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METODOLOGIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA

Números e Operações

METODOLOGIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA

Números e Operações

2010

FORMAÇÃO DE PROFESSORES PARA O ENSINO PRIMÁRIO

REPÚBLICA DE ANGOLAMINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

Índice

1. Introdução, 72. Tarefa 1: Contar usando as mãos, 9

3. Tarefa 2: Adição, 174. Tarefa 3: Subtracção, 23

5. Tarefa 4: Cadeias numéricas de adição e de subtracção, 316. Tarefa 5: Multiplicação, 37

7. Tarefa 6: Construir as tabuadas, 478. Tarefa 7: Divisão, 53

9. Tarefa 8: Cadeias numéricas de multiplicação e de divisão, 5910. Construir os algoritmos com compreensão, 65

Equipa da ESE de Setúbal (Portugal)Fátima MendesJoana Brocardo

Equipa do MP Benguela (Angola)

Criação e DesignJL Andrade

www.jlandrade.com

ESCOLA SUPERIOR DE EDUCAÇÃO DOINSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL

MAGISTÉRIO PRIMÁRIO DE BENGUELA

O presente módulo tem como tema central Números e as Operações, incluído num conjunto de temáticas a desenvolver na disciplina de Metodologia do En-sino da Matemática, que integra o currículo do curso de Professores do Ensino Primário da Escola do Magistério Primário de Benguela (EMPB). Os seus destina-tários principais são os professores de Matemática e de Metodologia do Ensino da Matemática deste curso e o seu propósito é a disponibilização de um conjun-to de tarefas de âmbito científico e metodológico, relacionadas com a temática dos Números e Operações.

As tarefas aqui apresentadas têm um aprofundamento a dois níveis. Por um lado, pretendem ser tarefas de formação, através das quais o estudante do Mag-istério Primário possa aprofundar o seu conhecimento científico e metodológico relacionado com as temáticas em questão. Por outro lado, aborda a exploração das mesmas tarefas ou a sua adequação, na sala de aula do Ensino Primário (EP), de modo que o futuro professor seja capaz de promover o desenvolvimento da competência matemática dos seus alunos.

As tarefas seleccionadas e aqui incluídas pretendem ser exemplos que visam contribuir para uma melhoria do conhecimento profissional dos formadores e futuros professores do Ensino Primário, em particular, do seu conhecimento matemático e didáctico e centram-se em conteúdos pertinentes do currículo do Ensino Primário, no que diz respeito à temática dos Números e Operações.

INTRODUÇÃO

1

8 • PROjECTO DE FORMAÇÃO DE FORMADORES DE PROFESSORES PARA O ENSINO PRIMáRIO EM ANGOLA

SOBRE O TEMA NÚMEROS E OPERAÇÕES

A aprendizagem dos Números e Operações está frequentemente associada ao conhecimento elementar sobre os números e sobre os algoritmos das várias operações aritméticas. No entanto, hoje em dia é consensual que os alunos de-vem desenvolver uma compreensão global sobre os números e as operações, que ultrapassa o conhecimento básico associado aos números e aos algoritmos. Esta compreensão global, que muitos autores referem como o sentido de núme-ro, deve ser desenvolvida ao longo de toda a escola primária e inclui aspectos diversificados relacionados com um conhecimento profundo sobre os números e as operações.

Segundo o modelo apresentado por McIntosh et al. (1992), o sentido de número inclui os seguintes aspectos1:

• o conhecimento e a destreza com os números;

• o conhecimento e a destreza com as operações;

• a aplicação do conhecimento e da destreza com os números e as opera-ções em situações de cálculo.

Mais especificamente, o conhecimento e a destreza com os números inclui o sentido da regularidade dos números, as múltiplas representações dos números, o sentido da grandeza relativa e absoluta dos números e ainda o uso de siste-mas de referência que permitem avaliar uma resposta ou arredondar um número para facilitar o cálculo. O conhecimento e a destreza com as operações inclui a compreensão do efeito das operações, das suas propriedades e das relações en-tre elas. Finalmente, a aplicação do conhecimento e da destreza com os números e as operações em situações de cálculo inclui a compreensão para relacionar o contexto e os cálculos, a consciencialização da existência de múltiplas estraté-gias, a apetência para usar representações eficazes e a sensibilidade para rever os dados e o resultado.

O desenvolvimento do sentido de número é um processo longo e complexo, que deve ser ancorado em experiências significativas dos alunos, partindo de contextos reais e próximos destes, de modo a permitir o aprofundamento das suas múltiplas componentes.

Neste módulo seleccionámos tarefas diversificadas e exemplificativas, que pretendem contribuir para o desenvolvimento do sentido de número, nas suas diversas vertentes, tanto ao nível dos futuros professores como dos alunos do Ensino Primário.

1 Adaptado de For the Learning of Mathematics, 12(3), 2-8 e 44.

TAREFA 1: CONTAR USANDO AS MÃOS1

1 Adaptado de Brocardo, Delgado e Mendes (2010). Números e Operações: 1.º ano. Lisboa: Minis-tério da Educação, DGIDC-ME.

2

1- Quantas unhas pintadas há em cada imagem?

Imagem A Imagem B

Imagem C Imagem D

10 • PROjECTO DE FORMAÇÃO DE FORMADORES DE PROFESSORES PARA O ENSINO PRIMáRIO EM ANGOLA METODOLOGIA DO ENSINO DA MATEMáTICA | NÚMEROS E OPERAÇõES • 11

Imagem E

2- Quantos dedos mostra o professor?

A EXPLORAÇÃO DA TAREFA COM OS ALUNOS DA EMPB

Exploração matemática e metodológica

No trabalho a realizar com futuros professores do ensino primário, estes de-vem ser despertos para uma reflexão em torno do uso de materiais manipuláveis. Um factor a ter em conta, quando se selecciona um determinado material, é o seu acesso ou a sua construção. Ultrapassado este aspecto de ordem prática, ex-iste um outro de natureza conceptual, que designamos por intencionalidade, e que, para além da função de concretização, encerra ainda o apoio na construção das estruturas matemáticas que queremos que as crianças desenvolvam.

As mãos constituem um material de contagem de que todos dispomos natu-ralmente e, por isso, cumprem facilmente o critério de fácil acesso. A intencio-nalidade prende-se com o modo como o professor usa o material para ajudar a progressão matemática dos alunos e que, no caso das ‘mãos’, se resume em duas ideias: (i) este ‘material’ não deve ser usado mostrando os dedos 1 a 1, à medida que se vai contando e (ii) deve suportar-se toda a actividade a desenvolver no uso da base 5 (os dedos de uma mão) e da base 10 (os dedos de duas mãos).

O aspecto (i) tem subjacente que é importante apoiar a progressão ao nível da contagem, não fomentando apenas a contagem 1 a 1. É essencial, sobretudo nas aprendizagens iniciais, que os alunos realizem numerosas contagens crescentes e decrescentes, seguindo a sequência numérica 1 a 1. No entanto, é igualmente importante apoiar a progressão ao nível da contagem, facilitando a percepção imediata de um pequeno número de objectos (subitizing) e a contagem por gru-pos com cardinal superior a 1.

O aspecto (ii) vinca a importância da construção progressiva da noção de sistema de numeração decimal que, numa fase de aprendizagens iniciais, passa por privilegiar o uso da base 5. Por exemplo, ao longo da exploração desta tarefa, importa que se comece a ‘ver’ 6 dedos como 5+1 e 9 como 10-1 ou 5+4.

Subjacente à exploração desta tarefa está ainda a ideia da estreita relação entre a contagem e a estruturação inicial da adição e da subtracção, uma vez que se adiciona e se subtrai contando.

Na primeira questão da tarefa, o professor, depois de solicitar a indicação do número de unhas pintadas, pode pedir para ordenar as imagens de acordo com o ‘processo’ de pintar as unhas: como ordenar as imagens se cada uma repre-sentar as mãos de uma pessoa enquanto vai pintando as unhas? Deste modo, para além de se trabalhar o desenvolvimento da capacidade de subitizing, foca-se também o aspecto ordinal e cardinal dos números: a primeira imagem tem 3 unhas pintadas, a segunda tem 4 ou seja 3 mais 1, a terceira tem 5, ou seja, mais 1 que a anterior, …, etc.

A segunda questão da tarefa diz respeito a uma espécie de jogo proposto pelo professor, que este vai jogando com diferentes alunos. Começa com as mãos atrás das costas e mostra-as, abrindo-as, de modo a apresentar vários dedos ao mesmo tempo. A criança com quem está a jogar deve indicar o número de dedos que o professor mostrou, respondendo o mais rapidamente possível. Este jogo deve ser realizado ao longo de vários dias, usando não mais de 10 minutos de cada vez e solicitando sempre às crianças que expliquem o modo como ‘viram’ o número de dedos mostrados. Desta maneira, pode ir trabalhando uma decom-posição progressiva dos números que assente nas bases 5 e 10.

Aspectos orientadores para a formação

De modo a aprofundar as potencialidades desta tarefa é importante que os futuros professores organizem um conjunto de aspectos a ter em conta ao propô-la. Estes constituem o foco da reflexão dos estudantes e da partilha de ideias com o professor da EMPB, após uma primeira análise da tarefa.

Na questão 1 os estudantes devem perceber as diferentes formas de contar que podem ser usadas:

• há crianças que contam 1 a 1 apontando as unhas pintadas – 1, 2, 3, 4, tem 4 unhas pintadas; 1, 2, 3, 4, 5, 6, tem 6 unhas pintadas; etc;

• outras crianças conseguem, a partir de uma observação rápida de cada figura, indicar rapidamente o número de unhas pintadas (e também o número de unhas por pintar), ou seja, já desenvolveram a capacidade de subitizing.

Para além disto, devem igualmente reflectir sobre modos de facilitar a pro-gressão das crianças que baseiam sistematicamente as suas respostas na con-


tagem 1 a 1. No sentido de apoiar esta reflexão, o professor da EMPB pode usar episódios como os seguintes.

Episódio A

Cátia: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Há 7 unhas pintadas. Há 3 por pintar.

Professora: Como sabes que ficam três por pintar?

Cátia: Olhei e vi.

Episódio B

Miguel: Há 4 unhas pintadas … e 6 sem nada.

Professor: Consegues explicar como pensaste?

Miguel: 5 menos 1 é 4.

Professor: Mas onde é que vês o 5 menos 1?

Miguel: Olho para a primeira mão. Tenho 5 dedos e tiro o que não está pintado.

Professor: Sim. E depois?

Miguel: Esse dedo junto aos dedos da outra mão e ficam 6 não pintados.

Episódio C

António: Há 9 dedos pintados e falta pintar 1.

Professor: Sim. Podes explicar aos teus colegas como pensaste?

António: Eu sei que 5 mais 5 são 10. Está 1 por pintar, então ficam 9 pintadas.

A análise destes episódios deve realçar, por exemplo, que a Cátia (episódio 1) parece conseguir fazer o subitizing de quantidades pequenas (neste caso de 3) mas que não consegue ter a percepção global de 7 dedos pintados, uma vez que não precisa de os contar 1 a 1. Miguel (episódio 2) consegue raciocinar decom-

pondo os números a partir do referencial 5 (número de dedos de uma mão) e António (episódio 3) consegue raciocinar usando como referencial o 10 (número de dedos das duas mãos).

A análise destes episódios deverá ser concluída com a enumeração de pos-síveis estratégias que podem apoiar as aprendizagens dos alunos, focando, por exemplo, o olhar em Cátia e imaginando o que poderá o professor fazer para que ela seja capaz de pensar como António.

Os estudantes devem, igualmente, reflectir sobre a ordenação das imagens, aspecto incluído na questão 1. Para isso, poderão analisar os dois episódios se-guintes, notando, nomeadamente, que a Rita ainda tem necessidade de pensar a partir da sua acção concreta (pintar as suas unhas) parecendo, por isso, ter ainda dificuldade em pensar a partir de representações mais abstractas como as das imagens apresentadas. Este aspecto não parece revestir-se de qualquer dificul-dade para João que ordena a partir da contagem 1 a 1, parecendo não o conse-guir fazer na sua forma mais abstracta, ou seja, a partir da comparação mental do número de unhas pintado em cada imagem.

Episódio D

Rita: Eu olhei para as minhas mãos e fingi com o marcador que pintava as unhas.

Professor(a): Podes mostrar como fizeste?

Rita: Comecei a pintar esta [mão esquerda]. A primeira era esta [aponta a imagem com 3 unhas pintadas], depois era esta [aponta a imagem com 4 unhas pintadas]

Episódio E

João: Dedos pintados numa mão há em três imagens. Contei 3, 4, 5 e vi que era primeiro esta e [aponta a imagem com 3 unhas pintadas]. Depois era esta [aponta a imagem com 4 unhas pintadas. A primeira imagem era esta [aponta a imagem com 3 unhas pintadas], depois era esta [aponta a imagem com 4 unhas pintadas] e depois esta [aponta a imagem com 5 unhas pintadas]. Depois vi com a outra mão.

Professor(a): Sim. E como fizeste?

João: Contei e vi se havia o número.


Professor(a): Podes explicar melhor?

João: Então contei 6, 7, 8 e 9 e vi que o 6 não havia. Depois o 7 havia, 8 não e 9 havia.

Ao analisar a questão 2 os estudantes devem perceber que não é indiferente o número de dedos que se mostram e que, de modo a cumprir os objectivos da tarefa, devem organizar um conjunto de questões que tenham em conta três fases sequenciais: (i) Saber adicionar e subtrair tendo como referencial o 5 e partindo da ideia de que em cada mão temos 5 dedos; (ii) Saber adicionar e subtrair tendo como referencial o 10 e partindo da ideia de que no conjunto das duas mãos temos 10 dedos; (iii) Saber adicionar e subtrair até 10 usando o 5 e o 10 como estrutura.

Para além disso, em cada sequência, é importante pensar cuidadosamente na ordenação das questões a propor e que passa por vincar, em primeiro lugar, o grupo 5 (na fase 1), o grupo 10 (na fase 2) e os grupos 10 e 5 em simultâneo (na fase 3). De modo a apoiar os alunos da EMPB nesta reflexão, o professor pode exemplificar uma sequência de questões, como a seguinte que diz respeito à fase 1, usando uma só mão:

• Quantos dedos estou a mostrar? (mostrando a mão aberta)

• E quantos vêem agora? Como pensaram? (mostrando 4 dedos, o polegar dobrado)

• E agora? E quantos estão escondidos? Como pensaram? (mostrando três dedos, o polegar e o indicador dobrados)

• Mostrem-me 2 dedos. Mostrem-me 5 dedos. E como é que me conseg-uem mostrar 3 dedos?

Da EMP à sala de aula do Ensino Primário

Esta tarefa pode ser proposta no início da 1.ª classe. Para apresentar a questão 1, o professor poderá fotocopiar as imagens, preparar um cartaz com elas ou desenhá-las no quadro.

Tendo em conta que, nesta fase do ano, os alunos ainda não sabem escrever, a exploração da pergunta 1 deve ser feita oralmente. No entanto, antes da apre-sentação e justificação das respostas, as crianças devem ter tempo para pensar

individualmente. Quando determinam a resposta, levantam o dedo no ar, aguar-dando que o professor inicie a discussão com toda a turma.

Nas intervenções do professor é fundamental que ele insista para que cada aluno explique como pensou e que consiga que sejam explicitados diferentes processos de resolução. De facto, é percebendo que há colegas que conseguem, por exemplo, “olhar e ver” (subitizing) que as crianças que contam 1 a 1, o con-seguem deixar progressivamente de fazer. Depois da exploração oral, o profes-sor pode introduzir também a representação escrita do número de unhas pinta-das e por pintar.

A ordenação das imagens (questão 1), pode ser o ponto de partida para a exploração de questões adicionais como as seguintes, que podem ajudar as cri-anças que tiveram mais dificuldades na ordenação, a perceber melhor:

• Como poderia ser uma imagem que ficasse entre a imagem A (4 unhas pintadas) e a imagem B (7 unhas pintadas)?

• E entre a A (4 unhas pintadas) e a E (9 unhas pintadas)?

Quando o professor organiza o jogo relacionado com a questão 2, pode tam-bém registar por escrito as expressões associadas a alguns dos ‘jogos’. No en-tanto, é importante não quebrar a dinâmica de acção que esta fase deve suscitar. Por isso, deve haver dias em que a exploração do jogo é apenas oral, e outros em que se regista a representação escrita dos cálculos efectuados no quadro.


TAREFA 2: ADIÇÃO

3

1- O Justino tem 38 berlindes e o André tem 23 berlindes. Quantos berlindes têm os dois juntos?

2- No cinema já estavam 25 pessoas e entraram atrasadas mais 27. Quantas pessoas ficaram dentro do cinema?



No trabalho a realizar com futuros professores do EP, estes devem ser desper-tos para a diversidade de situações da vida real que, em termos matemáticos, são traduzidas pela operação adição. É fundamental discutir que a operação adição é diferente do algoritmo da adição. Este é apenas um processo rápido e eficaz para determinar o resultado da operação, a par de outros, tais como o cálculo men-tal ou o cálculo utilizando uma calculadora. A operação adição é uma relação binária, pois a cada par de números, as parcelas, (nos primeiros anos são apenas números naturais incluindo o 0) faz corresponder, através da adição, um terceiro, designado por soma ou total.


A tarefa proposta inclui dois problemas de adição. A ideia é dar aos futuros professores exemplos de problemas relacionados com esta operação aritmética e aos quais estão associados dois sentidos/significados diferentes, de modo que, posteriormente, na sala de aula do EP, também os alunos possam ser confronta-dos com situações que apelem aos diferentes sentidos desta operação. Os sen-tidos mais usuais relacionados com a adição são denominados por juntar ou combinar e acrescentar.

O problema 1 da tarefa proposta é um exemplo de uma situação de juntar ou combinar, uma vez que se parte de dois conjuntos de berlindes que, através da reunião, se transformam em um só conjunto, que tem um número total de berlindes igual a 38+23.

O problema 2 da tarefa é um exemplo de uma situação de adição que apela ao sentido de acrescentar. De facto, parte-se de um conjunto de pessoas, ao qual é acrescentado um outro número de pessoas, alterando o número de elementos do conjunto inicial.

Os problemas de adição com diferentes sentidos devem surgir inseridos em contextos relacionados com a experiência e a vivência dos alunos do EP, de modo que estes atribuam um verdadeiro significado à operação adição e consigam uti-lizar processos informais de resolução dos mesmos, a partir dos quais possam evoluir para o uso de procedimentos cada vez mais sofisticados e formais.


Para além da identificação dos sentidos da adição associados a cada uma das situações propostas nesta tarefa, é ainda fundamental que os futuros professo-res identifiquem estratégias diferentes que os alunos do Ensino Primário podem utilizar na sua resolução. De facto, as estratégias usadas pelos alunos também podem ser muito variadas, tendo em conta diferentes modos de pensar e os con-hecimentos que sejam mobilizados na sua resolução.

Em situação de formação deve, assim, ser dado algum tempo aos estudantes da EMP para que estes imaginem e registem possíveis estratégias de resolução dos alunos do EP. Para cada uma delas é fundamental que identifiquem os con-hecimentos matemáticos que lhe estão associados, associados tanto à estrutura do nosso sistema decimal como às propriedades dos números e das operações. Nesta altura é muito importante realçar que nem sempre o algoritmo é a melhor forma, no sentido de mais rápida e eficaz, para resolver um problema de adição.

Passamos a identificar algumas das resoluções possíveis do primeiro prob-lema, relacionando-as com os conhecimentos matemáticos associados.

Estratégias que os alunos podem usar para calcular 38+23:

• Simulação dos dois conjuntos de berlindes usando, por exemplo, peque-nas pedras ou mesmo berlindes, os quais reúnem num único conjunto, contando depois os berlindes, um a um, para encontrar o número total. Contudo, conside-rando a grandeza do número de berlindes que se obtém, esta estratégia é pouco eficiente e poderá conduzir, facilmente, a enganos na contagem.

• Usar a recta numérica ‘vazia’ como suporte do cálculo a efectuar, partindo do número 38. Começar por adicionar 2, para chegar até à dezena mais próxima. A partir daí, adicionam-se 10 mais 10 e, finalmente, mais 1 até perfazer 61. Esta es-tratégia implica um trabalho anterior baseado na recta numérica e incidindo nas múltiplas decomposições dos números, de acordo com a que é mais adequada em cada cálculo. Neste caso, o número 23 é decomposto em em 23=2+10+10+1. A representação deste cálculo numa recta numérica é semelhante à que apre-sentamos em seguida.

Um procedimento semelhante ao anterior, mas mais rápido, é adicionar de uma vez só 20 ao 40.

Pode ainda ser usado cálculo horizontal equivalente ao representado na recta numérica, adicionando 10 duas vezes ou 20 de uma só vez, tal como se apresenta em seguida.

38+2=40 40+10=50 50+10=60 60+1=61

Ou 38+2=40 40+20=60 60+1=61

• Usar a recta numérica ‘vazia’ como suporte do cálculo a efectuar, partin-


do do número 38. Começar por adicionar ao número 38 múltiplos de 10, neste caso, duas vezes o 10 ou o 20 e só depois adicionar as unidades que faltam para perfazer 23. Esta é uma outra estratégia de cálculo mental muito eficaz, denomi-nada por saltar de 10 em 10. Deve ser desenvolvida com os futuros professores, de modo que compreendam a sua eficácia e utilidade sobretudo quando se cal-cula com números cada vez maiores. Implica, tal como a estratégia anterior, um conhecimento profundo sobre os números e as suas decomposições.

Pode, ainda, ser usado cálculo horizontal equivalente ao representado na recta numérica.

38+10=48 48+10=58 58+2=60 60+1=61

Ou 38+20=58 58+2=60 60+1=61

• Uma outra estratégia pode ser pensar em 40 (em vez de 38 pensa-se em 38+2) e adicionar 21 (em vez de 23 adiciona-se 23−2), ou seja, começa-se por usar um número com o qual é mais fácil calcular, não alterando o resultado da opera-ção, uma vez que se compensa a adição de 2 com a subtracção de 2. Em termos matemáticos, estamos a usar as seguintes igualdades numéricas: 38+23=40+21 porque 38+23=(38+2)+(23−2) =40+21=61.

• Decompor as parcelas em dezenas e unidades e adicioná-las separada-mente: 30+20=50 e 8+3=11

• Usar o algoritmo tradicional da adição

É de realçar que algumas das estratégias que podem ser utilizadas, neste e em outros casos de adição, são bastante mais potentes do que o uso do algoritmo tradicional da adição. De facto, considerando os números envolvidos e o conhe-cimento por parte dos estudantes da EMP das relações entre as operações e das suas propriedades, estes devem ser incentivados a utilizar procedimentos efica-

zes que potencializem esse conhecimento e que sejam adequados aos números envolvidos nos cálculos. O mesmo tipo de estratégias podem ser usadas com números cada vez maiores, realçando a sua eficácia quando comparadas, por exemplo, com o algoritmo tradicional.


No caso de esta tarefa ou de outras semelhantes serem propostas aos alunos do Ensino Primário, elas têm dois propósitos. Por um lado, um dos seus objecti-vos é colocar os alunos deste nível de ensino perante contextos diversificados que apelem aos diferentes sentidos da operação adição. Por outro lado, os alu-nos devem resolver problemas de adição usando estratégias diversificadas, de modo a compreender diferentes modos de resolução de um mesmo problema, comparar as estratégias de cada um com as dos colegas e identificar as mais efi-cazes e adequadas aos números envolvidos no cálculo.

Esta tarefa, tal como é apresentada e considerando os números utilizados, pode ser trabalhada com alunos da 1.ª classe, a partir do meio do 2.º período, quando já houve todo um trabalho desenvolvido ao nível da sala de aula relacio-nado com as primeiras aprendizagens numéricas. No entanto, problemas relacio-nados com a operação adição, envolvendo os seus diferentes sentidos e recor-rendo a números cada vez maiores, devem ser propostos aos alunos ao longo de todo o EP, de modo a promover o uso de estratégias de cálculo flexíveis e adequadas aos números envolvidos.

Quando lhes é proposto um problema, os alunos devem tentar resolvê-lo, registando no seu caderno o que considerem pertinente para a sua resolução. Num segundo momento, o professor deve identificar a diversidade de estraté-gias utilizadas e seleccionar as que considera importante serem discutidas. De-pois solicita a alguns alunos que explicitem e justifiquem aos colegas o seu modo de pensar.

Aqui a intervenção do professor é fundamental, deve ser ele a seleccionar os alunos que irão explicar aos colegas como resolveram a tarefa. Esta escolha deve ser cuidadosa, identificando a ordem das várias apresentações, por exemplo, da estratégia mais informal e mais morosa para a estratégia mais eficaz. Para além deste aspecto, a selecção dos alunos deve também ter em conta a não repetição de estratégias nas apresentações realizadas.

Assim, em cada apresentação, partilha e reflexão sobre as diferentes estraté-gias de resolução, os alunos terão consciência da multiplicidade de estratégias


TAREFA 3: SUBTRACÇÃO

4

1- O Justino perdeu 3 dos 15 berlindes que tinha. Com quantos ficou?

2- O Justino tem 12 berlindes e o Zé tem 19. Quantos berlindes tem o Zé a mais do que o Justino?

3- O Zé gostava muito de ter uma colecção com 25 berlindes. Quantos berlindes lhe faltam?



No trabalho a realizar com futuros professores do Ensino Primário, estes de-vem ser despertos para a diversidade de situações da vida real que, em termos matemáticos, são traduzidas pela operação subtracção. É fundamental discutir que a operação subtracção é diferente do algoritmo da subtracção e que esta está intimamente ligada à adição: a subtracção é a operação inversa da adição e, por isso, é possível resolver os problemas de subtracção recorrendo à adição.

A tarefa proposta inclui três problemas de subtracção, pois pretende-se ex-emplificar os sentidos diferentes que esta operação pode ter. Relativamente a este aspecto, os futuros professores necessitam de perceber que os sentidos das

que poderão ser utilizadas para resolver o mesmo problema, terão contacto com estratégias diferentes das suas, e poderão perceber quais são mais eficazes, o que pode facilitar e permitir a sua evolução na aprendizagem.


na forma C + ___ = D. Naturalmente que isto não quer dizer que, obrigatoria-mente, se subtraia nas situações de retirar e se adicione nas situações de comple-tar e de comparar. Quer apenas dizer que é provável que isso aconteça quando os alunos procuram dar significado ao contexto e tentam encontrar soluções a partir do entendimento que dele têm.

É, também, importante que os futuros professores percebam que os contex-tos dos problemas, para além de estarem relacionados com a experiência e a vivência dos alunos, de modo que estes lhes possam atribuir significado, podem revestir-se de diferentes níveis de complexidade. Se analisarmos o enunciado do problema 1 poderemos perceber que ele é um pouco mais complexo do que um do tipo “O Justino tinha 15 berlindes e perdeu 3. Com quantos berlindes ficou?” ou “O Justino tinha 15 berlindes e deu 3 a um seu amigo. Com quantos berlindes ficou?”.

Finalmente, é importante que os estudantes, futuros professores, analisem a ordem de grandeza dos números usados e a possibilidade de estabelecer rela-ções suportadas nos valores escolhidos. Numa fase inicial da aprendizagem só deverão ser usados números até 10, depois até 20, depois até 50, etc. Também, sobretudo numa fase de estruturação do sistema decimal e de trabalho com os números até 100, é fundamental escolher cuidadosamente os valores a usar. Nos problemas anteriores escolheram-se valores ‘próximos’ das dezenas (12 e 19) e um valor de referência associado à estruturação com base no 5 (o número 15). Uma situação mais fácil seria, por exemplo, a de ter optado por 5 (número de berlindes que o Justino perdeu) e por 20 (número de berlindes que o Zé tinha).


Para além dos aspectos referidos no ponto anterior – conhecimento sólido dos vários sentidos da operação subtracção, distinguir algoritmo de operação, grau de dificuldade do contexto de cada problema e análise e escolha crítica dos valores numéricos neles incluídos – os futuros professores devem ser capazes de inventariar possíveis soluções dos alunos e apoiar de modo adequado o uso de materiais.

Nesta tarefa incluem-se vários exemplos que recorrem ao uso de um material com bastantes potencialidades para apoiar a estruturação do sistema decimal e desenvolver o cálculo mental – o colar de contas. Este material, quando or-ganizado com contas de duas cores, dispostas de 5 em 5, destina-se a apoiar o desenvolvimento dos cálculos até 20:

operações estão ligados aos contextos usados e que, no caso da subtracção, se distinguem habitualmente três sentidos diferentes: retirar, comparar e comple-tar.

O problema 1 da tarefa proposta é um exemplo de uma situação de retirar, uma vez que se parte de um conjunto de berlindes – 15 – a que se retiram 3. Ao todo 15 retiram-se 3, o que se pode representar esquematicamente da seguinte forma:

O problema 2 é um exemplo de uma situação de comparar, pois compara-se o número de berlindes que cada criança tem:

O problema 3 é um exemplo de completar uma vez que se pensa num total e se tem uma parte dele. Pretende-se determinar a parte que falta para conseguir completar o total dado inicialmente. Esquematicamente pode representar-se esta situação da seguinte forma:

Os futuros professores devem ainda perceber dois aspectos importantes. Um primeiro tem a ver com os contextos usados para formular os problemas. São eles que ‘determinam’ o sentido da operação (nos cálculos sem contexto do tipo 65 – 12 = __ não se pode falar de sentido da operação).

Um segundo, tem a ver com o ‘apelo’ ao tipo de cálculo a usar: um contexto de retirar faz apelo ao uso da subtracção, pois traduz-se na forma A – B = ?; um contexto de completar ou de igualar faz apelo à adição, pois ambos se traduzem


Quando se prolonga o trabalho com os números até 100, usa-se geralmente um colar também com duas cores, mas dispostas de 10 em 10:

Em situação de formação deve ser dado algum tempo aos estudantes da EMP para que estes imaginem e registem possíveis estratégias de resolução dos alunos do EP. Neste caso, como se pretende realçar o uso do colar de contas, focamos sobretudo modos de o usar, explicitando os conhecimentos matemáti-cos associados ao uso de cada estratégia e o modo como ela é representada no manuseamento do fio de contas, no caso dos problemas 1 e 2.

Possível resolução do problema 1:

Identificar que 15 = 5 +5 + 5 ou 15 = 10 + 5 e pegar na conta em que se atinge 15.

Identificar que tem de retirar 3

Identificar que ficou com 12 contas.

Possíveis resoluções do problema 2

Identificar que 12 = 10 + 2 e lo-calizar 12 no fio de contas

Identificar que 19 é 20 – 1 e localizá-lo no fio de contas

Saltar de 12 até 19, contando o número de con-tas usadas para saltar – 7

Os futuros professores devem ainda perceber que quando se trabalha com valores numéricos como os dos problemas incluídos na tarefa 3, se devem privi-legiar, tal como se exemplificou anteriormente, as estratégias de cálculo mental. Nestas situações o algoritmo, para além de não necessário, impede o pensar nos números envolvidos e nas relações numéricas que se podem estabelecer e usar.


Considerando os números envolvidos nesta tarefa, ela poderia ser trabalhada com alunos da 1.ª classe, a partir do 2.º período, quando já houve todo um trab-alho desenvolvido ao nível da sala de aula relacionado com as primeiras apren-dizagens numéricas.

Na preparação da exploração desta tarefa na aula da 1.ª classe, o futuro pro-fessor deverá planear cuidadosamente diversos aspectos. Um primeiro, diz res-peito ao planear a apresentação de cada problema. Como os alunos estão ainda numa fase inicial de aprendizagem da leitura será adequado pensar que deverá ser ele a apresentar cada problema oralmente, um de cada vez. Pode ser interes-sante escolher dois alunos que desempenhem o papel das crianças referidas nos problemas. Para isso, o futuro professor deve ensaiar com as crianças escolhidas o seu papel, tal como se resume a seguir:


Problema 1

Justino - Perdi 3 dos 15 berlindes que tinha.

Problema 2

Justino – Tenho 12 berlindes.

Zé – Tenho 19 berlindes

Professor – Quem tem mais? Quantos berlindes tem a mais?

Problema 3

Justino – Tenho 19 berlindes mas gostava muito de ter 25. Quantos me faltam?

Esta pequena representação pode entusiasmar as crianças a pensarem nos problemas e ajudar a trabalhar aspectos ligados à expressão dramática.

Um segundo aspecto prende-se com o material disponível. No caso de pla-near o uso do colar de contas, o futuro professor deve assegurar-se de que este material vai estar disponível na aula e que as crianças já o usaram em outras situ-ações, directamente focadas na compreensão do uso deste material. O contexto dos problemas – berlindes – pode levar os futuros professores a pensar no uso de materiais de contagem não estruturados como caricas ou sementes de ár-vores. No entanto, a menos que os alunos só consigam efectuar contagens de 1 em 1, não será de incentivar o uso deste tipo de material. Pretende-se que os alunos pensem de uma forma estruturada, apoiando os seus raciocínios no con-hecimento da estruturação decimal. Continuar sempre a usar a contagem 1 a 1 não estimula o salto de conhecimento que se pretende.

Um terceiro aspecto prende-se com o modo de gerir, na aula da 1ª classe, a exploração de cada problema. É importante dar algum tempo aos alunos para pensarem e resolveram cada problema por si sós. É também importante planear a discussão com toda a turma de modo a assegurar que são analisadas algu-mas estratégias diferentes de resolver os problemas. Note-se que não se trata de identificar todas as estratégias diferentes, mas sim de focar um olhar sobre duas ou três delas porque foram muito usadas, porque revelam o uso de uma relação a que se quer dar ênfase ou porque se apoiam no uso de determinados esquemas ou materiais de que se querem mostrar as vantagens a toda a turma.

Finalmente, é importante pensar em questões que ‘derivam’ dos problemas resolvidos e que têm como objectivo consolidar o cálculo mental. Podem, por exemplo, desafiar os alunos a responderem, rapidamente e sem registarem nada no papel, às seguintes questões: “Quanto é 12 - 4? E 20 – 12?”; “Tenho 11 lápis. Quantos me faltam para ter 19? E para ter 21?”.


TAREFA 4: CADEIAS NUMÉRICAS DE ADIÇÃO E DE SUBTRACÇÃO

5

Analisar as seguintes cadeias e discutir as suas potencialidades:

5 + 5 =5 + 6 =5 + 4 =6 + 6 =

14 + 20 =14 + 19 =24 + 19 =24 + 29 =

25 + 25 =25 + 24 =26 + 25 =30 + 31 =29 + 30 =

250 + 250 =250 + 251 =250 + 249 =249 + 249 =251 + 249 =

2500 + 2500 =2500 + 2510 =2500 + 2490 =2510 + 2490 =2490 + 2490 =

2500 + 2500 =2500 + 2501 =2500 + 2499 =2500 + 2498 =2499 + 2499 =

10 – 5 =10 – 4 =11 – 5 =9 – 5 =

50 – 25 =50 – 24 =51 – 25 =50 – 26 =52 – 25 =

61 – 10 =61 – 20 =60 – 19 =60 – 30 =61 - 31 =

500 – 250 =500 – 251 =500 – 252 =500 – 248 =

5000 – 2500 =5000 – 2600 =5000 – 2400 =5000 – 2300 =

5000 – 2500 =5000 – 2499 =5000 – 2498 =5000 – 2502 =




Os exemplos anteriores são de cadeias numéricas, cujo propósito principal é desenvolver estratégias de cálculo mental, neste caso concreto, associado à adição e subtracção. A ideia é o professor dar uma sequência de expressões nu-méricas, com uma ordem estabelecida e relacionadas entre si, que pretendem evidenciar determinadas estratégias de cálculo mental associadas a proprie-dades dos números e das operações.

Para “inventar” cadeias o professor deve ter um conhecimento profundo das estratégias de cálculo associadas a cada uma das operações aritméticas e das propriedades em que estas se baseiam.

De forma a compreender as potencialidades das cadeias numéricas e o modo como devem ser trabalhadas com os alunos do Ensino Primário, o professor deve simular o trabalho com cadeias numéricas com os estudantes do Magistério da mesma maneira que estes, futuramente, irão trabalhar com as crianças. Para além disso, devem ser identificadas, em cada uma delas, as estratégias usadas e as propriedades da adição e da subtracção que lhes estão associadas.

Vejamos o exemplo da 1.ª cadeia apresentada. O primeiro cálculo proposto é uma adição que, a partir de meados da 1.ª classe, os alunos já devem ter automa-tizado. As razões desta mecanização têm a ver, sobretudo, com o recurso que podemos usar, os 5 dedos em cada mão, ou o total de 10 dedos nas duas mãos. Também o contar de 5 em 5, considerando as regularidades da sequência obtida, é uma tarefa que os alunos fazem com facilidade a partir de uma determinada altura e para a qual devem ser incentivados.

Para calcular 5+6 pode-se recorrer ao 5+5+1, ou seja, ao resultado anterior e adicionar 1.

Para calcular 5+4 pode-se recorrer ao 5+5-1, ou seja, ao primeiro resultado e subtrair 1, porque 5-1=4.

Finalmente, 6+6 pode ser calculado de várias maneiras, recorrendo a 5+6 e adicionando 1, ou a 5+5 e adicionando 2.

A ideia matemática subjacente à construção desta cadeia é a utilização do 5 como estrutura para efectuar cálculos com números até 20. De facto, recorrer ao 5 como estrutura para efectuar decomposições de outros números é uma ideia

bastante potente, que deve ser trabalhada com os alunos da 1.ª classe.

Analisemos a 2.ª cadeia, também de adição. O início, 13 + 20 é um cálculo que os alunos devem fazer mentalmente com facilidade. De facto, deve ser incentiva-do o adicionar 10, 20, 30, … a um determinado número, de modo a permitir que os alunos se apercebam da estrutura decimal do nosso sistema de numeração. Depois, o objectivo é tirar partido esse resultado e relacioná-lo, mentalmente, com outro cálculo que, à partida, é menos óbvio: 14 + 19. Ora, se 14+20 é 34, 14+19 é 34-1. Desta forma, relacionando as expressões entre si, podemos rapida-mente e usando o cálculo mental chegar ao resultado correcto.

24 + 19 pode ser calculado, por exemplo, verificando que 24=14+10, logo 24+19 é mais 10 do que o resultado anterior. Em termos matemáticos estamos a recorrer à adição de múltiplos de 10 e a compensar.

24 + 29 pode ser obtido de forma semelhante, recorrendo ao resultado ime-diatamente anterior ou então a 14+19.

A terceira cadeia numérica é mais uma cadeia que pretende realçar estraté-gias de cálculo mental relacionadas com esta operação. Parte da adição de dois números iguais (dobros) e de um número considerado de referência, o 25. É um múltiplo de 5, metade de 50, são 2 dezenas e 5 unidades e o seu dobro, a partir de uma certa altura, é automatizado pelos alunos. A partir de 25+25 propõem-se outros cálculos que fazem apelo às questões já evidenciadas anteriormente.

Os outros exemplos de adição propostos são semelhantes aos já discutidos, uma vez que, no seu cálculo, têm subjacente o mesmo tipo de estratégias, dis-tinguindo-se, essencialmente, pela grandeza dos números envolvidos que vai aumentando.

As cadeias que envolvem a subtracção têm subjacente a relação inversa entre esta operação e a operação adição, pelo que as justificações dos cálculos efectua-dos podem ser sempre baseadas nessa relação. Por exemplo, na primeira cadeia de subtracção, o cálculo de 10-5=5 pode ser justificado com a adição 5+5=10. Para além da ligação entre estas duas operações, esta cadeia baseia-se na relação que pode ser estabelecida entre os aditivos e os subtractivos das várias propos-tas e, consequentemente, no resto.

Na primeira cadeia 10−4 é igual a 6 porque 4+6=10 ou porque se 10−5 é igual a 5 então 10−4=6, porque se mantém o aditivo e o subtractivo diminui uma uni-dade, então o resto aumenta uma unidade.


O cálculo 11-5=6 pode ser justificado de várias formas, através da adição, ou relacionando com um dos resultados anteriores: tem o mesmo resto de 10−4=6 porque se adicionou o mesmo número ao aditivo e ao subtractivo, logo o resto mantém-se (propriedade da invariância do resto) ou relacionando com 10−5=5, pois de 10−5 para 11−5 aumenta-se o aditivo de uma unidade e mantém-se o subtractivo, logo o resto também aumenta uma unidade.

9-5=4 pode ser justificado também de várias formas, de acordo com a ex-pressão anterior com a qual se relaciona. Se for calculado o seu valor através de 11-5, o aumento de duas unidades no aditivo altera o resto para menos duas uni-dades. Se for estabelecida a relação com 10-5 a justificação baseia-se na redução de uma unidade no aditivo o que tem como consequência também um resto menor uma unidade que o anterior.

A cadeia numérica de subtracção que inclui calcular 50–25 =; 50–24 =; 51–25=; 50–26 = e 52–25= inclui o uso de números de referência tais como 25 e 50, com os quais os alunos já devem ter realizado inúmeros cálculos no âmbito da adição. Assim, é iniciada por um cálculo cuja justificação deve ser efectuada através da adição, 25+25=50. A partir daí, todos os cálculos devem ser baseados na adição e/ou nas propriedades da subtracção referidas a propósito da cadeia anterior. O mesmo acontece nas cadeias numéricas iniciadas por 500−250= e 5000−2500=.

A cadeia iniciada com o cálculo 61−10 tem subjacentes relações numéricas que podem ser estabelecidas na subtracção com múltiplos de 10 ou ‘quase múlti-plos de 10’. Além disso, tal como nas cadeias anteriores, os cálculos são realizados associando-os a outros precedentes em que ao aditivo e/ou ao subtractivo se adiciona (ou subtrai) uma unidade e se identifica, a partir daí, o que acontece ao resto.


Na formação dos futuros professores, tal como foi realçado, deve-se fazer uma simulação próxima da realidade. O professor deve escrever a primeira ex-pressão, por exemplo, no quadro, e pede aos estudantes para fazerem o cálculo mentalmente. De seguida, pede a um estudante que justifique a sua forma de pensar, neste caso, indicando as propriedades ou as relações numéricas que es-tabeleceu. A primeira expressão a calcular deve corresponder a um valor que o estudante tem já automatizado ou pode calcular muito facilmente.

Depois de ser explicado o modo de pensar, o que no caso da primeira ex-pressão pode ser “porque sei de cor”, passa-se à segunda expressão e procede-se

do mesmo modo. A partir daqui, é importante serem explicitadas maneiras de pensar que recorrem a cálculos realizados anteriormente na mesma cadeia, ape-sar de poder haver várias maneiras de relacionar os cálculos entre si. Devem ser discutidas com os estudantes as estratégias que estes consideram mais potentes, ou seja, aquela ou aquelas que decorrem da compreensão das relações estabe-lecidas entre os números em causa e das propriedades das operações envolvidas.

Posteriormente, uma tarefa de formação interessante a propor aos estudantes é a construção de cadeias numéricas, seleccionando os números e justificando as relações e propriedades numéricas que pretendem realçar.


Na sala de aula do Ensino Primário, pode ser destinado um pequeno período de tempo, todos os dias, de dez, quinze minutos por dia, para trabalhar algumas cadeias numéricas. O procedimento é semelhante ao descrito anteriormente. O tipo de justificações dadas pelos alunos é que será, naturalmente, diferente das dadas pelos futuros professores, e de acordo com o nível de conhecimento sobre os números e as operações de que dispõem.

Desta forma os alunos vão desenvolvendo de forma aprofundada o seu cál-culo mental, ancorado no conhecimento sobre as características dos números, nas relações entre si e nas propriedades das diferentes operações. De facto, este conhecimento é fundamental na vida de todos os dias onde, perante inúmeras situações todos nós temos de ser capazes de calcular rapidamente e de forma correcta, sem termos à nossa disposição uma calculadora ou papel e lápis para fazermos os algoritmos.

O professor deve, perante a identificação e justificação de modos de pensar diferentes, realçar os que decorrem, naturalmente, das relações que podem ser estabelecidas entre os vários cálculos a realizar e os que considera mais potentes.

Os futuros professores precisam também de perceber que as justificações que os alunos podem apresentar, variam de acordo com o seu nível de conhecimento sobre os números e as operações de que dispõem e que, muitas das vezes, elas não se focam no uso das propriedades e relações que estão subjacentes à cadeia explorada. Exemplifica-se a diferença entre as possíveis respostas dos alunos e as propriedades e relações envolvidas com a 9.ª cadeia proposta:


Cálculos Possíveis respostas dos alunos Propriedades/relações envolvi-das

50–25=25 Porque sei que 25+25=50 A operação adição é inversa da subtracção.

50–24=26

Porque 25+25=50 e 24+(1+25)=50

50 – 25 =25 logo 50 – 24 =26 porque subtraímos ao mesmo número um número menor uma unidade então o resto é maior uma unidade

50-24=50-25+1=26

Adicionar ’quase’ dobros (24 e 26).

Se numa subtracção o aditivo se mantém e o subtractivo diminui uma unidade, o resto aumenta uma unidade.

51–25=26

Porque 51 é mais um que 50 e 25 é mais um que 24, logo o resto é o mesmo que em 50 – 24.

Se 25+25=50 logo 25+26=51

Ou se 50-25=25 então 51-25 é igual a 25+1

Propriedade da invariância do resto 51-25=(50+1)-(24+1)=26

Adicionar ’quase’ dobros (25 e 26).

Se numa subtracção o aditivo au-menta uma unidade e o subtrac-tivo se mantém, o resto aumenta uma unidade.

50–26=24

Porque 50-24=26 e pode-se trocar o 26 pelo 24.

Porque 24+26=50

Porque 50-25=25 logo 50-26=24 porque 26 é mais 1 que 25, logo o resto é menos 1

O aditivo mantém-se e o subtrac-tivo pode trocar com o resto.

A operação adição é inversa da subtracção.

Se numa subtracção o aditivo se mantém e o subtractivo aumenta uma unidade então o resto di-minui uma unidade.

52–25=27

Porque 51-25=26 por isso o resto é 26 mais 1

Porque 50-25=25 por isso o resto é 26 mais 2

Se numa subtracção o aditivo au-menta uma unidade e o subtrac-tivo se mantém, o resto aumenta uma unidade.

Se numa subtracção o aditivo au-menta duas unidades e o subtrac-tivo se mantém, o resto aumenta também duas unidades.

TAREFA 5: MULTIPLICAÇÃO

6

1. O Mauro tem seis berlindes azuis, seis berlindes vermelhos, seis berlindes amarelos e seis berlindes verdes. Quantos berlindes tem o Mauro no total?

2. A Filomena tem duas saias e três blusas. De quantas maneiras diferentes se pode vestir?

3 A Edna e o André ajudam o avô na mercearia e resolveram saber quantos pacotes de leite formam uma palete, como a da figura. Como o fizeram?

3.1 O avô da Edna e do André precisa de encomendar duas paletes de leite, como as da figura. Quantos pacotes de leite precisa de encomendar?

3.2 O avô pediu ajuda à Edna e ao André para arrumarem as paletes de leite na sua mercearia. Os netos arrumaram-nas como mostra a figura. Quantos pacotes de leite há no total?


3.3 Completa a tabela com os preços dos pacotes de leite.

Número de pa-cotes de leite

1 2 8 24

Preço (AKZ) 250 1000



Os futuros professores do Ensino Primário devem ter a noção da diversidade de situações, quer na vida de todos os dias, quer no âmbito da Matemática, que podem ser traduzidas através da operação multiplicação.

A tarefa 5 inclui vários problemas de multiplicação, de modo a explicitar os diferentes sentidos que podem ser associados a esta operação, de maneira que os futuros professores, posteriormente, na sala de aula do EP, possam propor situações diversificadas.

O problema 1 é um exemplo de uma situação de multiplicação relacionada com o seu sentido aditivo. Parte-se de quatro conjuntos com o mesmo cardinal e pretende-se saber quantos elementos tem o conjunto formado pela reunião de todos. Simbolicamente, a situação pode representar-se através da adição de parcelas iguais 6+6+6+6=24 ou, porque a parcela 6 se repete 4 vezes, através da multiplicação 4×6=24

O problema 2 é representativo de uma situação que tem subjacente o sen-tido combinatório da multiplicação. Temos um conjunto A com 2 elementos (o conjunto das saias) e outro conjunto B com 3 elementos (o conjunto das cami-solas). O que se pretende é saber de quantas maneiras se podem combinar os elementos dos dois conjuntos, que corresponde a calcular o produto cartesiano de A por B, ou seja, os pares ordenados em que o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo ao conjunto B. Como o cardinal do produto cartesiano é igual ao produto dos cardinais dos conjuntos A e B, neste caso a situação pode representar-se por 2×3=6.

A tarefa 3 é constituída por um conjunto de problemas cujo objectivo é incen-tivar o uso da multiplicação enquanto operação e abandonar, progressivamente, procedimentos de contagem ou aditivos. Para isso recorreu-se à disposição rect-angular de objectos, neste caso de pacotes de leite, uma vez que este tipo de organização é bastante potente no que diz respeito à utilização da multiplica-

ção. No primeiro problema os alunos podem utilizar ainda procedimentos de contagem ou aditivos, considerando os números envolvidos. Nos problemas seguintes, 3.2. e 3.3. deve ser realçado o uso da multiplicação associado às pro-priedades comutativa, associativa e distributiva da multiplicação em relação à adição.

O problema 3.3. é um exemplo de uma situação que envolve a multiplicação no seu sentido proporcional. Nas situações de multiplicação com sentido pro-porcional esta operação é encarada de modo muito mais abrangente que nos casos anteriores, uma vez que estão em causa relações entre variáveis este caso, neste caso particular, o número de pacotes de leite e o seu preço. O preço uni-tário dos pacotes de leite, apesar de não muito distante do preço real, foi adap-tado para um número de referência, com o qual os alunos devem saber calcular mentalmente, à semelhança do que acontece com o número 25. De facto, o do-bro de 250 é 500 e o seu quádruplo é 1000, relações que podem ser realçadas no cálculo com 250.


Os futuros professores devem ser capazes de propor aos seus alunos prob-lemas de multiplicação que contemplem os diferentes sentidos desta operação. O seu propósito é desenvolver o raciocínio associado a esta operação, identifi-cando-a e usando as suas propriedades em contextos diversificados.

É, ainda, fundamental inventariar antecipadamente possíveis estratégias que os alunos podem usar na resolução de problemas de multiplicação, recorrendo a conhecimentos anteriores e ao uso de relações e propriedades numéricas, de modo a poder discutir com eles, na sala de aula, diferentes modos de pensar.

Em contexto de formação dos estudantes da EMPB, estes devem ter algum tempo para que antecipem e registem possíveis resoluções dos alunos do EP. Para cada uma delas é fundamental que identifiquem os conhecimentos matemáticos e as propriedades da multiplicação que lhe estão associados.

Passamos a identificar algumas das possíveis resoluções, relacionando-as com os conhecimentos matemáticos associados.

Estratégias que os alunos podem usar na resolução do problema 1:

• Representar os conjuntos de berlindes e contá-los um a um. Esta estraté-gia não deve ser incentivada e devem ser propostas outras situações que facili-tem a progressão dos alunos.


• Representar os conjuntos de berlindes e contá-los efectuando ‘saltos de 6’: 6, 12, 18, 24 berlindes

• Usar a adição 6+6+6+6 que é realizada sucessivamente, calculando 6+6=12, 12+6=18, 18+6=24 ou adicionando as parcelas 2 a 2, efectuando 6+6=12, 6+6=12 e 12+12=24.

• Usar a multiplicação, calculando 4×6. Este cálculo pode ser realizado através da tabuada ou usando relações conhecidas

- 4×6=24, porque sei a tabuada

- 4×6=2×6+2×6=12+12=24, recorrendo a produtos parciais

- 4×6=2×2×6=2×12=12+12=24, recorrendo ao dobro de um produto con-hecido 2×6

Estratégias que os alunos podem usar na resolução do problema 2:

• Fazer desenhos representativos das várias combinações de roupa pos-síveis e contá-las.

• Fazer esquemas, mais ou menos elaborados, de modo a identificar todas as combinações, por exemplo, realizando pares a partir das cores das peças de vestuário e contá-los.

• Fazer uma listagem, associando as blusas às saias

Blusa amarela com saia castanha

Blusa amarela com saia laranja

Blusa bege com saia castanha

Blusa bege com saia laranja

Saia castanhaBlusa amarela

Saia castanhaBlusa bege

Saia castanhaBlusa azul

Saia laranjaBlusa amarela

Saia laranjaBlusa bege

Saia laranjaBlusa azul

Blusa azul com saia castanha

Blusa azul com saia laranja

• Fazer esquemas em árvore

Neste caso, o número de combinações possíveis pode ser representado por 3+3, ou seja, 3 combinações com saia castanha e 3 com saia laranja ou por 2×3.

Se, em vez de se ter começado pelas saias, se começar pelas blusas são con-struídos 3 esquemas, um para cada blusa, e o número total de combinações pode surgir através das expressões 2+2+2, duas hipóteses por cada blusa, ou por 3×2.

• Organizar os dados numa tabela, (esta estratégia pode surgir, sobretudo se os alunos já tiverem tido contacto, anteriormente, com este tipo de represen-tação).

Blusas

SaiasAmarela Bege Azul

Castanha X X XLaranja X X X

Esta representação em tabela, apesar de não surgir naturalmente na maior parte dos casos, facilita o cálculo do número total, uma vez que está relacionada com a disposição rectangular. Por esse motivo, o professor pode, na sala de aula, organizar os dados numa tabela, discutindo com os alunos as vantagens deste tipo de representação.

De facto, basta identificar na tabela o número de celas em linha e em coluna e calcular o número total de combinações de vestuário através de 2×3 ou 3×2, conforme se conta primeiro o número de saias ou o número de blusas.

No caso deste problema 2 é importante realçar que os alunos podem fazer os seus registos bastante desorganizados, cabendo ao professor orientá-los de modo a procederem a registos organizados e sistemáticos, que lhes permitam


identificar que não falta nenhuma combinação e que não têm combinações repetidas.

Em qualquer das estratégias exemplificadas, os alunos podem começar pri-meiro pelas saias ou pelas blusas. No caso de usarem a multiplicação na repre-sentação do cálculo, esse aspecto implica calcular através de 2×3 ou de 3×2. As-sim, este facto pode ser um pretexto para evidenciar a propriedade comutativa da multiplicação.

Estratégias que os alunos podem usar na resolução do problema 3.1:

• Contar os pacotes de leite 1 a 1

Contar os pacotes de leite por filas (linhas e colunas), fazendo ‘saltos de 3’

(3, 6, 9, 12,15,18,21,24) ou ‘saltos de 8’ (8,16,24)

Usar adições com parcelas iguais a 3 ou a 8, conforme se adiciona por linhas (3+3+3+3+3+3+3+3) ou por colunas (8+8+8+8)

Estas adições podem ser realizadas sucessivamente fazendo 3+3=6, 6+3=9, 9+3=12, … ou duas a duas, fazendo

• Usar a multiplicação e transformá-la na adição de parcelas iguais

8×3=3+3+3+3+3+3+3+3=24 ou 3×8=8+8+8=24

• Usar a multiplicação e recorrer à tabuada do 3 (8×3=24) ou do 8 (3×8=24)

Estratégias que os alunos podem usar na resolução do problema 3.2.

Neste problema há alunos que podem tentar usar estratégias de contagem ou aditivas, muito semelhantes às exemplificadas a propósito do problema ante-rior. Contudo, é importante, nesta altura, realçar as estratégias que são baseadas na multiplicação, sugeridas pela disposição rectangular dos pacotes de leite e que apresentamos seguidamente.

• Contar o número de pacotes de leite em linha e em coluna e calcular 6×8 ou 8×6

- 6×8=48, porque sei a tabuada

- 6×8=2×3×8 recorrendo ao dobro do cálculo do problema anterior (está subjacente a propriedade associativa da multiplicação porque 6×8= =(2×3)×8=2×(3×8)=2×24=48)

- 6×8=3×8+3×8, recorrendo a produtos parciais e ao cálculo do problema anterior (está subjacente a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição porque 6×8=(3+3)×8 =3×8+3×8= =24+24=48)

No caso de os alunos usarem o produto 8×6 as estratégias são análogas às exemplificadas anteriormente.


Neste problema, a figura que representa as paletes de leite arrumadas não permite aos alunos efectuar contagens 1 a 1 e não incentiva, também, estratégias aditivas, uma vez que não estão visíveis todas as linhas ou colunas de pacotes de leite. O objectivo desta arrumação é, pois, o uso de estratégias multiplicativas, realçadas pela disposição rectangular dos pacotes de leite. Os números usados e a organização dos pacotes de leite permitem recorrer aos problemas anteriores, através de estratégias que utilizam relações de dobro. Exemplificamos em se-guida as estratégias multiplicativas que podem surgir:

• 3×8+3×8+3×8+3×8, recorrendo ao problema 3.1. e usando produtos par-ciais (baseados na propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição)

• 4×24 ou 4×3×8, recorrendo ao problema 3.1 e fazendo o quádruplo dos pacotes de leite calculando 4×24=4×20+4×4=80+16 (baseado na propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição)

• 6×8+6×8, calculando por ‘camadas’ e usando produtos parciais (basea-dos na propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição)

• 2×6×8, usando uma relação de dobro e calculando por ‘camadas’ e cal-culando 2×6×8=2×48=48+48=96 (tendo subjacente a propriedade associativa da multiplicação)

• 6×2×8, identificando 6 colunas com uma altura de 2 pacotes e 8 pacotes de profundidade e calculando 6×2×8=12×8=10×8+2×8=80+16=96 (tendo subja-


cente a propriedade associativa da multiplicação e a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição)

• 12×8, identificando que há 10 filas com 8 pacotes e calculando 12×8=10×8+2×8=80+16=96 (tendo subjacente a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição)


Na resolução deste problema os alunos podem recorrer a estratégias aditivas, compondo alguns valores da tabela a partir de outros já calculados e a estraté-gias multiplicativas, recorrendo ao preço unitário do pacote de leite.

• Usar estratégias aditivas de composição, recorrendo a valores já calcula-dos

2 pacotes: 250+250=500

3 pacotes: 500+250=750 (calculando através do preço de 2 e de 1 pacote)

1000 é o preço de 4 pacotes porque 500+500=1000

8 pacotes: 1000+1000 ou 1000+500+500 (calculando através do preço de 4 pacotes ou calculando através do preço de 4 e de 2 pacotes)

24 pacotes: 2000+2000+2000+2000 ou 1000+1000+1000+1000+1000+1000+1000+1000 (calculando através do preço de 8 pacotes ou de 4 pacotes)

• Usar estratégias multiplicativas, recorrendo a valores já calculados

2 pacotes: 2×250=500 porque 250+250=500

3 pacotes: 2×250+250=750 (calculando através do preço de 2 e de 1 pacote)

1000 é o preço de 4 pacotes porque 2×500=1000

8 pacotes: 2×1000=2000 ou 4×500=2000 (calculando o dobro do preço de 4 pacotes ou o quádruplo do preço de 2 pacotes)

24 pacotes: 6×1000=6000 ou 3×2000(calculando através do preço de 8 pa-cotes ou de 4 pacotes)

• Usar estratégias multiplicativas, recorrendo ao preço unitário

2 pacotes: 2×250=500 porque 250+250=500

3 pacotes: 3×250=3x200+3x50=600+150=750 ou 3×250=2×250+250=750

1000 é o preço de 4 pacotes porque 4×250=1000

• 8 pacotes: 8×250=2×4×250 ou 8×250=8x200+8x50=1600+400=2000 (usando os dobros ou a decomposição decimal)

• 24 pacotes:24×250=20×250+4×250=5000+1000=6000 ou 24×250=24×200+24×50=4800+1200=6000 (decompondo o 24 ou o 250)


Tal como no trabalho com as outras operações as tarefas a propor aos alunos devem ter dois propósitos. Por um lado, devem ter em conta os diferentes sen-tidos associados à operação multiplicação e, por outro, fazer emergir determi-nadas estratégias de resolução baseadas nas propriedades dos números e das operações.

As tarefas apresentadas podem ser trabalhadas com alunos da 3.ª classe, uma vez que é neste ano escolar que se dá uma atenção redobrada a esta operação, no sentido de desenvolver aspectos associados à sua aprendizagem.

Tal como já foi referido a propósito de outras operações, o professor deve propor que os alunos resolvam cada tarefa individualmente ou a pares e orientar posteriormente a discussão à volta da tarefa. No caso concreto das tarefas apre-sentadas, os alunos devem ser incentivados a usar estratégias multiplicativas, realçando a eficácia dos procedimentos multiplicativos relativamente aos aditi-vos ou de contagem, quando estão envolvidos números ‘grandes’. Daí a especial importância na escolha dos números de modo a facilitar o uso progressivo da operação multiplicação.


TAREFA 6: CONSTRUIR AS TABUADAS

7

Vamos construir a tabuada do 7

1 X 7 = 7 É igual a 7×1

2 X 7 =

3 X 7 =

4 X 7 = 28 É igual a 7x4 ou é 3x7+7

5 X 7 =

6 X 7 =

7 X 7 =

8 X 7 =

9 X 7 =

10 X 7 =

11 X 7 =

12 x 7 =

---




É muito importante que os futuros professores percebam que a aprendiza-gem das tabuadas se deve estruturar com base em três pilares fundamentais. O primeiro diz respeito à construção do conceito, o que envolve perceber, por exemplo, que a tabuada do 2 corresponde a ter adições sucessivas de 2:

2 + 2 + 2 + 2 – Adiciona-se 4 vezes o 2 – pode representar-se por 4×2.

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +2 + 2 + 2 – Adiciona-se 9 vezes o 2 – pode representar-se por 9 x 2.

É a compreensão de que a tabuada do 2 diz respeito a sucessivas adições cu-jas parcelas são sempre 2, a tabuada do 5 diz respeito a sucessivas adições cujas parcelas são sempre 5, etc., que permite compreender porque é que quando nos referimos à tabuada ‘do A’ (A número natural) devemos representá-la por um grupo com A elementos (1 x A), dois grupos com A elementos (2 x A), três grupos com A elementos (3 x A), quatro grupos com A elementos (4 x A), etc.

Um segundo pilar diz respeito a introduzir a tabuada de modo a promover o cálculo inteligente e flexível, o que implica pensar cuidadosamente na ordem e no modo de o fazer. Tendo em conta o que temos vindo a salientar nas tarefas anteriores, os números 2, 5 e 10 devem ser trabalhados intencionalmente como números de referência e, por isso, as primeiras tabuadas a ser introduzidas de-verão ser as do 2, 5 e 10. Além disso, é fundamental assentar a aprendizagem da tabuada no uso de relações e propriedades matemáticas fundamentais, como a propriedade comutativa da multiplicação, a propriedade distributiva da multi-plicação em relação à adição e a propriedade associativa usada, sobretudo, nos casos particulares de cálculo recorrendo ao conceito de dobro e/ou de metade.

Usar a propriedade comutativa permite avançar na construção de ‘novas’ tabuadas, pois pode recorrer-se a uma tabuada já ‘aprendida’ para apoiar a con-strução de uma outra que se deve ainda aprender: 5 x 4 = 20 (tabuada do 4) porque 5 x 4 = 4 x 5 e sabe-se que 4 x 5 = 20 (tabuada do 5, construída antes da do 4).

A propriedade distributiva da multiplicação permite calcular muitos resulta-dos de uma ‘nova’ tabuada com recurso a resultados que dela já se conhecem: 7 x 6 = 42 pois 7 x 6 = 5 x 6 + 2 x 6.

Finalmente, a propriedade associativa, sobretudo via o conceito de dobro ou o conceito de metade, muito trabalhados durante toda a aprendizagem nu-mérica, deve também ser aplicada na construção da tabuada. O dobro pode ser usado com muitas vantagens quando o primeiro factor é par: 6 x 6 = 36 pois 6 x 6 é o dobro de 3 x 6; 8 x 7 = 56 pois 8 x 7 é o dobro de 4 x 7. O conceito de metade permite também pensar, por exemplo, que 5 x 9 = 45 pois é metade de 10 x 9. Tanto num caso como noutro, do ponto de vista matemático, usa-se a proprie-dade associativa:

(a x b) x c = a x (b x c) 6 × 6 = (2 x 3) x 6 = 2 x (3 x 6)

5 × 9 = (1/2 × 10) x 9 = 1/2 × (10 x 9)

Um terceiro e último pilar associado à aprendizagem da tabuada diz respeito à sua memorização. Não devem restar dúvidas que as crianças devem memorizar as principais tabuadas, ou seja, as tabuadas até 10. No entanto, isto não pode ser entendido como significando que aprender as tabuadas é uma actividade ‘cega’ de memorização, à qual não é possível atribuir sentido. Pelo contrário, todo o processo de aprendizagem da tabuada pode proporcionar a consolidação de aprendizagens importantes relativas ao conceito da operação multiplicação e ao uso de propriedades e relações matemáticas.


Os futuros professores devem ser capazes de inventariar possíveis estratégias de construção, recorrendo a conhecimentos anteriores e ao uso de relações e propriedades numéricas, antecipando, por isso, possíveis estratégias que as cri-anças podem usar. Esta tarefa ilustra um modo de iniciar a construção da tabua-da do 7.

Deve estar claro que, antes, as crianças já devem ter construído, formalizado e memorizado as tabuadas do 2, 5, 10, 4, 3 e 6. Às tabuadas do 2, 5 e 10 (números de referência para o desenvolvimento de todo o trabalho numérico) deve seguir-se a introdução da do 4, que pode ser fortemente apoiada na relação de dobro a partir da tabuada do 2. Na tabuada do 3 pode recorrer-se muito à propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição a partir da decomposição do 3 em 2 + 1 e usando, por isso, a tabuado do 2 aprendida anteriormente. A con-strução da tabuada do 6 pode ser apoiada no uso da propriedade distributiva de modo a usar os conhecimentos adquiridos nas tabuadas anteriores, na pro-priedade comutativa e, ainda, nas relações de dobro estabelecidas a partir da tabuada do 6.


Depois de perceberem a justificação deste ‘encadeamento’ da introdução das tabuadas, os futuros professores devem conseguir prever, ao analisar esta tarefa, possíveis formas de a resolver. Devem, por isso, ser capazes de prever o uso de várias estratégias, algumas das quais poderão ser:

- 1 × 7 = 7 (é um facto conhecido ou é igual a 7×1)

- 2 × 7 = 14 (porque é 7+7 ou é igual a 7×2)

- 3 × 7 = 21 (porque é igual a 7×3 ou 2×7+1×7 ou 3×4+3×3)

- 4 × 7 = 28 (porque é igual a 7×4 ou é o dobro de 2×7 ou 2×7+2×7)

- 5 × 7 = 35 (porque é 7×5 ou é metade de 10×7 ou é 5×4+5×3)

- 6 × 7 = 42 (porque é 5×7+7 ou é o dobro de 3×7 ou é igual a 7×6)

- 7 × 7 = 49 (porque é igual a 5×7+2×7 ou 4×7+3×7 ou 6×7+7)

- 8 × 7 = 56 (porque é igual a 2×4×7 ou 4×7+4×7 ou 2×7+6×7)

- 9 × 7 = 63 (porque é igual a 10×7–7 ou 8×7+7)

- 10 × 7 = 70 (porque é igual a 7×10 ou 5×7+5×7 ou o dobro de 5×7)

- 11 × 7 = 77 (porque é igual a 10×7+7 ou é 5×7+6×7)

- 12 × 7 = 84 (porque é igual a 10×7+2×7 ou é 6×7+6×7 ou 2×6×7 ou 4×7+8×7)

Na tarefa 6 propõe-se, intencionalmente, que se continue a tabuada com va-lores superiores a 10. De facto, os futuros professores necessitam de perceber que a tabuada não ‘acaba no 10’ e que, mesmo com as crianças do EP, se podem explorar situações tais como:

16 × 7 = 112 (porque é igual a 2×8×7 ou 10×7+6×7 ou 4×4×7 ou 8×7+8×7)

19 × 7 = 133 (porque é igual a 20×7 – 1×7 ou 10×7+9×7)


Ao preparar a introdução da tabuada na aula de Ensino Primário os futuros professores devem estar conscientes que a aprendizagem das tabuadas caminha a par das fases de aprendizagem da multiplicação em que os alunos começam por contar e usar um raciocínio aditivo e só progressivamente é que usam a multiplicação. Por isso, ao trabalhar as tabuadas, tal como se sugere na tarefa

6, o professor deve analisar as estratégias usadas pelos alunos e realçar as que se baseiam na multiplicação e não apenas na adição, como tradicionalmente se fazia. Pensar em termos multiplicativos é parte integrante do desenvolvimento do conhecimento sobre a multiplicação.

Na preparação do trabalho em torno da aprendizagem da tabuada é funda-mental reflectir sobre estratégias que podem apoiar a sua memorização. Neste sentido, deve ser claro que, pedir aos alunos que escrevam repetidas vezes uma determinada tabuada, não ajuda a sua memorização e que pode fazer desinter-essar os alunos da Matemática, por se cansarem de fazer inúmeras vezes um tra-balho repetitivo. De facto, quando se tem de fazer uma e outra vez uma tabuada por escrito, tende-se a usar estratégias não pensadas – escreve-se em coluna 1, 2, 3, 4, 5, etc., repete-se o símbolo ‘x’ em coluna, o sinal ‘=”em coluna e o valor numérico correspondente à tabuada que se está a escrever também em coluna – e recorre-se, quanto muito, a um raciocínio aditivo, adicionando ao primeiro resultado um valor para obter o resultado seguinte, e assim sucessivamente. Por isso, a memorização da tabuada deve envolver, sobretudo, uma actividade oral, aliada à realização de jogos que requerem o uso rápido de diversas tabuadas ou à organização de um pequeno campeonato da tabuada, realizado semanal-mente durante cerca de 15 minutos.


8

TAREFA 7: DIVISÃO

1- Os lápis que a professora Margarida comprou, vêm em caixas de seis lápis. Como comprou 180 lápis para toda a turma, quantas caixas de lápis comprou?

2- Os alunos da turma da professora Margarida precisam de lápis de cor para fazer alguns desenhos. Como a papelaria do Sr. Mendonça está a fazer saldos, a pro-fessora resolveu comprar todos os lápis que lá havia, num total de 180 lápis. Os alu-nos estão organizados em seis grupos para fazer os desenhos. Quantos lápis dá a professora a cada grupo?



A tarefa proposta inclui dois problemas de divisão. A ideia é dar exemplos de problemas de divisão associados a situações diversificadas e relacionadas com os vários sentidos desta operação. Na sala de aula do ensino primário, o professor deve promover a exploração de problemas próximos da realidade dos alunos de modo a confrontá-los com situações que apelem aos diferentes sentidos desta operação. No caso da divisão, os sentidos mais frequentes relacionados com esta operação são o de medida e o de partilha.


Um exemplo simples de divisão como medida é o seguinte:

Temos vinte mangas para embalar em caixas de cinco cada. De quantas caixas vamos precisar?

Na divisão como medida o divisor indica-nos o número de elementos (a me-dida) que tem cada subconjunto. O quociente irá indicar-nos o número de sub-conjuntos que conseguimos formar. Neste exemplo, a medida são as caixas de cinco mangas e o quociente indica-nos de quantas caixas de cinco mangas ire-mos precisar para embalar as vinte mangas.

Um outro sentido da divisão muito comum é a divisão como partilha. Vejamos um exemplo:

Três amigos apanharam numa mangueira, dezoito mangas, que repartiram entre si. Com quantas mangas ficou cada um?

Na divisão como partilha, o divisor, neste caso o número três, indica-nos o número de subconjuntos que queremos formar (a partição) e o quociente irá indicar o número de elementos que ficou em cada subconjunto, neste caso, seis.

Ao propor a tarefa Comprar lápis de cor, um dos objectivos do professor é que os futuros professores tenham consciência dos diferentes sentidos associados a esta operação e, por outro lado, que os saibam identificar a partir de variados contextos.

Assim, a primeira parte da tarefa corresponde a um problema que envolve a divisão por medida. A medida, nesse caso, são as caixas com seis lápis cada, e o quociente irá indicar quantas caixas, com seis lápis cada, foram compradas.

Na segunda parte da tarefa, apesar dos números envolvidos serem os mes-mos, estamos perante um contexto de divisão como partilha. O divisor indica o número de conjuntos que queremos formar, seis neste caso, e o quociente o número de lápis com que cada um dos grupos vai ficar.


Para além da identificação dos sentidos da divisão associados a cada uma das situações é fundamental que os futuros professores identifiquem estratégias diferentes que os alunos do ensino primário poderão utilizar na sua resolução. De facto, apesar de a tarefa incluir dois exemplos de divisão, as estratégias usa-das pelos alunos poderão ser muito variadas, tendo em conta os conhecimentos que estes já tenham e que mobilizem na sua resolução.

Assim, deve ser dado um tempo aos estudantes para que estes imaginem e registem possíveis resoluções dos alunos do EP. Para cada uma delas é funda-mental que identifiquem os conhecimentos matemáticos que lhe estão associa-dos.

Passamos a identificar algumas das possíveis resoluções, relacionando-as com os conhecimentos matemáticos associados.

Estratégias que os alunos podem usar:

• Simulação da distribuição da quantidade de lápis usando material, so-bretudo no caso da situação de partilha. No entanto, considerando a grandeza do número envolvido, esta estratégia é pouco eficiente e poderá facilmente con-duzir a enganos.

• Através de adições sucessivas, sobretudo no caso da situação de medida. No entanto, e pelas razões anteriores, é uma estratégia muito morosa. Consiste em ir adicionando seis lápis de cada vez (a medida) até obter um valor, o mais próximo possível da dividendo, 180.

6+6+6+6+6+6+…, fazendo 6+6=12, 12+6=18, 18+6=24, …

• Através de subtracções sucessivas, sobretudo no caso da situação de medida. No entanto, os alunos têm menos facilidade em fazer subtracções e poderão chegar a resultados incorrectos, para além da morosidade da estratégia.

180-6=164, 164-6=158, …

Depois conta-se o número de subtracções efectuadas para indicar o número de caixas (ou seja, corresponde a contar quantas vezes cabe o 6 em 180). Ou seja, são 30 caixas de 6 lápis.

• Utilizando o método das subtracções sucessivas mais abreviado, ou seja, subtraindo múltiplos de 6 e no final contar o número de subtracções de 6 que se efectuaram. Por exemplo

180-60=120, 60 lápis são 10 caixas



Logo, no total são 30 caixas.


• Usando a multiplicação como operação inversa da divisão e fazendo por aproximações sucessivas através de múltiplos de 10

10×6=60

20×6=120

30×6=180 logo são 30 caixas (ou 30 lápis, consoante a situação).

• Decompondo o divisor em factores

180:6=180: (2×3)

180:2=90

90:3=30

• Usando o algoritmo tradicional

É de realçar que algumas das estratégias que podem ser utilizadas neste caso, são mais potentes do que o uso do algoritmo da divisão. De facto, consideran-do os números envolvidos e o conhecimento por parte dos alunos das relações entre as operações e das propriedades destas, devem ser incentivados procedi-mentos que potencializem esse conhecimento.


No caso de esta tarefa ser proposta aos alunos do Ensino Primário, um dos seus objectivos é colocar os alunos deste nível de ensino perante contextos di-versificados que apelem aos diferentes sentidos da operação divisão, de modo a contribuir para o desenvolvimento de competências associadas à compreensão global do sentido de número, e, em particular, ao sentido da operação divisão.

Considerando os números envolvidos, esta tarefa poderia ser trabalhada com alunos da 2.ª ou 3.ª classe. No entanto, tarefas relacionadas com a operação di-visão, envolvendo os seus diferentes sentidos, devem ser propostas aos alunos do EP desde a 1.ª classe, desde que incluam números adequados.

As duas situações devem ser apresentadas aos alunos em separado. Deste modo, quando for apresentada a segunda das situações aos alunos, num mo-mento posterior, esta poderá permitir que os alunos estabeleçam, eventual-mente, conexões entre elas.

Para cada uma, os alunos deveriam, em pares, tentar resolvê-las, registando no seu caderno, tudo o que considerassem pertinente para a sua resolução. Num segundo momento, depois de o professor ter identificado a diversidade de pro-cedimentos, poderia pedir a cada par para, no quadro, tentar explicar e justificar aos colegas, o seu modo de pensar.

Aqui a intervenção do professor é fundamental, deve ser ele que escolhe os alunos que irão explicar aos colegas como resolveram a tarefa. Esta escolha deve ser cuidadosa, identificando a ordem das várias apresentações, da estratégia mais informal e mais morosa para a estratégia mais eficaz. Por outro lado, a es-colha dos alunos também deve ter em conta a não repetição de estratégias nas apresentações feitas por eles.

Deste modo, em cada apresentação e partilha de estratégias de resolução os alunos terão consciência da multiplicidade de estratégias que poderão ser uti-lizadas para resolver o mesmo problema, para além de terem contacto com es-tratégias diferentes das suas, identificando as mais potentes e permitindo, even-tualmente, a sua evolução.


9

TAREFA 8: CADEIAS NUMÉRICAS DE MULTIPLICAÇÃO E DE

DIVISÃO

10 x 6=7 x 6 =17 x 6 =17 x 10 =17 x 16 =

4 x 15 =8 x 15 =12 x 15 =6 x 15 =

20 x 7 =21 x 7 =42 x 7 =63 x 7 =83 x 7=

20×5=100:5=100:20=25×10=250:10=250:25=

24:4=48:4=48:8=96:16=96:8=

100:10=100:20=200:20=200:40=400:20=

16:4=32:8=64:16=128 : 32 =

60 : 4 =120 : 4 =240 : 4 =240 : 8 =120 : 8 =

100 : 4=300 : 4 =50 : 4 =450 : 4 =

64:8=64:4=64:16=128:16=128:8=

24:2=24×0,5=36:2=36×0,5=48×0,5=48:2=

2×10=10:0,5=2×25=25:0,5=2×43=43:0,5=




As cadeias numéricas anteriores incidem na multiplicação e divisão e, do pon-to de vista metodológico, deverão ser exploradas como se indica na tarefa 4, cujo contexto é também as cadeias numéricas.

Tal como já foi referido a propósito da tarefa 4, é importante que os futuros professores compreendam as propriedades e relações matemáticas subjacentes a cada uma delas. Assim, depois da análise das cadeias incluídas nesta tarefa, deverão ser capazes de identificar o foco matemático que é intencionalmente incluído em cada uma.

Na primeira cadeia (10 x 6, 7 x 6, 17 x 6, 17 x 10, 17 x 16) centra-se a atenção na propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição:

17 x 6 = (10+7) x 6 = 10 x 6 + 7 x 6 e 17 x 16 = 17 x (10+6)= 17 x 10 + 17x 6.

Esta propriedade é igualmente trabalhada na terceira cadeia constituída pela sequência 20 x 7, 21 x 7, 42 x 7, 63 x 7 e 83 x 7.

A segunda cadeia (4 x 15, 8 x 15, 12 x 15, 6 x 15) tem como objectivo trabalhar a relação de dobro e a relação de metade que se justificam a partir da propriedade associativa da multiplicação:

8×15 = (2 ×4) x 15 = 2 x (4 x 15) ou seja o dobro de 4 x 15.

6×15 = (½ x12) x 15 = ½ x (12x 15) ou seja metade de 12 x 15.

Note-se que esta cadeia pode ser associada a conhecimentos sobre as horas o que transforma os cálculos indicados em propostas de cálculo automático:

4×15=60 Quatro quartos de hora são 60 minuto ou uma hora .

8×15=120 Oito quartos de hora são 120 minutos ou duas horas.

12×15=180 Doze quartos de hora são 180 minutos ou três horas.

6×15=90 Seis quartos de hora são 60 mais30 minutos, ou seja, 90.

A quarta cadeia envolve as operações de multiplicação e divisão e foca várias propriedades matemáticas, em especial a de relação inversa entre a multiplica-ção e divisão:

20×5=100 Usar um produto conhecido (10×5) e o facto de, numa multiplicação, se um factor duplica o produto também duplica.

100:5=20 Relação inversa entre a divisão e a multiplicação.

100:20=5 Relação inversa entre a divisão e a multiplicação e pro-priedade comutativa da multiplicação.

25×10=250 Multiplicar, usando os múltiplos de 10.

250:10=25 Relação inversa entre a divisão e a multiplicação.

250:25=10 Relação inversa entre a divisão e a multiplicação e pro-priedade comutativa da multiplicação.

Para além das propriedades matemáticas já referidas, algumas cadeias tam-bém trabalham a propriedade distributiva da divisão à direita: (A + B):C = A:C + B:C, tal como acontece com a cadeia 100:4, 300:4, 50:4, 450:4.

A cadeia 60:4, 120:4, 240:4, 240:8, 120:8 foca duas relações entre a divisão e a multiplicação: (i) se dada uma divisão, multiplicar por A o dividendo, obtém-se A x quociente inicial. Por isso, 120:4 é o dobro de quociente de 60:4; (ii) se dada uma divisão, multiplicar por B o divisor, obtém-se 1/B x quociente inicial. Por isso, 240:8 é metade de 120:4.

Finalmente, nesta tarefa foca-se igualmente a atenção para no facto de o re-sultado de uma divisão não se alterar quando se multiplica o dividendo e o divi-sor pelo mesmo número diferente de 0, ideia que está subjacente à cadeia 16:4, 32:8, 64:16, 128:32.

Na formação dos futuros professores, tal como foi realçado anteriormente, deve-se fazer uma simulação próxima da realidade. Escreve-se a primeira ex-


pressão, por exemplo no quadro, e pede-se para fazer o cálculo mentalmente. De seguida, pede-se aos alunos que justifiquem a sua forma de pensar, neste caso indicando as propriedades ou as relações numéricas que estabeleceram.

Depois de serem explicados os modos de pensar, passa-se à segunda ex-pressão e procede-se do mesmo modo. É importante serem explicitadas várias formas de pensar, devendo ser analisada com os alunos a estratégia considerada mais eficiente, ou seja, aquela ou aquelas que decorrem da compreensão do val-or dos números envolvidos e das relações estabelecidas.

Posteriormente, é também uma tarefa de formação interessante propor aos alunos a construção de cadeias, identificando as relações e propriedades numéri-cas que pretendem realçar.


As cadeias devem ser introduzidas na sala de aula do Ensino Primário com bastante regularidade e devem exploradas durante um pequeno período de tempo, de dez ou quinze minutos de cada vez.

Na preparação da sua introdução os futuros professores devem analisar det-alhadamente as relações e propriedades subjacentes a cada cadeia, integrando a sua exploração na altura em que as crianças resolvem problemas com valores semelhantes aos incluídos na cadeia e em que se pretende consolidar o cálculo mental com esses valores.

Os futuros professores precisam também de perceber que as justificações que os alunos podem apresentar variam de acordo com o nível de conhecimento sobre os números e as operações de que dispõem e que, muitas das vezes, elas não se focam no uso das propriedades e relações que estão subjacentes à cadeia explorada. Exemplifica-se a diferença entre as possíveis respostas dos alunos e as propriedades e relações envolvidas, com a 5.ª cadeia proposta:

Cálculos Possíveis respostas dos alunos Propriedades/relações envolvi-das

24:4 =6 - Porque já sei de cor que 6×4. - Tirar partido da relação inversa en-tre a divisão e a multiplicação.

48:4=12

- Porque 12×4=48 ou o número que multiplicado por 4 é igual a 48 é 12 ou como 48 é o dobro de 24 então o número que multiplicado por 4 é igual a 48 tem de ser o dobro de 6, ou seja, 12.

- Ou (em relação ao cálculo anteri-or) se 48 é o dobro de 24 e estamos a dividir pelo mesmo número 4, obtemos um número que é o dobro do anterior, ou seja, 12.

- Tirar partido da relação inversa en-tre a divisão e a multiplicação.

- Se numa multiplicação um dos factores duplica o produto tam-bém duplica. Neste caso, como o produto duplicou e um dos factores se manteve o outro factor tem de duplicar também.

- Pensando na divisão, se o dividen-do duplica e o divisor se mantém, o quociente também duplica.

48:8=6

- Porque sei que 6×8=48.- Ou (em relação ao cálculo anterior) se estamos a dividir o mesmo número 48 por outro que é o dobro do anterior, obtemos um número que é metade do anterior, ou seja, 6.

- Ou (em relação ao primeiro cál-culo) se estamos a dividir 48 que é o dobro de 24 por um número que é o dobro de 4, obtemos um número que é igual ao resultado anterior.


- (Em relação ao cálculo anterior), se numa multiplicação um dos factores duplica e outro passa para metade o produto mantém-se (uso da propriedade associativa). Ou seja, se numa multiplicação um dos factores duplica e o produto se mantém, então o outro factor passa para metade.

- (Em relação ao primeiro cálculo), se numa multiplicação um dos factores duplica o produto também duplica.

- Pensando na divisão (e relacio-nando com 48:4), se o dividendo se mantém e o divisor duplica, o quociente passa para metade.

- Pensando na divisão, (e relacio-nando com 24:4) se o dividendo e o divisor duplicam, o quociente mantém-se.


Ao nível da prática no Ensino Primário existiu, durante muitos anos, uma con-fusão entre algoritmo e operação, considerando-se que o algoritmo era sinóni-mo da operação. Por isso, grande parte do trabalho em torno dos números e das operações centrava-se na aprendizagem dos algoritmos.

Nem todos os autores definem algoritmo do mesmo modo. Neste texto adop-ta-se o conceito mais usual de que algoritmo é um conjunto de procedimentos ordenados relativos a dígitos. De facto, existe uma clara ordenação “do que se deve fazer” e quando, por exemplo, se multiplica 426 por 357 - pensa-se que se multiplica 6 sucessivamente por 7, por 5 e por 3. Se se pensasse em termos de número e não de dígitos, teria de se pensar, por exemplo, numa decomposição em centenas dezenas e unidades dos números 426 e 357 e multiplicar 6 por 7, 6 por 50 e 6 por 300, depois multiplicar 20 por 7, por 50 e por 300 e, finalmente, 400 por 7, por 50 e por 300.

Tendo em conta a perspectiva com que se apresentaram as tarefas incluídas neste módulo, destaca-se e insiste-se na ideia de que se pode trabalhar com mui-ta profundidade as várias operações, sem que para isso seja necessário usar um algoritmo. No entanto, os aspectos algorítmicos têm um papel importante em Matemática e devem ser iniciados no Ensino Primário.

96:16=6

- Porque (em relação ao cálculo an-terior 48:8) se estamos a dividir 96 que é o dobro de 48 por 16, que é o dobro de 8, obtemos um número que é igual ao resultado anterior.


- (Em relação ao cálculo anterior), se numa multiplicação um dos factores duplica e o produto tam-bém duplica então o outro factor mantém-se.


96:8=12

- Porque (em relação ao cálculo 48:4) se estamos a dividir 96 que é o dobro de 48 por um número que é o dobro de 4, obtemos um número que é igual ao resultado anterior.

- Porque (em relação ao cálculo anterior 96:16) se estamos a dividir o mesmo número por outro que é metade do anterior, obtemos um número que é o dobro do resultado anterior.


- (Em relação ao cálculo 48:4), se numa multiplicação um dos factores duplica e o produto tam-bém duplica então o outro factor mantém-se.


- Pensando na divisão, (e relacio-nando com 96:16) se o dividendo se mantém e o divisor passa para metade, o quociente duplica.

10

CONSTRUIR OS ALGORITMOS COM COMPREENSÃO


Os futuros professores devem interiorizar que o trabalho em tornos dos al-goritmos deve culminar um longo caminho centrado na compreensão dos números e das operações e perceber que eles podem ser importantes auxiliares para o cálculo, mas não devem ser usados para efectuar todos os cálculos. Para calcular, por exemplo, 4+10, 12+19 ou 4x12,as crianças devem recorrer a estraté-gias de cálculo variadas, baseadas no uso de relações e propriedades matemáti-cas. Não se deve esperar nem fomentar que, neste tipo de cálculos, recorram ao algoritmo. Assim, a introdução dos algoritmos deve ser alicerçada num longo trabalho que valoriza o desenvolvimento do sentido do número e a compreen-são e uso flexível de relações e propriedades matemáticas, tal como se simboliza abreviadamente no esquema seguinte:

O esquema apresenta um caminho progressivo, que deve ser realizado pelos alunos antes de “chegarem” ao algoritmo convencional. O espaço ocupado no esquema por cada um dos aspectos associados ao cálculo representados pre-tende dar uma ideia do tempo que se deve ocupar com cada um desses aspec-tos. Por isso, o espaço ocupado por “calcular mentalmente de modo flexível” é maior que o ocupado por “calcular em coluna com compreensão” e muito maior que “chegar ao algoritmo convencional”.

Na tabela seguinte clarifica-se, com base em exemplos, a distinção entre pro-cedimentos de cálculo mental e procedimentos que não são de cálculo mental, nem são algoritmos.

Nos pontos seguintes esquematiza-se a introdução dos algoritmos das quatro operações elementares.

ALGORITMO DA ADIÇÃO

Vejamos um possível caminho para construir o algoritmo da adição, calcu-lando 471+314. Numa fase inicial os alunos decompõem cada parcela (400+70+1 e 300+14+4) e organizam horizontalmente os cálculos:

400+300=700


70+10=80

1+4=5

700+80+5=785

Numa segunda fase organizam-se os registos verticalmente. Adiciona-se da direita para a esquerda, começando pelas centenas, depois as dezenas e, final-mente, as unidades.

Finalmente, usa-se o algoritmo, operando-se, da direita para a esquerda, so-bre os dígitos

ALGORITMOS DA SUBTRACÇÃO

O algoritmo da subtracção usado em muitos países baseia-se numa proprie-dade matemática que é designada por invariância do resto – numa subtracção, se adicionarmos ou subtrairmos o mesmo número ao aditivo e ao subtractivo, o resto ou diferença não se altera.

A−B=C (A+X)−(B+X)=C

Nas imagens seguintes fundamenta-se, passo a passo, o uso deste algoritmo para calcular 315−187.

Um outro algoritmo da subtracção, igualmente muito usado, baseia-se na de-composição decimal do aditivo. Nas imagens seguintes exemplifica-se o seu uso para calcular 315-187


ALGORITMO DA MULTIPLICAÇÃO

A construção do algoritmo da multiplicação deve assentar num trabalho que começa no uso da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. Numa fase posterior esta propriedade pode ser usada de um modo esquemáti-co a partir da disposição rectangular. Finalmente, evolui-se para os cálculos em coluna – operando inicialmente sobre os números e depois sobre ao dígitos, ou seja, usando o algoritmo. Exemplifica-se, através do cálculo de 27×43, o caminho que deve ser feito.

27×43

ALGORITMO DA DIVISÃO

A construção do algoritmo da divisão assenta no uso da relação inversa entre a multiplicação e a divisão. Inicialmente, pensa-se globalmente no dividendo: qual o número que, multiplicado pelo divisor fica mais próximo do dividendo? Quando se passa a usar o algoritmo, o dividendo é decomposto, passando a pensar-se nos dígitos que o compõem. Exemplifica-se esta construção com 81:3.

Ou

Calcular 81:31 usando o algoritmo da divisão tradicional


PREPA

metodologia do ensino da matemÁticaºmeros e operações.pdf · 4. tarefa 3: subtracção, 23 5....

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