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MODELINGINSTRUCTION:UMEPISÓDIOARGUMENTATIVOSOBREÁREADORETÂNGULO
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EdnilsonSouza
UniversidadeFederaldoOestedoPará
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MODELING INSTRUCTION: UM EPISÓDIO ARGUMENTATIVO
SOBRE ÁREA DO RETÂNGULO
Ednilson Sergio Ramalho de Souza
Universidade Federal do Oeste do Para-UFOPA.
Adilson Oliveira do Espírito Santo
Universidade Federal do Pará-UFPA.
Resumo:
A Modeling Instruction consiste de uma didática de modelagem desenvolvida nos anos 1980 pelo físico-
educador David Hestenes e que tem recebido grande aceitação por parte de educadores norteamericanos de
matemática e de ciências. O objetivo dessa didática é promover a reformulação de modelos mentais
incoerentes quando adequadamente coordenados a modelos conceituais, ou seja, modelos matemáticos e
modelos científicos. Focaliza a argumentação científica colaborativa mediada por pequenos quadros
brancos (whiteboards) que favorecem o compartilhamento de pensamentos e de ações. Analisar um
episódio argumentativo sobre área do retângulo por meio da didática hestenesiana é o objetivo principal
deste texto. Os sujeitos da pesquisa foram treze futuros professores de um curso de licenciatura integrada
em matemática-física de uma universidade do oeste paraense. Realizamos abordagem qualitativa do tipo
estudo de caso. A questão de pesquisa foi saber: como a argumentação científica com apoio de whiteboards
pode favorecer a compreensão de fundamentos matemáticos sobre área do retângulo? Os resultados
evidenciam potencialidades para aprendizagem em matemática por meio do movimento argumentativo
colaborativo mediadas por múltiplas representações.
Palavras-chave: Modeling Instruction. Argumentação Científica. Ensino de Matemática.
Introdução
Desenvolvida nos anos 1980 por um grupo de pesquisa liderado pelo físico-
educador David Orlin Hestenes, conforme a AMTA1 (2017), a Modeling Instruction2 tem
recebido grande aceitação por parte de educadores em ciências e em matemática de
diversos países, a exemplo do Canadá e do Japão. Embora não seja muito conhecida aqui
no Brasil, pesquisas nos últimos trinta anos apontam que ela pode ser considerada eficaz
para promover a aproximação de modelos mentais incoerentes com os modelos
considerados científicos (WELLS, 1987; HALLOUN e HESTENES, 1987; WELLS,
1 American Modeling Teachers Association: http://modelinginstruction.org/.
2 No decorrer do texto, usaremos a sigla MI para o termo em língua inglesa Modeling Instruction. Evitamos
a tradução para o Português para não correr o risco de significados equivocados.
X CNMEM – Conferência Nacional sobre Modelagem na Educação Matemática Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira: história, atualidades e projeções.
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HESTENES, SWACKHAMER, 1995; DESBIEN 2002; BREWE, 2008; JACKSON,
DUKERICH e HESTENES, 2008: BREWE, KRAMER, O’BRIEN, 2009;
HEIDEMANN, ARAÚJO e VEIT, 2012; DYE et all., 2013; KILPELA, 2013;
DITMORE, 2016; EZEQUIEL, 2016).
Nosso objetivo principal é analisar um episódio argumentativo sobre área do
retângulo com uso da MI. Especificamente, objetivamos: analisar um ciclo de modelagem
sobre área do retângulo; avaliar fatores potencializadores e fatores limitantes da
argumentação científica mediada por whiteboards3; levantar implicações para o ensino
de matemática. A questão diretriz de pesquisa foi saber: como a argumentação científica
com apoio de whiteboards pode favorecer a compreensão de fundamentos matemáticos
sobre área do retângulo? Para isso, realizamos abordagem predominantemente qualitativa
do tipo estudo de caso (CRESWELL, 2014). A Análise textual discursiva (MORAES e
GALIAZZI, 2016) apontou lacunas sobre fundamentos matemáticos subjacentes ao uso
da equação 𝐴 = 𝑏𝑥ℎ, sugerindo que o processo de argumentação mediada por modelos
conceituais expressos por múltiplas representações pode reverter tais lacunas e favorecer
a aprendizagem em matemática.
Na próxima seção, aprofundaremos discussões metodológicas sobre a MI,
especificamente, sobre o ciclo de modelagem e sobre o discurso de modelagem. Em
seguida, faremos análise de um episódio argumentativo durante o cálculo da área de um
retângulo. Finalizaremos apontando possíveis implicações da MI para o ensino brasileiro
de matemática.
Modeling Instruction
A MI é uma didática com pressupostos epistemológicos advindos da Teoria da
Modelagem (HESTENES, 1987; 2006; 2010; 2015), uma teoria cognitiva que procura
relacionar o mundo conceitual, o mundo mental e o mundo real para orientar práticas de
modelagem e planejamento curricular em ciências e em matemática. A Teoria da
Modelagem confere à MI forte fundamentação metodológica, especialmente a partir de
duas técnicas complementares com eficácias comprovadas: o ciclo de modelagem
(WELLS, 1987) e o discurso de modelagem (DESBIEN, 2002).
3 Whiteboards são quadros brancos portáteis de aproximadamente 70 cm x 70 cm nos quais registram-se
modelos conceituais que servem para nortear argumentações científicas.
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Ciclo de modelagem
De maneira geral, um ciclo de modelagem pode ser organizado em dois
momentos: o desenvolvimento do modelo e a aplicação (ou implementação) do modelo.
Figura 1 – Estrutura de um ciclo de modelagem.
Fonte: Elaboração nossa (2017).
O desenvolvimento do modelo pode ser planejado em três ações: 1) discussão do
tema; 2) laboratório de investigação e 3) sessão de whiteboard. O tema a ser modelado
pode ser de diferentes naturezas: um experimento de laboratório ou experimento de baixo
custo financeiro, uma situação da realidade, uma simulação computacional etc. Após a
escolha do tema, é necessário problematizá-lo com o objetivo principal de evidenciar
variáveis e constantes, ou seja, grandezas científicas que se inter-relacionam e que
comporão o futuro modelo conceitual. Hestenes (1987) argumenta que a discussão de um
tema é orientada por alguma teoria científica, pois é a teoria que especifica quais tipos de
objetos e de propriedades podem ser modelados e quais tipos de modelos podem ser
desenvolvidos. Algumas perguntas podem nortear a discussão do tema: quais grandezas
estão variando no sistema? Quais grandezas permanecem constantes? Quais grandezas
afetam outras grandezas? Hestenes (2010) propõe que na fase de descrição sejam
evidenciados os cinco tipos de estruturas universais dos modelos, a saber: estrutura
sistêmica, estrutura geométrica, estrutura descritiva, estrutura de interação e estrutura
temporal. Por fim, define-se uma questão de modelagem a ser investigada por toda a
classe.
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Definida a questão de modelagem, a classe é organizada em grupos colaborativos
para dar início ao laboratório de investigação. A palavra laboratório não deve ser
entendida como um ambiente fechado cheio de equipamentos técnicos, mas um momento
em que serão planejadas e realizadas atividades que envolverão a observação de campo,
a experimentação, a prática de determinada arte ou habilidade, enfim, os erros e os
acertos. O trabalho com grupos é importante para gerar uma comunidade de
aprendizagem (DESBIEN, 2002), pois nos debates intergrupos e intragrupos é que a
maior parte das aprendizagens ocorre. O normal é que cada grupo contenha de três a cinco
componentes.
A questão de modelagem orienta a produção e representação de dados qualitativos
e dados quantitativos pelos próprios estudantes. Isso envolve discussões para o
planejamento de procedimentos necessários e o levantamento de informações em fontes
diversas (internet, livros, entrevistas, visitas de campo, experimentos). O produto do
laboratório de investigação é um conjunto de informações que devem ser logicamente
organizadas em um modelo conceitual fazendo-se uso de múltiplas inscrições simbólicas
(verbal escrita, algébrica, diagramática, gráfica), de modo a subsidiar respostas à questão
de modelagem. Os modelos conceituais são registrados nos whiteboards,
preferencialmente, utilizando-se marcadores de texto de diferentes cores. Desse modo,
cada whiteboard organiza um modelo (ou parte dele) que será defendido e discutido
coletivamente pela classe.
Na primeira sessão de whiteboard, as equipes apresentam seus modelos
conceituais e justificam procedimentos e pensamentos. O professor assume a importante
tarefa de orientar os discursos dos estudantes de maneira a fazer com que insiram suas
justificativas em teorias e em leis científicas, sendo que os modelos conceituais servem
de âncoras para tal inserção. Isso possibilita que os estudantes associem seus modelos
mentais às inscrições simbólicas ao interpretá-las cientificamente em meio a explicações,
justificativas e previsões. Esse processo de argumentação científica com apoio expresso
de múltiplas representações pode favorecer à reformulação de modelos mentais
incoerentes. Conforme os modelos vão sendo compartilhados pelos grupos, as discussões
entre os pontos convergentes e os pontos divergentes permitem compreensão comum
sobre a estrutura epistêmica dos modelos conceituais.
Conforme a Figura 1, a aplicação do modelo pode ser planejada em três ações: 4)
resolução colaborativa; 5) sessão de whiteboard e 6) avaliação. Esse momento inicia com
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a discussão de problemas cuidadosamente escolhidos com foco no interesse pedagógico
da disciplina e que suscitem a estrutura epistêmica do modelo conceitual recém
desenvolvido pelos grupos. Importante ressaltar que não se trata de uma lista longa de
exercícios, mas preza-se pela qualidade de poucos problemas a serem resolvidos de
maneira colaborativa para alcançar os assuntos de interesse pedagógico.
Os problemas de aplicação são importantes porque os estudantes aprofundam
compreensões ao ramificarem o modelo conceitual na análise de aspectos matemáticos e
de interpretações científicas. Hestenes (1987) sublinha que a ramificação é um processo
principalmente matemático e é importante para se trabalhar propriedades e implicações
especiais do modelo conceitual. Por exemplo, equações são resolvidas para determinar
trajetórias com várias condições iniciais, resultados são representados e analisados
analiticamente e graficamente. Quando existe necessidade e condições apropriadas, o
modelo ramificado é validado pela avaliação empírica, em alguns casos, a validação
envolve refinados experimentos de laboratório.
As soluções dos problemas de aplicação geram relatórios escritos. Neles, as
equipes organizam suas respostas ao sistematizarem os procedimentos realizados e
apresentarem discussões críticas sobre os problemas. Em nova sessão de whiteboard,
cada equipe defende suas resoluções e justificam procedimentos e pensamentos.
Novamente, o professor assume a importante tarefa de orientar os discursos dos
estudantes de modo a fazer com que insiram suas justificativas em teorias e leis
científicas. Conforme as soluções dos grupos vão sendo compartilhadas e refinadas, a
estrutura epistêmica do modelo conceitual ganha novos significados que favorecem
transferências cognitivas para situações diversas.
A avaliação é formativa durante todo o ciclo de modelagem, mas o professor pode
checar de alguma maneira a aprendizagem individual dos estudantes e decidir em resolver
outros problemas de aplicação ou iniciar um novo ciclo para o estudo de outro campo
conceitual. Nesse sentido, temos utilizado portfólios de aprendizagem e alcançado bons
resultados avaliativos. Ambrósio (2013) argumenta que o portfólio consiste de uma
coleção de trabalhos realizados pelos estudantes que permite acompanhar seus
desenvolvimentos por meio de diferentes formas de análise, avaliar, executar e apresentar
produções desencadeadas de ações de ensino e de aprendizagem desenvolvidas num
determinado tempo-espaço. Nesse processo, o estudante guarda suas produções,
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produções essas que vão mostrar pistas, evidências, vestígios dos conceitos, fatos,
procedimentos, atitudes desenvolvidas durante um tempo mediado pelo docente.
No decorrer de um ciclo de modelagem, é essencial que o professor possua
habilidades para gestão argumentativa em sala de aula, é o chamado discurso de
modelagem.
Discurso de modelagem
Uma pesquisa de doutorado desenvolvida por Dwain Desbien (2002) mostrou que
somente desenvolver e aplicar modelos conceituais sem que o professor promova
situações argumentativas em que os estudantes possam discutir sobre conhecimentos
factuais, conhecimentos procedimentais, conhecimentos epistemológicos resulta em
ganho de aprendizagem no FCI4 considerado baixo. Por outro lado, a presença de
processos argumentativos em ambiente de ensino sem que ocorra construção e aplicação
de modelos conceituais resulta em ganho de aprendizagem igualmente baixo no FCI. Em
vista disso, o autor chegou à conclusão de que é imprescindível que o professor possua
alguns conhecimentos específicos para gerir situações argumentativas em ciclos de
modelagem.
Tais conhecimentos fazem parte do que se tem chamado de discurso de
modelagem. O objetivo do discurso de modelagem é motivar os estudantes na criação de
interações dialógicas em sala de aula. Consultando a literatura, é possível identificar dois
tipos básicos de discursos de modelagem: a gestão socrática (referente ao modo como o
filósofo Sócrates aplicava sua dialética) e a gestão desbieniana (idealizada por Dwain
Desbien).
Na gestão socrática, o professor induz situações argumentativas ao questionar
diretamente pequenos grupos colaborativos ou mesmo a classe toda, o discurso principal
geralmente é do tipo professor ↔ estudantes. Nesse tipo de discurso, o professor assume
a função de conduzir argumentações por meio de questionamentos e de problematizações,
ele assume a função de lançar diretamente perguntas para os grupos ou para toda a classe.
Embora seja o mais comum em ciclos de modelagem, nesse tipo de discurso a interação
intergrupos precisa ser continuamente estimulada. Nesse tipo de gestão, o professor toma
4 Force Concept Invetory, um teste de múltipla escolha mundialmente utilizado contendo trinta questões
cujo objetivo é avaliar o ganho de aprendizagem em mecânica newtoniana.
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parte como ator principal do discurso ao direcionar questionamentos aos grupos, que
raramente interagem entre si (Figura 2, esquerda).
Figura 2 – Gestão socrática (esquerda) vs Gestão desbieniana (direita).
Fonte: Elaboração nossa (2017).
Por outro lado, na gestão desbieniana, o professor “orbita” o processo discursivo,
que focaliza principalmente as interações estudante ↔ estudante. Nesse caso, as
perguntas partem dos próprios grupos em direção a outros grupos ou em direção a toda a
classe, ou seja, os próprios grupos ficam responsáveis por induzir argumentações
científicas por meio de questionamentos (Figura 2, direita). Isso não quer dizer que o
professor é passivo no andamento do discurso intergrupos, ao contrário, ele é ativo no
sentido de “semear” ideias em determinados grupos, ideias que serão transformadas em
questionamentos geradores de argumentação. Além disso, o professor usa seu
conhecimento disciplinar para oferecer ferramentas de modelagem, atividades, materiais
de apoio, terminologias científicas.
Importante frisar que, na gestão desbieniana, o professor desloca-se da posição de
ator principal do discurso para a posição de ator coadjuvante ao interagir indiretamente
com comunidade de aprendizagem. Isso faz com que o discurso fique focalizado nos
próprios grupos colaborativos, que aumentam o nível interacional e formam uma
comunidade de aprendizagem que se fortalece com o tempo.
Um episódio argumentativo sobre área do retângulo
Na presente seção, nossa intenção é entender como a argumentação científica com
apoio de whiteboards pode favorecer a compreensão de fundamentos matemáticos sobre
área do retângulo. Elaboramos uma atividade de MI cujo objetivo foi desenvolver um
modelo conceitual para avaliar a produção de lixo de papel na escola e discutir sobre a
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necessidade de utilizar outros recursos em substituição ao material impresso. A atividade
foi aplicada no primeiro semestre do ano de 2016 durante uma disciplina de Estágio I em
Física ministrada pelo primeiro autor deste artigo para uma turma do PARFOR (Programa
Nacional de Formação de Professores) no município de Almeirim, oeste do estado do
Pará, norte do Brasil. Os sujeitos da pesquisa foram treze acadêmicos de um curso de
licenciatura integrada em matemática-física de uma universidade federal brasileira.
Para produção de dados, realizamos um ciclo de modelagem conforme Figura 1.
As falas dos sujeitos durante a sessão de whiteboards foram tratadas de acordo com regras
de transcrição de Carvalho (2006). Realizamos, portanto, uma pesquisa qualitativa do tipo
estudo de caso (CRESWEEL, 2014) com procedimentos interpretativos apoiados na
análise textual discursiva (MORAES e GALIAZZI, 2016).
Para avaliar o grau de complexidade dos argumentos, as transcrições foram
esquadrinhadas a partir do layout de argumentação de Toulmin (2006), como ilustrado na
figura que segue.
Figura 3 - Layout geral de argumento.
Fonte: Toulmin, 2006 (p. 150).
Esse esquadrinhamento foi necessário para identificar as falas quanto ao grau de
estruturação em argumento elementar, argumento básico ou argumento avançado.
Consideramos que uma estrutura argumentativa elementar possui apenas os dados (D),
garantias (W) e conclusões (C). Uma estrutura argumentativa básica, além desses três,
apresenta qualificadores (Q) e/ou condições de refutação (R). Já uma estrutura
argumentativa avançada acrescenta a esses elementos um apoio (B) às justificativas.
Detectado o grau de estruturação argumentativa, as falas dos sujeitos foram
interpretadas por meio de análise textual discursiva. A análise compreendeu três
instâncias: a unitarização, a categorização e o metatexto. Num primeiro instante, da
unitarização, houve identificação dos elementos de significado em cada fragmento de
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análise. Num segundo instante, houve percepção de significados e sentidos com relação
ao conceito de área do retângulo, possibilitando gerar categorias de dois tipos:
pensamento de senso comum e pensamento com cientificidade. Num terceiro instante, foi
elaborado um metatexto com os resultados dos passos anteriores.
Quadro 1 – Episódio argumentativo: área do papel.
Turno Verbal Ação/gestos
2
(02'15'') PC
5: Lembrando lá da geometria... desenhei uma folha... a unidade que
dava... dava em milímetros... e eu transformei logo para metros... então
duzentos e dez milímetros equivale a zero virgula vinte e um metros...
que era altura da folha... ou a largura... nesse caso aqui o comprimento
que seria igual à base... dava duzentos e noventa e sete milímetros... eu
transformei para zero vírgula duzentos e noventa e sete metros... então
aí... eu calculei a área de uma folha... a área de uma folha é igual à base
vezes a altura... que é um retângulo... calculei uma área medida em metros
quadrados... por isso que eu fiz aquelas transformações antes... então zero
vírgula vinte e um vezes zero vírgula duzentos e noventa e sete é igual a
zero vírgula zero seiscentos... seis mil... seis mil duzentos e trinta e sete
metros quadrados... ou zero vírgula zero seis aproximadamente... só que
eu não usei essa aproximação... depois... eu usei a proporção... que a
informação que tinha lá... na capa do negócio lá ((PC se refere à
gramatura da folha de papel A4) dizia que setenta e cinco gramas por
metro quadrado... aí logo veio uma dúvida antes de eu resolver isso eu
via aqui... quanto era que valia... quantas folhas eu formaria um metro...
então eu peguei um metro e dividi pela área de uma folha... então para
mim formar um metro de um/ um metro quadro dessas folhas de papel a
quatro eu usaria aproximadamente dezesseis folhas... que é o que ia
ser/equivaler a essa ((incompreensível))... então eu joguei da proporção
setenta e cinco gramas está para um metro assim como o valor da massa
de uma folha está para a área de uma folha... multipliquei os meios pelos
extremos... e achei o valor em grama... a massa de uma folha é quatro
vírgula seis... aproximadamente... gramas... aí como eu precisava achar o
peso... eu transformei essa grama para quilograma... ficou zero vírgula
zero quatro meia sete sete cinco... gramas... aí eu achei o peso... para achar
o peso... nós sabemos que o peso é a massa vezes a gravidade... então eu
queria achar apenas de uma folha... então a massa de uma folha... que é
isso aqui que foi encontrado vezes a gravidade que é dez... então a massa
de uma folha é zero vírgula zero quatro seis sete cinco... sete sete cinco...
Aponta para o
whiteboard.
Aponta para o
valor da massa
no whiteboard.
3
(5'02'')
Professor-pesquisador: Alí em cima por que que você transformou para
metros?
Aponta para a
parte superior do
whiteboard.
4
(5’06’’)
PC: Aqui... por que... a área é medida em metros quadrados... então por
isso que eu transformei essa informação... para facilitar o cálculo...
Aponta para a
parte superior
do whiteboard.
5
(5’16’’)
Professor-pesquisador: E como foi que você fez para calcular a área?
6
(5’18’’)
PC: A área... base vezes altura...
7
(5’22’’)
Professor-pesquisador: E da onde você tirou essa informação bases vezes
altura?
8
(5’28’’)
PC: Tá aqui na imagem que é um retângulo... cálculo da área de um
retângulo... é a base vezes a altura...
Aponta para o
whiteboard.
9 EF: Por causa do/da embalagem né...
5 Para manter o anonimato, usaremos algumas iniciais dos nomes dos sujeitos participantes.
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(5’35’’)
10
(5’40’’)
LC: O formato da folha...
11
(5’44’’)
Professor-pesquisador: Se não fosse retângulo?
12
(5’48’’)
PC: Se fosse um triângulo teria que usar outra fórmula... se fosse um/uma
circunferência... pi erre ao quadrado...
Fonte: Dados da pesquisa de campo (2016).
No quadro acima, apresentamos um episódio argumentativo que vai do turno 2 ao
turno 12 e que será nosso objeto de análise. No turno 2, verifica-se que, a partir dos dados
presentes no whiteboard, o sujeito PC concluiu que a área de uma folha de papel é
proximamente igual a 0,06 m². Conclusão justificada na garantia de que, sendo a folha
em forma de retângulo, para encontrar tal valor ele multiplicou o valor da base, 0,21 m,
pelo valor da altura, 0,297 m. Além disso, concluiu que a massa de apenas uma folha de
papel corresponde a 4,6 g, justificando que tal valor foi calculado ao aplicar a proporção
direta obtida da gramatura do papel A4 (75g/m²). Por fim, PC concluiu que o peso de uma
folha de papal A4 corresponde a aproximadamente 0,04 N, cuja garantia para esta
afirmação foi que o peso foi calculado multiplicando-se a massa da folha de papel em
quilogramas pela aceleração da gravidade local, ou seja: 0,004 kg x 10 m/s². Além disso,
verifica-se que PC apresentou o qualificador “aproximadamente” para suas afirmações,
contudo, não apresentou condições de refutação ou apoio científico para o uso da equação
𝐴 = 𝑏 𝑥 ℎ.
Na Figura 4 a seguir, utilizamos o layout geral de Toulmin (2006) para estruturar
o argumento de PC. Interessante frisar que o discurso de MS foi passível de ser
estruturado em um argumento do tipo DCWQ, portanto, podendo ser considerado um
argumento básico coerente. A presença do whiteboard no movimento argumentativo de
PC pode ter contribuído para gerar um argumento estruturalmente coerente, pois o
whiteboard serviu de foco para o desenvolvimento do raciocínio. A todo momento, PC
recorria às informações contidas nas inscrições simbólicas e as transformava em
afirmativas ou dados do argumento. Percebe-se que o discurso argumentativo de PC teve
origem nas inscrições simbólicas registradas no whiteboard, isso significa que essas
inscrições podem ter sido associadas a modelos mentais coerentes que apoiaram um
raciocínio argumentativo igualmente coerente.
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Figura 4 - Estrutura DCW do argumento do sujeito PC.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Consideramos razoável pensar que tal coerência argumentativa pode estar
relacionada, ao menos em parte, à presença ostensiva do whiteboard no movimento
argumentativo. A ostensividade das inscrições simbólicas registradas no whiteboard foi
essencial para apoiar o raciocínio de PC no processo argumentativo. Denota-se, portanto,
a importância dessas inscrições como influenciadoras de modelos mentais. Para entender
tal influência na perspectiva da teoria hestenesiana, é necessário compreender um modelo
conceitual como um modelo mental coordenado a inscrições simbólicas (HESTENES,
2015). Nessa visão, “a justificativa de raciocínio baseado em modelo requer a tradução
de modelos mentais em inferências a partir de modelos conceituais que podem ser
compartilhados publicamente” (HESTENES, 2015, p. 13, tradução nossa). Ou seja, o
sujeito PC elaborou seu argumento na medida que traduziu seu modelo mental em
inferências apoiadas nas inscrições simbólicas presentes no whiteboard. Isso sugere que
a qualidade de um argumento, ou seja, sua potência justificatória depende da capacidade
de o sujeito associar modelos mentais a inscrições simbólicas no processo discursivo.
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Por outro lado, um fator que parece ser limitante ao movimento argumentativo no
decorrer da sessão de whiteboard diz respeito ao fundamento matemático para justificar
as afirmações e conclusões. À primeira vista, por ter elaborado um modelo conceitual
funcional para analisar o problema do cálculo da área da folha de papel, poderíamos ficar
satisfeitos com as respostas apresentadas por PC. Contudo, a estrutura básica DCWQ do
seu argumento contendo apenas dados, conclusões, garantias e qualificadores revela que
é necessária a ação pedagógica no discurso de modelagem para evidenciar os apoios
científicos (B) subjacentes aos procedimentos realizados e passar para um argumento
estruturalmente avançado.
Nessa ótica, no trecho que vai do turno 3 ao turno 12 no episódio argumentativo
transcrito no Quadro 1, verifica-se o estabelecimento um discurso socrático entre o
professor e três estudantes cujo objetivo foi evidenciar o apoio científico subjacente ao
uso da equação 𝐴 = 𝑏𝑥ℎ usada no cálculo da área da folha de papel. Ao questionar como
foi mesmo que você fez para calcular a área da folha de papel? nossa intenção foi revelar
o fundamento matemático dessa equação. Contudo, ficou evidente nas respostas
apresentadas que os sujeitos possuíam modelos mentais de senso comum que associavam
o cálculo de áreas predominantemente ao formato da superfície da folha de papel ao
apresentarem respostas do tipo: multipliquei a base vezes a altura...; pela imagem dá para
saber... pois é um retângulo e a área de um retângulo é calculada multiplicando-se a
base vezes a altura...; professor... nesse caso... o formato da folha indica que a área pode
ser calculada dessa maneira... Ou seja, nenhum estudante envolvido no episódio
argumentativo indicou outra maneira de obter a equação para o cálculo da área, por
exemplo, desenhando-se um retângulo subdividido em grade e estabelecendo-se relações
entre o número de grades e a área total do retângulo maior, o que poderia levar à
compreensão do fundamento matemático da equação.
A análise textual discursiva revelou duas categorias de modelos mentais:
pensamento com cientificidade para calcular corretamente a área da folha de papel e
pensamento de senso comum para justificar o cálculo da área. Infere-se que os
pensamentos de senso comum dos sujeitos precisavam ser enriquecidos com elementos
científicos. A ausência de apoio científico para justificar o uso da equação sugere que os
sujeitos sabiam operacionalizá-la, mas não possuíam modelos mentais capazes de
estabelecer fundamentos matemáticos apropriados para tal operação. Portanto, o
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movimento argumentativo mostrou-se importante para favorecer o enriquecimento e
reformulação de modelos mentais.
Considerações finais
Nosso objetivo nesse artigo foi analisar um episódio argumentativo sobre área do
retângulo com uso de whiteboards. Esperamos ter alcançado, ao menos parcialmente, tal
objetivo, posto que passaremos a levantar algumas implicações da pesquisa para o ensino
de matemática.
A primeira implicação diz respeito à necessidade de inclusão dos whiteboards nas
ações pedagógicas em aulas de matemática. Vimos que, a todo momento, os sujeitos da
pesquisa apontavam para seus whiteboards para interpretar informações contidas nas
inscrições simbólicas, transformando-as em afirmativas ou conclusões dos argumentos.
Nesse ponto, o ciclo de modelagem e o discurso de modelagem são importantes como
ferramentas pedagógicas para o professor de matemática que queira planejar suas aulas
visando aprendizagem de conceitos matemáticos em ambiente de MI.
Outra implicação foi o fato de que os sujeitos operacionalizavam majestosamente
as equações e obtinham resultados aceitáveis para o valor da área da folha de papel.
Contudo, ao serem questionados sobre garantias científicas que autorizavam o uso dessas
equações, eles mostraram possuir modelos mentais incompletos que associavam as
equações predominantemente ao formato retangular da folha de papel. Tal constatação
mostrou que o trabalho pedagógico do professor em suscitar justificativas para as
conclusões dos estudantes, justificativas essas apoiadas em apoios científicos, pode ser
um bom caminho para “fazer surgir” fundamentos matemáticos subjacentes às inscrições
simbólicas utilizadas pelos sujeitos em aulas de matemática.
Em nossa despedida, esperamos apenas ter lançado sementes no terreno da
Modeling Instruction e convidamos outros pesquisadores a germiná-las para que, no
futuro, possamos colher bons frutos para o ensino brasileiro de matemática.
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Agradecemos à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)
pela bolsa Prodoutoral-UFOPA.
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