metodo de rotaciones
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UNIDAD III.- METODOS PARA RESOLVER SISTEMAS INDETERMINADOS
OBJETIVOS:
1. Analizar sistemas indeterminados aplicando el Método de las Fuerzas,
determinando:
Las reacciones y fuerzas internas de la estructura
Diagramas de esfuerzos en la estructura
2. Analizar sistemas indeterminados utilizando el Método de los
desplazamientos (método de las rotaciones).
3. Aplicar el método de las rotaciones en sistemas hiperestáticos con un
solo grado de desplazabilidad, determinando:
Los momentos en los extremos de los miembros de la estructura.
Los diagramas de momentos de la estructura
4. Determinar los grados de desplazabilidad de una estructura
5. Establecer la imagen cinemática de una estructura.
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INTRODUCCIÓN
El análisis de una estructura indeterminada es, desde luego, más
complicado que el de una estructura determinada correspondiente. Esto puede
considerarse una pequeña desventaja, ya que el análisis representa
generalmente un pequeño porcentaje del costo total. El análisis estructural
normalmente incluye toda la labor relacionada con la evaluación de esfuerzos
axiales, esfuerzos de corte y momentos flexionantes causados por cualquier
acción que debe resistir la estructura. Cuando una estructura indeterminada se
analiza por un método se necesita la solución de ecuaciones simultáneas que
requieren una ecuación para cada grado de indeterminación.
En este curso se analizarán dos métodos para resolver estos sistemas: el
método de las fuerzas y el método de los desplazamientos (método de las
rotaciones). Ambos métodos se basan principalmente en resolver un sistema
de ecuaciones lineales, del mismo orden del grado de indeterminación. Si se
utiliza el método de las fuerzas, se usará el grado de indeterminación estática,
si se aplica el método de los desplazamientos, se usará el grado
indeterminación geométrica o grados de hipergeometría.
La elección para aplicar cualquiera de estos métodos se fundamenta en
seleccionar aquel que tenga el menor grado de indeterminación
correspondiente, ya que a mayor número de incógnitas mayor será el tiempo
de solución, tanto en forma manual como con el uso de computadoras, lo cual
resulta costoso.
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METODO DE LAS FUERZAS
A este método también se le llama método general o método de las
deformaciones consistentes, donde las incógnitas son las fuerzas redundantes
de la estructura.
Las redundantes de una estructura son aquellas fuerzas en exceso de
las fuerzas primarias o las sobrantes o superabundantes de las necesarias para
mantener el equilibrio estático.
En este método se necesita que sea definida una estructura primaria, la
cual debe ser isostática (determinada) y estable, las fuerzas de esta estructura
son las fuerzas primarias y pueden encontrarse solo por equilibrio. Hay más de
una estructura primaria para una estructura indeterminada, y se selecciona la
menos compleja dependiendo de las incógnitas que deseamos encontrar. Así
por ejemplo en la siguiente estructura indeterminada, se tiene:
Es indeterminada en dos (2) grados, por lo tanto, dos redundantes. La
estructura primaria debe ser isostática y estable, podrían ser cualquiera de los
siguientes sistemas:
1)
2)
3)
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A B
A B
A B
B A
De estos sistemas isostáticos, el 1 y el 2 cumplen con las condiciones de
sistema primario, ya que además de ser determinados son estables, lo que no
ocurre con el caso 3, el cual a pesar de ser isostático por tener 3 unidades de
vinculación, dos en B y una en A, no es estable, ya que los sistemas de apoyo
le permiten movimiento inmediato, como la una rotación alrededor del punto A.
Por otra parte, en el proceso del método de las fuerzas se imponen los
requisitos de compatibilidad de la estructura. En efecto, se determina el valor
particular de las redundantes debido a una distribución dada de cargas que
provoca que la estructura se deforme de acuerdo con todas las condiciones de
los soportes. En esencia, se encuentra aquellas fuerzas redundantes que dan
desplazamientos consistentes con condiciones conocidas en los soportes o con
alguna condición de compatibilidad interna.
El método de las fuerzas se basa en el concepto en que los
desplazamientos de la estructura debido a las cargas aplicadas y a las fuerzas
redundantes dan como resultado una condición desplazada que satisface la
compatibilidad de la estructura, internamente y en los soportes. Además se
manipulan a las ecuaciones de equilibrio, las de compatibilidad y las relaciones
entre fuerzas y desplazamientos para obtener un sistema de n ecuaciones con
n incógnitas.
Las n ecuaciones se denominan ecuaciones de compatibilidad de los
desplazamientos en la dirección de las fuerzas redundantes, y las n incógnitas
son las fuerzas redundantes. Una vez resuelto este sistema de ecuaciones
lineales para las redundantes, es posible encontrar las fuerzas finales de los
miembros y el desplazamiento libre.
Las ecuaciones de condición de deflexión de una estructura o
ecuaciones de compatibilidad, se obtienen por superposición de
desplazamientos causados por las cargas aplicadas, los esfuerzos y las cargas
redundantes individuales. Los coeficientes de estos esfuerzos y reacciones
redundantes son las deflexiones debidas a las reacciones y esfuerzos unitarios
que pueden calcularse por el método de trabajo virtual (principio de las fuerzas
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virtuales). Estas ecuaciones de compatibilidad, se escriben una por cada punto
de aplicación de una componente de esfuerzo (incógnita) o reacción redundante
y matemáticamente se expresan así:
D1 = D10 + d11.X1 + d12.X2 + d13.X3 +……………d1n.Xn
D2 = D20 + d21.X1 + d22.X2 + d23.X3 +………..….d2n.Xn
D3 = D30 + d31.X1 + d32.X2 + d33.X3 +……………d3n.Xn
. ………………………………………………………………..
Dn = Dn0 + dn1.X1 + dn2.X2 + dn3.X3 +……………dnn.Xn
Donde:
El miembro de la izquierda de cada ecuación (Di), representa el valor del
desplazamiento total (asentamiento) en el punto de aplicación y dirección
de la fuerza redundante respectiva. Este valor es casi siempre conocido
o preestablecido.
El miembro de la derecha de cada ecuación representa la suma de
todas las componentes de deflexión causada por las cargas reales y las
componentes redundantes en el punto de aplicación y en la dirección de
la componente redundante respectiva.
Así se tiene que:
D1: representa el desplazamiento total (asentamiento o deformación) en el
punto de aplicación y dirección de la redundante X1.
D2: representa el desplazamiento total en el punto de aplicación y dirección de
la redundante X2
D3: Representa el desplazamiento total en el punto de aplicación y dirección de
la redundante X3.
El termino Di0: representa la deflexión en el punto de aplicación y dirección de
la redundante Xi debido al caso de carga 0. Estos términos se determinan
aplicando trabajo virtual, donde el sistema real es el caso de cargas reales de
la estructura y el sistema virtual es el caso de carga donde la redundante
respectiva j, es igual a 1. Así por ejemplo:
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D10: Representa la deflexión en el punto de aplicación y dirección de la
redundante X1 debido al caso de carga 0. Así el sistema virtual será el caso 1,
donde la redundante X1 es igual a 1, y el sistema real es el caso de cargas 0 ó
sistema de cargas de la estructura original.
D20: Representa la deflexión en el punto de aplicación y dirección de la
redundante X2 debido al caso de carga 0.
D30: Representa la deflexión en el punto de aplicación y dirección de la
redundante X3 debido al caso de carga 0.
El Término dij: Representa la deflexión en el punto de aplicación y dirección de
la redundante Xi debido al caso de carga j. Este termino se determina aplicando
trabajo virtual, donde el sistema virtual es el caso donde la redundante Xi es
igual a 1, y el sistema real es el caso de carga donde la redundante Xj es igual
a 1. Así por Ejemplo:
d12: Representa la deflexión en el punto de aplicación y dirección de la
redundante X1 debido al caso de carga 2. Así, el caso virtual es donde la
redundante X1 es igual a 1, y el caso real es donde la redundante X2 es igual 1.
Procedimiento general.
Los pasos generales pueden resumirse como sigue:
1. Se identifican los grados de indeterminación estática de la estructura (n)
2. Se selecciona el sistema primario de la estructura real
3. Se divide la estructura primaria en (n + 1) casos isostáticos, y se aplica el
principio de superposición de efectos.
4. Se establecen las ecuaciones de compatibilidad de los desplazamientos,
una por cada grado de indeterminación (n).
5. Se determina mediante el método de trabajo virtual cada uno de los
desplazamientos en los puntos de aplicación y dirección de las
redundantes, debido a cada caso de carga (cargas reales y las
redundantes como cargas), Dio, dij, siendo i, el punto de aplicación de la
redundante y j ó o, el caso de carga que produce la respectiva deflexión.
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6. Se sustituyen cada uno de los resultados del paso anterior en las
ecuaciones de compatibilidad.
7. Se resuelve el sistema de ecuaciones de compatibilidad de los
desplazamientos.
8. Se determinan las fuerzas finales en la estructura original debidas tanto a
las cargas aplicadas como a las redundantes.
9. Se pueden construir los diagramas de los esfuerzos respectivos de la
estructura, si son requeridos.
EJEMPLO #1: En el siguiente pórtico plano use el método de las fuerzas y determine: la reacción de momento en A. El producto del módulo de elasticidad del material y el momento de inercia de la sección es, EI = 5.200 ton.m2.
Solución:
Grado de indeterminación Estática: Ie = 3NM +NR – NJ – NC
Ie = 3x2 + 5 -3x3 -1 = 1 → n = 1→ se analizarán 2 casos isostáticos: caso 0,
caso 1.
81
C
1,5EI
B
3m
3m
2EI
2m 4m
2t
A
D
Vd=0,001m
1t/m
Sistema Primario = caso 0 + caso 1
Análisis del caso (0)Calculo de Reacciones:
∑MCA=0 + -2x2+Rayx5 = 0 → RAy = 0,8t ∑Fy=0 + RDy – 2+0,8 = 0 → RDy = 1,2 t
∑MCD=0 + 1x3x1,5-1,2x4+3. RDx = 0 → RDx = 0,1t ∑Fx=0 + -1x3-0,1+ RAx = 0 → RAx = 3,1t
Despiece:
82
2EI
C
1,5EI
B
3m
3m
2m 4m
2t
A
D
vD=0,001m
1t/m
X1
vD=0,001m
2t
1t/mX1=1
3,1
vD=0,02m
2t
1t/m
3t
3,1
0,8
0,1
1,2
2,4
1,2
1,2
1,23,1
3,1
1,2
Diagramas de Momentos flectores:
Miembro: AB Miembro: BC Miembro: CD
2,4tm 2,4tm 2,5m 2,5m + + + 3m 2m 1,125 tm
Análisis del caso (1)Calculo de Reacciones:
∑MCD=0 + 3 RCx -4 RCy = 0
∑MAD=0 + 3 RCx – 9 RCy+1 = 0 RCx = 0,26t RCy = 0,2t
∑Fy=0 + RCv – RAy = 0 → RAy = 0,2 t
∑Fx=0 + -RCx + RAx = 0 → RAx = 0,26 t
Despiece:
83
0,261t-m
0,263,6
0,2
0,26
0,21,28
0,26
0,2
X1=1
5m 4m
3mA
C
D
B
Diagramas de Momentos flectores:
Miembro: AB Miembro: BC Miembro: CD
1 5m 0,4 0,4 + + 3m 2m Ecuación De Compatibilidad De Los Desplazamientos:
D1 = D10 + d11.X1
Aplicación de Trabajo Virtual (método grafico): donde se interceptan los
diagramas correspondientes, el real y el virtual, según tabla:
1xDij +∑ Ri.∂i = 1/EI [ ∫ Mx. Mx`dx ]
2,4 1 2,4 0,4
1xD10+(-0,001x0,2)= 1/2EI ( + + 0,4 + +
3m 3m 2m 2m
= 1/5200 L/6F (B1+2B2 ) + 1/1,5 ( 1/3 ABL )
1xD10-0,0002 = 1/2x5200 (3/6x2,4(1+2x0,4) + 1/3 (2,4x0,4x2 )
D10 = 0,0004692
1 1
1xd11 = 1/2EI + +
5m 5m
1xd11= 1/2x5200 (1/3 F.F´L) d11 = 1/10400 =1/3x1x1x5
d11= 0,00016
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D1 = D10 + d11.X1
0 = 0,0004692 + 0,00016 X1 X1 = -2,93t-m
X1 = 2,93t-m
EJEMPLO #2 En el siguiente pórtico plano use el método de las fuerzas y determine: El momento en la junta E. El producto del módulo de elasticidad del material y el momento de inercia de la sección es, EI = 4.200 ton.m2.
Solución:
Grado de indeterminación Estática: IND = 3NM +NR – NJ – NC
IND = 3x3 + 4 -3x4 = 1 n = 1 se analizarán 2 casos
isostáticos: caso 0, caso 1.
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vA=0,01m
C
A
D
B
3m 2m
1,5EI
EI
2EI
2t-m
2t/mEI
4m
Sistema Primario = caso 0 + caso 1
Análisis del caso (0)Calculo de Reacciones:
∑MD=0 + -2 - 2x3x3,5 + 2xRAy = 0 → RAy = 11,5t ∑Fy=0 + -2x3 + 8,5 - RDy = 0 → RDy = 5,5 t
∑Fx=0 + - REx = 0 → REx = 0 t
86
C
AB
DX1
vA=0,01
C
A
D
B
3m 2m
1,5EI
EI
2EI
2t-m
2t/mEI
X1
C
AB
2t-m
2t/mEI
D
4m
C
AB
2t-m
2t/m
D
RAy
RDx
RDy
Despiece:
Diagramas de Momentos flectores:
Miembro: AB Miembro: BC Miembro: CD
4m 3m 2m + + - 25,5 25,5
3m
Análisis del caso (1)Calculo de Reacciones:
∑MA=0 + 1-2RAy = 0 → RAy = 0,5t
∑Fy=0 + RDv –0,5= 0 → RDy = 0,5t ∑Fx=0 + RDx = 0 → RDx = 0t
87
A
2t/mEI
C
B
B
2t-m
D
25,5t.m
5,5t25,5t.m
27,5t.m25,5t.m
11,5t
5,5t5,5t5,5t
27,5
16,5
1t.m
C
AB
D
RAy
RDy
Despiece:
Diagramas de Momentos flectores: Miembro: AB Miembro: BC Miembro: CD 3m 4m - - + 2m 3m - 1,5 1,5 1,5
Ecuación De Compatibilidad De Los Desplazamientos:
D1 = D10 + d11.X1
Aplicación de Trabajo Virtual (método grafico): donde se interceptan los
diagramas correspondientes, el real y el virtual, según tabla:
1xDij + ∑ Ri.∂i = 1/EI [ ∫ Mx. Mx`dx ]
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C
B
B
D
1,5t.m
0,5t1,5t.m
1,5t.m1,5t.m
0,5t
0,5t0,5t0,5t
0.5t
A
1t.m
25,5 1,5 25,5 1,5
1x D10+(0,5x0,01)=1/EI ( + - )+1/2( - + ) +
27,5 16,5 1,5 16,5 1
+ 1/1,5 ( - + - - )
=1/5200 ( 5/12ABL )+ 1/2(ABL) + 1/1,5(L/6(2A1 +A2)B + 1/6 ABL)
1x θE+0,005=1/5200 5/12x25,5x(-1,5)x3 + 1/2((25,5)x(-1,5)x4
+ 1/1,5 ( 2/6(-2x27,5 - 16,5)x1,5 + 1/6(-16,5x-1x2) )
D10 = - 0,01719
1,5 1,5 1,5 1,5
1xd11= 1/EI ( - - + + +
3 3 4 4
1,5 1,5 1 1
+ + + - -
3 3 2 2
1xd11= 1/4200 1/3ABL + 1/2 ABL + 1/1,5(1/3ABL + 1/3ABL)
1xd11=1/4200 1/3(-1,5x-1,5x3)+1/2(1,5x1,5x4)+1/1,5(1/3x1,5x1,5x3 + 1/3x1x1)
d11 = 0,002044
D1 = D10 + d11.X1
0 = - 0,01719 + 0,002043 X1 X1 = 8,41 t-m
X1 = 8,41t-m
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METODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS
TERMINOLOGIA BASICA
Desplazamientos de las juntas de una estructura: Son las posibilidades de
desplazamientos de dichas juntas de acuerdo a la vinculación existente. Sea la
siguiente estructura, donde se muestran las componentes de desplazamientos
de las juntas A, B, C y D. El vector desplazamiento en esta estructura es:
uB
vB
D = θB
uC
vC
θC
Siendo: uB, uC: el desplazamiento horizontal de la junta B y C
respectivamente.
vB, vC: el desplazamiento vertical de la junta B y C respectivamente.
θB, θC: el desplazamiento rotacional de la junta B y C respectivamente.
Se toma el miembro de eje recto BC, y si genéricamente se denotan
como i, j, estos dos extremos del miembro, es decir, el extremo izquierdo como
i, y el extremo derecho como j. Bajo la acción de las cargas o solicitaciones
externas ese miembro se deforma, siendo i` j` el nuevo eje del miembro i j
deformado, como se muestra en la siguiente figura.
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A
B A
C
D
vC
uB uc
θB
θB
θC
θC
θi
I`
θi
i
J`
j
ui
uj
vi
vj
θi
θi
ψijψij
ll
ψij
ψij
Puede observarse que el desplazamiento de cada extremo tiene tres
componentes: una componente horizontal u, una vertical v, y una angular o
rotacional. También se presenta una rotación de la cuerda del miembro fij =fji,
rotación del miembro como cuerpo rígido, que por ser muy pequeña puede
considerarse igual a su tangente, es decir: tag fij = fij, de lo cual se deducen las
siguientes expresiones:
Vj – vi ψij = tg ψij =
l
Vj - vi θi = θi – ψij = θi –
l
Vj - vi θj = θj – ψij = θj –
l
Como el ángulo ψij es muy pequeño, puede considerarse el cambio de
longitud ∆l = uj – ui.
Miembro infinitamente rígido axialmente: un miembro cualquiera se considera
infinitamente rígido axialmente, cuando es indeformable en la dirección de su
eje ongitudinal, ello equivale a establecer que no cambia de longitud, es decir:
∆l = uj – ui = 0 ui = uj, con lo cual el número de grados
de libertad del miembro ij se ha reducido a cinco, y son:
ui
vi
D = θi
vj
θj
Grados de Desplazabilidad de una estructura : Los miembros de una estructura
son capaces de sufrir rotaciones como cuerpos rígidos de acuerdo a su
vinculación existente tanto interna como externa: Estas rotaciones (f), dependen
por tanto de los desplazamientos de la estructura como cuerpos rígidos (grados
92
de libertad como cuerpo rígido), y son independientes de las rotaciones que,
como cuerpo elástico, puedan sufrir las juntas de dicha estructura.
Imagen Cinemática: Se define como imagen cinemática de una estructura, a
aquella que resulta de eliminar las componentes de momento en los extremos
de sus miembros, al colocar articulaciones o pasadores en todas las juntas de
la estructura, obteniendo así un mecanismo cinemática o hipostático (inestable),
es decir con grados de libertad (GL), pero como cuerpo rígido.
Se infiere entonces que: el número de grados de desplazabilidad (GD) de
una estructura es igual al número de grados de libertad (GL) de su imagen
cinemática:
GD = GL
DESCRIPCION DEL METODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS
El método de los desplazamientos se ocupa del análisis de las
estructuras indeterminadas geométricamente; para ello utiliza las ecuaciones de
equilibrio estático, teniendo como incógnitas los desplazamientos. El número de
desplazamientos incógnitas es igual a la indeterminación geométrica que posee
la estructura. Esta indeterminación geométrica depende a su vez si se
consideran o no las deformaciones por fuerza axial, Ig y I`g, respectivamente.
En este curso se analizarán estructuras indeterminadas geométricamente
despreciando las deformaciones por fuerza axial y de corte, I`g, en vista de que
el ángulo de rotación (fij) de los miembros de la estructura como cuerpo rígido
es muy pequeño.
El método de los desplazamientos se fundamente en la resolución de dos
sistemas: el sistema primario y el sistema complementario.
Características del Sistema Primario:
Es la misma estructura original, con todas sus solicitaciones
externas
93
Se le aplican en las juntas los vínculos necesarios para impedir
todo grado de libertad o los desplazamientos incógnitas.
Aparecen reacciones adicionales en las junta, producidas por los
vínculos añadidos actuando en sentido antihorario.
Características del Sistema Complementario:
Esta constituido por la estructura original, cuyas solicitaciones
únicamente son las reacciones del sistema primario pero actuando
en sentido contrario.
En este sistema se manifiestan los grados de libertad o los
desplazamientos incógnitas de la estructura, tanto como cuerpo
rígido como cuerpo elástico.
Momentos en los extremos de los miembros de la estructura: sean Mij, Mijº y
MijC, los momentos en el extremo i del miembro ij correspondiente a los
sistemas: original, primario y al complementario respectivamente. Estos
momentos serán positivos cuando giren en el sentido contrario a las agujas del
reloj y negativo cuando giren en el sentido contrario. Esta convención de signos,
se aplicará en adelante en el desarrollo del método de los desplazamientos y es
valida para cualquier momento, sea externo o interno, en un miembro o en una
junta. En la siguiente figura se esquematiza esta convención de signo adoptada.
Procedimiento General.
1. Se calcula el Grado de Indeterminación Geométrica: I`g = , donde
representa las rotaciones de las juntas rígidas internas.
94
i Jij+ -
2. Se determina el grado de desplazabilidad de la estructura, GD, obteniendo
los grados de libertad de la imagen cinemática.
3. Se divide el sistema en dos subsistemas: primario y complementario
4. Se analiza el sistema primario:
a) Se determinan los momentos de empotramiento por cargas
externas, para ello se utiliza la siguiente tabla donde se presentan
los casos de cargas más utilizados con sus respectivos valores de
empotramiento:
b) Se aplican las ecuaciones de rotación al sistema primario para
determinar los Mij0
MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
Mij Mji
-
-
0
0
0
95
a b
A B
a b
a b
a b
TIPO DE CARGA
2)
1)
3)
4)
5)
6)
2. Se analiza el sistema complementario:
a) Se analiza la imagen cinemática de la estructura original, haciendo
girar a uno de sus miembros el grado de desplazabilidad (α).
b) Se determinan las rotaciones ψij de cada miembro y los
desplazamientos lineales en los puntos de aplicación de las cargas
externas aplicadas en la estructura original, todos en función de α.
c) Se aplican las ecuaciones de rotación y se determinan los
momentos complementarios MijC en función de las incógnitas, θi y α,
que aportan las juntas rígidas del problema y el desplazamiento
como cuerpo rígido de la estructura original, respectivamente.
3. Se suman los momentos primarios y los complementarios para obtener los
momentos definitivos en los extremos de cada miembro:
Mij = Mij
0 + MijC
4. Se aplica el equilibrio de juntas, a las juntas rígidas del problema,
obteniendo así un número de ecuaciones igual al número de juntas rígidas
de la estructura.
5. Se aplica el principio de trabajo virtual para cuerpos rígidos, Wve=0, a la
imagen cinemática de la estructura con todas las cargas externas del
problema original, encontrando así otra ecuación en función de las
incógnitas del problema, θi y α.
6. Se tiene entonces un sistema de igual número de incógnitas que de
ecuaciones, el cual se resuelve para las incógnitas del problema, θi y α.
7. Los valores obtenidos de la solución del sistema de ecuaciones, θi y α, se
sustituyen en las ecuaciones de momentos definitivos y se determinan Mij
los para cada uno de los extremos de los miembros.
8. Se calculan las reacciones de la estructura original usando las ecuaciones
de equilibrio estático y se dibujan los diagramas de fuerza cortante y de
momento.
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Ecuaciones de Rotación para Miembros de Eje Recto y de
Sección Constante:
1) Si Mji es conocido, entonces se usará la siguiente formula:
2) Si Mij es conocido, entonces se usará la siguiente formula:
EJEMPLO:
1.-Determinar los momentos en los extremos de los miembros de la siguiente estructura, usando el método de los desplazamientos.
Solución:1.-Se determina el Grado de Indeterminación Geométrica:
I`g = ,
97
2t/m
EK
1,5EK2EK
3m 4m
3m
AB C
3t.m
2.-Se determina el Grado de desplazabilidad de la estructura, obteniendo los
Grados de Libertad de la Imagen Cinemática:
3.- Se determinan los Momentos de Empotramientos usando la tabla, dependiendo del tipo de carga:MEAB = 0
MEBA = - = - = -2,25t.m
MEBC= = = 2,67t.m
MECB= - = - = -2,67t.m
MEBD= 0MEDB= 0
4.- Se determinan los Momentos Primarios:
M0AB= 0
M0BA=
M0BC= M0CB= M0BD= 0
98
O1
1 2
3
O2
O3O1, O2, O3
Cada miembro tiene dos polos
absolutos, por lo tanto ninguno
de ellos puede realizar ningún
tipo de movimiento como
cuerpo rígido, entonces el
grado de libertad de la imagen
cinemática es cero.; lo que
implica que el grado de
desplazabilidad de la
estructura también sea cero,
Esto es:
M0DB= 0
5.- Se determinan los Momentos Complementarios:MCAB= 0MCBA= 3EK (θB – ψAB ) = 3EK θB
MCBC= 2*1,5EK (2θB + θC –3 ψBC ) = 6EK θB
MCCB= 2*1,5EK (2θC + θB –3 ψBC ) = 3EK θB
MCBD= 2EK(2θB + θD –3 ψBD ) = 4EK θB
MCDB= 2EK(2θD + θB –3 ψBD ) = 2EK θB
6.-Se determinan los Momentos Definitivos
Mij = Mij
0 + MijC
MAB= 0MBA= -2,25 + 3EK θB
MBC= 2,67 + 6K θB MCB= -2,67 + 3EK θB
MBD= 4EK θB
MDB= 2EK θB
7.- Se aplica el Equilibrio en la junta Rígida Interna:
∑MB= 3t.mMBA + MBC + MBD = 3
-2,25 + 3EK θB + 2,67 + 6EK θB + 4EK θB = 3 → 13EK θB = 2,58 Ec. 1
8.-Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales para las incógnitas
→ EK θB = 2,58/13 = 0,198462
9.-Se sustituyen estos valores obtenidos para obtener los valores de los momentos en los extremos de los miembros.
MAB= 0MBA= -2,25 + 3*0,198462 = -1,65 t.mMBC= 2,67 + 6*0,198462= 3,86 t.m
MCB= -2,67 + 3*0,198462= -2,07MBD= 4*0,198462= 0,79 t.mMDB= 2*0,198462= 0,40 t.m
Despiece:
99
C
AB
D
3t.m
MAB= 0MBA= -1,65 t.mMBC= 3,86 t.mMCB= -2,07MBD= 0,79 t.mMDB= 0,40 t.m
EJEMPLO 2.Determinar los momentos en los extremos de los miembros de la siguiente estructura, usando el método de los desplazamientos.
.
Solución:1.-Se determina el Grado de Indeterminación Geométrica:
100
2EK
EK
4m
3tm
2m
3m
3m
1t/m
BC
D
2t.
EK
A
I`g = ,
2.-Se determina el Grado de desplazabilidad de la estructura, obteniendo los
Grados de Libertad de la Imagen Cinemática:
3.- Momentos de Empotramiento: Según tabla
MEAB= 0MEBA=0MEBC=0MECB=-W2/8=-1x42/8 => MECB=-2t-m
101
Cada miembro tiene un solo polo
absoluto, indica que el sistema se
mueve como cuerpo rígido, entonces
se coloca un rodillo en la dirección del
desplazamiento de uno de los
miembros, si el sistema se estabiliza,
entonces tiene un solo grado de
libertad, sino ocurre así, se le siguen
añadiendo rodillos hasta que se
estabilice y el grado de libertad será
igual a la cantidad de rodillos
necesarios para estabilizar la imagen
cinemática. En este caso el grado de
libertad de la imagen cinemática es
igual a 1; lo que implica que el grado
de desplazabilidad de la estructura
también sea uno, los ψij ≠ 0, en función
de una rotación de uno de los
miembros (α), Esto es:
O
O1
O24
O3
O23O12
1
3
2
2t
1x4
MECD= Pab2/L2= 2x2x22/42 => MECD=1t-mMEDC=-1t-m
4.- Se determinan los Momentos Primarios:
M0AB= 0M0BA=-3M0BC=0M0CB= MECB+1/2(M0BC – MEBC) = -2M0CD=1t-mM0DC=-1t-m
5.- Se determinan los Momentos Complementarios:
MCAB= 0MCBA= 0MCBC= 0MCCB= 3EK (θC – ψBC ) = 6EK θc +3EKα/4MCCD= 2EK(2θC + θD –3 ψCD ) = 8EK θC - 6EK αMCDC= 2EK(2θD + θC –3 ψCD ) = 4EK θC - 6EK α
6.-Se determinan los Momentos Definitivos
Mij = Mij
0 + MijC
MAB= 0MBA= -3MBC= 0MCB= -2+6EK θc +3EKα/4MCD= 1+8EK θC - 6EK αMDC= -1+4EK θC - 6EK α
7.- Se aplica el Equilibrio en la junta Rígida Interna:
∑MC= 0t.mMCB + MCD = 0
-2+6EK θc +3EKα/4+1+8EK θC - 6EK α = 0 → 14EK θC – 21/4EK α = 1 → Ec. 1
8.-Se aplica trabajo virtual a la imagen cinemática (cuerpo rígido) y se obtiene la segunda ecuación: WvE = 0
(MAB+MBA)ψAB+ (MBC+MCB)ψBC+(MCD+MDC)ψCD +1*4t/m*1/2 α + 2t*3/2 α = 0(-3) α + (-2+6EK θc +3EKα/4)(-3/4 α) + (12EKθc- 12EK α) α/2 + 2 α + 3 α = 0
(-3 + 1/2 -3/2EK θc -3/16EK α +6EK θc-6EK α + 5) α = 0
102
9/2EK θc + 99/16EK α = -5/2 → EC. 2
9.- resuelve el sistema de ecuaciones lineales para las incógnitas
→ EK θC = -0,06293 EK α = -0,35828
9.-Se sustituyen estos valores obtenidos para obtener los momentos definitivos en los extremos de los miembros.
MAB= 0MBA= -3MBC= 0MCB= -2+6EK θc +3EKα/4 = -2+6 (-0,06293) +3/4(-0,35828)= -2,64 t-m MCD= 1+8EK θC - 6EK α = 1+ 8(-0,06293)-6(-0,35828) = 2,64 t-mMDC= -1+4EK θC - 6EK α = -1 + 4(-0,06293)- 6(-0,35828) = 0,90 t-m
103
BIBLIOGRAFÍA
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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA
AREA DE TECNOLOGIAPROGRAMA INGENIERIA CIVIL
DPTO ESTRUCTURA
Trabajo presentado como requisitopara optar a la Categoría de
Profesor Asociado
AUTOR:PROF. ZULAY ROSENDO DE MORA
Santa Ana de Coro, Enero 2006
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