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AHMED CHEBAK
MODÉLISATION, CONCEPTION ET OPTIMISATION DES MACHINES SANS ENCOCHES
À AIMANTS PERMANENTS À HAUTE VITESSE
Thèse présentée à la Faculté des études supérieures et postdoctorales de l’Université Laval
dans le cadre du programme de doctorat en génie électrique pour l’obtention du grade de Philosophiae Doctor (Ph.D.)
DÉPARTEMENT DE GÉNIE ÉLECTRIQUE ET DE GÉNIE INFORMATIQUE FACULTÉ DES SCIENCES ET DE GÉNIE
UNIVERSITÉ LAVAL QUÉBEC
2013 © Ahmed Chebak, 2013
Résumé
Ce travail de recherche présente la mise au point d’une méthodologie de conception par
optimisation globale des machines synchrones sans encoches à aimants permanents à haute
vitesse utilisant des matériaux magnétiques composites doux (SMC) au stator et des frettes
au rotor éventuellement conductrices. Cette méthodologie tient compte des différentes
contraintes imposées par la haute vitesse, notamment les courants de Foucault induits dans
les pièces massives, les pertes, l’alimentation en commutation électronique et les efforts
mécaniques sur le rotor.
Un outil de dimensionnement générique est développé pour différentes structures de
machines sans encoches fonctionnant en moteur ou en générateur et alimentées par divers
types de convertisseurs statiques à commutation de tension ou de courant. Il utilise un
modèle de dimensionnement analytique basé sur la prédiction du champ magnétique 2D par
une résolution harmonique des équations de Maxwell en magnétodynamique en tenant
compte des courants de Foucault induits dans les parties conductrices. Ce modèle intègre
un modèle électrique équivalent global de l’ensemble convertisseur-machine et un modèle
détaillé de calcul des pertes validés par un calcul numérique du champ en 2D. Une
validation expérimentale des pertes magnétiques dans le stator en SMC est effectuée.
Le modèle de dimensionnement est associé à une procédure d’optimisation et à un
mécanisme de correction itératif, basé sur le calcul numérique du champ en 3D, pour tenir
compte des effets de bord sur les pertes par courants de Foucault dans le stator. Lorsque la
machine est couplée à un convertisseur à commutation de courant, un autre mécanisme de
correction, permettant la résolution du couplage fort entre la machine et son convertisseur,
est utilisé. Les différents outils de modélisation et de conception réalisés sont utilisés pour
dimensionner et comparer plusieurs topologies de machines sans encoches pour des cahiers
des charges spécifiques. Différentes études de faisabilité et de sensibilité sont aussi
effectuées.
iii
Abstract
This research work presents the development of a design methodology with global
optimization of high-speed permanent-magnet slotless synchronous machines using soft
magnetic composite materials (SMC) in the stator and retaining sleeves in the rotor that can
be conductive. This methodology takes into account the different constraints imposed by
the high speed such as the eddy currents induced in the massive parts, the losses, the
converter-machine interactions and the mechanical stress in rotor.
A generic design tool is developed for different slotless machines structures used as motors
or generators and coupled to different kind of static power converters with voltage or
current commutation. It uses a design model based on analytical prediction of the two-
dimensional magnetic field by a harmonic resolution of Maxwell equations taking into
account the eddy currents induced in the conductive parts. This model includes an
equivalent electric model of the converter-machine system and a detailed losses calculation
model validated by 2D finite element analysis. Experimental validation of magnetic losses
in the SMC stator is also performed.
The design model is associated to an optimization procedure and an iterative correction
mechanism performed by 3D finite element simulations to take into account the influence
of end-effects on the SMC stator eddy current losses. When the machine is coupled to a
current static converter, another correction mechanism is used in order to resolve the strong
coupling between the machine and its converter. The developed modeling and design tools
are used to design and compare different slotless machines topologies for specific
requirements. Various feasibility and sensitivity studies are also performed.
Avant-propos
La présente thèse de doctorat a été effectuée au laboratoire d’électrotechnique,
d’électronique de puissance et de commande industrielle (LEEPCI) à la faculté des
Sciences et de Génie de l’Université Laval.
Je tiens tout d’abord à exprimer ma sincère gratitude envers le professeur Philippe
Viarouge, directeur de cette thèse, pour sa disponibilité pour ce projet, la confiance qu’il
m’a accordée, ainsi que ses idées et conseils judicieux apportés tout au long de ces années
d’études. Sa grande humanité, sa bienveillance à mon égard, ainsi que ses hautes
compétences scientifiques font de lui un chercheur exceptionnel et un modèle à suivre. M.
Viarouge m’a inspiré la passion pour la recherche en génie électrique et le souci de la
rigueur dans le travail et je lui en suis infiniment reconnaissant.
Mes remerciements chaleureux vont aussi à l’égard du professeur Jérôme Cros pour son
support, ses conseils constructifs et son aide inestimable pour la réalisation de cette thèse.
Je tiens aussi à remercier Marion Couvreur et Marco Béland pour leur implication dans la
réalisation du banc d’essai expérimental.
L’expression de mes remerciements va aussi vers mes collègues d’études du LEEPCI avec
qui j’ai eu le plaisir de partager de moments conviviaux et des échanges fructueux.
J’adresse également des remerciements à mes amis pour le support et l’encouragement
qu’ils m’ont fournis durant mes années d’études.
J’exprime enfin ma profonde gratitude envers les membres de ma famille, en particulier
mes parents ainsi que mes frères et sœurs. Ce projet n’aurait été possible sans leur amour,
leur encouragement et leur soutien inconditionnels.
À mes parents, ma famille et mes amis
Table des matières
Résumé .................................................................................................................................. ii
Abstract ................................................................................................................................ iii Avant-propos ........................................................................................................................ iv
Table des matières ............................................................................................................... vi
Liste des figures .................................................................................................................... xi
Liste des tableaux ............................................................................................................... xvi
Liste des symboles et des abréviations .......................................................................... xviii
INTRODUCTION GÉNÉRALE ......................................................................................... 1
CHAPITRE I ......................................................................................................................... 6
1. MACHINES SANS ENCOCHES À HAUTE VITESSE : CONCEPTS DE BASE ET PROBLÉMATIQUE DE CONCEPTION .......................................................................... 6
1.1 Introduction .............................................................................................................. 6 1.2 Intérêt et applications des machines à haute vitesse ................................................ 7
1.2.1 Intérêt de la haute vitesse .................................................................................. 7 1.2.2 Domaine d’applications des machines à haute vitesse ..................................... 7
1.3 Machines électriques adaptées à la haute vitesse ..................................................... 9 1.4 Caractéristiques des matériaux utilisés dans les machines à aimants permanents à haute vitesse ...................................................................................................................... 15
1.4.1 Matériaux magnétiques doux .......................................................................... 15 1.4.1.1 Matériaux magnétiques laminés .............................................................. 16 1.4.1.2 Matériaux magnétiques composites doux ............................................... 18
1.4.2 Aimants permanents ....................................................................................... 22 1.4.3 Conducteurs utilisés dans les bobinages des machines électriques à haute vitesse ........................................................................................................................ 24
1.5 Structures et alimentations des machines sans encoches à aimants permanents à haute vitesse considérées dans la thèse ............................................................................. 25
1.5.1 Intérêt des machines sans encoches à haute vitesse ........................................ 26 1.5.2 Structures des machines sans encoches considérées dans la thèse ................. 26 1.5.3 Types de convertisseurs statiques utilisés ....................................................... 29
1.6 Problématique de modélisation et de conception des machines sans encoches à aimants permanents à haute vitesse avec des pièces conductrices ................................... 32 1.7 Méthodologie proposée .......................................................................................... 37 1.8 Conclusion.............................................................................................................. 40
CHAPITRE II ..................................................................................................................... 41
Table des matières vii
2. MODÉLISATION ÉLECTROMAGNÉTIQUE ANALYTIQUE GÉNÉRALISÉE DES MACHINES SANS ENCOCHES À AIMANTS PERMANENTS ........................ 41
2.1 Introduction ............................................................................................................ 41 2.2 Bases de la modélisation électromagnétique.......................................................... 42
2.2.1 Principe de l’approche de modélisation .......................................................... 42 2.2.2 Hypothèses simplificatrices ............................................................................ 45 2.2.3 Considérations prises en compte lors de la modélisation ............................... 46 2.2.4 Définition de la machine et de son domaine d’étude ...................................... 47
2.3 Équation générale du champ électromagnétique en magnétodynamique .............. 50 2.3.1 Équations de Maxwell .................................................................................... 51 2.3.2 Considération du mouvement ......................................................................... 52 2.3.3 Équation générale en termes de potentiel vecteur .......................................... 52 2.3.4 Conditions aux limites .................................................................................... 55
2.4 Modélisation des sources du champ électromagnétique ........................................ 56 2.4.1 Modélisation du terme source dû aux aimants ................................................ 56
2.4.1.1 Formes des aimants considérés ............................................................... 56 2.4.1.2 Modélisation de la distribution du vecteur d’aimantation ....................... 57
2.4.2 Modélisation du terme source dû aux courants au stator ................................ 59 2.4.2.1 Densité de la répartition spatiale des conducteurs ................................... 59 2.4.2.2 Formes d’ondes des courants statoriques ................................................ 63 2.4.2.3 Densité des courants du bobinage au stator ............................................. 64
2.5 Calcul analytique du champ électromagnétique produit par les aimants ............... 67 2.5.1 Équations du champ appliquées pour le calcul du champ à vide .................... 67 2.5.2 Résolution des équations du champ ................................................................ 69 2.5.3 Résultats du problème électromagnétique ...................................................... 73
2.6 Calcul analytique du champ électromagnétique produit par les courants .............. 76 2.6.1 Équations du champ appliquées pour le calcul du champ de réaction d’induit .. ........................................................................................................................ 76 2.6.2 Résolution des équations du champ ................................................................ 77 2.6.3 Résultats du problème électromagnétique ...................................................... 81
2.7 Calcul analytique du champ électromagnétique en charge .................................... 83 2.8 Détermination des grandeurs électromagnétiques caractéristiques ........................ 85
2.8.1 Calcul du flux à vide et de la force électromotrice ......................................... 85 2.8.2 Calcul de l’inductance synchrone du stator .................................................... 88
2.8.2.1 Inductance cyclique d’entrefer ................................................................ 89 2.8.2.2 Inductance de fuite .................................................................................. 91
2.8.3 Calcul de la résistance du stator ...................................................................... 94 2.8.4 Calcul du couple électromagnétique ............................................................... 95
2.9 Validation par calcul numérique du champ en 2D ............................................... 100 2.9.1 Induction magnétique ................................................................................... 101 2.9.2 Inductance ..................................................................................................... 102 2.9.3 Couple électromagnétique ............................................................................ 103
2.10 Conclusion ........................................................................................................ 104
CHAPITRE III .................................................................................................................. 106
3. CALCUL DES PERTES .............................................................................................. 106 3.1 Introduction .......................................................................................................... 106
Table des matières viii
3.2 Pertes Joule au stator ............................................................................................ 107 3.2.1 Pertes Joule correspondant à la résistance continue ..................................... 108 3.2.2 Pertes supplémentaires dues à l’effet de peau et de proximité ..................... 108
3.3 Pertes magnétiques au stator ................................................................................ 110 3.3.1 Pertes magnétiques dans un stator en fer laminé .......................................... 111 3.3.2 Pertes magnétiques dans un stator en SMC .................................................. 112
3.3.2.1 Pertes par courants de Foucault ............................................................. 112 3.3.2.2 Pertes d’hystérésis ................................................................................. 115
3.4 Pertes au rotor ...................................................................................................... 116 3.4.1 Pertes par courants de Foucault dans les aimants ......................................... 116 3.4.2 Pertes par courants de Foucault dans la frette ............................................... 118 3.4.3 Analyse de l’influence de la frette conductrice sur les pertes au rotor ......... 121 3.4.4 Analyse de l’influence de la segmentation des aimants sur les pertes au rotor .. ...................................................................................................................... 123
3.5 Pertes mécaniques ................................................................................................ 124 3.5.1 Pertes aérodynamiques ................................................................................. 124 3.5.2 Pertes par frottement dans les roulements .................................................... 129
3.6 Validation des pertes magnétiques dans le stator en SMC par calcul numérique du champ en 2D ................................................................................................................... 129 3.7 Validation des pertes par courants de Foucault dans le stator en SMC par calcul numérique du champ en 3D ............................................................................................ 132
3.7.1 Étude de l’influence des effets 3D sur les pertes par courants de Foucault .. 132 3.7.2 Correction des pertes par courants de Foucault par calcul du champ en 3D 134
3.7.2.1 Correction des pertes par calcul du champ en 3D en magnétodynamique .. ............................................................................................................... 134 3.7.2.2 Correction des pertes par calcul du champ en 3D en complexe ............ 136
3.8 Validation expérimentale des pertes magnétiques dans le stator en SMC ........... 141 3.8.1 Structure de la machine sans encoches considérée ....................................... 142 3.8.2 Identification des paramètres des matériaux SMC utilisés ........................... 143 3.8.3 Description du banc d’essai .......................................................................... 146 3.8.4 Résultats de mesure des pertes magnétiques ................................................ 146
3.9 Étude de l’influence de quelques paramètres sur les pertes magnétiques dans le stator en SMC ................................................................................................................. 147
3.9.1 Influence de la conductivité du matériau SMC ............................................ 147 3.9.2 Influence de l’épaisseur de la culasse du stator en SMC .............................. 149 3.9.3 Influence de l’angle de commande ψ ............................................................ 150
3.10 Conclusion ........................................................................................................ 151
CHAPITRE IV .................................................................................................................. 154
4. MODÈLE ÉLECTRIQUE ÉQUIVALENT DE L’ENSEMBLE CONVERTISSEUR-MACHINE ..................................................................................... 154
4.1 Introduction .......................................................................................................... 154 4.2 Détermination du modèle électrique équivalent de la machine ........................... 155 4.3 Modèle électrique équivalent de l’ensemble convertisseur-machine pour le cas d’une alimentation par convertisseur à commutation de tension .................................... 157
4.3.1 Cas d’une machine alimentée par onduleur de tension de type 120o ............ 158 4.3.1.1 Description du système .......................................................................... 158
Table des matières ix
4.3.1.2 Développement du modèle électrique équivalent .................................. 162 4.3.2 Cas d’une machine alimentée par onduleur de tension à MLI à courant sinusoïdal .................................................................................................................... 165
4.3.2.1 Description du système .......................................................................... 165 4.3.2.2 Développement du modèle électrique équivalent .................................. 166
4.3.3 Cas d’une machine alimentée par onduleur de tension de type 180o à onde pleine ...................................................................................................................... 166
4.3.3.1 Description du système .......................................................................... 166 4.3.3.2 Développement du modèle électrique équivalent .................................. 167
4.4 Modèle électrique équivalent de l’ensemble convertisseur-machine pour le cas d’une alimentation par convertisseur à commutation de courant ................................... 169
4.4.1 Description du système ................................................................................. 170 4.4.2 Développement du modèle électrique équivalent ......................................... 171
4.5 Conclusion............................................................................................................ 174
CHAPITRE V ................................................................................................................... 176
5. DÉVELOPPEMENT DES PROCÉDURES DE CONCEPTION ET D’OPTIMISATION GLOBALE DES MACHINES SANS ENCOCHES À HAUTE VITESSE ............................................................................................................................ 176
5.1 Introduction .......................................................................................................... 176 5.2 Processus de conception général .......................................................................... 177 5.3 Environnement de CAO avec l’optimisation globale .......................................... 180 5.4 Modèle de dimensionnement de la machine ........................................................ 185
5.4.1 Dimensionnement électromagnétique ........................................................... 185 5.4.1.1 Dimensionnement du stator et du rotor ................................................. 186 5.4.1.2 Prise en compte de la saturation ............................................................ 187 5.4.1.3 Prise en compte du problème de démagnétisation des aimants ............. 189 5.4.1.4 Adaptation du nombre de spires ............................................................ 191 5.4.1.5 Prise en compte du problème du courant de court-circuit ..................... 192
5.4.2 Dimensionnement thermique ........................................................................ 192 5.4.3 Dimensionnement mécanique ....................................................................... 194
5.4.3.1 Dimensionnement mécanique du rotor .................................................. 194 5.4.3.2 Dimensionnement mécanique de la frette ............................................. 197
5.5 Procédures détaillées de conception et d’optimisation ........................................ 199 5.5.1 Cas d’une alimentation par convertisseur de tension .................................... 199 5.5.2 Cas d’une alimentation par convertisseur de courant ................................... 203
5.6 Exemple d’application de la procédure de conception et d’optimisation ............ 209 5.6.1 Cahier des charges et paramètres de dimensionnement ................................ 209 5.6.2 Validation et analyse des résultats ................................................................ 211
5.7 Conclusion............................................................................................................ 215
CHAPITRE VI .................................................................................................................. 217
6. APPLICATIONS DE LA MÉTHODOLOGIE ET DE L’ENVIRONNEMENT DE CONCEPTION ................................................................................................................. 217
6.1 Introduction .......................................................................................................... 217 6.2 Analyse comparative des dimensionnements de différentes topologies de moteurs sans encoches alimentés par onduleur de tension de type 120o ...................................... 218
Table des matières x
6.2.1 Machines avec stator en SMC ...................................................................... 220 6.2.2 Machines avec stator en fer laminé ............................................................... 222
6.3 Études de sensibilité au niveau du dimensionnement des machines sans encoches à haute vitesse .................................................................................................................... 225
6.3.1 Étude de l’effet de l’utilisation du fil de Litz ................................................ 225 6.3.2 Étude de sensibilité en fonction du matériau SMC utilisé ............................ 229
6.4 Dimensionnement des moteurs sans encoches alimentés par onduleur de tension de type 180o à onde pleine .............................................................................................. 231 6.5 Dimensionnement d’un alternateur sans encoches à haute vitesse avec stator en SMC débitant sur un redresseur ...................................................................................... 234
6.5.1 Cahier des charges et paramètres de dimensionnement ................................ 234 6.5.2 Dimensionnement et analyse des résultats .................................................... 236
6.5.2.1 Dimensionnement sans correction 3D des pertes par courants de Foucault ............................................................................................................... 236 6.5.2.2 Dimensionnement avec correction 3D des pertes par courants de Foucault ............................................................................................................... 241
6.6 Conclusion............................................................................................................ 245
CONCLUSION GÉNÉRALE .......................................................................................... 247
Bibliographie ..................................................................................................................... 253
ANNEXE A ........................................................................................................................ 264
A. ÉLÉMENTS DE CALCUL ANALYTIQUE DU CHAMP ...................................... 264 A.1 Coefficients de Fourier des composantes du vecteur d’aimantation .................... 264 A.2 Calcul des facteurs de bobinage ........................................................................... 265
ANNEXE B ........................................................................................................................ 268
B. STRUCTURES ET PARAMÈTRES DES MACHINES MSE-1 ET MSE-2 .......... 268 B.1 Structures et paramètres de la machine MSE-1 .................................................... 268 B.2 Structures et paramètres de la machine MSE-2 .................................................... 269
Liste des figures
Figure 1.1 : Points de fonctionnement dans le plan puissance-vitesse de quelques machines à haute vitesse existantes dans la littérature .................................................... 10
Figure 1.2 : Structures de rotors (a) à aimants montés en surface, (b) à aimants insérés, (c) à aimants enterrés à aimantation radiale, (d) à aimants enterrés à concentration de flux, (e) à aimants chapeautés par des pièces polaires et (f) à aimants enterrés à distribution asymétrique .................................................................. 13
Figure 1.3 : Structure microscopique d’un matériau magnétique composite doux [74] ..... 19 Figure 1.4 : Caractéristiques d’aimantation d’un matériau composite doux et d’une tôle de
fer ..................................................................................................................... 20 Figure 1.5 : Courbes de démagnétisation d’un aimant permanent de type NdFeB pour
différentes températures [84] ........................................................................... 24 Figure 1.6 : Structures des machines sans encoches à aimants permanents considérées (a) à
rotor interne et (b) à rotor externe ................................................................... 27 Figure 1.7 : Schéma bloc de principe simplifié des ensembles convertisseurs-machines
considérés ........................................................................................................ 30 Figure 2.1 : (a) Structure de la machine considérée et (b) définition des différentes zones
de son domaine d’étude ................................................................................... 48 Figure 2.2 : Représentation des deux référentiels de la machine ........................................ 49 Figure 2.3 : (a) Structure générale d’un pôle de la machine et (b) distribution spatiale des
composantes radiale et tangentielle du vecteur d’aimantation ........................ 57 Figure 2.4 : (a) Répartition généralisée des conducteurs de l’enroulement de la phase a et
(b) densité de conducteurs correspondante ...................................................... 61 Figure 2.5 : Formes d’ondes (a) des densités de courant des trois phases, (b) de la densité
totale de la FMM et de son fondamental en fonction de l’angle statorique pour Ia=1 A et Ib=Ic=-0.5 A ...................................................................................... 66
Figure 2.6 : Composantes (a) radiales et (b) tangentielles de l’induction à vide au milieu de chaque zone de la machine à une vitesse de 20000 rpm ................................. 74
Figure 2.7 : Densités des courants de Foucault dues aux aimants dans la culasse du stator à différents rayons pour deux types de matériaux SMC : (a) moins conducteur (Mat-1) et (b) plus conducteur (Mat-2) à une vitesse de 20000 rpm ............... 75
Figure 2.8 : Composantes (a) radiales et (b) tangentielles de l’induction de réaction d’induit au milieu de chaque zone de la machine pour une vitesse de 20000 rpm ................................................................................................................... 82
Figure 2.9 : Densités des courants de Foucault dues aux courants statoriques dans la culasse du stator à différents rayons pour deux types de matériaux SMC : (a) moins conducteur (Mat-1) et (b) plus conducteur (Mat-2) à une vitesse de 20000 rpm ........................................................................................................ 82
Liste des figures xii
Figure 2.10 : Composantes (a) radiales et (b) tangentielles de l’induction en charge au milieu de chaque zone de la machine pour une vitesse de 20000 rpm et un angle ψ= 0 ........................................................................................................ 84
Figure 2.11 : Densités des courants de Foucault dues aux aimants et aux courants statoriques dans la culasse du stator à différents rayons pour deux types de matériaux SMC : (a) moins conducteur (Mat-1) et (b) plus conducteur (Mat-2) à une vitesse de 20000 rpm et un angle ψ = 0 ................................................. 85
Figure 2.12 : (a) Force électromotrice de la machine MSE-1 pour une vitesse de 20000 rpm et (b) sa décomposition harmonique ................................................................ 88
Figure 2.13 : (a) Têtes de bobine d’un enroulement de la machine à pas diamétral et (b) représentation cylindrique d’une tête de bobine .............................................. 92
Figure 2.14 : Couple électromagnétique instantané Tem(t), couple moyen Tem0 et ondulations du couple ∆Tem(t) de la machine MSE-1 pour une vitesse de 20000 rpm ..... 100
Figure 2.15 : Distribution spatiale (a) des lignes de champ magnétique dans la structure de la machine MSE-1 et (b) de la densité des courants induits dans la culasse du stator pour une vitesse de 20000 rpm ............................................................ 101
Figure 2.16 : Comparaison de composantes radiales et tangentielles des inductions dues (a) aux aimants permanents et (b) aux courants d’alimentation du bobinage, obtenues au milieu de l’entrefer par les calculs analytique et numérique du champ ............................................................................................................ 102
Figure 2.17 : Comparaison des réponses fréquentielles de l’inductance cyclique de la machine obtenues par les calculs analytique et numérique du champ pour les deux types de matériaux SMC : Mat-1 et Mat-2 ........................................... 103
Figure 2.18 : Comparaison des formes d’onde du couple électromagnétique instantané obtenues par les calculs analytique et numérique du champ pour une vitesse de 20000 rpm ...................................................................................................... 104
Figure 3.1 : Induction des courants de Foucault dans un conducteur exposé à un champ magnétique alternatif externe ........................................................................ 110
Figure 3.2 : Variation des pertes au rotor en fonction de la vitesse de rotation pour les cas où la frette est conductrice et non conductrice .............................................. 121
Figure 3.3 : Variation (a) des pertes au rotor et (b) de l’inductance cyclique vue par le 5ème harmonique du courant en fonction de l’épaisseur de la frette ...................... 123
Figure 3.4 : Variation des pertes par courants de Foucault dans les aimants en fonction du nombre de segments d’aimants par pôle ....................................................... 124
Figure 3.5 : Types d’écoulements d’air dans l’entrefer d’une machine électrique [27], [132] .............................................................................................................. 125
Figure 3.6 : Évolution des pertes aérodynamiques en fonction du diamètre du rotor et de la vitesse de rotation pour la machine MSE-1 ................................................... 129
Figure 3.7 : Distribution spatiale (a) de l’induction maximale dans la structure de la machine MSE-1 et (b) des pertes d’hystérésis dans la culasse du stator pour une vitesse de 20000 rpm .............................................................................. 131
Figure 3.8 : Variation des pertes magnétiques dans la culasse du stator de la machine MSE-1 en fonction de la vitesse de rotation (calcul analytique vs calcul numérique du champ) .................................................................................... 131
Figure 3.9 : Distribution spatiale 3D de la densité des courants de Foucault à vide dans la culasse du stator de la machine MSE-1 pour une vitesse de 20000 rpm ....... 133
Liste des figures xiii
Figure 3.10 : Variation du coefficient de pertes Kp=Pcf,m-3D/Pcf,m-2D en fonction du rapport entre la longueur et le pas polaire de la machine MSE-1 pour une vitesse de 20000 rpm ...................................................................................................... 133
Figure 3.11 : Processus de correction des pertes par courants de Foucault dans la culasse statorique en SMC d’une machine sans encoches basé sur le calcul numérique du champ en 3D en magnétodynamique ....................................................... 135
Figure 3.12 : Modèles équivalents des aimants permanents avec aimantation (a) radiale, (b) parallèle et (c) diamétrale .............................................................................. 139
Figure 3.13 : Processus de correction des pertes par courants de Foucault dans la culasse statorique en SMC d’une machine sans encoches basé sur le calcul numérique du champ en 3D en complexe ....................................................................... 140
Figure 3.14 : Variation des coefficients de correction des pertes Kc et Kp en fonction du rapport entre la longueur et le pas polaire de la machine MSE-1 pour une vitesse de 20000 rpm ..................................................................................... 141
Figure 3.15 : Structure du prototype de la machine sans encoches considérée ....................................................................................................................... 143
Figure 3.16 : Montage expérimental de mesure de la courbe d’aimantation et des pertes magnétiques dans les matériaux SMC ........................................................... 145
Figure 3.17 : Banc d’essai de mesure du couple de pertes magnétiques dans la culasse du stator .............................................................................................................. 146
Figure 3.18 : Variation des couples de pertes magnétiques mesurés expérimentalement et de ceux calculés analytiquement en fonction de la vitesse pour 4 types de matériaux SMC .............................................................................................. 147
Figure 3.19 : Variation (a) des pertes magnétiques en charge dans la culasse du stator de la machine MSE-2 et (b) des différentes composantes du couple en fonction de la conductivité du matériau SMC ...................................................................... 148
Figure 3.20 : Variation (a) des pertes magnétiques en charge dans le stator de la machine MSE-2 et (b) des différentes composantes du couple en fonction de l’épaisseur de la culasse du stator .................................................................................... 149
Figure 3.21 : Variation des pertes magnétiques à vide et en charge dans la culasse du stator en SMC de la machine MSE-1 en fonction de l’angle de commande ψ ........ 151
Figure 4.1 : Modèle électrique monophasé équivalent de la machine pour l’harmonique de rang h ............................................................................................................. 157
Figure 4.2 : (a) Formes d’ondes idéales de la fem (trapézoïdale) et du courant de phase d’un moteur à aimants alimenté par onduleur de type 120o et (b) forme d’onde du couple ....................................................................................................... 159
Figure 4.3 : Schéma bloc simplifié de l’ensemble convertisseur-machine avec onduleur de tension ............................................................................................................ 160
Figure 4.4 : (a) Séquence de commande et (a) formes d’ondes d’un onduleur de type 120o à onde pleine de tension (avec fem supposée sinusoïdale) [131] .................. 161
Figure 4.5 : Formes d’ondes réelles des tensions et du courant de la machine MSE-1 alimentée par un onduleur de tension de type 120o à onde pleine de tension (courant Ia × 2) ............................................................................................... 161
Figure 4.6 : Forme d’onde du courant obtenu par un régulateur à hystérésis ................... 162 Figure 4.7 : Diagramme vectoriel de la machine pour l’harmonique de rang 1
(fondamental)................................................................................................. 164
Liste des figures xiv
Figure 4.8 : (a) Séquence de commande et (a) formes d’ondes d’un onduleur de type 180o à onde pleine de tension (avec fem supposée sinusoïdale) [131] .................. 167
Figure 4.9 : Formes d’ondes des tensions et du courant de la machine MSE-1 alimentée par un onduleur de tension de type 180o à onde pleine de tension pour θ =0o et θ=20o ............................................................................................................. 168
Figure 4.10 : Diagrammes vectoriels de la machine pour l’harmonique de rang 1 pour (a) ψ≠ 0 et (b) ψ= 0 ............................................................................................. 169
Figure 4.11 : Système de génération DC à haute vitesse avec redresseur à thyristors ....................................................................................................................... 171
Figure 4.12 : Entrées et sorties du modèle analytique de dimensionnement de la machine dans le cas d’une alimentation en courant ..................................................... 173
Figure 4.13 : Entrées et sorties du modèle électrique équivalent du système de génération ....................................................................................................................... 174
Figure 5.1 : Processus de conception général des machines sans encoches ..................... 179 Figure 5.2 : Structure de l’environnement de CAO des machines sans encoches à haute
vitesse ............................................................................................................ 180 Figure 5.3 : Entrées et sorties du modèle analytique de dimensionnement de la machine
dans le cas d’une alimentation en tension ..................................................... 181 Figure 5.4 : Structure de la machine sans encoches et définition des dimensions pour (a)
rotor interne et (b) rotor externe .................................................................... 186 Figure 5.5 : Structure du rotor interne de la machine et définition des angles θ1 et θ2 ..... 188 Figure 5.6 : Caractéristiques de démagnétisation d’un aimant permanent ....................... 190 Figure 5.7 : Forces mécaniques agissant sur un élément de la culasse du rotor (rotor
interne) ........................................................................................................... 196 Figure 5.8 : Force centrifuge due aux aimants agissant sur la culasse du rotor (rotor
externe) .......................................................................................................... 197 Figure 5.9 : Force centrifuge due aux aimants agissant sur la frette (rotor interne) ......... 198 Figure 5.10 : Méthode de conception et d’optimisation globale des machines sans encoches
avec mécanisme de correction des pertes par courants de Foucault (cas des onduleurs de tension) ..................................................................................... 200
Figure 5.11 : Méthode de conception et d’optimisation globale des machines sans encoches avec mécanisme de correction du couplage machine-convertisseur (cas des convertisseurs de courant) ............................................................................. 205
Figure 5.12 : Méthode de conception et d’optimisation globale des machines sans encoches avec mécanisme de correction du couplage machine-convertisseur et mécanisme de correction des pertes par courants de Foucault (cas des convertisseurs de courant) ............................................................................. 208
Figure 5.13 : Structures optimales des moteurs sans encoches (a) à 2 pôles et (b) à 4 pôles ....................................................................................................................... 214
Figure 6.1 : Variation des pertes magnétiques dans la culasse du stator de la machine A-1 en fonction de la vitesse de rotation (matériau SMC vs tôles) ...................... 225
Figure 6.2 : Variation des couples utiles en fonction de la vitesse pour des machines à rotor interne à 2 pôles ayant des bobinages avec et sans fil de Litz .............. 229
Figure 6.3 : Couples utiles instantanés des machines A-1 et C-1 à 2 pôles à rotor interne alimentées respectivement par onduleur de tension de type 120o et de type 180o ................................................................................................................ 233
Liste des figures xv
Figure 6.4 : Structure optimale de l’alternateur sans encoches dimensionné (sans correction 3D des pertes par courants de Foucault) ...................................... 237
Figure 6.5 : Variation des pertes magnétiques dans la culasse du stator en SMC de l’alternateur en fonction de la vitesse de rotation .......................................... 239
Figure 6.6 : Formes d’ondes de la fem, du courant et de la tension d’une phase de l’alternateur .................................................................................................... 240
Figure 6.7 : Formes d’ondes de la tension de phase de l’alternateur obtenues par calcul analytique et par simulation ........................................................................... 240
Figure 6.8 : Structure optimale de l’alternateur sans encoches dimensionné (avec correction 3D des pertes par courants de Foucault) ...................................... 242
Figure B.1 : Structure de la machine MSE-1 ..................................................................... 269 Figure B.2 : Structure de la machine MSE-2 ..................................................................... 270
Liste des tableaux
Tableau 1.1 : Avantages et inconvénients des trois machines électriques les plus utilisées dans les applications à haute vitesse [3], [26], [34] ...................................... 11
Tableau 1.2 : Caractéristiques des différents matériaux magnétiques utilisés dans les machines à haute vitesse [58]–[68] ............................................................... 17
Tableau 1.3 : Caractéristiques physiques de différents aimants permanents frittés [82]–[84] ....................................................................................................................... 23
Tableau 2.1 : Caractéristiques des différentes zones du domaine d’étude de la machine et leurs équations du champ associées permettant le calcul du champ à vide .. 68
Tableau 2.2 : Caractéristiques des différentes zones du domaine d’étude de la machine et leurs équations du champ associées permettant le calcul du champ de réaction d’induit ............................................................................................ 77
Tableau 2.3 : Composantes harmoniques de l’inductance cyclique correspondantes à chaque harmonique de courant de rang h : Lsc,h [mH] .................................. 91
Tableau 3.1 : Principales caractéristiques et dimensions de la machine test .................... 143 Tableau 3.2 : Caractéristiques des matériaux SMC utilisés .............................................. 145 Tableau 5.1 : Spécifications et contraintes du cahier des charges d’une application
d’outillage électrique ................................................................................... 210 Tableau 5.2 : Paramètres de dimensionnement et caractéristiques des matériaux ............ 211 Tableau 5.3 : Évolution des facteurs de correction des pertes pour les deux moteurs ...... 212 Tableau 5.4 : Valeurs efficaces des tensions et des courants (valeurs totales et
fondamentales) et couples électromagnétiques obtenus par les deux modèles électriques équivalents : analytique et simulé (pour le moteur à 2 pôles) .. 213
Tableau 5.5 : Principales caractéristiques, performances et dimensions des deux moteurs sans encoches optimisés .............................................................................. 215
Tableau 6.1 : Caractéristiques des tôles Fe-Si considérées [39], [159]............................. 220 Tableau 6.2 : Structures optimales et principales caractéristiques et performances des 4
moteurs sans encoches avec stator en SMC ................................................ 221 Tableau 6.3 : Structures optimales et principales caractéristiques et performances des 4
moteurs sans encoches avec stator en fer laminé ........................................ 223 Tableau 6.4 : Principales caractéristiques et performances des 4 moteurs sans encoches
avec stator en SMC et fils de Litz ............................................................... 227 Tableau 6.5 : Principales caractéristiques et performances optimales des 2 machines sans
encoches dimensionnées avec deux types de matériaux SMC (1er matériau : µrs=200, σs=3400s/m ; 2ème matériau : µrs=300, σs=20000s/m) .................. 230
Tableau 6.6 : Structures optimales et principales caractéristiques et performances des 4 moteurs sans encoches avec stator en SMC dimensionnés (cas d’un onduleur de type 180o à onde pleine de tension) ........................................................ 232
Liste des tableaux xvii
Tableau 6.7 : Spécifications et contraintes du cahier des charges du système de génération ..................................................................................................................... 235
Tableau 6.8 : Paramètres de dimensionnement et caractéristiques des matériaux de l’alternateur ................................................................................................. 235
Tableau 6.9 : Évolution des différentes tensions continues et du facteur de correction du couplage machine-convertisseur ................................................................. 237
Tableau 6.10 : Principales dimensions, caractéristiques et performances optimales de l’alternateur sans encoches dimensionné (sans correction 3D des pertes par courants de Foucault) .................................................................................. 238
Tableau 6.11 : Évolution des différentes tensions continues et du facteur de correction du couplage machine-convertisseur pendant le processus de conception de l’alternateur (suivant les itérations i et j sur les deux mécanismes de correction) ................................................................................................... 242
Tableau 6.12 : Évolution du facteur de correction 3D et des pertes par courants de Foucault en charge en 2D et en 3D lors du processus de conception de l’alternateur ..................................................................................................................... 243
Tableau 6.13 : Principales dimensions, caractéristiques et performances optimales de l’alternateur sans encoches dimensionné (avec correction 3D des pertes par courants de Foucault) .................................................................................. 244
Tableau B.1 : Principales caractéristiques et dimensions de la machine MSE-1 ............... 269 Tableau B.2 : Principales caractéristiques et dimensions de la machine MSE-2 ............... 270
Liste des symboles et des abréviations
Symboles alphabétiques
A
Potentiel vecteur magnétique
mA
, sA
Potentiels vecteurs magnétiques à vide et de réaction d’induit
( )imA , ( )i
sA Composantes des potentiels vecteurs à vide et de réaction d’induit dans la zone (i)
( ),i
m kA , ( ),i
m kB Coefficients de la série de Fourier du potentiel vecteur à vide dans la zone (i)
( ), ,i
s k hA , ( ), ,i
s k hB Coefficients de la série de Fourier du potentiel vecteur de réaction d’induit dans la zone (i)
B
Induction magnétique
BAPmin Induction minimale de démagnétisation des aimants
Bculrmax Induction moyenne maximale dans la culasse du rotor
Bculsmax Induction moyenne maximale dans la culasse du stator
Bm Induction en charge maximale dans la culasse du stator
Br Induction rémanente
Br , Bθ Composantes radiale et tangentielle de l’induction
Cυ(θs) Densité surfacique des conducteurs de l’enroulement de la phase υ
D Diamètre
Dυ(θs) Fonction de distribution du bobinage de la phase υ
E
Champ électrique
hE
, hE , hE Amplitudes réelle et complexe et valeur efficace de l’harmonique de rang h de la fem
e Entrefer mécanique
ec Épaisseur de la frette
eculr Épaisseurs de la culasse du rotor
eculs Épaisseurs de la culasse du stator
Liste des symboles xix
eυ Force électromotrice instantanée aux bornes du bobinage de la phase υ
f Fréquence électrique
H
Champ magnétique
Hc Champ magnétique coercitif
Hr , Hθ Composantes radiale et tangentielle du champ magnétique
hb Épaisseurs du bobinage
Idc Courant dans le bus continu
Ido Courant imposé à la sortie du redresseur
hI , hI , hI Amplitudes réelle et complexe et valeur efficace du courant harmonique de rang h
Irms Courant efficace circulant dans une phase de la machine
iυ Courant instantané dans la phase υ
J
Densité de courant
Js Densité totale des courants statoriques dans la zone de bobinage
Jcu Densité de courant efficace dans les conducteurs du bobinage
Jc Densité des courants de Foucault dans la frette conductrice
Jcs Densité des courants de Foucault dans la culasse du stator en SMC
Jm Densité des courants de Foucault dans les aimants
Kp, Kc, K(i) Facteurs de correction 3D des pertes par courants de Foucault dans la culasse en SMC
Kco(i) Facteur de correction du couplage machine-convertisseur
Ku Coefficient de remplissage des encoches
ke Coefficient d’ouverture des encoches
kw,k Facteur de bobinage pour l’harmonique d’espace de rang k
L Longueur axiale active de la machine
Lsc,h Inductance cyclique harmonique
Ls,h Inductance synchrone harmonique
Lsσ Inductance de fuite correspondant des têtes de bobines Ltbob Longueur moyenne d’une tête de bobine
la Épaisseurs des aimants permanents
M
Aimantation des aimants
Mr(θr), Mθ(θr) Fonctions d’aimantation radiale et tangentielle
Liste des symboles xx
Mr,k, Mθ,k Coefficients de Fourier réels des fonctions d’aimantation
,r kM , ,kMθ Coefficients de Fourier complexes des fonctions d’aimantation
m Nombre de phases
Nsp Nombre de spires par phase
n Vecteur unitaire normal à une surface
npp Nombre d’encoches par pôle par phase
P Puissance
Pertot Pertes totales générées dans la machine
PJ0 Pertes Joules classiques correspondant à la résistance continue du bobinage
PJext Pertes supplémentaires dues à l’effet de peau et de proximité
PJ Pertes Joule totales au stator
Ph Pertes d’hystérésis au stator
Pcf Pertes par courants de Foucault au stator
Pmag Pertes magnétiques au stator
Pc Pertes dans la frette conductrice
Pm Pertes par courants de Foucault dans les aimants
Pr Pertes Joule au rotor
Paero Pertes aérodynamiques
Proul Pertes par frottement dans les roulements
Pméc Pertes mécaniques
Pout Puissance de sortie du redresseur
p Nombre de paire de pôles
R Rayon
Re Nombre de Reynolds
Rs Résistance de phase totale du stator
Rs0 Valeur continue de la résistance de phase du stator
Rsext Valeur alternative de la résistance de phase du stator due à l’effet de peau et de proximité
r Coordonnée radiale
ri Rayon des différentes zones (i) Scu Section totale du cuivre du bobinage
Se Section totale d’encochage
scu Section d’un conducteur
Liste des symboles xxi
T Température
Tem Couple électromagnétique
Tu Couple utile
Vdc Tension du bus continu
Vdo, Vdi, Vdsim Valeurs des tensions imposée, calculée et simulée du bus continu à la sortie du redresseur
hV
, hV , hV Amplitudes réelle et complexe et valeur efficace de l’harmonique de rang h de la tension de phase
vυ Tension instantanée aux bornes de l’enroulement de la phase υ
Symboles grecs
β Ouverture des aimants
kδ
Coefficients de Fourier réels de la densité de conducteurs
kδ Coefficients de Fourier complexes de la densité de conducteurs
θ Angle de déphasage de la tension de phase par rapport à la fem
θo Décalage initial du rotor par rapport au stator
θr Coordonnée angulaire dans le référentiel lié au rotor
θs Coordonnée angulaire dans le référentiel lié au stator
µ Perméabilité magnétique
µ0 Perméabilité magnétique du vide
µrc Perméabilité magnétique relative de la frette
µrm Perméabilité magnétique relative des aimants
µrs Perméabilité magnétique relative du stator en SMC
ρ Masse volumique
ρcu résistivité du cuivre
σ Conductivité électrique
σt Contrainte de traction mécanique σc Conductivité de la frette
σm Conductivité des aimants
σs Conductivité du stator en SMC
φm,υ Flux à vide embrassé par l’enroulement de la phase υ
Liste des symboles xxii
φs,υ Flux de réaction d’induit embrassé par l’enroulement de la phase υ
φσ,υ Flux de fuite des têtes de bobines de la phase υ
ϕh Phase à l’origine de l’harmonique de courant de rang h
ψ Angle de commande entre la fem et le fondamental du courant
Ω Vitesse de rotation mécanique
ω Pulsation électrique
Abréviations
CAO Conception Assistée par Ordinateur
CHP Combined Heat and Power Unit
DTC Direct Torque Control
fem Force électromotrice
FFT Fast Fourier Transform
FMM Force magnétomotrice
LEEPCI Laboratoire d’Électrotechnique, d’Électronique de Puissance et de Commande Industrielle
MAP Machine à aimants permanents
MAS Machine asynchrone
MLI Modulation de Largeur d’Impulsions
MRV Machine à reluctance variable
MSE Machine sans encoches
SMC Soft Magnetic Composites
INTRODUCTION GÉNÉRALE
Les développements récents des convertisseurs statiques à haute fréquence, des matériaux
magnétiques à faibles pertes et des aimants permanents de forte densité d’énergie ont
permis une émergence des applications industrielles et domestiques utilisant des machines
électriques synchrones à aimants permanents à haute vitesse. Parmi ces applications, nous
pouvons citer par exemple les machines-outils, les compresseurs, les perceuses, les
systèmes de génération d’énergie électrique avec des turbines à gaz, etc. La haute vitesse a
permis de réaliser des machines plus compactes, plus légères et plus performantes avec un
bon rendement et une puissance massique plus élevée. Elle a permis aussi de réaliser des
entraînements directs sans utilisation de multiplicateurs mécaniques.
Faisant partie de ce type de machines, les structures sans encoches à aimants permanents à
pôles lisses dont le bobinage est placé directement dans l’entrefer sont attractives dans
plusieurs applications à haute vitesse. Ces machines permettent d’éliminer le couple de
détente, de réduire les vibrations et les pertes par courants de Foucault dans le rotor dues à
l’encochage et de minimiser les pertes magnétiques dans le stator.
Généralement, les stators des machines sans encoches à haute vitesse sont réalisés avec des
tôles laminées. Cependant, la réalisation des stators utilisant des matériaux magnétiques
composites doux (SMC) peut être intéressante pour les applications de grand volume
puisqu’on réduit les étapes et les coûts de production. Ces nouveaux matériaux, qui sont
constitués par des particules de fer séparées par un isolant diélectrique afin de minimiser les
pertes par courants de Foucault, sont massifs et peuvent être plus au moins conducteurs. En
plus des stators en SMC, les machines sans encoches peuvent aussi être munies avec
d’autres pièces conductrices comme les frettes au rotor et les aimants permanents.
À cause de la haute vitesse, la conception des machines sans encoches avec de tels
matériaux massifs et conducteurs est complexe et différente de celle des machines
Introduction générale 2
conventionnelles. Elle présente un certain nombre de difficultés et de limitations d’ordre
électromagnétique, thermique et mécanique dues au fonctionnement à haute vitesse : par
exemple les effets des courants de Foucault induits dans les parties conductrices (stator en
SMC, frette conductrice et aimants), les pertes totales, l’effet de l’alimentation par
convertisseurs statiques et les contraintes mécaniques au rotor.
Les SMC présentent des propriétés magnétiques et thermiques isotropiques, mais leur
perméabilité est plus faible que celle des matériaux laminés et les pertes d’hystérésis sont
plus importantes. L’amélioration de la perméabilité et la minimisation des pertes
d’hystérésis conduit souvent à une augmentation de la conductivité. Dans les machines sans
encoches utilisant de tels matériaux, les courants de Foucault circulent non seulement dans
les particules de fer mais aussi à l’échelle du circuit magnétique et leur distribution et celle
de leur pertes dépendent de la topologie et des dimensions du circuit magnétique ainsi que
de la fréquence de fonctionnement. De plus, l’influence des effets de bord sur les pertes par
courants de Foucault induites dans le stator en SMC est non négligeable lorsque la longueur
axiale de la machine n’est pas très importante. Ainsi, une prédiction plus précise de la
distribution des courants de Foucault et de leurs effets en tenant compte des effets 3D est
nécessaire pour assurer une meilleure évaluation des performances.
Cette prédiction des effets des courants de Foucault est aussi nécessaire au niveau du rotor
des machines sans encoches dans la frette conductrice et dans les aimants. Ces courants
produisent des pertes Joule qui peuvent avoir une influence importante à cause de la haute
fréquence. Elles peuvent conduire à l’échauffement du rotor et à la démagnétisation des
aimants. D’un autre côté, à cause de la haute vitesse, le stress mécanique au niveau du rotor
peut être très critique et les pertes totales dissipées dans les machines peuvent être très
significatives conduisant à l’échauffement de la machine et à la diminution du rendement.
Ces grandeurs doivent être évaluées précisément et contrôlées pendant le dimensionnement
de ce type de machines pour assurer un fonctionnement sécuritaire.
Le couplage et les interactions entre la machine et le convertisseur statique qui lui est
associé doivent aussi être pris en compte lors du dimensionnement. Ces interactions, qui
dépendent du type de la commutation électronique utilisée et qui deviennent plus
significatives en haute vitesse, concernent en premier lieu les harmoniques de courant et
Introduction générale 3
leur influence sur les pertes et les ondulations du couple. Une modélisation de la machine,
de son alimentation et de leur couplage, est alors nécessaire pour évaluer précisément les
performances globales et assurer une meilleure adaptation entre ces deux dispositifs.
Par conséquent, la conception et la modélisation des machines sans encoches à aimants à
haute vitesse équipées avec des pièces massives conductrices doivent tenir en compte toutes
les particularités et les contraintes imposées par la haute vitesse. Une approche de
conception bien adaptée à ce type de machines doit être alors adoptée, par le
développement d’outils de modélisation et de conception appropriés, afin de garantir un
dimensionnement optimal.
• Objectif de la thèse
L’objectif de ce travail de recherche consiste à la mise au point d’un outil de
dimensionnement générique des machines sans encoches à aimants à haute vitesse basé sur
une approche de conception par optimisation globale. Cette approche tient compte de tous
les aspects électromagnétiques, thermiques et mécaniques, et notamment des courants de
Foucault induits dans les pièces conductrices ainsi que du couplage et de l’adaptation de la
machine au convertisseur. L’outil de dimensionnement, qui est constitué de plusieurs outils
de modélisation, de conception et d’optimisation intégrés dans un environnement de CAO,
est développé pour différentes structures de machines fonctionnant en moteur ou en
générateur en considérant les deux modes d’alimentations en tension et en courant par
convertisseurs statiques. Cet outil utilise un modèle analytique qui est associé, suivant le
mode d’alimentation utilisé, à une procédure d’optimisation et des mécanismes de
correction des erreurs du modèle analytique.
L’outil de dimensionnement ainsi que les différents modèles développés sont utilisés pour
effectuer plusieurs analyses comparatives et différentes études de faisabilité et de
sensibilité, au niveau du dimensionnement des machines sans encoches, qui permettent
d’investiguer l’utilisation des SMC dans ce type de machines et d’évaluer leur potentiel.
Ces différents outils sont aussi utilisés pour répondre à plusieurs éléments de la
problématique de modélisation et de conception dont la résolution permet de maîtriser la
méthode de conception optimale de ces machines avec des pièces conductrices.
Introduction générale 4
• Organisation de la thèse
Ce manuscrit de thèse est structuré en six chapitres. Dans le premier chapitre, nous
présentons les différents concepts, particularités et problématiques liés au fonctionnement
et à la conception des machines sans encoches à aimants à haute vitesse. Une revue de
littérature des applications, des différents types de machines électriques et des divers
matériaux utilisés dans le domaine de la haute vitesse est d’abord effectuée. Les différentes
structures de machines sans encoches et les multiples topologies de convertisseurs statiques
choisis dans cette thèse sont alors décrites. Enfin, la problématique détaillée de
modélisation et de conception des machines sans encoches considérées ainsi que la
méthodologie adoptée pour résoudre cette problématique sont présentées.
Dans le deuxième chapitre, nous développons une méthode de modélisation
électromagnétique analytique généralisée adaptée aux machines sans encoches considérées.
Cette méthode est basée sur le calcul analytique en deux dimensions (2D) de la distribution
du champ magnétique en utilisant une résolution harmonique des équations de Maxwell en
magnétodynamique et en tenant compte des courants induits dans les parties conductrices.
La méthode proposée est utilisée pour déterminer les différentes grandeurs
électromagnétiques des machines, nécessaires pour établir le modèle de dimensionnement,
en fonction des dimensions géométriques et des caractéristiques des matériaux.
Le troisième chapitre est consacré au calcul des différentes pertes générées au sein des
machines sans encoches étudiées. Une attention particulière est réservée au calcul des
pertes par courants de Foucault induites dans les différentes parties conductrices. Le calcul
analytique en 2D des pertes magnétiques dans le stator en SMC est validé en utilisant, tout
d’abord, des simulations en calcul numérique du champ en 2D, et ensuite, un banc d’essai
expérimental tournant. Une validation par calcul numérique du champ en 3D est aussi
effectuée et une méthode de correction des pertes par courants de Foucault dans le stator en
SMC, qui tient compte des effets de bord et qui permet de mettre en œuvre un mécanisme
de correction itératif de ces pertes dans le chapitre 5, est proposée.
Le quatrième chapitre est dédié au développement du modèle électrique équivalent global
de l’ensemble convertisseur-machine en considérant différents types de convertisseurs
Introduction générale 5
statiques. Ce modèle est intégré au modèle de dimensionnement pour déterminer les formes
d’ondes des grandeurs électriques permettant de calculer les performances globales du
système et d’effectuer l’adaptation machine-convertisseur. Pour l’alimentation en tension,
plusieurs types d’onduleurs sont considérés. Cependant, pour l’alimentation en courant, le
convertisseur est un commutateur à commutation assistée de courant fonctionnant en
redresseur ou en onduleur. Le couplage fort entre la machine et le convertisseur, dû à la
commutation du courant, est résolu en utilisant un autre mécanisme de correction
spécifique itératif utilisé au niveau des procédures de conception du chapitre 5.
Le cinquième chapitre décrit le développement et la mise en œuvre de la méthode de
conception par optimisation globale des machines sans encoches pour les deux types
d’alimentations. Le modèle de dimensionnement est complété par le développement des
équations de dimensionnement électromagnétique, thermique et mécanique. Les procédures
de conception et d’optimisation sont développées en intégrant le modèle de
dimensionnement et le mécanisme de correction 3D des pertes par courants de Foucault
dans le stator en SMC. Le mécanisme de correction du couplage machine-convertisseur est
aussi intégré lorsque la machine est couplée à un convertisseur à commutation de courant.
Une première validation de la méthode de conception optimale est effectuée en
dimensionnant deux moteurs à rotor interne à 2 et à 4 pôles avec des stators en SMC.
Dans le dernier chapitre, la méthodologie et les outils de conception et d’optimisation
développés sont appliqués et validés sur des cahiers des charges spécifiques en
dimensionnant plusieurs solutions topologiques de machines sans encoches connectées à
différents types de convertisseurs statiques. Pour l’alimentation en tension, plusieurs
structures de moteurs sans encoches équipés avec des stators en SMC et en fer laminé et
alimentés par des onduleurs de tension avec des commandes de type 120o et 180o, sont
dimensionnés, analysés et comparés. Des études de sensibilité sont aussi effectuées pour
analyser l’effet de l’utilisation du fil de Litz dans le bobinage et l’influence des paramètres
du matériau SMC sur le dimensionnement optimal des machines. Dans le cas de
l’alimentation en courant, la méthodologie de conception est validée en dimensionnant un
alternateur avec un stator en SMC débitant sur un redresseur à thyristors.
CHAPITRE I
1 MACHINES SANS ENCOCHES À HAUTE
VITESSE : CONCEPTS DE BASE ET
PROBLÉMATIQUE DE CONCEPTION
1.1 Introduction
La conception des machines synchrones sans encoches à aimants permanents à haute
vitesse, qui peuvent être réalisées avec des stators en SMC ou en tôles laminées et
éventuellement avec des frettes conductrices au rotor, est difficile et différente de celles des
machines conventionnelles. Les défis majeurs au niveau de la conception sont la
minimisation des pertes dues à la haute vitesse et à la haute fréquence (pertes fer et pertes
induites par les courants de Foucault dans les parties massives conductrices de la machine :
stator en SMC, frette conductrice et aimants permanents), et le dimensionnement
mécanique du rotor. Ainsi, pour assurer un dimensionnement optimal, une approche de
modélisation et de conception bien adaptée à ce type de machines doit être utilisée.
Dans ce premier chapitre, nous présentons une étude de littérature des différents concepts et
particularités liés aux machines à haute vitesse, en particulier les machines synchrones sans
encoches à aimants permanents à flux radial, la problématique de modélisation et de
conception des ces dernières ainsi que la méthodologie adoptée. Dans un premier temps,
l’éventail des applications des machines électriques à haute vitesse et l’intérêt de ce
fonctionnement sont présentés. Une comparaison des différents types de machines
électriques généralement utilisées dans les applications à haute vitesse est présentée et
illustrée par leurs gammes de puissances et de vitesses. Après avoir effectué une description
Chapitre 1 7
des caractéristiques des divers matériaux utilisés dans les machines à aimants permanents à
haute vitesse en mettant l’accent sur les aspects à considérer lors du dimensionnement,
nous présentons les différentes structures de machines sans encoches à aimants choisies
dans cette thèse ainsi que les multiples topologies de convertisseurs statiques auxquels elles
sont associées. Nous présentons en détail la problématique de modélisation et de
conception des machines sans encoches en tenant compte de tous les problèmes
électromagnétiques, thermiques et mécaniques, notamment l’effet des courants de Foucault
sur les performances globales ainsi que les interactions convertisseur-machine. En
conclusion, la méthodologie que nous devons mettre en œuvre pour résoudre la
problématique est proposée.
1.2 Intérêt et applications des machines à haute vitesse
1.2.1 Intérêt de la haute vitesse
L’entraînement à haute vitesse des machines électriques a permis d’améliorer les
performances de plusieurs applications nécessitant ce type de fonctionnement. La haute
vitesse a permis de réaliser des entraînements présentant plusieurs avantages par
comparaison avec les systèmes conventionnels, que ce soit pour un fonctionnement en
moteur ou en générateur : compacité, faible poids, fiabilité et bon rendement [1]–[3]. Les
machines électriques sont plus petites, plus performantes et présentent des puissances
massiques plus élevées. Ces machines sont couplées directement aux arbres des dispositifs
entraînés ou entraînants (compresseurs, pompes, turbines à gaz, etc.) sans utilisation de
réducteurs mécaniques. Cela permet de réduire le poids du système et de minimiser les
pertes et le coût total [4], [5]. Cela permet également de réduire les opérations de
maintenance, d’améliorer la fiabilité et d’assurer un meilleur rendement [3], [6].
1.2.2 Domaine d’applications des machines à haute vitesse
Durant les dernières années, plusieurs applications utilisant les machines à haute vitesse ont
vues le jour que ce soit pour les petites, moyennes ou grandes puissances et pour des
fonctionnements en moteur ou en générateur. Pour les moteurs, nous pouvons citer par
exemple les applications suivantes :
Chapitre 1 8
• Les machines-outils utilisées dans l’usinage à haute vitesse (fraisage, perçage,
découpage, tournage, etc.) [7], [8] ;
• Les appareils électrodomestiques comme par exemple les perceuses ou les
aspirateurs [9] ;
• Les compresseurs et les turbocompresseurs utilisés dans l’industrie pétrolière
(transport du gaz naturel ou du pétrole par des canalisations), dans l’industrie
chimique, ou dans les applications de réfrigération et de climatisation industrielles
et domestiques [10]–[15] ;
• Les pompes utilisées dans les centrales électriques ou dans l’industrie chimique et
pétrolière [16]–[18] ;
• Les applications militaires et maritimes (traction, propulsion, etc.) [19].
Concernant les générateurs à haute vitesse, nous les trouvons dans de nombreuses
applications de génération d’électricité allant de quelques W à quelques MW. Ils sont
généralement entraînés par des turbines à gaz. Parmi ces applications, nous pouvons citer
entre autres :
• Les systèmes de génération embarqués dans les voitures hybrides, les bateaux tout
électriques, les navires, etc. [19]–[22] ;
• Les applications de démarrage-génération pour les moteurs d’avions [23], [24] ;
• Les dispositifs de stockage d’énergie électromagnétique par volants d’inertie utilisés
dans les véhicules hybrides, les satellites, etc. [25]–[28] ;
• Les systèmes de génération utilisés dans les applications militaires (véhicules
militaires, navires, avions,…) [22] ;
• Les systèmes de génération embarqués dans les applications aérospatiales (satellites,
stations,…) [28]–[30] ;
• Les unités de production d’électricité mobiles et les unités de production combinée
d’électricité et de chaleur avec des turbines à gaz ("CHP : Combined Heat and
Chapitre 1 9
Power Unit") utilisées dans les régions éloignées ou dans les applications
domestiques et commerciales (maisons, hôtels, hôpitaux, etc.) [1], [6], [31].
1.3 Machines électriques adaptées à la haute vitesse
Plusieurs types de machines électriques peuvent être utilisés dans les applications à haute
vitesse. Le choix d’une machine pour une application donnée est difficile et dépend des
spécifications du cahier des charges. Généralement, les machines privilégiées sont celles
qui assurent une densité de puissance plus élevée, de faibles pertes, une rigidité mécanique
du rotor et une construction simple et facile de ce dernier [1], [26].
L’analyse de la littérature concernant les applications à haute vitesse nous permet de
constater que les machines les plus utilisées sont les machines synchrones à aimants
permanents (MAP), les machines asynchrones (MAS) et les machines à réluctance variable
(MRV). Toutefois, il existe d’autres types de machines spéciales qui sont moins utilisées
comme par exemple les machines synchrones à griffes ("claw-pole machines") et les
machines synchrones homopolaires ("homopolor machines"). Généralement, ces différentes
machines à haute vitesse sont développées pour des cahiers des charges spécifiques avec
des puissances allant de quelques W jusqu’à quelques MW. Elles sont moins
commercialisées par les manufacturiers et leurs techniques de production en grand volume,
similaires à celles des machines conventionnelles, ne sont pas encore développées [3], [4].
La figure 1.1 montre les gammes de puissances et de vitesses des trois principales machines
électriques utilisées dans les applications à haute vitesse en moteur ou en générateur. Les
points de fonctionnement de ces différentes machines sont issus des publications
scientifiques et des données de quelques manufacturiers. Les données recueillies montrent
que la vitesse de fonctionnement diminue lorsque la puissance augmente. Cela est dû
essentiellement aux différentes limites imposées par la haute vitesse, en particulier les
contraintes mécaniques exercées sur le rotor [3], [32]. Nous remarquons aussi que les
machines qui se démarquent principalement dans le domaine de la haute vitesse sont les
machines à aimants permanents et les machines asynchrones. Les machines à aimants
permanents sont les plus utilisées pour plusieurs niveaux de puissances et de vitesses. Elles
Chapitre 1 10
sont par contre moins utilisées dans les grandes puissances (supérieures à 100 kW).
Cependant, les machines asynchrones peuvent atteindre des puissances très élevées et sont
utilisées surtout dans les applications de type compresseur dans l’industrie gazière et
pétrolière [32], [33].
Figure 1.1 : Points de fonctionnement dans le plan puissance-vitesse de quelques machines à
haute vitesse existantes dans la littérature
Le tableau 1.1 présente les avantages et les inconvénients des trois principales machines à
haute vitesse citées précédemment. L’analyse de ce tableau et l’étude de la littérature
effectuée nous permettent de mettre en évidence les différentes caractéristiques suivantes
de chaque type de machines.
• Machines asynchrones
La machine asynchrone à cage d’écureuil est très populaire dans les applications à haute
vitesse, notamment pour les moyennes et grandes puissances. Elle présente une simplicité
au niveau de la structure du rotor et une grande robustesse de ce dernier. Ces qualités lui
permettent, d’une part, de présenter un faible coût de construction, et d’autre part, d’avoir
une résistance significative aux contraintes mécaniques exercées sur le rotor et d’atteindre
des vitesses très élevées [4]. Cependant, la machine asynchrone, comparée à la machine à
aimants permanents, est caractérisée par un faible facteur de puissance, une taille plus
importante et un mauvais rendement à cause des pertes Joule générées au rotor qui
10
100
1000
10000
100000
1000000
10000000
1000 10000 100000 1000000
Puis
sanc
e [W
]
Vitesse [rpm]
MAPMASMRV
Chapitre 1 11
augmentent rapidement avec la vitesse [32], [34]. Ces inconvénients n’ont pas empêché
cette machine d’être utilisée dans plusieurs applications à haute vitesse et aussi étudiée dans
la littérature grâce à ses divers avantages [11], [13] et [15].
Type de machine Avantages Inconvénients
Machine asynchrone - Construction simple du rotor - Faible coût - Rotor robuste
- Faible facteur de puissance - Pertes au rotor élevées - Faible rendement
Machine à réluctance variable
- Construction simple du rotor - Rotor robuste - Pas de pertes Joule au rotor (absence des pertes d’excitation)
- Couple pulsatoire - Mauvais facteur de puissance (suivant le mode d’alimentation) - Pertes aérodynamiques élevées - Pertes de Foucault élevées au rotor (pour un rotor massif)
Machine à aimants permanents
- Forte densité de puissance - Faibles pertes au rotor - Facteur de puissance élevé - Bon rendement - Compacité
- Coût des aimants élevé - Démagnétisation des aimants - Maintien des aimants sur le rotor - Rotor complexe
Tableau 1.1 : Avantages et inconvénients des trois machines électriques les plus utilisées dans les applications à haute vitesse [3], [26], [34]
• Machines à réluctance variable
La machine à réluctance variable est aussi attractive pour les applications à haute vitesse
grâce essentiellement à sa robustesse. Son rotor est simple, plus robuste et permet une
certaine économie au niveau des matériaux utilisés. La robustesse de cette machine permet
de la faire fonctionner dans des conditions extrêmes parce qu’elle peut supporter des
contraintes mécaniques et thermiques très élevées au niveau du rotor. Toutefois,
dépendamment du mode d’alimentation utilisé, ce type de machine peut absorber une
puissance réactive qui diminue le facteur de puissance et il peut être le siège de vibrations
dues aux oscillations du couple [11], [26]. De plus, les pertes aérodynamiques peuvent être
plus significatives à cause de la saillance du rotor. Cela la rend moins populaire par rapport
à la machine à aimants permanents [10]. Néanmoins, elle a été utilisée dans plusieurs
applications de haute vitesse en moindre proportion comme cela est proposé dans les
références [18], [34] et [35].
Chapitre 1 12
• Machines à aimants permanents
La machine synchrone à aimants permanents est généralement considérée comme la plus
intéressante dans plusieurs applications à haute vitesse grâce à l’utilisation des aimants de
type terres rares qui ont une forte densité d’énergie [10], [17]. Elle présente une densité de
puissance supérieure, un meilleur rendement, une taille plus compacte et un facteur de
puissance plus élevé [3], [26]. Cependant, la construction du rotor de la machine à aimants
permanents fonctionnant à haute vitesse est plus complexe en comparaison avec les autres
types de machines. À cause de la haute vitesse, le rotor doit être résistant au stress
mécanique dû aux forces centrifuges. De plus, les aimants permanents doivent être
maintenus au niveau du rotor en dépit de ces forces et leur démagnétisation doit être évitée
[1], [36]. Cette démagnétisation peut être accentuée à cause de l’élévation de la température
due aux pertes par courants de Foucault générées dans les aimants qui sont généralement
conducteurs (cas du NdFeB) et dont le prix peut être plus élevé.
Malgré ces inconvénients, la machine à aimants permanents reste très attractive dans le
domaine de la haute vitesse. Le coût des aimants peut être compensé par le bon rendement
de la machine. La démagnétisation peut être évitée par une conception adaptée et
éventuellement par un refroidissement du rotor. Le maintien des aimants peut être assuré
soit en les insérant dans le rotor, soit en les enterrant ou en les collant et en les fixant par
des frettes mécaniques. Ainsi, différents types de structures de machines à aimants
permanents peuvent être utilisés pour la haute vitesse. Elles diffèrent par la topologie du
stator et du rotor et par la disposition et le maintien des aimants dans le circuit magnétique.
Dans la littérature, les principaux types de machines à aimants permanents utilisés au
niveau des applications à haute vitesse sont les machines à flux radial et les machines à flux
axial. Les machines à flux axial sont souvent utilisées mais en moindre proportion [27],
[37], [38]. Pour ce type de machines, le rotor a une forme de disque et les aimants sont soit
insérés ou collés sur la surface du rotor. Les machines à flux radial représentent la majorité
des machines à aimants rencontrées dans le domaine de la haute vitesse. La structure du
stator, la forme du rotor et la disposition des aimants multiplient les catégories possibles de
ce type de machines : machines avec encoches ou sans encoches, à rotor intérieur ou à rotor
extérieur, à pôles lisses ou à pôles saillants.
Chapitre 1 13
Les machines à aimants permanents dont le stator est encoché sont les plus utilisées en
haute vitesse [5]–[10], [39]. Cependant, les machines sans encoches à bobinage dans
l’entrefer, qui nous intéressent dans cette thèse, deviennent de plus en plus intéressantes
grâce à leurs plusieurs avantages, notamment dans les applications où l’ondulation du
couple est non désirable [17], [40]–[44]. Le choix d’une machine dépend des spécifications
de l’application visée, mais également de l’intégrité et de la rigidité mécanique du rotor. Il
existe une multitude de structures de rotors qui sont plus ou moins adaptées au
fonctionnement à haute vitesse. Parmi les structures de rotors, qui sont évoquées dans la
littérature, nous trouvons (cf. Fig. 1.2) :
• Rotor à aimants montés en surface [4]–[10], [39]–[45] ;
• Rotor à aimants insérés [46] ;
• Rotor à aimants enterrés à aimantation radiale [45], [47] ;
• Rotor à aimants enterrés à concentration de flux [48], [49] ;
• Rotor à aimants chapeautés par des pièces polaires [49] ;
• Rotor à aimants enterrés à distribution asymétrique [49].
(a) (b) (c)
(d) (e) (f) Figure 1.2 : Structures de rotors (a) à aimants montés en surface, (b) à aimants insérés, (c) à
aimants enterrés à aimantation radiale, (d) à aimants enterrés à concentration de flux, (e) à aimants chapeautés par des pièces polaires et (f) à aimants enterrés à distribution asymétrique
Chapitre 1 14
Plusieurs auteurs [30], [48]–[50] ont étudié le choix optimal de la structure du rotor qui
répond au mieux aux contraintes mécaniques imposées par la haute vitesse. Généralement,
la structure du rotor qui semble être la plus favorable, et qui est par ailleurs la plus répandue
dans la littérature que ce soit pour les machines avec encoches ou sans encoches, est la
structure à pôles lisses avec des aimants montés sur la surface du rotor. Pour un rotor
interne et à des vitesses très élevées, les aimants peuvent se détacher suite à l’action des
forces centrifuges. L’utilisation d’une frette de matériau résistant aux contraintes
mécaniques autour des aimants permet alors de les maintenir en place et d’augmenter la
rigidité du rotor. Il existe trois types de frettes qui sont généralement utilisées et qui
peuvent être réalisées à partir de plusieurs types de matériaux :
• Frettes amagnétiques non conductrices qui peuvent être fabriquées en utilisant les
nouveaux matériaux pré-stressés tels que la fibre de carbone, la fibre de verre ou le
Kevlar et qui possèdent de bonnes performances mécaniques et électriques [6], [7],
[50]–[54] ;
• Frettes amagnétiques conductrices réalisées par des matériaux conducteurs comme
par exemple le cuivre, l’aluminium, le titane ou l’acier inoxydable : ce type de
frettes est le siège de pertes supplémentaires générées par les courants de Foucault
induits par les harmoniques de temps et d’espace du champ magnétique d’entrefer
de la machine [21], [26], [54]–[57] ;
• Frettes à base de matériaux magnétiques tels que les rubans amorphes par exemple :
ces frettes offrent une bonne résistance mécanique et permettent d’augmenter
l’induction dans l’entrefer. Cependant, elles sont moins utilisées car elles peuvent
court-circuiter les côtés des aimants permanents, augmenter les flux de fuite et
limiter le flux principal [54].
Pour un rotor externe, l’utilisation d’une frette mécanique n’est pas nécessaire puisque les
aimants sont maintenus en place en s’écrasant sur la culasse du rotor lorsque la vitesse
augmente à cause des forces centrifuges. Néanmoins, une frette conductrice peut être
utilisée afin de minimiser les pertes dans le rotor (dans les aimants et la culasse du rotor) et
de faciliter la commutation de courant lorsque la machine est connectée à un redresseur ou
Chapitre 1 15
un onduleur à thyristors (convertisseurs à commutation de courant). Cela est valide que ce
soit pour un rotor externe [26] ou un rotor interne [21], [52].
1.4 Caractéristiques des matériaux utilisés dans les machines à aimants permanents à haute vitesse
Les performances des machines à aimants permanents dépendent intrinsèquement des
caractéristiques des divers matériaux utilisés pour leur conception. La sélection de bons
matériaux prend une place importante dans le processus de conception optimal de ces
machines notamment pour un fonctionnement en haute vitesse. Dans ce contexte, il est
judicieux de présenter les différents types de matériaux utilisés en haute vitesse ainsi que
les caractéristiques qui déterminent leur choix.
Dans cette partie, nous présentons tout d’abord les caractéristiques des matériaux
ferromagnétiques doux utilisés dans les structures des machines en confrontant les
matériaux classiques laminés et les matériaux composites. Ensuite, les différents types
d’aimants permanents et leurs propriétés physiques sont décrits. Finalement, les types et les
caractéristiques des conducteurs utilisés dans les bobinages statoriques sont discutés.
1.4.1 Matériaux magnétiques doux
Dans une machine électrique à aimants permanents à haute vitesse, les pertes magnétiques
constituent une part importante des pertes totales et qui se manifestent principalement au
niveau du circuit magnétique du stator. Les pertes par courants de Foucault peuvent
constituer une grande partie de ces pertes puisqu’elles sont proportionnelles au carré de la
fréquence et deviennent très significatives à haute vitesse [39]. Afin de réduire ces pertes,
on utilise généralement des matériaux magnétiques de faible conductivité sous forme de
tôles d’épaisseurs très minces isolées électriquement (matériaux laminés) ou sous forme de
particules de fer séparées par un isolant électrique (résine ou diélectrique) constituant ce
qu’on appelle les matériaux composites doux ("SMC : Soft Magnetic Composites").
Le choix du matériau magnétique à utiliser dépend des spécifications du cahier des charges,
du type de l’application visée (application grande série ou de pointe), des performances du
Chapitre 1 16
matériau et de son coût de production. En fait, la sélection optimale du matériau doit
découler d’un compromis entre les propriétés magnétiques, thermiques et mécaniques et le
coût. D’un point de vue magnétique, un bon matériau doit avoir de faibles pertes
massiques, une grande perméabilité et un niveau d’induction de saturation plus élevé.
Généralement, ces trois critères sont toujours inconciliables et des compromis s’imposent.
Dans ce qui suit, nous présentons les performances des deux catégories de matériaux
utilisés dans les machines à haute vitesse, à savoir les matériaux laminés et les matériaux
composites doux, ainsi que leurs avantages et inconvénients.
1.4.1.1 Matériaux magnétiques laminés
Il existe plusieurs types de matériaux magnétiques laminés qui sont utilisés pour la
conception des machines à haute vitesse. Ces matériaux sont développés principalement à
partir de trois familles d’alliages magnétiques : les alliages Fer-Silicium (Fe-Si), les alliages
Fer-Nickel (Fe-Ni) et les alliages Fer-Cobalt (Fe-Co). Ces alliages permettent d’avoir des
matériaux avec des propriétés électromagnétiques, thermiques et mécaniques très variées et
dont le prix dépend essentiellement des performances et de l’épaisseur des tôles mises en
œuvre.
Le tableau 1.2 présente une comparaison des caractéristiques et des performances de divers
matériaux laminés associés aux trois familles d’alliages magnétiques évoquées : résistivité,
perméabilité maximale, niveau de saturation, température de Curie et pertes massiques. Les
performances des SMC sont aussi ajoutées dans ce tableau pour avoir une comparaison plus
globale. L’analyse des différentes caractéristiques présentées dans ce tableau et dans la
littérature en général permet de tirer les commentaires qui suivent.
Chapitre 1 17
Type de matériau
Résistivité [µΩm]
Perméabilité maximale
Induction à saturation [T]
Température de Curie [oC]
Pertes [W/kg] (pour
400Hz et 1T) Tôle Fe-Si 3% à gain non orientés (NO)
0.45-0.5 5000-10000 1.8-2 750 10-19
Tôle Fe-Si 6.5% (NO) 0.82 16000-25000 1.25-1.8 740 5.7-10
Alliage Fe-Ni (Permalloy 78) 0.55-0.6 100000-
300000 0.7-1.2 460 3-7
Alliage Fe-Co (Permendur 50) 0.25-0.4 8000-20000 2.2-2.4 930 25
(à 2T, 400Hz)
SMC (Atomet EM-1) 150-600 190-290 1.4-1.6 - 75-85
Tableau 1.2 : Caractéristiques des différents matériaux magnétiques utilisés dans les machines à haute vitesse [58]–[68]
• Alliages Fer-Silicium
Les alliages Fer-Silicium, qui sont principalement à 3% de Silicium, sont les alliages les
plus utilisés sous formes de tôles dans les machines électriques, notamment dans les
machines à haute vitesse. Le fait d’ajouter le Silicium permet d’augmenter la résistivité
électrique de l’alliage et d’améliorer les performances magnétiques, en particulier la
réduction des pertes massiques. Les tôles utilisées sont généralement à grains non orientés
laminées à froid et livrées après recuit ("fully process") [58].
Comparées aux autres matériaux magnétiques, les tôles Fe-3%Si offrent un niveau de
saturation élevé, une bonne perméabilité et des pertes massiques modérées (cf. tableau 1.2).
Cependant, afin de limiter les pertes magnétiques lorsque la fréquence augmente, les
constructeurs proposent des tôles à très faibles épaisseurs comprises entre 0.05mm et
0.35mm et qui sont généralement utilisées dans les machines à haute vitesse [2], [4], [7] et
[69]. Le prix des tôles augmente au fur et à mesure que leur épaisseur diminue. La valeur
de cette dernière doit être choisie en tenant compte de la fréquence de fonctionnement, de
l’importance de l’effet de peau dans les tôles et des pertes massiques spécifiées.
Récemment, quelques constructeurs ont proposé des tôles Fe-Si à 6.5% de Silicium à grains
non orientés à différentes épaisseurs et qui sont destinées essentiellement aux applications à
haute fréquence (machines électriques, transformateurs, etc.). Ces tôles offrent de
meilleures performances magnétiques que les tôles Fe-3%Si étant donné que leur
Chapitre 1 18
perméabilité est plus élevée et que leurs pertes massiques sont plus faibles. Toutefois, le
niveau de l’induction à saturation est légèrement inférieur [63]–[65] (cf. tableau 1.2). La
référence [70], par exemple, montre que l’utilisation des tôles Fe-6.5%Si dans la
conception des machines à aimants à haute vitesse de grande puissance permet une
réduction considérable des pertes fer au niveau du stator.
• Alliages Fer-Nickel
Ces alliages sont développés avec un taux de charge en Nickel compris entre 36% et 80%.
Ils offrent des performances très attrayantes par rapport aux autres alliages, à savoir une
haute perméabilité et de faibles pertes massiques. Cependant, leur induction à saturation est
plus faible et leur coût est élevé [59], [60]. À cause de leur prix et de leurs performances
intéressantes, les tôles Fer-Nickel sont souvent réservées pour des applications spécialisées.
Elles sont néanmoins utilisées dans les machines à haute vitesse mais en moindre quantité
[31].
• Alliages Fer-Cobalt
Comparées aux autres alliages magnétiques, les alliages Fer-Cobalt présentent des
caractéristiques plus intéressantes mais à un coût plus élevé. Ils offrent le niveau de
saturation le plus élevé, une bonne perméabilité, des pertes massiques modérées et la
température de Curie la plus élevée [59], [60] (cf. tableau 1.2). À cause de leur prix très
important, de leur capacité à opérer à des hautes températures et de leur haute induction à
saturation, ces matériaux sont principalement utilisés dans les applications de pointe avec
des conditions ambiantes sévères et qui nécessitent un faible poids et une bonne rigidité
mécanique. Dans le domaine des machines à haute vitesse, ce type d’alliage est utilisé sous
forme de tôles très minces (0.1mm-0.3mm), notamment dans les applications aérospatiales,
aéronautiques et militaires [24], [48], [71].
1.4.1.2 Matériaux magnétiques composites doux
Les SMC sont des matériaux magnétiques issus des derniers développements réalisés dans
le domaine de la métallurgie des poudres. Ils sont constitués de particules de fer revêtues
d’une mince couche d’isolant diélectrique (cf. Fig. 1.3). Ce mélange de poudre de fer et de
liant est pressé à haute densité dans une matrice et recuit à moyenne température (entre
Chapitre 1 19
200oC et 500oC) afin d’éliminer les défauts du réseau cristallin du fer et d’assurer une
bonne tenue mécanique du matériau obtenu. L’isolation électrique des granules permet aux
SMC d’avoir une grande résistivité qui assure une réduction très importante de la
circulation des courants de Foucault [72]–[75]. Le processus de fabrication des SMC par
moulage et compression permet de réaliser des pièces avec des formes complexes et des
propriétés magnétiques et thermiques isotropiques permettant d’avoir une circulation
tridimensionnelle du flux magnétique et de la chaleur. Il permet aussi de faciliter la
production en série des machines électriques utilisant les SMC, de minimiser les étapes
d’assemblage avec moins de pertes de matière et de réduire les coûts de production ainsi
que les coûts de recyclage en fin de vie [75].
Figure 1.3 : Structure microscopique d’un matériau magnétique composite doux [74]
Cependant, comparés aux matériaux laminés classiques, les SMC présentent une faible
perméabilité relative et un niveau d’induction à saturation moins élevé (cf. tableau 1.2). Le
coude de saturation est peu prononcé à cause du volume d’air interne qui se comporte
comme un entrefer réparti (cf. Fig. 1.4). Les pertes magnétiques sont beaucoup plus
importantes en basse fréquence et se réduisent essentiellement aux pertes d’hystérésis. Les
pertes par courants de Foucault sont plus faibles à cause de l’isolation électrique des
particules de fer, tandis que les pertes d’hystérésis sont prédominantes suite à la
recristallisation non complète du fer après le recuit à une température moins élevée [74].
Les pertes par courants de Foucault sont diminuées dans ce type de matériaux au détriment
de la perméabilité.
Particules de fer
Porosités
Revêtement
Chapitre 1 20
Figure 1.4 : Caractéristiques d’aimantation d’un matériau composite doux et d’une tôle de fer
L’amélioration de la perméabilité des SMC et la réduction des pertes d’hystérésis
conduisent à une augmentation de la conductivité et des pertes par courants de Foucault. En
fait, contrairement aux matériaux laminés où les courants de Foucault sont limités à
l’épaisseur des tôles, la distribution des pertes par courants de Foucault dans les SMC est
dépendante de la géométrie du circuit magnétique car les courants induits peuvent circuler à
l’échelle du circuit magnétique. L’augmentation de la perméabilité d’un matériau
composite peut être effectuée en augmentant la force de compression pendant le processus
de fabrication. Par contre, cela conduit à rapprocher les particules de fer, à multiplier les
contacts entres elles et à augmenter la conductivité globale du matériau ainsi que les pertes
par courants de Foucault. D’un autre côté, pour réduire les pertes d’hystérésis, on peut
augmenter la température du traitement thermique afin de relaxer d’avantage les contraintes
résiduelles dans le fer. Cependant, dans le cas où on dépasse la température maximale de
l’isolant diélectrique, on peut bruler ce dernier et augmenter la conductivité du matériau.
Par conséquent, la conception des SMC doit découler d’un compromis optimal entre la
perméabilité, la conductivité et les pertes d’hystérésis en modifiant la composition et les
paramètres du procédé de production [72], [75]. Dans ce sens, les fabricants des SMC
(Poudres Métalliques du Québec et Höganäs par exemple) proposent à leurs clients des
matériaux allant du matériau le plus résistif et moins perméable au matériau le moins
résistif et plus perméable qui peuvent être utilisés suivant les spécifications de l’application
visée.
Chapitre 1 21
Dans les dispositifs électromagnétiques fonctionnant à des fréquences élevées comme les
machines à haute vitesse, l’utilisation des SMC peut être très intéressante par rapport à celle
des matériaux laminés. L’handicap de pertes magnétiques plus élevées dans les SMC en
basses fréquences peut être compensé lorsque la fréquence augmente suite à la forte
réduction des courants de Foucault. En effet, les pertes magnétiques totales dans les SMC,
qui sont dominées par les pertes d’hystérésis, augmentent linéairement avec la fréquence et
peuvent devenir inférieures à celles des tôles laminées. Dans ces dernières, les pertes par
courants de Foucault sont prépondérantes en haute fréquence et augmentent au carré de la
fréquence. Cependant, ce constat, par ailleurs annoncé par plusieurs auteurs [39], [75], [76]
et qui sera démontré dans cette thèse pour le cas des machines sans encoches de faible
puissance avec des stators réalisés en SMC, est à prendre sous réserve (cf. chapitre 6). En
fait, les pertes par courants de Foucault dans un circuit magnétique fait de SMC peuvent
être très significatives par rapport aux pertes d’hystérésis dépendamment de la conductivité
du matériau, de la topologie et des dimensions globales du circuit magnétique et de la
puissance mise en jeu. Cela est démontré dans le chapitre 6 dans le cas des machines sans
encoches à haute vitesse de puissance et de dimensions importantes utilisant des SMC
(effet dimensionnel).
Dans la littérature, les SMC ont été utilisés avec succès dans plusieurs types de machines
électriques [75]–[81]. À cause de leur faible perméabilité, ces matériaux semblent être plus
appropriés aux machines à aimants permanents où l’entrefer magnétique effectif est plus
important, en particulier pour un fonctionnement à haute vitesse ou à haute fréquence.
L’exploitation de l’isotropie des propriétés magnétiques et thermiques a permis de
concevoir des machines à aimants avec des structures topologiques utilisant des culasses où
la circulation du flux et le transfert de la chaleur sont tridimensionnels, tout en réduisant le
poids et en assurant une meilleure utilisation du cuivre. En plus des machines à flux radial,
les structures de machines à aimants permanents où l’utilisation des SMC a été envisagée,
sont les machines à flux axial, les machines à flux transverse et les machines à griffes [75]–
[80]. Dans le domaine de la haute vitesse, l’utilisation des SMC a été rapportée dans
quelques références [9], [39] et [81], particulièrement dans les cas des machines à aimants
permanents de petite et de moyenne puissances. Cependant, cette utilisation des SMC est
toujours au stade de la recherche et du développement que ce soit au niveau de
Chapitre 1 22
l’amélioration des propriétés physiques de ces matériaux ou de l’adaptation et de
l’optimisation des structures des machines comme cela est proposé dans cette thèse dans le
cas des machines sans encoches à aimants permanents à haute vitesse.
1.4.2 Aimants permanents
Les aimants permanents sont des matériaux magnétiques durs caractérisés par un cycle
d’hystérésis très large. La partie utile de leurs caractéristiques B(H), appelée courbe de
démagnétisation, est linéaire et située dans le quadrant du plan où B>0 et H<0. Ces
matériaux sont généralement classés en fonction de trois principaux paramètres :
l’induction rémanente Br, le champ magnétique coercitif Hc et la densité d’énergie
maximale (BH)max. Le choix d’un aimant pour une application donnée dépend de ces
derniers paramètres, qui désignent les performances magnétiques, ainsi que des contraintes
thermiques et du coût [82].
Il existe plusieurs types d’aimants permanents qui sont utilisés dans les machines
électriques tels que les Aluminium-Nickel-Cobalt (AlNiCo), les ferrites, les Samarium-
Cobalt (SmCo) et les Néodyme-Fer-Bore (NdFeB). Dans les machines à aimants
permanents à haute vitesse, les aimants NdFeB et SmCo, qui sont des aimants de type terres
rares, sont les plus utilisés puisqu’ils présentent une forte densité d’énergie [17]. Ces
aimants sont proposés sur le marché avec plusieurs formes et différentes directions pour le
vecteur de magnétisation (radiale, axiale, parallèle, diamétrale, etc.) et peuvent être soit
frittés ou liés.
Le tableau 1.3 présente l’ordre de grandeur des principales caractéristiques physiques des
aimants permanents de type terres rares frittés ainsi que celles des ferrites. Les aimants
NdFeB sont plus puissants et plus performants que les SmCo étant donné qu’ils présentent
d’excellentes propriétés magnétiques (densité d’énergie et induction rémanente plus
élevées). Ils sont les plus utilisés dans un grand nombre d’applications d’autant plus que
leur coût est moins élevé. Cependant, les aimants SmCo peuvent fonctionner à des
températures plus élevées (>300oC) que celles permises pour des aimants NdFeB tout en
assurant de bonnes performances magnétiques [83], [84]. À cause de leur coût plus élevé et
de leur bonne tenue en température, les aimants SmCo sont généralement réservés pour des
Chapitre 1 23
applications spécialisés avec des conditions thermiques sévères telles que les applications
aéronautiques, miliaires ou spatiales.
Paramètre NdFeB SmCo Ferrites Induction rémanente Br (à 20oC) [T] 1.02-1.47 0.9-1.12 0.2-0.41 Champ coercitif intrinsèque Hci (à 20oC) [A/m] 750-3250 500-1500 200-350 Densité d’énergie volumique (BH)max [kJ/m3] 200-415 140-250 10-40 Perméabilité magnétique relative µrm 1.02-1.2 1.03-1.1 1.05-1.2 Résistivité électrique ρm [μΩm] 1.4-1.6 0.5-0.9 100 Température de Curie [oC] 310-370 700-800 450 Température maximale de fonctionnement [oC] 80-240 350 250 Coefficient de température pour Br [%/oC] -0.12 ~ -0.08 -0.05 ~ -0.03 -0.18 ~ -0.2 Coefficient de température pour Hci [%/oC] -0.8 ~ -0.4 -0.25 ~ -0.15 +0.2 ~ +0.5 Densité volumique [kg/m3] 7200-7500 8200-8500 3500-5000
Tableau 1.3 : Caractéristiques physiques de différents aimants permanents frittés [82]–[84]
Il est important de noter que la résistivité des aimants de type terres rares est non
négligeable, en particulier celle des aimants frittés. Cela conduit à la génération de pertes
par courants de Foucault qui peuvent être importantes lors de l’utilisation de ces aimants
dans les machines fonctionnant à haute vitesse et qui doivent être considérées lors du
dimensionnement de ce type de machines. Le tableau 1.3 et la figure 1.5 montrent que les
propriétés magnétiques des aimants de terres rares sont dépendantes de la température. Une
augmentation de la température, pour des aimants NdFeB par exemple, se traduit par une
diminution de l’induction rémanente, une réduction du champ magnétique coercitif et un
abaissement de la courbe de démagnétisation. Les aimants perdent de leur puissance en
subissant une démagnétisation réversible, et cet effet est plus prononcé dans le cas des
NdFeB puisqu’ils sont plus sensibles à la température.
Un autre phénomène important à prendre en considération lors du dimensionnement des
machines utilisant des aimants permanents est la démagnétisation irréversible de ces
derniers. Cette perte d’aimantation peut être produite lorsque le point de fonctionnement de
l’aimant dépasse le coude de la courbe de démagnétisation suite à l’application d’un champ
magnétique de réaction d’induit plus important [84]–[86]. Ce phénomène est accentué avec
la température étant donné que le champ magnétique correspondant au coude de la courbe
Chapitre 1 24
B(H) diminue (en valeur absolue) au fur et à mesure que la température augmente (cf. Fig.
1.5). Ainsi, lors du dimensionnement des machines à aimants permanents à haute vitesse, la
courbe B(H) correspondant à la température maximale prédite des aimants doit être utilisée
afin d’éviter efficacement leur démagnétisation.
Figure 1.5 : Courbes de démagnétisation d’un aimant permanent de type NdFeB pour différentes
températures [84]
1.4.3 Conducteurs utilisés dans les bobinages des machines électriques à haute vitesse
Dans les machines à aimants permanents à haute vitesse, la fréquence du courant dans les
conducteurs des enroulements du stator peut être très élevée. De plus, les aimants
permanents défilent rapidement devant les conducteurs à cause de la rotation à haute vitesse
du rotor. L’apparition de courants de Foucault à l’intérieur des conducteurs se traduit par la
création de pertes Joule supplémentaires dues à l’effet de peau et de proximité [87]. Ces
pertes sont plus importantes lorsque le stator de la machine est sans encoches. Le contrôle
de la valeur de ces pertes dépend du type de conducteur à utiliser et de leurs sections. Dans
la littérature, deux types de conducteurs sont généralement utilisés pour plusieurs classes
d’isolation :
• Conducteurs de cuivre standards (normaux) qui sont utilisés dans la majorité des
machines électriques ;
Chapitre 1 25
• Fils de Litz : ce sont des conducteurs en cuivre composés par un ensemble de brins
plus fins isolés électriquement les uns des autres et qui sont tressés ou toronnés. Ils
permettent de réduire les pertes supplémentaires causées par l’effet de peau et de
proximité. Le diamètre des brins doit être inférieur à l’épaisseur de peau
correspondant à la pénétration des courants de Foucault pour la fréquence de
fonctionnement. L’inconvénient majeur des conducteurs à fils de Litz, qui peuvent
être soit ronds ou rectangulaires, est la diminution du facteur de remplissage au
stator par rapport à celui des conducteurs standards. Toutefois, le facteur de
remplissage dans le cas d’un fil de Litz de forme rectangulaire est plus élevé que
celui d’un fil de forme ronde.
Pendant la phase de conception des machines à aimants permanents à haute vitesse, un
choix optimal entre ces deux types de conducteurs doit être effectué. Ce choix dépend d’un
compromis à réaliser entre l’influence des pertes Joule supplémentaires mises en jeu et
celle du facteur de remplissage des encoches vis-à-vis des performances globales de la
machine, suivant la vitesse de rotation et la puissance considérées. Ce compromis est
analysé et résolu dans cette thèse pour les machines sans encoches à haute vitesse.
1.5 Structures et alimentations des machines sans encoches à aimants permanents à haute vitesse considérées dans la thèse
Dans cette partie, nous présentons les différentes structures d’ensembles convertisseurs
statiques-machines électriques sans encoches à aimants permanents à haute vitesse qui sont
considérées pour développer l’outil de dimensionnement générique global de ce type de
machines. Nous présentons l’intérêt de l’utilisation des machines avec un induit sans
encoches dans les applications à haute vitesse et nous décrivons les différentes structures
des machines sans encoches à aimants choisies. Finalement, nous présentons les différents
types d’alimentations électroniques envisagées pour ces machines en décrivant les
topologies des convertisseurs statiques qui leur sont associés et leurs types de commandes.
Chapitre 1 26
1.5.1 Intérêt des machines sans encoches à haute vitesse
Comparées aux machines avec encoches, les machines sans encoches à aimants permanents
sont très attractives dans plusieurs applications à haute vitesse grâce à leurs multiples
avantages. L’absence des dents et des encoches au niveau du bobinage permet d’éliminer le
couple de détente, de minimiser les ondulations du couple total et de réduire les vibrations
et le bruit qui en résulte. Elle permet aussi de réduire les pertes par courants de Foucault
induites au niveau du rotor suite à la réduction des harmoniques de l’induction d’entrefer.
Ces harmoniques sont réduits, d’une part, par l’élimination de la modulation de l’induction
à vide par la réluctance des dents, et d’autre part, par l’augmentation de l’entrefer
magnétique qui assure un certain filtrage. Au niveau du stator, les pertes magnétiques sont
aussi minimisées et la saturation magnétique qui apparaît généralement dans les dents est
éliminée [88], [89].
Par ailleurs, l’augmentation de l’entrefer magnétique due à la structure sans encoches
conduit à une inductance plus faible que celle des machines avec encoches. Cela permet
d’avoir une détection plus précise de la position du rotor lors de l’utilisation d’une
commande sans capteur, basée sur la détection de la tension de phase, pour l’entraînement
de la machine. De plus, ce grand entrefer permet de minimiser les risques de
démagnétisation des aimants permanents. D’un autre côté, le fait que le bobinage soit placé
directement dans l’entrefer permet de faciliter l’évacuation de la chaleur générée lors de
l’utilisation d’un système de refroidissement par ventilation forcée bien que les
performances de dissipation thermique du stator soient diminuées à cause de l’absence des
dents [17], [89]. Cependant, l’entrefer plus large de la machine sans encoches conduit à une
diminution de l’induction magnétique dans l’entrefer, à une augmentation du flux de fuites
et à une réduction de la densité de puissance par comparaison avec une structure avec
encoches équivalente [88]. Néanmoins, l’utilisation des aimants permanents de forte
densité d’énergie permet de produire un flux suffisant et de remédier à ces problèmes.
1.5.2 Structures des machines sans encoches considérées dans la thèse
Afin de développer un outil de dimensionnement général intégré dans un environnement de
CAO des machines sans encoches à aimants permanents à haute vitesse, plusieurs
Chapitre 1 27
structures de machines ont été considérées dans cette thèse. La figure 1.6 présente les deux
familles structurelles des machines considérées qui diffèrent suivant la configuration du
rotor : structures à rotor intérieur et structures à rotor extérieur. Il s’agit de plusieurs
variantes de machines synchrones triphasées sans encoches, à aimants permanents, à flux
radial, à pôles lisses, qui peuvent fonctionner soit en moteur ou en générateur.
(a) (b)
Culasse du Stator (SMC / fer laminé)
Bobinage
Frette (conductrice / non conductrice)
Aimants permanents
Culasse du rotor
Figure 1.6 : Structures des machines sans encoches à aimants permanents considérées (a) à rotor
interne et (b) à rotor externe
Le stator est composé d’un bobinage triphasé et d’une culasse cylindrique non encochée
faite avec des matériaux SMC. Cependant, des culasses statoriques réalisées à partir des
matériaux magnétiques laminés sont aussi envisagées dans ce travail, ce qui permettra de
comparer les performances des machines sans encoches utilisant des SMC avec celles
utilisant des tôles et d’investiguer ainsi l’utilisation des SMC dans ce type de machines. Le
bobinage est constitué de trois enroulements équilibrés, symétriques et ayant une
configuration générale incluant ceux à pas diamétral et à pas raccourci. Il est placé
directement dans l’entrefer et fixé à la culasse du stator sans utilisation de dents, ce qui
assure un espace supplémentaire aux conducteurs des enroulements. Ces conducteurs
peuvent être des conducteurs standards ou des conducteurs de type fil de Litz. Notons que
des supports en plastique peuvent aussi être utilisés pour supporter le bobinage et le fixer
sur la culasse du stator comme cela est proposé dans les références [17] et [26].
Chapitre 1 28
Le rotor, qui peut être soit de type interne ou externe, a une structure sans pièce polaire où
les aimants permanents sont montés et collés directement sur la surface de la culasse
rotorique. Cette dernière est un cylindre réalisé en fer massif. Dans un objectif de
généraliser d’avantage l’outil de dimensionnement des machines considérées, nous
utilisons des aimants permanents avec une représentation générale de la distribution du
vecteur d’aimantation incluant les formes radiales, parallèles ou de type Halbach. Cette
représentation générale peut être obtenue en considérant que chaque aimant sous un pôle
peut être composé de plusieurs petits segments élémentaires aimantés soit radialement ou
parallèlement avec une orientation définie. Cette segmentation éventuelle des aimants offre
un degré de liberté supplémentaire pour réduire les pertes dans ces derniers lorsqu’ils sont
conducteurs.
Pour les structures de machines à rotor externe, la tenue mécanique des aimants sur la
culasse du rotor est assurée par la force centrifuge et le fait de coller les aimants est
suffisant pour les maintenir en place. Cependant, pour les structures à rotor interne, les
aimants sont maintenus en utilisant des frettes mécaniques qui permettent de limiter le
stress mécanique dû aux forces centrifuges pour des vitesses très élevées. Les frettes
considérées pour le maintien des aimants des machines envisagées sont amagnétiques et
peuvent être soit conductrices ou non conductrices. Les frettes de type magnétique sont
aussi considérées. Les frettes conductrices peuvent avoir une fonction mécanique de
maintien des aimants et/ou une fonction électromagnétique. En effet, comme il a été
mentionné auparavant et suivant la figure 1.6, les machines à rotor externe ainsi que celles
à rotor interne peuvent être munies de frettes conductrices pour réduire les pertes totales au
rotor en jouant le rôle d’un écran magnétique face aux champs de hautes fréquences et en
empêchant ces derniers de pénétrer dans les aimants et dans la culasse du rotor. Les frettes
conductrices peuvent aussi jouer le rôle d’un circuit amortisseur qui abaisse l’inductance
transitoire et améliore la commutation électronique du courant surtout lorsque la machine
est couplée à un convertisseur à commutation de courant. Notons que l’effet de l’utilisation
des frettes conductrices sur les pertes au rotor ainsi que sur les inductances de la machine
est étudié dans cette thèse au niveau du chapitre 3. L’effet de la segmentation transversale
des aimants en petits blocs sur les pertes totales au rotor est aussi analysé.
Chapitre 1 29
Pour les machines à haute vitesse considérées, des paliers adaptés au fonctionnement
doivent être utilisés. Suivant les spécifications du cahier des charges, nous pouvons utiliser
soit des roulements à billes ou des paliers sans contact à air comprimé, à huile ou à
suspension magnétique. Pour ce type de machines, un système de refroidissement est
nécessaire à cause des pertes produites qui peuvent être très élevées. Il permet d’évacuer
efficacement les pertes générées et de limiter l’échauffement. Le mode de refroidissement à
utiliser dépend de l’application et de la puissance mise en jeu. Il peut être effectué en
utilisant la convection forcée soit par circulation d’air ou par circulation d’un fluide de
refroidissement.
1.5.3 Types de convertisseurs statiques utilisés
En haute vitesse, les interactions entre la machine sans encoches à aimants et son
convertisseur associé ont une influence très importante sur les performances globales du
système. Dans ce cas, le type du convertisseur et ses interactions avec la machine doivent
être prises en compte afin de garantir un dimensionnement optimal de l’entraînement.
Afin de généraliser l’outil de dimensionnement des machines sans encoches considérées,
différentes topologies de convertisseurs statiques ont été considérées dans cette thèse, qui
forment avec les machines plusieurs structures d’ensembles convertisseurs-machines dont
le schéma de principe général est présenté dans la figure 1.7. Chaque ensemble est composé
d’une machine sans encoches à aimants, d’un convertisseur statique et d’un système de
commande. La machine peut être soit un moteur qui entraîne à haute vitesse une charge
mécanique ou un générateur entraîné par une turbine à gaz par exemple. Le convertisseur
statique assurant l’alimentation électronique de la machine peut être soit un onduleur
connecté à une source d’énergie électrique ou un redresseur débitant sur une charge
électrique.
Chapitre 1 30
Système de contrôle et de commande
MSEConvertisseur statique
Figure 1.7 : Schéma bloc de principe simplifié des ensembles convertisseurs-machines considérés
Deux types de commutations au niveau du fonctionnement des convertisseurs statiques sont
considérés. Ils permettent de classifier ces derniers en deux catégories : convertisseurs à
commutation de tension (alimentation en tension) et convertisseurs à commutation de
courant (alimentation en courant). Ces divers convertisseurs sont adaptés à différentes
gammes de puissances des machines sans encoches à aimants permanents à haute vitesse. Il
est important de souligner que la notion d’«alimentation» de la machine par convertisseur
statique utilisée ici et dans toute la thèse est adoptée que ce soit pour un fonctionnement en
moteur ou en alternateur.
• Alimentation par convertisseurs à commutation de tension
Dans cette première catégorie, plusieurs types d’onduleurs de tension à base de transistors
alimentant les machines sans encoches sont considérés pour un fonctionnement en moteur.
Ces onduleurs permettent d’imposer la tension de façon séquentielle aux bornes des
enroulements de la machine suivant le type de commande utilisé. On distingue trois types
d’onduleurs de tension envisagés :
• Onduleur avec une commande de type 120o alimentant la machine avec une forme
d’onde rectangulaire de courant : pour ce type d’onduleur, le courant a la forme de
créneaux de 120o de largeur. Trois types de commande peuvent être utilisés pour
assurer un courant de forme d’onde quasi-rectangulaire : une commande 120o avec
une onde pleine de tension (à onde entière), une commande 120o avec régulation du
courant par MLI (modulation de largeur d’impulsions) et une commande 120o avec
régulation du courant par comparateur à hystérésis ;
Chapitre 1 31
• Onduleur avec une commande de type MLI alimentant la machine avec une forme
d’onde sinusoïdale du courant : ce type d’onduleur est régulé en courant et permet
d’appliquer à la machine des tensions modulées sinusoïdalement afin d’assurer des
courants d’alimentation quasi-sinusoïdaux ;
• Onduleur avec une commande de type 180o alimentant la machine avec des tensions
de formes d’ondes rectangulaires (onde entière).
Lorsque la machine sans encoches utilisée fonctionne en générateur, nous considérons que
le convertisseur de tension, qui lui est associé, est un redresseur actif à transistors
commandé en MLI. Dans ce cas, nous pouvons utiliser le même outil de dimensionnement
de la machine développé dans le cas d’un onduleur de type MLI à courant sinusoïdal. Il
suffit de l’adapter avec quelques modifications mineures.
• Alimentation par convertisseurs à commutation de courant
Pour cette deuxième catégorie, les convertisseurs statiques considérés sont des
convertisseurs de courant à thyristors à commutation assistée. Le convertisseur peut être
soit un onduleur à thyristors lorsque la machine sans encoches fonctionne en moteur ou un
redresseur à thyristors (ou à diodes) dans le cas d’un fonctionnement en générateur. Ce type
de convertisseurs est généralement réservé pour des applications de moyenne et de forte
puissance. Leur commande est assurée par le contrôle de l’angle d’amorçage des thyristors
qui permettent de commuter le courant dans les phases de la machine.
Soulignons que la démarche de conception et l’outil de dimensionnement des machines
sans encoches à haute vitesse, proposés pour cette catégorie de convertisseurs, sont décrits
dans cette thèse en considérant le cas d’une machine fonctionnant en générateur et débitant
sur un redresseur à thyristors. Cet ensemble convertisseur-machine est intégré dans un
système de génération d’énergie électrique à haute vitesse entraîné par une turbine à gaz.
Cependant, le même outil de dimensionnement peut être facilement adapté et utilisé
lorsqu’il s’agit d’une machine fonctionnant en moteur et alimentée par un onduleur à
thyristors. Soulignons aussi que la description des différents convertisseurs statiques
considérés dans cette partie (convertisseurs à commutation de tension ou à commutation de
courant) et de leur commande est effectuée en détail au niveau du chapitre 4.
Chapitre 1 32
1.6 Problématique de modélisation et de conception des machines sans encoches à aimants permanents à haute vitesse avec des pièces conductrices
La problématique du sujet de recherche consiste à proposer une approche de modélisation
et de conception optimale adaptée aux machines sans encoches à aimants permanents à
haute vitesse munies de pièces massives conductrices (stator en SMC, frette conductrice et
aimants) en tenant compte des différentes particularités et contraintes imposées par la haute
vitesse et du type d’alimentation utilisé. La conception de ce type de machines avec des
matériaux massifs conducteurs est complexe à cause des différents problèmes et limitations
dus au fonctionnement à haute vitesse, tels que les effets des courants de Foucault induits
dans les parties conductrices, l’influence des différentes pertes générées, les interactions
convertisseur-machine et les contraintes mécaniques au rotor.
Tout au long de ce chapitre, nous avons évoqué et décrit ces différents problèmes. Dans ce
qui suit, nous allons les résumer en illustrant leurs effets sur les performances globales des
machines et en identifiant les aspects à considérer pour assurer un dimensionnement
optimal de ces dernières. Nous allons aussi préciser quelques éléments en relation avec la
problématique et pour lesquelles nous devons apporter des réponses dans cette thèse.
• Effet des courants de Foucault induits dans les stators en SMC
L’utilisation des SMC pour la réalisation des stators des machines sans encoches à aimants
à haute vitesse peut être intéressante grâce aux divers avantages cités précédemment. La
conception de ce type de machines avec de tels matériaux, pour lesquels l’amélioration de
la perméabilité se traduit par une augmentation de la conductivité, est complexe et
différente de celle des machines avec des stators à tôles laminées. Un dimensionnement
optimal de ces machines nécessite une modélisation et une prédiction plus précises de la
distribution des courants de Foucault induits dans ces matériaux et de leurs effets sur les
performances.
En effet, les courants de Foucault dans les stators en SMC circulent à l’échelle du circuit
magnétique à cause des propriétés isotropiques des SMC. La distribution de ces courants et
celle des pertes qu’ils génèrent dépendent de la structure et des dimensions du circuit
Chapitre 1 33
magnétique global et augmentent avec la fréquence de fonctionnement. En outre, les effets
tridimensionnels ont une influence très importante sur les pertes par courants de Foucault
générées dans le stator en SMC lorsque le rapport entre la longueur et le pas polaire de la
machine n’est pas très important. Dans ce cas, l’utilisation de l’hypothèse bidimensionnelle
pour calculer les pertes par courants de Foucault n’est pas suffisante pour assurer une bonne
précision. Ainsi, une meilleure évaluation de la distribution des courants de Foucault et de
leur pertes, en tenant compte des effets 3D, doit être effectuée afin d’assurer une conception
optimale de la machine.
• Effet des courants de Foucault induits au rotor
Souvent négligés dans les machines synchrones à aimants conventionnelles, les courants de
Foucault induits au rotor des machines sans encoches à haute vitesse génèrent des pertes
dans les parties conductrices, qui peuvent avoir une influence importante à cause de la
haute fréquence. Ces pertes sont dues essentiellement aux harmoniques de temps et
d’espace du champ magnétique produit par les courants circulant dans le bobinage. Elles
peuvent être induites dans les aimants, dans la culasse du rotor ou encore dans la frette
lorsque celle-ci est conductrice. Ces pertes par courants de Foucault, qui prennent une place
importante à haute vitesse, peuvent conduire à un échauffement significatif du rotor qui
peut être difficilement refroidi à cause de sa compacité. Cela peut conduire à une
dégradation du rendement et à une démagnétisation irréversible des aimants sous l’effet de
l’élévation de température.
Dans ce contexte, les pertes au rotor doivent constituer un élément important du
dimensionnement des machines étudiées ainsi que la démagnétisation des aimants. Une
attention particulière doit être réservée à la maîtrise et à la minimisation de ces pertes et à la
limitation de l’échauffement des aimants. Cela peut être effectué, comme proposé dans la
thèse, soit par une segmentation des aimants ou par l’introduction d’une frette conductrice.
Cette frette peut aussi avoir une influence sur les inductances de la machine et sur la
commutation du courant. L’analyse de l’effet de la frette conductrice et de la segmentation
des aimants sur les performances fait partie de la problématique à résoudre.
Chapitre 1 34
• Pertes significatives à haute vitesse
Dans les machines à haute vitesse considérées, les pertes sont très importantes à cause des
valeurs très élevées de la vitesse et de la fréquence de fonctionnement. Ces pertes se
manifestent sous forme de plusieurs types dans différentes parties de la machine au niveau
du stator et du rotor. En plus des pertes par courants de Foucault déjà évoquées, et qui sont
induites dans le stator en SMC et dans les pièces conductrices du rotor, les pertes sont
composées des pertes Joule dans le bobinage, des pertes d’hystérésis dans le stator et des
pertes mécaniques. Les pertes Joule au stator tiennent compte des pertes supplémentaires
dues à l’effet de peau et de proximité, tandis que les pertes mécaniques comprennent les
pertes aérodynamiques dues à la friction de l’air sur le rotor et les pertes de frottement dans
les paliers ou les roulements. Ces pertes mécaniques, qui sont généralement négligées à
basse vitesse, peuvent devenir significatives en haute vitesse. Elles doivent être considérées
précisément lors de la phase de conception.
Ces différentes pertes provoquent un échauffement des divers matériaux de la machine, en
particulier les isolants des conducteurs du bobinage et les aimants permanents, ce qui
conduit à un risque de démagnétisation des aimants et à la dégradation des isolants [1]. Ces
pertes conduisent aussi à la diminution du rendement et à l’abaissement des performances.
Lors du dimensionnement, une meilleure prédiction de l’ensemble de ces pertes est
nécessaire afin d’évaluer efficacement le rendement et prédire le comportement thermique
de la machine en tenant compte du système de refroidissement utilisé. Une attention doit
être portée à la minimisation et à la limitation de ces pertes afin de respecter l’échauffement
maximal admissible et d’assurer un fonctionnement sécuritaire de la machine.
La limitation des pertes nécessite une meilleure modélisation, mais aussi un choix adapté
des matériaux utilisés pour la conception des machines. Par exemple, les pertes Joule
supplémentaires induites par les courants de Foucault dans les conducteurs peuvent être
minimisées en utilisant du fil de Litz. Cependant, cela n’est pas toujours bénéfique pour
améliorer les performances, et un choix optimal du type de conducteurs à utiliser doit être
effectué. Soulignons que l’investigation de l’utilisation du fil de Litz dans les machines
sans encoches et le choix optimal du type de conducteurs font partie des études à effectuer
dans la thèse.
Chapitre 1 35
• Influence et choix du nombre de pôles
Le nombre de pôles est un paramètre de dimensionnement important lors de la phase de
conception des machines sans encoches à haute vitesse. Ce paramètre a une influence
importante sur les performances, notamment sur les pertes, et sur la structure optimale de la
machine. Une augmentation du nombre de pôles conduit à une diminution des épaisseurs
des culasses du stator et du rotor, à une réduction des têtes de bobines et à une
augmentation du couple massique. Cependant, un grand nombre de pôles conduit à une
augmentation de la fréquence qui induit des pertes plus importantes dans la machine et dans
le convertisseur statique qui lui est associé. Pour les machines à haute vitesse, un faible
nombre de pôles est utilisé et qui est généralement fixé à 2 ou 4 pôles [4], [40]. L’influence
du choix du nombre de pôles sur le dimensionnement optimal des machines considérées est
un élément de la problématique à étudier.
• Effet du couplage et des interactions convertisseur-machine
Dans le domaine de la haute vitesse, les effets du couplage entre la machine sans encoches
à aimants et le convertisseur statique qui lui est associé sont particulièrement marqués et
influencent significativement les caractéristiques globales du système. En effet, il existe
plusieurs interactions entre ces deux dispositifs qui concernent principalement les
harmoniques, le couple, les pertes, les chutes de tension, etc. La forme d’onde du courant
de la machine dépend du type et du fonctionnement du convertisseur et de l’inductance de
commutation de la machine. Elle contient des harmoniques qui ont une conséquence directe
sur les performances globales, en particulier sur les pertes et les ondulations du couple. Une
autre interaction réside au niveau de l’adaptation de la tension de la machine à celle
imposée par le convertisseur par le biais du nombre de spires. Ce nombre, qui est
généralement faible à cause des forces électromotrices importantes résultant de la haute
fréquence, doit être ajusté d’une manière optimale car il agit aussi sur les pertes Joule
supplémentaires dans le bobinage.
D’un autre côté, lorsque la machine est couplée à un convertisseur à commutation de
courant, il existe un couplage fort entre les performances des deux dispositifs dû
essentiellement à la commutation électronique du courant qui dépend de l’inductance
Chapitre 1 36
transitoire de la machine. La commutation influence directement la formes d’onde du
courant ainsi que les performances au niveau de la machine (pertes, couple, etc.), tandis
qu’au niveau du convertisseur, elle agit sur la tension sortie à cause des chutes de tension
dans les interrupteurs qui peuvent être importantes à cause des fréquences élevées.
L’approche de modélisation et l’outil de dimensionnement à développer doivent tenir
compte des interactions convertisseur-machine afin d’évaluer précisément les performances
globales du système, de réaliser une meilleure adaptation entre les deux dispositifs et
d’assurer un dimensionnement optimal.
• Contraintes de dimensionnement mécaniques
Le dimensionnement mécanique du rotor des machines sans encoches est critique dans le
cas de la haute vitesse. Le rotor est soumis à un stress mécanique important dû aux forces
centrifuges. Ce stress est subi à la fois par la culasse du rotor et par la frette mécanique de
maintien des aimants (pour un rotor interne). Ces pièces rotoriques doivent être
dimensionnées afin de limiter le stress mécanique et d’éviter la destruction du rotor. Au
cours du dimensionnement, il est nécessaire d’évaluer les contraintes mécaniques
correspondant à ce stress pour définir les dimensions limites de la culasse du rotor et de la
frette qui permettent d’assurer la rigidité du rotor et de garantir un fonctionnement
sécuritaire.
• Synthèse
Comme nous l’avons mis en lumière, il existe plusieurs spécificités électromagnétiques,
thermiques et mécaniques qui régissent le fonctionnement à haute vitesse des machines
sans encoches à aimants permanents avec des matériaux conducteurs. L’approche de
conception à mettre en œuvre doit en tenir compte en insistant sur les effets des courants de
Foucault induits dans les stators massifs en SMC et dans les autres pièces conductrices
(frette et aimants).
La méthode de conception ainsi que les outils de modélisation et de CAO à développer
doivent être appliqués pour effectuer différentes études et analyses comparatives pour
plusieurs structures d’ensembles convertisseurs-machines. En plus des éléments de la
Chapitre 1 37
problématique soulevés précédemment et qu’il faut résoudre, ces outils doivent aussi être
utilisés pour effectuer, d’une part, des études de faisabilité en vérifiant si l’utilisation des
SMC dans les stators est meilleure que celle des tôles laminées, et d’autre part, des études
de sensibilité du dimensionnement aux propriétés des matériaux SMC (perméabilité et
conductivité) pour étudier des compromis optimaux entre ces paramètres et pour vérifier si
un matériau SMC est meilleur qu’un autre.
1.7 Méthodologie proposée
Afin de résoudre la problématique des machines sans encoches à aimants à haute vitesse
posée précédemment, nous proposons d’adopter une approche de conception par
optimisation globale itérative assistée par ordinateur (CAO) basée sur une modélisation
analytique multidisciplinaire. Cette approche, qui sera appliquée à chaque ensemble
convertisseur-machine considéré, prend en considération tous les aspects évoqués
auparavant au niveau de la problématique, notamment les courants de Foucault induits dans
les parties conductrices ainsi que les interactions machine-convertisseur.
Pour mettre au point l’approche de conception par optimisation, nous avons besoin d’établir
un modèle de dimensionnement pour évaluer les performances globales de l’ensemble
convertisseur-machine à partir des dimensions géométriques, des paramètres structurels,
des caractéristiques des matériaux de la machine et de son mode d’alimentation. Ce modèle
peut être obtenu en adoptant une approche de modélisation électromagnétique analytique
généralisée de la machine qui tient compte des différentes configurations de bobinage, des
types d’aimantations des aimants ainsi que du type de convertisseur connecté. Cette
approche de modélisation, basée sur la prédiction de la distribution du champ
électromagnétique en deux dimensions, doit être effectuée en magnétodynamique afin de
tenir compte des effets des courants de Foucault induits dans les pièces conductrices.
Le choix d’une méthode analytique de calcul du champ au lieu d’une méthode numérique
pour modéliser la machine est motivé par le fait qu’il permet de réaliser un bon compromis
entre la précision et le temps de calcul. En effet, une méthode de calcul de champ par
éléments finis permet une modélisation plus fine de la machine. Cependant, le temps de
Chapitre 1 38
calcul peut être important d’autant plus que le maillage doit être plus fin pour tenir compte
plus précisément de l’effet de peau dû aux courants induits. Ainsi, une méthode analytique
est préférable puisqu’elle est plus adaptée à une utilisation itérative dans le cadre d’un
processus d’optimisation et qu’elle permet un calcul rapide avec une bonne précision sous
réserve d’hypothèses simplificatrices.
La méthode de calcul analytique du champ proposée est basée sur une approche
harmonique de régime permanent qui consiste à effectuer une résolution analytique des
équations de Maxwell en magnétodynamique en tenant compte de la contribution des
harmoniques de temps et d’espace produits par les sources de champ : courants dans les
bobinages du stator et aimants permanents au rotor. La résolution est effectuée en termes de
potentiel vecteur en 2D en coordonnées cylindriques et tient en considération les courants
de Foucault induits dans le stator en SMC et dans la frette conductrice.
Pour tenir compte de l’effet du couplage et des interactions entre la machine et son
convertisseur, nous proposons d’établir un modèle électrique équivalent global du système.
La mise en œuvre de ce modèle permet de déterminer les formes d’ondes des grandeurs
électriques en régime permanent, d’évaluer les performances globales du système et
d’effectuer l’adaptation de la machine à son alimentation. La modélisation
électromagnétique est aussi utilisée pour calculer les différentes pertes dissipées au niveau
de la machine et établir un modèle thermique qui complète le modèle de dimensionnement
avec le modèle mécanique.
Une fois le modèle analytique de dimensionnement établi, il est nécessaire de le valider
pour s’assurer de sa précision et de sa pertinence. Pour cela, nous proposons de le valider
en utilisant des simulations par calcul numérique du champ en 2D en magnétodynamique.
Une autre validation par calcul numérique du champ en 3D est effectuée pour analyser la
distribution des courants de Foucault dans le stator en SMC et quantifier les effets de bord.
De plus, une validation expérimentale des pertes magnétiques dans le stator en SMC est
aussi proposée.
Afin d’effectuer le dimensionnement, nous devons développer des procédures de
conception et d’optimisation globale adaptées à chaque type de machine et de convertisseur
Chapitre 1 39
et qui intègrent le modèle de dimensionnement analytique. Une méthode d’optimisation
non linéaire avec contraintes est utilisée pour résoudre le problème de conception. Les
différentes étapes du processus de conception qui intègre ces procédures sont présentées en
détail dans le chapitre 5.
Au cours de l’optimisation, le couplage électrique entre la machine et le convertisseur
statique est résolu complètement dans la boucle d’optimisation par une résolution
analytique harmonique du circuit électrique équivalent global du système dans le cas d’une
alimentation en tension. Dans le cas d’un convertisseur à commutation de courant, le
couplage fort existant entre les performances de la machine et celles du convertisseur est
résolu en dehors de la boucle d’optimisation en utilisant une approche originale utilisant un
mécanisme de correction spécifique associé à la procédure d’optimisation.
Pour tenir compte de l’influence des effets 3D sur la distribution des courants de Foucault
et sur leurs pertes générées dans le stator en SMC et résoudre ainsi le problème posé
auparavant au niveau de la problématique, nous proposons d’associer à la procédure
d’optimisation un autre mécanisme de correction itératif. Ce mécanisme, qui sera appliqué
en dehors de la boucle d’optimisation, permet de corriger les pertes par courants de
Foucault calculées analytiquement en 2D en tenant compte des effets de bord déterminés à
partir des simulations en calcul numérique du champ en 3D.
L’approche de conception par optimisation globale proposée est mise en œuvre en
développant les différents modèles et outils de simulation, de correction, de conception et
d’optimisation, qu’on vient de décrire, pour les multiples structures d’ensembles
convertisseurs-machines considérées. Ces différents outils sont intégrés dans un
environnement de CAO pour constituer un outil de dimensionnement général des machines
sans encoches. Les outils de CAO développés sont validés sur des cahiers des charges
spécifiques et appliqués pour comparer diverses solutions topologiques de machines sans
encoches pour différents types d’alimentations par convertisseurs statiques. Ces outils sont
aussi utilisés pour effectuer plusieurs études et analyses comparatives et pour résoudre les
différents éléments de la problématique mentionnés précédemment.
Chapitre 1 40
1.8 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté et détaillé les diverses particularités et
problématiques liées au fonctionnement et à la conception des machines sans encoches à
aimants permanents à haute vitesse munies de pièces massives conductrices.
Dans un premier temps, nous avons présenté les différentes applications utilisant des
machines à haute vitesse ainsi qu’une comparaison de ces dernières, en mettant l’accent sur
les machines à aimants permanents, dont les machines sans encoches. Pour ce type de
machines, plusieurs aspects ont été discutés, en particulier la construction du rotor, la
démagnétisation des aimants et leur maintien par différents types de frettes. Une description
des caractéristiques des divers matériaux (SMC, tôles laminées, aimants et conducteurs)
utilisés dans ce type de machines a été aussi effectuée. Une attention particulière a été
accordée au choix de ces différents matériaux et aux divers aspects à prendre en compte
lors du dimensionnement en utilisant ces matériaux, comme entre autres les pertes par
courants de Foucault qui y sont générées à cause de la haute fréquence.
Dans un deuxième temps, nous avons présenté les multiples structures d’ensembles
convertisseurs statiques-machines sans encoches à aimants choisies dans cette thèse.
Plusieurs structures de machines fonctionnant en moteur ou en générateur ont été
considérées. De même, divers types de convertisseurs statiques ont été pris en compte.
Par la suite, la problématique de modélisation et de conception des machines considérées a
été présentée et discutée. Cela a été effectué en tenant compte des différentes contraintes
imposées par la haute vitesse et en mettant en lumière les divers aspects à considérer pour
assurer un dimensionnement optimal de ces machines.
Finalement, la méthodologie qui permet de résoudre la problématique a été proposée. Cette
méthodologie qui permet de maîtriser la conception des machines sans encoches à haute
vitesse avec des matériaux massifs conducteurs est basée sur des approches de
modélisation, de conception et d’optimisation originales que nous allons mettre en œuvre
dès le chapitre suivant.
Equation Chapter 2 Section 1
CHAPITRE II
2 MODÉLISATION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
ANALYTIQUE GÉNÉRALISÉE DES MACHINES
SANS ENCOCHES À AIMANTS PERMANENTS
2.1 Introduction
Afin d’établir l’outil de dimensionnement des machines électriques sans encoches à
aimants permanents à haute vitesse à pôles lisses considérées dans cette thèse, nous devons
en premier lieu développer une modélisation électromagnétique adaptée à ce type de
machines. Cette modélisation nous permettra de calculer les différentes grandeurs
électromagnétiques et les performances des machines en fonction des dimensions
géométriques et des caractéristiques des matériaux utilisés. Une meilleure modélisation doit
prendre en compte les courants induits dans les parties massives conductrices de la machine
et leurs effets sur les performances.
Dans ce chapitre, nous proposons une approche de modélisation électromagnétique
analytique généralisée de ces machines. Cette approche est basée sur la prédiction de la
distribution du champ magnétique en deux dimensions par une résolution analytique des
équations de Maxwell dans les différentes zones constitutives de la machine [90], [91]. La
résolution est effectuée en magnétodynamique en tenant compte de la contribution des
aimants au rotor, des courants au stator et des courants de Foucault induits dans les parties
massives conductrices de la machine. Elle tient compte aussi des harmoniques de temps et
d’espace des forces magnétomotrices au stator et au rotor et du mouvement relatif des
différentes parties de la machine. Le champ magnétique est calculé en coordonnées
Chapitre 2 42
cylindriques en considérant la courbure de l’entrefer. La méthode de modélisation proposée
dans ce chapitre est particulièrement adaptée aux machines à aimants à induit sans
encoches et à pôles lisses [92], [93]. Comparée à la méthode de calcul du champ en 2D par
éléments finis, la seule hypothèse adoptée consiste à négliger la saturation des matériaux
magnétiques en utilisant un calcul en linéaire.
Il est important de noter que la modélisation électromagnétique décrite dans ce chapitre a
été généralisée en considérant la structure de la machine sans encoches à rotor interne avec
un stator en SMC et une frette conductrice. Le modèle électromagnétique présenté tient
compte alors simultanément des courants induits dans ces deux parties conductrices. Pour
les autres structures de machines sans encoches présentées au chapitre 1 (cf. partie 1.5), le
modèle électromagnétique peut être obtenu facilement à partir du modèle généralisé. Ces
modèles sont utilisables pour les fonctionnements en moteur et en générateur et pour des
rotors internes et externes.
Dans la deuxième partie de ce chapitre, nous exposons le principe, les différentes
hypothèses simplificatrices et les possibilités de calcul de la méthode de modélisation
proposée ainsi que la définition du domaine d’étude. Après avoir établi l’équation générale
du champ électromagnétique et les différentes conditions aux limites basées sur une
formulation en potentiel vecteur, nous modélisons les sources de champ dues aux aimants
et aux courants statoriques. L’équation de champ est ensuite appliquée à la structure de la
machine considérée et résolue pour calculer les champs magnétiques à vide, de réaction
d’induit et en charge. À partir de ces calculs, nous déterminons les différentes grandeurs
électromagnétiques et paramètres de la machine. Finalement, nous procédons à une
validation du calcul analytique en comparant les résultats obtenus avec ceux issus du calcul
du champ par éléments finis en 2D.
2.2 Bases de la modélisation électromagnétique
2.2.1 Principe de l’approche de modélisation
L’approche de modélisation proposée est basée sur le calcul analytique du champ
magnétique en 2D en magnétodynamique. Elle se résume dans la résolution analytique de
Chapitre 2 43
l’équation générale du champ de la magnétodynamique issue des équations de Maxwell en
tenant compte des conditions aux limites. Cette équation est établie dans la partie 2.3. Pour
appliquer cette méthode à un dispositif électromagnétique comme la machine sans
encoches, sa structure doit être susceptible d’être subdivisée en des zones élémentaires
continues, d’épaisseurs, de perméabilités et de conductivités constantes (géométrie avec des
régions lisses et homogènes). Afin de résoudre le problème magnétodynamique, l’équation
du champ doit être exprimée dans chaque zone de la machine dépendamment de la présence
ou non des sources de champ (aimant ou courant) et de la nature du milieu considéré (air,
fer, aimant,…). Les sources de champ sont modélisées par des développements en séries de
Fourier. La résolution des équations du champ par la méthode de «séparation des variables»
permet d’établir les expressions du potentiel vecteur dans chaque zone constitutive du
dispositif. Ces expressions font intervenir des constantes qui sont calculées en tenant
compte des conditions aux frontières et des conditions aux limites de séparation des
milieux.
Le champ électromagnétique total est calculé à partir de la superposition du champ produit
par les aimants (champ à vide) et de celui produit par le bobinage au stator avec des
courants supposés connus (champ de réaction d’induit). Dans les deux cas, nous tenons
compte de la réaction des courants de Foucault induits dans les pièces conductrices de la
machine. Les harmoniques d’espace de la distribution du vecteur de magnétisation et les
harmoniques de temps et d’espace de la force magnétomotrice (FMM) de réaction d’induit
sont aussi considérés. Le champ magnétique dû aux aimants est calculé à partir du potentiel
vecteur magnétique à vide mA
, tandis que celui produit par les courants statoriques est
déterminé en calculant le potentiel vecteur de réaction d’induit sA
. Comme la méthode de
modélisation n’est appliquée que pour des structures avec des matériaux magnétiques
linéaires (saturation négligée), le potentiel vecteur total peut être calculé comme la somme
des deux potentiels vecteurs précédents : = +tot m sA A A
. Une fois les distributions de ces
trois potentiels vecteurs définies, toutes les grandeurs électromagnétiques (induction, flux,
fem, inductance, couple, pertes,…), nécessaires pour établir le modèle de
dimensionnement, peuvent être facilement déterminées.
Chapitre 2 44
Généralement, cette méthode de modélisation s’applique facilement pour des structures de
machines caractérisées par des formes simples et sans pièces polaires, et qui sont
alimentées par des courants imposés [94]. Le choix de cette méthode de modélisation des
machines sans encoches à pôles lisses en deux dimensions et en coordonnées cylindriques
est justifié par le fait que, d’une part, ces machines entrent parfaitement dans le cadre de
cette situation puisqu’elles ne font pas intervenir de matériaux magnétiques au niveau du
bobinage (cf. Fig. 2.1) et que, d’autre part, elles possèdent un large entrefer. Les lignes de
champ ne traversent pas perpendiculairement l’entrefer, elles sont déformées et possèdent
des composantes radiales et tangentielles. L’utilisation d’un modèle bidimensionnel nous
permet donc d’effectuer une modélisation précise du comportement électromagnétique de
la machine [93], [95].
La méthode analytique de calcul du champ proposée n’est pas récente. Elle a été introduite
en 1929 par Hague [90]. Elle a été, ensuite, reprise par quelques auteurs comme
Lammeraner [96] et Boules [91], [97]. Dans les dernières années, grâce au développement
des aimants permanents de haute densité d’énergie, cette méthode a été réintroduite et
utilisée par plusieurs chercheurs afin de modéliser précisément les machines à aimants
puisqu’elles présentent généralement un large entrefer. Par exemple, les références [5],
[26], [55], [92], [93], [98] et [99] utilisent un calcul du champ en cordonnées cylindriques
en tenant compte de l’effet de la courbure de l’entrefer. Par contre, ce calcul a été effectué
en coordonnées cartésiennes dans les références [96], [100]–[102]. Cette méthode de calcul
du champ a aussi été utilisée en magnétostatique dans les références [9], [92], [93] et [98] et
en magnétodynamique dans [21], [26], [55], [94], [99], [103] et [104]. Le calcul en
magnétodynamique est effectué en tenant compte des courants induits dans les pièces
conductrices représentées généralement par la frette et/ou les aimants. Cependant, à notre
connaissance, il n’existe aucune référence qui a traité de la modélisation des machines à
aimants avec des stators massifs conducteurs en SMC et des frettes qui peuvent être
conductrices ou non conductrices. Toutefois, il existe deux références [105] et [106] où les
auteurs ont calculé seulement le champ magnétique à vide d’un rotor à aimants qui tourne à
l’intérieur d’un cylindre massif conducteur afin de calculer les pertes à vide.
Chapitre 2 45
2.2.2 Hypothèses simplificatrices
L’approche de modélisation par calcul analytique du champ, appliquée dans cette thèse,
utilise les hypothèses simplificatrices suivantes :
• Les effets de bord sont négligés, on considère un système infiniment long. La
résolution des équations du champ n’est effectuée qu’en deux dimensions et ne
dépend pas de la direction axiale selon la profondeur. Le potentiel vecteur A
est
invariant par translation et l’induction B
est contenue dans le plan perpendiculaire à
la direction d’invariance. Les effets 3D dus au flux de fuites des têtes de bobines
seront pris en compte séparément et ajoutés au modèle dans les chapitres suivants ;
• Les régions conductrices sont supposées connexes et court-circuitées à l’infini. Cela
implique que les courants induits sont perpendiculaires au plan d’étude que leurs
boucles sont fermées à l’infini [94]. Les effets 3D des courants induits sur les pertes
par courants de Foucault sont considérés séparément et calculés dans le troisième
chapitre en utilisant le calcul numérique du champ en 3D ;
• Les matériaux magnétiques constitutifs de la structure de la machine sont supposés
homogènes et isotropes. Leur conductivité et leur perméabilité sont considérées
constantes. Cela implique que la saturation devient négligeable (calcul en linéaire) ;
• La perméabilité du fer de la culasse du rotor est supposée infinie ; c’est-à-dire que le
champ magnétique H
est nul à l’intérieur de cette culasse ;
• L’effet des courants induits dans les matériaux magnétiques laminés (au rotor et au
stator) et dans les aimants permanents sur le champ électromagnétique est négligé ;
• L’effet du phénomène d’hystérésis sur le champ électromagnétique est négligé ;
• Le vecteur d’aimantation des aimants M
ne dépend pas de la direction radiale dans
un système de coordonnées cylindriques ;
• L’espace interpolaire entre des aimants non jointifs a une perméabilité relative égale
à celle des aimants (µrm) ;
Chapitre 2 46
• Les enroulements au stator sont triphasés, équilibrés, symétriques, couplés en étoile
et leurs bobines polaires sont connectées en série ;
• Les courants d’alimentation de la machine forment un système triphasé équilibré en
régime permanent ;
• La machine est supposée symétrique. C’est-à-dire que toutes les quantités respectent
la condition suivante : ( ) ( )/f p fθ π θ+ = − , où p est le nombre de paires de pôles.
2.2.3 Considérations prises en compte lors de la modélisation
L’approche de modélisation utilisée nous permet de prendre en compte les considérations
de calcul suivantes :
• Les effets des harmoniques de temps (courants non sinusoïdaux) et des harmoniques
d’espace (distributions non sinusoïdales du bobinage et du vecteur de magnétisation
des aimants) sont pris en compte. Ces harmoniques ont une grande influence sur les
performances de la machine (ondulation du couple, pertes, inductance, etc.) ;
• La distribution du bobinage de l’armature statorique est modélisée avec une
épaisseur finie afin d’assurer une meilleure précision du calcul analytique [93] ;
• L’effet de peau dû aux courants de Foucault dans la frette conductrice et dans le
stator en SMC est considéré ;
• Le mouvement de rotation est pris en compte en l’intégrant directement dans les
équations du champ à résoudre [94] ;
• La perméabilité relative des aimants est considérée différente de l’unité (µrm ≠ 1).
Cela permet de calculer le champ magnétique avec plus de précision contrairement
au cas où la perméabilité est prise égale à celle de l’air [98] ;
• La perméabilité relative de la frette est supposée différente de 1 (µrc ≠ 1) lorsque
celle-ci est conductrice. Cela nous permet de généraliser le modèle
électromagnétique et d’avoir la possibilité d’étudier l’utilisation des frettes
magnétiques plutôt que des frettes amagnétiques ;
Chapitre 2 47
• Les aimants permanents sous un pôle sont modélisés sous formes de petits blocs
aimantés soit radialement, parallèlement ou parallèlement et inclinés. Cela permet
d’avoir une représentation généralisée pour la forme de la distribution du vecteur
d’aimantation : radiale, parallèle ou de type Halbach [92], [107]. Cette distribution
est modélisée en utilisant un développement en séries de Fourier ;
• Les enroulements au stator sont modélisés d’une façon générale pour ceux à pas
diamétral et à pas raccourci.
2.2.4 Définition de la machine et de son domaine d’étude
La machine considérée dans ce chapitre pour décrire la méthode de modélisation est une
machine sans encoches à aimants permanents à pôles lisses à rotor interne. La frette utilisée
pour le maintien des aimants est supposée massive et conductrice. Le rotor, en fer massif,
est constitué de 2p pôles et le stator est une culasse massive conductrice non encochée faite
en SMC (cf. Fig. 2.1(a)).
Pour résoudre l’équation générale du champ et calculer le champ électromagnétique, on
définit un domaine d’étude bidimensionnel représentant la structure de la machine où le
calcul sera effectué. Ce domaine d’étude est constitué de 5 zones élémentaires d’épaisseurs
constantes correspondant respectivement aux aimants, à la frette, à l’entrefer mécanique, au
bobinage et à la culasse du stator. La zone du rotor n’est pas prise en compte car sa
perméabilité est considérée infinie. La figure 2.1(b) représente les différentes zones du
domaine d’étude considéré avec leurs perméabilités, leurs conductivités et leurs rayons
respectifs.
Pour effectuer la modélisation électromagnétique de la machine, le domaine d’étude est
muni par deux référentiels représentés dans la figure 2.2 :
• Un référentiel stationnaire lié au stator ( ), ,sr zθ
dont l’axe d’origine est confondu
avec l’axe de la phase a du bobinage.
• Un référentiel tournant lié au rotor ( ), ,rr zθ
dont l’axe d’origine est positionné sur
l’axe de symétrie du pôle nord.
Chapitre 2 48
Zone V
Culasse du stator (µ=µ0µrs, σ=σS)
Bobinage (µ=µ0, σ=0)
Aimants (µ=µ0µrm, σ=0)
Zone III
Zone IV
Zone I
Entrefer (µ=µ0, σ=0)
Culasse du rotor (µ=∞, σ=0)
Zone IIFrette conductrice (µ=µ0µrc, σ=σc)
r1=Rro
r2=Rm
r3=Rco
r4=Rb
r5=Rsi
r6=Rso
(a)
(b)
Figure 2.1 : (a) Structure de la machine considérée et (b) définition des différentes zones de son
domaine d’étude
Les coordonnées statoriques θs et rotoriques θr sont reliées par l’équation (2.1) en
introduisant l’angle de la position instantanée du rotor qui correspond au décalage
instantané entres les deux référentiels.
s rθ θ θ= + (2.1)
Comme le rotor tourne au synchronisme par rapport au stator à une vitesse mécanique Ω,
cette équation devient comme suit :
.s r otθ θ θ= + Ω + (2.2)
Chapitre 2 49
Où θo représente l’angle de décalage initial entre les deux référentiels défini à l’instant t=0.
Le calage entre le stator et le rotor de la machine peut être réalisé à partir de cet angle θo.
Cependant, dans la suite de cette thèse, nous considérons que θo=0 et nous réalisons le
calage de la machine par la phase à l’origine des courants au stator. Cette origine est définie
pour l’instant t=0 quand les axes des deux repères sont alignés.
Phase a
r
θ
r
θs
θr
Sud
NordAxe au stator
Axe au rotor
Figure 2.2 : Représentation des deux référentiels de la machine
La machine sans encoches présentée dans ce chapitre pour décrire l’approche de la
modélisation électromagnétique a été choisie car elle présente une structure généralisée.
Le modèle électromagnétique de cette machine est développé en supposant qu’elle
fonctionne en moteur. Ce modèle peut être utilisé pour développer les modèles des autres
structures des machines sans encoches considérées dans cette thèse que ce soit pour le
fonctionnement en moteur ou en générateur. Pour effectuer cette tâche, il suffit de réaliser
les modifications suivantes dans le modèle général :
• Machines avec des frettes non conductrices : on annule la conductivité du matériau
de la frette ;
• Machines avec des stators en fer laminé : on annule la conductivité de la culasse du
stator et on modifie sa perméabilité ;
Chapitre 2 50
• Machines avec des rotors externes : on inverse tout simplement l’ordre des rayons
de chaque zone constitutive de la machine et on adapte les signes des couples et des
pertes par courants de Foucault (suivant les conventions adoptées) ;
• Machines en fonctionnement générateur : on décale la phase à l’origine des courants
au stator par un angle π pour une convention générateur.
On note que cette démarche doit être appliquée tout au long des chapitres 3, 4 et 5 de la
thèse pour calculer les pertes et établir les modèles de dimensionnement de ces différentes
machines.
En pratique, nous avons constaté que la simulation du modèle général de la machine avec
un stator en SMC et une frette conductrice est caractérisée par un temps de calcul plus
important. Cela peut être pénalisant lors de son utilisation dans le cadre d’une démarche
d’optimisation. Pour cela, nous avons développé séparément les modèles
électromagnétiques pour les machines dont la frette est amagnétique non conductrice en
considérant que la perméabilité de cette dernière est égale à celle de l’entrefer µ0. Cela nous
a permis de réduire le nombre des zones constitutives de chaque machine, de diminuer le
nombre des équations et d’accélérer la simulation des modèles électromagnétiques de ces
types de machines.
2.3 Équation générale du champ électromagnétique en magnétodynamique
Dans une machine électrique comportant des parties massives électriquement conductrices,
on remarque la présence du phénomène d’induction des courants de Foucault par la
variation du champ électromagnétique à l’intérieur de ces parties. Cette variation est due
essentiellement à la variation des courants d’alimentation et/ou au mouvement des pièces
conductrices par rapport aux sources des champs (aimants ou courants). Par conséquent, la
modélisation électromagnétique d’une telle machine nécessite la résolution des équations
du champ en magnétodynamique en tenant compte de la contribution des courants induits et
du mouvement.
Chapitre 2 51
Les équations du champ sont obtenues à partir des équations de Maxwell qui décrivent
l’évolution des différentes grandeurs électromagnétiques. Avec la présence des pièces
conductrices et du mouvement, ces équations doivent être adaptées pour la
magnétodynamique dépendamment du référentiel d’étude choisi. Ce dernier est lié à une
partie du domaine d’étude qui peut être mobile ou immobile par rapport à une autre partie
conductrice.
Dans cette partie de ce chapitre, nous présentons le développement de l’équation générale
du champ en magnétodynamique utilisée pour le calcul analytique du champ dans les
différentes machines. Elle est basée sur une formulation en potentiel vecteur magnétique et
sa résolution nécessite l’introduction des conditions aux limites (conditions aux frontières
et conditions de séparation des milieux). Les références [26] et [94] donnent plus de détails
sur le développement de cette équation.
2.3.1 Équations de Maxwell
Les équations de Maxwell permettent de définir la distribution du champ électromagnétique
dans un dispositif électromagnétique. Dans un référentiel lié au domaine d’étude et en se
plaçant dans le cadre de l’approximation des états quasi-stationnaires (les charges et les
courants de déplacement sont négligés), les équations de Maxwell sont [108], [109] :
( )rott
∂= −
∂BE
(2.3)
( )rot =H J
(2.4)
( ) 0div =B
(2.5)
( ) 0div =J
(2.6)
où H
, E
, B
et J
désignent respectivement le champ magnétique, le champ électrique, la
densité du champ magnétique et la densité de courant.
Ces équations générales sont complétées par les relations qui caractérisent le milieu
considéré (aimants, fer, air,…) dont le matériau est supposé linéaire et isotrope :
Chapitre 2 52
µ= +B H M
(2.7)
( )σ σ= + = +ext extJ E E E J
(2.8)
où σ et µ représentent respectivement la conductivité et la perméabilité du matériau du
milieu considéré (par exemple : µ=µ0µrm pour les aimants et µ=µ0 pour l’air). extJ
, extE
et
M
sont respectivement la densité de courant imposé de l’extérieur du domaine d’étude, le
champ électrique correspondant et l’induction rémanente (ou aimantation) des aimants
permanents.
2.3.2 Considération du mouvement
Le choix du référentiel est très important pour exprimer les équations de Maxwell. Ces
dernières changent selon la présence des pièces conductrices en mouvement par rapport au
référentiel d’étude choisi en introduisant le principe de la relativité. Si par exemple, une
partie conductrice est en mouvement avec une vitesse mécanique V
par rapport au
référentiel choisi lié à une autre partie, il faut alors ajouter un autre terme à l’équation (2.8).
Ce terme caractérise l’induction des courants de Foucault par le mouvement de la pièce
conductrice par rapport au référentiel d’étude où les sources de champ sont exprimées [94],
[108] :
( )σ σ= + + ×extJ E J V B
(2.9)
2.3.3 Équation générale en termes de potentiel vecteur
L’utilisation du potentiel vecteur magnétique A
dans la formulation des équations du
champ est très avantageuse. Elle permet de réduire le nombre des variables et de faciliter la
résolution en 2D. À partir de l’équation (2.5) de la divergence de l’induction, on définit le
potentiel vecteur comme suit :
( )rot=B A
(2.10)
En remplaçant cette équation dans l’expression de la loi de Faraday (2.3), on obtient :
Chapitre 2 53
( )rot rott
∂= − ∂
AE
(2.11)
C’est-à-dire :
( )gradt
ζ∂= − −
∂AE
(2.12)
Où ζ est le potentiel scalaire électrique.
À partir des équations (2.4), (2.6), (2.7), (2.9) et (2.12), et en éliminant les grandeurs H
et
J
, on trouve les équations du champ suivantes :
( ) ( ) ( )
rotrot rot grad
tσ σ ζ
µ
− ∂ = − − × + − ∂ ext
A M A V A J
(2.13)
( )( ) ( )div grad div rott
σ ζ σ σ ∂
= × − + ∂ ext
AV A J
(2.14)
La résolution de ces deux équations permet de calculer le champ électromagnétique.
Cependant, cette résolution n’assure pas l’unicité de la solution (couple A
et ζ). Pour
obtenir une solution unique, il faut imposer une valeur à la divergence de A
.
Généralement, on impose une divergence nulle. Dans ce cas, cette condition constitue ce
qu’on appelle la «Jauge de Coulomb» qui est exprimée comme suit [94], [108] :
( ) 0div =A
(2.15)
Si le modèle est considéré bidimensionnel (2D), le potentiel vecteur A
aura une seule
composante et sa divergence devient automatiquement nulle. Le potentiel scalaire
électrique n’intervient que dans les régions conductrices où son gradient est nul. Il est
invariant suivant la troisième dimension et peut être choisi comme étant nul (ζ=0). Cela
signifie que les régions conductrices sont connexes et court-circuitées à l’infini [94].
Chapitre 2 54
Si la saturation des matériaux magnétiques est négligée, la simplification de l’équation
(2.13) nous permet d’écrire l’expression suivante en remplaçant la densité du courant
externe extJ
par la densité des courants dans le bobinage du stator sJ
:
( )( ) ( ) ( )rot rot rot rott
µ σµ ∂
= − − × + ∂ s
AA J V A M
(2.16)
Puisque la divergence du potentiel vecteur A
est nulle, l’équation (2.16) nous permet de
trouver la forme générale de l’équation du champ électromagnétique qui tient compte de la
réaction des courants induits :
( ) ( )2 rot rott
µ σµ ∂
∇ = − + − × − ∂ s
AA J V A M
(2.17)
En utilisant l’hypothèse de 2D et en se plaçant dans un système de coordonnées
cylindriques, le potentiel vecteur A
a une seule composante suivant la direction axiale (z) :
( ) ( ), , .r A r zθ θ=A
(2.18)
Cependant, l’induction et le vecteur d’aimantation des aimants permanents sont contenus
dans le plan 2D perpendiculaire à la direction axiale avec des composantes radiales et
tangentielles. Ils sont définis par les relations suivantes en tenant compte des hypothèses
simplificatrices :
( ) ( ) ( ), , . , .rr B r r B rθθ θ θ θ= +B
(2.19)
( ) ( ) ( ), , . , .rr M r r M rθθ θ θ θ= +M
(2.20)
À partir de ces définitions, l’équation générale du champ (2.17) est simplifiée sous la forme
suivante en considérant un mouvement de rotation :
2 2
2 2 2
1 1 1 rs r
M MMA A A A AJr r r r t r r r
θ θµ µσθ θ θ
∂∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + = − + + Ω + − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.21)
où Ωr est la vitesse de rotation de la pièce conductrice considérée par rapport au référentiel
d’étude.
Chapitre 2 55
Nous avons, à présent, développé l’équation générale du champ qui est utilisée pour
calculer le champ électromagnétique dans les structures des machines sans encoches. Pour
résoudre cette équation, l’introduction des conditions aux limites est nécessaire.
2.3.4 Conditions aux limites
Les conditions aux limites permettent de calculer les constantes des expressions des
potentiels vecteurs établies dans chaque zone constitutive de la machine. Deux types de
conditions aux limites peuvent être distingués :
• Conditions aux frontières du domaine d’étude de type «Dirichlet» : ( ), 0A r θ = ou de
type «Newman» : ( ), / 0A r rθ∂ ∂ = ;
• Conditions aux limites de séparation des milieux.
Dans un référentiel d’étude fixe, on distingue deux types de conditions aux limites de
séparation entre deux milieux (i) et (i+1) [5], [94] :
• Condition de continuité du flux magnétique
Il s’agit de la conservation du flux ou de la composante normale de l’induction magnétique
lors du passage du milieu (i) au milieu (i+1). Si la limite de séparation est repérée par le
rayon ro et si le vecteur unitaire n normal à cette limite est orienté du milieu (i) vers le
milieu (i+1), cette condition s’écrit sous la forme suivante :
( )( 1) ( ). 0i in + − =B B
(2.22)
Cette condition peut être réécrite comme suit :
( ) ( )( 1) ( ), ,o o
i ir rr r r r
B r B rθ θ+
= == (2.23)
• Condition de continuité d’Ampère
Cette condition représente la continuité de la composante tangentielle du champ
magnétique H
entre les deux milieux en l’absence d’une densité surfacique de courant
K(θ) localisée à la surface de séparation :
Chapitre 2 56
( ) ( )( 1) ( )i in K θ+× − =H H
(2.24)
Cette équation est simplifiée sous la forme suivante :
( ) ( ) ( )( 1) ( ), ,o o
i i
r r r rH r H r Kθ θθ θ θ+
= =− = (2.25)
2.4 Modélisation des sources du champ électromagnétique
Cette partie décrit la modélisation des sources de champ dues aux aimants permanents et
aux courants statoriques qui circulent dans le bobinage de la machine. Ces sources sont
formulées sous forme de séries de Fourier en fonction des harmoniques d’espace (k) et de
temps (h) afin de résoudre l’équation du champ et de calculer séparément la contribution de
chaque harmonique dans le champ.
2.4.1 Modélisation du terme source dû aux aimants
2.4.1.1 Formes des aimants considérés
Dans plusieurs publications telles que [5], [9], [97] et [98], les pôles lisses des machines à
aimants permanents sont généralement considérés par des formes et des vecteurs
d’aimantation préétablis. Comme il a été mentionné dans le chapitre 1, nous utilisons dans
cette thèse une représentation générale du vecteur d’aimantation, tel que proposé dans la
référence [92], et qui permet de représenter des aimants avec des aimantations radiales,
parallèles ou de type Halbach. Les aimants de type Halbach permettent d’avoir une
induction plus sinusoïdale dans l’entrefer.
Pour cela, on considère que le rotor de la machine sans encoches possède 2p pôles
identiques et symétriques par rapport à leurs axes. Chaque pôle est constitué de 2q blocs
d’aimants élémentaires aimantés soit radialement ou parallèlement avec une certaine
direction bien définie. Tous les blocs d’aimants ont la même épaisseur et leurs intensités
d’aimantation sont considérées constantes. La figure 2.3(a) illustre la structure générale
d’un pôle de la machine. Dans un objectif de modélisation, chaque bloc d’aimant d’indice n
est caractérisé par les paramètres suivants :
Chapitre 2 57
• Mn désigne l’intensité de l’aimantation du bloc ;
• εm,n est l’angle correspondant à la largeur angulaire du bloc ;
• βm,n est l’angle de repérage du bloc par rapport à l’axe de symétrie du pôle ;
• αm,n représente l’angle définissant la direction du vecteur d’aimantation du bloc par
rapport à son axe de symétrie pour une aimantation de type parallèle.
βm,n
εm,n αm,n
π/2p
θr Bloc à aimantation radiale
Bloc à aimantation parallèle
Mn
θrπ/2p
π/p
Mr
θrπ/2p π/p
Mθ
(a) (b)
Figure 2.3 : (a) Structure générale d’un pôle de la machine et (b) distribution spatiale des composantes radiale et tangentielle du vecteur d’aimantation
2.4.1.2 Modélisation de la distribution du vecteur d’aimantation
Le vecteur d’aimantation des aimants permanents est indépendant de la direction radiale.
Cependant, les distributions de ses composantes radiale Mr(θr) et tangentielle Mθ(θr) dans
l’espace sont dépendantes de la coordonnée angulaire et peuvent présenter des
discontinuités. Dans le référentiel lié au rotor, la figure 2.3(b) présente la forme de ces deux
composantes correspondant à la structure générale du pôle présentée dans la figure 2.3(a).
Pour déterminer les composantes radiale et tangentielle du vecteur d’aimantation, on utilise
celles d’un bloc d’aimant élémentaire n définies par les relations suivantes :
Chapitre 2 58
• Pour un bloc aimanté radialement :
( )( ) 0
r r n
r
M M
Mθ
θ
θ
=
= (2.26)
• Pour un bloc aimanté parallèlement :
( )( )( )( )
, ,
, ,
( ) .cos
( ) .sin
r r n m n r m n
r n m n r m n
M M
M Mθ
θ α θ β
θ α θ β
= − −
= − −
(2.27)
En utilisant ces deux relations, on peut modéliser les composantes Mr(θr) et Mθ(θr) du
vecteur d’aimantation par un développement en séries de Fourier spatiales avec un
fondamental (k=1) et des harmoniques d’espace (k≥2). Puisque la structure du rotor est
périodique de période 2π/p et anti-périodique, la décomposition en séries de Fourier ne fait
intervenir que les harmoniques de rangs impairs. Dans le référentiel rotorique, cette
décomposition s’écrit sous la forme réelle suivante :
( ) ( )
( ) ( )
,1,3,5,...
,1,3,5,...
cos
sin
r r r k rk
r k rk
M M kp
M M kpθ θ
θ θ
θ θ
∞
=
∞
=
=
=
∑
∑ (2.28)
Les coefficients de Fourier Mr,k et Mθ,k sont calculés à partir des paramètres caractéristiques
des blocs d’aimants élémentaires et de leur nombre q sur un demi-pôle. Les expressions
permettant de calculer ces coefficients sont données à l’annexe A.1.
Sous forme de séries de Fourier complexes, les composantes radiale Mr(θr) et tangentielle
Mθ(θr) sont exprimées comme suit :
( )
( )
,
,
r
r
jkpr r r k
k
jkpr k
k
M M e
M M e
θ
θθ θ
θ
θ
∞
=−∞
∞
=−∞
=
=
∑
∑ (2.29)
où les coefficients de Fourier complexes sont définis par :
Chapitre 2 59
,,
,,
2
2
r kr k
kk
MM
MM
jθ
θ
=
=
(2.30)
Normalement, les fonctions Mr(θr) et Mθ(θr) sont réelles. Dans ce cas, les coefficients de
Fourier réels et complexes doivent vérifier les relations suivantes :
, ,
, ,
r k r k
k k
M MM Mθ θ
−
−
= = −
et *
, ,
*, ,
r k r k
k k
M M
M Mθ θ
−
−
=
= (2.31)
2.4.2 Modélisation du terme source dû aux courants au stator
Une modélisation généralisée est proposée ici pour la densité des courants en tout point de
la zone du bobinage du stator. Cette densité représente une des sources du champ
magnétique dans la machine. Pour établir cette modélisation, nous devons tout d’abord
modéliser la distribution spatiale des conducteurs des enroulements au stator pour tenir
compte des harmoniques d’espace, et définir ensuite les formes d’ondes des courants
d’alimentation en considérant les harmoniques de temps. La considération des harmoniques
de temps et d’espace est très importante puisqu’ils ont une grande influence sur les
performances de la machine. Ils contribuent à la génération des pertes que ce soit au niveau
du stator ou du rotor (dans les aimants et dans la frette s’ils sont conducteurs). Ils
contribuent aussi à l’ondulation du couple et aux inductances de la machine. Nous notons
que la modélisation proposée ici est effectuée en considérant un bobinage triphasé constitué
de trois enroulements équilibrés et symétriques avec un nombre entier d’encoches par pôle
par phase.
2.4.2.1 Densité de la répartition spatiale des conducteurs
La description de la répartition spatiale d’un enroulement peut être réalisée à l’aide de la
densité surfacique C de ses conducteurs (nombre de conducteurs par mètre carré). Pour
calculer cette densité, nous considérons que la zone du bobinage a une épaisseur radiale
finie et que les conducteurs sont uniformément répartis sur cette épaisseur tel qu’il a été
proposé dans les références [26], [92] et [93]. Dans ce cas, la densité C ne dépend que de la
variable angulaire θs et son signe nous renseigne sur le sens du bobinage (conducteurs
Chapitre 2 60
«aller» ou «retour»). Il existe des références (comme par exemple [110]) qui proposent
d’utiliser une densité linéique des conducteurs (conducteurs par mètre) au lieu d’une
densité surfacique en négligeant l’épaisseur de la zone du bobinage. Contrairement à notre
modélisation, cette représentation ne tient pas compte efficacement de la répartition radiale
des conducteurs et conduit à une diminution au niveau de la précision du calcul.
Si le bobinage est constitué de m phases (dans notre cas m=3), la connaissance de la densité
de conducteurs Ca(θs) de la phase a est suffisante pour définir les densités des autres
phases. Il suffit donc d’introduire une rotation d’un angle électrique 2π/m. Pour la phase υ
(υ =1, 2 ou 3 correspond à la phase a, b ou c), la densité se calcule à partir de :
( ) ( )1 2s a sC C
p mυ
υ πθ θ−
= −
(2.32)
Deux méthodes peuvent être utilisées pour déterminer cette densité. La première méthode
se base sur une décomposition directe en séries de Fourier de la distribution spatiale des
conducteurs [92], et la deuxième méthode introduit les facteurs de bobinage [111].
• Première méthode : décomposition directe en séries de Fourier
Pour tenir compte des bobinages à pas diamétral et à pas raccourci, on suppose que
l’enroulement d’une phase est constitué d’une répartition de plusieurs sous-groupes de
conducteurs (équivalents aux conducteurs dans une encoche) repérés par un angle βs,n+π/2p
par rapport à l’axe de symétrie de la phase. Chaque sous-groupe a une densité de
conducteurs dn uniforme, qui dépend du nombre de spires par phase Nsp et de la surface de
l’encoche occupée par les conducteurs, et une largeur angulaire εs,n. La figure 2.4 présente
cette configuration ainsi que la densité de conducteurs correspondante pour la phase a.
Dans le référentiel statorique et compte tenu de la symétrie, la décomposition en séries de
Fourier de la densité de conducteurs ne fait intervenir que les termes de rangs impairs. Pour
la phase a, cette décomposition est :
( ) ( )1,3,5,...
sina s k sk
C kpθ δ θ+∞
=
= ∑
(2.33)
Chapitre 2 61
Les coefficients de Fourier sont déterminés en tenant compte des caractéristiques du
bobinage de la figure 2.4. Ils sont exprimés par :
( ),,
1
8 sin sin cos2 2
gs n
k n s nn
k d kp kpk
επδ βπ =
=
∑
(2.34)
où g est le nombre de sous-groupes de conducteurs sous un demi-pôle.
Sous forme de séries de Fourier complexes, la densité de conducteurs pour la phase υ est
donnée par :
( )( )21
esjk p
ms k
kC
πθ υ
υ θ δ +∞ − −
=−∞= ∑ (2.35)
où :
2
kk j
δδ =
(2.36)
Étant donné que la densité Cυ(θs) est réelle, les coefficients de Fourier réels et complexes
doivent respecter les conditions suivantes :
*
k k
k k
δ δ
δ δ−
−
=
= −
(2.37)
βs,n
εs,n π/2p
θs
Axe de la phase aSous-groupe
de conducteurs
π/p
dn
θsπ/p 2π/p
Ca
π/2p
(a) (b)
Figure 2.4 : (a) Répartition généralisée des conducteurs de l’enroulement de la phase a et (b) densité de conducteurs correspondante
Chapitre 2 62
• Deuxième méthode : approche par facteurs de bobinage
Cette méthode est basée sur l’utilisation d’une fonction de distribution du bobinage D(θs)
calculée à partir des facteurs de bobinage pour chaque harmonique d’espace de rang k.
Cette fonction exprime le nombre de conducteurs par radian. Elle a été introduite par
Slemon dans la référence [111] et reprise dans la référence [5] pour les machines avec
encoches et dans les références [26] et [93] pour les machines sans encoches.
Pour la phase a, la fonction de distribution du bobinage peut être formulée sous forme de
séries de Fourier en tenant compte de la symétrie des enroulements :
( ) ( )1,3,5,...
sin2
ka s s
k
ND kpθ θ+∞
=
= ∑ (2.38)
où Nk est le nombre de spires correspondant à l’harmonique d’espace de rang k. Il se calcule
par l’expression suivante :
,4 sin
2k w k spkN k N π
π =
(2.39)
kw,k est le facteur de bobinage pour l’harmonique d’espace de rang k. Ce facteur est calculé
comme le produit du facteur de distribution, du facteur de raccourcissement, du facteur
d’encochage et du facteur d’inclinaison. Ce dernier facteur est considéré quand les
encoches du stator sont inclinées par rapport au rotor dans les machines avec encoches afin
de réduire le couple de détente. Les expressions de ces différents facteurs sont données
dans l’annexe A.2.
À partir de la fonction de distribution du bobinage Dυ(θs) pour la phase υ, nous pouvons
calculer la densité de conducteurs Cυ(θs) par :
( ) ( )0
ss
b b
DC
h rυ
υ
θθ = (2.40)
Où r0b et hb représentent respectivement le rayon au milieu du bobinage et son épaisseur.
Chapitre 2 63
Cette approche de modélisation nous permet d’avoir une idée sur les amplitudes des
harmoniques des différentes grandeurs électromagnétiques (flux, fem, FMM) en vérifiant
directement les facteurs de bobinage.
2.4.2.2 Formes d’ondes des courants statoriques
Pour calculer la densité des courants en tout point de la zone du bobinage, il faut faire
intervenir les courants alimentant les phases de la machine. Les formes d’ondes de ces
courants dépendent du type de convertisseur statique utilisé. Ce convertisseur peut être soit
à commutation de tension ou à commutation de courant. Ces convertisseurs génèrent des
courants non sinusoïdaux avec des harmoniques de temps (h) dont il faut tenir compte.
En supposant que les courants forment un système triphasé équilibré de régime permanent,
la décomposition en séries de Fourier de leurs formes d’ondes ne fait intervenir que les
harmoniques de temps de rangs impairs où 6 1h h′= ± et h’ est un entier. Cela signifie que
les composantes harmoniques de rangs pairs ainsi que celles d’ordre 3 sont nulles. Sous une
forme réelle, cette décomposition vaut :
( ) ( )
( )
( )
1,5,7,11,...
1,5,7,11,...
1,5,7,11,...
sin
2sin3
4sin3
a h hh
b h hh
c h hh
i t I h t
i t I h t
i t I h t
ω ϕ
πω ϕ
πω ϕ
∞
=
∞
=
∞
=
= −
= − − = − −
∑
∑
∑
(2.41)
où hI et ϕh désignent respectivement l’amplitude et l’angle à l’origine (dans le repère du
stator) de l’harmonique de courant de rang h. ω est la pulsation angulaire au stator reliée à
la vitesse de rotation Ω par : ω=Ω/p.
Dans une représentation complexe de la série de Fourier, le courant dans la phase υ est :
( )( )21jh t
mh
hi t I e
πω υ
υ
+∞ − −
=−∞= ∑ avec :
2hjh
hII e
jϕ−=
(2.42)
Chapitre 2 64
Étant donné que les courants sont réels, les paramètres hI et ϕh vérifient les conditions
suivantes :
*h h
h h
h h
I I
I Iϕ ϕ
−
−
−
=
= − = −
(2.43)
2.4.2.3 Densité des courants du bobinage au stator
La connaissance de la répartition spatiale des conducteurs et de la forme d’ondes des
courants permet de déterminer la densité de courant dans la zone du bobinage pour chaque
phase. Cette densité est définie comme le produit de la densité de conducteurs par le
courant. Pour la phase a par exemple, elle s’écrit :
( ) ( ) ( ), .a s a s aJ t C i tθ θ= (2.44)
La densité totale de courant Js résultant de la contribution de toutes les phases de la
machine est calculée comme la somme des densités des m phases :
( ) ( ) ( ) ( )1 1
, , .m m
s s s sJ t J t C i tυ υ υυ υ
θ θ θ= =
= =∑ ∑ (2.45)
En substituant dans cette équation les expressions (2.35) et (2.42), la densité de courant
totale dues aux trois phases (m=3) de la machine s’écrit comme suit :
( )( ) ( ) ( )
2 43 3, 1
2 2s h
j k h j k h j kp h tk hs s
k h
IJ t e e ej j
π πθ ω ϕδθ
+∞ +∞ − + − + + −
=−∞ =−∞
= + +
∑ ∑
(2.46)
Après simplification, nous trouvons l’équation suivante sous une forme complexe :
( )( ). 3 ,3 si
, et 3 ,40 ailleurs
s hj kp hp tk h
s s k h
k h l lI e
J t k k kθ ϕδ
θ
+∞ +∞+ Ω −
=−∞ =−∞
+ = ∈− ′ ′= ≠ ∈
∑ ∑
(2.47)
L’expression de la densité de courant peut être également exprimée dans le référentiel lié au
rotor. Pour cela, il suffit d’utiliser l’équation (2.2) permettant le changement du référentiel.
Dans ce cas, nous trouvons l’expression suivante :
Chapitre 2 65
( )( )( ). 3 ,3 si
, et 3 ,40 ailleurs
r hj kp k h p tk h
s r k h
k h l lI e
J t k k kθ ϕδ
θ
+∞ +∞+ + Ω −
=−∞ =−∞
+ = ∈− ′ ′= ≠ ∈
∑ ∑
(2.48)
Le développement de l’équation (2.47), en changeant les rangs négatifs (k<0, h<0) par des
rangs positifs, permet de présenter la densité de courant Js sous une forme réelle :
( )
( )
( )
1 1
1 1
3 cos . si 6 ,2
, 0 si 3 ,
3 cos . si 6 ,2
k h s hk h
s s
k h s hk h
I kp hp t k h l l
J t k k k
I kp hp t k h l l
δ θ ϕ
θ
δ θ ϕ
+∞ +∞
= =
+∞ +∞
= =
− Ω + − = ∈
′ ′= = ∈ − + Ω − + = ∈
∑∑
∑∑
(2.49)
La densité totale de courant ne contient que les harmoniques de temps (h) et d’espace (k)
qui vérifient les relations : 6 1h h′= ± et 6 1k k′= ± où k’ et h’ sont des entiers. Ainsi, les
trois conditions utilisées dans l’équation (2.49) ont les significations suivantes :
• La condition 6 ,k h l l− = ∈ est réalisée si [(k=1, 7, 13,…) & (h=1, 7, 13, …)] ou
[(k=5, 11, 17,…) & (h=5, 11, 17,…)] ;
• La condition 3 ,k k k′ ′= ∈ signifie que les harmoniques d’espace d’ordre 3 ne
contribuent pas à la densité de courant ;
• La condition 6 ,k h l l+ = ∈ est remplie si [(k=1, 7, 13,…) & (h=5, 11, 17,…)] ou
[(k=5, 11, 17,…) & (h=1, 7, 13,…)].
À partir de l’équation (2.49), nous remarquons que la densité totale de courant produit une
force magnétomotrice tournante (champ tournant) dans le stator de la machine avec un
fondamental et des harmoniques. Les harmoniques de la FMM tournent dans le même sens
que le fondamental avec une vitesse angulaire égale à /h kΩ lorsque la première condition
est réalisée. Cependant, ils tournent dans le sens opposé avec une vitesse angulaire de
/h k− Ω quand la troisième condition est effective.
La FMM dans le stator peut être déduite directement de l’intégrale de l’expression de la
densité de courant :
Chapitre 2 66
( ) ( )0, . . , .s b b s s sFMM t h r J t dθ θ θ= ∫ (2.50)
La figure 2.5(a) montre un exemple de formes d’ondes des densités de courant produites
par chaque phase d’une machine triphasée, tandis que la figure 2.5(b) présente les formes
d’ondes de la densité totale de courant, de la FMM résultante et de son fondamental. Dans
cet exemple, nous avons considéré une machine sans encoches avec 2 pôles, 12 encoches,
un coefficient de raccourcissement de 5/6 et un coefficient d’ouverture des encoches (ke) de
0.5. Il faut noter que les amplitudes des courbes sont normalisées par rapport à 1.
Figure 2.5 : Formes d’ondes (a) des densités de courant des trois phases, (b) de la densité totale,
de la FMM et de son fondamental en fonction de l’angle statorique pour Ia=1 A et Ib=Ic=-0.5 A
Nous notons que toutes les grandeurs et caractéristiques électromagnétiques qui sont
calculées dans cette thèse et qui font intervenir les harmoniques de temps h et d’espace k de
la densité de courant au stator (comme le potentiel vecteur, l’inductance, le couple, les
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Angle au stator [degré]
Phase aPhase bPhase c
(a)
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
-1
-0.5
0
0.5
1
Angle au stator [degré]
FMM
Fondamental de la FMM
Densité de courant
(b)
Chapitre 2 67
pertes par courants Foucault,…) ne sont valables que si les conditions discutées
précédemment sont vérifiées (cf. équations (2.47) et (2.49)). Cependant, les grandeurs
électromagnétiques résultantes de la source de champ due aux aimants (comme le potentiel
vecteur à vide, le flux à vide et la fem) ne sont effectives que pour les harmoniques impairs
incluant ceux d’ordre 3. Dans la suite de ce chapitre et des chapitres suivants, les
expressions de ces grandeurs électromagnétiques seront exprimées sans mentionner ces
différentes conditions afin de simplifier leur écriture.
2.5 Calcul analytique du champ électromagnétique produit par les aimants
Après avoir établi l’équation générale du champ de la magnétodynamique et modélisé les
distributions des sources de champ dues aux aimants et aux courants statoriques, nous
pouvons à présent calculer analytiquement la distribution du champ dans la structure de la
machine. Dans cette partie, nous présentons le calcul du champ magnétique à vide produit
par les aimants en termes de potentiel vecteur mA
. Pour cela, nous appliquons tout d’abord
l’équation du champ dans chaque zone de la machine et nous résolvons, ensuite, les
équations obtenues en respectant les conditions aux limites. Ce calcul est effectué sous
forme de notation complexe en adoptant les hypothèses simplificatrices énumérées
précédemment et en considérant un référentiel d’étude lié au rotor. Le choix de ce
référentiel est motivé par la facilité qu’il procure lors la résolution de l’équation du champ.
Toutefois, le calcul peut être effectué d’une façon similaire dans le référentiel statorique en
transférant seulement la source du champ due aux aimants vers ce dernier.
2.5.1 Équations du champ appliquées pour le calcul du champ à vide
L’application de l’équation générale du champ (2.21) aux 5 zones de la machine (aimants,
frette, entrefer, bobinage et culasse du stator) (cf. Fig. 2.1) permet d’établir un système de 5
équations qui définissent la distribution du champ. En fonctionnement à vide, il y aura des
courants induits seulement dans la culasse du stator puisque la frette conductrice est fixée
au rotor. Cette culasse tourne à une vitesse Ωr =−Ω par rapport au référentiel d’étude choisi
Chapitre 2 68
lié au rotor où Ω désigne la vitesse mécanique du rotor par rapport au stator. Nous avons
aussi :
• Js=0 car il n’y a pas de courants d’alimentation dans un fonctionnement à vide ;
• et 0mA t∂ ∂ = puisque la source du champ ( M
) n’est pas variable dans le temps
mais plutôt dans l’espace dans le référentiel d’étude choisi.
Dans ces conditions, l’équation du champ adaptée à la structure de la machine considérée
devient :
2 2
22 2 2
1 1 1m m m m rm
A A A A M MMAr r r r r r r
θ θµσθ θ θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂∇ = + + = − Ω + − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.51)
Comme les composantes radiale et tangentielle du vecteur d’aimantation ne dépendent pas
de la direction radiale (r), cette équation est simplifiée sous la forme suivante :
2 2
22 2 2
1 1 1m m m m rm
A A A A MA Mr r r r r θµσ
θ θ θ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = + + = − Ω + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(2.52)
Le tableau 2.1 résume les caractéristiques des cinq zones de la machine ainsi que les
différentes équations du champ obtenues après avoir appliqué l’équation (2.52) dans chaque
zone.
Zone Intervalle du rayon Conductivité Perméabilité Équation du champ
Aimants (i=1) 1 2r r r≤ ≤ 0σ = o rmµ µ 2 (1) 1 rm
MMAr r
θ
θ∂
∇ = −∂
Frette (i =2) 2 3r r r≤ ≤ cσ σ= o rcµ µ 2 (2) 0mA∇ =
Entrefer (i =3) 3 4r r r≤ ≤ 0σ = oµ 2 (3) 0mA∇ =
Bobinage (i =4) 4 5r r r≤ ≤ 0σ = oµ 2 (4) 0mA∇ =
Culasse du stator (i=5) 5 6r r r≤ ≤ sσ σ= o rsµ µ (5)
2 (5)0
mm rs s
AA µ µ σθ
∂∇ = − Ω
∂
Tableau 2.1 : Caractéristiques des différentes zones du domaine d’étude de la machine et leurs équations du champ associées permettant le calcul du champ à vide
Chapitre 2 69
2.5.2 Résolution des équations du champ
En utilisant la méthode de «séparation des variables» [112] pour résoudre les différentes
équations du champ établies dans le tableau 2.1, les expressions générales du potentiel
vecteur dans chaque zone de la structure de la machine peuvent être déterminées.
• Solution dans la zone d’aimants (zone 1)
L’équation du champ appliquée à cette zone a la forme d’une équation de Poisson :
2 (1) (1) 2 (1)
2 2 2
1 1 1m m m rA A A MMr r r r r r
θ
θ θ∂ ∂ ∂ ∂
+ + = −∂ ∂ ∂ ∂
(2.53)
La solution est décrite par la somme de la solution homogène de l’équation sans second
membre (équation de Laplace) et d’une solution particulière de l’équation avec second
membre. Sous forme de séries de Fourier complexes, la solution homogène s’écrit :
( )(1) (1) (1), , ,( , ) . rjkp
H m r m k m kk
A r A r B r e θα αθ+∞
−
=−∞
= +∑ , avec : k pα = (2.54)
où (1),m kA et (1)
,m kB sont des constantes complexes qui représentent les coefficients de la série
de Fourier du potentiel vecteur dans cette zone. Comme ce dernier est réel, les constantes
doivent satisfaire les conditions (1) (1) *, ,m k m kA A− = et (1) (1) *
, ,m k m kB B− = .
La solution particulière de l’équation de Poisson s’exprime comme suit :
(1), ( , ) ( ). rjkp
P m r kk
A r S r e θθ+∞
=−∞
= ∑ (2.55)
où la fonction ( )kS r traduit la contribution de chaque harmonique d’espace (k) contenu
dans la source du champ à vide due aux aimants. Elle s’exprime par :
, ,2
, ,
si 11( )
ln( ) si 12
r k k
kr k k
jkpM Mr k p
S rjkpM M
r r k p
θ
θ
αα
α
−= ≠ −=
− = =
(2.56)
À l’aide des solutions homogène et particulière, l’expression du potentiel vecteur dans la
zone d’aimants est déduite comme suit :
Chapitre 2 70
( )(1) (1) (1), ,( , ) ( ) . rjkp
m r m k m k kk
A r A r B r S r e θα αθ+∞
−
=−∞
= + +∑ (2.57)
• Solutions dans la zone de la frette, d’entrefer et de bobinage (zone 2, 3 et 4)
À partir du tableau 2.1, nous remarquons que les équations du champ dans ces trois zones
(i=2, 3, 4) ont la forme d’une équation de Laplace :
2 ( ) ( ) 2 ( )
2 2 2
1 1 0i i i
m m mA A Ar r r r θ
∂ ∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂ (2.58)
La solution de chaque équation du champ a une forme similaire à la solution homogène
donnée par l’équation (2.54). Il vient alors :
( )( 2,3,4) ( ) ( ), ,( , ) . rjkpi i i
m r m k m kk
A r A r B r e θα αθ+∞
= −
=−∞
= +∑ (2.59)
où ( ) ( ) *, ,i i
m k m kA A− = , ( ) ( ) *, ,i i
m k m kB B− = .
• Solution dans la zone de la culasse du stator (zone 5)
Dans la zone de la culasse du stator, l’équation qui gouverne la distribution du champ
s’écrit sous forme d’une équation de diffusion. Elle tient compte de l’effet des courants de
Foucault induits dans le matériau SMC par son second membre :
2 (5) (5) 2 (5) (5)
02 2 2
1 1m m m mrs s
A A A Ar r r r
µ µ σθ θ
∂ ∂ ∂ ∂+ + = − Ω
∂ ∂ ∂ ∂ (2.60)
La méthode de séparation de variables permet d’écrire l’expression de la solution sous la
forme :
(5) (5),( , ) ( ). rjkp
m r m kk
A r R r e θθ+∞
=−∞
= ∑ (2.61)
Le remplacement de cette équation dans celle du champ (2.60) conduit à l’expression
suivante définie pour chaque harmonique d’espace de rang k :
( )2 (5) (5)
, ,2 2 2 2 (5), ,2
( ) ( )( ) 0m k m k
m k m k
R r R rr r r R r
r rτ α
∂ ∂+ − + =
∂ ∂ (2.62)
Chapitre 2 71
La constante 2,m kτ introduite dans cette équation traduit l’influence de la profondeur de
pénétration du champ dans la culasse du stator (effet de peau) pour chaque harmonique
d’espace k. L’expression de cette constante ainsi que celle de la profondeur de pénétration
s’écrivent comme suit :
2 2, 0 2m k rs s kjkp jτ µ µ σ δ= − Ω = − (2.63)
0
2k
rs skpδ
µ µ σ=
Ω (2.64)
La solution de l’équation (2.62) fait intervenir les fonctions de Bessel modifiées de
première espèce Iα et de deuxième espèce Kα d’ordre α=kp. Il vient alors :
(5) (5) (5), , , , ,( ) ( ) ( )m k m k m k m k m kR r A I r B K rα ατ τ= + (2.65)
où (5) (5) *, ,m k m kA A− = , (5) (5) *
, ,m k m kB B− = et (5) (5) *, ,m k m kR R− = puisque le potentiel vecteur est réel.
Ainsi, l’expression finale du potentiel vecteur dans la zone de la culasse du stator s’écrit :
( )(5) (5) (5), , , ,( , ) ( ) ( ) . rjkp
m r m k m k m k m kk
A r A I r B K r e θα αθ τ τ
+∞
=−∞
= +∑ (2.66)
• Résumé des solutions dans les 5 zones de la machine
Les expressions obtenues après avoir résolu les équations du champ dans les 5 zones de la
machine sont résumées comme suit :
( )
( )
( )
(1) (1) (1), ,
( 2,3,4) ( ) ( ), ,
(5) (5) (5), , , ,
( , ) ( ) .
( , ) .
( , ) ( ) ( ) .
r
r
r
jkpm r m k m k k
k
jkpi i im r m k m k
k
jkpm r m k m k m k m k
k
A r A r B r S r e
A r A r B r e
A r A I r B K r e
θα α
θα α
θα α
θ
θ
θ τ τ
+∞−
=−∞
+∞= −
=−∞
+∞
=−∞
= + +
= +
= +
∑
∑
∑
(2.67)
Chapitre 2 72
Avec :
, ,2
, ,
si 11( )
ln( ) si 12
r k k
kr k k
jkpM Mr k p
S rjkpM M
r r k p
θ
θ
αα
α
−= ≠ −=
− = =
et 2, 0m k rs sjkpτ µ µ σ= − Ω
• Calcul des coefficients de Fourier du potentiel vecteur
Les équations du système (2.67) décrivent parfaitement la distribution du potentiel vecteur
dans les différentes régions du domaine d’étude. Ces équations font intervenir 10
constantes ( ),i
m kA et ( ),i
m kB qu’il faut déterminer afin de compléter la description du potentiel
vecteur. Pour ce faire, nous introduisons les relations supplémentaires qui traduisent les
conditions aux frontières externes du domaine d’étude de la machine et les conditions aux
limites internes de séparation des milieux données par les équations (2.23) et (2.25). Ces
conditions appliquées à notre domaine d’étude sont définies comme suit :
• À la frontière externe au niveau du rayon extérieur de la culasse du stator (r = r6), le
potentiel vecteur est supposé être nul, ce qui correspond à une condition de
Dirichlet ;
• Aux limites internes de séparation des milieux, il y a conservation des composantes
normales de l’induction et des composantes tangentielles du champ puisque aucune
densité surfacique de courant n’existe entre les milieux ;
• À la frontière externe au niveau de l’interface entre les aimants et la culasse du
rotor, la composante tangentielle du champ est annulée puisque la perméabilité du
rotor est supposée infinie.
En termes de potentiel vecteur, ces différentes conditions sont données par le système
d’équations suivant où i=1, 2, 3, 4 :
Chapitre 2 73
1
1 1
1 1
6
(1)
( ) ( 1) ( 1)
1
( ) ( 1)
(5)
( , ) / ( ) 0
1 1( , ) / ( ) ( , ) /
( , ) / ( , ) /
( , ) 0
i i
i i
m r rr r
i i im r r m rr r r ri i
i im r m rr r r r
m r r r
A r r M
A r r M A r r
A r A r
A r
θ
θ
θ θ
θ θ θµ µ
θ θ θ θ
θ
+ +
+ +
=
= +
= =+
+
= =
=
∂ ∂ + = ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂
=
(2.68)
L’introduction des expressions du potentiel vecteur (2.67) dans les équations (2.68) nous
permet d’obtenir deux systèmes linéaires de dix équations à dix inconnues chacun,
correspondants aux deux cas étudiés : α=kp≠1 et α=kp=1. La résolution de ces deux
systèmes permet de déterminer les 10 constantes ( ( ),i
m kA et ( ),i
m kB ) pour chaque harmonique
d’espace de rang k et d’établir ainsi les expressions finales des potentiels vecteurs. Dans
notre cas, cette résolution a été effectuée à l’aide du logiciel de calcul symbolique
Mathematica pour la machine considérée dans ce chapitre et pour les autres structures des
machines étudiées dans cette thèse.
2.5.3 Résultats du problème électromagnétique
Dans ce paragraphe, nous présentons le résultat du calcul du champ à vide en termes de
répartition de l’induction magnétique dans la structure de la machine et de la distribution de
la densité des courants de Foucault dans la culasse du stator. Les composantes radiales et
tangentielles de l’induction à vide dans chaque zone i peuvent être calculées à partir du
potentiel vecteur en utilisant les expressions suivantes :
( )( )
( )( )
( , )1( , )
( , )( , )
ii m r
r r
ii m r
r
A rB rr
A rB rrθ
θθθ
θθ
∂= ∂
∂ = − ∂
(2.69)
Les figures 2.6(a) et 2.6(b) présentent la distribution de ces deux composantes en fonction
de l’angle mécanique rotorique au centre de chaque zone de la machine (aimants, frette,
entrefer, bobinage et culasse du stator). Ces résultats sont donnés pour un moteur sans
encoches à aimants permanents à haute vitesse à rotor interne d’une puissance nominale de
500 W et une vitesse de 20000 rpm. Il s’agit en fait d’une machine avec une frette
Chapitre 2 74
amagnétique non conductrice et un stator fait en matériau SMC dont la perméabilité est 200
et la conductivité est 3400 s/m. Le moteur comporte 2 pôles d’aimants de type NdFeB à
aimantation radiale et 6 encoches qui supportent un bobinage triphasé à pas diamétral. Les
principales caractéristiques et dimensions de cette machine sont données dans l’annexe B.1.
Nous notons que cette machine sera appelée MSE-1 tout au long de cette thèse puisqu’elle
est utilisée pour la validation du modèle de dimensionnement analytique. De plus, le
matériau SMC utilisé sera aussi appelé Mat-1.
Nous remarquons à partir des figures tracées que l’induction radiale diminue quand le
rayon augmente puisque la surface traversée par le flux augmente aussi. Un résultat
contraire est remarqué dans le cas d’une machine à rotor externe. Nous remarquons
également que l’induction dans la culasse du stator est due essentiellement à la composante
tangentielle et qu’elle est plus concentrée vers la surface interne de cette culasse. De plus,
l’induction dans l’entrefer est moins affectée par l’effet de la réaction des courants de
Foucault engendrés dans la culasse du stator. Cela est dû au fait que le matériau SMC
utilisé est moins conducteur. Cet effet devient de plus en plus visible lorsque la
conductivité du matériau augmente [95].
Figure 2.6 : Composantes (a) radiales et (b) tangentielles de l’induction à vide au milieu de chaque
zone de la machine à une vitesse de 20000 rpm
La densité des courants de Foucault dans la culasse du stator peut être aussi déterminée à
partir du potentiel vecteur exprimé dans cette zone en utilisant la formule suivante :
0 1 2 3 4 5 6
-1
-0.5
0
0.5
1
Angle mécanique [rad]
Indu
ctio
n ra
dial
e [T
]
AimantsFretteEntreferBobinageCulasse stator
(a)
0 1 2 3 4 5 6-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Angle mécanique [rad]
Indu
ctio
n ta
ngen
tielle
[T]
AimantsFretteEntreferBobinageCulasse stator
(b)
Chapitre 2 75
(5) (5)
,( , ) ( , )( , ) m r m r
cs m r s r sA r A rJ r θ θθ σ σ
θ θ∂ ∂
= − Ω = Ω∂ ∂
(2.70)
Dans ce cas, nous trouvons :
( )2, (5) (5)
, , , , ,( , ) ( ) ( ) . rm k jkpcs m r m k m k m k m k
k o rs
J r A I r B K r e θα α
τθ τ τ
µ µ
+∞
=−∞
−= +
∑ (2.71)
La figure 2.7(a) illustre la distribution de la densité des courants de Foucault en fonction de
l’angle mécanique au rotor à différents rayons r dans la culasse du stator définis par r=(r5,
r5+eculs/4, r5+eculs/2, r6– eculs/4, r6) où eculs représente l’épaisseur de cette culasse. Cette
figure montre que la densité des courants de Foucault diminue et devient plus sinusoïdale
au fur et à mesure qu’on pénètre dans la culasse du stator en augmentant le rayon. En effet,
les harmoniques d’espace du champ ne pénètrent pas profondément dans la culasse du
stator puisqu’ils sont filtrés par l’effet de peau. Il est intéressant aussi de noter que les
harmoniques des courants de Foucault tournent à la même vitesse que celle du rotor et
contribuent à la diminution du couple.
La figure 2.7(b) présente la distribution de la densité des courants de Foucault en
considérant la même machine MSE-1, mais avec un autre matériau SMC plus conducteur
(appelé Mat-2) dont la conductivité est 50000 s/m et la perméabilité est 350. D’après cette
figure, nous constatons que les courants induits dans la culasse du stator deviennent plus
significatifs et se déphasent de plus en plus lorsque le rayon augmente.
Figure 2.7 : Densités des courants de Foucault dues aux aimants dans la culasse du stator à
différents rayons pour deux types de matériaux SMC : (a) moins conducteur (Mat-1) et (b) plus conducteur (Mat-2) à une vitesse de 20000 rpm
0 1 2 3 4 5 6-6
-4
-2
0
2
4
6 x 104
Angle mécanique [rad]
Den
sité
de
cour
ant [
A/m
2 ]
r=r5
r=r6
(a)
0 1 2 3 4 5 6-6
-4
-2
0
2
4
6x 105
Angle mécanique [rad]
Den
sité
de
cour
ant [
A/m
2 ]
r=r6
(b)
r=r5
Chapitre 2 76
2.6 Calcul analytique du champ électromagnétique produit par les courants
Le champ de réaction d’induit produit par les courants d’alimentation au stator de la
machine peut être calculé en adoptant la même démarche utilisée lors du calcul du champ à
vide. Dans ce calcul, les aimants permanents ne sont pas pris en compte et seule la
contribution des courants statoriques est considérée. De plus, ce calcul est effectué en
termes de potentiel vecteur de réaction d’induit sA
en considérant le référentiel lié au rotor.
La résolution de l’équation générale du champ tient compte, d’une part, des harmoniques
de temps h et d’espace k de la FMM de réaction d’induit, et d’autre part, de la contribution
des courants de Foucault induits à la fois dans la culasse du stator et dans la frette
conductrice. Les courants de Foucault crées dans la culasse du stator sont dus à tous les
harmoniques du champ tournant au niveau du stator incluant le champ fondamental.
Cependant, ceux créés dans la frette sont induits seulement par les combinaisons des
harmoniques de temps et d’espace qui ne sont pas synchrones avec le rotor. Cela montre
l’importance du choix du référentiel du rotor pour résoudre l’équation du champ puisqu’il
permet de mettre en évidence les combinaisons d’harmoniques qui sont synchrones ou
asynchrones avec le rotor.
2.6.1 Équations du champ appliquées pour le calcul du champ de réaction d’induit
L’équation utilisée pour le calcul du champ magnétique produit par les courants
d’alimentation est déduite à partir de l’équation générale du champ (2.21) établie
précédemment. Pour trouver cette équation, nous adoptons les modifications suivantes :
• Les composantes du vecteur d’aimantation sont considérées nulles (Mr=Mθ=0),
puisque la contribution des aimants permanents est annulée ;
• Vu que le référentiel rotorique est choisi comme repère d’étude, la culasse
conductrice du stator tourne par rapport à ce référentiel à une vitesse Ωr égale à −Ω.
Considérant ces simplifications, l’équation du champ adoptée s’écrit sous la forme
suivante :
Chapitre 2 77
2 2
22 2 2
1 1s s s s ss s
A A A A AA Jr r r r t
µ µσθ θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = + + = − + − Ω ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.72)
Pour déterminer les expressions du potentiel vecteur, il suffit d’appliquer cette équation
dans les 5 zones constitutives de la machine (cf. Fig. 2.1) et de résoudre les équations du
champ qui en découlent. Le tableau 2.2 présente les cinq régions de la machine avec leurs
perméabilités, leurs conductivités ainsi que les équations qui gouvernent le calcul du champ
dans chacune de ces régions.
Zone Intervalle du rayon Conductivité Perméabilité Équation du champ
Aimants (i=1) 1 2r r r≤ ≤ 0σ = o rmµ µ 2 (1) 0sA∇ =
Frette (i =2) 2 3r r r≤ ≤ cσ σ= o rcµ µ (2)
2 (2)0
ss rc c
AAt
µ µ σ∂
∇ = Ω∂
Entrefer (i =3) 3 4r r r≤ ≤ 0σ = oµ 2 (3) 0sA∇ =
Bobinage (i=4) 4 5r r r≤ ≤ 0σ = oµ 2 (4)0s sA Jµ∇ = −
Stator (i=5) 5 6r r r≤ ≤ sσ σ= o rsµ µ
(5) (5)2 (5)
0s s
s rs sA AA
tµ µ σ
θ ∂ ∂
∇ = − Ω ∂ ∂
Tableau 2.2 : Caractéristiques des différentes zones du domaine d’étude de la machine et leurs équations du champ associées permettant le calcul du champ de réaction d’induit
2.6.2 Résolution des équations du champ
En appliquant la même méthode de résolution utilisée dans le calcul du champ à vide, aux
équations du champ du tableau 2.2, nous pouvons déterminer facilement les expressions du
potentiel vecteur dans les 5 régions de la machine exprimées dans le référentiel rotorique.
Ces expressions font intervenir les harmoniques de temps h et d’espace k introduits par la
densité des courants circulant dans les enroulements du stator.
• Solution dans la zone d’aimants (zone 1)
La solution du potentiel vecteur dans cette zone est celle d’une équation de Laplace. Elle
dépend de la direction radiale r, de la position angulaire au rotor θr et du temps t :
Chapitre 2 78
( ) ( )( ).(1) (1) (1), , , , ,( , , ) r hj kp k h p t
s r s k h s k h k hk h
A r t A r B r J e θ ϕα αθ+∞ +∞
+ + Ω −−
=−∞ =−∞
= +∑ ∑
(2.73)
Avec :
,34k h k hJ Iδ= −
et k pα = (2.74)
• Solution dans la zone de la frette (zone 2)
Le champ magnétique dans la frette est calculé à partir de l’équation de diffusion donnée
dans le tableau 2.2. Cette équation fait intervenir la densité des courants induits dans la
frette. Elle s’écrit comme suit :
2 (2) (2) 2 (2) (2)
02 2 2
1 1s s s src c
A A A Ar r r r t
µ µ σθ
∂ ∂ ∂ ∂+ + = Ω
∂ ∂ ∂ ∂ (2.75)
La solution à cette équation peut être exprimée sous la forme suivante en utilisant la
méthode de séparation des variables :
( )( ).(2) (2), , ,( , , ) ( ) r hj kp k h p t
s r s k h k hk h
A r t R r J e θ ϕθ+∞ +∞
+ + Ω −
=−∞ =−∞
= ∑ ∑
(2.76)
À partir de ces deux dernières équations, nous remarquons que les composantes de temps et
d’espace du potentiel vecteur vérifient l’équation :
( )2 (2) (2)
, , , ,2 2 2 2 (2), , , ,2
( ) ( )( ) 0s k h s k h
c k h s k h
R r R rr r r R r
r rτ α
∂ ∂+ − + =
∂ ∂ (2.77)
Avec :
( )2, , 0c k h rc cj k h pτ µ µ σ= + Ω (2.78)
L’interprétation physique de la constante 2, ,c k hτ est importante pour trouver les solutions de
l’équation (2.77). En effet, nous distinguons deux cas correspondant à deux solutions :
• Si 0k h+ = , la constante 2, ,c k hτ est nulle ( 2
, , 0c k hτ = ). Cela veut dire que les FMM
dues aux combinaisons des harmoniques de temps h et d’espace k, tels que k h= − ,
tournent à la même vitesse que la frette (synchrones) et n’induisent aucun courant
de Foucault dans cette dernière. Par contre, elles participent à la création du couple.
Chapitre 2 79
Dans ce cas, la solution de l’équation du champ est celle d’une équation de
Laplace :
(2) (2) (2), , , , , ,( )s k h s k h s k hR r A r B rα α−= + (2.79)
• Si 0k h+ ≠ , la constante 2, ,c k hτ est non nulle. Cela signifie que les combinaisons des
harmoniques de temps et d’espace qui sont asynchrones avec le rotor participent,
d’une part, à la création des courants de Foucault dans la frette, et d’autre part, à
l’ondulation du couple. Avec cette condition, la solution est obtenue en introduisant
les fonctions de Bessel modifiées de première espèce Iα et de deuxième espèce Kα
d’ordre α :
(2) (2) (2), , , , , , , , , ,( ) ( ) ( )s k h s k h c k h s k h c k hR r A I r B K rα ατ τ= + (2.80)
Nous déduisons alors que :
(2) (2), , , , , , , ,(2)
, , (2) (2), , , ,
( ) ( ) si( )
sis k h c k h s k h c k h
s k hs k h s k h
A I r B K r k hR r
A r B r k hα α
α α
τ τ−
+ ≠ −= + = −
(2.81)
• Solutions dans la zone d’entrefer (zone 3)
La solution de l’équation du champ dans cette zone est semblable à celle de la zone des
aimants. Il vient alors :
( ) ( )( ).(3) (3) (3), , , , ,( , , ) r hj kp k h p t
s r s k h s k h k hk h
A r t A r B r J e θ ϕα αθ+∞ +∞
+ + Ω −−
=−∞ =−∞
= +∑ ∑
(2.82)
• Solutions dans la zone du bobinage (zone 4)
Le potentiel vecteur dans la zone du bobinage vérifie l’équation :
2 (4) (4) 2 (4)
02 2 2
1 1s s ss
A A A Jr r r r
µθ
∂ ∂ ∂+ + = −
∂ ∂ ∂ (2.83)
La solution générale de cette équation est composée d’une solution homogène et d’une
solution particulière. Elle vaut :
( ) ( )( ).(4) (4) (4), , , , , , ,( , , ) ( ) r hj kp k h p t
s r s k h s k h P k h k hk h
A r t A r B r R r J e θ ϕα αθ+∞ +∞
+ + Ω −−
=−∞ =−∞
= + +∑ ∑
(2.84)
Chapitre 2 80
où la solution particulière vérifie :
( )2 20
, , 20
4 si 2( )
ln( ) 4 si 2P k h
r k pR r
r r k p
µ α α
µ α
− − = ≠= − = =
(2.85)
• Solution dans la zone de la culasse du stator (zone 5)
Dans cette zone, le champ est gouverné par l’équation suivante qui fait intervenir les
courants induits dans le matériau SMC de la culasse statorique :
2 (5) (5) 2 (5) (5) (5)
02 2 2
1 1s s s s srs s
A A A A Ar r r r t
µ µ σθ θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = − Ω ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(2.86)
Pour résoudre cette équation, nous adoptons la même approche utilisée précédemment pour
calculer le champ à vide dans cette même zone. Nous obtenons alors :
( ) ( )( ).(5) (5) (5), , , , , , . , ,( , , ) ( ) ( ) r hj kp k h p t
s r s k h s k h s k h s k h k hk h
A r t A I r B K r J e θ ϕα αθ τ τ
+∞ +∞+ + Ω −
=−∞ =−∞
= +∑ ∑
(2.87)
où :
2, , 0s k h rs sjhpτ µ µ σ= Ω (2.88)
• Calcul des coefficients de Fourier du potentiel vecteur
Les constantes ( ), ,i
s k hA et ( ), ,i
s k hB , qui interviennent dans les expressions du potentiel vecteur
développées dans chaque région de la machine (équations (2.73), (2.76), (2.82), (2.84) et
(2.87)), peuvent être déterminées en appliquant les mêmes conditions aux limites utilisées
dans le calcul du champ à vide. Ces conditions sont exprimées dans ce cas par (où i=1, 2, 3
et 4) :
1
1 1
1 1
6
(1)
( ) ( 1)
1
( ) ( 1)
(5)
( , , ) / 0
1 1( , , ) / ( , , ) /
( , , ) / ( , , ) /
( , , ) 0
i i
i i
s r r r
i is r s rr r r ri i
i is r s rr r r r
s r r r
A r t r
A r t r A r t r
A r t A r t
A r t
θ
θ θµ µ
θ θ θ θ
θ
+ +
+ +
=
+
= =+
+
= =
=
∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂∂ ∂ = ∂ ∂
=
(2.89)
Chapitre 2 81
Il est important de rappeler que la solution du champ dans la frette a été déterminée pour
deux cas (k ≠ –h et k = − h) et que celle dans la zone du bobinage a été aussi développée
pour deux autres cas différents (α =kp≠2 et α =kp=2). Cela conduit alors à quatre cas
distincts. L’application des conditions aux limites aux équations de ces solutions et à celles
trouvées dans la zone d’aimant, d’entrefer et de bobinage conduit à 4 systèmes linéaires
composés chacun de 10 équations avec 10 inconnues. En résolvant ces quatre systèmes,
nous déduisons les 10 constantes ( ), ,i
s k hA et ( ), ,i
s k hB correspondantes à la contribution de chaque
combinaison d’harmoniques de temps h et d’espace k dans le potentiel vecteur exprimé
dans chaque région de la machine.
2.6.3 Résultats du problème électromagnétique
La méthode du calcul analytique du champ de réaction d’induit a été appliquée pour la
machine MSE-1 présentée dans l’annexe B.1. Dans ce calcul, la machine est supposée être
alimentée par des courants de formes d’ondes rectangulaires avec une amplitude de courant
continu Idc=6.3 A. Comme la frette de cette machine est non conductrice, seuls les courants
de Foucault induits dans la culasse du stator sont considérés.
La figure 2.8 présente les composantes radiales et tangentielles de l’induction au centre de
chaque région de la machine en fonction de l’angle mécanique au stator. Ces composantes
sont tracées pour l’instant où le champ tournant de réaction d’induit est perpendiculaire
(électriquement) à l’axe de la phase a qui est pris comme origine de phase. Nous
remarquons que l’induction radiale dans toute la structure de la machine augmente quand le
rayon diminue et que l’induction au milieu du bobinage est plus affectée par l’effet des
encoches. D’un autre côté, l’effet de la réaction des courants de Foucault sur la répartition
de l’induction est moins visible vu que la conductivité du matériau SMC considéré (Mat-1)
est plus faible.
La figure 2.9 compare la distribution de la densité des courants de Foucault générés par les
courants d’induit à différents rayons dans la culasse du stator de la machine MSE-1 pour
deux types de matériaux SMC : un matériau moins conducteur (Mat-1) et un autre plus
conducteur (Mat-2). Cette densité est déterminée en appliquant la relation suivante :
Chapitre 2 82
(5) (5)
,( , ) ( , )( , ) s r s r
cs s r sA r A rJ r
tθ θθ σ
θ ∂ ∂
= − − Ω ∂ ∂ (2.90)
Cette figure montre que l’effet de peau sur la distribution des courants induits dans le
matériau SMC le plus conducteur est plus prononcé. De plus, cet effet est plus visible que
dans un fonctionnement à vide puisque le bobinage, qui représente la source du champ, est
juxtaposé à la culasse du stator.
Figure 2.8 : Composantes (a) radiales et (b) tangentielles de l’induction de réaction d’induit au
milieu de chaque zone de la machine pour une vitesse de 20000 rpm
Figure 2.9 : Densités des courants de Foucault dues aux courants statoriques dans la culasse du stator à différents rayons pour deux types de matériaux SMC : (a) moins conducteur (Mat-1) et (b)
plus conducteur (Mat-2) à une vitesse de 20000 rpm
0 1 2 3 4 5 6-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Angle mécanique [rad]
Indu
ctio
n ra
dial
e [T
]
AimantsFretteEntreferBobinageCulasse stator
(a)
0 1 2 3 4 5 6
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
Angle mécanique [rad]
Indu
ctio
n ta
ngen
tielle
[T]
AimantsFretteEntreferBobinageCulasse stator
(b)
0 1 2 3 4 5 6-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
Angle mécanique [rad]
Den
sité
de
cour
ant [
A/m
2 ]
r=r6
(a)
r=r5
0 1 2 3 4 5 6-6
-4
-2
0
2
4
6x 104
Angle mécanique [rad]
Den
sité
de
cour
ant [
A/m
2 ]
(b)
r=r5
r=r6
Chapitre 2 83
2.7 Calcul analytique du champ électromagnétique en charge
Le champ magnétique en charge est déterminé à partir du potentiel vecteur total dans
chaque région de la machine. Selon l’hypothèse adoptée sur la linéarité des matériaux, ce
potentiel est calculé comme la somme du potentiel vecteur dû aux aimants et de celui
produit par les courants circulant dans le bobinage :
= +tot m sA A A
(2.91)
Afin d’effectuer les calculs des différents grandeurs électromagnétiques caractérisant le
fonctionnement de la machine, nous devons exprimer le potentiel vecteur en charge dans
les deux référentiels de la machine liés respectivement au rotor et au stator.
• Potentiel vecteur au référentiel du rotor
Les expressions des potentiels vecteurs à vide et de réaction d’induit développées
précédemment dans les parties 2.5 et 2.6 sont exprimées dans le référentiel du rotor dans
chaque région i de la machine. Nous pouvons alors les réécrire sous les formes générales
suivantes :
( ) ( ),( , ) ( ). rjkpi i
m r m kk
A r R r e θθ+∞
=−∞
= ∑ (2.92)
( )( ).( ) ( ), , ,( , , ) ( ) r hj kp k h p ti i
s r s k h k hk h
A r t R r J e θ ϕθ+∞ +∞
+ + Ω −
=−∞ =−∞
= ∑ ∑
(2.93)
Dans ce cas, le potentiel vecteur total s’obtient par :
( ) ( ) ( )( , , ) ( , ) ( , , )i i itot r m r s rA r t A r A r tθ θ θ= + (2.94)
• Potentiel vecteur au référentiel du stator
En effectuant un changement de référentiel du rotor au stator à l’aide de l’équation (2.1),
les potentiels vecteurs à vide et de réaction d’induit deviennent :
( ).( ) ( ),( , , ) ( ). sjkp ti i
m s m kk
A r t R r e θθ+∞
−Ω
=−∞
= ∑ (2.95)
Chapitre 2 84
( ).( ) ( ), , ,( , , ) ( ) s hj kp hp ti i
s s s k h k hk h
A r t R r J e θ ϕθ+∞ +∞
+ Ω −
=−∞ =−∞
= ∑ ∑
(2.96)
Ainsi, le potentiel vecteur total est calculé comme suit :
( ) ( ) ( )( , , ) ( , , ) ( , , )i i itot s m s s sA r t A r t A r tθ θ θ= + (2.97)
Dans un objectif de validation, nous utilisons la même machine MSE-1 utilisée
précédemment lors du calcul du champ à vide et de celui de réaction d’induit. Les figures
2.10 et 2.11 présentent respectivement les courbes des deux composantes de l’induction au
milieu de chaque zone de la machine et celles de la distribution des courants de Foucault
dans la culasse du stator. Ces courbes sont tracées pour un angle de commande ψ nul (angle
entre la force électromotrice et le fondamental du courant). À partir de ces courbes, nous
pouvons remarquer clairement l’effet de la réaction d’induit transversale produit par les
courants d’alimentation sur l’induction et les courants de Foucault dans la culasse du stator.
Figure 2.10 : Composantes (a) radiales et (b) tangentielles de l’induction en charge au milieu de
chaque zone de la machine pour une vitesse de 20000 rpm et un angle ψ = 0
0 1 2 3 4 5 6
-1
-0.5
0
0.5
1
Angle mécanique [rad]
Indu
ctio
n ra
dial
e [T
]
AimantsFretteEntreferBobinageCulasse stator
(a)
0 1 2 3 4 5 6-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Angle mécanique [rad]
Indu
ctio
n ta
ngen
tielle
[T]
AimantsFretteEntreferBobinageCulasse stator
(b)
Chapitre 2 85
Figure 2.11 : Densités des courants de Foucault dues aux aimants et aux courants statoriques dans la culasse du stator à différents rayons pour deux types de matériaux SMC : (a) moins conducteur
(Mat-1) et (b) plus conducteur (Mat-2) à une vitesse de 20000 rpm et un angle ψ = 0
2.8 Détermination des grandeurs électromagnétiques caractéristiques
La modélisation électromagnétique analytique de la machine effectuée précédemment en
termes de potentiels vecteurs est utilisée dans cette partie afin de calculer les différentes
grandeurs électromagnétiques et paramètres de la machine : flux à vide, force
électromotrice, inductances, résistances et couple électromagnétique. Ces grandeurs
électromagnétiques, utilisées pour développer le modèle de dimensionnement de la
machine, sont exprimées en fonction des dimensions géométriques et des caractéristiques
des matériaux.
2.8.1 Calcul du flux à vide et de la force électromotrice
Le flux à vide embrassé par un enroulement de la machine peut être déterminé à partir de
l’expression du potentiel vecteur à vide produit par les aimants dans la zone du bobinage
(i=4) et de la densité surfacique de la répartition spatiale des conducteurs C(θ) de cet
enroulement. Si nous considérons une spire appartenant à cet enroulement de surface So
délimité par un contour Co, le flux capté par cette spire est donné par :
o o
sp S Cd dφ = =∫∫ ∫B s A l
(2.98)
0 1 2 3 4 5 6-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4x 104
Angle mécanique [rad]
Den
sité
de
cour
ant [
A/m
2 ]
r=r6
r=r5
(a)
0 1 2 3 4 5 6-6
-4
-2
0
2
4
6x 105
Angle mécanique [rad]
Den
sité
de
cour
ant [
A/m
2 ] r=r5
r=r6
(b)
Chapitre 2 86
Compte tenu de l’hypothèse de 2D et de la symétrie du potentiel vecteur, ce flux peut être
déterminé en considérant la contribution des deux conducteurs de la spire. Il vient alors :
(4)2 ( , , )sp mA r t Lφ θ= (2.99)
où L est la longueur axiale de la culasse du stator de la machine.
Si nous considérons un élément de surface de l’enroulement de la phase υ, le nombre de
conducteurs contenu dans cet élément est Cυ(θ).r.dr.dθ. Ainsi, la contribution de ce dernier
dans le flux embrassé par la phase υ est donnée par :
(4), ( , , ). . ( ). . .m md A r t L C r dr dυ υφ θ θ θ= (2.100)
Étant donné que la densité des conducteurs Cυ(θ) est nulle dans les parties non occupées par
les conducteurs de l’enroulement considéré dans la zone du bobinage, le flux totalisé dans
la phase υ peut donc être calculé à partir de la double intégration suivante :
5
4
2 (4), 0
( ) ( , , ) ( ). . .r
m mrt L A r t C r dr d
π
υ υφ θ θ θ= ∫ ∫ (2.101)
où r4 et r5 représentent respectivement le rayon interne et externe de la zone du bobinage.
Afin de calculer cette intégrale, il est essentiel d’utiliser l’expression du potentiel vecteur à
vide (4)mA exprimée dans le référentiel du stator (équation (2.95)) puisque la densité des
conducteurs a été développée en considérant ce référentiel (cf. équation (2.35)). Dans ce
cas, le développement de la relation (2.101) conduit à l’expression suivante du flux
embrassé par le bobinage de la phase υ (υ =1, 2 ou 3) :
( )1 2.
(4) *, ,( ) .
jkp tp mk
m m kk
t L H ej
υ π
υδφ π
− +∞ Ω −
=−∞
= ∑
(2.102)
où :
( ) ( )
( )
2 24 5 4 52 (4) * (4) *
5 , ,
(4) *, 2
4 52 (4) * (4) * 55 , ,
4
1 / 1 /si 2
2 2
1 /ln si 2
2
m k m k
m k
m k m k
r r r rr A B k p
Hr r rr A B k p
r
α α
α
αα α
αα
+ −
+
− − + = ≠
+ − = − + = = +
(2.103)
Chapitre 2 87
L’expression (2.102) montre que le flux à vide capté par le bobinage de la phase considérée
est variable dans le temps. Cette variation est à l’origine de la création d’une force
électromotrice (fem) aux bornes du bobinage dont l’expression peut être obtenue à partir
de la loi de Faraday en considérant une convention récepteur :
,( ) mde t
dtυ
υ
φ= (2.104)
En dérivant le flux à vide par rapport au temps, nous obtenons :
( )1 2.
(4) *,( ) .
jkp tp m
k m kk
e t Lp k H eυ π
υ π δ −
+∞ Ω −
=−∞
= Ω ∑
(2.105)
Les expressions du flux à vide et de la fem, issues du calcul analytique développé, tiennent
compte de la contribution de tous les harmoniques impairs incluant ceux d’ordre 3. Chaque
harmonique d’ordre k dépend de l’interaction de chaque harmonique d’espace contenu dans
le potentiel vecteur à vide et de chaque harmonique d’espace issu de la distribution des
conducteurs du bobinage. Le calcul du flux à vide et de la fem prend aussi en compte l’effet
des répartitions radiales et tangentielles de l’induction et du bobinage au niveau de
l’entrefer magnétique entre les culasses du rotor et du stator. Ce calcul permet, en fait,
d’exclure les flux de fuite qui ne traversent pas le bobinage et de considérer les flux qui le
traversent totalement ou partiellement. Il faut noter aussi que, contrairement aux machines
classiques avec des stators faits en tôles laminées, les expressions du flux à vide et de la
fem développées précédemment considèrent l’effet de réaction des courants de Foucault
induits dans le matériau SMC de la culasse du stator.
La figure 2.12(a) présente la courbe de la fem induite aux bornes du bobinage d’une phase
de la machine MSE-1 tracée pour une vitesse de 20000 rpm. Cette fem comporte un certain
contenu harmonique dû aux répartitions spatiales des aimants et des conducteurs (cf. Fig.
2.12(b)). D’une manière générale, pour une machine donnée, le contenu harmonique de la
fem peut être contrôlé essentiellement par la largeur polaire des aimants et leurs formes et
par la distribution des enroulements dans la zone du bobinage (nombre d’encoches, type de
pas, largeur des encoches). D’un autre côté, la courbe de la fem tracée montre que l’effet
des courants de Foucault est très faible vu que le matériau SMC est moins conducteur.
Chapitre 2 88
Généralement, cet effet est moins significatif et peut être négligé même pour des machines
utilisant des matériaux SMC plus conducteurs et ayant des performances acceptables. Ce
résultat a été déduit à partir de plusieurs tests effectués pour différents cahiers des charges.
Figure 2.12 : (a) Force électromotrice de la machine MSE-1 pour une vitesse de 20000 rpm et (b)
sa décomposition harmonique
2.8.2 Calcul de l’inductance synchrone du stator
L’inductance synchrone d’une machine électrique à aimants permanents est un paramètre
important car elle influence à la fois les performances fondamentales et dynamiques de
l’ensemble convertisseur-machine. Elle intervient dans la constante du temps électrique et
affecte la forme d’onde du courant que ce soit pour un fonctionnement avec un
convertisseur à commutation de tension ou avec un convertisseur à commutation de
courant. Cela a une influence directe sur le point de fonctionnement et les performances de
la machine comme le couple et les pertes.
Pour une machine sans encoches, l’inductance synchrone est généralement faible et
nécessite une évaluation plus précise dans un objectif de conception. Elle peut être
déterminée à partir d’un calcul analytique en une dimension (1D). Cependant, vu que
l’entrefer de ce type de machines est très large, un calcul en deux dimensions (2D) est
nécessaire afin d’assurer une meilleure précision [41], [93]. Cette inductance est différente
de celle d’une machine avec encoches puisqu’elle ne peut pas être divisée en une
inductance due au flux principal et une autre due aux flux de fuite au niveau de l’entrefer
[113]. De plus, elle devient plus complexe et dépend de la fréquence lorsque la machine
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3x 10-3
-60
-40
-20
0
20
40
60
Temps [s]
fem
[V]
(a)
0 1 3 5 7 99 11 13 15 17 19 21 23 250
10
20
30
40
50
60
Rang d'harmonique
Am
plitu
de [V
]
(b)
Chapitre 2 89
contient des pièces massives conductrices (stator en SMC et/ou frette conductrice) où des
courants de Foucault sont induits. Dans ce contexte, nous pouvons calculer directement
cette inductance comme la somme d’une inductance cyclique, qui tient compte des flux de
fuite d’entrefer et des effets des courants de Foucault, et d’une inductance de fuite des têtes
de bobines.
2.8.2.1 Inductance cyclique d’entrefer
Cette inductance peut être déterminée soit par un calcul de l’énergie magnétique totale
stockée dans le volume actif de la machine [93] ou par une évaluation du flux magnétique
produit par les courants d’alimentation des trois phases et embrassé par le bobinage d’une
seule phase [41]. En utilisant la deuxième méthode, le flux vu par l’enroulement de la phase
υ peut être calculé à partir de l’intégration du potentiel vecteur de réaction d’induit dans la
zone du bobinage suivant une expression similaire à celle donnée par l’équation (2.101) où
les quantités doivent être exprimées dans le référentiel du stator :
5
4
2 (4), 0
( ) ( , , ) ( ). . .r
s s s s srt L A r t C r dr d
π
υ υφ θ θ θ= ∫ ∫ (2.106)
En remplaçant le potentiel vecteur et la densité des conducteurs par leurs expressions
respectives (2.84) et (2.35), et en développant l’intégrale précédente, nous trouvons une
expression qui fait intervenir les composantes harmoniques de temps du courant , ( )hI tυ
dans la phase considérée et les inductances cycliques harmoniques Lsc,k,h correspondant à la
combinaison de chaque harmonique de temps h et d’espace k de la FMM. Cette expression
a la forme suivante :
, , , ,1
( ) ( )s sc k h hh k
t L I tυ υφ+∞ +∞
=−∞ =
=
∑ ∑ (2.107)
où :
( ) 21
, ( )jh t
mh hI t I e
πω υ
υ
− − = (2.108)
et où l’expression de l’inductance cyclique harmonique est donnée en considérant
seulement la partie réelle qui est vraiment effective :
Chapitre 2 90
( )2 (4), , , ,
3 Real2sc k h k s k hL L Hπ δ=
(2.109)
Le terme (4), ,s k hH est exprimé par :
( ) ( )
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 24 5 4 5(4) (4)
, , , ,2
5 240 5
4 52
(4), , 4
4 5(4) (4) 5, , , ,
2 45
24 40 5
5 4 5 4 4 5
1 / 1 /2 2
si 2. 1 /
4 4
1 /ln
4 si. 1ln / ln / 1
16 4
s k h s k h
s k h
s k h s k h
r r r rA B
r k pr r r
Hr r rA B
rrr r r r r r r
α α
α αα
µα
µ
+ − − − +
+ − = ≠ − −
− = − +
− − + −
2k pα
= =
(2.110)
L’inductance cyclique de l’équation (2.109), calculée pour chaque combinaison
d’harmoniques de temps et d’espace, tient compte simultanément de l’effet des courants
induits dans la culasse SMC du stator et dans la frette du rotor. Elle dépend aussi de la
fréquence puisque les termes , ,s k hτ et , ,c k hτ , qui interviennent dans le calcul des constantes
(4), ,s k hA et (4)
, ,s k hB , sont variables en fonction de la fréquence. Si un convertisseur statique
(onduleur ou redresseur) est connecté à la machine, il verra, pour chaque harmonique de
temps de courant de rang h, une inductance cyclique Lsc,h correspondant à la somme des
inductances obtenues pour chaque harmonique d’espace k :
, , ,1
sc h sc k hk
L L+∞
=
= ∑ (2.111)
Le tableau 2.3 présente les composantes harmoniques Lsc,h de l’inductance cyclique
correspondant à chaque harmonique de courant h. Ces résultats sont donnés pour la
machine MSE-1 en considérant deux configurations :
• Le matériau SMC de la culasse du stator est conducteur (σs=3400 s/m) et la frette
est non conductrice (σc=0) ;
• Le matériau SMC est non conducteur (σs=0) et la frette est conductrice (en cuivre :
σc=5.8×107s/m).
Chapitre 2 91
Nous pouvons remarquer que, pour la première configuration, l’inductance cyclique ne
varie pas beaucoup et reste pratiquement constante quand la fréquence des harmoniques
augmente. Cela est dû au faible effet des courants de Foucault induits dans la culasse du
stator par les trois courants d’alimentation. Cependant, lorsque la frette est conductrice, les
inductances vues par les harmoniques de courant de rangs élevés sont plus faibles que
l’inductance correspondant au fondamental du courant. Cela signifie que les courants
induits dans la frette commencent à faire un écran magnétique au champ de réaction
d’induit dès que le rang d’harmoniques commence à augmenter (à partir du 5ème
harmonique). L’inductance vue par les harmoniques de courant intervient directement dans
le processus de commutation du courant lorsque la machine est couplée à un convertisseur
à commutation de courant. Elle peut avoir une influence significative sur les performances
fondamentales et dynamiques de la machine dépendamment de l’épaisseur de la frette.
h 1 5 7 11 13 17 19 23 25 Cas 1 0.2977 0.2977 0.2977 0.2976 0.2976 0.2976 0.2976 0.2975 0.2975 Cas 2 0.2976 0.0667 0.0666 0.0647 0.0647 0.0642 0.0642 0.0639 0.0639
Tableau 2.3 : Composantes harmoniques de l’inductance cyclique correspondantes à chaque harmonique de courant de rang h : Lsc,h [mH]
2.8.2.2 Inductance de fuite
L’inductance de fuite d’une machine électrique est généralement considérée comme la
somme des inductances correspondant aux différents flux de fuite dus au courant
statorique : flux de fuite d’encoches, flux de fuite différentiel (ou flux de fuite d’entrefer) et
flux de fuite des têtes de bobines [114], [115]. Dans notre cas, puisqu’il s’agit d’une
machine sans encoches, l’inductance de fuite d’encoches et l’inductance de fuite d’entrefer
sont déjà prises en compte et incluses dans le terme des inductances cycliques calculé
précédemment (cf. équation (2.109)). Cependant, il reste à déterminer l’inductance
correspondante aux flux de fuites des têtes de bobines pour un enroulement de la machine.
Pour cela, nous utilisons un calcul analytique approximatif en négligeant le couplage
magnétique avec les têtes de bobines des autres enroulements. En fait, un calcul très précis
est loin d’être obtenu car les lignes de champ de fuite autour des têtes de bobines suivent
des trajets de formes complexes. Elles sont influencées par les conducteurs les plus proches
Chapitre 2 92
des bobines du même enroulement et des autres enroulements et éventuellement par le fer
voisin au stator. Des approximations sont donc nécessaires au niveau de la géométrie des
têtes de bobines et au niveau du champ magnétique qu’elles créent.
Afin d’effectuer ce calcul, nous considérons une machine comportant p paires de pôles, npp
encoches par pôle par phase et Nc conducteurs par encoches où nous supposons, dans un
premier temps, que le bobinage est réparti diamétralement. Dans ce cas, nous approximons
la forme des têtes de bobines à des demi-cercles dont le diamètre D est égal au pas polaire
τp calculé au niveau du rayon interne du bobinage (cf. Fig. 2.13(a)) [27], [116]. Ainsi, la
longueur moyenne correspondante à une tête de bobine peut être déterminée par :
2p
tbob tbobL kτ π
= (2.112)
où ktbob est un coefficient de correction de la longueur que nous pouvons ajouter afin de
prendre en compte la longueur réelle d’une tête de bobine. Ce coefficient peut être
déterminé expérimentalement à partir d’un prototype.
D=τp
d
D/2r
d/2
I
(a) (b)
Figure 2.13 : (a) Têtes de bobine d’un enroulement de la machine à pas diamétral et (b)
représentation cylindrique d’une tête de bobine
Nous supposons aussi que la distribution du champ magnétique autour d’une tête d’une
bobine est similaire à celle créée autour d’un cylindre de diamètre d et de longueur Ltbob
traversé par un courant I égal à Nc.iυ (cf. Fig.2.13(b)) où iυ est le courant circulant dans
Chapitre 2 93
l’enroulement de la phase υ [27], [116]. À un point distant de r de l’axe du cylindre, le
champ magnétique H crée par le courant I peut être exprimé par :
2
cN iHrυ
π= (2.113)
L’inductance de fuite correspondant à une tête de bobine peut être calculée en évaluant
l’énergie magnétique stockée dans l’air par le champ H :
/2
2 2 20 0
/2
/2.
Dtbob
s cvol d
L drL H dv i Nrσ υµ µ
π= =∫ ∫ (2.114)
Le calcul de cette intégrale conduit à :
20 ln
2tbob
s cL DL N
dσ µπ
=
(2.115)
Le diamètre d peut être déterminé à partir de la section de cuivre de la bobine dans une
encoche obtenue en divisant la section totale du cuivre du bobinage Scu par le nombre total
des encoches (pour un bobinage à pas diamétral à une seule couche) :
22
cu
pp
Sdm p n π
= (2.116)
où la section totale de cuivre du bobinage Scu est calculée comme le produit de la section
totale d’encochage Se et du coefficient de remplissage des encoches Ku :
cu u eS K S= (2.117)
Étant donné qu’un enroulement de la machine est composé de 2.p.npp têtes de bobines
correspondantes à Nsp spires par phase, l’inductance totale de fuite des têtes de bobines par
phase s’écrit alors :
2 2
02 . ln8 2
sp p pp ps
pp u e
N m p nL
p n K Sσ
τ π τµ
=
(2.118)
Pour une machine ayant un bobinage à pas raccourci à doubles couches, l’enroulement
d’une phase comporte 4.p.npp têtes de bobines. Dans ce cas, leur inductance de fuite totale
est calculée à partir de l’expression suivante :
Chapitre 2 94
2 2 2
0. ln8
sp p acc pp p accs
pp u e
N R m p n RL
p n K Sσ
τ π τµ
=
(2.119)
où Racc désigne le coefficient de raccourcissement du pas de bobinage.
2.8.3 Calcul de la résistance du stator
Étant donné que la machine sans encoches fonctionne en haute vitesse et que son bobinage
statorique est directement plongé dans un champ magnétique variable, des courants de
Foucault sont développés dans les conducteurs de l’induit et conduisent à des pertes Joule
supplémentaires. Deux phénomènes sont liés à l’induction de ces courants de Foucault [96],
[117] :
• L’effet de peau où les courants de Foucault sont induits dans chaque conducteur de
l’induit par la variation à haute fréquence du courant qui y circule ;
• L’effet de proximité résultant de l’induction des courants de Foucault dans chaque
conducteur, d’une part, par la variation d’un champ magnétique externe au bobinage
dû aux aimants permanents tournants, et d’autre part, par la variation d’un champ
interne créé par les courants circulant dans les autres conducteurs.
Ces deux effets conduisent à une distribution non uniforme de la densité du courant dans
les conducteurs et contribuent à l’augmentation de la résistance apparente du stator. De ce
fait, la valeur de la résistance de phase totale de l’induit peut être calculée comme la somme
d’un premier terme constant responsable des pertes Joule classiques (valeur continue ou
DC de la résistance) et d’un deuxième terme variable avec la fréquence et qui est une
conséquence directe de l’effet de peau et de proximité (valeur alternative ou AC de la
résistance).
Pour calculer le premier terme de la résistance de phase du stator, nous déterminons tout
d’abord la résistance d’une seule spire à l’aide de la formule classique suivante qui tient
compte des dimensions géométriques des conducteurs :
2 2( ). tbobsp cu
cu
L LR Ts
ρ += (2.120)
Chapitre 2 95
où ρcu est la résistivité du cuivre qui dépend de la température T et Ltbob est la longueur
moyenne d’une tête de bobine déterminée à partir de l’équation (2.112) en introduisant
éventuellement le rapport de raccourcissement. Le terme scu représente la section d’un
conducteur qui peut être déterminée par :
2 2
cu u ecu
sp sp
S K SsmN mN
= = (2.121)
En considérant la somme des résistances de toutes les spires, la valeur continue de la
résistance totale d’une phase s’écrit :
20
2 2. 2 ( ). tbobs sp sp sp cu
u e
L LR N R mN TK S
ρ += = (2.122)
Le deuxième terme de la résistance du stator est calculé selon la formule suivante qui fait
intervenir les pertes Joule classiques PJ0 et les pertes supplémentaires dues à l’effet de peau
et de proximité PJext (cf. partie 3.2) :
00
Jextsext s
J
PR RP
= (2.123)
À présent, en utilisant les expressions développées pour les deux termes (2.122) et (2.123),
nous pouvons établir l’expression finale de la résistance d’une phase de l’induit et qui est
exprimée comme suit :
00
1 Jexts s
J
PR RP
= +
(2.124)
2.8.4 Calcul du couple électromagnétique
Le couple électromagnétique de la machine sans encoches est déduit à partir de la
distribution du champ magnétique résultant dans la région d’entrefer (zone 3). Sa valeur
instantanée peut être calculée en intégrant le Tenseur de Maxwell sur une surface
cylindrique S, de rayon r0, située dans l’entrefer et entourant la frette, les aimants et la
culasse du rotor. La force exercée sur cette surface s’exprime par :
( )S
F T dS= ∫∫
(2.125)
Chapitre 2 96
où T
est le Tenseur de Maxwell que nous réduisons ici à un vecteur :
( ) 20
12
T nH H nHµ = −
(2.126)
H
est le champ magnétique total et n est le vecteur unitaire normal à la surface S.
Le développement de l’expression (2.125) permet d’exprimer la composante tangentielle
Fθ de la force en fonction des composantes radiale Hr et tangentielle Hθ du champ
magnétique et de déduire, par la suite, l’expression qui permet de calculer le couple
électromagnétique de la machine :
22
0 0 0 0 0( ) 0( )em r rS
T t F r r H H dS Lr H H dπ
θ θ θµ µ θ= = =∫∫ ∫
(2.127)
En utilisant l’expression du potentiel vecteur total exprimée dans le référentiel du stator (cf.
équation (2.97)), l’expression du couple devient :
0 0
(3) (3)200
0
( , , ) ( , , )( ) tot s tot sem s
sr r r r
Lr A r t A r tT t dr
π θ θ θµ θ
= =
∂ ∂= −
∂ ∂∫ (2.128)
Après tout calcul, nous obtenons l’expression finale du couple électromagnétique
instantané exprimée comme suit :
2
(3) * (3), ,
0
4( ) .Imag ( ) . ( )em tot k tot kk
LpT t k k A t B tπµ
+∞
=−∞
= ∑ (2.129)
où :
( )
( )
.(3) (3) . (3), , , , ,
.(3) (3) . (3), , , , ,
( )
( )
h
h
j hp tjkp ttot k m k s k h k h
h
j hp tjkp ttot k m k s k h k h
h
A t A e A J e
B t B e B J e
ϕ
ϕ
+∞Ω −− Ω
=−∞
+∞Ω −− Ω
=−∞
= +
= +
∑
∑
(2.130)
Le couple électromagnétique instantané est créé par l’interaction des harmoniques d’espace
k du champ magnétique à vide et des harmoniques de temps et d’espace du champ
magnétique de réaction d’induit dont les rangs h et k vérifient la relation 6 ,k h l l± = ∈ .
En fait, ce couple tient compte de l’interaction entre les différentes sources de champ mises
Chapitre 2 97
en jeu au niveau du rotor et du stator de la machine sans encoches : les aimants permanents,
les courants de Foucault induit dans la frette conductrice, les courants d’alimentation du
stator et les courants de Foucault induits dans la culasse du stator par les aimants et par les
courants statoriques.
La forme d’onde du couple instantané a une composante continue correspondant au couple
moyen Tem0 et une composante alternative qui représente les ondulations du couple ∆Tem(t).
Le couple moyen peut être déterminé en calculant l’intégrale suivante :
2
0 0
1 ( )2em emT T t dt
π
π= ∫ (2.131)
Il vient alors :
( )
2 (3) * (3) 2 2 (3) * (3), , , , , , ,2
1 1 10
2 (3) * (3) (3) * (3)0, , , , , , ,
1
.Imag ( ) . ( ) .Imag ( ) . ( )8
.Imag ( ) . ( ). ( ) . ( )h h
m k m k k h s k h s k hk k h
emj j
h h m h s h h s h h m hh
k A t B t k J A t B tLpT
h J A t B t e A t B t eϕ ϕ
πµ
+∞ +∞ +∞
= = =
+∞−
=
+ = + − +
∑ ∑∑
∑
(2.132)
Les ondulations du couple peuvent être déterminées directement par une simple
soustraction de la valeur moyenne du couple électromagnétique de sa valeur instantanée :
0( ) ( )em em emT t T t T∆ = − . Ces ondulations ont des pulsations 6pΩ, 12pΩ, 18pΩ, …
Le développement de l’expression du couple électromagnétique instantané (2.129) permet
de mettre en évidence différents termes dont les valeurs moyennes sont représentées dans
l’équation (2.132). L’analyse de ces termes permet d’expliquer les différentes interactions
qui contribuent à la création du couple moyen et des ondulations :
• Le premier terme du couple instantané correspond à l’interaction entre la
composante radiale Hm,r et tangentielle Hm,θ du champ magnétique à vide :
1 , ,( )em m r mT t H H θ⇔ . Autrement dit, il correspond à l’interaction entre les champs
magnétiques produits par les aimants permanents et par les courants de Foucault
induits par ces aimants dans la culasse du stator. Les harmoniques des courants de
Foucault tournent à la même vitesse que celle du rotor. Ainsi, le terme du couple
Tem1(t) présente une valeur moyenne non nulle qui correspond à un couple de
Chapitre 2 98
freinage (cf. premier terme de l’équation (2.132)). Cependant, il présente des
ondulations nulles puisque les harmoniques des courants de Foucault sont
synchrones avec ceux de la source de champ (aimants) qui les ont créés ;
• Le deuxième terme est dû à l’interaction entre les deux composantes radiale et
tangentielle du champ magnétique de réaction d’induit : 2 , ,( )em s r sT t H H θ⇔ . Il
tient compte de l’interaction, d’un côté, des courants de Foucault induits dans la
frette, et de l’autre côté, des courants au bobinage du stator et des courants de
Foucault induits dans la culasse du stator par ces courants d’alimentation.
Le terme du couple Tem2(t) n’est effectif (non nul) que pour les combinaisons des
harmoniques de temps et d’espace telles que k h≠ et qui correspondent à des
champs tournants de réaction d’induit asynchrones avec la frette. Il présente une
valeur moyenne non nulle, correspondante au 2ème terme de l’équation (2.132),
malgré qu’il n’y a pas de synchronisme entre les champs tournants et la frette. Cela
s’explique facilement en imaginant que la machine sans encoches munie de la frette
conductrice se comporte comme une machine asynchrone pour chaque combinaison
d’harmoniques de temps et d’espace de la FMM du stator. En fait, chaque champ
tournant harmonique au niveau du stator crée un autre champ tournant qui lui est
synchrone au niveau de la frette et dont l’interaction produit un couple moyen non
nul. Dans ce cas, la puissance fournie du stator à la frette à travers l’entrefer, et qui
correspond au couple moyen, contient deux composantes similaires à celles d’une
machine asynchrone : une puissance électrique dissipée dans la frette sous forme de
pertes Joule et une puissance mécanique exercée sur la frette. Le terme du couple
Tem2(t) présente aussi une composante ondulatoire créée lorsque les champs
harmoniques tournants produits par les courants d’alimentation et les courants de
Foucault dans la culasse statorique sont asynchrones avec ceux créés par les
courants induits dans la frette ;
• Le troisième terme du couple est tel que : 3 , , , ,( )em m r s s r mT t H H H Hθ θ⇔ + . C’est le
plus important terme et qui est dû essentiellement à l’interaction entre les aimants et
les courants circulant dans le bobinage de la machine. Il correspond au couple
classique que nous calculons généralement dans une machine électrique dont la
Chapitre 2 99
culasse du stator est supposée non conductrice. Cependant, quand la culasse est
conductrice, ce terme de couple tient compte aussi de l’interaction entre les aimants
et les courants de Foucault induits dans la culasse par les courants d’alimentation du
bobinage. La valeur moyenne de ce terme est obtenue en considérant seulement les
combinaisons des harmoniques de temps et d’espace qui sont synchrones avec le
rotor et pour lesquels k h= . Les autres combinaisons d’harmoniques qui ont un
mouvement relatif par rapport au rotor contribuent aux ondulations du couple.
Le couple électromagnétique peut aussi être calculé en effectuant la somme de toutes les
forces de Laplace qui s’exercent sur les conducteurs de l’ensemble du bobinage.
L’expression permettant de le calculer est telle que :
5
4
2 (3) 2,0
( ) . ( , , ) ( , )r
em m r s s s srT t L B r t J t r drd
πθ θ θ= ∫ ∫ (2.133)
où (3),m rB est la composante radiale de l’induction à vide dans la zone d’entrefer et Js est la
densité totale des courants statoriques.
En appliquant cette deuxième méthode, nous avons remarqué qu’elle conduit à un résultat
moins précis que celui donné par la méthode du Tenseur de Maxwell. Elle ne tient pas
compte des différentes interactions des courants de Foucault induits dans les parties
massives conductrices (frette et culasse statorique) avec les autres sources de champ.
La figure 2.14 présente la forme d’onde du couple électromagnétique instantané ainsi que
ses deux principales composantes (couple moyen et ondulations) développées dans la
machine MSE-1. Ces résultats sont donnés lorsque la machine est alimentée par des
courants de formes d’ondes rectangulaires (similaires à ceux utilisés dans le paragraphe
2.6.3) avec un angle de commande ψ nul. Nous remarquons que les ondulations du couple
ont une pulsation prépondérante de 6pΩ. Ces ondulations peuvent devenir très importantes
lorsque l’angle ψ augmente positivement ou diminue négativement.
Chapitre 2 100
Figure 2.14 : Couple électromagnétique instantané Tem(t), couple moyen Tem0 et ondulations du
couple ∆Tem(t) de la machine MSE-1 pour une vitesse de 20000 rpm
Il est intéressant de noter que le couple électromagnétique moyen que nous avons calculé
pour la machine sans encoches généralisée correspond à celui mis en jeu au niveau de
l’entrefer. Il tient compte, en plus du couple d’interaction entre les aimants et le bobinage,
du couple correspondant aux pertes par courants de Foucault dans la culasse du stator et
dans la frette. Dans ce cas, afin d’obtenir le couple net délivré sur l’arbre de la machine
fonctionnant en moteur, il suffit de soustraire les couples correspondants aux pertes
d’hystérésis et aux pertes mécaniques (cf. chapitre 3) du couple moyen calculé. Cependant,
quand la machine fonctionne en générateur, il faut ajouter ces deux derniers couples au
couple moyen pour déterminer le couple d’entrée de la machine fourni par le moteur
d’entraînement.
2.9 Validation par calcul numérique du champ en 2D
Dans cette partie, nous présentons une validation de la modélisation électromagnétique
analytique des machines sans encoches proposée dans cette thèse en confrontant les
résultats analytiques obtenus avec ceux issus des simulations en calcul numérique du
champ en 2D. Cette validation est effectuée en termes de distribution de l’induction
magnétique, d’inductance cyclique et de couple électromagnétique en considérant la
machine MSE-1 dont les trois phases sont alimentées par les mêmes courants considérés
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 10-3
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Temps [t]
Cou
ple
[Nm
]
Tem
(t)
Tem0
∆ Tem
(t)
Chapitre 2 101
précédemment. Rappelons que la frette de cette machine est toujours considérée
amagnétique et non conductrice.
Le calcul numérique du champ de la machine a été effectué en magnétodynamique avec
une méthode de pas à pas dans le temps, en considérant le mouvement et en négligeant la
saturation. Notons qu’un maillage plus fin de la machine a été utilisé de manière à tenir
compte plus précisément de l’effet de peau lié à la pénétration des courants de Foucault
dans les parties massives conductrices (culasse du stator en SMC).
Les figures 2.15(a) et 2.15(b) donnent une idée sur la répartition spatiale des lignes du
champ magnétique et de la densité des courants de Foucault circulant dans la culasse du
stator, et qui sont obtenues pour un fonctionnement en charge de la machine (pour ψ=0) à
l’aide du logiciel Difimedi [118]. Ces figures montrent clairement l’effet de la réaction
d’induit, qui est transversale, sur le champ magnétique et les courants de Foucault. La
pénétration et la distribution de ces courants induits dépendent essentiellement des
caractéristiques physiques du matériau SMC (conductivité, perméabilité), de la forme
géométrique de la culasse du stator et des sources du champ.
Figure 2.15 : Distribution spatiale (a) des lignes de champ magnétique dans la structure de la
machine MSE-1 et (b) de la densité des courants induits dans la culasse du stator pour une vitesse de 20000 rpm
2.9.1 Induction magnétique
La figure 2.16 compare les composantes radiales et tangentielles de l’induction à vide (due
aux aimants) et de l’induction de réaction d’induit (due aux courants statoriques) calculées
Chapitre 2 102
analytiquement avec celles obtenues à partir des simulations en calcul numérique du champ
en 2D. Ces inductions sont calculées au milieu de l’entrefer de la machine sans encoches
pour une vitesse de rotation de 20000 rpm. À partir de cette figure, nous pouvons observer
une parfaite concordance entre les résultats obtenus par les deux méthodes.
D’autres validations, non présentées dans cette thèse, ont été effectuées pour l’induction au
niveau des autres régions de la machine. La référence [119], par exemple, présente une
validation des deux composantes de l’induction en charge et de son amplitude au niveau de
la culasse du stator.
Figure 2.16 : Comparaison de composantes radiales et tangentielles des inductions dues (a) aux
aimants permanents et (b) aux courants d’alimentation du bobinage, obtenues au milieu de l’entrefer par les calculs analytique et numérique du champ
2.9.2 Inductance
Afin de valider le calcul analytique de l’inductance cyclique de la machine (cf. équation
(2.111)) ainsi que son comportement vis-à-vis de chaque harmonique de courant par le
calcul numérique du champ en 2D, nous avons relevé et comparé la réponse fréquentielle
de cette inductance en utilisant les deux méthodes de calcul du champ. La figure 2.17
présente les résultats de cette comparaison où les deux matériaux SMC Mat-1 et Mat-2 sont
considérés. Ce dernier matériau est utilisé puisqu’il est plus conducteur et l’effet de la
fréquence sur l’inductance est plus prononcé.
Pour déterminer l’inductance cyclique à partir du calcul numérique du champ, trois
simulations en magnétodynamique ont été effectuées en alimentant la machine par des
0 1 2 3 4 5 6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Angle mécanique [rad]
Indu
ctio
n à
vide
[T]
Calcul analytique Calcul numérique
(a)
Radiale
Tangentielle
0 1 2 3 4 5 6-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
Angle mécanique [rad]
Indu
ctio
n de
réac
tion
d'in
duit
[T]
Calcul analytiqueCalcul numérique
(b)
Tangentielle
Radiale
Chapitre 2 103
courants sinusoïdaux dont, à chaque simulation, la fréquence correspond à celles des
harmoniques de rangs 1, 29 et 149. L’inductance est ensuite déduite de l’impédance de la
machine calculée à partir de la mesure de la tension et du courant d’une phase. On note que,
dans chaque simulation, une résistance a été ajoutée en série avec chaque phase de la
machine de manière à adapter l’impédance et assurer une meilleure précision lors du calcul
de l’inductance.
L’analyse de la figure 2.17 permet de constater qu’il y a une bonne coïncidence entre les
résultats obtenus par les deux méthodes du calcul du champ et cela sur pratiquement toute
la plage du domaine fréquentiel. Dans le cas du matériau Mat-1, l’inductance cyclique reste
presque constante quand la fréquence augmente. Un résultat différent est constaté lorsqu’il
s’agit du deuxième matériau Mat-2. En fait, quand la fréquence augmente, le champ
magnétique ne pénètre pas profondément dans la culasse à cause de l’effet écran crée par
les courants de Foucault.
Figure 2.17 : Comparaison des réponses fréquentielles de l’inductance cyclique de la machine obtenues par les calculs analytique et numérique du champ pour les deux types de matériaux
SMC : Mat-1 et Mat-2
2.9.3 Couple électromagnétique
Le calcul analytique du couple électromagnétique a été aussi validé par une simulation de la
machine MSE-1 en calcul numérique du champ en considérant que la forme d’onde de la
fem et celle du courant d’induit sont en phase (l’angle ψ est nul). La figure 2.18 présente
100 101 102 103 104 1050
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Fréquence [Hz]
Indu
ctan
ce [m
H] Mat1
Mat12
Chapitre 2 104
les formes d’ondes du couple électromagnétique instantané obtenues par les deux
approches de calcul sur une seule période de fonctionnement de régime permanent. Une
excellente concordance entre les résultats peut être remarquée à partir de cette figure.
Figure 2.18 : Comparaison des formes d’onde du couple électromagnétique instantané obtenues
par les calculs analytique et numérique du champ pour une vitesse de 20000 rpm
2.10 Conclusion
Nous avons présenté, dans ce chapitre, une méthode analytique de modélisation
électromagnétique des machines sans encoches à aimants permanents à haute vitesse. Cette
méthode a été généralisée en considérant plusieurs topologies de machines sans encoches à
pôles lisses avec différentes configurations au niveau du bobinage et de l’aimantation des
aimants (radiale, parallèle ou de type Halbach). La méthode de modélisation met en œuvre
un calcul analytique en deux dimensions de la distribution du champ magnétique dans la
structure de la machine produit par les aimants au rotor et les courants d’alimentation au
stator. Ce calcul est effectué par une résolution des équations du champ en
magnétodynamique en termes de potentiel vecteur en tenant compte des courants de
Foucault induits dans les parties massives conductrices (stator en SMC et frette
conductrice) et des harmoniques de temps et d’espace des forces magnétomotrices. Notons
qu’en pratique, les expressions des potentiels vecteurs dans les différentes zones
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3x 10-3
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Temps [t]
Cou
ple
[Nm
]
Calcul analytiqueCalcul numérique
Chapitre 2 105
constitutives de la machine ont été normalisées par rapport au rayon extérieur de chaque
zone afin d’assurer une certaine stabilité numérique lors de l’application de ces expressions.
La méthode de modélisation nous a permis de déterminer les expressions des diverses
grandeurs électromagnétiques de la machine en fonction des dimensions géométriques et
des caractéristiques des matériaux, des aimants et du bobinage. Une validation de cette
méthode a été effectuée par une confrontation des résultats analytiques obtenus avec ceux
issus du calcul numérique du champ en 2D. L’ensemble des résultats issus de cette
validation démontre bien la validité de l’approche de modélisation développée dans la
mesure où l’hypothèse 2D est respectée. Bien entendu, cette confirmation n’est pas
seulement basée sur l’exemple de la machine considérée MSE-1. De nombreuses
validations ont été réalisées sur d’autres machines pour différents cahiers des charges
comme présenté dans les références [95], [119] et [120].
La modélisation proposée est parfaitement adaptée à l’étude et à l’analyse des machines
sans encoches à aimants permanents. Le fait qu’elle permet de relier les expressions des
grandeurs électromagnétiques aux différentes dimensions et caractéristiques de la machine
et qu’elle assure un calcul rapide et précis, rend son utilisation très intéressante dans le
cadre d’une procédure d’optimisation itérative comme ce qui est proposé dans la suite de la
thèse.
Equation Chapter 3 Section 1
CHAPITRE III
3 CALCUL DES PERTES
3.1 Introduction
Dans les machines sans encoches à aimants permanents à haute vitesse, les pertes générées
sont très significatives par comparaison avec les pertes des machines tournant à basse
vitesse. Ces pertes, qui se manifestent sous forme de pertes Joule, de pertes magnétiques et
de pertes mécaniques au stator et au rotor, doivent être calculées d’une manière plus précise
pour garantir un dimensionnement thermique efficace de la machine.
Parmi ces pertes, les pertes par courants de Foucault induites dans les différentes parties de
la machine constituent une part importante. Elles ont une importance particulière à haute
vitesse car elles augmentent rapidement avec la fréquence. Au stator, ces pertes sont
produites principalement dans la culasse du stator (en SMC ou en tôles) et dans le bobinage
à cause de l’effet de peau et de proximité. Au rotor, elles sont induites dans la culasse du
rotor, dans les aimants et dans la frette conductrice. Par ailleurs, lorsque la culasse du stator
est réalisée en SMC, les effets de bord (effets 3D) peuvent avoir une influence significative
sur les pertes par courants de Foucault qui y sont induites. Ces pertes peuvent être
déterminées à partir d’un calcul du champ magnétique en 2D en supposant que la longueur
de la machine est infinie. Cependant, comme nous allons le montrer dans ce chapitre, cette
hypothèse simplificatrice conduit à un résultat imprécis pour une longueur axiale finie de la
machine puisque les effets 3D sur les pertes par courants de Foucault deviennent de plus de
plus significatives lorsque le rapport entre la longueur et le pas polaire diminue. Par
conséquent, pour avoir un dimensionnement optimal de la machine, nous devons tenir
Chapitre 3 107
compte des ces effets 3D tout en assurant, cependant, un bon compromis entre la précision
et le temps de calcul.
Dans ce chapitre, nous présentons le calcul des différentes pertes mises en jeu dans les
machines sans encoches étudiées. Nous effectuons, dans un premier temps, le calcul des
pertes Joule dans le bobinage du stator en considérant l’effet de peau et de proximité.
Ensuite, nous procédons au calcul analytique des pertes magnétiques en charge dans la
culasse du stator que ce soit pour des matériaux SMC ou des tôles laminées. Après avoir
établi le calcul des pertes par courants de Foucault dans les aimants permanents et dans la
frette conductrice et effectué une analyse de l’influence de la frette et de la segmentation
des aimants sur ces pertes, nous déterminons les pertes mécaniques dues à la friction de
l’air sur le rotor et au frottement dans les roulements. Le calcul analytique des pertes
magnétiques dans le stator en SMC est ensuite validé par des simulations en calcul
numérique du champ en 2D. Des simulations en calcul numérique du champ en 3D sont
aussi effectuées afin de quantifier l’influence des effets de bord sur les pertes par courants
de Foucault dans le matériau SMC. Dans cette deuxième validation, une méthode de
correction des pertes par courants de Foucault calculées en 2D est proposée en se basant sur
les résultats des simulations numériques en 3D qui peuvent être effectuées soit en
magnétodynamique en pas à pas dans le temps ou en complexe en régime permanent. Cette
méthode sera utilisée dans les procédures d’optimisation détaillées dans le chapitre 5. Une
validation expérimentale du calcul des pertes magnétiques à vide dans le stator en SMC est
présentée. Elle repose sur la mesure du couple résistant correspondant à ces pertes. Nous
effectuons, finalement, une analyse de l’influence de la conductivité du matériau SMC, de
l’épaisseur de la culasse du stator et de l’angle de commande sur les pertes magnétiques en
charge au stator.
3.2 Pertes Joule au stator
Les pertes Joule dans le bobinage du stator de la machine sans encoches sont calculées par
une approche conventionnelle qui consiste à effectuer la somme de deux composantes : une
première composante correspondant aux pertes Joule classiques dues à la valeur continue
de la résistance du stator, et une deuxième composante correspondant aux pertes par
Chapitre 3 108
courants de Foucault dues à l’effet de peau et de proximité [87]. Contrairement aux
machines conventionnelles, cette deuxième composante peut être significative dans les
machines sans encoches à haute vitesse à cause de la haute fréquence de fonctionnement et
du fait que les conducteurs sont directement exposés au champ magnétique produit par les
aimants tournants.
3.2.1 Pertes Joule correspondant à la résistance continue
Les pertes Joule dans le bobinage des trois phases de la machine correspondant à la
résistance continue peuvent être calculées en appliquant la formule classique suivante :
20 03J s effP R I= (3.1)
où Rs0 est la valeur continue de la résistance de l’enroulement d’une phase de la machine
dont l’expression est déterminée dans le chapitre 2 (cf. partie 2.8.3) et Ieff est la valeur
efficace du courant circulant dans une phase calculée en tenant compte de la contribution de
tous les harmoniques de temps suivant l’expression :
2
1,5,7,... 2h
effh
II+∞
=
= ∑
(3.2)
3.2.2 Pertes supplémentaires dues à l’effet de peau et de proximité
Les pertes supplémentaires dans les conducteurs du bobinage de la machine sont dues à la
fois à l’effet de peau et à l’effet de proximité. Les pertes dues à l’effet de peau peuvent être
déterminées à partir de l’évaluation de la valeur alternative de la résistance d’un simple
conducteur isolé en supposant que les pertes dues à l’effet de proximité sont nulles. Pour
des conducteurs en cuivre de section circulaire, de rayon rcu, de perméabilité µ0 et de
conductivité σcu, ces pertes supplémentaires peuvent être calculées par unité de longueur en
utilisant l’expression suivante [26], [96] :
3/2 3/2
201 03/2
1
( )[ / ] 3 real2 ( )
cuJext s rms
cu cu cu
j k I j k rP W m R Ir I j k r
δ δ
δπ σ
= − (3.3)
où I0 et I1 sont respectivement les fonctions de Bessel modifiées de première espèce d’ordre
0 et 1, et kδ est une constante liée à la profondeur de pénétration δ par le relation suivante :
Chapitre 3 109
02
cukδ ωµ σδ
= = (3.4)
Les pertes par courants de Foucault dues à l’effet de proximité sont calculées en négligeant
les pertes dues au champ magnétique interne produit par les courants statoriques (l’effet de
proximité entre les conducteurs eux-mêmes est négligé). Dans ce cas, les pertes restantes,
qui correspondent au champ magnétique externe tournant créé par les aimants permanents,
sont déterminées à partir du calcul des pertes induites dans un simple conducteur exposé à
un champ magnétique qu’on suppose, dans un premier temps, sinusoïdal (cf. Fig. 3.1). En
supposant que l’effet des courants de Foucault sur la distribution du champ magnétique est
négligé, la valeur moyenne des pertes dissipées dans un conducteur sont calculées en
intégrant le carré de la densité des courants de Foucault sur tout le volume de ce
conducteur. Il vient alors [88], [117] :
2 2 2
2 1 .8
cu cuJext c cu
B rP s Lω σ− =
(3.5)
où B
est la valeur maximale de l’induction dans le conducteur, scu est sa section et L est sa
longueur qui correspond à la longueur active de la machine.
En généralisant cette expression à tous les conducteurs de la machine sans encoches et en
considérant la contribution de chaque harmonique d’espace du champ magnétique de rang
k, les pertes supplémentaires dues à l’effet de proximité peuvent être évaluées à partir
de l’expression suivante [26], [121] :
( )2 2 2
2 22 , ,
1 8cu cu
Jext r k k cuk
k rP B B Vθω σ+∞
=
= +∑
(3.6)
où ,r kB
et ,kBθ
représentent respectivement les valeurs maximales des composantes radiale
et tangentielle de l’induction au milieu du bobinage correspondant à chaque harmonique
d’espace. Ces inductions peuvent être calculées directement à partir de la solution du
problème électromagnétique résolu dans le chapitre 2. Le terme Vcu représente le volume
total du cuivre du bobinage où Vcu=ScuL. Notons que seul le volume des conducteurs
exposés au champ magnétique est considéré sans prise en compte des têtes de bobines.
Chapitre 3 110
Dans les machines sans encoches à haute vitesse, les pertes par effet de proximité résultant
de la rotation des aimants permanents sont prépondérantes et souvent calculées seules en
négligeant les pertes dues à l’effet de peau [88], [122]. Lors du dimensionnement d’une
machine sans encoches pour un cahier de charges donné, l’utilisation des fils de Litz peut
être bénéfique car elle conduit à la diminution de l’ensemble de ces pertes et
éventuellement à l’augmentation du couple. Cela n’est pas toujours vrai puisque le
coefficient de remplissage des encoches devient plus faible et peut conduire, cependant, à
une diminution du couple. Dans le chapitre 6, une étude est effectuée montrant que le choix
optimal entre l’utilisation des fils de Litz ou des conducteurs standards dépend des
spécifications du cahier des charges, notamment de la vitesse de rotation.
+I
-I
BB
Figure 3.1 : Induction des courants de Foucault dans un conducteur exposé à un champ
magnétique alternatif externe
3.3 Pertes magnétiques au stator
Les pertes magnétiques au stator peuvent être très importantes dans les machines sans
encoches à haute vitesse. Elles se manifestent sous forme de pertes d’hystérésis et de pertes
par courants de Foucault qui sont générées par les composantes fondamentale et
harmoniques du champ magnétique tournant dans la culasse du stator. Ces pertes dépendent
de l’induction magnétique, de la fréquence et du volume du circuit magnétique. Dans cette
partie, nous présentons le calcul analytique de ces pertes en se basant sur les résultats de la
modélisation électromagnétique effectuée dans le chapitre 2. Ce calcul est effectué pour des
culasses du stator qui sont réalisées par des matériaux laminés (tôles) et par des matériaux
SMC.
Chapitre 3 111
3.3.1 Pertes magnétiques dans un stator en fer laminé
Les pertes magnétiques totales dissipées dans les tôles de la culasse du stator sont calculées
en utilisant la méthode générique la plus utilisé dans la littérature moderne. Elle consiste à
effectuer la somme des pertes d’hystérésis et des pertes par courants de Foucault et à
ajouter à ces dernières une autre composante appelée les pertes excédentaires [109], [123],
[124].
Les pertes d’hystérésis sont dues au caractère discontinu du processus de magnétisation.
Elles sont égales à l’air du cycle d’hystérésis de la courbe B(H). Ces pertes peuvent être
calculées en utilisant la formule empirique de Steinmetz. En supposant que la forme d’onde
de l’induction ne cause pas de cycle mineur, la densité de ces pertes est exprimée par :
[ / ] xh h mP W kg k f B= (3.7)
où kh et x sont des constantes qui caractérisent le matériau des tôles utilisées et qui peuvent
être déterminées expérimentalement ou à partir des données des fabricants. f et Bm
représentent respectivement la fréquence et la valeur maximale de l’induction en charge
dans la culasse du stator sur une période électrique de régime permanent.
Les pertes par courants de Foucault totales induites dans la culasse du stator sont calculées
comme la somme des pertes par courants de Foucault classiques et des pertes excédentaires
selon l’expression qui suit [109], [124] :
2 1.52
0 0
1 ( ) 1 ( )[ / ]12
T Tt tcf cfc exc exc
t
e dB t dB tP W kg P P dt k dtT dt T dt
σρ
= + = + ∫ ∫ (3.8)
où σt, ρt et et représentent respectivement la conductivité, la densité massique et l’épaisseur
des tôles. kexc est une constante qui peut être déterminée expérimentalement.
Pour une distribution sinusoïdale de l’induction dans la culasse du stator, l’équation (3.8)
devient :
2 2
2 2 1.5 1.5[ / ] 8.676t t
cf m exc mt
eP W kg f B k f Bσ πρ
= + (3.9)
Chapitre 3 112
Puisque la distribution de l’induction n’est pas vraiment sinusoïdale, nous pouvons calculer
les pertes par courants de Foucault en appliquant cette dernière expression à tous les
harmoniques de l’induction et calculer ensuite la somme des pertes obtenues [18], [125].
3.3.2 Pertes magnétiques dans un stator en SMC
Pour une machine sans encoches munie d’une culasse statorique en SMC, les pertes
magnétiques au stator sont calculées en supposant qu’elles peuvent être séparées en pertes
par courants de Foucault et pertes d’hystérésis. Les pertes excédentaires dans les matériaux
SMC sont très faibles et peuvent être négligées [74], [126]. Ces deux composantes de
pertes sont déterminées en utilisant la distribution du champ magnétique résultant calculée
pour un fonctionnement en charge de la machine et en tenant compte de l’influence de
l’angle de commande ψ entre la fem et le fondamental du courant d’alimentation [127].
3.3.2.1 Pertes par courants de Foucault
Les pertes par courants de Foucault sont calculées par deux méthodes : une première
méthode basée sur l’intégration de la densité des courants de Foucault sur le volume total
de la culasse du stator; et une deuxième méthode basée sur l’utilisation du vecteur de
Poynting.
• Première méthode : intégration de la densité des courants de Foucault
En utilisant cette première méthode, la valeur moyenne des pertes par courants de Foucault
sur une période électrique est déterminée à partir de l’expression suivante [128] :
*2
0 ( )
.1 .2
cs cscf V
s
J JP dV d tπ
ωπ σ
=
∫ ∫∫∫ (3.10)
V est le volume de la culasse du stator et Jcs est la densité des courants de Foucault
résultante qui inclut deux composantes : la densité Jcs,m associée au champ magnétique à
vide et qui est induite par chaque harmonique d’espace k de la distribution du vecteur de
magnétisation; et la densité Jcs,s liée au champ magnétique de réaction d’induit et qui est
due aux combinaisons de chaque harmonique de temps h inclus dans la forme d’onde du
courant statorique et de chaque harmonique d’espace k contenu dans la distribution du
Chapitre 3 113
bobinage ( , ,cs cs m cs sJ J J= + ). Le développement du produit *.cs csJ J permet de constater qu’il
est composé de 3 termes :
( ) ( ) ( )* * * * *, , , , , , , ,. . . . .cs cs cs m cs m cs s cs s cs m cs s cs m cs sJ J J J J J J J J J= + + + (3.11)
Pour un fonctionnement à vide Jcs,m≠0 et Jcs,s=0, les pertes par courants de Foucault dans la
culasse du stator sont créées seulement par les harmoniques d’espace du vecteur de
magnétisation. Cependant, pour un fonctionnement en charge Jcs,m≠0 et Jcs,s≠0, ces pertes
sont créées par l’interaction du champ magnétique à vide et du champ de réaction d’induit.
La contribution du troisième terme de l’équation (3.11) au niveau des pertes n’est effective
que pour les combinaisons d’harmoniques de temps et d’espace qui sont synchrones avec le
rotor (c’est-à-dire que k+h=0). Son influence est directement liée aux composantes
magnétisantes et démagnétisantes de la réaction d’induit qui peut être contrôlée par une
stratégie de commande appropriée pour un fonctionnement en moteur par exemple
(commande de l’angle ψ). En fait, pour une réaction d’induit transversale (ψ=0), la
contribution du 3ème terme est nulle. Cependant, ce terme augmente les pertes par courants
de Foucault quand la réaction d’induit est magnétisante et il les diminue lorsque la réaction
d’induit est démagnétisante. Un effet similaire est aussi remarqué sur l’évolution des pertes
par effet d’hystérésis en fonction de l’angle de commande (cf. paragraphe 3.9.3).
En utilisant les techniques d’intégration des fonctions de Bessel, le développement de
l’expression (3.10) permet de constater que les pertes par courants de Foucault dans la
culasse du stator en SMC peuvent être calculées comme la somme de trois composantes
exprimées comme suit :
, , ,cf cf m cf s cf msP P P P= + + (3.12)
Avec :
5
4
(5), (5) *
, ,0
( )2 Imag ( )so
si
r R
m kcf m m k
krs r R
dR rLP kp r R rdr
πµ µ
=+∞
=−∞ =
−= Ω
∑ (3.13)
(5), ,2 (5)*
, , , ,0
( )2 Imag ( )so
si
R
s k hcf s k h s k h
k hrs R
dR rLP hp J r R rdr
πµ µ
+∞ +∞
=−∞ =−∞
= Ω
∑ ∑
(3.14)
Chapitre 3 114
(5)* (5), , ,(5) (5)*
, , , , ,0
( ) ( )2 Imag ( ) ( )so
h
si
R
s h h m h jcf ms h h m h s h h
hrs R
dR r dR rLP hp J r R r r R r edr dr
ϕπµ µ
+∞−
=−∞
−= Ω −
∑
(3.15)
où Imag correspond à la partie imaginaire de la variable complexe, Rsi et Rso sont les rayons
interne et externe de la culasse statorique et les fonctions (5),m kR et (5)
, ,s k hR sont définies par :
(5) (5) (5), , , , ,( ) ( ) ( )m k m k m k m k m kR r A I r B K rα ατ τ= + (3.16)
(5) (5) (5), , , , , , , , , ,( ) ( ) ( )s k h s k h s k h s k h s k hR r A I r B K rα ατ τ= + (3.17)
• Deuxième méthode : utilisation du vecteur de Poynting
Les pertes par courants de Foucault au stator peuvent aussi être calculées en intégrant le
vecteur de Poynting sur une surface cylindrique S localisée au rayon interne de la culasse
du stator Rsi. En exprimant ce vecteur dans le référentiel statorique, les pertes par courants
de Foucault correspondent, dans ce cas, à la puissance électromagnétique transmise des
aimants et du bobinage vers la culasse statorique à travers la surface d’intégration S.
L’expression permettant de calculer la valeur moyenne de ces pertes est alors :
( )( )2
0 ( )
1 Real2cf S
P dS d tπ
ωπ
= − Ρ∫ ∫∫
(3.18)
où Ρ
est le vecteur de Poynting défini par [26], [128] :
* * *z z rE H E H r E Hθ θΡ = × = − +
(3.19)
E et H désignent respectivement le champ électrique et le champ magnétique résultants. En
utilisant cette définition du vecteur de Poynting, l’expression qui permet de calculer les
pertes par courant de Foucault est :
( )2 2 *
0 0
1 Real2cf si z sP L R E H d d t
π π
θ θ ωπ
= ∫ ∫ (3.20)
Comme pour la première méthode, le développement de cette expression conduit à 3
composantes exprimées comme suit :
Chapitre 3 115
(5)*
,(5), ,
0
( )2 Real ( )si
si
m ksicf m m k r R
krs r R
dR rLRP jkp R rdr
πµ µ
+∞
==−∞ =
= Ω
∑ (3.21)
(5)*, ,2 (5)
, , , ,0
( )2 Real ( )si
si
s k hsicf s k h s k h r R
k hrs r R
dR rLRP jhp J R rdr
πµ µ
+∞ +∞
==−∞ =−∞ =
− = Ω
∑ ∑
(3.22)
(5), ,(5)*
,
, , (5)0 , (5)*
, ,
( )( )
2 Real( )
( )
h
si
si
h
si
si
s h h jm h r R
r Rsicf ms h h
hrs m h js h h r R
r R
dR rR r e
drLRP jhp JdR r
R r edr
ϕ
ϕ
πµ µ
=+∞
=
=−∞ −
==
= Ω
+
∑
(3.23)
Notons que les deux méthodes proposées pour le calcul des pertes par courants de Foucault
donnent des résultats identiques.
3.3.2.2 Pertes d’hystérésis
Étant donné que la perméabilité des matériaux SMC est faible et que l’induction dans la
culasse du stator ne produit pas généralement de cycle d’hystérésis mineur, les pertes
d’hystérésis peuvent être calculées en utilisant un modèle statique d’hystérésis basé sur une
simple expression analytique de la densité de ces pertes exprimée par [66], [126] :
[ / ] xh m mP W kg C B f= (3.24)
où Cm et x sont des coefficients spécifiques au matériau SMC qui sont déterminés
expérimentalement. Bm représente la valeur maximale de l’induction en charge dans la
culasse du stator déterminée à partir du modèle analytique de calcul du champ. En utilisant
une discrétisation spatiale radiale et tangentielle appropriée de la culasse, l’induction Bm est
calculée au milieu de chaque maille sur une période électrique de régime permanent
(période temporelle) et les pertes d’hystérésis correspondantes à chaque maille sont
déterminées. Les pertes d’hystérésis totales sont alors obtenues par une sommation sur tout
le volume de la culasse du stator.
En pratique, le calcul des pertes d’hystérésis est implanté sous forme d’un post-processeur.
Afin de minimiser le temps de calcul, la discrétisation de la culasse du stator est effectuée
Chapitre 3 116
seulement sur 1/3 de pôle. Les répartitions spatiales de l’induction maximale Bm et des
pertes se répètent d’une façon périodique sur chaque 1/3 de pôle à cause de l’effet de
chaque phase (cf. partie 3.6). Notons que cette approche de calcul des pertes d’hystérésis a
été aussi appliquée dans le cas des machines dont les stators sont en fer laminé.
3.4 Pertes au rotor
À cause de la haute vitesse, la prédiction des pertes engendrées au niveau du rotor est
essentielle pour assurer une évaluation plus précise des performances des machines sans
encoches et un dimensionnement optimal. Ces pertes se manifestent essentiellement sous
formes de pertes par courants de Foucault dans les aimants permanents et éventuellement
dans la frette quand elle est conductrice, ainsi que sous forme de pertes fer dans la culasse
du rotor. Ces pertes sont dues aux combinaisons des harmoniques de temps et d’espace du
champ magnétique de réaction d’induit qui sont asynchrones avec le rotor (k+h≠0) et qui
résultent de la distribution non sinusoïdale du bobinage et des formes d’onde non
sinusoïdales des courants d’alimentation au stator.
Dans cette partie, nous présentons le calcul des pertes par courants de Foucault induites
dans les aimants et dans la frette conductrice en considérant l’effet de la segmentation
transversale des aimants et en négligeant les effets 3D. La segmentation d’un aimant en
plusieurs blocs élémentaires peut être utilisée pour constituer un aimant de type Halbach
par exemple ou tout simplement pour diminuer les pertes au rotor. Les pertes magnétiques
(pertes par courants de Foucault et pertes d’hystérésis) dans la culasse du rotor sont
considérées comme négligeables. Une investigation de l’influence de la frette conductrice
et de la segmentation des aimants sur les pertes totales au rotor est présentée par la suite.
3.4.1 Pertes par courants de Foucault dans les aimants
Le calcul des pertes par courants de Foucault dans les aimants est effectué en utilisant la
distribution du champ magnétique de réaction d’induit établie dans le chapitre 2 où l’effet
des courants de Foucault dans les aimants sur le champ magnétique dans l’entrefer a été
négligé. Cette simplification est raisonnable puisque les aimants de type terre-rares sont
moins conducteurs et que leur perméabilité est proche de 1. Ainsi, la profondeur de
Chapitre 3 117
pénétration des courants de Foucault est largement supérieure aux dimensions des aimants
et leur intensité n’est limitée que par la résistance des aimants [129].
Les pertes par courants de Foucault totales dans les aimants Pm sont calculées comme la
somme des pertes générées dans chaque segment d’aimant (Pm,n). Ces dernières pertes sont
calculées en intégrant la densité des courants de Foucault induits sur le volume total du
segment (d’indice n) comme illustré par l’expression suivante [103], [129] :
,
,
*22
, 02
.Real2
m nm
m nro
R m mm n rR
m
J JLP rdrd d tε
π
ε θ ωπ σ−
=
∫ ∫ ∫ (3.25)
où Rro et Rm représentent respectivement le rayon interne et externe des aimants notés aussi
r1 et r2, σm est leur conductivité, εm,n est l’angle correspondant à la largeur angulaire du
segment d’aimant et Jm est la densité des courants induits. Cette densité doit être exprimée
dans le référentiel du rotor. Elle peut être calculée à partir du potentiel vecteur de réaction
d’induit établi dans la zone des aimants :
(1) ( , , )( , , ) ( )s r
m r mA r tJ r t C t
tθθ σ ∂
= − +∂
(3.26)
( )C t est une constante qui permet d’avoir, à chaque instant, un courant total nul à
l’intérieur du segment d’aimant et qui peut être déterminée en calculant l’intégrale
suivante :
,
,
2
2
0m n
m
m nro
R
m rRJ rdrd
ε
ε θ− =∫ ∫ (3.27)
Le développement de l’expression (3.25) permet de trouver l’équation finale qui conduit à
la détermination des pertes par courants de Foucault dans chaque segment d’aimant :
, , ,1 , ,2 , avec: 0m n m n m nP P P k h= + + ≠ (3.28)
Avec :
( )2 (1), ,1 , , , ,Real ( )m n m n m k h s k h
k hP L k h p J Fε σ
+∞ +∞
=−∞ =−∞
= + Ω ∑ ∑
(3.29)
Chapitre 3 118
( )2
, (1) (1)*, ,2 , , , , ,2 2
,
1 cos4 Real m nmm n k h s k h s k h
k hm n m ro
kpL k hP J G Gk R R
εσε
+∞ +∞
=−∞ =−∞
−+ = Ω − ∑ ∑
(3.30)
et :
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2 2 21 2 1 2(1) (1)* (1) (1)*
, , , , , , , ,2
2 21 2(1) (1)* (1)* (1)
, , , , , , , ,(1), , 2 2
1 2(1) (1)* (1), , , , , ,
22
1 / 1 /2 2 2 2 si 1
1 /2
1 /2 2
s k h s k h s k h s k h
s k h s k h s k h s k h
s k h
s k h s k h s k h
r r r rA A B B
r k pr r
A B A BF
r rA A B
r
α α
α
α α α
α
+ −
+
− − +
+ − = ≠ − + +
=−
++
( ) ( )
(1)* 2, ,
1
21 2(1) (1)* (1)* (1)
, , , , , , , ,
lnsi 1
1 /2
s k h
s k h s k h s k h s k h
rBr
k pr r
A B A B
α
= = − + +
(3.31)
( ) ( )
( )
2 21 2 1 22 (1) (1)
2 , , , ,
(1), , 2
1 22 (1) (1) 22 , , , ,
1
1 / 1 /si 2
2 2
1 /ln si 2
2
s k h s k h
s k h
s k h s k h
r r r rr A B k p
Gr r rr A B k p
r
α α
α
αα α
αα
+ −
+
− − + = ≠
+ − = − + = = +
(3.32)
La méthode proposée pour le calcul des pertes dans les aimants segmentés a été inspirée
des références [103] et [129] où les composantes radiale et tangentielle de l’induction sont
considérées. Une autre méthode moins précise peut être trouvée dans les références [5] et
[130]. Ces dernières considèrent que l’induction dans un segment d’aimant a seulement une
composante radiale et que son amplitude est uniforme sur toute la largeur du segment.
3.4.2 Pertes par courants de Foucault dans la frette
Les pertes par courant de Foucault générées dans la frette sont déterminées en utilisant trois
méthodes : par intégration de la densité des courants de Foucault Jc sur le volume total de la
frette, par utilisation du vecteur de Poynting et par utilisation du tenseur de Maxwell. Ces
trois méthodes proposées donnent des résultats identiques.
Chapitre 3 119
• Première méthode : intégration de la densité des courants de Foucault
Pour calculer les pertes par courants de Foucault suivant cette méthode, il suffit d’intégrer
le terme *.c cJ J sur tout le volume de la frette et de déterminer ensuite la valeur moyenne du
résultat sur une période électrique :
*2
0 ( )
.1 .2
c cc V
c
J JP dV d tπ
ωπ σ
=
∫ ∫∫∫ (3.33)
Après tout développement, nous trouvons :
3
2
(2), ,2 (2) *
, , ,0
( )2 ( ) Imag ( ) , avec: 0co
m
r R
s k hc k h s k h
k hrc r R
dR rLP k h p J r R r k hdr
πµ µ
=+∞ +∞
=−∞ =−∞ =
= + Ω + ≠
∑ ∑
(3.34)
où Rm et Rco sont les rayons interne et externe de la frette, µrc est sa perméabilité relative et (2), ,s k hR est une fonction définie par :
(2) (2) (2), , , , , , , , , ,( ) ( ) ( )s k h s k h c k h s k h c k hR r A I r B K rα ατ τ= + (3.35)
• Deuxième méthode : utilisation du vecteur de Poynting
Les pertes par courants de Foucault dans la frette peuvent aussi être calculées en
déterminant la valeur moyenne de la puissance électromagnétique qui traverse l’entrefer.
Cette puissance est obtenue par une intégration du vecteur de Poynting sur une surface
cylindrique S de rayon Ro située dans la zone d’entrefer. Elle correspond aux pertes par
courants de Foucault générées dans la frette seulement si le calcul est effectué dans le
référentiel du rotor. C’est-à-dire que les grandeurs électromagnétiques sont exprimées dans
ce référentiel et que la surface d’intégration S tourne en synchronisme avec le rotor [26].
Dans ce cas, les pertes peuvent être calculées à partir de :
( )2 2 *, ,0 0
1 Real2c o s z s rP L R E H d d t
π π
θ θ ωπ
= ∫ ∫ (3.36)
où Es et Hs sont respectivement le champ électrique et le champ magnétique créés par les
courants statoriques.
Le développement de l’équation (3.36) permet d’écrire :
Chapitre 3 120
(3)*, ,2 (3)
, , ,0
( )2 Real ( ) ( ) , avec: 0o
o
s k hoc k h s k h r R
k h r R
dR rLRP j k h p J R r k hdr
πµ
+∞ +∞
==−∞ =−∞ =
= + Ω + ≠
∑ ∑
(3.37)
Le rayon Ro peut être égal à n’importe quel rayon compris dans la région d’entrefer. C’est-
à-dire que : [ ]3 4,o co bR r R r R∈ = = . La fonction (3), ,s k hR est exprimée par :
(3) (3) (3), , , , , ,( )s k h s k h s k hR r A r B rα α−= + (3.38)
Notons que si nous plaçons la surface d’intégration S sur la surface externe de la frette
(Ro=Rco), nous pouvons aussi calculer les pertes dans la frette en utilisant les résultats de la
solution du problème électromagnétique dans la zone de la frette (i=2). Dans ce cas, nous
aurons :
(2)*, ,2 (2)
, , ,0
( )2 Real ( ) ( ) , avec: 0co
co
s k hcoc k h s k h r R
k hrc r R
dR rLRP j k h p J R r k hdr
πµ µ
+∞ +∞
==−∞ =−∞ =
= + Ω + ≠
∑ ∑
(3.39)
• Troisième méthode : utilisation du Tenseur de Maxwell
Tel qu’il a été expliqué dans le paragraphe 2.8.4, les pertes dissipées dans la frette peuvent
être calculées à partir du couple moyen exercé sur la frette. Ce couple, qui a été calculé à
partir du Tenseur de Maxwell dans le chapitre 2, correspond au 2ème terme de l’équation
(2.132) exprimé comme suit :
2
2 2 (3) * (3)2 2, , , , , , ,
1 1 1 10
8 .Imag ( ) . ( ) , avec :em em k h k h s k h s k hk h k h
LpT T k J A t B t k hπµ
+∞ +∞ +∞ +∞
= = = =
= = ≠ ∑∑ ∑∑
(3.40)
Par analogie avec une machine asynchrone, les pertes générées dans la frette par les champs
magnétiques tournants de réaction d’induit résultant de la combinaison de chaque
harmonique de temps h et d’espace k peuvent être calculées en introduisant le glissement de
ces champs par rapport au rotor (gk,h). Il vient alors :
,2, ,
1 1 ,
, avec :1
k hc em k h
k h k h
gP T k h
g
+∞ +∞
= =
= Ω ≠−∑∑ (3.41)
où le glissement gk,h est défini par l’expression suivante pour les champs harmoniques
tournants dans le même sens que le fondamental et dans le sens opposé :
Chapitre 3 121
,
/ si 6 ,// si 6 ,
/
k h
h k h k k h l lh k hgh k h k k h l l
h k h
Ω − Ω − = − = ∈ Ω= − Ω − Ω + = + = ∈ − Ω
(3.42)
3.4.3 Analyse de l’influence de la frette conductrice sur les pertes au rotor
Une frette amagnétique conductrice peut être utilisée dans une machine à aimants
permanents à haute vitesse pour maintenir les aimants et/ou pour réduire l’inductance
transitoire et améliorer la commutation électronique du courant quand la machine est
couplée à un convertisseur statique à commutation de courant. Son utilisation peut aussi
conduire à une diminution des pertes totales dissipées dans le rotor. Afin de vérifier cette
dernière affirmation, nous avons tracé dans la figure 3.2 la variation des pertes totales au
rotor (somme des pertes par courants de Foucault dans les aimants et dans la frette) en
fonction de la vitesse de rotation pour deux situations correspondant aux cas où la frette
amagnétique est conductrice (en cuivre : σc=5.8×107s/m) et non conductrice (σc=0). Les
résultats sont donnés en considérant la machine MSE-1 (cf. annexe B-1) alimentée par des
courants de formes d’ondes rectangulaires avec une amplitude de courant continu Idc=6.3A.
La figure 3.2 présente aussi les pertes par courants de Foucault induites dans les aimants et
dans la frette lorsque cette dernière est conductrice.
Figure 3.2 : Variation des pertes au rotor en fonction de la vitesse de rotation pour les cas où la
frette est conductrice et non conductrice
0 10 20 30 40 50 600
5
10
15
20
Vitesse [103 rpm]
Perte
s [W
]
Pertes aimants
Pertes totales(frette non condutrice)
Pertes totales(frette condutrice)
Pertes frette
Chapitre 3 122
Cette figure montre que pour des vitesses moins élevées, l’utilisation d’une frette
conductrice conduit à une augmentation des pertes totales au rotor. Cependant, pour des
vitesses très élevées, son utilisation peut être très bénéfique puisqu’elle conduit à une
diminution de ces pertes. La frette joue le rôle d’un écran magnétique devant les champs de
haute fréquence en les empêchant de pénétrer dans les aimants et dans la culasse du rotor.
De ce fait, les pertes dans les aimants sont réduites et les pertes au rotor sont concentrées au
niveau de la frette.
La figure 3.2 nous permet aussi de remarquer que les pertes générées dans la frette
augmentent légèrement et se stabilisent pour les très hautes vitesses. Cela est dû à l’effet de
peau qui empêche la pénétration des champs de hautes fréquences à l’intérieur de la frette.
Nous remarquons aussi que, lorsque la frette est non conductrice, les pertes par courants de
Foucault générées dans les aimants augmentent pratiquement au carré de la vitesse. Cela
montre que les courants induits ont un effet très faible sur le champ magnétique dans
l’entrefer et permet de justifier l’hypothèse prise précédemment pour le calcul des pertes
dans les aimants.
La figure 3.3 présente la variation des pertes au rotor ainsi que celle de l’inductance
cyclique de la machine, vue par le 5ème harmonique du courant, en fonction de l’épaisseur
de la frette. L’épaisseur totale correspondant à la somme de l’épaisseur de la frette et celle
de l’entrefer est maintenue constante. Les pertes générées dans les aimants diminuent
lorsque l’épaisseur de la frette augmente. Par contre, les pertes dans la frette et les pertes
totales au rotor augmentent rapidement pour les faibles valeurs de l’épaisseur, passent par
un maximum et diminuent par la suite. L’inductance cyclique harmonique diminue aussi
quand l’épaisseur de la frette augmente. Cette diminution de l’inductance influence la
forme d’onde du courant par augmentation des harmoniques de courant et peut conduire à
une augmentation des pertes Joule. Le choix optimal de l’épaisseur de la frette doit alors
assurer une meilleure adaptation du convertisseur statique à la machine tout en garantissant
des performances globales optimales.
Chapitre 3 123
Figure 3.3 : Variation (a) des pertes au rotor et (b) de l’inductance cyclique vue par le 5ème
harmonique du courant en fonction de l’épaisseur de la frette
3.4.4 Analyse de l’influence de la segmentation des aimants sur les pertes au rotor
La figure 3.4 présente la variation des pertes par courants de Foucault induites dans les
aimants permanents en fonction du nombre de segments d’aimants par pôle. La machine
MSE-1 a été considérée pour tracer cette courbe avec une frette amagnétique et non
conductrice. Nous remarquons que la segmentation des aimants conduit à une diminution
très significative des pertes. Le fait de segmenter un aimant polaire en deux segments
permet de réduire les pertes d’environ 70%.
Nous pouvons conclure de cette analyse et de celle réalisée précédemment que pour réduire
les pertes totales au rotor, il suffit soit d’ajouter une frette conductrice autour du rotor ou de
segmenter les aimants en petits blocs. Lorsque la machine est couplée à un convertisseur à
commutation de courant, l’utilisation d’une frette conductrice est avantageuse par rapport à
la segmentation des aimants. L’inductance de commutation peut être adaptée afin
d’améliorer la commutation du courant et d’optimiser les performances globales
fondamentales et dynamiques de l’ensemble convertisseur-machine. Cependant, quand la
machine est associée à un convertisseur à commutation de tension, il est préférable d’éviter
l’utilisation d’une frette conductrice car elle réduit l’inductance de commutation et conduit
à une augmentation des amplitudes des harmoniques de courant créés par les harmoniques
de tension [131]. Dans ce cas, la segmentation des aimants peut être utilisée pour réduire
les pertes totales au rotor.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
2
4
6
8
10
12
14
Épaisseur de la frette [mm]
Perte
s [W
]
Pertes dans les aimantsPertes dans la frette Pertes totales
(a)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Épaisseur de la frette [mm]
Indu
ctan
ce c
ycliq
ue [m
H]
(b)
Chapitre 3 124
Figure 3.4 : Variation des pertes par courants de Foucault dans les aimants en fonction du nombre
de segments d’aimants par pôle
3.5 Pertes mécaniques
Souvent négligées dans les machines conventionnelles à basse vitesse, les pertes
mécaniques peuvent devenir significatives dans les machines sans encoches à haute vitesse
et contribuer à l’échauffement du rotor. Leur détermination est donc importante pour
évaluer précisément les pertes totales dans la machine. Généralement, on distingue deux
types de pertes mécaniques :
• Pertes aérodynamiques dues à la friction de l’air sur la surface du rotor en rotation ;
• Pertes par frottement dans les roulements.
3.5.1 Pertes aérodynamiques
Les pertes aérodynamiques sont générées par la friction de l’air qui peut se produire sur la
surface circonférentielle du rotor au niveau de l’entrefer (air confiné dans le volume de
l’entrefer) et sur ses deux surfaces latérales. Ces pertes dépendent de la vitesse de rotation,
des dimensions du rotor et des propriétés de l’air. Dans la littérature, plusieurs auteurs ont
essayé de calculer les pertes aérodynamiques en utilisant des équations analytiques avec des
coefficients empiriques issus des essais expérimentaux sur des cylindres et des disques en
rotation dans un espace libre ou dans une enceinte [132]–[134]. La référence [132] présente
1 2 3 4 5 6 7 80
1
2
3
4
5
6
Nombre de segments d'aimant par pôle
Per
tes
dans
les
aim
ants
[W]
Chapitre 3 125
une étude bibliographique exhaustive concernant les méthodes de calcul de ces pertes qui
ont été utilisées dans le cas des machines sans encoches munies de frettes autour du rotor.
Au niveau de l’entrefer d’une machine, les pertes par frottement d’air dépendent aussi de la
distribution des vitesses de l’air liée à la nature d’écoulement. Trois types
d’écoulements peuvent être distingués (cf. Fig. 3.5) :
• Écoulement tangentiel de l’air dû à la rotation du rotor ;
• Écoulement axial de l’air dans le cas de l’utilisation d’un refroidissement par
ventilation ;
• Tourbillons de Taylor dus aux forces centrifuges.
Écoulement tangentiel Écoulement axial
Tourbillons de Taylor
Stator
Rotor
Entrefer
Direction axiale
Figure 3.5 : Types d’écoulements d’air dans l’entrefer d’une machine électrique [27], [132]
La nature de chaque écoulement est décrite par le nombre de Reynolds qui représente le
rapport entre les forces d’inertie et les forces de viscosité dans un fluide. L’écoulement
tangentiel de l’air est décrit par le nombre de Reynolds exprimé par l’équation suivante et
qui correspond au cas où le rotor, modélisé comme un cylindre, tourne en présence d’un
stator et d’un entrefer :
Rees d
e R e Rρν ν
Ω Ω= = (3.43)
où Ω est la vitesse de rotation, e est l’entrefer mécanique et R est le rayon externe du
cylindre. ρ, νs et νd représentent respectivement la masse volumique, la viscosité
Chapitre 3 126
cinématique et la viscosité dynamique de l’air qui dépendent de la température. Dans le cas
où nous disposons d’un cylindre ou d’un disque qui tourne dans un espace libre (sans
stator), le nombre de Reynolds devient :
2
Rerd
RρνΩ
= (3.44)
Par contre, dans le cas d’un écoulement axial de l’air à travers l’entrefer, le nombre de
Reynolds s’exprime comme suit en introduisant la vitesse moyenne axiale va du fluide :
2Re aa
d
v eρν
= (3.45)
L’analyse du nombre de Reynolds permet de déterminer la nature de l’écoulement de l’air.
Pour des faibles valeurs de ce nombre (inférieures à 2000), les forces de viscosité sont
importantes et l’écoulement est laminaire. Cependant, pour des fortes valeurs, les forces
d’inertie sont prépondérantes et l’écoulement est turbulent. Généralement, dans une
machine électrique fonctionnant à haute vitesse, l’écoulement d’air est toujours turbulent
[27], [132].
Les tourbillons de Taylor sont des fluctuations d’air circulaires qui sont créées dans
l’entrefer de la machine sous l’effet des forces centrifuges. Cet écoulement est décrit par le
nombre de Taylor exprimé par [132] :
2ReeeTaR
= (3.46)
Ces tourbillons apparaissent une fois que le nombre de Taylor dépasse environ 1700.
Les pertes aérodynamiques peuvent être calculées à partir de la résolution des équations de
la mécanique des fluides lorsque l’écoulement est laminaire. Cependant, quand
l’écoulement est turbulent, la résolution devient très complexe. Dans ce cas, les pertes
aérodynamiques sont souvent calculées en introduisant un coefficient de frottement Cf
empirique qui dépend des dimensions du rotor, des propriétés du fluide et de l’état de la
surface de frottement (surface lisse ou rugueuse). Au niveau de l’entrefer de la machine, ces
Chapitre 3 127
pertes peuvent être déterminées en calculant les pertes par frottement d’air sur un cylindre
en rotation [132], [134] :
3 41aero fP C R Lρπ= Ω (3.47)
où R correspond au rayon externe de la frette dans le cas d’une machine à haute vitesse à
rotor interne et L est la longueur axiale du rotor.
Le coefficient de frottement Cf peut être calculé en se basant sur une formule empirique
développée par Yamada (1962) à partir des essais expérimentaux sur un cylindre en
rotation à l’intérieur d’un autre cylindre [133]. En plus de l’écoulement tangentiel, l’auteur
considère aussi l’écoulement axial en négligeant l’effet des tourbillons de Taylor et l’effet
de la courbure de l’entrefer. Ce coefficient de frottement peut être calculé à partir de
l’équation suivante quand l’écoulement axial est absent :
( )101 7.54 11.5 log Re 2
2 e ff
CC
= + (3.48)
Cette équation peut être mise sous la forme pratique suivante :
0.24
0.0152Ref
e
C = pour: 4800 Re 6.10e< < (3.49)
Cependant, si le fluide coule tangentiellement et axialement, le coefficient Cf peut être
déterminé à partir de l’expression suivante [132], [135] :
0.3822
0.24
4 Re0.0152 81Re 7 Re
af
e e
C = +
(3.50)
Ce coefficient de frottement est donné en assumant que les surfaces du stator et du rotor au
niveau de l’entrefer sont lisses. Une surface rugueuse du stator (avec des dents par
exemple) augmente légèrement le coefficient de frottement. Cependant, la rugosité au
niveau de la surface du rotor augmente considérablement ce coefficient ainsi que les pertes
aérodynamiques. Typiquement, lorsque une surface du rotor est rugueuse axialement avec
des rainures par exemple, le coefficient de frottement augmente de 2 à 4 fois par rapport à
celui d’une surface lisse [132]. Étant donné que les machines étudiées dans cette thèse sont
Chapitre 3 128
sans encoches et équipées avec des frettes entourant le rotor, la considération de surfaces
lisses au niveau du stator et du rotor est alors justifiée.
Les pertes aérodynamiques sur les deux surfaces latérales du rotor sont calculées comme
des pertes de frottement sur un disque de rayons interne Ri et externe Ro qui tourne dans un
espace libre à cause des têtes de bobines :
( )3 5 52
12aero f o iP C R Rρ= Ω − (3.51)
Le coefficient de frottement considéré peut être calculé à partir de [32], [128] :
50.5
50.2
3.87 pour : Re 3.10Re0.146 pour : Re 3.10Re
f rr
f rr
C
C
= < = >
(3.52)
Les expressions (3.47) et (3.51) permettant le calcul des pertes aérodynamiques sur les
différentes surfaces du rotor sont valables pour les machines à haute vitesse à rotor interne
et à rotor externe. Cependant, pour les machines à rotor externe, il faut aussi calculer les
pertes sur la surface circonférentielle externe du rotor en introduisant le nombre de
Reynolds Rer pour un cylindre qui tourne dans un espace libre.
La figure 3.6 montre l’évolution des pertes aérodynamiques en fonction de la vitesse de
rotation et du diamètre externe du rotor (celui de la frette) de la machine MSE-1 où
l’entrefer est fixé. Nous pouvons remarquer que ces pertes augmentent rapidement avec la
vitesse et le diamètre du rotor. Normalement, ces pertes sont limitées par la vitesse de
rotation maximale et par le diamètre maximal du rotor imposé par des considérations
électromagnétiques (production du couple) et par les contraintes mécaniques dues aux
forces centrifuges. Pour les dimensions optimales de la machine MSE-1 correspondant au
point nominal (510 W à 20000 rpm), les pertes aérodynamiques sont très faibles. Elles ne
représentent que 0.16% des pertes totales de la machine puisque les valeurs de la vitesse et
du diamètre du rotor ne sont pas assez élevées.
Chapitre 3 129
Figure 3.6 : Évolution des pertes aérodynamiques en fonction du diamètre du rotor et de la vitesse
de rotation pour la machine MSE-1
3.5.2 Pertes par frottement dans les roulements
Les pertes de frottement dans les roulements des machines à haute vitesse peuvent être non
négligeables puisqu’elles dépendent directement de la vitesse de rotation. Elles dépendent
aussi de la nature du système utilisé (roulements avec contact lubrifié ou paliers sans
contact à air comprimé ou à suspension magnétique). Pour les roulements à billes par
exemple, ces pertes peuvent être calculées en utilisant l’expression suivante [27], [136] :
3roul r mrP C D= Ω (3.53)
où Dmr représente le rayon moyen du roulement et Cr est un coefficient donné par les
manufacturiers et qui dépend du type du roulement, du lubrifiant et des conditions de
charge.
3.6 Validation des pertes magnétiques dans le stator en SMC par calcul numérique du champ en 2D
Nous présentons, dans cette partie, une validation du calcul des pertes magnétiques au
niveau du stator des machines sans encoches dont les culasses statoriques sont réalisées en
SMC. Cette validation est effectuée en confrontant les résultats du calcul analytique en
charge des pertes par courants de Foucault et des pertes d’hystérésis avec ceux issus des
00.01
0.020.03
0.04
0
50
1000
20
40
60
80
Diamètre du rotor [m]Vitesse [103 rpm]
Per
tes
aéro
dyna
miq
ues
[W]
Chapitre 3 130
simulations en calcul numérique du champ en 2D, à l’aide du logiciel Difimedi. Pour cette
validation, la machine MSE-1 dont la culasse est faite avec le matériau SMC Mat-1 et dont
la frette est non conductrice a été considérée en supposant qu’elle est alimentée par les
mêmes courants de formes rectangulaires considérés au paragraphe 3.4.3 où l’angle de
commande ψ est pris égal à 0 (réaction d’induit transversale).
Le calcul du champ a été effectué en magnétodynamique avec une méthode de pas à pas
dans le temps et la prise en compte du mouvement. La discrétisation du maillage a été
adaptée aux caractéristiques du matériau SMC ainsi qu’aux vitesses de rotation afin de
prendre en compte précisément l’effet de peau dans la culasse du stator. Les pertes par
courants de Foucault ont été calculées directement par une intégration de la densité de ces
courants sur le volume total de la culasse du stator. Cependant, les pertes d’hystérésis ont
été déterminées en utilisant un post-processeur implanté dans le calcul du champ, qui utilise
la même expression considérée pour le calcul analytique de ces pertes (cf. équation (3.24)).
L’induction maximale Bm a été calculée dans chaque maille de la discrétisation sur une
période de régime permanent.
La figure 3.7 présente la distribution spatiale de l’induction maximale Bm dans toute la
structure de la machine ainsi que celle des pertes d’hystérésis dans la culasse du stator pour
une vitesse de rotation de 20000 rpm. Les deux distributions ont des formes dépendantes au
niveau de la culasse statorique et qui se répètent d’une manière identique à chaque 1/3 de
pôle. La distribution spatiale des pertes par courants de Foucault devra avoir une forme
similaire à celle des pertes d’hystérésis puisque ces pertes sont pratiquement
proportionnelles au carré de l’induction maximale.
La figure 3.8 présente la variation des pertes magnétiques en charge dans la culasse du
stator en fonction de la vitesse de rotation lorsque ψ=0. Dans ce cas, le troisième terme du
produit *.cs csJ J de l’équation (3.11) ne contribue pas à la production des pertes par courants
de Foucault. Les pertes d’hystérésis et les pertes par courants de Foucault calculées
analytiquement sont comparées à celles issues des simulations en calcul numérique du
champ. Nous pouvons constater qu’il y a une parfaite coïncidence entre les résultats
obtenus par les deux méthodes de calcul. Nous remarquons aussi que les pertes d’hystérésis
Chapitre 3 131
augmentent linéairement avec la vitesse, tandis que les pertes par courants de Foucault
augmentent pratiquement au carré de la vitesse. De plus, les pertes d’hystérésis sont plus
significatives que les pertes par courants de Foucault pour les faibles vitesses à cause de
l’utilisation du matériau Mat-1 qui est moins conducteur. Toutefois, les pertes par courants
de Foucault peuvent devenir très importantes par rapport aux pertes d’hystérésis lorsque la
conductivité du matériau SMC, la vitesse d’opération ou la puissance de la machine
augmentent comme nous l’avons démontré dans les articles [95] et [120].
(a) (b)
Figure 3.7 : Distribution spatiale (a) de l’induction maximale dans la structure de la machine MSE-1 et (b) des pertes d’hystérésis dans la culasse du stator pour une vitesse de 20000 rpm
Figure 3.8 : Variation des pertes magnétiques dans la culasse du stator de la machine MSE-1 en
fonction de la vitesse de rotation (calcul analytique vs calcul numérique du champ)
0 20 40 60 80 1000
20
40
60
80
100
Vitesse [103 rpm]
Per
tes
[W]
Pertes totales
Pertes par courants de Foucault
Pertes d'hystérésis
Chapitre 3 132
3.7 Validation des pertes par courants de Foucault dans le stator en SMC par calcul numérique du champ en 3D
3.7.1 Étude de l’influence des effets 3D sur les pertes par courants de Foucault
Afin de quantifier les effets de bord sur les pertes par courants de Foucault générées dans la
culasse statorique en SMC d’une machine sans encoches, nous avons effectué des
simulations en calcul de champ par éléments finis en 3D de la machine MSE-1 en utilisant
le logiciel Flux3D. Ces simulations ont été effectuées pour un fonctionnement à vide de la
machine, en magnétodynamique avec une méthode de pas à pas dans le temps, en
considérant le mouvement de rotation des aimants devant la culasse du stator et en
négligeant la saturation. Notons que le maillage a été adapté pour tenir compte de l’effet de
peau d’une façon plus précise.
La figure 3.9 présente la distribution spatiale 3D de la densité des courants de Foucault à
vide induits dans la culasse du stator représentée pour un seul pôle. Ce résultat est donné
pour le matériau SMC Mat-1 à une vitesse de rotation de 20000 rpm. Nous pouvons
remarquer que les courants de Foucault sont distribués d’une façon non uniforme suivant la
direction axiale de la machine à cause de l’influence des effets 3D. Pour analyser cette
influence sur les pertes par courants de Foucault, nous définissons un coefficient de pertes
Kp qui représente le rapport entre les pertes par courant de Foucault à vide obtenues à partir
des simulations en 3D (Pcf,m-3D) et celles calculées en 2D (Pcf,m-2D). La figure 3.10 présente
la variation de ce coefficient en fonction du rapport entre la longueur axiale de la culasse
statorique de la machine et le pas polaire (L/pp). Nous remarquons que l’influence des
effets 3D sur les pertes par courants de Foucault est moins significative et peut être
négligée lorsque le rapport entre la longueur et le pas polaire est plus important. Cependant,
cette influence devient de plus en plus significative lorsque ce rapport diminue en
diminuant la longueur axiale de la machine. Pour un rapport longueur/pas polaire égal à 1,
les pertes calculées en 3D représentent environ 51% de celles calculées en 2D. En fait,
contrairement à une modélisation en 2D, les courants de Foucault en 3D ne sont plus
perpendiculaires au plan 2D et leurs boucles ne sont plus fermées à l’infini mais à
l’intérieur du matériau SMC conducteur en passant par les bords. Cela augmente davantage
Chapitre 3 133
la résistance du parcours de ces courants et diminue le flux capté par les bobines
équivalentes à leurs boucles. Par conséquent, la densité des courants de Foucault diminue
ainsi que les pertes générées par ces courants.
Figure 3.9 : Distribution spatiale 3D de la densité des courants de Foucault à vide dans la culasse
du stator de la machine MSE-1 pour une vitesse de 20000 rpm
Figure 3.10 : Variation du coefficient de pertes Kp=Pcf,m-3D/Pcf,m-2D en fonction du rapport entre la
longueur et le pas polaire de la machine MSE-1 pour une vitesse de 20000 rpm
Les résultats de cette validation montrent que l’hypothèse simplificatrice de 2D (longueur
infinie) n’est pas suffisante pour effectuer un calcul plus précis des pertes par courants de
Foucault dans le stator en SMC. Par conséquent, nous devons tenir compte des effets 3D
afin d’obtenir un dimensionnement optimal de la machine, en particulier lorsque la
longueur axiale n’est pas assez importante par rapport au pas polaire. Cela peut être
effectué en introduisant un facteur de correction approprié des pertes par courants de
0 2 4 6 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Longueur/pas polaire
Kp=P
cf-3
D/P
cf-2
D
Plan de symétrie
Chapitre 3 134
Foucault calculées analytiquement en 2D et qui peut être obtenu à partir des simulations en
calcul numérique du champ en 3D tel qu’expliqué dans la section suivante.
Notons que dans cette thèse, les effets 3D sur les pertes d’hystérésis ont été négligés
puisqu’ils sont moins significatifs sur l’induction dans la culasse du stator. Cependant, les
effets 3D sont considérés dans le calcul du couple d’interaction entre les aimants et les
courants de Foucault induits dans le stator en se basant sur le même facteur de correction
des pertes par courants de Foucault.
3.7.2 Correction des pertes par courants de Foucault par calcul du champ en 3D
Pour tenir compte des effets 3D sur les pertes par courants de Foucault dans la culasse du
stator en SMC, nous pouvons calculer ces pertes en effectuant directement des simulations
en calcul numérique du champ en 3D. Cependant, afin d’implanter le modèle de calcul des
pertes par courants de Foucault dans une procédure de conception par optimisation, nous
proposons de calculer ces pertes analytiquement en 2D pour un fonctionnement en charge
et de les corriger par un facteur de correction que nous pouvons déterminer à partir du
calcul du champ en 3D pour un fonctionnement à vide. Ce calcul peut être effectué soit en
magnétodynamique en instantané dans le temps en considérant la rotation des aimants ou
en complexe en régime permanent sans rotation afin de réduire le temps de calcul.
3.7.2.1 Correction des pertes par calcul du champ en 3D en magnétodynamique
La figure 3.11 montre le processus d’évaluation et de correction des pertes par courants de
Foucault proposé lorsque le calcul du champ en 3D est effectué en magnétodynamique. Les
pertes sont déterminées en charge à partir du calcul analytique en 2D et corrigées par un
facteur de correction qui représente, dans ce cas, le coefficient de pertes Kp étudié
précédemment (cf. Fig. 3.10) et qui définit le rapport entre les pertes à vide calculées en 3D
en magnétodynamique et celles calculées analytiquement en 2D. Notons que le facteur de
correction est calculé ici en considérant seulement le fonctionnement à vide de la machine.
Toutefois, il est utilisé pour corriger les pertes par courants de Foucault pour le
fonctionnement en charge en supposant que les effets 3D sont similaires dans les deux cas
de fonctionnement.
Chapitre 3 135
Dans une procédure de conception par optimisation des machines sans encoches, ce
processus de correction des pertes par courants de Foucault peut être implanté et effectué à
chaque itération sur les variables d’optimisation. Cependant, le temps de calcul peut être
prohibitif en particulier avec l’utilisation des méthodes de pas à pas dans le temps au niveau
du calcul du champ en 3D pour tenir compte de la rotation. Pour remédier à ce problème,
un mécanisme original de correction des pertes par courants de Foucault est proposé dans le
chapitre 5 où la correction est effectuée à chaque solution optimale intermédiaire de la
procédure d’optimisation au lieu de chaque itération sur les variables d’optimisation. Cela
conduit à une diminution considérable du temps de calcul tout en assurant un bon
compromis précision-temps de calcul. De plus, pour minimiser davantage le temps de
calcul, nous proposons dans le paragraphe suivant de calculer le facteur de correction des
pertes à partir d’une modélisation équivalente de la machine sans encoches dans le calcul
du champ en 3D en complexe sans rotation des aimants.
Évaluation des pertes à vide par calcul analytique
en 2D (Pcf,m-2D)
Évaluation des pertes en charge par calcul
analytique en 2D (Pcf-2D)
Calcul du facteur de correction des pertes
Kp=Pcf,m-3D/Pcf,m-2D
DonnéesParamètres
Évaluation des pertes à vide par calcul du champ en 3D en magnétodynamique (Pcf,m-3D)
Correction des pertes 2D Pcf=Kp.Pcf-2D
Figure 3.11 : Processus de correction des pertes par courants de Foucault dans la culasse
statorique en SMC d’une machine sans encoches basé sur le calcul numérique du champ en 3D en magnétodynamique
Chapitre 3 136
3.7.2.2 Correction des pertes par calcul du champ en 3D en complexe
Dans le calcul numérique du champ en complexe en 2D ou en 3D, les seules sources de
champ qui peuvent être représentées sont des courants sinusoïdaux de fréquences imposées.
De plus, les matériaux sont considérés linéaires et le mouvement ne peut pas être pris en
considération. Dans ce cas, pour calculer les pertes par courants de Foucault dans la culasse
du stator avec le calcul du champ en complexe et minimiser ainsi le temps de calcul, nous
devons tout d’abord démontrer que les pertes calculées en magnétodynamique avec la
rotation des aimants permanents sont équivalentes au double des pertes qui sont générées
par des aimants à l’arrêt (sans rotation du rotor) en supposant qu’ils sont pulsants. C’est-à-
dire que l’intensité de leur aimantation varie d’une façon sinusoïdale dans le temps.
Ensuite, nous devons établir une modélisation équivalente des aimants pulsants basée sur
une représentation ampérienne (densité de courant) afin de faciliter leur implantation dans
le calcul du champ en complexe.
• Équivalence des pertes avec ou sans rotation des aimants
Pour démonter cette équivalence des pertes, nous considérons une machine sans encoches
où le rotor est à l’arrêt et les aimants sont supposés être aimantés radialement avec une
aimantation M qui varie sinusoïdalement dans le temps (aimants pulsants) à une pulsation
ω=pΩ. Le même raisonnement utilisé dans cette démonstration peut être effectué quand il
s’agit des aimants avec des aimantations parallèles ou de type Halbach. Dans ce cas, la
distribution spatiale du vecteur d’aimantation est similaire à celle déjà établie
précédemment dans l’équation (2.29) pour des aimants en rotation. Elle s’exprime par :
( ) ( ) ( )( ),,, cos( )
2s ss j kp p t j kp p tr kjkp
r s r kk k
MM t M p t e e eθ θθθ
+∞ +∞− Ω + Ω
=−∞ =−∞
= Ω = +∑ ∑ (3.54)
À partir de cette équation, nous pouvons remarquer que les aimants pulsants vont créer des
champs harmoniques pulsants de rang k dont les amplitudes varient sinusoïdalement à la
pulsation ω. Chaque champ harmonique pulsant peut être considéré comme la
superposition de deux champs harmoniques tournants direct Hd,k et inverse Hi,k
d’amplitudes constantes proportionnelles à , / 2r kM et qui tournent respectivement aux
vitesses angulaires +Ω/k et –Ω/k.
Chapitre 3 137
En utilisant la même procédure de calcul analytique du champ établie au chapitre 2 et en
appliquant la méthode d’intégration de la densité de courant, nous démontrons que les
pertes par courants de Foucault à vide (Pcf,m,arrêt) induites dans la culasse du stator par les
aimants pulsants à l’arrêt du rotor sont égales à la somme des pertes générées par les deux
champs tournants direct et inverse. Étant donné que les pertes générées par ces deux
champs tournants sont égales et que celles correspondant à leur interaction sont nulles, nous
pouvons écrire :
5
4
(5), , (5) *
, , , , , , , , , ,0
( )22. 2. Imag ( )so
si
r R
m d kcf m arrêt cf m d cf m i cf m d m d k
krs r R
dR rLP P P P p r R rdr
πµ µ
=+∞
=−∞ =
−= + = = Ω
∑ (3.55)
où :
(5) (5) (5)
, , , , , , , , , ,
2, , 0
( ) ( ) ( )m d k m d k m d k m d k m d k
m d k rs s
R r A I r B K r
jpα ατ τ
τ µ µ σ
= +
= − Ω (3.56)
La comparaison des expressions (3.13) et (3.55) permet de constater que les pertes par
courants de Foucault à vide (Pcf,m,rot) générées dans la culasse du stator par des aimants en
rotation sont égales au double des pertes (Pcf,m,arrêt) générées par les aimants pulsants à
l’arrêt car les fonctions (5),m kR et (5)
, ,m d kR dépendent respectivement de ,r kM et , / 2r kM . Cela
est vrai seulement pour le fondamental du champ magnétique (k=1). Cependant, il existe
une petite différence dans le cas des autres harmoniques (k≠1), due au fait que les champs
magnétiques harmoniques tournent à +Ω quand le rotor est en rotation (aimants en rotation)
et à ±Ω/k lorsque le rotor est à l’arrêt et les aimants sont pulsants ( 2 2, , ,m k m d kτ τ≠ ). Toutefois,
cette différence peut être négligée puisque l’entrefer des machines sans encoches est
généralement très important et la contribution des harmoniques aux pertes à vide est faible
par rapport à celle du fondamental. Par conséquent, pour calculer les pertes par courants de
Foucault en magnétodynamique avec la rotation des aimants, il suffit de les calculer en
considérant que le rotor est l’arrêt et que les aimants sont pulsants et multiplier, ensuite, le
résultat par un facteur de 2. Ainsi, nous pouvons écrire :
, , , ,2.cf m rot cf m arrêtP P= (3.57)
Chapitre 3 138
• Modélisation équivalente des aimants en complexe
Afin d’établir une modélisation équivalente aux aimants pulsants et faciliter ainsi leur
implantation dans le calcul du champ en complexe, nous pouvons nous baser sur une
représentation ampérienne des aimants. Elle consiste à remplacer la distribution de
l’aimantation des aimants par une distribution de courants fictifs (appelés courants
ampériens) à l’intérieur du volume de chaque aimant et sur sa surface extérieure et qui
produit le même champ magnétique que celui créé par les aimants. Cette distribution de
courants comporte une répartition volumique de densité Ja,v et une répartition surfacique de
densité Ja,s exprimées comme suit [85], [137] :
( )
0 mr
rot
µ µ=a,v
MJ
(3.58)
0 mr
nµ µ
×=a,s
MJ
(3.59)
où M
est le vecteur d’aimantation des aimants, µrm est leur perméabilité relative et n est le
vecteur unitaire normal à leurs surfaces.
Étant donné que le vecteur d’aimantation ne dépend pas de la direction radiale,
l’application des formules (3.58) et (3.59) aux différents types d’aimants considérés dans
cette thèse montre que la densité volumique de courant Ja,v est toujours nulle et que seule la
densité surfacique de courant est effective. La figure 3.12 présente les modèles équivalents
des aimants avec des aimantations radiale, parallèle et diamétrale que nous avons obtenues
en appliquant la formule (3.59) de la densité surfacique de courant. Dans le calcul du
champ en complexe, l’implantation des aimants doit être effectuée en variant
sinusoïdalement dans le temps l’amplitude de la densité surfacique de courant afin de
modéliser l’effet pulsatoire des aimants. La fréquence de variation est imposée par la
vitesse de rotation du rotor (ω=pΩ).
Chapitre 3 139
,0
sina srm
MJ θµ µ
=
,0
sina srm
MJ θµ µ
=
,0
cos2m
a srm
MJε
µ µ =
θ
,0
a srm
MJµ µ
=
εm/2
,0
sina srm
MJ θµ µ
=
,0
sina srm
MJ θµ µ
=
θ
Figure 3.12 : Modèles équivalents des aimants permanents avec aimantation (a) radiale, (b)
parallèle et (c) diamétrale
• Processus de correction des pertes en complexe
Le processus de correction des pertes par courants de Foucault dans la culasse statorique en
SMC basé sur le calcul du champ en complexe est similaire à celui proposé pour la
magnétodynamique (cf. Fig 3.13). Les pertes en charge calculées analytiquement en 2D
sont corrigées par un coefficient de correction Kc déterminé à partir de la simulation de
deux modèles équivalents de la machine sans encoches à vide en calcul du champ en
complexe en 2D et en 3D. Ces deux modèles sont basés sur la modélisation précédente des
aimants et se diffèrent seulement au niveau des effets 3D.
L’application de ce processus de correction des pertes à la machine MSE-1 nous a permis
de tracer et de comparer la variation du coefficient de correction Kc en fonction du rapport
entre la longueur de la machine et le pas polaire avec celle du coefficient Kp basé sur la
modélisation en magnétodynamique en instantané (cf. Fig. 3.14). Les simulations ont été
effectuées à l’aide du logiciel Flux2D/3D en complexe. Étant donné que la représentation
de la distribution surfacique du courant équivalente aux aimants radiaux de la machine
n’était possible qu’en 2D, nous avons modélisé cette distribution en 2D et en 3D avec une
(a) (b)
(c)
Chapitre 3 140
bobine rectangulaire de faible largeur parcourue par un courant sinusoïdal d’une densité
volumique équivalente à la densité surfacique. À partir de la figure 3.14, nous pouvons
remarquer que les deux coefficients sont très proches et que les pertes corrigées avec le
processus de correction en complexe seront légèrement surestimées. Cela n’aura pas une
grande influence sur la conception optimale de la machine.
Évaluation des pertes à vide par calcul du champ en 2D
en complexe (Pcfc,m-2D) (modèle équivalent)
Évaluation des pertes en charge par calcul
analytique en 2D (Pcf-2D)
Calcul du facteur de correction des pertes Kc=Pcfc,m-3D/Pcfc,m-2D
DonnéesParamètres
Évaluation des pertes à vide par calcul du champ en 3D
en complexe (Pcfc,m-3D) (modèle équivalent)
Correction des pertes 2D Pcf=Kc.Pcf-2D
Figure 3.13 : Processus de correction des pertes par courants de Foucault dans la culasse
statorique en SMC d’une machine sans encoches basé sur le calcul numérique du champ en 3D en complexe
La représentation des distributions des densités surfaciques de courant des différents types
d’aimants (cf. Fig. 3.12) dans le calcul du champ en complexe en 2D ou en 3D est plus
difficile à cause des limitations des logiciels du calcul du champ. Idéalement, pour effectuer
ces simulations et avoir une bonne précision, il serait nécessaire d’implanter et de
programmer ces différentes distributions dans ces logiciels. Une autre méthode plus simple
et plus précise est de modéliser et d’implanter directement dans les logiciels du calcul du
champ en complexe des aimants permanents pulsants avec des aimantations dont les
intensités varient sinusoïdalement dans le temps.
Chapitre 3 141
Figure 3.14 : Variation des coefficients de correction des pertes Kc et Kp en fonction du rapport
entre la longueur et le pas polaire de la machine MSE-1 pour une vitesse de 20000 rpm
3.8 Validation expérimentale des pertes magnétiques dans le stator en SMC
Cette partie présente une validation expérimentale du modèle analytique de calcul des
pertes magnétiques à vide (pertes par courants de Foucault et pertes d’hystérésis) dans les
stators en SMC des machines sans encoches à haute vitesse. Une approche de mesure des
pertes magnétiques est proposée. Elle est basée sur une mesure directe et précise du couple
résistant correspondant à ces pertes. Cette approche est une alternative pour l’évaluation
des pertes magnétiques différente de la méthode classique basée sur la méthode
thermométrique [55], [139]. Pour mettre en œuvre cette approche, un banc d’essai à haute
vitesse a été conçu et réalisé dans lequel la machine testée a été dimensionnée de manière à
minimiser les effets 3D et à respecter dans la mesure du possible les hypothèses
d’invariance par translation du calcul 2D. Grâce à une construction modulaire de la
machine, le banc d’essai permet de caractériser les pertes magnétiques dans différents types
de matériaux SMC ainsi que leurs propriétés (conductivité et perméabilité) et de comparer
ces pertes magnétiques (rotatives) avec celles mesurées à partir des essais statiques. Il
permet aussi de caractériser d’autres types de matériaux magnétiques et de valider
expérimentalement diverses méthodes de modélisation et de calcul de pertes magnétiques
[139].
0 2 4 6 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Longueur/pas polaire
Kp &
Kc
KpKc
Chapitre 3 142
3.8.1 Structure de la machine sans encoches considérée
Le prototype de la machine élaboré pour effectuer la validation expérimentale des pertes
magnétiques est une structure sans encoches à aimants permanents à pôles lisses (cf. Fig.
3.15). Le rotor de la machine, en fer massif, comporte 16 pôles identiques composés
d’aimants permanents de type NdFeB à aimantation radiale de 1.2T. Le stator est une
culasse cylindrique non encochées sans bobinage réalisée en SMC et qui constitue
l’échantillon du matériau à caractériser.
La conception optimale du prototype a été réalisée de manière à permettre d’effectuer des
mesures plus précises des pertes magnétiques avec différents grades de matériaux SMC et à
maximiser ces pertes dans le cas du matériau le moins conducteur. La méthode de
conception utilisée est basée sur un modèle de dimensionnement analytique associé à une
procédure d’optimisation non-linéaire. Ce modèle est issu de la prédiction de la distribution
du champ magnétique à vide en 2D produit par les aimants et par les courants de Foucault
induits dans la culasse du stator en SMC en utilisant la modélisation électromagnétique
analytique établie au chapitre 2. Les pertes par courants de Foucault et les pertes
d’hystérésis sont calculées en se basant sur les formules de pertes développées
précédemment dans le paragraphe 3.3.2. La longueur axiale de la machine a été choisie et
ajustée afin de minimiser les effets 3D sur les pertes par courants de Foucault et de
satisfaire ainsi les hypothèses 2D. Cela a été effectué en utilisant un mécanisme itératif de
correction des pertes par courants de Foucault similaire à celui proposé dans le paragraphe
3.7.2 en se basant sur des simulations en calcul numérique du champ en 3D en
magnétodynamique avec une méthode de pas à pas dans le temps et la pris en compte de la
rotation des aimants.
Les différentes caractéristiques et dimensions optimales de la machine test sont présentées
dans le tableau 3.1. Notons que le nombre de pôles a été choisi plus élevé afin de permettre,
d’une part, d’augmenter la fréquence de variation du champ magnétique ainsi que les pertes
magnétiques pour des vitesses de rotation mécaniques peu élevées, et d’autre part, de
rendre le pas polaire plus faible devant la longueur axiale pour réduire les effets de bord.
Pour les dimensions optimales obtenues, les pertes par courants de Foucault évaluées en 3D
représentent environ 93% de celles calculées en 2D pour une longueur axiale de 117 mm et
Chapitre 3 143
un rapport de la longueur par rapport au pas polaire de 5.5. Cela a été considéré acceptable
et valide le dimensionnement optimal du prototype.
Stator en SMC
Rotor
Aimants
Figure 3.15 : Structure du prototype de la machine sans encoches considérée
Paramètre Valeur Nombre de pôles 16 Longueur axiale 117 mm Diamètre externe du stator 62.5 mm Épaisseur de la culasse du stator 11 mm Diamètre interne du stator 51.5 mm Entrefer mécanique 2 mm Épaisseur des aimants 3.18 mm Diamètre du rotor 46.3 mm Coefficient d’ouverture des aimants 0.7 Aimantation rémanente des aimants (NdFeB) 1.2 T Perméabilité des aimants (NdFeB) 1.05
Tableau 3.1 : Principales caractéristiques et dimensions de la machine test
3.8.2 Identification des paramètres des matériaux SMC utilisés
Afin de comparer les pertes magnétiques calculées analytiquement dans le stator en SMC
du prototype avec celles mesurées expérimentalement à l’aide du banc d’essai, une
identification des paramètres (conductivité σs, perméabilité relative µrs, coefficients des
pertes d’hystérésis Cm et x) des différents matériaux SMC utilisés pour cette validation est
nécessaire. Cette identification est réalisée à partir des essais conventionnels statiques sur
Chapitre 3 144
chaque culasse statorique en SMC à caractériser. La conductivité du matériau SMC est
déterminée en utilisant la méthode de mesure de résistivité à l’aide d’un micro-ohmmètre à
quatre pointes [74], [140]. Cependant, la perméabilité et les coefficients des pertes sont
déterminés respectivement à partir de la mesure de la caractéristique d’aimantation et des
pertes magnétiques totales dans le matériau SMC à l’aide du montage expérimental de
caractérisation magnétique développé au LEEPCI et qui est présenté à la figure 3.16. Dans
ce montage, deux enroulements ayant le même nombre de spires sont réalisés sur la culasse
torique du stator afin de réaliser un transformateur fonctionnant à vide où le primaire est
alimenté par une source de tension sinusoïdale. La mesure instantanée du courant au
primaire i1(t) et de la tension à vide au secondaire v2(t) permet d’obtenir la variation du
champ magnétique H appliqué ainsi que celle de l’induction B dans la culasse du stator en
fonction du temps en utilisant les expressions suivantes :
1 1( )( )m
N i tH tl
= (3.60)
22
1( ) ( )e
B t v t dtN A
= ∫ (3.61)
où N1 et N2 représentent respectivement le nombre de spires au primaire et au secondaire
(N1=N2), lm est la longueur moyenne du parcours du flux et Ae est la section du circuit
magnétique. À partir de la mesure du champ magnétique H(t) et l’induction B(t), nous
déterminons facilement la courbe d’aimantation qui permet de relever la perméabilité du
matériau SMC correspondant à l’induction pour laquelle le prototype a été dimensionné
(0.56T).
Les pertes magnétiques totales dans le matériau SMC correspondent à la valeur moyenne
de la puissance instantanée mesurée à partir du courant au primaire et de la tension au
secondaire. Afin de déterminer les coefficients de pertes d’hystérésis Cm et x, nous avons
effectué une séparation des pertes en nous basant sur la formule analytique suivante où les
pertes excédentaires ont été négligées :
2 2[ / ] xh m m cf mP W kg C B f C B f= + (3.62)
Chapitre 3 145
L’identification des différents paramètres Cm, x et Ccf de cette formule a été effectuée en
utilisant la méthode des moindres carrés. L’implantation de la formule (3.62) dans le
logiciel Excel pour plusieurs valeurs d’induction et de fréquence et l’utilisation du Solveur
d’Excel (méthode d’optimisation) pour minimiser les résidus de la méthode des moindres
carrés nous ont permis de séparer les pertes en identifiant leurs différents coefficients.
Figure 3.16 : Montage expérimental de mesure de la courbe d’aimantation et des pertes magnétiques dans les matériaux SMC
Quatre types de matériaux SMC avec différentes conductivités et perméabilités ont été
identifiés et utilisés pour réaliser la validation expérimentale des pertes magnétiques. Le
tableau 3.2 résume les différentes caractéristiques de ces matériaux caractérisés à partir de
la méthode d’identification que l’on vient d’expliquer.
Paramètre / Matériau Matériau 1 Matériau 2 Matériau 3 Matériau 4 Perméabilité µrs 210 213 220 226
Conductivité σs [s/m] 800 1200 4800 7500 Cm 0.1707 0.1720 0.1731 0.1751 x 1.515 1.537 1.601 1.629
Tableau 3.2 : Caractéristiques des matériaux SMC utilisés
Chapitre 3 146
3.8.3 Description du banc d’essai
Le banc d’essai utilisé pour la mesure du couple de pertes magnétiques est un entraînement
constitué du prototype de la machine test entraîné par un moteur asynchrone bipolaire de
3HP, alimenté à fréquence et à tension variables par un onduleur (cf. Fig. 3.17). Cet
entraînement permet d’atteindre des vitesses de l’ordre de 10000 rpm avec une puissance
constante de 3 HP au-dessus de 3600 rpm. Cela permet de relever les variations des pertes
magnétiques en fonction de la fréquence sur une large plage de vitesse. Le stator de la
machine à aimants permanents est réalisé de façon modulaire afin de changer facilement les
échantillons de matériaux SMC dont on veut caractériser les pertes magnétiques. Il est
monté en balance sur le bâti du banc d’essai en utilisant des roulements spéciaux afin de
minimiser les pertes mécaniques dues au frottement. L’enceinte du stator est reliée à une
jauge de contraintes permettant une mesure précise du couple de pertes magnétiques
s’exerçant sur la culasse du stator.
Figure 3.17 : Banc d’essai de mesure du couple de pertes magnétiques dans la culasse du stator
3.8.4 Résultats de mesure des pertes magnétiques
L’utilisation du banc d’essai a permis de mesurer les pertes magnétiques totales dans la
culasse statorique de la machine test pour les quatre matériaux SMC du tableau 3.2. La
figure 3.18 présente les variations des couples correspondant à ces pertes en fonction de la
vitesse de rotation. Ces couples mesurés sont comparés avec ceux obtenus à partir du
modèle analytique de calcul des pertes magnétiques à vide développé précédemment dans
le paragraphe 3.3.2 et qui a été utilisé pour le dimensionnement optimal du prototype de la
Variateur de vitesse
Moteur asynchrone
Stator du prototype de la machine test monté en balance
Jauge de contraintes
Chapitre 3 147
machine test. À partir de cette figure, nous pouvons remarquer qu’il y a une bonne
coïncidence entre les résultats expérimentaux et ceux prédits analytiquement. Les
différences sont dues essentiellement, d’une part, aux erreurs introduites par les effets 3D
qui ne sont pas vraiment négligeables, et d’autre part, aux erreurs de mesure et
d’identification des paramètres des matériaux SMC.
Figure 3.18 : Variation des couples de pertes magnétiques mesurés expérimentalement et de ceux
calculés analytiquement en fonction de la vitesse pour 4 types de matériaux SMC
3.9 Étude de l’influence de quelques paramètres sur les pertes magnétiques dans le stator en SMC
Dans cette partie, nous présentons une investigation portant sur l’effet de variation de
quelques paramètres, qui peuvent être contrôlés pendant le processus de conception des
machines sans encoches, sur les pertes magnétiques en charge dissipées dans la culasse du
stator en SMC. Les paramètres considérés dans cette étude sont la conductivité du matériau
SMC, l’épaisseur de la culasse du stator et l’angle de commande ψ entre la forme d’onde de
la force électromotrice à vide et celle du courant d’alimentation.
3.9.1 Influence de la conductivité du matériau SMC
Le modèle analytique en 2D des pertes magnétiques en charge dans la culasse du stator en
SMC développé dans le paragraphe 3.3.2 est utilisé pour quantifier l’influence de la
conductivité sur ces pertes. Pour effectuer cette analyse, nous considérons le moteur sans
0 2000 4000 6000 80000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Vitesse (rpm)
Cou
ple
de p
erte
s (N
m)
µrs=210σs=800s/m
µrs=213σs=1200s/m
µrs=220σs=4800s/m
µrs=226σs=7500s/m
Chapitre 3 148
encoches MSE-2 dont la structure et les principales caractéristiques sont données dans
l’annexe B.2. Il s’agit d’une machine à haute vitesse d’une puissance nominale de 1 kW à
une vitesse de 30000 rpm et qui comporte 6 encoches et 2 pôles avec des aimants
permanents de type NdFeB à aimantation diamétrale. La frette de maintien des aimants est
considérée non magnétique et non conductrice. Le moteur est supposé être alimenté par des
courants de forme d’onde rectangulaire avec une amplitude de courant continu Idc=6.45A et
un angle de commande ψ égal à 0. Dans cette étude, la conductivité du matériau SMC
constituant la culasse du stator est considérée variable, tandis que la perméabilité est
supposée être constante et égale à 200.
La figure 3.19 présente la variation des pertes magnétiques en charge dans la culasse du
stator en fonction de la conductivité du matériau SMC. Elle présente aussi les différentes
composantes du couple explicitées dans le paragraphe 2.8.4. Le couple net est obtenu par
soustraction du couple correspondant aux pertes d’hystérésis du couple électromagnétique.
Comme ψ=0, le troisième terme du produit *.cs csJ J dans l’équation (3.11) ne contribue pas
à la création des pertes par courants de Foucault.
Figure 3.19 : Variation (a) des pertes magnétiques en charge dans la culasse du stator de la
machine MSE-2 et (b) des différentes composantes du couple en fonction de la conductivité du matériau SMC
Nous pouvons constater que lorsque la conductivité augmente, les pertes par courant de
Foucault augmentent linéairement et le couple électromagnétique diminue aussi
linéairement à cause du couple de freinage créé par les courants de Foucault induits dans la
culasse du stator. Cependant, les pertes d’hystérésis restent approximativement constantes.
0 1 2 3 4 5x 104
0
50
100
150
200
Conductivité du matériau SMC [s/m]
Per
tes
mag
nétiq
ues
[W]
Calcul analytique Calcul numérique Pertes totales
Pertes par courants de Foucault
Pertes d'hystérésis
0 1 2 3 4 5x 104
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Conductivité du matériau SMC [s/m]
Cou
ple
[Nm
]
Couple aimants/bobinage Couple aimants/courants de FoucaultCouple électromagnétiqueCouple net
(a) (b)
Chapitre 3 149
Nous pouvons remarquer aussi que les pertes par courants de Foucault obtenues à partir du
modèle analytique sont validées par les simulations en calcul numérique du champ en 2D :
une excellente correspondance entre les résultats obtenus par les deux méthodes de calcul
peut être constatée.
3.9.2 Influence de l’épaisseur de la culasse du stator en SMC
Cette analyse est effectuée en considérant la machine MSE-2 dont la culasse du stator est
réalisée à partir du matériau SMC Mat-1 et dont le bobinage est alimenté par les mêmes
formes d’ondes de courants précédentes. La figure 3.20 présente l’évolution des pertes
magnétiques en charge ainsi que les diverses composantes du couple de la machine lorsque
l’épaisseur de la culasse du stator en SMC varie. La variation de cette épaisseur est
effectuée en variant seulement le diamètre externe du stator, tandis que les autres
dimensions et caractéristiques du moteur restent inchangées.
Figure 3.20 : Variation (a) des pertes magnétiques en charge dans le stator de la machine MSE-2
et (b) des différentes composantes du couple en fonction de l’épaisseur de la culasse du stator
Nous pouvons remarquer à partir de cette figure que l’épaisseur de la culasse du stator a
une influence significative sur les performances de la machine. Lorsque l’épaisseur
augmente, les pertes par courants de Foucault augmentent et les pertes d’hystérésis
diminuent. Ces deux composantes de pertes ne varient plus et deviennent pratiquement
constantes quand l’épaisseur de la culasse dépasse environ le double de la profondeur de
pénétration des courants de Foucault. Nous remarquons aussi qu’il existe une certaine
valeur de l’épaisseur de la culasse du stator qui minimise les pertes magnétiques totales et
0 0.02 0.04 0.06 0.080
20
40
60
80
100
Épaisseur de la culasse du stator [m]
Per
tes
mag
nétiq
ues
[W]
Calcul analytique Calcul numérique Pertes totalesPertes par
courants de Foucault
Pertes d'hystérésis
0 0.02 0.04 0.06 0.08
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Épaisseur de la culasse du stator [m]
Cou
ple
[Nm
]
Couple aimants/bobinageCouple aimants/courants de FoucaultCouple électromagnétiqueCouple net
(a) (b)
Chapitre 3 150
où le couple du moteur correspondant est maximal. Nous pouvons alors conclure qu’il
existe des compromis à faire entre les dimensions de la culasse du stator et la conductivité
du matériau SMC afin d’améliorer les performances du moteur (couple et rendement) et
d’assurer un dimensionnement optimal.
3.9.3 Influence de l’angle de commande ψ
L’angle de commande ψ entre la forme d’onde de la force électromotrice à vide et celle du
courant d’alimentation, qui peut être imposé par la commande du convertisseur statique
alimentant la machine sans encoches, peut avoir une influence très significative sur les
pertes magnétiques totales dissipées dans la culasse du stator en SMC pour un
fonctionnement en charge. La figure 3.21 présente et compare la variation des pertes
magnétiques à vide et en charge en fonction de l’angle de commande ψ en considérant la
machine MSE-1 alimentée par des courants rectangulaires tel que Idc=6.3 A. Les résultats
sont donnés pour une vitesse de rotation de 50000 rpm supérieure à la vitesse nominale
(20000 rpm) afin d’augmenter les effets des courants de Foucault. Les pertes magnétiques à
vide sont constantes quand il n’y a pas de réaction d’induit. Cependant, les pertes par
courants de Foucault et les pertes d’hystérésis en charge sont fortement influencées par les
variations de l’angle ψ. Dans ce cas, le troisième terme du produit *.cs csJ J dans l’équation
(3.11) contribue effectivement à la création des pertes par courants de Foucault par le biais
de la composante des pertes Pcf,ms donnée dans l’équation (3.15). Selon le signe de l’angle
de commande ψ, les combinaisons des harmoniques de temps h et d’espace k du champ
magnétique tournant de réaction d’induit, qui sont synchrones ave le rotor (k+h=0),
augmentent ou diminuent les harmoniques d’espace k du champ magnétique à vide créé par
les aimants. C’est-à-dire que, lorsque l’angle ψ augmente, la réaction d’induit devient de
plus en plus magnétisante et le troisième terme du produit *.cs csJ J augmente les pertes par
courants de Foucault. Un effet contraire est remarqué quand la réaction d’induit est
démagnétisante. Par ailleurs, les pertes d’hystérésis évoluent pratiquement d’une façon
similaire aux pertes par courants de Foucault quand l’angle de commande ψ change.
Chapitre 3 151
Figure 3.21 : Variation des pertes magnétiques à vide et en charge dans la culasse du stator en
SMC de la machine MSE-1 en fonction de l’angle de commande ψ
3.10 Conclusion
Au cours de ce chapitre, nous avons présenté le calcul et l’analyse des différents types de
pertes dissipées dans les machines sans encoches à aimants permanents à haute vitesse.
Mise à part les pertes mécaniques qui ont été calculées analytiquement sous forme de pertes
de friction d’air sur le rotor et de pertes de frottement dans les roulements, le calcul de
toutes les autres pertes a été effectué en se basant sur les résultats de la modélisation
électromagnétique analytique en 2D de la machine sans encoches développée dans le
chapitre 2. Les pertes Joule dans le bobinage du stator ont été calculées en tenant compte
des pertes supplémentaires dues à l’effet de peau et de proximité dans les conducteurs. Les
pertes magnétiques au stator ont été déterminées pour un fonctionnement en charge de la
machine en considérant à la fois les culasses du stator réalisées en fer laminé et celles
fabriquées à partir des matériaux SMC. Les pertes dans les matériaux SMC ont été
calculées en tenant compte de l’influence de l’angle de commande entre la fem et le
courant. Une attention particulière a été réservée au calcul des pertes par courants de
Foucault dans les pièces massives conductrices de la machine, que ce soit au niveau du
stator ou du rotor où plusieurs méthodes de calcul ont été proposées. Les pertes au rotor ont
été déterminées au niveau de la frette et des aimants en considérant que ces derniers
peuvent être segmentés transversalement en petits blocs. Des études ont été effectuées pour
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 800
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Angle de contrôle ψ (deg)
Per
tes
mag
nétiq
ues
[W]
En chage À vide
Pertes totales
Pertes par courants de Foucault
Pertes d'hystérésis
Chapitre 3 152
montrer que le fait d’ajouter une frette conductrice autour du rotor ou de segmenter les
aimants permet de diminuer d’une façon significative les pertes totales au rotor.
Le modèle analytique en 2D de calcul de pertes magnétiques dans le stator en SMC a été
validé, d’une part, à l’aide des simulations en calcul numérique du champ en 2D, et d’autre
part, en utilisant un montage expérimental où une approche de mesure des pertes
magnétiques basée sur la mesure directe du couple de pertes a été proposée. La
confrontation des résultats analytiques avec ceux issus du calcul numérique du champ en
2D et de l’expérience s’avère très satisfaisante. Une validation du calcul analytique des
pertes par courants de Foucault dans la culasse du stator en SMC a été aussi effectuée à
l’aide du calcul numérique du champ en 3D afin de quantifier les effets de bord. Cette
validation a démontré que les effets 3D ont une grande influence lorsque la longueur du
stator n’est pas assez importante par rapport au pas polaire et que l’hypothèse de 2D n’est
pas suffisante pour assurer un calcul plus précis de ces pertes et un dimensionnement
optimal de la machine. Pour remédier à ce problème, une méthode de correction des pertes
par courants de Foucault calculées analytiquement en 2D a été proposée et qui est basée sur
l’introduction d’un facteur de correction déterminé à partir des simulations en calcul
numérique du champ en 3D. Ce calcul peut être effectué en magnétodynamique en
instantané dans le temps avec rotation des aimants ou en complexe en régime permanent
avec des aimants pulsants à l’arrêt. L’implantation de la méthode avec un calcul du champ
en 3D en complexe a démontré qu’un gain très important au niveau du temps de calcul peut
être obtenu tout en assurant une bonne précision. Étant donné que les effets 3D ont été
négligés lors du calcul des pertes dans les aimants et dans la frette conductrice, nous notons
que ces effets peuvent aussi être pris en compte en appliquant la même méthode de
correction des pertes proposée dans ce chapitre pour les culasses du stator en SMC.
Une étude de l’effet de la variation de la conductivité du matériau SMC, de l’épaisseur de
la culasse du stator et de l’angle de commande ψ sur les pertes magnétiques au stator nous a
permis de conclure que ces paramètres ont une grande influence et qu’ils peuvent être
contrôlés afin d’améliorer le rendement et d’assurer un dimensionnement optimal de la
machine.
Chapitre 3 153
Notons que le calcul des différentes pertes établi dans ce chapitre a été effectué en
considérant la machine sans encoches généralisée à rotor interne avec un stator en SMC et
une frette conductrice. Le calcul des pertes pour les autres structures de machines sans
encoches considérées dans cette thèse peut être facilement développé à partir des
expressions déjà établies avec quelques modifications mineures.
Equation Chapter 4 Section 1
CHAPITRE IV
4 MODÈLE ÉLECTRIQUE ÉQUIVALENT DE
L’ENSEMBLE CONVERTISSEUR-MACHINE
4.1 Introduction
Le dimensionnement de la machine sans encoches à aimants permanents en tenant compte
du type et de la forme d’onde des grandeurs électriques imposées par son alimentation
(tensions ou courants délivrés par le convertisseur statique) est nécessaire pour effectuer
une évaluation plus précise des différentes performances et garantir un dimensionnement
optimal de l’ensemble convertisseur-machine. Pour tenir compte de l’effet de l’alimentation
lors du dimensionnement de la machine, nous avons besoin tout d’abord d’établir un
modèle électrique équivalent de régime permanent de cette machine. Ce modèle doit être
couplé à celui du convertisseur statique afin d’établir un modèle électrique équivalent
global de l’ensemble convertisseur-machine. La simulation ou la résolution analytique de
ce modèle permet, d’une part, d’analyser le fonctionnement de la machine pour son point
d’opération, et d’autre part, de déterminer soit le courant dans la machine quand la tension
est imposée par un convertisseur à commutation de tension ou la tension aux bornes de la
machine lorsqu’il s’agit d’un convertisseur à commutation de courant. La connaissance de
ces grandeurs électriques permet d’évaluer les différentes caractéristiques et performances
globales de l’ensemble convertisseur-machine comme par exemple les inductions, le
couple, les pertes, etc., et d’effectuer l’adaptation de la machine à son alimentation.
Dans ce chapitre, nous présentons le développement d’un modèle de type circuit électrique
équivalent de l’ensemble convertisseur-machine en considérant les différents types de
convertisseurs statiques décrits au chapitre 1. Les paramètres du modèle équivalent sont
Chapitre 4 155
déterminés analytiquement à partir des dimensions géométriques de la machine, des
caractéristiques des matériaux, du bobinage et des caractéristiques du convertisseur
statique. Nous procédons, dans une première partie, à l’établissement du modèle électrique
équivalent de régime permanent de la machine en faisant intervenir les grandeurs
électriques caractéristiques de la machine (fem, inductance et résistance). Nous présentons
ensuite le modèle électrique équivalent de l’ensemble convertisseur-machine lorsque la
machine est alimentée en tension. Dans ce cas, plusieurs types d’onduleurs sont
considérés : onduleurs de type 120o à onde rectangulaire de courant, onduleur de type MLI
à courant sinusoïdal et onduleur de type 180o à onde pleine de tension. Enfin, nous
développons le modèle électrique équivalent de l’ensemble convertisseur-machine dans le
cas où la machine est alimentée en courant par un onduleur ou un redresseur à thyristors.
Dans ce dernier cas, le couplage fort entre le circuit électrique de la machine et celui du
convertisseur, dû à la commutation électronique du courant, est résolu en utilisant une
approche innovante qui consiste à introduire un mécanisme de correction spécifique.
Notons que dans le développement des modèles électriques équivalents des ensembles
convertisseurs-machines considérés dans cette thèse, les pertes au niveau des interrupteurs
sont négligées.
4.2 Détermination du modèle électrique équivalent de la machine
Le modèle électrique équivalent de la machine est déterminé en considérant les paramètres
électriques établis précédemment dans le chapitre 2 : résistance, inductance et fem. Ces
paramètres dépendent des dimensions géométriques de la machine, des caractéristiques des
matériaux et de la structure du bobinage. Pour établir ce modèle, les hypothèses
simplificatrices suivantes sont adoptées :
• La résistance Rs d’une phase du bobinage, déterminée précédemment en tenant
compte de l’effet de peau et de proximité, est supposée constante. Cela signifie que
chaque harmonique de courant de rang h voit la même résistance ;
• La résistance électrique correspondant aux pertes fer (pertes par courants de
Foucault et pertes d’hystérésis) dans la culasse du stator est négligée ;
Chapitre 4 156
• La résistance électrique équivalente aux pertes par courants de Foucault dans la
frette (dans le cas où elle est conductrice) est aussi négligée.
Le comportement électrique de la machine peut être décrit par l’équation reliant le courant
et la tension aux bornes de l’enroulement d’une phase. En considérant une convention
récepteur, cette équation électrique s’exprime pour la phase υ par :
, , ,( ) ( ) ( )( ) ( ) s m
s
d t d t d tv t R i t
dt dt dtυ σ υ υ
υ υ
φ φ φ= + + + (4.1)
où φs,υ, φσ,υ et φm,υ sont respectivement le flux dû aux courants statoriques, le flux de fuite
des têtes de bobines et le flux à vide.
En faisant intervenir les paramètres électriques de la machine, l’équation électrique
devient :
,,
( ) ( )( ) ( ) ( )hs sc h s
h
di t di tv t R i t L L e tdt dt
υ υυ υ σ υ
+∞
=−∞
= + + +∑ (4.2)
Cette expression tient compte des effets des courants de Foucault dans la culasse statorique
et dans la frette par le biais de l’inductance cyclique harmonique Lsc,h. Elle peut être réécrite
d’une manière plus simple en remplaçant eυ(t), iυ(t) et vυ(t) par leurs expressions complexes
exprimées en fonction des harmoniques de temps de rang h (cf. équations (2.42) et
(2.105)) :
( )
( )( )
( )( )
21
21
21
( )jh t
mh
h
jh tm
hh
jh tm
hh
e t E e
i t I e
v t V e
πω υ
υ
πω υ
υ
πω υ
υ
+∞ − −
=−∞
+∞ − −
=−∞
+∞ − −
=−∞
=
= =
∑
∑
∑
où :
(4) *, 2
2
2
h
h
hh h m h
jhh
jhh
EE Lp k Hj
II ej
VV ej
ϕ
β
π δ
−
−
= Ω =
= =
(4.3)
Rappelons que la fem est prise comme origine des phases et que le calage de la machine
(angle ψ) est réalisé en imposant la phase à l’origine des courants au stator. Dans ce cas,
l’équation électrique de la machine peut être réduite à l’équation complexe suivante et cela
pour les 3 phases de la machine :
Chapitre 4 157
( ),h h s s sc h hV E R jh L L Iσω = + + + (4.4)
où la somme Lsσ + Lsc,h désigne l’inductance synchrone harmonique qu’on note désormais
Ls,h.
Cette équation décrit directement le fonctionnement électrique de la machine en régime
permanent pour chaque harmonique de temps de rang h. Elle correspond au modèle
électrique équivalent harmonique illustré dans la figure 4.1. Ainsi, l’étude du
fonctionnement de l’ensemble convertisseur-machine et le calcul des performances
globales peut être réalisé en couplant ce modèle avec celui du convertisseur statique et en
appliquant le principe de superposition à l’ensemble des harmoniques. Notons que
l’équation électrique associée au modèle développé est utilisée pour adapter la tension de la
machine à celle du convertisseur en ajustant le nombre de spires des enroulements. Notons
aussi qu’un modèle électrique similaire peut être facilement déduit quand la machine
fonctionne en générateur [141].
Rh Ls,h
EhVh
Ih
Figure 4.1 : Modèle électrique monophasé équivalent de la machine pour l’harmonique de rang h
4.3 Modèle électrique équivalent de l’ensemble convertisseur-machine pour le cas d’une alimentation par convertisseur à commutation de tension
Dans cette partie, nous présentons le modèle électrique équivalent de l’ensemble
convertisseur-machine quand la machine sans encoches est alimentée par un onduleur de
tension. La résolution de ce modèle permet de déterminer la forme d’onde du courant dans
la machine pour accéder aux performances et de faire l’adaptation de la machine à son
Chapitre 4 158
alimentation dépendamment de la tension du bus DC disponible. Le modèle est développé
pour les trois types d’onduleurs de tension mentionnés précédemment dans le chapitre 1 :
onduleur de type 120o à onde rectangulaire de courant, onduleur de type MLI à courant
sinusoïdal et onduleur de type 180o à onde pleine de tension.
Soulignons que le modèle électrique équivalent de l’ensemble convertisseur-machine
proposée pour l’onduleur de type MLI à courant sinusoïdal peut être facilement adapté et
appliqué si la machine fonctionne en alternateur et est couplée à un redresseur commandé à
MLI.
4.3.1 Cas d’une machine alimentée par onduleur de tension de type 120o
4.3.1.1 Description du système
L’onduleur de tension de type 120o à onde de courant rectangulaire est généralement utilisé
pour alimenter les moteurs synchrones à aimants permanents ("brushless") de petites
puissances (par exemple les perceuses, les ventilateurs d’équipement électroniques, etc.)
[142], [143]. Ces moteurs, souvent à pôles lisses et à force électromotrice de forme
trapézoïdale, sont plus économiques et leur architecture de commande est plus simple et de
faible coût surtout pour le capteur de position qui est généralement un capteur à effet Hall
[144]–[147]. L’alimentation de ce type de moteurs avec des formes d’ondes rectangulaires
de courant synchronisées avec les forces électromotrices permet d’obtenir un couple
constant d’ondulation pratiquement nulle (cf. Fig. 4.2). Ce type d’onduleur peut aussi être
utilisé pour alimenter des moteurs avec des fem sinusoïdales : dans ce cas, une ondulation
du couple apparaîtra.
Chapitre 4 159
Couple
Courant
fem
ωtπ/6 5π/6
π2π
ωt
(a)
(b)
Figure 4.2 : (a) Formes d’ondes idéales de la fem (trapézoïdale) et du courant de phase d’un
moteur à aimants alimenté par onduleur de type 120o et (b) forme d’onde du couple
Pour les machines sans encoches à aimants permanents considérées dans cette thèse, la fem
est sinusoïdale dans le cas d’une machine à deux pôles avec des aimants aimantés
diamétralement ou dans le cas d’une machine avec des aimants de type Halbach. Par contre,
la fem n’est ni sinusoïdale ni trapézoïdale lorsqu’il s’agit des aimants aimantés radialement
(cf. Fig. 2.12). L’alimentation de la machine avec un onduleur 120o à onde rectangulaire de
courant produit inévitablement des ondulations de couple comme cela a été montré dans la
figure 2.14.
La figure 4.3 présente le schéma bloc simplifié de l’ensemble convertisseur-machine
considéré. Il est composé de la machine sans encoches alimentée par un onduleur de
tension de type 120o constitué de six transistors montés en antiparallèle avec des diodes.
L’onduleur est alimenté à partir d’une source de tension continue. La machine est
autopilotée grâce à l’utilisation d’un capteur de position qui permet de détecter la position
du rotor de façon à assurer un déphasage nul entre la fem et le courant d’une phase de la
machine. Généralement, ce capteur est de type à effet Hall qui fournit trois signaux de 180o
déphasés de 120o. À noter que la position du rotor peut aussi être détectée par d’autres
types de capteurs (par exemple : un capteur optique) ou estimée sans utilisation de capteur
("sensorless") [148]–[150]. Le bloc de commande permet de contrôler la commutation
électronique des interrupteurs suivant les signaux reçus du capteur de position et
éventuellement des asservissements de couple (régulateur de courant) et/ou de vitesse et de
position.
Chapitre 4 160
Commande
Vdc
Capteur de position
MSE
Onduleur
Figure 4.3 : Schéma bloc simplifié de l’ensemble convertisseur-machine avec onduleur de tension
Pour ce type d’onduleur, plusieurs types de commandes sont considérés pour assurer un
courant de forme rectangulaire : commande 120o à onde entière de tension, commande 120o
avec contrôle du courant par MLI et commande 120o avec contrôle du courant par
comparateur à hystérésis.
• Commande 120o avec onde pleine de tension
Ce type de commande fixe le passage du courant dans les phases de la machine à des angles
de 120o. En effet, deux interrupteurs de l’onduleur conduisent à un instant donné en faisant
parcourir le courant dans deux phases. Chaque interrupteur conduit pendant une période de
120o et commute suivant les signaux envoyés par le capteur de position. Il existe un temps
mort de 60o qui sépare les commandes des interrupteurs constituant un même bras de
l’onduleur (cf. Fig. 4.4). La tension appliquée aux bornes de la machine n’est pas
totalement imposée par l’alimentation et dépend des conditions de fonctionnement [131],
[151], [152].
La figure 4.5 montre les formes d’ondes pratiques des tensions de phase et de ligne, du
courant et de la fem (tenant compte des harmoniques) relevées par simulation de la machine
MSE-1 alimentée par un onduleur 120o à onde pleine de tension. On remarque que la forme
d’onde de la tension n’est pas vraiment rectangulaire ni celle du courant. L’onde de tension
est modifiée par les forces électromotrices induites dans les trois phases de la machine. Elle
présente aussi des encoches dues à la commutation. Cela influence la forme du courant qui
est différente d’une onde rectangulaire. Le temps de montée et de descente du courant est
Chapitre 4 161
influencé par l’inductance de la machine. Cependant, étant donné que les machines sans
encoches de petite puissance ont une résistance relativement plus importante et que leur
inductance est généralement faible à cause du large entrefer magnétique, nous faisons
l’hypothèse que les formes d’ondes de courant et de tension sont rectangulaires pour établir
le modèle électrique équivalent de ce type d’ensemble convertisseur-machine. L’intégration
d’un outil de simulation sans à priori dans l’environnement de conception décrit dans le
chapitre suivant permettra d’apporter les correctifs nécessaires à cette hypothèse
simplificatrice qui, dans les faits, est validée par les résultats (cf. tableau 5.4).
ωt
Vdc/2
-Vdc/2
1 1'2 2'
33'
1 1'2
3'
120o 60o
va ea
(a)
(b)
θ
Figure 4.4 : (a) Séquence de commande et (a) formes d’ondes d’un onduleur de type 120o à onde
pleine de tension (avec fem supposée sinusoïdale) [131]
Figure 4.5 : Formes d’ondes réelles des tensions et du courant de la machine MSE-1 alimentée par
un onduleur de tension de type 120o à onde pleine de tension (courant Ia × 2)
0.009 0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015-150
-100
-50
0
50
100
150
Temps [s]
Tens
ions
[V];
Cou
rant
[A]
Va fem
Uab
Ia (x2)
Chapitre 4 162
• Commandes 120o avec régulation du courant par MLI et par hystérésis
Dans ces deux types de commande, le régulateur de courant dans une phase de la machine
agit sur la modulation de la tension appliquée par l’onduleur et utilise une référence de
courant de forme rectangulaire [144], [148]. On peut utiliser un régulateur agissant sur une
commande de type MLI avec un correcteur conventionnel ou un régulateur par mode de
glissement (régulateur à hystérésis) [131], [153].
La figure 4.6 montre les formes d’ondes du courant qui peuvent être obtenues avec un
régulateur à hystérésis. Le courant présente des ondulations dues à la modulation de la
tension et il a une forme sensiblement trapézoïdale à cause de l’inductance de la machine.
Les temps de montée et de descente du courant sont généralement faibles et peuvent être
négligés dans le cas des machines sans encoches à faible puissance du fait de la faible
constante de temps de l’induit. Le modèle électrique équivalent de ces ensembles
convertisseurs-machines est supposé identique à celui utilisé pour l’alimentation à onde
pleine de tension. Pour le dimensionnement au point de fonctionnement nominal, nous
faisons l’hypothèse que le courant idéal a une forme rectangulaire ainsi que la tension. Les
harmoniques de haut rang associés aux fréquences de modulation ne sont pas prises en
compte.
Bande d’hystérésis
ωtπ/6 5π/6 2π
π
iréf
i
Figure 4.6 : Forme d’onde du courant obtenu par un régulateur à hystérésis
4.3.1.2 Développement du modèle électrique équivalent
Le modèle électrique équivalent des ensembles convertisseurs-machines développé ici est
supposé identique pour les trois types de commandes précédentes : commandes 120o à onde
Chapitre 4 163
pleine, à MLI et à hystérésis. Comme le courant est supposé de forme rectangulaire idéale
et qu’il est synchronisé avec la fem, l’angle de commande ψ entre le courant d’induit et la
fem est imposé àψ=0. La tension d’alimentation appliquée par l’onduleur à chaque phase
de la machine est supposée aussi de forme rectangulaire et d’amplitude crête Vdc/2.
Les harmoniques du courant d’induit peuvent être déterminées à partir des harmoniques de
la tension de phase et de la fem en résolvant l’équation (4.4) correspondant au modèle
électrique équivalent de la machine. Cependant le déphasage θ de la tension de phase par
rapport à la fem est inconnu. Dans ce cas, pour établir le modèle électrique équivalent, nous
proposons de calculer tout d’abord la valeur efficace du courant total Ieff directement à
partir de la densité efficace Jcu dans les conducteurs du bobinage. Cette densité de courant
sera imposée comme variable d’optimisation dans la procédure de conception en respectant
l’échauffement limite admissible de la machine. La densité Jcu est telle que :
2 2eff sp eff sp eff
cucu cu u e
I m N I m N IJ
s S K S= = = (4.5)
Donc, la valeur efficace du courant dans les conducteurs est :
2
u e cueff
sp
K S JIm N
= (4.6)
Nous calculons ensuite les harmoniques de courant par une décomposition en séries de
Fourier de la forme d’onde rectangulaire considérée. Ces harmoniques sont en phase avec
la fem (ϕh=0) et leurs valeurs efficaces en fonction de celle du fondamental sont telles que :
1 /hI I h= . Dans ce cas, la valeur efficace du courant total peut être exprimée par :
2 2
11 1
1 1
1 .n n
eff hh h
II I Ih h
α= =
= = =
∑ ∑ (4.7)
Le coefficient αh est introduit afin de tenir compte du nombre fini des harmoniques
considérés. Les valeurs maximales des harmoniques de courant considérés dans
l’établissement du modèle électrique équivalent (cf. équation (4.3)) peuvent être déduites
alors comme suit :
Chapitre 4 164
12 2 22
eff u e cuh
h h sp
I K S JIIh h h m Nα α
= = =
(4.8)
Le courant continu du bus DC peut aussi être déterminé à partir de :
1
6dcII π
= (4.9)
Connaissant les harmoniques de courant et ceux de la fem, la valeur efficace du
fondamental de la tension d’alimentation d’une phase V1 peut être facilement déterminée à
partir du diagramme vectoriel de la figure 4.7 qui correspond à l’équation (4.4) et qui est
établi pour les valeurs fondamentales pour un angle ψ=0. Cette tension est :
( ) ( )221 1 1 ,1 1s sV E R I L Iω= + + (4.10)
La tension calculée doit être adaptée pour qu’elle soit égale à celle imposée par l’onduleur
de tension suivant la tension Vdc disponible dans le bus continu. Cela peut être effectué en
ajustant le nombre de spires Nsp. Ce nombre sera d’ailleurs une variable du problème
d’optimisation décrit au chapitre 5. Il sera soumis à la contrainte d’égalité suivante :
1 13 0.38982
dcimposée dc
VV V Vπ−= = = (4.11)
Il est important de noter que selon les conventions prises dans la modélisation analytique de
la machine, les anglesψ et θ considérés pour ce cas peuvent être exprimés en fonction des
angles des grandeurs électriques utilisés dans le modèle électrique comme suit : 1ψ ϕ= − et
1θ β= − .
Figure 4.7 : Diagramme vectoriel de la machine pour l’harmonique de rang 1 (fondamental)
Chapitre 4 165
L’approche utilisée ici pour développer le modèle électrique équivalent de l’ensemble
convertisseur-machine et pour adapter la machine à l’onduleur est une approche simplifiée
suite aux hypothèses simplificatrices considérées : formes d’ondes rectangulaires du
courant et de la tension et utilisation des valeurs fondamentales pour l’adaptation de la
tension. Cela peut conduire à une mauvaise adaptation de la machine à son alimentation si
la tension Vdc est faible (Nsp faible). Pour remédier à ce problème, nous proposons dans le
chapitre 5 d’effectuer une simulation du modèle électrique du système sur Matlab/Simulink
après avoir obtenu une solution optimale de la procédure de conception de la machine. Cela
permettra de vérifier les valeurs des tensions et des courants obtenus, d’ajuster au besoin le
nombre de spires pour corriger les erreurs et réaliser ainsi une bonne adaptation.
4.3.2 Cas d’une machine alimentée par onduleur de tension à MLI à courant sinusoïdal
4.3.2.1 Description du système
Le schéma de principe et le fonctionnement de ce type d’ensemble convertisseur-machine
sont semblables à ceux de l’onduleur 120o avec régulation du courant de forme
rectangulaire par MLI (cf. Fig. 4.3). Il s’agit en fait des machines synchrones sans encoches
à aimants permanents autopilotées et alimentées en courants sinusoïdaux, et qui sont
généralement de petites et moyennes puissances. Le courant est régulé par une consigne de
forme sinusoïdale réglable en amplitude et en phase par rapport à la fem. Généralement, à
ce niveau de puissance, l’angle d’autopilotage ψ est réglé à 0 (ψ=0) afin d’obtenir le
maximum de couple au niveau de la machine. La tension de phase appliquée par l’onduleur
est modulée par le régulateur de courant et le système MLI de façon à imposer dans la
machine des courants quasi-sinusoïdaux avec un faible contenu harmonique. Les capteurs
de position utilisés dans ce type de montage doivent avoir une haute résolution, ce sont des
encodeurs absolus, des encodeurs incrémentaux ou des résolveurs. L’asservissement de la
vitesse de la machine peut être réalisé par une régulation en cascade avec la régulation de
courant. À noter qu’on peut aussi utiliser des régulateurs de courant à hystérésis si on tolère
une fréquence de modulation variable [151].
Chapitre 4 166
4.3.2.2 Développement du modèle électrique équivalent
Le modèle électrique équivalent de l’ensemble convertisseur-machine avec un onduleur de
tension à MLI à courant sinusoïdal est identique à celui développé précédemment pour les
onduleurs 120o en considérant seulement les valeurs fondamentales des tensions et des
courants. Les grandeurs électriques sont considérées purement sinusoïdales et les
harmoniques de la fem, du courant et de la tension de phase peuvent alors être négligés.
L’adaptation de la tension de la machine à l’alimentation continue de l’onduleur peut être
effectuée à partir de l’expression (4.10) et la relation suivante en supposant que le rapport
de modulation est égal à 1 (ma=1) au point de fonctionnement nominal :
1 1 0.35362 2
dcimposée dc
VV V V−= = = (4.12)
4.3.3 Cas d’une machine alimentée par onduleur de tension de type 180o
à onde pleine
4.3.3.1 Description du système
Le schéma de principe de ce type d’ensemble convertisseur-machine est identique à celui
de la figure 4.3. Ce type de montage peut être utilisé pour alimenter les machines sans
encoches à aimants permanents de faibles puissances. Contrairement à l’onduleur 120o à
onde pleine de tension, trois interrupteurs conduisent à chaque instant en alimentant les 3
phases de la machine. Les deux interrupteurs du même bras de l’onduleur fonctionnent de
manière complémentaire et conduisent pendant 180o chacun. La commutation se fait
suivant les signaux envoyés par le capteur de position. La tension aux bornes de la machine
est imposée et ne dépend que de la commande [152], [154]. La figure 4.8 montre la
séquence de commande réalisée par ce type d’onduleur ainsi que les formes d’ondes de la
tension de phase et de la fem supposée sinusoïdale dans le cas des machines sans encoches.
Pour la régulation du couple, la tension appliquée à la machine peut être réglée en variant la
tension du bus DC par l’intermédiaire d’un autre convertisseur statique de type redresseur
ou hacheur [131].
Chapitre 4 167
ωt
2Vdc/3Vdc/3
1 1'2 2'
33'
1 1'2
3'
180o
va
ea
(a)
(b)
32'
3
θ
Figure 4.8 : (a) Séquence de commande et (a) formes d’ondes d’un onduleur de type 180o à onde
pleine de tension (avec fem supposée sinusoïdale) [131]
4.3.3.2 Développement du modèle électrique équivalent
Pour établir ce modèle, nous devons tout d’abord déterminer les harmoniques de la tension
de phase imposée à la machine. Ces harmoniques peuvent être parfaitement définis à partir
du calcul de leurs modules complexes exprimés dans l’expression (4.3). En prenant la fem
comme origine de phase et en effectuant la décomposition en séries de Fourier complexes
de l’onde de tension de la figure 4.8, nous trouvons :
2
hjhh
VV ej
β−=
(4.13)
où :
( )4 1 cos 1 2sin sin
6 6 2dc
h
h
V h hV hh
h
π πππ
β θ
= − +
= −
(4.14)
Le calcul des harmoniques complexes du courant d’induit peut être effectué par la
résolution de l’équation (4.4). Il vient alors :
,
h hh
s s h
V EIR jh Lω
−=
+ (4.15)
Chapitre 4 168
Le module et les angles des harmoniques de courant peuvent être déterminés facilement à
partir de cette dernière expression. Notons que le courant total calculé à partir de ce modèle
électrique équivalent doit respecter l’échauffement maximal admissible par la machine qui
sera considéré pendant le dimensionnement.
La figure 4.9 présente les formes d’ondes de la fem, du courant et des tensions de phase et
de ligne aux bornes de la machine sans encoches MSE-1 obtenues en utilisant la
modélisation analytique proposée pour une tension Vdc=100V. Ces courbes sont données
pour deux valeurs de l’angle θ en considérant les harmoniques de la fem issus du modèle de
calcul de champ du chapitre 2. Nous remarquons que la tension de phase obtenue est
différente de celle idéale de la figure 4.8. Cela est dû à la contre réaction des harmoniques
d’ordre 3 contenus dans les forces électromotrices de la machine. En effet, il faut ajouter à
chaque niveau de la tension idéale, le terme ( ) / 3a b ce e e+ + .
Figure 4.9 : Formes d’ondes des tensions et du courant de la machine MSE-1 alimentée par un
onduleur de tension de type 180o à onde pleine de tension pour θ =0o et θ=20o
Le dimensionnement de la machine sans encoches alimentée par un onduleur 180o sera
effectué pour un fonctionnement à couple maximal, c’est-à-dire que le fondamental de la
force électromotrice sera considéré en phase avec celui du courant : ψ=0 [151]. Cela nous
permettra de comparer les performances de cette machine avec celle alimentée par un
onduleur 120o dans les mêmes conditions de fonctionnement (cf. chapitre 6). Cependant,
l’angle ψ entre la fem et le courant est inconnu étant donné que ce dernier est une
conséquence directe de l’application d’une tension bien définie imposée par l’onduleur.
0 1 2 3 4 5 6x 10-3
-100
-50
0
50
100
Temps [s]
Tesn
ions
[V],
Cou
rant
[A] Uab
Va
fem
Ia
(a) θ=0o
0 1 2 3 4 5 6
x 10-3
-100
-50
0
50
100
Temps [s]
Tesn
ions
[V],
Cou
rant
[A] Uab
Va
Ia
fem
(b) θ=20o
Chapitre 4 169
Pour résoudre ce problème, nous proposons d’effectuer le dimensionnement en prenant
l’angle θ (angle entre la tension de phase et la fem) comme variable d’optimisation qu’on
peut ajuster afin d’imposer un angle ψ nul (cf. chapitre 5). Pour cela, nous devons forcer
l’égalité des tensions suivantes déduites à partir des diagrammes vectoriels de la figure
4.10 :
( ) ( )221,1 1 1 1 ,1 1cos sins sV E R I E L Iψ ψ ω= + + + (4.16)
( ) ( )221,2 1 1 ,1 1s sV E R I L Iω= + + (4.17)
Suivant la tension continue Vdc disponible, l’adaptation de la tension aux bornes de la
machine à celle imposée par l’onduleur peut être effectuée en modifiant le nombre de spires
Nsp qui sera pris comme variable d’optimisation. La tension exprimée par la relation (4.16)
doit être contrainte à être identique à celle appliquée par l’onduleur :
1,1 12 0.4502imposée dc dcV V V V
π−= = = (4.18)
Figure 4.10 : Diagrammes vectoriels de la machine pour l’harmonique de rang 1 pour (a) ψ ≠ 0 et
(b) ψ = 0
4.4 Modèle électrique équivalent de l’ensemble convertisseur-machine pour le cas d’une alimentation par convertisseur à commutation de courant
Nous présentons, dans cette partie, le modèle électrique équivalent de l’ensemble
convertisseur-machine lorsque la machine sans encoches est couplée à un convertisseur à
Chapitre 4 170
commutation de courant. Tel que précisé dans le chapitre 1, le convertisseur limité aux
commutateurs à commutation assistée est un convertisseur à thyristors fonctionnant en
redresseur ou en onduleur suivant que la machine fonctionne en moteur ou en générateur. Il
est important de rappeler que le modèle proposé dans cette partie est développé pour le cas
d’une machine fonctionnant en générateur qui débite sur un redresseur. Ce type de montage
est généralement utilisé dans les systèmes de génération à haute vitesse à turbines à gaz de
moyennes et de grandes puissances [5], [52]. Ces systèmes peuvent être embarqués dans
plusieurs applications comme les bateaux, les véhicules hybrides, les groupes électrogènes,
etc. [19], [20], [121]. La même méthodologie de modélisation proposée ici peut être
appliquée dans le cas d’un fonctionnement en moteur ou en générateur.
4.4.1 Description du système
La figure 4.11 présente le système de génération à haute vitesse considéré. Il utilise une
machine sans encoches à aimants permanents entraînée par une turbine à gaz et qui débite
sur un redresseur à six thyristors. Le redresseur fournit la puissance active à la charge à
travers un filtre LC et assure une tension continue et régulée à la sortie.
Rappelons que les différents modèles établis dans la thèse ont été généralisés en
considérant une machine sans encoches avec un stator en SMC et une frette conductrice (cf.
paragraphe 2.2.4). Cependant, nous considérons ici que la machine est munie d’une frette
non conductrice qui peut être de type fibre de carbone par exemple. En effet, généralement
les machines avec encoches à aimants permanents à haute vitesse débitant sur un redresseur
sont équipées d’une frette conductrice afin de diminuer les pertes au rotor et de faciliter la
commutation du courant dans les interrupteurs par réduction de l’inductance transitoire [5],
[21]. Toutefois, puisque les machines sans encoches ont une faible inductance comparée à
celle des machines avec encoches, la commutation peut être aussi effectuée sans
introduction de frette conductrice [141]. De plus, les pertes au rotor peuvent être diminuées
par une segmentation des aimants.
Chapitre 4 171
Turbine à gaz Générateur Charge
Redresseur Filtre LC
θa
Figure 4.11 : Système de génération DC à haute vitesse avec redresseur à thyristors
Le dimensionnement du système de génération de la figure 4.11 est une tâche complexe à
cause du couplage fort existant entre les performances de la machine et celles du
convertisseur qui sont influencées par la commutation assistée du courant à haute
fréquence. Les formes d’ondes du courant d’induit et de la tension continue de sortie sont
fortement dépendantes de l’impédance transitoire de la machine. Cette impédance est
complexe dans le cas des machines à SMC et dépend de la fréquence (cf. paragraphe 2.8.2).
D’un côté, l’impédance transitoire a une influence importante sur la tension DC de sortie du
système de génération à cause des chutes de tension dans le redresseur. D’un autre côté, les
performances du générateur en termes de couple et de pertes dépendent fortement des
harmoniques du courant d’induit. Par conséquent, le couplage fort entre la machine et le
redresseur doit être pris en compte au niveau du modèle électrique équivalent de l’ensemble
convertisseur-machine, il sera résolu par une approche basée sur l’utilisation d’un
mécanisme de correction spécifique dans le processus de conception par optimisation
globale présenté au chapitre 5. À noter que le dimensionnement du système de génération
sera effectué pour un angle d’amorçage nul (θa=0) correspondant à un fonctionnement en
pleine charge.
4.4.2 Développement du modèle électrique équivalent
Le modèle électrique équivalent de l’ensemble convertisseur-machine est développé en
couplant le modèle du redresseur avec celui du générateur (cf. paragraphe 4.2). Le modèle
de la machine est établi en considérant une convention générateur où les harmoniques de la
fem sont pris en compte. Cependant, nous supposons que l’inductance harmonique de la
machine Ls,h correspondant à chaque harmonique de courant est constante dans le domaine
fréquentiel. Cette inductance est faiblement dépendante de la fréquence autant pour les
Chapitre 4 172
machines de petites puissances (cf. Fig. 2.17) que pour celles de grandes puissances [141].
Par conséquent, le circuit électrique équivalent de la machine est supposé être composé
d’une source de tension non-sinusoïdale correspondant à la fem connectée en série avec
l’inductance et la résistance du stator.
Pour effectuer le couplage entre la machine et le redresseur et faire leur adaptation, on
utilise deux modèles électriques équivalents de l’ensemble convertisseur-machine : un
premier modèle analytique intégré dans le modèle global de dimensionnement de la
machine et qui ne tient pas parfaitement compte du phénomène de commutation; et un
deuxième modèle fin (modèle résolu par simulation sans à priori) utilisé pour corriger le
premier modèle. La correction est effectuée par couplage du modèle de dimensionnement
de la machine avec le modèle de simulation sans à priori du système de génération en
utilisant un mécanisme de correction spécifique pendant le processus d’optimisation (cf.
Fig. 5.11).
La figure 4.12 présente les entrées et sorties du modèle analytique de dimensionnement du
générateur. Les entrées du modèle sont : les dimensions géométriques, les paramètres
structurels (nombre de pôles, nombre d’encoches, etc.), la vitesse, le contenu harmonique
du courant d’induit (amplitudes et phases) et la valeur corrigée Kco(i)Vdo de la tension DC de
sortie Vdo spécifiée dans le cahier des charges. Le coefficient Kco(i) est un facteur de
correction variable utilisé pour implanter le mécanisme de correction. Les performances en
termes de couple, de pertes et de rendement, les paramètres du circuit électrique équivalent
de la machine, la tension continue de sortie Vdi calculée analytiquement sont les principales
sorties du modèle de dimensionnement. Notons que n’importe quelle forme d’onde de
courant peut être imposée à l’entrée de ce modèle en termes de fondamental et
d’harmoniques. À partir du courant imposé, le module complexe des harmoniques de la
tension aux bornes de la machine sont calculés en utilisant l’équation suivante pour une
convention générateur :
,h h s s h hV E R jh L Iω = − + (4.19)
Chapitre 4 173
La tension continue de sortie Vdi est déterminée d’une façon simplifiée à partir du
fondamental de la tension de phase en négligeant la commutation et en considérant que
θa=0 :
13 6
diV Vπ
= (4.20)
La tension Vdi calculée par le modèle de dimensionnement doit respecter la condition
( )di co i doV K V≥ qui sera imposée comme contrainte d’optimisation au chapitre 5. Cette
condition est adaptée en ajustant le nombre de spires et les autres variables d’optimisation.
Paramètres du circuit équivalent (fem, résistance, inductance vs
fréquence )Valeur corrigée de la tension
DC de sortie (Kco(i)Vdo)
Dimensions géométriques du générateur
Paramètres structurels (nombre de pôles,…)
Contenu harmonique du courant d’induit (Ih, ϕh)
Pertes, rendement
CoupleModèle de dimensionnement analytique de la
machine
Tension DC de sortie calculée (Vdi)
Vitesse
Figure 4.12 : Entrées et sorties du modèle analytique de dimensionnement de la machine dans le
cas d’une alimentation en courant
Le modèle électrique équivalent sans à priori du système de génération total est présenté à
la figure 4.13. Il est composé du circuit électrique équivalent de la machine couplé au
circuit du redresseur. Les paramètres électriques de la machine (fem, Rs, Ls,1) sont
transférés à ce modèle à partir du modèle analytique de dimensionnement de la machine. Le
modèle électrique obtenu tient compte parfaitement de la commutation due à l’inductance
de la machine ainsi que des chutes de tension dans le redresseur. L’étage continu et la
charge du redresseur sont modélisés comme une source de courant continu constant Ido. Ce
courant est déduit du cahier des charges à partir de la tension continue de sortie Vdo et de la
puissance imposées. L’ondulation du courant de sortie du redresseur est supposée
négligeable grâce à un dimensionnement adapté du filtre LC.
Le circuit électrique de la figure 4.13 est simulé sans à priori dans Matlab/Simulink et une
analyse par FFT de la forme d’onde du courant d’induit est effectuée en régime permanent
Chapitre 4 174
afin de déterminer le fondamental et les harmoniques de ce courant. Les variables de sortie
de ce modèle sont les harmoniques du courant (modules et phases) et la tension de sortie du
redresseur simulée Vdsim qui tient compte de la chute de tension due à la commutation du
courant. Ces variables sont utilisées pour mettre au point le mécanisme de correction
permettant le couplage entre le modèle de dimensionnement de la machine et le modèle
sans à priori de l’ensemble convertisseur-machine.
fem (avec
harmoniques)
Résistance Rs
Inductance Ls1Tension DC de sortie
simulée (Vdsim)
Contenu harmonique du courant d’induit (Ih, ϕh)Ido
Figure 4.13 : Entrées et sorties du modèle électrique équivalent du système de génération
Pendant le processus d’optimisation de la machine, nous pouvons effectuer le couplage des
deux modèles et simuler sans à priori le circuit électrique du système de génération à
chaque itération des variables d’optimisation. Comme le temps de calcul peut être
prohibitif, nous proposons alors d’effectuer ce couplage à chaque solution optimale
intermédiaire de la procédure d’optimisation. Pour chaque solution optimale, le contenu
harmonique du courant est déterminé et un nouveau facteur de correction Kco(i+1) est calculé
par la formule (4.21). Ces grandeurs sont par la suite réinjectées dans le modèle analytique
de dimensionnement de la machine pour effectuer une nouvelle optimisation.
( 1)di
co idsim
VK
V+ = (4.21)
L’intégration du mécanisme de correction proposé au niveau de la procédure de conception
et d’optimisation globale de la machine est expliquée en détail dans le chapitre 5.
4.5 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté le développement du modèle électrique équivalent de
régime permanent de l’ensemble convertisseur statique-machine sans encoches en tenant
compte des interactions entre les deux dispositifs et en considérant deux types
Chapitre 4 175
d’alimentations : alimentation à commutation de tension et alimentation à commutation de
courant. Dans une première partie, un modèle électrique équivalent harmonique de la
machine a été proposé. Il décrit le fonctionnement électrique de la machine pour chaque
harmonique de temps de rang h et fait intervenir les paramètres électriques liés aux
caractéristiques dimensionnelles et constitutives de la machine. Ce modèle a été couplé par
la suite à celui du convertisseur statique pour constituer un modèle électrique global du
système permettant, grâce à sa résolution, d’évaluer d’une manière plus précise les
performances globales et d’effectuer l’adaptation machine-convertisseur.
Pour l’alimentation en tension, plusieurs types d’onduleurs ont été considérés dans
l’établissement du modèle électrique global de l’ensemble convertisseur-machine :
onduleurs de type 120o à forme d’onde rectangulaire de courant, onduleur de type MLI à
courant sinusoïdal et onduleur de type 180o à onde pleine de tension. Dans le cas d’une
alimentation par onduleur de type 120o (avec commandes 120o à onde pleine, à MLI et à
hystérésis), quelques hypothèse simplificatrices ont été adoptées pour l’établissement du
modèle électrique global. Nous avons alors proposé de corriger les erreurs dues à ces
hypothèses par une simulation sans à priori du modèle électrique sur Matlab/Simulink après
avoir obtenu une solution optimale de la procédure de conception de la machine.
Un modèle électrique équivalent de l’ensemble convertisseur-machine a été aussi établi
pour le cas d’une alimentation à commutation assistée de courant. Le couplage fort entre les
performances de la machine et celle du convertisseur dû au mécanisme de commutation est
résolu en proposant un mécanisme de correction spécifique qui sera intégré dans la
procédure de conception par optimisation de la machine présentée au chapitre 5. Notons
que cette approche de modélisation par correction proposée peut aussi être facilement
adaptée et utilisée pour le cas d’une machine alimentée par un onduleur de tension de type
120o. Cela permet d’obtenir les formes d’ondes réelles du courant et de la tension et de
corriger efficacement les hypothèses simplificatrices adoptées lors du développement du
modèle électrique équivalent du système.
Equation Chapter 5 Section 1
CHAPITRE V
5 DÉVELOPPEMENT DES PROCÉDURES DE
CONCEPTION ET D’OPTIMISATION GLOBALE
DES MACHINES SANS ENCOCHES À HAUTE
VITESSE
5.1 Introduction
Dans ce chapitre, nous présentons le développement et la mise en œuvre de la méthode de
conception optimale des machines sans encoches à aimants permanents à haute vitesse pour
les deux types d’alimentations par convertisseurs statiques considérés précédemment :
alimentation en tension et alimentation en courant. Cette méthode est basée sur le concept
de l’optimisation globale et utilise un modèle de dimensionnement global de la machine qui
intègre les modèles dimensionnels électromagnétique, thermique et mécanique pour évaluer
les performances et les contraintes spécifiées dans le cahier des charges. Le processus de
dimensionnement de la machine est effectué pour le point de fonctionnement nominal de
régime permanent et tient compte des courants induits dans les parties massives
conductrices de la machine et de son couplage avec le convertisseur statique.
Dans un premier temps, nous présentons le processus de conception général qui est utilisé
pour effectuer le dimensionnement des machines sans encoches. Ensuite, nous présentons
l’environnement de CAO qui intègre la procédure d’optimisation globale générale adoptée
en décrivant les différentes variables dimensionnelles, les objectifs et les contraintes. Les
outils de modélisation établis au cours des chapitres précédents (modèle électromagnétique,
modèle de calcul des pertes, modèle électrique équivalent de l’ensemble convertisseur-
Chapitre 5 177
machine) sont complétés par la suite en développant les équations de dimensionnement
électromagnétique, thermique et mécanique de la machine pour les deux types de rotor :
interne et externe. Cela nous permet d’établir un modèle de dimensionnement global que
nous formulons sous forme d’un problème d’optimisation non linéaire avec contraintes. Les
procédures de conception et d’optimisation sont ensuite décrites en détail pour les deux
types d’alimentations par convertisseurs statiques (en tension et en courant) où le
mécanisme de correction des pertes par courants de Foucault décrit dans le chapitre 3 pour
les stators en SMC est intégré dans le même environnement de CAO. Ce mécanisme
permet de tenir compte des effets 3D sur les pertes et d’améliorer la précision et la
convergence de la procédure générale itérative de conception optimale. Le mécanisme de
correction du couplage machine-convertisseur décrit dans le chapitre 4 est aussi intégré
lorsqu’il s’agit d’une alimentation en courant. Finalement, la méthode de conception
proposée est validée en dimensionnant deux moteurs sans encoches à deux pôles et à quatre
pôles à rotors internes avec des stators en SMC pour un cahier des charges d’outillage à
motorisation électrique.
5.2 Processus de conception général
Dans un processus de conception des machines électriques, l’objectif est de concevoir un
système optimal au sens du coût et des performances en respectant les spécifications du
cahier des charges de l’application. Ce processus est formulé comme un problème
d’optimisation globale qui maximise une fonction objectif de performances tout en
respectant les contraintes imposées par les spécifications. Pour garantir l’optimalité de cette
solution, l’approche de conception doit tenir compte de toutes les performances et
contraintes magnétiques, électriques, thermiques et mécaniques qui régissent le
fonctionnement de la machine. Dans le cas des machines sans encoches à haute vitesse, une
attention particulière doit être portée au dimensionnement mécanique du rotor, à
l’adaptation de la machine à son alimentation et à la minimisation des pertes.
Pour le dimensionnement des machines sans encoches considérées dans la thèse, le
processus de conception et d’optimisation globale adopté comporte plusieurs étapes (cf.
Fig. 5.1) :
Chapitre 5 178
• Définition du cahier des charges à partir d’une analyse de l’application à haute
vitesse considérée et de son environnement : cela permet de déterminer l’ensemble
des performances (couple, puissance, masse, rendement, etc.) et des contraintes
(encombrement, échauffement, saturation, mode de refroidissement, etc.) qui
doivent être satisfaites au cours de la conception des machines. L’ensemble des
spécifications du cahier des charges doit être présenté dans un formalisme
compatible avec une méthode d’optimisation non linéaire avec contraintes ;
• Choix d’une structure de l’ensemble convertisseur-machine dépendamment de
l’application et de son cahier des charges : ce choix est réalisé à partir de la liste des
machines sans encoches considérées dans la thèse (machines fonctionnant en
moteur ou en générateur, à rotor interne ou externe, à frette conductrice ou non
conductrice, à stator en SMC ou en fer laminé) ainsi que celle des convertisseurs
statiques qui y sont associés (onduleurs ou redresseurs, à commutation de courant
ou de tension). Quelques paramètres et caractéristiques structurels sont aussi fixés
dans cette étape comme par exemple le nombre de pôles, le nombre d’encoches, les
caractéristiques des aimants, la configuration du bobinage, etc. ;
• Développement des différents modèles électromagnétique, thermique et mécanique
afin de constituer un modèle de dimensionnement global de la machine. Notons que
cette étape très importante a été effectuée et détaillée dans les chapitres précédents
et qu’elle sera complétée dans ce chapitre en établissant les équations de
dimensionnement (cf. partie 5.4) ;
• Dimensionnement itératif de la machine en déterminant l’ensemble des
caractéristiques dimensionnelles et constitutives de la structure pour chaque vecteur
de variables d’état de dimensionnement ;
• Expérimentation simulée pour analyser et éventuellement évaluer à chaque itération
les performances et les contraintes de conception à partir du modèle de
dimensionnement incluant le modèle électrique équivalent de l’ensemble
convertisseur-machine ;
• Utilisation d’une procédure d’optimisation globale incluant le mécanisme de
correction des pertes par courant de Foucault par calcul numérique du champ en 3D
Chapitre 5 179
et éventuellement le mécanisme de correction permettant de résoudre le couplage
fort entre les performances de la machine et celle du convertisseur statique décrit
dans le chapitre 4 dans le cas d’une alimentation en courant. Ce processus permet de
trouver une solution optimale suivant les objectifs et les contraintes du cahier des
charges ;
• Validation, réalisation et essai du prototype optimal de la machine.
Définition du cahier des charges
Choix d’une structure machine-convertisseur
Création des modèles machine-convertisseur
Dimensionnement
Expérimentation simulée (évaluation des performances
et des contraintes)
Objectifs atteints?
Réalisation et essai du prototype optimal
Optimisation
Oui
Non
Figure 5.1 : Processus de conception général des machines sans encoches
L’objectif principal de la thèse est de développer un ensemble d’outils intégrés dans un
environnement de CAO qui permet d’optimiser le dimensionnement des machines sans
encoches à aimants permanents à haute vitesse. Tous les outils de cet environnement
permettant de réaliser les étapes du processus de conception et d’optimisation globale ont
été présentées, développées et mis en œuvre dans les chapitres précédents, ils seront
complétés dans ce chapitre.
Chapitre 5 180
5.3 Environnement de CAO avec l’optimisation globale
La structure et les différentes parties de l’environnement de CAO utilisé pour la conception
des machines sans encoches à haute vitesse sont présentées dans la figure 5.2. Cet
environnement est constitué principalement du modèle de dimensionnement analytique
global de la machine, d’une procédure d’optimisation non linéaire avec contraintes et du
mécanisme de correction des pertes par courants de Foucault dans le stator en SMC par
calcul numérique du champ en 3D pour tenir compte des effets de bord. Lorsque la machine
est connectée à un convertisseur à commutation de courant (onduleur ou redresseur), l’outil
de simulation sans à priori du modèle électrique équivalent de l’ensemble convertisseur-
machine et le mécanisme de correction permettant d’effectuer le couplage fort entre la
machine et son alimentation sont intégrés dans le même environnement de CAO. Tous les
différents outils de cet environnement sont implantés dans Matlab/Simulink. Cet outil de
CAO est utilisé d’une façon itérative afin de trouver des solutions optimales de
dimensionnement des machines sans encoches à haute vitesse. Le formalisme du problème
d’optimisation et le couplage entre les différentes parties de cet outil de CAO sont effectués
de manière à augmenter l’efficacité de l’outil en termes de précision et de temps de calcul.
Outil d’optimisation(Matlab Optimization Toolbox)
-Variables d’optimisation -Fonction objectif -Contraintes non linéaires
Modèle analytique de dimensionnement global de
la machine (Matlab)
Simulation en calcul numérique du champ en 3D
(Flux3D)+
Mécanisme de correction des pertes par courant de Foucault
Simulation sans à priori du modèle électrique équivalent
(SimPowerSystem) +
Mécanisme de correction de couplage convertisseur-machine
Figure 5.2 : Structure de l’environnement de CAO des machines sans encoches à haute vitesse
• Modèle de dimensionnement global
Chapitre 5 181
Le modèle de dimensionnement analytique global de la machine représente le cœur de
l’outil de CAO. Il regroupe les différents modèles dimensionnels électromagnétique,
thermique et mécanique de la machine ainsi que le modèle électrique équivalent analytique
de l’ensemble convertisseur-machine. La figure 5.3 présente les entrées et les sorties de ce
modèle dans le cas d’une alimentation en tension de la machine. Notons que dans le cas
d’une alimentation en courant, les entrées et sorties du modèle de dimensionnement ont été
fournies au paragraphe 4.4.2 du chapitre 4.
Pour l’alimentation en tension, le modèle de dimensionnement a pour entrées les
dimensions géométriques de la machine, les paramètres structurels liés aux caractéristiques
du bobinage, des aimants et des matériaux de la machine, la vitesse de fonctionnement et
les caractéristiques du convertisseur statique (tension de l’étage continu maximale). Ce
modèle permet, à partir d’un vecteur de variables dimensionnelles, d’évaluer les
performances de la machine et les différentes contraintes liées au cahier des charges
(contraintes mécaniques, thermiques, électriques et magnétiques). Les sorties du modèle
sont principalement : le couple, les pertes, le rendement, les paramètres du circuit électrique
équivalent de la machine, la masse, les inductions magnétiques, les tensions et les courants.
Ces variables de sortie sont utilisées pour évaluer une fonction objectif qui quantifie les
performances et diverses fonctions contraintes. La recherche des valeurs optimales des
variables dimensionnelles qui maximisent la fonction objectif en respectant les valeurs des
fonctions contraintes est assurée par une procédure d’optimisation non-linéaire avec
contraintes. Avec cette approche, qui prend en compte le couplage des différents modèles
de dimensionnement de l’ensemble convertisseur-machine, on réalise une optimisation
globale du système.
Figure 5.3 : Entrées et sorties du modèle analytique de dimensionnement de la machine dans le
cas d’une alimentation en tension
Chapitre 5 182
• Procédure d’optimisation non linéaire avec contraintes
Le problème de conception des machines électriques est un problème ouvert. Les
spécifications du cahier des charges conduisent souvent à un système ayant plus de
variables que d’équations en raison d’un manque de contraintes. La résolution du problème
de conception comporte en général une multitude de solutions. Il convient alors de vérifier
et de comparer les performances des différentes solutions possibles et de retenir la plus
intéressante au sens d’une fonction objectif définie par le concepteur.
Il existe plusieurs algorithmes d’optimisation non linéaire qui peuvent être utilisés dans la
littérature. Dans le cadre de cette thèse, nous avons choisi la méthode de la
«Programmation Quadratique Séquentielle» basée sur le calcul du gradient et de la matrice
hessienne du Lagrangien. C’est une méthode déterministe directe avec contraintes non
linéaires implantée dans le module Optimization Toolbox de Matlab sous la forme d’une
fonction appelée «fmincon».
La définition du problème d’optimisation consiste à déterminer les objectifs recherchés, les
variables d’optimisation et les contraintes en fonction du cahier des charges.
Dépendamment de l’application et du type d’ensemble convertisseur-machine, plusieurs
objectifs peuvent être minimisés ou maximisés pour le point de fonctionnement de régime
permanent :
• Maximisation du couple ou de la puissance ;
• Maximisation du rendement ou minimisation des pertes ;
• Minimisation du poids total ou du coût ;
• Maximisation d’une fonction objectif «hybride» : puissance massique, couple
massique, etc.
Comme la méthode d’optimisation considérée est mono-objectif et que les objectifs
précédents sont généralement spécifiés dans le cahier des charges des applications à haute
vitesse, un de ces critères peut être choisi comme fonction objectif principale et les autres
peuvent être mis sous forme de contraintes. C’est au niveau de la formulation du problème
Chapitre 5 183
d’optimisation que l’expertise du concepteur est mise à profit. L’environnement de CAO
mis au point permet à celui-ci de formuler facilement différents problèmes d’optimisation.
Les variables d’optimisation sont légèrement différentes suivant le type de machine sans
encoches (à rotor interne ou externe) et le type de convertisseur statique. Les principales
variables de dimensionnement utilisées sont :
• Le diamètre interne de la culasse du rotor (Dri) pour le cas d’une machine à rotor
interne ou le diamètre interne de la culasse du stator (Dsi) pour une machine à rotor
externe ;
• Les épaisseurs des différentes zones constitutives de la machine : épaisseurs de la
culasse du rotor (eculr), des aimants permanents (la), de l’entrefer (e), du bobinage
(hb) et de la culasse du stator (eculs). Le fait de commencer par le diamètre interne le
plus proche du centre de la machine (le diamètre le plus petit de la machine) et de
considérer les épaisseurs des différentes parties de la machine permet d’assurer une
grande stabilité de l’algorithme d’optimisation en proposant dans tous les cas une
machine réalisable ;
• Le rapport entre la largeur des aimants et le pas polaire β (ouverture des aimants) ;
• La longueur axiale active de la machine L ;
• Le nombre de spires des enroulements (Nsp). Ce paramètre est utilisé comme
variable d’optimisation puisqu’il intervient directement dans le calcul des pertes
supplémentaires dues à l’effet de peau et de proximité dans les conducteurs du
bobinage de la machine. Il sert aussi à effectuer l’adaptation de tension de la
machine à son alimentation.
Comme cela a été expliqué au chapitre 4, d’autres variables d’optimisation doivent être
ajoutées. Dans le cas d’une alimentation par onduleur de tension de type 120o ou de type
MLI à courant sinusoïdal, la densité efficace Jcu dans les conducteurs du bobinage est
imposée comme variable d’optimisation, tandis que dans le cas d’une alimentation par
onduleur de type 180o à onde pleine de tension, l’angle θ entre la tension de phase et la fem
est pris comme variable d’optimisation afin d’imposer un angle ψ nul.
Chapitre 5 184
Suivant le cahier des charges et le type de convertisseur statique utilisé, différentes
contraintes peuvent être définies et appliquées :
• Contraintes géométriques (encombrement maximal) ;
• Contraintes thermiques qui limitent l’échauffement maximal de la machine suivant
le mode de refroidissement utilisé ;
• Contraintes magnétiques (saturation et démagnétisation des aimants permanents) ;
• Contraintes mécaniques qui assurent l’intégrité mécanique du rotor et de la frette
pour les hautes vitesses ;
• Contraintes électriques (adaptation de la tension de la machine à celle du
convertisseur) ;
• Contraintes supplémentaires permettant de résoudre un problème de type multi-
objectif.
Notons que les variables d’optimisation, la fonction objectif et les différentes contraintes du
problème d’optimisation seront détaillées dans la partie 5.5 pour chaque type
d’alimentation.
• Mécanisme de correction des pertes par courants de Foucault
Dans l’environnement de CAO, la procédure d’optimisation est associée au mécanisme
itératif de correction des pertes par courant de Foucault induites dans la culasse du stator en
SMC et qui sont calculées en 2D. Comme il a été mentionné au paragraphe 3.7.2, des
simulations en calcul de champ par éléments finis en 3D en magnétodynamique en
instantané ou en complexe peuvent être effectuées pour déterminer des facteurs de
correction (Kp ou Kc) qui permettent de corriger les pertes en tenant compte des effets 3D.
Pour tirer avantage de la rapidité du modèle analytique de dimensionnement et de la
précision du calcul du champ, le mécanisme itératif de correction est appliqué en dehors de
la boucle d’optimisation (cf. partie 5.5). Cela permet de diminuer la durée d’exécution du
processus global d’optimisation en assurant une bonne précision au niveau du calcul des
pertes. Notons que le couple de freinage dû à l’interaction entre les aimants et les courants
Chapitre 5 185
de Foucault induits dans le stator en SMC est aussi corrigé en utilisant le même facteur de
correction des pertes.
• Mécanisme de correction pour le couplage machine-convertisseur de courant
Le mécanisme de correction permettant le couplage entre le modèle de dimensionnement de
la machine sans encoches et le modèle électrique de simulation sans à priori de l’ensemble
convertisseur-machine pour le cas d’un convertisseur à commutation de courant est déjà
décrit dans le chapitre 4. Son intégration détaillée au niveau de la procédure de conception
et d’optimisation est expliquée dans la partie 5.5 de ce chapitre.
5.4 Modèle de dimensionnement de la machine
Dans cette partie, nous présentons les différentes équations de dimensionnement
électromagnétique, thermique et mécanique des machines sans encoches avec rotors interne
et externe. Ces équations sont ajoutées aux différents outils de modélisation développés
dans les chapitres 2, 3 et 4 pour établir le modèle de dimensionnement. Elles sont
exprimées en fonction des variables dimensionnelles du problème d’optimisation et des
entrées du modèle de dimensionnement présentées dans la figure 5.3. Elles permettent de
dimensionner le circuit électromagnétique de la machine et d’exprimer les contraintes au
niveau de la saturation, de la démagnétisation des aimants, de l’échauffement maximal et
des contraintes mécaniques dues à la haute vitesse.
5.4.1 Dimensionnement électromagnétique
Le dimensionnement électromagnétique de la machine consiste à dimensionner les
différentes parties du stator et du rotor en évitant la saturation des matériaux magnétiques et
la démagnétisation des aimants et en adaptant la tension de la machine à celle imposée par
le convertisseur. Cela est effectué suivant les spécifications du cahier des charges. Dans le
cas d’une machine fonctionnant en alternateur, un courant de court-circuit supérieur au
courant nominal doit aussi être assuré. La figure 5.4 présente la structure de la machine
sans encoches pour les deux types de rotor (interne et externe) avec les différentes
dimensions. Ces structures sont utilisées pour établir le dimensionnement
Chapitre 5 186
électromagnétique où le stator peut être en SMC ou en fer laminé. À cause de l’absence des
dents, les conducteurs du bobinage peuvent occuper tout l’espace disponible. Cependant,
nous pouvons remarquer dans la figure 5.4 qu’un espace est ajouté entre les conducteurs de
deux encoches adjacentes. Cet espace est généralement occupé par le support du bobinage
et par l’isolation entre les phases et qui est caractérisé ici par le coefficient d’ouverture des
encoches (ke).
Nous pouvons aussi remarquer qu’une frette d’épaisseur ec est considérée même dans la
structure de la machine à rotor externe. Cette frette conductrice, qui n’a aucun rôle au
niveau du maintien des aimants, peut être éventuellement utilisée dans cette structure suite
à son utilité au niveau des performances électromagnétiques (cf. chapitre 1).
Rri=Dri/2
eclur
eclus
hb
ecla
e
r3=Dco/2
r6=Dso/2
r5=Dsi/2
r4=Db/2
r1=Dro/2 r2=Dm/2
βπ/p
(a)
Rsi=Dsi/2
eclur
eclus
hb
ecla
e
r3=Dci/2
r6=Dro/2
r5=Dri/2
r4=Dm/2
r1=Dso/2 r2=Db/2
βπ/p
(b) Figure 5.4 : Structure de la machine sans encoches et définition des dimensions pour (a) rotor
interne et (b) rotor externe
5.4.1.1 Dimensionnement du stator et du rotor
Les différents diamètres de la structure de la machine peuvent être déterminés à partir des
variables de dimensionnement géométriques. Pour une machine à rotor interne ou externe,
ces diamètres sont calculés comme suit :
Chapitre 5 187
• Pour une machine à rotor interne :
222222
ro ri culr
m ro a
co m c
b co
si b b
so si culs
D D eD D lD D eD D eD D hD D e
= + = + = + = + = +
= +
(5.1)
• Pour une machine à rotor externe :
222222
so si culs
b so b
ci b
m ci c
ri m a
ro ri culr
D D eD D hD D eD D eD D lD D e
= + = + = + = + = +
= +
(5.2)
Le calcul de la section totale du cuivre Scu en fonction du coefficient de remplissage des
encoches Ku et de la section totale d’encochage Se est déjà donné par l’expression (2.117).
Pour un rotor interne, la section Se est déterminée comme suit (une expression similaire est
utilisée pour le rotor externe) :
2 2
4si b cu
e eu
D D SS kK
π−= = (5.3)
5.4.1.2 Prise en compte de la saturation
Dans la procédure d’optimisation, les épaisseurs des culasses du rotor et du stator (eculr et
eculs) sont prises comme variables d’état du problème d’optimisation. Elles doivent être
contrôlées afin d’éviter la saturation des matériaux magnétiques au niveau du rotor et du
stator. Cela revient à limiter les inductions moyennes maximales (Bculrmax et Bculsmax) dans
les deux culasses à celles imposées par le cahier des charges (contraintes de saturation).
Dans le cas d’un rotor interne, l’induction moyenne Bculr(t) au niveau de la culasse du rotor
peut être calculée à partir du flux traversant la section latérale (S1) de la culasse au niveau
de l’angle θ2 (cf. Fig. 5.5). Ce flux est donné par :
Chapitre 5 188
( )1( ) ( ) ( )culr culr ro ri culr culrt B t R R L B t e Lφ = − = (5.4)
Le flux φclur1(t) est égal à celui qui traverse la section circonférentielle (S2) d’un demi-pôle
au niveau du rayon externe du rotor Rro (Rro=Dro/2=r1). Ce dernier flux (noté φclur2(t)) peut
être déterminé à partir du potentiel vecteur total exprimé dans la zone des aimants (i=1) en
utilisant les angles θ1 et θ2 de la figure 5.5 où 2 1 / (2 )pθ θ π= + [107] :
( )(1) (1)2 1 2 1 1( ) ( , , ) ( , , )A lculr tot tot tott d A r t A r t Lφ θ θ= = −∫
(5.5)
π/2p
θ1
θ2
Rro
Rri
(S1)
(S2)
Figure 5.5 : Structure du rotor interne de la machine et définition des angles θ1 et θ2
En utilisant l’expression du potentiel vecteur total (équation (2.97)) et celles des potentiels
vecteurs à vide et de réaction d’induit (équations (2.95) et (2.96)) exprimées dans le
référentiel du stator, l’expression du flux est alors :
( )
( )
11
11
..2(1)
2 , 1
. .(1) 2, , 1 ,
( ) ( )
( )h
h
jkp tjkp tp
culr m kk
j kp k hp t j kp hp ts k h k h
k h
t L R r e e
L R r J e e
πθθ
πθ ϕ θ ϕ
φ +∞ + −Ω −Ω
=−∞
+∞ +∞ + + Ω − + Ω −
=−∞ =−∞
= −
+ −
∑
∑ ∑
(5.6)
Le flux φclur2(t) est constitué d’une composante moyenne correspondant aux combinaisons
des harmoniques de temps et d’espace qui sont synchrones avec le rotor (k+h=0) et d’une
composante alternative. Sachant que dans le référentiel du stator, l’angle θ1 est tel que
1 tθ = Ω et en négligeant les termes alternatifs, l’expression du flux devient :
Chapitre 5 189
(1) (1) 222 , 1 , , 1 ,
1 1( ) 2 Real ( ) 1 ( )
hh
j hjk jculr m k s h h h h
k ht L R r e R r J e e
ππ ϕϕφ
+∞ +∞ +
= =
= − − − ∑ ∑
(5.7)
En égalisant les expressions des deux flux (équations (5.4) et (5.7)), l’induction moyenne
Bculr(t) dans la culasse du rotor peut être déterminée par :
(1) (1) 22, 1 , , 1 ,
1 1
2( ) Real ( ) 1 ( )h
hj hjk j
culr m k s h h h hk hculr
B t R r e R r J e ee
ππ ϕϕ
+∞ +∞ +
= =
= − − − ∑ ∑
(5.8)
Le choix de l’épaisseur de la culasse du rotor doit respecter la contrainte de saturation la
plus contraignante lorsque la réaction d’induit est longitudinale et magnétisante. Ce cas
correspond à un calage du fondamental de courant dans le du stator égal à 1 / 2ϕ π= − . Les
déphasages des autres harmoniques peuvent être déterminés à partir de celui du
fondamental. En remplaçant ces angles dans l’expression (5.8), l’induction moyenne
maximale (Bculrmax) peut être facilement calculée. Elle doit être limitée à l’induction
maximale (Bculrmax0) spécifiée dans le cahier des charges :
max max 0culr culrB B≤ (5.9)
D’une manière similaire, l’induction Bculsmax dans la culasse du stator peut aussi être
déterminée à partir de l’expression (5.8) en considérant les constantes des potentiels
vecteurs à vide et de réaction d’induit dans la zone du bobinage (i=4). Notons que les
mêmes expressions développées ici peuvent être utilisées dans le cas d’un rotor externe.
5.4.1.3 Prise en compte du problème de démagnétisation des aimants
Dans les machines sans encoches à aimants permanents, il peut y avoir un risque de
démagnétisation irréversible des aimants lorsqu’un courant d’induit important est appliqué.
Un champ de réaction d’induit excessif produit par le courant peut forcer le point de
fonctionnement des aimants à dépasser le coude de la courbe de démagnétisation B(H) (cf.
Fig. 5.6). Cela peut conduire à une désaimantation des aimants surtout pour des
températures d’aimants très élevées. Il existe une valeur minimale de l’induction (BAPmin)
correspondant à une épaisseur minimale des aimants en dessous de laquelle il y aura
désaimantation irréversible. Lors du dimensionnement des machines sans encoches, ce
Chapitre 5 190
phénomène doit être pris en considération pour les valeurs les plus élevées du courant et de
la température des aimants.
BAPmin
HAPmin H
B, Mi
Br, M
BP
HP
Droite de charge
Figure 5.6 : Caractéristiques de démagnétisation d’un aimant permanent
La contrainte de démagnétisation est prise en compte en considérant l’induction radiale
totale (Btot,r) calculée au niveau de l’angle θ1 (cf. Fig. 5.5) lorsque la réaction d’induit est
longitudinale démagnétisante. Cela correspond à un calage des courants d’induit tel que
1 / 2ϕ π= (pour le fondamental). Cette contrainte, correspondant à l’expression suivante
(pour une machine à rotor interne), doit être vérifiée aux rayons interne Rro et externe Rm
des aimants. La démagnétisation est plus importante au niveau du rayon externe des
aimants pour les machines sans encoches à rotor intérieur et au niveau du rayon interne des
aimants pour les machines à rotor extérieur.
2(1), 1 min
1
( , ) avec : mtot r AP
ro
r r RB r B
r r Rθ
= =≥ = =
(5.10)
L’induction radiale totale dans la zone des aimants peut être calculée à partir des inductions
à vide et de réaction d’induit déduites de la modélisation électromagnétique effectuée au
chapitre 2. Dans un référentiel lié au stator, cette induction est exprimée par :
(1) (1)
, ,(1) (1) (1), , ,
( , , ) ( , , )1 1( , , ) ( , , ) ( , , ) m r s s r stot r s m r s s r s
s s
A r t A r tB r t B r t B r t
r rθ θ
θ θ θθ θ
∂ ∂= + = +
∂ ∂ (5.11)
Chapitre 5 191
C’est-à-dire :
( )
( ) ( )
1
1
.(1) (1) 1 (1) 1, 1 , ,
.(1) 1 (1) 1, , , , ,
( )( , , ) .
h
jkp tktot r m k m k
k
j kp hp ts k h s k h k h
k h
S rB r t jkp A r B r er
jkp A r B r J e
θα α
θ ϕα α
θ+∞
−Ω− − −
=−∞
+∞ +∞+ Ω −− − −
=−∞ =−∞
= + +
+ +
∑
∑ ∑
(5.12)
La démagnétisation du champ magnétique à vide n’est effective que pour les combinaisons
des harmoniques de temps et d’espace du champ de réaction d’induit qui sont synchrones
avec le rotor (k+h=0). Pour 1 tθ = Ω , l’induction radiale totale dans les aimants
devient indépendante du temps :
( )
(1) 1 (1) 1, ,
1 2(1), 1
1(1) 1 (1) 1, , , , ,
1
( )
( , ) 2 real , avec :h
km k m k
k mtot r
rojs h h s h h h h
h
S rjkp A r B rr r Rr
B rr r R
jhp A r B r J e
α α
ϕα α
θ
+∞− − −
=
+∞− − −
=
+ + = = = = =− +
∑
∑
(5.13)
Notons qu’un coefficient de sécurité KsécB a été introduit au niveau de l’induction de
réaction d’induit Bs,r afin d’assurer un fonctionnement sécuritaire de la machine. Les
relations (5.10) et (5.13) permettent de définir implicitement un point de fonctionnement
sur la droite de recul qui permet d’éviter la démagnétisation des aimants permanents.
5.4.1.4 Adaptation du nombre de spires
Lors du dimensionnement des machines sans encoches, le nombre de spires des
enroulements, qui est pris comme variable d’optimisation, doit être ajusté afin d’adapter la
tension de la machine à celle imposée par le convertisseur statique suivant la tension
disponible dans l’étage continu. Le nombre de spires influence à la fois les paramètres du
circuit électrique équivalent de la machine (donc la tension de la machine) et les pertes par
effet de peau et de proximité dans les conducteurs du bobinage. Un meilleur ajustement de
ce paramètre doit être réalisé à cause de l’influence importante des effets du
fonctionnement à haute vitesse [1].
Les équations permettant d’effectuer l’adaptation de la tension de la machine sont déjà
données au chapitre 4 pour tous les types de convertisseurs statiques considérés dans la
Chapitre 5 192
thèse. Cela a été effectué lors de l’établissement du modèle électrique équivalent de chaque
ensemble convertisseur-machine.
5.4.1.5 Prise en compte du problème du courant de court-circuit
Lorsque la machine sans encoches fonctionne en alternateur, elle doit être capable de
fournir son courant nominal avec une tension de sortie acceptable. Elle doit être alors
dimensionnée pour fournir un courant de court-circuit efficace Ieff,cc supérieur au courant
nominal Ieff,n correspondant à l’échauffement maximal admissible en régime permanent.
Cela revient à adapter le rapport φm/Lsc,1 pendant le dimensionnement en respectant la
contrainte suivante :
, ,,1
meff cc eff n
sc
I ILφ
= ≥ (5.14)
où φm est la valeur efficace du flux à vide et Lsc,1 est l’inductance de la machine considérée
seulement pour le fondamental.
L’association de la machine à un convertisseur à commutation de courant (redresseur à
thyristors) réduit le courant de court-circuit à la sortie du redresseur à cause de la
commutation. Le courant de court-circuit doit être alors vérifié pour l’ensemble
convertisseur-machine. Cela peut être effectué à partir de la simulation sans à priori du
modèle électrique équivalent du système une fois que le processus d’optimisation est
terminé.
5.4.2 Dimensionnement thermique
Le dimensionnement thermique occupe une place importante dans le processus de
conception des machines à aimants fonctionnant à des vitesses très élevées. À cause de la
haute vitesse et de la haute fréquence des grandeurs électriques, les pertes dans la machine
peuvent être significatives que ce soit au niveau du stator ou du rotor et peuvent conduire à
un échauffement excessif. Cela conduit à imposer, lors du dimensionnement de la machine,
une contrainte thermique qui permet de respecter l’échauffement maximal admissible et
d’assurer un fonctionnement sécuritaire.
Chapitre 5 193
Pour les machines sans encoches considérées dans cette thèse, le dimensionnement
thermique est effectué en limitant les pertes totales générées Pertot à celles imposées par le
cahier des charges Pertot0 et en considérant qu’un système de refroidissement efficace est
utilisé pour évacuer ces pertes. La contrainte thermique correspondante est alors :
0ertot ertotP P≤ (5.15)
Le fait d’imposer une valeur limite aux pertes totales signifie que le rendement est aussi
imposé. Cette valeur limite des pertes imposées dans le cahier des charges est choisie
dépendamment du type de classe d’isolation considéré pour le bobinage, du système de
refroidissement utilisé et des données expertes qui peuvent être recueilles à partir d’un
prototype déjà existant. Les pertes totales dans la machine Pertot sont la somme des diverses
pertes calculées au chapitre 3 :
• Pertes Joule au stator (PJ) : pertes Joule correspondant à la résistance continue du
bobinage (PJ0) et pertes supplémentaires dues à l’effet de peau et de proximité
(PJext) ;
• Pertes magnétiques au stator (Pmag) : pertes d’hystérésis (Ph) et pertes par courants
de Foucault (Pcf) ;
• Pertes Joule au rotor (Pr) : pertes par courants de Foucault dans les aimants (Pm) et
pertes dans la frette conductrice (Pc) ;
• Pertes mécaniques (Pméc) : pertes aérodynamiques (Paero) et pertes par frottement
dans les roulements (Proul).
Le rendement de la machine sans encoches pour un fonctionnement en moteur est calculé à
partir de l’expression suivante (une expression similaire peut être déduite dans le cas d’une
machine fonctionnant en alternateur) :
u
u ertot
TT P
η Ω=
Ω + (5.16)
Le couple Tu est le couple utile disponible sur l’arbre du moteur qui tient compte du couple
électromagnétique (Tem), du couple correspondant aux pertes d’hystérésis (Th) et du couple
dû aux pertes mécaniques (Tméc) : u em h mécT T T T= − − .
Chapitre 5 194
5.4.3 Dimensionnement mécanique
À cause de la haute vitesse de fonctionnement, la conception optimale des machines sans
encoches exige, non seulement un bon dimensionnement électromagnétique et thermique,
mais aussi un dimensionnement mécanique efficace au niveau du rotor. Ce
dimensionnement conduit à des limitations sur les dimensions de la machine (diamètre
externe du rotor et épaisseur de la frette) et a des conséquences directes sur les
performances électromagnétiques [1].
Pour des vitesses très élevées, la culasse du rotor et la frette de maintien des aimants
subissent un stress mécanique très important dû aux forces centrifuges. Les contraintes
mécaniques correspondant à ce stress doivent être évaluées afin de définir un rayon
maximal de la culasse du rotor et une épaisseur minimale de la frette qui permettent
d’éviter la destruction de la structure et d’assurer un fonctionnent sécuritaire.
5.4.3.1 Dimensionnement mécanique du rotor
Le dimensionnement mécanique du rotor consiste à définir un diamètre maximal de la
culasse du rotor à ne pas dépasser pendant le processus de dimensionnement pour limiter le
stress mécanique. Cela permet de limiter la vitesse périphérique du rotor, la force centrifuge
résultante ainsi que la contrainte mécanique de traction dans le rotor de telle façon qu’elle
soit inférieure à la contrainte d’élasticité limite admissible du matériau du rotor (résistance
à la rupture) [155], [156]. Le calcul du diamètre maximal de la culasse du rotor doit être
effectué pour les deux types de rotor (interne et externe) puisque le dimensionnement est
différent d’un cas à un autre.
• Machine à rotor interne
Si on considère un élément de la culasse du rotor de masse dm, d’angle dθ, de vitesse
périphérique v et de masse volumique ρr (cf. Fig. 5.7), la force centrifuge agissant sur celui-
ci est donnée par :
2 2
2 2c r culr r culr
v vdF dm R dm R d e L d e L vR R
ρ θ ρ θ= Ω = = = (5.17)
Chapitre 5 195
Cet élément est soumis à deux autres forces de résistance N dues à la contrainte de traction
tangentielle σtr exercée sur les deux surfaces latérales S orientées dans la direction
tangentielle. En considérant que la contrainte est uniforme sur les deux surfaces, les forces
N sont exprimées par :
tr tr culrN S e Lσ σ= = (5.18)
L’équation d’équilibre des forces totales agissant sur l’élément de la culasse du rotor peut
être écrite comme suit :
( )2 sin / 2cdF N d N dθ θ= ≈ (5.19)
Le remplacement des forces dFc et N par leurs expressions respectives permet de trouver la
vitesse périphérique au niveau du rotor :
tr
r
v σρ
= (5.20)
Cette vitesse doit être limitée à la vitesse périphérique maximale correspondant à la
contrainte maximale admissible de résistance à la traction σtr-adm du matériau constitutif du
rotor :
maxtr adm
r
v v σρ−≤ = (5.21)
Pour une culasse du rotor réalisée en acier (σtr-adm= 600 N/mm2, ρr =7600 kg/m3) par
exemple, la vitesse périphérique maximale théorique à ne pas dépasser est 280 m/s. Cette
vitesse permet de fixer une valeur maximale limite au rayon externe du rotor Rro pour une
vitesse de rotation Ω donnée. Cela correspond à la contrainte mécanique suivante, qui doit
être considérée au niveau de la procédure d’optimisation, avec un coefficient de sécurité
supplémentaire (Ksécσr<1) :
max1 séc r tr adm
ro ror
KR R σ σ
ρ−≤ =
Ω (5.22)
Chapitre 5 196
dθ
NN
dFc=dmRΩ2
eclur
Rri
Rro
R
Figure 5.7 : Forces mécaniques agissant sur un élément de la culasse du rotor (rotor interne)
• Machine à rotor externe
Dans le cas d’une machine à rotor externe, une autre force entre en jeu ; elle est due à la
pression exercée par les aimants permanents sur la culasse du rotor à cause des forces
centrifuges (cf. Fig. 5.8). Cette pression (Pa) est exprimée par :
22
a aa
ri ri
p F p FPR L R Lπ π
= = (5.23)
où Fa est la force centrifuge exercée par un seul aimant de masse map et de masse
volumique ρap sur la culasse du rotor. Elle est définie par :
( )
2 2
2 2
2
2
m ria ap ap
ap ap ri m
R RF m R m
m R R Lp
πρ β
+ = Ω = Ω = −
(5.24)
Pour un élément de la culasse du rotor, la force de pression due aux aimants s’ajoute aux
autres forces décrites précédemment dans le cas du rotor interne (dFc et N). Cette force,
supposée uniforme, s’écrit comme suit :
a a a ridF P dS P R d Lθ= = (5.25)
En utilisant l’équation d’équilibre des forces ( c adF dF N dθ+ = ) et les expressions (5.17)
et (5.18), la vitesse périphérique du rotor peut être facilement déduite comme suit :
Chapitre 5 197
, avec :tr tap a ritap
r culr
P Rve
σ σσ
ρ−
= = (5.26)
Dans ce cas, la contrainte mécanique qui limite le rayon externe du rotor, la vitesse
périphérique et la contrainte de traction admissible est similaire à celle établie
précédemment. Elle s’exprime par :
max1 séc r tr adm tap
ro ror
KR R σ σ σ
ρ− −
≤ =Ω
(5.27)
Figure 5.8 : Force centrifuge due aux aimants agissant sur la culasse du rotor (rotor externe)
5.4.3.2 Dimensionnement mécanique de la frette
Pour une machine à rotor interne, les aimants permanents sont maintenus en place en
utilisant une frette mécanique qui augmente aussi la rigidité du rotor en haute vitesse. Les
aimants appliquent sur la frette une certaine pression qui conduit à une contrainte de
traction proportionnelle au carré de la vitesse de rotation. Cette contrainte ne doit pas
dépasser la contrainte de traction limite admissible par le matériau de la frette afin de
garantir un fonctionnement sécuritaire [157], [158]. Le dimensionnement de la frette
consiste alors à respecter cette contrainte en imposant une certaine valeur minimale pour
son épaisseur.
La pression Pac appliquée par les aimants permanents sur la frette peut être déterminée par
une expression similaire à celle établie précédemment (cf. équation (5.23)) en supposant
que les forces sont uniformément réparties [157] :
Chapitre 5 198
22
ac acac
m m
p F p FPR L R Lπ π
= = (5.28)
Fac est la force centrifuge exercée sur la frette par un seul aimant (cf. Fig. 5.9) :
( )
2 2
2 2
2
2
ro mac ap ap
ap ap m ro
R RF m R m
m R R Lp
πρ β
+ = Ω = Ω = −
(5.29)
Figure 5.9 : Force centrifuge due aux aimants agissant sur la frette (rotor interne)
D’autre part, la contrainte de traction σtc à laquelle est soumise la frette peut être déduite à
partir de la pression Pac exercée par les aimants :
m actc ac
c c
R p FPe e L
σπ
= = (5.30)
Nous disposons désormais d’une relation lie entre l’épaisseur de la frette et la contrainte à
laquelle elle est soumise. Cette contrainte doit être limitée à celle imposée par le cahier des
charges et qui correspond à la contrainte maximale admissible σtc-adm du matériau de la
frette ( tc tc admσ σ −≤ ). Dans ce cas, l’épaisseur de la frette est aussi limitée à une valeur
minimale suivant l’équation qui suit où un coefficient de sécurité (Ksécσc<1) est introduit :
minac
c cséc c tc adm
p Fe eL K σπ σ −
≥ = (5.31)
Chapitre 5 199
Notons que dans la procédure d’optimisation, l’épaisseur de la frette ec est considérée
comme une variable structurelle et non comme une variable d’optimisation. Toutefois, cette
épaisseur est limitée par une contrainte mécanique calculée à l’aide de l’équation
précédente.
5.5 Procédures détaillées de conception et d’optimisation
Dans cette partie, nous présentons les procédures détaillées de conception et d’optimisation
globales des machines sans encoches à haute vitesse suivant le type de convertisseur
statique utilisé pour alimenter ces machines : alimentation par convertisseur de tension et
alimentation par convertisseur de courant.
5.5.1 Cas d’une alimentation par convertisseur de tension
Dans le cas d’une alimentation par onduleur de tension, les différentes étapes de la méthode
de conception par optimisation globale des machines sans encoches sont décrites dans
l’organigramme de la figure 5.10. Cette méthode est basée sur l’utilisation des éléments de
l’environnement de CAO décrit précédemment et qui intègre le modèle de
dimensionnement analytique global de la machine, un algorithme d’optimisation non
linéaire avec contraintes et le mécanisme de correction itératif des pertes par courants de
Foucault par calcul du champ par éléments finis en 3D. La méthode de conception est
valable pour les trois types d’onduleurs de tension décrits au chapitre 4 : onduleur de type
120o, onduleur de type MLI à courant sinusoïdal et onduleur de type 180o à onde pleine de
tension. Le mécanisme de correction des pertes par courants de Foucault est ajouté dans le
cas où le stator de la machine considérée est réalisé en SMC. Le dimensionnement des
machines sans encoches est effectué pour le point de fonctionnement nominal de régime
permanent en considérant que le courant est en phase avec la fem (ψ=0) et cela pour les
trois types d’onduleurs considérés.
Chapitre 5 200
Analyse du cahier des charges
Choix de la structure machine-convertisseur
Optimisation non linéaire avec contraintes
Convergence?
Solution optimale finale
Oui
Non
Solution optimale trouvée
Simulation par calcul numérique du champ
en 3D
Mécanisme de correction des pertes par courants de FoucaultNouveau facteur de correction des
pertes K(i+1)
Modèle de dimensionnement analytique global
Modèle de dimensionnement analytique de la
machine
Initialisation
Figure 5.10 : Méthode de conception et d’optimisation globale des machines sans encoches avec
mécanisme de correction des pertes par courants de Foucault (cas des onduleurs de tension)
À partir du cahier des charges de l’application à haute vitesse considérée, les principales
spécifications, les paramètres définissant la structure de la machine sans encoches choisie
ainsi que les paramètres de dimensionnement fixés sont spécifiés dans les deux premières
étapes de la procédure de conception, soit le couple utile demandé, la vitesse, la tension de
l’étage continu, le nombre de pôles et d’encoches, les dimensions externes maximales
(encombrement), l’entrefer mécanique minimal, l’épaisseur de la frette, la structure et les
caractéristiques du bobinage et des aimants, le facteur de remplissage ainsi que les
Chapitre 5 201
paramètres des différents matériaux utilisés. Dans l’étape d’initialisation, le facteur de
correction des pertes par courants de Foucault est fixé à 1 (K(i=1)=1). Ce facteur peut être
égal soit à Kp ou Kc dépendamment du type du calcul numérique du champ en 3D utilisé (en
magnétodynamique en instantané ou en complexe). Les valeurs initiales des variables
d’optimisation sont aussi fixées dans cette étape.
Le modèle de dimensionnement analytique de la machine sans encoches présenté dans la
figure 5.3 est ensuite associé à l’algorithme d’optimisation non linéaire avec contraintes
pour trouver une solution de conception optimale. Il est utilisé pour déterminer les
différentes performances spécifiées dans le cahier des charges ainsi que les contraintes à
respecter pour un facteur de correction des pertes par courants de Foucault donné. La
fonction objectif du problème d’optimisation choisie est la maximisation du rapport entre le
couple et la longueur de la machine. La maximisation du couple ou celle du couple
massique de la machine peuvent aussi être considérées comme fonctions objectifs.
Tel que décrit précédemment, les variables d’optimisation et les contraintes du problème
d’optimisation diffèrent légèrement selon le type de rotor de la machine considérée (rotor
interne ou externe) et du type d’onduleur de tension qui l’alimente. Pour un onduleur de
tension de type 120o ou de type MLI à courant sinusoïdal, les variables d’optimisation
sont : le diamètre interne du rotor (Dri) ou du stator (Dsi) selon le type de rotor considéré,
les épaisseurs de la culasse du rotor (eculr), des aimants permanents (la), de l’entrefer (e), du
bobinage (hb) et de la culasse du stator (eculs), l’ouverture des aimants (β), la longueur
axiale active de la machine (L), le nombre de spires par phase (Nsp) et la densité de courant
dans les conducteurs (Jcu). Cependant, les différentes contraintes considérées dans le cas de
ces deux types d’onduleurs sont :
• Contraintes sur les variables d’optimisation définissant les valeurs maximales et
minimales à respecter ;
• Contraintes d’encombrement qui fixent l’espace maximal disponible ;
• Contrainte thermique fixant les pertes dans la machine suivant les performances du
système de refroidissement utilisé : 0ertot ertotP P≤ ;
Chapitre 5 202
• Contraintes mécaniques qui imposent le rayon maximal de la culasse du rotor et
l’épaisseur minimale de la frette de maintien des aimants : maxro roR R≤ et minc ce e≥ ;
• Contraintes de saturation dans les culasses du stator et du rotor : max max 0culs culsB B≤
et max max 0culr culrB B≤ ;
• Contraintes de démagnétisation des aimants permanents vérifiées aux rayons interne
et externe des aimants : (1), 1 min( , )tot r APB r Bθ ≥ ;
• Contrainte d’adaptation de la tension de la machine à celle imposée par l’onduleur :
1 1 .imposée dcV V K V−= = (cf. équations (4.10), (4.11) et (4.12)) ;
• Contrainte permettant d’imposer le couple utile demandé de la machine.
Pour un onduleur de type 180o à onde pleine de tension, les mêmes variables d’optimisation
précédentes sont utilisées sauf la densité de courant Jcu qui est remplacée par l’angle θ entre
la tension de phase de la machine et la fem. Cette dernière variable d’optimisation permet
d’imposer un angle ψ nul. Toutes les contraintes précédentes sont aussi utilisées. On y
ajoute une autre contrainte permettant d’imposer un angle ψ nul : 1,1 1,2V V= et
1,1 1 .imposée dcV V K V−= = (cf. équations (4.16), (4.17) et (4.18)).
Pour tenir compte des effets 3D sur les pertes par courants de Foucault générées dans la
culasse du stator en SMC des machines sans encoches, le mécanisme de correction de ces
pertes décrit précédemment est introduit (cf. Fig. 5.10). Ce mécanisme permet de corriger
les erreurs du modèle 2D de calcul des pertes par courants de Foucault en charge implanté
dans le modèle de dimensionnement analytique de la machine. En fait, pour chaque
solution optimale intermédiaire du processus de conception, des simulations en calcul du
champ par éléments finis en 3D en magnétodynamique en instantané ou en complexe sont
effectuées pour quantifier les effets 3D sur les pertes par courants de Foucault à vide. Un
nouveau facteur de correction K(i+1) est alors déterminé suivant la méthode décrite dans le
chapitre 3 (cf. Fig. 3.11 et Fig. 3.13). Ce facteur est implanté dans le modèle de
dimensionnement analytique global avant la prochaine itération (i+1) de la procédure de
Chapitre 5 203
conception et d’optimisation afin de corriger les pertes par courants de Foucault en charge
calculées en 2D comme le montre l’équation suivante :
( 1) 2 ( 1).cf i cf D iP K P+ − += (5.32)
Le nouveau facteur de correction K(i+1) est calculé suivant la procédure présentée au
chapitre 3 en utilisant les résultats de l’itération i du processus de conception (on utilise les
pertes par courants de Foucault à vide en 2D et en 3D) :
, 3 ( )( 1)
, 2 ( )
cf m D ii
cf m D i
PK
P−
+−
= (5.33)
Ce processus de conception par optimisation utilisant le mécanisme de correction des pertes
est répété d’une façon itérative jusqu’à ce qu’une solution de dimensionnement optimale
finale soit trouvée ; c’est-à-dire lorsque toutes les dimensions et les caractéristiques de la
machine obtenue sont identiques à celles de la solution optimale précédente. À noter que la
convergence de ce processus de conception est en général atteinte après un faible nombre
d’itérations et de simulations en calcul de champ par éléments finis en 3D comme cela est
montré dans la partie 5.6.
Lorsque la machine est couplée à un redresseur actif de type MLI et fonctionne en
alternateur, la même méthodologie de conception proposée dans le cas d’un onduleur à
MLI peut être utilisée.
5.5.2 Cas d’une alimentation par convertisseur de courant
Lorsque la machine sans encoches est couplée à un convertisseur à commutation de courant
(onduleur ou redresseur), la méthode de conception optimale est similaire à celle utilisée
dans le cas d’une alimentation par convertisseur de tension. Cette méthode est décrite ici en
considérant le système de génération à haute vitesse considéré dans la partie 4.4 du chapitre
4 où la machine sans encoches, munie d’une frette non conductrice, fonctionne en
alternateur et débite sur un redresseur à thyristors. La même méthodologie de conception
peut aussi être utilisée lorsque la machine est alimentée par un onduleur à thyristors pour un
fonctionnement en moteur. La méthode de conception se base sur l’association du modèle
de dimensionnement analytique global de la machine (cf. Fig. 4.13), du modèle électrique
Chapitre 5 204
de simulation sans à priori de l’ensemble convertisseur-machine (cf. Fig. 4.14), d’un
algorithme d’optimisation non linéaire avec contraintes et éventuellement du calcul
numérique du champ en 3D et du mécanisme de correction des pertes par courants de
Foucault pour tenir compte des effets de bord (cas d’une culasse du stator réalisée en
SMC). Le couplage entre le modèle de dimensionnement de la machine et le modèle
électrique équivalent de l’ensemble convertisseur-machine est réalisé en introduisant l’autre
mécanisme de correction décrit dans la partie 4.4.
La figure 5.11 montre les différentes étapes de la procédure de conception et d’optimisation
incluant le mécanisme de correction itératif du couplage entre le modèle de
dimensionnement et le modèle équivalent du système de génération mais sans introduction
du mécanisme de correction des pertes par courant de Foucault. Dans les deux premières
étapes, les principales spécifications du cahier des charges du système de génération ainsi
que les caractéristiques de la structure de la machine considérée sont définies : puissance de
sortie du redresseur (Pout), vitesse de rotation de la machine (Ω), tension de l’étage continu
de sortie du redresseur (Vdo), encombrement, caractéristiques des aimants et du bobinage,
nombre de pôles et d’encoches, épaisseur de la frette, facteur de remplissage des encoches
et paramètres des matériaux. Dans l’étape d’initialisation, les amplitudes et les phases des
harmoniques du courant d’induit de la machine sont considérées égales à celles d’une
forme d’onde rectangulaire avec une amplitude de courant continu Ido en supposant que la
commutation du courant dans les interrupteurs du redresseur est instantanée. Le facteur de
correction permettant d’implanter le mécanisme de correction du couplage machine-
redresseur et de corriger la tension continue imposée est fixé à 1 (Kco(i=1)=1).
Chapitre 5 205
Simulation du circuit équivalent de l’ensemble convertisseur-machine
Analyse du cahier des charges
Choix de la structure machine-convertisseur
Optimisation non linéaire avec contraintes
Convergence?
Solution optimale finale
Oui
Non
Solution optimale trouvée
Modèle de dimensionnement analytique global
Modèle de dimensionnement analytique de la
machine
Initialisation
Mécanisme de correction du couplage machine-convertisseur
Actualisation du contenu harmonique du courant & facteur
de correction Kco(i+1)
Figure 5.11 : Méthode de conception et d’optimisation globale des machines sans encoches avec mécanisme de correction du couplage machine-convertisseur (cas des convertisseurs de courant)
Après l’étape d’initialisation, le dimensionnement de la machine est effectué par une
résolution du problème d’optimisation globale non linéaire avec contraintes pour un
contenu harmonique du courant d’induit et un facteur de correction donnés. Dans ce cas, la
fonction objectif peut être la minimisation du poids total de la machine. Une pondération
entre les poids des principaux matériaux utilisés peut aussi être utilisée pour calculer la
fonction objectif comme proposé dans la partie 6.5. Les variables d’optimisation
Chapitre 5 206
considérées sont identiques à celles utilisées dans le cas d’une machine alimentée en
tension par un onduleur de type 120o à l’exception de la densité de courant Jcu qui est
supprimée étant donné que la tension Vdo et le courant Ido sont imposés à la sortie du
redresseur : Dri ou Dsi, eculr, la, e, hb, eculs, β, L, et Nsp. De la même façon, les contraintes du
problème d’optimisation sont similaires à celles déjà données dans le cas de l’onduleur de
tension, mais sans considération des deux dernières contraintes permettant l’adaptation de
la tension et l’imposition de la valeur du couple : contraintes sur les variables
d’optimisation, encombrement, contraintes thermiques, mécaniques, de saturation et de
démagnétisation des aimants. À ces différentes contraintes, nous ajoutons aussi les
contraintes suivantes :
• Contrainte concernant le courant de court-circuit : , ,1 ,/eff cc m sc eff nI L Iφ= ≥ ;
• Contrainte sur la tension du bus DC qui permet de mettre en œuvre le mécanisme de
correction du couplage machine-redresseur et d’adapter simultanément la tension de
la machine à celle de sortie du redresseur. Dans cette contrainte, la tension Vdi
calculée par le modèle de dimensionnement global de la machine doit vérifier la
relation suivante : ( )di co i doV K V≥ (cf. paragraphe 4.4.2) ;
• Contrainte permettant d’imposer la puissance demandée à la sortie du redresseur.
Pour chaque solution intermédiaire du problème d’optimisation, les paramètres du circuit
électrique équivalent de la machine son transférés au modèle électrique de simulation sans
à priori de l’ensemble convertisseur-machine et une simulation du circuit est effectuée. À
partir des résultats de cette simulation, des nouvelles valeurs d’amplitudes et de phases des
harmoniques du courant d’induit ainsi que de la tension continue de sortie du redresseur
simulée Vdsim tenant compte de la commutation du courant sont déterminées.
Après cette étape, le mécanisme de correction assurant le couplage entre le modèle
analytique de dimensionnement de la machine et le modèle électrique équivalent du
système de génération est implanté. Le nouveau contenu harmonique du courant est
réinjecté dans le modèle de dimensionnement de la machine et la contrainte sur la tension
continue de sortie du redresseur (Kco(i)Vdo) est actualisée en injectant une nouvelle valeur du
facteur de correction Kco(i+1). Ce dernier est calculé en faisant intervenir la tension calculée
Chapitre 5 207
Vdi et la tension simulée Vdsim suivant l’expression (4.21). Une nouvelle exécution du
problème d’optimisation non linéaire avec contraintes est alors effectuée. Ce processus est
répété jusqu’à ce qu’une solution optimale stable soit obtenue ; c’est-à-dire lorsque la
tension de sortie du redresseur simulée est égale à celle imposée par le cahier des charges
(Vdsim=Vdo), le facteur de correction est stable (Kco(i+1)=Kco(i)) et toutes les caractéristiques
de la machine sont identiques à celles de la solution optimale précédente. La convergence
de ce processus de conception vers une solution optimale finale peut être réalisée avec un
nombre limité d’itération qui utilise le mécanisme de correction du couplage machine-
convertisseur (cf. partie 6.5 du chapitre 6).
Dans le cas où la culasse de la machine sans encoches est réalisée en SMC et que la
longueur de cette dernière n’est pas assez importante par rapport au pas polaire, le
mécanisme de correction des pertes par courants de Foucault précédent peut être ajouté au
processus de conception de la figure 5.11 afin de tenir compte des effets 3D. La figure 5.12
présente l’organigramme du processus de conception par optimisation proposé incluant les
deux mécanismes de correction. Comme nous pouvons le remarquer, le mécanisme de
correction des pertes est appliqué après chaque solution optimale du processus de
conception précédent qui utilise le mécanisme de correction du couplage machine-
convertisseur (cf. Fig. 5.11). Cependant, le contenu harmonique initial du courant de la
prochaine itération (j+1) sur le mécanisme de correction des pertes ainsi que le facteur de
correction Kco(i=1, j+1) sont pris égaux à ceux de l’itération précédente (j) (cf. tableau 6.11).
Cette méthode permet d’assurer une convergence efficace du processus de conception
global tout en garantissant un meilleur compromis entre la précision et le temps de calcul
étant donné que le mécanisme de correction des pertes est appliqué après celui du couplage
machine-convertisseur.
Chapitre 5 208
Convergence?
Solution optimale finale
Oui
Solution optimale trouvée
Simulation par calcul numérique du champ
en 3D
Simulation du circuit équivalent de l’ensemble convertisseur-machine
Analyse du cahier des charges
Choix de la structure machine-convertisseur
Optimisation non linéaire avec contraintes
Convergence?
Oui
Non
Solution optimale trouvée
Modèle de dimensionnement analytique global
Modèle de dimensionnement analytique de la
machine
Initialisation
Mécanisme de correction du couplage machine-convertisseur
Actualisation du contenu harmonique du courant & facteur
de correction Kco(i+1,j)
Mécanisme de correction des pertes par courants
de FoucaultNouveau facteur de
correction des pertes K(j+1)
Non
Figure 5.12 : Méthode de conception et d’optimisation globale des machines sans encoches avec
mécanisme de correction du couplage machine-convertisseur et mécanisme de correction des pertes par courants de Foucault (cas des convertisseurs de courant)
Chapitre 5 209
Si la machine sans encoches est munie d’une frette conductrice autour des aimants du rotor,
l’épaisseur de cette dernière peut être optimisée lors du processus de conception afin
d’améliorer la commutation du courant, d’assurer une meilleure adaptation du convertisseur
à la machine et d’optimiser les performances globales de l’ensemble convertisseur-machine
(cf. partie 3.4). Toutefois, le modèle électrique équivalent de la machine connecté au
modèle du redresseur doit être adapté afin de tenir compte de l’effet de la frette conductrice
en introduisant le circuit amortisseur qu’elle représente [5].
5.6 Exemple d’application de la procédure de conception et d’optimisation
Nous présentons ici un exemple de validation de la procédure de conception et
d’optimisation proposée précédemment pour le cas d’une alimentation en tension. Cette
validation est illustrée par une analyse comparative des dimensionnements de deux moteurs
triphasés sans encoches à haute vitesse équipés avec des stators en SMC et des rotors
internes à aimants permanents à 2 pôles et à 4 pôles. Les deux moteurs sont alimentés par
des onduleurs de tension de type 120o avec des formes d’ondes des courants rectangulaires
(à onde entière de tension) et sont dimensionnés pour une application d’outillage électrique.
L’approche de conception est effectuée en incluant le mécanisme de correction des pertes
par courants de Foucault par calcul numérique du champ en 3D, en complexe, en régime
permanent, sans rotation des aimants. En plus de valider la procédure de conception, cette
étude permet aussi d’analyser son efficacité en termes de convergence, de précision et de
temps de calcul.
5.6.1 Cahier des charges et paramètres de dimensionnement
Les tableaux 5.1 et 5.2 présentent la liste des spécifications et des contraintes imposées par
le cahier des charges, les différents paramètres de dimensionnement et les caractéristiques
des matériaux. Les moteurs à dimensionner doivent être capables de fournir une puissance
de 500 W à une vitesse de rotation de 20000 rpm pour une tension continue alimentant
l’onduleur égale à 100 V. Les pertes maximales au niveau des machines sont limitées en
considérant qu’un refroidissement par ventilation forcée est utilisé et que la classe
Chapitre 5 210
d’isolation des conducteurs considérés est de type F (155oC). Les deux moteurs sont
dimensionnés pour un encombrement fixé. Ils possèdent respectivement des bobinages à
pas diamétral à 6 encoches et à 12 encoches sans utilisation de fils de Litz. Le matériau
SMC considéré pour réaliser les stators est caractérisé par une perméabilité de 200 et une
conductivité de 3400 s/m (Mat-1). Ces valeurs correspondent aux caractéristiques d’un
matériau moins conducteur. De plus, la saturation dans ce matériau et dans les autres
matériaux magnétiques est considérée négligeable étant donné que les machines sans
encoches à haute vitesse ont généralement de faibles niveaux d’inductions.
Les rotors des deux machines comportent des aimants permanents de type NdFeB à
aimantation radiale entourés par des frettes amagnétiques non conductrices de type fibre de
carbone. Les caractéristiques des aimants sont données dans le tableau 5.2. La valeur de
l’induction minimale de démagnétisation BAPmin correspondant au coude de la
caractéristique B(H) est considérée pour une température de 120oC et vaut 0.2 T. Le
coefficient de sécurité KsécB considéré pour le calcul de la démagnétisation des aimants est
pris égal à 2. Cela signifie que les moteurs dimensionnés peuvent avoir une capacité de
surcharge mécanique transitoire de 50% sans risque de démagnétisation. D’un autre côté,
suite aux recommandations du paragraphe 3.4.4, les aimants permanents sont considérés
segmentés en 4 petits blocs par pôle afin de réduire les pertes par courants de Foucault
induites dans ces aimants. De plus, dans ce dimensionnement, l’effet de la température sur
l’aimantation des aimants est pris en compte. Par contre, les pertes par frottement dans les
roulements ne sont pas prises en compte.
Paramètre Valeur Puissance nominale 500 W Vitesse nominale N 20000 rpm Couple nominal 0.24 Nm Diamètre externe maximal Dmax 48 mm Longueur axiale maximale du stator Lmax 37 mm Pertes maximales Pertot0 65 W Tension du bus continu Vdc 100 V Induction maximale dans la culasse du stator Bculsmax0 1.2 T Induction maximale dans la culasse du rotor Bculrmax0 1.4 T
Tableau 5.1 : Spécifications et contraintes du cahier des charges d’une application d’outillage électrique
Chapitre 5 211
Paramètre Valeur Nombre de pôles 2p 2 ou 4 Nombre d’encoches 6 ou 12 Coefficient de remplissage des encoches Ku 0.3 Entrefer mécanique minimal 1 mm Épaisseur de la frette ec 0.5 mm Aimantation rémanente des aimants à 120oC (NdFeB) 1.2 T Perméabilité des aimants µrm 1.05 Conductivité des aimants σm 6.25×105 s/m Induction de démagnétisation des aimants BAPmin à 120oC 0.2 T Perméabilité du matériau SMC µrs 200 Conductivité du matériau SMC σs 3400 s/m Coefficients des pertes d’hystérésis du matériau SMC (Cm et x) Cm=0.15 ; x=1.55 Contrainte de traction limite du matériau du rotor (acier) 600 N/mm2 Contrainte de traction limite du matériau de la frette (fibre de carbone de type T700SC) 4900 N/mm2
Tableau 5.2 : Paramètres de dimensionnement et caractéristiques des matériaux
5.6.2 Validation et analyse des résultats
L’application du processus de conception par optimisation itératif de la figure 5.10 a permis
de dimensionner les deux moteurs sans encoches pour le cahier des charges spécifié. La
même valeur du couple à développer et les mêmes pertes totales dissipées sont imposées
dans les deux dimensionnements. Trois itérations sur le mécanisme de correction des pertes
par courants de Foucault dans le stator en SMC et quatre exécutions du problème
d’optimisation ont été suffisantes pour trouver des solutions optimales finales pour les deux
moteurs. Cela démontre qu’un faible nombre de simulations par calcul numérique du
champ en 3D a été utilisé pour obtenir la convergence du processus de conception. Le
tableau 5.3 présente l’évolution des facteurs de correction des pertes par courants de
Foucault dans les stators en SMC des deux moteurs pendant le processus itératif. Les
solutions optimales finales sont atteintes lorsque les caractéristiques de celles-ci sont
identiques à celles des solutions précédentes et que les facteurs de correction convergent
vers des valeurs stables. Ces deux facteurs valent respectivement 0.3368 pour le moteur à 2
pôles et 0.3505 pour celui à 4 pôles. Cela signifie que les pertes par courants de Foucault
Chapitre 5 212
effectivement dissipées dans les culasses des stators des deux machines sont
approximativement trois fois inférieures à celles calculées en 2D. D’où l’importance de
tenir compte de l’influence des effets 3D sur les pertes au niveau du dimensionnement de
ce type de machine. D’un autre côté, l’utilisation du calcul numérique du champ en 3D en
complexe en régime permanent au lieu d’utiliser la magnétodynamique avec une méthode
de pas à pas dans le temps a permis de minimiser considérablement le temps d’exécution du
processus de conception en assurant une meilleure précision.
i=1 i=2 i=3 i=4
Moteur à 2 pôles
K(i) 1 0.33925 0.33696 0.33680 K(i+1) 0.33925 0.33696 0.33680 0.33680
Moteur à 4 pôles
K(i) 1 0.35349 0.35053 0.35052 K(i+1) 0.35349 0.35053 0.35052 0.35052
Tableau 5.3 : Évolution des facteurs de correction des pertes pour les deux moteurs
Comme cela a été mentionné au chapitre 4, il est intéressant de noter qu’après le
dimensionnement et l’optimisation de chaque machine, une simulation du modèle
électrique équivalent sans à priori de l’ensemble convertisseur-machine sur
Matlab/Simulink a été effectuée en utilisant le module SimPowerSystem. Cette simulation
tient compte des commutations des interrupteurs de l’onduleur commandés suivant les
signaux envoyés par un capteur à effet Hall. Elle permet de comparer les valeurs des
tensions, des courants et du couple électromagnétique du modèle simulé avec celles
obtenues à partir du modèle électrique analytique intégré dans le modèle de
dimensionnement de la machine et d’ajuster, si nécessaire, le nombre de spires des
enroulements pour corriger les erreurs entre les deux modèles. Cela permet d’atteindre le
bon point de fonctionnement et d’assurer une meilleure adaptation de la machine à son
alimentation en s’affranchissant de l’influence des hypothèses simplificatrices adoptées
(formes d’ondes rectangulaires du courant et de la tension).
Le tableau 5.4 présente une comparaison entre les valeurs des tensions, des courants et des
couples électromagnétiques obtenus à partir des deux modèles électriques précédents dans
le cas du moteur sans encoches à 2 pôles. Comme nous pouvons le remarquer, nous
n’avions pas besoin d’ajuster le nombre de spires puisque les résultats donnés par le modèle
Chapitre 5 213
analytique et ceux obtenus par la simulation sont très proches. Cela est dû au fait que la
machine considérée est de faible puissance et qu’elle présente un comportement plus
résistif (avec une faible inductance). La même remarque a été constatée dans le cas du
moteur à 4 pôles.
Veff [V] V1 [V] Ieff [A] I1 [A] Tem [Nm] Modèle analytique 41.36 38.98 5.06 4.86 0.2458 Modèle simulé 42.27 39.70 5.05 4.83 0.2452
Tableau 5.4 : Valeurs efficaces des tensions et des courants (valeurs totales et fondamentales) et couples électromagnétiques obtenus par les deux modèles électriques équivalents : analytique et
simulé (pour le moteur à 2 pôles)
La figure 5.13 présente les structures optimales finales des deux moteurs sans encoches
dimensionnés et le tableau 5.5 présente une comparaison de leurs dimensions et leurs
principales caractéristiques et performances. À partir de ces résultats, on constate que les
deux moteurs ont le même diamètre externe imposé par la contrainte d’encombrement.
Cependant, le moteur à 4 pôles a une longueur axiale active plus faible et un couple
massique plus élevé que ceux du moteur bipolaire malgré sa fréquence plus élevée. Cela est
dû essentiellement à l’effet de l’augmentation du nombre de pôles sur les dimensions du
moteur et sur les pertes magnétiques et les pertes Joule au niveau du stator. Le moteur à 4
pôles a une épaisseur de culasse du stator plus faible que celle du moteur à 2 pôles à cause
de la diminution du flux par pôle. De plus, il possède des têtes de bobines plus courtes.
Cela permet d’augmenter le diamètre interne du bobinage qui intervient sur la valeur du
couple et de diminuer les volumes du cuivre et du fer au stator ainsi que la longueur de la
machine lorsqu’on passe de 2 pôles à 4 pôles. Les pertes magnétiques dans le stator
diminuent légèrement à cause de la diminution du volume du fer malgré l’augmentation de
la fréquence. Cependant, les pertes Joule classiques dans le bobinage diminuent et les
pertes supplémentaires dues à l’effet de peau et de proximité augmentent conduisant ainsi à
une légère augmentation des pertes Joule totales. Notons que le gain obtenu au niveau du
volume du cuivre et des pertes Joule classiques permet d’augmenter la densité du courant
afin d’obtenir le couple désiré.
Chapitre 5 214
L’analyse des résultats montre aussi que les pertes Joule totales dans les bobinages des
deux moteurs sont plus importantes que les pertes magnétiques parce que les machines sans
encoches présentent généralement des charges linéiques de courant plus élevées et des
inductions dans l’entrefer plus faibles que les machines avec encoches. Cela s’explique par
le fait qu’une machine sans encoches à haute vitesse possède un large entrefer et que
l’optimisation cherche à minimiser les pertes fer à cause de la haute fréquence en diminuant
l’induction dans l’entrefer. Ce constat justifie l’hypothèse de non-saturation des matériaux
magnétiques prise précédemment. Les résultats montrent également que les pertes
mécaniques (pertes aérodynamiques) sont très faibles dans les deux moteurs pour la vitesse
de rotation considérée et pour les diamètres des rotors obtenus. De plus, les pertes dans les
aimants permanents sont aussi très faibles à cause de la segmentation de ces derniers.
(a) (b)
Figure 5.13 : Structures optimales des moteurs sans encoches (a) à 2 pôles et (b) à 4 pôles
-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
Chapitre 5 215
Paramètre 2 pôles 4 pôles Longueur axiale active 35.6 mm 23.04 mm Diamètre externe du stator 48 mm 48 mm Épaisseur de la culasse du stator 5.21 mm 3.40 mm Épaisseur du bobinage 6.06 mm 4.67 mm Diamètre interne du bobinage 25.46 mm 31.87 mm Entrefer mécanique 1 mm 1 mm Épaisseur de la frette 0.5 mm 0.5 mm Épaisseur des aimants 5.62 mm 6.56 mm Diamètre externe du rotor 11.22 mm 15.75 mm Nombre de spires par phase 61 70 Densité de courant 10.33 A/mm2 13.16 A/mm2 Charge linéique 23268 A/m 21119 A/m Induction maximale dans l’entrefer 0.43 T 0.478 T Force électromotrice (RMS) 35.4 V 35.5 V Inductance synchrone (pour h=1) 0.471 mH 0.167 mH Résistance du stator 0.695 Ω 0.711 Ω Poids du fer 0.2062 kg 0.1084 kg Poids du cuivre 0.1578 kg 0.0892 kg Poids des aimants 0.0623 kg 0.0718 kg Poids total 0.4263 kg 0.2694 kg Pertes Joule au stator 53.41 W 54.27 W Pertes magnétiques au stator 11.01 W 10.06 W Pertes dans les aimants 0.487 W 0.493 W Pertes mécaniques 0.086 W 0.174 W Pertes totales 65 W 65 W Rendement 88.55 % 88.55 % Couple massique 0.563 Nm/kg 0.891 Nm/kg
Tableau 5.5 : Principales caractéristiques, performances et dimensions des deux moteurs sans encoches optimisés
5.7 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté une méthode de conception par optimisation globale
des machines sans encoches à aimants permanents à haute vitesse pour les deux types
d’alimentations par convertisseurs statiques : alimentation en tension et alimentation en
courant. Cette méthode est basée sur plusieurs outils intégrés dans un même environnement
Chapitre 5 216
de CAO. Elle utilise un modèle de dimensionnement global de la machine permettant
d’évaluer les performances et les contraintes spécifiées dans le cahier des charges et une
procédure d’optimisation non linéaire avec contraintes. Le modèle de dimensionnement a
été établi en considérant les deux types de rotors interne et externe et en intégrant les
modèles électromagnétique, thermique et mécanique de la machine. La procédure
d’optimisation a été associée à un mécanisme original de correction des pertes par courants
de Foucault dans la culasse du stator lorsque cette dernière est réalisée en SMC. Cela est
effectué en utilisant des simulations en calcul de champ par éléments finis en 3D afin de
prendre en compte les effets de bord. Lorsque la machine est connectée à un convertisseur à
commutation de courant, la procédure d’optimisation a été associée à un autre mécanisme
de correction permettant le couplage fort entre la machine et son alimentation en se basant
sur des simulations sans à priori du modèle électrique équivalent de l’ensemble
convertisseur-machine. Les procédures détaillées de conception et d’optimisation des
machines sans encoches ont été établies en illustrant les différentes étapes de la méthode de
conception pour les deux types d’alimentations.
La méthode de conception et d’optimisation proposée a été illustrée dans le cas d’une
alimentation en tension par une analyse comparative de deux moteurs sans encoches à rotor
interne à 2 pôles et à 4 pôles. Il a été démontré que la convergence du processus de
conception peut être atteinte avec un faible nombre d’itérations et de simulations en calcul
numérique du champ en 3D. De plus, une réduction très importante du temps de calcul avec
une bonne précision a été constatée lorsque le calcul du champ en 3D est réalisé en
complexe plutôt qu’en instantané dans le temps. L’analyse des résultats a montré que les
machines sans encoches possèdent des charges linéiques plus élevées et des niveaux
d’inductions et des pertes fer plus faibles. De plus, le moteur à 4 pôles est meilleur que
celui à 2 pôles pour la vitesse et la puissance considérées. Cela montre ce que nous pouvons
trouver avec les outils de CAO développés et dont nous allons nous servir dans le chapitre
suivant afin d’effectuer d’autres analyses et comparaisons au niveau du dimensionnement
des machines sans encoches pour des cahiers des charges spécifiques et différents types
d’alimentations par convertisseurs statiques.
Equation Chapter 6 Section 1
CHAPITRE VI
6 APPLICATIONS DE LA MÉTHODOLOGIE ET DE
L’ENVIRONNEMENT DE CONCEPTION
6.1 Introduction
Dans ce chapitre, la méthodologie de conception et d’optimisation ainsi que les outils de
modélisation et de conception développés au cours des chapitres précédents sont appliqués
afin de dimensionner des machines sans encoches à aimants permanents à haute vitesse en
considérant les deux types d’alimentations par convertisseurs statiques : en tension et en
courant. L’objectif est, d’une part, de valider les différents outils développés sur des cahiers
des charges spécifiques, et d’autre part, de comparer plusieurs solutions topologiques de
machines sans encoches afin d’analyser leur faisabilité et leurs performances et de cerner
leurs limites en fonction du cahier des charges.
Dans un premier temps, la méthodologie de conception est utilisée afin de dimensionner,
d’analyser et de comparer différentes structures topologiques de moteurs sans encoches
alimentés par des onduleurs de tension avec une commande de type 120o à onde
rectangulaire de courant. Cette étude comparative est effectuée pour le même cahier des
charges afin d’analyser les performances des machines avec des stators réalisés en SMC et
en fer laminé et avec des rotors de types interne et externe, à 2 pôles et à 4 pôles. Ensuite,
les outils de CAO sont appliqués pour effectuer quelques études de sensibilité au niveau du
dimensionnement des machines sans encoches avec stator en SMC. Ces études sont
effectuées pour analyser l’effet de l’utilisation du fil de Litz dans le bobinage ainsi que
l’effet du type de matériau SMC utilisé (conductivité et perméabilité) sur les performances.
Chapitre 6 218
Nous effectuons par la suite le dimensionnement de moteurs sans encoches alimentés par
des onduleurs de type 180o à onde pleine de tension. Dans cette étude, les même topologies
de machines considérées dans le cas de l’onduleur de type 120o sont utilisées dans le but de
comparer leurs performances respectives et de les confronter avec celles des machines
alimentées par le dernier onduleur (de type 120o). Cela permet d’étudier l’influence du type
de commande utilisée sur le dimensionnement optimal des machines sans encoches.
Finalement, nous illustrons la méthodologie de conception et d’optimisation dans le cas
d’une alimentation en courant en dimensionnant un alternateur sans encoches avec stator en
SMC utilisé dans le système de génération à haute vitesse décrit dans la partie 4.4 du
chapitre 4. Cet alternateur est entraîné par une turbine à gaz et débite sur un redresseur à
thyristors. Les deux méthodes de conception et d’optimisation proposées au chapitre 5 avec
ou sans utilisation du mécanisme de correction 3D des pertes par courants Foucault dans le
stator en SMC sont considérées et leurs résultats sont comparés.
6.2 Analyse comparative des dimensionnements de différentes topologies de moteurs sans encoches alimentés par onduleur de tension de type 120o
Dans cette partie, la procédure de conception et d’optimisation développée dans le chapitre
5 pour le cas d’une alimentation par convertisseurs de tension est utilisée afin d’effectuer
une analyse comparative des dimensionnements et des performances de plusieurs
topologies de moteurs sans encoches à aimants permanents à haute vitesse. Il s’agit en fait
de dimensionner, analyser et comparer huit topologies de machines alimentées par des
onduleurs de tension de type 120o avec une forme d’onde de courant rectangulaire et une
tension à onde entière. Les huit topologies de machines considérées sont :
• Machines A-1 et A-2 : machines avec stators en SMC et rotors internes à 2 pôles
(p=1) et à 4 pôles (p=2) ;
• Machines A-3 et A-4 : machines avec stators en SMC et rotors externes à 2 pôles et
à 4 pôles ;
Chapitre 6 219
• Machines B-1 et B-2 : machines avec stators en fer laminé (tôles) et rotors internes
à 2 pôles et à 4 pôles ;
• Machines B-3 et B-4 : machines avec stators en fer laminé et rotors externes à 2
pôles et à 4 pôles.
Le dimensionnement des huit machines est effectué pour le même cahier des charges sans
utilisation du mécanisme de correction des pertes par courant de Foucault par calcul
numérique du champ en 3D dans le cas des machines dont les culasses statoriques sont
réalisées en SMC. En fait, nous utilisons le même cahier des charges ainsi que les mêmes
paramètres de dimensionnement et caractéristiques des matériaux considérés précédemment
dans l’exemple de la partie 5.6. De plus, la même fonction objectif et les mêmes contraintes
du problème d’optimisation sont considérées dans ce dimensionnement où les mêmes
valeurs du couple et des pertes dissipées sont imposées pour toutes les machines.
Rappelons que ces moteurs sont destinés à une application d’outillage électrique et qu’ils
doivent être dimensionnés pour fournir une puissance de 500 W à une vitesse de rotation de
20000 rpm. Dans le rotor, les aimants permanents de type radial sont segmentés pour
réduire les pertes par courants de Foucault et sont maintenus par une frette non conductrice
de type fibre de carbone lorsqu’il s’agit d’un rotor interne. Dans le stator, les mêmes types
de bobinages considérés pour les deux machines de l’exemple de la partie 5.6 sont utilisés.
Il s’agit de bobinages à pas diamétral à 6 encoches (pour p=1) et à 12 encoches (pour p=2)
réalisés par des fils de cuivre standards sans utilisation de fils de Litz. D’un autre côté, les
mêmes caractéristiques du matériau SMC utilisé dans la partie 5.6 sont considérées pour les
machines dont les culasses statoriques sont réalisées par ce type de matériau. Cependant,
pour les autres machines dont les stators sont en fer laminé, nous utilisons des tôles Fe-
3%Si dont les caractéristiques sont présentées dans le tableau 6.1.
Chapitre 6 220
Type de tôles Transil 300-35-A5 Coefficient des pertes d’hystérésis Kh 1.71×10-2 Paramètre x (pour pertes d’hystérésis) 2.12 Coefficient des pertes par courants de Foucault excédentaires Kexc 6.6×10-5 Épaisseur des tôles et 0.35 mm Résistivité (1/σt) 4.5×10-7 Ωm Perméabilité relative µrt 5000
Tableau 6.1 : Caractéristiques des tôles Fe-Si considérées [39], [159]
6.2.1 Machines avec stator en SMC
Le tableau 6.2 montre les structures optimales finales des 4 types de moteurs dimensionnés
avec des culasses de stator réalisées en SMC. Il présente une comparaison de leurs
principales caractéristiques et performances obtenues par la procédure d’optimisation.
Comme cela a été montré dans la partie 5.6 pour les machines à rotor interne, les résultats
du tableau 6.2 montrent que l’augmentation du nombre de pôles (de 2 à 4 pôles) est très
avantageuse pour les machines à rotor externe pour le cahier des charges considéré. Les
machines à 4 pôles à rotor interne et à rotor externe (machines A-2 et A-4) sont plus
intéressantes que celles à 2 pôles (machines A-1 et A-3) étant donné que leurs masses sont
plus faibles et que leurs couples massiques sont plus élevés malgré l’augmentation de la
fréquence. L’augmentation du nombre de pôles conduit à une diminution de l’épaisseur de
la culasse du stator et à une réduction des têtes de bobines.
Les résultats du tableau 6.2 montrent aussi que les machines à rotor externe à 2 pôles et à 4
pôles (machines A-3 et A-4) semblent être légèrement plus intéressantes que les machines à
rotor interne (machines A-1 et A-2), respectivement, puisqu’elles ont des poids plus faibles
et des couples massiques plus élevés. Les structures des machines à rotor externe
permettent, d’une part, de minimiser les pertes magnétiques au stator à cause de la
réduction du volume du fer lorsqu’on passe d’un rotor interne à un rotor externe, et d’autre
part, de réduire les têtes de bobines ainsi que le volume total du cuivre. La réduction du
volume du cuivre ne conduit pas nécessairement à une diminution des pertes Joule totales à
cause de l’augmentation de la densité du courant. En fait, la diminution du volume du
cuivre est compensée par l’augmentation de la densité du courant afin de générer le couple
Chapitre 6 221
désiré, ce qui conduit à des pertes Joule plus élevées. Il faut bien noter que les conclusions
issues de la comparaison entre les structures des machines à rotor interne et à rotor externe
dépendent étroitement du cahier des charges, des types de matériaux utilisés et du mode
d’alimentation. Il se peut qu’une machine à rotor interne soit meilleure que celle à rotor
externe pour le même nombre de pôles comme le démontre les résultats des études
comparatives qui suivent dans ce chapitre.
Machine A-1 Machine A-2 Machine A-3 Machine A-4
Structure optimale
Type de rotor Interne Interne Externe Externe Nombre de pôles 2 4 2 4 Nombre d’encoches 6 12 6 12 Longueur axiale 36.28 mm 23.49 mm 36.66 mm 25.86 mm Diamètre externe 48 mm 48 mm 48 mm 48 mm Nombre de spires 62 71 48 55 Densité de courant 10 A/mm2 12.72 A/mm2 16.67 A/mm2 19.99 A/mm2 Charge linéique 23608 A/m 21492 A/m 18648 A/m 17935 A/m Bmax dans l’entrefer 0.424 T 0.471 T 0.520 T 0.575 T fem RMS (h=1) 35.36 V 35.42 V 35.04 V 35.22 V Inductance (h=1) 0.476 mH 0.170 mH 0.353 mH 0.125 mH Résistance du stator 0.684 Ω 0.704 Ω 0.784 Ω 0.763 Ω Courant RMS (h=1) 4.85 A 4.84 A 4.82 A 4.82 A Tension RMS (h=1) 38.98 V 38.98 V 38.98 V 38.98 V Pertes Joule au stator 52.37 W 53.60 W 59.29 W 57. 60 W Pertes fer au stator 12.07 W 10.74 W 3.83 W 6.07 W Pertes aux aimants 0.475 W 0.480 W 0.706 W 0.297 W Pertes mécaniques 0.084 W 0.171 W 1.171 W 1.028 W Pertes totales 65 W 65 W 65 W 65 W Poids du fer 0.2048 kg 0.1072 kg 0.2657 kg 0.1538 kg Poids du cuivre 0.1644 kg 0.0936 kg 0.0667 kg 0.0420 kg Poids des aimants 0.0626 kg 0.0719 kg 0.0911 kg 0.0659 kg Poids total 0.4320 kg 0.2728 kg 0.4235 kg 0.2617 kg Couple massique 0.5556 Nm/kg 0.8797 Nm/kg 0.5667 Nm/kg 0.9169 Nm/kg
Tableau 6.2 : Structures optimales et principales caractéristiques et performances des 4 moteurs sans encoches avec stator en SMC
-0.02 -0.01 0 0.01 0.02
-0.02
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-0.02 -0.01 0 0.01 0.02
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
Chapitre 6 222
Comme cela a été constaté dans la partie 5.6, les résultats montrent que les pertes Joule
dans les 4 machines sans encoches sont plus importantes que les pertes magnétiques parce
que ce type de machines présente des inductions dans l’entrefer plus faibles et des charges
linéiques plus élevées. On remarque aussi que contrairement aux machines à rotor interne,
les pertes mécaniques sont plus importantes dans les machines à rotor externe parce qu’un
rotor extérieur génère plus de pertes aérodynamiques qu’un rotor intérieur. À partir de ces
comparaisons, on peut conclure que la machine A-4 est la plus intéressante pour le cahier
des charges considéré étant donné qu’elle présente le meilleur couple massique.
6.2.2 Machines avec stator en fer laminé
Les résultats obtenus à partir de la procédure de conception par optimisation dans le cas du
dimensionnement des 4 moteurs sans encoches avec stator en fer laminé (tôles en Fe-Si de
0.35 mm) sont présentés dans le tableau 6.3. Une analyse comparative des performances de
ces machines confirme les mêmes conclusions obtenues et discutées précédemment dans le
cas des machines avec stator en SMC. Les machines à 4 pôles à rotors interne et externe
(machine B-2 et B-4) ont de meilleures performances que celles à 2 pôles (machines B-1 et
B-3). De plus, la machine B-4 à 4 pôles à rotor externe semble être la plus intéressante
puisqu’elle a un couple massique légèrement supérieur à celui de la machine à 4 pôles à
rotor interne. Cela s’explique par le fait que l’augmentation du nombre de pôles et
l’utilisation d’un rotor de type externe conduisent à une diminution des volumes du fer et
du cuivre au stator et à une réduction du poids de la machine.
La comparaison des performances des machines avec stator en fer laminé avec celles des
machines avec stator en SMC (cf. tableaux 6.2 et 6.3) montrent que, pour le cahier des
charges considéré, les dernières machines sont légèrement moins performantes que les
premières. Cela est dû au fait que, d’une part, les machines dont le stator est en tôles
présentent des pertes magnétiques plus faibles pour la vitesse de rotation considérée et que,
d’autre part, les machines avec stator en SMC possèdent des inductions moins importantes
dans l’entrefer à cause de la perméabilité moins élevée du matériau SMC. Toutefois, l’effet
de la perméabilité n’est pas très significatif sur le dimensionnement comparé à celui des
faibles pertes magnétiques au niveau des tôles à cause du large entrefer magnétique des
machines sans encoches. En effet, lors du dimensionnement, les pertes magnétiques moins
Chapitre 6 223
élevées dans les tôles conduisent à une augmentation de l’induction dans l’entrefer des
machines et de la densité du courant dans les conducteurs du bobinage et à une diminution
de la quantité du cuivre et du volume de fer au stator.
Machine B-1 Machine B-2 Machine B-3 Machine B-4
Structure optimale
Type de rotor Interne Interne Externe Externe Nombre de pôles 2 4 2 4 Nombre d’encoches 6 12 6 12 Longueur axiale 29.96 mm 20.54 mm 35.24 mm 24.65 mm Diamètre externe 48 mm 48 mm 48 mm 48 mm Nombre de spires 62 70 48 54 Densité de courant 11.55 A/mm2 14.26 A/mm2 17.63 A/mm2 21.67 A/mm2 Charge linéique 22435 A/m 20241 A/m 18481 A/m 17772 A/m Bmax dans l’entrefer 0.461 T 0.505 T 0.540 T 0.598 T fem RMS (h=1) 34.96 V 35.26 V 34.91 V 35.12 V Inductance (h=1) 0.484 mH 0.165 mH 0.358 mH 0.124 mH Résistance du stator 0.765 Ω 0.741 Ω 0.811 Ω 0.786 Ω Courant RMS (h=1) 4.85 A 4.84 A 4.82 A 4.82 A Tension RMS (h=1) 38.98 V 38.98 V 38.98 V 38.98 V Pertes Joule au stator 58.51 W 56.30 W 61.28 W 59.35 W Pertes fer au stator 5.80 W 7.95 W 1.81 W 4.27 W Pertes aux aimants 0.592 W 0.561 W 0.752 W 0.363 W Pertes mécaniques 0.095 W 0.189 W 1.150 W 1.008 W Pertes totales 65 W 65 W 65 W 65 W Poids du fer 0.1881 kg 0.1026 kg 0.2646 kg 0.1511 kg Poids du cuivre 0.1399 kg 0.0801 kg 0.0622 kg 0.0376 kg Poids des aimants 0.0574 kg 0.0698 kg 0.0841 kg 0.0619 kg Poids total 0.3855 kg 0.2525 kg 0.4108 kg 0.2506 kg Couple massique 0.6226 Nm/kg 0.9506 Nm/kg 0.5841 Nm/kg 0.9576 Nm/kg
Tableau 6.3 : Structures optimales et principales caractéristiques et performances des 4 moteurs sans encoches avec stator en fer laminé
Cette étude comparative permet de constater que les machines sans encoches avec stator en
SMC peuvent êtres très compétitives par rapport à celles avec stator en fer laminé pour les
raisons suivantes :
-0.02 -0.01 0 0.01 0.02
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
-0.02 -0.01 0 0.01 0.02
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-0.02 -0.01 0 0.01 0.02
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
Chapitre 6 224
• Ces deux types de structures des machines présentent des performances
comparables à la vitesse de rotation imposée par le cahier des charges (20000
rpm) et pour le matériau SMC considéré. Ces performances deviennent plus proches
lorsque les effets 3D sur les pertes par courants de Foucault dans le stator en SMC
sont considérées dans le dimensionnement ;
• Basé sur les techniques de métallurgie des poudres, le processus de fabrication et
d’assemblage des machines avec des stators en SMC peut être plus rapide et moins
coûteux que celui des machines avec stator en fer laminé dans le cadre d’une
production de grand volume.
Cependant, les machines avec stator en SMC peuvent être plus intéressantes que celles
utilisant des tôles pour des vitesses très élevées comme le prouve la figure 6.1. Cette figure
compare l’évolution des pertes magnétiques au stator générées dans un matériau SMC et
dans des tôles en fonction de la vitesse de rotation en considérant les dimensions optimales
de la machine A-1. Notons que les mêmes caractéristiques des tôles données dans le tableau
6.1 sont considérées. Par contre, un matériau SMC moins conducteur que celui considéré
précédemment est utilisé (µrs=195, σs=1200 s/m).
L’analyse de cette figure permet de constater que les tôles sont plus intéressantes pour des
hautes vitesses moins importantes (inférieures à environ 70000 rpm). Par contre, le
matériau SMC devient plus performant que les tôles pour des très hautes vitesses car les
pertes magnétiques totales deviennent plus faibles. En fait, tel qu’il a été expliqué dans le
paragraphe 1.4.1.2 du 1er chapitre, les pertes par courants de Foucault dans le matériau
SMC sont moins importantes que les pertes d’hystérésis et les pertes magnétiques totales
augmentent pratiquement d’une façon linéaire avec la vitesse puisqu’elles sont dominées
par celles d’hystérésis. D’un autre côté, les pertes par courants de Foucault dans les tôles
sont plus importantes et augmentent rapidement avec la vitesse (au carré de la fréquence). Il
est important de noter que ce constat n’est valable que lorsque le matériau SMC est utilisé
dans une machine de faible puissance (comme dans le cas des machines dimensionnées
dans cette partie). Toutefois, un résultat complètement différent peut être obtenu si les
dimensions et la puissance de la machine sont très importantes étant donné que les pertes
Chapitre 6 225
par courants de Foucault dans le matériau SMC deviennent plus significatives que les
pertes d’hystérésis sur toute la plage de vitesse comme cela sera montré dans la partie 6.5.
Figure 6.1 : Variation des pertes magnétiques dans la culasse du stator de la machine A-1 en
fonction de la vitesse de rotation (matériau SMC vs tôles)
6.3 Études de sensibilité au niveau du dimensionnement des machines sans encoches à haute vitesse
Cette partie présente des études de sensibilité des performances des machines sans
encoches à haute vitesse avec stator en SMC obtenues lors du dimensionnement en fonction
du type du fil de cuivre utilisé dans le bobinage et du type du matériau SMC considéré. Il
s’agit en fait d’investiguer l’effet de l’utilisation du fil de Litz dans le bobinage et l’effet
des paramètres du matériau SMC considéré (conductivité et perméabilité) sur les
performances optimales des machines en utilisant les outils de CAO développés.
6.3.1 Étude de l’effet de l’utilisation du fil de Litz
Afin d’étudier l’effet de l’utilisation du fil de Litz dans la conception des machines sans
encoches à haute vitesse et d’analyser la faisabilité et les limites de ces dernières en
fonction du cahier des charges, nous avons effectué le dimensionnement des quatre
topologies de moteurs avec stator en SMC précédentes (cf. paragraphe 6.2.1) en
considérant le même mode d’alimentation. Le même cahier des charges et les mêmes
matériaux sont utilisés mais les conducteurs classiques utilisés dans les bobinages sont
0 20 40 60 80 1000
20
40
60
80
100
Vitesse [103 rpm]
Per
tes
[W]
SMCTôles
Pertes totales
Pertes par courants de Foucault
Pertes d'hystérésis
Chapitre 6 226
remplacés par d’autres utilisant du fil de Litz. Il est intéressant de rappeler que l’utilisation
du fil de Litz conduit à une diminution du facteur de remplissage des encoches à cause de
l’introduction d’un espace non occupé par les brins du cuivre et de leur isolation. Dans ce
cas, le facteur de remplissage Ku considéré est calculé comme le produit de deux facteurs de
remplissage :
• Un premier facteur Ku-fils correspondant au rapport entre la section totale occupée
par les conducteurs et leur isolation dans une encoche et la section de cette dernière.
Dans ce dimensionnement, ce facteur est pris égal à celui considéré précédemment
et qui correspond à 0.3 ;
• Un deuxième facteur Ku-brins correspondant au rapport entre la section totale occupée
par les brins dans un conducteur de Litz et la section de ce dernier incluant
l’isolation. La valeur de ce facteur dépend du nombre de brins utilisés et de leur
taille. Pour un conducteur de Litz normalisé, le facteur Ku-brins peut être facilement
calculé en se basant sur le nombre de brins, leur dimension AWG et le diamètre
externe du conducteur. Ces données sont fournies par les fabricants.
Pendant le processus de dimensionnement des quatre topologies de moteurs, un premier
dimensionnement est effectué pour chaque topologie en fixant un certain nombre de brins
et un facteur de remplissage Ku-brins approximatif. Ensuite, un conducteur de Litz normalisé
est choisi et un nouveau facteur Ku-brins est recalculé pour un deuxième dimensionnement.
Notons que le nombre des brins (Nbrins) et leur taille AWG (AWGbrins) fixés pendant le
dimensionnement sont respectivement 40 et 38 pour les machines sans encoches à rotor
interne, et 25 et 38 pour les machines à rotor externe. Cela correspond à des conducteurs de
Litz normalisés dont les tailles AWG équivalentes aux sections de cuivre (AWGfils) sont
respectivement 22 et 24 pour les deux catégories de machines :
Nbrins/AWGbrins/AWGfils=40/38/22 et 25/38/24 [160].
Le tableau 6.4 présente les résultats du processus de dimensionnement pour le cahier des
charges précédent dans le cas d’une alimentation en tension. Nous constatons que seules les
machines à 4 pôles à rotors interne et externe (machines A'-2 et A'-4) sont réalisables et que
leurs performances sont plus faibles que celles des machines déjà dimensionnées dans le
Chapitre 6 227
paragraphe 6.2.1 avec des conducteurs standards puisque leurs couples massiques sont
moins élevés. La machine à rotor interne est légèrement plus performante que celle à rotor
externe. Cependant, aucune solution optimale n’est obtenue dans le cas des machines à 2
pôles (machines A'-1 et A'-3) puisqu’on n’arrive pas à obtenir le couple utile désiré
(Tu=0.24Nm) et à respecter ainsi le cahier des charges. En fait, les couples maximaux qui
peuvent être atteints pour les deux machines dans le volume fixé sont respectivement
0.193Nm et 0.194Nm. L’utilisation du fil de Litz dans la conception de ces machines
permet de contrôler et de diminuer les pertes par courants de Foucault (PJext) induites dans
les conducteurs par l’effet de peau et de proximité. Par exemple, ces pertes passent de 3.27
W pour des conducteurs standards à 0.033 W pour des fils de Litz dans le cas d’une
machine à rotor interne à 2 pôles et de 8.41 W à 0.13 W pour une machine à rotor interne à
4 pôles. Cependant, le facteur de remplissage des encoches pour les 4 machines est
largement réduit (environ de 41%) à cause du fil de Litz, ce qui dégrade les performances.
Machine A'-1 Machine A'-2 Machine A'-3 Machine A'-4 Type de rotor Interne Interne Externe Externe Nombre de pôles 2 4 2 4 Nombre d’encoches 6 12 6 12 Nbrins/AWGbrin/AWGfils 40/38/22 40/38/22 25/38/24 25/38/24 Ku-fils/Ku-brins/Ku 0.3/0.589/0.177 0.3/0.589/0.177 0.3/0.597/ 0.179 0.3/0.597/ 0.179 Longueur axiale
Pas de solution optimale
30.58 mm
Pas de solution optimale
33.97 mm Diamètre externe 48 mm 48 mm Nombre de spires 55 44 Densité de courant 16.41 A/mm2 24.47 A/mm2 Charge linéique 16673 A/m 14266 A/m Bmax dans l’entrefer 0.47 T 0.54 T Pertes PJext 0.13 W 0.19 W Pertes Joule totale 50.32 W 56.27 W Pertes fer au stator 14.04 W 7.29 W Pertes aux aimants 0.44 W 0.27 W Pertes mécaniques 0.19 W 1.16 W Pertes totales 65 W 65 W Poids du fer 0.1393 kg 0.1959 kg Poids du cuivre 0.0625 kg 0.0314 kg Poids des aimants 0.1022 kg 0.0875 kg Poids total 0.3039 kg 0.3148 kg Couple massique 0.7896 Nm/kg 0.7623 Nm/kg
Tableau 6.4 : Principales caractéristiques et performances des 4 moteurs sans encoches avec stator en SMC et fils de Litz
Chapitre 6 228
Il faut noter que ces conclusions sont valides pour la vitesse de rotation imposée par le
cahier des charges (20000 rpm). Cependant, lorsque la vitesse augmente, un compromis
entre l’amélioration du facteur de remplissage (utilisation des conducteurs de cuivre
standards) et la réduction des pertes Joule supplémentaires dues à l’effet de peau et de
proximité (utilisation du fil de Litz) peut être adopté suivant la valeur de la vitesse et des
pertes mises en jeu, car les performances d’une machine peuvent être soit améliorées ou
diminuées. Pour démonter cela, nous effectuons une analyse de sensibilité des
performances optimales en fonction de la vitesse de rotation en considérant la structure
d’une machine à rotor interne à 2 pôles. Le dimensionnement est effectué pour plusieurs
valeurs de vitesse pour les deux types de conducteurs. La fonction objectif de la procédure
d’optimisation considérée est la maximation du couple dans un volume donné (Dmax=48
mm, Lmax=37 mm), les pertes totales sont imposées.
La figure 6.2 présente l’évolution des couples utiles des machines dimensionnées en
fonction de la vitesse pour les deux types de conducteurs utilisés. On observe que le couple
diminue dans les deux cas lorsque la vitesse augmente. L’augmentation de la vitesse
conduit à une diminution de l’induction dans l’entrefer et de la densité de courant dans les
conducteurs afin de réduire les pertes magnétiques et les pertes Joule au niveau du stator
qui augmentent rapidement avec la fréquence. Un tel comportement conduit à une
diminution du couple. On remarque aussi que pour des vitesses inférieures à 43000 rpm
environ, une machine utilisant des conducteurs standards est plus performante qu’une
machine avec des fils de Litz puisqu’elle présente un meilleur couple. Cela est dû au fait
que l’effet des pertes Joule supplémentaires sur le dimensionnement est moins significatif
que celui du facteur de remplissage des encoches pour cette plage de vitesses. Cependant,
pour des vitesses supérieures à 43000 rpm, les pertes dues à l’effet de peau et de proximité
deviennent plus importantes et l’introduction des fils de Litz permet de les réduire et
d’améliorer le couple malgré la réduction du facteur de remplissage. Dans ce cas, les
machines avec des fils de Litz deviennent plus intéressantes que celles avec des
conducteurs standards.
Chapitre 6 229
À partir de ces analyses, on peut conclure que le choix optimal entre l’utilisation des
conducteurs standards ou des fils de Litz dépend étroitement du cahier des charges de
l’application et particulièrement de la vitesse de rotation.
Figure 6.2 : Variation des couples utiles en fonction de la vitesse pour des machines à rotor interne
à 2 pôles ayant des bobinages avec et sans fil de Litz
6.3.2 Étude de sensibilité en fonction du matériau SMC utilisé
Le choix du type du matériau SMC pour la réalisation de la culasse statorique est très
important au niveau de la conception des machines sans encoches à haute vitesse. Pour
étudier l’effet des paramètres du matériau SMC sur les performances optimales, on propose
de dimensionner et d’optimiser une machine sans encoches à rotor interne à 2 pôles en
utilisant deux matériaux différents :
• Un premier matériau moins conducteur utilisé précédemment (Mat-1) dont la
perméabilité est de 200 et la conductivité est de 3400 s/m ;
• Un deuxième matériau plus conducteur dont la perméabilité et la conductivité sont
respectivement 300 et 20000 s/m.
Dans cette étude, on utilise le même cahier des charges précédent et pour lequel le bobinage
utilise des conducteurs standards. La fonction objectif consiste à maximiser le couple dans
le volume fixé par le cahier des charges avec des pertes dissipées identiques. Les résultats
0 20 40 60 800
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Vitesse [103 rpm]
Cou
ple
[Nm
]
Sans fils de LitzAvec fils de Litz
Chapitre 6 230
obtenus par utilisation de la procédure d’optimisation développée sont donnés dans le
tableau 6.5.
Machine A-1-1 Machine A-1-2 Type de rotor Interne Interne Nombre de pôles 2 2 Nombre d’encoches 6 6 Perméabilité SMC 200 300 Conductivité SMC 3400 s/m 20000 s/m Longueur axiale 37 mm 37 mm Diamètre externe 48 mm 48 mm Nombre de spires 61 72 Densité de courant 9.92 A/mm2 8.80 A/mm2 Charge linéique 23513 A/m 27220 A/m Bmax dans l’entrefer 0.42 T 0.39 T Pertes Joule totale 52.18 W 48.79 W Pertes fer au stator 12.26 W 15.74 W Pertes aux aimants 0.47 W 0.40 W Pertes mécaniques 0.08 W 0.07 W Pertes totales 65 W 65 W Puissance utile fournie 508.8 W 467.4 W Couple utile 0.243 Nm 0.223 Nm Poids du fer 0.2082 kg 0.1789 kg Poids du cuivre 0.1663 kg 0.1979 kg Poids des aimants 0.0638 kg 0.0574 kg Poids total 0.4383 kg 0.4343 kg Couple massique 0.5542 Nm/kg 0.5138 Nm/kg
Tableau 6.5 : Principales caractéristiques et performances optimales des 2 machines sans encoches dimensionnées avec deux types de matériaux SMC (1er matériau : µrs=200, σs=3400s/m ;
2ème matériau : µrs=300, σs=20000s/m)
Une analyse comparative de ces résultats démontre que la machine avec le matériau SMC
le moins conducteur (machine A-1-1) est plus performante que l’autre machine malgré la
faible valeur de sa perméabilité. La première machine produit un couple plus élevé puisque
les pertes par courants de Foucault et les pertes magnétiques totales dans le stator sont plus
faibles. Bien que la perméabilité du matériau SMC de la deuxième machine soit plus
importante, son induction dans l’entrefer est plus faible et son couple est moins élevé à
cause de la valeur importante de la conductivité.
Chapitre 6 231
On peut conclure que la perméabilité du matériau SMC a une influence non significative
par rapport à celle de la conductivité au niveau des machines sans encoches à cause de leur
entrefer magnétique important et que le choix optimal du type du matériau à utiliser dépend
essentiellement de la conductivité. Cette remarque reste toujours valide si la perméabilité a
une valeur plus importante parce que la réluctance du fer est pratiquement négligeable par
rapport à celle de l’entrefer.
6.4 Dimensionnement des moteurs sans encoches alimentés par onduleur de tension de type 180o à onde pleine
Nous appliquons à présent la méthodologie de conception développée au cas d’une
alimentation en tension afin de dimensionner des moteurs sans encoches à hautes vitesse
alimentés par des onduleurs de type 180o à onde pleine de tension. Le dimensionnement est
effectué pour les mêmes topologies de machines avec stator en SMC dimensionnées
précédemment où l’alimentation est assurée par des onduleurs de tension de type 120o (cf.
partie 6.2). Le même cahier des charges, les mêmes contraintes et la même fonction objectif
sont considérés. Le but est de comparer les performances de ces différentes machines et
d’analyser ainsi l’influence du type de commande (120o/180o) sur le dimensionnement
optimal.
Le tableau 6.6 présente les résultats obtenus à partir de la procédure d’optimisation pour les
structures optimales des quatre moteurs dimensionnés. L’analyse de ces résultats nous
permet de constater que, malgré l’augmentation de la fréquence, les machines à 4 pôles à
rotors interne et externe restent toujours plus performantes que celles à 2 pôles comme cela
a été démontré dans les différentes analyses comparatives précédentes. Cependant, les
machines à rotor interne à 2 pôles et à 4 pôles (machines C-1 et C-2) sont légèrement plus
performantes que celles à rotor externe (machines C-3 et C-4), respectivement. Notons que
la machine à 2 pôles à rotor externe (machine C-3) est non réalisable parce que sa longueur
dépasse la longueur maximale imposée par le cahier des charges Lmax=37 mm).
Chapitre 6 232
Machine C-1 Machine C-2 Machine C-3 Machine C-4
Structure optimale
Type de rotor Interne Interne Externe Externe Nombre de pôles 2 4 2 4 Nombre d’encoches 6 12 6 12 Longueur axiale 36.82 mm 25.98 mm 39.78 mm 33.25 mm Diamètre externe 48 mm 48 mm 48 mm 48 mm Nombre de spires 78 94 62 73 Densité de courant 9.61 A/mm2 11.36 A/mm2 13.39 A/mm2 13.51 A/mm2 Charge linéique 26947 A/m 26821 A/m 18782 A/m 18569 A/m Bmax dans l’entrefer 0.398 T 0.424 T 0.420 T 0.370 T fem RMS (h=1) 40.73 V 40.97 V 40.59 V 40.98 V Inductance (h=1) 0.715 mH 0.277 mH 0.618 mH 0.252 mH Résistance du stator 0.916 Ω 0.909 Ω 0.981 Ω 0.922 Ω Courant RMS (h=1) 4.19 A 4.16 A 4.17 A 4.14 A Tension RMS (h=1) 45.01 V 45.01 V 45.01 V 45.01 V Pertes Joule au stator 53.77 W 55.69 W 59.44 W 58.37 W Pertes fer au stator 10.84 W 8.71 W 3.57 W 4.92 W Pertes aux aimants 0.319 W 0.457 W 0.713 W 0.522 W Pertes mécaniques 0.072 W 0.141 W 1.242 W 1.189 W Pertes totales 65 W 65 W 65 W 65 W Poids du fer 0.1943 kg 0.0992 kg 0.2576 kg 0.1449 kg Poids du cuivre 0.1842 kg 0.1243 kg 0.1034 kg 0.0902 kg Poids des aimants 0.0604 kg 0.0723 kg 0.0903 kg 0.0648 kg Poids total 0.4388 kg 0.2959 kg 0.4513 kg 0.2999 kg Couple massique 0.5468 Nm/kg 0.8110 Nm/kg 0.5318 Nm/kg 0.8001 Nm/kg
Tableau 6.6 : Structures optimales et principales caractéristiques et performances des 4 moteurs sans encoches avec stator en SMC dimensionnés (cas d’un onduleur de type 180o à onde pleine
de tension)
Une comparaison des performances optimales de ces machines avec celles des quatre
machines dimensionnées dans la partie 6.2 pour le cas d’un onduleur de tension de type
120o montre que l’utilisation de ce dernier type d’alimentation est plus intéressante que
celle d’une alimentation par onduleur de tension de type 180o. Les machines alimentées par
des onduleurs de tension de type 120o ont des inductions dans l’entrefer plus importantes,
des densités de courant supérieures et des couples massiques plus élevés. Cela s’explique
-0.02 -0.01 0 0.01 0.02
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
-0.02 -0.01 0 0.01 0.02
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
-0.02 -0.01 0 0.01 0.02
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
-0.02 -0.01 0 0.01 0.02
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
Chapitre 6 233
par le fait que le courant délivré par un onduleur de tension de type 180o, pour le point de
fonctionnement considéré, présente un taux d’harmoniques plus important que celui de
l’onduleur de type 120o conduisant ainsi à une augmentation des pertes Joule et des pertes
fer au niveau du stator, à une diminution de l’induction et de la densité du courant et à une
augmentation du poids de la machine. Par exemple, le taux de distorsion harmonique dans
le cas d’une machine à rotor externe à 4 pôles est 47.9% pour un onduleur de type 180o et
28.8% pour un onduleur de type 120o pour les 25 premiers harmoniques.
Théoriquement, le fait d’augmenter la tension fondamentale aux bornes d’une machine
permet d’améliorer les performances puisque le nombre de spires augmente et les pertes
Joule supplémentaires dues à l’effet de peau et de proximité diminuent. Cependant, bien
que la tension fournie par un onduleur de tension de type 180o soit plus élevée que celle
appliquée par un onduleur 120o, les performances des machines alimentées par le premier
onduleur sont inférieures à cause de l’influence importante des harmoniques. De plus, les
ondulations de couple générées par ces machines sont plus importantes comme le montre la
figure 6.3 tracée dans le cas d’une structure de machine à rotor interne à 2 pôles.
Figure 6.3 : Couples utiles instantanés des machines A-1 et C-1 à 2 pôles à rotor interne
alimentées respectivement par onduleur de tension de type 120o et de type 180o
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3x 10-3
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Temps [t]
Cou
ple
[Nm
]
Tu pour onduleur 120o
Tu pour onduleur 180o
Couple moyen
Chapitre 6 234
6.5 Dimensionnement d’un alternateur sans encoches à haute vitesse avec stator en SMC débitant sur un redresseur
Dans cette partie, nous proposons d’illustrer la méthodologie de conception par
optimisation globale développée dans le cas d’une alimentation par convertisseur de
courant en dimensionnant un alternateur sans encoches triphasé équipé avec un stator en
SMC et un rotor interne à aimants permanents. Cette validation est effectuée en considérant
le système de génération à haute vitesse décrit dans le chapitre 4 où l’alternateur est
entraîné par une turbine à gaz et débite sur un redresseur à thyristors. Notons que les deux
méthodes de conception et d’optimisation proposées dans le paragraphe 5.5.2 du chapitre 5
avec utilisation éventuelle du mécanisme de correction 3D des pertes par courants de
Foucault sont utilisées et comparées.
6.5.1 Cahier des charges et paramètres de dimensionnement
Les différentes spécifications du cahier des charges du système de génération ainsi que les
divers paramètres de dimensionnement et caractéristiques des matériaux de l’alternateur à
dimensionner sont respectivement présentés dans les tableaux 6.7 et 6.8. Le système de
génération doit fournir une puissance de 1.5 MW à la sortie du redresseur sous une tension
continue de 1500 V pour un fonctionnement à pleine charge à une vitesse de 18000rpm.
Les pertes dissipées au niveau de l’alternateur sont imposées (un système de
refroidissement par eau est utilisé). La culasse du stator de la machine est réalisée avec un
matériau SMC de perméabilité 200 et de conductivité 2500 s/m. Le bobinage est à pas
diamétral à 36 encoches réalisé en utilisant du fil de Litz de forme rectangulaire pour
réduire les pertes par courants de Foucault dues à l’effet de peau et de proximité. Tel
qu’expliqué précédemment dans le cas d’utilisation du fil de Litz, le coefficient de
remplissage global des encoches Ku est le produit des deux coefficients Ku-fils et Ku-brins.
Pour le présent dimensionnement, le coefficient de remplissage Ku-fils est pris égal à 0.7,
tandis que le coefficient Ku-brins est déterminé pendant le processus de dimensionnement
suite au choix d’un fil de Litz normalisé.
Le rotor à aimants permanents de l’alternateur comporte 4 pôles de type NdFeB à
aimantation radiale. Chaque aimant est segmenté en 3 blocs afin de réduire les pertes par
Chapitre 6 235
courants de Foucault qui y sont générées. Leur induction de démagnétisation vaut 0.2T
pour une température de 150oC. La frette de maintien des aimants est amagnétique non
conductrice de type fibre de carbone. Dans ce dimensionnement, les pertes dans les
roulements sont considérées et ajoutées aux pertes aérodynamiques. Les roulements utilisés
sont équipés par des billes en céramique faite du Nitrure de Silicium. Ce type de
roulements est très adapté aux vitesses et aux températures très élevées. Comparées aux
billes en acier, les billes en céramique permettent de réduire les pertes dans les roulements
pour les hautes vitesses. Ils ont une longévité plus grande et résistent mieux à la fatigue.
Les dimensions des roulements choisis sont données dans le tableau 6.8 [161].
Paramètre Valeur Puissance nominale de sortie du redresseur Pout 1.5 MW Vitesse de rotation nominale de l’alternateur N 18000 rpm Diamètre externe maximal de l’alternateur Dmax 400 mm Longueur axiale maximale du stator Lmax 300 mm Pertes maximales de l’alternateur Pertot0 60 kW Tension continue de sortie du redresseur Vdo 1500 V Induction maximale dans la culasse du stator Bculsmax0 1.2 T Induction maximale dans la culasse du rotor Bculrmax0 1.6 T
Tableau 6.7 : Spécifications et contraintes du cahier des charges du système de génération
Paramètre Valeur Nombre de pôles 2p 4 Nombre d’encoches 36 Coefficient d’ouverture des encoches ke 0.95 Entrefer mécanique minimal 1.5 mm Épaisseur de la frette ec 3 mm Aimantation rémanente des aimants à 120oC (NdFeB) 1.2 T Perméabilité des aimants µrm 1.05 Conductivité des aimants σm 6.25×105 s/m Induction de démagnétisation des aimants BAPmin à 150oC 0.2 T Perméabilité du matériau SMC µrs 200 Conductivité du matériau SMC σs 2500 s/m Contrainte de traction limite du matériau du rotor (acier) 600 N/mm2 Contrainte de traction limite du matériau de la frette (fibre de carbone de type T700SC) 4900 N/mm2
Dimensions des roulements à billes en céramique (d×D×B) φ35×φ55×10
Tableau 6.8 : Paramètres de dimensionnement et caractéristiques des matériaux de l’alternateur
Chapitre 6 236
6.5.2 Dimensionnement et analyse des résultats
Le dimensionnement de l’alternateur du système de génération est réalisé en utilisant les
deux procédures de conception et d’optimisation proposées qui intègrent le mécanisme de
correction itératif du couplage machine-convertisseur et qui considèrent ou non le
mécanisme de correction des pertes par courants de Foucault dans le stator en SMC par
calcul numérique du champ en 3D. Dans les deux cas, la fonction objectif du problème
d’optimisation est la minimisation d’une fonction de coût qui représente une pondération
entre les poids des principaux matériaux utilisés. Cette fonction s’écrit :
10. 7.ap cu ferObj P P P= + + (6.1)
Pap, Pcu et Pfer représentent respectivement le poids des aimants, du cuivre et du fer de la
machine. Pour ce dimensionnement, le fonctionnement en charge du système de génération
considéré correspond au cas où l’angle d’amorçage des thyristors du redresseur est nul. La
démagnétisation des aimants permanents est calculée pour le courant de court-circuit de
l’alternateur en utilisant un coefficient de sécurité égal à 1 (KsécB=1).
6.5.2.1 Dimensionnement sans correction 3D des pertes par courants de Foucault
L’application de la première méthode de conception et d’optimisation illustrée par la
procédure de la figure 5.11 nous a permis de trouver une solution optimale finale de
dimensionnement de l’alternateur. Cette solution est obtenue après seulement 3 itérations
sur le mécanisme de correction du couplage entre le modèle de dimensionnement de la
machine et le modèle électrique équivalent sans à priori de l’ensemble convertisseur-
machine. Le tableau 6.9 présente les valeurs des tensions imposée Vdo, calculée Vdi et
simulée Vdsim du bus continu à la sortie du redresseur pour chaque solution optimale
intermédiaire obtenue pendant le processus de conception. Le tableau présente aussi
l’évolution du facteur de correction du couplage machine-convertisseur. L’analyse de ces
résultats montre clairement que la convergence du processus de conception est atteinte
après un nombre d’exécutions du problème d’optimisation et de simulation du modèle
électrique du système de génération égal à 4. La dernière exécution (i=5) présentée dans le
tableau 6.9 montre que la convergence est atteinte à (i=4).
Chapitre 6 237
Pendant le processus de dimensionnement, un fil de Litz normalisé a été choisi pour chaque
solution optimale intermédiaire avec une forme rectangulaire de type 8 [162]. Dans ce cas,
le coefficient de remplissage Ku-brins calculé pour la solution optimale finale est 0.543 et le
coefficient global Ku résultant est 0.38. Le nombre de spires, qui est faible, a été ajusté de
manière à rester un multiple de p.npp afin d’avoir un bobinage réparti et équilibré.
i=1 i=2 i=3 i=4 i=5 Vdo [V] 1500 1500 1500 1500 1500 Vdi [V] 1516.28 1754.95 1811.71 1826.32 1826.32 Vdsim[V] 1296 1453 1488 1500 1500 Kco(i) 1 1.16997 1.20781 1.21755 1.21755 Kco(i+1) 1.16997 1.20781 1.21755 1.21755 1.21755
Tableau 6.9 : Évolution des différentes tensions continues et du facteur de correction du couplage machine-convertisseur
La figure 6.4 montre la structure optimale finale de l’alternateur dimensionné, tandis que le
tableau 6.10 présente la liste de ses principales caractéristiques et performances. Le courant
de court-circuit a été vérifié à la sortie du redresseur à partir de la simulation du circuit
électrique du système de génération. Les résultats obtenus montrent que l’alternateur
dimensionné possède un bon rendement d’environ 96%. Les pertes Joule dans le bobinage
de la machine sont plus importantes que les autres pertes et représentent environ 68.1% des
pertes totales contre 28.4% pour les pertes magnétiques dans la culasse du stator. Par
contre, les pertes mécaniques et les pertes Joule dissipées dans les aimants sont plus faibles.
Figure 6.4 : Structure optimale de l’alternateur sans encoches dimensionné (sans correction 3D des
pertes par courants de Foucault)
-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
Chapitre 6 238
Paramètre Valeur Longueur axiale active 300 mm Diamètre externe du stator 290.5 mm Épaisseur de la culasse du stator 34.8 mm Épaisseur du bobinage 18.6 mm Diamètre interne du bobinage 183.7 mm Entrefer mécanique 1.5 mm Épaisseur de la frette 3 mm Épaisseur des aimants 28.1 mm Épaisseur de la culasse du rotor 26.9 mm Diamètre interne du rotor 64.7 mm Coefficient d’ouverture des aimants 0.738 Fil de Litz Nbrins/AWGbrin/AWGfils 112/22/2 Facteurs de remplissage Ku-fils/Ku-brins/Ku 0.7/0.543/0.38 Nombre de spires par phase 24 Densité de courant 25.4 A/mm2 Charge linéique 187617 A/m Induction maximale à vide dans l’entrefer 0.56 T Force électromotrice (RMS) 999.5 V Inductance synchrone au stator (h=1) 0.2118 mH Résistance d’une phase du stator 0.0241 Ω Rapport Ieff,cc/Ieff,n (Ieff,cc : courant de court-circuit) 1.664 Poids du fer 78.10 kg Poids du cuivre 19.99 kg Poids des aimants 21.20 kg Poids total 119.29 kg Pertes Joule supplémentaires au stator PJext 2.394 kW Pertes Joule totale au stator 40.85 kW Pertes par courants de Foucault au stator 14.79 kW Pertes d’hystérésis au stator 2.267 kW Pertes dans les aimants 0.619 kW Pertes dans les roulements 0.498 kW Pertes aérodynamiques 0.971 kW Pertes totales de la machine 60 kW Rendement 96.16 %
Tableau 6.10 : Principales dimensions, caractéristiques et performances optimales de l’alternateur sans encoches dimensionné (sans correction 3D des pertes par courants de Foucault)
Les pertes par courants de Foucault dans le matériau SMC du stator déterminées en 2D sont
plus significatives que les pertes d’hystérésis comme le montre la figure 6.5. Ces pertes,
validées par calcul numérique du champ en 2D, sont plus importantes malgré l’utilisation
d’un matériau SMC moins conducteur contrairement à ce qu’il a été remarqué dans le cas
Chapitre 6 239
d’une machine de faible puissance (cf. Fig. 6.1). Cela s’explique par l’effet dimensionnel
sur les pertes par courants de Foucault. Les dimensions de la culasse statorique de
l’alternateur sont plus importantes et les trajets des courants de Foucault induits sont plus
longs contrairement au cas d’une machine de faible puissance. Ce phénomène peut être
facilement interprété par une analogie avec l’effet de l’épaisseur des tôles sur les pertes par
courants de Foucault dans les machines conventionnelles.
Figure 6.5 : Variation des pertes magnétiques dans la culasse du stator en SMC de l’alternateur en
fonction de la vitesse de rotation
La figure 6.6 présente les formes d’ondes de la fem, du courant et de la tension d’une phase
de la machine obtenues à partir du modèle électrique équivalent du système de génération.
Nous pouvons remarquer que la commutation du courant au stator a une influence très
importante sur la tension aux bornes de l’enroulement d’une phase de la machine ainsi que
sur la chute de tension au niveau du redresseur. Cela justifie parfaitement l’utilisation d’un
modèle électrique fin de l’ensemble convertisseur-machine tenant compte de la
commutation. Le mécanisme de correction du couplage pour la modélisation électrique du
système s’impose ici. Puisque l’alternateur sans encoches a une faible inductance,
l’utilisation d’une frette conductrice n’est pas nécessaire pour améliorer la commutation du
courant et réduire les pertes au rotor comme cela est souvent utilisé dans les machines avec
encoches [52]. La réduction des pertes au rotor est assurée dans notre cas par une
segmentation des aimants permanents.
0 10 20 30 40 500
20
40
60
80
100
120
Vitesse [103 rpm]
Per
tes
[kW
]
Calcul analytiqueCalcul numérique
Pertes par courants de Foucault
Pertes totales
Pertes d'hystérésis
Chapitre 6 240
La figure 6.7 présente une comparaison entre la forme d’onde de la tension de phase de
l’alternateur calculée analytiquement et celle simulée. La première tension est calculée en
sommant les différents harmoniques de temps obtenus à partir du modèle analytique de
dimensionnement de l’alternateur, tandis que la deuxième tension est obtenue à partir de la
simulation sans à priori du modèle électrique équivalent fin du système de génération. Cette
figure montre qu’il y a une bonne concordance entre ces formes d’ondes de tension. Ce
résultat valide ainsi les hypothèses adoptées au chapitre 4 au niveau de l’inductance et de la
structure du circuit électrique équivalent de la machine (cf. paragraphe 4.4.2).
Figure 6.6 : Formes d’ondes de la fem, du courant et de la tension d’une phase de l’alternateur
Figure 6.7 : Formes d’ondes de la tension de phase de l’alternateur obtenues par calcul analytique
et par simulation
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
Temps [ms]
Tens
ion
[V],
cour
ant [
A]
CourantfemTension
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
Temps [ms]
Tens
ion
[V]
Tension calculéeTension simulée
Chapitre 6 241
6.5.2.2 Dimensionnement avec correction 3D des pertes par courants de Foucault
Les résultats du dimensionnement précédent montrent que la longueur axiale de la culasse
du stator en SMC de l’alternateur n’est pas assez importante par rapport au pas polaire. Le
rapport entre ces deux dimensions est égal à 1.49 (L/pp=1.49). Dans ce cas, les effets 3D
peuvent avoir une influence importante sur les pertes par courants de Foucault générées
dans le matériau SMC et sur le dimensionnement optimal de la machine. L’application de
la deuxième méthode de conception et d’optimisation, illustrée par l’organigramme de la
figure 5.12 et qui inclut le mécanisme de correction du couplage machine-convertisseur et
celui de la correction 3D des pertes par courants de Foucault, a permis de trouver une
solution optimale finale dont la structure est présentée dans la figure 6.8. Notons que le
couple de freinage dû à l’interaction des aimants permanents et des courants de Foucault à
vide induits dans le stator en SMC est aussi corrigé.
Le tableau 6.11 présente l’évolution des tensions continues Vdo, Vdi et Vdsim et du facteur de
correction Kco(i,j) du couplage machine-convertisseur suivant les itérations (i) sur le premier
mécanisme de correction du couplage et suivant les itérations (j) sur le deuxième
mécanisme de correction 3D des pertes par courants de Foucault dans le stator en SMC.
Cependant, le tableau 6.12 présente l’évolution des pertes par courants de Foucault en
charge dans le stator calculées en 2D et en 3D et du facteur de correction 3D de ces pertes
K(j). Ces grandeurs sont données pour chaque solution optimale intermédiaire du processus
de conception en incluant le mécanisme de correction du couplage machine-convertisseur
(pour chaque itération (j)). À partir de ces deux tableaux, nous pouvons remarquer que la
solution optimale finale de dimensionnement de l’alternateur est obtenue avec un faible
nombre d’itérations sur les deux mécanismes de correction. Trois itérations sur le
mécanisme de correction 3D des pertes par courants de Foucault et 6 itérations sur le
mécanisme de correction du couplage machine-convertisseur ont été suffisantes pour
atteindre la solution optimale finale. La convergence de la procédure de conception est ainsi
atteinte après 10 exécutions du problème d’optimisation non linéaire (cf. Fig. 5.12). Pour
cette solution, les pertes par courants de Foucault dans la culasse du stator de l’alternateur
calculées en 3D représentent environ 65% de celles calculées en 2D.
Chapitre 6 242
Figure 6.8 : Structure optimale de l’alternateur sans encoches dimensionné (avec correction 3D des
pertes par courants de Foucault)
i=1 i=2 i=3 i=4
j=1
Vdo [V] 1500 1500 1500 1500 Vdi [V] 1516.28 1754.95 1811.71 1826.32 Vdsim[V] 1296 1453 1488 1500 Kco(i, j) 1 1.16997 1.20781 1.21755 Kco(i+1, j) 1.16997 1.20781 1.21755 1.21755
j=2
Vdo [V] 1500 1500 1500 Vdi [V] 1826.32 1827.46 1827.45 Vdsim[V] 1499.08 1500.01 1500 Kco(i, j) 1.21755 1.21829 1.21830 Kco(i+1, j) 1.21829 1.21830 1.21830
j=3
Vdo [V] 1500 1500 Vdi [V] 1827.45 1827.50 Vdsim[V] 1499.96 1500 Kco(i, j) 1.21830 1.21833 Kco(i+1, j) 1.21833 1.21833
j=4
Vdo [V] 1500 Vdi [V] 1827.50 Vdsim[V] 1500 Kco(i, j) 1.21833 Kco(i+1, j) 1.21833
Tableau 6.11 : Évolution des différentes tensions continues et du facteur de correction du couplage machine-convertisseur pendant le processus de conception de l’alternateur (suivant les itérations i
et j sur les deux mécanismes de correction)
-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
Chapitre 6 243
j=1 j=2 j=3 j=4 K(j) 1 0.65507 0.64946 0.64940 K(j+1) 0.65507 0.64946 0.64940 0.64941 Pcf_2D(j) [kW] 14.790 15.958 16.007 16.008 Pcf_3D(j) [kW] 14.790 10.453 10.396 10.3956 Pcf_3D(j+1) [kW] 9.689 10.364 10.395 10.3957
Tableau 6.12 : Évolution du facteur de correction 3D et des pertes par courants de Foucault en charge en 2D et en 3D lors du processus de conception de l’alternateur
Les principales dimensions, caractéristiques et performances de la structure optimale finale
de l’alternateur dimensionné sont présentées dans le tableau 6.13. La comparaison de ces
résultats avec ceux obtenus précédemment démontre l’importante nécessité de tenir compte
des effets 3D sur la distribution des courants de Foucault induits dans le stator en SMC et
leurs pertes. Dans le présent dimensionnement, les pertes magnétiques totales au stator et le
couple de freinage cité précédemment sont moins élevés à cause de la prise en compte de
ces effets 3D. Cela conduit à une augmentation de l’induction dans l’entrefer et de la
densité du courant dans les conducteurs de l’alternateur, ce qui permet de diminuer la
quantité du cuivre et d’aimants, de réduire la longueur et le poids total de la machine et
d’augmenter la compacité.
Chapitre 6 244
Paramètre Avec correction 3D
Sans correction 3D
Longueur axiale active 288.8 mm 300 mm Diamètre externe du stator 291.3 mm 290.5 mm Épaisseur de la culasse du stator 36.6 mm 34.8 mm Épaisseur du bobinage 16.4 mm 18.6 mm Diamètre interne du bobinage 185.3 mm 183.7 mm Entrefer mécanique 1.5 mm 1.5 mm Épaisseur de la frette 3 mm 3 mm Épaisseur des aimants 27.1 mm 28.1 mm Épaisseur de la culasse du rotor 27.8 mm 26.9 mm Diamètre interne du rotor 66.6 mm 64.7 mm Coefficient d’ouverture des aimants 0.734 0.738 Fil de Litz Nbrins/AWGbrin/AWGfils 105/22/2 112/22/2 Facteurs de remplissage Ku-fils/Ku-brins/Ku 0.7/0.542/0.38 0.7/0.543/0.38 Nombre de spires par phase 24 24 Densité de courant 28.8 A/mm2 25.4 A/mm2 Charge linéique 185942 A/m 187617 A/m Induction maximale à vide dans l’entrefer 0.58 T 0.56 T Force électromotrice (RMS) 1008 V 999.5 V Inductance synchrone au stator 0.2154 mH 0.2118 mH Résistance d’une phase du stator 0.0265 Ω 0.0241 Ω Rapport Ieff,n/Ieff,cc (courant de court-circuit) 1.651 1.664 Poids du fer 78.95 kg 78.10 kg Poids du cuivre 17.32 kg 19.99 kg Poids des aimants 19.93 kg 21.20 kg Poids total 116.2 kg 119.29 kg Pertes Joule supplémentaires au stator PJext 2.147 kW 2.394 kW Pertes Joule totale au stator 44.99 kW 40.85 kW Pertes par courants de Foucault au stator 10.39 kW 14.79 kW Pertes d’hystérésis au stator 2.532 kW 2.267 kW Pertes dans les aimants 0.611 kW 0.619 kW Pertes dans les roulements 0.498 kW 0.498 kW Pertes aérodynamiques 0.976 kW 0.971 kW Pertes totales de la machine 60 kW 60 kW Rendement 96.16 % 96.16 %
Tableau 6.13 : Principales dimensions, caractéristiques et performances optimales de l’alternateur sans encoches dimensionné (avec correction 3D des pertes par courants de Foucault)
Chapitre 6 245
6.6 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons mis en évidence la pertinence et la validité des différents
outils de modélisation et de conception optimale développés dans les chapitres précédents
en les appliquant au dimensionnement de machines sans encoches à aimants permanents à
haute vitesse pour des cahiers des charges spécifiques et différents types d’alimentations.
Le dimensionnement de ces machines a été effectué en utilisant la méthodologie de
conception par optimisation proposée dans cette thèse.
Dans le cas de l’alimentation par convertisseurs de tension, plusieurs structures
topologiques de moteurs sans encoches alimentés par des onduleurs de tension de types
120o et 180o ont été dimensionnés, analysés et comparés. Il s’agit de machines avec des
stators réalisés en SMC et avec des rotors interne et externe, à 2 pôles et à 4 pôles. Ces
structures ont été aussi comparées avec d’autres machines utilisant des stators en fer laminé
dans le cas d’une alimentation par des onduleurs de type 120o. Dans tous ces cas, il a été
démontré que les machines à 4 pôles à rotors interne et externe sont plus performantes que
celles à 2 pôles malgré l’augmentation de la fréquence. Il a été aussi démontré que
l’utilisation d’une alimentation avec un onduleur de tension de type 120o est plus
intéressante que celle d’une alimentation par un onduleur de type 180o à cause de
l’influence importante des harmoniques de courant qui affectent les performances des
machines alimentées par ce dernier type d’onduleur.
Par ailleurs, l’étude comparative des machines avec des stators réalisés en SMC ou en fer
laminé nous a permis de constater que les premières sont légèrement moins performantes
que les dernières pour le cahier des charges considéré. Cependant, les machines avec stator
en SMC peuvent être très compétitives dans le cadre d’une production de grand volume.
Nous avons conclu aussi que l’utilisation des tôles au niveau du stator des machines sans
encoches à haute vitesse est plus intéressante pour des vitesses moins élevées. Cependant,
les SMC deviennent plus performants que les tôles pour des très hautes vitesses,
particulièrement pour des machines de faible puissance.
Des études de sensibilité ont été effectuées pour analyser l’effet de l’utilisation du fil de
Litz au niveau du bobinage ainsi que l’effet du type du matériau SMC considéré sur les
Chapitre 6 246
performances optimales des machines sans encoches. Il ressort de la première étude que le
choix optimal entre l’utilisation d’un fil de Litz ou d’un conducteur standard repose
particulièrement sur un compromis entre l’amélioration du facteur de remplissage des
encoches et la réduction des pertes Joule supplémentaires dues à l’effet de peau et de
proximité. Ce compromis doit être réalisé suivant la vitesse de rotation de la machine. La
deuxième étude a démontré que le choix optimal du type du matériau SMC pour réaliser la
culasse du stator des machines sans encoches dépend essentiellement de la valeur de sa
conductivité. La perméabilité n’a pas d’influence significative sur les performances à cause
de l’entrefer magnétique important de ce type de machines.
Dans le cas de l’alimentation par convertisseurs de courant, la méthodologie de conception
et d’optimisation proposée a été validée en dimensionnant un alternateur sans encoches
avec un stator en SMC et un rotor interne utilisé dans un système de génération à courant
continu à haute vitesse. La méthodologie de conception, utilisant le mécanisme de
correction du couplage machine-convertisseur, a été appliquée en utilisant les deux
méthodes proposées au chapitre 5 pour les deux situations suivantes : avec ou sans prise en
compte des effets 3D sur les courants de Foucault induits dans la culasse du stator. Dans
ces deux cas, la convergence du processus de conception a été atteinte avec un faible
nombre d’exécution du problème d’optimisation et l’efficacité des deux méthodes de
conception a été mise en lumière. La validation de la deuxième méthode de conception a
démontré aussi qu’elle peut être une bonne alternative si la longueur de la machine n’est
pas assez importante par rapport au pas polaire pour tenir compte des effets 3D, puisqu’elle
permet un meilleur dimensionnement de la machine tout en assurant un bon compromis
entre la précision et le temps de calcul.
CONCLUSION GÉNÉRALE
Dans ce travail de recherche, nous avons abordé la modélisation, la conception et
l’optimisation des machines synchrones sans encoches à aimants permanents à haute
vitesse à pôles lisses réalisées avec des matériaux massifs et conducteurs. Nous avons
présenté le développement d’une méthodologie de modélisation et de conception de ce type
de machines basée sur le concept de l’optimisation globale en prenant en compte les
différentes contraintes électromagnétiques, thermiques et mécaniques spécifiques au
fonctionnement à haute vitesse. Ce travail devrait permettre d’investiguer l’utilisation des
matériaux SMC dans ces applications et d’évaluer leur potentiel par rapport aux tôles.
Pour mettre en œuvre cette méthodologie, un outil de dimensionnement générique a été
développé pour différentes structures de machines sans encoches fonctionnant en moteur ou
en générateur et alimentées par diverses configurations de convertisseurs statiques et de
commandes. Cet outil de dimensionnement est constitué d’un ensemble d’outils de
modélisation, de conception et d’optimisation intégrés dans un même environnement de
CAO. L’outil réalisé utilise un modèle de dimensionnement analytique qui inclut un
modèle électromagnétique générique, un modèle de calcul des pertes, un modèle électrique
de l’ensemble convertisseur-machine et un modèle mécanique.
Le modèle électromagnétique des machines a été développé en utilisant une méthode de
modélisation analytique. Cette méthode est basée sur la prédiction de la distribution du
champ magnétique en 2D dans la structure de la machine produit par les aimants au rotor et
les courants au stator. Cette prédiction est effectuée en utilisant une résolution analytique
des équations de Maxwell en magnétodynamique en tenant compte des courants de
Foucault induits dans le stator en SMC et dans la frette lorsqu’elle est conductrice, des
harmoniques de temps et d’espace, du mouvement et de l’effet de la courbure.
Conclusion générale 248
La méthode de modélisation a été généralisée en considérant une structure de machine avec
deux régions conductrices, ayant différentes configurations au niveau du bobinage et divers
types d’aimantation des aimants (radiale, parallèle ou de type Halbach). Différentes
grandeurs électromagnétiques peuvent être calculées en utilisant cette méthode : le couple
électromagnétique, le flux, la fem, les inductances et les résistances. L’approche analytique
a permis d’identifier précisément les différentes interactions qui participent à la génération
du couple électromagnétique de la machine. Cette méthode de modélisation proposée est
efficace et sa mise en œuvre est rapide. Elle assure une précision comparable à celle du
calcul numérique du champ en 2D.
Le modèle de calcul des pertes a été développé en déterminant différents types de pertes :
pertes Joule, pertes magnétiques et pertes mécaniques. Les pertes magnétiques au stator
sont calculées en charge en considérant l’effet de l’angle de commande et les pertes Joules
dans le bobinage tiennent compte de l’effet de peau et de proximité. Au rotor, les pertes par
courants de Foucault sont calculées au niveau de la frette conductrice en utilisant plusieurs
méthodes, mais aussi dans les aimants en considérant qu’ils peuvent être éventuellement
segmentés transversalement. Il a été démontré que l’ajout d’une frette conductrice ou la
segmentation des aimants permettent de réduire considérablement les pertes au rotor.
Une validation du calcul analytique des pertes magnétiques dans le stator en SMC a été
effectuée en utilisant le calcul numérique du champ en 2D. Ces pertes ont aussi été validées
expérimentalement en concevant et réalisant un banc d’essai spécifique. Ces validations
montrent que le modèle développé est précis si on respecte l’hypothèse de 2D. Une autre
validation par le calcul numérique du champ en 3D a démontré qu’il est nécessaire de tenir
compte des effets de bord sur les pertes par courants de Foucault dans le stator en SMC
pour obtenir une meilleure évaluation de celles-ci et un dimensionnement optimal de la
machine, surtout lorsque le rapport entre la longueur et le pas polaire est faible. Afin de
prendre en compte cette limitation lors de la conception, nous avons proposé une méthode
de correction de ces pertes qui utilise le calcul du champ en 3D. Cette méthode a permis
d’intégrer dans le processus d’optimisation un mécanisme de correction que nous avons
judicieusement associé aux procédures de conception par optimisation.
Conclusion générale 249
Pour tenir compte des interactions entre la machine et son alimentation lors de la
conception, nous avons développé un modèle électrique équivalent pour chaque ensemble
convertisseur-machine considéré. Pour une alimentation par convertisseurs à commutation
de tension, une modélisation électrique analytique harmonique a été utilisée en considérant
plusieurs types d’onduleurs : onduleurs de type 120o à onde rectangulaire de courant,
onduleur de type MLI à courant sinusoïdal et onduleur de type 180o à onde pleine de
tension. Dans le cas des convertisseurs à commutation de courant, un modèle analytique
harmonique a aussi été utilisé, mais il est associé à une méthode de correction basée sur les
résultats de simulation du modèle électrique équivalent. Ce deuxième mécanisme de
correction a été également intégré dans le processus d’optimisation afin de tenir compte du
couplage fort existant entre les performances de la machine et de son convertisseur.
Les méthodes de conception optimale des machines ont été mises en œuvre en développant
les procédures de conception et d’optimisation associées suivant le type d’alimentation par
convertisseurs utilisé. Pour une alimentation en tension, le modèle de dimensionnement a
été associé à une procédure d’optimisation non linéaire avec contraintes et au mécanisme
itératif de correction 3D des pertes par courants de Foucault dans le stator lorsque celui-ci
est réalisé en SMC. Dans le cas d’une alimentation en courant, deux méthodes de
conception originales ont été proposées. Elles sont basées sur l’association du modèle de
dimensionnement, d’une procédure d’optimisation et du mécanisme de correction du
couplage machine-convertisseur et qui peuvent être utilisées suivant la considération ou
non des effets 3D sur les pertes par courants de Foucault dans le stator en SMC.
Le développement des procédures de conception et le couplage entre les différents outils de
l’environnement de CAO, incluant les deux mécanismes de correction, ont été effectués en
prenant soin d’assurer une convergence rapide et efficace du processus de conception et
une meilleure précision. D’ailleurs, les validations de la méthodologie de conception
effectuées au niveau des chapitres 5 et 6 ont démontré que la convergence peut être atteinte
avec un faible nombre d’exécution du problème d’optimisation et d’itérations sur les
mécanismes de correction tout en assurant une bonne précision.
Les multiples outils de CAO développés ont été appliqués pour dimensionner plusieurs
structures de machines sans encoches à aimants à haute vitesse et pour effectuer différentes
Conclusion générale 250
analyses comparatives. Cela a été effectué pour deux cahiers des charges et différents types
de convertisseurs statiques. Pour le premier cahier des charges (application d’outillage
électrique), nous avons dimensionné, analysé et comparé plusieurs structures de moteurs
sans encoches à rotors interne et externe, à 2 pôles et à 4 pôles, à stators en SMC et en tôles
laminées et alimentés par des onduleurs de tension de type 120o et 180o. Des investigations
portant sur l’effet de l’utilisation du fil de Litz dans le bobinage et l’influence des
paramètres des SMC sur le dimensionnement optimal des machines ont aussi été effectuées.
Pour le deuxième cahier des charges, portant sur une application de génération à haute
vitesse, un alternateur sans encoches équipé d’un stator en SMC et connecté à un redresseur
à thyristors a été dimensionné en utilisant les deux méthodes de conception proposées.
Des résultats et des conclusions intéressants ont été obtenus à partir des différents
dimensionnements, études et comparaisons effectués tout au long de ce manuscrit. La
principale conclusion est que les SMC ont un potentiel pour la conception des machines
sans encoches à haute vitesse malgré leur faible perméabilité, particulièrement pour les
machines de faible puissance (faibles dimensions). Par comparaison avec les tôles,
l’utilisation des SMC dans les stators peut être intéressante, surtout dans le cadre d’une
production de grand volume avec les technologies de la métallurgie des poudres. De plus,
les SMC deviennent meilleurs pour des vitesses très élevées car les pertes par courants de
Foucault peuvent être plus faibles, notamment lorsque ces matériaux sont moins
conducteurs. Cependant, nous avons constaté que cette conclusion, généralement admise
dans la littérature, n’est pas toujours valide lorsque les dimensions et la puissance de la
machine sont plus importantes à cause de l’effet dimensionnel. Contrairement à la
perméabilité, la conductivité des SMC a une influence très importante sur les performances
des machines sans encoches, sur leur dimensionnement et sur le choix optimal du matériau
à utiliser. Cette influence dépend étroitement de la topologie et des dimensions globales du
circuit magnétique et de la puissance mise en jeu.
Les résultats ont démontré l’importance de tenir compte de l’influence des effets 3D sur les
pertes par courants de Foucault dans les stators SMC, mais aussi de la modélisation de tout
l’ensemble convertisseur-machine, de leurs interactions, du type de la commutation et de
type de la commande utilisée lors de la conception afin de réaliser un dimensionnement
Conclusion générale 251
optimal. Il a aussi été démontré que l’augmentation du nombre de pôles de 2 à 4 pôles peut
conduire à avoir des machines plus performantes et que l’utilisation du fil de Litz n’est pas
toujours bénéfique en haute vitesse. Le choix d’utiliser ou non ce type de fil doit faire
l’objet d’une comparaison entre l’influence du facteur de remplissage des encoches et celle
des pertes Joule supplémentaires sur les performances de la machine.
Au final, les différentes validations effectuées ont confirmées que l’ensemble des outils de
modélisation et de conception développés sont rapides, efficaces et performants. Ils nous en
permis de construire un environnement de CAO générique adapté à l’étude et à la
conception optimale des machines sans encoches à aimants à haute vitesse équipées avec
des matériaux massifs et conducteurs. L’utilisation des ces outils ne se limite pas seulement
à ce type de machines, mais elle peut être étendue aux machines sans encoches à basse et
moyenne vitesse et à d’autres dispositifs électromagnétiques tels que les freins par courants
de Foucault et les coupleurs électromagnétiques à aimants.
• Perspectives de recherche
Différentes améliorations et extensions peuvent être apportées aux travaux effectués que ce
soit au niveau de la modélisation ou au niveau de la conception optimale. Sur le plan de la
modélisation, les différents modèles développés pourraient être affinés afin de gagner en
précision et étendus pour inclure d’autres aspects. Ainsi, il serait intéressant d’améliorer le
modèle électromagnétique des machines sans encoches en considérant l’influence des effets
3D et du flux de fuite axial sur l’ensemble des performances telles que les inductions, le
couple, la fem, etc. Lorsque la machine est munie d’une frette conductrice et est couplée à
un convertisseur de courant, son modèle électrique pourrait aussi inclure les circuits
amortisseurs de la frette et du stator en SMC afin de tenir compte précisément de l’effet de
la commutation du courant.
Le modèle thermique des machines peut être également raffiné en améliorant la méthode de
calcul des pertes d’hystérésis dans les stators en SMC et en considérant l’influence des
effets 3D sur les pertes induites dans les aimants et dans la frette si elle est conductrice. Par
ailleurs, il serait possible d’établir un modèle mécanique plus réaliste qui tiendrait compte
de l’analyse dynamique et vibratoire du rotor de la machine en haute vitesse. Cette analyse
Conclusion générale 252
permettrait d’ajuster les dimensions du rotor afin d’éviter les fréquences naturelles critiques
et en conséquence sa destruction.
Sur le plan de la conception optimale, différentes perspectives peuvent être envisagées. Au
niveau de la méthode de conception, le mécanisme de correction 3D des pertes développé
pourrait être étendu afin de corriger le calcul analytique des différentes performances
évoquées précédemment en utilisant le calcul du champ en 3D. De plus, la même méthode
de correction développée pour le couplage machine-convertisseur de courant pourrait aussi
être appliquée dans le cas des onduleurs de type 120o et de type MLI. Puisque l’angle de
commande a une influence importante sur les pertes magnétiques dans le stator en SMC.
Une autre perspective consiste alors à effectuer le dimensionnement des machines en
déterminant, pour chaque vitesse, la loi de commande optimale qui permet par exemple de
maximiser le couple ou de minimiser les pertes. Il serait également possible de réaliser une
conception globale de tout le système en dimensionnant en même temps la machine, le
convertisseur avec sa commande et éventuellement le système de refroidissement. Ce
dimensionnement peut être effectué en adaptant les différentes parties du système et en
optimisant les performances globales telles que le rendement global, le coût total, etc.
Au niveau des validations et des études comparatives, il serait intéressant de dimensionner
des machines sans encoches en utilisant d’autres types d’aimantation des aimants (parallèle
ou de type Halbach) et d’effectuer des comparassions avec les machines dimensionnées
dans la thèse. Le dimensionnement des machines avec des frettes conductrices pourrait
aussi être envisagé. Dans ce cas, l’épaisseur de la frette pourrait être optimisée pour
améliorer la commutation du courant et les performances globales de l’ensemble
convertisseur-machine. Finalement, il serait judicieux de réaliser des prototypes pour les
différentes machines dimensionnées, ce qui permettrait de valider expérimentalement la
méthodologie de conception proposée ainsi que les différents modèles développés.
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[158] C. Schätzer, A. Binder, « Design optimization of a high-speed permanent magnet machine with the VEKOPT algorithm », IEEE conference on Industry Applications, vol. 1, pp. 439-444, Oct. 2000.
[159] K.H.J. Buschow, Conicise Encyclopedia of Magnetic and Superconducting Materials, Elsevier, 2005.
[160] MWS Wire industries, USA, www.mwswire.com.
[161] SKF (fournisseur mondial de roulements), www.skf.com.
[162] New England Wire Technologies, USA, www.newenglandwire.com.
ANNEXE A
A ÉLÉMENTS DE CALCUL ANALYTIQUE DU
CHAMP
Cette annexe présente les expressions des coefficients de Fourier issus de la décomposition
harmonique des composantes radiale et tangentielle du vecteur d’aimantation des aimants
permanents. Il présente aussi le calcul des facteurs de bobinage correspondants aux
harmoniques d’espace de rang k utilisés dans la modélisation de la répartition spatiale du
bobinage.
A.1 Coefficients de Fourier des composantes du vecteur d’aimantation
Les coefficients de Fourier, sous formes réelles, utilisés dans les séries de Fourier des
composantes radiale et tangentielle du vecteur d’aimantation sont donnés par :
, , ,1
, , ,1
4
4
q
r k r k nnq
k k nn
pM E
pM Eθ θ
π
π
=
=
=
=
∑
∑
où q représente le nombre de blocs d’aimant élémentaires constituant un demi-pôle.
Pour un bloc n à aimantation radiale ou parallèle, les coefficients Er,k,n et Eθ,k,n sont
exprimés par les expression suivantes :
Annexe A 265
• Bloc à aimantation radiale :
( ),, , ,
, ,
2 sin cos2
0
m nnr k n m n
k n
ME kp kpkp
Eθ
εβ
=
=
• Bloc à aimantation parallèle :
- Si kp≠1:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
,, , , ,
,, ,
,, , , ,
,, ,
sin 1 cos1 2
sin 1 cos1 2
sin 1 cos1 2
sin 1 cos1 2
m nnr k n m n m n
m nnm n m n
m nnk n m n m n
m nnm n m n
ME kp kpkp
M kp kpkp
ME kp kpkp
M kp kpkp
θ
εβ α
εβ α
εβ α
εβ α
= + − +
+ − + −
= + − +
− − + −
- Si kp=1:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
, , , , , , , ,
, , , , , , , ,
sin cos cos2 2
sin cos cos2 2
n nr k n m n m n m n m n m n m n
n nk n m n m n m n m n m n m n
M ME
M MEkp kpθ
ε β α ε β α
ε β α ε β α
= − + + = − − +
A.2 Calcul des facteurs de bobinage
Les facteurs de bobinage simplifient la représentation de la distribution des enroulements
en séries de Fourier. Comme énoncé dans la partie 2.4.2 du 2ème chapitre, le facteur de
bobinage kw,k d’un enroulement pour un harmonique d’espace k peut être calculé en
introduisant la contribution de quatre facteurs : facteur de distribution de l’enroulement
kw,dist,k, facteur de raccourcissement kw,racc,k, facteur d’encochage kw,enc,k et facteur
d’inclinaison kw,inc,k :
, , , , , , , , ,. . .w k w dist k w racc k w enc k w inc kk k k k k=
Annexe A 266
Si on considère une machine électrique possédant un nombre d’encoches par pôle par phase
npp entier, on peut définir ces différents facteurs comme suit [5], [26] :
• Facteur de distribution kw,dist,k
Ce facteur quantifie l’effet de la distribution des conducteurs d’un enroulement dans les
encoches de la machine. Il est donné par :
, ,
sin2
sin2 .
w dist k
pppp
kmkkn
m n
π
π
=
où m est le nombre de phases de la machine.
• Facteur de raccourcissement kw,racc,k
Ce facteur est introduit quand on raccourcit l’ouverture des spires constituant une bobine
d’un enroulement. Il se calcule par :
, ,1cos2w racc k racck kpθ =
θracc est l’angle mécanique de raccourcissement qui peut être calculé par :
( )1 /racc raccR pθ π= − où Racc est le coefficient de raccourcissement.
• Facteur d’encochage kw,enc,k
C’est un facteur qui décrit la contribution de la largeur d’une encoche au facteur de
bobinage. Il est exprimé en fonction de l’angle mécanique d’ouverture des encoches θe par :
, ,
1sin2
12
e
w enc k
e
kpk
kp
θ
θ
=
• Facteur d’inclinaison kw,inc,k
L’inclinaison des encoches du stator par rapport au rotor est utilisée dans le cas où on veut
réduire le couple de détente pour une machine avec encoches. L’effet de cette inclinaison
Annexe A 267
sur le flux est pris en compte par le facteur d’inclinaison dont l’expression est semblable à
celle du facteur d’encochage :
, ,
1sin2
12
inc
w inc k
inc
kpk
kp
θ
θ
=
où θinc représente l’angle mécanique d’inclinaison qui est généralement égal à l’angle d’un
pas dentaire. Pour la machine sans encoches, ce facteur est considéré nul puisque on n’a pas
de couple de détente.
ANNEXE B
B STRUCTURES ET PARAMÈTRES DES
MACHINES MSE-1 ET MSE-2
Cette annexe présente les structures, les dimensions et les caractéristiques des machines
sans encoches à aimants permanents à haute vitesse utilisées dans les différentes études et
validations effectuées dans cette thèse. L’annexe B.1 décrit la structure et les paramètres de
la machine appelée MSE-1, tandis l’annexe B.2 résume ceux de la machine appelée MSE-2.
B.1 Structures et paramètres de la machine MSE-1
La machine sans encoches MSE-1 est une machine triphasée à aimants permanents à 2
pôles lisses à rotor interne. La frette qui maintient les aimants est amagnétique et non
conductrice. Les aimants sont de type NdFeB à aimantation radiale et le stator est fait en
matériaux SMC dont la perméabilité est 200 et la conductivité est 3400 s/m (ce matériau est
appelé Mat-1). Le bobinage est réparti sur 6 encoches avec un pas diamétral.
La figure B.1 présente la structure de cette machine, tandis que le tableau B.1 donne ses
principales caractéristiques.
Annexe B 269
Culasse du Stator (SMC)
+A
+C
-B
+B
-A
-CBobinage
Rotor
Aimants
Entrefer & Frette
Figure B.1 : Structure de la machine MSE-1
Paramètre Valeur Puissance nominale 510 W Vitesse nominale 20000 rpm Nombre de pôles 2 Nombre d’encoches 6 Nombre de spires par phase 61 Longueur axiale active 36.8 mm Diamètre externe du stator 48 mm Épaisseur de la culasse du stator 5.07 mm Épaisseur du bobinage 6.3 mm Entrefer mécanique 1 mm Épaisseur de la frette 0.5 mm Épaisseur des aimants 5.57 mm Diamètre de la culasse du rotor 11.09 mm Coefficient d’ouverture des aimants 0.8 Aimantation rémanente des aimants (NdFeB) 1.2 T Perméabilité des aimants (NdFeB) 1.05 Conductivité du matériau SMC (Mat-1) 3400 s/m Perméabilité du matériau SMC (Mat-1) 200
Tableau B.1 : Principales caractéristiques et dimensions de la machine MSE-1
B.2 Structures et paramètres de la machine MSE-2
La structure de cette machine est similaire à celle de la machine MSE-1 sauf que, dans ce
cas, l’aimantation est parallèle (diamétrale) et les aimants sont jointifs (cf. Fig. B.2). La
puissance nominale mise en jeu est 1 kW pour une vitesse de 30000rpm. La frette entourant
Annexe B 270
les aimants est non magnétique et non conductrice. Le tableau B.2 résume les différentes
caractéristiques de cette machine.
Figure B.2 : Structure de la machine MSE-2
Paramètre Valeur Puissance nominale 1 kW Vitesse nominale 30000 rpm Nombre de pôles 2 Nombre d’encoches 6 Nombre de spires par phase 44 Longueur axiale active 60 mm Diamètre externe du stator 55 mm Épaisseur de la culasse du stator 7.5 mm Épaisseur du bobinage 7.5 mm Entrefer mécanique 1 mm Épaisseur de la frette 0.5 mm Épaisseur des aimants 7 mm Diamètre de la culasse du rotor 8 mm Coefficient d’ouverture des aimants 1 Aimantation rémanente des aimants (NdFeB) 1.15 T Perméabilité des aimants (NdFeB) 1.05 Conductivité du matériau SMC (Mat-1) 3400 s/m Perméabilité du matériau SMC (Mat-1) 200
Tableau B.2 : Principales caractéristiques et dimensions de la machine MSE-2
