metodo de tres momentos unj

8/16/2019 Metodo de Tres Momentos UNJ

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN Escuela académico profesional de ingeniería civil

INTRODUCCIÓN

En la ingeniería se presentan problemas relacionados con el cálculo, o la simplificación del mismo con

respecto a los momentos flectores en una viga de estudio. Con la aplicación de una fórmula que relacionalos datos de la situación del problema, directamente (con una ecuación matemática), se puede determinar

a renglón seguido el comportamiento de la viga.

El problema que enfrentan los ingenieros en el cálculo de vigas que tienen más de dos apoyos, reside en

la indeterminación de las variables en superioridad de las ecuaciones aportadas por la Estática y la

Resistencia de Materiales. Que es el caso particular que se explicará en relación con el método de los tres

momentos y las vigas continuas.

A través de este trabajo de investigación para fines expositivos, se resumirá con algunos ejemplos

básicos, la resolución de problemas de ingeniería, con la técnica matemática y el contenido teórico que

respalda el desarrollo operativo del método de los tres momentos para vigas , que no pueden ser

analizadas en otros métodos, dada su indeterminación o su comportamiento hiperestático.

De paso se resumirán los conceptos precedidos para el análisis compresivo del método. Se estará en

contacto con la definición de las fases de una viga continua, los principios de hiperestaticidad, diagramas

de fuerzas y flexiones y la propia deformación analizada en vigas continuas. Buscando significados a los

datos recolectados para la formulación del trabajo, existe una relación entre la palabra flecha y

deformación de una viga. Se explica este concepto, con tal de que no se confunda su significado, así como

otros.

Las gráficas que presentan a las vigas en sus condiciones de apoyo y sumisión a cargas, revelan que se

necesitará previamente desarrollar bosquejos para indicar el flujo del momento, cortante y flexión sobre laviga. Estos esquemas gráficos proporcionarán datos valiosos en la operatividad del método.

La utilización de vigas continuas en la ingeniería civil es muy frecuente, por ejemplo en puentes, pórticos,

forjados, carriles de ferrocarril, tuberías, etc. Lo que no le resta importancia en su estudio.


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La viga continua nos dará pie a las definiciones más adelante, pero mientras, es justo que se comprenda

que puede tratarse como una tipología particular de estructura reticulada de plano medio, capaz de

soportar esfuerzos, principalmente de flexión y cuya característica mas importante es la de disminuir los

momentos en relación con los que se producen en vigas similares de tramos simplemente apoyados. Eso

justifica su uso, y en este caso, su estudio.

VIGAS CONTINUAS

Siempre, antes de enfrentar el análisis de algún método es recomendable valerse de los significados de los términos

que se usarán. En la tesis de la investigación, se encontró que el Método de los Tres Momentos, no es el único que

da soluciones a los problemas de cálculo en vigas continuas. Sin embargo, el problema genérico parte de condición

estática de la viga.

Una viga continua puede definirse como una estructura

hiperestática formada por varias piezas rectas alineadas,

unidas entre si por nudos rígidos apoyados, determinándose

vano, o tramo, al segmento comprendido entre dos apoyos

sucesivos de la viga. Esta tipología es apreciable en la

figura 1.

En el estudio de las vigas continuas sólo consideramos la acción de fuerzas verticales y de momentos, con lo quelas reacciones en los apoyos también serán verticales. De actuar alguna fuerza horizontal, como, por ejemplo, de

frenado en puentes de carretera o de ferrocarril, supondremos que uno de los apoyos es fijo y, por tanto, que

soporta todas las acciones

horizontales. Con esta disposición

de los apoyos, los cambios térmicos

uniformes a través del espesor de las

piezas no producen ningún tipo de

esfuerzo.

Como la viga sobre dos apoyos

simples es un sistema isostático, en una viga de más de un tramo cada apoyo intermedio introduce un vinculo

redundante y, en general, una viga continua sobre n apoyos, constituye un sistema n-2 veces hiperestático. Por

tanto, en la resolución de una viga continua pueden tomarse como incógnitas hiperestáticas las reacciones de los

apoyos intermedios.

Recordando que una estructura hiperestática es

aquella que necesita más elementos de los necesarios

para mantenerse estable; la supresión de uno de ellos

no conduce al colapso, pero modifica sus condiciones

de funcionamiento estático. También llamada

estructura estáticamente indeterminada. Y que estas

condiciones se reflejan en el cálculo, puesto que la

cantidad de variable supera la cantidad de ecuaciones

proporcionadas para la solución de los estados de

esfuerzos sobre ellas.

Figura 1 Viga continua. Se observa que los nudos intermedios son

rígidos, lo cual implica la continuidad de los giros y los momentos

flectores a uno y otro lado de cada apoyo.


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En estas razones se puede establecer:

Si se toma por separado cada uno de estos tramos y se observa que las cargas externas producen un diagrama de

momentos pero tambien aparecen momentos hiperestáticos al separar cada tramode la viga. Los dos tramos tienen

un punto común en el cuál se ubica el apoyo No. 2, y en cual se sabe que .

El ángulo que se genera en este punto debe ser igual a cero. También se observa que cada uno de de los tramos

es afectado por las cargas y los momentos. Tomando en consideración el teorema de area momentos, la

contribución de las cargas externas del tramo 1 a es la siguiente:

Podemos expresar el ángulo como una contribución de los momentos hiperestáticos

En el tramo dos, igualmente está expresado como sigue:

Igualando con la ecuación determinada antes donde

, tenemos:

Donde:

M1, M2, M3 : Momento flectores en los apoyos 1, 2 y 3.

L1, L2 : Longitudes de los tramos 1 y 2.


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A1, A2 : Área del diagrama de Momentos Flectores de las Cargas sobre los tramos 1 y 2.

a1 : Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del tramo 1 al apoyo 1.

b2 : Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del tramo 2 al apoyo 3.

CONSIDERACIONES DEL MÉTODOSi se va a trabajar con más de dos tramos, deben escribirse una ecuación de Tres Momentos por cada par de

tramos consecutivos.

Tramo 1-2:

M1L1 + 2M2(L1 + L2) + M3L2 + (6A1a1)/L1 + (6A2b2)/L2 = 0

Tramo 2-3:

M2L2 + 2M3(L2 + L3) + M4L3 + (6A2a2)/L2 + (6A3b3)/L3 = 0

Tramo 3-4:

M3L3 + 2M4(L3 + L4) + M5L4 + (6A3a3)/L3 + (6A4b4)/L4 = 0

Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero. Si tenemos un empotramiento, se

puede construir una ecuación adicional de Tres Momentos, creando un tramo virtual en el que todos los valores

sean iguales a cero. Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo cero.

http://www.lamolina.edu.pe/FACULTAD/AGRICOLA/dma/software/vigas/vigas_archivos/image068.gifhttp://www.lamolina.edu.pe/FACULTAD/AGRICOLA/dma/software/vigas/vigas_archivos/image068.gifhttp://www.lamolina.edu.pe/FACULTAD/AGRICOLA/dma/software/vigas/vigas_archivos/image068.gif


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Para aplicar la ecuación anterior, resultan útiles tablas como la tabla 7.1, que dan de una vez las reacciones de la

viga conjugada para diversas solicitaciones de carga, siendo y correspondiente a los tramos y, respectivamente.


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ANALISIS DE VIGAS SIMPLEMENTE APOYADA ANTE DIVERSOS ESTADOS DE CARGA

Viga simplemente apoyada ante una carga uniformemente distribuida.

Solución

Diagrama de sólido libre:

Aplicamos las ecuaciones de la estática:

∑ H1=0

∑ R1 + R2=WL

∑ R1 (L) = WL (

)


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R1=

R2=

Hacemos un corte en la viga a una distancia “x”:

Aplicamos las ecuaciones de la estática:

∑ HX=0

∑ -VX +

- WX= 0

VX =

– WX

∑ -MX +

-

= 0

MX =

-

Integramos dos veces la ecuación del momento para obtener las ecuaciones de la pendiente o giro y la ecuación de

la elastica:

EI

=

Primera integración, obtenemos:

EI

=

– C1……… Ec. Gnral de la pendiente o giro


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Segunda integración, obetenemos:

EIY=

– C1X + C2 ……… Ec. Gnral de la elastica

Aplicamos las condiciones de continuida y compatibilidad para hallar las constantes de integración:

Si X=0 entonces Y=0; por lo tanto C2=0

Si X=L entonces Y=0; por lo tanto C1= -

Reemplazando las constantes de integración en las ecuaciones de la pendiente y la elastica obtenemos lo siguiente:

EI

=

–

……… Ec. Gnral de la pendiente o giro

EIY=

–

X ……… Ec. Gnral de la elastica

Ahora hallamos los giros:

Si X=0 entonces

= -

Si X=L entonces

=

Los giros quedarían representados en la viga.

+


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Determinar los giros de la viga con una carga puntual en el centro del claro

SOLUCIÓN

Diagrama de cuerpo libre

∑ RA + RB = P

∑ RA (L) – P (L/2) = 0

RA =

RB =

Aplicando un corte a la viga para hallar el momento general

∑ Vx = P/2 – P( x- L/2 )

∑ -Mx – P( x - L/2) + P ( L/2 ) = 0


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Mx = Px/2 - P(x - L/2)

Aplicando doble integracion

EI

=

– P (x -

)

EI

=

–

(x -

+ C1

EI =

–

(x -

+ C1X + C2

Por condiciones de compatibilidad

Cuando:

X = 0 y = 0

EI =

–

(x -

+ C1X + C2

EI =

–

(0 -

+ C1 (0) + C2

C2 = 0

Cuando:

X = L y = 0

EI =

–

(x -

+ C1X + C2

EI =

–

(L -

+ C1(L) + C2

C1 =

Reemplazamos en la ecuación de la elástica

EI

=

–

(x -


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Cuando:

X = 0

EI

=

–

(0 -

=

Cuando:

X = L

EI

=

–

(L -

=

Los giros quedarían representados en la viga


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EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1.-Determinar los momentos en los apoyos en la siguiente viga continúa.

400 N/m 800 N/m 700 N/m600 N/m

3.00 1.00 3.00 1.00 1.00 2.001 2 3 4

R1 R2 R3 R4

a)

Aplicando la ecuación de los tres momentos a los tramos 1, 2 y 3.

+ + + +

+

………..(1)

+ + + +

+

………..(2)

b) De acuerdo con la definición de momento flexionante, M1 Y M4 son nulos, por lo que las ecuaciones (1) y

(2) forman un sistema de dos incógnitas M2 Y M3, que puede resolverse si se conocen los valores de

6Aa/L Y 6Ab/L para cada tramo, correspondiente a las cargas dadas.

+

∑

+

c) Reemplazamos los valores obtenidos en las ecuaciones (1) y (2)

+ + + + ………..(1)

+ + + + ………..(2)


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Simplificando:

+ + ………..(1)

+ + ………..(2)

Resolviendo el sistema se obtiene:

2.- Los momentos hiperestáticos en la estructura de supervisión de equilibrio para camiones que se muestra en la

figura articulado en 1, y simplemente apoyado en 2, 3 y 4. Considere el peso de las columnas de contención de

acero galvanizado como cargas puntuales en las distancias céntricas correspondientes. Asuma el peso del camión

como carga distribuida de 4kN/m sobre la plataforma del puente entre el punto 2 y 3.

10kN 10kN 4kN/m 20kN

2m

4m

6m

6m


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20KN

Construyendo el esquema de análisis del problema:

En el siguiente paso construimos el diagrama de cortante y momento, superponiendo las cargas y dividiendo la

estructura en tramos. El primer tramo contiene la carga puntal de la primera columna de contención con su

magnitud respectiva. El segundo tramo asume el peso del camión como carga distribuida entre el punto 2 y 3. El

tercer tramo asume el peso de dos columnas en cargas puntualmente aplicadas y concluye con una articulación.

DIAGRAMAS DE ESFUERZO CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR DE LA ESTRUCTURA


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Analizando el primer tramo de 1 a 2, se construye nuestra primera ecuación:

Analizando el segundo tramo de 2 a 3, se construye la segunda ecuación:

Si M1 y M4 son iguales a 0 y resolviendo sistema de ecuaciones (1 ) y (2) tenemos

Con el valor de los momentos calculados, sustituimos en las ecuaciones de fuerza, calculando las fuerzas en los

tramos con los valores encontrados para obtener las reacciones reales de los apoyos.

20KN


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20KN

Construyendo el diagrama de momento total con las reacciones totales ya calculadas.


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3.- En la siguiente viga vamos a analizar los momentos que se generan en los apoyos, mediante el método de los

tres momentos.


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4.- Determinar los momentos hiperestáticos que se generan en los apoyos, usar la ecuación de los tres momentos y

realizar los diagramas correspondientes.


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CONCLUSIÓN

En la parte final de la investigación se alinean los aspectos generales del tema de vigas continuas y la oferta de

solución que brinda el método matemático, para problemas de aplicación en ingeniería. Se resumirá brevemente enconclusiones puntuales los conocimientos concretos adquiridos, conjuntamente, al análisis del mismo con respecto a

los sistemas de cálculo de momentos flectores, conocidos previamente.

Comprendiendo el método, podríamos decir, que se trata de una ecuación que relaciona a las vigas y los momentos

sobre los apoyos con un comportamiento matemático creciente, que a su vez no es limitado por la forma

hiperestática de la estructura. Resulta beneficioso un método que nos proporcione soluciones en problemas de vigas

indeterminadas, o continuas, como suele suceder en la ingeniería. Por lo regular en grandes estructuras del campo

de estudio mecánico y la propia construcción civil, un método que exprese el comportamiento conteniendo a lascargas y los momentos, relacionándose al mismo tiempo con los diagramas que reflejan los esfuerzos de corte

máximos , y los momentos flectores, le agrega fidelidad a los resultados.

Eso es lo que difiere con respecto a los demás métodos. El teorema de los tres momentos, ajusta por tramos de

ecuaciones conocidas a los esquemas de análisis que contienen la situación de la estructura de estudio. Cada paso

es fidedigno y no requiere de cálculos avanzados de derivadas o integraciones múltiples. El comportamiento es

creciente, una función relacionada a la expansión de una línea, donde por lo conocido en resistencia de materiales,

el momento afectado sobre una viga guarda relación con su centroide, su área de sección y la distancia desde elpunto de referencia.

Es menester reconocer, que en el intento de presentar un ejercicio de aplicación donde se demostrase la utilidad de

la ecuación de los tres momentos idealizada por Clapeyron, nos dirigimos al caso práctico de un puente, con ciertas

condiciones de carga sobre la plataforma. El problema lejanamente puede ser considerado como complicado.

Hemos querido presentarlo de esa forma, para darle la versatilidad al campo real de los problemas ingenieriles

ligado a la continuidad y la indeterminación de las vigas de análisis.

En comparación con otros métodos conocidos, para la resolución de cargas vigas determinadas, aunque no esté al

mismo nivel de cálculo, el asunto indeterminado se corrige con una ecuación que no trasciende fronteras

algebraicas. Las funciones están ordenadas en grados con respecto a los sistemas que dan solución no más de dos

sustituciones. Eso, sencillamente es útil y aprovechable.

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