analiza tecaja na hrvatskom trzi tu pomocu ngarch modelaanaliza tecaja na hrvatskom trˇ ziˇ stu...

Outline

Analiza tečaja na hrvatskom tržištu pomoćuNGARCH modela

Petra PosedelKatedra za matematiku, Ekonomski fakultet Zagreb

Inženjerska sekcija Hrvtaskog matematičkog društvaPMF-Matematički odjel

Zagreb, 21.2.2008.

21st February 2008

Petra Posedel Analiza te čaja EUR/HRK pomo ću NGARCH modela

Outline

1 Pregled današnjeg izlaganja

2 Vrijednosnice na hrvatskom tržištu: Stilizirane činjenicefinancijskih podataka

3 Nelinearni u očekivanju asimetrični GARCH model

4 Ekonometrijska procjena modelaMetoda maksimalne vjerodostojnosti

5 Procjena rizikaVaR (Value at risk)

6 Financijski derivati

Outline

Pregled dana šnjeg izlaganjaUvod

Nelinearni u o čekivanju asimetri čni GARCH modelEkonometrijska procjena modela

Procjena rizikaFinancijski derivati

Bibliography

Ciljevi današnjeg izlaganja:

osnovne karakteristike podataka koji se odnose nafinancijsku imovinu

modeli uvjetne heteroskedastičnosti

primjer ekonometrijskog modeliranja vrijednosnica pomoćuNGARCH modela: tečaj EUR/HRK

posljedice koje procjena parametara modela ima za riskmanagement i vrednovanje financijskih derivata

Bibliography

Stilizirane činjenice financijskih podataka

Brojna empirijska istraživanja pokazuju da:javlja se sve veća potreba za modeliranjem cijenavrijednosnica i njihovih volatilnostivolatilnost prinosa vremenskih nizova za većinu financijskihinstrumenata nije konstantnaasimetričnost u distribuciji prinosakorelacije dnevnih povrata uglavnom su jednake nulistandardna devijacija povrata u potpunosti dominiraočekivanje povrata za kratke horizonte kao dnevnivarijanca povrata mjerena npr. kvadratima povratapozitivno je korelirana sa svojom prošlosti (za malepomake)efekt poluge

Bibliography

Kretanje cijena vrijednosnica

Vremenska serija tečaja EUR/HRK 2001-2005 squared returns

02.01.2001 2002 2003 2004 2005 30.12.2005.7

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8

Bibliography

Relevantne veličine za investitore su postotni prinosi te se u tusvrhu za modeliranje financijskih vrmenskih nizova koristelogaritamski povrati, odnosno razlike logaritama zaključnihcijena Ct pristignutih u periodu jednog dana,

Pt+1 = ln(Ct+1)− ln(Ct)

Bibliography

Vremenska serija logaritamskih povrata EUR/HRK 2001-2005

Bibliography

Pri procjenjivanju volatilnosti povrata od ključnog je interesavarijabla koja predstavlja kvadrat razlike logaritamskog povrata isrednjeg logaritamskog povrata, kvadrati inovacije povrata

It = [Pt − E(Pt)]2.

Bibliography

EUR/HRK 2001-2005 i kvadrati inovacija povrata

02.01.2001. 2002. 2003. 2004. 2005 30.12.2005.7

7.2

7.4

7.6

7.8

02.01.2001. 30.12.2005.0

1

2

3

4x 10

−4

Bibliography

Može se odmah primijetiti da se pojedina razdoblja medusobnorazlikuju po volatilnosti cijene. Brojna empirijska istraživanjapokazuju da

volatilnost prinosa odredenog vremenskog niza za većinufinancijskih instrumenata nije konstantna

dane visoke (niske) volatilnosti na tržištu obično prate danivisoke (niske) volatilnosti, svojstvo poznato kao grupiranje

za vrijeme stresnih perioda na tržištu (politički neredi ipromjene, ekonomske krize, objave makroekonomskihpodata, objava poslovanja poduzeća, iznenadna promjenakreditnog rejtinga) cijene financijskih dobara obično jakofluktuiraju, odnosno volatilnost promatranog procesamijenja se kroz vrijeme.

Bibliography

Usporedba Brownovog modela s dnevnim povratimatečaja EUR/HRK s istom prosječnom volatilnošću

02.01.2001. 2002. 2003. 2004. 2005. 30.12.2005.−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0 200 400 600 800 1000 1257−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

Bibliography

iako je varijanca za oba vremenska niza ista, Brownovmodel je postiže generirajući povrate koji uglavnom imajuistu amplitudu

povrati tečaja EUR/HRK postižu puno veću disperziju usvojim apmlitudama

povrati tečaja ukazuju na odredene nagle promjenevrijednosti koje reflektiraju neku veliku promjenu na tržištu.

Bibliography

Serijska zavisnost medu podacima opisana je korelacijamamedu povratima za različite pomake:

0 20 40 60 80 100−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Lag

ACF

ACF sq returns

Bibliography

Puna linija ukazuje da su autokorelacije dnevnih prinosavrlo malih vrijednosti i da ne ukazuju na nikakvasistematična obilježja

za razliku od autokorelacija dnevnih prinosa, autokorelacijekvadrata dnevnih prinosa su pozitivnih vrijednosti za malepomake, a zatim eksponencijalno padaju ka nuli kada sebroj pomaka povećava

ovo potonje nam ukazuje da kvadrirane vrijednosti prinosane zaboravljaju neposrednu prošlost te da su pozitivnokorelirane, što je vidljivo iz isprekidane linije na slici

Bibliography

Modeliranje tečaja EUR/HRK pomoću NGARCHmodela

označimo sa Ct tečaj strane valute, točnije EUR/HRK, utrenutku t , definiran kao broj jedinica domaće valutepotreban za kupnju jedne jedinice strane valute

dinamika vremenskog niza dnevnih prinosa Pt opisana jenelinearnim u očekivanju, asimetričnim GARCH(1, 1)modelom (Engle and Ng (1993)):

Bibliography

NGARCH model

Pt+1 ≡ ln(

Ct+1Ct

)= rd − rs + λσt+1 −

12σ2t+1 + σt+1Zt+1, (1)

σ2t+1 = ω + α(σtZt − ρσt)2 + βσ2t , (2)

pri čemu su Zt nezavisne i jednako distribuirane normalne(gaussovske) slučajne varijable, N(0, 1), te vrijedi

ω > 0, α ≥ 0, β ≥ 0 i α(1 + ρ2) + β < 1 (3)

kako bi se osigurala nenegativnost i stacionarnost procesavarijance σ2t .

Bibliography

varijable rd i rs označavaju, redom, konstantnujednoperiodnu, bezrizičnu, kamatnu stopu na domaću istranu valutu po kojoj se glavnica neprekidno ukamaćuje

λ je konstantna premija za rizik (engl. risk premium),odnosno nagrada za ulaganje u stranu valutu

uočimo odmah da negativna vrijednost parametra λsmanjuje srednju vrijednost prinosa tečaja EUR/HRK štoukazuje na aprecijaciju domaće valute

Bibliography

posebnu pažnju modelu daje parametar asimetričnosti ρkoji opisuje korelaciju izmedu prinosa i varijance

u slučaju analize prinosa dionica, pozitivna vrijednostparametra ρ reflektira dobro poznati empirijski fenomen tzv.efekta poluge koji ukazuje da pad cijene dionice zaodredenu vrijednost uzrokuje pove ćanje varijance višenego porast cijene za istu vrijednost, odnosno da suprinosi i njihova varijanca negativno korelirani

Bibliography

posebnu pažnju modelu daje parametar asimetričnosti ρkoji opisuje korelaciju izmedu prinosa i varijance

u slučaju analize prinosa dionica, pozitivna vrijednostparametra ρ reflektira dobro poznati empirijski fenomen tzv.efekta poluge koji ukazuje da pad cijene dionice zaodredenu vrijednost uzrokuje pove ćanje varijance višenego porast cijene za istu vrijednost, odnosno da suprinosi i njihova varijanca negativno korelirani

Bibliography

Metoda maksimalne vjerodostojnosti

Outline

Bibliography

Procjena modela

Koristeći NGARCH model za analizu tečaja želimo:

procijeniti parametre modela,

analizirati empirijsku distribuciju vremenskog niza tečajaEUR/HRK

posljedice koje takva analiza ima za risk management ivrednovanje financijskih instrumenata

Bibliography

Procjena modela

Bibliography

Procjena modela

Bibliography

Procjena modela

Bibliography

Procjena parametara modela

Prema specifikaciji NGARCH modela slijedi da očekivaniprinos i varijanca prinosa Pt+1 izračunate na baziinformacija u trenutku t iznose

Et [Pt+1] = rd−rs+λσt+1−12σ2t+1 i Vart [Pt+1] = σ

2t+1.

budući da je uvjetna varijanca σ2t+1 varijabla koju nemožemo opaziti, potrebno ju je implicitno procijeniti sostalim parametrima modela, ω, α, β, λ, ρ.

Bibliography

Za ekonometrijsku analizu iskorišteno je T = 1297 dnevnihprinosa tečaja EUR/HRK u periodu od 02.01.2001. do30.12.2005.

podaci se odnose na medubankarske zaključne ponude zakupovinu eura

za dnevnu kamatnu stopu na domaću valutu rd i kamatnustopu na stranu valutu rs uzete su unaprijed zadanekonstante 0.0131% i 0.0115% respektivno, što na godišnjojrazini iznosi aproksimativno 3.3% i 2.9%

Bibliography

Funkcija log-vjerodostojnosti

Prema pretpostavci (Zt) je niz nezavisnih jednako distribuiranihslučajnih varijabli takvih da Zt ∼ N(0, 1) pa je funkcijalog-vjerodostojnosti oblika

LT =1T

T∑t=1

[−1

2ln(2π)−1

2ln(σ2t )−

12

(Pt − (rd − rs + λσt − 12σ

2t )

)2σ2t

],

pri čemu je T broj opaženih podataka.

Bibliography

Označimo sa θ = (ω, α, β, ρ, λ) skup nepoznatih parametara

potrebno je naći onaj vektor parametra θ za koji funkcija LTpostiže maksimalnu vrijednost uz uvjete dane u relacijistacionarnosti

maksimizacija funkcije LT po parametrima modela vrši sepomoću numeričkog algoritma za traženje maksimumafunkcije uz zadane uvjete na parametre

Bibliography

Označimo sa θ = (ω, α, β, ρ, λ) skup nepoznatih parametara

potrebno je naći onaj vektor parametra θ za koji funkcija LTpostiže maksimalnu vrijednost uz uvjete dane u relacijistacionarnosti

maksimizacija funkcije LT po parametrima modela vrši sepomoću numeričkog algoritma za traženje maksimumafunkcije uz zadane uvjete na parametre

Bibliography

Vrijednosti procijenjenih parametara

Parametar Vrijednost Standardna greškaω̂ 1.7339·10−7 2.92 · 10−8

λ̂ -0.0301153 0.11311α̂ 0.095345 0.012028β̂ 0.86840994 0.014289ρ̂ -0.1707379 0.074885

α̂(1 + ρ̂2) + β̂ 0.96653484 -

Bibliography

Interpretacija parametara

parametar asimetrije ρ je negativan ukazujući da porast uvolatilnosti tečaja će biti veći pri aprecijaciji strane valuteEUR, odnosno oslabljenja kune, nego pri deprecijacijistrane valute

procjena premije za rizik nije statistički signifikantna

vrijednost α(1 + ρ2) + β vrlo je bliska jedinici što ukazujena efekte duge memorije u seriji. Drugim riječima, šok udanašnjem trenutku utječe na dalju budućnost

Bibliography

Krivulja odziva na šok (engl. news impact curve)

Predodžba o stupnju asimetričnosti

−0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.0150.5

1

1.5

2x 10

−5

Inovacije

Varija

nca

Bibliography

Usporedba s Brownovim modelom

Ukoliko su prinosi(P1, . . . , PT

)nezavisne i jednako

distribuirane slučajne varijable prikazane pomoću

Pt = µ + σW , µ ∈ R, σ > 0

pri čemu je W ∼ N(0, 1) standardna normalna slučajnavarijabla, tada

Parametar µ označava srednji logaritamski prinos, a σ jevolatilnost prinosa

Bibliography

Srednju očekivanu vrijednost i varijancu za dani vremenski nizmožemo konzistentno procijeniti pomoću

µ̂ =1T

T∑t=1

Pt , σ̂2 =1T

T∑t=1

[Pt − µ̂]2,

čije su asimptotske varijance σ2/T i 2σ4/T respektivno.

Bibliography

Prema podacima slijedi

µ̂ = −1.96838 · 10−5 (6.60515 · 10−5)

σ̂2 = 5.65855 · 10−6 (2.22203 · 10−7)

iz čega proizlazi da je procjena dnevne volatilnosti konstantna iiznosi σ̂ =

√σ̂2 = 0.0023788.

parameter µ nije statistički signifikantan (t statistika iznosi−0.298) stoga ga zanemarujemo u daljnjoj analizi

Bibliography

VaR (Value at risk)

Jedna od ključnih prednosti (N)GARCH modela zamenadžment rizika je procjena varijance za jedan danunaprijed, Et [σ2t+1], na osnovi informacija dostupnih utrenutku t

procjena varijance je direktno dana modelom kao σ2t+1Uvjeti modela osiguravaju stacionarnost procesa uvjetnevarijance (σ2t ) te stoga možemo definirati bezuvjetnuvarijancu kao

σ2 ≡ E [σ2t+1] =ω

1− α(1 + ρ2)− β.

Bibliography

VaR (Value at risk)

σ2 ≡ E [σ2t+1] =ω

1− α(1 + ρ2)− β.

Bibliography

VaR (Value at risk)

σ2 ≡ E [σ2t+1] =ω

1− α(1 + ρ2)− β.

Bibliography

VaR (Value at risk)

Ukoliko promatramo procjenu varijance dnevnog prinosa za kperioda unaprijed, rekurzivnom primjenom specifikacijeasimetričnog GARCH modela slijedi

Et [σ2t+k ] = σ2 + [α(1 + ρ2) + β]k−1(σ2t+1 − σ2),

pri čemu σ2 označava bezuvjetnu varijancu.

Et [σ2t+k ] označava očekivanu vrijednost buduće varijanceza horizont k

Izraz α(1 + ρ2) + β zovemo ustrajnost modela

Bibliography

VaR (Value at risk)

Ustrajnost šokova

ukoliko je vrijednost α(1 + ρ2) + β blizu 1 tada šokovi natržištu koji udaljavaju varijancu od njezine bezuvjetne,stacionarne vrijednosti će ustrajati kroz dugo vrijeme(k →∞). U tom slučaju kažemo da vremenski niz imadugu memoriju

S druge strane, male vrijednosti izraza α(1 + ρ2) + βukazuju da se šokovi u prinosima brže guše u vremenu.

Bibliography

VaR (Value at risk)

Ustrajnost šokova

ukoliko je vrijednost α(1 + ρ2) + β blizu 1 tada šokovi natržištu koji udaljavaju varijancu od njezine bezuvjetne,stacionarne vrijednosti će ustrajati kroz dugo vrijeme(k →∞). U tom slučaju kažemo da vremenski niz imadugu memoriju

S druge strane, male vrijednosti izraza α(1 + ρ2) + βukazuju da se šokovi u prinosima brže guše u vremenu.

Bibliography

VaR (Value at risk)

Ukoliko procjenu rizika analiziramo u vidu jednodnevneprocjene volatilnosti, tada se to može učiniti na dva načina:

za procjenu volatilnosti tečaja koristimo vrijednostσ̂ = 0.0023788.

za procjenu volatilnosti tečaja koristimo procjenu dobivenuNGARCH modelom koristeći procijenjene parametre

Graf prikazuje interval od 1.65σ u cilju dobivanja intervalaunutar kojeg se očekuje apsolutna vrijednost prinosa usljedećem danu uz pouzdanost od 95%. Često se ta vrijednostoznačava kao VaR (engl. Value at Risk).

Bibliography

VaR (Value at risk)

Ukoliko procjenu rizika analiziramo u vidu jednodnevneprocjene volatilnosti, tada se to može učiniti na dva načina:

za procjenu volatilnosti tečaja koristimo vrijednostσ̂ = 0.0023788.

za procjenu volatilnosti tečaja koristimo procjenu dobivenuNGARCH modelom koristeći procijenjene parametre

Graf prikazuje interval od 1.65σ u cilju dobivanja intervalaunutar kojeg se očekuje apsolutna vrijednost prinosa usljedećem danu uz pouzdanost od 95%. Često se ta vrijednostoznačava kao VaR (engl. Value at Risk).

Bibliography

VaR (Value at risk)

NGARCH model je u stanju preciznije procjeniti rizik budući dase radi o modelu uvjetne heteroskedastičnosti

02.01.2001. 2002. 2003. 2004. 2005. 30.12.2005.

−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

prinosiBS gornja ogradaBS donja ogradaGARCH gornja ogradaGARCH donja ograda

Bibliography

VaR (Value at risk)

Iz grafa je vidljivo da u periodima mirnijih zbivanja natržištu NGARCH model daje niže i prikladnije procjenevolatilnosti za razliku od Brownovog modela

Konstantna volatilnost Brownovog modela je znatno većabudući da je opterećena periodima intenzivnih promjena,odnosno velikih volatilnosti, na tržištu (npr. 2001) pa dajepreveliku volatilnost u mirnijim područjima

Bibliography

VaR (Value at risk)

Iz grafa je vidljivo da u periodima mirnijih zbivanja natržištu NGARCH model daje niže i prikladnije procjenevolatilnosti za razliku od Brownovog modela

Konstantna volatilnost Brownovog modela je znatno većabudući da je opterećena periodima intenzivnih promjena,odnosno velikih volatilnosti, na tržištu (npr. 2001) pa dajepreveliku volatilnost u mirnijim područjima

Bibliography

VaR (Value at risk)

Outline

Bibliography

VaR (Value at risk)

VaR je jednostavna mjera rizika koja odgovara na pitanje:Kolika je vrijednost najvećeg (novčanog) gubitka koja će usljedećih K dana trgovanja biti premašena p× 100 % puta?

P($Gubitka > $VaR) = p

ukoliko definiramo VaR u odnosu na trenutnu vrijednostportfelja kao

VaR = $VaRVPFtada imamo

P(PPF < −VaR) = p

Bibliography

VaR (Value at risk)

VaR je jednostavna mjera rizika koja odgovara na pitanje:Kolika je vrijednost najvećeg (novčanog) gubitka koja će usljedećih K dana trgovanja biti premašena p× 100 % puta?

P($Gubitka > $VaR) = p

ukoliko definiramo VaR u odnosu na trenutnu vrijednostportfelja kao

VaR = $VaRVPFtada imamo

P(PPF < −VaR) = p

Bibliography

VaR (Value at risk)

Primjer

Ukoliko sa VaR0.01t+1 označimo 1% VaR povrata za jedan danunaprijed, tada je uz pretpostavku da su povrati uvjetnonormalno distribuirani očekivanja µ i standardne devijacije σ,

VaR0.01t+1 = −σt+1 ∗ Φ−10.01 − µ

Interpretacija: VaR nam daje broj za koji postojivjerojatnost 1% gubitka koji je veći od VaR0.01t+1 × 100%današnje vrijednosti portfelja

Bibliography

VaR (Value at risk)

Vrijednost Φ0.01p je uvijek negativna za p< 5%

Jedino što je potrebno za računanje vrijednosti VaR jeprocjena volatilnosti.

Budući da je VaR u stanju opisati jedan bitan aspekt rizika,odnosno odgovoriti na pitanje koliko loše mogu krenutistvari (uz odredenu vjerojatnost p) VaR je postaostandardni benchmark za računanje rizika

Bibliography

VaR (Value at risk)

Bibliography

VaR (Value at risk)

Bibliography

Financijski derivati su financijski instrumenti čija isplataovisi o cijenama drugih financijskih instrumenata.

Nakon uredenja sustava za trgovanje na burzi, u skorijoj sebudućnosti očekuje trgovanje derivatima koje nije OTC,odnosno over–the–counter tipa (trgovanje se ne odvijapreko burze, već je neformalnog tipa)

od izuzetnog je značaja kvantificirati pravednu cijenu takvihinstrumenata

najlikvidniji i najčešće korišteni ugovori su linearni derivati -forwardi na tečaj EUR/HRK ili puno rjede na ostale stranevalute, zatim tečajni i kamatni swapovi

tržište nelinearnim derivatima–opcijama–gotovo i ne postoji

Bibliography

sagledavanje mogućih cijena opcija na vrijednosniceiziskuje prije svega prikladno ekonometrijsko modeliranjekretanja cijena vrijednosnica i njihovih volatilnosti

formule za vrednovanje opcija su funkcije nekih ili svihparametara prisutnih u modelu koji opisuje kretanje cijenasame vrijednosnice

Bibliography

Duan, J.-C.The GARCH option pricing model.Mathematical Finance, 5(1):13–32, 1995.

Duan, J.-C.Pricing foreign currency and cross currency options underGARCH.The Journal of Derivatives, 7(1):51–63, 1999.

Bibliography

OutlineMain TalkPregled današnjeg izlaganjaVrijednosnice na hrvatskom trzištu: Stilizirane cinjenice financijskih podatakaNelinearni u ocekivanju asimetricni GARCH modelEkonometrijska procjena modelaMetoda maksimalne vjerodostojnosti

Procjena rizikaVaR (Value at risk)

Financijski derivatiBibliography

analiza tecaja na hrvatskom trzi tu pomocu ngarch modelaanaliza tecaja na hrvatskom trˇ ziˇ stu...

Documents