UNIVERZITET U TRAVNIKUEKONOMSKI FAKULTET

SEMINARSKI RAD

PREDMET: KVANTITATIVNE METODE U EKONOMIJI

TEMA: VIŠEKRITERIJALNO LINEARNO PROGRAMIRANE

Prof: Doc.Dr. Sead Rešić Student: Alen Aljić 22/07-I

TRAVNIK: JUNI/JULI 2010SADRŽAJ

UVOD 21. POJAM OPTIMIZACIJE SA VIŠE CILJEVA 32. Model VLP 6

2.1. Višeatributivno odlučivanje 72.2. Višeciljno odlučivanje 83. ZADATAK VLP I KONCEPT PO 94. METODE ZA RJEŠAVANJE VLP 10

4.1. Višekriterijalna simpleks metoda 104.2. Metode višeg ranga 114.3. Metode težinskih koeficijenata 114.4. Leksikografska metoda 124.5. Relaksirana leksikografska metoda 12

ZAKLJUČAK 13LITERATURA 14

1

UVOD

Stvarni početak istraživanja načina rješavanja, te metoda i primjena linearnog programiranja ,vezana je za ime ruskog matematičara-ekonomiste Kantoroviča. Njegov rad zaslužuje posebnu pažnju i zbog toga što je po uočavanju i pristupu blizak današnjim razmatranjima. Za razliku od drugih pokušaja ,koji su išli za tim da se pomoću linearnih sistema riješe određeni jednostavni problemi ,u Kantorovičevom radu ,prisutna je ideja svojstvena današnjem programiranju. On uočava važne probleme i čini određene generalizacije. Tumačenja pojedinih problema i odgovarajućih rezultata sasvim su bliska ili identična sa današnjim interpretacijama ,a u nekim slučajevima originalnija i potpunija. Prilikom rješavanja problema koristio je metodu rješavajućih koeficijenata ,koja u današnjem značenju odgovara postupku sa dualnim promjenljivim. Međutim ,njegovi algoritmi nisu bili sasvim opšti ,već su se mogli primijeniti samo u određenim specijalnim slučajevima ,što je bio glavni razlog nemogućnosti postavljanja teorijskih osnova programiranja

Operacijska istraživanja (OI) su interdisciplinarna znanstvena grana koja putem modeliranja i razlicitih kvantitativnih metoda koje koristi stoji izmedu matematike, teorije sustava, informatike i teorije odlucivanja.

OI bave se matematickim modeliranjem realnih procesa u svrhu donošenja optimalnih odluka u okviru danih restrikcija i ogranicenih kapaciteta.Osim toga, OI mogu se opisati kao znanstveni pristup rješavanju problema u upravljanju složenim sustavima. Korištenjem matematickog modeliranja i kvantitativne analize takvih sustava, OI na temelju raspoloživih podataka omogucuju menadžerima donošenje efikasnijih odluka i izgradnju efikasnijih sustava.Pritom se razmatraju sve raspoložive opcije, pažljivo se predvidaju rezultati i procjenjuje rizik, uz upotrebu najnovijih metoda i tehnika za odlucivanje

Metode optimizacije omoguæuju nalaženje najboljih rješenja razlièitih vrstaproblema, i vrlo su pogodne za rješavanje problema u poslovnoj ekonomiji. Tipièniposlovni problemi vezani su za korištenje ogranièenih resursa (ljudi, oprema,materijali, financiranje i sl.) kojima se nastoji postiæi najveæa moguæa dobit,osigurati najveæa moguæa kvaliteta usluge s postojeæim poslovnim resursima islièno. Kod svih tih metoda zajednièko je to da je potrebno formulirati modelproblema, analizirati moguæe varijante rješenja i meðu njima pronaæi najpovoljnijerješenje po odabranom kriteriju. U poslovnoj ekonomiji najviše se koriste metode linearne optimizacije koje omoguæuju nalaženje najpovoljnijih rješenja problema u kojima su i funkcija cilja (npr. dobit) i utrošci resursa (npr. materijala ili vremena) linearno proporcionalni vrijednostima nezavisnih varijabli (npr. broju proizvedenih proizvoda). Stoga æemo u ovom poglavlju opisati metode linearne optimizacije. Prikaz æemo zapoèeti opisom linearnog programiranja, najvažnije i najviše korištene metode za rješavanje poslovnih problema, koja je ujedno i temelj za niz drugih linearnih optimizacijskih metoda.

U području gospodarenja, zbog složenosti sustava, na višim razinama odlučivanja proces donošenja odluka, po svojim osobinama, pripada višekriterijalnom odlučivanju koje se koristi u situacijama kada postoji veći broj, najčešće konfliktnih kriterija, što predstavlja veliko približavanje stvarnim zadaćama u procesima odlučivanja.

2

VIŠEKRITERIJALNO LINEARNO PROGRAMIRANJE

1. POJAM OPTIMIZACIJE SA VIŠE CILJEVA

Kao što je ranije naznačeno, modeli za nalaženje optimuma jedne kriterijumske funkcije su obično samo aproksimacija realnih problema ukojima donosilac odluke mora da vodi računa o više ciljeva. Ovaj deo teksta donosiocu odluke u analizi i izboru rešenja na osnovu više kriterijuma koji se istovremeno razmatraju. Pritom, kao i u slučaju jednokriterijumske optimizacije, donosilac odluke implicitno zadržava slobodu da prihvati, promeni ili odbaci rešenje dobijeno na osnovu matematičkog modela optimizacije.

Metode koje od samog početka formiranja matematičkog modela za određeni realni problem vode računa o više ciljeva istovremeno razvijaju se u oblasti višekriterijumske optimizacije (VKO). Ovaj deo matematičkog programiranja svoj buran razvoj ima od kraja sedamdesetih godina dvadesetog veka.

Ima više razloga koji utiču na to da su problemi VKO po prirodi suštinski drugačiji u odnosu na probleme jednokriterijumske optimizacije. Osnovni je baš u tome što se svi faktori koji utiču na odluku, odnosno svi ishodi koje bi imalo eventualno rešenje, posmatraju kao kriterijumi čije vrednosti treba da budu optimalne. Dakle, treba naći našenje koje je najbolje po svim razmatranim kriterijumima istovremeno a činjenica je da su neki od njih u skoro svim problemima odlučivanja međusobno delimično ili potpuno konfliktni. Pored toga, razmatrani kriterijumi mogu po svojoj prirodi bitiveoma raznorodni i izraženi u različitim mernim jedinicama, od novčanihjedinica, preko jedinica fizičkih veličina, do verovatnoća ili subjektivnihprocena datih po nekoj skali koja se formira za konkretni problem. Sve ovoukazuje da konačno jedinstveno rešenje ne može da se odredi bez učešćadonosioca odluke.

Zadatke višekriterijumske optimizacije u slučajevima kada se razmatraju važne odluke kao što su odluke u vezi sa kapitalnim ulaganjima u opremu za eksploataciju uglja, karakteriše relativno veliki broj kriterijuma, ne dva ili tri nego deset ili više. Što je broj kriterijuma veći, zadaci analize su složeniji i teži. U odlučivanju učestvuje veći broj pojedinaca ili grupa i svi oni favorizuju svoje sisteme vrednosti, odnosno kriterijume koji najbolje odslikavaju interese grupe kojoj pripadaju. Radi efikasnijeg analiziranja odluke i pronalaženja pogodnog rešenja kriterijumi se grupišu. Uobičajene su sledeće grupe kriterijuma:

• ekonomski,• tehnički,• tehnološki,• socijalni i• ekološki.

Prema nameri donosioca odluke, odnosno prema problemu koji trebada reši, višekriterijumski zadaci se klasifikuju u sledeće tri grupe:

3

• zadaci višekriterijumske optimizacije kojima se rešavaju problemi određivanja podskupa rešenja koja zadovoljavaju određene uslove i/ili izbora jednog rešenja iz ovog podskupa,

• zadaci višekriterijumskog ili višeatributnog rangiranja kojima se rešavaju problemi određivanja potpunog ili delimičnog redosleda, rang liste, rešenja koja pripadaju konačnom i prebrojivom skupu;

• zadaci višekriterijumske ili višeatributne selekcije kojima se rešavaju problemi izbora određenog broja rešenja koja pripadaju konačnom i prebrojivom skupu.

Ovde će se razmatrati prevashodno zadaci prve grupe, tj. zadaci VKO, uz napomenu da je većina bitnih osobina problema i osnovnih pristupa rešavanju u suštini ista za sve tri grupe problema. Koristićemo istu notaciju i terminologiju kao i u prethodnom tekstu:

x = (x1, ..., xj, ..., xn) - rešenje, vektor upravljačkih promenljiva, promenljiva odluke, alternativa ili odluka.D - dopustivi skup ili skup dopustivih rešenjafk : Rn → R - kriterijumska funkcija ili funkcija cilja, k = 1,...,pgi : Rn → R - funkcija ograničenja, i = 1,...,m.

Prvi korak u VKO jeste ispitivanje da li u dopustivom skupu postoje rešenja koja daju maksimalne vrednosti za svaku kriterijumsku funkciju ponaosob. Određivanje tih rešenja xk* , k = 1, ..., p, postiže se rešavanjem odgovarajućih pojedinačnih optimizacionih zadataka. Rešenja koja se dobijaju rešavanjem sledećih pojedinačnih nezavisnih zadataka min fk(x) , k = 1,...,p x ε D označavaju se sa xk*, k=1,...,p, i nazivaju se marginalna rešenja zadatka VKO. Odgovarajuće optimalne vrednosti pojedinačnih kriterijuma su fk* = fk(xk*). Za zadatke VKO u kojima se sva marginalna rešenja poklapaju kaže se da postoji savršeno rešenje. Savršeno rešenje x* ε D je ono rešenje za koje sve kriterijumske funkcije istovremeno postižu minimumfk(x*) ≤ fk(x) , x ε D, k =1,...,p.

Jasno je da su u praksi retki slučajevi kada postoji savršeno rešenje zadatka VKO. Razlike u kriterijumima, a pogotovu njihova potpuna ili delimična konfliktnost, predstavljaju suštinu problema VKO. Zato je koncept savršenog rešenja veoma ograničenog teorijskog i praktičnog značaja. Donosilac odluke treba na kraju da usvoji neko rešenje.

Rešenje koje prihvati donosilac odluke naziva se najbolje ili preferirano rešenje.Zadatak je VKO da pomogne dosiocu odluke da izabere rešenje koje smatra najboljim u datom problemu. Zato se napori ka rešavanju postavljenog višekriterijumskog problema često nazivaju višekriterijumska analiza. Činjenica da zadaci VKO po pravilu nemaju savršeno rešenje upućuje na preispitivanje koncepta optimalnosti u kontekstu postojanja više kriterijuma.

4

Drugim rečima, pošto ne postoji rešenje koje je najbolje po svim kriterijuma istovremeno, nema opravdanja da se za neko rešenje kaže da je optimalno. Zato se u VKO koristi novi koncept za ocenu valjanosti rešenja koji se naziva koncept Pareto optimalnosti. Osnovni pojam u konceptu Pareto optimalnosti je dominantno rešenjekoje se još naziva: efikasno, dominirajuće, nedominirano, Pareto optimalnorešenje i Pareto optimum zadatka VKO.

Značaj koncepta Pareto optimalnosti sastoji se u tome što racionalni donosilac odluke neće birati rešenje koje nije dominantno. Zato je važno da se pri razvoju metoda VKO vodi računa da rešenja koja se dobijaju budu dominantna. Lako je pokazati da je svako marginalno rešenje xk* kandidat da bude dominantno. Stvarno, po definiciji je fk(xk* ) ≤ fk(x) što znači da ne postoji x ε D tako da je fk(x) < fk(xk*).

Pored toga, očigledno je da je savršeno rešenje dominantno. Donosilac odluke će izabrati najbolje rešenje na osnovu vrednosti kriterijuma. Zato je uputno zadatak VKO analizirati upravo na tom skupu. Skup S svih vrednosti koje uzima vektor kriterijumskih funkcija na dopustivom skupu D naziva se kriterijumski skup, skup plaćanja, skup ishoda ili skup vrednosti kriterijuma.

Zavisno od toga kako se i kada donosilac odluke uključuje u rešavanje problema razlikuju se tri osnovna pristupa, odnosno tri grupe metoda rešavanja:

• aposteriorni pristup• apriorni pritup• interaktivni i kooperativni pristup.

DO se u aposteriornom pristupu uključuje u analizu i rešavanje svog problema posle određivanja skupa dominatnih rešenja, dakle a posteriori. On sam treba da izabere najbolje rešenje. Zadatak analitičara je da iz dopustivog skupa izdvoji podskup dominatnih rešenja.Ovaj pristup je više teorijskog nego praktičnog značaja. Dva suosnovna razloga tome.

Prvi je taj što je izdvajanje podskupa dominatnih rešenja analitički često nerešiv problem. Za izvesne zadatke diskretne optimizacije i za višekriterijumsko linearno programiranje to je u principu moguće uraditi, ali prilično teško.

Drugi razlog je to što podskup dominatnih rešenja može da bude veoma širok (velik ili beskonačan broj elemenata skupa) tako da donosilac odluke ne može lako da odabere rešenje. U apriornom pristupu DO treba unapred, pre rešavanja zadatka VKO, da iskaže svoj odnos prema kriterijumima. Ovo može da se uradi utvrđivanjem prioriteta ili hijerarhije kriterijuma, dodeljivanjem težina pojedinim kriterijumima, određivanjem relativnih odnosa između svaka dva kriterijuma ili na neki drugi način.

5

2. MODEL VIŠEKRITERIJALNOG LINEARNOG PROGRAMIRANJA

U području gospodarenja, zbog složenosti sustava, na višim razinama odlučivanja proces donošenja odluka, po svojim osobinama, pripada višekriterijalnom odlučivanju koje se koristi u situacijama kada postoji veći broj, najčešće konfliktnih kriterija, što predstavlja veliko približavanje stvarnim zadaćama u procesima odlučivanja.  Karakteristike višekriterijalnog odlučivanja:

•    veći broj kriterija, atributa•    konflikti između kriterija•    neusporedive jedinice mjere•    rješenje ovakve vrste problema je projektiranje najbolje akcije (alternative) ili izbor najbolje iz prethodno definiranog skupa akcija  Vrste zadaća koje se mogu svrstati u višekriterijalne su brojne, međutim, ipak imaju neke zajedničke osobine (Hwang, Yoon, 1981):

•      veći broj kriterija, odnosno, atributa, koje mora stvoriti donositelj odluke,•      konflikti među kriterijima, što je najčešći slučaj kod stvarnih zadaća,•      neusporedive jedinice mjera kod kriterija,•      projektiranje ili izbor, budući da su rješenja ovih vrsta zadaća su ili projektiranje najbolje alternative ili izbor najbolje alternative iz skupa prethodno definiranih akcija.

Zadaće iz skupine VKO mogu se klasificirati kao:•      Višeatributativno odlučivanje  (VAO) ili višekriterijalna analiza (VKA)•      Višeciljno odlučivanje (VCO)

Slika. 1 Karakteristike VAO / VKA i VCO

6

Višeatributivno odlučivanje

Metoda se temelji na atributima koji služe u procesu ocjene ili evaluacije pojedinog kriterija. Veći broj atributa karakterizira pojedinu akciju (alternativu), a biraju se na temelju izabranih kriterija od strane donositelja odluke. VAO se najčešće prikazuje u matričnom obliku. Matrica odlučivanja D:

Xij je vrijednost i-te akcije ai (i=1,… ,m) u odnosu na j-ti atribut Aj (j=1,…,n)  Skale mjerenja za kvalitativne atribute:

• ordinalna skala - formira redoslijed akcija, te ne vodi računa o relativnim razlikama između skala

• intervalna skala - osigurava jednake intervale između akcija i označava odstupanje akcija od unaprijed definirane referentne akcije

• skala odnosa - osigurava jednake intervale između akcija i označava odstupanje akcija od referentne akcije koja nije unaprijed definirana Transformacija kvalitativnih atributa:

• bipolarne skale• normalizacija atributa

 Normalizacija kvalitativnih atributa:vektorska normalizacija:

Linearna normalizacija

VAO prema tipu informacija donositelja odluke:•      bez informacija•      informacije o atributima•      informacije o akcijama (alternativama) Karakteristike informacija o atributima:•      standardna razina•      ordinalna•      kardinalna•      marginalni odnos zamjene Karakteristike informacija o akcijama:•      Sparene preference•      Redoslijed ‘sparenih blizina’ (proximities)

7

Višeciljno odlučivanje

Višeciljno odlučivanje se dijeli na:•      Višekriterijalno programiranje•      Ciljno programiranje

Višekriterijalno programiranje Neka je S podskup realnog n-dimenzionalnog vektorskog prostora, SÍRn. Neka postoje p funkcija cilja zk:S®R1 za k=1, 2,…, p, tj. p skalarnih ili numeričkih funkcija. Tada se problem istodobne maksimizacije tih p funkcija zk na skupu S može zapisati ovako:

Ukoliko je S kompaktan skup i zk su kontinuirane funkcije, za svaki problem maksimuma Max {zk | xÎS},   (k=1,2,…,p)

 postoji optimalno rješenje Vektor

predstavlja 'idealnu vrijednost' vektorske funkcije z(x).Ako je

(k=1,2,…,p), kaže se da problem ima savršeno rješenje.

U tom je slučaju z(x*) ³ z(x) za svako xÎS. Rješenje x* dominira nad svim ostalima. U svakom drugom slučaju optimalno rješenje ne postoji, a njega zamjenjuje skup E efikasnih ili nedominantnih rješenja.Odnosno, x0 je efikasno rješenje problema ako je x0ÎS i ne postoji x1ÎS tako da je z(x1) ³ z(x0) i z(x1) ¹ z(x0).

 Prema prethodnoj definiciji neko rješenje x0 je efikasno ako ne postoji neko drugo rješenje x1 koje je barem po jednom kriteriju bolje a po ostalima nije gore od njega.

Sekvencijalna maksimizacija Skup kriterija, odnosno funkcija cilja može se predstaviti hijerarhijskom strukturom prema preferencijama donositelja odluke.

S0 = SS1 = {y½z1(y) = max{z1(x)½xÎS0}}S2 = {y½z2(y) = max{z2(x)½xÎS1}}……………………………………..Sp = {y½zp(y) = max{zp(x)½xÎSp-1}}

8

Agregiranje više funkcija cilja u jednu jedinstvenu funkciju: z(x) = z (z1(x), z2(x), …, zp(x))

gdje je z (z1(x), z2(x), …, zp(x)) neopadajuća funkcija u svakoj od varijabli z1, z2, …, zp

3. ZADATAK VIŠEKRITERIJALNOG LINEARNOG PROGRAMIRANJA I KONCEPT PARETO OPTIMALNOSTI

Fundamentalne teoreme ekonomike blagostanja su dve osnovne teoreme grane ekonomske teorije koja se zove ekonomika blagostanja. Ubrajaju se u najbitnije rezultate ekonomske nauke i među najznačajnija dostignuća čovečanstva. One imaju duboke implikacije na određivanje načina alokacije resursa.

Centralni ekonomski problem je dostizanje efikasne alokacije resursa. Efikasnost se shvata u smislu Pareto optimalnosti. Pareto optimalnost je dostignuta kada ne postoji način da se rearanžira proizvodnja ili realociraju dobra tako da se nekom popravi položaj, a da se istovremeno nekom drugom ne pogorša položaj. Drugim rečima, efikasnost se može povećavati sve dok je moguće nekome popravljati položaj, a da se nikom drugom položaj ne pokvari. U jednom društvu može biti više Pareto optimalnih alokacija. Koncept Pareto optimalnost je vrlo umeren po etičkom sadržaju: on izbegava poređenje dvaju pojedinaca (ne samerava poboljšanje položaja jednog i pogoršanje drugog), već samo kao opšte poboljšanje uzima one promene kod kojih nijednom pojedincu nije pogoršan položaj, a nekima je poboljšan.

Prva teorema ekonomike blagostanja kaže da je svaka ravnoteža postugnuta na savršeno konkurentskom tržištu Pareto optimalna. Ovim se tvrdi da je tržišni sistem ekonomski efikasan i da nije neophodna državna intervencija da bi efikasnost bila postignuta, čime se potvrđuje efikasnost Smitove nevidljive ruke, koja, bez države, donosi najveći mogući nivo blagostanja za data ograničenja.

Druga teorema ekonomike blagostanja kaže da svaka Pareto optimalna alokacija može biti dostignuta putem savršene konkurencije, a posle odgovarajuće inicijalne redistribucije dobara. Ovim se odvaja pitanje efikasnosti od distribucije, budući da se tvrdi da se željeni, a efikasan ishod može postići kombinacijom tržišnog sistema i paušalnom preraspodelom inicijalnih dobara. Najznačajniji zaključak ove teoreme je da svaki pokušaj vlade da igra cenama rezultiraće prilagođavanjem na svim tržištima, jer su cene nosioci sintetičkih informacija. Upravljanje cenama deformiše signal koji cirkuliše kroz decentralizovan sistem, i zamagljuje sliku onima kojima je taj signal potreban.

Po kriterijumu Pareto efikasnosti, odnosno optimalnosti, za društveno blagostanje se može reći da raste samo ako raste individualno blagostanje bar jednog pojedinca u društvu, a da istovremeno nikome ne opada. Dakle, promena je dobra ako je nekome bolje, a istovremeno nikome nije gore.

Međutim, ako blagostanje nekih ljudi raste, a drugih opada, Pareto kriterijum nije u stanju da da odgovor šta se desilo sa ukupnim društvenim blagostanjem, jer on polazi od stanovišta da međusobno poređenje koristi ljudi nije moguće.

9

Alokacijska ili Pareto efikasnost javlja se kada ne postoji nikakav nacin da se proizvodnja ili potrošnja preustroje tako da se poveca zadovoljstvo jedne osobe a da se pri tome ne smanji zadovoljstvo neke druge osobe. Potrošaceva ravnoteza = odnosi granicnih korisnosti dobara ili granicne stope supstitucije za dva dobra moraju biti jednaki odnosu njihovih cijena.Proizvodaceva ravnoteza = odnosi granicnih troškova (granicna stopa transformacije) finalnih proizvoda mora biti jednak odnosu njihovih cijena.

Postoji bliska povezanost izmedu ravnoteze u uslovima konkurencije i Pareto optimalnosti (ili Pareto efikasnosti). Alokacije u uslovima ravnoteze su obavezno Pareto optimalne i svaka Pateto optimalna alokacija moze postati ravnotezna u uslovima konkurencije ako se izvrše adekvatni transferi. U ovom slucaju trzišna ravnoteza dovodi do povoljnog ekonomskog rezultata. Istovremeno analizom statickih efekata koji nastaju egzogenim promenama u trzišnom okruzenju dat je okvir za identifikovanje situacija trzišnih nedostataka. Trzišne greške su situacije u kojima neke pretpostavke teorije blagostanja nisu odrzive i u kojima se trzišnom ravnotezom ne moze ostvariti Pareto optimalan proizvod. Medutim, u nekim realnim okolnostima, na potrošaca ili firmu mogu da uticu akcije drugih ekonomskih ucesnika. U tom slucaju nastaju eksterni efekti od aktivnosti drugih potrošaca ili firmi. Razlikuju se preferencije potrošaca i obim proizvodnje koji se ostvaruju sopstvenim aktivnostima potrošaca ili firmi, ali i koji se ostvaruju uz istovremenu pojavu eksternih efekata. Pri tome, efekat eksternalija na trzišnu ravnotezu je znacajan. Generalno posmatrano, kada postoje eksterni efekti, trzišna ravnoteza nije Pareto optimalna.

4. METODE ZA RJEŠAVANJE VIŠEKRITERIJALNOG LINEARNOG PROGRAMIRANJA

4.1. Višekriterijalna Simpleks metoda

Simpleks metoda je iterativna metoda. Ona polazi od nekog dopuštenog rješenja pa ga u nizu koraka (iteracija) poboljšava dok ne dode do optimalnog rješenja. Na svakom koraku prema optimumu ta metoda se ponavlja i u konacnom broju iteracije dolazi do njega. Opcenito linearni program koji nije u standardnom obliku može sadržavati ogranicenja u obliku jednadžbi i nejednadžbi. Varijable mogu biti ogranicene na nenegativnost (xi = 0) ili ne moraju. Da bi mogli primijeniti simpleks algoritam linearnog programiranja moramo konvertirati u ekvivalentni problem u kojem ce sva ogranicenja biti u obliku jednadžbi i sve varijable ogranicene na nenegativnu vrijednost ( = 0 ). Takva forma linearnoga programiranja naziva se OSNOVNI OBLIK. To radimo koristeci se uvodenjem novih (tzv. dopunskih) ili dodatnih varijabli na sljedeci nacin:1.) ogranicenja tipa ? = ? konvertiramo u jednadžbi pribrajajuci lijevoj strani dopunsku varijablu xk i uvjet da ona bude nenegativna.2.) ogranicenja tipa ? = ? konvertiramo u jednakost oduzimajuci lijevoj strani dodatnu varijablu xl i uvjet da ona bude nenegativna.

10

4.2. Metode višeg ranga

U praksi je zapaženo da metode "višeg ranga" izbijaju u prvi plan, kako zbog svoje prilagodljivost stvarnim zadaćama (koje su u načelu slabo strukturirane), tako i zbog činjenice da su, u usporedbi sa sličnim metodama razumljivije donositelju odluka.

Metode "višeg ranga" sastoje se od kompromisa između presiromašnih relacija dominacije i preopsežnih relacija dobivenih preko funkcija korisnosti.

 Svaka metoda "višeg ranga" uključuje dvije faze:·        sastavljanje relacije "višeg ranga",·        korištenje ove relacije kao pomoć donositelju odluke. Navedene se faze mogu tretirati na različite načine, tako da su predložene različite

metode, ovisno o vrsti problema i konkretnih situacija. Ako donositelj odluke želi rangirati skup alternativa, sustava, čvorova, projekata itd. od najboljeg do najlošijeg, tada se govori o problemu rangiranja. Ako donositelj odluke mora izabrati najbolju akciju, sustav itd., govorimo o problemu izbora. Kako kod većine višekriterijalnih zadaća, općenito, nema najboljeg rješenja, zadaća se svodi na određivanje skupa dobrih alternativa, sustava, čvorova, projekata itd.

 Neke metode "višeg ranga":•      ELECTRE•      PROMETHEE•      AHP

4.3. Metode težinskih koeficijenata

Ovo je jedna od najstarijih i najviše korišćenih metoda za rešavanje zadatka VKO. Njome se originalni zadatak transformiše u jednokriterijumski na taj način što se svi kriterijumi agregiraju u jedan. Obično se koristi aditivna funkcija sa odgovarajućim težinskim koeficijentima. Po pravilu je potrebno prethodno uraditi pogodnu normalizaciju kriterijuma. Metoda je naročito pogodna kada su kriterijumi iste ili slične prirode, npr. finansijski pokazatelji izraženi monetarnim jedinicama. Donosilacodluke treba da svakom kriterijumu dodeli odgovarajuću težinu ili težinskikoeficijent wk, k = 1,...,p. Težinski koeficijenti treba da su nenegativni brojevi ali ne mogu svi istovremeno biti jednaki nuli. Rešenje x* je dominantno ako je jedinstveno. Dovoljni uslovi da optimalno rešenje dobijeno metodom težinskih koeficijenata budedominantno sadržani su u sledećem stavu. Ako su svi težinski koeficijenti wk, k = 1,...,p pozitivni, onda je optimalno rešenje dobijeno metodom težinskih koeficijenata dominantno rešenje originalnog zadatka.

 

11

4.4. Leksikografska metoda

Ova metoda polazi od pretpostavke da je DO u stanju da utvrdi strogu hijerarhiju između kriterijuma. On treba da odredi tzv. Leksikografski poredak kriterijuma. U ovom poretku su kriterijumi poređani po prioritetu: na prvom mestu se nalazi kriterijum najvišeg prioriteta i njega najpre treba optimizirati. Sledi kriterijum drugog prioriteta koji se primenjuje samo za ona rešenja koja su optimalna po prvom kriterijumu. Postupak se na sličan način nastavlja dalje. Time se zadatak VKO svodi na rešavanje najviše p zadataka jednokriterijumske optimizacije. Zato se ova metoda zove i metoda sekvencijalnih optimizacija.

4.5. Relaksirana leksikografska metoda

Da bi se unekoliko prevazišli nedostaci leksikografske metode, a zadržala njena prednost koja proizilazi iz činjenice da se rešavaju jednokriterijumski zadaci, jedan od načina se sastoji u labavljenju, relaksaciji, uslova koje treba da ispuni rešenje jednokriterijumskih zadataka. To se radi tako što se dozvoli da rešenja jednokriterijumskih zadataka ne moraju da budu optimalna već je dovoljno da budu blizu optimalnim. I ovde se zahteva od DO da najpre utvrdi prioritete kriterijuma. Zatim se dodatno traži da kaže kolika mogu da budu tolerantna odstupanja okooptimalnih vrednosti za svaki od kriterijuma. To znači da se svakom kriterijumu pridružuju vrednosti ak, k=1,...,p, koja pokazuju koliko se kriterijum k može relaksirati u odnosu na njegovu optimalnu vrednost fk*. Vrednosti ak, se nazivaju relaksacioni nivoi. Kao i u prethodnom algoritmu, kriterijumi se na početku poređaju iindeksiraju po važnosti tako da je najvažniji f1(x), a najniži prioritet imafp(x).

12

ZAKLJUČAK

Operacijska istraživanja (OI) su interdisciplinarna znanstvena grana koja putem modeliranja i razlicitih kvantitativnih metoda koje koristi stoji izmedu matematike, teorije sustava, informatike i teorije odlucivanja.

Metode optimizacije omoguæuju nalaženje najboljih rješenja razlièitih vrstaproblema, i vrlo su pogodne za rješavanje problema u poslovnoj ekonomiji. Tipièniposlovni problemi vezani su za korištenje ogranièenih resursa (ljudi, oprema,materijali, financiranje i sl.) kojima se nastoji postiæi najveæa moguæa dobit,osigurati najveæa moguæa kvaliteta usluge s postojeæim poslovnim resursima islièno.

Metoda se temelji na atributima koji služe u procesu ocjene ili evaluacije pojedinog kriterija. Veći broj atributa karakterizira pojedinu akciju (alternativu), a biraju se na temelju izabranih kriterija od strane donositelja odluke.

Fundamentalne teoreme ekonomike blagostanja su dve osnovne teoreme grane ekonomske teorije koja se zove ekonomika blagostanja. Ubrajaju se u najbitnije rezultate ekonomske nauke i među najznačajnija dostignuća čovečanstva. One imaju duboke implikacije na određivanje načina alokacije resursa.

Po kriterijumu Pareto efikasnosti, odnosno optimalnosti, za društveno blagostanje se može reći da raste samo ako raste individualno blagostanje bar jednog pojedinca u društvu, a da istovremeno nikome ne opada. Dakle, promena je dobra ako je nekome bolje, a istovremeno nikome nije gore.

13

LITERATURA

V.M. Rao Tummala, M.E. Čupić: SUVREMENO ODLUČIVANJE, Naučna knjiga, Beograd, 1991.

LJ. Martić: VIŠEKRITERIJALNO PROGRAMIRANJE, Informator, Zagreb, 1978.

Dajović, S., Kovačević-Vujčić, V., Matematika II, Kultura, Beograd, 1989.

Opricović S. Optimizacija sistema, Građevinska knjiga - Nauka, Beograd, 1992.

Pierre, D. A., Optimization theory with applications, John Wiley&Sons, New York, 1969.

Sussmann, H. J., Willems J. C., “300 Years of Optimal Control: From the brachystochrone to the Maximum Principle”, IEEE Trans. On Control Systems, June 1997, pp. 32-44.

Vujošević, M., Operaciona istraživanja – Izabrana poglavlja, Fakultet organizacionih nauka, Beograd, 1999.

Zlobec S, Petrić J., Nelinearno programiranje, Naučna knjiga, Beograd, 1989.

14