modelo de la máquina síncrona - insa de...

Capítulo 2

Modelo de la máquina síncrona

CapítuloModelo de la Máquina Sincrona

Control DTC Síncrono aplicado a una MSIP 13



2. MODELO DE LA MÁQUINA SÍNCRONA.

2.1. INTRODUCCIÓN. Las máquinas síncronas poseen un devanado trifásico en el estator y un devanado rotórico excitado por corriente continua. Adicionalmente pueden existir devanados amortiguadores en el rotor. Alimentada a frecuencia constante, la máquina síncrona sólo trabaja a velocidad constante, denominada velocidad de sincronismo, la cual depende de la frecuencia de alimentación y del número de polos de la máquina. El devanado de excitación puede ser sustituido por imanes permanentes. En este tipo de máquinas, en vez de utilizar un devanado de corriente continua en el rotor, se utilizan imanes permanentes que crean el campo magnético de excitación. De esta forma, se elimina la necesidad de los anillos rozantes y se disminuye considerablemente el volumen de la máquina. Además, el empleo de imanes permanentes conlleva la eliminación de las pérdidas en el cobre del rotor, aumentando por tanto la eficiencia de la máquina. En estas máquinas se consiguen elevadas aceleraciones gracias a la alta relación par / inercia que presentan.

2.1.1. CONFIGURACIONES BÁSICAS DE LOS MOTORES SÍNCRONOS DE IMANES PERMANENTES

Existen dos configuraciones básicas de este tipo de máquinas, en función de la disposición de los imanes permanentes en el rotor: montaje superficial e imanes interiores. En la Figura. 2.1 se muestran ambos tipos de disposiciones.

(a) (b)

Figura. 2.1. Configuraciones básicas de las MSIP. (a) MSIP de imanes superficiales, (b) MSIP de imanes interiores.

En la primera, se presenta una máquina síncrona de imanes permanentes superficiales de 4 polos. Estos van montados en la superficie del rotor mediante



potentes adhesivos. Para dotar de rigidez al rotor, importante a altas velocidades, el espacio interpolar se encuentra relleno de material no-ferromagnético y posteriormente el conjunto va zunchado con materiales de alta rigidez, como fibra de vidrio o incluso zapatas polares atornilladas. Como la permeabilidad relativa de los diferentes tipos de imanes permanentes se sitúa en el rango de 1.02 y 1.2, y además son materiales de alta resistividad, cuando van montados en la superficie se puede considerar a la máquina como de polos lisos y con un entrehierro alto. Esto da lugar a que la inductancia magnetizante sea la misma en los ejes directo y en cuadratura. Además, como el entrehierro es grande, la inductancia síncrona (magnetizante más dispersión), será menor que en una máquina convencional. Las MSIP mostradas en la Figura. 2.1(b) se denominan de imanes interiores. En ellas los imanes permanentes están embutidos en el interior del rotor ferromagnético. De esta forma se consigue una mayor robustez mecánica, apropiada para aplicaciones de alta velocidad. En este caso el comportamiento magnético de máquina es similar al de una de polos salientes, ya que los espacios entre imanes están ocupados por el material ferromagnético del rotor. Esto da lugar a que la reluctancia en la dirección del eje en cuadratura con el flujo de los imanes sea mucho menor que en el eje directo. Por lo tanto, en este tipo de máquinas la inductancia en el eje directo es menor que la del eje en cuadratura, al contrario de lo que ocurre con las máquinas síncronas de polos salientes convencionales. Este fenómeno da lugar a la aparición de una componente de par reluctante. Las MSIP han experimentado un notable incremento en los últimos años, debido a la aparición de materiales con elevado nivel de magnetismo remanente. El material tradicionalmente más empleado para conformar los imanes era la ferrita, debido a su bajo coste y excelente liberalidad en la desmagnetización. Sin embargo, el bajo magnetismo remanente limitaba su utilización. Los nuevos materiales son imanes permanentes fabricados utilizando tierras raras, como el Cobalto-Samario (SmCo5 o Sm2Co17), o el Neodimio-Hierro-Boro (Nd-Fe-B). Este último presenta un magnetismo remanente muy alto y una gran linealidad en la curva de desmagnetización. Tiene el inconveniente de que la intensidad de campo decrece con la temperatura. El Cobalto-Samario presenta la mejor combinación de características pero es caro y solamente utilizable en aplicaciones especiales donde la reducción en tamaño y peso justifique el incremento en el coste.

2.1.2. APLICACIONES DE LAS MÁQUINAS SÍNCRONAS DE IMANES PERMANENTES Las MSIP se utilizan fundamentalmente en aplicaciones de baja potencia, como servoaccionamientos para máquinas herramienta (tornos, fresadoras, sistemas de posicionamiento, etc), accionadores en general, pequeños generadores de electricidad, máquinas de corte por láser y en robótica. Sin embargo también se utilizan en aplicaciones de alta potencia, por ejemplo en sistemas de aerogeneradores o de propulsión de buques, que llevan máquinas síncronas de imanes permanentes del orden de 1 MW. En resumen, estas máquinas son adecuadas para aquellas aplicaciones donde se requiera:



• Alta densidad de flujo en el entrehierro. • Alta relación par / inercia para conseguir elevadas aceleraciones. • Alta relación potencia / peso. • Par electromagnético suave, o bajo nivel de rizado en el par, incluso a bajas

velocidades, para obtener una gran precisión en operaciones de posicionamiento.

• Control de par a velocidad nula. • Alto rendimiento y factor de potencia. • Diseño compacto.

2.2. MODELO DINÁMICO DE LA MÁQUINA SÍNCRONA En este apartado se desarrollará el modelo dinámico que se empleará para la simulación del sistema de control desarrollado en esta tesis. Será necesario establecer un modelo que guarde un compromiso aceptable entre la precisión y la simplicidad matemática, y que tenga en cuenta los parámetros eléctricos que describen los fenómenos electromagnéticos (resistencias e inductancias) de la máquina. Además, de este modelo se derivará el esquema de control propuesto en esta tesis. El modelo dinámico que se propondrá debe considerar como entradas las tensiones de alimentación del motor, ya que disponemos de un inversor trifásico en modo VSI alimentando a la MSIP. Las variables de salida serán las corrientes de fase, ya que se pueden medir fácilmente. Para la modelización se consideran varias hipótesis simplificadoras de partida: • El entrehierro entre las superficies de rotor y estator es despreciable en relación al

diámetro de la máquina. • Se desprecian igualmente la saturación de los circuitos magnéticos; la histéresis,

las corrientes de pérdidas de Foucault y la dispersión del campo magnético en los extremos de la máquina. Esto supone considerar todas las secciones de la máquina idénticas, y reducir el problema a un plano bidimensional.

• La permeabilidad magnética del aire es despreciable frente a la del hierro, y se puede considerar que esta última tiende a infinito, µFe→∞

• Se supondrá asimismo que la sección de los conductores es despreciable en relación a las dimensiones de la máquina y que éstos se encuentran en disposición paralela al eje axial de la máquina, sin ocupar espacio en el sentido radial. Esto quiere decir que se desprecia el ranurado de la máquina.

Todas estas condiciones definen lo que se denomina la “máquina eléctrica ideal”. Para obtener el modelo dinámico de la máquina síncrono siempre se parte de las ecuaciones de las tensiones de fase de cada devanado de la máquina. Existen dos aproximaciones clásicas que permiten expresar las ecuaciones de este modelo. Una aproximación está basada en el empleo de la notación matricial y de ciertas



transformaciones matemáticas que permiten la simplificación de las ecuaciones de fase. El segundo método consiste en la aplicación de la teoría de fasores espaciales. Las bases de esta teoría datan de finales de los años 50 gracias a los trabajos de Kovacs y Racs, pero después han existido contribuciones notables [STEP90]. Su desarrollo se basa en una notación compleja de las ecuaciones, donde cada magnitud física trifásica está asociada a un vector en el plano complejo (vector espacial), obteniendo expresiones simples y compactas [LEON90], [BOLD92]. En la Figura. 2.2 se muestran las estructuras de una máquina síncrona de polos salientes Figura. 2.2.(a) y de polos lisos o rotor cilíndrico Figura. 2.2.(b).

(a) (b)

Figura. 2.2. (a) Máquina síncrona de polos salientes (p=2). (b) Rotor cilíndrico.

Para las máquinas de polos salientes, los devanados de los polos son concentrados mientras que para el caso de rotor cilíndrico el devanado de excitación se distribuye en ranuras, cubriendo una parte de la circunferencia del rotor. Para la alimentación del devanado inductor se disponen dos anillos en la parte móvil de la máquina, por los que se introduce una corriente continua. Cuando la máquina síncrona funciona como motor el devanado estatórico se alimenta por un sistema de tensiones trifásicas de pulsación elec mecpω = Ω , creando un campo giratorio de pulsación ωelec. El campo creado por el devanado inductor, el cuál es fijo con respecto al rotor, gira en sincronismo con el campo generado por el devanado estatórico. El par electromagnético de la máquina se genera por tanto debido a la interacción de estos dos campos.

2.2.1. ECUACIONES DE FASE. A continuación se presentarán las ecuaciones diferenciales de las tensiones estatóricas y rotóricas, válidas tanto para régimen permanente como para transitorio, para una máquina síncrona genérica de rotor devanado. Las ecuaciones para una máquina de rotor liso se pueden obtener como un caso particular de las obtenidas para el caso de polos salientes donde se debe considerar que las inductancias de ejes directo y transverso tienen el mismo valor . Para la obtención de las ecuaciones de la



máquina, partiremos de las ecuaciones de las tensiones de cada devanado de la máquina. Las tensiones estatóricas están expresadas respecto a un sistema de referencia estacionario fijo con el estator, y las tensiones rotóricas se expresan en función de un sistema de referencia giratorio ligado al rotor. Las ecuaciones de fase de las tensiones se pueden escribir como:

Devanado estatórico:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

sAsA s sA

sBsB s sB

sCsC s sC

d tu t R i tdt

d tu t R i tdt

d tu t R i tdt

φ

φ

φ

= +

= +

= +

(0.1)

Devanado rotórico

ff f f

du R i

dtφ

= + (0.2)

donde:

Rs es la resistencia estatórica. usA(t), usB(t), usC(t) son las tensiones instantáneas en cada fase del

estator isA(t), isB(t), isC(t) son las intensidades instantáneas en cada fase

del estator φsA(t), φsB(t), φsC(t) son los flujos totales a través de cada fase del

estator

Rf es la resistencia del devanado rotórico. uf es la tensión instantánea del rotor if es la intensidad instantánea del rotor φf es el flujo total a través del devanado del rotor

Por otro lado, las ecuaciones que ligan los enlaces de flujo estatórico con las intensidades son:

( )cos

2cos34cos3

sA sA sA sAB sB sAC sC sf r f

sB sB sB sAB sA sBC sC sf r f

sC sC sC sBC sB sAC sA sf r f

L i M i M i M i

L i M i M i M i

L i M i M i M i

φ θ

πφ θ

πφ θ

= + + +

⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

(0.3)

siendo:

, ,sA sB sCL L L las auto-inductancias de cada fase del estator. , ,sAB sAC sBCM M M las inductancias mutuas entre dos fases del

estator. sfM la inductancia mutua entre estator-rotor.

Es decir, podemos ver que en cada flujo de fase estatórico existen 4 términos de influencia debidos a los 3 devanados estatóricos y al devanado rotórico. Para el devanado rotórico la expresión del flujo contiene igualmente 4 términos:



( ) 2 4cos cos cos3 3f f f fs sA r fs sB r fs sC rL i M i M i M iπ πφ θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (0.4)

donde:

fL representa la auto-inductancia del devanado rotórico. fsM representa la inductancia mutua entre el devanado

rotórico y una fase del estator.

2.2.2. NOTACIÓN MATRICIAL. Las ecuaciones (0.1) a (0.4), la cuales serán expresadas a continuación en forma matricial, conforman el modelo dinámico de la máquina, junto con la ecuación del par electromagnético que será presentada más adelante. La relación entre la tensión de cada devanado y la intensidad del mismo y la del resto de devanados de la máquina se expresa a través de las inductancias propias y mutuas:

( ) [ ] ( ) [ ] ( )( )sdu t R i t L i tdt

⎡ ⎤ = ⎡ ⎤ + Σ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (0.5)

donde [u] e [i] son los vectores de tensión e intensidad de cada devanado y [L] es la matriz de impedancias propias y mutuas entre los devanados. Este modelo es bastante explícito, pero a su vez es altamente no lineal y contiene una gran cantidad de coeficientes variables. La inductancia mutua entre los devanados alojados en el estator y en el rotor depende de la posición del rotor, y por tanto del tiempo. Por esta razón se tratarán de simplificar estas ecuaciones mediante transformaciones matemáticas que proporcionarán ecuaciones lineales. A continuación se desarrolla un modelo bifásico, en el cual se escriben las ecuaciones de las tensiones de ambos arrollamientos en función del mismo sistema de referencia: un sistema estacionario ligado al estator. Esta transformación recibe el nombre Transformación de Concordia. Como resultado obtendremos que las ecuaciones diferenciales de tensiones contienen coeficientes constantes, si se consideran los parámetros de la máquina como constantes.

TRANSFORMACIÓN DE CONCORDIA. Esta es una transformación lineal que busca relacionar por un lado las variables trifásicas de la máquina real, que representan los arrollamientos equivalentes separados 2π/3 radianes eléctricos, y, por otro lado, las variables trifásicas de un sistema de arrollamientos equivalente desde un punto de vista magnético (mismas fuerzas magnetomotrices creadas en el entrehierro), pero ahora considerando los arrollamientos ortogonales según las tres direcciones del espacio α-β-ο y fijas con respecto a un sistema de referencia ligado al estator.



Por convención, el eje magnético de la fase ‘a’ coincide con el eje magnético de la fase ‘α’. Si aceptamos que las distribuciones de fuerzas electromagnéticas creadas por las tres fases (A,B,C), son senoidales en el entrehierro, la equivalencia magnética de ambos sistemas de devanados implica la existencia de las mismas fuerzas magneto-motrices (f.m.m). sobre los ejes α-β-ο a nivel del entrehierro:

0

2 4

3 3

2 4

3 3

' cos cos

' sin sin

''

s s sA s sB s sC

s s sB s sC

s s sA s sB s sC

N i N i N i N i

N i N i N i

N i N i N i N i

α

β

π π

π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + +

(0.6)

donde Ns es el número de vueltas de los arrollamientos equivalentes de las fases (a, b, c); N’ es el número de vueltas de los arrollamientos α-β; N’’ es el número de vueltas del arrollamiento ο (denominado homopolar), y isα, isβ, isο son las corrientes de los tres arrollamientos estatóricos equivalentes, en los ejes α-β-ο. Estas relaciones definen una matriz de transformación entre las variables (A, B ,C) y (α-β-ο).

[ ] [ ], ,0 , ,s s A B Ci i

α β= T (0.7)

Para que la potencia eléctrica instantánea sea invariante (criterio seguido a lo largo de esta tesis) en estos dos sistemas de arrollamientos, es decir:

[ ] [ ] [ ] [ ], , , , , ,0 , ,0T T

s s s sA B C A B Cv i v i

α β α β= (0.8)

es necesario que T sea ortogonal (T-1=TT). Esta condición fija los valores de las relaciones Ns/N’ y Ns/N’’:

2' 3

1'' 3

s

s

NNNN

=

= (0.9)

siendo: 1 112 2

2 3 303 2 2

1 1 12 2 2

T

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(0.10)

Esta transformación T se conoce normalmente como “transformación de Concordia”. Si no se impone la condición de potencia activa invariante, los coeficientes Ns/N’ y Ns/N’’ pueden tomar valores arbitrarios. La elección de otros valores para Ns/N’ implica la obtención de valores α-β también diferentes en los cálculos intermediarios, aunque los valores de fase se mantengan invariantes. El valor de



Ns/N’’ no ofrece gran importancia ya que las componentes homopolares son nulas en los sistemas de alimentación a tres hilos. Existen en la literatura otras elecciones habituales para estas constantes, como son Ns/N’=1 y Ns/N’=2/3. Con éste último valor las proyecciones los fasores espaciales en el eje de la fase correspondiente tienen el mismo valor que los valores instantáneos de las variables de fase. Si aplicamos la transformación de Concordia a las ecuaciones del modelo trifásico de tensiones estatóricas obtendremos:

( )

2 1 13 2 2

12

s sA sB sC

s sB sC

u u u u

u u u

α

β

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

= − (0.11)

para las tensiones del estator. El devanado rotórico se encuentra naturalmente alineado con el eje rotórico, por lo que para expresar la tensión en este devanado en el sistema de referencia (α,β) será necesario considerar dos devanados ficticios equivalentes, dispuestos en dichos ejes denominados ( fα, fβ ) en la Figura. 2.3.

rθf

sα

sβ

rω

estator

rotor

f α

f β

Figura. 2.3. Sistema de referencia bifásico ligado al estator, para ambos devanados.

Estas relaciones, después de algunas manipulaciones algebraicas, se pueden expresar de forma matricial:

( )[ ]( )[ ]

( )[ ] ( )[ ] ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

dtdLRMdtdMdtdMdtddtdLRMdtddtdLR

uuu

ffrsfrsf

rsfss

rsfss

f

s

s

/////0/0/

θθθθ

β

α

β

α

(0.12)

donde se ha representado la dependencia de las inductancias mutuas entre los devanados bifásicos estatóricos y los rotóricos como: Msf(θr), es decir, el valor de la inductancia depende del ángulo rotórico, siendo su valor máximo Msf. En este modelo de la máquina, generalmente denominado “Modelo alfa-beta”, incluso considerando los parámetros de la máquina como constantes, encontramos un



sistema de ecuaciones diferenciales variables en el tiempo, ya que incluyen el ángulo de posición rotórico θr , el cuál varia temporalmente. En un segundo paso, para obtener un modelo bifásico del motor más simplificado, expresaremos las tensiones estatóricas en relación a un sistema de referencia giratorio, ligado al eje rotórico de la máquina. Esto implica introducir una nueva transformación lineal, cuyo sistema de referencia se muestra en la Figura. 2.4.

rθsd

sq

rω

rθf

rωrotor

estator

Figura. 2.4. Sistema de referencia ligado al rotor, para ambos devanados.

TRANSFORMACIÓN DE PARK. Esta transformación permite obtener las ecuaciones de la máquina para unos devanados equivalentes situados en ejes ortogonales d-q-o, que se encuentran girados un ángulo θr(t), alrededor del eje homopolar, con respecto al sistema α-β-o y, eventualmente en rotación (pulsación ωr). Las variables rotóricas de la máquina según el sistema de referencia d-q-o se pueden deducir a partir de las componentes α-β-o, si se aplica una rotación de θr radianes eléctricos. La matriz correspondiente a esta rotación, manteniendo intacta la componente homopolar, para una variable z genérica es:

( ) ( )( ) ( )

cos sin 0sin cos 0

0 0 1

d r r

q r r

o o

z zz zz z

α

β

θ θθ θ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(0.13)

La combinación, en forma de producto matricial, de la Transformación de Concordia y de esta rotación, constituye la conocida Transformación de Park, la cual permite el paso directo entre las magnitudes de fase y las magnitudes del sistema equivalente d-q-o.



( )

( )

2 4cos cos cos3 3

2 2 4sin sin sin3 3 3

1 1 12 2 2

r r r

d a

q r r r b

o c

z zz zz z

π πθ θ θ

π πθ θ θ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(0.14)

Si se consideran nulas las componentes homopolares, se obtendrá una reducción del número total de ecuaciones de cuatro, en el caso de las ecuaciones de fase, a tres que corresponderán a las componentes de tensiones de ejes directo y en cuadratura del arrollamiento estatórico más la ecuación rotórica. El número de componentes de la matriz de impedancias se verá igualmente reducido. Aplicando esta transformación a las ecuaciones (0.11), se obtiene el modelo en ejes d,q. Tras la transformación angular las tensiones se expresan como:

( ) ( )( ) ( )

cos sin

sin cossd s r s r

sq s r s r

u u u

u u uα β

α β

θ θ

θ θ

= +

= − + (0.15)

De manera que la forma matricial de las ecuaciones de tensión para ambos arrollamientos tiene la siguiente forma:

/ //

/ 0 /

sd s sd r sq m sd

sq r sd s sq r m sq

f m f f f

u R dL dt L dL dt iu L R dL dt L iu dL dt R dL dt i

ωω ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(0.16)

Estando definida la inductancia magnetizante Lm como:. sfm ML23

=

En este modelo las funciones trigonométricas del ángulo rotórico no están presentes en la matriz de impedancias, pero la velocidad rotórica ωr aparece en las ecuaciones rotóricas. En condiciones de no-saturación magnética, el operador derivada se puede desplazar detrás de las inductancias. Los arrollamientos equivalentes que se han considerado para la modelización de la máquina se encuentran representados en la Figura. 2.5.



S

N

fase Aeje α

eje d

eje β

eje q

fase B fase C

θr

ifRf

Figura. 2.5. Esquema de la máquina síncrona de polos salientes utilizado para la modelización.

2.2.3. ECUACIONES EN FORMA DE FASORES ESPACIALES. A continuación se presentarán los fasores espaciales de las ecuaciones de tensiones, para máquinas de entrehierro constante, según un sistema de referencia ligado al estator. Las definiciones de los fasores espaciales de las diferentes magnitudes eléctricas son, para las magnitudes ligadas al estator:

( )

2

2

2 '

2 ( ) ( ) ( )3

2 ( ) ( ) ( )323

s sA sB sC s s

s sA sB sC s s

s sA sB sC s s s s m f

u u t au t a u t u ju

i i t ai t a i t i ji

a a j L i L i

α β

α β

α βφ φ φ φ φ φ

⎡ ⎤= + + = +⎣ ⎦

⎡ ⎤= + + = +⎣ ⎦

= + + = + = +

(0.17)

donde 1j = − . Para las magnitudes ligadas al rotor, se podrían definir unos devanados trifásicos equivalentes (a,b,c), de manera que los fasores espaciales se expresarían como:

( )

2

2

2 '

2 ( ) ( ) ( )3

2 ( ) ( ) ( )323

r

f fa fb fc f f

f fa fb fc f f

jf fa fb fc f f m s f f m s f f

u u t au t a u t u ju

i i t ai t a i t i ji

a a L i L i L i L i e j

α β

α β

θα βφ φ φ φ φ φ−

⎡ ⎤= + + = +⎣ ⎦

⎡ ⎤= + + = +⎣ ⎦

= + + = + = + = +

(0.18)

Escribiendo las magnitudes rotóricas en una referencia fija ligada al estator quedan:



'

'

' '

r

r

r r

jf f fd fq

jf f fd fq

j jf f f f m s f f m s fd fq

u u e u ju

i i e i ji

e L i L i L i e L i j

θ

θ

θ θφ φ φ φ

= = +

= = +

= = + = + = +

(0.19)

A partir de estas definiciones, podemos expresar el modelo de la máquina síncrona empleando de nuevo las ecuaciones (0.1) a (0.4):

ss s s

du R idtφ

= + (0.20) '

' ' 'ff f f r f

du R i j

dtφ

ω φ= + − (0.21)

Los flujos magnéticos de ambos arrollamientos se pueden definir a partir de sus fasores espaciales. Para el arrollamiento estatórico:

( )223s sA sB sCa aφ φ φ φ= + + (0.22)

Si se sustituyen los términos de (0.3) en la ecuación (0.22), se obtendrá:

' rjs s s m f s s m fL i L i L i L i e θφ = + = + (0.23)

donde:

s s sL L M= − es la inductancia equivalente del estator. 32m sfL M= es la inductancia magnetizante.

'fi es la intensidad rotórica, referida a un sistema de referencia

estatórico. E igualmente sustituyendo la ecuación (0.4) se podrá expresar el fasor espacial del flujo rotórico como:

'f f f m sL i L iφ = + (0.24)

donde:

32m fsL M= es la denominada inductancia trifásica magnetizante.

'si es la intensidad estatórica, referida a un sistema de

referencia rotórico. Si se sustituyen las expresiones de los fasores espaciales de los enlaces de flujo en las ecuaciones (0.20) y posteriormente se expresan en forma matricial quedan:

' ' ' '

0 0 00

s s s ms s sr

f f m f m ff f f

u R L Li i id ju R L L L Li i idt

ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(0.25)



Expresando las ecuaciones (0.25) en función de sus componentes real e imaginaria, después de algunas manipulaciones obtendremos el mismo modelo alfa-beta expresado en (0.12). De igual manera, si referimos las magnitudes rotóricas al sistema de referencia ligado al rotor, ' rj

f fu u e θ−= y ' rjf fi i e θ−= , las ecuaciones (0.25) quedan:

0

0

r

r

js s s ss m

jf f f fm f

u R i iL L edu R i iL e Ldt

θ

θ−

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ (0.26)

y, descomponiendo igualmente en parte real e imaginaria obtendríamos de nuevo el modelo denominado modelo en ejes d,q, ya presentado con anterioridad en las ecuaciones (0.16).

2.2.4. ECUACIÓN DEL PAR. Por último se obtiene la ecuación del par electromagnético desarrollado por la máquina. Para obtener esta ecuación, se hace uso de que todos los sistemas tienden a tener la mínima energía almacenada, de forma que cuando una máquina gira, la energía mecánica desarrollada es numéricamente igual a la reducción de la energía magnética almacenada. De esta forma, el par se obtiene como la derivada de la energía magnética almacenada en la máquina respecto del ángulo girado, para una corriente constante. Para una máquina de p pares de polos se tiene:

[ ] [ ][ ]12

Te

d Lt p i i

dt= (0.27)

Aplicando la transformación de Park del apartado anterior, se podrá expresar el par electromagnético (te) como:

( ).e sd sq sq sdt p i iφ φ= − (0.28) Si en la ecuación (0.28) se sustituyen los valores de los flujos en función de las corrientes, se obtiene:

( ) 32e sd sq sd sf f sqt p L L i M i i

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥

⎣ ⎦ (0.29)

En esta expresión existen dos sumandos. El término ( )sd sq sd sqp L L i i− representa el par de reluctancia que tiende a alinear el rotor con el flujo total creado por el estator, y que es no nulo debido a la diferencia de inductancias directa y transversal por la

existencia de los polos salientes. El segundo término 32 sf f sqp M i i representa el par

síncrono desarrollado por la máquina debido a la interacción de los devanados estatórico y rotórico.



Para completar el modelo dinámico de la máquina, se deben incluir los fenómenos que describen el movimiento de rotor. Esto lo hacemos a través de la ecuación mecánica, que es la ecuación dinámica de las piezas móviles que giran alrededor del eje axial de la máquina. Esta relación se puede expresar de la siguiente manera:

( ), ,re l f r r

dt t J t tdtω ω θ− = + (0.30)

donde tl es el par de carga y J representa la inercia total del rotor. Por último tf es el par resistente de rozamiento que se compone de varios términos:

• Un rozamiento seco o de Coulomb, constante e independiente de la velocidad.

• Un rozamiento estático, sólo importante a velocidades bajas o nula. • Un rozamiento fluido (f ), que es proporcional a la velocidad. • Un rozamiento con el aire, debido generalmente al ventilador de

refrigeración. Una buena aproximación consiste en considerar el par de rozamiento proporcional a la velocidad, como un rozamiento fluido representado por la constante f en la ecuación (0.31):

re l r

dt t J fdtω ω− = + (0.31)

2.2.5. ECUACIONES APLICADAS A LA MÁQUINA SÍNCRONA DE POLOS SALIENTES Y ROTOR DEVANADO.

El esquema de la máquina síncrona de polos salientes y rotor devanado se presenta en la Figura. 2.6. No se ha considerado la existencia de devanados amortiguadores ya que su presencia añade un régimen asíncrono al funcionamiento normal de la máquina.

(a)

(b)

Figura. 2.6. Esquemas de la máquina síncrona de polos salientes y rotor devanado. (a) Referencias naturales de ambos devanados. (b) Devanados equivalentes en un sistema de referencia ligado al rotor

de la máquina.



A continuación se presentan las ecuaciones que forman el modelo empleado en las simulaciones para esta máquina.

2.2.5.1 ECUACIONES DE PARK. Ecuaciones de tensiones.

= + −

= + +

= +

sdsd s sd r sq

sqsq s sq r sd

ff f f

du R idt

du R i

dtd

u R idt

φω φ

φω φ

φ

(0.32)

Ecuaciones de flujos.

sd sd sd sf f

sq sq sq

f f f fs sd

L i M i

L i

L i M i

φ

φ

φ

= +

=

= +

(0.33)

Ecuación del par electromagnético.

( )= −e sd sq sq sdt p i iφ φ (0.34)

Para el par electromagnético pueden obtenerse varias expresiones, en función de los diferentes modelos empleados, que podrán ser útiles para el diseño del sistema de control.

En función del ángulo interno de la máquina (ángulo formado por los vectores de flujo estatórico y rotórico):

( ) ( ) ( )2 sin sin 22

se f sq s sq sd

sd sq

pt L L LL L

φ φ δ φ δ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ (0.35)

En función de los flujos de la máquina:

( ) ( )( ) ( )cos sine d f q s f st a b a bφ φ φ φ δ φ φ δ= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ (0.36)

donde:

2

1 f

q d f sf

La p

L L L M⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ (0.37)

2sf

d f sf

Mb p

L L M⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ (0.38)



2.2.6. ECUACIONES APLICADAS A LA MÁQUINA SÍNCRONA DE IMANES PERMANENTES.

En la Figura. 2.7(a) se muestra de forma esquemática una MSIP superficiales, mientras que en la Figura. 2.7.(b) se trata de una MSIP donde los imanes están dispuestos en el interior del rotor. La elección entre ambas formas constructivas suele venir dada por la velocidad de rotación de la máquina. La estructura donde los imanes permanentes se encuentran en el interior del rotor dota a la máquina de una mayor robustez y permite operaciones a velocidades superiores a las alcanzadas con la máquina de imanes superficiales. Como se ha explicado en la introducción del capítulo, para la máquina de imanes superficiales podremos considerar que el efecto de la saliencia de los imanes es despreciable, debido a que la permeabilidad relativa de los imanes es muy próxima a la del aire ≅1, y que por tanto las inductancias de los ejes directo y en cuadratura son iguales (Lsd=Lsq=Ls). Para el caso de la MSIP de imanes interiores la inductancia del eje en cuadratura es superior a la del eje directo (Lsq>Lsd).

N N

S

S

(a)

NN

NN

SS

SS

(b)

Figura. 2.7. Esquemas de MSIP (a) Imanes superficiales. (b) Imanes interiores.

Al no existir devanado de excitación en el MSIP, el flujo rotórico es creado por los imanes permanentes. Para su modelización, se puede considerar su efecto como el producido por una corriente de excitación constante (if) que generaría unos enlaces de flujo iguales a los creados por el imán (Φf). En este apartado se escribirán las ecuaciones obtenidas anteriormente, aplicadas a una Máquina Síncrona de Imanes Permanentes (MSIP) montados superficialmente.

2.2.6.1 ECUACIONES DE PARK. Las ecuaciones de la máquina en una referencia (d,q) se presentan a continuación: Ecuaciones de tensiones.



= + −

= + +

sdsd s sd r sq

sqsq s sq r sd

du R idt

du R i

dt

φ ω φ

φω φ

(0.39)


= + Φ

=sd s sd f

sq s sq

L i

L i

φ

φ (0.40)


( )= −e sd sq sq sdt p i iφ φ (0.41)

Al cumplirse que Lsd=Lsq=Ls, se podrán adaptar las expresiones del par electromagnético presentadas para la máquina de rotor devanado. De la ecuación (0.36):

sin= Φ = Φ = Φse f f sq f sq

s s

p pt p iL Lφ δ φ (0.42)

En esta última expresión se puede comprobar que, en este tipo de máquinas, el control del par electromagnético desarrollado por la máquina se puede hacer directamente a través de la corriente estatórica de eje transversal (isq).

2.2.6.2 ECUACIONES EN EL SISTEMA DE REFERENCIA LIGADO AL ESTATOR (ALFA-BETA).

Ecuaciones de tensiones.

sin

cos

= + − Φ

= + + Φ

ss s s s r f r

ss s s s r f r

diu R i Ldtdi

u R i Ldt

αα α

ββ β

ω θ

ω θ (0.43)


. cos

. sin

= + Φ

= + Φs s s f r

s s s f r

L i

L iα α

β β

φ θ

φ θ (0.44)


( ).= −e s s s st p i iα β β αφ φ (0.45)



Por último se muestra un diagrama de bloques en la Figura. 2.8 donde se pueden apreciar las relaciones existentes entre las diferentes variables del modelo de la máquina síncrona en una referencia (d,q).

+

-+

++

sdu

∫

∫

×

×

rω

squ

sR

sR

sdφ

sqφ-

--

1/ sL

1/ sL

fΦ

sqi

sdi

Figura. 2.8. Esquema de bloques con la relación entre las diferentes variables

en una referencia (d,q).

2.3. CONCLUSIONES DEL CAPÍTULO. Para realizar un control óptimo de las magnitudes electromagnéticas de la máquina síncrona es necesario disponer de un modelo matemático que la represente de forma precisa y fiable pero de forma no compleja. Las ecuaciones más comúnmente utilizadas (Modelo vectorial o de Park) se han obtenido en este capítulo a partir de dos aproximaciones diferentes. Por un lado desde la formulación matricial de las ecuaciones, a veces denominado teoría generalizada de la máquina; y por otro lado a partir de la formulación en forma de vectores espaciales, descritos en el plano complejo. Ambos métodos han sido desarrollados partiendo de las mismas hipótesis realizadas sobre la máquina. En realidad se han empleado dos notaciones diferentes para describir los mismos fenómenos físicos presentes en la máquina síncrona. Para la obtención de los modelos finales se ha partido de una máquina síncrona de polos salientes y rotor devanado (Lsd > Lsq) y, a partir del modelo de la misma, se ha llegado al modelo de la MSIP donde Lsd = Lsq = Ls . Este último motor se puede considerar como un caso particular del primero. En el Capítulo 5, donde se presenta la teoría de observadores aplicada en este trabajo, se representarán las ecuaciones de la máquina síncrona siguiendo una formulación de estado. Esta formulación puede ser deducida directamente a partir de las ecuaciones presentadas en este capitulo. A lo largo de este trabajo de tesis se presentarán resultados de simulaciones y experimentales realizados sobre una máquina síncrona de imanes permanentes superficiales cuyas características serán detalladas en el capítulo 6. No obstante, el



método de control desarrollado para este trabajo de tesis, el control DTC a frecuencia constante que será presentado en el capítulo 4, es muy fácilmente aplicable a una máquina síncrona de rotor devanado. Además el control híbrido, presentado en el apartado 4.4. ha sido aplicado tanto a una MSIP como a una máquina síncrona de rotor devanado, cuyas ecuaciones se han formulado en el presente capítulo.

modelo de la máquina síncrona - insa de...

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