Outline

Modelianje preferencija investitora nahrvatskom trzistu kapitala: trzisna cijena rizika

volatilnosti

Petra PosedelKatedra za matematiku i statistiku

Zagrebacka skola ekonomije i managementa

8. konferencija Fondovske industrije24. konferencija Zagrebacke burze

Rovinj, 15-18.10.2014.

October 15, 2014

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Outline

Outline

1 Trzisna cijena volatilnosti od volatilnosti

2 Nelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

3 Ekonometrijska procjena modela

4 Zakljucci i daljnje smjernice

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Outline

Outline

1 Trzisna cijena volatilnosti od volatilnosti

2 Nelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

3 Ekonometrijska procjena modela

4 Zakljucci i daljnje smjernice

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Outline

Outline

1 Trzisna cijena volatilnosti od volatilnosti

2 Nelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

3 Ekonometrijska procjena modela

4 Zakljucci i daljnje smjernice

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Outline

Outline

1 Trzisna cijena volatilnosti od volatilnosti

2 Nelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

3 Ekonometrijska procjena modela

4 Zakljucci i daljnje smjernice

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Empirijska istrazivanja pokazuju da:

potreba za modeliranjem drugog momenta vremenskeserije odnosno volatilnostivolatilnost prinosa vremenskih nizova za vecinu financijskihinstrumenata nije konstantnaefekt poluge(engl. leverage effect)odluka investitora o ulaganju ovisi o njegovimpreferencijama prema riziku volatilnosti, odnosno premariziku znacajnih odstupanja cijene financijskoginstrumenta od njegove prosjecne vrijednosti

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Empirijska istrazivanja pokazuju da:

potreba za modeliranjem drugog momenta vremenskeserije odnosno volatilnostivolatilnost prinosa vremenskih nizova za vecinu financijskihinstrumenata nije konstantnaefekt poluge(engl. leverage effect)odluka investitora o ulaganju ovisi o njegovimpreferencijama prema riziku volatilnosti, odnosno premariziku znacajnih odstupanja cijene financijskoginstrumenta od njegove prosjecne vrijednosti

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Empirijska istrazivanja pokazuju da:

potreba za modeliranjem drugog momenta vremenskeserije odnosno volatilnostivolatilnost prinosa vremenskih nizova za vecinu financijskihinstrumenata nije konstantnaefekt poluge(engl. leverage effect)odluka investitora o ulaganju ovisi o njegovimpreferencijama prema riziku volatilnosti, odnosno premariziku znacajnih odstupanja cijene financijskoginstrumenta od njegove prosjecne vrijednosti

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

U prvih 8 mjeseci je volatilnost bila x%

Kolika ce volatilnost biti do kraja godine?

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Poveznica volatilnosti dionickog trzista i poslovnogciklusa

Trziste zahtjeva premije za rizike kako bi se nosilo sarizikom od fluktuacija u volatilnosti financijskog instrumentaod interesa (dionice, npr.)Razina i fluktuacije volatilnosti dionickog trzista su uvelikeobjasnjene faktorima poslovnog ciklusasvejedno, neki neopazeni faktori doprinose oko 20%sveukupnoj varijaciji u volatilnostiParalelno tome, takav neopazeni faktor ne moze objasnitiuspone i padove volatilnosti kroz vrijeme - volatilnostvolatilnosti

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Dakle, volatilnost volatilnosti je povezana sa poslovnimciklusom

Premije za rizik volatilnosti (volatilnost volatilnosti) su:strogo kontraciklicne, odnosno suprotnog smjera odekonomskog trenda, cak vise od volatilnosti samih dionicadjelomicno odgovorne za velike promjene u indeksuvolatilnosti koje su se dogodile tokom 2007-2009

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Premija za volatilnost volatilnosti odnosnoinvestitorova averzija prema riziku

Postavlja se pitanje ”Koliko su investitori spremni platitikako bi se zastitili od buducih porasta volatilnosti povratana osnovni instrument? ”Tu cijenu nazivamo trzisnom cijenom rizika volatilnosti

ujedno predstavlja i cijenu rizika koji proizlazi iz drzanjaopcije(...)

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Kako modelirati povrate i volatilnosti povrata?

Modeli stohasticke volatilnostisastoje se od dvije stohasticke diferencijalne jednadzbe, odkojih jedna modelira kretanje povrata na dionicu, a drugakretanje volatilnosti

Postoje dva izvora slucajnosti; u takvim modelima trzistenije potpunoKada bi trziste bilo potpuno, rizik drzanja opcije mogao bise u potpunosti hedgirati formiranjem dinamickog porfeljakoji se sastoji od pozicije u dionici na koju je pisana taopcija i pozicije u novcutrzisna cijena rizika volatilnosti bila bi jednaka nuli

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Nepotpunost trzista u modelima SV

Posljedica toga sto ne postoji financijski instrument kojimozemo koristiti za zastitu od rizika volatilnosti

Vrednovanje opcija ovisi o preferencijama investitora premariziku volatilnosti pa je samim time potrebno odrediti trzisnucijenu volatilnosti od volatilnosti

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Financijske izvedenice i modeli SVNeka empirijska istrazivanja pokazala su da modeli SV kojiomogucuju trzisnu cijenu rizika volatilnosti razlicitu od nule boljevrednuju opcije od ostalih modela

Empirijski je pokazano da je trzisna cijena rizika volatilnostirazlicita od nule, te da se mijenja s vremenom

Negrea (2008) je za vrednovanje trzisne cijene rizikavolatilnosti koristio funkciju korisnosti i ustanovio da se uperiodu od 2006 do kraja 2007 trzisna cijena rizika volatilnostiza CAC 40 indeks kretala u intervalu od 2-5%

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Na svjetskim trzistima provedeno je vise istrazivanja na temuodredivanja trzisne cijene rizika volatilnosti

Rezultati ovise o pristupu za utvrdivanje trzisne cijene rizikavolatilnosti i njezino vrednovanje

promatraju se razlike izmedu implicitne volatilnostidobivene iz cijena opcija (VIX indeks) i volatilnosti opazenena trzistuutjecaj makroekonomskih faktora

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Relevantne velicine za investitore su prinosi te se u tu svrhu zamodeliranje financijskih vrmenskih nizova koriste logaritamskipovrati/prinosi, odnosno razlike logaritama zakljucnih cijena Ctu periodu jednog dana,

Pt+1 = ln(Ct+1)− ln(Ct )

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Kakva je situacija na hrvatskom trzistu kapitala?

U Hrvatskoj se trenutno ne trguje opcijama, stoga nismo umogucnosti primijeniti iste modelePrema Duanu (1995), za pravedno vrednovanje opcijakoristimo diskretni model koji se sastoji od dvije jednadzbe:

pomocu jedne modeliramo kretanje prinosapomocu druge kretanje volatilnosti za sto mozemo koristitiGARCH ili NGARCH procese

takav model konvergira prema dvodimenzijalnomneprekidnom procesu koji sadrzi trzisnu cijenu rizikavolatilnosti i koji zadovoljava model SVZa implementaciju tog modela nisu potrebne cijene opcija,vec samo cijene osnovnog instrumenta

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Kakva je situacija na hrvatskom trzistu kapitala?

U Hrvatskoj se trenutno ne trguje opcijama, stoga nismo umogucnosti primijeniti iste modelePrema Duanu (1995), za pravedno vrednovanje opcijakoristimo diskretni model koji se sastoji od dvije jednadzbe:

pomocu jedne modeliramo kretanje prinosapomocu druge kretanje volatilnosti za sto mozemo koristitiGARCH ili NGARCH procese

takav model konvergira prema dvodimenzijalnomneprekidnom procesu koji sadrzi trzisnu cijenu rizikavolatilnosti i koji zadovoljava model SVZa implementaciju tog modela nisu potrebne cijene opcija,vec samo cijene osnovnog instrumenta

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Kakva je situacija na hrvatskom trzistu kapitala?

U Hrvatskoj se trenutno ne trguje opcijama, stoga nismo umogucnosti primijeniti iste modelePrema Duanu (1995), za pravedno vrednovanje opcijakoristimo diskretni model koji se sastoji od dvije jednadzbe:

pomocu jedne modeliramo kretanje prinosapomocu druge kretanje volatilnosti za sto mozemo koristitiGARCH ili NGARCH procese

takav model konvergira prema dvodimenzijalnomneprekidnom procesu koji sadrzi trzisnu cijenu rizikavolatilnosti i koji zadovoljava model SVZa implementaciju tog modela nisu potrebne cijene opcija,vec samo cijene osnovnog instrumenta

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Kakva je situacija na hrvatskom trzistu kapitala?

U Hrvatskoj se trenutno ne trguje opcijama, stoga nismo umogucnosti primijeniti iste modelePrema Duanu (1995), za pravedno vrednovanje opcijakoristimo diskretni model koji se sastoji od dvije jednadzbe:

pomocu jedne modeliramo kretanje prinosapomocu druge kretanje volatilnosti za sto mozemo koristitiGARCH ili NGARCH procese

takav model konvergira prema dvodimenzijalnomneprekidnom procesu koji sadrzi trzisnu cijenu rizikavolatilnosti i koji zadovoljava model SVZa implementaciju tog modela nisu potrebne cijene opcija,vec samo cijene osnovnog instrumenta

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Dnevni log-povrati na dionicu PTKM: 30.8.2010.-30.4.2012.

-20%

-15%

-10%

-5%

0%

5%

10%

15%

20%

24.11.2010 18.02.2011 16.05.2011 11.08.2011 07.11.2011 01.02.2012 26.04.2012

Prinosi na dionicu Petrokemije

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Dnevni log-povrati na dionicu DDJH: 30.8.2010.-30.4.2012.

-15%

-10%

-5%

0%

5%

10%

15%

20%

24.11.2010 18.02.2011 16.05.2011 11.08.2011 08.11.2011 03.02.2012 30.04.2012

Prinosi na dionicu Đuro Đaković Holding

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Dnevni log-povrati na dionicu PODR: 10.10.2011.-7.10.2014.

-8%

-6%

-3%

-1%

2%

5%

7%

10.10.2011 02.03.2012 31.07.2012 21.12.2012 20.05.2013 16.10.2013 18.03.2014 11.08.2014

Prinosi na dionicu Podravke

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Dnevni log-povrati na dionicu ARNT: 10.10.2011.-9.10.2014.

-15,0%

-10,0%

-5,0%

0,0%

5,0%

10,0%

15,0%

20,0%

25,0%

10.10.2011 22.05.2012 28.11.2012 09.05.2013 09.10.2013 27.02.2014 11.07.2014

Prinosi na dionicu Arenaturist

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Moze se odmah primijetiti da se pojedina razdoblja medusobnorazlikuju po volatilnosti povrata

dane visoke (niske) volatilnosti na trzistu obicno prate danivisoke (niske) volatilnosti, svojstvo poznato kao grupiranjeza vrijeme stresnih perioda na trzistu (politicke promjene,ekonomske krize, objave makroekonomskih podata, objavaposlovanja poduzeca, iznenadna promjena kreditnogrejtinga...) financijske serije obicno jako fluktuiraju,odnosno volatilnost serije mijenja se kroz vrijeme.

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Moze se odmah primijetiti da se pojedina razdoblja medusobnorazlikuju po volatilnosti povrata

dane visoke (niske) volatilnosti na trzistu obicno prate danivisoke (niske) volatilnosti, svojstvo poznato kao grupiranjeza vrijeme stresnih perioda na trzistu (politicke promjene,ekonomske krize, objave makroekonomskih podata, objavaposlovanja poduzeca, iznenadna promjena kreditnogrejtinga...) financijske serije obicno jako fluktuiraju,odnosno volatilnost serije mijenja se kroz vrijeme.

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Prednosti koristenja diskretnih modela u praksi

Za modeliranje trzisne cijene rizika volatilnosti u ovoj seanalizi koristi modifikacija Duanovog modela u kojem sekoristi NGARCH(1,1) procesModifikacija ce nam omoguciti racunanje trzisne cijenerizika volatilnosti u zatvorenoj formi, odnosno koristenjemeksplicitne formuleNaime, u vecini modela SV ne postoji eksplicitna formulaza racunanje trzisne cijene rizika volatilnosti, vec jemoramo procijeniti iz podataka zajedno s ostalimparametrima modela

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Prednosti koristenja diskretnih modela u praksi

Za modeliranje trzisne cijene rizika volatilnosti u ovoj seanalizi koristi modifikacija Duanovog modela u kojem sekoristi NGARCH(1,1) procesModifikacija ce nam omoguciti racunanje trzisne cijenerizika volatilnosti u zatvorenoj formi, odnosno koristenjemeksplicitne formuleNaime, u vecini modela SV ne postoji eksplicitna formulaza racunanje trzisne cijene rizika volatilnosti, vec jemoramo procijeniti iz podataka zajedno s ostalimparametrima modela

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Prednosti koristenja diskretnih modela u praksi

Za modeliranje trzisne cijene rizika volatilnosti u ovoj seanalizi koristi modifikacija Duanovog modela u kojem sekoristi NGARCH(1,1) procesModifikacija ce nam omoguciti racunanje trzisne cijenerizika volatilnosti u zatvorenoj formi, odnosno koristenjemeksplicitne formuleNaime, u vecini modela SV ne postoji eksplicitna formulaza racunanje trzisne cijene rizika volatilnosti, vec jemoramo procijeniti iz podataka zajedno s ostalimparametrima modela

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Modeliranje povrata Pt i varijance dionica σ2t pomocu

NGARCH modela

oznacimo sa Ct cijenu dionice u trenutku t ,dinamika vremenskog niza dnevnih povrata Pt opisana jenelinearnim u ocekivanju, asimetricnim GARCH(1, 1)(Generalizirani AutoRegresivni Heteroskedasticni)modelom (Engle and Ng (1993)):

Pt+1 ≡ ln(

Ct+1

Ct

)= r + Λσt+1 −

12σ2

t+1 + σt+1Zt+1, (1)

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

NGARCH model varijance

σ2t+1 = ω0 + α(σtZt − cσt )

2 + βσ2t , (2)

pri cemu su Zt nezavisne i jednako distribuirane normalneslucajne varijable, N(0,1), te vrijedi

ω0 > 0, α ≥ 0, β ≥ 0 i α(1 + c2) + β < 1 (3)

kako bi se osigurala nenegativnost i stacionarnost procesavarijance σ2

t .

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

varijabla r oznacava konstantnu jednoperiodnu, bezrizicnu,kamatnu stopuΛ je konstantna premija za rizik (engl. risk premium),odnosno nagrada za ulaganje u rizicnu vrijednosnicuparametar asimetricnosti c opisuje korelaciju izmedupovrata i volatilnosti

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

varijabla r oznacava konstantnu jednoperiodnu, bezrizicnu,kamatnu stopuΛ je konstantna premija za rizik (engl. risk premium),odnosno nagrada za ulaganje u rizicnu vrijednosnicuparametar asimetricnosti c opisuje korelaciju izmedupovrata i volatilnosti

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

varijabla r oznacava konstantnu jednoperiodnu, bezrizicnu,kamatnu stopuΛ je konstantna premija za rizik (engl. risk premium),odnosno nagrada za ulaganje u rizicnu vrijednosnicuparametar asimetricnosti c opisuje korelaciju izmedupovrata i volatilnosti

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

u slucaju analize povrata dionica, pozitivna vrijednostparametra c reflektira poznati empirijski fenomen tzv.efekta poluge (engl. leverage) koji ukazuje da negativnipovrati povecavaju buducu volatilnost u puno vecoj mjerinego oni pozitivni istog iznosaprocjena sutrasnje volatilnosti poznata je na krajudanasnjeg dana t , sto nije moguce u neprekidnimmodelima SV

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

u slucaju analize povrata dionica, pozitivna vrijednostparametra c reflektira poznati empirijski fenomen tzv.efekta poluge (engl. leverage) koji ukazuje da negativnipovrati povecavaju buducu volatilnost u puno vecoj mjerinego oni pozitivni istog iznosaprocjena sutrasnje volatilnosti poznata je na krajudanasnjeg dana t , sto nije moguce u neprekidnimmodelima SV

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Model cemo modificirati u skladu sa Javeri (2005) tako daumjesto konstantnog parametra Λ uzimamo Sharpeovomjer definiran sa

Λt =µ− rσt

(4)

gdje je µ ocekivani povrat na dionicuSharpeov omjer je mjera za trzisnu cijenu rizika za dionicuIdeja Sharpeovog omjera je vidjeti koliko dodatnog povratana rizicnu imovinu, u odnosu na nerizicnu, ostvarujeinvestitor izlazuci se dodatnoj volatilnostiveca vrijednost Sharpeovog omjera, bolja investicija zainvestitora.

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Model cemo modificirati u skladu sa Javeri (2005) tako daumjesto konstantnog parametra Λ uzimamo Sharpeovomjer definiran sa

Λt =µ− rσt

(4)

gdje je µ ocekivani povrat na dionicuSharpeov omjer je mjera za trzisnu cijenu rizika za dionicuIdeja Sharpeovog omjera je vidjeti koliko dodatnog povratana rizicnu imovinu, u odnosu na nerizicnu, ostvarujeinvestitor izlazuci se dodatnoj volatilnostiveca vrijednost Sharpeovog omjera, bolja investicija zainvestitora.

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Model cemo modificirati u skladu sa Javeri (2005) tako daumjesto konstantnog parametra Λ uzimamo Sharpeovomjer definiran sa

Λt =µ− rσt

(4)

gdje je µ ocekivani povrat na dionicuSharpeov omjer je mjera za trzisnu cijenu rizika za dionicuIdeja Sharpeovog omjera je vidjeti koliko dodatnog povratana rizicnu imovinu, u odnosu na nerizicnu, ostvarujeinvestitor izlazuci se dodatnoj volatilnostiveca vrijednost Sharpeovog omjera, bolja investicija zainvestitora.

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Model cemo modificirati u skladu sa Javeri (2005) tako daumjesto konstantnog parametra Λ uzimamo Sharpeovomjer definiran sa

Λt =µ− rσt

(4)

gdje je µ ocekivani povrat na dionicuSharpeov omjer je mjera za trzisnu cijenu rizika za dionicuIdeja Sharpeovog omjera je vidjeti koliko dodatnog povratana rizicnu imovinu, u odnosu na nerizicnu, ostvarujeinvestitor izlazuci se dodatnoj volatilnostiveca vrijednost Sharpeovog omjera, bolja investicija zainvestitora.

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Modificirani NGARCH model varijance

Pt+1 =(r − 1

2σ2

t+1)

+ σt+1Zt+1, (5)

σ2t+1 = ω0 + ασ2

t (Zt − c − Λt )2 + βσ2

t , (6)

pri cemu je Zt = Zt + Λt .

U ovakvom je modelu proces volatilnosti deterministicki jer istiizvor slucajnosti utjece na povrate i na varijancu.

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Trzisna cijena rizika volatilnosti

Trzisna cijena volatilnosti od volatilnosti dana je s

λt = −Λt2c√

2 + 4c2. (7)

Trzisna cijena rizika volatilnosti mijenja se s vremenomNa likvidnim svjetskim trzistima parametar c je obicnonegativan, dok su ocekivani povrati na dionice u vecinislucajeva veci od bezrizicne kamatne stope.λt je u tom slucaju pozitivan proces, sto je u skladu srezultatom koji vrijedi za opcenitu klasu modela SV

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Kako investitor gleda na trzisnu cijenu rizikavolatilnosti?

Za c < 0 negativni povrati povecavaju buducu volatilnost uvecoj mjeri nego pozitivni istog iznosaplacanjem trzisne cijene rizika volatinosti investitor senastoji zastititi upravo od negativnih prinosa, odnosno odporasta volatilnosti

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Primjena na hrvatskom trzistu kapitala

Koristeci NGARCH model zelimo:procijeniti parametre modelaanalizirati empirijsku distribuciju vremenskog nizavrijednosniceodrediti trzisnu cijenu rizika volatilnosti

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Primjena na hrvatskom trzistu kapitala

Koristeci NGARCH model zelimo:procijeniti parametre modelaanalizirati empirijsku distribuciju vremenskog nizavrijednosniceodrediti trzisnu cijenu rizika volatilnosti

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Primjena na hrvatskom trzistu kapitala

Koristeci NGARCH model zelimo:procijeniti parametre modelaanalizirati empirijsku distribuciju vremenskog nizavrijednosniceodrediti trzisnu cijenu rizika volatilnosti

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Procjena parametara modela

Uvjetna varijanca σ2t+1 je varijabla koju ne mozemo

opaziti, te ju je potrebno implicitno procijeniti s ostalimparametrima modela, ω0, α, β, c, µza procjenu parametara koristimo metodu maksimalnevjerodostojnostiZa ekonometrijsku analizu PTKM i DDJH iskoristeno jeT = 420 dnevnih povrata dionica u razdoblju od30.08.2010. do 30.04.2012., za PODR i ARNT iskoristenoje T = 742 dnevnih povrata dionica u razdoblju od10.10.2011. do 7.10.2014.Prosjecna bezrizicna kamatna stopa na godisnoj razini zapromatrani period uzeta je oko 4%, odnosno 3%

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Funkcija log-vjerodostojnosti

Prema pretpostavci (Zt ) je niz nezavisnih jednako distribuiranihslucajnih varijabli takvih da Zt ∼ N(0,1) pa je funkcijalog-vjerodostojnosti oblika

LT =1T

T∑t=1

[−1

2ln(2π)−1

2ln(σ2

t )−12

(Pt − (r + Λtσt − 1

2σ2t ))2

σ2t

],

pri cemu je T broj opazenih podataka.

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Oznacimo sa θ = (ω0, α, β, c, µ) skup nepoznatih parametara

potrebno je naci onaj vektor parametra θ za koji funkcija LTpostize maksimalnu vrijednost uz uvjete dane u relacijistacionarnostimaksimizacija funkcije LT po parametrima modela vrsi sepomocu numerickog algoritma za trazenje maksimumafunkcije uz zadane uvjete na parametre

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Oznacimo sa θ = (ω0, α, β, c, µ) skup nepoznatih parametara

potrebno je naci onaj vektor parametra θ za koji funkcija LTpostize maksimalnu vrijednost uz uvjete dane u relacijistacionarnostimaksimizacija funkcije LT po parametrima modela vrsi sepomocu numerickog algoritma za trazenje maksimumafunkcije uz zadane uvjete na parametre

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Vrijednosti procijenjenih parametara PTKM

Parametar Vrijednost Standardna greska p-vrijednostω0 7.8757·10−5 1.3071 · 10−5 0α 0.1171 2.2995·10−2 0β 0.7241 3.4502·10−2 0c -0.7015 0.113313 0µ 0.00196 1.1792·10−3 0.09608

α(1 + c2) + β 0.8988 - -

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Interpretacija parametara: PTKM

parametar asimetrije c je negativanpremija za rizik Λt ce biti pozitivan procesDrugim rijecima trzisna cijena rizika volatilnosti bit ce, sastajalista investitora, negativan proces, sto znaci da biinvestitori bili voljni platiti odredeni iznos kako bi se zastitiliod buducih promjena u volatilnostiprocjena vrijednosti α(1 + c2) + β vrlo je bliska jedinici stoukazuje na efekte duge memorije u seriji

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Interpretacija parametara: PTKM

parametar asimetrije c je negativanpremija za rizik Λt ce biti pozitivan procesDrugim rijecima trzisna cijena rizika volatilnosti bit ce, sastajalista investitora, negativan proces, sto znaci da biinvestitori bili voljni platiti odredeni iznos kako bi se zastitiliod buducih promjena u volatilnostiprocjena vrijednosti α(1 + c2) + β vrlo je bliska jedinici stoukazuje na efekte duge memorije u seriji

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Interpretacija parametara: PTKM

parametar asimetrije c je negativanpremija za rizik Λt ce biti pozitivan procesDrugim rijecima trzisna cijena rizika volatilnosti bit ce, sastajalista investitora, negativan proces, sto znaci da biinvestitori bili voljni platiti odredeni iznos kako bi se zastitiliod buducih promjena u volatilnostiprocjena vrijednosti α(1 + c2) + β vrlo je bliska jedinici stoukazuje na efekte duge memorije u seriji

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Interpretacija parametara: PTKM

parametar asimetrije c je negativanpremija za rizik Λt ce biti pozitivan procesDrugim rijecima trzisna cijena rizika volatilnosti bit ce, sastajalista investitora, negativan proces, sto znaci da biinvestitori bili voljni platiti odredeni iznos kako bi se zastitiliod buducih promjena u volatilnostiprocjena vrijednosti α(1 + c2) + β vrlo je bliska jedinici stoukazuje na efekte duge memorije u seriji

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Vrijednosti procijenjenih parametara DDJH

Parametar Vrijednost Standardna greska p-vrijednostω0 1.3945·10−4 4.1862 · 10−5 0.0009α 0.1151 3.2376·10−2 0.0004β 0.7284 6.0356·10−2 0c -0.5327 0.2381 0.0252µ 0.0027 1.6102·10−3 0.0937

α(1 + c2) + β 0.9088 - -

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Interpretacija parametara: DDJH

parametar asimetrije c je negativanpremija za rizik Λt ce biti pozitivan procesDrugim rijecima trzisna cijena rizika volatilnosti bit ce, sastajalista investitora, negativan proces, sto znaci da biinvestitori bili voljni platiti odredeni iznos kako bi se zastitiliod buducih promjena u volatilnostiprocjena vrijednosti α(1 + c2) + β vrlo je bliska jedinici stoukazuje na efekte duge memorije u seriji

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Interpretacija parametara: DDJH

parametar asimetrije c je negativanpremija za rizik Λt ce biti pozitivan procesDrugim rijecima trzisna cijena rizika volatilnosti bit ce, sastajalista investitora, negativan proces, sto znaci da biinvestitori bili voljni platiti odredeni iznos kako bi se zastitiliod buducih promjena u volatilnostiprocjena vrijednosti α(1 + c2) + β vrlo je bliska jedinici stoukazuje na efekte duge memorije u seriji

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Interpretacija parametara: DDJH

parametar asimetrije c je negativanpremija za rizik Λt ce biti pozitivan procesDrugim rijecima trzisna cijena rizika volatilnosti bit ce, sastajalista investitora, negativan proces, sto znaci da biinvestitori bili voljni platiti odredeni iznos kako bi se zastitiliod buducih promjena u volatilnostiprocjena vrijednosti α(1 + c2) + β vrlo je bliska jedinici stoukazuje na efekte duge memorije u seriji

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Interpretacija parametara: DDJH

parametar asimetrije c je negativanpremija za rizik Λt ce biti pozitivan procesDrugim rijecima trzisna cijena rizika volatilnosti bit ce, sastajalista investitora, negativan proces, sto znaci da biinvestitori bili voljni platiti odredeni iznos kako bi se zastitiliod buducih promjena u volatilnostiprocjena vrijednosti α(1 + c2) + β vrlo je bliska jedinici stoukazuje na efekte duge memorije u seriji

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Kretanje dnevne uvjetne volatilnosti: PTKM i DDJH

Dionica PTKM ima u prosjeku manju uvjetnu volatilnost.

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

30.08.2010 24.12.2010 18.04.2011 12.08.2011 06.12.2011 29.03.2012

Petrokemija

Đuro Đaković

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Trzisna cijena rizika volatilnosti:PTKM i DDJH

Dionica Đuro Đaković Holding ima u prosjeku veću tržišnu

cijenu rizika volatilnosti.

-8%

-7%

-6%

-5%

-4%

-3%

-2%

-1%

0%

30.08.2010 24.12.2010 18.04.2011 12.08.2011 06.12.2011 29.03.2012

Petrokemija

Đuro Đaković

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Dionica DDJH ima u prosjeku vecu trzisnu cijenu rizikavolatilnosti

Dva su glavna razloga za todionica PTKM ima u prosjeku manju uvjetnu volatilnostocekivani povrat na dionicu DDJH veci je od ocekivanogpovrata na dionicu PTKM

Predlozeni model sugerira da su investitori voljniji platiti vecupremiju za one dionice koje imaju manju volatilnost i veciocekivani povrat jer je njihov Sharpeov omjer veci

Investitori s takvim preferencijama nazivaju se investitorineskloni riziku

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Dionica DDJH ima u prosjeku vecu trzisnu cijenu rizikavolatilnosti

Dva su glavna razloga za todionica PTKM ima u prosjeku manju uvjetnu volatilnostocekivani povrat na dionicu DDJH veci je od ocekivanogpovrata na dionicu PTKM

Predlozeni model sugerira da su investitori voljniji platiti vecupremiju za one dionice koje imaju manju volatilnost i veciocekivani povrat jer je njihov Sharpeov omjer veci

Investitori s takvim preferencijama nazivaju se investitorineskloni riziku

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Vrijednosti procijenjenih parametara PODR

Parametar Vrijednost Standardna greska p-vrijednostω0 4.5501 ·10−5 1.6179 · 10−5 0.0049α 0.1322 0.0385 5.9195 · 10−4

β 0.6049 0.12027 4.9089 · 10−7

c -0.1819 0.1373 0.18520µ 0.0005 4.7245 · 10−4 0.2875

α(1 + c2) + β 0.7415 - -

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Kretanje dnevne uvjetne volatilnosti: PODR

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

10.10.2011 23.04.2012 09.11.2012 27.05.2013 17.12.2013 04.07.2014

Podravka

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

PODR: dionica niske volatilnosti

Trzisna cijena rizika volatilnosti: PODR

-1,0%

-0,9%

-0,8%

-0,7%

-0,6%

-0,5%

-0,4%

-0,3%

-0,2%

-0,1% 10.10.2011 23.03.2012 12.09.2012 27.02.2013 20.08.2013 11.02.2014 25.07.2014

Podravka

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Vrijednosti procijenjenih parametara ARNT

Parametar Vrijednost Standardna greska p-vrijednostω0 3.1327 ·10−6 2.3668 · 10−6 0.1856α 0.0789 0.0156 4.4682 · 10−7

β 0.9199 0.0158 0c -0.0672 0.1228 0.5844µ 0.0026 9.9905 · 10−4 9.7768 · 10−3

α(1 + c2) + β 0.9991 - -

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Kretanje dnevne uvjetne volatilnosti: ARNT

0,0%

2,0%

4,0%

6,0%

8,0%

10,0%

10.10.2011 12.06.2012 10.01.2013 02.07.2013 09.12.2013 14.05.2014 09.10.2014

Arenaturist

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Trzisna cijena rizika volatilnosti: ARNT

-2,0%

-1,5%

-1,0%

-0,5%

0,0%

10.10.2011 12.06.2012 10.01.2013 02.07.2013 09.12.2013 14.05.2014 09.10.2014

Arenaturist

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Zakljucci i daljnje smjernice

Primjenom modifikacije diskretnog modela SV prema Duanu:

Dobili smo eksplicitnu formulu za racunanje trzisnecijene rizika volatilnostiProcjena iznosa trzisne cijene rizika volatilnosti vazna je zarazumijevanje preferencija sudionika na trzistu teomogucava bolje modeliranje ponasanja investitoraProcjena vrijednosti trzisne cijene rizika volatilnosti moglabi omoguciti lakse upravljanje rizikom, te olaksativrednovanje i hedging opcija, ali i izvedenica opcenitoUvodenjem trzisne cijene rizika volatilnosti u model zavrednovanje opcija, trzista opcijama ujedno mogu postati itrzista za trgovanje volatilnoscu.

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora

Trzisna cijena rizika volatilnostiNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH model

Ekonometrijska procjena modelaZakljucci

Bibliography

Bibliography

Duan, J.-C.The GARCH option pricing model.Mathematical Finance, 5(1):13–32, 1995.

R. F. Engle and V. K. Ng (1993)Measuring and testing the impact of news on volatilityJournal of Finance, 48, 1749-1778

A. Javaheri (2005)Inside Volatility Arbitrage: The Secrets of SkewnessJohn Wiley and Sons, Inc.

B. Negrea (2009)The Volatility Premium Risk: Valuation and ForecastingJournal of Applied Quantitative Methods, 2(4), 154-165.

Petra Posedel Modeliranje preferencija investitora