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Geometría Unidad 3 Trigonometría y Circunferencia

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas

Actividad 4. Teoremas y propiedades de la circunferencia

1. Demuestra el caso 3 del teorema 3.8

La mediana de un ángulo inscrito en una circunferencia tiene la mitad del arco

entre sus lados del ángulo.

Trazamos el diámetro AB:

Ángulo DAC = β – Ƴ

β = ½ arco BC

Ƴ = ½ arco BD

Restando estas dos igualdades:

El ángulo CAB = ½ arco BC – ½ BD = ½ arco CD



2. Demuestra el caso 3 del teorema 3.10

Por demostrar

( )

Trazamos la secante AC

α+Ƴ=β

Restando Ƴ en los dos miembros:

α=β-Ƴ

Como β y Ƴ son inscritos

α= ½ arco EC – arco AC



3. Demuestra el teorema 3.16

El teorema de 3.16: la mediatriz de toda cuerda a una circunferencia, interseca al

centro de la circunferencia.

Recordamos la mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos

equidistantes de sus extremos. Y el centro es equidistante de los extremos de la

cuerda. Por lo tanto, el centro está sobre la mediatriz.



4. Demuestra el teorema 3.17

Teorema 3.17: en toda la circunferencia las cuerdas que son congruentes entre si,

equidistan del centro de la circunferencia.

Recíprocamente, también es válido decir que las cuerdas equidistantes del centro de

una circunferencia son congruentes.



5. Sea S una circunferencia y sean dos arcos tales que , entonces los

segmentos .

Como los arcos ^CE = ^DF

Además CE + ^CB = FD + ^DB

Entonces:

RCAB = RDAB entonces ^CE =^BE simetral

REAB = RFAD entonces ^CE = ^DE simetral

Además como el diámetro BC es perpendicular al segmento CD son paralelos,

luego BC es perpendicular EF, entonces los segmentos CD y EF son paralelos.



6. Sea S una circunferencia sean dos arcos tales que entonces los

segmentos

Trazar el diámetro , luego

Además:

RCAB = RDAB entonces ^CE = BE simetral

REAB = RFAD entonces ^CE = ^DE simetral

Como CE+^CB = FD + ^BD, entonces ^CE = ^DF



7. Sea S la circunferencia. Los segmentos son tangentes en S a los

puntos A y B, entonces el triangulo es isósceles.

Se justifica utilizando un teorema que dice: si desde un punto exterior a una

circunferencia se trazan dos tangentes a la circunferencia, se determinan segmentos

congruentes y también se forman ángulos congruentes con la recta que pasa por el

punto exterior y por el centro de la circunferencia.

Esto se visualiza observando el bosquejo, además, como resultado del ángulo del

radio del `punto de tangencia al centro con la tangente, forma un ángulo de 90°, lo

mismo respecto al otro lado del centro, entonces se aplica el criterio LAL, un triángulo

congruente de acuerdo un lado y un ángulo y otro lado.



8. Sean los puntos A, B, C y D en la circunferencia S con centro en O tales que

, entonces

Se demuestra utilizando el teorema “La Mediatriz” de toda cuerda a una

circunferencia, interseca al centro de la circunferencia.

Pues el segmento OB es mediatriz de una AB, por lo tanto parte a la cuerda en partes

iguales, por ende los arcos AB es igual a BC.



9. Sean los puntos A, B y C en la circunferencia S con centro, y que sea D

tal que , entonces .

Se demuestra la siguiente afirmación debido el segmento OB es mediatriz de una cuerda

AB, por lo tanto parte a la cuerda AB, por ende los arcos AB es igual a BC.

Y como D es un punto que pertenece al intervalo formado por los segmentos OB y AC,

entonces se concluye que es el punto de intersección de las dos rectas.

Ahora, si se traza una recta que pase por D, tal que sea una cuerda de la circunferencia

S, pasa por los puntos A y B. Entonces se concluye que forman dos triángulos

rectángulos, formando ángulos de 90°. Aplicando el teorema LAL de congruencia, se

concluye que los triángulos resultantes son congruentes, por lo tanto, cualquier ángulo de

esos triángulos son congruentes respecto al otro.

Por ende, se concluye que los ángulos DAB y DCB son congruentes.

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