REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”EXTENSIÓN PORLAMAR

ESCUELA ING DE SISTEMSAS

METODOS KUHN TUCKER Y LAGRANGE

MAGNIELYS MATA

DEFINICION DEL METODO KUHN TUCKER

En programación matemática, las condiciones de KarushKuhn-Tucker (también conocidas como las condiciones KKT o Kuhn-Tucker) son condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de programación matemática sea óptima. Es una generalización los Multiplicadores de Lagrange.

Las condiciones de Kuhn-Tucker para el problema máximo x f (x) en g j (x) ≤ c j para j= 1, ..., m se L i '(x) = 0 para i = 1 ,..., n 0 λ ≥ j, j g (x) y c ≤ λ j j [j g (x) - c j] = 0 para j = 1, ..., m, donde L (x) = f (x) - Σ j = 1 λ m j (j g (x) - c j).

APLICACIÓN DEL METODO KUHN TUCKER

Básicamente el procedimiento consiste en resolver el problema no lineal como uno sin restricciones, luego si la solución óptima de dicho problema no cumple la totalidad o parte de las restricciones del problema se activan dichas restricciones (en conjunto y/o secuencialmente) y se resuelve nuevamente.

EJEMPLO:

Encuentre los valores mínimo y máximo de la Función f(x1, x2) = 3−x1−x2

sujeta a las Restricciones 0≤x1, 0≤ x2 y 2x1 + x2≤ 2.

Solución:

Primero cambiemos las restricciones a la forma gi ≤0: 0 ≤ x 1→ g1 = − x1 ≤ 0 0≤x2→g2=−x2≤0 x1+x2≤2→g3=2x1+x2−2≤0

Opt f(xi) s.a. g(xi) ≤ ci

para cualquier i =1, … n.

Dependiendo de si queremos maximizar o minimizar la función objetivo elegiremos unos multiplicadores de

Lagrange positivos o negativos

Si queremos Max f(xi) Si Min f(xi)

λ > 0 λ < 0

Teniendo en cuenta que Max f(xi) = - Min f(xi)

Podremos construir la función lagranjiana de la forma:

L (xi , λi)= f(xi) - ∑λi( g(xi) – ci )

Condiciones de Kuhn-Tucker I/II

A b

CONDICIONES DE PRIMER ORDEN

∂ L (xi , λi) ∂ xi

= 0

CONDICIONES DE HOLGURA

COMPLEMENTARIA

λi( g(xi) – ci ) = 0

Condiciones de Kuhn-Tucker II/II

c d

En todos los casos debemos comprobar que

se cumple:

g(xi) ≤ ci

Los multiplicadores de Lagrange deben coincidir con el

problema de optimización:

Si maximizamos, es λ > 0 ?

Si minimizamos, es λ < 0 ?

Ejercicio Condiciones Kuhn-Tucker

El método de solución procede de la siguiente manera. Cambiemos cada restricción de desigualdad gi≤0 a una restricción de igualdad introduciendo una variable Si de la siguiente manera:

Método Multiplicadores de Lagrange

Los multiplicadores de Lagrange, son un

método para trabajar con funciones de varias variables

que nos interesa maximizar o minimizar, y está sujeta a

ciertas restricciones.

Aplicaciones

Ejemplo #1 :Con Una Restricción

La función de producción de Cobb- Douglas para un cierto fabricante viene dada por donde denota las unidades de trabajo (Q. 150.00 unidades) e las unidades de capital (Q 250.00 la unidad) Hallar el máximo nivel de producción admisible para este fabricante, si tiene el coste conjunto de trabajo y capital limitado a Q50000.00

Ejemplo # 2: Con Dos Restricciones