método matricial para vigas y marcos
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Explicación del método matricial para vigas y marcos, análisis estructural IIITRANSCRIPT
UNAH - VSDEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL
Análisis Estructural IIIIng. Mario Pineda
MÉTODO MATRICIAL PARA VIGAS Y MARCOS
Nombre No. De Cuenta
Iris Alejandra Chacón 20102000242
Haynee Eloisa García 20102001245
Gabriela Michelle Ramos 20102001522
25 – Agosto - 2015
INTRODUCCIÓN
Se presenta a continuacion el metodo matricial para el analisis de vigas y marcos, daremos a conocer quienes fueron los percursores del metodo, y la manera de como aplicarlo en el analisis de elementos.
El metodo se vuelve muy largo y tedioso ya que se basa en el estudio de la elasticidad de los materialerizarlos; para el aprovechamiento del metodo lo ideal es computarizarlo. Asignando a los elementos una matriz de rigidez que relaciona los desplazamiento de los nodos de la estructura con las fuerzas exteriores necesarias para lograr dicho desplazamiento.
Mostramos las ventajas y desventajas que dicho metodo nos brinda.
PRECURSORES Robert Hooke (Freshwater, Inglaterra,
1635 - Londres, 1703). Físico Y Astrónomo
Inglés. Desarrolló la ley de las relaciones
lineales entre las fuerza y la deformación de
materiales.
G. A. Maney (1888-1947), desarrolló en 1915 el método deflexión-pendiente, que se consideraba como el precursor del método matricial de las rigideces.
Robert
Hooke
Reseña Histórica
Estadio Manuel Rivera Sánchez (Chimbote, Perú)
Análisis con el Método Matricial
Estadio Santiago Bernabéu (España)
Análisis con Cross
PRINCIPIOS O LEYES FISICAS QUE SE APLICAN
En esta ley se fundamenta el estudio de la elasticidad de los materiales.
El método consiste en asignar a la estructura de barras un objeto matemático, llamado matriz de rigidez, que relaciona los desplazamientos de un conjunto de puntos de la estructura, llamados nodos, con las fuerzas exteriores que es necesario aplicar para lograr esos desplazamientos (las componentes de esta matriz son fuerzas generalizadas asociadas a desplazamientos generalizados)
La matriz de rigidez relaciona las fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos sobre los nodos de la estructura.
Para aplicar el método de la rigidez a marcos
debemos primero determinar como
subdividir la estructura.
En general, los nodos de cada elemento se
localizan en un soporte, en una esquina o un nodo, en los que se aplica una fuerza
externa o donde va a determinarse el
desplazamiento lineal o rotacional.
APLICACIÓN DEL MÉTODO
1. LOS ELEMENTOS SE IDENTIFICAN MEDIANTE UN NUMERO EN UN CUADRADO
2. LOS NODOS SE ESPECIFICAN CON UN NUMERO DENTRO DE UN CIRCULO
APLICACIÓN DEL MÉTODO
Coordenadas Globales y Locales
El sistema coordenado global se identificara con el uso de ejes x, y, z que tienen su origen en un nodo y están posicionados de manera que todos los nodos en otros puntos de la estructura tengan coordenadas positivas.
Las coordenadas locales x', y', z' tienen su origen en el extremo cercano de cada miembro y el eje x positivo esta dirigido hacia el extremo alejado
APLICACIÓN DEL MÉTODO
Grados de Libertad
Cada nodo del miembro del marco tendrá tres grados de libertad, siendo nombrados en orden ascendente los no restringidos, seguido de los restringidos.
APLICACIÓN DEL MÉTODO
Matriz De Rigidez De Un Miembro De Un Marco
El origen se coloca en el extremo cercano “n”
El eje x` positivo se extiende hacia el extremo alejado “f”
En cada extremo del elemento hay 3 reacciones:
• FUERZAS AXIALES “ qnx y qfx”
• FUERZAS CORTANTES “qny y qfy”
• MOMENTOS FLEXIONANTES “qnz y qfz”
DESPLAZAMIENTOS EN X:
Si el miembro sufre un desplazamiento nx o un desplazamiento fx , se generan las fuerzas axiales en los extremos del miembro.
DESPLAZAMIENTOS EN Y:
La fuerza cortante y momento flexiónate resultante se generan por un desplazamiento
positivo dny. Mientras los otros posibles desplazamientos están impedidos.
El momento se ha desarrollado por el método de la viga conjugada
Mn = mf = 6 E I / L2
Vn = vf = (mn + mf) / L = 12 E I / L3
Si se impone una rotación positiva dnz mientras que todos los otros
posibles desplazamientos estén restringidos, las fuerzas cortantes y
momentos flexionantes para la deformación que se genera son los
siguientes:
ROTACIONES EN Z:
Mn = 4 E I / LMn = 2 E I / LVn = Vf = (Mn + Mf) / L = 6 E I / L2
Con sumatoria de fuerzas en “N” y “F” de los diagramas anteriores resultan las ecuaciones siguientes:
Se ordenan las ecuaciones en función de “N” punto cercano y “F” como punto lejano, y obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
El anterior sistema de ecuaciones se de denomina como la matriz de rigidez local y se escribe de la forma siguiente:
MATRIZ DE TRANSFORMACION DE DESPLAZAMIENTOTRANSFORMADA
dNx, = DNx cos ɵx dNy
, = -DNx cos ɵy
dNx, = DNy cos ɵy dNy
, = DNy cos ɵx
En el diagrama anterior se supone “N”=“F” y al descomponer los desplazamientos se obtiene lo siguiente :
MATRIZ DE TRANSFORMACION DE FUERZA
TRANSPUESTA
Q Nx = q Nx‘ cos ɵx Q Ny = q Nx‘ cos ɵy
Q Nx = - q Ny‘ cos ɵy Q Ny = q Ny‘ cos ɵx
En el diagrama anterior se supone la descomposición en “N” =“F” y al descomponer la fuerza “Q” aplicada se obtiene lo siguiente :
Matriz TranspuestaDel diagrama anterior se obtiene:
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN MIEMBRO DE MARCO
DEDUCCION DE “K GLOBAL”K = TT K’ T
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA
DEDUCCION DE “K GLOBAL”
K = TT K’ T
Se ha establecido previamente que si los soportes no sufren desplazamientos transversales (asentamientos), entonces cada uno de
los soportes de la viga tendrá solo 1 grado de libertad, o sea, un desplazamiento angular.
Podremos cancelar los reglones y columnas de la matriz del marco asociados a los desplazamientos nx ny fx fy ya que los soportes de la
viga no tienen ningún grado de libertad en esas direcciones.
K =
4 E I / L 2 E I / L
N Z F Z
N Z
F Z4 E I / L2 E I / L
MÉTODO MATRICIAL
VENTAJAS
1. Desde el punto de vista práctico,
proporciona un sistema apropiado de
análisis de estructuras y determina
una base muy conveniente para el
desarrollo de programas de
computación.
2. Desde el punto de vista teórico,
permite utilizar métodos de cálculo en
forma compacta, precisa y, al mismo
tiempo, completamente general.
DESVENTAJAS
1. Si no se cuenta con una computadora
el diseño de un marco se vuelve muy
extenso, repetitivo y tedioso.
2. Debe admitirse que los métodos
matriciales se caracterizan por una
gran cantidad de cálculo sistemático.
