metodos de integracion

La Integración. Fórmulas fundamentales

6

II

LA INTEGRACIÓN. FÓRMULAS FUNDAMENTALES

La integración es la operación inversa a la derivación. El símbolo de integración es , aunque∫en realidad no puede considerarse separado de la diferencial, o sea que en la función F(x)( )F x dx∫es lo que se integra y de alguna manera puede considerarse enmedio del símbolo y de la diferencial∫dx.

De tal manera que si y = f (x) es la función original, su derivada es ; entonces la( )dy

F xdx

=

integral de esta última regresa a la función original, es decir

( ) ( )F x dx f x=∫

Por ejemplo, si la función original es y = x2 , su derivada es otra función de equis, en este caso,2x. Por lo tanto, si se integra 2x se regresa a la función original x2:

(a)22x d x x=∫

Demo


7

Sin embargo, si y = x2 + 2, su derivada es

(la misma que de la función y = x2)2dy

xdx

=

y, por lo tanto, su integral es la función original, esto es que

(b)22 2x d x x= +∫

Pero obsérvese que tanto (a) como (b) son la misma integral y sin embargo tienen2xdx∫diferente resultado. Esto se debe a que cualquier función que termine en la suma de una constante, alderivarse dicha función se obtiene cero al final como resultado de la derivada de la constante final.Entonces al integrar debe agregarse siempre un término constante + C. Así aparecerán todas las fórmulasde integración.

Una integral de una función F(x), visto de otra forma, es lo mismo que preguntarse: ¿La derivada

de qué otra función da F(x)? Así, en los ejemplos recientes, la integral equivale a preguntarse2xdx∫¿la derivada de qué da 2x? Y la respuesta es la derivada de x2; pero también de, por ejemplo, x2 + 2;o de x2 + 5; o de x2 + 23. En general, de x2 + C.

FÓRMULAS FUNDAMENTALES

Son cinco las fórmulas fundamentales o más elementales de integración:

(1) dx x c= +∫

Demo


8

(2) , para n … - 11

1

nn x

x dx cn

+

= ++∫

(3) c u dx c udx=∫ ∫(4) ( )u v w ... dx u d x v d x wdx ...+ + + = + + +∫ ∫ ∫ ∫

(5)dx

ln x cx

= +∫

En donde: c = constante.

u, v, w, ... = funciones o variables.

La fórmula (2) funciona para todos los valores de n, excepto para cuando n = - 1, porquevuelve cero el denominador. Cuando n = - 1 se tiene la fórmula (5).

Ejemplo 1: Integrar 6x dx∫Solución: Por la fórmula (2):

6 16

6 1x

x dx c+

= ++∫

76

7x

x dx c= +∫

Ejemplo 2: Integrar 224x dx∫Solución: Por la fórmula (3), la constante se echa para afuera de la integral:

Demo


9

2 224 24x dx x dx=∫ ∫

Ahora empleando la fórmula (2):

2 1

242 1x

c+

= + +

324

3x

c= +

2 324 8x dx x c= +∫

Ejemplo 3: Integrar 97x dx∫Solución: Por la fórmula (3), la constante se echa para afuera de la integral:

9 97 7x dx x dx=∫ ∫

Ahora empleando la fórmula (2):

9 197 7

9 1x

x dx c+

= + + ∫

109 7

710x

x dx c= +∫

Ejemplo 4: Integrar ( )26 8 9x x dx+ −∫Solución Empleando primeramente la fórmula (4) de la suma:

Demo


10

( )2 26 8 9 6 8 9x x dx x dx xdx dx+ − = + −∫ ∫ ∫ ∫Para cada una de las tres integrales pendientes se utiliza la fórmula (3), donde la constante se

echa para afuera de la integral:

2 26 8 9 6 8 9x dx xdx dx x dx xdx dx+ − = + −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Ahora, para las dos primeras integrales debe usarse la fórmula (2) y para la tercera integral

la fórmula (1):

[ ]2 1 1 1

26 8 9 6 8 92 1 1 1x x

x dx xdx dx x c+ +

+ − = + − + + + ∫ ∫ ∫

3 26 8

93 2x x

x c= + − +

( )2 3 26 8 9 2 4 9x x dx x x x c+ − = + − +∫

Ejemplo 5 Integrar 2 5 144

x x dxx

− + − ∫

Solución Empleando primeramente la fórmula (4) de la suma:

2 25 1 5 14 4

4 4x x dx x dx xdx dx dx

x x − + − = − + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 54

4dx

x dx xdx dxx

= − + −∫ ∫ ∫ ∫

Para la primera y segunda integral se emplea la fórmula (2) ; para la tercera integral la fórmula

Demo


11

(1) y para la cuarta integral la fórmula (5) :

3 2 5

43 2 4x x

x lnx c

= − + − +

3 22 5 1 4 5

44 3 2 4

x x xx x dx lnx c

x − + − = − + − + ∫

Ejemplo 6: Integrar 7x dx∫Solución: En estas integrales debe escribirse la función con exponente fraccionario para convertirla a la

forma un:

7 7 2/x dx x dx=∫ ∫

71 9 22

7 91

2 2

/x xc c

+

= + = ++

9 27 2

9

/xx dx c= +∫

Ejemplo 7: Integrar 9

dxx∫

Solución: Escribiendo la función con exponente negativo:

Demo


12

99

dxx dx

x−=∫ ∫

9 1 8

9 1 8x x

c c− + −

= + = +− + −

9 8

18

dxc

x x= +

−∫

Ejemplo 8: Integrar 3 5

11

6

dx

x∫

Solución: Escribiendo afuera de la integral la constante y con exponente fraccionario y negativo la

función, se tiene que:

5 33 5

11 1166

/dxx dx

x−=∫ ∫

51 2 3311 11

5 26 613 3

/x xc c

− + −

= + = + − + −

2 3 2 3

11 3 336 2 12/ /c c

x x

= + = + − −

2 33 5

11 1146

/

dxc

xx= +

−∫

Demo


13

Ejemplo 9 2 49 6x x dxx

− + ∫Solución: Empleando primeramente la fórmula (4) de la suma:

2 24 49 6 9 6x x dx x dx xdx dx

x x − + = − + ∫ ∫ ∫ ∫

Ahora con la fórmula (3) de la constante para cada una de ellas:

29 6 4dx

x dx xdxx

= − +∫ ∫ ∫

Para las dos primeras integrales debe utilizarse la fórmula (2) de la potencia y para la tercera

integral la fórmula (5):

[ ]2 1 1 1

9 6 42 1 1 1x x

ln x c+ +

= − + + + +

3 29 64

3 2x x

lnx c= − + +

2 3 249 6 3 3 4x x dx x x lnx c

x − + = − + + ∫

Demo


14

EJERCICIO 20 (Áreas 1, 2 y 3)

1) 2)11x dx∫ 10x dx∫3) 4)6xdx∫ 69x dx∫5) 6)( )6 5x dx−∫ ( )3 211 9 5x x x dx− + −∫7) 8)( )27 8 2x x dx+ −∫ ( )23 10 11x x dx+ −∫

9) 10)4

dxx∫ 2

dxx∫

11) 12)32

4 2853

x dxxx

− + ∫9

9

3 535

xdx

x

+

∫

13) 14)6 11

11 6x dx

x − ∫

5

5

9 292x

dxx

+

∫

15) 16)5 8

5 8

11 101110

xdx

x

+

∫13 4

13 4

13 111311

xdx

x

−

∫Demo

Fórmulas generales

15

De manera muy general, los pasos fundamentales en todo cambio de variableson:

a) Seleccionar u;b) Una vez hecha la elección de u, calcular inmediatamente después la

diferencial de u, es decir, du.

III

FÓRMULAS GENERALES

Las fórmulas vistas en el capítulo anterior fueron muy específicas para integrales de xelevada a cualquier potencia; sin embargo, no siempre, o más bien, pocas veces lo que está elevadoa la potencia n es la pura variable x , sino una función completa. Para eso, de manera muy similara lo que ocurrió con las derivadas, se requieren fórmulas generales. Todas las fórmulas que se veránde aquí en adelante son fórmulas generales, es decir en términos de u , no de x.

Y algo muy importante: para cada fórmula general debe emplearse un procedimiento llamadocambio de variable, el cual se explicará con detalle en cada uno de los ejemplos siguientes. Elestudiante que no sepa, o no aprenda, a hacer cambios de variable para integrar, está condenado ano poder integrar nunca ninguna función. Dem

o

Fórmulas generales

16

Todo cambio de variable debe transformar la integral original en una fórmula.

FÓRMULAS GENERALES:

(6) , para 1

1

nn u

u du cn

+

= ++∫ 1n ≠ −

(7)du

lnu cu

= +∫

La fórmula (6) puede emplearse siempre que n sea diferente de menos uno, ya que si valemenos uno el denominador de la fórmula se vuelve cero y hay que recordar que en matemáticas nose vale dividir entre cero porque da infinito.

En caso de que n valga menos uno se obtiene realmente la fórmula (7).

Ejemplo 1: Integrar ( )73 2x dx−∫Solución: Obsérvese que lo que está elevado a la séptima potencia no es la variable x , sino el polinomio

3x - 2. Por lo tanto, no puede emplearse la fórmula (2), sino la (6), lo que significa que u debeser 3x - 2.

Si u = 3x - 2, entonces calculando la diferencial de u se obtiene que du = 3dx

La fórmula (6) habla de , es decir que no basta tener identificado qué es u, sino quenu du∫pide tener la diferencial de u, o sea, du. En este ejemplo, dicha diferencial du es 3dx, lo que

significa que para poder emplear la fórmula (6) debe tenerse en la integral original 3dx. Peronada más se tiene dx, le falta el 3.

Demo

Fórmulas generales

17

Si la integral original se multiplica por 3 se consigue tener 3dx; pero si se hace esto, para que

siga siendo lo mismo debe dividirse también entre 3. Haciéndolo:

( ) ( ) ( )7 7 13 2 3 2 3

3x dx x dx − = − ∫ ∫

se divide y se multiplica por tres al mismo tiempo

Por la fórmula (3) de la página 8, cualquier constante que esté multiplicando se puede echar

afuera de la integral, por lo que la fracción un tercio se echa para afuera, quedando:

( ) ( ) {7 71

3 2 3 2 33

x dx x dx− = −∫ ∫14243

u du

En este momento se ha completado el cambio de variable y la integral original convertida enfórmula ya puede escribirse como

( )7 713 2

3x dx u du− =∫ ∫

7 1 813 7 1 24

u uc c

+ = + = + +

Una vez integrado al haber aplicado la fórmula correspondiente, se debe regresar a la variableoriginal, sustituyendo u por lo que vale. En este caso, recordar que u = 3x - 2:

Demo

Fórmulas generales

18

( ) ( )87 3 2

3 224

xx dx c

−− = +∫

Ejemplo 2: Integrar 11 8x dx+∫Solución: Debe escribirse como ( )1 2

11 8/

x dx+∫

Obsérvese que lo que está elevado a la potencia un medio no es la variable x , sino el polinomio

11x + 8. Por lo tanto, no puede emplearse la fórmula (2), sino la (6), lo que significa que u debeser 11x + 8.

Si u = 11x + 8, entonces calculando la diferencial de u se obtiene que du = 11dx

La fórmula (6) habla de , es decir que no basta tener identificado qué es u, sino quenu du∫pide tener la diferencial de u, o sea, du. En este ejemplo, dicha diferencial du es 11dx, lo quesignifica que para poder emplear la fórmula (6) debe tenerse en la integral original 11dx. Peronada más se tiene dx, le falta el 11.

Si la integral original se multiplica por 11 se consigue tener 11dx; pero si se hace esto, para quesiga siendo lo mismo debe dividirse también entre 11. Haciéndolo:

( ) ( ) ( )1 2 1 2 111 8 11 8 11

11/ /x dx x dx + = +

∫ ∫

se divide y se multiplica por once al mismo tiempo

Demo

Fórmulas generales

19

Por la fórmula (3) de la página 8, cualquier constante que esté multiplicando se puede echar

afuera de la integral, por lo que la fracción un onceavo se echa para afuera, quedando:

( ) ( ) {1 2 1 21

11 8 11 8 1111

/ /x dx x dx+ = +∫ ∫14243

u du

En este momento se ha completado el cambio de variable y la integral original convertida en

fórmula ya puede escribirse como

( )1 2 1 2111 811

/ /x dx u dx+ =∫ ∫

11 3 221 1

1 311 1112 2

/u uc c

+

= + = + +

3 2233

/uc= +

Una vez integrado al haber aplicado la fórmula correspondiente, se debe regresar a la variable

original, sustituyendo u por lo que vale. En este caso, recordar que u = 11x + 8:

( )3 22 11 811 8

33

/xx dx c

++ = +∫

Demo

Fórmulas generales

20


dxx −∫

Solución: En este caso, la fórmula a emplear es la (7), para lo cual debe hacerse

u = 4x - 10 de dondedu = 4dx

La fórmula (7) habla de , es decir que no basta tener identificado qué es u, sino queduu∫

pide tener la diferencial de u, o sea, du. En este ejemplo, dicha diferencial du es 4dx, lo quesignifica que para poder emplear la fórmula (7) debe tenerse en la integral original 4dx. Peronada más se tiene dx, le falta el 4.

Si la integral original se multiplica por 4 se consigue tener 4dx; pero si se hace esto, para quesiga siendo lo mismo debe dividirse también entre 4. Haciéndolo:

( )1 44

4 10 4 10

dxdx

x x

=

− −∫ ∫

Por la fórmula (3) de la página 8, cualquier constante que esté multiplicando se puede echarafuera de la integral, por lo que la fracción un cuarto se echa para afuera, quedando:

1 44 10 4 4 10

dx dxx x

=− −∫ ∫

duu

1 14 4

dulnu c

u= +∫

Y regresando a la variable original, sustituyendo u por 4x - 10:

Demo

Fórmulas generales

21

( )14 10

4 10 4dx

ln x cx

= − +−∫

Ejemplo 4: Integrar ( )425 6x x dx−∫Solución: La integral se puede escribir como . Si se hace u = 5x2 - 6, entonces su( )425 6x xdx−∫

diferencial es du = 10x dx. En la integral original solamente se tiene x dx, por lo que le falta un10 multiplicando, pero para que no se altere, se debe dividir entre 10 también.

Por lo visto en los ejemplos anteriores, en estos momentos ya se sabe que el factor “no110

sirve”, por lo que se tiene que sacar de la integral. Resulta:

( ) ( ) {4 42 21

5 6 5 6 1010

x xdx x dx− = −∫ ∫14243

u du

4 1

41 110 10 4 1

uu du c

+ = = + +

∫

5 51

10 5 50u u

c c

= + = +

Y regresando a la variable original, sabiendo que u = 5x2 - 6, se llega a:

Demo

Fórmulas generales

22

( ) ( )5242

5 65 6

50

xx x dx c

−− = +∫

Ejemplo 5: Integrar ( )32

4

7 9

xdx

x −∫

Solución: Sea u = 7x 2 - 9 , de donde

du = 14x dx

Si en la integral original estuviera en el numerador 14x dx en vez de 4x dx , se tendría la

diferencial de u , o sea du, que es lo que pide la fórmula; pero no es así. Sin embargo, elproblema se arregla muy fácil: la constante 4 que “no sirve” se echa para fuera de la integral.Luego se multiplica y se divide simultáneamente por 14, lo que queda así:

( ) ( )( ) ( )

114

3 32 2

14 4 144

147 9 7 9

dx dx

x x=

− −∫ ∫

duu

33

4 214 7

duu du

u−= =∫ ∫

3 1 22 2

7 3 1 7 2u u

c c− + −

= + = + − + −

2

214

cu

= +−

Simplificando y regresando a la variable original se llega finalmente a

Demo

Fórmulas generales

23

( ) ( )3 22 2

4 1

7 9 7 7 9

dxc

x x= − +

− −∫

COMPROBACIÓN: La comprobación consiste simplemente en derivar el resultado obtenido:

( ) ( )2 22 2

1 1

7 7 9 7 7 9

d d dc c

dx dx dxx x

− + = − + − −

( )22

1 10

7 7 9

ddx x

= − + −

( ) 2217 9

7d

xdx

−= − −

( ) ( )2 12 212 7 9 7 9

7d

x xdx

− − = − − − −

( ) ( )321

2 7 9 147

x x− = − − −

( )32

28

7 7 9

x

x= −

−

( ) ( )2 32 2

1 4

7 7 9 7 9

d xc

dx x x

− + = − −

Demo

Fórmulas generales

24

Que es lo que se integró.

Ejemplo 6: Integrar ( ) ( )721 2 8x x x dx− − −∫Solución: Sea u = x2 - 2x - 8 de donde

du = (2x - 2) dx

Si se multiplica por 2 la integral original se obtiene la diferencial de u .Obviamente, debe

dividirse también entre 2:

( ) ( ) ( ) ( )7 72 21 1

2 1 2 8 2 8 2 22 2

x x x dx x x x dx− − − = − − −∫ ∫ 142431442443

u du

7 171 1

2 2 7 1u

u du c+

= = + + ∫

8 812 8 16

u uc c

= + = +

( ) ( ) ( )8272

2 81 2 8

16

x xx x x dx c

− −− − − = +∫

Demo

Fórmulas generales

25

Ejemplo 7: Integrar ( )

2

5 10

3 12 1

x dx

x x

−

− +∫

Solución: Sea u = 3x2 - 12x + 1 de donde

du = (6x - 12)dx

Los ejemplos anteriores deben haber capacitado al alumno para que sea capaz en este ejemplo

de analizar por su propia cuenta el manejo de las constantes que se va a hacer:

( ) ( )2 2

5 10 5 2

3 12 1 3 12 1

x dx x dx

x x x x

− −=

− + − +∫ ∫

( )

2

6 25

6 3 12 1

x dx

x x

−=

− +∫

( )2

6 1256 3 12 1

x dx

x x

−=

− +∫

( ) ( )1 2

253 12 1 6 12

6

/

x x x dx−

= − + −∫

1 256

/u du−= ∫

11

2516 12

uc

− +

= + − +

Demo

Fórmulas generales

26

1 25162

/uc

= +

252 3 12 1

6x x c = − + +

( ) 2

2

5 10 5 3 12 1

33 12 1

x dx x xc

x x

− − += +

− +∫


2

3 12

8 7

x dx

x x

+

+ −∫

Solución: Sea u = x2 + 8x - 7 , de dondedu = (2x + 8)dx

Nuevamente se deja al estudiante analizar por su propia cuenta el manejo de las constantes quese va a hacer:

( ) ( )2 2

3 12 3 4

8 7 8 7

x dx x dx

x x x x

+ +=

+ − + −∫ ∫

( ) ( ) ( )12

2

2 43

8 7

x dx

x x

+=

+ −∫

( )2

2 832 8 7

x dx

x x

+=

+ −∫duu

Demo

Fórmulas generales

27

3 32 2

dulnu c

u= = +∫

Y regresando a la variable original se llega a que

( ) ( )22

3 12 38 7

28 7

x dxln x x c

x x

+= + − +

+ −∫


2 10

x

x

e dxe +∫

Solución: Sea u = e2x + 10 , de dondedu = 2e 2x dx

Entonces

2 2

2 2

1 2210 10

x x

x x

e dx e dxe e

=+ +∫ ∫

duu

1 12 2

duln u c

u= = +∫

Y regresando a la variable original:

( )2

22

110

210

xx

x

e dxln e c

e= + +

+∫

Demo

Fórmulas generales

28


Realizar las siguientes integrales por medio de un cambio de variable:

1) 2)( )713 12x dx−∫ ( )11

2 19x dx−∫

3) 4)7 15x dx−∫ 8 13dx

x −∫

5) 6)( )9

6

15 11

dx

x +∫2

9 4

dx

x−∫

7) 8)( )823 11x x dx−∫ ( )42

3

3 1

xdx

x −∫

9) 10)( ) ( )328 5 80 22x x x dx+ + +∫( )

( )62

1

4 8

x dx

x x

−

−∫

11) 12)( ) 24 1 6 3 11x x x dx+ + +∫( )

2

10 15

7 21 9

x dx

x x

+

+ −∫

13) 14)( )

( )

2

23

4 12

9

x dx

x x

+

+∫ ( )53 3 8x xe e dx−∫

15) 16)( ) ( )25 23 3 5 10 9x x x dx− − +∫( )

( )

2

34 3

4 2

8 12 1

x dx

x x

+

+ −∫

17) 18)( )3

4 2

8 8

2 9

x x dx

x x

+

+ −∫( )

( )

2

83 2

7 7

2 3 9

x x dx

x x

+

+ −∫

Demo

Integración por partes

99

VIII

INTEGRACIÓN POR PARTES

Áreas 1, 2 y 3

Supóngase que se tiene la función producto y = u v . Si se deriva con respecto de x se obtiene:

dy duv

dx dx=

dy dv duu v

dx dx dx= +

Multiplicando toda la igualdad por dx para eliminar denominadores:

dy udv vdu= +

Integrando en ambos miembros de la igualdad:

dy u d v vdu= +∫ ∫ ∫

Demo


100

De estas tres integrales, solamente de la primera se puede definir su valor:

y u dv v du= +∫ ∫

Y como al principio se dijo que y = u v , sustituyendo se obtiene que

uv u d v v du= +∫ ∫

Igualdad que vista en sentido contrario es lo mismo que

u d v v d u uv+ =∫ ∫

Y, finalmente, despejando la primera integral se llega a:

(27)udv uv vdu= −∫ ∫

La fórmula (27) es la fórmula de la integración por partes. A la integral se le llama laudv∫integral original y a la integral se le llama la integral que resulta. Para su buena utilizaciónvdu∫deben vigilarse las siguientes normas:

a) La integral original debe convertirse en u dv , para lo cual debe hacerse u una parte de la

integral original y el resto hacerse dv . A lo anterior se le llama hacer la elección de variables.No existe regla alguna para establecer qué debe hacerse lo primero y qué lo segundo. Lapráctica es la que guía por el camino más acertado.

Demo


101

b) A partir de la elección de variables hecha en el inciso anterior, se calculan la diferencial duy la variable v. Derivando u se obtiene du; integrando dv se obtiene v.

c) Las diferenciales deben ir en la misma igualdad.

d) La integral que resulta debe ser más sencilla, o la mucho semejante, que la integral original;de lo contrario, debe comenzarse el proceso eligiendo nuevas variables. Algunos criteriospara decidir que la integral que resulta es más sencilla o complicada que la original se iránestableciendo en ejemplos resueltos.

e) El proceso de integración por partes puede emplearse dos o más veces dentro del mismo

proceso.

A pesar de que no existe una regla infalible, comprobada, universal, que lleve a hacer a la primeravez una elección de variables adecuada, sí hay algunos criterios que funcionan en muchas o en la mayoríade las ocasiones. Estos criterios son:

i) Para integrales de la forma

( )p x lnxdx∫( )p x arc senxdx∫( )p x arc cos x d x∫( )p x arctanxdx∫

en donde p (x) es un polinomio, se recomienda hacer u a la función trascendente, mientrasque dv = p (x).

Demo


102

ii) Para integrales de la forma

( ) axp x e dx∫( )p x senxdx∫( )p x cos x d x∫

en donde p (x) es un polinomio, se recomienda hacer u = p (x), mientras que dv a la

función trigonométrica.

iii) Se sugiere a veces apoyarse en el acróstico o palabra clave LL II AA TT EE , iniciales de

LL ogarítmicas

II nversas trigonométricas

AA lgebraicas

TT rigonométricas

EE xponenciales

según este criterio, debe seleccionarse como u la primera función que figure en LIATE de

izquierda a derecha y conforme al orden de esta palabra clave.

Conviene en este momento agregar al formulario de integrales la integral de e u , ya que estafórmula no puede encajarse en algún grupo especial. Dicha fórmula, que de aquí en adelante se requerirá,es

(28)u ue du e c= +∫

Demo


103

Ejemplo 1: Integrar x s e n x d x∫Solución: Esta integral por ninguno de los métodos estudiados hasta ahora puede resolverse. Conforme

al inciso (a) de la página 96, para convertir la integral original en u dv existen tres posibilida-

des para la elección de variables:

Primera posibilidad: Hacer u = xdv = sen x dx

Segunda posibilidad: Hacer u = sen xdv = x dx

Tercera posibilidad: Hacer u = x sen xdv = dx

En este ejemplo se estudiarán las tres posibilidades.

Posibilidad 1:

Haciendo se obtiene que

u = x du = dx (derivando)

dv = sen xdx

v = - cos x (integrando)

Obsérvese que en u dv (columna izquierda) está exactamente toda la integral original. De esta

manera, si la integral original es igual la integral y ésta, por la fórmula (27), es igualudv∫a , entonces la integral original es igual también a .uv vdu− ∫ uv vdu− ∫

Demo


104

Sustituyendo en la fórmula (27) de la página 96:

xsen x dx u dv=∫ ∫

uv vdu= − ∫

( )x cosx cosxdx= − − −∫

xcosx cosxdx= − + ∫

La integral que resulta es a simple vista más sencilla que la original, puesto que ya es directa

de fórmula, lo que significa que la elección de variables fue correcta:

x senxdx xcosx senx c= − + +∫

Posibilidad 2:


u = sen x du = cos x dx (derivando)

dv = x dx2

2x

v = (integrando)


Demo


105


uv vdu= − ∫2 2

2 2x x

senx cosxdx= − ∫

La integral que resulta es más complicada que la original, ya que en ambas2

2x

cosx dx∫aparece la función trigonométrica sen x o bien cos x y hasta allí todo es igual; sin embargo,mientras en la integral original aparece el polinomio x de primer grado multiplicando al factor

sen x, en la integral que resulta está el polinomio x 2 de segundo grado multiplicando al factorcos x, es decir, al aumentar de grado el polinomio aumenta el grado de dificultad. Por lo tanto,

la elección de variables no es la adecuada.

Posibilidad 3:


u = x sen x du = ( x cos x + sen x ) dx (derivando)

dv = dx v = x (integrando)



uv vdu= − ∫

Demo


106

( )2 2x senx x cosx xsenx dx= − +∫2 2x senx x c o s x d x x sen x dx= − −∫ ∫

Las integrales que resultan son más complicadas que la original, ya que además de aparecer la

integral de la posibilidad 2, se vuelve a repetir la original, es decir, no se avanzó nada. Por lo

tanto, esta elección de variables tampoco es la adecuada.

En este ejemplo, al analizar todas las posibilidades de elecciones de variables, resultó que sola-mente la primera posibilidad fue la adecuada. Eso no significa que en todas las integrales por

partes nada más una de todas las posibilidades sea la adecuada. Existen integrales que resol-

viéndose por esta técnica, pueden hacerse por dos o más formas diferentes. No hay regla paraespecificar cuál es la elección de variables adecuada en cada integral por partes, así como

tampoco para decir cuáles integrales se hacen por partes y cuáles no. De hecho, algunas

integrales que pueden realizarse por alguna otra técnica, también pueden hacerse por partes.

Ejemplo 2: Integrar l n x d x∫Solución: Solamente existe una posibilidad para la elección de variables:


u = ln x (derivando)1

du dxx

=

dv = dx v = x (integrando)


Demo


107

l n x d x udv=∫ ∫

uv vdu= − ∫

1x lnx x dxx

= − ∫

x lnx dx= − ∫

La integral que resulta es a simple vista mucho más sencilla que la original, ya que esdx∫inmediata de fórmula, por lo que la elección de variables (que de hecho, no había otra opción)

ha sido la correcta.

Continuando el proceso se llega a que

l n x d x x l n x x c= − +∫

COMPROBACIÓN:

Igual que en otros ejemplos, para efectos de abreviar símbolos al momento de referirse a la

derivada del resultado de la integral, hágase . EntoncesI x lnx x c= − +

( )dI dx lnx x c

dx dx= − +

1 0d d

x lnx lnx xdx dx

= + − +

Demo


1 Nótese que según las reglas de escritura debería escribirse ; sin embargo, para no alterar el orden1

1 x l n xx

− + +

de los términos que se fueron derivando, lo que podría complicar la comprensión del proceso de derivación, se ha escrito en el

orden en que se derivó.

108

(ver nota al pie de página 1)1 1x lnxx

= + −

1 1l n x= + −

dIl n x

dx=

Ejemplo 3: Integrar 2 xx e dx∫Solución: En este caso:


u = x 2 du = 2x dx (derivando)

dv = e x dx v = e x (integrando)


2 xx e dx udv=∫ ∫

Demo


109

uv vdu= − ∫

2 2x xx e xe dx= − ∫

La integral que resulta es más sencilla que la original ya que el polinomio en x que multiplica

al factor de la forma e x , bajó de grado 2 a grado 1. Entonces debe volverse a integrar porpartes, haciendo ahora:


u = 2x du = 2dx (derivando)

dv = e x dx v = e x (integrando)


2 2 2 2x x x xx e dx x e xe e dx = − − ∫ ∫

2 2 2x x xx e xe e dx= − + ∫

2 2 2 2x x x xx e dx x e xe e c= − + +∫

Ejemplo 4: Integrar 3sec xdx∫

Demo


110

Solución: En la página 86, ejemplo 12, se dijo que las potencias nones de la secante y cosecante debenhacerse por partes. Esta integral no se puede hacer aplicando exclusivamente las técnicas para

las integrales trigonométricas, sino en forma combinada con la integración por partes.

Aplicando primero la técnica de los cuadrados:

3 2sec x d x sec x secx dx=∫ ∫

( )2 1tan x sec x d x= +∫2tan x secx dx secxdx= +∫ ∫

La segunda integral ya es directa de fórmula. La primera integral es la que debe hacerse por

partes. Hay varias formas de hacer la elección de variables (se deja al estudiante que busque

otra diferente a la que se muestra aquí), una de ellas es la siguiente:


u = tan x du = sec 2 x dx (derivando)

dv = tan x sec x dx v = sec x (integrando)

Obsérvese que el producto u dv es igual a (tan x)(tan x sec x dx) = tan 2 x sec x dx, que es

la integral que se pretende hacer por partes.

entonces

Demo


111

3 3sec x d x tanx secx sec x d x secxdx= − +∫ ∫ ∫

Obsérvese que volvió a salir la integral original, pero con signo negativo. En casos así, se juntan

en el lado izquierdo, se suman (o restan) y se despeja. La última integral se resuelve directa-

mente por fórmula:

( )3 3sec x d x sec x d x tanx secx ln tanx secx+ = + +∫ ∫

( )32 sec x d x tanx secx ln tanx secx c= + + +∫

( )3 12

sec xdx tanx secx ln tanx secx c= + + + ∫

Ejemplo 4: Integrar 2 3xe sen x dx∫Solución: Este ejemplo tiene por objetivo mostrar en una sola vez varios recursos que pueden emplearse

en la técnica de integración por partes. El primero es que se va a utilizar dos veces la integra-

ción por partes. El segundo es que cuando aparece nuevamente la integral original, se juntan y

se despeja como en el ejemplo anterior.


u = e2x du = 2e x dx (derivando)

dv = sen 3x dx (integrando)1

33

v cos x= −

Demo


112


2 2 21 23 3 3

3 3x x xe sen x dx e cos x e cos x dx= − − −∫ ∫

2 21 23 3

3 3x xe cos x e cos xdx= − + ∫

Esta integral que resulta se vuelve a hacer por partes:


u = e2x du = 2e x dx (derivando)

dv = cos 3x dx (integrando)1

33

v sen x=


2 2 2 21 2 1 23 3 3 33 3 3 3

x x x xe sen x dx e cos x e sen x e sen x dx = − + − ∫ ∫

2 2 2 21 2 43 3 3 3

3 9 9x x x xe sen x dx e cos x e sen x e sen xdx= − + −∫ ∫

2 2 2 24 1 23 3 3 3

9 3 9x x x xe sen xdx e sen xdx e cos x e sen x+ = − +∫ ∫

2 2 24 1 21 3 3 3

9 3 9x x xe sen x dx e cos x e sen x + = − + ∫

Demo


113

2 2 213 1 23 3 3

9 3 9x x xe sen x dx e cos x e sen x= − +∫

2 2 29 1 23 3 313 3 9

x x xe sen x dx e cos x e sen x c = − + + ∫

2 2 23 23 3 3

13 13x x xe sen x dx e cos x e sen x c= − + +∫

Demo


114

EJERCICIO 26 (Área 2)

Realizar las siguientes integrales:

1) 2)arc sen x dx∫ ( )1ln x dx−∫

3) 4)xarctan x dx∫ ( )22 1

x a r c t a n xdx

x +∫

5) 6)arc sen x

dxx∫ 2 1xarc tan x dx−∫

7) 8)2

arc sen x dxx∫ x lnxdx∫

9) 10)2x ln x dx∫ 2xcos xdx∫

11) 12)sen ln x dx∫ x ln x dx∫

Demo

Integrales trigonométricas

72

VII

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

Áreas 1, 2 y 3

Diez fórmulas más habrán de agregarse al formulario de integrales actual del estudiante. Son seiscorrespondientes a las seis funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante ycosecante, y cuatro más correspondientes a las inversas de las derivadas de las seis funciones trigo-nométricas. Esto último se refiere a que si la derivada de la tangente es la secante cuadrada, entonces laintegral de la secante cuadrada es la tangente.

(17) sen u d u cosu c= − +∫(18) cosu du senu c= +∫(19) tanudu ln secu lncosu c= = − +∫(20) cotudu ln senu c= +∫(21) ( )secudu ln tanu secu c= + +∫

Demo


73

(22) ( )cscudu ln cscu cotu c= − +∫(23) 2sec u d u tanu c= +∫(24) 2csc u d u cotu c= − +∫(25) tanu secudu secu c= +∫(26) cotucscudu cscu c= − +∫

Como en todos los casos de fórmulas nuevas, para emplearlas debidamente debe hacerse uncambio de variable, en donde u es el argumento de la función trigonométrica.

Ejemplo 1: Integrar 9sen xdx∫Solución: En este caso el argumento es 9x, o sea que

u = 9x , de dondedu = 9dx

Para tener la diferencial du hay que multiplicar por 9; pero para que no se altere la integral

original también debe dividirse entre 9, de modo que:

[ ]{1

9 9 99

sen xdx sen x dx=∫ ∫ 123

sen u du

Demo


74

[ ]1 19 9

sen u d u cosu c= = − +∫

19 9

9sen x dx cos x c= − +∫

Ejemplo 2: Integrar ( ) ( )23 2 3 4 11x tan x x dx− − +∫Solución: En este caso el argumento es 3x 2 - 4x + 11 , o sea que

u = 3x 2 - 4x + 11 , de dondedu = (6x - 4)dx

Para tener la diferencial du hay que multiplicar por 2; pero para que no se altere la integral

original también debe dividirse entre 2, de modo que:

( ) ( ) ( ) ( )2 213 2 3 4 11 3 4 11 2 3 22

x tan x x tan x x x dx− − + = − + − ∫ ∫

( ) ( )213 4 11 6 4

2tan x x x dx= − + −∫ 14243144424443

tan u du

12

ln sec u c= +

Demo


75

( ) ( ) ( )2 213 2 3 4 11 3 4 112

x tan x x dx lnsec x x c− − + = − + +∫

COMPROBACIÓN:

Para efectos de abreviar símbolos al momento de referirse a la derivada del resultado de la

integral, hágase .( )21 3 4 112

I lnsec x x c= − + +

Entonces

( )

( )

2

2

3 4 1110

2 3 4 11

dsec x x

dI dxdx sec x x

− + = +

− +

( ) ( ) ( )( )

2 2 2

2

3 4 11 3 4 11 3 4 1112 3 4 11

dtan x x sec x x x x

dxsec x x

− + − + − + =

− +

( ) ( ) ( )( )

2 2

2

3 4 11 3 4 11 6 412 3 4 11

tan x x sec x x x

sec x x

− + − + − =− +

( ) ( ) ( )( )

2 2

2

2 3 2 3 4 11 3 4 1112 3 4 11

x tan x x sec x x

sec x x

− − + − + =

− +

Demo


76

( ) ( )23 2 3 4 11dI

x tan x xdx

= − − +



1) 2)13sen xdx∫ 4cos xdx∫

3) 4)( )4 9tan x dx−∫ ( )17 6cot x dx+∫

5) 6)( )11 12sec x dx+∫ ( )1 5csc x dx−∫

6) 7)( ) ( )25 10 1x sen x x dx− − +∫ ( ) ( )23 3 5 10 10x cos x x dx+ + +∫

8) 9)( ) ( )22 3 7 21 9x tan x x dx− − +∫ ( ) ( )2 3 26 9 15x x cot x x dx+ + −∫

10) ( ) ( )2 3 26 6 3 8 12 12 13x x sec x x x dx− + − + −∫

11) 12)5

22

sen x dxx∫ 2

7 3cos dx

xx ∫

13) 14)3 2

11 9tan dx

x x ∫ 4 3

2 5csc dx

x x ∫

Demo


77

TÉCNICAS Y RECURSOS DE INTEGRACIÓN (Área 2)

Para integrar cualquier otra función trigonométrica que no pueda resolverse con un simple cambiode variable, tales como las estudiadas en las páginas precedentes de este capítulo, deben emplearsediferentes técnicas y recursos algebraicos para reducir la función original a una forma equivalente yaintegrable.

Independientemente de la técnica o recurso que se emplee, es necesario tener a la mano lassiguientes fórmulas o identidades trigonométricas:

(1) 2 2 1sen A cos A+ =

(2) 2 21tan A sec A+ =

(3) 2 21cot A csc A+ =

(4)1

sen Acsc A

=

(5)1

cos Asec A

=

(6)1

tan Acot A

=

(7) 1cot A

tan A=

(8) 1sec A

cos A=

Demo


78

(9) 1csc A

sen A=

(10) sen Atan A

cos A=

(11) cos Acot A

sen A=

(12) ( )2 11 2

2sen A cos A= −

(13) ( )2 11 2

2cos A cos A= +

(14) 2 2sen A sen A cosA=

(15) 2 2 2 22 1 2 1cos A cos A sen A sen A cos A= − = − = −

Igualmente, deben tenerse presentes algunas normas generales para evitar transformar la integral

original en otra función más complicada:

a) Si la función a integrar está compuesta por dos o más factores trigonométricos, éstos deben

tener el mismo argumento; de lo contrario, mientras no se igualen los argumentos no se podráintegrar.

Por ejemplo, la integral no se podrá integrar mientras no se igualen2 4sen x tan x dx∫los argumentos del seno con el de la tangente.

Demo


79

b) Debe evitarse pasar de una integral del seno a otra del coseno de la misma forma, porquese considera que una y otra son lo mismo en cuanto a su técnica de integración.

Por ejemplo, s i se tiene la integral y se emplea la fórmula trigonométrica (1)2sen x dx∫para establecer que , como se( )2 2 21sen x dx cos x dx dx cos xdx= − = −∫ ∫ ∫ ∫pasó de la integral a la integral se considera que no se avanzó2sen x dx∫ 2cos xdx∫absolutamente nada porque son de la misma forma.

c) Cuando deba emplearse más de una vez la técnica de los cuadrados, debe seguirse siempre

el mismo criterio porque de lo contrario se regresa a la integral original. Emplear el mismocriterio significa utilizar siempre la misma función trigonométrica al cuadrado para sustituirlapor su equivalente de dos términos, no una vez una y otra vez otra.

d) Para integrar :m nsen v cos vdv∫

i) Si m = n , debe emplearse la fórmula trigonométrica (14) en la que, despejando,se llega a que

, 1

22

sen A cos A sen A=

por lo que2

2 2 12

2sen A cos A sen A

=

, etc.3

3 3 12

2sen A cos A sen A

=

Demo


80

ii) Si m = 1 o bien n = 1 , con el cambio de variable u igual a la función trigono-

métrica con exponente diferente de 1, se resuelve.iii) En cualquier otro caso, utilizar la técnica de los cuadrados para partir en dos la

integral.

Las principales técnicas son:

a) Técnica de los cuadrados.

b) Técnica de pasar a senos y/o cosenos.c) Técnica de los binomios conjugados.

a) Técnica de los cuadrados: Consiste en factorizar una potencia trigonométrica en un factor al

cuadrado multiplicado por lo que quede; ese factor al cuadrado se reemplaza por su equivalente de dostérminos para partir en dos la integral original.

Como en casi todas las integrales de las diferentes potencias de las seis funciones trigonométricas

se emplea la técnica de los cuadrados, en el siguiente bloque de ejemplos se mostrará la técnica paraintegrar el seno al cuadrado, el seno al cubo, el seno a la cuarta potencia, etc; lo mismo con la tangente ycon la secante.

Ejemplo 3: Integrar 2sen x dx∫Solución: Si se emplea la técnica de los cuadrados se tienen dos opciones: (despe-2 21sen x cos x= −

jando de la fórmula (1), página 74) o bien hacer , según la fórmula( )2 1 1 22

sen x cos x= −

(12). Pero como ya se vio en el ejemplo del inciso (b) de la página 75, la primera relación no

debe emplearse porque se pasa de una forma a otra igual. Entonces

Demo


81

( )2 1 1 22

sen x dx cos x dx= −∫ ∫1 1 22 2

dx cos xdx= −∫ ∫

1 1 22 2

dx cos x dx= −∫ ∫

La primera integral ya es de fórmula. Para la segunda integral, sea u = 2x, de donde du =

2dx. Así que multiplicando y dividiendo por 2 al mismo tiempo para que no se altere la integral

original:

( )1 1 1 2 22 2 2

dx cos x dx = − ∫ ∫

1 12 4

dx cosudu= −∫ ∫

1 12 4

x senu c= − +

2 1

22 4x

sen x dx sen x c= − +∫

Ejemplo 4: Integrar 3sen x dx∫Solución: Empleando la técnica de los cuadrados, se factoriza el seno cúbico en seno cuadrado por seno.

El seno cuadrado se sustituye por su equivalente de dos términos (1 - cos 2 x), tomando en

cuenta la norma del inciso (a), página 75, se multiplica y luego se parte en dos integrales:

Demo


82

3 2sen x dx sen x sen x dx=∫ ∫

( )21 cos x sen x dx= −∫2sen x dx cos x s e n x d x= −∫ ∫

u = cos x

du = - sen x dx

La primera integral ya es de fórmula. La segunda integral es de la forma señalada en el inciso

(d) de la página 76 y cumple con el requisito del subinciso (ii). De manera que se hace el cambio

de variable indicado para obtener

2senxdx u du= +∫ ∫3

3u

cosx c= − + +

3 31

3sen x dx cos x cos x c= − + +∫

Ejemplo 5: Integrar 4sen x dx∫Solución: Empleando la técnica de los cuadrados se factoriza el seno cuarto en seno cuadrado por seno

cuadrado, es decir . Debe tenerse cuidado en que esta técnica señala4 2 2sen x sen x sen x=

que un factor al cuadrado (y solamente uno) es el que debe sustituirse por su equivalente de dos

términos, no los dos factores al cuadrado. De modo que

Demo


83

4 2 2sen x dx sen x sen x dx=∫ ∫

( )2 21 cos x sen x dx= −∫2 2 2sen x dx sen x cos xdx= −∫ ∫

La segunda integral es de la forma marcada en el inciso (d) de la página 76 y cumple con el

requisito del subinciso (i), por lo que debe emplearse la fórmula (14) de la página 75:

22 1

22

sen x dx sen x dx = − ∫ ∫

2 21 24

sen x dx sen xdx= −∫ ∫

Ambas integrales son el seno al cuadrado, solamente que con diferente argumento. Se integran

como se mostró en el ejemplo 3 de la página 77:

( ) ( )1 1 11 2 1 42 4 2

cos x dx cos x dx= − − −∫ ∫

1 1 1 12 4

2 2 8 8dx cos xdx dx cos xdx= − − +∫ ∫ ∫ ∫

1 12 4

2 4 8 32x x

sen x sen x c= − − + +

4 3 1 12 4

8 4 32x

sen x dx sen x sen x c= − + +∫

Demo


84

Ejemplo 6: Integrar 5sen x dx∫Solución: Empleando la técnica de los cuadrados se factoriza el seno quinto en seno cuadrado por seno

cúbico, es decir . De modo que5 2 3sen x sen x sen x=

5 2 3sen x dx sen x sen x dx=∫ ∫

( )2 31 cos x sen x dx= −∫3 2 3sen x dx cos x sen x dx= −∫ ∫

La primera integral se resolvió en el ejemplo 4 página 78, por lo que ya solamente se copiará

su resultado. La segunda integral pertenece a la condición del inciso (d), subinciso (iii), página

76, por lo que se debe volver a utilizar la técnica de los cuadrados con el mismo criterio, es decirque si anteriormente se factorizó para obtener un seno al cuadrado para sustituirlo por su

equivalente de dos términos, ahora nuevamente debe factorizarse un seno al cuadrado yreemplazarlo por su equivalente de dos términos. Haciéndolo se obtiene:

3 2 2sen x dx cos x sen x s en xdx= −∫ ∫

( )3 2 21sen x dx cos x sen x cos x dx= − −∫ ∫3 2 4sen x dx cos xsenxdx cos xsenxdx= − +∫ ∫ ∫

La segunda y tercera integrales corresponden a la condición del inciso (d), subinciso (ii), página

76, por lo que con un cambio de variable se puede integrar. Haciendo

u = cos x

du = - sen x dx

Demo


85

3 2 4sen x dx u du u du= + −∫ ∫ ∫3 5

313 3 5

u ucosx cos x c= − + + − +

3 3 51 1 13 3 5

cosx cos x cos x cos x c= − + + − +

5 3 52 1

3 5sen x dx cosx cos x cos x c= − + − +∫

Ejemplo 7: Integrar 2tan x dx∫Solución: Por la técnica de los cuadrados, sabiendo que tan 2 x = sec 2 x - 1,

( )2 2 1tan x d x sec x dx= −∫ ∫2sec x d x dx= −∫ ∫

Estas dos integrales ya son directas de fórmula, así que

2tan x d x tanx x c= + +∫

Por las reglas de escritura matemática no debe escribirse así, sino

2tan x dx x tanx c= + +∫

Demo


86

Ejemplo 8: Integrar 3tan xdx∫Solución: Por la técnica de los cuadrados, debe factorizarse en tangente cuadrada por lo demás, y sustituir

la tangente cuadrada por su equivalente de dos términos (sec 2 x -1):

2tan x t a n x d x= ∫

( )2 1sec x tanxdx= −∫2sec x t a n x d x tanxdx= −∫ ∫

La primera integral se resuelve con el cambio de variable u = tan x , ya que du = sec 2 x. Lasegunda integral ya es de fórmula. Así que

u du tan x dx= −∫ ∫2

2u

ln sec x c= − +

3 21

2tan x d x tan x lnsecx c= − +∫

Ejemplo 9: Integrar 4tan x dx∫Solución: Por la técnica de los cuadrados, debe factorizarse en tangente cuadrada por lo demás, y sustituir

la tangente cuadrada (y solamente una, no las dos) por su equivalente de dos términos:

4 2 2tan x d x tan x t a n xdx=∫ ∫

Demo


87

( )2 21sec x tan x dx= −∫2 2 2sec xtan x d x tan x dx= −∫ ∫

Para la primera integral basta con hacer el cambio de variable u = tan x, ya que du = sec 2

xdx, y la segunda integral fue resuelta en el ejemplo 7:

2u du tanx dx= −∫ ∫3

3u

x tanx c= − − +

313

tan x x tanx c= − − +

que debe escribirse, conforme a las reglas de escritura matemática como

4 313

tan x d x x tan x tanx c= − + − +∫

Ejemplo 10: 5tan xdx∫Solución: Por la técnica de los cuadrados, debe factorizarse en tangente cuadrada por lo demás, y sustituir

la tangente cuadrada por su equivalente de dos términos (sec 2 x -1):

5 2 3tan x d x tan x tan xdx=∫ ∫

( )2 31sec x tan xdx= −∫

Demo


88

2 3 3sec x t a n x d x tan xdx= −∫ ∫

Para la primera integral basta hacer el cambio de variable u = tan x, de donde du = sec 2 xdx.

La segunda integral fue resuelta en el ejemplo 8:

3 3u du tan xdx= −∫ ∫4

214 2u

tan x l n s e c x c= − + +

5 4 21 14 2

tan x d x tan x tan x lnsecx c= − + +∫

COMPROBACIÓN:

Para efectos de abreviar símbolos al momento de referirse a la derivada del resultado de la

integral, hágase .4 21 14 2

I tan x tan x lnsec x c= − + +

Entonces

( ) ( )4 1 2 11 14 2 04 2

dI d d tanxsecxtanx tanx tanx tanx

dx dx dx secx− − = − + +

3 2 2d dtan x sec x x tanx sec x x tanx

dx dx = − +

3 2 2tan xsec x tanx sec x tanx= − +

3 2 21 1tan x tan x tanx tan x t a n x = + − + +

Demo


89

5 3 3tan x tan x tan x tanx tanx= + − − +

5dItan x

dx=

Ejemplo 11: Integrar 2sec x dx∫Solución: Esta integral es directa de fórmula. Basta aplicar la fórmula (23) de la página 70.

2sec x d x tanx c= +∫

Ejemplo 12: Integrar 3sec xdx∫Solución: Todas las potencias nones de la secante y de la cosecante solamente se pueden integrar por el

método llamado integración por partes, que se verá en el próximo capítulo (ejemplo 4, página

104). De manera que queda pendiente de integrarse hasta que se aborde en el capítulo siguiente

la integración por partes.

Ejemplo 13: Integrar 4sec x dx∫Solución: Por la técnica de los cuadrados, se factoriza en secante cuadrada por secante cuadrada. De la

misma forma en que se hizo con el seno a la cuarta y la tangente a la cuarta, solamente el

primer factor al cuadrado debe sustituirse por su equivalente de dos términos:

4 2 2sec x d x sec x sec xdx=∫ ∫

Demo


90

( )2 21tan x sec x dx= +∫2 2 2tan x sec x d x sec xdx= −∫ ∫

Para la primera integral basta hacer el cambio de variable u = tan x, de donde du = sec2x;

la segunda integral ya es directa de fórmula:

2 2u du sec xdx= −∫ ∫3

3u

tanx c= − +

4 313

sec x d x tan x tanx c= − +∫

b) Técnica de pasar todo a senos y/o cosenos: Consiste en pasar o escribir todas las funcionestrigonométricas en términos de senos y/o cosenos, a partir de que todas las funciones trigonométricas tienenun equivalente en senos y/o cosenos, ya que

senxtanx

cosx=

cosxco tx

senx=

1sec x

cosx=

Demo


91

1cscx

senx=

Después de escribir todo en términos del seno y/o coseno, se simplifica y se vuelve a aplicar latécnica de los cuadrados, si las integrales resultantes no están aún listas para ya integrarse.

Ejemplo 14:2sen x co tx

dxsecx∫

Solución: Pasando todo a senos y/o cosenos:

22

1

cosxsen x

sen x cot x senxdx dxsecx

cosx

=∫ ∫

2sen x c o s x c o s xdx

sen x= ∫

2sen x cos x dx= ∫

Esta integral es de la forma especificada en el inciso (d), subinciso (ii), página 76, por lo que conun cambio de variable se puede integrar. En efecto, haciendo

u = cos x , de dondedu = - sen x dx

( ) ( )2cos x sen x dx= − −∫

Demo


92

32

3u

u du c= − = − +∫

231

3sen x c o t x

dx cos x csec x

= − +∫


2

t anxcosxco t x sen xdx

sec x c s c x∫

Solución: Pasando todo a senos y/o cosenos:

22

2

2

1 1

senx cosxcosx sen x

cosx senxtanxcosxcotxsen xdx dx

sec xcscx

senxcos x

=

∫ ∫

2 2s e n x c o s x c o s x s e n x cos x senxdx

cosx senx= ∫

3 3sen x cos xdx= ∫

Esta integral corresponde a lo señalado en el inciso (d), subinciso (i), página 76, debe emplearse

la fórmula trigonométrica (14) en la que, despejando, se llega a que

, 1

22

sen x cos x sen x=

Demo


93

por lo que

33 3 1

22

sen x cos x sen x =

por lo tanto,

3

3 3 12

2sen x cos x d x sen x dx = ∫ ∫

312

8sen xdx= ∫

Para ver los detalles de cómo se resuelve esta integral, ver el ejemplo 4 de la página 78.

212 2

8sen x sen xdx= ∫

( )212 1 2

8sen x cos x dx= −∫

21 12 2 2

8 8sen x dx sen xcos xdx= −∫ ∫

Para la primera integral debe hacerse el cambio de variable u = 2x, de donde du = 2 dx. Para

la segunda integral hacer v = cos 2x, de donde dv = - - 2 sen 2x dx :

( ) ( )21 1 1 12 2 2 2 2

8 2 8 2sen x dx cos x sen xdx

= −

∫ ∫ 14243123 123 1442443

sen u du v 2 dv

Demo


94

21 116 16

sen u d u v dv= −∫ ∫

31 12

16 16 3v

cos x c

= − − +

23

2

1 12 2

16 48tanx cox cotxsen x

dx cos x cos x csec xcscx

= − − +∫

c) Técnica de los binomios conjugados: Cuando en el denominador aparece uno de los binomiosconjugados que a continuación se mencionarán (ver tabla de la página 91), se multiplica el numerador yel denominador por su conjugado para obtener en el denominador su equivalente de un término alcuadrado.

Esta técnica se basa en el hecho de que de las tres fórmulas trigonométricas llamadas Pitagóricaso de los cuadrados (ver fórmulas (1), (2) y (3) de la página 74), al despejar cualquiera de los dos términosque aparecen en el lado izquierdo del signo igual (=), se obtiene una diferencia de cuadrados, la cual sepuede factorizar en dos binomios conjugados.

La siguiente tabla muestra lo afirmado en el párrafo anterior:

Demo


95

Fórmula Pitagórica:2 despejes posibles:

(diferencia de cuadra-dos)

Binomios conjugados

sen 2A + cos 2A = 1sen 2A = 1 - cos 2A = (1 - cos A)(1 + cos A) (b1)

cos 2A = 1 - sen 2A = (1 - sen A)(1 + sen A) (b2)

tan 2A + 1 = sec 2Atan 2A = sec 2A - 1 = (sec A - 1)(sec A + 1) (b3)

1 = sec 2A - tan 2A = (sec A - tan A)(sec A + tan A) (b4)

cot 2A + 1 = csc 2Acot 2A = csc 2A - 1 = (csc A - 1)(csc A + 1) (b5)

1 = csc 2A - cot 2A = (csc A - cot A)(csc A + cot A) (b6)

La idea de esta técnica radica en que los numeradores sí se “pueden partir” en cada uno de sustérminos cada uno entre todo el denominador; sin embargo, los denominadores no se “pueden partir”.Entonces se trata de hacer que en el denominador aparezca un solo término y en el numerador dos o máspara partir la fracción en su suma correspondiente.

Una vez multiplicado el numerador y el denominador por el conjugado del binomio del deno-

minador, el producto del denominador dará la diferencia de cuadrados correspondiente a la tabla anterior,leída de derecha a izquierda, la cual equivale a una función trigonométrica al cuadrado. Se vuelve a aplicarla técnica (1) de los cuadrados o la técnica (2) de convertir todo a senos y/o cosenos.


1 2tan x dx

cos x−∫Solución: El denominador tiene dos términos, pero así no se puede partir en la suma de dos la fracciones.

Demo


96

Sin embargo, este denominador es uno de los binomios conjugados (b1) de la tabla anterior.

Esto sugiere que debe multiplicarse numerador y denominador por su binomio conjugado, esdecir, por (1 + cos 2x). Haciéndolo resulta:

( )

( )( )2 1 22

1 2 1 2 1 2tan x cos x dxtan xdx

cos x cos x cos x

+=

− − +∫ ∫

( )2

2 2 2

1 2

tan x tan xcos x dx

cos x

+=

−∫

( )2

2 2 22

tan x tan xcos x dx

sen x

+= ∫

En este momento el numerador ya tiene dos términos, por lo que ya se puede partir en la suma

de dos fracciones:

2 2

2 2 22 2

tan xdx tan xcos xdxsen x sen x

= +∫ ∫

Una vez partida la integral en la suma de dos, se aplica el criterio de pasar todo a senos y/o

cosenos vista en la página 87:

2 2

2 2 22 2 2 2

sen xdx sen xcos x dxcos x sen x cos x sen x

= +∫ ∫

2 2 2dx dx

sen xcos x sen x= +∫ ∫

Para la primera integral se cumple la condición del inciso (d), subinciso (i), de la página 76. La

Demo


97

segunda integral es igual a la cosecante, ya que , de manera que1

csc Asen A

=

21

42

dxcsc xdx

sen x= +∫ ∫

2 4 2csc x d x csc xdx= +∫ ∫

( ) ( )1 12 4 4 2 24 2

csc x dx csc x dx = + ∫ ∫

1 12 2

cscu du cscvdv= +∫ ∫

( ) ( )1 12 2

ln cscu cotu ln cscv cotv c= − + − +

( ) ( )2 1 14 4 2 2

1 2 2 2tan x dx

ln csc x cot x ln csc x cot x ccos x

= − + − +−∫ Dem

o


98

EJERCICIO 25 (Área 2)


1) 2)( )4 7 2sen x dx−∫ 3 9cos xdx∫

3) 4)( )5 9 11cos x dx−∫ ( )3 7 8tan x dx+∫

5) 6)512cot x dx∫ 4 13sec xdx∫

7) 8)( )2 6 17sec x dx+∫ 4 9csc xdx∫

9) 10)35 5sen xco t xdx∫ 3 29 9tan xcsc xdx∫

11) 12)8 8 8tan x sen xco t xdx∫ 3 3 3 3tan xco t x sec xcsc xdx∫

13) 14)1 5

dxsen x−∫

99 9

cos xdxsec x tan x−∫

15) 16)4

4 4tan xdx

csc x cot x+∫1010 1

csc xdxsec x +∫

17) 18)88 8 8

cos xdxsen x sen xcos x+∫ 2 6 6

dxcsc x csc x−∫

19) 20)3

3 3 3cos xdx

cot x cot xcos x+∫ 2 25 5 5dx

sec x sen x cos x− −∫

Demo

Integración por fracciones parciales

1 La palabra “desumar” no existe en el idioma Español. Aquí se ha compuesto esa palabra en base alas etimologías que rigen al idioma. El prefijo des que denota negación o inversión del significado y el verbosumar. Es decir, se pretende dar a entender lo inverso a la realización de la suma, no como operación inversa(que eso es la resta), sino como inverso de algo que se hace y luego se deshace.

115

IX

INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES

Áreas 1, 2 y 3

La integración por fracciones parciales es más un truco o recurso algebraico que algo nuevo quevaya a introducirse en el curso de Cálculo Integral. Es decir, en realidad en este tema no va a aprendersenada nuevo de Cálculo Integral, simplemente se va a echar mano del Álgebra y luego aplicar técnicas queya se estudiaron en otros capítulos.

El tema de fracciones parciales en Álgebra se refiere a desumar 1 una fracción, es decir a des-hacer una suma de fracciones; en otras palabras, se trata de encontrar la suma de qué fracciones da comoresultado la fracción dada.

Por ejemplo, realizar la suma de fracciones

3 21x x

++

Demo


116

consiste en el procedimiento conocido de sacar común denominador:

( ) ( )

( )3 1 23 2

1 1

x x

x x x x

+ ++ =

+ +

( )3 3 2

1x xx x

+ +=

+

2

5 3xx x

+=

+

Cuando se ha introducido el término desamar , se ha pretendido hacer alusión al hecho derecorrer el proceso anterior ahora de atrás hacia adelante, es decir, a partir del resultado llegar a las dos

fracciones originales. Equivale a preguntar: ¿La suma de qué fracciones dan como resultado ?2

5 3xx x

++

La teoría de las fracciones parciales se divide en cuatro casos, atendiendo a los factores queaparezcan en el denominador original, los cuales se pueden clasificar en dos formas:

POR EL GRADO POR REPETICIÓN

erer 1 caso

factoresde1 grado2º caso

er

er

1 casofactores norepetidos

3 caso

er3 caso

factoresde2ºgrado4ºcaso

2º caso

factores repetidos4º caso

Demo


117

Solución: A cada factor lineal de la forma mx + n que aparezca en el deno-minador le corresponde una suma de fracciones de la forma

, donde A es una constante a determinar.A

mx n+

Lo anterior da por entendido que el denominador original debe estar factorizado para poderseclasificar en el caso que le corresponda, o lo que es lo mismo, los casos atienden a los factores queaparezcan en el denominador.

CASO 1: Se tienen en el denominador factores lineales no repetidos.

Ejemplo 1: Descomponer en fracciones parciales 2

5 3xx x

++

Solución: Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den porresultado la fracción anterior. Lo primero que debe hacerse es factorizar el denominador:

( )2

5 3 5 31

x xx xx x

+ +=

++

Una vez factorizado el denominador, se analizan uno a uno los factores del denominador que apa-

rezcan para ver a cuál caso pertenece cada uno. En este ejemplo, ambos factores son lineales(de primer grado) y no están repetidos, por lo tanto, ambos pertenecen al primer caso. Entoncesal factor x del denominador le corresponde una fracción de la forma una constante A entrex; por su parte, al denominador x + 1 le corresponde una fracción de la forma otra constanteB entre x + 1. Esto es

Demo


118

(9.1)( )5 3

1 1x A B

x x x x+

= ++ +

Una vez establecida la suma de fracciones que corresponden a la original, el procedimiento para

determinar las constantes será el mismo para los casos 1, 2, 3 y 4. Consiste en

a) Realizar la suma sacando común denominador:

( )( ) ( )

( )15 3

1 1A x B xx

x x x x+ ++

=+ +

( ) ( )5 3

1 1x Ax A Bx

x x x x+ + +

=+ +

b) Como la fracción escrita a la izquierda es igual a la de la derecha y ambas tienen el

mismo denominador, esto implica que necesariamente sus numeradores son iguales. Apartir de este momento se trabajará únicamente con los numeradores, sabiendo que soniguales:

5 3x Ax A Bx+ = + +

c) Se factorizan en el lado derecho las diferentes potencias de x, es decir, se factorizan lasx3 si las hubiere; se factorizan las x2 si las hubiere, se factorizan las x si las hubiere yse factorizan los términos que carecen de x, si los hubiere:

( )5 3x x A B A+ = + +

d) Se plantea un sistema de ecuaciones a partir del siguiente razonamiento: Para que lo es-

crito anteriormente sea realmente una igualdad, se requiere que el número de equiscúbicas que hay del lado izquierdo sea igual al número de equis cúbicas que hay del ladoderecho; que el número de equis cuadradas que hay del lado izquierdo sea igual al

Demo


119

número de equis cuadradas que hay del lado derecho; que el número de equis que haydel lado izquierdo sea igual al número de equis que hay del lado derecho; y que el númerosin equis que hay del lado izquierdo sea igual al número sin equis que hay del ladoderecho.

En este ejemplo, si del lado izquierdo hay cinco equis, del lado derecho también debenhaber cinco equis, para lo cual se requiere que el coeficiente de x del lado derecho seaigual a cinco, o sea que A + B = 5; por otra parte, si del lado izquierdo hay + 3, del ladoderecho también debe haberlo, lo cual se logra si A = 3. Esto lleva a las ecuaciones

A + B = 5A = 3

de donde B = 2

32

AB

==

Sustituyendo estos valores en la igualdad (9.1) se llega a que

( )5 3 3 2

1 1x

x x x x+

= ++ +

Ejemplo 2: Descomponer en fracciones parciales ( )( )

2 192 3 3 1

xx x

−+ −

Solución: Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den por re-

sultado la fracción anterior. Se analizan ambos factores del denominador para ver a cuál casopertenece cada uno. En este ejemplo, ambos factores son lineales (de 1er grado) y no estánrepetidos, por lo tanto, ambos pertenecen al primer caso. Entonces al factor 2x + 3 del denomi-nador le corresponde una fracción de la forma una constante A entre 2x + 3; por su parte, al

Demo


120

denominador 3x - 1 le corresponde una fracción de la forma otra constante B entre 3x - 1.Esto es

(9.2)( )( )

2 192 3 3 1 2 3 3 1

x A Bx x x x

−= +

+ − + −


( )( )( ) ( )( )( )3 1 2 32 19

2 3 3 1 2 3 3 1

A x B xxx x x x

− + +−=

+ − + −

( ) ( ) ( )( )2 19 3 2 3

2 3 3 1 2 3 3 1x Ax A Bx B

x x x x− − + +

=+ − + −



2 19 3 2 3x Ax A Bx B− = − + +

c) Se factorizan en el lado derecho las diferentes potencias de x, es decir, se factorizan las

x3 si las hubiere; se factorizan las x2 si las hubiere, se factorizan las x si las hubiere yse factorizan los términos que carecen de x, si los hubiere:

( ) ( )2 19 3 2 3x x A B A B− = + + − +

d) Se plantea un sistema de ecuaciones a partir del siguiente razonamiento: Para que lo es-crito anteriormente sea realmente una igualdad, se requiere que el número de equiscúbicas que hay del lado izquierdo sea igual al número de equis cúbicas que hay del ladoderecho; que el número de equis cuadradas que hay del lado izquierdo sea igual al

Demo


121

número de equis cuadradas que hay del lado derecho; que el número de equis que haydel lado izquierdo sea igual al número de equis que hay del lado derecho; y que el númerosin equis que hay del lado izquierdo sea igual al número sin equis que hay del ladoderecho.

En este ejemplo, si del lado izquierdo hay dos equis, del lado derecho también debenhaber dos equis, para lo cual se requiere que el coeficiente de x del lado derecho seaigual a dos, o sea que 3A + 2B = 5; por otra parte, si del lado izquierdo hay - 19, del ladoderecho también debe haberlo, lo cual se logra si - A + 3B = - 19. Esto lleva a lasecuaciones

3A + 2B = 2- A + 3B = - 19

de donde 4

5AB

== −


( )( )2 19 4 5

2 3 3 1 2 3 3 1x

x x x x−

= −+ − + −

Este sistema de ecuaciones simultáneas pudo resolverse por el método de suma y resta,o el de sustitución, o el de igualación, o por determinantes, inclusive con una calculadora.Si se tiene la calculadora CASIO fx-95MS debe hacerse lo siguiente:

a) Ordenar ambas ecuaciones de la forma a 1 x + b 1 y = c 1

a 2 x + b 2 y = c 2

b) Borrar de las memorias de la calculadora todo registro anterior y ponerla en modode cálculo, tecleando

Demo


122

2 3

.0

SHIFT CLR 2 =

c) Poner la calculadora en modo de ecuación, tecleando:

MODE MODE 1

Aparecerá entonces la pantalla

con lo que la calculadora pregunta: ¿Cuántas incógnitas, 2 o 3? Teclear 2

d) Al aparecer la pantalla

la calculadora está preguntando por el coeficiente a 1 , que es el coeficiente de la

variable x de la primera ecuación simultánea. En este caso, 3. Teclearlo y para quequede registrado en la memoria de la calculadora oprimir .Repetir el procedi-=

miento con todos los demás coeficientes. Para ingresar un valor negativo, debehacerse con la tecla , no con la de resta .( - ) −

Después de ingresar el valor del último coeficiente c 2 de la segunda ecuación y deregistrarlo en la memoria de la calculadora a través de la tecla , aparece en=

la pantalla el valor de x .

Demo


123

4.

REPLAY

El triangulito que aparece del lado derecho de la pantalla significa que oprimiendo

la tecla central que está debajo de la pantalla

en la dirección señalada, despliega el valor de y . Si se desea regresar a la pantallanuevamente el valor de x , hay que teclear en la dirección que señala dicho triangu-lito.

Ejemplo 3: Descomponer en fracciones parciales ( ) ( )( )

28 52 473 1 2 2 3

x xx x x

+ +− + +

Solución: Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den porresultado la fracción anterior. Se deben analizar los tres factores del denominador para ver a cuálcaso pertenece cada uno. En este ejemplo, los tres factores son lineales (de primer grado) y noestán repetidos, por lo tanto pertenecen al primer caso. De tal manera que al factor 3x - 1 deldenominador le corresponde una fracción de la forma una constante A entre el mismo 3x - 1;al denominador x + 2 le corresponde una fracción de la forma otra constante B entre x + 2;y por su parte, al factor 2x + 3 del denominador le corresponde una fracción de la forma unaconstante C entre 2x + 3. Esto es

Demo


124

(9.3)( ) ( )( )

28 36 473 1 2 2 3 3 1 2 2 3

x x A B Cx x x x x x

+ += + +

− + + − + +


( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )

2 2 2 3 3 1 2 3 3 1 28 36 473 1 2 2 3 3 1 2 2 3

A x x B x x C x xx xx x x x x x

+ + + − + + − ++ +=

− + + − + +

( ) ( ) ( )( )( )( )

2 2 22 7 6 6 7 3 3 5 2

3 1 2 2 3

A x x B x x C x x

x x x

+ + + + − + + −=

− + +

( )( )( )2 2 22 7 6 6 7 3 3 5 2

3 1 2 2 3Ax Ax A Bx Bx B Cx Cx C

x x x+ + + + − + + −

=− + +

b) Como la fracción escrita a la izquierda es igual a la de la derecha y ambas tienen elmismo denominador, esto implica que necesariamente sus numeradores son iguales. Apartir de este momento se trabajará únicamente con los numeradores, sabiendo que soniguales:

8x 2 + 36x + 47 = 2Ax 2 + 7Ax + 6A + 6Bx 2 + 7Bx - 3B + 3Cx 2 + 5Cx - 2C

c) Se factorizan en el lado derecho las diferentes potencias de x, es decir, se factorizan lasx2 , se factorizan las x y se factorizan los términos que carecen de x, si los hubiere:

8x 2 + 36x + 47 = x 2(2A + 6B + 3C ) + x (7A + 7B + 5C ) + (6A - 3B - 2C )

d) Para que ambos miembros de la igualdad realmente sean iguales se requiere que si del

lado izquierdo hay ocho equis cuadradas, del lado derecho también las haya, lo queimplica que 2A + 6B + 3C tenga que ser igual a 8. Igualmente, si del lado izquierdo hay36 equis, del lado derecho también debe haberlas, lo que implica que 7A + 7B + 5Ctenga que ser igual a 36; finalmente, si del lado izquierdo hay + 47, del derecho tambiéndebe haberlos, lo que implica que 6A - 3B - 2C deba ser igual a + 47.

Demo


125

Del razonamiento anterior se construye el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:

2A + 6B + 3C = 8

7A + 7B + 5C = 366A - 3B - 2C = 47

de donde

71

4

ABC

=== −


( )( )( )28 36 47 7 1 4

3 1 2 2 3 3 1 2 2 3x x

x x x x x x+ +

= + −− + + − + +


63 2 5x

x x−

+ −

Solución: Descomponer en fracciones parciales significa encontrar la suma de fracciones que den por

resultado la fracción anterior. Se deben analizar los dos factores del denominador para ver a cuálcaso pertenece cada uno. En este ejemplo, los dos factores son lineales (de primer grado) y noestán repetidos, por lo tanto pertenecen al primer caso. De tal manera que al factor x + 3 deldenominador le corresponde una fracción de la forma una constante A entre el mismo x + 3;al denominador 2x - 5 le corresponde una fracción de la forma otra constante B entre 2x - 5.Esto es

(9.4)( ) ( )

63 2 5 3 2 5x A B

x x x x−

= ++ − + −

Demo


126


( ) ( )( ) ( )( )( )2 5 36

3 2 5 3 2 5

A x B xxx x x x

− + +−=

+ − + −

( ) ( ) ( )( )6 2 5 3

3 2 5 3 2 5x Ax A Bx B

x x x x− − + +

=+ − + −



x - 6 = 2Ax - 5A + Bx + 3B

c) Se factorizan en el lado derecho las diferentes potencias de x:

x - 6 = x (2A + B ) + (- 5A + 3B )


lado izquierdo hay una equis, del lado derecho también haya solamente una, lo que implicaque 2A + B tenga que ser igual a 1. Igualmente, si del lado izquierdo hay - 6, del ladoderecho también debe haberlo, lo que implica que - 5A + 3B tenga que ser igual a - 6.


2A + B = 1- 5A + 3B = - 6

Demo


127

de donde

911

711

A

B

=

= −


( ) ( )

9 76 11 11

3 2 5 3 2 5x

x x x x

−−= +

+ − + −

( )( ) ( ) ( )6 9 7

3 2 5 11 3 11 2 5x

x x x x−

= −+ − + −

Demo


128


Descomponer en fracciones parciales:

1) 2)( ) ( )

32 201 5 3x

x x−

− − 2

31 332 6

xx x

−−

3) 4)2

11 810 5

xx x

++ 2

18 274 3 1

xx x

−+ −

5) 6)2

6 27 2

xx x

+− ( ) ( )

28 13 11 1

x xx x x

− −− +

7) 8)( )( )( )

24 5 331 2 3

x xx x x

− + ++ − − ( ) ( ) ( )

29 4 53 1 3 1 2 3

x xx x x

− ++ − −

9) 10)( ) ( ) ( )

220 60 461 2 5 1x x

x x x− +

+ − − ( ) ( ) ( )

240 11 924 1 5 1 10

x xx x x− − ++ − −Demo


129

Solución: A cada factor lineal de la forma mx + n que aparezca repetido kveces en el denominador le corresponde una suma de fracciones dela forma

, ( ) ( ) ( )

1 322 3

kk

A A AA...

mx n mx n mx n mx n+ + + +

+ + + +

donde A k es una constante a determinar.

CASO 2: Se tienen en el denominador factores lineales repetidos k veces.

Ejemplo 5: Descomponer en fracciones parciales ( )2

2 1

1

x

x

+−

Solución: La fracción original es equivalente a , es decir que en el denominador está( )( )

2 11 1x

x x+

− −

repetido dos veces el factor (x - 1). Por lo tanto, le corresponde una suma de fracciones de laforma:

(9.5)( ) ( )2 2

2 111 1

x A Bxx x

+= +

−− −

El procedimiento para calcular las constantes A y B es exactamente el mismo que el empleado

en los ejemplos 1 a 4 del caso I:

Demo


130


( ) ( )2 2

2 111 1

x A Bxx x

+= +

−− −

( )( )2

1

1

A x B

x

− +=

−

( ) ( )2 2

2 1

1 1

x Ax A B

x x

+ − +=

− −

b) Como la fracción escrita a la izquierda es igual a la de la derecha y ambas tienen elmismo denominador, esto implica que necesariamente sus numeradores son iguales. Apartir de este momento se trabajará únicamente con los numeradores, sabiendo que soniguales:

2x + 1 = Ax - A + B

c) Se factorizan en el lado derecho las diferentes potencias de x:

2x + 1 = x (A ) + (- A + B )


lado izquierdo hay dos equis, del lado derecho también haya dos, lo que implica que Atenga que ser igual a 2. Igualmente, si del lado izquierdo hay + 1, del lado derechotambién debe haberlo, lo que implica que - A + B tenga que ser igual a + 1.


A = 2

- A + B = 1

Demo


131

de donde23

AB

==


( ) ( )2 2

2 1 2 311 1

xxx x

+= +

−− −


2

2

5 42 35

6 5 3

x x

x x

− +

+ −

Solución: La fracción original es equivalente a . Analizando factor por factor,( )( )( )

25 42 356 5 3 3

x xx x x

− ++ − −

se ve que el primero de ellos (6x + 5) es un factor lineal no repetido y por lo tanto pertenece alprimer caso; mientras que el factor (x - 3) es lineal y está repetido dos veces, por lo que perte-nece al segundo caso. Combinando ambos casos, le corresponde una suma de fracciones de laforma

(9.6)( )( ) ( )

2

2 2

5 42 356 5 36 5 3 3

x x A B Cx xx x x

− += + +

+ −+ − −

El procedimiento para calcular las constantes A, B y C es exactamente el mismo que elempleado en los ejemplos 1 a 4 del caso I:


( )( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

22

2 2

3 6 5 3 6 55 42 35

6 5 3 6 5 3

A x B x x C xx x

x x x x

− + + − + +− +=

+ − + −

Demo


132

( )( )( ) ( ) ( )

( )( )

2 22

2 2

6 9 6 13 15 6 55 42 35

6 5 3 6 5 3

A x x B x x C xx x

x x x x

− + + + − + +− +=

+ − + −

( )( ) ( )( )

2 2 2

2 2

5 42 35 6 9 6 13 15 6 5

6 5 3 6 5 3

x x Ax Ax A Bx Bx B Cx C

x x x x

− + − + + + − + +=

+ − + −

b) Como la fracción escrita a la izquierda es igual a la de la derecha y ambas tienen el mismodenominador, esto implica que necesariamente sus numeradores son iguales. A partir de estemomento se trabajará únicamente con los numeradores, sabiendo que son iguales:

5x 2 - 42x + 35 = Ax 2 - 6Ax + 9A + 6Bx 2 + 13Bx - 15B + 6Cx + 5C

c) Se factorizan en el lado derecho las diferentes potencias de x :

5x 2 - 42x + 35 = x 2 (A + B) + x (- 6A + 13B + 6C) + (9A - 15B + 5C)

d) Para que ambos miembros de la igualdad realmente sean iguales se requiere que si del ladoizquierdo hay cinco equis cuadradas, del lado derecho también las haya, lo que implica quela suma de A + B tenga que ser igual a 5. Igualmente, si del lado izquierdo hay - 42 equis,del lado derecho también debe haberlas, lo que implica que - 6A + 13B + 6C deba ser iguala - 42. Finalmente, si del lado izquierdo hay un + 35, del derecho también debe haberlo, loque conduce a que 9A - 15B + 5C tenga que ser igual a + 35.


A + B = 5

- 6A +13B + 6C = - 42

9A - 15B + 5C = 35

de donde

5

0

2

A

B

C

=== −

Demo


133


( )( ) ( )

2

2 2

5 42 35 5 0 26 5 36 5 3 3

x xx xx x x

− + −= + +

+ −+ − −

( )( ) ( )

2

2 2

5 42 35 5 26 56 5 3 3

x xxx x x

− += −

++ − −

Demo


134



1) 2)( )2

14 9

2 1

x

x

+

+ ( )2

5

3 2x −

3) 4)( )25 4

x

x − ( ) ( )

2

2

2 7 3

1 1

x x

x x

− +

+ −

5) 6)( )2

5 5

5 3

x

x

−

+ ( ) ( )

2

2

3

2 3 8

x

x x

+

− +

7) 8)( )

2

35 7

x

x + ( )

2

3

7

9

x x

x

+

+

9) 10)( ) ( )

2

2

4 9

3 2 2 3

x x

x x

+ −

− + ( ) ( )

2

2

2 2 3

5 7 2 9

x x

x x

+ +

− −Demo


135

2

Ax Bax bx c

++ +

Solución: A cada factor cuadrático irreductible de la forma ax 2 + bx + c queaparezca en el denominador le corresponde una suma de fraccionesde la forma

CASO 3: Se tienen en el denominador factores cuadráticos irreductibles no repetidos.

En este caso y en el siguiente debe tenerse mucho cuidado de que los factores cuadráticos o de2º grado que aparezcan en el denominador sean irreductibles, o sea que no puedan factorizarse en doslineales. En el caso de que sean reductibles (factorizables) y no se factoricen, el resultado obtenido defracciones parciales resulta incompleto. Analizar el ejemplo 8.

Para saber si un factor cuadrático (de 2º grado) es reductible o no, debe analizarse con la fórmulageneral de las ecuaciones de 2º grado: si la raíz cuadrada de dicha fórmula resulta negativa significa quees irreductible.

El procedimiento para calcular las constantes es exactamente el mismo que se explicó en los cuatroejemplos correspondientes al caso I, por lo que ya en los ejemplos siguientes se omitirá la explicacióndetallada de cada paso.

Demo


136


2

2

3 2 2

2 4

x x

x x x

+ −

+ + +

Solución: Lo primero que debe hacerse es asegurarse de que el factor cuadrático que aparece en eldenominador x 2 + x + 4 es irreductible. Para ello se toma como si fuera una ecuación y se leaplica la fórmula para resolver ecuaciones de 2º grado.

Haciéndolo, con a = 1; b = 1; c = 4:

( )( )( )

22 1 1 4 1 442 2 1

1 152

b b aca

− ± −− ± −=

− ± −=

Como la raíz cuadrada resulta negativa, significa que el factor x 2 + x + 4 ya no se puede facto-rizar. Entonces analizando los dos factores que aparecen en la fracción original se observa queel primero es lineal no repetido y pertenece al caso I, mientras que el segundo es cuadrático norepetido y pertenece al tercer caso. Combinando ambos casos, les corresponde la suma defracciones:

(9.7)( ) ( )

2

22

3 2 22 42 4

x x A Bx Cx x xx x x

+ − += ++ + ++ + +

( ) ( ) ( )( )( )

2

2

4 2

2 4

A x x Bx C x

x x x

+ + + + +=

+ + +

( ) ( )2 2

2

4 2 22 4

Ax Ax A Bx Bx Cx Cx x x

+ + + + + +=+ + +

Igualando los numeradores:

2 2 23 2 2 4 2 2x x Ax Ax A Bx Bx Cx C+ − = + + + + + +

Demo


137

( ) ( ) ( )2 23 2 2 2 4 2x x x A B x A B C A C+ − = + + + + + +

Igualando los coeficientes de las diferentes potencias de x se llega al sistema de ecuaciones:

A + B = 3

A + 2B + C = 2

4A + 2C = - 2

de donde

1

23

A

BC

=

== −


( )( )2

22

3 2 2 1 2 32 42 4

x x xx x xx x x

+ − −= +

+ + ++ + +


2

2

6 5 51 3 2x x

x x x− −

+ − +

Solución: El factor cuadrático x 2 - 3x + 2 es reductible, o sea que puede factorizarse. Efectivamente, bus-

cando dos números que sumados den - 3 y multiplicados den + 2 se llega a que

x 2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

De modo que la fracción original debe escribirse como ( )( )( )

26 5 51 1 2x x

x x x− −

+ − −

Demo


138

Analizando los factores del denominador se ve que los tres pertenecen al primer caso, por lo quele corresponde una suma de fracciones de la forma:

(9.8)( )( ) ( )

26 5 51 1 2 1 1 2

x x A B Cx x x x x x

− − = + ++ − − + − −

Haciendo la suma de fracciones:

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )2 1 2 1 2 1 16 5 5

1 1 2 1 1 2

A x x B x x C x xx xx x x x x x

− − + + − + + −− −=

+ − − + − −

( )( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 22 3 2 2 16 5 51 1 2 1 1 2

A x x B x x C xx xx x x x x x

− + + − − + −− −=

+ − − + − −

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 26 5 5 3 2 2

1 1 2 1 1 2x x Ax Ax A Bx Bx B Cx C

x x x x x x− − − + + − − + −

=+ − − + − −


2 2 2 26 5 5 3 2 2x x Ax Ax A Bx Bx B Cx C− − = − + + − − + −

( ) ( ) ( )2 26 5 5 3 2 2x x x A B C x A B A B C− − = + + + − − + − −

Igualando coeficientes de las diferentes potencias de x se llega a que:

A + B + C = 6

- 3A - B = - 5

2A - 2B - C = - 5

de donde

12

3

AB

C

===

Demo


139


( I )( )( ) ( )26 5 5 1 2 3

1 1 2 1 1 2x x

x x x x x x− −

= + ++ − − + − −

Esta es la descomposición en fracciones parciales correcta , sin embargo, si por descuido seintenta descomponerla con los dos factores que aparecen originalmente, es decir a partir de

( )( )2

2

6 5 5

1 3 2

x x

x x x

− −+ − +

tomando el primer factor como lineal no repetido (caso I) y el segundo factor como cuadrático

no repetido (caso III), se llega a lo siguiente:

(9.8a)( )( )

2

22

6 5 51 3 21 3 2

x x A Bx Cx x xx x x

− − += +

+ − ++ − +

( ) ( )( )( ) ( )

2

2

3 2 1

1 3 2

A x x Bx C x

x x x

− + + + +=

+ − +

( )( )2 2

2

3 2

1 3 2

Ax Ax A Bx Bx Cx C

x x x

− + + + + +=

+ − +

Igualando numeradores:

2 2 26 5 5 3 2x x Ax Ax A Bx Bx Cx C− − = − + + + + +

( ) ( ) ( )2 26 5 5 3 2x x x A B x A B C A C− − = + + − + + + +


Demo


140

A + B = 6- 3A + B + C = - 5 2A + C = - 5

de donde

1

57

A

BC

=

== −

Sustituyendo estos valores en la igualdad (9.8a) se llega a que

( II )( ) ( )2

22

6 5 5 1 5 71 3 21 3 2

x x xx x xx x x

− − −= +

+ − ++ − +

Conviene comparar lo obtenido en ( I ) de la página anterior con ( II ). Ambas expresiones son

ciertas, con la diferencia de que mientras ( I ) está completa, ( II ) está incompleta porque éstaaún puede dividirse en la suma de otras dos fracciones. El estudiante puede comprobar que la

suma de las dos últimas fracciones de ( I ) dan por resultado a la segunda fracción de ( II ) , o seaque

2

2 3 5 71 2 3 2

xx x x x

−+ =

− − − +

Esto se debe a que el factor cuadrático x 2 - 3x + 2 del denominador de la fracción original esreductible y no se factorizó para aplicarle el procedimiento de fracciones parciales.

Demo


141

3 4 2 1 21 22 2 2 2( ) ( )

k kk

A x A A x AA x A ...ax bx c ax bx c ax bx c

−+ ++ + + ++ + + + + +

Solución: A cada factor cuadrático irreductible de la forma ax 2 + bx + c queaparezca en el denominador repetido k veces le corresponde unasuma de fracciones de la forma

CASO 4: Se tienen en el denominador factores cuadráticos irreductibles repetidos k veces.

El procedimiento para calcular las constantes es exactamente el mismo que se explicó en los cuatroejemplos correspondientes al caso I, por lo que ya en los ejemplos siguientes se omitirá la explicacióndetallada de cada paso.

Ejemplo 9: Descomponer en fracciones parciales 3

2 2

2 5( 2)

x xx+ +

+

Solución: Como el denominador significa (x 2 + 2)(x 2 + 2) se trata de un factor cuadrático repetido dosveces. Conforme a la regla del caso IV, le corresponde una suma de fracciones de la forma

(9.9)3

2 2 2 2 2

2 5( 2) 2 ( 2)

x x Ax B Cx Dx x x+ + + +

= ++ + +

Demo


142

( )( )( )

2

22

2

2

Ax B x Cx D

x

+ + + +=

+

( )3 2

22

2 2

2

Ax Ax Bx B Cx D

x

+ + + + +=

+


3 3 22 5 2 2x x Ax Ax Bx B Cx D+ + = + + + + +

( ) ( ) ( )3 3 22 5 2x x x A x B x A C D+ + = + + + +


A = 1

B = 0

2A + C = 2

D = 5

de donde

10

05

AB

CD

==

==


Demo


143

( )3

2 2 2 22

2 5 0 0 52 ( 2)2

x x x xx xx

+ + + += +

+ ++

3

2 2 2 2 2

2 5 5( 2) 2 ( 2)

x x xx x x+ +

= ++ + +



1) 2)2

3

xx x+ ( )2

4 3

1

x

x

+

−

3) 4)( ) ( )

2

2

73 5

xx x x

+− + + ( ) ( )

3

2 2

5

2 1 3

x x

x x

+

− +

5) 6)2

3 2

5 93 2

xx x

−− ( )

4 3

32

1

4

x x

x

+ +

+

7) 8)( )

3

22

5 5

7

x x

x x

+

− +

2

4 3 2

3 2 13 8

x xx x x

+ ++ +

Demo


144

INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES

Para integrales de la forma , en donde P(x) y Q(x) son polinomios, si el grado( )( )

P xdx

Q x∫

de P(x) es igual o mayor que el de Q(x) debe hacerse primero la división y luego aplicar la teoría defracciones parciales, para integrar cada fracción parcial. Si el grado de P(x) es menor que el de Q(x)debe aplicarse la teoría de fracciones parciales, para integrar cada fracción parcial.


( ) ( ) ( )

27 7 24

2 1 3 1

x x dx

x x x

− −

+ + −∫

Solución: Aplicando la teoría de las fracciones parciales al integrando:

( ) ( ) ( )27 7 24

2 1 3 1 2 1 3 1x x A B C

x x x x x x− −

= + ++ + − + + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3 1 2 1 1 2 1 3

2 1 3 1

A x x B x x C x x

x x x

+ − + + − + + +=

+ + −

( ) ( ) ( )2 2 22 3 2 2 7 3

2 1 3 1Ax Ax A Bx Bx B Cx Cx C

x x x+ − + − − + + +

=+ + −

Igualando numeradores:

2 2 2 27 7 24 2 3 2 2 7 3x x Ax Ax A Bx Bx B Cx Cx C− − = + − + − − + + +

( ) ( ) ( )2 27 7 24 2 2 2 7 3 3x x x A B C x A B C A B C− − = + + + − + + − − +

De donde se obtiene el sistema de ecuaciones:

Demo


145

2 2 7

2 7 73 3 24

A B C

A B CA B C

+ + =

− + = −− − + = −

cuyas soluciones son: A = 5

B = 3

C = - 2

sustituyendo:

( ) ( ) ( )27 7 24 5 3 2

2 1 3 1 2 1 3 1x x

x x x x x x− −

= + −+ + − + + −

y por lo tanto

( )( ) ( ) ( )

27 7 24 5 3 22 1 3 1 2 1 3 1

x x dx dx dx dxx x x x x x

− −= + −

+ + − + + −∫ ∫ ∫ ∫

recordar que debe hacerse un cambio de variable, haciendo u a los denominadores de cada

integral, de lo que se obtiene que

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

27 7 24 52 1 3 3 2 1

2 1 3 1 2

x x dxln x ln x ln x c

x x x

− −= + + + − − +

+ + −∫

Un buen ejercicio algebraico consistiría en que el estudiante verifique que el resultado anterior

es lo mismo que

Demo


146

( ) ( )

( )

3 5

2

3 2 1

1

c x xln

x

+ + −

Ejemplo 11: Integrar( )

2

22

8 5 18

4 9

x xdx

x

+ +

+∫

Solución: Como el grado del numerador (2) es menor que el grado del denominador ( 4, porque

), debe emplearse la teoría de las fracciones parciales.( )22 44 16x x=

( ) ( )2

2 222 2

8 5 184 94 9 4 9

x x Ax B Cx Dxx x

+ + + += +

++ +

( )( )

( )

2

22

4 9

4 9

Ax B x Cx D

x

+ + + +=

+

( )

3 2

22

4 4 9 9

4 9

Ax Bx Ax B Cx D

x

+ + + + +=

+

lo que implica que los numeradores deben ser iguales:

2 3 28 5 18 4 4 9 9x x Ax Bx Ax B Cx D+ + = + + + + +

( ) ( ) ( ) ( )3 24 4 9 9x A x B x A C B D= + + + + +

De donde, igualando coeficientes de las mismas potencias de x se llega al siguiente sistemade ecuaciones simultáneas:

Demo


147

4A = 04B = 8

9A + C = 59B + D = 18

De donde: A = 0

B = 2 C = 5 D = 0

entonces

( ) ( )2

2 222 2

8 5 18 2 54 94 9 4 9

x x xxx x

+ += +

++ +

Y por lo tanto

( )( ) ( )

2

2 222 2

8 5 18 2 54 94 9 4 9

x x dx dx xdxxx x

+ += +

++ +∫ ∫ ∫

( ) 222

25 4 9

4 9dx

x x dxx

−= + +

+∫ ∫

para la 1ª integral, hacer: para la 2ª integral, hacer:

u = 2x

du = 2 dx

a 2 = 9

a = 3

v = 4x 2 + 9

dv = 8x dx

Demo


148

( ) 222

2 54 9 8

4 9 8dx

x xdxx

−= + +

+∫ ∫

22 2

58

duv dv

u a−= +

+∫ ∫

2 11 58 2 1

u varctan c

a a

− + = + + − +

11 2 53 3 8 1

x varctan c

− = + + −

1 2 53 3 8

xarctan c

v= + +

−

( ) ( )2

2 22

8 5 18 1 2 53 3 8 4 94 9

x x xdx arctan c

xx

+ += − +

++∫


2

6 9 8 92 3 2

x x xdx

x x+ − −

+ −∫

Solución: Como el grado del numerador es mayor que el del denominador, debe efectuarse primero la

división:

2 3 2

3 2

3

2 3 2 6 9 8 9

6 9 62 9

x

x x x x x

x x xx

+ − + − −

− − +− −

Significa que

Demo


149

3 2

2 2

6 9 8 9 2 932 3 2 2 3 2

x x x xdx x dxx x x x+ − − − − = + + − + − ∫ ∫

2

2 932 3 2

xxdx dxx x− −= +

+ −∫ ∫

Para realizar la segunda integral debe aplicarse la teoría vista en el capítulo VI, página 59. Seaentonces

u = 2x2 + 3x -2 , de dondedu = (4x +3)dx

Multiplicando por (-2) y (-½) simultáneamente:

( )2

4 1813

2 2 3 2x

xdx dxx x

+= −

+ −∫ ∫

Luego sumando (+ 3) para obtener la diferencial du, y restándolo para que no se altere al

integral:

( )2

4 3 3 1813

2 2 3 2x dx

xdxx x

+ − += −

+ −∫ ∫

Y partiendo en dos esta última integral:

( ) ( )2 2

4 3 3 1813

2 2 3 2 2 3 2

x dxxdx dx

x x x x

+ − + = − +

+ − + − ∫ ∫ ∫

( )2 2

4 31 153

2 2 3 2 2 3 2

x dx dxxdx

x x x x

+ = − +

+ − + − ∫ ∫ ∫

Recordando que el denominador de la segunda integral se hizo u y por lo tanto el numerador

Demo


150

es du, se obtiene que

2

13 15

2 2 3 2du dx

xdxu x x

= − + + − ∫ ∫ ∫

2

1 153

2 2 2 3 2du dx

xdxu x x

= − −+ −∫ ∫ ∫

resolviendo las dos primeras integrales y dejando de momento pendiente la tercera:

2

2

3 1 152 2 2 2 3 2x dx

lnux x

= − −+ −∫

( )2

22

3 1 152 3 2

2 2 2 2 3 2x dx

ln x xx x

= − + − −+ −∫

Para resolver esta tercera integral, aún pendiente, debe aplicarse la teoría vista en el capítulo

V, página 36. De manera que como

22 3 25

2 3 2 282 2

x x x

+ − = + −

se llega a que

( )2

22

3 1 152 3 2

2 2 2 3 252

82 2

x dxln x x

x

= − + − − + −

∫

Haciendo3

22 2

u x= +

de donde 2du dx=

y además 2 258

a =

Demo


151

5 58 2 2

a = =

entonces

du

( )

{

22

2

3 1 15 1 22 3 2

2 2 2 2 3 252

82 2

x dxln x x

x

= − + − − + −

∫6748

144424443

u 2 a 2

( )2

22 2

3 1 15 12 3 2

2 2 2 2x du

ln x xu a

= − + − − − ∫

( )2

23 1 15 12 3 2

2 2 22 2x u a

ln x x ln ca u a

− = − + − − + +

( )2

2

3 52

3 1 15 1 2 2 2 22 3 23 552 2 2 2 22

2 2 2 22 2

xx

ln x x ln cx

+ −

= − + − − + + +

Demo


152

( )2

2

22

3 1 15 2 2 2 22 3 282 2 102 2 2

2 2

xx

ln x x ln cx

− = − + − − +

+

Para eliminar los denominadores “pequeños” del numerador y del denominador del argumento

del logaritmo natural, basta multiplicar numerador y denominador por para llegar2 2

finalmente a que

( )3 2 2

22

6 9 8 9 3 1 3 4 22 3 2

2 2 2 4 82 3 2x x x x x

dx ln x x ln cxx x

+ − − − = − + − − + ++ − ∫

Demo


153


Integrar:

1) 2)( )( )( )( )

4 23

2 1 2 3

xdx

x x x

− −

+ + −∫( )

( )( )( )61 1

3 2 5 2 1

xdx

x x x

−

− + +∫

3) 4)( )

( )( )( )

26 4 31

2 3 4 3 1

x xdx

x x x

− +

− + −∫( )( )2

3 1

3 1

xdx

x

+

−∫

5) 6)( )

( )

2

3

16 54 40

2 3

x xdx

x

− + −

−∫( )( )( )

2

2

8 35 9

2 1 4

x xdx

x x

− + +

− −∫

7) 8)( )

( )

2

2

2 5 1

1

x xdx

x

+ +

+∫( )

( )

2

2

3 16 20

3

x xdx

x

− +

−∫

9) 10)( )

( )( )2

2 5

1 2

xdx

x x

− +

− +∫( )

( )( )2

2

5 2

1 1

x xdx

x x

+ +

+ +∫

11) 12)( )

( )( )2

2

3 10 16

3 1

x xdx

x x x

− +

− + +∫( )

( )( )2

2

5 2

1 1

x xdx

x x

+ +

+ +∫

Demo

metodos de integracion

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