN/m
h
2
Incremento de deflexión
0
1
2
3
4
5
0 30000 60000 90000 120000Pr
ofun
dida
d (m
)Módulo de reacción horizontal k (kN/m )2
hMódulo de reacción horizontal k (kN/m )2h
m =2770 kN
/mh
2
m =2770 kN
/mh
2
m =2770 kN
/mh
2
m =15000 kN/m
h
2
m =15000 kN/m
h
2
Incremento de deflexión
Figura 10: Variación del módulo de reacción horizontal con la profundidad y el coeficiente mh
0
100
200
300
400
500
600
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
5,00 m
4,00 m
3,00 m
2,00 m
1,00 m
0,50 m
Deflexiones a nivel de superficie (m)
Pres
ión
late
ral d
el su
elo
(kN
/m)
0
100
200
300
400
500
600
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
5,00 m
4,00 m
3,00 m
2,00 m
1,00 m
0,50 m
Deflexiones a nivel de superficie (m)
Pres
ión
late
ral d
el su
elo
(kN
/m)
Figura 11: Curvas p-y obtenidas del análisis inverso para el modelo (a)
COMPARACIÓN ENTRE MODELOS Empleando el mismo procedimiento descrito en el apartado anterior para cada modelo de análisis es posible establecer la influencia de las condiciones de contorno y su importancia relativa en la estimación de deflexiones. La Fig. 12 muestra el coeficiente mh y su variación con los niveles de deflexión para los modelos (a), (b) y (c) que se corresponden con la hipótesis de giro y desplazamiento de la sección de la punta inferior del pilote nula, hipótesis de desplazamiento horizontal nulo con giro permitido y desplazamiento con giro permitido respectivamente.
Para establecer una comparación entre las diferencias de coeficiente mh, se establece como patrón el modelo (c) que corresponde a la hipótesis de giro y desplazamiento permitido, en general más aceptado en la práctica ingenieríl. El rango de variación se presenta en la Fig. 13 y es posible apreciar que la amplitud máxima de dispersión se localiza en el tramo de comportamiento lineal donde las deflexiones son escasas y de poca relevancia. En esta zona la magnitud de variación ronda los 400 kN/m2 valores que corresponden al 2% del módulo. Este porcentaje disminuye para deflexiones que superan los 0,005m.
Deflexión a nivel de superficie (m)
Var
iaci
ón d
el c
oefic
ient
e m
(kN
/m )2
h
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
Modelo (b)
Modelo (a)
Modelo (c)
Comportamiento lineal
Comportamiento no lineal del pilote
Modelo (a)
Modelo (b)
Modelo (c)
Deflexión a nivel de superficie (m)
Var
iaci
ón d
el c
oefic
ient
e m
(kN
/m )2
hV
aria
ción
del
coe
ficie
nte
m (
kN/m
)2h
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
Modelo (b)
Modelo (a)
Modelo (c)
Comportamiento linealComportamiento lineal
Comportamiento no lineal del pilote
Comportamiento no lineal del pilote
Modelo (a)
Modelo (b)
Modelo (c)
Modelo (a)
Modelo (b)
Modelo (c)
Modelo (a)
Modelo (b)
Modelo (c)
Figura 12: Comparación del coeficiente mh para diferentes modelos en función de la deflexión
horizontal
-300,00
-200,00
-100,00
0,00
100,00
200,00
300,00
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
Deflexión a nivel de superficie (m)
Var
iaci
ón d
el c
oefic
ient
e m
(kN
/m )2
h
Modelo (c)
Modelo (b)
Modelo (a)
-300,00
-200,00
-100,00
0,00
100,00
200,00
300,00
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
Deflexión a nivel de superficie (m)
Var
iaci
ón d
el c
oefic
ient
e m
(kN
/m )2
hV
aria
ción
del
coe
ficie
nte
m (
kN/m
)2h
Modelo (c)
Modelo (b)
Modelo (a)
Figura 13: Diferencia relativa al Modelo (c) del coeficiente mh función de la deflexión a nivel de
superficie
La Fig. 14 presenta las curvas p-y para los diferentes modelos. Se aprecia que no existen diferencias importantes para diferentes profundidades, si bien en las proximidades de la punta del pilote, se ponen en evidencian las mayores dispersiones, situación esperada por las diferentes condiciones de vínculo.
0
100
200
300
400
500
600
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025Deflexión a nivel de superficie (m)
Var
iaci
ón d
el c
oefic
ient
e m
(kN
/m )2
h
5,00 m
3,00 m
1,00 m
Modelo (a)Modelo (a)Modelo (b)Modelo (b)
Modelo (c)Modelo (c)
0
100
200
300
400
500
600
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025Deflexión a nivel de superficie (m)
Var
iaci
ón d
el c
oefic
ient
e m
(kN
/m )2
hV
aria
ción
del
coe
ficie
nte
m (
kN/m
)2h
5,00 m
3,00 m
1,00 m
Modelo (a)Modelo (a)Modelo (b)Modelo (b)
Modelo (c)Modelo (c)
Modelo (a)Modelo (a)Modelo (b)Modelo (b)
Modelo (c)Modelo (c)
Figura 14: Curvas p-y para pilote en suelo limoso con diferente condiciones de vínculo en la punta.
Modelos (a), (b) y (c)
La distribución de tensiones en el cuerpo del pilote depende de las condiciones de contorno impuestas y están muy relacionadas con las reacciones que se producen en el suelo ante solicitación lateral. La Fig. 15 presenta para cada modelo las tensiones principales mayores, la malla en estado deformado y la presión desarrollada en el suelo por unidad de longitud para cada caso de análisis. En el Modelo (a) se aprecian tensiones de compresión sobre la cara derecha de los elementos y tensiones de tracción sobre las caras izquierda de los elementos para una carga de 50 kN aplicada a la cabeza del pilote (nudo 21) con sentido positivo según el sistema de coordenadas global en la dirección “y”. La deformación asociada al diagrama de distribución de presiones en profundidad permite verificar las hipótesis adoptadas para cada caso en estudio. La Fig. 15 muestra que la presión desarrollada a nivel de implante en el modelo con dos apoyos fijos es nula, no existiendo rotación ni desplazamiento de la sección inferior, hipótesis propuesta por algunos autores que recomiendan establecer una longitud equivalente a partir de la relación de rigidez entre el suelo y pilote para la cual se asume empotramiento. Los diagramas de presión lateral de suelo muestran que el máximo se presenta en las cercanías de la superficie y aproximadamente entre 2 a 2,5 veces el diámetro del pilote. Esto remarca la importancia de establecer en las cercanías del nivel de superficie una variación mas realista del módulo de reacción horizontal. En profundidad no se aprecia tanta relevancia. En el todos los casos se aprecia el desarrollo de niveles moderados de presión en las cercanías del nivel de implante, producto del giro del pilote acompañado de desplazamientos horizontales. El Modelo (c) generalmente aceptado en el ámbito ingenieríl posee reacción del suelo en ambas direcciones, comportamiento mas realista. Muestra mayor desplazamiento a nivel de implante que las alternativas anteriores. La influencia de estas diferencias en la deflexión horizontal a lo largo del pilote se presentan en la Fig. 16. Se muestra que la diferencia entre las alternativas es despreciable.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
-25 0 25 500
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
-25 0 25 50
Modelo (a) Modelo (b) Modelo (c)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
-25 0 25 50
Presión de suelo kN/m
Presión de suelo kN/m
Presión de suelo kN/m
Deflexión lateral
Deflexión lateral
Deflexión lateral
Distribución de tensiones (kN/m ) 2
Distribución de tensiones (kN/m ) 2
Distribución de tensiones (kN/m ) 2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
-25 0 25 500
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
-25 0 25 50
Modelo (a) Modelo (b) Modelo (c)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
-25 0 25 50
Presión de suelo kN/m
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
-25 0 25 50
Presión de suelo kN/m
Presión de suelo kN/m
Presión de suelo kN/m
Deflexión lateral
Deflexión lateral
Deflexión lateral
Distribución de tensiones (kN/m ) 2Distribución de
tensiones (kN/m ) 2Distribución de
tensiones (kN/m ) 2Distribución de
tensiones (kN/m ) 2Distribución de
tensiones (kN/m ) 2Distribución de
tensiones (kN/m ) 2
Figura 15: Tensiones σ22, deflexión horizontal y presión desarrollada en el suelo para los Modelos
(a), (b) y (c)
Q Q Q0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
-0,1 0,35 0,80
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
-0,1 0,35 0,80
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
-0,1 0,35 0,8
Modelo (a) Modelo (b) Modelo (c)
Deflexión lateral (cm) Deflexión lateral (cm) Deflexión lateral (cm)
Q Q Q0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
-0,1 0,35 0,80
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
-0,1 0,35 0,80
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
-0,1 0,35 0,8
Modelo (a) Modelo (b) Modelo (c)
Deflexión lateral (cm) Deflexión lateral (cm) Deflexión lateral (cm)
Figura 16: Comparación de deflexiones para las situaciones analizadas
COMPARACIÓN DE RESULTADOS Con la utilización de los coeficientes mh para cada deflexión y la variación del módulo de reacción horizontal en profundidad es posible estimar el comportamiento del pilote sometido a cargas laterales. A través del proceso de calibración inversa se obtienen excelentes aproximaciones, útiles para comprender el comportamiento del suelo en un problema de múltiples dimensiones como resulta analizado en este trabajo. La Fig. 17 permite apreciar la calibración según el empleo de las curvas p-y presentadas en la Fig. 11 y los resultados obtenidos por la aplicación del método de Matlock y Reese (1970) modificado para ser aplicable a suelo sde comportamiento intermedio a las arcillas y arenas, para un coeficiente n = 0.8 en la ecuación 10.
0
20
40
60
80
100
120
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
Resultados Experimentales
Método de Matlock y Reese n = 0.8
Calibración con SAP
Deflexiones horizontales (m)
Car
gas
a ni
vel d
e su
perf
icie
(kN
)
0
20
40
60
80
100
120
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
Resultados Experimentales
Método de Matlock y Reese n = 0.8
Calibración con SAP
Deflexiones horizontales (m)
Car
gas
a ni
vel d
e su
perf
icie
(kN
)
Figura 17: Curva de carga-deflexión del pilote a nivel de superficie
Una motivación durante las últimas décadas de numerosos investigadores ha sido facilitar la utilización de procesos de cálculo durante la etapa de diseño de pilotes a solicitaciones horizontales, a pesar de lo cual, aún los métodos mas simples de estimación de deflexiones resultan laboriosos. La calibración presentada en este trabajo, permite establecer la variación del módulo de reacción lateral a través del coeficiente mh, que puede ser ajustado a las curvas presentadas en la Fig. 12, modificando el eje de abscisas para mantener la adimensionalidad durante el proceso. Cuando la condición de deformabilidad es establecida en base a criterios de funcionalidad estructural, es posible computar los esfuerzos internos del pilote si es conocida la deflexión en profundidad, para lo cual se requiere de la variación del módulo de reacción horizontal. La Fig. 18 muestra la aproximación lograda para mh, que ajusta a las condiciones establecidas en el ensayo de campo. Su expresión se presenta en la ecuación (12), planteada como una función de dos tramos:
( ) ( ) 1
15000 0.005
173 1 0.0067 > 0.005h
h
m m
m m m m−
= ∀ ≤
= ⋅ + ⋅ + ∀ (12)
Donde m = relación entre deflexión y diámetro del pilote (y/D). La ecuación que permite estimar el módulo kh, resulta una función bi-variada dependiente de la profundidad y la deflexión (Fig. 19).
( ) ( ) ( )1 45173 1 0.0067 /hk m m x D−= ⋅ + ⋅ + ⋅ (13)
La estimación del comportamiento para pilotes sometidos a cargas laterales puede ser simplificado considerablemente con el proceso presentado en este trabajo. El cual finalmente consiste en:
• Establecer una deflexión compatible con la condición de uso y funcionalidad de la estructura (y)
• Obtener el coeficiente mh (ecuación(12)) • Calcular el módulo de reacción en profundidad kh (ecuación (13)) • Implementar un pilote discretizado en profundidad simulando el suelo como una serie de
resortes espaciados uniformemente con rigidez k obtenida como k = kh∆x donde ∆x corresponde a la separación entre resortes
• Obtener la variación en profundidad de la presión desarrollada en el suelo • Determinar los esfuerzos internos útiles para efectuar el dimensionado del pilote.
Conocer los niveles de solicitación a lo largo del pilote requiere establecer la presión desarrollada en el suelo, lo cual es caracterizado por el módulo de reacción horizontal. Este responde a una función bi-variada que se muestra en la Fig. 19 según un sistema ortogonal cuyas variables son, la profundidad y la deflexión horizontal en la cabeza del pilote. Esta figura permite observar que a bajas deflexiones el módulo permanece lineal en concordancia con la linealidad del comportamiento del suelo. Para profundidad nula, el módulo solo es cero cuando no existen deflexiones y se incrementa con el aumento de las mismas. Los valores máximos se presentan para altas deflexiones y a mayores profundidades.
Deflexión adimensional (y/D)
Coe
ficie
nte
m (
kN/m
)
2h
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
Modelo (b)
Modelo (a)
Modelo (c)
AproximaciónAproximación
Modelo (a)Modelo (b)
Modelo (c)
Deflexión adimensional (y/D)
Coe
ficie
nte
m (
kN/m
)
2h
Coe
ficie
nte
m (
kN/m
)
2h
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
Modelo (b)
Modelo (a)
Modelo (c)
AproximaciónAproximación
Modelo (a)Modelo (b)
Modelo (c)
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
Modelo (b)
Modelo (a)
Modelo (c)
AproximaciónAproximación
Modelo (a)Modelo (b)
Modelo (c)Aproximación
Modelo (a)Modelo (b)
Modelo (c)Aproximación
Modelo (a)Modelo (b)
Modelo (c)
Figura 18: Aproximación para el coeficiente mh mediante función racional
Figura 19: Variación del módulo de reacción horizontal dependiente de la deflexión la profundidad
CONCLUSIONES En este trabajo se ha presentado un análisis inverso que permite establecer la variación del coeficiente mh del suelo en función de la deflexión del pilote para capturar el comportamiento no lineal de pilotes sometidos a cargas laterales y obtener las curvas presión-deflexión (p-y). Las principales conclusiones de este trabajo son:
• El coeficiente mh, útil para calcular la variación en profundidad del módulo de reacción horizontal, puede considerarse constante para deflexiones inferiores a los 0.005m.
• El módulo de reacción horizontal sufre importante degradación para niveles de deflexión elevada.
• Respecto de la modelación numérica se obtuvo que no existen diferencias importantes en la estimación de las deflexiones para diferentes cargas producto de las condiciones de vínculo adoptadas para la punta del pilote.
• El módulo de reacción horizontal posee valores elevados en las proximidades de la base del pilote, lo cual provoca que las condiciones de vínculo pierdan relevancia en esta zona.
• El valor del modulo es relevante en la zona superior del pilote hasta una profundidad de 2.5 a 3 veces el diámetro del pilote.
• Cuando el pilote es largo, su comportamiento a solicitaciones laterales está gobernado por la distribución de presión en profundidad del suelo modelada como resortes no lineales.
AGRADECIMIENTOS Esta investigación fue parcialmente financiada por SECyT-UTN y la SECyT-UNC. Este trabajo se ha desarrollado en el marco del Departamento de Ingeniería Civil de la UTN-FRC, al cual los autores agradecen e apoyo y facilidades brindadas. Pedro Arrúa agradece la Beca de Doctoral para docentes recibida de la Universidad Tecnológica Nacional.
TRABAJOS CITADOS EN EL TEXTO ARRÚA, P., 2006. Teoría de Probabilidad en el Análisis del Comportamiento de Fundaciones
Profundas. Tesis de Maestría (en ejecución). Facultad de Ciencias Exactas Físicas y Naturales de la Universidad Nacional de Córdoba.
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