modelación experimental de procesos

Universidad Nacional de Misiones

Ingeniería Electrónica

Control Clásico y Moderno

Informe de Trabajo Práctico N° 2

Modelación Experimental de Procesos

Autores:

HOFF Romina A.

KRUJOSKI Matías G.

VIERA Juan R.

Grupo Nº 4

Profesores Responsables:

Dr. Ing. Fernando Botterón

Ing. Guillermo Fernández

Ing. Gabriel Aguirre

Sr. Claudio Kruberto

Sr. Germán Linder

Ing. Omar Bauernfeind

Oberá, Misiones, 23/04/2014

Control Clásico y Moderno FI - UNaM TP N° 2

HOFF – KRUJOSKI – VIERA Página 3 de 24

1)

En la figura 1.1 se muestra la curva de respuesta al escalón de un proceso

sobreamortiguado de primer orden. Hallar el modelo que represente la dinámica de

este proceso a través de la función de transferencia de primer orden más atraso de

transporte. Utilizar los métodos de Ziegler - Nichols y el de Hägglund.

Figura 1.1: Respuesta al escalón del proceso a modelar

Resolución

La resolución del presente ejercicio es del tipo gráfica; en consecuencia, éste fue

desarrollado en papel durante la clase práctica. Así, las mediciones y valores aquí

consignados fueron tomados sobre la copia impresa del diagrama exhibido en la figura

1.1; por lo tanto, no se garantiza la concordancia de las magnitudes consignadas con el

presente documento impreso.

Para analizar cualquier gráfico en forma precisa se requiere definir una escala entre la

dimensión de la gráfica y la correspondiente magnitud que esta representa. Así,

midiendo con una regla la copia impresa del diagrama dado en la figura 1.1, se definen

la escala de tiempo y magnitud en las ecuaciones 1.1 y 1.2 respectivamente.



𝐸𝑠𝑐𝑡 =𝑟𝑡

𝑙𝑟=

60 𝑠𝑒𝑔

152 𝑚𝑚=

15

38

𝑠𝑒𝑔

𝑚𝑚 (1.1)

𝐸𝑠𝑐𝑚𝑔 =𝑟𝑚𝑔

𝑙𝑚𝑔=

80

106 𝑚𝑚=

40

53

1

𝑚𝑚 (1.2)

Donde, rt es el rango máximo del eje de tiempo, en concordancia lr corresponde a la

longitud gráfica medida en la copia impresa del diagrama mostrado en la Figura 1.1. De

manera similar, rmg es el rango máximo de amplitud en el mismo diagrama y se

corresponde con la longitud lmg medida sobre la copia impresa.

En la figura 1.2 se aprecia una representación de los parámetros que se miden sobre la

gráfica para aplicar el método de Ziegler – Nichols en la modelización del proceso.

ϴ

τ zn

yf

u(t)

Figura 1.2: Medición de parámetros de Ziegler-Nichols

El atraso de transporte (θ) se mide directamente como el tiempo entre que se aplica la

entrada y se presenta la salida; según la escala de análisis dada en 1.1, este atraso

resulta de la expresión 1.3.

𝜃 = 𝜃𝑚𝑚 ∙ 𝐸𝑠𝑐𝑡 = 9 𝑚𝑚 ∙ 15

38

𝑠𝑒𝑔

𝑚𝑚= 3,55 𝑠𝑒𝑔 (1.3)



En tanto que el tiempo de Ziegler-Nichols (τzn) se mide como aquel dado por el corte de

la tangente al punto de inflexión con la magnitud final de la salida; según la expresión

1.4.

𝜏𝑧𝑛 = 𝜏𝑧𝑛𝑚𝑚∙ 𝐸𝑠𝑐𝑡 = 17 𝑚𝑚 ∙

15

38

𝑠𝑒𝑔

𝑚𝑚= 6,71 𝑠𝑒𝑔 (1.4)

Para analizar el valor de la ganancia estática, se miden en el gráfico la magnitud del

escalón de entrada y la magnitud final de la salida; como se expresa en 1.5 y 1.6

respectivamente.

𝑢(𝑡) = 𝑢𝑚𝑚 ∙ 𝐸𝑠𝑐𝑚𝑔 = 7 𝑚𝑚 ∙40

53

1

𝑚𝑚= 5,28 (1.5)

𝑦𝑓 = 𝑦𝑓𝑚𝑚∙ 𝐸𝑠𝑐𝑚𝑔 = 99 𝑚𝑚 ∙

40

53

1

𝑚𝑚= 74,72 (1.6)

De este modo, la ganancia estática se obtiene según la expresión 1.7.

𝐾𝑝 =Δ𝑦

Δ𝑢=

𝑦𝑓

Δ𝑢=

74,72

5,28= 14,15 (1.7)

Cabe recordar que ésta ganancia estática obtenida en 1.7 es la misma para todo el

análisis de éste ejercicio, pues en los otros métodos a aplicar también está definida de

la misma forma.

Con todos los parámetros obtenidos se puede modelar el proceso, según la forma

genérica dada en la expresión 1.8.

𝐺𝑝(𝑠) =𝑌(𝑠)

𝑈(𝑠)=

𝐾𝑝𝑒−θs

𝜏𝑧𝑛 𝑠 + 1 (1.8)

Así, el proceso de la figura 1.1 queda representado según el modelo de Ziegler-Nichols

por la ecuación 1.9.

𝐺𝑝1(𝑠) =14,15 ∙ 𝑒−3,55 s

6,71 𝑠 + 1 (1.9)

Para aplicar el método de Hägglund es necesario determinar en qué instante de tiempo

la salida alcanza el 63,2% del valor final; para ello en la ecuación 1.10 y valiéndose de

la magnitud final medida en 1.6 se determina el porcentaje de la salida.

𝑦(𝜏ℎ) = 0,632 ∙ 𝑦𝑓 = 0,632 ∙ 74,72 = 47,22 (1.10)



Valiéndose de la escala de magnitud, en 1.11 se determina el equivalente geométrico

de ese porcentaje de señal, que permite trazarlo sobre el diagrama.

𝑦(𝜏ℎ)|𝑚𝑚 =𝑦(𝜏ℎ)|𝑚𝑔

𝐸𝑠𝑐𝑚𝑔=

47,2240

53

1

𝑚𝑚

= 62,57 𝑚𝑚 (1.11)

En la figura 1.3 se presenta un diagrama que muestra como la magnitud determinada

en 1.11 fue medida sobre el diagrama; para determinar el tiempo de Hägglund según la

ecuación 1.12.

h

yf

u(t)

63,2%

ϴ

τ

Figura 1.3: Medición de parámetros de Hägglund

𝜏ℎ = 𝜏ℎ𝑚𝑚∙ 𝐸𝑠𝑐𝑡 = 13 𝑚𝑚 ∙

15

38

𝑠𝑒𝑔

𝑚𝑚= 5,13 𝑠𝑒𝑔 (1.12)

Como puede apreciarse en la figura 1.3, el atraso de transporte está definido de igual

modo que en el método de Ziegler-Nichols, por lo tanto su valor es el mismo que en la



ecuación 1.3. Además, la ganancia estática por definición es la misma que en el

método anterior, es así que toma el mismo valor que en la ecuación 1.7.

De esta manera, el proceso modelado según el método de Hägglund tendrá la forma

general dada en 1.13.

𝐺𝑝(𝑠) =𝑌(𝑠)

𝑈(𝑠)=

𝐾𝑝𝑒−θs

𝜏ℎ 𝑠 + 1 (1.13)

Reemplazando en dicha forma general los parámetros correspondientes, se obtiene el

modelo según Hägglund del proceso, dado por la ecuación 1.14.

𝐺𝑝2(𝑠) =14,15 ∙ 𝑒−3,55 s

5,13 𝑠 + 1 (1.14)

Para evaluar la convergencia de los modelos propuestos con el proceso real debe

generarse la gráfica de comparación; por lo tanto esta tarea se relega al siguiente

ejercicio donde se obtienen otros dos modelos diferentes, y se establece así una

comparación múltiple.

(Resuelto por: Matías Krujoski)

2)

Hallar el modelo dinámico del proceso de la figura 1.1 a través de la función de

transferencia de primer orden más atraso de transporte, utilizando los métodos de dos

puntos de:

a) Smith.

b) Sundaresan - Krishnaswamy.

Resolución

Para la resolución de este ejercicio se recurrió a la misma copia impresa del diagrama

presentado en la figura 1.1; por lo tanto, son válidas las mismas escalas geométricas

definidas en las ecuaciones 1.1 y 1.2.

a) Método de Smith

Éste se basa en utilizar dos puntos sobre la curva de respuesta al escalón del proceso;

por definición éste método considera sus puntos en 28,3% y 63,2% del valor final.

Cabe destacar que uno de los puntos considerados por Smith (63,2%) es coincidente

con el punto que se analizó según Hägglund en el apartado previo; en tanto que son

reutilizables los valores determinados en las ecuaciones 1.10 y 1.11.



El otro punto de Smith (28,3%) se determina según un procedimiento similar, con las

ecuaciones 2.1 y 2.2.

𝑦(𝜏1) = 0,283 ∙ 𝑦𝑓 = 0,283 ∙ 74,72 = 21,14 (2.1)

Valiéndose de la escala de magnitud, en 2.2 se determina el equivalente geométrico de

ese porcentaje de señal, que permite trazarlo sobre el diagrama.

𝑦(𝜏1)|𝑚𝑚 =𝑦(𝜏1)|𝑚𝑔

𝐸𝑠𝑐𝑚𝑔=

21,1440

53

1

𝑚𝑚

= 28,01 𝑚𝑚 (2.2)

En la figura 2.1 se aprecia un esquema de los parámetros a medir según éste método

para poder modelar el proceso.

2

yf

u(t)

63,2%

τ

τ 1

28,3%

Figura 2.1: Medición de parámetros de Smith

De las mediciones realizadas sobre la copia impresa se determinan los tiempos que

definen el método de Smith, según las ecuaciones 2.3 y 2.4.



𝜏1 = 𝑡1|𝑚𝑚 ∙ 𝐸𝑠𝑐𝑡 = 13,5 𝑚𝑚 ∙ 15

38

𝑠𝑒𝑔

𝑚𝑚= 5,32 𝑠𝑒𝑔 (2.3)

𝜏2 = 𝑡2|𝑚𝑚 ∙ 𝐸𝑠𝑐𝑡 = 22 𝑚𝑚 ∙ 15

38

𝑠𝑒𝑔

𝑚𝑚= 8,68 𝑠𝑒𝑔 (2.4)

Así, según el modelo se pueden determinar el atraso de transporte y la constante con

las ecuaciones 2.5 y 2.6 respectivamente.

𝜏𝑠 = 1,5 ∙ (𝜏2 − 𝜏1) = 1,5 ∙ (8,68 − 5,32) = 5,04 𝑠𝑒𝑔 (2.5)

𝜃𝑠 = 𝜏2 − 𝜏 = 8,68 − 5,04 = 3,64 𝑠𝑒𝑔 (2.6)

De este modo, la descripción del proceso según el método de Smith se rige por la

forma general dada en la ecuación 2.7.

𝐺𝑝(𝑠) =𝐾𝑝𝑒−θs∙s

𝜏𝑠 ∙ 𝑠 + 1 (2.7)

Sustituyendo los valores calculados para los parámetros del modelo, se tiene la

descripción del proceso según la ecuación 2.8; cabe recordar que la ganancia estática

es la misma que se determinó en la ecuación 1.7.

𝐺𝑝3(𝑠) =14,15 ∙ 𝑒−3,64s

5,04 ∙ 𝑠 + 1 (2.8)

b) Método de Sundaresan – Krishnaswamy

Este método es similar al Smith desarrollado previamente, su principal diferencia radica

en los porcentajes de la salida que se escogen para considerar los puntos que definen

el método. Así, Sundaresan – Krishnaswamy trabajan con el 35,3% y 85,3%

respectivamente de la salida en período estable.

En las ecuaciones 2.9 y 2.10 se determina la magnitud correspondiente a los niveles de

señal enunciados.

𝑦(𝜏1) = 0,353 ∙ 𝑦𝑓 = 0,353 ∙ 74,72 = 26,37 (2.9)

𝑦(𝜏2) = 0,853 ∙ 𝑦𝑓 = 0,853 ∙ 74,72 = 63,74 (2.10)

En la figura 2.2 se muestra un esquema del diagrama que permite hacer las

mediciones para desarrollar éste método.



2

yf

u(t)

85,3%

τ

τ 1

35,3%

Figura 2.2: Medición de parámetros de Sundaresan - Krishnaswamy

Valiéndose de la escala geométrica de magnitud dada en la ecuación 1.2, se determina

el equivalente que permite trazar los puntos en la copia impresa del diagrama. Así, con

las ecuaciones 2.11 y 2.12 se obtienen los tiempos que utiliza éste método.

𝜏1 = 𝜏1|𝑚𝑚 ∙ 𝐸𝑠𝑐𝑡 = 14,5 𝑚𝑚 ∙ 15

38

𝑠𝑒𝑔

𝑚𝑚= 5,72𝑠𝑒𝑔 (2.11)

𝜏2 = 𝜏2|𝑚𝑚 ∙ 𝐸𝑠𝑐𝑡 = 35 𝑚𝑚 ∙ 15

38

𝑠𝑒𝑔

𝑚𝑚= 13,81 𝑠𝑒𝑔 (2.12)

Con los valores determinados gráficamente pueden obtenerse los parámetros del

modelo mediante las ecuaciones 2.13 y 2.14.

𝜏𝑠𝑘 = 0,67 × (𝜏2 − 𝜏1) = 0,67 ∙ (13,81 − 5,72) = 5,42 𝑠𝑒𝑔 (2.13)

𝜃𝑠𝑘 = 1,3 ∙ 𝜏1 − 0,29 ∙ 𝜏2 = 1,3 ∙ 5,72 − 0,29 ∙ 13,81 = 3,43 𝑠𝑒𝑔 (2.14)

Según éste modelo, el proceso queda descripto por la expresión general dada en 2.15.



𝐺𝑝(𝑠) =𝐾𝑝𝑒−θsk∙s

𝜏𝑠𝑘 ∙ 𝑠 + 1 (2.15)

Así, sustituyendo los valores encontrados para los parámetros, este proceso queda

descripto por la ecuación 2.16.

𝐺𝑝4(𝑠) =14,15 ∙ 𝑒−3,43∙s

5,42 ∙ 𝑠 + 1 (2.16)

En éste modelo, la ganancia estática también coincide con la obtenida mediante la

expresión 1.7.

Como medio de verificación de resultados se recurre al software MATLAB® donde son

cargadas y graficadas cada una de las funciones transferencias obtenidas para el

proceso de figura 1.1. Esto se realiza mediante el script incluido en el box 2.1.

% Programa para el ejercicio 1 y 2 del TP 2 de CCyM

% variable simbólica para FT s=tf('s'); % Para todos los modelos la ganancia es la misma kp=14.15; u=5.28; % el escalón del proceso no es unitario

% Definiendo el Modelo de Ziegler - Nichols tita1=3.55; %[s] tau1=6.71; %[s] gp1=kp*exp((-1)*tita1*s)/(tau1*s+1); % Definiendo el Modelo de Hägglund tita2=tita1; % los atrazos de transporte se miden de la misma forma tau2=5.13; % [s] gp2=kp*exp((-1)*tita2*s)/(tau2*s+1); % Definiendo el Modelo Smith tita3=3.64; % [s] tau3=5.04; % [s] gp3=kp*exp((-1)*tita3*s)/(tau3*s+1); % Definiendo el Modelo Sundaresan - Krishnaswamy tita4=3.43; %[s] tau4=5.42; %[s] gp4=kp*exp((-1)*tita4*s)/(tau4*s+1);

% Graficando los resultados para comparar step(u*gp1,'-ok',u*gp2,'-*k',u*gp3,'-k',u*gp4,':k'), legend('Ziegler-Nichols','Hägglund','Smith','Sundaresan-Krishnaswamy'), xlim([0,60]), ylim([0,80]),

Box 2.1: Script utilizado para comparar los modelos obtenidos



Con la gráfica generada mediante el script presentado previamente se construye la

figura 2.3 para comparar el ajuste que cada uno de éstos ofrece con el proceso

analizado.

Step Response

Time (sec)

Ziegler-Nichols

HägglundSmith

Sundaresan-KrishnaswamyProceso

Figura 2.3: Comparación de Modelos y Proceso

Conclusiones:

En la figura 2.3 puede apreciarse que el modelo obtenido mediante el método de

Ziegler-Nichols es el que más dista de reproducir al proceso real. En contraparte, los

otros modelos generados para el desarrollo de éste ejercicio muestran una buena

descripción del proceso real; de éste modo se concluye que al encarar un proyecto de

diseño de controlador para este proceso, se debería recurrir al modelo de Hägglund,

Smith o Sundaresan-Krishnaswamy.

(Resuelto por: Matías Krujoski)

3)

La curva de respuesta de la figura 3.1 es la de un sistema de control de

posicionamiento del eje de un servomotor que acciona un automatismo de un

determinado proceso. Este se comporta como un sistema de segundo orden

subamortiguado. Identificar los parámetros de la función de transferencia de segundo



orden más atraso de transporte de este sistema dinámico. Nota: normalizar los

parámetros característicos de la gráfica respecto al valor de la señal de entrada u(t).

pM

pt

rt

( )py t

fy

Figura 3.1: respuesta del sistema de control

Resolución:

En la figura 3.1 se observan distintos parámetros, estos son tr: tiempo de subida. Tp: tiempo de pico, θ: atraso de transporte. Y(tp): amplitud de pico máximo

Primeramente se adoptan las escalas correspondientes a cada uno de los ejes de la figura 3.1 en las ecuaciones siguientes se hallan las escalas para en el eje de posiciones (ecuación 3.1) y para el eje de tiempos (ecuación 3.2)

8. 0,8

10

amp ampesc y

cm cm

(3. 1)

14. 0,94

14,8

s sesc t

cm cm

(3. 2)



Una vez adoptadas las escalas medimos los parámetros mencionados anteriormente, y aplicando la escala correspondiente se obtienen los siguientes valores.

0,8 .0,94 0,65r

st cm s

cm

(3. 3)

1,2 .0,94 1,128p

st cm s

cm

(3. 4)

1,7 .0,94 1,598s

cm scm

(3. 5)

( ) 8,9 .0,8 7,12p

ampy t cm amp

cm

(3. 6)

Normalizando el valor de y(tp) resulta

( ) ( ) / 5 7,12 /5 1,424n p py t y t amp amp (3. 7)

Luego como la respuesta al escalón, es la de un sistema de segundo orden, se tiene que, la función transferencia general para estos sistemas es la mostrada en la ecuación 3.4

2

2 2( )

2

sn

n n

G s es s

(3. 8)

Donde

2 2 2 2

ln( ( ) 1) ln(1,424 1)0,263

ln( ( ) 1) ln(1,424 1)

n p

pn

y t

y t

(3. 9)

Luego tenemos que:

21 0,96b (3. 10)

Con el valor de tp y con el de b obtenido en la ecuación anterior calculamos el valor de ωn

1

12,9

. 1,128.0,96.p n

pn

t sb t sb s

(3. 11)

Reemplazando estos valores en la función de transferencia general se tiene que:



21,59 1,59

2 2 2

2,9 8,41( )

2.0,26.2,9 2,9 1,5 8,41

s sG s e es s s s

(3. 12)

En la ecuación 3.8 vemos que la función transferencia ésta afectada por una exponencial, esta representa el atraso de transporte del sistema

La función de transferencia obtenida, presenta la respuesta al escalón expuesta en la figura 3.3, obtenida mediante el programa de simulación Matlab ®

clc close all clear all s=tf('s') t=0:0.001:14; r=2.5+2.5*sign(t-2); wn=2.9; chi=0.263;

Gp=(wn^2*exp(-1.59*s))/(s^2+2*chi*wn*s+wn^2) lsim(Gp,r,t)

Figura 3.2: script utilizado en el programa de simulación MATLAB ® para la obtención de la figura 3.3

Figura 3.3: respuesta de la función transferencia del sistema

Respuesta al escalón

Tiempo (s)

Am

plit

ud

0 2 4 6 8 10 12 14 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

System: Gp Peak amplitude: 7.12 At time (sec): 4.71



En la figura 3.3 se observa la respuesta al escalón de la función de transferencia de un sistema dinámico. Esta función transferencia se hallo por el método de aproximación, de acuerdo a la forma de la respuesta del sistema físico real.

A fin de realizar una comparación entre las figuras 3.1 y 3.3, se las superponen en la figura 3.4.

Tiempo (s)

Am

plit

ud

0 2 4 6 8 10 12 140

1

2

3

4

5

6

7

8

Respuesta al

escalón

Respuesta del

sistema de

control

Figura 3.4: respuesta al escalón Vs respuesta del sistema de control

En la figura 3.4 vemos que la respuesta al escalón posee un tiempo de subida prácticamente igual al del modelo real. Pero luego la respuesta aproximada se aleja del valor real, mientras perduran las oscilaciones. Esto se atribuye a que el modelo aproximado mediante la respuesta al escalón, utiliza para aproximar un único punto que es (y(tp), tp). Pero en régimen permanente no presenta error.

Conclusiones:

Como la respuesta al escalón del sistema real y la respuesta obtenida con la función de transferencia tienen formas similares y los tiempos no difieren en manera significativa, se puede decir que la función de transferencia proporcionada por el método de aproximación, describe al sistema dinámico real analizado.



Además es de destacar que este método resulta sencillo de implementar, en cuanto a cálculos matemáticos y mediciones del sistema real (dado que se necesita conocer un punto del sistema real). Así mismo, proporciona resultados precisos y confiables. Por lo tanto, es un método óptimo para caracterizar un sistema a partir de su respuesta al escalón.

(Resuelto por: Hoff Romina)

4)

Dados los gráficos de magnitud y fase de la respuesta en frecuencia de un dado

proceso, identificar la función de transferencia del mismo a partir de la información

de los diagramas de Bode de las figuras 4.1 y 4.2

Figura 4.1: Diagrama de magnitud.

Figura 4.2: Diagrama de fase



La curva de magnitud de la respuesta en frecuencia de la Figura 4.1 no presenta

inclinación inicial en las bajas frecuencias, lo que representa un término constante igual

a la ganancia estática, en este caso K = 1. La pendiente en las altas frecuencias es de

-40dB/década y además ésta respuesta presenta un pico de resonancia en la

frecuencia de 4,8 rad/seg (figura 4.3) lo que indica la presencia de un par de polos

complejos conjugados con parte real negativa. El valor de magnitud en decibeles del

pico de resonancia, representado en la gráfica, para hallar este valor se utilizo una

escala que divide diez dB en diez partes y es de aproximadamente 7,5 dB, valores que

se miden directamente del grafico presentado en la figura 4.3, a partir del cual es

posible conocer cuánto vale el factor de amortiguamiento relativo ξ. Este factor de

amortiguamiento, el que se puede encontrar analíticamente con la fórmula 4.1A,

resultando igual a 0,2. La expresión en régimen permanente sinusoidal de un sistema

con un par de polos complejos conjugados, puede escribirse como se presenta en la

formula 4.1B.

𝜉 =1

2𝑒𝐴/20= 0,2 4.1A

𝐺(𝑗𝜔) =𝐾

1 + 𝑗2𝜉

𝜔𝑛− (

𝜔

𝜔𝑛)

2 4.1B

Figura 4.3: Grafico utilizado para acentuar los valores característicos del problema.



Reemplazando valores en la ecuación 4.1B tenemos

𝐺(𝑗𝜔) =1

1 + 𝑗2 0,2

4,8𝜔 − (

𝜔

4,8)

2 4.2

Multiplicando y dividiendo por la frecuencia de corte y reemplazando jω por s en la

ecuación 4.2 se tiene el resultado que se muestra en la ecuación 4.3

𝐺(𝑠) =23,04

23,04 + 1,92𝑠 + 𝑠2 4.3

Con estos datos se simula en Matlab® con el código que se muestra en la tabla 4.1 y

se obtiene la figura 4.5

Figura 4.5: Respuesta de la simulación con los valores calculados



clc %Limpia la pantalla

clear all %Borra todas las variables

close all %Cierra todas las ventanas abiertas

num=[0 0 23.04]; %Define numerador

den=[1 1.92 23.04]; %Define denominador

y=tf (num,den) %crea la función de transferencia

bode(y,'.') %dibuja el diagrama de BODE

grid %Dibuja una grilla

Tabla 4.1: Código de matlab utilizado para obtener la figura 4.5

Conclusiones:

Como puede observarse en la figura 4.5 el gráfico de punteado cumple con las

especificaciones de sobreimpulso y que es un polo doble complejo conjugado ya que la

magnitud decrece en un orden de -40 dB/dec y el ángulo decrece de cero a -180º

característica de este tipo de singularidad, se lo comprara directamente con el original

(línea continua).

(Resuelto por: Viera Juan)

5)

Las medidas obtenidas del ensayo de respuesta en frecuencia de un motor de CC con

excitación independiente alimentado por un servoamplificador, son las mostradas en la

tabla 5.1. La variable v1 es la tensión de entrada al servoamplificador y la variable v2

es la tensión entregada por un tacogenerador, la cual tiene una relación proporcional

directa con la velocidad del eje del servomotor. Graficar las curvas de respuesta en

frecuencia de magnitud y de fase a partir de los datos y estimar la función de

transferencia del proceso.



Tabla Nº5.1: Valores obtenidos en laboratorio.

Los gráficos de módulo y fase que se obtienen en función de la frecuencia, trazadas en

base a los datos experimentales son los que se muestran en las figuras 5.1 y 5.2

respectivamente.

Figura 5.1: Gráfico obtenido de los resultados de laboratorio.



Figura 5.2: Gráfico obtenido de los resultados de laboratorio.

Para la realización del modelo estimado procedemos a analizar los gráficos de módulo

y fase de manera conjunta, primero observamos el gráfico del módulo obtenido con

datos experimentales, podemos apreciar la existencia de un polo en 𝜔 = 0,9, una

década mas adelante podemos observar que el gráfico desciende unos veinte dB,

hasta este momento podemos decir que hay un polo simple en 𝜔 = 0,9 , ahora

analizando el gráfico de fase, podemos asegurar que hay un polo simple en 𝜔 = 1 ya

que en esta frecuencia el defasaje que existe es de -90º, que corresponde a este tipo

de singularidad.

La ecuación que corresponde con este tipo de singularidad es la que se ve en la

fórmula 5.1

𝐹(𝑗𝜔) =𝑘

(1 +𝑗𝜔

𝜔0) 5.1



Siendo k el factor de escala que se calcula según la ecuación 5.2

20 log(𝑘) = 7 5.2

Por lo que la ecuación 𝐹(𝑗𝜔) queda:

𝐹(𝑗𝜔) =2,238

(1 +𝑗𝜔

0.9) 5.3

Cambiando 𝑗𝜔 por s y multiplicando y dividiendo por 0,9 el resultado de la ecuación 5.3

𝐹(𝑠) =2,23/0,9

(0,9 + 𝑠) 5.3

Como resultado tenemos la figura 5.3

Figura 5.3: Resultado de la simulación comparado con los datos de laboratorio.



Conclusiones:

Aquí podemos corroborar que la ecuación 5.3 representa al sistema del cual provienen

los datos

(Resuelto por: Viera Juan)

modelación experimental de procesos

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