Modelovanje sistema automatskog upravljanja u prostoru stanja

2.1 Koncepcija prostora stanja Matematički model sistema u prostoru stanja se predstavlja u vidu skupa diferencijalnih ili diferencnih jednačina prvog reda. Ove jednačine opisuju prošlo, sadašnje i buduće ponašanje sistema. U jednačinama figurišu promenljive stanja koje se definišu kao minimalan skup promenljivih posmatrano od vremena nx,...1x t t= 0, koji zajedno sa zadatim ulazom ru,...,1u određuje stanje sistema u budućem vremenu t t≥ 0. Koncept prostora stanja ima nekoliko prednosti u odnosu na klasični pristup, posebno ako se posmatra sa aspekta korišćenja digitalnih računara. Te prednosti su:

1. Određivanje rešenja sistema diferencijalnih jednačina prvog reda je brže na digitalnom računaru, nego rešavanje odgovarajuće diferencijalne jednačine višeg reda.

2. Uprošćeno je matematičko opisivanje korišćenjem vektorske notacije. 3. Uključivanje početnih uslova sistema je jednostavno. 4. Može da se primeni i na vremenski promenljive, nelinearne, stohastičke i diskretne

sisteme.

y1(x ,...,x ) u1

...

u2

u

...Objekatupravljanja

1 n

y2

ymr Slika 2.1.1. Blok shema multivarijabilnog sistema

Na slici 2.1.1. je prikazana jednostavna blok-šema sistema sa otvorenom povratnom spregom. Ulazne promenljive ru,...,2u,1u se mogu predstaviti u obliku ulaznog vektora u, odnosno:

(2.1.1) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

ru

2u1u

uM

Izlazne veličine se mogu predstaviti sa izlaznim vektorom y sledećeg oblika: my,...,2y,1y

(2.1.2) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

my

2y1y

yM

Vektori u(t) i y(t) su funkcije vremena, pa se može reći da ( ) ( )tiyitiu predstavljaju i-te komponente odgovarajućih vektora, u trenutku t. Sve moguće vrednosti koje vektor u može zadobiti za neko vreme t ( Ttot )≤≤ formiraju ulazni prostor posmatranog objekta. Za početno stanje objekta se smatra stanje u početnom trenutku t0. Izlazni vektor y je funkcija ulaza u i početnih uslova. Ako se i ovaj vektor posmatra u vremenu t ( , onda oba vektora možemo prikazati kao funkciju vremena, ili

. Ako se uvede novi vektor x koji označava vektor stanja posmatranog )

)Ttot ≤≤

( ) ( T,0tyiT,0tu

1

sistema, da bi on postao stvarno vektor stanja, mora biti ispunjen uslov da formirani skup jednačina od vektora x, u, y jednoznačno određuje x i y za ( ) ( )T,0tui0tx . Tako formirani skup jednačina se može napisati na sledeći način:

(2.1.3) ( ) ( )( ) ( )t,u,xgty

t,u,xftx==&

Matematički model sistema u razvijenoj notaciji je:

( )

( )t;ru,...1u,nx,...1xnfnx

t;ru,...1u,nx,...,1x1f1x

=

=

&

M

&

( )

( )t;ru,...1u,nx,...1xmgmy

t;ru,...1u,nx,...,1x1g1y

=

=M (2.1.4)

gde su f(.) i g(.) u opštem slučaju nelinearne funkcije, a vektor x je dimenzije n, vektor u je dimenzije r i vektor y je dimenzije m. Ako je sistem linearan, prethodna forma se može pisati i kao:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttttt

tttttuDxCyuBxAx

+=+=&

(2.1.5)

Prva jednačina iz (2.1.3) ili iz (2.1.5) se zove jednačina stanja, a druga je jednačina izlaza. Jednačina stanja sistema je data u normalnoj ili Košijevoj formi sistema diferencijalnih jednačina prvog reda. U slučaju da se radi o stacionarnom sistemu, odnosno, o sistemu čiji parametri ostaju konstantni tokom vremena u razmatranim uslovima, onda se prethodna matrična jednačina stanja i matrična jednačina izlaza mogu pisati kao:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ttt

tttDuCxyBuAxx

+=+=&

(2.1.6)

Pri tome su dimenzije ovih matrica sa konstantnim koeficijentima sledeće: matrica stanja matrica upravljanja

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

nr1n

r111

nn1n

n111

bb

bb

aa

aa

L

LLL

L

L

LLL

L

BA

matrica izlaza matrica ulaza/izlaza

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

mr1m

r111

mn1m

n111

dd

dd

cc

cc

L

LLL

L

L

LLL

L

DC

Svaki sistem čije je ponašanje moguće opisati sa konačnim brojem promenljivih stanja naziva se sistem sa koncentrisanim parametrima. Ovim se želi reći da svaka tačka u razmatranom prostoru stanja definiše stanje sistema u toj tački i u njenoj neposrednoj blizini. Dinamičko ponašanje ovakvih sistema je moguće opisati sistemom običnih diferencijalnih jednačina, jer je vreme jedina nezavisna promenljiva. Za razliku od prethodnih sistema, postoji klasa sistema kod kojih se kao nezavisna promenljiva pored vremena pojavljuje i položaj u prostoru. Dinamičko ponašanje ovih sistema se opisuje sa sistemom parcijalnih diferencijalnih jednačina. Prilikom izbora promenljivih stanja treba ih birati tako da one budu linearno nezavisne. Nezavisne promenljive stanja su one promenljive koje se ne mogu izraziti pomoću

2

preostalih promenljivih stanja. Svaka promenljiva stanja ne mora imati fizičku interpretaciju ili smisao. Kao fizičke promenljive se obično usvajaju one promenljive koje predstavljaju fizičke promenljive odgovarajućih skladišta energije. Iz ove činjenice sledi da je broj promenljivih stanja potreban da opiše dinamiku sistema jednak ili manji od broja energetskih skladišta u sistemu. Skladište energije u proizvoljnom sistemu predstavlja elemenat sposoban da primi i uskladišti odgovarajuću energiju. Tako na primer, ako je

elemenat kondenzator C, njemu odgovarajuća energija je a promenljiva stanja je

napon u, kalemu L odgovara energija

Cu2 2/Li2 2/ i promenljiva stanja struja i, masi M

odgovara energija Mv2 2/ i promenljiva stanja brzina v, opruzi K odgovara energija

Kx2 2/ i promenljiva stanja pomeraj x, itd. Dinamičke promene sistema se mogu objasniti preraspodelom i transformacijom energije između skladišta energije po određenim prirodnim zakonima. Definicija stanja sistema po R.E. Kalman-u glasi: “Stanje sistema je matematička struktura koja sadrži skup od n nezavisnih promenljivih stanja ( ) ( ) (x t x t x tn1 2, ,..., ) i koja

omogućava da se na bazi poznatih početnih vrednosti ( )x t0 i signala ulaza u sistemu u(t) za t t≥ 0, jednoznačno opiše odziv sistema za t t≥ 0.” Primer. a) Formirati matematicki model u prostoru stanja za elektricno kolo na slici 1. b) Ako se za izlaznu velicinu usvoji struja kroz otpornik R, formirati jednacinu izlaza. c) Formirati jednacinu izlaza ako se za izlazne velicine usvoje struje kroz izvore e1 i e2.

+

e1 e2

L C

R+

Slika 1. Rešenje: a) Prvo treba oznaciti referentne smerove struja i napona:

3

+

e1e2

L C

R+

ul uc

i i2i1

.

Slika 2.10.1.2. Sada se mogu postaviti jednacine u kolu (po Kirhofovim zakonima):

2Ri1Ridt1diLRiLu1e ++=+=

2Ri1RiCuRiCu2e ++=+=

dt

CduC2i =

Dalje sledi:

1Ri1edt

cduRCdt1diL −=+ (1)

1RiCu2edt

CduRC −−= (2)

Kao promenljive stanja treba usvojiti promenljive koje se u jednacinama pojavljuju sa prvim izvodom, ako je to ikako moguce. Ocigledno je da ce ovde rešenje biti u izboru uC i i1. Tako prethodni sistem jednacina postaje:

2e1ecu1RiCu2e1Ri1edt

CduRC1Ri1edt1diL −+=++−−=−−=

2eL1

1eL1

CuL1

dt1di

−+= (3)

1iC1

CuRC1

2eRC1

dtCdu

−−= (4)

Moguce je sada formirati jednacine stanja pri cemu se za ulazne velicine usvajaju e1 i e2:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

2e1e

RC10L1

L1

Cu1i

RC1

C1

L10

dtcdu

dt1di

Matrice stanja i upravljanja sistema su, respektivno:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

RC10L1

L1

RC1

C1

L10

=B ; A

Napomena: Broj zavojnica i kondenzatora u RLC kolu odreduje isti broj promenljivih velicina stanja.

4

b) Ako se kao izlazna velicina usvoji struja kroz otpornik dobija se jednacina izlaza:

1iCuR1

2eR1

dtCduC2 i2i1ii −−==+= ;

2eR1

CuR1

1iCuR1

2eR1

1ii +−=−−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

2e1e

R10

Cu1i

R10i

c) Ako se za izlazne velicine usvoje struje kroz izvore e1 i e2, dobijaju se sledece jednacine:

2e

R1

CuR1

1i2i

1i1i

+−−=

=

Jednacina izlaza u matricnoj formi je:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2e1e

R1000

Cu1i

R11

01

2i1i .

Primer. Za mehanicki sistem prikazan na slici 1. formirati matematicki model u prostoru stanja.

M

y(t)

f(t)

K

D

Slika 1. Rešenje. Jednacina kretanja mehanickog sistema je:

M1)t(fKy

dtdyD2dt

y2dM =++

fM1y

MK

dtdy

MD

2dt

y2d:.tj =++

Pri pisanju jednacina stanja koristi se pravilo po kome je red diferencijalne jednacine jednak broju promenljivih stanja.

Za prvu promenljivu stanja se usvaja x1=y. Tada je 1xdt

1dxdtdy &==

Druga promenljiva stanja se usvaja kao: 1xdtdy

2x &==

5

Tada je: fM1

1xMK

2xMDf

M1y

MK

dtdy

MD

2x2dt

y2d+−−=+−−== &

Konacno, za matematicki model u prostoru stanja se dobija:

)t(uM10

2x1x

MD

MK

10

2x1x

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ &

&; . [ ] ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2x1x

01y

2.2. Odnos između matematičkog modela sistema u

vremenskom i kompleksnom domenu Ako se razmatra multivarijabilni linearni sistem sa konstantnim koeficijentima (stacionarni sistem), njegova analiza se može vršiti u vremenskom domenu, odnosno, u prostoru stanja ili u kompleksnom domenu. U prostoru stanja matematički model sistema je:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) )t(tt

00t,tttDuCxy

xxBuAxx+=

=+=& (2.2.1)

U kompleksnom domenu model multivarijabilnog sistema je zadat sa: Y(s)=W(s)U(s) (2.2.2)

Ovde su Y(s) i U(s) kompleksni likovi odgovarajućih vektorskih promenljivih, dok je W(s) matrica funkcija prenosa (multivarijabilna prenosna funkcija) između upravljačkih promenljivih iz U(s) i izlaznih promenljivih iz Y(s). Sada je

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

smrws2mws1mw

sr2ws22ws21wsr1ws12ws11w

s

L

LLLL

L

L

W , (2.2.3)

gde je m dimenzija vektora izlaza, r je dimenzija vektora ulaza, a predstavlja funkciju prenosa između proizvoljnog i-tog izlaza i j-tog ulaza.

( )sijw

Transformacija iz vremenskog u kompleksni domen je jednoznačna i jednostavna. Primenom Laplasove transformacije na jednačine stanja i izlaza iz (2.2.1) uz pretpostavku nultih početnih uslova, x , dobija se: 0 0=

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) )s(s1ss

s1ss

ssss

DUBUAICY

BUAIX

BUAXX

+−−=

−−=

+=

(2.2.4)

( ) ( )( ) ( ) DBAIC +−−== 1ssUsYsW (2.2.5)

Jednačina (2.2.5) predstavlja izraz za izračunavanje multivarijabilne matrice prenosa sistema. Transformacija iz kompleksnog u vremenski domen je mnogo teža iz više razloga. Prvo, matematički model u prostoru stanja sadrži više informacija o sistemu nego funkcija prenosa, što za posledicu ima nejednoznačnu transformaciju. Drugo, između mnogo mogućih transformacija treba izabrati onu koja obezbeđuje najmanji skup promenljivih stanja korespodentnih određenoj prenosnoj funkciji. Postoji više postupaka za nalaženje

6

takve ili takvih (pošto ih može biti više) funkcija prenosa minimalne realizacije, i neki od njiih će biti razmatrani u daljem tekstu. Primer. Matematicki model sistema u prostoru stanja je

ddt

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤x1

x2 =

⎣⎢⎡

⎦⎥⎤-3 1

-2 0 ⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤x1

x2 +

⎣⎢⎡

⎦⎥⎤-1

-1 u; y = [ ]1 0

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤x1

x2 + u

Odrediti funkciju prenosa sistema. Rešenje. Funkcija prenosa sistema je odredena izrazom G(s) = C[sI+A]-1B+D.

[sI-A]-1 = ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤s+3 -1

2 s

-1 =

⎣⎢⎡

⎦⎥⎤s 1

-2 s+3s2 + 3s + 2

G(s) = C[sI+A]-1B+D = [ ]1 0 ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤s 1

-2 s+3s2 + 3s + 2

⎣⎢⎡

⎦⎥⎤-1

-1 + 1 =

s2 + 2s + 1s2 + 3s + 2

Primer. Matematicki model sistema u prostoru stanja je

ddt

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤x1

x2x3

= ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤-1 0 1

0 -2 11 0 -3

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤x1

x2x3

+ ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤1

01

u; y = [ ]1 0 -1

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤x1

x2x3

+ u..

Odrediti funkciju prenosa sistema. Rešenje. Funkcija prenosa sistema je odredena izrazom G(s) = C[sI+A]-1B+D.

[sI-A]-1 =

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤

s+1 0 -1

0 s+2 -1

-1 0 s+3

-1 = ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤s2+5s+6 0 s+2

1 s2+4s+2 s+1

s+2 0 s2+3s+2s3 + 6s2 + 10s + 4

G(s) = C[sI+A]-1B+D = [ ]1 0 -1 ⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤s2+5s+6 0 s+2

1 s2+4s+2 s+1

s+2 0 s2+3s+2

s3 + 6s2 + 10s + 4 ⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤1

01

+ 1 = s3 + 6s2 + 12s + 8s3 + 6s2 + 10s + 4

7

2.4. Matematički modeli u prostoru stanja Prva kanonična forma (redno programiranje, opservabilna kanonična forma) Neka je data funkcija prenosa sistema opšteg oblika (uz pretpostavku an =1):

0as1a...2ns2na1ns1nans

0bs1b...1ns1nbnsnb)s(U)s(Y

+++−−+−

−+

+++−−+

= (2.4.1)

Za slučaj da je red polinoma u brojiocu m i da važi uslov m<n, tada su koeficijenti

.0nb...2mb1mb ===+=+ Ako za koeficijenat uz u imeniocu važi , tada je potrebno podeliti ceo razlomak sa

ns 1na ≠an da bi se postigao željeni oblik funkcije prenosa.

Sređivanjem izraza (2.4.1) i primenim inverzne Laplasove transformacije dobija se:

)0bs1b...1ns1nbnsnb()s(U)0as1a...1ns1nans()s(Y +++−−+⋅=+++−

−+⋅

)s(Y)0as1a...2ns2na1ns1na()s(U)0bs1b...1ns1nbnsnb()s(Yns +++−−+−

−−+++−−+=

...y2nau2nb[y1nau1nb{unb)t(y +−−−+−−−+= ∫ ∫( )( ) dt}dt]...dtdty0au0by1au1b... ∫ ∫ −+−+ (2.4.2)

Na osnovu poslednje jednačine se formira graf toka signala za prvu kanoničnu formu.

...

...

...

......

b0

b1

b2

bm

s1

s1

s1

s1

s1

-a0 -a1 -a2 -am

-an-1-an-2

xn = xn-1

xnxn-1 = xn-2 x2 x1 x1= y(t)

-am+1

u(t)xn-m

xn-m-1

Slika 2.4.1. graf toka signala za prvu kanoničnu formu

8

Neka su promenljive veličine stanja definisane kao izlazi iz integratora što se vidi na slici 2.4.1. Sada je moguće napisati matematički model sistema u matričnoj formi:

(2.4.3)

)t(u

nb0a0b

nb2na2nbnb1na1nb

nx

2x1x

0000a

0102na0011na

nx

2x1x

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−−−−

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

MM

L

MLMMM

L

L

&

M

&

&

(2.4.4)

[ ] [ ).t(unb

nx

2x1x

0001)t(y +

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=M

K ]

Druga kanonična forma (direktno programiranje, kontrolabilna kanonična forma) graf toka signala za formiranje matematičkog modela u drugoj kanoničnoj formi može se dobiti na dva načina. Prvi način je na osnovu grafa toka signala za prvu kanoničnu formu, a drugi je direktnim programiranjem. Prvi način. Na grafu toka signala modela u prvoj kanonskoj formi potrebno je izvršiti sledeće transformacije: Zameniti mesta ulaza i izlaza. Obrnuti smer grana. Izabrati novi vektor promenljivih veličina stanja (za promenljive veličine stanja usvajaju se izlazi iz integratora) i formirati matematički model. Drugi način (direktno programiranje). Neka je data funkcija prenosa sistema:

0as1a...1ns1nans0bs1b...1ns1nbnsnb

)s(U)s(Y

+++−−+

+++−−+

=

(2.4.5) Izraz za prenosnu funkciju može se transformisati u sledeći oblik:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++−

−+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++−

−+ 0bs1b...1ns1nbnsnb)s(U0as1a...1ns1nans)s(Y

Uvođenjem nove promenljive Z(s) moguće je prethodnu jednačinu zameniti sa sledeće dve jednačine:

(2.4.6) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++−

−+= 0as1a...1ns1nans)s(Z)s(U

(2.4.7) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++−

−+= 0bs1b...1ns1nbnsnb)s(Z)s(Y

Sada se za promenljive veličine stanja usvajaju:

);s(Z)s(1X = ... );s(1sX)s(sZ)s(2X == );s(2sX)s(Z2s)s(3X ==

).s(1nsX)s(Z1ns)s(nX −=−= Ako se smatra da su promenljive stanja izlazi iz integratora, moguće je formirati graf toka signala za drugu kanoničnu formu:

9

...

...

...

......

b0

b1

b2

bm-1

s1

s1

s1

s1

s1

-a0-a1-a2-am

-an-1

-an-2

x1

-am+1

x2 x1

u(t)1 xn

xn-1=xn-2xn=xn-1 y(t)

bm

xm-1xm

Slika 2.4.2. Graf toka signala za drugu kanoničnu formu

Isti graf toka signala bi se mogao dobiti i na prvi način, primenom navedenih transformacija graf toka signala modela u prvoj kanoničnoj formi. Na osnovu dijagrama se formira matrični model sistema u drugoj kanoničnoj formi:

(2.4.8)

u

10

00

nx1nx

2x1x

1na3a2a1a0a10000

0010000010

nx1nx

2x1x

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

MM

L

L

MLMMMM

L

L

&

&

M

&

&

=+−+−−+++= nxnbnx1nb1nx2nb...2x1b1x0by & =+−−−−−−+−+−−++++= )unx1na...3x2a2x1a1x0a(nbnx1nb1nx2nb...3x2b2x1b1x0b

unbnx)nb1na1nb(...3x)nb2a2b(2x)nb1a1b(1x)nb0a0b( +−−−++−+−+−=

[ ] unb

nx

3x2x1x

)nb1na1nb()nb2a2b()nb1a1b()nb0a0b(y +

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−=M

L [ ]

(2.4.9)

10

Ako u sistemu ne postoji direktna veza između ulaza i izlaza, a važi uslov n>m, izraz (2.4.9) postaje: [ ]x00mb1b0bCxy LL== . Primer. Formirati matematicki model u prostoru stanja: 1) u prvoj kanonskoj formi (serijsko programiranje) 2) u drugoj kanonskoj formi (direktno programiranje) za sistem cije je ponašanje opisano diferencijalnom jednacinom

d3y(t)dt3

+ 8 d2y(t)

dt2 + 20

dy(t)dt + 16 y(t) =

d2u(t)dt2

+ 4 du(t)

dt + 3 u(t)

Rešenje

1) /d3y(t)dt3

= d2u(t)

dt2 - 8

d2y(t)dt2

+ 4 du(t)

dt - 20 dy(t)

dt + 3 u(t) - 16 y(t) ⌡⌠

/d2y(t)dt2

= du(t)

dt - 8 dy(t)

dt + 4 u(t) - 20 y(t) + ⌡⌠[3 u(t) - 16 y(t)]dt ⌡⌠

/dy(t)dt = u(t) - 8 y(t) +

⌡⌠⎣⎡

⎦⎤4 u(t) - 20 y(t) + ⌡⌠( )3 u(t) - 16 y(t) dt dt ⌡⌠

y(t) = ⌡⎮⌠⎩⎨⎧

⎭⎬⎫u(t) - 8 y(t) +

⌡⌠⎣⎡

⎦⎤4 u(t) - 20 y(t) + ⌡⌠( )3 u(t) - 16 y(t) dt dt dt

Graf toka signala za poslednju jednacinu je prikazan na slici:

3

4

1

s1

s1

s1

-16

-20

-8

x1= y(t)u(t) x1x3 x21 1

Na osnovu dijagrama, najzgodnije je kao koordinate vektora stanja usvojiti izlaze iz integratora (ulazi u integratore su tada prvi izvodi promenljivih stanja). Sada se mogu napisati sledeci izrazi:

x1 = y dx3dt = 3u - 16y = 3u - 16 x1

dx2dt = 4u + x3 - 20x1

dx1dt = u + x2 - 8x1

11

Odnosno, u matricnom obliku

ddt

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤x1

x2x3

= ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤-8 1 0

-20 0 1-16 0 0

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤x1

x2x3

+ ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤1

00

u; y = [ ]1 0 0

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤x1

x2x3

2) Prvi nacin. Na osnovu grafa toka signala prve kanonske forme se formira graf toka signala drgue kanonske forme, tako što se promene smerovi svih grana, a ulaz i izlaz zamene mesta.

3

4

1

s1

s1

s1

-16

-20

-8

y(t) u(t)x1x3x2

Sada se mogu napisati sledeci izrazi:

dx1dt = x2

dx2dt = x3

dx3dt = u - 8 x3 - 20 x2 - 16 x1

y = 3 x1 + 4 x2 + x3 Odnosno, u matricnom obliku

ddt

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤x1

x2x3

= ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0 1 0

0 0 1-16 -20 -8

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤x1

x2x3

+ ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0

01

u; y = [ ]3 4 1

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤x1

x2x3

Drugi nacin. Direktnim programiranjem. Formira se funkcija prenosa sistema

Y(s)U(s) =

s2 + 4s + 3s3 + 8s2 + 20s + 16

⋅ Z(s)Z(s) ⇒

Y(s) = ( )s2 + 4s + 3 Z(s) i U(s) = ( )s3 + 8s2 + 20s + 16 Z(s) Promenljive stanja se usvajaju na sledeci nacin:

X1(s) = Z(s)

X2(s) = sZ(s) = sX1(s) ⇒ dx1dt = x2

12

X3(s) = s2Z(s) = sX2(s) ⇒ dx2dt = x3

U(s) = sX3(s) + 8X3(s) + 20 X2(s) +16 X1(s) ⇒ dx3dt = u - 8 x3 - 20 x2 - 16 x1

Y(s) = s2Z(s) + 4sZ(s) + 3Z(s) ⇒ y = 3 x1 + 4 x2 + x3 U matricnom obliku je:

ddt

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤x1

x2x3

= ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0 1 0

0 0 1-16 -20 -8

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤x1

x2x3

+ ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0

01

u; y = [ ]3 4 1

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤x1

x2x3

Odgovarajuci graf toka signala je prikazan na slici

3

4

1

s1

s1

s1

-16

-20

-8

y(t)u(t) x1x3 x21 1

Primer. Formirati matematicki model sistema sa dva ulaza i dva izlaza u prostoru stanja ako mu je dinamicko ponašanje opisano jednacinama:

2u)1y2y(32y1u2y21y21y31y

=−+

=−++&

&&&&&

Rešenje. Posle primene Laplasove transformacije na polazni sistem jednacina dobija se:

2U1Y32Y32sY

1U2Y2s21Y21sY31Y2s=−+

=−++

)1Y32Y32(U

s1

2Y

)]1Y21(Us1

1Y3[s1

2Y21Y

+−=

−−−=

Graf toka signala sistema je prikazan na slici

13

2

1s1

s1

s1

-3

-2

-3y1(t)u1(t)

x1

x3

x21

1u2(t) y2(t)1

3

Na osnovu dijagrama mogu se pisati jednacine stanja izlaza:

1y32x1x −=& 1u1y22x +−=& 2u2y31y33x +−=& 2y21x1y += 3x2y =

3x62x1x31x −+−=& 1u3x41x22x +−−=& 2u3x31x33x ++=& 3x21x1y += 3x2y =

Jednacine stanja i izlaza u matricnom obliku glase:

uxx⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−−

=100100

303402613

& ; . xy ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

100201

2.5. Jordan-ova kanonična forma

Pri formiranju matematičkog modela u obliku Jordan-ove kanonične forme teži se dijagonalizaciji matrice stanja A. Dijagonalnu formu matrice stanja je moguće dobiti samo u slučaju kada su svi polovi funkcije prenosa realni i prosti. U suprotnom, može se ostvariti forma koja je samo bliska dijagonalnoj. Prema tome, postoje tri različite varijante ove kanonične forme od kojih će svaka biti posebno razmatrana. Prva varijanta se javlja u slučaju kada su svi polovi funkcije prenosa realni i različiti. Drugi slučaj je kada se u funkciji prenosa pojavljuju i realni višestruki polovi. Treća varijanta se pojavljuje u slučaju kada se u funkciji prenosa pojave i konjugovano kompleksni polovi. Slede opisi ovih kanoničnih formi.

14

I slučaj. Svi polovi funkcije prenosa sistema su realni i prosti. Neka je data funkcija prenosa sistema u faktorizovanom obliku:

)nss)...(2ss)(ss(

)s(P)s(Q)s(P)s(W

1 −−−==

(2.5.1) Neka je stepen polinoma P(s) manji od n, i neka su svi koreni polinoma Q(s) realni i različiti. Funkcija W(s) se može nakon primene Hevisajdovog razvoja predstaviti u obliku zbira parcijalnih razlomaka:

∑= −

=n

1i issiK)s(W

(2.5.2)

Za proizvoljan parcijalni razlomak oblika iss1− važi:

iss1

)s(U)s(Y

−=

1/)s(U)iss)(s(Y −=− L

)t(yis)t(u)t(y +=& (2.5.3) Na osnovu poslednje jednačine formira se graf toka signala:

y(t)s1

si

u(t) y(t)

Slika 2.5.1. Graf toka signala izraza (2.5.3)

Graf toka signala za normalnu, Jordan-ovu kanoničnu formu se dobija paralelnim vezivanjem segmenata oblika kao na slici 2.5.1., što se može videti na slici 2.5.2.

...

...

k1

k2u(t)

1

s1

s1

s1

s2

s1

sn

xn

x1

x2

kn

1

1

x1

x2

xn

...

y(t)

Slika 2.5.2. Graf toka signala Jordan-ove kanonične forme

15

Promenljive veličine stanja određuju se kao izlazi iz integratora. Nakon toga je moguće formirati matematički model u prostoru stanja u Jordan-ovoj kanoničnoj, ili normalnoj kanoničnoj formi:

(2.5.4)

u

1

11

nx

2x1x

ns00

02s0001s

nx

2x1x

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

MM

L

MLMM

L

L

&

M

&

&

(2.5.5)

[ ] .

nx

2x1x

nk2k1ky⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=M

L

II slučaj. Pojava realnih višestrukih polova u funkciji prenosa sistema. Posmatra se faktorizovani oblik funkcije prenosa:

)nss...(m)rss)...(2ss)(1ss(

)s(P)s(Q)s(P)s(W

−−−−==

(2.5.6) U ovom proizvoljnom obliku funkcije prenosa su svi polovi realni i prosti, osim pola

koji je višestrukosti reda m. Nakon Hevisajdovog razvoja, prenosna funkcija se može predstaviti zbirom parcijalnih razlomaka oblika: sr

)nss(nK...m)rss(

1rK...2)rss(1rmK

)rss(rmK...

)2ss(2K

)1ss(1K)s(W

−++

−++

−−+

−++

−+

−=

(2.5.7) Odgovarajući graf toka signala je prikazan na slici 2.5.3. Matematički model u prostoru stanja sa promenljivim veličinama stanja usvojenim kao na slici 2.5.3. glasi:

u

1

10

00

11

nx

rmx1rmx

2rx1rx

2x1x

ns0000000

0rs00000001rs00000

0001rs00000001rs00

0000002s000000001s

nx

rmx1rmx

2rx1rx

2x1x

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

M

M

M

M

M

M

LLL

MLMMLMMMLMM

LLL

LLL

MLMMLMMMLMM

LLL

LLL

MLMMLMMMLMM

LLL

LLL

&

M

&

&

M

&

&

M

&

&

(2.5.8)

16

[

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nx

rmx

1rx

2x1x

nK...rmK...1rK...2K1K

M

M

M

y ] (2.5.9)

Prethodni izrazi predstavljaju Jordan-ovu kanoničnu formu jednačine stanja i jednačine izlaza za slučaj sistema sa jednim višestrukim polom reda m.

...

...

k1

k2u(t)

1

y(t)

s1

s1

s1

s2

s1

sr

xrm

x1

x21

1

x1

x2

xrm

...

s1

sn

xnxn

s1

srxrm-1

s1

sr

xr1

xrm-1 xr11 1

krm

kn

...

krm-1 kr1...

1...

...

...

Slika 2.5.3. Graf toka signala Jordan-ove kanonične forme

17

Primer. Formirati matematicki model u prostoru stanja u Jordan-ovoj kanonicnoj formi za sistem cije je ponašanje opisano diferencijalnom jednacinom

d2y(t)dt2

+ 11 dy(t)dt + 30 y(t) = 4 du(t)

dt + 13 u(t)

Rešenje. Formira se funkcija prenosa sistema, koja se odmah piše u obliku sume parcijalnih razlomaka Y(s)U(s) = 4s + 13

s2 + 11s + 30 = 11

s + 6 - 7s + 5

Na osnovu poslednje sume formira se graf toka signala sistema prikazan na slici

11

-7u(t)

1

y(t)

s1

-6

s1

-5

x1

x21

x1

x2

Promenljive stanja su izlazi iz integratora, pa se mogu pisati sledece jednacine dx1dt = -6x1 + u

dx2dt = -5x2 + u

y = 11x1 - 7x2 Odnosno, u matricnom obliku

ddt

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤x1

x2 =

⎣⎢⎡

⎦⎥⎤-6 0

0 -5 ⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤x1

x2 +

⎣⎢⎡⎦⎥⎤1

1 u; y = [ ]11 -7

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤x1

x2

Primer. Formirati matematicki model u prostoru stanja u Jordan-ovoj kanonicnoj formi za sistem cije je ponašanje opisano diferencijalnom jednacinom

d2y(t)dt2

+ 6 dy(t)dt + 8 y(t) = 2 d

2u(t)dt2

+ 8 du(t)dt + 6 u(t)

Rešenje. Formira se funkcija prenosa sistema, koja se odmah piše u obliku sume parcijalnih razlomaka Y(s)U(s) = 2 s2 + 8s + 6

s2 + 6s + 8 = 2 - 1

s + 2 - 3s + 4

Na osnovu poslednje sume formira se graf toka signala sistema prikazan na slici

18

-3

-1u(t)

1

y(t)

s1

-4

s1

-2

x1

x2

1 x1

x2

2

Promenljive stanja su izlazi iz integratora, pa se mogu pisati sledece jednacine dx1dt = -2x1 + u

dx2dt = -4x2 + u

y = -x1 - 3x2 + 2u Odnosno, u matricnom obliku

ddt

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤x1

x2 =

⎣⎢⎡

⎦⎥⎤-2 0

0 -4 ⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤x1

x2 +

⎣⎢⎡⎦⎥⎤1

1 u; y = [ ]-1 -3

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤x1

x2 + 2u

Primer. Formirati matematicki model u prostoru stanja u Jordan-ovoj kanonicnoj formi za sistem cije je ponašanje opisano diferencijalnom jednacinom

d5y(t)dt5

+ 8d4y(t)

dt4 + 24

d3y(t)dt3

+ 34d2y(t)

dt2 + 23

dy(t)dt + 6y(t) = 5

d4u(t)dt4

+ 34d3u(t)

dt3 + 85

d2u(t)dt2

+ 95du(t)

dt + 41u(t)

Rešenje. Formira se funkcija prenosa sistema, koja se odmah piše u obliku sume parcijalnih razlomaka Y(s)U(s) = 5s4 + 34s3 + 85s2 + 95s + 41

s5 + 8s4 + 24s3 + 34s2 + 23s + 6 = 1

s+2 + 1s+3 + 3

s+1 + 2(s+1)2

+ 1(s+1)3

Na osnovu poslednje sume formira se graf toka signala sistema prikazan na slici. Promenljive stanja su izlazi iz integratora, pa se mogu pisati sledece jednacine

dx1dt = -2x1 + u

dx2dt = -3x2 + u

dx3dt = x4 - x3

dx4dt = x5 - x4

19

dx5dt = -x5 + u

y = x1 + 3x2 + x3 +2x4 + 3 x5 Odnosno, u matricnom obliku

ddt

⎣⎢⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎥⎤x1

x2x3x4x5

=

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤-2 0 0 0 0

0 -3 0 0 00 0 -1 1 00 0 0 -1 10 0 0 0 -1

⎣⎢⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎥⎤x1

x2x3x4x5

+

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤11

001

u; y = [ ]1 1 1 2 3

⎣⎢⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎥⎤x1

x2x3x4x5

1

1u(t)

1

y(t)

s1

-2

s1

-3

s1

-1

x1

x21

1

x1

x2

s1

-1

s1

-11 1

3 2 1

x5 x4 x3

20

Linearizacija nelinearnih sistema

Ponašanje realnih dinamičkih sistema se najčešće opisuje nelinearnim matematičkim modelom, jer su relacije između ulaznih veličina, veličina stanja i veličina izlaza takođe nelinearne. Unutar svakog nelinearnog procesa postoje različite forme nelinearnosti. Raznolikost oblika nelinearnosti dodatno otežava postupak analize ovakvih sistema. Nelinearne simulacije su najčešće korišćeni postupak analize nelinearnih sistema. Da bi se postupak analize, a tim i sinteze, nelinearnih sistema pojednostavio, vrši se njihova linearizacija. Linearizacija je postupak zamene nelinearnih matematičkih izraza sa linearnim. Osnovni razlozi za široku primenu linearizacije su: -za male varijacije stanja sistema oko radne tačke, linearni model je vrlo sličan nelinearnom. -linearni matematički modeli se rešavaju pomoću moćnih numeričkih, računarski podržanih procedura, koje su pretežno iz oblasti linearne algebre. -koristi se princip superpozicije, koji omogućava jedinstven i generalizovan pristup analizi dinamike različitih procesa. -postupak analize stabilnosti, kao ključne osobine svakog dinamičkog sistema, koja ne zavisi od početnih uslova ili poremećaja, svodi se na relativno jednostavnu analizu karakterističnih vrednosti matrice stanja sistema. Postoji više metoda linearizacije nelinearnih sistema. Prva od ovih metoda je metoda harmonijske linearizacije. Harmonijska linearizacija se vrši u frekventnom domenu i za nju je karakteristično da razmatra samo signal osnovne frekvencije dok se viši harmonici zanemaruju. Druga metoda je metoda statističke linearizacije koja se vrši u vremenskom domenu. U ovoj metodi se realizovani model zamenjuje ekvivalentnim linearnim, uz pretpostavku da je sistem podvrgnut poremećajima koji imaju normalnu (Gauss-ovu) raspodelu. Treća metoda linearizacije, koja će ovde biti detaljno objašnjena, je metoda perturbacije, ili metoda aproksimacije tangente. U ovoj metodi nelinearni izrazi se zamenjuju linearnim u okolini radne tačke (radnog režima) koja najčešće predstavlja i stacionarno stanje sistema. Da bi se ova metoda mogla koristiti, neophodno je da u okolini radne tačke relacije budu bar jednom diferencijabilne, odnosno, da imaju jasno određenu tangentu na trajektoriju u radnoj tački. U matematičkom smislu ovo znači da nelinearne relacije treba razviti u Taylor-ov red, pri čemu se svi viši članovi reda zanemaruju. Naravno, ovaj postupak je tačniji što su promene ili perturbacije stanja oko radne tačke manje. Ideju perturbacione linearizacije je najlakše objasniti u dvodimenzionalnom prostoru gde se relacije između promenljivih mogu grafički predstaviti krivom i tangentom u datoj tački. Ako se relacija između promenljivih x i u nekog sistema opiše sa nelinearnom jednačinom oblika x=f(u), i pri tome definiše radna tačka )x,u(R (vidi sliku 1), onda se ova jednačina može razviti u Taylor-ov red u okolini radne tačke )x,u(R .

K+−

=

+−=

+= 2)uu(uu

2du

f2d!2

1)uu(uudu

dfxx (1)

21

dxdfdu∆u∆x

∆uu u u

x

x

x R

Slika 1. Grafički prikaz ideje perturbacione linearizacije

Ako je linearizacija ograničena na oblast u okolini radne tačke (male perturbacije), onda se kvadratni i svi ostali članovi reda mogu zanemariti, pa se iz (1) dobija

)uu(uudu

dfxx −=

=− , (2)

odnosno,

ukxuuudu

dfx ∆=∆⇒∆=

=∆ (3)

Izraz (3) pokazuje linearnu zavisnost između vrednosti devijacija oko radne tačke (a ne apsolutnih vrednosti) promenljivih u i x. Gore izvedeni postupak se može uraditi i za slučaj multivarijabilnog nelinearnog sistema. Grafički prikaz tada nije moguć, jer se radi o trajektoriji - hiperpovrši u hiperprostoru, dok tangenta ima formu tangentne hiper-ravni. Ako se pretpostavi da je matematički model nelinearnog dinamičkog sistema dat sa sistemom diferencijalnih jednačina:

( )

( )t;ru,...1u,nx,...1xnfnx

t;ru,...1u,nx,...,1x1f1x

=

=

&

M

&

( )

( )t;ru,...1u,nx,...1xmgmy

t;ru,...1u,nx,...,1x1g1y

=

=

M (4)

onda se postupak linearizacije može ilustrovati na i-toj diferencijalnoj jednačini tog sistema. Ako se primeni postupak razvoja u Taylor-ov red i-te jednačine oblika ( ) ( ) ( ) ( )( )t,tru,,t1u,tnx,,t1xifix KK& = , (5)

dobija se sledeća jednačina (6) iz koje su isključeni članovi višeg reda.

( ) K&& +−

==

∑= ∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

==

∑= ∂

∂+= kuku

uu,xx

r

1k kuif

jxjx

uu,xx

n

1j jxif

ixix (6)

Pošto se linearizacija vrši u okolini radne tačke koja je obično i stacionarna tačka,

može se usvojiti da važi 0xi =& . Jednačina (6) se može tada pisati i u sledećoj formi:

nx

uu,xxnx

if1x

uu,xx1x

ifixixix ∆

==∂

∂++∆

==∂

∂=∆=− K&&&

ru

uu,xxru

if1u

uu,xx1u

if ∆

==∂

∂++∆

==∂

∂+ K (7)

Uvođenjem smene koeficijenata oblika:

22

r,,1k;n,,1j,i;uu,xxku

ifikb,

uu,xxjxif

ija KK ==

==∂

∂=

==∂

∂= (8)

dobija se već dobro poznata forma jednačina stanja linearnog sistema, u kojoj koeficijenti i predstavljaju elemente matrice stanja A i matrice upravljanja B, respektivno. ija ikb

Prema tome važi: u,uxxu

f;Bu,uxxx

fA==∂

∂=

==∂∂

=

U razvijenom obliku matrice A i B glase:

uuxxnx

nf

2xnf

1xnf

nx2f

2x2f

1x2f

nx1f

2x1f

1x1f

uuxxx

fA

==⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

==∂

∂=

K

KKKK

K

K

uuxxru

nf

2unf

1unf

ru2f

2u2f

1u2f

ru1f

2u1f

1u1f

uuxxu

fB

==⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

==∂

∂=

K

KKKK

K

K

Sistem nelinearnih algebarskih jednačina koje opisuju izlaz sistema može biti oblika: ( ) ( ) ( ) ( )( )t,tnx,,t2x,t1xgty K= (9)

Ako se primeni postupak razvoja u Taylor-ov red, i zanemare članovi višeg reda, za i-tu jednačinu izlaza sistema (4) dobija se izraz:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

∑= ∂

∂+= jxjx

xx

n

1j jxig

iyiy (10)

Jednačina (10) se može napisati u obliku:

nxxxnx

ig1x

xx1xig

iyiyiy ∆

=∂

∂++∆

=∂

∂=∆=− K (11)

Koeficijenti oblika

xxjxig

ijc

=∂

∂= ,j=1,...,n ;i=1,...,m; su elementi matrice izlaza sistema C.

Prema tome, matrica izlaza sistema je: xxx

gC=∂

∂=

Nakon izvršene linearizacije, može se formirati matrična forma matematičkog modela sistema u prostoru stanja.

( ) ( ) ( )tButAxtx +=& ; ( )tCxy = (12) Konačno, potrebno je još jednom naglasiti važnost pravilnog izbora radne tačke za koju se vrši linearizacija. Ova činjenica dobija posebnu važnost ako se zna da nelinearni sistemi mogu imati i više stacionarnih stanja, pa rezultat analize sistema i izbora radne tačke se ne svodi samo na nalaženje stacionarnog stanja, već i izbora najpovoljnijeg među nekoliko mogućih. Primer 1. Dat je matematički model nelinearnog sistema automatskog upravljanja:

23

1u3xe3x

22ut2x

21tx1x

=

=

=

&

&

&

; ;

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=)0tsin(

10

0x⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= )0tcos(

)0tln(0u

Izvršiti linearizaciju nelinearnog modela u okolini radne tačke zadate sa x0 i u0. Rešenje:

.)0tcos()0tln(

)0t()0tsin(

10

)0t(

1u3xe

22ut

21tx

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= u , x , x&

= f(x(t),u(t),t). x& Ovo je matematički model nelinearnog sistema u prostoru stanja. Ako se izvrši linearizacija u okolini tačke određene sa x0 i u0, dobija se linearizovani model:

).( ux,uBxAx α+δ+δ=δ &

0u,0xxfA

∂∂

= ,

0u,0x

fBu∂∂

=

- zanemareni članovi Taylor-ovog reda. )( ux,α

0tln)0t(1u0)0t(1x21tx)t,(1f1x ==== u,x&

0tcos)0t(2u1)0t(2x22ut)t,,(2f2x ==== ux&

)0tsin()0t(3x1u3xe)t,,(3f3x === ux&

A =

0,0

1u3xe1u00

000001tx2

0,03x3f

2x3f

1x3f

3x2f

2x2f

1x2f

3x1f

2x1f

1x1f

uxux

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

24

B =

0,0

01u3xe3x

2ut2000

0,02u3f

1u3f

2u2f

1u2f

2u1f

1u1f

uxux

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

U okolini tačke x0 i u0 dobijaju se sledeće vrednosti matrica A i B:

A =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

)0tsin0t(lne)0tln(00

000000

)0t(1u)0t(3xe)0t(1u00

00000)0t(1x0t2

B =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0)0tsin0t(ln

e0tsin

0tcos0t2000

0)0t(1u)0t(3x

e)0t(3x

)0t(2u0t2000

Linearizovani model sistema je:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

2u1u

0)0tsin0t(ln

e0tsin

0tcos0t2000

3x2x1x

)0tsin0t(lne0tln00

000000

3x2x1x

&

&

&

.

Primer 2 Matematički model sistema automatskog upravljanja je dat sledećim sistemom diferencijalnih jednačina drugog reda:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+θ−

=θ

+−θ=

)t(2u)t(r

1)t(r

)t(r)t(2)t(

)t(1u)t(2r

k)t(2)t(r)t(r

&&&&

&&&

(1)

Izvršiti linearizaciju u okolini radne tačke: 0)0t(2u)0t(1u;)0t(;0)0t(;0)0t(r;1)0t(r ==ω=θ=θ== && .

Rešenje: Ovakav sistem nije u formi prostora stanja, odnosno ne zadovoljava Košijevu formu sistema diferencijalnih jednačina. Zato se usvajaju nove promenljive stanja, na sledeći način: ; ; )t(r)t(1x = )t(r)t(2x &= )t()t(3x θ= ; )t()t(4x θ= &

Zamenom novih oznaka u jednačine (1) dobija se novi sistem jednačina. (Zbog kraćeg pisanja, u daljem tekstu će biti izostavljeno “(t)”).

25

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

+−=

=

+−=

=

1x2u

1x2x4x2

4x:4f

4x3x:3f

1u21x

k24x1x2x:2f

2x1x:1f

&

&

&

&

(2)

Sada se prelazi na linearizaciju sistema u okolini radne tačke: 0)0t(2u)0t(1u;)0t(4x;0)0t(3x;0)0t(2x;1)0t(1x ==ω====

Ona je određena na osnovu radne tačke zadate u postavci problema.

0,0

1x2x2

01x4x2

21x2u

21x

2x4x21000

4x1x20031x

k224x

0010

0,0

4x4f

3x4f

2x4f

1x4f

4x3f

3x3f

2x3f

1x3f

4x2f

3x2f

2x2f

1x2f

4x1f

3x1f

2x1f

1x1f

xf

ux

ux

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

+

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=∂∂ (3)

0,0

1x10000100

0,0

2u4f

1u4f

2u3f

1u3f

2u2f

1u2f

2u1f

1u1f

uf

ux

ux

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

=∂∂ (4)

Sledi zamena početnih vrednosti u izraze (3) i (4):

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ω−

ω+ω=

=

=∂∂

=

00201000

200k20010

)0t(uu

)0t(xxxfA ; B =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

=

=∂∂

10000100

)0t(uu

)0t(xxuf

Sada se može napisati jednačina stanja sistema u matričnom obliku:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ω−

ω+ω=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

2u1u

10000100

4x3x2x1x

00201000

200k20010

4x3x2x1x

&

&

&

&

26

Primer 3 Zadat je matematički model nelinearnog sistema automatskog upravljanja oblika:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

)t),t(),t((3f)t),t(),t((2f)t),t(),t((1f

3x2u1ue

3x22u1u

1u21x

)t(3x)t(2x)t(1x

uxuxux

&

&

&

; 3x22x)t(y =

Izvršiti linearizaciju matematičkog modela u okolini radne tačke:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

)0tcos(1

0

)0t(3x)0t(2x)0t(1x

; . ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡)0tln()0tln(

)0t(2u)0t(1u

Rešenje: Prema opštem obrascu sledi:

)0t(uu

)0t(xx3x2x1ue2x1u3x2x1u

e3x1u0

22u1u00

001u1x2

)0t(uu

)0t(xx3x3f

2x3f

1x3f

3x2f

2x2f

1x2f

3x1f

2x1f

1x1f

=

=⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

=

=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

=A

A =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

− )0tcos()0tln(e)0tln(

)0tcos()0tln(e)0tcos()0tln(0

)0t(3ln00000

)0t(uu

)0t(xx03x2x1ue3x2x

3x2u1u23x22u

021x

)0t(uu

)0t(xx2u3f

1u3f

2u2f

1u2f

2u1f

1u1f

=

=⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

=

=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

=B

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=

0)0tcos()0tln(

e)0tcos(

)0tcos()0t(2ln2)0tcos()0t(

2ln00

B

27

C = )0t(xx

22x3x2x20

)0t(xx3xy

2xy

1xy

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

[ ]1)0tcos(20 −=C

Sada se matematički model sistema može napisati u matričnom obliku u prostoru stanja: =Ax+Bu; y=Cx. x&

28