MÉTODOS DE EXTRACCIÓN DE FACTORES

Curso: Estadística Avanzada IÁmbar Oliveras FigueroaManlyn Rivera Laracuente12 de mayo de 2011

ANÁLISIS FACTORIAL

ANÁLISIS FACTORIAL

Análisis Factorial es una técnica estadística de reducción de datos.

Usada para explicar la variabilidad entre variables observadas en términos de un número menor de variables no observadas a las que vamos a llamar factores.

USOS MÁS FRECUENTES

Reducción de información Identificación de estructuras

subyacentes Creación de variables

PASOS PARA EL ANÁLISIS FACTORIAL

Calcular la matriz de correlaciones. Extracción de los factores necesarios

para representar los datos. Análisis de la matriz de cargas (pesos). Rotación de los factores. Calcular las puntuaciones factoriales de

cada individuo.

REQUISITOS

Selección de variables que formen conjuntos correlacionados.

Las variables deben estar en escala métrica.

Mínimo de 100 casos.

EXTRACCIÓN DE FACTORES POR EL MÉTODO CENTROIDE

PRECURSORES

Louis Leon Thurstone (1887-1955). Psicólogo

estadounidense. Responsable por el

modelo de medición de inteligencia que se utiliza hoy en día.

Comenzó a estudiar el análisis factorial en 1947.

PRECURSORES

Benjamin Fruchter (1914-2010) Psicólogo estadounidense. Famoso por su libro “Introducción al

análisis factorial” (1954).

DESCRIPCIÓN

El método de extracción factorial más conocido.

Suplantado por otros métodos más precisos. Método del factor principal.

PUNTO CENTROIDE

Coordenada x: la media de todas las coordenadas x de los vectores de datos.

Coordenada y: la media de todas las coordenadas y de los vectores de datos.

Si se están analizando más de dos coordenadas, se halla la media de la coordenada correspondiente.

PESO CENTROIDE

La fórmula para un peso centroide para la variable j en el factor I:

1

1 1

n

iji

jI n n

ijj i

ra

r

PESO CENTROIDE

La suma de los pesos del segundo factor y los siguientes factores centroides es cero.

Para hallar el peso del primer factor, es necesario usar la fórmula para un peso centroide.

PASOS A SEGUIR

Sumar las entradas de cada columna de la matriz de las correlaciones.

Sumar cada uno de los totales y encontrar la raíz cuadrada de este nuevo total.

Dividir el total de la primera columna entre la raíz cuadrada hallada en el paso anterior.

Dividir el total de la segunda columna entre la misma raíz cuadrada.

Si existen más de dos variables, el proceso continúa con cada columna subsiguiente.

TABLA DE RESIDUOS

Para hallar la tabla de residuos R1 usaremos la fórmula:

Donde: R es la matriz de correlaciones original A1 es el primer factor (una matriz columna) A’1 es la traspuesta de A1

1 1 1'R R A A

MATRIZ DE RESIDUOS

La tabla de residuos se expresa como una matriz de residuos.

La matriz de residuos del primer factor es simétrica.

La suma de cada fila y columna es cero. Antes de realizar los pasos para hallar el

segundo factor centroide, es necesario reflejar ciertos valores para eliminar los signos negativos.

INVERSIÓN DE VALORES

Los residuos se reflejan para hacerlos positivos.

Un factor con signos positivos es extraído. Este factor se elimina de los residuos después de que estos han sido reflejados.

Es necesario identificar las columnas y filas que hemos reflejado.

Los pesos de estas columnas tendrán también su signo invertido.

EJEMPLO

EJEMPLO:

Considere la siguiente matriz de correlaciones:Variables x y z w

x 0.65 0.5 0.16 0.17y 0.5 0.4 0.22 0.24z 0.16 0.22 0.65 0.73w 0.17 0.24 0.73 0.82

Debemos hallar los totales (t) de cada columna. Luego hallamos la sumatoria (T), y buscamos la raíz cuadrada.

Variables x y z wx 0.65 0.5 0.16 0.17y 0.5 0.4 0.22 0.24z 0.16 0.22 0.65 0.73w 0.17 0.24 0.73 0.82 T SQRT(T)t 1.48 1.36 1.76 1.96 6.56 2.56125a(1) 0.577843 0.530991 0.687165 0.765251

Con los valores de a(1) crearemos la matriz columna A, luego encontramos la transpuesta At.

Hallamos la matriz R1 usando la fórmula:

R1= R – A At

El proceso continúa: podemos notar que la suma de las columnas x, y tienen valores negativos. Es necesario comenzar el proceso de reflexión. R1

Variables x y z wx 0.315916 0.193082 -0.23709 -0.27217y 0.193082 0.118039 -0.1448 -0.16622z -0.23709 -0.1448 0.178031 0.204445w -0.27217 -0.16622 0.204445 0.234775t -0.00026 0.000109 0.000593 0.000835∑0 -0.31617 -0.11793 -0.17744 -0.23394

INVERSIÓN DE VALORESReflejar la variable xVariables x y z wx 0.315916 -0.19308 0.237086 0.27217y -0.19308 0.118039 -0.1448 -0.16622z 0.237086 -0.1448 0.178031 0.204445w 0.27217 -0.16622 0.204445 0.234775t 0.63209 -0.38606 0.474765 0.545175∑0 0.316174 -0.50409 0.296734 0.3104

La próxima variable a reflejar es la variable y, ya que su suma es negativa.

Reflejar la variable yVariables x y z wx 0.315916 0.193082 0.237086 0.27217y 0.193082 0.118039 0.144797 0.166215z 0.237086 0.144797 0.178031 0.204445w 0.27217 0.166215 0.204445 0.234775t 1.018254 0.622133 0.764359 0.877605

CÁLCULOS DEL SEGUNDO FACTOR

Variables x y z wx 0.315916 0.193082 0.237086 0.27217y 0.193082 0.118039 0.144797 0.166215z 0.237086 0.144797 0.178031 0.204445w 0.27217 0.166215 0.204445 0.234775 T SQRT(T)t 1.018254 0.622133 0.764359 0.877605 3.282351 1.811726a(2) 0.562035 0.343392 0.421895 0.484403

MATRIZ DE FACTORES

Matriz de factoresa(1) a(2)

x 0.578 0.562y 0.531 0.344z 0.687 0.422w 0.765 0.484

CÁLCULO DE LAS COMUNALIDADES

Factores Factores al cuadradoa(1) a(2) a(1)^2 a(2)^2 h2

x 0.578 0.562 0.334 0.316 0.650y 0.531 0.344 0.282 0.118 0.400z 0.687 0.422 0.472 0.178 0.650w 0.765 0.484 0.585 0.234 0.819

Otros métodos

MÉTODO DE FACTOR PRINCIPAL

MÉTODO DE FACTOR PRINCIPAL Este método supone que existe un factor

común subyacente a las variables y requiere mayor cálculo que el explicado anteriormente pero extrae la máxima varianza con cada factor sucesivo.

Este es el más usado recientemente ya que requiere el uso de software especializado.

Para este método es necesario estimar las comunalidades. La solución depende de la correcta estimación de las mismas.

MÉTODO DE FACTOR PRINCIPAL

La idea de este método es buscar factores que expliquen la mayor parte de la varianza común.

La varianza común es la parte de la variación de la variable que es compartida con las otras variables.

La especificidad es la parte de la variación que es propia de la variable.

TEOREMA

Matriz simétrica puede ser diagonalizada de la siguiente manera. B x R x B’ = D R: matriz simétrica B: matriz ortogonal B’: transpuesta de B D: matriz diagonal

TEOREMA (CONT)

Por lo tanto B x B’ = B’ x B = I (haciendo que B’ sea la inversa de B por definición)

Usando este dato expuesto y luego de unas operaciones se puede llegar a la siguiente conclusión:

R = B’ x D x B

Si es una matriz diagonal, cuyos elementos diagonales son las raíces cuadradas de los elementos correspondientes en las diagonales de la matriz diagonal D, entonces:

Por lo tanto se llega a:

El primer paréntesis es una matriz factorial A y el segundo es la transpuesta de A

D D D

'

( ' )( ) '

R B D D B

B D D B A A

D

PASOS PARA PRODUCIR EL FACTOR PRINCIPAL

Construir la matriz de correlaciones n x n, con los valores apropiados seleccionados para las casillas diagonales como estimaciones de las comunidades. Esta matriz la vamos a llamar R.

Buscar la matriz ortogonal B (n x n) de manera que cuando R es premultiplicada por B y post multiplicada por B’, el resultado es la matriz diagonal D con elementos diagonales

1 2, ,..., n

Multiplicar cada elemento de la columna 1 de B’ por , cada elemento de la columna 2 de B’ por y así sucesivamente.

La matriz que se obtiene en el paso 3 es una matriz factorial A. La suma de los cuadrados de la columna 1 de A es igual a

y los de la segunda a

y así sucesivamente.

12

1

2

VARIANZA POR EL FACTOR I

La varianza extraída por el factor i es

La suma de los valores será la varianza total extraída.

1

in

ii

i

EL MÉTODO DE JACOBI

CARL GUSTAV JAKOB JACOBI  ( 10 de diciembre de 1804 -18 de

febrero de 1851) Matemático alemán. Autor muy prolífico, contribuyó

en varios campos de la matemática, principalmente en el área de las funciones elípticas, el álgebra, la teoría de números y las ecuaciones diferenciales.

Destacó en su labor pedagógica, por la que se le ha considerado el profesor más estimulante de su tiempo.

EL MÉTODO DE JACOBI El comienzo de este método lo es obtener

una matriz B1 de manera que: B1 R B1’ = D1

B1: matriz ortogonal con números distintos de 0 en bii, bij, bji y bjj y también en otras casillas diagonales. Con excepción de bii y bjj las casillas diagonales tienen valor de 1. La matriz D1 tendrá 0 en bij y bji. El valor rij es el mayor elemento no diagonal de la matriz.

EL MÉTODO DE JACOBI

Poner el valor de 1 en todas la casillas de la diagonal de Bi excepto en bii y bjj

Calcular

Determinar los siguientes elementos de Bi:

Los otros elementos no diagonales de Bi son iguales a 0.

2 2

2tan(2 ) ij

i j

r

h h

cos ; sin ; sinij ij ij ij ijb b

OTROS MÉTODOS

OTROS MÉTODOS

Mínimos cuadrados no ponderados Mínimos cuadrados generalizados Factorización por imágenes Método Alfa

COMPARACIÓN ENTRE LOS MÉTODOS Cuando las comunalidades son altas (mayores

que 0.6) todos los procedimientos tienen la misma solución.

Cuando las comunalidades son bajas para algunas variables, el método de componentes principales tiende a dar diferente al resto de los otros, con cargas factoriales mayores.

Si el número de variables es muy alto (mayor de 30) las estimaciones de la comunalidad tienen menos influencia en la solución obtenida.

Si el número de variables es bajo todo depende del método que se utilice para estimar las comunalidades.

SPSS COMO HERRAMIENTA

Una de las herramientas utilizadas hoy día para hacer este tipo de cálculos lo es el programa de IBM (SPSS).

Hacer una extracción factorial y otros cálculos antes mencionados en clase resultan ser muy fáciles si se conoce como trabajar con el programa.

EJEMPLO SPSS

Considerar la siguiente matriz de correlaciones:

Ver corrida en el programa…

EJEMPLO SPSS

REFERENCIAS

Comrey, Andrew. Manual de Análisis Factorial. Capítulos 3 y 4. 1985

Black, Ken. Business Statistics. Southwestern College Printing. 2001. Ohio

Newmark, Joseph. Statistics and Probability in Modern Life. (6th Edition) Hardcore. New York 1997.