II.2. MNOŽENJE VEKTORA SA SKALAROM I

ZBRAJANJE VEKTORA

� Neka je i vektor. Produkt broja λ i vektora

je vektor , takav da vrijedi:

1. ako je , tada je ;

2. ako je :

a) za λ>0, vektori i su paralelni i ;

b) za λ<0, vektori i su antiparalelni i

II. Vektorski prostor

LINEARNA ALGEBRA

4

λ ∈ℝ

0a =��

0b aλ= =� ��

b�

b aλ=� �

b�

.b aλ=� �

3V

0a ≠��

b�

a�

a�

a�

a�

II. Vektorski prostor

LINEARNA ALGEBRA

5

ZADATAK 1.

� Zadan je vektor . Skicirajte vektore i

.

� Zbroj vektora i je vektor

� Pravilo trokuta

� Pravilo paralelograma

a�

ab��

3

1=ac��

2−=

3V

a�

b�

.c a b= +�� �

II. Vektorski prostor

LINEARNA ALGEBRA

6

� Uređenu trojku skupa i ovako definirane

operacije zbrajanja vektora i množenja vektora sa

skalarom nazivamo vektorski prostor nad poljem

realnih brojeva jer za navedene operacije vrijede

sljedeća svojstva:

3V

3V

II. Vektorski prostor

LINEARNA ALGEBRA

7

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

3

3

3 3

3 3

3

3

3

3

1. , , ;

2. , , , ;

3. 0 . . , 0 0 ;

4. , ! , 0;

5. , , ;

6. , , ;

7. , , ;

8. , 1 .

a b V a b b a

a b c V a b c a b c

V t d a V a a a

a V a V a a a a

a V a a

a b V a b a b

a V a a a

a V a a

α β α β αβ

α α α α

α β α β α β

∀ ∈ + = +

∀ ∈ + + = + +

∃ ∈ ∀ ∈ + = + =′ ′ ′∀ ∈ ∃ ∈ + = + =

∀ ∈ ∧ ∀ ∈ =

∀ ∈ ∧ ∀ ∈ + = +

∀ ∈ ∧ ∀ ∈ + = +

∀ ∈ ⋅ =

ℝ

ℝ

ℝ

3V

II. Vektorski prostor

LINEARNA ALGEBRA

8

ZADATAK 2. Vektor napišite kao zbroj vektora

ZADATAK 3. Dokažite da u trokutu ∆ABC vrijedi

jednakost:

ZADATAK 4. Neka je točka C na pravcu AB, A≠B, takva da vrijedi jednakost Dokažite da je

tada:

0.a b ct t t+ + =�� � �

.AC CBλ=���� ���

.1

OB OAOC

λλ

+=+

��� �������

3V

, , , , .a b c d e� �� � � f

�

II. Vektorski prostor

LINEARNA ALGEBRA

9

ZADATAK 5.

� Ako točke A, B, C, D ne leže na istom pravcu, onda

vrijedi da je ako i samo ako se dužine

i raspolavljaju. Dokažite navedenu tvrdnju.

CDAB =AD BC

3V