EL METODO DE MINIMOS CUADRADOS

UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIAFACULTAD DE INGENIERA Y ARQUITECTURAASIGNATURA: INVESTIGACIN DE OPERACIONES II CARRERA: INGENIERA INDUSTRIAL

LABORATORIO IIMNIMOS CUADRADOSGRUPO CLASE: 02

PROFESOR:ING. GEORGETH RENAN RODRGUEZ

ALUMNOS:NOMBRES : CARN

CUCHILLA ZEPEDA, JORGE ROBERTOCZ100705

GOMEZ MOLINA, CLAUDIA BEATRIZGM103012

ORANTES CASTRO,BASILIO ANTONIOOC100710

SALAZAR AMAYA, VICTOR ALFONSOSA100410

ZERCEO VIDES, RAUL EDGARDOZV100311

EL METODO DE MINIMOS CUADRADOS]16 de marzo de 2014

San Salvador, 15 de Marzo de 2014.

NDICE

INTRODUCCIN3OBJETIVOS4Objetivo General4Objetivos Especficos4METODO DE MINIMOS CUADRADOS5HISTORIA5ANTECEDENTES5DEFINICIN DEL MTODO DE LOS MNIMOS CUADRADOS6DEFINICIN GENERAL6DEFINICIN ESTADSTICA7MTODO SIMPLIFICADO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES POR EL MTODO DE MNIMOS CUADRADOS8FRMULAS UTILIZADAS PARA CALCULAR EL AJUSTE LINEAL SIMPLE POR MNIMOS CUADRADOS11APLICACIONES DEL MTODO DE LOS MNIMOS CUADRADOS12EJEMPLOS E INTERPRETACIN DE LOS MNIMOS CUADRADOS13CONCLUSIONES14BIBLIOGRAFA15ANEXOS16EJEMPLOS GRAFICOS DE COEFICIENTES DE CORRELACION LINEAL16

INTRODUCCIN

Por su importancia, los mnimos cuadrados (MC) son tratados con gran frecuencia en numerosas publicaciones cientficas y tcnicas. Es necesario sealar que el problema de MC es conocido bajo diferentes nombres en varias ramas, por ejemplo, en Estadstica se le llama anlisis de regresin, y en Ingeniera, estimacin de parmetros, filtraje o identificacin de procesosLos antecedentes del mtodo de los MC pueden atriburseles a los matemticos griegos, no obstante probablemente el primer precursor moderno es GalileoEn su forma ms simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la funcin y los correspondientes en los datos. La tcnica de mnimos cuadrados se usa comnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimizacin pueden expresarse tambin en forma de mnimos cuadrados, minimizando la energa.En este reporte se quiere exponer de forma clara para que sirve el Mtodo de Mnimos cuadrados y cules son sus aplicaciones, as como tambin como podemos resolver un problema de forma rpida utilizando este mtodo.

OBJETIVOS

Objetivo General

Dar a conocer el mtodo de Mnimos Cuadrados como una alternativa para pronosticar tendencias dentro de una amplia diversidad de alternativas, as como poner en prctica dicho mtodo mediante el uso del software para pronsticos, ya que es fundamental implementar el uso de algn software estadstico para el anlisis de datos.

Objetivos Especficos

Comprender de una manera clara El Mtodo de Mnimos Cuadrados y su utilizacin.

Conocer las aplicaciones del mtodode mnimos cuadrados.

Ejemplificar el uso de la tcnica mediante el uso de software especial para pronsticos para dar una mejor comprensin de lamisma.

Establecer las ventajas y limitaciones del mtodo.

METODO DE MINIMOS CUADRADOS

HISTORIA

El da de Ao Nuevo de 1801, el astrnomo italiano Giuseppe Piazzi descubri el planeta enano Ceres. Fue capaz de seguir su rbita durante 40 das. Durante el curso de ese ao, muchos cientficos intentaron estimar su trayectoria con base en las observaciones de Piazzi (resolver las ecuaciones no lineales de Kepler de movimiento es muy difcil). La mayora de evaluaciones fueron intiles; el nico clculo suficientemente preciso para permitir reencontrar al planeta fue el de unCarl FriedrichGaussde 24aos (losfundamentos desu enfoqueya loshaba planteado en 1795, cuando an tena 18 aos). Pero su mtodo de mnimos cuadrados no se public hasta 1809, apareciendo en el segundo volumen de su trabajo sobre mecnica celeste, Theoria Motus Corporum Coelestium in sctionibusconicis solemambientium.El francs Adrien-Marie Legendre desarroll el mismo mtodo de forma independiente en 1805. En 1829 Gauss fue capaz de establecer la razn del xito maravilloso de este procedimiento: simplemente, el mtodo de mnimos cuadrados es ptimo en muchos aspectos. El argumento concreto se conoce como teorema de Gauss-Mrkov

ANTECEDENTES

Existen numerosas leyes fsicas en las que se sabe de antemano que dos magnitudes x e y se relacionan atraves de una ecuacin lineal:y = ax + bDonde las constantes b (ordenada en el origen) y a (pendiente) dependen del tipo de sistema. El mtodo ms efectivo para determinar los parmetros a y b se conoce como la tcnica de mnimos cuadrados.Consiste en someter el sistema a diferentes condiciones, fijando para ellos distintos valores de la variable independiente x, y anotando en cada caso el correspondiente valor medido para la variable dependiente y. De este modo se dispone de una serie de puntos (x1,y1), .... (xn,yn) que, representados grficamente, deberan caer sobre una lnea recta. Sin embargo, los errores experimentales siempre presentes hacen que no se hallen perfectamente alineados (ver Fig. 1).

DEFINICIN DEL MTODO DE LOS MNIMOS CUADRADOS

DEFINICIN GENERAL

Mnimos cuadradoses una tcnica deanlisis numricoenmarcada dentro de laoptimizacin matemtica, en la que, dados un conjunto de pares ordenados: variable independiente, variable dependiente, y una familia de funciones, se intenta encontrar lafuncin continua, dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio demnimo error cuadrtico.En su forma ms simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias en las ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la funcin elegida y los correspondientes valores en los datos. Especficamente, se llama mnimos cuadrados promedio (LMS) cuando el nmero de datos medidos es 1 y se usa el mtodo de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mnimo de operaciones (por iteracin), pero requiere un gran nmero de iteraciones para converger.Desde un punto de vista estadstico, un requisito implcito para que funcione el mtodo de mnimos cuadrados es que los errores de cada medida estn distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss-Mrkov prueba que los estimadores mnimos cuadrticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribucin normal. Tambin es importante que los datos a procesar estn bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar ms peso a un dato en particular, vase mnimos cuadrados ponderados).La tcnica de mnimos cuadrados se usa comnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimizacin pueden expresarse tambin en forma de mnimos cuadrados, minimizando la energa o maximizando la entropa.

DEFINICIN ESTADSTICA

Esta es otra tcnica de tipo cuantitativo que permite el clculo de los pronsticos para perodos futuros, para lo cual requiere de registros histricos que sean consistentes, reales y precisos. Esta tcnica como su nombre lo indica se trata de sacar el total de las desviaciones elevadas al cuadrado a un valor mnimo: su objetivo es determinar los coeficientes a y b, que son conocidos como coeficientes de regresin, donde X es la variable independiente (tiempo), Y eslavariabledependiente(pronsticodelademanda).La tcnica de mnimos cuadrados se usa comnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimizacin pueden expresarse tambin en forma de mnimos cuadrados, minimizando la energa o maximizando la entropa.

MTODO SIMPLIFICADO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES POR EL MTODO DE MNIMOS CUADRADOS

1. Determinar los parmetros (a1,...,ar) de tal forma que los residuos sean mnimos. Es decir, minimizamos la suma de las distancias verticales de los puntos a la curva. 2. Para obtener el mnimo es que las primeras derivadas parciales respecto a cada uno de los parmetros se anulen, es decir,

3. Resolviendo este sistema, denominado sistema de ecuaciones normales, quedan determinados (a1,...,ar), as como la correspondiente funcin.

El procedimiento ms objetivo para ajustar una recta a un conjunto de datos presentados en un diagrama de dispersin se conoce como "el mtodo de los mnimos cuadrados". La recta resultante presenta dos caractersticas importantes:1. Es nula la suma de las desviaciones verticales de los puntos a partir de la recta de ajuste (Y - Y) = 0.2. Es mnima la suma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna otra recta dara una suma menor de las desviaciones elevadas al cuadrado (Y - Y) 0 (mnima).

El procedimiento consiste entonces en minimizar los residuos al cuadrado Ci

Reemplazando nos queda

La obtencin delos valoresde a y b que minimizan estafuncines un problema que se puede resolver recurriendo a la derivacin parcial de la funcin en trminos de a y b: llamemos G a la funcin que se va a minimizar:

Tomemos lasderivadasparciales de G respecto de a y b que son las incgnitas y las igualamos a cero; de esta forma se obtienen dosecuaciones llamadas ecuaciones normales delmodeloque pueden ser resueltas por cualquier mtodo ya sea igualacin omatricespara obtener losvaloresde a y b.Derivamos parcialmente la ecuacin respecto de a

Primera ecuacin normalDerivamos parcialmente la ecuacin respecto de b

Segunda ecuacin normalLos valores de a y b se obtienen resolviendo elsistemade ecuaciones resultante. Formula General

Donde:n = tamao de la muestra o el numero de periodosx = periodo en el que se desea el pronosticoy = pronostico

FRMULAS UTILIZADAS PARA CALCULAR EL AJUSTE LINEAL SIMPLE POR MNIMOS CUADRADOS

Ecuacin de una recta

Interseccin de la recta ajustada

Pendiente de la recta ajustada

Desviacin estndar

Coeficiente de correlacinr=1 correlacin totalr=0 No hay correlacin

APLICACIONES DEL MTODO DE LOS MNIMOS CUADRADOS

La aplicacin de los mnimos cuadrados es mltiple y se utilizan generalmente en modelos lineales estadsticos, especficamente en la rama de econometra para calcular pronsticos.Desde sus inicios fueron para ayudar a calcular medidas en la astronoma por ejemplo una aplicacin real es el estudio de las curvas de luz visuales de los cometas nos pueden dar informacin sobre el tamao aproximado que tiene el ncleo, la composicin qumica del cometa, la razn gas-polvo, si el agua domina o no la actividad gaseosa del ncleo y otros parmetros fsico-qumicos ms complejos del cometa. Tambin uno de los usos frecuentes de los mnimos cuadrados ocurre en el rea de la modelacin o en mtodos de optimizacin para disminuir errores o resolver ecuaciones que no tienen solucin y se busca la que contenga menos errores linealmente.Tambin en la fsica es utilizada para por ejemplo, si creemos que un cuerpo est cayendo con aceleracin constanteg, entonces su velocidadvdebera ser una funcin lineal del tiempot.

EJEMPLOS E INTERPRETACIN DE LOS MNIMOS CUADRADOS

CONCLUSIONES

El mtodo de los mnimos cuadrados" es el procedimiento ms objetivo para ajustar una recta a un conjunto de datos representados en un diagrama de dispersin.

El mtodo de mnimos cuadrados es el mtodo de regresin que se usa con mayor frecuencia.

Este mtodo es ms apropiado cuando los datos muestran una variacin uniforme de desviaciones a lo largo de la lnea de tendencia. Si el costo es fijo, el coeficiente de la pendiente b es de cero; si el costo es variable, la interseccin a es igual a cero en la funcin de costos.

Las principales aplicaciones de este mtodo de Mnimos Cuadrados son en el ajuste de curvas.

BIBLIOGRAFA

Investigacin Mnimos cuadrados generalizados para funciones vectoriales en la Geofsica Espacial , Jorge Lemagne Prez y Alexander Calzadilla Mndez, 1 de abril de 2012

FISICA I Escuela Politcnica de Ingeniera de Minas y Energa Torrelavega

ANEXOSEJEMPLOS GRAFICOS DE COEFICIENTES DE CORRELACION LINEAL

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