modelovanje-predavanje 9 - novoelektron.tmf.bg.ac.rs/mod/predavanja/modelovanje-predavanje 9.pdfõ x...

9. STOHASTIČKI PRISTUP U MODELOVANJU

MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 1

MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA

9. Stohastički pristup u modelovanju; modeli

raspodela verovatnoće

http://elektron.tmf.bg.ac.rs/modProf. dr Nikola Nikačević

OSNOVE STOHASTIČKOG PRISTUPA

• Koristi se za opisivanje sistema u kome se veličine u sistemu menjaju nepredvidljivo, odnosno slučajno.

• Procesi u kojima se veličine na izlazu i/ili posle određenog vremena ne mogu jednoznačno odrediti na osnovu stanja sistema na ulazu ili u predhodnom (početnom) trenutku.

• Često sistemi / procesi imaju složenu (unutrašnju)strukturu koja se ne može analitički (deterministički) opisati koriste se stohastički modeli.

• Stohastički modeli predviđaju ishod slučajnih procesa, ali sa izvesnom neodređenošću, koja se opisuje raspodelom verovatnoće zasnovani na teoriji i zakonitostima verovatnoće.



PRIMERI SLUČAJNIH PROCESA –NIVOI OPISA

• Mikroskopski – rast kristala, oblik i rast prskotine u materijalu, rast ćelija u tkivu, emisija elektrona sa katode, kretanje i sudari molekula gasa, šum izmerene veličine

• Mezoskopski – raspodela vremena zadržavanja elemenata fluida u sudu, kretanje čestica pri transportu, raspored čestica pakovanja pri nasipanju u kolonu, deaktivacija katalizatora

• Makroskopski – vreme rada uređaja do kvara, vreme remonta, broj defektnih proizvoda

• Megaskopski – uticaji klimatskih promena, broj dana u sezoni sa temperaturom manje od prosečne, procene rizika od pandemije

SLUČAJNA VELIČINA I STOHASTIČKI PROCESI

• Slučajna veličina (X) – ako se pri ponovljenim merenjima najčešće dobijaju različite vrednosti date veličine.

• Familija vremenskih funkcija slučajnih veličina 1(t), 2(t), 3(t),... predstavlja stohastički proces.

• Osnovne karakteristike stohastičkih veličina i procesa su:– Kumulativna raspodela verovatnoće– Gustina raspodele verovatnoće– Srednja vrednost – Varijansa (disperzija)– Autokorelaciona funkcija i uzajamna korelaciona funkcija – Stacionarnost i ergodičnost



KONTINUALNE I DISKRETNE FUNKCIJE

• Kontinualna – funkcija kontinualne promenjive može uzeti bilo koju vrednost unutar inervala

• Primeri: brzina kretanja čestice, temperaturni profil u reaktoru, gustina smeše,...

• Diskretna – funkcija dis-kretne promenjive može uzeti samo jednu različitu vrednost u intervalu / polju.

• Primeri: dnevne temperature u mesecu, uzorci fluida za merenje koncentracije,...

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

0

20

40

60

80

x

Kontinualna funkcija

y(x)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.2

0

0.2

0.4

0.6

xy

[x]

Diskretna funkcija

KUMULATIVNA I GUSTINA RASPODELE VEROVATNOĆE

),()( txPxtXP

• Kumulativna raspodela verovatnoće slučajne X(t) :

• Svojstva kumulativne rasp.:1.

2.

3.

• Gustina raspodele vero-vatnoće veličine X(t) :

• Svojstvo gustine raspodele:1)(0 xP

1)(lim,0)(lim

xPxPxx

)()( 1221 xPxPxXxP

x

txPtxp

),(

),(

x

dxtxptxP ),(),(

1),( dxtxp

p(x)



PRIMER 1 – FUNKCIJE RASPODELE ZARAŽENIH U EPIDEMIJI VIRUSA

1. Broj ukupno potvrđenih slučajeva COVID-19 od 22.1 do 16.4.2020 u Kini (plava), Italiji (crvena) i Španiji (zelena)

Kumulativna raspodela

• U Kini je oko 1.3. dostignut plato (S kriva), kada u Italiji, a zatim i u Španiji počinje da raste broj slučajeva, i do 16.4 se ne stabilizuje.

• Ukupan (kumulativni) broj slučajeva je mnogostuko veći u Italiji i Španiji

PRIMER 1 – FUNKCIJE RASPODELE ZARAŽENIH U EPIDEMIJI VIRUSA

2. Broj dnevno potvrđenih slučajeva COVID-19 od 22.1 do 16.4.2020 u Kini (plava), Italiji (crvena) i Španiji (zelena)

Gustina raspodele

• U Kini je uža raspodela broja slučajeva, uz jedan veći pik

• U Italiji i Španiji je primetno smanjenje dnevno zaraženih, ali do 16.4 nije pri kraju.

• Striktne mere karantina i (samo)discipline u Kini su rezultovale u kraćem trajanju epidemije, i manjem broju zaraženih



SREDNJA VREDNOST I VARIJANSA• Srednja vrednost (SV)

slučajne veličine – mate-matičko očekivanje ():

• SV definiše položaj centra slučajne veličine

• SV stohastičkog procesa:

• Svojstvo aditivnosti SV:

• Varijansa (VAR) slučajne veličine – rasipanje, disper-zija oko srednje vrednosti:

• Dve slučajne veličine (pro-cesa) mogu da imaju istu SV a različitu VAR i obrnuto

• VAR stohastičkog procesa:

( ) ( ) ( , )X t X t x p x t dx

22

2 2

2 2

( ) ( ) ( ) var ( )

( ) 2 ( ) ( ) ( )

( ) ( )

X X

X X

X

t X t t X t

X t X t t t

X t t

( ) ( )t t

( ) ( ) ( )Z X YZ X Y t t t 22( ) ( ) ( ) var ( )Xt t t t

PRIMER 2 – SREDNJA VREDNOST I VARIJANSA ZA REZULTATE ISPITA

2. Na ispitu iz predmeta Modelovanje i simulacija procesa raspored broja studenata po intervalu osvojenih poena je:

Izračunati srednju vrednost i disperziju za ove rezultate.Srednja vrednost poena:

Varijansa:

Poena (xi) 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100

Br. stud. (pi) 4 8 11 7 5 35

50 60 70 80 90 1000

2

4

6

8

10

12

Poena na testu

Bro

j stu

dena

ta �̅� =1

𝑁𝑥 ⋅ 𝑝 ≈ 75.3

𝜎 =1

𝑁𝑥 ⋅ (𝑝 − �̅�) =

=1

𝑁𝑥 ⋅ (𝑝 − �̅� ) = 145.6



MOMENTI• Moment p(x) funkcije

(gustine raspodele):

pa je: Nulti moment = 1

Prvi moment = sr. vred.

• Centralni moment:

pa je drugi centralni momenat = varijansa

gde je:

2 – varijansa (disperezija)

𝜇 = 𝑥 ⋅ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

𝜇 = 𝜇 − 𝜇 = 𝜇 − �̅� = 𝜎𝜇 = 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 1

𝜇 = 𝑥 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = �̅�

𝜇 = (𝑥 − 𝜇 ) 𝑝 𝑥 𝑑𝑥

𝜇 = 𝑥 𝑝 𝑥 𝑑𝑥

AUTOKORELACIONA I UZAJAMNA KORELACIONA FUNKCIJA

• Autokorelaciona funkcija (AKF) – zavisnost X(t) u vremenu t1 od vrednosti u drugom vremenu t2:

• AKF pokazuje da li se X(t)menja brzo ili sporo.

• AKF za stohastički proces:

• Uzajamna korelaciona funkcija (UKF) – zavisnost jedne slučajne veličine X(t)od drugeY(t) :

• UKF pokazuje koliko su dve stohas. funkcije zavisne.

• UKF za stohastički proces:

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

( , ) ( ) ( )

( , ; , )

XXr t t X t X t

x x p x x t t dx dx

1 2 1 2 2 1

1 2

( , ) ( ) ( ) ( , )

( , ; , )

XY YXr t t X t Y t r t t

x y p x y t t dxdy

1 2 1 2( , ) ( ) ( )r t t t t ( ) ( ) ( )r t t t



STACIONARNOST I ERGODIČNOST STOHASTIČKIH PROCESA

• Stohastički proces je sta-cionaran ako su raspodele verovatnoće identične:

• Stacionarnost u širem smislu (slaba stac.) ako:– ne zavisi od t,– 2 ne zavisi od t,– r() r () su funkcije jedne

promenjive – dužine vremenskog intervala.

• Stacionaran stoh. proces je ergodičan ako prosečne vrednosti dobijene na osno-vu jednog niza opažanja mogu da se smatraju aproksimacijama prosečnih vrednosti procesa u celini.

svaka realizacija ili uzorak nosi tipične, zajedničke osobine za ceo proces.

i 2 procesa se mogu odrediti na osnovu jednog uzorka.

tnt

n

n

TtttiTtsvakoza

tttP

tttP

,...,,,0

)(),...,(),(

)(),...,(),(

21

21

21

OSNOVI POJMOVI MOLEKULSKE / STATISTIČKE TERMODINAMIKE - 1

• Mikroskopski opis termodinamičkih sistemapomoću teorije verovatnoće.

• Molekulska interpretacija termodinamičkih veliči-na: rada, toplote, slobodne energije i entropije.

• Cilj je da se merljive makroskopske veličine interpretiraju pomoću karakteristika konstitu-tivnih entiteta i interakcija između njih povezivanje termodinamičkih funkcija sa kvantno-mehaničkim jednačinama.

• Osnovni problem: raspodela određene količine energije na N identičnih podsistema - Boltzmann



OSNOVI POJMOVI MOLEKULSKE / STATISTIČKE TERMODINAMIKE - 2

• Boltzmann-ova raspodela za udeo entiteta Ni /Nkoji u setu stanja i poseduju odgovarajuću energiju Ei glasi:

gde je kB Boltzmann-ova konstanta, gi broj stanja sa energijom Ei (degeneracija) , a Z particiona funkcija:

)(

)(

TZ

eg

N

N TkEii

Bi

i

iNN

i

TkEi

BiegTZ )()(

MARKOV-LJEV LANAC• Markov-ljev lanac – stanje slučajne veličine (ili procesa) u

budućem vremenu zavisi samo od stanja u sadašnjem vremenu, a ne od stanja u prošlim vremenima:

• Markovljev lanac diskretna stanja, ako su kontinualne promenjive Markov-ljev proces.

• Pri svakom koraku, sistem može da se promeni u novo stanje ili da ostane u trenutnom stanju, po određenoj raspodeli verovatnoće – verovantnoća tranzicije.

1 1 1 1 1 1| , ,..., |n n n n n n n nP X x X x X x X x P X x X x

U primeru su data 3 stanja a, B, C i verovatnoće (P) prelaska iz jednog u dugo stanje (na vektorima i matrično)



MARKOV-LJEV LANAC – SLUČAJNO KRETANJE

• Primer Markov-ljevog lanca: slučajno kretanje (random walk) u jednom tranzicionom koraku verovatnoća kretanja od datog elementa ka bilo kom susednom elementu je jednaka, bez obzira na istoriju kretanja.

• Primene modela slučajnog kretanja:– U fizici: Brown-ovo kretanje, kretanje molekula u

gasu ili tečnosti, agregacija čestica,... – U hemiji: opis polimernog lanca,...

3D model 2D

- U biologiji: kretanje populacije životinja, genetička varijabilnost,...

- U informatičkim tehnologijama: procena veličine interneta,...

- U ekonomiji: modelovanje cena deonica,...

MODELOVANJE DISKRETNIH RASPODELA – 1

• Binomna raspodela – koristi se kod uzimanja uzoraka u eksperimentima, provere obrazaca, i dr...

• Uslovi: a) postoji utvrđen broj ishoda – n, b) ishod je ili povoljan ili nepovoljan, c) verovatnoća povoljnog ispoda p, a nepovoljnog (1-p), d) eksperimenti nezavisni.

Funk. raspodele ver. Srednja vrednost Varijansa

• Poisson-ova raspodela – kod radioaktivnog raspada, procesa čekanja i dolazaka, komunikacionih mreža i dr.

• Uslovi: dogadjaji nezavisni i retki.Funk. raspodele ver. Srednja vrednost Varijansa

x np 2 (1 )X np p

x np 2X np nxe

x

npxP np

x

,...,1,0,!

)()(

xnx ppx

nxP

)1()(



PRIMER 3 – VEROVATNOĆA POJAVE NEISPRAVNOG PROIZVODA

3. Izveštaji iz fabrike pokazuju da se na svakih 10000 proizvoda javlja 25 neispravnih. Kolika je verovatnoća da će 1000 proizvoda sadržati najviše 3 defektna?

Rešenje: U pitanju je diskretna raspodela. Pošto je frekvencija pojavljivanja neispravnih proizvoda mala, možemo koristiti Poisson-ovu raspodelu:

Verovatnoća pojave defekta:

Broj ishoda: ;

Ukupna verovatnoća za tri neispravna proizvoda jednaka je zbiru verovatnoća:

Koristeći Poisson-ovu raspodelu dobija se:

nxex

npxP np

x

,...,1,0,!

)()( 0025.010000/25 p

1000n

)3()2()1()0()( xPxPxPxPxP

758.0!3

5.2

!2

5.2

!1

5.2

!0

5.2 32105.2

eP

5.2 pn

MODELOVANJE DISKRETNIH RASPODELA – 2

• Polinomna raspodela – koristi se kod uzimanja uzorka, opšta binomna raspodela.

• Verovatnoća prvog ishoda x1 je p1, verovatnoća drugog ishoda x2 je p2 itd., pri čemu je p1+p2+...+pk=1.

• Uslov: svaki eksperiment nezavisan, verovatnoća svakog ishoda konstantna i predstavlja broj kombinacija c(n,x).

Funk. raspodele verov. Srednja vrednost Varijansa

• Hipergeometrijska raspodela – kod uzimanja probe bez povraćaja detekcija defektnog uzorka.

1 21 2

1 2

!( , ,..., )

! ! !nxx x

n nn

nP x x x p p p

x x x

x inp 2 (1 )X i inp p



MODELOVANJE KONTINUALNIH RASPODELA – 1

• Normalna (Gauss-ova) raspodela– koristi se često, za mnoge procese.Gustina normalne raspodele verovatnoće

• Ako se uvede smena za normiranu veličinu u :Gustina normirane raspodele Kumulativna normirane rasp.

Srednja vrednost normirane ras. Varijansa normirane rasp.

21 ( )( ) exp

22x

xx x

xp x

( ) /x xu x

21( ) exp

22

up u

21( ) exp

22

u uP u du

( ) 0u up u du

2 2var( ) ( ) ( ) 1uu u u p u du


• Kumulativna funkcija normirane normalne raspodele P(u) se može dobiti numeričkom integracijom, rešavanjem tzv. Laplace-ove funkcije, odnosno integrala:

rešenja ovog integrala za x>0 se mogu naći u tablicama, dok za x<0 važi (-x)=-(x), jer je neparna f-ja.

• Shodno pravilu 3 za kumulativnu raspodelu (slajd 6), verovatnoća za slučajnu promenjivu x, sa srednjom vrednošću x i varijansom x , u intervalu a<x<b je:

Φ(𝑥) =1

2𝜋𝑒 𝑑𝑢

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x abbxaPbxaP



PRIMER 4 – NORMALNA RASPODELA GREŠKE MERENJA GUSTINE SMEŠE

4. Za određivanje gustine trokomponentne smeše izveden je veliki broj eksperimenata. Utvrđeno je da se greška merenja (slučajna veličina - x) može prikazati pomoću normalne raspodele, a da je srednja vrednost greške 5 promila, a varijansa 1. Kolika je verovatnoća da će greška imati vrednost u intervalu od 4 do 7?

Rešenje: Primenom predhodne jednačine, za x=5 i x=1, dobija se:

Pri rešavanju se koristi svojstvo neparnosti Laplace-ove funkcije –(-x)=-(x). Rešenje je dobijeno pomoću tablica za (2) i (1).

8185.03413.04772.0)1()2(

)1()2(1

54

1

5774

xP


• Logaritamska normalna raspodela – koristi se kod modelovanja raspodele veličina čestica (kondenzacija, aerosoli, granulometrija i dr.)

• Primenjuje se kada nekoliko nezavisnih faktora utiče na ishod dogadjaja.Gustina logaritamske normalne raspodele verovatnoće

gde je

Srednja vrednost Varijansa

• Druge raspodele: gama, eksponecijalna, beta, Hi-kvadrat.

1 (ln )( ) exp

22

xp x

x

0ln

xx

2

0var ln x

2exp / 2x 2 2exp(2 ) exp( ) 1x

modelovanje-predavanje 9 - novoelektron.tmf.bg.ac.rs/mod/predavanja/modelovanje-predavanje 9.pdfõ x...

Documents