metodo viga conjugada y area de momentos todo

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METODO VIGA CONJUGADA I.- INTRODUCCIÓN El presente trabajo se basa en la investigación para conocer un poco más sobre otro de los métodos que permite encontrar giros y desplazamiento en cualquier punto de la elástica en una viga; me refiero al método de la viga conjugada. En este trabajo daremos a conocer sobre la definición de este método, para qué nos sirve, como es su proceso aplicativo, en qué tipo de estructura es aplicable este método, qué es una viga ficticia y qué relaciones guarda con una viga real, la diferencia de este método con el que ya estudiamos anteriormente (área de momentos), y por último procederemos a resolver los problemas dados conociendo los aspectos más básicos de la teoría. En la definición, explicaremos a qué se le llama “viga conjugada”, en qué fundamentos teóricos se basa, que tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero, por lo cual se puede averiguar directamente la pendiente y deflexión en cualquier punto de la elástica y que se utiliza en vigas y columnas estáticamente determinadas. También, aprenderemos a través de un gráfico que una viga ficticia es aquella que se carga con el diagrama de momentos reducidos de la viga real, y por consiguiente guardan relación de donde se obtiene las analogías que se utilizan RESISTENCIA DE MATERIALES II – INGENIERIA CIVIL

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Page 1: Metodo Viga Conjugada y Area de Momentos Todo

METODO VIGA CONJUGADA

I.- INTRODUCCIÓN

El presente trabajo se basa en la investigación para conocer un poco más sobre

otro de los métodos que permite encontrar giros y desplazamiento en cualquier

punto de la elástica en una viga; me refiero al método de la viga conjugada.

En este trabajo daremos a conocer sobre la definición de este método, para qué

nos sirve, como es su proceso aplicativo, en qué tipo de estructura es aplicable

este método, qué es una viga ficticia y qué relaciones guarda con una viga real, la

diferencia de este método con el que ya estudiamos anteriormente (área de

momentos), y por último procederemos a resolver los problemas dados

conociendo los aspectos más básicos de la teoría.

En la definición, explicaremos a qué se le llama “viga conjugada”, en qué

fundamentos teóricos se basa, que tiene la ventaja de que no necesita conocer

previamente un punto de tangente cero, por lo cual se puede averiguar

directamente la pendiente y deflexión en cualquier punto de la elástica y que se

utiliza en vigas y columnas estáticamente determinadas.

También, aprenderemos a través de un gráfico que una viga ficticia es aquella que

se carga con el diagrama de momentos reducidos de la viga real, y por

consiguiente guardan relación de donde se obtiene las analogías que se utilizan

para resolver los ejercicios.

La convención de signos en este método se fundamenta en el resultado de haber

encontrado el momento o la fuerza cortante de la viga ficticia, pues según sea el

signo de la respuesta, se sabrá el signo de la flecha o del giro en la viga real.

Por último, después de haber conocido todos estos conceptos básicos para poder

resolver los ejercicios, procederemos a desarrollar dichos problemas, aplicando

todo lo aprendido de la teoría para llevarlos a la práctica

La Viga Conjugada es siempre una viga estáticamente determinada.

RESISTENCIA DE MATERIALES II – INGENIERIA CIVIL

Page 2: Metodo Viga Conjugada y Area de Momentos Todo

METODO VIGA CONJUGADA

Utilizando los Principios se establece un conjunto de Teoremas que dan soporte a

un conjunto de Métodos en este caso el Método de la Viga Conjugada.

A su vez el desarrollo operativo de los Métodos se concreta en una serie de

Procedimientos.:

Principio -> Teorema -> Método -> Procedimiento

El conocimiento de las deformaciones resulta también sumamente importante

desde el punto de vista constructivo. Para dichos cálculos se hará uso del método

de la viga conjugada que consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a

la viga conjugada. Luego dando corte y aislando unas de las parte de mejor

conveniencia, se obtiene el cortarte que será el giro de la viga real y el momento

en la viga conjugada será el desplazamiento en la misma.

La deflexión que presentan las vigas por acción de las cargas que soportan, han

motivado la existencia de numerosos métodos de cálculo aplicables a cualquier

tipo de estructuras. A continuación analizaremos el método de la viga conjugada.

Este método contaremos con vigas que puede ser isostática o hiperestática

(tenemos que hacer que la viga sea como isostática) ya que esta siempre es una

viga estáticamente determinada, a partir de este punto, calculamos el diagrama de

momento (M y M/EI), obtendremos dos ecuaciones, una indica el giro θ (x) de la

viga en cualquier punto y la segunda el valor de la flecha δ(x) de la viga deformada

en cualquier punto de ésta.

Se resume que la viga conjugada es una ficticia de longitud igual a la de una viga

real y cuya carga es el diagrama de momentos flectores reducidos.

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Page 3: Metodo Viga Conjugada y Area de Momentos Todo

METODO VIGA CONJUGADA

II.- OBJETIVOS

OBJETIVOS GENERALES:

El objetivo principal de este trabajo es el mostrar el comportamiento de una

estructura a través de este método.

Cálculo de giros y flechas en vigas.

Aprender a calcular desplazamientos y giros en cualquier punto de la viga

real utilizando una viga ficticia para ello.

Graficar correctamente el diagrama de momentos reducidos de la viga real

para poder crear así nuestra viga ficticia.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Utilizar el método de LA VIGA CONJUGADA ó método de la viga

imaginaria, para el cálculo de deflexiones en vigas.

Entender el concepto del método de la viga conjugada.

Analizar la viga estáticamente determinada.

Resolver los ejercicios dados a través de las relaciones estudiadas entre

una viga real y ficticia.

III.- MARCO TEORICO

3.1.- METODO DE LA VIGA CONJUGADA

3.1.1.- DEFINICION.- Es una viga ficticia de longitud igual a la de la viga real y

cuya carga es el diagrama de momento flector reducido aplicado del lado de la

compresión.

La viga conjugada es siempre una viga estáticamente determinada. Este  

método consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a la viga

conjugada. Luego dando corte y aislando unas de las parte de mejor

RESISTENCIA DE MATERIALES II – INGENIERIA CIVIL

Page 4: Metodo Viga Conjugada y Area de Momentos Todo

METODO VIGA CONJUGADA

conveniencia, se obtiene el cortarte que será el giro de la viga real y el

momento en la viga conjugada será el desplazamiento en la misma y también

se le denomina viga conjugada a una barra en la que las cargas son los

diagramas de momentos de las cargas reales dadas. Este método al igual que

el de eje elástico y área de momentos, nos permite calcular los giros y fechas

de los elementos horizontales denominados vigas o de los verticales llamados

columnas. La fig. 1 muestra un ejemplo de este tipo de vigas.

3.1.1.-MARCO HISTORICO.- El método de la " viga conjugada " se debe a

Otto Mohr quien lo presentó en 1868. Es de gran importancia para la

determinación de deformaciones, por la operatividad que introduce este

método.

3.1.1.1.-CHRISTIAN OTTO MOHR.-

Christian Otto Mohr (Wesselburen, 8 de octubre de 1835 - Dresde, 2 de

octubre de 1918) fue un ingeniero civil alemán, uno de los más

celebrados del siglo XIX.

3.1.1.2.-VIDA.-

Mohr perteneció a una familia terrateniente de Wesselburen en la región

de Holstein y estudió en la Escuela Politécnica de Hanóver. En los

inicios de 1855, durante su vida laboral temprana estuvo trabajando en

el diseño de vías de ferrocarriles para las vías de los estados

de Hanóver y Oldenburg, diseñando algunos puentes famosos y

RESISTENCIA DE MATERIALES II – INGENIERIA CIVIL

Page 5: Metodo Viga Conjugada y Area de Momentos Todo

METODO VIGA CONJUGADA

creando algunas de las primeras armaduras de acero.

Aún en sus primeros años construyendo vías de tren, Mohr se sentía

muy interesado por las teorías de mecánica y la resistencia de

materiales y en 1867, se hizo profesor de mecánica en el Politécnico de

Stuttgart y en 1873 en el Politécnico de Dresde. Mohr tenía un estilo

directo y sencillo que era muy popular entre sus estudiantes.

3.1.1.1.-LOGROS CIENTIFICOS.-

En 1874, Mohr formalizó, la hasta entonces solo intuitiva, idea de

una estructura estáticamente indeterminada. Mohr fue un entusiasta de

las herramientas gráficas y desarrolló un método para representar

visualmente tensiones en tres dimensiones, previamente propuesto

por Carl Culmann. En1882, desarrolló el método gráfico en dos

dimensiones para el análisis de tensión conocido como círculo de

Mohr y lo usó para proponer la nueva teoría de resistencia de

materiales, basada en el esfuerzo cortante. También desarrolló

el diagrama Williot-Mohr para el desplazamiento de armaduras y

la teoría de Maxwell-Mohr para el análisis de estructuras estáticamente

indeterminadas. Se retiró en 1900 y murió en Dresde en 1918.

3.1.- PROCEDIMIENTO.-

El método de la viga conjugada consiste en hallar el momento en la viga real y

cargarlo a la viga conjugada. Luego, aplicando la estática se hallan las cortantes y

momentos en la viga ficticia. Donde el cortarte será el giro de la viga real y el

momento en la viga conjugada será el desplazamiento en la misma.

Este método es útil cuando es fácil determinar la ley de momentos flectores de la

principal. Si no se utiliza otro método. En la viga conjugada las cargas están

dirigidas hacia abajo cuando el momento flector de la viga principal es positivo.

RESISTENCIA DE MATERIALES II – INGENIERIA CIVIL

Page 6: Metodo Viga Conjugada y Area de Momentos Todo

METODO VIGA CONJUGADA

Existe una relación entre el cortante

obtenido en la viga conjugada y el ángulo

girado en la misma sección en la viga

principal; y una relación entre el

momento flector en la viga conjugada y el

Desplazamiento producido en esa misma

sección en la viga principal

RESISTENCIA DE MATERIALES II – INGENIERIA CIVIL

C’ ϕA

ϕC

C

B’MA

MB

BABAMB

MA

Aplicando el primer teorema de Mohr,

zz EIlEIAR'M x x B dx∫A A ;

B

AAen la viga conjugada.∫⇒ M x x B dx R' A lM B 0 R' A l ∫ M x dxx

B

bb

zz EIEIll ABAAA Ba ;tg BB'

;

`

;S

M AB∫A M x x B

dx

B

Page 7: Metodo Viga Conjugada y Area de Momentos Todo

METODO VIGA CONJUGADA

3.2.-POSTULADOS.-

1. El giro en cualquier sección de la viga real, es igual al cortante en la sección

correspondiente de la viga conjugada.

2. La flecha en cualquier sección de la viga real, es igual al momento flector en la

viga conjugada en la sección correspondiente.

Los apoyos de la viga real, para la viga conjugada se transforman a las indicadas

en la figura. Estas transformaciones se han hecho teniendo en cuenta que la viga

conjugada debe ser estáticamente determinada.

3.3.- CONVENCION DE SIGNOS:

Si el cortante es (+): el giro es (-)

Si el cortante es (-): el giro es (+)

Si el momento es (+): el desplazamiento es hacia abajo.

Si el momento es negativo: el desplazamiento es hacia arriba.

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Page 8: Metodo Viga Conjugada y Area de Momentos Todo

METODO VIGA CONJUGADA

3.4.- Condiciones de contorno:

3.5.-RELACIONES VIGA REAL Y VIGA CONJUGADA

a.- La longitud de la viga real y de la conjugada es la misma.

b.- La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real.

c.- La fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el

mismo punto de la viga real.

d.-El momento flexionante en un punto de la viga conjugada es la flecha en el

mismo punto de la viga real.

e.-Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada.

f.- Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga

conjugada.

RESISTENCIA DE MATERIALES II – INGENIERIA CIVIL

ϕ C ≠ 0 ⇒ C 'C ≠ 0 empotramiento

Extremo libre

ϕ C 0 ⇒ C 'C 0 extremo libre

Empotramiento

ϕ C ϕ C ≠ 0 ⇒ C 'C ≠ 0 articulación

Apoyo articulado móvil en el interior

ϕ C ≠ 0 ⇒ C 'C ≠ 0 Apoyada – apoyadaApoyada – apoyada (movil – fijo)

Viga conjugada.Viga principal.

M 'C 0⇒ C 0

M 'C 0⇒ C 0

⇒ M 'C 021

C 0

M 'C 0⇒ C 0

Page 9: Metodo Viga Conjugada y Area de Momentos Todo

METODO VIGA CONJUGADA

g.- Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento conjugado.

h.- Un apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o articulación

en la viga conjugada.

3.6.- TABLAS DE CONVERSION:

Esquema VIGA REAL Esquema VIGA CONJUGADA (Giros, desplazamientos)

(Corte, momento)

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Page 10: Metodo Viga Conjugada y Area de Momentos Todo

METODO VIGA CONJUGADA

En algunos casos, en especial cuando las estructuras son estáticamente

indeterminadas, la viga conjugada puede resultar inestable. Este inconveniente

queda resuelto cuando se carga a la misma, ya que el propio estado de cargas le

confiere estabilidad.

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Page 11: Metodo Viga Conjugada y Area de Momentos Todo

METODO VIGA CONJUGADA

5.- CONCLUSIONES.-

1. El cortante en cualquier sección de la viga conjugada es el giro en la viga

real en dicha sección. El momento flector en una sección de la viga

conjugada es la flecha en la viga real en dicha sección.

2. La viga conjugada es siempre una viga estáticamente determinada.

3. La viga conjugada se carga siempre con el DMF en dirección de la

comprensión.

4. Analizar una estructura es fundamental para conocer el comportamiento de

esta frente a las diferentes solicitaciones tanto estáticas como dinámicas.

5. Frente a estas solicitaciones las estructuras sufren pequeñas

deformaciones internas, tanto en los nudos como en la viga misma,

siempre que los apoyos o la viga misma permita alguna deformación. El

conocer estos comportamientos permite saber si la deformación será

resistida por la estructura y así no falle.

6. El conocimiento de métodos como la viga conjugada nos permite ver el

comportamiento de una viga con respecto a la rotación de sus apoyos y la

deformación en su punto mas critico y así poder predecir si esta

deformación esta dentro del rango permitido, y por lo tanto saber si resiste

la estructura o no.

7. Para el análisis de la viga conjugada es importante tener en cuenta que el

cortante en cualquier sección de la viga conjugada es el giro (θ) en la viga

real en dicha sección. El momento flector en una sección de la viga

conjugada es la flecha (∆) en la viga real en dicha sección.

RESISTENCIA DE MATERIALES II – INGENIERIA CIVIL

Page 12: Metodo Viga Conjugada y Area de Momentos Todo

METODO VIGA CONJUGADA

6.-BIBLIOGRAFIA:

Resistencia de Materiales:Pytel•Singer 4ta Edición (Pág. 212)

Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de MaterialesUniversidad Nacional de Ingeniería

http://www.politecnicovirtual.edu.co/ana-estru/analis-estruc-1.htm

http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/deflexiones/metodos%20geometricos/deflexiones%20geometricas.htm

www.ing.una.py/.../APOYO/Mecanica%20de%20Materiales%20I/Clase%2012%20-%20Viga%20Conjugada%20V250505.pdf

Análisis EstructuralGENARO DELGADO CONTRERASPágs. 21 – 371º Edición.

Mecánica de MaterialesFERDINAND P. BEER, E. RUSSEL JOHNSTON, JR.Págs. 528 – 5372º Edición

Resistencia de Materiales I – IIARTEAGA N., P. IBERICO C., P. IBERICO C., C. GONZALES, A. MEGO C.Págs. 137 – 1523º Edición.

7.- ANEXOS.-

Los puentes de elevación vertical utilizan cables, poleas, motores y contrapesos

para levantar una sola sección del puente en forma vertical como si fuera un

elevador. Cuando el puente está arriba pueden pasar por debajo barcos con la

altura máxima de la parte inferior de su estructura. Constan de dos torres en los

extremos construidas generalmente con piezas de acero.

RESISTENCIA DE MATERIALES II – INGENIERIA CIVIL

Page 13: Metodo Viga Conjugada y Area de Momentos Todo

METODO VIGA CONJUGADA

Utilizando todo lo aprendido acerca del método de la viga conjugada, podremos

encontrar las flechas y giros en cualquier punto de la estructura mostrada, a través

de un cálculo más práctico, porque sólo nos basta graficar correctamente el

diagrama de momentos reducidos de la estructura para trabajar con esta como

una nueva viga (ficticia) y, encontrar lo solicitado. Aplicando correctamente la

relación que existe entre esta viga ficticia con la real

Como podemos apreciar en la imagen toda estructura sufre

desplazamientos en sus vigas por la acción de cargas que soporta. Si bien es

cierto la deflexión de las vigas o flechas no se pueden apreciar a simple vista, pero

que es fácil de hacer sus cálculos, en este caso por el método de la viga

conjugada.

RESISTENCIA DE MATERIALES II – INGENIERIA CIVIL

Page 14: Metodo Viga Conjugada y Area de Momentos Todo

METODO VIGA CONJUGADA

Ensayo realizado en una viga. El aumento de presión hará que la viga se flexione

hasta la rotura.

Apoyo de una viga de puente que permite el giro pero no permite desplazamientos.

I.- INTRODUCCION

El conocimiento del cálculo de giros y desplazamiento es necesario para poder

entender los efectos que producen las cargas externas en el interior de la viga.

RESISTENCIA DE MATERIALES II – INGENIERIA CIVIL

Page 15: Metodo Viga Conjugada y Area de Momentos Todo

METODO VIGA CONJUGADA

El presente trabajo esta basado en uno de los métodos para calcular el giro y

desplazamientos en cualquier punto de una viga sometida a cargas utilizando el

diagrama de momentos.

Contiene cinco problemas resueltos según el marco teórico que ayudará al lector a

tener base para la comprensión de temas posteriores y un glosario de palabras

técnicas de uso seguido que facilitará la interpretación en el desarrollo del trabajo.

El método que estudiamos está basado en dos teoremas el cual detallaremos mas

adelante pero que presentaremos a continuación:

1. El ángulo o cambio de pendiente entre las tangentes en dos puntos

cualesquiera de una elástica continua es igual al área del diagrama M/EI

comprendida entre dichos puntos.

2. La distancia de un punto B” de una elástica continua medida

perpendicularmente al eje primitivo AB a la tangente trazada por otro punto A” de

dicha curva es igual al momento respecto a B del área del diagrama M/EI

comprendida entre dichos puntos.

II.- OBJETIVOS

OBJETIVOS GENERALES:

Aprender los conceptos básicos en relación del comportamiento físico de

los diversos elementos que conforman una estructura.

Reconocer los diferentes tipos de deformaciones generadas.

Analizar los diseños en elementos estructurales (vigas).

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

RESISTENCIA DE MATERIALES II – INGENIERIA CIVIL

Page 16: Metodo Viga Conjugada y Area de Momentos Todo

METODO VIGA CONJUGADA

Determinar esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales a flexión

(Vigas).

Identificar los diversos tipos de cargas.

Reconocer la parte teórica en hechos cotidianos.

III.- MARCO TEORICO

3.1.- METODO DEL AREA DE MOMENTO

3.1.1.- DEFINICION.- Este método se basa en la relación que existe entre el momento M y la curvatura y proporciona medios prácticos y eficientes para calcular la pendiente y la deflexión de la curva elástica de vigas y pórticos.

El método tiene dos teoremas. El primero relaciona la curvatura con la pendiente de la curva elástica y el segundo la curvatura con la deflexión.

De la ecuación general de flexión tenemos:

Integrando:

Tengamos presente que curvatura de un elemento viga.

El método del área de momentos está sujeto a las mismas limitaciones que el de

la doble integración. Sin embargo para verlo en su totalidad, como un conjunto

completamente independiente, se repite una pequeña parte de lo dicho en la

sección cualquiera. La figura 1-a representa una viga simplemente apoyada con

una carga cualquiera. La Elástica, como intersección de la superficie neutra con el

plano vertical que pasa por los centroides de las secciones que es sumamente

exagerada. Al igual que en la deducción de la fórmula de la deflexión, dos

RESISTENCIA DE MATERIALES II – INGENIERIA CIVIL

Page 17: Metodo Viga Conjugada y Area de Momentos Todo

METODO VIGA CONJUGADA

secciones planas adyacentes, distantes una longitud dx sobre una viga

inicialmente recta, giran un ángulo dθ una respecto a la otra.

3.2.- DEMOSTRACION: Es un método sencillo para determinar las pendientes y

flechas en las vigas, en las cuales intervienen el área del diagrama de momento y

el momento de dicha área

RESISTENCIA DE MATERIALES II – INGENIERIA CIVIL

Page 18: Metodo Viga Conjugada y Area de Momentos Todo

METODO VIGA CONJUGADA

Recordemos que Si la viga es linealmente elástica y cumple con la ley

de hooke entonces de la fórmula de flexión se tiene:

Entonces Entonces

Integrando tenemos, Entonces

En el diagrama de momento flector observamos que Mdx es el área del elemento

diferencial rayado situado a una distancia x de la ordenada que pasa por B. Por

tanto la ecuación anterior nos conduce al primer teorema del método del área de

momentos que dice: “la variación o incremento de la pendiente entre las tangentes

trazadas a la elástica en dos puntos cualesquiera A y B es igual al área del

diagrama de momentos flectores entre estos dos puntos dividido por EI”.

θ es positivo cuando va en sentido anti horario (ósea corresponde a un área

positiva del momento flector). Al observar la segunda figura anterior, la distancia

vertical desde B hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A

es la suma de los segmentos dt interceptados por tangentes sucesivas trazadas a

la elástica en puntos sucesivos, entonces, cada uno de éstos segmentos es igual

a dt= xdθ; integrando,

pero como Entonces,

RESISTENCIA DE MATERIALES II – INGENIERIA CIVIL

Page 19: Metodo Viga Conjugada y Area de Momentos Todo

METODO VIGA CONJUGADA

Si observamos la tercera figura anterior; la expresión x(Mdx) es el momento del

área del elemento rayado respecto a la ordenada en B, por tanto la ecuación

anterior conduce al segundo teorema que dice “La desviación tangencial de un

punto cualquiera B respecto de la tangente trazada a la elástica en otro punto

cualquiera A, en dirección perpendicular a la inicial de la viga es igual al momento

respecto de B del área de la porción del diagrama de momento entre los puntos A

y B dividido por EI”.

Donde:

Xb= Distancia del centroide del área al eje vertical al cual le estamos sacando la

desviación, en éste caso sería con respecto a B.

Tb/a = Es la desviación tangencial de B respecto de A y es positiva si el punto

considerado queda por encima de la tangente y negativa si queda por debajo de la

tangente

En la mayoría de los casos prácticos, la elástica es tan llana que no se comete

error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyección dx. En estas

condiciones, se tiene: (b)

Evidentemente, dos tangentes trazadas a la elástica en C y D, como en la figura 1-

b, forman el mismo ángulo dθ que el que forman las secciones OC y OD, por lo

que la desviación angular, o ángulo entre las tangentes a la elástica en dos puntos

cualesquiera A y B, es igual a la suma de estos pequeños ángulos: (c)

RESISTENCIA DE MATERIALES II – INGENIERIA CIVIL

Page 20: Metodo Viga Conjugada y Area de Momentos Todo

METODO VIGA CONJUGADA

Obsérvese también, figura 1-b, que la distancia desde el punto B de la elástica,

medida perpendicularmente a la posición inicial de la viga, hasta la tangente

trazada a la curva por otro punto cualquiera A, es la suma de los segmentos dt

interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elástica en puntos

sucesivos. Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes

sucesivas trazadas a la elástica en puntos sucesivos. Cada uno de estos

segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y ángulo dθ:

dt = x dθ

De:

Sustituyendo dθ por su valor en la ecuación (b) (d)

La longitud tB/A se llama desviación de B con respecto a una tangente trazada por

A, o bien, desviación tangencial de B con respecto a A. La figura 2 aclara la

diferencia que existe entre la desviación tangencial tB/A de B respecto de A y la

desviación tA/B de A con respecto a B. En general, dichas desviaciones son

distintas.

Figura 2. En general, tA/B no es igual a tB/A

El significado geométrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas

fundamentales del método del área de momentos. En el diagrama de momentos

flexionantes de la figura 1-c, se observa que M dx es el área del elemento

RESISTENCIA DE MATERIALES II – INGENIERIA CIVIL

Page 21: Metodo Viga Conjugada y Area de Momentos Todo

METODO VIGA CONJUGADA

diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B. Ahora

bien, como es la suma de tales elementos, la ecuación (c) se puede escribir en la

forma:(1)

Esta es la expresión algebraica del Teorema I, que se puede enunciar como sigue:

3.2.1.- Teorema 1:

La derivación angular, o ángulo entre las tangentes trazadas a la elástica

en dos puntos cualesquiera A y B, es igual al producto de 1/EI por el área

del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos.

La figura 6-8c muestra como la expresión x (M dx) que aparece dentro de

la integral en la ecuación (d) es el momento del área del elemento rayado

con respecto a la ordenada en B. Por tanto, el significado geométrico de la

integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del

área de la porción del diagrama de momentos flexionantes comprendida

entre A y B. Con ello la expresión algebraica es:

TB/A = 1/EI *(área)AB XB

El área bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al

cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elástica.

Ángulo tangente en B medido desde la tangente en A.

Se mide en radianes. Áreas positivas indican que la pendiente crece.

3.2.2.- Teorema 2:

RESISTENCIA DE MATERIALES II – INGENIERIA CIVIL

Page 22: Metodo Viga Conjugada y Area de Momentos Todo

METODO VIGA CONJUGADA

La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada

a la elástica en otro punto cualquiera A, en direccion perpendicular a la

inicial de la viga, es igual al producto de 1/EI por el momento con respecto

a B delo área de la porción del diagrama de momentos entre los puntos A

y B.

El producto EI se llama rigidez a la flexión. Obsérvese que se ha supuesto

tácticamente que E e I permanecían constantes en toda la longitud de la

viga, que es un caso muy común.

Sin embargo, cuando la rigidez es variable, no puede sacarse EI del signo

integral, y hay que conocerla en función de x. tales variaciones suelen

tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de

momentos para obtener de esta manera un diagrama de M/EI al que se

aplican los dos teoremas, en vez de aplicarlos al diagrama de M.

En los dos teoremas (área)AB representa el área de diagrama de

momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B, xB es

el brazo de momento de ésta área con respecto a B. El momento de área

se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviación se

desea obtener.

Por teoría de los ángulos pequeños tenemos:

Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la

desviación vertical entre las tangentes en A y B.

Momento de primer orden con respecto a A del área bajo la curva de entre

A Y B.

El teorema es: “La desviación de la tangente en un punto A sobre la curva

elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B, es

igual al momento del área bajo la curva M/EI entre los puntos Ay B con

respecto a un eje A. Se cumple siempre cuando en la curva no haya

RESISTENCIA DE MATERIALES II – INGENIERIA CIVIL

Page 23: Metodo Viga Conjugada y Area de Momentos Todo

METODO VIGA CONJUGADA

discontinuidades por articulaciones. Esta desviación siempre es

perpendicular a la posición original de la viga y se denomina flecha.

4.0.- CONVENCION DE SIGNOS.-

Los convenios de signos siguientes son de gran importancia: la esviacion

tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la

tangente con respecto a la cual se toma esta desviación, y negativa si queda

debajo de dicha tangente.

El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes. Un valor positivo de

la variación de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la

derecha, B, se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada

en el punto mas a la izquierda, A, es decir, que para pasar de la tangente en A a la

tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj, y viceversa para los valores

negativos de qAB .

6.- CONCLUSIONES.-

La ecuación está limitada al estudio de dimensiones pequeñas debido a las

condiciones del trabajo ya que los resultados sobrepasan de la realidad.

RESISTENCIA DE MATERIALES II – INGENIERIA CIVIL

Page 24: Metodo Viga Conjugada y Area de Momentos Todo

METODO VIGA CONJUGADA

La ecuación es válida para vigas que no estén sometidas a cargas que

exceda del límite elástico de sus materiales.

El trabajo que se está desarrollando sobre “El Método de Área de

Momentos”, es básico para nuestra formación profesional, de ahí su

estudio, es de suma importancia por el aporte de investigación y de análisis

del comportamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio

para obtener resultados reales, con la finalidad de tomar decisiones en

mejoras de la comunidad.

7.-BIBLIOGRAFIA:

Resistencia de Materiales:Pytel•Singer 4ta Edición (Pág. 212)

Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de MaterialesUniversidad Nacional de Ingeniería

http://www.politecnicovirtual.edu.co/ana-estru/analis-estruc-1.htm

http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/deflexiones/metodos%20geometricos/deflexiones%20geometricas.htm

www.ing.una.py/.../APOYO/Mecanica%20de%20Materiales%20I/Clase%2012%20-%20Viga%20Conjugada%20V250505.pdf

Análisis EstructuralGENARO DELGADO CONTRERASPágs. 21 – 371º Edición.

Mecánica de MaterialesFERDINAND P. BEER, E. RUSSEL JOHNSTON, JR.Págs. 528 – 5372º Edición

Resistencia de Materiales I – II

RESISTENCIA DE MATERIALES II – INGENIERIA CIVIL

Page 25: Metodo Viga Conjugada y Area de Momentos Todo

METODO VIGA CONJUGADA

ARTEAGA N., P. IBERICO C., P. IBERICO C., C. GONZALES, A. MEGO C.Págs. 137 – 1523º Edición.

8.- ANEXOS.-

El techo proporciona una carga distribuida a la viga, siendo ésta menor en los

extremos y mayor en el centro de la viga, a esto se suma el peso propio del techo.

La acción del viento sobre el techo también presenta un tipo de carga distribuida

sobre la viga.

La viga transmite la carga a la columna, en los apoyos de esta la deflexión es nula.

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METODO VIGA CONJUGADA

Este ensayo demuestra la gran deflexión que sufre la viga en su centro al

momento de fallar.

Viga Empotrada

Viga empotrada (2)

9.- GLOSARIO:

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METODO VIGA CONJUGADA

Módulo de elasticidad:(E) El módulo de elasticidad o módulo de Young es un

parámetro que caracteriza el comportamiento de un material elástico, según la

dirección en la que se aplica una fuerza. Siendo una constante independiente del

esfuerzo y es siempre mayor que cero.

Eje neutro: Es la intersección de la superficie neutra (superficie que no sufre

deformación e=0) con la sección transversal.

Curva elástica: Llamada también Elástica. La ecuación de la elástica es la

ecuación diferencial que, para una viga de eje recto, permite encontrar la forma

concreta de la curva elástica. Concretamente la ecuación de la elástica es una

ecuación para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su

forma recta original a la forma curvada o flectada final.

Giro (θ):

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METODO VIGA CONJUGADA

Al trazar rectas tangentes a la curva elástica estas forman con la horizontal

ángulos muy pequeños, estos ángulos son los ángulos de giro de la curva elástica.

: Ángulo tangente en B medido desde la tangente en A, se mide en

radianes.

: Momento de primer orden con respecto a A del área bajo la curva de entre A Y B,

se denomina flecha.

Momento flector .- Se denomina momento flector un momento de fuerza

resultante de una distribución de tensiones sobre una sección transversal es

perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexión.

Diagrama de momento flector .- Para elementos lineales el momento flector

Mf(x) se define como una función a lo largo del eje transversal del mismo, donde

"x" representa la longitud a lo largo del eje. El momento flector así definido, dadas

las condiciones de equilibrio, coincide con la resultante de fuerzas de todas las

fuerzas situadas a uno de los dos lados de la sección en equilibrio en la que

pretendemos calcular el momento flector.

Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas, cargas distribuidas

y momentos, el diagrama de momento flector varía a lo largo del mismo.

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METODO VIGA CONJUGADA

Diagrama de momento reducido: Es la representación gráfica de los momentos

reducidos.

Momento reducido: es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la

flexión.

Mr=M/EI

Principio de superposición: El principio de superposición o teorema de

superposición es un resultado matemático que permite descomponer un problema

lineal en dos o más subproblemas más sencillos, de tal manera que el problema

original se obtiene como "superposición" o "suma" de estos subproblemas más

sencillos.

Técnicamente, el principio de superposición afirma que cuando las ecuaciones de

comportamiento que rigen un problema físico son lineales, entonces el resultado

de una medida o la solución de un problema práctico relacionado con una

magnitud extensiva asociada al fenómeno, cuando están presentes los conjuntos

de factores causantes A y B, puede obtenerse como la suma de los efectos de A

más los efectos de B.

4. EJERCICIOS.-

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5. EJERCICIOS.-

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