2Mtodos deintegracinCaptulo 2En casi todos los textos de clculo, lo que vamos a desarrollar en este captulo esconocido bajo el nombre de mtodos de integracin. Puede ser que dicha deno-minacin d lugar a confusin en el principiante, puesto que lo que realmente seensea es a calcular primitivas de muchas clases de funciones para que conjunta-mente con el segundo teorema fundamental del clculo que se enuncia y demuestraen el captulo 3 puedan usarse con mucha soltura en las aplicaciones del captulo 4.La expresin tcnicas o mtodos de integracin se refiere al estudio de mtodossistemticos para hallar primitivas o antiderivadas.Principalmente, se utilizan tres tcnicas que son:1. Integracin por sustitucin. Mtodo basado en la regla de la cadena.2. Integracin por partes. Mtodo basado en la diferenciacin de un produc-to.3. Integracin por descomposicin en fracciones simples.Estas tcnicas no slo explican cmo se han elaborado las llamadas tablas de integra-lesindefinidasqueaparecenentodoslostextosdeclculoyquetambinestnincluidasenelapndiceIIIdeestetexto,sinoquetambinpuedenutilizarseparaevaluar integrales de tipos diversos y permitir transformar ciertas integrales reducin-dolas a otras ya conocidas.Mdulo 5Tabla preliminar de integralesindefinidasMdulo 6Integracin por partesMdulo 7Integracin por sustitucinMdulo 8Sustituciones trigonomtricasMdulo 9Integracin por descomposicinen fracciones simplesMdulo 10Integracin de funcionesracionales propiasMdulo 11SustitucionesdiversasEjerciciosMdulos 5 al 11Paralossintetizadoresdemsica,loscoeficientesdeFouriersonlasamplitudesdelosdistintasarmnicosdelasformasdeondasdadas.LoscontrolesgravesyagudosenunequipoestreoseinterpretancomolasamplitudesdediferentestrminosenunaseriedeFourier.Laintegracinporpartes(mdulo6)permitecalcularloscoeficientesdelasseriesdeFourier.4849Elementos bsicos de clculo integral y series5Tabla preliminar de integralesindefinidasContenidos del mduloObjetivos del mduloPreguntas bsicasIntroduccin5.1 Primera tabla de integrales1. Construir, con base en las reglas de derivacin (RD1-RD32) y las reglas diferen- ciales (Rd1-Rd10) de los mdulos 19 y 28 del texto Elementos bsicos de clculo diferencial, una primera tabla de integrales.1. Deduzca la frmulasec ln sec tan x dx x x C = + + escribiendo2 21 cos cos 1 cos cossec ,cos 2 1 sen 1 sen cos 1 senx x x xxx x x x x = = = = + + expresin inspirada en la descomposicin en fracciones parciales.Antes de exponer los mtodos de integracin se dar una lista de primitivas (inte-gralesindefinidas)paralasfuncionesyaconocidas.Latablaquesepresentaseguidamente rene las integrales o primitivas de las funciones estudiadas hasta elmomento.La tabla de integrales se deduce de manera inmediata de la definicin dada en laseccin 2.1 del mdulo 2 y de la tabla de derivadas del mdulo 19 del texto Elemen-tos bsicos de clculo diferencial. Se puede comprobar fcilmente que las igualda-des de la tabla son vlidas mediante la derivacin, es decir, se puede verificar que laderivada del segundo miembro es igual al integrando.PietroMengoliElnombredePietroMengoliapareceenelregistrodelaUniversidaddeBoloniaenelperiodo1648-1686,enelquesustituyasumaestroFrancescoBonaventuraCavalieri(1598-1647)enlactedrademecnica.Segraduenfilosofaen1650ytresaosmstardeenleyescivilesycannicas.Enesteprimerperiodoescribitresobrasdematemticapura.Despusfueordenadosacerdoteyhastasumuertefuepriordelaiglesia de Santa Mara Magdalena de Bolonia.Aunquede1660a1669nopublicnada,en1670aparecierontresdesusobras:Refraccin solar, Especulacin sobre msicayCrculo.EstasobrasreflejabanelnuevopropsitodeMengolideinvestigarnonicamentesobrematemticaspurassinotambinsobrematemticasmixtascomolaastronoma,lacronologaylamsica.Adems,suinvestigacinestabaclaramentedirigida a justificar escritos bblicos y a hacerapologadelafecatlica.Mengolicontinuescribiendoenestalnea,publicandoAoyMes,dosobrassobrecosmologaycronologabblica,yAritmticaracionalyAritmticarealsobrelgicaymetafsica.Tambinescribiunaobrasobrecuadra-turas,compuestaporseiscaptulos,quelllamaelementos,yunaintroduccin.Enestaintroduccinexplicacadaunodeloscaptulosporseparado.Elprimercaptulodalaspotenciasdeunbinomioexpresadasenletrastantoparalasumacomoparalaresta,yelsegundocalculanumerosassumasdepotenciasyproductosdepotenciasconunanotacinpropia.Eneltercero,apartirdeladefinicindelosconceptosrazncuasinula,razncuasiinfinitayrazndecuasiigualdaddesarrollunateoradecuasiproporcionesbasndoseenlateoradeproporcionesdellibroVdeEuclides.Enelcuartocaptulo,basndose tambin en el libro V de Euclides,elaborunateoradeproporcioneslogartmicas.Enelquintoconstruyel505.1 Primera tabla de integralesEsta primera tabla que se incluye es pequea. Su memorizacin permitir adquirirhabilidad para calcular muchas otras integrales.Captulo 2: Mtodos de integracinVeaelmdulo5delprogramadetelevisinElementosbsicosdeclculointegralyseries1.1, 11ln , 1nnuC nu du nu C n++ = ++ = (Aqu y en las frmulas siguientes C designa una constante arbitraria)2. adu au C = +3. du u C = +4.u ue du e C = +5.1lnu ua du a Ca= +6. sen cos u du u C = +7. cos sen u du u C = +8. tan ln cos u du u C = +9. cot ln sen u du u C = +10.2sec tan u du u C = +11.2csc cot u du u C = +12. sec tan sec u u du u C = +13. csc cot csc u u du u C = +14. sec ln sec tan u du u u C = + +15. csc ln csc cot u du u u C = +16.12 21sen,cosuCduaua uCa+= + siendo a una constante positiva.17. 12 211tan1cotuCdua au a uCa a+= + +,siendo a una constante positiva.18.12 211sec1cscuCa a duuu u aCa a+= + , siendo a una constante positiva.logaritmoysuspropiedadesyenelsextocalcullascuadraturasdecurvasutilizandounastablastriangularesylateoradecuasiproporciones.YaenlasprimeraspginasdeestaobraMengoliafirmabaquesumtodoeraunaconjuncindelosmtodosconocidoshastaentonces:Ambasgeometras,laantiguade Arqumedes y la nueva de los indivisiblesdeBonaventuraCavalieri(preceptormo),ascomotambinellgebradeVite,hansidotratadasconbastanteaciertoporpersonascultas;deellas,niconfusamentenicomosifueseunamezcla,sinoporunaperfectaconjuncin,seobtieneunanueva,laespeciepropiadenuestrotrabajo,quenopodrdesagradaranadie.51Elementos bsicos de clculo integral y series19. senh cosh u du u C = +20. cosh senh u du u C = +21.2sech tanh udu u C = +22.2csch coth udu u C = +23. sech tanh sech u udu u C = +24. csch coth csch u udu u C = +Mdulo 5: Tabla preliminar de integrales indefinidasObservaciones1. En el cuadro general de derivadas (seccin 19.1, mdulo 19, del texto Elemen-tos bsicos de clculo diferencial) no aparecen frmulas que correspondana las frmulas 8, 9, 14 y 15; sin embargo, es fcil verificarlas mediantederivacin.As por ejemplo, en el caso particular de la frmula 8 se tiene:cos si cos 0coscos sicos 0u uuu u> = ln( cos ) u = sicos 0. u ( ln cos ) (ln ( cos ))1(sen )costan sicos 0.x xD u D uduuu dxduu udx = = = 0, U (x) una funcinderivable y r En este caso, cualquiera de las sustituciones:U = a seny dU = a cos d,o (1)U = a cosy dU = a sen d, (2)transforma la integral dada en una integral que contiene potencias de funcionestrigonomtricasycuyasolucincorrespondeaalgunosdeloscasos1,2delasecciones 7.1.1 y 7.1.2.En efecto,2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( sen ) ( (1 sen )) cos . = = = r r r r ra U a a a aTambin,2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( cos ) ( (1 cos )) sen . = = = r r r r ra U a a a aEjemplo 1Evale la siguiente integral indefinida:29 4 . x dxSolucinLa expresin subradical se puede escribir como una diferencia de cuadrados, estoes,2 2 29 4 3 (2 ) . = x xAl hacer la sustitucin:2 3sen , = x (1)seobtiene3cos .2dx d = Entonces,2 2 239 4 3 (3sen ) cos2 = x dx dCaptulo 2: Mtodos de integracinLasfrmulasdeWallis1. Sinesimpar( 3 n ),entonces202 4 6 1cos ... .3 5 7nnx dxn = 2. Sinespar( 2 n ),entonces201 3 5 1cos ... .2 4 6 2nnx dxn = 75Elementos bsicos de clculo integral y series

29 9 9 9cos (1 cos 2 ) sen 22 4 4 8 = = + = + + d d C 9 9sen cos .4 4C = + + (2)con .2 2 Ahora, como se debe regresar a la variable original x, se utiliza el siguiente procedi-miento geomtrico.De(1) se tiene que2sen ;3 =x as, puede interpretarse como el ngulo agudode un tringulo rectngulo cuyo cateto opuesto es 2xe hipotenusa igual a 3. As queal cateto restante es, usando el teorema de Pitgoras,29 4 x(figura 8.1).Figura8.1Deltringulodelafigurasededuceque 29 4cos ,3=xycomo12sen ,3 = xse deduce finalmente que:2 1 29 2 19 4 sen 9 4 .4 3 2 = + + xx dx x x CEjemplo 2Evale la siguiente integral indefinida:322 2.( ) dxa xSolucinAl hacer la sustitucin:cos = x a (1)Mdulo8:SustitucionestrigonomtricasVeaelmdulo8delprogramadetelevisinElementosbsicosdeclculointegralyseries76seobtienesen . dx d = Entonces,3 32 22 2 2 2 21 1( sen )( ) ( cos )dx a da x a a= 3222 2 2 2sen 1 1csc cot .( sen ) = = = + a dd Ca a aAhora, para regresar a la variable original, se utiliza un procedimiento similar al delejemplo 1. Esto es, como cos =xa,se puede construir el tringulo de la figura 8.2.Figura8.2De all se deduce que 2 2cot =xa x y, en consecuencia,322 2 22 21.( ) = + dx xdx Ca a xa x8.2Integrales que contienen expresiones de la forma2 2( ) +ra U ,cona > 0, U (x) una funcin derivabley r En este caso, cualquiera de las sustituciones:U = a tan ydU = a sec 2 d, o (1)U = a cot y dU = a csc 2 d, (2)transforma la integral dada en una integral que contiene potencias de funcionestrigonomtricas y cuya solucin corresponde a algunos de los casos de la seccio-nes 7.1.4 y 7.1.5.Captulo 2: Mtodos de integracin77Elementos bsicos de clculo integral y seriesEn efecto,2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( tan ) ( (1 tan )) sec ; + = + = + = r r r r ra U a a a atambin,2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( cot ) ( (1 cot )) csc . + = + = + = r r r r ra U a a a aEjemplo 1Evale la siguiente integral indefinida:2 2.1+dxx xSolucinAl hacer la sustitucin:tan = x(1)seobtiene2sec . dx d = Entonces,2 22 22 2 2 2sec sec costan sec sen1 tan 1 tan1sendx d d dx xC= = =+ += + csc . = + CAhora, como tan ,1 =xse puede construir el tringulo de la figura 8.3.Figura8.3De all se deduce que 21csc+=xx y, en consecuencia,Mdulo8:Sustitucionestrigonomtricas7822 21.1+= ++dx xdx Cxx xEjemplo 2Evale la siguiente integral indefinida:322cos.(4 5sen ) +xdxxSolucinNtese inicialmente que 2 2 24 5sen 2 ( 5sen ) . x x + = +Al hacer la sustitucin:5 sen 2cot x = (1)seobtiene22cos csc .5x dx d = Entonces,3 32 22 23 3 2 2cos 2 csc 2 csc2 csc (4 5sen ) (4 4cot ) 5 5x dx d dx = = + + 1 1sen cos .4 5 4 5d C = = +Ahora, de(1) se tiene 5 sencot2x = , con lo cual se puede construir el tringulode la figura 8.4.Figura8.4Captulo 2: Mtodos de integracin79Elementos bsicos de clculo integral y seriesDe all se deduce que 25 sencos4 5senxx =+ y, en cosecuencia,3222cos sen.(4 5sen )4 4 5senx dx xCxx= +++8.3Integrales que contienen expresiones de la forma, 2 2( )rU aconU> a > 0,U (x)una funcinderivable y r En este caso, cualquiera de las sustituciones:U = a sec y dU = a sec tan d, o (1)U = a csc y dU = a csc cot d, (2)transforma la integral dada en una integral que contiene potencias de funcionestrigonomtricas y cuya solucin corresponde a algunos de los casos de las seccio-nes 7.1.4 y 7.1.5.En efecto,2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( sec ) ( (sec 1)) tan ;r r r r rU a a a a a = = = tambin,2 2 2 2 2 2 2( csc ) ( (csc 1)) cot .r r r ra a a a = = = Ejemplo 1Evale la siguiente integral indefinida:2316.x dxxSolucinPuesto que en el integrando aparece el trminox2 a2 (cona = 4), se hace lasustitucin:4sec x = y4sec tan . dx d = (1)En este caso se tiene:2 2 2 216 16 sec 16 16(sec 1) 16 tan . x = = = Mdulo8:Sustitucionestrigonomtricas80Entonces, 2 23 3 316 16tan 4tan 4sec tan4sec tan(4sec ) 64secx dx ddx = =

222222sen1 tan 1 1cossen .14 4 4 seccosd d d = = = Para evaluar la ltima integral se debe expresar sen2 en funcin del ngulo doble.Esto es,21 cos 2sen2= .As que:22316 1 1 1 1sen (1 cos 2 ) sen 24 8 8 2x dxd d Cx = = = + 1( sen cos ) .8C = +Para regresar a la variable original de integracin, se recuerda de (1) que sec4x =1arcsec sec ,4 4x x = = y de aqu se puede construir el tringulo rectngulo dela figura 8.5, y del cual se deduce que:216senxx=y 4cos .x = De esta forma, el resultado final de la integral es:2 2316 1 1 16 4( sen cos ) arcsec8 8 4x dx x xC Cx x x = + = + 221 16arcsec .8 4 2x xCx= +Captulo 2: Mtodos de integracinFigura8.581Elementos bsicos de clculo integral y series8.4 Integracin de expresiones que contienentrinomios de la forma ax 2 + bx + c, con a 0Caso 1:Integrales de la forma 2dxax bx c + +Para calcular la integral se transforma previamente el trinomio 2ax bx c + +en laforma de suma o diferencia de cuadrados dependiendo del signo de la constante a.As,

2 2b cax bx c a x xa a + + = + +

2222 4b c ba xa a a = + + (completacin de cuadrados) 22222222si2 4si2 4b c ba x Ka a ab c ba x Ka a a + + > = + < De esta forma,2 221.dx dxa ax bx cbx Ka=+ + + En la ltima integral al hacer la sustitucin bx ua + = y dx = du se obtiene:2 2 21 dx dua ax bx c u K=+ + ,y esta integral puede calcularse haciendo una sustitucin trigonomtrica apropia-da.Ejemplo 1Calcule la integral2.3 2 4dxx x +SolucinEn primer lugar , el trinomio 23 2 4 x x + puede transformarse en la siguiente forma:Mdulo8:Sustitucionestrigonomtricas822 22 43 2 4 33 3x x x x + = + 22222 1 4 133 9 3 91 1133 91 113 .3 3x xxx = + + = + = + Luego2 221.3 3 2 41 113 3dx dxx xx= + + Al hacer la sustitucin13x u = y dx = duse obtiene:2 221.3 3 2 4113dx dux xu= + + En esta ltima integral al efectuar la sustitucin trigonomtrica11tan ,3u =211sec ,3du d = y simplificar la integral resultante, se obtiene:1221 1 3tan .3 11 11113du uCu= + + Al reemplazarupor1,3x se tiene finalmente que:121 (3 1)tan .3 2 4 11 11dx xCx x= + +Captulo 2: Mtodos de integracin83Elementos bsicos de clculo integral y seriesCaso 2:Integrales de la forma 2.Ax Bdxax bx c++ +Ntese en primer lugar que si se llama 2, u ax bx c = + + entonces(2 ) , du ax b dx = +lo cual es posible obtener transformando previamente el numerador en el integran-do de la siguiente forma: 2 2 2(2 ) (2 ) ( )2 2 2A A Abax b b B ax b BAx Ba a adx dx dxax bx c ax bx c ax bx c+ + + + += =+ + + + + + 2 2(2 )( ) .2 2A ax b dx Ab dxBa a ax bx c ax bx c+= + + + + + La primera de estas dos integrales puede calcularse fcilmente haciendo la sustitu-cin:2u ax bx c = + +y(2 ) du ax b dx = + ,obteniendo como resultado una expresin logartmica. La segunda integral puederesolverse usando el mtodo empleado en el caso 1 inmediatamente anterior.En el ejemplo siguiente se muestra dicho proceso.Ejemplo 1Calcule la integral27 1.6 1xdxx x++ Solucin

2 2 2 27(12 1 1) 17 1 7 (12 1) 512.12 12 6 1 6 1 6 1 6 1xx x dx dxdx dxx x x x x x x x+ ++ += = ++ + + + Si en la primera de estas dos ltimas integrales se hace la sustitucin 26 1 u x x = + y(12 1) , du x dx = + se obtiene:21 1 27 (12 1) 7 7 7ln ln 6 1 .12 12 12 12 6 1x dx duu C x x Cu x x+= = + = + ++ La segunda integral puede resolverse usando un procedimiento similar al del caso 1,teniendo en cuenta que 2 221 56 1 6 .12 12x x x + = + Mdulo8:Sustitucionestrigonomtricas84As que,2 2 25 5.12 12 6 11 5612 12dx dxx xx=+ + Si en esta ltima integral se hace la sustitucin:1 5sec12 12x + = (1)y 5sec tan ,12dx d = se obtiene:2 2 225sec tan5 5 1 12csc12 72 65 1 5tan 612 12 12ddxdx = = + 21ln csc cot .6C = +Ahora, como de (1) 12 1sec5x+= , se puede contruir el tringulo de la figura 8.6, ydel cual se puede deducir que212 1csc24(6 1)xx x+=+ y25cot .24(6 1) x x =+ Figura8.6Luego3 225 1 3 1ln ,12 6 6 16 1dx xCx xx x= ++ + Captulo 2: Mtodos de integracin85Elementos bsicos de clculo integral y seriesdonde3 21 1ln 4 ln 24.6 6C C = + Por tanto,2227 1 7 1 3 1ln 6 1 ln .12 6 6 16 1x xdx x x Cx xx x+ = + + ++ + Caso 3:Integrales de la forma2dxax bx c + +Previamente el trinomio 2ax bx c + +debe transformarse en una suma o diferenciade cuadrados, usando el procedimiento de completacin de cuadrados indicado enel caso1. De esta forma, la integral inicial queda reducida a una de las integrales:2 2duu K sia > 0,o2 2duK u sia < 0,y estas integrales pueden calcularse efectuando sustituciones trigonomtricas.Ejemplo 1Calcule la integral22 3 4dxx x .SolucinEn primer lugar, 2 2222 23 12 3 4 44 23 9 9 14 (completacin de cuadrados)4 64 64 241 3 41 34 2 .16 8 4 8x x x xx xx x = + = + + = + = + De esta forma,2 22.2 3 441 324 8dx dxx xx= + Mdulo8:Sustitucionestrigonomtricas86Si en la ltima integral se hace la sustitucin:3 412 sen8 4x + = (1)y41cos ,8dx d = despus de simplificar el integrando se obtiene:21 1.2 22 3 4dxd Cx x = = + Ahora, de (1),1 1388 3 8sen sen41 41xx + + = =.Por tanto,121 8 3sen .2 412 3 4dx xCx x+= + Caso 4:Integrales de la forma 2Ax Bax bx c++ +La solucin de este tipo de integrales puede obtenerse haciendo transformacionesanlogas a las del caso 2, descomponiendo as la integral inicial en la suma de dosintegrales; una de ellas se resuelve por sustitucin directa, y la otra corresponde alcaso 3 inmediatamente anterior.Captulo 2: Mtodos de integracin87Elementos bsicos de clculo integral y series9Integracin por descomposicin enfracciones simplesContenidos del mduloObjetivos del mduloPreguntas bsicasIntroduccin9.1 Integracin por descomposicin en fracciones simples9.2 Integracin de funciones racionales propias simples9.2.1 Integracin de funciones simples tipo I y II9.2.2 Integracin de funciones simples tipo III y IV1. Estudiar la tcnica de integracin por descomposicin en fracciones simples paracalcular la integral de funciones racionales.Sea 2 21( )n nI dxx a=+, con2 n .1. Demuestre que:21 2 2 21[ ]( )n n nxI I dxa x a= +.2. Use integracin por partes en la ltima integral para demostrar que:1 2 2 2 2 13 22 (1 ) 2 (1 )( )n n nn xI Ia n a n x a = +.El objetivo de esta seccin es estudiar una importante tcnica de integracin con lacual se pueden calcular integrales de la forma ( ) , f x dx siendo f (x) una funcinracional, es decir, f (x) es el cociente de dos funciones polinmicas. Algunos casossimples de las integrales de este tipo de funciones ya han sido presentados en lassecciones anteriores y no requieren explicacin adicional alguna. Por ejemplo,Johann(Jean)BernoulliElmatemticosuizoJohannBernoulli,tambinconocidocomoJean(enfrancs)y John (en ingls), naci en Basilea el 27 dejuliode1667ymuriallmismoelprimerdadelao1748.FuemaestrodeLeonhardEulerypadredeDanielBernoulli(famosoporsustrabajosenhidrulica),NicolasBernoulliyJohannBernoulliII.ComolactedradematemticasdelaUniversidaddeBasileaestabaocupadaporsuhermanoJacques,Johann,porrecomendacindeChristiaanHuygens(astrnomo,matemticoyfsicoholands),obtuvounaplazaenlaUniversidaddeGroninga,enlosPasesBajos.Allestuvodiezaos,hastaqueregresaBasilea.DuranteelviajeseenterdelamuertedesuhermanoJacques,ycuandolleglaUniversidaddeBasilealeofreci,sinnecesidaddeconcurso,elpuestoqueaqulhabadejadovacante.Johannocuplactedradurante42aos,duranteloscualesenseaestudiantesdetodaEuropayparticipennumerosasdisputasacad-micas,entreellaslaquetuvieronNewtonyLeibnizporlapaternidaddelclculoyenlaqueJohanntompartidoafavordeesteltimo.Sualumnomsimportantefue,sinduda,LeonhardEuler.Johann,queerapocodadoaalabaraotros,loadmirabaylededicfrasescomo:incomparableLeonhardEuler,lderdetodoslosmatemticososabioytalentosojovenEuler.JohannBernoullihizoimportantesaportesnosloalasmatemticas(fueelprimeroenintroducirelmtododedescomposicinenfraccionesparciales),sinotambinalafsica.lyLeonhardEulercontribuyeronalconocimientodecuestionescomoeltonoyeltimbredelsonidoproducidoporuninstrumentomusicaldeterminado,olavelocidadynaturalezadelatransmisindelsonidoendiferentesmedios.881 1ln , dx ax b Cax b a= + ++ siendo0, a 21arctan ,1dx x Cx= ++221ln 1 ,2 1xdx x Cx= + ++ etc.Algunos otros tambin han sido ya estudiados previamente, con recomendacionesespecficas para tratarlos; as por ejemplo, para calcular la integral2 21(9 )dxx +seusa la tcnica de sustitucin trigonomtrica( 3tan ) x = como se vio en la seccin8.2 del mdulo 8. Sin embargo, casos ms generales, como4331xdxx + o 24 2,3 2xdxx x +nohansidodiscutidos.Sepretendeentoncesnosolamenteresolverestosdosejemplos, sino presentar el esquema de solucin para los casos generales que estasdos integrales representan.Captulo 2: Mtodos de integracinComodatocurioso,hayquedecirqueJohanntuvoproblemasconsuhijoDanielporquestesepresentaunconcursodelaAcademiadelasCienciasdeParsenelquelestabaparticipando(aunquedespuslaAcademiadelasCienciasconcedielpremioalosdos).LosproblemasllegaronatalgradoqueJohannloexpulsdelacasafamiliar.Peroallnopararonlascosas:cuandoDanielpublicsuobramsimportante,Hidrodinmica,supadrepublicotrolibro,Hidrulica,yacusasuhijodeplagio.Elepitafioquemandescribirensutumbaresumemuybientantosuvalacomomatemticocomosupersonalidad:AquyaceelArqumedesdesutiempo.89Elementos bsicos de clculo integral y series9.1 Integracin por descomposicin en fracciones simplesSupngase que se quiere calcular la integral de la forma:11 1 011 1 0( ) ...( ) .( ) ...n nn n nm mm m mP x a x a x a x af x dx dx dxQ x b x b x b x b+ + + += =+ + + + Se presentan entonces dos posibilidades:1. La funcin racional dadaf (x) es propia, es decir, cuandon