MÉTODO LAGRANGE & KUHN TUCKER

OPTIMIZACIÓN DE SISTEMAS Y FUNCIONES

Daniel PazIng. Sistemas ¨A¨

Instituto Universitario Politécnico

“Santiago Mariño”

MÉTODO DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Joseph-Louis Lagrange, bautizado como Giuseppe Ludovico Lagrangia, también llamado Giuseppe Luigi Lagrangia o Lagrange (25 de enero de 1736 en Turín - 10 de abril de 1813 en París) fue un físico, matemático y astrónomo italiano que después vivió en Prusia y Francia. Lagrange trabajó para Federico II de Prusia, en Berlín, durante veinte años. Lagrange demostró el teorema del valor medio, desarrolló la mecánica Lagrangiana y tuvo una importante contribución en astronomía.

Joseph-Louis Lagrange

MÉTODO DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamado así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones.

Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange.

MÉTODO DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.

La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la función sean iguales a cero.

ÁREAS IMPORTANTES DONDE ES APLICADO

Economía:La optimización reprimida desempeña un papel central en la economía. Por ejemplo, el problema selecto para un consumidor se representa como uno de maximizar una función de utilidad sujeta a una coacción de presupuesto. El multiplicador Lagrange tiene una interpretación económica como el precio de la oposición asociado con la coacción, en este ejemplo la utilidad marginal de ingresos . Otros ejemplos incluyen la maximización de la ganancia para una firma, junto con varias aplicaciones macro-económicas.

ÁREAS IMPORTANTES DONDE ES APLICADO

Teoría de control:En la teoría de control óptimo, los multiplicadores de Lagrange se interpretan como constantes variables, y los multiplicadores de Lagrange se formulan de nuevo como la minimización del hamiltoniano, en el principio mínimo de Pontryagin.

OBJETIVOS DEL MÉTODO

Visualizar algunas superficies cuádricas y curvas de nivel para distintos valores de la variable z.

Ø Identificar, a través de los simuladores, los puntos (x,y) sobre la curva correspondiente a la función restricción donde la función principal tiene extremos.

Ø Interpretar gráficamente los resultados obtenidos empleando el método de multiplicadores de Lagrange.

Ø Aproximar las soluciones del problema a partir de la observación en el simulador, de las curvas de nivel de la función principal y la curva correspondiente a la función condicionante.

Ø Adquirir habilidad en la resolución de problemas de optimización en un ambiente computacional.

APLICACIÓN DEL MÉTODO I/II

Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x R∈ n}. Se definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,..., s, y se observa (si las restricciones son satisfechas) que:

Se procede a buscar un extremo para h

Lo que es equivalente a:

APLICACIÓN DEL MÉTODO II/II

Para entender mejor explicaremos el procedimiento de la siguiente manera:

Se tiene una función y una restricción. Se iguala la restricción a 0. La restricción se multiplica por lambda y se resta de la función principal Se obtienen las derivadas parciales de la función resultante. Se construye un sistema de ecuaciones con estas derivadas. A continuación se obtienen los valores críticos desarrollando el sistema

de ecuaciones, en donde siempre el valor debe eliminarse para que se puedan obtener los valores críticos de las variables.

Se sustituyen los valores necesarios para sacar los puntos críticos.

CONDICIONES DE KARUSH-KUHN-TUCKER

Albert William Tucker (28 de noviembre de 1905 – 25 de enero de 1995) fue un matemático estadounidense nacido en Canadá que realizó importantes contribuciones a la Topología, Teoría de juegos y a la Programación no lineal.

Albert William Tucker

CONDICIONES DE KARUSH-KUHN-TUCKER

En programación matemática, las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (también conocidas como las condiciones KKT o Kuhn-Tucker) son condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de programación matemática sea óptima. Es una generalización del método de los Multiplicadores de Lagrange

PROBLEMA GENERAL DE OPTIMIZACIÓN

Consideremos el siguiente problema general:

donde f(x) es la función objetivo a minimizar, gi(x) son las restricciones de desigualdad y hj(x) son las restricciones de igualdad, con m y l el número de restricciones de desigualdad e igualdad, respectivamente.

Las condiciones necesarias para problemas con restricciones de desigualdad fueron publicadas por primera vez en la tesis de máster de W. Karush, aunque fueron renombradas tras un artículo en una conferencia de Harold W. Kuhn y Albert W. Tucker.

APLICACIÓN DEL MÉTODO I/II

¿Qué Queremos hacer?

Queremos optimizar una función sujeta a una o más restricciones.

El elemento más característico del método de Kuhn-Tucker es que utilizaremos restricciones con desigualdad.

Analíticamente queremos:

Opt f(xi) s.a. g(xi) ≤ ci

APLICACIÓN DEL MÉTODO II/II

Opt f(xi) s.a. g(xi) ≤ ci

para cualquier i =1, … n.

Si queremos Max f(xi) Si Min f(xi)

λ > 0 λ < 0

Teniendo en cuenta que Max f(xi) = - Min f(xi)

Podremos construir la función lagranjiana de la forma:

L (xi , λi)= f(xi) - ∑λi( g(xi) – ci )

CONDICIONES DE KUHN-TUCKER I/II

CONDICIONES DE PRIMER ORDEN

∂ L (xi , λi) ∂ xi

= 0

A B

CONDICIONES DE HOLGURA COMPLEMENTARIA

λi( g(xi) – ci ) = 0

CONDICIONES DE KUHN-TUCKER II/II

En todos los casos debemos comprobar que se cumple:

g(xi) ≤ ci

Los multiplicadores de Lagrange deben coincidir con el problema de optimización:

Si maximizamos, es λ > 0 ? Si minimizamos, es λ < 0 ?

C D

IMPORTANCIA DEL MÉTODO

La importancia de este teorema radica en que nos muestra que podemos asociar una función de utilidad a unas preferencias, esto nos abre la puerta de la potente herramienta del análisis matemático para el estudio del comportamiento.

CAMPO DE APLICACIÓN

Básicamente el procedimiento consiste en resolver el problema no lineal como uno sin restricciones, luego si la solución óptima de dicho problema no cumple la totalidad o parte de las restricciones del problema se activan dichas restricciones (en conjunto y/o secuencialmente) y se resuelve nuevamente. Esto se repite hasta llegar a un conjunto de restricciones activas cuya solución también satisface las restricciones omitidas. Esta característica particular de los modelos no lineales permite abordar problemas donde existen economías o de economías de escala o en general donde los supuestos asociados a la proporcionalidad no se cumplen.