MODELADO NUM ERICO DEL COMPORTAMIENTO MEC ANICO DE UNA OSTEONACON MICROGRIETAS

A. Vercher, E. Giner, J.E. Tarancon, F.J. Fuenmayor

Centro de Investigacion de Tecnologıa de Vehıculos-CITVDepartamento de Ingenierıa Mecanica y de Materiales, E.T.S. de Ingenieros Industriales,

Universitat Politecnica de Valencia, Camino de Vera s/n, 46022 Valencia, Espana.E-mail: eginerm@mcm.upv.es

Tfno: 96 3877007 Ext. 76218. Fax: 96 3877629

RESUMEN

En este trabajo se modela mediante elementos finitos una osteona (unidad basica de la microestructura del tejidooseocortical). Las osteonas presentan una estructura complicada, formada por lamelas de fibras de colageno mineralizadasembebidas en una matriz extrafibrilar. El modelo numerico incluye el modelado de estas lamelas, que se organizandeforma concentrica alrededor del canal de Havers. Cada lamela presentauna direccion preferente de orientacion de las fibrasmineralizadas, por lo que se pueden considerar como laminas con propiedades ortotropas. A su vez, la caracterizacionde las propiedades elasticas se ha realizado a partir de modelos micromecanicos considerando el compuesto de fibras decolageno mineralizadas con cristales de hidroxiapatita, que actuan como refuerzo. El modelo incluye la posibilidad depropagacion de microgrietas entre las interfases en funcion del criterio de fallo de delaminacion de Brewer y Lagace. Deesta forma, se simula numericamente el comportamiento mecanico de la osteona con microgrietas recogido en los trabajosde Ascenzi y Bonucci, utilizando para ello las propiedades resistentes obtenidas experimentalmente por estos autores.

ABSTRACT

In this work, we present a finite element model of a single osteon, which is the basic microstructural unit of the corticalbone tissue. The structure of osteons is formed by lamellae of collagen fibrils embedded in a interfibrillar substance thatacts as a matrix. The numerical model includes each of the specific lamellae, which are organized concentrically aroundthe Harvesian canal. The dominating orientation of mineralized fibers of each lamella is different and, therefore, thelamellae can be considered as orthotropic layers from the mechanical behaviour standpoint. The elastic properties havebeen estimated from micromechanical models that consider the mineralized collagen fibrils reinforced with hydroxyapatitecrystals. The model includes the capability of simulating microcracks that propagate along the lamellae interfaces, bymaking use of the Brewer & Lagace criterion for delamination. Thus, the mechanical behaviour of a microcracked osteonas described by Ascenzi and Bonucci is modelled, using the strength properties experimentally obtained by the latterauthors.

PALABRAS CLAVE: Hueso cortical; microgrietas; elementos finitos.

1. INTRODUCCI ON

El tejido oseo cortical es el principal responsable de pro-porcionar soporte estructural a organismos vertebrados.Se puede considerar un material compuesto [1] estructu-rado jerarquicamente a distintas escalas, ver p.ej. [1, 2].En un primer nivel nanoestructural (del orden de 10 -102

nm) esta formado por fibras de colageno tipo I, otros ma-teriales organicos (compuestos principalmente por pro-teınas) y una fase mineral de hidroxiapatita [2]. En unasiguiente escala (denominada microestructural, entre 1-103µm), las agrupaciones de fibras de colageno minera-lizado se distribuyen en estructuras laminares formandolas lamelas (de unos 3 - 7µm de espesor). Las lamelas(Fig. 1) estan dispuestas concentricamente en las osteo-nas (de entre 10 - 500µm de diametro) y de forma menosorganizada en el hueso intersticial (que es en realidad te-jido asociado con antiguas osteonas). Es este nivel micro-estructural el que constituye la escala de estudio de estetrabajo, ya que el analisis se centra en el comportamientomecanico de unaunica osteona.

Figura 1: Detalle de la estructura del hueso cortical.Fuente: [3].

El analisis del comportamiento de unaunica osteona pre-sentado en este artıculo esta basado en los estudios expe-rimentales realizados por Ascenzi y Bonucci [4, 5, 6, 7].Estos autores consiguieron separar osteonas en forma demicroprobetas cilındricas y someterlas a diferentes ensa-yos. En concreto, se simula numericamente el comporta-miento de una osteona cargada diametralmente a compre-sion recogido en [7], en el que estos autores observaron laaparicion de microgrietas circunferenciales en las lamelascuyas fibras estan orientadas preferencialmente en direc-cion axial. La descripcion de los detalles de los ensayosde [7] y de las evidencias observadas experimentalmentese presenta en la siguiente seccion 2. Para realizar el mo-delo numerico, es necesario disponer de una caracteriza-cion elastica y resistente de las propiedades del material,que se presenta en las secciones 3 y 4, respectivamente.Porultimo, los detalles del modelo numerico realizado enAbaqus [8] se resumen en la seccion 5.

2. COMPORTAMIENTO A ROTURA DE UNAOSTEONA CARGADA DIAMETRALMENTEA COMPRESION

En [5], Ascenci y Bonucci describen con detalle el pro-cedimiento seguido para la extraccion de microprobetasde osteonas aisladas a partir de una muestra de tejido cor-tical. El tejido corresponde a la diafisis de hueso largohumano (femur) de distintas edades (entre 18 y 31 anos)y sin dano mecanico previo. El grado de humedad de lasmuestras se mantuvo mediante una solucion salina. De-bido al procedimiento utilizado, la geometrıa exterior dela probeta se puede considerar practicamente cilındricay por ello, estos autores seleccionaron aquellas osteonascuya geometrıa era esencialmente circular en el plano deestudio. El espesor de la seccion de osteona (altura delcilindro) es de 30-40µm Estos autores utilizaron estasmicroprobetas para caracterizar minuciosamente las pro-piedades a traccion, compresion y cortadura [4, 5, 6]. En[7] describen un tipo de ensayo que es el modelado eneste trabajo: ensayo a compresion diametral en el planode la seccion de la osteona. En la Fig. 2 se observa la dis-posicion experimental de la seccion de la osteona C sobreun portaobjetos A y el metodo utilizado para la aplicacionde la fuerza de compresion a traves de una espatula D quecomprime la osteona contra un tope B.

Figura 2: Ensayo de compresion diametral [7]. A: sopor-te, B: tope, C: seccion de osteona, D: espatula.

Aunque en [7] se distinguen varios tipos de osteona segunsu estructura, centraremos el estudio en el tipo de osteonadominante en el tejido cortical de huesos largos someti-dos a compresion (denominada tipo I en [7]). La estructu-ra de este tipo de osteona se esquematiza en la Fig. 3. Secaracteriza por presentar lamelas cuya orientacion prefe-rente es alternada: lamelas con fibras orientadas aproxi-madamente en la direccion del eje de la osteona (es decir,direccion normal a la seccion ensayada y denominadas la-melas longitudinales) y lamelas cuyas fibras estan orien-tadas preferentemente en direccion circunferencial (quedenominaremos lamelas transversales). Por tanto, las fi-bras pertenecientes a dos lamelas consecutivas forman unangulo de aproximadamente 90o. Este tipo de disposiciones constatable a traves de luz polarizada, que muestra laestructura laminada de forma alternante. Ademas, Ascen-zi y Bonucci [7] mencionan que las lamelas mas inter-na y externa presentan la misma orientacion, siendoestasiempre transversal. Ascenzi y Bonucci tambien distin-guen otro tipo de osteona (tipo II), menos frecuente, en elque todas las lamelas son esencialmente longitudinales,con excepcion de las lamelas interna y externa, que sonsiempre transversales.

TIPOI

TIPOII

TIPOI

TIPOII

Figura 3: Estructura laminar de tipos de osteona I y II.

En el caso de las osteonas tipo I (el tipo analizado en estetrabajo), la aplicacion progresiva de la carga de compre-sion segun la Fig. 2 da lugar a la aparicion de microgrietasen sentido circunferencial. En [7], estos autores observa-ron las siguientes evidencias experimentales:

- Las microgrietas son circunferenciales y mayorita-riamente aparecen en el interior de las lamelas lon-gitudinales (algunas tambien en las interfases entrelamelas). Ademas, las microgrietas se extienden atraves de todo el espesor de la probeta.

- Las microgrietas aparecen en primer lugar en laslamelas longitudinales mas proximas al canal deHavers.

- Las microgrietas aparecen en los cuatro cuadrantesy se concentran en un segmento circular que sub-tiende unangulo de entre 20o y 50o con respecto ala lınea de accion de la carga.

- Un aumento de la carga provoca un crecimiento dedichas grietas en el interior de las lamelas longi-tudinales que, eventualmente, puede llegar a sepa-

rar las lamelas como aros concentricos tras rotar lalınea de accion de la carga de compresion

- Las lamelas transversales no presentan dano apre-ciable a este nivel de carga.

La Fig. 4 muestra una porcion de la seccion de osteonaensayada en distintos estados: antes de aplicacion de lacarga (izda.) y bajo la accion de la carga que da lugara la aparicion de microgrietas circunferenciales (dcha.).A la vista de las observaciones experimentales, se infie-re que el fallo en la matriz de las lamelas longitudinalesesta causado bien por una traccion transversal que actuaen direccion radial, bien por tensiones de cortadura o bienpor una combinacion de ambas cargas, pudiendose consi-derar un fenomeno analogo a los fallos por delaminaciondebidos a tensiones interlaminares tıpicos de laminadosestructurales reforzados con fibras.

Figura 4: Detalle de una osteona tipo I: antes (izda.) ydespues de la carga (dcha.). Fuente: [7].

3. PROPIEDADES ELASTICAS DE LASLAMELAS

Esta aceptado en la literatura que la lamela puede con-siderarse como un material compuesto de dos fases: unamatriz de colageno y una fase de refuerzo de cristales dehidroxiapatita. Los cristales de hidroxiapatita presentandiferentes dimensiones en tres direcciones diferentes delespacio y se hallan en una estructura de colageno alta-mente orientada. Por lo tanto, es posible considerar las fi-bras de colageno mineralizado como un material ortotro-po. En la literatura, las posibles formas y dimensionesde los cristales permiten la aplicacion de planteamien-tos analıticos para la elaboracion de un modelo micro-mecanico. En los trabajos de Wagner y Weiner [9] y Aki-va et al. [10] se detallan las ecuaciones de Halpin-Tsai[11] (muy empleadas en compuestos estructurales) parael calculo de las propiedades micromecanicas en funcionde las dimensiones de los cristales de apatita. Se han utili-zado estas ecuaciones considerando un tamano de cristalde 50x25x2 nm.

TLT

T

z

Lθ

rσ θr

σrr

θθσ

Figura 5: Sistema de coordenadas cilındricas y nomen-clatura utilizada. T, lamelas transversales; L, lamelaslongitudinales.

En este trabajo se ha seguido la nomenclatura asociada alsistema de coordenadas cilındrico de la Fig. 5. Se trata deun sistema global (o no orientado), en el que deberan ex-presarse las propiedades elasticas y resistentes segun laorientacion de cada lamela. Los valores de las constan-tes elasticas obtenidos son, para las lamelas transversa-les:Eθ = 33,64 GPa,Er = 3,00 GPa,Ez = 24,31 GPa,Gθz = 20,04 GPa,Gzr = 2,26 GPa,Gθr = 2,26 GPa,νθz = 0,34, νzr = 0,34, νθr = 0,34. Para las longi-tudinales:Eθ = 24,31 GPa,Er = 3,00 GPa,Ez =

33,64 GPa,Gθz = 20,04 GPa,Gzr = 2,26 GPa,Gθr =

2,26 GPa,νθz = 0,246, νzr = 0,34, νθr = 0,34.

Los valores de los coeficientes de Poisson han sido se-leccionados para garantizar las relaciones de consistenciatermodinamicas en las propiedades elasticas del material.Es importante senalar que en este trabajo se ha considera-do el comportamiento del material elastico lineal, lo cuales posible bajo determinadas condiciones de humedad ygrado de calcificacion del hueso [4].

4. PROPIEDADES RESISTENTES Y CRITERIODE FALLO

Puesto que el estado de carga analizado en este trabajo(osteona cargada diametralmente a compresion) corres-ponde a un estado tensional en el plano (ver Fig. 2), el fa-llo puede tener lugar en las zonas de alta tension circunfe-rencialσθθ, tension radialσrr o tension de cortaduraσrθ

comparadas con sus respectivos lımites resistentes. Utili-zando terminologıa usual en el analisis de laminados es-tructurales, la tension circunferencialσθθ corresponde auna tension intralaminar, mientras que las tensionesσrr,σrθ corresponden a tensiones interlaminares que rigen elfenomeno de la delaminacion.

Ascenzi y Bonucci realizaron una campana exhaustiva deensayos experimentales en osteonas aisladas [4, 5, 6]. Eneste trabajo se estimaran los valores resistentes a partir delos ensayos a traccion de una osteona en direccion axialzy a partir de los ensayos a cortadura por punzonamiento,tambien en direccionz. De entre todos los datos disponi-

bles en los ensayos de Ascenzi y Bonucci, para este estu-dio se han considerado aquellos referidos a osteonas conun grado de calcificacion elevado (medido por microra-diografıa), de femur humano de 25-30 anos, y ensayadasen condiciones de humedad. Las osteonas de grado decalcificacion elevado son mas rıgidas, resistentes y conun comportamiento mas elastico lineal hasta fractura quelas de menor grado de calcificacion [6].

4.1. Resistencia a traccion circunferencialSθθ,t

Por la disposicion geometrica mostrada en las Figs. 3 y5, la resistencia a traccion circunferencial en las lamelastransversales debe ser claramente superior a la resistenciaa traccion circunferencial de las lamelas longitudinales,Strans

θθ,t > Slongθθ,t . Como es de esperar, Ascenzi y Bonucci

apreciaron que la maxima rigidez y resistencia de una os-teona a traccion en direccion z se da para osteonas tipoII (es decir, con todas las lamelas no perifericas en di-reccion longitudinal). Este valor es de 120 MPa [4]. Portanto, es razonable suponer que la resistencia a traccioncircunferencial de las lamelas transversales es de este or-den,Strans

θθ,t = 120 MPa.

La resistencia a traccion circunferencial de las lamelaslongitudinales es mas difıcil de estimar. Puesto que As-cenzi y Bonucci tambien realizaron ensayos a traccionen direccion z para osteonas tipo I, se ha consideradoaquı que este valor es el que corresponde con la sepa-racion del comportamiento lineal de las curvasσ-ε re-cogidas en [4] para las osteonas tipo I (punto de roturade las lamelas perpendiculares a la direccion de la car-ga). De esta forma se ha supuesto que la resistencia atraccion circunferencial de las lamelas longitudinales esS

longθθ,t = 50 MPa.

4.2. Resistencia a traccion radialSrr,t

El fallo a traccion radial (interlaminar) implica la rotu-ra de la sustancia interfibrilar, dejando intactas las fibri-llas de colageno. Por ello, la resistencia a traccion radialen todas las lamelas debe ser aproximadamente la mis-maStrans

rr,t ≈ Slongrr,t y se denotara simplemente comoSrr,t.

Puesto que este modo de fallo es similar al modo de falloa traccion circunferencial en lamelas longitudinales, seha supuesto queSrr,t ≈ S

longθθ,t = 50 MPa. Esta hipotesis

se realiza tambien en compuestos laminados estructuralespara el estudio de la delaminacion [12].

4.3. Resistencia a cortaduraSrθ,s

Ascenzi y Bonucci [6] realizaron microensayos de corta-dura por punzonamiento de osteonas en la direccion axialz, consiguiendo la separacion (practicamente cilındrica)de un conjunto de lamelas interiores respecto de las masperifericas. La resistencia a cortadura por punzonamien-to Ss,punz varıa entre 56 MPa para tipo I y 46 MPa para

tipo II. Se puede suponer que la cortadura en el planor-z que experimenta una lamela longitudinal en el ensayode punzonamiento es similar a la que experimenta una la-mela transversal en el planor-θ, y por tanto tomaremosStrans

rθ,s = 46 MPa. En cuanto al valor de la cortadura enel planor-θ para las lamelas longitudinales, debe ser cla-ramente inferior a 46 MPa ya que implica cortadura enun plano sin fibrillas (estas son normales al planor-θ).A partir de los analisis numericos presentados en la sec-cion 5, se ha estimado que este valor no conocido debeser del orden deS long

rθ,s ≈ 20 MPa.

4.4. Criterios de fallo intra e interlaminar

Para el analisis numerico de la osteona bajo carga diame-tral, se considerara independientemente la posibilidad defallo intralaminar por un lado y de fallo interlaminar porotro. El criterio de fallo intralaminar implica la aplicacionpor separado (para las laminas transversales y longitudi-nales) del siguiente criterio de fallo:

σtransθθ ≥ Strans

θθ,t ; σlongθθ

≥ Slongθθ,t (1)

Para el fallo por tensiones interlaminares se utilizara elcriterio interactivo de Brewer & Lagace [12] aplicado alestado tensional de la Fig. 3:

(

σrr

Srr,t

)2

+

(

σrθ

Srθ,s

)2

≥ 1 con σrr > 0 (2)

El primer sumando solo debe ser considerado siσrr > 0,ya que tensiones radiales de compresion cierran las po-tenciales grietas circunferenciales y no contribuyen al fa-llo interlaminar. En el contexto de laminados estructura-les, este criterio de fallo se utiliza para el estudio del fallopor delaminacion.

5. MODELO NUM ERICO

Se ha supuesto una geometrıa circular formada por 11lamelas de orientaciones preferentes alternadas (osteonatipo I), estando las cinco lamelas longitudinales marcadasen rojo en la Fig. 6. El espesor de cada lamela es de 5µm,el diametro del canal de Havers es 40µm y el diametrototal de la osteona 150µm. Se ha supuesto un estado detension plana, con espesor unidad. La carga aplicada esuna presion diametralp distribuida a lo largo de un ar-co de60◦, cuya magnitud es incrementada a lo largo delanalisis.

Es esencial utilizar un sistema local de elemento con arre-glo a las coordenadas polares de la Fig. 5, con ejes pa-ralelos a las direcciones radial y circunferencial. En laFig. 6 se muestra el sistema de ejes locales de materialdefinido en Abaqus, estando todas las propiedades y ten-siones resultantes expresadas en estos ejes (los ejes 1 y2 de Abaqus corresponden a los ejesθ y r de la Fig. 5,respectivamente).

pp

�

<

=

AGRADECIMIENTOS

Los autores desean agradecer al Ministerio de Ciencia eInnovacion por el apoyo recibido a traves del proyectoDPI2010-20990 ası como al Vicerrectorado de Innova-cion y Desarrollo (UPV). Tambien desean agradecer a D.Carlos Pons Gomez la colaboracion prestada en el anali-sis numerico.

REFERENCIAS

[1] Cowin SC, ed.Bone Mechanics Handbook. CRCPress. Boca Raton, Florida, 2001.

[2] Rho J-Y, Kuhn-Spearing L, Zioupos P. Mechani-cal properties and the hierarchical structure of bone.Medical Engng Physics, 20:92–102, 1998.

[3] Taylor D, Hazenberg JG, Lee TC. Living with cra-cks: Damage and repair in human bone.Nature Ma-ter, 6:263–268, 2007.

[4] Ascenzi A, Bonucci E. The tensile properties of sin-gle osteons.Anat. Rec., 158:375–386, 1967.

[5] Ascenzi A, Bonucci E. The compressive propertiesof single osteons.Anat. Rec., 161:377–392, 1968.

[6] Ascenzi A, Bonucci E. The shearing properties ofsingle osteons.Anat. Rec., 172:499–510, 1972.

[7] Ascenzi A, Bonucci E, Simkin A. An approach tothe mechanical properties of single osteonic lame-llae.J. Biomech., 6:227–235, 1973.

[8] ABAQUS/Standard User’s Manual, v. 6.10, Simu-lia, Providence, Rhode Island, 2010.

[9] Wagner HD, Weiner S. On the relationship betweenthe microstructure of bone and its mechanical stiff-ness.J. Biomech., 25:1311–1320, 1992.

[10] Akiva U, Wagner HD, Weiner S. Modelling thethree-dimensional elastic constants of parallel-fibred and lamellar bone.J. Mater. Sci., 33:1497–1509, 1998.

[11] Halpin JC. Primer on Composite Materials: Analy-sis. Revised Edition. Technomic Publishing, Lan-caster, PA, 1984.

[12] Brewer A, Lagace PA. Quadratic stress criterionfor initiation of delamination.J. Compos. Mater.,22:1141–1155, 1988.

0.00.10.20.40.50.60.70.91.01.0 (a)

0.00.10.20.40.50.60.70.91.02.3 (b)

0.00.10.20.40.50.60.70.91.02.4 (c)

0.00.10.20.40.50.60.70.91.02.5 (d)

0.00.10.20.40.50.60.70.91.02.8 (e)

0.00.10.20.40.50.60.70.91.05.1 (f)

Figura 7: Valor del criterio de Brewer & Lagace para la secuencia de iniciacion y propagacion de microgrietas.