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Matematica IntegradaTRANSCRIPT
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Unidade I
MATEMÁTICA INTEGRADA
Prof. Gastón Henriquez
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Agenda
Apresentação
Introdução
Amostragem
Correlação linear
Regressão linear
Estimativa de parâmetros
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Introdução
A estatística apresenta um referencial teórico para a coleta, a organização e o tratamento de informações no âmbito da Ciência, dos processos industriais e comerciais, bem como de situações cotidianascotidianas.
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Amostragem
A escolha do método a ser utilizado na amostragem deve garantir uma amostra representativa da população em relação ao interesse que se tem sobre ela, tanto em gênero como em número.
A utilização de amostras na realização de pesquisas é justificada pelo fato de que as populações (universo) nem sempre são totalmente acessíveis.
Tempo e custo são fatores decisivos na opção pela amostragem.
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Tipos de amostragem
Amostragem probabilística:
Neste caso, cada elemento da população tem probabilidade conhecida e diferente de zero de pertencer à amostra.
Amostragem não probabilística:Amostragem não probabilística:
Neste método, é feita uma escolha deliberada dos elementos que irão compô-la.
Os resultados dessa amostra não podem ser generalizados para a população; aser generalizados para a população; a confiabilidade diminui.
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Técnicas de amostragem (I)
Amostragem aleatória simples: Todos os elementos da população têm a
mesma probabilidade de pertencer à amostra.
A determinação dos elementos pode ser feita por tabela de números aleatórios e sorteios.
Seja N o número de elementos da população Ω e n o no de elementos de uma amostra A = a1, a2,..., an. Cada elemento da população temelemento da população tem probabilidade n/N de pertencer à amostra.
Assim, p(an) = n/N. Por definição, 0 < p(A) < 1.
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Técnicas de amostragem (II)
Amostragem aleatória estratificada:
Utilizada quando a população em questão é heterogênea. Ela se divide em subpopulações homogêneas, chamadas de estratos. Dessa forma, a variável em estudo pode apresentar comportamento homogêneo dentro de cada estrato.
Exemplo: selecionar uma amostra com números de homens e mulheres proporcionais à composição de homens e mulheres existentes na população, por classe social.
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Técnicas de amostragem (III)
Amostragem por conglomerados:
Existem alguns casos em que pode ser muito fácil a identificação dos elementos em alguns subgrupos (conglomerados) dessa população. Pode ser realizada nessa situação uma amostra aleatória simples desses conglomerados. Em cada conglomerado sorteado, faz-se a contagem completa dos elementos.
Exemplos comuns de conglomerados: turmas de escolas, quarteirões de bairros etc.
O IBGE utiliza muito esse tipo de amostragem.
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Técnicas de amostragem (IV)
Amostragem sistemática:
Utilizada quando os elementos da população se apresentam ordenados de acordo com algum critério. Um exemplo seria a retirada de elementos de uma amostra, periodicamente, a partir de listas.
Amostragem em múltiplas etapas:
Técnica utilizada para produzir uma amostra representativa de umaamostra representativa de uma população muito espalhada. Similar à técnica por conglomerados, mas nesse caso, o processo só é finalizado quando há seleção de unidades individuais de amostragem.
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Dados de uma amostra
As formas que os dados de uma amostra são explorados podem mudar completamente um estudo.
Em um estudo, o cuidado na escolha da amostra é importante para o emprego adequado dos métodos estatísticos.
Existem várias técnicas de amostragem que podem ser utilizadas para facilitar o trabalho de pesquisa, evitando, dessa forma, um custo excessivo e desnecessário na caracterização de todos os elementos de uma população.
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Interatividade
A Secretaria de Educação de um município deseja investigar os casos de fraude e burla da fila de espera para matrícula de alunos na rede municipal de ensino. Assim, analisam-se (1) as listas de espera com ordenação por data de inserção dosordenação por data de inserção dos candidatos; (2) listas de alunos matriculados, ordenados por data de matrícula. A técnica de amostragem adotada é:a) Amostragem aleatória simplesa) Amostragem aleatória simples. b) Amostragem aleatória estratificada.c) Amostragem sistemática.d) Amostragem em múltiplas etapas.e) Amostragem não probabilística.
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Correlação linear
O significado do termo “correlação” é a existência da relação em dois sentidos (co + relação). O termo é usado em estatística para demonstrar a força da relação entre dois conjuntos de dados.
Verificar se a possível existência e o grau de relação entre as variáveis são objetos de estudo da correlação.
Exemplo: a estatura de uma pessoa e o seu peso. Para uma estatura maior, corresponde, em geral, a um peso maior. Dizemos, por isso, que entre as variáveis peso e estatura existe correlação.
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Coeficiente de correlação de Pearson
O coeficiente de correlação linear, ou coeficiente de Pearson, indica se existe correlação entre as variáveis analisadas.
Existirá correlação linear se esse coeficiente estiver entre -1 e + 1, o que em porcentagem representa um valor entre -100% e + 100%.
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Coeficiente de correlação de Pearson: cálculo
Esse coeficiente é calculado assim:r = coeficiente de correlação
x = variável independente
y = variável dependente
n = número de possíveis correlaçõesn = número de possíveis correlações
entre as variáveis
r = – –
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Tipo de correlação, segundo o coeficiente de correlação r
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Correlação positiva
Dizemos que existe uma correlação positiva entre duas variáveis quando o aumento da variável independente resulta no aumento da variável dependente.
Exemplo:
Se o aumento de horas extras (variável independente) corresponder ao crescimento da produtividade de uma empresa (variável dependente), então ocorre correlação positiva.
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Diagrama de dispersão
Os diagramas de dispersão mostram o comportamento da relação entre variáveis em decorrência do coeficiente de correlação linear.
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Correlação negativa
Dizemos que existe uma correlação negativa entre duas variáveis quando o aumento da variável independente resulta no decréscimo da variável dependente.
Exemplo:
Se o aumento das horas de atividades físicas (variável independente) corresponder à diminuição do peso dos pacientes (variável dependente), então ocorre correlação negativa.
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Diagrama de dispersão
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Exemplo de aplicação
Deseja-se estudar as despesas com investimentos em treinamento de pessoal e a produtividade (toneladas) durante certo período de uma empresa.
Pede-se:
a) Verificar se existe correlação entre as variáveis.
b) Em caso afirmativo, que tipo de correlação: positiva ou negativa?Fraca, forte ou moderada? Justifique.Fraca, forte ou moderada? Justifique.
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Tabela: investimento (R$) x produtividade (toneladas)
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Cálculo das somatórias
Primeiro passo, calcular as somatórias:Σ x, Σ y, Σ x², Σ y² e Σ x.y
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Cálculo do coeficiente de correlação r
r = – –
r = – –
r = – –
r = = = = 0,95
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Conclusão
a) Existe correlação entre as variáveis.
b) A correlação linear é forte e positiva, uma vez que o coeficiente r se encontra dentro do intervalo 0,8 ≤ r < 1, conforme classificação.
Pode-se concluir que:
o aumento do investimento em treinamento de pessoal aumenta a produtividade.
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Interatividade
Um empresário analisou 6 registros dos gastos com manutenção e o número de lotes produzidos de determinado componente de uma fábrica. Depois de tabulados os dados, obteve-se Σx = 33, Σy = 152 Σxy = 714 Σx² = 199 Σy² = 5386 OΣy = 152, Σxy = 714, Σx² = 199, Σy² = 5386. O coeficiente de correlação entre as variáveis é:
a) r = 0,75
b) r = 0,70
c) r = -0,74
d) r = -0,75
e) r = 0,80
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Regressão linear
O uso da análise de regressão tem como prioridade fazer previsões, estimativas ou projeções.
O objetivo é desenvolver um modelo estatístico que será usado para estimar valores de uma variável dependente y em função de uma variável independente x.
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Conceito de regressão linear
A regressão linear é um método para se estimar valores da variável y, dados outros valores das variáveis x, ou seja, trata-se de uma técnica estatística em que se deseja estimar um valor condicional esperadocondicional esperado.
O modelo de regressão linear é chamado linear porque levamos em consideração que a relação entre as variáveis é uma função linear de alguns parâmetros.
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Diagrama de dispersão
Um instituto de pesquisa administra o desenvolvimento de seus pesquisadores de acordo com o número de entrevistas realizadas por eles e com os respectivos tempos de experiência.
Sendo assim, esse instituto de pesquisa deseja desenvolver um modelo para prever o número de entrevistas em um certo dia. Acredita-se que a experiência do entrevistador (medida em semanas trabalhadas) é determinante em relaçãotrabalhadas) é determinante em relação ao número de entrevistas realizadas. Uma amostra de 10 entrevistadores revelou os seguintes dados:
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Tabela e diagrama de dispersão
Sendo y = número de entrevistas realizadas e x = semanas de experiênciarealizadas e x = semanas de experiência, inicialmente construímos o diagrama de dispersão.
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Diagrama de dispersão
A análise do gráfico indica uma relação entre as variáveis. Quando o número de semanas trabalhadas aumenta (aumentando a experiência do entrevistador), o número de entrevistas realizadas também aumenta.
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Determinação da equação de regressão linear simples
y = a + bx:
Em que:
y = valor previsto para um valor dado de x
b = inclinação da reta
x = valor dado
a = - b
Sendo:
a = - b
= b =
–
ú d í i = n= número de possíveis
correlações entre x e y
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Aplicação prática
Em um exemplo já estudado, calculamos o coeficiente de correlação entre as despesas com investimentos em treinamento de pessoal e a produtividade (toneladas) investigada durante certo período de uma empresa Obter aperíodo de uma empresa. Obter a equação da reta para o investimento em treinamento de pessoal e a produtividade da empresa.
Vamos usar as somatórias calculadas:
n = 10; Σx = 80;
Σx2 = 756; Σy2 = 7097;
Σy = 255; Σx.y = 2289.
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Solução da aplicação prática
Equação da reta de regressão: y = a + bx
Cálculo da inclinação da reta: b
b = =b– –
b = = –
b = b = 2,15
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Cálculo das médias x e y e a:
= =
= =
a = - b
a = 25,5 – 2,15.8
Substituindo a e b na equação da reta:
b
= 8 = 25,5
a = 25,5 – 17,2
a = 8,3
y = a + bx
Logo:
y = 8,3 + 2,15x
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Estimativa de parâmetros
O método de “estimação de parâmetros” é utilizado para se obter estimadores em casos específicos, por exemplo, quando fazemos alguma hipótese sobre algum parâmetro relativo à distribuição da população Esse processo utiliza dadospopulação. Esse processo utiliza dados da amostra para fazer a estimativa de valores de parâmetros populacionais.
Estimativa e o valor numérico assumido pelo estimador, ou seja, valor aproximado do parâmetro calculadoaproximado do parâmetro, calculado com base na amostra.
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Parâmetros (população) e estatísticas (amostra)
Entre os estimadores mais comuns estão:
Amostras
Média amostral:
Desvio padrão amostral: s
População
Média populacional: μ
Desvio padrão populacional: σ
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Teorema do limite central
Para entender o Teorema do Limite Central, é preciso ter claros os conceitos de distribuição amostral e de distribuição amostral de médias das amostras.
Assim:
Distribuição amostral pode ser definida como a distribuição de probabilidade de uma estatística qualquer da amostra, formada a partir de repetidas amostras de tamanho n coletadas de uma população.
Distribuição amostral de médias das amostras é quando a estatística da amostra é sua média.
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Distribuição amostral
Considere todas as amostras possíveis de tamanho n que podem ser retiradas de uma população de tamanho N (com ou sem reposição).
Para cada amostra, é possível calcular uma grandeza estatística, como a média, mediana, variância, desvio padrão etc.; que irá sofrer uma variação de uma amostra para outra.
Assim, obtém-se uma distribuição da grandeza calculada de cada amostra possível de ser extraída, denominada distribuição amostral.
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Propriedades das distribuições amostrais de médias das amostras
A média das médias das amostras (μx) é considerada igual à média populacional μ.
O desvio padrão das médias das amostras (σx) é igual à razão do desvio padrão populacional σ pela raiz quadrada de N.
=
O desvio padrão da distribuição amostral de médias das amostras é chamado de erro padrão da média.
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Interatividade
Um empresário analisou 6 registros de gastos com manutenção e o número de lotes produzidos de determinado componente de uma fábrica. Depois de tabulados os dados, obteve-se Σx = 33, Σy = 152 Σxy = 714 Σx² = 199 Σy² = 5386 AΣy = 152, Σxy = 714, Σx² = 199, Σy² = 5386. A equação da reta de regressão linear é:
a) y = 63,67x – 6,97
b) y = -38,67x – 6,97
c) y = -63,67x – 6,97c) y 63,67x 6,97
d) y = -6,97 x – 38,67
e) y = -6,97x + 63,68
![Page 41: MI Gaston 26-06 SEI Uni I](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051121/577c811e1a28abe054ab8d98/html5/thumbnails/41.jpg)
Intervalo de confiança para a média populacional (n≥30)
A distribuição das médias amostrais se aproxima de uma distribuição normal.
α = nível de significância populacional: (mais usados são 1% e 5%).
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Diagrama: região de aceitação e região crítica
- Zc e + Zc são valores críticos obtidos a partir da tabela de distribuição normal.
Zc =
1 - α = nível de confiança do intervalo.
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Intervalo de confiança para a média populacional (n≥30)
Para amostras grandes, temos:
P( -ZC < Z < +ZC ) = (1 - α)
Se o desvio padrão populacional for conhecido:
( ) ( )
Amostragem de população infinita ou amostragem de população finita com reposição:
P ( - z . < μ < + z . ) = (1 – α)
P ( – zc . σ < μ < + zc . σ = (1 – α)
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Intervalo de confiança para a média populacional (n≥30)
Se o desvio padrão populacional for desconhecido e n ≥ 30:
Normalmente, o desvio padrão da população σ não é conhecido e é necessário, então, em substituição a σ, usar a estimativa do desvio padrão S obtida da amostra, com a condição de que n ≥ 30.
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Intervalo de confiança para média populacional (n<30)
Caso n < 30, a aproximação pela curva normal não será suficiente, devendo ser feita uma correção usando-se a variável t de Student.
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Cálculo de tc: distribuição t-Student
Temos a variável com distribuição t de Student (tc), com Ø grau de liberdade.
tc =
O grau de liberdade é definido como:g.l = n – 1.
P ( t ≤ μ ≤ + t ) = (1 α)P ( - tc . ≤ μ ≤ + tc . ) = (1 – α)
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Exemplo
Uma amostra de 10 medidas do diâmetro de uma esfera apresenta média de 4,38 e desvio padrão de 0,06. Determine os limites de confiança de 99% para o diâmetro efetivo (população infinita).
Solução:
x = 4,38
n = 10 (n < 30) (Distribuição t-Student)
S = 0,06
g.l. = n - 1 = 10 -1 = 9
1 - α = 0,99, então α = 0,01
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Consulta tabela (Distr. T-Student)
Consultando a tabela de distribuição t Student com α = 0,01 e g.l. = 9:
Valor tabelado encontrado é: tc = 3,250
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Solução (continuação)
Cálculo do intervalo de confiança:
P ( - tc . < μ < + tc . ) = (1 – α)
P (4,38 – 3,25 . < μ < 4,38 + 3,25. ) = (1 - 0,01)
P (4,32 < μ < 4,44) = 0,99
P (4,32 < μ < 4,44) = 99%
Resposta:
Pelo resultado encontrado com 99% de confiançaPelo resultado encontrado, com 99% de confiança, podemos admitir que a verdadeira média populacional (μ) esteja contida no intervalo 4,32 ≤ μ ≤ 4,44.
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Intervalo de confiança para a variância e o desvio padrão
A construção do intervalo de confiança para a variância é feita utilizando-se a distribuição de X² (lê-se “qui-quadrado”), sendo definido por:
P (1 )
O valor de X² é tabelado sendo:
P = (1 – α)
com ; ( n- 1) graus de liberdade (g l ) e com ; ( n- 1) graus de liberdade (g.l.) e
com 1- ; ( n- 1) g.l.
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Exemplo de aplicação
A amostra a seguir refere-se às vendas em kg de uma amostra de produtos hortigranjeiros de certo estabelecimento. Construa um intervalo de confiança para o desvio padrão populacional das vendas com nível de confiança de 90%vendas, com nível de confiança de 90%.
Vendas - xi: 2, 2, 4, 4, 5, 7, 8, 8, 8, 9, 9
Solução:
Média aritmética das vendas.
= = =
= 6,0 kg
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Solução (continuação)
Determinação do desvio padrão amostral das vendas.
=
s² = =
s² = 7,2
s² = =
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Cálculo do intervalo de confiança
P = (1 – α)
com = = 5% = 0,05 e
l ( 1) (11 1) 10g.l.: ( n- 1) = (11 – 1) = 10
= 18,307
com 1- = 1 - = 95% = 0,95 e
l ( 1) (11 1) 10g.l. ( n- 1) = (11-1) = 10
= 3,940
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Cálculo do intervalo de confiança
P ( ) < σ² < ) = (1- 0,10)
P = (1 – α)
P ( < σ² < ) = 0,90
P ( < σ² < ) = 0,90
P (3,933 ≤ σ² ≤ 18,274) = 0,90
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Solução (continuação)
Intervalo de confiança para a variância:
P (3,933 ≤ σ² ≤ 18,274) = 0,90
Intervalo de confiança para o desvio padrão:
P ( < < ) 0 90P ( < σ < ) = 0,90
Resposta
O desvio padrão populacional com uma confiança de 90%, está situado no i t l 1 983 4 275intervalo 1,983 e 4,275.
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Conclusão
Um Intervalo de Confiança (IC) é um intervalo estimado a respeito de um parâmetro estatístico.
Em vez de fazermos a estimativa do parâmetro por apenas um valor, é dado um intervalo de estimativas prováveis.
O quanto serão prováveis essas estimativas, ou seja, o quanto podemos confiar nelas, é determinado pelo coeficiente de confiança (α).
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Interatividade
Sabe que a vida útil de uma peça de equipamento tem σ = 5h. Uma amostra de 100 unidades dessas peças forneceu x = 500h.
O intervalo de confiança com nível de 95% para média μ é:
a) 499,42 < μ < 500,98
b) 498,32 < μ < 499,98
c) 499,12 < μ < 500,78
d) 499,02 < μ < 500,98
e) 501,02 < μ < 501,98
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ATÉ A PRÓXIMA!