stabilnost konstrukcija 6 19 - grf.bg.ac.rs · stabilnost konstrukcija 17 nehomogena diferencijalna...
TRANSCRIPT
STABILNOST KONSTRUKCIJAVI ČAS
V. PROF. DR MARIJA NEFOVSKA‐DANILOVIĆ
3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 1
Univerzitet u BeograduGrađevinski fakultetKatedra za tehničku mehaniku i teoriju konstrukcija
Metoda početnih parametaraOsnovne jednačine štapa:◦ Linearizovana teorija II reda‐tačno rešenje
◦ Linearizovana teorija II reda‐aproksimativno rešenje
R K q Q
0 g R K K q Q
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 2
Matrice krutosti po K i Kg linearizovanoj Teoriji II reda, tačno i aproksimativno rešenje, znamo da odredimo.
Treba odrediti vektor ekvivalentnog opterećenja po linearizovanoj Teoriji II reda, tj, Q = ?
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 3
Metoda početnih parametara
Vektor ekvivalentnog opterećenja ćemo odrediti primenom metodepočetnih parametara iz nehomogene diferencijalne jednačine šapa.
Vrednost partikularnog integrala ćemo odrediti u zavisnosti od zadatogopterećenja.
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 4
Metoda početnih parametara
Metoda početnih parametaraPritisnut štapPritisnut štap – homogena dif.jednačina i rešenje
Ci su integracione konstante koje se određuju iz graničnih uslova štapa
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 5
kxCkxCkxCCxvEISkvkv
cossin)(
)(0
4321
22
Integracione konstante se određuju iz graničnih uslova na početku štapa:
‐ ugib
‐ nagib
‐ momenat savijanja
‐ transverzalna sila
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 6
0 0v v
0 (0)v
0 (0)M EI v
0 (0) (0)V EIv Sv
Metoda početnih parametaraPritisnut štap
Diferenciranjem se dobija
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 7
kxkCkxkCxv
kxkCkxkCxv
kxkCkxkCkCxv
sincos)(
cossin)(
sincos)(
34
33
24
23
432
Metoda početnih parametaraPritisnut štap
Unošenjem dobijenih izraza u granične uslove, dobija se sistem jednačina po konstantama Ci
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 8
0 1 4
0 2 3
0 4
0 3 2 3 2
(0)(0)(0) (0)
(0) (0) (0) ( )
v v C Cv C k C kM EIv M C SV EIv Sv V C kS S C k C k SkC
gde je S=k2EI
Metoda početnih parametaraPritisnut štap
Rešavanjem sistema jednačina dobija se:
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 9
02
04
01 0
0 03
,
,
,
,
VC
SkM
CS
MC v
SV
Ck Sk
Metoda početnih parametaraPritisnut štap
Rešenje homogene dif. jednačine pritisnutog štapa Metodom početnih parametara glasi:
gde su v0, , M0 i V0 početni parametri (ugib, nagib, momenat savijanja i transverzalna sila na početku štapa)
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 10
EIkkxkxV
EIkkxM
kkxvxv 302000
sincos1sin)(
Metoda početnih parametaraPritisnut štap
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 11
Nehomogena diferencijalna jednačina. Partikularni integral.
d
p(x)
v0
V0
SM0
v(x)0
p( )d
x
x-
Nehomogena dif. jednačina: 2( ) ( ) ( )IV IIv x k v x p x
x
y
Rešenje nehomogene diferencijealne jednačine je zbir rešenja homogenog dela vh(x) i partikularnog integrala vp(x) :
Partikularan integral pretpostavljamo u obliku:
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 12
x
p dpEIk
xkxkxv0 3 )()(sin)()(
( ) ( ) ( )h pv x v x v x
silapomeranje usled sile
Opšte rešenje se može prikazati u obliku:
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 13
)()()()()(
)(sincossin)()(
)(cos1sincos)()(
)(sincos1sin)(
2
00
000
2000
302000
EISkdpVxvSxvEIxV
xvEIkkxVkxMkxkEIxvEIxM
xvEIk
kxVEIkkxMkxxvx
xvEIk
kxkxVEIk
kxMkkxvxv
x
p
p
p
Nehomogena diferencijalna jednačina. Partikularni integral.
Ako uvedemo funkcije:
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 14
1 2
3 4
sin( ) 1, ( ) ,
1 cos sin( ) , ( )
kxF x F xk
kx kx kxF x F xS kS
Nehomogena diferencijalna jednačina. Partikularni integral.
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 15
)()()(
)()()(cossin)(
)()()(sincos)(
)()()()()()()(
2
00
022000
033000
0440302010
EISkdpVxV
dxFpxFVkxMkxkEIxM
dxFpxFVEIkkxMkxx
dxFpxFVxFMxFxFvxv
x
x
x
x
Nehomogena diferencijalna jednačina. Partikularni integral.
Ako uvedemo nove funkcije Ij(x), j=1,2,3,4:
1 10
2 20
3 30
4 40
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x
x
x
x
I x F x p d
I x F x p d
I x F x p d
I x F x p d
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 16
Nehomogena diferencijalna jednačina. Partikularni integral.
dobijaju se izrazi za pomeranje, obrtanje i sile u preseku:
0 1 0 2 0 3 0 4 4
0 0 0 3 3
0 0 0 2 2
20 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin( ) cos ( ) ( )
( ) sin cos ( ) ( )
( ) ( ) ( )
v x v F x F x M F x V F x I xk kxx kx M V F x I x
SM x EI k kx M kx V F x I x
SV x V I x kEI
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 17
Nehomogena diferencijalna jednačina. Partikularni integral.
Diferencijalna jednačina zategnutog štapa je :
Koriste se rešenja za pritisnut štap, u koja se unose sledeće izmene:
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 18
2 ( )IV p xv k vEI
1cos sinS S k ki i
iz chz i iz shz
Metoda početnih parametaraZategnut štap
Za pritisnut štap je:
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 19
1 2
3 4
sin( ) 1 ( )
1 cos sin( ) ( )
kxF x F xk
kx kx kxF x F xS kS
Metoda početnih parametaraZategnut štap
Za zategnut štap se dobija:
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 20
1
2
3
4
( ) 1sin( )
1 cos 1( )
sin( )
z
z
z
z
F xikx i shkxF x
ik i kikx chkxF x
S Sikx ikx i kx shkxF x
ikS i kS
Metoda početnih parametaraZategnut štap
Konačni izrazi za zategnuti štap su:
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 21
0 1 0 2 0 3 0 4 40
0 0 0 3 30
0 0 0 2 20
20
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
xz z z z z
xz z
xz z
x
v x v F x F x M F x V F x p F x d
ksh kxx ch kx M V F x p F x dS
M x EI k sh kx M ch kx V F x p F x d
SV x V p d kEI
Metoda početnih parametaraZategnut štap
Ako uvedemo funkcije Ij(x), j=1,2,3,4, dobijaju se izrazi za pomeranje, obrtanje i sile u preseku:
0 1 0 2 0 3 0 4 4
0 0 0 3 3
0 0 0 2 2
20 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
z z z z z
z z
z z
z
v x v F x F x M F x V F x I xksh kxx ch kx M V F x I x
SM x EI k sh kx M ch kx V F x I x
SV x V I x kEI
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 22
Metoda početnih parametaraZategnut štap
gde je:
1 10
2 20
3 30
4 40
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
xz z
xz z
xz z
xz z
I x F x p d
I x F x p d
I x F x p d
I x F x p d
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 23
Metoda početnih parametaraZategnut štap
Stepenasto promenljivo opterećenje pravog štapaMetoda početnih parametara
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 24
V0
M0
S
p0
p1
p2P1
M1
P2M2
a1
a2
x
Funkcija ugib grede je oblika:
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 25
)()()(|
)()()(|
)()()()()(
22242232
11141131
04030200
2
1
axFaxFPaxFM
axFaxFPaxFM
xFxFVxFMxFvxv
pax
pax
p
Stepenasto promenljivo opterećenje pravog štapa
Nagib grede je:
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 26
)()()(sin|
)()()(sin|
)()(sincos)(
222322
2
111311
1
03000
2
1
axFaxFPS
axkkM
axFaxFPS
axkkM
xFxFVS
kxkMkxx
pax
pax
p
Stepenasto promenljivo opterećenje pravog štapa
Momenat savijanja je:
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 27
)()()(cos|
)()()(cos|
)()(cossin)(
2222222
1112111
02000
2
1
axFEIaxFPaxkM
axFEIaxFPaxkM
xFEIxFVkxMkxkEIxM
pax
pax
p
Stepenasto promenljivo opterećenje pravog štapa
Transverzalna sila je:
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 28
)(|
)(|)(
222
11100
2
1
axpP
axpPxpVxV
ax
ax
Stepenasto promenljivo opterećenje pravog štapa
Partikularan integral za pritisnut štap opterećen raspodeljenim opterećenjem je:
0
( ) sin ( )( ) ( )x
pk x k xF x p d
kS
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 29
Stepenasto promenljivo opterećenje pravog štapa
Za konstantno opterećenje p(x)=const partikularan integral je:
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 30
2 2
2
2 2
2
( ) (cos 1 ) 0 ( .)2
( ) ( 1 ) 0 ( .)2
p
p
p k xF x kx za S pritk S
p k xF x chkx za S zatk S
Stepenasto promenljivo opterećenje pravog štapa
Stabilnost pravog štapa sa const. poprečnim presekom i aksijalnom silom primenom metode početnih parametara
Pritisnut štap
Kritično opterećenje je najmanje opterećenje pri kojem homogen problempo linearizovanoj teoriji II reda ima netrivijalno rešenje.
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 31
2 20IV
c
Sv k v k
EI
Homogeni granični uslovi:◦ Slobodan oslonac v = 0, M = 0◦ Uklještenje v = 0, v’ = 0◦ Slobodan kraj M = 0, V = 0
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 32
2
0 00 0
M vV v k v
Imamo homogenu diferencijalnu jednačinu i homogene granične uslove. Tražimo vrednost parametra opterećenja k za koje postoji rešenje.
Problem svojstvenih vrednosti diferencijalne jednačine
Svojstvene funkcije problema (oblici izvijanja) i svojstveni brojevi (kritične sile)
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 33
Svojstvene vrednosti: k1,k2,...km,...
predstavljaju vrednosti k za koje homogena dif. jednačina ima netrivijalno rešenje.
kmin - definiše Pcr
Svojstvene funkcije: v1,v2,...vm,...
predstavljaju elastičnu liniju štapa za određenu vrednost ki (oblik izvijanja)
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 34
Ojlerovi slučajevi izvijanjaKonstantan poprečni presek: EI = const
Sila pritiska na krajevima štapa (px=py=0)
Diferencijalna jednačina je data sa:
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 35
IV 2 2 Sv k v 0 kEI
Opšte rešenje je dato sa:
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 36
)()(
sincossin)(
cos1sincos)(
sincos1sin)(
20
000
2000
302000
EISkVxV
kkxVkxMkxkEIxM
EIkkxV
EIkkxMkxx
EIkkxkxV
EIkkxM
kkxvxv
a) Prvi Ojlerov slučaj
Konzola Granični uslovi:
x = 0: v0=0, x = l: M(l)=0,V(l)=0
Iz uslova ravnoteže vertikalnih sila V0=0
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 37
l
SEI
kxMxM cos)( 0
Granični uslov na slobodnom kraju x = l:
Trivijalno rešenje: M0 = 0
Netrivijalno rešenje: cos(kl) = 0
k l = (2n-1) , n = 1,2,3,...
(svojstvene vrednosti)
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 38
0)cos(0)(: 0 klMlMlx
Kako je
Svojstvene funkcije (M0):
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 39
2
22
n 2
S k EIEIS ( 2n 1) n 1,2,3,
( 2l )
),3,2,1()cos1()( nxkCxv nn
22
322
222
1)2(
25)2(
9)2( l
EISl
EISl
EIS
Prvi Ojlerov slučaj
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 40
b) Drugi Ojlerov slučaj
Prosta greda Granični uslovi:
x=0: v0=0, M0=0x=l: v(l)=0, M(l)=0
Iz uslova ravnoteže vertikalnih sila V0=0
Dobija se ugib u obliku:
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 41
kkxxv )sin()( 0
Sl
Iz graničnog uslova v(l) = 0 se dobija:
Takođe je:
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 42
0)sin(0
0)sin(0)(
0
0
klkkllv
0)()sin()( 0 lMkxkEIxM
Svojstvene vrednosti:
Kritične sile izvijanja:
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 43
,3,2,1,0)sin( nnlkkl
22
322
222
1
222
94
,3,2,1
lEIS
lEIS
lEIS
nlEInS
lnk nn
Drugi Ojlerov slučaj
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 44
c) Treći Ojlerov slučajUklješten‐slobodno oslonjen štap
Granični uslovi x = 0: v0 = 0,
x = l: v(l) = 0, M(l) = 0
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 45
l
S
Granični uslovi na kraju x = l:
Homogen sistem linearnih algebarskih jednačina po M0 i V0.
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 46
0)sin()cos(0)(
0)sin()cos(10)(
00
00
kklVklMlM
SkklklV
SklMlv
Uslov da postoji netrivijalno rešenje:
Karakteristična jednačina:
Svojstvene vrednosti:
( )tg kl kl
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 47
klklkl
kklkl
Skklkl
Skl
cossin0sincos
sincos1
1( ) 4.4934, ( ) (2 1) 2,3,4,2nkl kl n n
Kritične sile izvijanja:
Svojstveni oblici izvijanja:
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 48
21 22 2
254.4934 ,4
EI EIS Sl l
)sin()cos1()( 21 xkxkCxkCxv nnnn
d) Četvrti Ojlerov slučajObostrano uklještena greda
Granični uslovi: x = 0: v0 = 0, x = l: v(l) = 0, (l) =
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 49
l
S
Granični uslovi na kraju x = l:
Homogen sistem linearnih algebarskih jednačina po M0 i V0.
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 50
0)cos(1)sin(0)(
0)sin()cos(10)(
00
00
SklV
SklkMl
SkklklV
SklMlv
Uslov da postoji netrivijalno rešenje:
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 51
1 cos sin
0sin 1 cos
2sin( ) [2sin( ) cos( )] 02 2 2
kl kl klS k S
k kl klS S
kl kl klkl
Karakteristična jednačina i svojstvene vrednosti
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 52
21 1 2
22 2
2 2
prva jednačina:2( ) sin 0 4
2 2druga jednačina:
( ) 4.4934 4 4.49342 2 2
4 39.478, 4 4.4934 80.763
kl kl EII k Sl l
kl kl kl EIII tg Sl
Efektivna dužina izvijanja
Efektivna dužina izvijanja je dužina fiktivnog štapa, zglobno oslonjenog na oba kraja, čija je kritična sila ista kao i za posmatrani (realan) štap, sa datim graničnim uslovima.
Stvarna dužina posmatranog štapa ... l
Koeficijent efektivne dužine izvijanja ...
Efektivna dužina izvijanja ... li = l
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 53
kr
kri
kr
SEI
l
lEISodn
lEIS
2
22
2
)(.
Efektivne dužine izvijanja za Ojlerove slučajeve
3. STABILNOST KONSTRUKCIJA 54
22
22
22
22
(1) 2.0(2 )
(2) 1.0
(3) . 4.4934 0.70
(4) . 0.50(0.5 )
kr
kr
kr
kr
EIKonzola Sl
EIProsta greda Sl
EIUklj Slob Sl
EIUklj Uklj Sl