series numéricas
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Jesús Meza Mauricio
1n
na...4321 aaaa =
Con el concepto de SERIE NUMÉRICA, queremos darle sentido
a la SUMA de una infinidad de números reales.
Pero… ¿Qué situaciones nos llevan a esto?
¿Es que acaso alguna vez hemos tenido que sumar una infinidad
de números?
Series Numéricas
Aunque no tengamos una definición matemáticamente precisa de
cómo realizar estas sumas, no tenemos ninguna duda en que …
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + …
… tendrá un valor infinito, es decir NO se pueden sumar, en el
sentido de que la suma sea un número real.
En este caso diremos que la SERIE ES DIVERGENTE.
También, sin lugar a dudas podremos decir que las siguientes
sumas, si pueden efectuarse.
0 + 0 + 0 + 0 + 0 + … = 0
1 + 0 + 0 + 0 + 0 + … =1
… y diremos que estas SERIES SON CONVERGENTES
… Pero, ¿qué podemos decir de la siguiente suma infinita?
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
¿Podríamos decir que es cero, agrupando de la siguiente manera?
(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0 + 0 + 0 + 0 + ... = 0
Si así fuera, también podríamos decir que toma el valor uno …
1 - (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1) - ... = 1 - 0 - 0 - 0 - 0 - ... =1
Es razonable pedir que, si los términos de una serie se pueden sumar,
el valor de la suma sea único y, en este caso, tendríamos dos
posibles valores para la suma, lo cual nos lleva a concluir que esta
serie no es posible sumarla. Otra conclusión inmediata es que, para
sumas infinitas, no es válida la propiedad asociativa.
Volvamos a una de las preguntas iniciales:
¿Es que acaso alguna vez hemos tenido que sumar una
infinidad de números?
Desde la educación primaria, aprendimos que al dividir 1
entre 3, utilizando el algoritmo de la división:
0. 3 3 3 …
3 1
1 0
1 0
1
…
Podemos expresar a 1/3 como un decimal infinito (periódico)
O bien atendiendo la notación decimal
...10
3
10
3
10
3...333.0
3
132
Podemos expresar a 1/3 como una SERIE
Es decir, desde nuestros primeros contactos con la aritmética ha
estado presente, aunque de manera implícita, el concepto de
suma infinita.
Definición: Sea una sucesión de números reales.
La expresión
se llama SERIE NUMÉRICA.
A partir de la sucesión formamos una nueva sucesión de sumas parciales
, , , …
y diremos que la serie es CONVERGENTE (sus términos se pueden
sumar) si existe.
En este caso el valor de la serie es:
De lo contrario diremos que la serie es DIVERGENTE (sus términos
no se pueden sumar).
1nna
...321 aaa
11 aS 212 aaS 3213 aaaS nn aaaaS ...321
nn
S
lim
nn
SS
lim
n
k
kn
k
k aa11
lim
n
k
knn aaaaaS1
321 ...
1
321 ...k
kaaaaS
El valor de la serie es el valor al que se aproximan las sumas parciales finitas
Observe que la serie
= 1-1+1-1+1-1+1-1 +…
es divergente
0
)1(n
n
Utilizando la notación SUMATORIA
Observe que para que una serie converja, es necesario que su
término n-ésimo sea cada vez más pequeño y cercano a cero,
es decir,
1n
na 0lim
nn
aconverge,
Sin embargo, la condición no es suficiente como se ve en el
siguiente ejemplo:
...4
1
4
1
4
1
4
1
3
1
3
1
3
1
2
1
2
11
En esta serie, él término n-ésimo tiende a cero y la serie
claramente es divergente.
…
1
12
1
nn
1 3
1
4
1
nn
1
1 r r2 r3 r4 . . .
r
r2
r3
r4
r(1-r)
1-r
r2(1-r)
1 + r + r2 + r3 + r4 … =
Si 0<r<1
1
1 rm
r
rr )1(
2
2 )1(
r
rr ...
1 + r + r2 + r3 + r4 …La Serie Geométrica
si |r|<1
Si partimos de la suma de una progresión geométrica de razón r
11
1...1 12
rsi
r
rrrrS
nn
n
El valor de la serie geométrica será:
1 + r + r 2 + r 3 + r 4 … =r
r n
n
1
1lim
Este límite existe cuando -1<r<1, es decir,
Así pues: 1 + r + r2 + r3 + r4 … =
si |r|<1
...
10
1
10
1
10
11
10
3...
10
3
10
3
10
32232
3
1
9
10
10
3
10/9
1
10
3
10/9
1
10
3
10/11
1
10
3
1 3
1
10
3...3333.0
nn
De manera totalmente análoga, podemos probar lo obtenido
de manera geométrica:
1
12
1
nn y
1 3
1
4
1
nn
La Serie Armónica:...
5
1
4
1
3
1
2
11
1
1
n n
Si consideramos la siguiente sucesión de sumas parciales (finitas)
16
1...
9
1
8
1...
5
1
4
1
3
1
2
1116 S
8
1...
5
1
4
1
3
1
2
118 S
2
112 S
4
1
3
1
2
114 S
2
21
4
1
4
1
2
11
2
31
8
1...
8
1
2
21
2
41
16
1...
16
1
2
31
nn
Slim Y por lo tanto la Serie Armónica
es DIVERGENTE
El Criterio de Comparación
Sea con para toda n,
a) Si converge y para toda n, entonces converge
b) Si y para toda n, entonces
1n
na 0na
1n
na
1n
nbnn ab
1n
na
1n
nbnn ab
Ejemplos:
Converge, pues y converge.
Diverge, pues y la serie diverge.
1 2
)cos(
nn
nnn
n
2
1
2
)cos(
1 2
1
nn
1
1
n n nn
11
1
1
n n
Calculando, numéricamente el valor de una Serie
La Serie Geométrica
La Serie Armónica
La Serie del recíproco de los cuadrados de los naturales
Una serie Alternante
Cuando analizamos la Serie Geométrica
Series de Potencias
0n
nx
Encontramos que esta converge a 1/(1-x) en el intervalo (-1, 1),
es decir, si consideramos a la función
0
)(n
nxxf
Su dominio será precisamente el intervalo (-1, 1) ya que ahí es
donde la serie converge y por lo tanto f (x) está definida.
Diremos entonces que la serie de potencias representa a la
función 1/(1-x) en el intervalo (-1, 1)
...11
1 432
xxxxx
A partir de la Serie Geométrica podemos generar otras series de
potencias y series numéricas importantes: Ver Applet
Cambiamos x por -x
...11
1 432
xxxxx Antiderivando en ambos lados
...5432
)1ln(5432
xxxx
xx
Sustituyendo x =1, obtenemos:
...5
1
4
1
3
1
2
112ln Ver Applet
n
n
n
xn
1
1)1(
1
1)1(
n
n
n
Ver Applet
...11
1 432
xxxxx
Procedamos ahora de la siguiente manera:
Cambiamos x por -x
...11
1 432
xxxxx
Antiderivando en ambos lados
Sustituyendo x =1,
Ver Applet
Cambiamos x por 2x
...11
1 8642
2
xxxx
x
...9753
arctan9753
xxxx
xx
...9
1
7
1
5
1
3
111arctan
4
...9
4
7
4
5
4
3
44
1
121
12
)1(
n
nn
xn
1
1
12
)1(
n
n
n
El Teorema de Taylor con residuo, también nos proporciona
interesantes series de potencias. Por ejemplo del desarrollo de
Taylor para la función exponencial:
n
nx E
n
xxxxe
!...
!3!21
32
0
Tendremos una representación en serie de potencias
...!3!2
132
xx
xex
0!
n
nx
n
xe
...!7!5!3
753
xxx
xsenx
1
121
!)12(
)1(
n
nn
n
xsenx
Análogamente podemos representar en serie de potencias a la
función seno
Ver Applet
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En los cursos de Cálculo Integral se menciona que la función
no tiene una antiderivada representable por medio
de un número finito de funciones “conocidas”
En nuestros términos, podemos preguntarnos por la solución de:
2
)( xexf
2xedx
dy ...!3!2
164
2 xx
x
Antiderivando en ambos términos, obtenemos:
Con y(0) = 0
...)!3(7)!2(53
)(753
xxx
xxy
Así pues la solución de la ecuación planteada se representa por
medio de una serie de potencias.
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Muchas Gracias