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MODELAGEM GEOESTATISTIC A U TILIZ AN DO A F AMILIA DE

GN EITIN G DE F U N C OES DE C OV AR IAN C IA

ESP AC O-TEMP OR AIS

Alexandre Sousa da SILVA1

P aulo J ustiniano R IB E IR O J R 2

Ioannis E LM AT Z O G LO U 2

RESUMO: A especificacao de funcoes de covariancia espaco-temporais e uma das

possıveis estrateg ias para modelag em de processos dos q uais ob servacoes sao tomadas

em diferentes posicoes do espaco e do tempo. T ais funcoes podem definir processos

separaveis ou nao separaveis e na sua especificacao deve-se g arantir q ue sao funcoes de

covariancia validas atendendo a condicao de serem positiva definidas. Entre estrateg ias

para ob tencao de tais funcoes estao a de C ressie e H uang b aseadas em transformacoes

inversas de representacoes espectrais e G neiting q ue permite a construcao de famılias

de funcoes de covariancia diretamente no domınio das ob servacoes. A primeira se

b aseia na ideia de ob ter funcoes em um espaco de dimensao aumentada a partir de

funcoes validas no espaco orig inal e necessita de operacoes no domınio da freq uencia.

Alternativamente, a seg unda proposta utiliza comb inacao de funcoes completamente

monotonas e estritamente crescentes evitando assim a inversao de representacoes

espectrais. H a ainda poucos relatos de uso e avaliacoes comparativas das diferentes

propostas. N este trab alh o considerou-se a metodolog ia proposta por G neiting , com

diferentes valores do parametro q ue indica a forca da interacao entre o espaco e o

tempo. P ara ilustrar a metodolog ia modelos separaveis e nao-separaveis foram ajustados

a um conjunto de dados referentes a armazenag em de ag ua em um solo com cultura de

citros e tamb em usados para ob ter predicoes do processo. Utilizou-se a implementacao

no pacote RandomFields do prog rama R, revisando-se a metodolog ia e investig ando-se

a implementacao computacional. N a aplicacao o modelo de covariancia separavel se

mostrou adeq uado para descrever o comportamento das ob servacoes disponıveis sendo

a escolh a do modelo determinada por ajustes de max ima verossimilh anca.

1Departamento de Ciencias Exatas, Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz, Universidadede Sao P aulo – ESALQ/ USP , CEP 1 3 4 1 8 -9 0 0 , P iracicab a, SP , B rasil. E-mail: [email protected]

2Lab oratorio de Estatıstica e G eoinformacao, Universidade F ederal do P arana – UF P R , CEP 8 1 5 3 1 -9 9 0 , Curitib a, P R , B rasil. E-mail: paulo [email protected]

R ev. M at. Estat., Sao P aulo, v.2 5 , n.1 , p.6 5 -8 3 , 2 0 0 7 6 5

PALAVRAS-CHAVE: Funcoes de covariancia; geoestatıstica; modelos espaco-temporais;

campos aleatorios.

1 Introducao

Dados espaco-temporais sao caracterizados pela descricao da variabilidade notempo e no espaco, e o objetivo da analise estatıstica deste tipo de dado estaem descrever a incerteza nao somente sobre as estimativas das q uantidades deinteresse mas, tambem, estimar valores em locais e/ ou tempos nao amostrados. N aliteratura estatıstica existe um g rande numero de aplicacoes e publicacoes referentesa processos puramente espaciais ou puramente temporais, e mais recentementecomecam a ser apresentadas propostas para modelag em conjunta no espaco e tempo.Esta analise conjunta e o interesse dos modelos espaco-temporais q ue tem g anh ouma crescente popularidade na ultima decada, o q ue pode ser explicado, por umlado, pela aplicabilidade, por exemplo em ciencias ambientais e da saude; e poroutro, pelo crescente desenvolvimento de recursos computacionais.

Metodos g enericos para modelag em espaco-temporal nao sao amplamentedisponıveis, como no caso de modelos espaciais e temporais isoladamente, tendendoa ser fortemente lig ados a aplicacao em q uestao. Desse modo implementacoescomputacionais g enericas para tais modelag em tambem sao escassas. Portanto arevisao, aplicacao e testes de metodolog ias q ue vem sendo propostas e relevantepara identifi cacao de metodos aplicaveis a categ orias mais amplas de problemas.Gneiting e Sch lath er (2 0 0 2 ), em uma revisao sobre estrateg ias de modelag emespaco-temporal, ag rupam-nas em duas categ orias: a abordag em g eoestatıstica ea abordag em baseada em modelos.

N a abordag em g eoestatıstica, g eralmente considerada para campos aleatoriosg aussianos, em q ue o processo e totalmente especifi cado pelo vetor de medias epela matriz de covariancia. Em g eral, o vetor de medias e facilmente especifi cadoa partir de informacoes contextuais, mas o mesmo nao acontece com a matriz decovariancia, componente-ch ave desta metodolog ia. N esta abordag em, esta matrizpossui elementos dados por uma funcao de covariancia valida, q ue asseg ure acondicao de matriz positiva defi nida (Sch lath er, 1 9 9 9 ).

N a abordag em baseada em modelos e enfatizada a adocao de modelosestocasticos e nesta metodolog ia a funcao de covariancia nao e a unica estruturautilizada para especifi car o modelo. Sendo assim, este metodo pode ir de umafuncao de covariancia de forma analıtica simples a uma funcao intratavel e somentedefi nida implicitamente, induzida pelo modelo adotado. N este contexto incluem-semodelos bay esianos fl exıveis, dinamicos e/ ou h omog eneos e metodos baseados natecnica do fi ltro de K alman.

N este trabalh o considerada-se a abordag em g eoestatıstica para a modelag emde campos aleatorios espaco-temporais. Alem disso assume-se g aussianidadeexplicitamente, uma vez q ue adotam-se metodos de inferencia baseados naverossimilh anca. Uma forma intuitiva de produzir modelos validos para a funcao

66 Rev. Mat. Estat., Sao Paulo, v.25, n.1, p.65-83, 2007

de covariancia espaco-temporal e por meio da combinacao de funcoes validaspuramente espacial e puramente temporal. Propriedades de funcao de covarianciaasseguram que o produto ou a soma de funcoes de covariancias validas tem comoresultado uma funcao de covariancia tambem valida. As funcoes de covarianciaespaco-temporais obtidas desta forma sao ditas separaveis, ja que nao contemplama possibilidade de interacao entre o componente espacial e temporal. Por isso, emgeral, nao sao realısticas ja que assumem a independencia dos processos espaciais etemporais.

Alternativamente as funcoes de covariancia espaco-temporais nao separaveisincorporam a interacao entre o componente espacial e temporal, mas apresentamcomo grande desvantagem a dificuldade em se construir funcoes de covariancia quesejam validas e sao mais difıceis de serem estimadas. Metodos de analise matematicadevem ser aplicados para garantir a validade dessas funcoes e em geral se valem doteorema de Bochner (Bochner, 195 9), que utiliza a representacao espectral paragarantir a validade das funcoes de covariancia espaco-temporais. Nesta linha,C ressie e H uang (1999), Gneiting (2002) e Stein (2004 , 2005 ) propoem famıliasde funcoes de covariancia nao separaveis validas para processos espaco-temporaisgaussianos.

2 Campos aleatorios

Um campo ou funcao aleatoria e um processo estocastico definido no espacoG ⊂ Rd, ou seja, uma funcao cujos valores sao realizacoes de variaveis aleatorias emqualquer ponto do domınio (Schmidt e Sanso, 2006 ), ou, em outras palavras, umafamılia ou colecao de variaveis aleatorias, em que cada um dos seus membros podemser identificados ou localizados de acordo com a mesma metrica (Schabenberger eGotw ay, 2005 ). Um campo aleatorio pode ser denotado por:

{Z(s) : s ∈ G ⊂ Rd},

em que Z(s) e o valor do atributo Z na localizacao s e d = 1, 2, . . . e a dimensao docampo aleatorio. Segundo Schmidt e Sanso (2006 ) e Le e Zidek (2006 ) a descricaode um campo aleatorio e obtida pelas distribuicoes acumuladas finito-dimensionaisF se, para qualquer conjunto de pontos nas localizacoes s1, s2, . . . , sn pertencentesa regiao G e qualquer inteiro n,

Fs1,s2,...,sn(z1, z2, . . . , zn) ≡ P{Z(s1) ≤ z1, Z(s2) ≤ z2, . . . , Z(sn) ≤ zn}.

Um campo aleatorio gaussiano corresponde ao caso particular em que taisdistribuicoes finito-dimensionais sao gaussianas, ou seja, um campo aleatorio egaussiano se a distribuicao para qualquer conjunto de ındices i = 1, 2, . . . , n e umagaussiana n-variada. C onsequentemente, por propriedades da distribuicao gaussianamultivariada, cada Z(si) e uma variavel aleatoria gaussiana univariada.

O processo gaussiano e particularmente importante na analise de camposaleatorios, ja que estes sao completamente especificados pelo vetor de medias e suamatriz de covariancia (Gneiting e Schlather, 2002). O vetor de medias e especificado

Rev. Mat. Estat., Sao Paulo, v.25, n.1, p.65-83, 2007 67

pelo conhecimento de covariaveis, isto e, efeitos fixos, que influenciam a variavel deinteresse. A matriz de covariancia precisa ser positiva definida para ser consideradavalida. Para tanto cada um de seus elementos pode ser dado por uma funcao decovariancia tal que para (Z(s1), Z(s2), . . . , Z(sn)), com matriz de covariancia Σ comdimensao n×n e simetrica, em que Σij = C(si−sj), ou seja, cada valor de Σ e iguala covariancia entre respostas em duas localizacoes correspondentes, e necessario esuficiente que C satisfaca a condicao de ser positiva definida, em outras palavras,para qualquer vetor nao zero a, a forma quadratica a′Σa deve ser maior igual azero. Sendo assim, esta condicao pode ser escrita nas seguintes formas:

a′Σa =

k∑

i= 1

k∑

j= 1

aiajC(si − sj) ≥ 0 =

k∑

i= 1

k∑

j= 1

aiajC(hij) ≥ 0,

em que ai e aj sao elementos do vetor a e hij denota o vetor de separacao entre si

e sj . Sendo a funcao de covariancia positiva definida, e portanto valida, e garantidoque a matriz de covariancias tambem o sera. Entretanto determinar se esta funcao epositiva definida e, em geral, nao trivial. Uma forma frequentemente utilizada paraverificar a validade de uma funcao de covariancia e verificar se sua representacaoespectral satisfaz o teorema de Bochner (Bochner, 1959).

2 .1 Pro p rie d ad e s d a fu n c ao d e c o v arian c ia

A funcao de covariancia C(h) de um campo aleatorio estacionario de segundaordem deve satisfazer as seguintes propriedades:(i) Co v [Z(s), Z(s + 0)] = V a r [Z(s)] = C(0) ≥ 0;

(ii) C(h) = C(-h);

(iii) C(0) ≥| C(h) |;

(iv) C(h) = Co v [Z(s), Z(s+ h)] = Co v [Z(0), Z(h)];

(v) Se Cj(h) com j = 1, 2, . . . , k , sao funcoes de covariancia validas,

entao∑k

j= 1bjCj(h) e uma funcao de covariancia valida, se bj ≥ 0 ∀j;

(vi) Se Cj(h) com j = 1, 2, . . . , k , sao funcoes de covariancia validas, entao∏k

j= 1Cj(h) e uma funcao de covariancia valida;

(vii) Se C(h) e uma funcao valida no Rd,

entao ela tambem sera uma funcao de covariancia valida em Rp, com p < d.

De acordo com Schabenberger e Gotway (2005), as propriedades (i) e (ii) saoimediatas, (iii) segue a forma da inequacao de Cauchy-Schwarz, (iv) caracteriza afalta de importancia da coordenada absoluta, (v) assegura que combinacoes linearesde funcoes de covariancia validas sao tambem funcoes de covariancia validas e (vi)


assegura que o produto de funcoes de covariancia validas tem como resultado umafuncao de covariancia valida.

Em campos aleatorios espaco-temporais a propriedade (ii) nem sempree satisfeita, o que da origem aos modelos de covariancia espaco-temporaisassimetricos. Ja as propriedades (v) e (vi) dao suporte a construcao de modelosde covariancia espaco-temporais separaveis.

2.2 Inferencia

Uma ferramenta de uso comum para investigacao da dependencia espacialem geoestatıstica e o semivariograma que para campos aleatorios intrinsecamenteestacionarios e definido por 2γ(h) = E{[Z(si)−Z(sj)]

2}. Portanto, uma estimativaempırica do semivariograma e dada pelo estimador de momentos:

γ(h) =1

2|N(h)|

∑

|N(h)|

{Z(si) − Z(sj)}2, (1)

em que |N(h)| e a quantidade de pontos separados pela distancia h de separacaoentre si e sj . De acordo com Schabenberger e Gotway (2005), o estimador γ(h) e naoviesado para γ(h) se Z(s) for intrinsecamente estacionario. No caso do processo emque assume-se a estacionariedade de segunda ordem, o variograma informa tambemsobre a funcao de correlacao.

Isto justifica uma pratica comum em geoestatıstica de se utilizar osemivariograma empırico para inferir sobre parametros do modelo, por meio doajuste de uma funcao valida para o semivariograma teorico.

Um outro paradigma para estimacao de parametros, sob a pressuposicaode estacionariedade forte, e dado pelo metodo de maxima verossimilhanca.A estimacao dos parametros de campos aleatorios pelo metodo de maximaverossimilhanca requer pressuposicoes sobre a distribuicao do processo. DadoZ = [Z(s1), Z(s2), . . . , Z(sn)]

′

, que denota o vetor de observacoes e assumindoZ(s) ∼ G(µ1, Σ(θ)), o metodo da maxima verossimilhanca consiste em maximizaro logaritmo da distribuicao gaussiana n-variada:

L(µ, θ; z1, z2, . . . , zn) = −1

2{ln(|Σ(θ)|) + n ln(2π) + (z(s)− 1µ)′Σ(θ)−1(z(s)− 1µ)}.

(2)Estimadores de maxima verossimilhanca sao largamente utilizados em

estatıstica, por assegurarem uma serie de propriedades, ja que sob condicoes usuaisde regularidade estes estimadores sao assintoticamente nao viesados e eficientes.Entrentanto, na pratica, em aplicacoes geoestatısticas, este metodo de estimacaopode requerer muito tempo computacional, ou ate mesmo ser proibitivo, devido adimensao da matriz de covariancia. Tais problemas tendem a ser ainda frequentesem modelagem espaco-temporal.

Diggle, Ribeiro e Christensen (2003 ) e Diggle e Ribeiro (2007 ) discutem emdetalhes metodos baseados na verossimilhanca para estimacao de parametros dosprocessos geoestatısticos espaciais, incluindo metodos bayesianos.


2.3 Campos aleatorios espaco-temporais

Processos ambientais e geofısicos como concentracao de poluentes, precipitacaoe superfıcie do vento sao exemplos de fenomenos que podem ser modelados porcampos aleatorios espaco-temporais. Processos deste tipo sao caracterizado peladescricao da variabilidade do atributo de interesse na dimensao do espaco e dotempo. Segundo Schabenberger e Gotway (2005) existem tres possibilidades parao estudo desta variabilidade: (i) analise espacial para cada processo temporal;(ii) analise temporal para cada processo espacial; (iii) analise espacial e temporalconjunta. As duas primeiras possibilidades isolam a parte temporal ou a espaciale aplicam tecnicas de analise espacial ou de series temporais para o tipo deprocesso resultante. A terceira possibilidade considera o processo espacial etemporal conjuntamente e e a considerada neste trabalho. No processo deconstrucao desta analise conjunta, a aplicacao das tecnicas usuais para estudoda variabilidade espacial e temporal separadamente pode ser utilizada como umaferramenta exploratoria e auxiliar na construcao de modelos adequados. Entretantoa modelagem espaco-temporal vai alem de tais tecnicas, podendo requerer modelose metodos especıficos para analise de dados. Isso tambem justifica a estrategiaadotada aqui de assumir explicitamente um modelo gaussiano, mesmo considerandoque na analise geoestatıstica puramente espacial alguns autores optam por naoassumir tal pressuposto.

Um campo aleatorio espaco-temporal e definido como

{Z(s, t), s ∈ Rd, t ∈ R},

em que Z(s, t) e valor de atributo Z no espaco s ∈ Rd e no tempo t ∈ R. Por essadefinicao, percebe-se intuitivamente que o domınio natural do processo e Rd × R.Neste trabalho o componente espacial sera considerado bidimensional, ou seja, d =2, por ser a situacao comum na pratica, entretanto ressalta-se que a dimensao doprocesso pode ser qualquer numero finito positivo.

Tempo e espaco nao sao diretamente comparaveis, ja que as unidades dascoordenadas dos dois processos apresentam grandezas diferentes e o tempo exibeuma ordenacao natural. F isicamente existe uma clara diferenca entre as dimensoesespaciais e temporais e os modelos precisam considera-las. Segundo Gneiting,Genton e Guttorp (2006) funcoes de covariancia ou mesmo a interpolacao espacialpor krigagem se utilizam de espacos euclidianos e sao diretamente aplicados aproblemas espaco-temporais. Assim sendo, a simples separacao vetorial do domınioespacial e temporal tem importantes implicacoes.

De acordo com Gneiting e Schlather (2002), na modelagem de processosespaco-temporais duas formas para especificacao do modelo podem ser consideradas.A primeira e a Especificacao geoestatıstica na qual e necessaria a ressuposicaode uma distribuicao, geralmente gaussiana, para funcao aleatoria Z(s, t) que edefinida em toda coordenada espaco-temporal. A funcao de covariancia e definida nadimensao espaco-temporal contınua, caracterizando o modelo da funcao aleatoria,que pode ser utilizada na predicao de qualquer localizacao espacial e em qualquerinstante de tempo. O ajuste da funcao de covariancia e de importancia central nessa


metodologia, e portanto expressoes com forma fechada para funcao de covarianciasao essenciais. A segunda e a especificacao baseada em modelos. Essa tecnicaenfatiza a adocao de modelos estocasticos para solucao de problemas praticos nosquais a funcao de covariancia nao e especificada explicitamente, mas sim induzidapelo modelo. Essa forma de especificacao espaco-temporal pode entretanto ir deuma funcao com forma analıtica simples ate uma forma nao fechada, definidasomente implicitamente, induzida pelo modelo adotado. Essa metodologia englobade modelos hierarquicos bayesianos espaco-temporais a tecnicas baseadas no filtrode Kalman, com a caracterıstica de apresentar predicoes baseadas em metodoscomputacionalmente eficientes.

A especificacao geoestatıstica e conceitualmente simples, particularmentequando combinada com a adocao do modelo gaussiano, que e completamenteespecificado por sua media e estrutura de covariancia. Alem disso, a predicaoespacial por algorıtmos genericamente conhecidos como krigagem, que geralmentee o objetivo da analise de campos aleatorios, requer a especificacao apropriadada funcao de covariancia. Por outro lado, esta forma de especificacao assumeestacionariedade espaco-temporal da estrutura de covariancia, que portanto naopermite formas flexıveis como as induzidas pela especificacao baseada em modelos.Neste trabalho adota-se especificacao geoestatıstica aplicada a processos espaco-temporais gaussianos.

Assumindo as condicoes de regularidade do campo aleatorio espaco-temporal,V ar(Z(s, t)) < ∞ para todo s ∈ R2, t ≥ 0, (Cressie e Huang, 1999), define-se amedia e a funcao de covariancia por:

µ(s, t) = E(Z(s, t))

Cov(Z(s1, t1), Z(s2, t2)) = C(s1, s2, t1, t2).

De acordo com Gneiting, Genton e Guttorp (2006), o interesse inicialdas analises e em geral o de verificar a plausibilidade de tres caracterısticassimplificadoras da descricao do processo: estacionariedade, simetria completa eseparabilidade. Apos esse estudo sera possıvel decidir sobre a complexidade damodelagem.

Um campo aleatorio espaco-temporal e estacionario se sua esperanca naodepende das coordenadas espaco-temporais e sua funcao de covariancia dependesomente de um vetor de separacao dos pontos em Rd × R. Portanto umcampo aleatorio espaco-temporal apresenta covariancia estacionaria no espaco seCov(Z(s1, t1, s2, t2)) depende somente do vetor de separacao h = s1−s2, e apresentaestacionariedade temporal se Cov(Z(s1, t1, s2, t2)) depende somente do vetor deseparacao u = t1 − t2. Dessa forma se o campo aleatorio espaco-temporal possuicovariancia estacionaria esta e dada por:

Cov(Z(s1, t1), Z(s2, t2)) = c(h, u)

O campo aleatorio espaco-temporal apresenta simetria completa se

Cov(Z(s1, t1), Z(s2, t2)) = Cov(Z(s1, t2), Z(s2, t1)),


para todas as coordenadas espaco-temporais s1, t1 e s2, t2 em R2 × R. No caso dacovariancia ser estacionaria e completamente simetrica tem-se:

C(h, u) = C(h,−u) = C(−h, u) = C(−h,−u),

para todo (h, u) ∈ R2 × R.A classe mais simples de funcoes de covariancia espaco-temporal e dada pelos

modelos separaveis. Funcoes de covariancia espaco-temporais separaveis podem serdefinidas com base nas propriedades de aditividade e multiplicabilidade (2.1, vi evii). Assim, a funcao de covariancia pode ser decomposta entre uma funcao decovariancia puramente espacial e outra puramente temporal, que no caso aditivopode ser escrita como:

Cov(Z(s1, t1), Z(s2, t2)) = Cov(Z(s1, s2)) + Cov(Z(t1, t2))

e no caso multiplicativo por:

Cov(Z(s1, t1), Z(s2, t2)) = Cov(Z(s1, s2))Cov(Z(t1, t2)), (3)

em que em ambos os casos s1, t1 e s2, t2 ∈ R2 × R.Esta classe de modelos de covariancia espaco-temporal, embora simplista por

nao considerar a interacao entre o espaco e o tempo, e muito utilizada na praticapor ser computacionalmente tratavel e pela forma intuitiva e simples de obtencaode funcoes de covariancia validas.

Todos os modelos separaveis sao tambem completamente simetricos. Paraa demonstracao desta relacao considere a eq. (2), considere tambem as variaveisaleatoria espaco-temporais Z(s1, t2) e Z(s2, t1). A funcao de covariancia separavelsera dada por:

Cov(Z(s1, t2), Z(s2, t1)) = Cov(Z(s1, s2))Cov(Z(t2, t1)),

dessa forma conclui-se que:

Cov(Z(s1, t1), Z(s2, t2)) = Cov(Z(s1, t2), Z(s2, t1)),

que e a definicao da propriedade de campos aleatorios espaco-temporaiscompletamente simetricos.

Um exemplo simples de especificacao de uma funcao de covariancia espaco-temporal separavel dado pela combinacao de modelos de covariancia exponenciaise:

Cov(Z(s1, t1), Z(s2, t2)) = σ21 exp(−||A1(s1 − s2)||) + σ2

2 exp(−||A2(t1 − t2)||),

em que A1 e A2 sao denominadas matrizes de anisotropia e || · || a normaeuclidiana. Tais matrizes expandem a ideia de anisotropia geometrica utilizada emmodelos geoestatısticos puramente espaciais (Isaaks e Srisvastava, 198 9) permitindoa representacao combinada das dimensoes espaciais e temporais. Por exemplo,


supondo um processo isotropico no espaco, e separabilidade entre espaco e tempo,as matrizes sao dadas por:

A1 =

φ1 0 00 φ1 00 0 0

, A 2 =

0 0 00 0 00 0 φ2

em q u e φ1 e φ2 sa o p a ra m etro s q u e d esc rev em o d ec a im en to d a s fu n c o esd e c o rrela c a o ex p o n en c ia l n a s d im en so es esp a c ia l e tem p o ra l, resp ec tiv a m en te.M o d elo s esp a c ia lm en te n a o iso tro p ic o s, n a o sep a ra v eis e n a o sim etric o s p o d em seren ta o esp ec ifi c a d o s c o n sid era n d o -se fo rm a s m a is g en eric a s p a ra ta is m a trizes d ea n iso tro p ia .

Q u a lq u er fu n c a o d e c o v a ria n c ia esp a c o -tem p o ra l q u e n a o p u d er ser esc rita emu m a d a s d u a s fo rm a s sep a ra v eis a n terio rm en te m en c io n a d a s e n em em c o m b in a c o esd esta s, sera d ita u m a fu n c a o n a o sep a ra v el. A s fu n c o es d e c o v a ria n c ia sep a ra v eis,em b o ra fa c ilm en te o b tid a s, sa o em g era l in sa tisfa to ria s p a ra d esc rev er p ro cesso sn a tu ra is, o q u e g era a n ecessid a d e d e se esp ec ifi c a r fu n c o es n a o sep a ra v eis.K y ria k id is e J o u rn el (1 9 9 9 ), rev isa m e d isc u tem a b o rd a g en s p a ra esp ec ifi c a c a od e p ro cesso s g eo esta tıstic o s esp a c o -tem p o ra is. C ressie e H u a n g (1 9 9 9 ), p ro p o emc la sses d e fu n c o es d e c o v a ria n c ia n a o sep a ra v eis v a lid a s, c u ja o b ten c a o n a o se b a seian o d o m ın io d a s o b serv a c o es, m a s sim n o d o m ın io d a freq u en c ia , u m a v ez q u e arep resen ta c a o esp ec tra l e a d en sid a d e esp ec tra l p o d em ser u tiliz a d a s p a ra d esc rev era s p ro p ried a d es d o p ro cesso . G n eitin g (2 002 ), em u m a a b o rd a g em a ltern a tiv a ,o b tem m o d elo s v a lid o s d e fu n c a o d e c o v a ria n c ia p ela d efi n ic a o d e fu n c o es m o n o to n a se p o sitiv a s.

2.3.1 Representacao de Gneiting

A rep resen ta c a o d e C ressie e H u a n g (1 9 9 9 ) p erm ite a c o n stru c a o d e fa m ılia sd e fu n c o es d e c o v a ria n c ia esp a c o -tem p o ra is esta c io n a ria s e n a o sep a ra v eis p elain v ersa o d e F o u rier, o q u e restrin g e esta fa m ılia a u m p eq u en o g ru p o d e fu n c o esc o m so lu c o es c o m fo rm a fech a d a p a ra ta l in v ersa o . G n eitin g (2 002 ) p ro p o e u m afl ex ıv el e eleg a n te fa m ılia d e fu n c o es d e c o v a ria n c ia esp a c o -tem p o ra is, c u ja o b ten c a on a o req u er o p era c o es n o d o m ın io esp ec tra l. A c o n stru c a o d e fu n c o es d e c o v a ria n c iav a lid a s se d a p o r m eio d e c o m p o n en tes elem en ta res em q u e su a v a lid a d e e fa c ilm en tev erifi c a d a . T a l fo rm a , a in d a p o u c o ex p lo ra d a n a litera tu ra e a p lic a c o es, e a a d o ta d an este tra b a lh o .

A rep resen ta c a o d e G n eitin g (2 002 ) c o n sid era q u a lq u er fu n c a o m o n o to n a φ(x),d efi n id a em x ≥ 0 e q u a lq u er fu n c a o p o sitiv a ψ(x), d efi n id a em x ≥ 0 co m d eriv a d a sc o m p leta m en te m o n o to n a s, e d essa fo rm a ,

C(h,u) =σ2

(ψ(u)2)δ/2φ( h2

ψ(u2)

)

(4 )

e u m a fu n c a o d e c o v a ria n c ia esp a c o -tem p o ra l v a lid a em Rd ×R, em q u e h = | | h | | ea d ista n c ia esp a c ia l, u rep resen ta o v eto r d e d ista n c ia s n o tem p o e δ d ev e ser m a io r


ou igual a genuına dimensao espacial d e portanto, por simplicidade, considera-seaqui δ = d.

D e acordo com Gneiting (2002) uma funcao contınua φ(x) e completamentemonotona se possui derivadas φ(n) de todas as ordens e (−1)nφ(n)(x) ≥ 0, em quex > 0, n = 0, 1, 2, . . . .

Assim, Gneiting propoe uma famılia de funcoes de covariancia espaco-temporalmuito geral que nao depende da inversao de Fourier na forma fechada e naonecessita de integrabilidade. D e acordo com E lmatzoglou (2006 ) nesta famılia oscomponentes φ(x) e ψ(x) podem ser associados com a estrutura espacial e temporal,respectivamente. Gneiting (2002), apresenta possıveis escolhas para tais funcoes,que sao reproduzidas nas Tabelas 1 e 2.

Tabela 1 - Funcoes completamente monotonas φ(x),x ≥ 0

φ(x) = exp(−cxγ), c > 0, 0 < γ ≤ 1φ(x) = (1 + cxγ)ν , c > 0, 0 < γ ≤ 1, ν > 0φ(x) = (2ν−1Γ (ν))−1(cx1/2)νKν(cx1/2), c > 0, ν > 0φ(x) = 2ν(exp(cx1/2) + exp(−cx1/2))ν , c > 0, ν > 0

Tabela 2 - Funcoes positivas ψ(x), x ≥ 0

ψ(x) = (a xα + 1)β , a > 0, 0 < α ≤ 1, 0 ≤ β ≤ 1ψ(x) = ln (a xα + b)/ln (b), a > 0, b > 1, 0 < α ≤ 1ψ(x) = (a xα + b)/(b(a xα + 1)), a > 0, 0 < b ≤ 1

U m exemplo simples de funcao de covariancia espaco-temporal nao separavele dada como segue: considere a primeira linha das Tabelas 1 e 2, em que φ(x) =exp(−cxγ), c > 0, 0 < γ ≤ 1 e ψ(x) = (a xα + 1)β , a > 0, 0 < α ≤ 1, 0 ≤ β ≤ 1.S ubstituindo na eq. (3 ) tem-se:

C(h, u) =σ2

(a u2α + 1)βd

2

exp{ ch2γ

(a u2α + 1)βγ

}

. (5 )

N esta expressao, nota-se que para β = 0 a funcao de covariancia nao maisdepende do tempo. P ortanto, usando a propriedade de que o produto de funcoes decovariancias validas e tambem uma funcao valida, multiplicando-se a eq. (4) poruma funcao de covariancia puramente temporal, C(u) = (a uα + 1)−κ κ > 0, tem-secomo resultado:

C(h, u) =σ2

(a u2α + 1)κ+ βd

2

exp{ ch2γ

(a u2α + 1)βγ

}

,

e para β = 0, a expressao da funcao de covariancia se reduz a

C(h, u) =σ2

(a u2α + 1)κexp{ch2γ}


que e uma funcao de covariancia separavel que pode ser escrita na forma,

C(h, u) = σ2C(u)C(h)

em que C(u) = (au2α + 1)−κ e a funcao puramente temporal, enquantoC(h) = exp{ch2γ} e a funcao puramente espacial. Essa representacao sugere queo parametro β pode ser utilizado para testar a hipotese de separabilidade. Fuentes(2005) discute essa e outras formas de verificar a separabilidade e propoe um testesimples para separabilidade de funcoes de covariancia espaco-temporal baseado emuma analise de variancia de dupla entrada.

3 Aplicacao

A agua e um dos mais importantes fatores para o adequado desenvolvimentode qualquer cultura agrıcola e o conhecimento da sua dinamica no solo eindispensavel para o aprimoramento de praticas de manejo que visem a otimizacaoda produtividade da cultura (Moreti,2006). O autor desenvolve um estudoda capacidade de armazenagem de agua em um L atossolo V ermelho AmareloArgissolico cultivado com citros, em uma parcela experimental na qual foramcoletados dados em duas transacoes com 20 pontos de observacao cada, comespacamento de 4,0 m entre os pontos amostrados e 7 ,0 m entre as transecoes. Paraquantificar a armazenagem de agua no solo foi instalado, em cada ponto amostral,um tubo de acesso a sonda de neutrons ate a profundidade de 1,20 m, localizadono centro da distancia entre duas plantas ao longo da linha.

A cultura de citros foi implantada em marco de 1991, e as amostras foramcoletadas de 2001 a 2004, totalizando 98 coletas de dados nao equidistantes notempo. Neste trabalho utilizou-se dados de 25 momentos de tempo tomados um emcada quatro, aos quais ajustou-se modelos espaco-temporais. A restricao de tomarapenas 25 dentre os 98 perıodos de tempo para os quais dados eram disponıveisvisou contornar problemas computacionais uma vez que o objetivo aqui e investigare explorar o uso da metodologia de modelagem por meio de uma analise ilustrativa,e nao necessariamente fornecer resultados definitivos de analise desses dados.

Muitos modelos tem sido sugeridos na literatura e o fato de terem sidoadotados em determinados problemas nao significa necessariamente que estes melhorrepresentem a realidade. A escolha de uma determinada classe de modelos paraprocessos espaco-temporais e uma tarefa difıcil uma vez que nao ha replicacoes doprocesso. O conhecimento do problema em questao por parte dos pesquisadores eportanto fundamental para guiar a avaliar as escolhas de modelos.

Neste trabalho, o interesse nao e ajustar um modelo definitivo aos dados emquestao, e sim verificar a possibilidade de aplicacao e o comportamento de algunsdos modelos discutidos anteriormente. Para tanto, sera considerado um conjuntoreferente a capacidade de armazenagem de agua em um solo com citros.


3.1 Modelos de covariancia espaco-temporais

A partir da representacao de Gneiting e escolhas das funcoes φ(x) e ψ(x)tem-se a seguinte funcao de covariancia espaco-temporal separavel ajustada, comos parametros estimados pelo metodo da maxima verossimilhanca:

C(h, u) =44.12

(0.76u1.6 5 + 1)0.08exp{−0.001h0.8 5 } +

0.25

(0.76u1.6 5 + 1)0.08. (6)

Ja para a funcao de covariancia espaco-temporal nao separavel, com osparametros tambem estimados pelo metodo de maxima verossimilhanca, tem-seque o modelo ajustado e dado por:

C(h,u) =1

(0.7 6 u1.6 5 + 1)0.12

4 4 .12

(0.7 6 u3.3 + 1)0.04e x p − 0.001

h

(0.7 6 u3.3 + 1)0.04

1.6 5

+

+0.2 5

(0.7 6 u1.6 5 + 1)0.08. (7 )

A distincao entre os dois modelos ajustados anteriormente e dada peloparametro β que determina se existe ou nao interacao entre os componentespuramente espacial e puramente temporal, ou seja, se a correlacao espacialindepende do tempo e vice-versa. Entao o valor do parametro β pode ser vistocomo o grau de interacao espaco-temporal, em que valores grandes, proximos de 1,induzem um forte efeito de interacao espaco-temporal, enquanto valores pequenos,proximo de zero, induzem a um efeito fraco de interacao espaco-temporal. Issosugere, ao menos a princıpio, uma forma de testar a separabilidade da funcaode covariancia, alem de quantificar a intensidade da interacao espaco-temporal.Na pratica tal teste pode apresentar dificuldades na estimacao do parametro,com a funcao de verossimilhanca apresentando curvatura suave na direcao desteparametro, combinada ao fato de que o valor de interesse no teste (β = 0) esta naborda do espaco parametrico.

No exemplo aqui considerado, o valor estimado para o parametro β = 0.04 emuito proximo de zero, o que indica que o modelo separavel se ajusta bem aosdados; em outras palavras, nao ha evidencia clara de interacao entre o espacoe o tempo. Pode-se ressaltar novamente que a estimacao desse parametro podeser numericamente instavel, o que requer cuidadosa calibragem dos algorıtmosnumericos.

Para verificar o efeito da suposicao de separabilidade espaco-temporal, foiconsiderado tambem o erro medio de predicao, para tanto foi realizada a krigagemsimples para diferentes valores de β. Os valores preditos para o tempo 26 foramcomparados com os verdadeiros valores observados para este tempo. A Figura 1ilustra essas predicoes sinalizando que o modelo com β = 0 e o que fornece predicoesmais proximas dos valores observados e ainda percebe-se que o aumento do valorde β causa uma diminuicao na media e na variancia. A Tabela 3 apresenta os errosquadraticos medios, as medias e variancias da predicao, e por meio dela e possıvelverificar que o menor valor do erro quadratico medio ocorre quando β = 0, ou seja,o modelo separavel e o mais indicado para o conjunto de dados considerado.


Tabela 3 - Erro quadratico medio, media e variancia de predicao para funcoes decovariancia espaco-temporais com diferentes valores do parametro β

EQM Media VarianciaModelo separavel β = 0 5.561 17.114 0.753Modelo nao separavel β = 0.25 12.674 15.913 0.494Modelo nao separavel β = 0.5 26.060 14.371 0.309Modelo nao separavel β = 0.75 45.661 12.720 0.191Modelo nao separavel β = 0.95 64.436 11.451 0.132

Na Figura 2 sao ilustrados os mapas de krigagem simples com parametrosβ = 0, 0.25, 0.95. As predicoes foram realizados para o tempo 26, cujos dadosnao foram utilizados na estimacao. Estes mapas de valores preditos ilustram umapequena diferenca no comportamento das “ manchas” , mas uma diferenca um poucomaior nas escalas. Pelas legendas percebe-se a clara diminuicao do valor medioconsiderado.

As analises foram efetuadas no programa R de computacao estatıstica (RDEVELOPMENT COR E TEAM, 2007) utilizando ainda os pacotes adicionais g e o R

(R ibeiro Jr e Diggle, 2001) para analises exploratorias e iniciais puramente espaciaise Ra n d o m F ie ld s (Schlather, 2006) para modelagem espaco-temporal.

0 10 20 30 40

1015

2025

Localizações

Pre

diçõ

es

realβ = 0β = 0.25β = 0.5β = 0.75β = 0.95

Figura 1 - Distribuicao das predicoes para o tempo 26 e do verdadeiro valoramostrado.


0 20 40 60

−20

−10

010

2030

12 14 16 18

Figura 2 - Mapas de predicao espacial por krigagem para modelos com β = 0(superior), β = 0.25 (meio), β = 0.95 (inferior).

4 Discussao

Processos ambientais e geofısicos, como concentracao de poluentes, campos deprecipitacao e superfıcie do vento, sao caracterizados pela variabilidade contınuano espaco e no tempo. Tais campos espaco-temporais sao geralmente tratadoscomo aleatorios, uma vez que as leis que governam seu comportamento naosao completamente compreendidas e sua complexidade nao segue uma descricaodeterminıstica precisa. Modelos estocasticos, por sua vez, sao baseados tipicamenteem um pequeno numero de parametros que devem ser inferidos tipicamente a partirde uma unica observacao parcial do processo.

O objetivo primario da modelagem de tais processos e informar sobre padroesdo comportamento espaco-temporal. Parte-se do princıpio de que nao existe ummodelo que se ajuste perfeitamente aos dados e o que ocorre e que alguns modelossao mais capazes que outros de descrever certas situacoes. Com a modelagem epossıvel resumir de forma simples um conjunto de dados complexo, testar hipoteses


cientificamente relevantes e fazer predicoes dos processos em posicoes nao observadasdo espaco e/ ou tempo.

Fenomenos espaciais e temporais sao caracterizados pela unicidade e naoreproducibilidade, assumindo-se entao que os dados constituem uma amostra parcialunica da realizacao de um particular mecanismo estocastico. Consequentemente,inferencias so podem ser feitas a partir da adocao de simplificacoes e suposicoes.A princıpio, a estrategia de analise espaco-temporal apresentada aqui poderiaser tratada simplesmente como uma extensao da analise puramente espacial poracrescentar uma dimensao referente ao tempo. Entretanto, a diferenca fısicaentre espaco e tempo e a ordenacao natural dos tempos induzem caracterısticasparticulares e dificuldades adicionais.

O tempo e o espaco sao duas dimensoes completamente diferentes, o quedificulta a especificacao de funcoes de covariancia espaco-temporais que precisamsatisfazer condicoes para serem consideradas validas. Uma especificacao convenientepara a funcao de covariancia espaco-temporal e assegurada por propriedades quedao suporte a famılia de funcoes de covariancia separaveis. Estas podem ser obtidaspela soma e/ ou produto de funcoes de covariancia validas. A grande desvantagemdeste metodo e que ele nao considera na modelagem a interacao entre o espaco e otempo.

Uma alternativa as funcoes de covariancia separaveis sao as funcoes decovariancia espaco-temporais nao separaveis e neste caso a interacao entre o espaco eo tempo e incluida na modelagem. Dentre as propostas existentes na literatura paramodelagem que assumem a estacionariedade da estrutura de covariancias, optou-seaqui pela a famılia de Gneting considerando a sua generalidade, flexibilidade deespecificacao e simplicidade de obtencao, caracterısticas que tambem favorecemimplementacoes computacionais. Especificamente, na aplicacao consideradaneste trabalho, adotou-se funcoes de covariancia espaco-temporais estacionarias ecompletamente simetricas.

Para os dados aqui considerados foi ajustado inicialmente um modelo comestrutura de covariancia separavel, composta pelo produto entre uma funcao cauchy

gen eralizad a, para o componente puramente temporal, e uma funcao stable , parao componente espacial. Ainda para a covariancia separavel foi adicionado umefeito pepita composto pelo produto entre uma constante e uma funcao cauchy

gen eralizad a. Depois de estimados todos os valores para os parametros do modeloseparavel, foi ajustado um modelo de covariancia nao separavel mas com a mesmaestrutura de anisotropia estimada para o modelo separavel. O modelo nao separavelconsiderado e composto pelo produto entre uma funcao de covariancia cauchy

gen eralizad a, que depende apenas do tempo, e uma funcao nao separavel propostapor Gneiting, que depende do tempo e do espaco conjuntamente. Para o efeitopepita foi considerada a mesma estrutura estimada para o modelo separavel. Taisescolhas permitem que o modelo separavel proposto seja uma caso particular domodelo nao separavel para o caso em que β = 0.

A utilizacao de conjunto de dados reais levantou dificuldades praticas naconducao das analises. A primeira foi o exame das possibilidades de analise


implementadas no pacote RandomFields, que ainda se encontra em desenvolvimentorecente nos algorıtmos para modelagem espaco-temporal, com documentacaorestrita e poucas sao as publicacoes que se utilizam desta implementacaocomputacional. Um problema computacional e a demanda por computadorescom grande capacidade de memoria e processamento, ja que o numero deobservacoes para analise espaco-temporal cresce muito rapidamente com o aumentode observacoes nas coordenadas do tempo e/ou espaco.

Para a analise do conjunto de dados foram considerados os mesmos pontos emtodos os tempos, sendo isto uma obrigatoriedade da implementacao disponıvel nopacote, ja que nao existe a possibilidade de se especificar coordenadas diferentespara cada tempo. Por conta destas limitacoes, algumas observacoes tiveram de serdescartadas da estimacao e predicao para as analises apresentadas aqui.

Foram encontradas dificuldades de convergencia numerica na obtencao deestimativas para parametro β da funcao de covariancia proposta por Gneiting, eportanto neste trabalho foram consideradas outras formas de assegurar a validadedos valores estimados para este parametro. O resultado final na analise consideradaaqui foi o de uma estimativa com valor proximo de zero, sinalizando para uma fracainteracao entre o espaco e o tempo.

Foi obtida a predicao espacial para um tempo futuro e comparado com osvalores observados. O interesse neste caso foi verificar por meio do erro quadraticomedio de predicao a qualidade do ajuste da funcao de covariancia. A Tabela 3mostra uma diferenca nos valores do erro quadratico medio, media e varianciade predicao para diferentes modelos. Os resultados dessa tabela indicam que aestrutura de covariancia separavel e a que fornece valores preditos mais proximosdos valores observados. Percebe-se tambem a diminuicao da media e da varianciade predicao a medida que o valor do parametro β se aproxima de 1.

No desenvolvimento deste trabalho foram feitas ainda varias simulacoes eanalises que serviram para a melhor compreensao do uso do pacote RandomFields

e do comportamento das realizacoes do processo sob diferentes modelos. Em umadessas simulacoes foi estimado um campo espaco-temporal com um determinadovalor do parametro β; em seguida foi realizada a estimacao dos parametros,e verificou-se que a estimativa de verossimilhanca nao se aproximou de formasatisfatoria do valor estimado. Estes resultados sao preliminares e considera-se queestudos dessa natureza devem ser efetuados de forma mais detalhada e portantooptou-se por nao reportar aqui os resultados. Uma condicao que poderia serconsiderada e a realizacao de varias estimacoes e entao seria calculada a mediadas estimativas. Espera-se que a media dos parametros estimados se aproxime dovalor dos parametros simulados. Com um numero suficientemente grande de valoresestimados pode-se ter uma melhor ideia da variabilidade de cada parametro e comisso a determinacao de intervalos de confianca e cobertura poderiam ser obtidos,assim como poderia se avaliar o impacto em predicoes.

Essas sao apenas algumas entre as muitas possibilidades em se aprofundaros estudos nesta area. Neste trabalho procurou-se revisar e compilar novasmetodologias de analise espaco-temporal a partir da especificacao de funcoes


de covariancias espaco-temporais. Com o avanco de recursos computacionaise o forte apelo pratico dado pela diversidade de possıveis aplicacoes pode-seprever que os metodos permitirao descricoes mais realısticas de fenomenos espaco-temporais. Ressalte-se que modelos que utilizam a especificacao da funcao decovariancia, embora promissores e com facil interpretacao intuitiva, apresentamfortes pressuposicoes sobre o processo, dificuldades de estimacao e restricoes parauso em dados reais. Estudos complementares sao ainda necessarios para auxiliar nacompreensao das caracterısticas de identificabilidade e aplicabilidade, bem como asexigencias e restricoes de implementacao.

Agradecimentos

Registramos agradecimentos a Dolorice Moreti e o Prof. Dr. Paulo LeonelLibardi do Departamento de Fısica de Solos, por ter gentilmente cedido os dadosda aplicacao, a Martin Schlather pelos esclarecimentos sobre o uso do pacoteRandomFields e aos revisores anonimos pelas correcoes e sugestoes para melhorias

d o tex to.

S IL V A , A . S . d a; R IB E IR O J R , P . J .; E L M A T Z O G L O U , I. G eostatistical mod eling

using the G neiting’s family of space-time covariance functions. Rev. Mat. Estat.,

S ao P aulo, v.2 5 , n.1 , p.6 5 -8 3 , 2 0 0 7 .

ABSTRACT: The specification of space-time covariance functions is one of the possible

strateg ies to mod el processes observed at d iff erent locations and time points. Such

functions can d efine separable and non-separable processes and must fulfill the cond ition

of positive-d efiniteness. Among the strateg ies to obtain such valid functions are the

ones by Cressie and H uang based on inverse transforms of spectral representations and

G neiting , w hich allow constructions d irectly on the measurement d omain. The former

is based on the id ea of obtaining valid functions in a space of increased d imension

from valid functions on the primary d imension and req uires operations in the freq uency

d omain. Alternatively , the latter combines increasing monotone functions avoid ing

the inversion of spectral representations. There are still few reports of usag e and

comparisons of the strateg ies. This w ork follow s G neiting ’s proposal w ith d iff erent

values for the space-time interaction parameter. Separable and non-separable mod els

w ere investig ated for the analy sis of a real d ata set on soil w ater storag e w ithin a citrus

field . The implementation on the R pack ag e Ra n d o m F ie ld s w as used , w ith method olog y

and computational implementation being review ed . F or the d ata consid ered here the

separable mod el provid ed a satisfactory fit, based on max imum lik elihood estimation.

K E Y W O RD S: Covariance functions; g eostatistics; space-time mod els, rand om field s;

RandomFields P ack ag e.


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Recebido em 10.01.2007.

Aprovado apos revisao em 31.05.2007.


modelagem geoestat¶istic a u tiliz an do a fam¶ilia de...

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