Sebelum membahas persamaan Poisson dan Laplace, kita membahas terlebih dahulu persamaan Gauss.

•Hukum Gauss

Dimana Q = muatan total di dalam S itu.

Hukum Gauss menyatakan bahwa “ fluks total yang keluar dari suatu permukaan tertutup adalah sama dengan jumlah muatan di dalam permukaan itu.

Kemudian persamaan di atas ruas kanan dan kiri dibagi dengan ∆V menjadi :

Hasil penting dari persamaan Maxwell bagi medan-medan statis :

•Persamaan Poisson

dari persamaan Maxwell dengan mensubstitusikan

didapat :

kalau medium adalah homogen, maka ε dapat dikeluarkan dari turunan parsial pada

divergensi, sehingga di dapat :

atau

Disebut sebagai persamaan Poisson.

Jika daerah tersebut bebas dari muatan-muatan (dan dengan permitivitas yang serba

sama) maka persamaan Poisson kemudian menjadi :

•Persamaan Laplace dengan bentuk-bentuk eksplisitnya

adalah dikenal sebagai persamaan Laplace.

Karena persamaan Laplace adalah divergensi dari gradien V, maka operasi ini dapat

dipakai unuk memenuhi bentuk persamaan dalam sistem koordinat tertentu.

a. Koordinat Kartesian

untuk medan vektor :

maka persamaan Laplace nya menjadi :

b. Koordinat Silindris

dan

maka persamaan Laplace nya :

c. Koordinat bola

dan

maka persamaan Laplace nya :

Contoh soal !

Dalam koordinat bola, V = 0 V untuk r = 0,10 m dan V = 100 V untuk r = 2,0 m. Tentukan E dan D di antara kedua permukaan bola, dimana mediumnya dianggap ruang bebas.

Jawab :

Karena V bukan fungsi θ dan φ, persamaan Laplace menjadi :

Integrasinya sekali memberikan :

Dan integrasi kedua menghasilkan :

Syarat-syarat batas memberikan : dan

Didapat A = 10,53 V dan B = 105,3 V. Maka :

Contoh soal !

Dalam koordinat silindris, V = 0 V untuk r = 1 mm dan V = 150 V untuk r = 20 mm. Tentukan V dan E di antara kedua permukaan silindris, dimana mediumnya dianggap ruang bebas, abaikan efek-efek sisi.

Jawab :

Karena V adalah konstanta terhadap φ dan z, persamaan Laplace menjadi :

Integrasinya sekali memberikan :

Dan integrasi kedua menghasilkan :

Syarat-syarat batas memberikan : dan

Didapat A = 50,1 V dan B = 345,9 V. Maka :

Teorema syarat batas

Dalam keadaan statis semua muatan netto berada dipermukaan luar penghantar, sehingga baik E dan D di dalam penghantar adalah nol. Karena medium listrik bersifat konservatif, integral garis bagi E adalah nol untuk setiap lintasan tertutup. Gambar di bawah menunjukkan lintasan berbentuk persegipanjang dengan titik sudut 1, 2, 3 dan 4.

Kalau panjang lintasan dari 2 ke 3 dan 4 ke 1 diperkecil

mendekati nol api dengan perbatasan tadi tepat

diantaranya, maka integral kedua dan keempat adalah nol. Lintasan antara 3 dan 4 adalah di dalam penghantar dimana E = 0, jadi tinggal :

dengan Et adalah komponen tangensial dari E pada permukaan dielektrik. Karena interval 1 ke 2 dapat dipilih dengan sembarang, maka

Pada setiap permukaan.

Untuk menentukan syarat batas bagi komponen-komponen normal, suatu permukaan tertutup berbentuk silindris tegak yang kecil ditempatkan diperbatasan lintasan tertutup tersebut.

Lihat gambar di samping ini :

Hukum Gauss yang diterapkan pada permukaan tertutup ini

menghasilkan :

atau

Integral yang ketiga bernilai nol karena di kedua sisi perbatasan, integral kedua juga nol karena permukaan bawah silinder di dalam penghantar, dimana D dan E tidak ada,

maka :

Yang dapat dipenuhi kalau :

Contoh soal !

Dua penghantar silinder seporos dengan jari-jari

ra = 0,01 m dan rb = 0,08 m mempunyai rapat muatan

ρsa = 40 pC/m² dan ρsb, sedemikian sehingga medan D

dan E nya hanya ada di dalam ruangan di antara

kedua silinder itu. Lihat gambar. Tentukan ρsb dan tulislah

ungkapan D dan E di antara kedua silinder!

Karena simetris, medan di antara kedua silinder adalah

radial dan merupakan fungsi r saja.

Contoh soal !

Dua penghantar silinder seporos dengan jari-jari

ra = 0,01 m dan rb = 0,08 m mempunyai rapat muatan

ρsa = 40 pC/m² dan ρsb, sedemikian sehingga medan D

dan E nya hanya ada di dalam ruangan di antara

kedua silinder itu. Lihat gambar. Tentukan ρsb dan tulislah

ungkapan D dan E di antara kedua silinder!

Karena simetris, medan di antara kedua silinder adalah

radial dan merupakan fungsi r saja.