metode dekomposisi adomian untuk menyelesaikan persamaan gelombang air dangkal dan … · 2017. 6....
TRANSCRIPT
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK
MENYELESAIKAN PERSAMAAN GELOMBANG AIR
DANGKAL DAN ELASTIK
TESIS
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Magister
Pendidikan pada Program Studi Magister Pendidikan Matematika
Disusun Oleh:
Meta Dispini
NIM : 151442013
PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
HALAMAN MOTTO
“Mintalah, maka akan diberikan kepadamu; carilah, maka
kamu akan mendapat; ketoklah, maka pintu akan dibukakan
bagimu.”
Matius 7:7
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Tesis ini kupersembahkan untuk
Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang senantiasa memberikan
pencerahan ketika sedang bimbang dan menjadi tempat keluh kesah
kapanpun aku butuh.
Bapakku yang selalu mengkhawatirkan aku dan Ibuku yang selalu
mendoakanku dan menjagaku serta mengasihiku melebihi dirinya
sendiri, tentunya mbak-mbakku yang selalu ada ketika aku butuh dan
selalu mendukungku. Terima kasih. Aku sangat menyayangi kalian.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRAK
Meta Dispini, 2017. Metode Dekomposisi Adomian untuk Menyelesaikan
Persamaan Gelombang Air Dangkal dan Elastik. Tesis. Program Studi
Magister Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan,
Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Penulis meneliti tentang persamaan gelombang air dangkal serta
persamaan elastik. Penulis menggunakan Metode Dekomposisi Adomian karena
banyak keuntungan yang didapatkan dari metode tersebut. Salah satu
keuntungannya adalah Metode Dekomposisi Adomian memiliki konvergensi yang
cepat menuju solusi eksak untuk sejumlah permasalahan persamaan diferensial.
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mencari solusi permasalahan
terkait fenomena gelombang air dangkal serta gelombang elastisitas yang
direpresentasikan dengan solusi dari persamaan-persamaan tersebut. Metode
penelitian yang digunakan adalah studi pustaka. Hasil dari penelitian
menunjukkan bahwa Metode Dekomposisi Adomian sangat relevan untuk
menyelesaikan persamaan-persamaan tersebut. Metode tersebut akurat untuk
menyelesaikan persamaan air dangkal penyederhanaannya untuk nilai waktu yang
kecil dan akurat untuk persamaan elastik untuk nilai waktu yang kecil maupun
besar. Penelitian ini dapat digunakan dalam memotivasi pembelajaran siswa SMP
dan SMA dalam materi persamaan garis lurus, turunan dan integral. Selain itu,
dapat juga untuk memotivasi mahasiswa S1 Pendidikan Matematika dalam
pengantar pemodelan serta persamaan diferensial biasa.
Kata kunci: metode dekomposisi Adomian, gelombang air dangkal, persamaan
elastik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRACT
Meta Dispini, 2017. Adomian Decomposition Method for Solving Shallow
Water Wave and Elastic Wave Equations. Thesis. Study Program of Master
of Mathematics Education, Department of Mathematics and Science
Education, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma
University, Yogyakarta.
In this thesis, the writer studies about shallow water equations and
elasticity equations. In this research, the writer uses Adomian Decomposition
Method, because there are many advantages, one of them is this method has fast
convergence to the exact solutions for many differential equations.
The goal of this research is to find the solutions of shallow water wave and
elasticity wave problems that are represented by the solutions of the equations.
The research method is literature study. The results show that the method is
relevant for solving those equations. The method is accurate for small time in
solving shallow water equations and accurate in solving elasticity equations for
small and large time and shows the right physical behavior. This study can be
used for motivates student in high school about straight line equations, diferential,
and integral. The method can be used to motivates for bachelor students of
mathematics education on mathematical modeling and ordinary differential
equations.
Keywords: Adomian decomposition method, shallow water wave, elasticity
wave.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS
Sebagian hasil tesis ini telah dipresentasikan dalam konferensi internasional dan
dipublikasikan dalam jurnal internasional sebagai berikut:
[1] M. Dispini dan S. Mungkasi, “Adomian decomposition method used to
solve the shallow water equations,” AIP Conference Proceedings, Volume
1746, Nomor 1, Artikel 020055, Tahun 2016, (terindeks Scopus), Link
Artikel: http://dx.doi.org/10.1063/1.4953980 .
[2] M. Dispini dan S. Mungkasi, “Adomian decomposition method used to
solve the acoustics equations” diterima dan sedang dalam proses publikasi
dalam Journal of Physics: Conference Series (terindeks Scopus). Link
Jurnal: http://iopscience.iop.org/journal/1742-6596
Selain itu, sebagian hasil lain sedang dalam persiapan untuk
dikembangkan menjadi artikel ilmiah yang disusun oleh pembimbing (Sudi
Mungkasi) dan penulis (Meta Dispini).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa karena dengan penyertaan-Nya,
serta dengan bantuan, bimbingan dan dukungan dari berbagai pihak baik secara
langsung maupun tidak langsung, penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul
“Metode Dekomposisi Adomian untuk Menyelesaikan Persamaan Gelombang Air
Dangkal dan Elastik”. Tesis ini diajukan sebagai salah satu syarat untuk
memperoleh gelar Magister Pendidikan dari Program Studi Magister Pendidikan
Matematika, Jurusan Pendidikan dan Ilmu Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu
Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Oleh karena itu, ijinkan
penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada:
1. Orangtuaku, Jawi Suratman dan Tutik Susilowati serta mbak-mbakku,
Christiana Atika Sari dan Bernadeta Berta Jatu Andini yang selalu
mendukung dan mendoakan penulis kapanpun.
2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen
pembimbing yang sudah meluangkan waktu dan dengan sabar
membimbing penulis, sehingga tesis ini dapat diselesaikan dengan baik.
3. Bapak Rohandi, Ph.D., selaku dekan FKIP Universitas Sanata Dharma
yang telah mengesahkan penulisan tesis ini.
4. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., selaku penguji dan Ketua
Program Studi Magister Pendidikan Matematika yang telah memberikan
dukungan bagi penulis.
5. Bapak Prof. Dr. St. Suwarsono selaku penguji yang sudah memberikan
banyak masukan kepada penulis untuk perbaikan tesis.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
6. Segenap dosen JPMIPA yang telah membantu dan memberikan dukungan
selama penulis menempuh kuliah, sehingga akhirnya penulis dapat
menyelesaikan studi dengan tepat waktu.
7. Segenap staf Sekretariat JPMIPA yang telah membantu dalam hal
administrasi kampus selama penulis melakukan studi di sini.
8. Sahabat-sahabatku yang selalu mendukungku, Margaretha Septyana,
Calcilea Deny, Adven Desi, Hosea Bivin, Nathalia, A. Saputra, mas Beni
dan mas Julius serta kawan-kawan yang tidak dapat saya sebutkan satu-
persatu.
9. Semua teman seperjuangan dari Program Studi Magister Pendidikan
Matematika angkatan 2015-2016 yang memberikan dukungan kepada
penulis selama studi.
10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, yang telah
membantu sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini.
Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi para pembaca.
Penulis,
Meta Dispini
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .............................................. ii
HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................... iii
HALAMAN MOTTO ...................................................................................... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN....................................................................... v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .......................................................... vi
ABSTRAK ....................................................................................................... vii
ABSTRACT ....................................................................................................... viii
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH.............. ix
DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS ................................... x
KATA PENGANTAR ..................................................................................... xi
DAFTAR ISI .................................................................................................... xiii
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................ 1
A. Latar Belakang .................................................................................. 1
B. Rumusan Masalah ............................................................................. 3
C. Tujuan Penelitian .............................................................................. 4
D. Manfaat Penelitian ............................................................................ 4
E. Prasarat Materi .................................................................................. 5
F. Tinjauan Pustaka ............................................................................... 6
G. Kebaruan Penelitian .......................................................................... 13
H. Metode Penelitian.............................................................................. 13
I. Sistematika Penelitian ....................................................................... 15
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
BAB II LANDASAN TEORI .......................................................................... 16
A. Persamaan Diferensial Parsial .............................................................. 16
B. Penurunan Persamaan Gelombang ....................................................... 17
C. Metode Dekomposisi Adomian............................................................ 19
D. Dekomposisi Adomian pada Persamaan Burgers ................................ 22
E. Persamaan Gelombang Air Dangkal .................................................... 25
F. Persamaan Gelombang Elastik ............................................................. 28
BAB III HASIL PENELITIAN ....................................................................... 31
A. Solusi Persamaan Gelombang Air Dangkal ......................................... 31
B. Solusi Persamaan Gelombang Elastik .................................................. 40
C. Solusi Persamaan Gelombang Akustik ................................................ 49
D. Solusi Persamaan Gelombang Difusi ................................................... 58
E. Solusi Persamaan Gelombang Kinematik ............................................ 63
F. Kekurangan Penelitian ......................................................................... 69
BAB IV ASPEK PENDIDIKAN ..................................................................... 71
A. Implikasi Pembelajaran di Sekolah Menengah .................................... 71
B. Implikasi Pembelajaran di S1 Pendidikan Matematika ....................... 77
C. Refleksi Pengalaman Penelitian Matematika ....................................... 78
BAB V PENUTUP ........................................................................................... 81
A. Kesimpulan .......................................................................................... 81
B. Saran ..................................................................................................... 84
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 85
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Indonesia merupakan negara dengan wilayah yang sangat luas. Hampir
dua per tiga bagian wilayah Indonesia merupakan wilayah perairan. Oleh karena
itu oseanografi sangat berguna dalam membantu menganalisa potensi-potensi
alam di wilayah Indonesia terutama wilayah perairan. Dalam mempelajarinya
mungkin ilmu-ilmu lain seperti misalnya fisika memang dapat digunakan, namun,
dibutuhkan matematika untuk membantu menganalisa fenomena alam yang ada
agar hasil analisa yang diperoleh dapat lebih akurat dan tepat serta lebih relevan.
Salah satu fenomena alam yang memicu penulis dalam pembuatan tesis ini
adalah terjadinya banjir yang hampir terjadi setiap tahun. Banyak sekali penyebab
banjir, salah satunya adalah kapasitas daerah aliran sungai yang kurang memadai
untuk menampung air hujan yang masuk ke daerah aliran sungai (DAS).
Berangkat dari masalah nyata ini, penulis ingin meneliti tentang gelombang air
dangkal. Gelombang air dangkal untuk dapat dianalisi maka dibentuk persamaan
gelombang air dangkal dimana memiliki dua kasus khusus yaitu persamaan
gelombang kinematik dan persaman gelombang difusi. Masing-masing persamaan
tersebut dapat diaplikasikan dalam masalah-masalah nyata yang ditemukan dalam
kehidupan sehari-hari.
Analisis pada wilayah perairan tidak hanya berhenti pada analisis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
-fenomena banjir ataupun kejadian-kejadian alam lain. Namun, dibutuhkan juga
analisa tentang bentuk dasar perairan, analisa lokasi makhluk hidup yang ada di
perairan, misalnya di lautan. Analisis tersebut juga membutuhkan bantuan bidang
matematika untuk mendapatkan hasil yang lebih akurat. Persamaan gelombang
akustik merupakan salah satu persamaan yang dapat membantu analisa hal
tersebut. Melalui gelombang suara yang dipantulkan oleh radar ke dalam laut,
maka dapat diketahui topografi laut atau perairan serta lokasi ikan-ikan yang ada
di perairan tersebut. Sehingga, dengan alasan ini, peneliti ingin meneliti tentang
gelombang akustik yang direpresentasikan secara matematis dengan persamaan
gelombang akustik. Persamaan gelombang akustik sendiri merupakan bentuk
khusus dari persamaan gelombang elastic, sehingga penting untuk meneliti
tentang persamaan gelombang elastic beserta persamaan gelombang akustik.
Solusi yang dari persamaan gelombang air dangkal dan persamaan
gelombang elastic beserta masing-masing kasus khususnya, merupakan
representasi solusi dari masalah nyata terkait gelombang air dangkal dan
gelombang elastik beserta masing-masing kasus khususnya. Solusi yang
ditampilkan dalam bentuk fungsi dan grafik. Grafik-grafik tersebut dapat
menggambarkan hasil analisa terhadap kasus yang dicari.
Persamaan gelombang air dangkal dan persamaan gelombang elastik yang
dicari adalah persamaan gelombang air dangkal dan elastik dimensi-1. Persamaan
dimensi-1 artinya adalah hanya ada satu variabel ruang yang dicari dalam
persamaan tersebut. Kedua persamaan gelombang tersebut sudah pernah diteliti
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
sebelumnya dengan berbagai metode, misalnya metode volume berhingga, metode
beda hingga, dan lain-lain. Oleh karena itu, penulis ingin menggunakan metode
yang lain untuk menganalisa kedua persamaan gelombang tersebut. Salah satu
metode terbaru yang telah dikembangkan adalah metode dekomposisi Adomian
yang ditemukan oleh George Adomian. Metode Dekomposisi Adomian telah
terbukti dapat dengan mudah digunakan untuk menyelesaikan persamaan
diferensial biasa maupun parsial, linear maupun non-linear, dan persamaan
integral linear maupun non-linear. Selain itu, tidak diperlukan metode linearisasi
ataupun diskretisasi. Solusi yang dihasilkan masih berupa solusi pendekatan.
Solusi yang didapatkan kemudian diilustrasikan dengan grafik menggunakan
komputer sehingga dapat menggambarkan proses yang terjadi pada persamaan
gelombang air dangkal dan persamaan elastik dengan masing-masing
penyederhanaannya (masing-masing kasus khususnya).
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang dijelaskan, maka rumusan
masalah yang terdapat dalam tesis ini adalah sebagai berikut.
1. Bagaimana penyelesaian persamaan gelombang air dangkal beserta kasus
khususnya (persamaan gelombang difusi dan persamaan gelombang
kinematik) dengan menggunakan Metode Dekomposisi Adomian?
2. Bagaimana penyelesaian persamaan gelombang elastik beserta kasus
khususnya (persamaan gelombang akustik) dengan menggunakan Metode
Dekomposisi Adomian?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
C. Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah yang telah diberikan, tujuan dari penelitian
ini adalah sebagai berikut.
1. Untuk mencari solusi penyelesaian persamaan gelombang air dangkal
beserta kasus khususnya (persamaan gelombang difusi dan persamaan
gelombang kinematik), yang merupakan representasi dari solusi
permasalahan nyata terkait gelombang air dangkal, dengan menggunakan
Metode Dekomposisi Adomian.
2. Untuk mencari solusi penyelesaian persamaan gelombang elastik beserta
kasus khususnya (persamaan gelombang akustik), yang merupakan
representasi dari solusi permasalahan nyata terkait gelombang elastik,
dengan menggunakan Metode Dekomposisi Adomian.
D. Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Untuk Ilmu Pengetahuan
Penelitian ini dapat mengisi celah kosong yang terdapat dalam penelitian
sebelumnya, yaitu dapat memperlihatkan relevansi dari penggunaan
Metode Dekomposisi Adomian dalam penyelesaian persamaan aliran air
dangkal. Selain itu, memberikan sumbangan baru terhadap penggunaan
Metode Dekomposisi Adomian pada persamaan elastik serta masing-
masing penyederhanaannya.
2. Untuk Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
Memperkenalkan Metode Dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan
permasalahan persamaan diferensial biasa maupun parsial linear maupun
non-linear dan persamaan integral linear maupun non-linear.
3. Untuk Aplikasi dalam Kehidupan Nyata
Dapat memperlihatkan perilaku dalam permasalahan terkait dengan
gelombang air dangkal, gelombang difusi, dan gelombang kinematis serta
gelombang elastik dan gelombang akustik. Misalnya, dalam gelombang
kinematik, dapat diterapkan dalam permasalahan daerah aliran sungai yang
berfungsi untuk menerima, menyimpan dan mengalirkan air hujan
sehingga dapat diprediksi simpanan air yang tersedia dalam DAS (daerah
aliran sungai/ watershed).
E. Prasyarat Materi
Untuk mempermudah pembaca dalam memahami tesis ini, diperlukan
beberapa materi prasyarat sebagai berikut.
1. Kalkulus Diferensial-Integral
Pengetahuan tentang kalkulus diferensial maupun kalkulus integral sangat
diperlukan dalam memahami tesis ini, terutama dalam langkah-langkah
Metode Dekomposisi Adomian. Dalam metode tersebut, banyak sekali
proses untuk menurunkan dan mengintegralkan fungsi sehingga jika
pembaca memenuhi materi prasyarat ini, maka akan lebih mudah
memahami isi tesis ini.
2. Persamaan Diferensial Biasa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
Persamaan diferensial biasa diperlukan sebagai materi prasyarat dalam
memahami materi tesis ini karena persamaan diferensial biasa menjadi
dasar dalam memahami persamaan diferensial parsial.
3. Persamaan Diferensial Parsial
Materi persamaan diferensial parsial sangat dibutuhkan sebagai materi
prasyarat dalam memahami langkah-langkah Metode Dekomposisi
Adomian karena persamaan-persamaan yang dibahas dalam tesis ini
berbentuk persamaan diferensial parsial.
4. Pemodelan Matematika
Pada tesis ini banyak materi tentang pemodelan matematika. Masalah-
masalah yang diteliti berawal dari masalah nyata yang kemudian
dimodelkan secara matematis dan selanjutnya dianalisa secara matematis
dan fisis.
5. Getaran dan Gelombang
Materi getaran dan gelombang sangat penting sebagai pengantar untuk
memahami materi tesis ini karena materi-materi yang dibahas dalam tesis
ini. Materi-materi tersebut dapat memudahkan pembaca dalam memahami
pengertian-pengertian serta teori-teori yang berhubungan dengan getaran
dan gelombang yang mana merupakan pembahasan utama dalam tesis ini.
F. Tinjauan Pustaka
Pada bagian ini akan dipaparkan dan dijelaskan letak distribusi penelitian
dari penulis. Penelitian-penelitian terkait materi tesis yang pernah dilakukan akan
disertakan sehingga akan terlihat kebaruan dari penelitian penulis. Berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
merupakan pembahasannya, yang diilustrasikan pada Diagram 1 hingga Diagram
4.
Diagram 1. Garis besar penelitian
Pada subbab ini, dipaparkan tinjauan-tinjauan pustaka serta kebaruan
penelitian penulis. Bagian diagram kedua sampai diagram keempat secara
berturut-turut akan disajikan tinjauan-tinjauan pustaka yang berisi penelitian-
penelitian yang pernah dilakukan oleh para peneliti sebelumnya pada materi
Metode Dekomposisi Adomian, gelombang air dangkal dimensi satu dan terakhir
adalah gelombang elastik dimensi satu. Persamaan air dangkal dimensi satu
diturunkan menjadi tiga persamaan yaitu persamaan air dangkal, persamaan
difusi, dan persamaan kinematik. Persamaan elastik dimensi satu diturunkan
menjadi dua persamaan yaitu persamaan elastik dan persamaan akustik. Pada
bagian akhir akan dijelaskan penelitian yang dilakukan oleh penulis dan
dijelaskan letak kebaruan penelitian.
Metode Dekomposisi
Adomian
Gelombang
Air Dangkal
Persamaan Air Dangkal
Persamaan Difusi
Persamaan Kinematik
Gelombang ElastikPersamaan Elastik
Persamaan Akustik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Diagram 2. Metode dekomposisi Adomian
George Adomian telah mengenalkan dan mengembangkan metode
dekomposisi Adomian. Pada tahun 1996, Adomian melakukan penelitian tentang
Metode Dekomposisi Adomian untuk digunakan pada persamaan diferensial
parsial nonlinier. Solusi eksplisit telah dihitung dengan Metode Dekomposisi
Metode Dekomposisi
Adomian
Penemu Metode :
George Adomian
"Solution of nonlinear PDE"
oleh Adomian (1998)
Partial Differential Equations and Solitary Waves Theory
Penulis: Wazwaz (2009)
Beberapa penelitian terkait
“Construction of solutions for the shallow water equations by the
decomposition method”
oleh Al-Khaled dan Allan (2004)
“Adomian decomposition method used to solve the gravity wave
equations”
oleh Mungkasi and Dheno (2016)
Penelitian Penulis
“Adomian decomposition method used to solve the shallow water
equations”
oleh Dispini and Mungkasi (2016)
“Adomian decomposition method used to solve the acoustics
equations”
oleh Dispini and Mungkasi (2016)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
Adomian untuk persamaan Burgers. Pada penelitian tersebut Adomian
menemukan bahwa efisiensi dari dekomposisi membuat metode tersebut dapat
dijadikan pilihan karena tidak dibutuhkan linearisasi ataupun perturbasi. Menurut
Wazwaz (2009), Metode Dekomposisi Adomian terbukti sangat ampuh, efektif,
dan dapat menyelesaikan permasalahan persamaan diferensial parsial ataupun
biasa, linear ataupun non-linear, dan persamaan integral linear dan non-linier.
Pada penelitian Wazwaz, metode tersebut sukses menyelesaikan sebagian besar
persamaan diferensial parsial yang muncul pada beberapa model fisis dan aplikasi
sains baik dimensi satu, dimensi dua, maupun dimensi yang lebih tinggi.
Penelitian-penelitian terkait metode dekomposisi Adomian sudah mulai
berkembang sampai saat ini, diantaranya adalah penelitian oleh Al-Khaled dan
Allan (2004) serta Mungkasi dan Dheno (2016). Kedua penelitian tersebut tentang
penggunaan Metode Dekomposisi Adomian dalam menyelesaikan persamaan air
dangkal serta persamaan gelombang gravitasi. Masih banyak lagi penelitian-
penelitian terkait Metode Dekomposisi Adomian yang tidak mungkin penulis
jelaskan satu persatu dalam tesis ini. Penelitian penulis adalah penyelesaian
persamaan gelombang air dangkal dimensi satu, persamaan difusi, persamaan
gelombang kinematik, persamaan gelombang elastik, dan persamaan gelombang
akustik dimensi satu. Penelitian tersebut belum pernah dikerjakan sebelumnya
sehingga termasuk baru. Penjelasannya akan ditulis pada bagian selanjutnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Diagram 3. Penelitian gelombang air dangkal dimensi satu
Pada Diagram 3, dipaparkan skema penelitian-penelitian yang pernah
dilakukan sebelumnya, baik penelitian tentang persamaang gelombang air
dangkal, persamaan gelombang difusi, maupun persamaan gelombang kinematik
dimensi satu. Acuan utama pada penelitian gelombang air dangkal ini adalah
jurnal yang ditulis oleh Al-Khaled dan Allan (2004). Pada tulisan tersebut,
penelitian tentang konstruksi solusi untuk persamaan air dangkal dengan metode
dekomposisi, terlihat bahwa Metode Dekomposisi Adomian sangat menjanjikan
untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan nonlinear. Contoh dalam penelitian
Gelombang Air Dangkal
Dimensi 1
Persamaan
Air Dangkal
“Construction of solutions for the shallow water equations by the decomposition
method”
oleh Al-Khaled dan Allan (2004)
“Adomian decomposition method used to solve the shallow water equations”
oleh Dispini dan Mungkasi (2016)
Persamaan
Difusi
Metode Dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan persamaan gelombang
Difusi
oleh Penulis
Persamaan
Kinematik
Basic Concepts of Kinematic-Wave Models
Penulis: Miller (1984)
Metode Dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan persamaan gelombang
Kinematik
oleh Penulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
tersebut menunjukkan konvergensi yang cepat pada metode tersebut (Al-Khaled
dan Allan, 2004). Kebaruan yang ada dalam penelitian penulis adalah relevansi
dari Metode Dekomposisi Adomian untuk persamaan air dangkal. Perlu
digarisbawahi bahwa persamaan air dangkal tidak memiliki solusi eksak secara
umum sehingga, pada penelitian penulis untuk mencaritahu bagaimana relevansi
Metode Dekomposisi Adomian untuk persamaan air dangkal.
Miller (1984) telah menjelaskan konsep dasar dari gelombang kinematik.
Model sederhana dari persamaan gelombang kinematik kemudian menjadi bahan
penelitian penulis. Kebaruan dari penelitian ini adalah penulis menyelesaikan
model gelombang kinematik dengan Metode Dekomposisi Adomian. Relevansi
dari penyelesaian persamaan kinematik dan persamaan difusi dimensi satu
menggunakan Metode Dekomposisi Adomian juga belum pernah diteliti
sebelumnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Diagram 4. Penelitian gelombang elastik dimensi satu
Penelitian-penelitian tentang gelombang elastik telah banyak dilakukan.
Salah satu diantaranya adalah penelitian oleh LeVeque (2002) tentang
penyelesaian persamaan elastik nonlinear pada media heterogen dengan
menggunakan metode volume berhingga, seperti pada diagram 4. Penulis
menggunakan model matematika yang digunakan oleh LeVeque dan kemudian
menyelesaikannya dengan metode dekomposisi Adomian. Sebelumnya, model
tersebut belum pernah diteliti dengan Metode Dekomposisi Adomian sehingga
terlihat jelas kebaruan dari penelitian yang dilakukan oleh penulis. Model akustik
yang diteliti oleh penulis merupakan penyederhanaan dari model elastik yang
diteliti oleh LeVeque (2002) yang belum pernah diteliti sebelumnya dengan
menggunakan Metode Dekomposisi Adomian.
Gelombang Elastik
Dimensi 1
Persamaan
Gel. Elastik
“Finite-volume methods for non-linear elasticity in heterogeneous
media"
oleh LeVeque (2002)
Metode Dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan Persamaan
Gelombang Elastik
Persamaan
Gel. Akustik
“Finite-volume methods for non-linear elasticity in heterogeneous
media"
oleh LeVeque (2002)
“Adomian decomposition method used to solve the acoustics
equations”
oleh Dispini dan Mungkasi (2016)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
G. Kebaruan Penelitian
Persamaan aliran air dangkal telah diteliti sebelumnya oleh Al-Khaled dan
Allan (2004) namun, relevansi penggunaan Metode Dekomposisi Adomian dalam
menyelesaikan persamaan aliran air dangkal yang belum pernah diteliti
sebelumnya. Metode Dekomposisi Adomian tidak memiliki solusi eksak umum
seperti yang telah dijelaskan pada bagian tinjauan pustaka. Relevansi dari
penggunaan Metode Dekomposisi Adomian. Selain itu, Metode Dekomposisi
Adomian juga belum diteliti dalam penggunaannya untuk penyelesaian
penyerdehanaan dari persamaan aliran air dangkal yaitu persamaan aliran air
dangkal, persamaan difusi, dan persamaan kinematik.
Kebaruan penelitian yang lainnya adalah penggunaan Metode
Dekomposisi Adomian pada persamaan elastik serta persamaan
penyederhanaannya belum pernah diteliti sebelumnya sehingga, penyelesaian
persamaan akustik linear dengan Metode Dekomposisi Adomian pada tesis ini
termasuk penelitian yang terbaru.
H. Metode Penelitian
Metode penelitian yang digunakan oleh penulis adalah metode studi
pustaka yaitu mempelajari materi dari referensi-referensi yang berkaitan dengan
Metode Dekomposisi Adomian dalam menyelesaikan persamaan gelombang air
dangkal dan persamaan elastik dengan masing-masing penyederhanaannya,
mengumpulkan informasi dan menyusun tulisan ini menjadi suatu bentuk
penulisan yang runtut dan jelas sehingga mempermudah pembaca saat membaca.
Setelah itu, penulis lebih banyak mengkaji dari jurnal-jurnal nasional maupun
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
internasional serta buku-buku terkait. Langkah-langkah yang dilakukan dalam
penulisan ini adalah:
1. Mempelajari teori tentang Metode Dekomposisi Adomian untuk
menyelesaikan persamaan diferensial parsial dari buku-buku maupun
jurnal-jurnal yang terkait.
2. Menyelesaikan soal-soal latihan terkait dengan Metode Dekomposisi
Adomian.
3. Mempelajari informasi-informasi penting terkait persamaan diferensial
parsial dengan persamaan aliran air dangkal beserta penyederhanaannya.
4. Mempelajari informasi-informasi penting terkait persamaan diferensial
parsial dengan persamaan elastik beserta penyederhanaannya.
5. Memberikan penjelasan, bukti-bukti serta langkah-langkah dalam
mendapatkan solusi pendekatan dari metode dekomposisi Adomian secara
runtut dan jelas.
6. Menyusun seluruh materi yang telah dibahas secara runtut dan sistematis
pada langkah sebelumnya agar mempermudah para pembaca dalam
memahami isi penulisan.
7. Mengkonsultasikan isi tulisan dengan dosen pembimbing setiap
mendapatkan hasil penelitian (menemukan solusi-solusi permasalahan
yang dicari) serta setiap menemui kesulitan-kesulitan, kemudian merevisi
yang perlu direvisi.
8. Finalisasi penulisan tesis.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
I. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan dalam tesis ini adalah sebagai berikut.
1. Bab I : membahas pendahuluan yang meliputi latar belakang masalah,
rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka,
metode penelitian, dan sistematika penulisan.
2. Bab II : membahas landasan teori yang berisi teori-teori yang digunakan
dalam penelitian ini. Teori-teori yang digunakan adalah teori persamaan
diferensial parsial, teori tentang Metode Dekomposisi Adomian,
Dekomposisi Adomian pada persamaan Burgers, persamaan air dangkal
dan persamaan gelombang elastik.
3. Bab III : membahas hasil penelitian yang berisi hasil penelitian dari semua
persamaan yang dicari yaitu tentang persamaan air dangkal, persamaan
gelombang elastik, persamaan gelombang akustik, persamaan gelombang
difusi dan persamaan gelombang kinematik.
4. Bab IV : membahas aspek pendidikan yang berisi kaitan-kaitan penelitian
terhadap aspek pendidikan baik di sekolah menengah maupun di tingkat
S1 Pendidikan Matematika.
5. Bab V : membahas kesimpulan dan saran dari penelitian ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
BAB II
LANDASAN TEORI
Isi dari bab ini adalah teori-teori yang melandasi penelitian. Teori-teori yang
digunakan adalah persamaan diferensial parsial, metode dekomposisi Adomian
dan penggunaan dekomposisi Adomian pada persamaan Burgers, persamaan
aliran air dangkal, persamaan elastisitas dan persamaan akustik linear. Berikut ini
merupakan panjelasannya.
A. Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang memuat
variabel terikat (fungsi tidak diketahui) dan derivatif parsial (Wazwaz, 2009).
Persamaan diferensial biasa (PDB) memiliki variabel terikat 𝑢 = 𝑢(𝑥) tergantung
hanya pada sebuah variabel bebas 𝑥. Tidak seperti PDB, variabel terikat dalam
PDP seperti misalnya 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) atau 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑡), tergantung pada lebih dari
satu variabel bebas. PDP juga digunakan dalam bentuk sederhana persamaan
gelombang. Berikut ini adalah bentuk sederhana dari persamaan gelombang
dimensi satu.
PDP : 𝑢𝑡𝑡 = 𝑐2𝑢𝑥𝑥 , 0 < 𝑥 < 𝐿 , 𝑡 > 0
(2.1) Kondisi Batas : 𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0, 𝑡 ≥ 0,
Kondisi Awal : 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), 𝑢𝑡(𝑥, 0) = 𝑔(𝑥)
dengan 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah nilai fungsi di titik sembarang dalam rangkaian saat
posisi 𝑥 dan saat waktu 𝑡, dan 𝑐 adalah konstan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
B. Penurunan Persamaan Gelombang
Persamaan gelombang diturunkan dari hukum kekekalan massa dan
momentum (LeVeque, 1992). Misalkan bahwa 𝜌(𝑥, 𝑡) melambangkan massa jenis
fluida di titik 𝑥 dan waktu 𝑡. Massa jenis ini didefinisikan dalam cara bahwa total
massa dari fluida dalam bagian yang diberikan dari 𝑥1 ke 𝑥2, diberikan oleh
integral dari massa jenis:
massa dalam [𝑥1, 𝑥2] pada waktu 𝑡 = ∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑥2
𝑥1
𝑑𝑥. (2.2)
Sekarang diberikan 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah kecepatan fluida pada titik 𝑥 dan waktu 𝑡.
Kemudian, kecepatan aliran, atau fluks dari fluida yang melewati titik ini
diberikan oleh
fluks massa di (𝑥, 𝑡) = 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑢(𝑥, 𝑡), (2.3)
dari pernyataan tersebut, kecepatan dari perubahan massa di [𝑥1, 𝑥2] diberikan
oleh perbedaan di fluks pada saat 𝑥1 dan 𝑥2:
𝑑
𝑑𝑡∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)
𝑥2
𝑥1
𝑑𝑥 = 𝜌(𝑥1, 𝑡)𝑢(𝑥1, 𝑡) − 𝜌(𝑥2, 𝑡)𝑢(𝑥2, 𝑡). (2.4)
Ini adalah satu bentuk integral dari hukum kekekalan massa. Bentuk lainnya
didapatkan dengan mengintegralkan ini saat waktu 𝑡1 ke 𝑡2:
∫ 𝜌(𝑥, 𝑡2)𝑥2
𝑥1
𝑑𝑥
= ∫ 𝜌(𝑥, 𝑡1)𝑥2
𝑥1
𝑑𝑥 + ∫ 𝜌(𝑥1, 𝑡)𝑢(𝑥1, 𝑡)𝑡2
𝑡1
𝑑𝑡
− ∫ 𝜌(𝑥2, 𝑡)𝑢(𝑥2, 𝑡)𝑡2
𝑡1
𝑑𝑡.
(2.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Untuk mendapatkan bentuk diferensial dari hukum kekekalan, diasumsikan bahwa
𝜌(𝑥, 𝑡) dan 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah fungsi terdiferensial. Dengan menggunakan:
𝜌(𝑥, 𝑡2) − 𝜌(𝑥, 𝑡1) = ∫𝜕
𝜕𝑥𝜌(𝑥, 𝑡)
𝑡2
𝑡1
𝑑𝑡, (2.6)
dan
𝜌(𝑥2, 𝑡)𝑢(𝑥2, 𝑡) − 𝜌(𝑥1, 𝑡)𝑢(𝑥1, 𝑡) = ∫𝜕
𝜕𝑥(𝜌(𝑥, 𝑡)𝑢(𝑥, 𝑡))
𝑥2
𝑥1
𝑑𝑥, (2.7)
dalam (2.5) memberikan:
∫ ∫ {𝜕
𝜕𝑥𝜌(𝑥, 𝑡) +
𝜕
𝜕𝑥(𝜌(𝑥, 𝑡)𝑢(𝑥, 𝑡))}
𝑥2
𝑥1
𝑡2
𝑡1
𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 0. (2.8)
Karena ini berlaku untuk setiap bagian [𝑥1, 𝑥2] dan melewati setip interval waktu
[𝑡1, 𝑡2], disimpulkan bahwa sebenarnya integral dalam (2.8) adalah nol, yaitu:
𝜌𝑡 + (𝜌𝑢)𝑥 = 0. (2.9)
Persamaan di atas adalah bentuk diferensial dari hukum kekekalan massa, untuk
hukum kekekalan (2.9) dapat diselesaikan jika kecepatan 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah fungsi
dari 𝜌(𝑥, 𝑡). Jika demikian, kemudian 𝜌𝑢 adalah fungsi dari 𝜌 sendiri, sehingga
𝜌𝑢 = 𝑓(𝜌), dan persamaan kekekalan massa (2.9) menjadi:
𝜌𝑡 + 𝑓(𝜌)𝑥 = 0. (2.10)
Persamaan gelombang yang dibahas dalam tesis ini secara umum
berbentuk hukum kekekalan massa:
𝑊𝑡 + 𝐹(𝑊)𝑥 = 0, (2.11)
jika tidak ada suku sumber. Jika ada suku sumber kuantitas yang mempengaruhi
sistem, persamaannya berbentuk hukum kesetimbangan:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
𝑊𝑡 + 𝐹(𝑊)𝑥 = 𝑆(𝑊(𝑥, 𝑡), 𝑥, 𝑡), (2.12)
dengan 𝑆(𝑊(𝑥, 𝑡), 𝑥, 𝑡) adalah suku sumber. Di sini 𝑊(𝑥, 𝑡) adalah kuantitas
kekal dan 𝐹(𝑊) adalah fluks kuantitas kekal tersebut.
C. Metode Dekomposisi Adomian
Metode Dekomposisi Adomian (Adomian (1998), Wazwaz (2009))
diperkenalkan dan dikembangkan oleh George Adomian dan terbukti memiliki
keunggulan, efektif, dan dapat mengatasi kasus-kasus linear maupun non-linear,
persamaan diferensial biasa maupun parsial, dan persamaan integral linear
maupun non-linear. Metode ini menyelesaikan permasalahan secara langsung
tanpa menggunakan linearisasi ataupun beberapa asumsi yang mungkin dapat
merubah sifat-sifat fisis dari model yang didiskusikan.
Pada penyelesaian bentuk sederhana gelombang dengan dimensi satu,
Metode Dekomposisi Adomian (Adomian, 1998) mengandung dekomposisi dari
fungsi 𝑢(𝑥, 𝑦) yang tidak diketahui dari beberapa persamaan dalam bentuk jumlah
dari bilangan tak hingga dari komponen terdefinisi dengan deret dekomposisi:
𝑢(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝑢𝑛(𝑥, 𝑦)
∞
𝑛=0
di mana komponen 𝑢𝑛(𝑥, 𝑦), 𝑛 ≥ 0 yang ditentukan dalam cara rekursif. Metode
dekomposisi mencari komponen 𝑢0, 𝑢1, 𝑢2, … secara terpisah. Diberikan suatu
bentuk persamaan diferensial linear:
𝐿𝑢 + 𝑅𝑢 = 𝑔, (2.13)
di mana 𝐿 adalah operator turunan tingkat yang lebih rendah yang diasumsikan
memiliki invers, sedangkan 𝑅 adalah operator diferensial linear, dan 𝑔 adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
nilai awal. Aplikasikan operator invers 𝐿−1 pada kedua ruas dan menggunakan
kondisi yang diberikan untuk mendapatkan:
𝑢 = 𝑓 − 𝐿−1(𝑅𝑢), (2.14)
di mana fungsi 𝑓 menunjukkan hasil dari pengintegrasian 𝑔 dan dari penggunaan
kondisi yang diberikan yang diasumsikan untuk ditentukan. Selanjutnya akan
dijelaskan perhitungan dengan Metode Dekomposisi Adomian.
Pada bentuk sederhana persamaan gelombang dalam dimensi satu yang
telah diuraikan, dengan pengaplikasian Metode Dekomposisi Adomian:
𝑢𝑡𝑡 = 𝑐2𝑢𝑥𝑥, 0 < 𝑥 < 𝐿 , 𝑡 > 0, (2.15)
di mana 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah fungsi yang dicari saat posisi 𝑥 dan saat waktu 𝑡, dan
𝑐 adalah konstan. Persamaan (2.15) dapat ditulis menjadi:
𝐿𝑡𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑐2𝐿𝑥𝑢(𝑥, 𝑡). (2.16)
Operator diferensial 𝐿𝑡 dan 𝐿𝑥 didefinisikan dengan:
𝐿𝑡 =𝜕2
𝜕𝑡2, 𝐿𝑥 =
𝜕2
𝜕𝑥2. (2.17)
Asumsikan operator integral 𝐿𝑡−1 dan 𝐿𝑥
−1 ada dan dapat dimaknai sebagai
integral tak tentu dua-lipat yang didefinisikan sebagai
𝐿𝑡−1(. ) = ∫ ∫ (. )𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑡
0
𝑡
0
, (2.18)
dan
𝐿𝑥−1(. ) = ∫ ∫ (. )𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑡
0
𝑡
0
. (2.19)
Ini berarti bahwa
𝐿𝑡−1𝐿𝑡𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢(𝑥, 𝑡) − 𝑡𝑢𝑡(𝑥, 0) − 𝑢(𝑥, 0), (2.20)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
dan
𝐿𝑥−1𝐿𝑥𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢(𝑥, 𝑡) − 𝑥𝑢𝑥(𝑥, 0) − 𝑢(0, 𝑡). (2.21)
Solusi dapat diperoleh dengan menggunakan operator invers 𝐿𝑡−1 atau operator
invers 𝐿𝑥−1. Bagaimanapun juga, penggunaan operator invers 𝐿𝑡
−1 hanya
membutuhkan penggunaan kondisi awal, sedangkan operasi dengan
𝐿𝑥−1menentukan kegunaan dari kondisi awal dan kondisi batas. Untuk alasan ini,
diaplikasikan metode dekomposisi dalam arah 𝑡. Setelah mengaplikasikan 𝐿𝑡−1
untuk kedua ruas dan menggunakan kondisi awal kita mendapatkan:
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑐2𝐿𝑡−1(𝐿𝑥𝑢(𝑥, 𝑡)). (2.22)
Metode Adomian mendekomposisi perubahan fungsi 𝑢(𝑥, 𝑡):
𝑢(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝑢𝑛(𝑥, 𝑦)
∞
𝑛=0
, (2.23)
sehingga menjadi:
∑ 𝑢𝑛(𝑥, 𝑦)
∞
𝑛=0
= 𝑓(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑐2𝐿𝑡−1 (𝐿𝑥 (∑ 𝑢𝑛(𝑥, 𝑦)
∞
𝑛=0
)), (2.24)
atau dengan menggunakan komponen:
𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ = 𝑓(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑐2𝐿𝑡−1(𝐿𝑥(𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ )). (2.25)
Metode tersebut menunjukkan bahwa komponen nol 𝑢0(𝑥, 𝑡) diidentifikasi
dengan lambang yang tidak termasuk dalam 𝐿𝑡−1 pada (2.25). komponen yang
lain ditentukan dengan menggunakan relasi rekursif dengan
𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ = 𝑓(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑐2𝐿𝑡−1(𝐿𝑥(𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ )), (2.26)
𝑢0(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥), (2.27)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
𝑢𝑘+1(𝑥, 𝑡) = 𝑐2𝐿𝑡−1(𝐿𝑥(𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ )), 𝑘 ≥ 0. (2.28)
Komponen-komponen 𝑢0(𝑥, 𝑡), 𝑢1(𝑥, 𝑡), 𝑢2(𝑥, 𝑡), … dapat ditentukan secara
terpisah dengan
𝑢0(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥), (2.29)
𝑢1(𝑥, 𝑡) = 𝑐2𝐿𝑡−1(𝐿𝑥(𝑢0)) = 𝑐2 (
𝑡2
2!𝑓′′(𝑥) +
𝑡3
3!𝑔′′(𝑥)),
(2.30)
𝑢2(𝑥, 𝑡) = 𝑐2𝐿𝑡−1(𝐿𝑥(𝑢1)) = 𝑐2 (
𝑡4
4!𝑓(4)(𝑥) +
𝑡5
5!𝑔(4)(𝑥)),
(2.31)
𝑢3(𝑥, 𝑡) = 𝑐2𝐿𝑡−1(𝐿𝑥(𝑢2)) = 𝑐2 (
𝑡6
6!𝑓(6)(𝑥) +
𝑡7
6!𝑔(6)(𝑥)),
(2.32)
⋮
sehingga diperoleh,
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑐2𝑛
∞
𝑛=0
(𝑡2𝑛
(2𝑛)!𝑓(6)(𝑥) +
𝑡2𝑛+1
(2𝑛 + 1)!𝑔(2𝑛)(𝑥)). (2.33)
Persamaan (2.33) merupakan solusi dari persamaan (2.15).
D. Dekomposisi Adomian pada Persamaan Burgers
Pada bagian ini akan dibahas penggunaan Metode Dekomposisi Adomian
pada persamaan diferensial parsial. Persamaan gelombang menggunakan
persamaan diferensial parsial sehingga penting untuk memberikan salah satu
ilustrasi bagaimana Metode Dekomposisi Adomian menyelesaikannya. Secara
khusus, persamaan yang akan diselesaikan adalah persamaan Burgers.
𝑢𝑡 + 𝑢𝑢𝑥 − 𝑢𝑥𝑥 = 0, (2.34)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
di mana 𝑢 adalah kuantitas yang diteliti. Notasi 𝑡 adalah variabel untuk waktu dan
𝑥 adalah variabel ruang. Ruang dan waktu adalah variabel-variabel bebas.
Didefinisikan operator turunan 𝐿𝑡 =𝜕
𝜕𝑡 dan 𝐿𝑥𝑥 =
𝜕2
𝜕𝑥2. Persamaan Burgers dapat
dituliskan menjadi:
𝐿𝑡𝑢 + 𝑢𝑢𝑥 = 𝐿𝑥𝑥𝑢. (2.35)
Didefinisikan operator invers 𝐿𝑡−1 = ∫ (. )
𝑡
0𝑑𝑡, kemudian aplikasikan 𝐿𝑡
−1 pada
kedua ruas untuk persamaan sebelumnya untuk mendapatkan persamaan
𝐿𝑡−1𝐿𝑡𝑢 = 𝐿𝑡
−1𝐿𝑥𝑥𝑢 − 𝐿𝑡−1𝑢𝑢𝑥, (2.36)
Atau
𝑢 − 𝑢(0) = 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑥𝑢 − 𝐿𝑡
−1𝑢𝑢𝑥 . (2.37)
Untuk 𝑢𝑢𝑥 nonlinear dapat ditulis dalam polinomial Adomian 𝐴𝑛, dimana 𝑢𝑢𝑥 =
∑ 𝐴𝑛∞𝑛=0 {𝑢𝑢𝑥}, kemudian substitusikan polinomial ke dalam persamaan. Dengan
cara yang sama, substitusikan dekomposisi dari
𝑢 = ∑ 𝑢𝑛∞𝑛=0 pada kedua ruas, dimana 𝑢0 = 𝑢(0), didapatkan
∑ 𝑢𝑛
∞
𝑛=0
= 𝑢0 + 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑥 ∑ 𝑢𝑛
∞
𝑛=0
− 𝐿𝑡−1 ∑ 𝐴𝑛
∞
𝑛=0
. (2.38)
Sekarang, dapat dilihat hasil dari setiap komponen dekomposisi dari 𝑢, yaitu,
𝑢1 = 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑥𝑢0 − 𝐿𝑡
−1𝐴0, (2.39)
𝑢2 = 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑥𝑢1 − 𝐿𝑡
−1𝐴1, (2.40)
𝑢3 = 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑥𝑢2 − 𝐿𝑡
−1𝐴2, (2.41)
⋮
𝑢𝑛+1 = 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑥𝑢𝑛 − 𝐿𝑡
−1𝐴𝑛 , 𝑛 ≥ 0. (2.42)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Polinomial Adomian 𝐴𝑛 untuk kasus ini diberikan oleh :
𝐴0 = 𝑢0𝑢′0, (2.43)
𝐴1 = 𝑢1𝑢′0 + 𝑢0𝑢1, (2.44)
𝐴2 = 𝑢2𝑢′0 + 𝑢1𝑢′
1 + 𝑢0𝑢′2, (2.45)
⋮
𝐴𝑛 = 𝑢𝑛𝑢′0 + 𝑢𝑛−1𝑢′
1 + ⋯ + 𝑢1𝑢′𝑛−1 + 𝑢0𝑢′
𝑛, (2.46)
sehingga, dapat ditentukan 𝑢 menjadi bentuk rangkaian 𝑢 = ∑ 𝑢𝑛∞𝑛=0 seperti yang
diharapkan. Komponen ke−𝑛 pada pendekatan dari 𝑢 diberikan oleh jumlahan
dari 𝑢0, 𝑢1, 𝑢2, ⋯ , 𝑢𝑛−1, jadi
𝜑𝑛[𝑢] = ∑ 𝑢𝑚
𝑛−1
𝑚=0
. (2.47)
Dengan cara Adomian untuk menspesifikasi 𝑢 = 𝑥 ketika 𝑡 = 0. Didapatkan
𝑢0 = 𝑢(𝑡 = 0) = 𝑥, (2.48)
𝑢1 = −𝐿𝑡−1𝐴0 = −𝑥𝑡, (2.49)
𝑢2 = −𝐿𝑡−1𝐴1 = 𝐿𝑡
−1(𝑥𝑡) =𝑥𝑡2
2, (2.50)
⋮
Sehingga, 𝑢 = 𝑥 (1 − 𝑡 +𝑡2
2− ⋯ ). Didapatkan 𝑢 =
𝑥
1+𝑡 adalah solusi dari
persamaan Burgers dengan masalah nilai awal 𝑢 = 𝑥 saat 𝑡 = 0. Hasil akhir ini
adalah solusi untuk persamaan (2.34) menggunakan Metode Dekomposisi
Adomian. Jelas bahwa 𝑢 =𝑥
1+𝑡 adalah solusi eksak dari persamaan Burgers
dengan nilai awal yang diberikan. Setelah pengamatan dari permasalahan ini
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
ditemukan bahwa jika solusi eksak teridentifikasi memiliki bentuk tertutup, maka
Metode Dekomposisi Adomian konvergen sangat cepat pada solusi eksak.
E. Persamaan Gelombang Air Dangkal
Gelombang air dangkal adalah gelombang di mana kedalaman airnya atau
amplitudonya sangat kecil dibandingkan dengan panjang gelombangnya.
Persamaan air dangkal disebut juga sebagai sistem Saint-Venant di mana hukum
kekekalan massa dan momentum sangat berpengaruh. Persamaan-persamaan
dalam sistem tersebut merupakan penurunan dari hukum kekekalan massa dan
hukum kekekalan momentum. Pada persamaan ini (LeVeque, 1992) diasumsikan
massa jenis 𝜌 konstan, sedangkan, tinggi ℎ(𝑥, 𝑡) berubah-ubah, dan begitu juga
total massa dalam [𝑥1, 𝑥2] saat 𝑡 adalah:
total massa di [𝑥1, 𝑥2] = ∫ 𝜌ℎ(𝑥, 𝑡)𝑥2
𝑥1
𝑑𝑥. (2.51)
Momentum pada setiap titik adalah 𝜌𝑢(𝑥, 𝑡) dan integralnya memberikan fluks
massa menjadi 𝜌𝑢(𝑥, 𝑡)ℎ(𝑥, 𝑡), sehingga menjadi:
ℎ𝑡 + (𝑢ℎ)𝑥 = 0. (2.52)
Persamaan kekekalan momentum memberikan bentuk:
(𝜌ℎ𝑢)𝑡 + (𝜌ℎ𝑢2 + 𝑝)𝑥 = 0. (2.53)
Tekanan 𝑝 pada fluks momentum adalah:
𝑝 =1
2𝜌𝑔ℎ2, (2.54)
Dengan 𝑔 adalah konstan gravitasi. Dengan menggunakan (2.53) dan (2.54)
memberikan:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
(ℎ𝑢)𝑡 + (ℎ𝑢2 +1
2𝑔ℎ2)𝑥 = 0. (2.55)
Persamaan (2.55) dapat disimplifikasi dan dengan mereduksi beberapa suku maka
menjadi:
𝑢𝑡 + (1
2𝑢2 + ℎ)
𝑥= 0. (2.56)
Persamaan (2.52) dan (2.56) merupakan sistem persamaan gelombang air dangkal.
Persamaan gelombang air dangkal dapat disederhanakan menjadi tiga persamaan,
yaitu persamaan gelombang air dangkal, persamaan difusi dan persamaan
kinematik. Berikut ini adalah masing-masing persamaan yang diteliti dalam
penelitian ini.
1. Persamaan Gelombang Air Dangkal
Persamaan gelombang air dangkal (Al-Khaled dan Allan, 2004) satu
dimensi dapat direpresentasikan sebagai berikut.
𝜕
𝜕𝑡(
ℎ𝑢
) +𝜕
𝜕𝑥(
ℎ𝑢1
2𝑢2 + ℎ
) = (0
−𝑧′) , 𝑥 𝜖 ℝ, 𝑡 >. (2.57)
Di mana 𝑧(𝑥) adalah topografi tanah, ℎ(𝑥, 𝑡) menunjukkan ketinggian
(kedalaman air) diatas topografi tanah, 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah kecepatan air, dan
diasumsikan bahwa akselerasi yang disebabkan oleh gravitasi adalah satu
sedangkan dua variabel bebas 𝑥 dan 𝑡 secara berturut-turut adalah jarak
sepanjang arah aliran dan waktu. Dengan nilai kondisi awalnya adalah:
(ℎ(𝑥, 0)
𝑢(𝑥, 0)) = (
𝑔1(𝑥)
𝑔2(𝑥)) , 𝑥 𝜖 ℝ. (2.58)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Di sini 𝑔1 dan 𝑔2 adalah sebarang fungsi. Dengan kata lain, persamaan
aliran air dangkal dengan masalah nilai awal dapat direpresentasikan
dengan:
ℎ𝑡 + 𝑢ℎ𝑥 + ℎ𝑢𝑥 = 0 , ℎ(𝑥, 0) = 𝑔1(𝑥), (2.59)
𝑢𝑡 + ℎ𝑥 + 𝑢𝑢𝑥 = −𝑧′(𝑥), 𝑢(𝑥, 0) = 𝑔2(𝑥). (2.60)
Pada persamaan gelombang air dangkal tersebut adalah persamaan yang
akan diteliti dalam tesis ini. Masalah nyata terkait dengan gelombang air
dangkal antara lain, tsunami, banjir, dan masalah bendungan bobol (dam
break). Solusi dari penelitian ini untuk melihat kecepatan gelombang 𝑢 dan
kedalaman gelombang air ℎ pada titik 𝑥 tertentu dan pada waktu 𝑡 tertentu.
2. Persamaan Gelombang Difusi
Difusi adalah penyebaran molekul dari konsentrasi tinggi menuju ke
konsentrasi yang lebih rendah. Persamaan gelombang difusi yang dibahas
pada penelitian ini adalah persamaan gelombang difusi dimensi satu. Berikut
ini adalah persamaannya:
𝜕𝑞
𝜕𝑡+
𝜕𝑞
𝜕𝑥= 𝑞
𝜕2𝑞
𝜕𝑥2+ 𝑥, (2.61)
di mana 𝑞 adalah konsentrasi polutan air di laut (misal). Dengan kondisi
awal:
𝑞(𝑥, 0) = 𝑞0 = 1. (2.62)
Kemudian, dapat ditulis kembali menjadi:
𝑞𝑡 + 𝑞𝑥 = 𝑞𝑞𝑥𝑥 + 𝑥. (2.63)
Persamaan (2.63) adalah persamaan yang akan diselesaikan pada penelitian
ini. Masalah nyata yang terkait dengan gelombang difusi antara lain,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
penyebaran asap rokok dalam suatu ruangan, penyebaran limbah cair di
sungai, penyebaran limbah gas dari pabrik ke ruangan terbuka, dan masih
banyak lagi. Solusi dari penelitian ini untuk melihat gelombang aliran
konsentrasi 𝑞 suatu larutan pada titik 𝑥 tertentu dan waktu 𝑡 tertentu.
3. Persamaan Gelombang Kinematik
Persamaan gelombang kinematik (Miller, 1983) termasuk dalam
persamaan gelombang air dangkal dimensi satu. Persamaan gelombang
kinematik yang dibahas pada penelitian ini adalah persamaan gelombang
kinematik dimensi satu. Berikut ini adalah persamaannya:
ℎ𝑡 + ℎ2
3ℎ𝑥 = 𝑥, (2.64)
dengan kondisi awalnya adalah
ℎ(𝑥, 0) = ℎ0 = 1. (2.65)
Persamaan (2.64) adalah persamaan yang akan diselesaikan pada penelitian
ini. Masalah nyata terkait dengan gelombang kinematik adalah masalah
gelombang aliran pada daerah aliran sungai (DAS). DAS berfungsi untuk
menerima, mengalirkan dan menampung air hujan. Solusi dari penelitian ini
untuk melihat banyaknya simpanan air ℎ pada titik 𝑥 tertentu dan pada
waktu 𝑡 tertentu.
F. Persamaan Gelombang Elastik
Pada persamaan gelombang elastik, terdapat dua jenis persamaan. Pertama
adalah persamaan gelombang elastik secara umum dan kedua adalah persamaan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
gelombang akustik. Persamaan akustik linear diturunkan dari persamaan
elastisitas non-linear. Berikut ini adalah persamaan gelombang elastisitas dimensi-
1 mengacu pada LeVeque (2002):
{ 𝜀𝑡(𝑥, 𝑡) − 𝑢𝑥(𝑥, 𝑡) = 0 ,
𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) − 𝜎(𝜀(𝑥, 𝑡), 𝑥)𝑥 = 0 .
(2.66)
Disini 𝜀(𝑥, 𝑡) adalah regangan (strain), 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah kecepatan, dengan massa
jenis diasumsikan satu dan 𝜎(𝜀, 𝑥) adalah tegangan (stress) dan variabel bebas 𝑥
dan 𝑡 secara berturut-turut merepresentasikan ruang dan waktu. Relasi linear
tekanan-regangan adalah:
𝜎(𝜀, 𝑥) = 𝐾(𝑥)𝜀 (2.67)
di mana 𝐾(𝑥) adalah modulus dari bagian yang dimampatkan. Pada kasus linear
sangat mungkin untuk menuliskan kembali persamaan dengan mengeliminasi 𝜀
dan menggunakan 𝑝 = −𝜎 untuk mendapatkan:
{𝑝𝑡 + 𝐾(𝑥)𝑢𝑥 = 0,𝜌(𝑥)𝑢𝑡 + 𝑝𝑥 = 0 .
(2.68)
Persamaan tersebut adalah persamaan akustik linear satu dimensi. Kemudian
untuk menyederhanakan persamaan, dengan mengasumsikan 𝐾(𝑥) sama dengan
satu, dan massa jenis 𝜌(𝑥) sama dengan satu, maka didapatkan:
{𝑝𝑡 + 𝑢𝑥 = 0,𝑢𝑡 + 𝑝𝑥 = 0.
(2.69)
Persamaan elastisitas dan persamaan akustik linear dimensi-1 tersebut yang
kemudian akan diteliti dalam tesis ini. Masalah nyata dari persamaan gelombang
elastik antara lain adalah gempa bumi, penggaris atau benda elastik lain yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
diberikan tekanan. Solusi dari penelitian persamaan gelombang elastik ini untuk
melihat gelombang regangan 𝜀 dan kecepatan gelombang 𝑢 pada titik 𝑥 tertentu
dan nilai waktu 𝑡 tertentu. Sedangkan, masalah nyata dari persamaan gelombang
akustik antara lain adalah gelombang suara dari radar yang dipantulkan ke dalam
laut untuk mengetahui topografi dasar laut ataupun untuk mengetahui lokasi ikan
lumba-lumba yang juga memancarkan gelombang suara, dan masih banyak lagi
aplikasi dari gelombang akustik ini. Solusi dari penelitian persamaan gelombang
akustik ini untuk melihat gelombang tekanan 𝑝 dan kecepatan gelombang 𝑢 pada
titik 𝑥 tertentu dan nilai waktu 𝑡 tertentu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
BAB III
HASIL PENELITIAN
Bab ini berisi tentang hasil-hasil penelitian yang telah dikerjakan, yaitu
penyelesaian persamaan air dangkal, gelombang akustik, gelombang elastik,
gelombang difusi, dan gelombang kinematik dengan metode dekomposisi
Adomian.
A. Solusi Persamaan Gelombang Air Dangkal
Gelombang air dangkal merupakan gelombang dimana kedalaman air
ataupun amplitudonya sangat kecil dibandingkan dengan panjang gelombangnya.
Referensi utama yang digunakan penulis pada bagian ini adalah Al-Khaled dan
Allan (2004) dan Wazwaz (2009). Persamaan air dangkal biasa disebut sebagai
sistem Saint-Venant. Persamaan ini diturunkan dari hukum kekekalan massa dan
momentum. Sistem dari persamaan air dangkal merupakan persamaan yang saling
simultan yang berasal dari persamaan hukum kekekalan massa dan persamaan
kekekalan momentum. Oleh karena itu, variabel yang paling berpengaruh dalam
persamaan air dangkal adalah variabel ℎ(𝑥, 𝑡) yaitu kedalaman air dan variabel
𝑢(𝑥, 𝑡) yaitu variabel kecepatan air, sedangkan, 𝑥 merupakan arah aliran air dan 𝑡
adalah variabel waktu. Persamaan air dangkal dapat digunakan untuk
menyelesaikan permasalahan banjir, bendungan bobol dan beberapa permasalahan
lain terkait gelombang air dangkal. Beberapa manfaat dari aplikasi persamaan air
dangkal antara lain dapat memprediksi perilaku fisis (kecepatan air, kedalaman
air, dan letak) terjadinya banjir.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Perlu diketahui bahwa persamaan aliran air dangkal tidak memiliki solusi
eksak secara umum sehingga dengan menggunakan metode dekomposisi
Adomian dapat ditemukan solusi pendekatan dari persamaan air dangkal.
Persamaan air dangkal yang dibahas pada penelitian ini adalah persamaan air
dangkal dimensi satu dimana hanya ada satu variabel ruang (𝑥) yang terlibat
dalam persamaan ini. Bagian ini memuat perhitungan serta penyelesaian
persamaan air dangkal dengan metode dekomposisi Adomian.
Penulisan dalam bagian ini sebagai berikut. Pertama dijelaskan bagaimana
Al-Khaled dan Allan (2004) memperluas pendekatan Adomian untuk
menyelesaikan sebuah sistem persamaan diferensial, yang mana adalah persamaan
air dangkal. Pekerjaan dari Al-Khalled dan Allan (2004) kemudian diaplikasikan
untuk menyelesaikan sebuah permasalahan aliran yang tidak tenang dan
mendiskusikan hasil solusi dari persamaan air dangkal apakah memiliki perilaku
fisis yang sesuai atau tidak. Persamaan gelombang air dangkal dimensi-1 pada
aliran fluida direpresentasikan sebagai berikut:
𝜕
𝜕𝑡(
ℎ𝑢
) +𝜕
𝜕𝑥(
ℎ𝑢1
2𝑢2 + ℎ) = (
0−𝑧′
) , 𝑥 𝜖 ℝ, 𝑡 > 0. (3.1)
Disini 𝑧(𝑥) adalah topografi tanah, ℎ(𝑥, 𝑡) menunjukkan ketinggian (kedalaman
air) di atas topografi tanah, 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah kecepatan air, dan untuk
menyederhanakan persamaan maka diasumsikan bahwa akselerasi yang
disebabkan oleh gravitasi adalah satu. Dua variabel bebas 𝑥 dan 𝑡 secara berturut-
turut adalah jarak sepanjang arah aliran dan waktu. Kondisi awalnya adalah:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
(ℎ(𝑥, 0)
𝑢(𝑥, 0)) = (
𝑔1(𝑥)
𝑔2(𝑥)) , 𝑥 𝜖 ℝ. (3.2)
Disini 𝑔1 dan 𝑔2 adalah sebarang fungsi. Dengan kata lain, persamaan gelombang
air dangkal dengan masalah nilai awal dapat direpresentasikan dengan:
ℎ𝑡 + 𝑢ℎ𝑥 + ℎ𝑢𝑥 = 0 , ℎ(𝑥, 0) = 𝑔1(𝑥), (3.3)
𝑢𝑡 + ℎ𝑥 + 𝑢𝑢𝑥 = −𝑧′(𝑥), 𝑢(𝑥, 0) = 𝑔2(𝑥). (3.4)
Kedua persamaan tersebut kemudian dituliskan kembali dalam bentuk operator,
lalu didapatkan:
𝐿𝑡ℎ + 𝑢𝐿𝑥ℎ + ℎ𝐿𝑥𝑢 = 0 , ℎ(𝑥, 0) = 𝑔1(𝑥), (3.5)
𝐿𝑡𝑢 + 𝐿𝑥ℎ + 𝑢𝐿𝑥𝑢 = −𝑧′(𝑥) , 𝑢(𝑥, 0) = 𝑔2(𝑥), (3.6)
dimana 𝐿𝑡 =𝜕
𝜕𝑡, 𝐿𝑥 =
𝜕
𝜕𝑥 dan operator invers 𝐿𝑡
−1 = ∫ (. )𝑑𝑡𝑡
0. Dengan
mengaplikasikan operator invers pada kedua ruas maka didapatkan,
𝐿𝑡−1(𝐿𝑡ℎ) + 𝐿𝑡
−1(𝑢𝐿𝑥ℎ) + 𝐿𝑡−1(ℎ𝐿𝑥𝑢) = 𝐿𝑡
−10 , ℎ(𝑥, 0) = 𝑔1(𝑥), (3.7)
𝐿𝑡−1𝐿𝑡𝑢 + 𝐿𝑡
−1(𝐿𝑥ℎ) + 𝐿𝑡−1(𝑢𝐿𝑥𝑢) = 𝐿𝑡
−1 − 𝑧′(𝑥) , 𝑢(𝑥, 0) = 𝑔2(𝑥), (3.8)
atau
ℎ(𝑥, 𝑡) = 𝑔1(𝑥) − 𝐿𝑡−1[∅1(ℎ, 𝑢) + ∅2(ℎ, 𝑢)], (3.9)
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑔2(𝑥) − 𝐿𝑡−1(𝑧′(𝑥) + [𝐿𝑥ℎ + ∅3(𝑢)]). (3.10)
Disini ∅1(ℎ, 𝑢) = 𝑢ℎ𝑥, ∅2(ℎ, 𝑢) = ℎ𝑢𝑥 dan ∅3(𝑢) = 𝑢𝑢𝑥. Metode dekomposisi
Adomian mengasumsikan sebuah solusi deret tak hingga untuk fungsi yang tidak
diketahui ℎ(𝑥, 𝑡) dan 𝑢(𝑥, 𝑡) dalam bentuk:
ℎ(𝑥, 𝑡) = ∑ ℎ𝑛(𝑥, 𝑡)
∞
𝑛=0
, 𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑢𝑛(𝑥, 𝑡)
∞
𝑛=0
, (3.11)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
dan operator nonlinier ∅1, ∅2 dan ∅3 dengan deret tak hingga dari polinomial
Adomian dalam bentuk:
∅1(ℎ, 𝑢) = ∑ 𝐴𝑛
∞
𝑛=0
, ∅2(ℎ, 𝑢) = ∑ 𝐵𝑛, ∅3(𝑢) = ∑ 𝐶𝑛
∞
𝑛=0
∞
𝑛=0
, (3.12)
𝐴𝑛(ℎ0, ℎ1, … , ℎ𝑛, 𝑢0, 𝑢1, … , 𝑢𝑛)
=1
𝑛!
𝑑𝑛
𝑑𝜆𝑛[∅1 (∑ 𝜆𝑘ℎ𝑘
∞
𝑘=0
, ∑ 𝜆𝑘𝑢𝑘
∞
𝑘=0
)]
𝜆=0
, 𝑛 ≥ 0 , (3.13)
𝐵𝑛(ℎ0, ℎ1, … , ℎ𝑛, 𝑢0, 𝑢1, … , 𝑢𝑛)
=1
𝑛!
𝑑𝑛
𝑑𝜆𝑛[∅2 (∑ 𝜆𝑘ℎ𝑘
∞
𝑘=0
, ∑ 𝜆𝑘𝑢𝑘
∞
𝑘=0
)]
𝜆=0
, 𝑛 ≥ 0 , (3.14)
𝐶𝑛(𝑢0, 𝑢1, … , 𝑢𝑛) =1
𝑛!
𝑑𝑛
𝑑𝜆𝑛[∅3 (∑ 𝜆𝑘𝑢𝑘
∞
𝑘=0
)]
𝜆=0
, 𝑛 ≥ 0 . (3.15)
Didapatkan:
∅1 = 𝑢ℎ𝑥, ∅2 = ℎ𝑢𝑥 dan ∅3 = 𝑢𝑢𝑥 , ⋯, (3.16)
dan
𝐴0 = 𝑢0ℎ0𝑥 , (3.17)
𝐴1 = 𝑢1ℎ0𝑥+ 𝑢0ℎ1𝑥
, (3.18)
𝐴2 = 𝑢2ℎ0𝑥+ 𝑢1ℎ1𝑥
+ 𝑢0ℎ2𝑥 , (3.19)
𝐴3 = 𝑢3ℎ0𝑥+ 𝑢2ℎ1𝑥
+ 𝑢1ℎ2𝑥+ 𝑢0ℎ3𝑥
, (3.20)
⋮
𝐵0 = ℎ0𝑢0𝑥 , (3.21)
𝐵1 = ℎ1𝑢0𝑥+ ℎ0𝑢1𝑥
, (3.22)
𝐵2 = ℎ2𝑢0𝑥+ ℎ1𝑢1𝑥
+ ℎ0𝑢2𝑥 , (3.23)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
𝐵3 = ℎ3𝑢0𝑥+ ℎ2𝑢1𝑥
+ ℎ1𝑢2𝑥+ ℎ0𝑢3𝑥
, (3.24)
⋮
𝐶0 = 𝑢0𝑢0𝑥 , (3.25)
𝐶1 = 𝑢1𝑢0𝑥+ 𝑢0𝑢1𝑥
, (3.26)
𝐶2 = 𝑢2𝑢0𝑥+ 𝑢1𝑢1𝑥
+ 𝑢0𝑢2𝑥 , (3.27)
𝐶3 = 𝑢3𝑢0𝑥+ 𝑢2𝑢1𝑥
+ 𝑢1𝑢2𝑥+ 𝑢0𝑢3𝑥
, (3.28)
⋮
Dengan menggunakan hasil tersebut, dengan mempertimbangkan penelitian Al-
Khaled dan Allan (2004) serta penelitian yang dilakukan penulis, ditemukan
fungsi iterasi pada metode dekomposisi Adomian untuk persamaan air dangkal
adalah:
ℎ0(𝑥, 𝑡) = 𝑔1(𝑥), ℎ𝑛+1(𝑥, 𝑡) = −𝐿𝑡−1[𝐴𝑛 + 𝐵𝑛], 𝑛 ≥ 0 , (3.29)
𝑢0(𝑥, 𝑡) = 𝑔2(𝑥),
𝑢𝑛+1(𝑥, 𝑡) = −𝐿𝑡−1(𝑧′(𝑥) + [𝐿𝑥ℎ𝑛 + 𝐶𝑛]), 𝑛 ≥ 0 , (3.30)
dimana solusi eksak dapat ditulis dengan:
lim𝑛→∞
∅𝑛 = ℎ(𝑥, 𝑡), lim𝑛→∞
𝜓𝑛 = 𝑢(𝑥, 𝑡) . (3.31)
Pendekatan suku ke-𝑛 dari kedalaman air (ℎ) dan kecepatan (𝑢) adalah
∅𝑛[ℎ] = ∑ ℎ𝑘(𝑥, 𝑡)
𝑛−1
𝑘=0
, 𝜓𝑛[𝑢] = ∑ 𝑢𝑘(𝑥, 𝑡),
𝑛−1
𝑘=0
𝑛 ≥ 0 . (3.32)
Pada bagian ini, akan dipaparkan hasil penelitian dari metode dekomposisi
Adomian untuk persamaan air dangkal. Diberikan kondisi awal untuk kedalaman
dan kecepatan seperti dibawah ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
ℎ(𝑥, 0) =1
10+
1
4sech(𝑥) +
exp(−𝑥2)
1 + exp(−𝑥2) , (3.33)
dan
𝑢(𝑥, 0) = 0, (3.34)
dengan fungsi topografi tanah:
𝑧(𝑥) = −exp(−𝑥2)
1 + exp(−𝑥2) . (3.35)
Dengan menggunakan kondisi awal dan fungsi topografi tanah, akan didapatkan
setiap suku ke-𝑛 dari kedalaman air (ℎ) dan kecepatan (𝑢) sebagai berikut:
ℎ𝑛+1(𝑥, 𝑡) = −𝐿𝑡−1[𝐴𝑛 + 𝐵𝑛], 𝑛 ≥ 0 , (3.36)
𝑢𝑛+1(𝑥, 𝑡) = −𝐿𝑡−1(𝑧′(𝑥) + [𝐿𝑥ℎ𝑛 + 𝐶𝑛]), 𝑛 ≥ 0 . (3.37)
Digunakan software MAPLE untuk membantu perhitungan dalam mencari suku-
suku untuk kedalaman air (ℎ) seperti berikut ini.
ℎ0 =1
10+
1
4sech(𝑥) +
exp(−𝑥2)
1 + exp(−𝑥2) , (3.38)
ℎ1 = 0 , (3.39)
ℎ2 =1
160
1
cosh(𝑥)4(1 + 𝑒−𝑥2)2 (𝑡2(22𝑒−2𝑥2
cosh(𝑥)3
+ 40𝑒−𝑥2sinh(𝑥)𝑥 cosh(𝑥)2 + 24𝑒−𝑥2
cosh(𝑥)3
+ 10𝑒−2𝑥2cosh(𝑥)2 + 2cosh(𝑥)3
+ 20𝑒−𝑥2cosh(𝑥)2 − 44𝑒−2𝑥2
cosh(𝑥)
+ 10cosh(𝑥)2 − 48𝑒−𝑥2cosh(𝑥) − 15𝑒−2𝑥2
− 4cosh(𝑥) − 30𝑒−𝑥2− 15)) ,
(3.40)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
ℎ3 =1
20
1
cosh(𝑥)2(1 + 𝑒−𝑥2)4 (𝑒−𝑥2
𝑡2 (44𝑥2𝑒−2𝑥2cosh(𝑥)2
− 80𝑥2𝑒−𝑥2cosh(𝑥)2 + 10𝑥2𝑒−2𝑥2
cosh(𝑥)
+ 22𝑒−2𝑥2cosh(𝑥)2 − 4𝑥2cosh(𝑥)2
− 5𝑒−2𝑥2sinh(𝑥)𝑥 + 24𝑒−𝑥2
cosh(𝑥)2
+ 5𝑒−2𝑥2cosh(𝑥) − 10𝑥2cosh(𝑥)
− 10𝑒−𝑥2sinh(𝑥)𝑥 + 2cosh(𝑥)2 + 10𝑒−𝑥2
cosh(𝑥)
− 5sinh(𝑥)𝑥 + 5cosh(𝑥))) .
(3.41)
Suku-suku untuk kecepatan (𝑢) adalah:
𝑢0 = 0, (3.42)
𝑢1 =1
4sech(𝑥) tanh(𝑥) 𝑡, (3.43)
𝑢2 = −2𝑥𝑒−𝑥2𝑡
(1 + 𝑒−𝑥2)2, (3.44)
𝑢3
=1
240
1
cosh(𝑥)5(1 + 𝑒−𝑥2)3 (𝑡(−40𝑒−2𝑥2
sinh(𝑥)𝑡2𝑥2cosh(𝑥)3
+ 40𝑒−2𝑥2𝑡2𝑥 cosh(𝑥)4 + 11𝑒−3𝑥2
sinh(𝑥)𝑡2cosh(𝑥)3
+ 40𝑒−𝑥2sinh(𝑥)𝑡2𝑥2cosh(𝑥)3 − 480𝑒−2𝑥2
𝑥 cosh(𝑥)5
+ 40𝑒−𝑥2𝑡2𝑥 cosh(𝑥)4 + 3𝑒−2𝑥2
sinh(𝑥)𝑡2cosh(𝑥)3
+ 15𝑒−3𝑥2sinh(𝑥)𝑡2cosh(𝑥)2 − 480𝑥𝑒−𝑥2
cosh(𝑥)5
− 7𝑒−𝑥2sinh(𝑥)𝑡2cosh(𝑥)3 + 45𝑒−2𝑥2
sinh(𝑥)𝑡2cosh(𝑥)2
− 80𝑒−2𝑥2𝑡2𝑥 cosh(𝑥)2 − 66𝑒−3𝑥2
sinh(𝑥)𝑡2cosh(𝑥)
+ sinh(𝑥)𝑡2cosh(𝑥)3 + 45𝑒−𝑥2sinh(𝑥)𝑡2cosh(𝑥)2
− 80𝑒−𝑥2𝑡2𝑥 cosh(𝑥)2 − 138𝑒−2𝑥2
sinh(𝑥)𝑡2cosh(𝑥)
− 40𝑒−3𝑥2sinh(𝑥)𝑡2 + 15sinh(𝑥)𝑡2cosh(𝑥)2
− 78𝑒−𝑥2sinh(𝑥)𝑡2cosh(𝑥) − 120𝑒−2𝑥2
sinh(𝑥)𝑡2
− 6sinh(𝑥)𝑡2cosh(𝑥) − 120𝑒−𝑥2sinh(𝑥)𝑡2 − 40sinh(𝑥)𝑡2)).
(3.45)
Perlu diingat bahwa ℎ = ∑ ℎ𝑛∞𝑛=0 dan 𝑢 = ∑ 𝑢𝑛
∞𝑛=0 sehingga ditemukan
solusi pendekatan untuk kedalaman 𝐻[ℎ] = ℎ0 + ℎ1 + ℎ2 + ℎ3 dan solusi
pendekatan untuk kecepatan 𝑈[𝑢] = 𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3. Pada tesis ini,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
perhitungan ini tidak dilanjutkan pada suku selanjutnya karena hasilnya lebih
rumit dan memerlukan waktu yang panjang untuk mendapatkan dan menuliskan
pada tesis ini.
Gambar 1.1. Solusi berdasarkan metode dekomposisi Adomian untuk (kiri) kedalaman
ℎ(𝑥, 𝑡) dan (kanan) kecepatan 𝑢(𝑥, 𝑡).
Gambar 1.1 merupakan grafik solusi pendekatan untuk kedalaman air dan
kecepatan air dari persamaan air dangkal dengan menggunakan metode
dekomposisi Adomian ketika 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 2.3. Di bawah ini akan
diberikan grafik solusi pendekatan dari kedalaman dan kecepatan pada skala
waktu tertentu.
Gambar 1.2. Hasil untuk kedalaman ℎ(𝑥, 𝑡) dari metode dekomposisi Adomian pada saat
waktu 𝑡 = 0 (kiri) dan 𝑡 = 2.3 (kanan).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Gambar 1.3. Hasil untuk kecepatan 𝑢(𝑥, 𝑡) dari metode dekomposisi Adomian pada saat
waktu 𝑡 = 0 (kiri) dan 𝑡 = 2.3 (kanan).
Hasil dari 𝐻[ℎ] dan 𝑈[𝑢] telah di-plot di Gambar 1.1, Gambar 1.2, dan
Gambar 1.3. Pada kondisi awal, permukaan air membentuk gundukan dan
kecepatannya nol di manapun. Semakin waktu bertambah, permukaan air mulai
berubah bentuk, yang mana secara fisis sesuai dengan gravitasi. Bagaimanapun
juga, jika nilai waktu terlalu besar, solusinya menjadi tidak sesuai dengan keadaan
fisis di alam, yang mana, permukaan air di pusat dari gundukan sebelumnya
meningkat terlalu tinggi. Permukaan air di sisi kiri dan kanan dari gundukan
menurun dan mencapai topografi tanah saat 𝑡 = 2.3. Ini berarti bahwa jika
diinginkan solusi yang akurat untuk waktu yang besar, dibutuhkan suku yang
lebih besar juga (𝑛 lebih banyak) di pendekatan 𝐻[ℎ] dan 𝑈[𝑢] untuk solusi
eksak.
Pada penelitian ini ditemukan bahwa metode dekomposisi Adomian
relevan untuk nilai waktu yang kecil dan tidak relevan untuk nilai waktu yang
besar untuk permasalahan aliran yang tidak tenang. Diharapkan penelitian
selanjutnya yang berhubungan dengan metode dekomposisi Adomian adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
untuk menemukan error atau kesalahan dari solusi metode dekomposisi Adomian
untuk persamaan air dangkal.
B. Solusi Persamaan Gelombang Elastik
Gelombang elastik merupakan gelombang yang menyebabkan deformasi
elastik tanpa menyebabkan perubahan struktur. Persamaan gelombang elastik erat
kaitannya dengan teori elastisitas gelombang. Dalam elastisitas gelombang,
dikenal sifat elastisitas benda, yaitu sifat suatu benda untuk mempertahankan
bentuknya pada keadaan semula. Contoh fenomena yang ada pada kehidupan
sehari-hari adalah ketika menekan senar gitar maka akan terjadi regangan yang
diakibatkan oleh tekanan dan regangan tersebut lama-kelamaan akan berhenti.
Persamaan elastik yang diteliti dalam tesis ini adalah persamaan elastik dimensi
satu. Oleh karena itu, variabel yang paling dominan dalam persamaan elastik
dimensi satu adalah tegangan, regangan, dan kecepatan. Tegangan adalah gaya per
satuan luas, sedangkan regangan adalah perbandingan antara perubahan bentuk
dan ukuran benda setelah dikenai gaya dari keadaan semula. Berdasarkan hukum
Hook, regangan yang dihasilkan berbanding lurus dengan tegangannya (berlaku
untuk tegangan yang tidak terlalu besar). Persamaan elastik non-linear diberikan
sebagai berikut.
𝜀𝑡(𝑥, 𝑡) − 𝑢𝑥(𝑥, 𝑡) = 0, (3.46)
(𝜌(𝑥)𝑢(𝑥, 𝑡))𝑡 − 𝜎(𝜀(𝑥, 𝑡), 𝑥)𝑥 = 0. (3.47)
𝜀(𝑥, 𝑡) dan 𝑢(𝑥, 𝑡) secara berturut-turut adalah regangan dan kecepatan. 𝑚 = 𝜌𝑢
adalah momentum dengan 𝜌 adalah massa jenis, sedangkan 𝜎(𝜀, 𝑥) = 𝐾(𝑥)𝜀
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
adalah tegangan. Asumsikan 𝜌 = 1 dan 𝐾(𝑥) = 1 untuk mendapatkan persamaan
elastik non-linier paling sederhana, maka didapatkan:
𝜀𝑡 − 𝑢𝑥 = 0, (3.48)
𝑢𝑡 − (𝜀 + 𝜀2)𝑥 = 0. (3.49)
Untuk mempermudah perhitungan, diberikan contoh kondisi awal:
𝑢(𝑥, 0) = 0, (3.50)
𝜀(𝑥, 0) = −0.1 𝑠𝑒𝑐ℎ2(0.2𝑥). (3.51)
Persamaan (3.48) dan (3.49) dapat ditulis kembali menjadi:
𝜀𝑡 − 𝑢𝑥 = 0, (3.52)
𝑢𝑡 − 𝜀𝑥 − 2𝜀𝜀𝑥 = 0 (3.53)
Dengan mendefinisikan operator derivatif 𝐿𝑡 =𝜕
𝜕𝑡 dan 𝐿𝑥 =
𝜕
𝜕𝑥 dan kemudian
mengaplikasikannya maka persamaan (3.52) dan (3.53) akan menjadi:
𝐿𝑡𝜀 − 𝐿𝑥𝑢 = 0, (3.54)
𝐿𝑡𝑢 − 𝐿𝑥𝜀 − 2𝜀 𝐿𝑥𝜀 = 0. (3.55)
Didefinisikan operator invers 𝐿𝑡−1 = ∫ (. )
𝑡
0𝑑𝑡, dan dengan mengaplikasikan 𝐿𝑡
−1
kedua ruas dari persamaan-persamaan sebelumnya untuk mendapatkan:
𝐿𝑡−1𝐿𝑡𝜀 − 𝐿𝑡
−1𝐿𝑥𝑢 = 0, (3.56)
𝐿𝑡−1𝐿𝑡𝑢 − 𝐿𝑡
−1(𝐿𝑥𝜀 + 2𝜀 𝐿𝑥𝜀) = 0. (3.57)
Persamaan diatas dapat ditulis kembali menjadi
𝐿𝑡−1𝐿𝑡𝜀 − 𝐿𝑡
−1𝐿𝑥𝑢 = 0, (3.58)
𝐿𝑡−1𝐿𝑡𝑢 − 𝐿𝑡
−1(𝐿𝑥𝜀 + 2∅(𝜀)) = 0, (3.59)
dimana ∅(𝜀) = 𝜀𝜀𝑥. Maka akan didapatkan 𝜀(𝑥, 𝑡) dan 𝑢(𝑥, 𝑡) seperti dibawah
ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
𝜀(𝑥, 𝑡) − 𝜀(𝑥, 0) = 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑢, (3.60)
𝑢(𝑥, 𝑡) − 𝑢(𝑥, 0) = 𝐿𝑡−1(𝐿𝑥𝜀 + 2∅(𝜀)), (3.61)
atau
𝜀(𝑥, 𝑡) = 𝜀(𝑥, 0) + 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑢, (3.62)
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢(𝑥, 0) + 𝐿𝑡−1(𝐿𝑥𝜀 + 2∅(𝜀)). (3.63)
Metode dekomposisi Adomian mengasumsikan sebuah deret tak hingga dalam:
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑢𝑛(𝑥, 𝑡)
∞
𝑛=0
, (3.64)
𝜀(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝜀𝑛(𝑥, 𝑡)
∞
𝑛=0
, (3.65)
∅(𝜀) = ∑ 𝐴𝑛
∞
𝑛=0
. (3.66)
Jadi, didapatkan persamaan-persamaan dibawah ini:
∑ 𝜀𝑛(𝑥, 𝑡)
∞
𝑛=0
= 𝜀0 + 𝐿𝑡−1𝐿𝑥 ∑ 𝑢𝑛(𝑥, 𝑡)
∞
𝑛=0
, (3.67)
∑ 𝑢𝑛(𝑥, 𝑡)
∞
𝑛=0
= 𝑢0 + 𝐿𝑡−1 (𝐿𝑥 ∑ 𝜀𝑛(𝑥, 𝑡)
∞
𝑛=0
+ 2 ∑ 𝐴𝑛
∞
𝑛=0
), (3.68)
dimana
𝐴𝑛(𝜀0, 𝜀1, 𝜀2, … , 𝜀𝑛) =1
𝑛!
𝑑𝑛
𝑑𝜆𝑛[∅ (∑ 𝜆𝑛𝜀𝑛
∞
𝑘=0
)]
𝜆=0
, 𝑛 ≥ 0. (3.69)
Polinomial Adomian 𝐴𝑛 untuk kasus ini diberikan oleh:
𝐴0 = 𝜀0𝜀0𝑥 , (3.71)
𝐴1 = 𝜀1𝜀0𝑥+ 𝜀0𝜀1𝑥
, (3.72)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
𝐴2 = 𝜀2𝜀0𝑥+ 𝜀1𝜀1𝑥
+ 𝜀0𝜀2𝑥 , (3.73)
⋮
𝐴𝑛 = 𝜀𝑛𝜀0𝑥+ 𝜀𝑛−1𝜀1𝑥
+ ⋯ + 𝜀0𝜀𝑛𝑥. (3.74)
Hasil dari masing-masing komponen dari dekomposisi adalah:
𝜀0 + 𝜀1 + 𝜀2 + ⋯ = 𝜀0 + 𝐿𝑡−1(𝐿𝑥(𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ )), (3.75)
𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯
= 𝑢0
+ 𝐿𝑡−1(𝐿𝑥(𝜀0 + 𝜀1 + 𝜀2 + ⋯ ) + 2(𝐴0 + 𝐴1 + 𝐴2 + ⋯ )),
(3.76)
yang berarti bahwa untuk suku 𝜀 ke-𝑛 adalah
𝜀0 = −0.1 𝑠𝑒𝑐ℎ2(0.2𝑥), (3.77)
𝜀1 = 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑢0, (3.78)
𝜀2 = 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑢1, (3.79)
𝜀3 = 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑢2, (3.80)
⋮
Sedangkan untuk suku 𝑢 ke-𝑛 adalah
𝑢0 = 0, (3.81)
𝑢1 = 𝐿𝑡−1(𝐿𝑥𝜀0 + 2𝐴0), (3.82)
𝑢2 = 𝐿𝑡−1(𝐿𝑥𝜀1 + 2𝐴1), (3.83)
𝑢3 = 𝐿𝑡−1(𝐿𝑥𝜀2 + 2𝐴2), (3.84)
⋮
Jadi kita dapatkan suku 𝜀𝑛+1 dan 𝑢𝑛+1 untuk 𝑛 ≥ 0 adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
𝜀𝑛+1 = 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑢𝑛 , 𝑛 ≥ 0, (3.85)
𝑢𝑛+1 = 𝐿𝑡−1(𝐿𝑥𝜀𝑛 + 2𝐴𝑛) , 𝑛 ≥ 0. (3.86)
Di sini solusi eksaknya diberikan oleh
lim𝑛→∞
𝐸𝑛 = 𝜀(𝑥, 𝑡), (3.87)
lim𝑛→∞
𝑈𝑛 = 𝑢(𝑥, 𝑡). (3.88)
Pendekatan suku ke −𝑛 dari tekanan 𝜀 dan kecepatan 𝑢 adalah
𝐸 = 𝐸𝑛[𝜀] = ∑ 𝜀𝑘(𝑥, 𝑡) ,
𝑛−1
𝑘=0
𝑛 ≥ 0, (3.89)
𝑈 = 𝑈𝑛[𝑢] = ∑ 𝑢𝑘(𝑥, 𝑡) ,
𝑛−1
𝑘=0
𝑛 ≥ 0. (3.90)
Dengan menggunakan software MAPLE, hasil dari suku-sukunya dihitung sampai
iterasi keempat.
𝜀1 = 0, (3.91)
𝜀2 = −1
1250
𝑡2 (10 𝑐𝑜𝑠ℎ (1
5𝑥)
4− 19 𝑐𝑜𝑠ℎ (
1
5𝑥)
2+ 5)
𝑐𝑜𝑠ℎ (1
5𝑥)
6 , (3.92)
𝜀3 = 0 , (3.93)
𝜀4
= −1
468750
𝑡4 (50 𝑐𝑜𝑠ℎ (1
5𝑥)
8− 495𝑐𝑜𝑠ℎ (
1
5𝑥)
6)
𝑐𝑜𝑠ℎ (1
5𝑥)
10
−1
468750
𝑡4 (+921 𝑐𝑜𝑠ℎ (1
5𝑥)
4− 542 𝑐𝑜𝑠ℎ (
1
5𝑥)
2+ 90)
𝑐𝑜𝑠ℎ (1
5𝑥)
10 .
(3.94)
Suku-suku untuk tekanan 𝑢 berdasarkan perhitungan dengan MAPLE adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
𝑢1 =1
125
𝑡 𝑠𝑖𝑛ℎ (1
5𝑥) (5𝑐𝑜𝑠ℎ (
1
5𝑥)
2− 1)
𝑐𝑜𝑠ℎ (1
5𝑥)
5 , (3.95)
𝑢2 = 0 , (3.96)
𝑢3 =2𝑡3𝑠𝑖𝑛ℎ (
1
5𝑥) (25 𝑐𝑜𝑠ℎ (
1
5𝑥)
6− 105 𝑐𝑜𝑠ℎ (
1
5𝑥)
4)
46875 × 𝑐𝑜𝑠ℎ (1
5𝑥)
9
+2𝑡3𝑠𝑖𝑛ℎ (
1
5𝑥) (+66 𝑐𝑜𝑠ℎ (
1
5𝑥)
2− 10)
46875 × 𝑐𝑜𝑠ℎ (1
5𝑥)
9 ,
(3.97)
𝑢4 = 0. (3.98)
Oleh karena itu, didapatkan:
𝐸 = −1
468750
1
𝑐𝑜𝑠ℎ (1
5𝑥)
10 (50 𝑡4𝑐𝑜𝑠ℎ (1
5𝑥)
8
− 3750 𝑡2𝑐𝑜𝑠ℎ (1
5𝑥)
8
− 495 𝑡4𝑐𝑜𝑠ℎ (1
5𝑥)
6
+ 46875 𝑐𝑜𝑠ℎ (1
5𝑥)
8
− 7125 𝑡2𝑐𝑜𝑠ℎ (1
5𝑥)
6
+ 921 𝑡4𝑐𝑜𝑠ℎ (1
5𝑥)
4
+ 1875 𝑡2𝑐𝑜𝑠ℎ (1
5𝑥)
4
− 542 𝑡4𝑐𝑜𝑠ℎ (1
5𝑥)
2
+ 90 𝑡4),
(3.99)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
𝑈 =1
46875
𝑡 𝑠𝑖𝑛ℎ (1
5𝑥)
𝑐𝑜𝑠ℎ (1
5𝑥)
9 (50 𝑡2𝑐𝑜𝑠ℎ (1
5𝑥)
6
+ 1875 𝑐𝑜𝑠ℎ (1
5𝑥)
6
− 210 𝑡2𝑐𝑜𝑠ℎ (1
5𝑥)
4
− 375 𝑐𝑜𝑠ℎ (1
5𝑥)
4
+ 132 𝑡2𝑐𝑜𝑠ℎ (1
5𝑥)
2
− 20 𝑡2).
(3.100)
Berikut ini adalah grafik-grafik solusi pendekatan dari persamaan elastik dimensi
satu dengan menggunakan Metode Dekomposisi Adomian. Penulis menggunakan
MAPLE dan MATLAB untuk mempermudah pekerjaan.
Gambar 2.1. Grafik solusi pendekatan dari kecepatan 𝑢(𝑥, 𝑡) pada persamaan elastik
menggunakan metode dekomposisi Adomian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Gambar 2.2. Grafik solusi pendekatan dari regangan 𝜀(𝑥, 𝑡) pada persamaan elastik
menggunakan metode dekomposisi Adomian
Dengan menggunakan MATLAB, maka didapatkan hasil simulasi seperti
tampak dalam Gambar 2.1 hingga gambar 2.4.
Gambar 2.3. Grafik solusi pendekatan dari kecepatan pada persamaan elastik menggunakan
metode dekomposisi Adomian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Gambar 2.4. Grafik solusi pendekatan dari regangan pada persamaan elastik menggunakan
metode dekomposisi Adomian
Dari grafik-grafik tersebut, dapat dilihat bahwa nilai regangan tertinggi adalah
ketika 𝑡 = 0 dan pada posisi awal 𝑥 = 0. Semakin waktu bertambah, maka
regangan dari titik asal merambat ke arah kiri dan ke arah kanan. Pada 𝑡 = 0
sampai 𝑡 = 0.4. Kecepatan berhubungan dengan perambatan regangan. Ketika
kecepatannya negatif, perambatan gelombang regangan ke kanan dan positif
ketika ke kiri. Pada grafik kecepatan, kecepatan cenderung menuju 0 (nol) untuk 𝑥
tak hingga dan 𝑡 tak hingga, hal ini juga berlaku pada grafik regangan. Hal ini
relevan dengan sifat elastisitas suatu benda untuk mempertahankan bentuk seperti
keadaan semula. Dari grafik tersebut dapat dilihat bahwa untuk nilai 𝑡 yang kecil
maka MDA akurat dalam menyelesaikan persamaan elastik dimensi satu, namun
kurang akurat untuk 𝑡 yang besar. Untuk menambah keakuratan pada nilai 𝑡 yang
besar maka dibutuhkan iterasi yang lebih banyak lagi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
C. Solusi Persamaan Gelombang Akustik
Penelitian ini bertujuan untuk meneliti penggunaan metode dekomposisi
Adomian untuk menyelesaikan persamaan akustik dimensi satu. Persamaaan
akustik dapat diturunkan dari persamaan elastik nonlinier, seperti yang
dideskripsikan oleh LeVeque (2002). Penelitian ini adalah pengaplikasian pertama
kali dari metode dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan persamaan akustik.
Susunan dalam bagian ini adalah sebagai berikut. Pertama, akan
dideskripsikan permasalahan yang akan diteliti. Kemudian, akan dijelaskan sedikit
tentang metode dekomposisi Adomian. Setelah itu, akan dipaparkan hasil-hasil
komputasional beserta pembahasannya. Terakhir, akan ditulis kesimpulan dari
bagian ini.
Pada bagian ini, dideskripsikan permasalahan (model matematika) yang
akan diselesaikan. Dimulai dari model umum, simplifikasi dari model menjadi
bentuk paling sederhana dari persamaan akustik. Bentuk umum dari persamaan
akustik adalah (Supriyadi dan Mungkasi (2016), Mungkasi dan Ningrum (2016)):
𝑝𝑡 + 𝐾(𝑥)𝑢𝑥 = 0, (3.101)
𝜌(𝑥)𝑢𝑡 + 𝑝𝑥 = 0. (3.102)
Di sini 𝑝(𝑥, 𝑡) menunjukkan tekanan, 𝑢(𝑥, 𝑡) menunjukkan kecepatan, 𝑥 adalah
variabel ruang dimensi satu, dan 𝑡 adalah variabel waktu. Sebagai tambahan,
𝐾(𝑥) adalah bagian terpenting dari modulus yang dapat dimampatkan, dan 𝜌(𝑥)
adalah massa jenis. Digunakan operator turunan 𝑝𝑡 =𝜕𝑝
𝜕𝑡, 𝑝𝑥 =
𝜕𝑝
𝜕𝑥, 𝑢𝑡 =
𝜕𝑢
𝜕𝑡 , dan
𝑢𝑥 =𝜕𝑢
𝜕𝑥 . Dengan mengambil 𝐾(𝑥) = 1 dan 𝜌(𝑥) = 1, didapatkan persamaan
akustik dalam bentuk paling sederhana.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
𝑝𝑡 + 𝑢𝑥 = 0, (3.103)
𝑢𝑡 + 𝑝𝑥 = 0. (3.104)
Tujuan dari penelitian di bagian ini adalah untuk menyelesaikan persamaan
(3.103) dan (3.104) dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bagaimana metode dekomposisi Adomian
menyelesaikan persamaan akustik. Diawali dengan menotasikan operator derivatif
𝐿𝑡 =𝜕
𝜕𝑡 dan 𝐿𝑥 =
𝜕
𝜕𝑥, sehingga persamaan (3.103) dan (3.104) menjadi:
𝐿𝑡𝑝 + 𝐿𝑥𝑢 = 0, (3.105)
𝐿𝑡𝑢 + 𝐿𝑥𝑝 = 0. (3.106)
Invers dari operator derivatif untuk 𝐿𝑡 dan 𝐿𝑥 adalah 𝐿𝑡−1 = ∫ (. )𝑑𝑡
𝑡
0 dan 𝐿𝑥
−1 =
∫ (. )𝑑𝑥𝑡
0. Dalam tesis ini, hanya akan diambil invers terhadap variabel waktu 𝑡.
Dengan mengaplikasikan operator 𝐿𝑡−1 pada kedua ruas dari persamaan (3.105)
dan (3.106), didapatkan:
𝐿𝑡−1𝐿𝑡𝑝 + 𝐿𝑡
−1𝐿𝑥𝑢 = 0, (3.107)
𝐿𝑡−1𝐿𝑡𝑢 + 𝐿𝑡
−1𝐿𝑥𝑝 = 0, (3.108)
atau
𝑝(𝑥, 𝑡) = 𝑝(𝑥, 0) − 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑢, (3.109)
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢(𝑥, 0) − 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑝. (3.110)
Variabel 𝑝(𝑥, 𝑡) dan 𝑢(𝑥, 𝑡) dapat ditulis dalam deret:
𝑝(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑝𝑛(𝑥, 𝑡)
∞
𝑛=0
, (3.111)
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑢𝑛(𝑥, 𝑡)
∞
𝑛=0
. (3.112)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Dengan mengaplikasikan polinomial Adomian pada kedua ruas, dimana 𝑝0 =
𝑝(𝑥, 0) dan 𝑢0 = 𝑢(𝑥, 0), kita dapatkan:
∑ 𝑝𝑛
∞
𝑛=0
= 𝑝(𝑥, 0) − 𝐿𝑡−1𝐿𝑥 ∑ 𝑢𝑛
∞
𝑛=0
, (3.113)
∑ 𝑢𝑛
∞
𝑛=0
= 𝑢(𝑥, 0) − 𝐿𝑡−1𝐿𝑥 ∑ 𝑝𝑛
∞
𝑛=0
, (3.114)
atau
𝑝0 + 𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 + ⋯ = 𝑝(𝑥, 0) − 𝐿𝑡−1(𝐿𝑥(𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ )), (3.115)
𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ = 𝑢(𝑥, 0) − 𝐿𝑡−1(𝐿𝑥(𝑝0 + 𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 + ⋯ )). (3.116)
Hasil dari masing-masing komponen dari dekomposisi 𝑝 dan 𝑢 adalah
𝑝0(𝑥, t) = 𝑝(𝑥, 0), (3.117)
𝑝1(𝑥, 𝑡) = −𝐿𝑡−1𝐿𝑥(𝑢0(𝑥)), (3.118)
𝑝2(𝑥, 𝑡) = −𝐿𝑡−1𝐿𝑥(𝑢1(𝑥)), (3.119)
𝑝3(𝑥, 𝑡) = −𝐿𝑡−1𝐿𝑥(𝑢2(𝑥)), (3.120)
⋮
𝑢0(𝑥, t) = 𝑢(𝑥, 0), (3.121)
𝑢1(𝑥, 𝑡) = −𝐿𝑡−1𝐿𝑥(𝑝0(𝑥)), (3.122)
𝑢2(𝑥, 𝑡) = −𝐿𝑡−1𝐿𝑥(𝑝1(𝑥)), (3.123)
𝑢3(𝑥, 𝑡) = −𝐿𝑡−1𝐿𝑥(𝑝2(𝑥)), (3.124)
⋮
Untuk perhitungan komputasional pada bagian selanjutnya, diberikan kondisi nilai
awal:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
𝑝(𝑥, 0) = 0.1 sech2(0.2𝑥), (3.125)
𝑢(𝑥, 0) = 0. (3.126)
Didefinisikan untuk persamaan akustik (3.103) dan (3.104). Dipilih fungsi secan
hiperbolik karena fungsinya halus, sehingga memiliki derivatif yang kontinu.
Amplitudo dan fase diambil konstan, yaitu 0.1 dan 0.2, secara berturut-turut.
Metode dekomposisi Adomian membutuhkan beberapa iterasi berulang
untuk mendapatkan pendekatan solusi eksak. Catatan bahwa semakin banyak
iterasi yang digunakan, maka semakin akurat pula solusi dengan metode ini jika
deret yang dihasilnya belum konvergen kepada solusi eksak. Dengan
menggunakan kondisi nilai awal (3.126) dan (3.125), metode dekomposisi
Adomian menggunakan formula deret seperti berikut:
𝑝𝑘+1(𝑥, 𝑡) = −𝐿𝑡−1𝐿𝑥 ∑ 𝑢𝑘
∞
𝑘=0
, 𝑘 ≥ 0, (3.127)
𝑢𝑘+1(𝑥, 𝑡) = −𝐿𝑡−1𝐿𝑥 ∑ 𝑝𝑘
∞
𝑘=0
, 𝑘 ≥ 0, (3.128)
dimana solusi eksak diberikan dengan
lim𝑛→∞
𝑃𝑛 = 𝑝(𝑥, 𝑡), (3.129)
lim𝑛→∞
𝑈𝑛 = 𝑢(𝑥, 𝑡) . (3.130)
Pendekatan suku ke-𝑛 dari tekanan 𝑝 dan kecepatan 𝑢 adalah
𝑃𝑛[ℎ] = ∑ 𝑝𝑘(𝑥, 𝑡)
𝑛−1
𝑘=0
, (3.131)
𝑈𝑛[𝑢] = ∑ 𝑢𝑘(𝑥, 𝑡),
𝑛−1
𝑘=0
𝑛 ≥ 0 . (3.132)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Dengan menggunakan software MAPLE, didapatkan hasil dari iterasi
(sampai 𝑝4) untuk solusi tekanan untuk permasalahan yang ada dalam penelitian
ini, dituliskan seperti berikut:
𝑢0 = 0, (3.133)
𝑢1 =1
25(sech (
1
5𝑥)
2
) tanh (1
5𝑥) 𝑡, (3.134)
𝑢2 = 0, (3.135)
𝑢3 =2
1875(sech (
1
5𝑥)
2
) (tanh (1
5𝑥)
3
) 𝑡3
−4
375(sech (
1
5𝑥)
2
) (tanh (1
5𝑥)) 𝑡3 (
1
5
−1
5(tanh (
1
5𝑥)
2
)),
(3.136)
𝑢4 = 0, (3.137)
⋮
𝑝0 =1
10sech (
1
5𝑥)
2
, (3.138)
𝑝1 = 0, (3.139)
𝑝2 =1
125(sech (
1
5𝑥)
2
) (tanh (1
5𝑥)
2
) 𝑡2
−1
50(sech (
1
5𝑥)
2
) (1
5−
1
5(tanh (
1
5𝑥)
2
)) 𝑡2,
(3.140)
𝑝3 = 0, (3.141)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
𝑝4 =1
9375(sech (
1
5𝑥)
2
) (tanh (1
5𝑥)
4
) 𝑡4
−11
3750(sech (
1
5𝑥)
2
) (tanh (1
5𝑥)
2
) 𝑡4 (1
5
−1
5(tanh (
1
5𝑥)
2
))
+1
375(sech (
1
5𝑥)
2
) (1
5−
1
5(tanh (
1
5𝑥)
2
))
2
𝑡4,
(3.142)
⋮
Lebih jauh lagi, didapatkan hasil dari iterasi untuk solusi dari kecepatan
pada permasalahan dalam penelitian ini, dituliskan sebagai berikut ini:
𝑈 =1
1875
(2𝑡2 (cosh (1
5𝑥)
2) + 75 (cosh (
1
5𝑥)
2) − 6𝑡2) 𝑡 (sinh (
1
5𝑥))
(cosh (1
5𝑥)
5)
, (3.143)
𝑃 =1
18750
1
(cosh (1
5𝑥)
6)
(2𝑡4 (cosh (1
5𝑥)
4
) + 150𝑡2 (cosh (1
5𝑥)
4
)
− 15𝑡4 (cosh (1
5𝑥)
2
) + 1875 (cosh (1
5𝑥)
4
)
− 225𝑡2 (cosh (1
5𝑥)
2
) + 15𝑡4).
(3.144)
Dilanjutkan dengan perhitungan 𝑃[𝑝] = 𝑝0 + 𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 + 𝑝4 dan
𝑈[𝑢] = 𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + 𝑢4 dengan menggunakan hasil di atas sehingga,
didapatkan pendekatan dari kecepatan dan tekanan sampai pada suku keempat
adalah:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Gambar 3.1. Grafik solusi pendekatan dari kecepatan pada persamaan akustik menggunakan
metode dekomposisi Adomian.
dan
Gambar 3.2. Grafik solusi pendekatan dari tekanan pada persamaan akustik menggunakan metode
dekomposisi Adomian.
Secara berturut-turut. Selain itu, digunakan pula program MATLAB untuk
melihat grafik dalam 2 dimensi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Gambar 3.3. Grafik solusi pendekatan dari kecepatan pada persamaan akustik menggunakan
metode dekomposisi Adomian.
Gambar 3.4. Grafik solusi pendekatan dari tekanan pada persamaan akustik menggunakan metode
dekomposisi Adomian.
Hasil dari tekanan 𝑃 dan kecepatan 𝑈 diplot dalam Gambar 3.1 dan
Gambar 3.3 serta Gambar 3.2 dan Gambar 3.4, berturut-turut. Dari gambar-
gambar tersebut, bersamaan dengan pertambahan waktu, tekanan dari titik awal
merambat kearah kiri dan ke kanan. Kecepatannya sesuai dengan perambatan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
gelombang tekanan karena kecepatannya negatif ketika gelombang tekanannya
merambat ke kiri dan positif ketika ke kanan. Hal ini sesuai dengan perilaku yang
sudah diduga sebelumnya. Pada Gambar 3.2, kecepatannya cenderung menuju nol
untuk nilai 𝑥 dan 𝑡 yang besar.
Persamaan akustik telah diselesaikan dengan metode dekomposisi
Adomian. Solusi dari dekomposisi Adomian mendekati solusi eksak untuk
sebarang titik ruang dan waktu (Wazwaz, 2009). Metode dekomposisi Adomian
dapat ddiimplementasikan pada software komputer dengan komputasi yang tidak
mahal. Metode ini dapat menyelesaikan persoalan-persoalan multi-dimensi dari
persamaan akustik.
D. Solusi Persamaan Gelombang Difusi
Difusi adalah perpindahan molekul dari konsentrasi tinggi menuju ke
konsentrasi rendah. Peristiwa difusi akan berlangsung sampai partikel menyebar
secara merata. Peristiwa difusi terjadi dalam kehidupan sehari-hari, misalnya
penyebaran parfum yang disemprotkan, pelarutan gula, penyebaran limbah cairan
dalam sungai. Penelitian pada persamaan gelombang difusi disini merupakan
penelitian tentang gelombang difusi itu sendiri atau bisa disebut dengan
gelombang penyebaran, sehingga yang diteliti merupakan gelombang yang
menyebabkan penyebaran pada fluida, misalnya gelombang penyebaran
konsentrasi larutan. Persamaan gelombang difusi diberikan oleh:
𝜕𝑞
𝜕𝑡+
𝜕𝑞
𝜕𝑥= 𝑞
𝜕2𝑞
𝜕𝑥2+ 𝑥, (3.146)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
dimana 𝑞(𝑥, 𝑡) merupakan konsentrasi larutan, sedangkan 𝑥 dan 𝑡 berturut-turut
adalah variabel ruang (posisi) dan waktu. Dengan kondisi nilai awal:
𝑞(𝑥, 0) = 𝑞0 = 1. (3.146)
Persamaan (3.145) dapat ditulis kembali menjadi
𝑞𝑡 + 𝑞𝑥 = 𝑞𝑞𝑥𝑥 + 𝑥. (3.147)
Metode dekomposisi Adomian menggunakan operator diferensial 𝐿𝑡 dan 𝐿𝑥 dalam
proses perhitungan. Persamaan (3.147) dapat ditulis menjadi:
𝐿𝑡𝑞 + 𝐿𝑥𝑞 = 𝑞𝐿𝑥𝑥𝑞 + 𝑥, (3.148)
dimana operator diferensial 𝐿𝑡 dan 𝐿𝑥 serta 𝐿𝑥𝑥 didefinisikan sebagai
𝐿𝑡 =𝜕
𝜕𝑡 , 𝐿𝑥 =
𝜕
𝜕𝑥, 𝐿𝑥𝑥 =
𝜕2
𝜕𝑥2, (3.149)
menggunakan operator integral
𝐿𝑡−1(. ) = ∫ (. )𝑑𝑡
𝑡
0
. (3.150)
Dengan mengaplikasikan operator invers pada kedua ruas maka persamaan
(3.148) menjadi:
𝐿𝑡−1𝐿𝑡𝑞 + 𝐿𝑡
−1𝐿𝑥𝑞 = 𝐿𝑡−1(𝑞𝐿𝑥𝑥𝑞) + 𝐿𝑡
−1𝑥. (3.151)
Persamaan (3.151) akan menghasilkan persamaan (3.152) seperti di bawah ini.
𝑞(𝑥, 𝑡) = 𝑞(𝑥, 0) − 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑞 + 𝐿𝑡
−1(𝑞𝐿𝑥𝑥𝑞) + 𝐿𝑡−1𝑥. (3.152)
Asumsikan bahwa ∅(𝑞) = 𝑞𝑞𝑥𝑥 untuk menyederhanakan perhitungan:
𝑞(𝑥, 𝑡) = 𝑞(𝑥, 0) + 𝐿𝑡−1𝑥 + 𝐿𝑡
−1 ((∅(𝑞)) − 𝐿𝑥𝑞). (3.153)
Metode dekomposisi menggunakan jumlahan dari komponen-komponennya,
didefinisikan dengan:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
𝑞(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑞𝑛(𝑥, 𝑡)
∞
𝑛=0
, (3.154)
∅(𝑞) = ∑ 𝐴𝑛
∞
𝑛=0
. (3.155)
Dengan mengaplikasikan (3.154) dan (3.155) kepada persamaan (3.153) maka
akan terbentuk persamaan:
∑ 𝑞𝑛(𝑥, 𝑡)
∞
𝑛=0
= 𝑞(𝑥, 0) + 𝐿𝑡−1𝑥 + 𝐿𝑡
−1 (∑ 𝐴𝑛
∞
𝑛=0
− 𝐿𝑥 ∑ 𝑞𝑛(𝑥, 𝑡)
∞
𝑛=0
), (3.156)
dimana 𝐴𝑛 adalah
𝐴𝑛(𝜀0, 𝜀1, 𝜀2, … , 𝜀𝑛) =1
𝑛!
𝑑𝑛
𝑑𝜆𝑛[∅ (∑ 𝜆𝑛𝜀𝑛
∞
𝑘=0
)]
𝜆=0
, 𝑛 ≥ 0. (3.157)
Polinomial Adomian 𝐴𝑛 untuk kasus ini diberikan oleh:
𝐴0 = 𝑞0𝑞0𝑥𝑥 , (3.158)
𝐴1 = 𝑞1𝑞0𝑥𝑥+ 𝑞0𝑞1𝑥𝑥
, (3.159)
𝐴2 = 𝑞2𝑞0𝑥𝑥+ 𝑞1𝑞1𝑥𝑥
+ 𝑞0𝑞2𝑥𝑥 , (3.160)
⋮
𝐴𝑛 = 𝑞𝑛𝑞0𝑥𝑥+ 𝑞𝑛−1𝑞1𝑥𝑥
+ ⋯ + 𝑞0𝑞𝑛𝑥𝑥. (3.161)
Hasil dari setiap komponen dari dekomposisi adalah
𝑞0 + 𝑞1 + 𝑞2 + ⋯
= 𝑞(𝑥, 0) + 𝐿𝑡−1𝑥
+ 𝐿𝑡−1((𝐴0 + 𝐴1 + 𝐴2 + ⋯ ) − 𝐿𝑥(𝑞0 + 𝑞1 + 𝑞2 + ⋯ )),
(3.162)
𝑞0 = 𝑞(𝑥, 0) + 𝐿𝑡−1𝑥, (3.163)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
𝑞1 = 𝐿𝑡−1((𝐴0) − 𝐿𝑥(𝑞0)), (3.164)
𝑞2 = 𝐿𝑡−1((𝐴1) − 𝐿𝑥(𝑞1)), (3.165)
𝑞3 = 𝐿𝑡−1((𝐴2) − 𝐿𝑥(𝑞2)), (3.166)
⋮
𝑞𝑛+1 = 𝐿𝑡−1((𝐴𝑛) − 𝐿𝑥(𝑞𝑛)), 𝑛 ≥ 0. (3.167)
Solusi eksak diberikan oleh:
lim𝑛→∞
𝑞𝑛 = 𝑞(𝑥, 𝑡). (3.168)
Suku ke−𝑛 dari pendekatan dari konsentrasi 𝑞 adalah
𝑅𝑛[𝑞] = ∑ 𝑞𝑘(𝑥, 𝑡)
𝑛−1
𝑘=0
, (3.169)
dengan menggunakan program MAPLE maka didapatkan suku-suku dari debit
𝑞𝑛(𝑥, 𝑡) sebagai berikut.
𝑞0 = 𝑥𝑡 + 1, (3.170)
𝑞1 = −1
2𝑡2, (3.171)
𝑞2 = 0, (3.172)
𝑞3 = 0, (3.173)
𝑞4 = 0. (3.174)
Setelah dilakukan penelitian dan perhitungan dengan menggunakan bantuan
MAPLE, maka didapatkan solusi eksak dari konsentrasi 𝑞 yaitu:
𝑅 = 1 + 𝑥𝑡 −1
2𝑡2. (3.175)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Solusi tersebut digambar grafiknya untuk melihat perilaku fisis dari konsentrasi 𝑞
pada persamaan gelombang difusi. Berikut merupakan grafik dari konsentrasi 𝑞,
seperti tampak pada Gambar 4.1.
Gambar 4.1. Grafik solusi pendekatan dari konsentrasi pada persamaan difusi menggunakan
metode dekomposisi Adomian.
Selain menggunakan MAPLE untuk menggambar grafik konsentrasi, digunakan
pula program MATLAB untuk mengetahui perilaku dari konsentrasi 𝑞, seperti
tampak pada Gambar 4.2 dan Gambar 4.3.
Gambar 4.2. Grafik solusi pendekatan dari konsentrasi pada persamaan difusi menggunakan
metode dekomposisi Adomian.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Gambar 4.3. Grafik solusi pendekatan dari konsentrasi pada persamaan difusi menggunakan
metode dekomposisi Adomian (versi zoom)
Gradien dari garis-garis pada persamaan difusi (Gambar 4.2 dan Gambar
4.3) merupakan perubahan 𝑞 terhadap perubahan 𝑥 dilambangkan 𝑚 =𝜕𝑅
𝜕𝑥= 𝑡.
Dengan 𝑅 adalah jumlahan hasil dari setiap komponen 𝑞. Grafik membentuk
suatu garis lurus, sehingga semakin 𝑡 bertambah maka gradien dari 𝑞 akan
semakin besar, dimana gradien dari 𝑞 sebesar 𝑡 (waktu). Semakin 𝑡 membesar
maka perubahan konsentrasi (𝑞) terhadap perubahan ruang akan semakin cepat.
Jika ditinjau dari titik posisi atau titik ruang sama, di titik awal 𝑥 = 0, semakin 𝑡
bertambah maka konsentrasi akan semakin berkurang karena pada posisi awal,
konsentrasi akan mulai menyebar dan pada posisi akhir, semakin bertambahnya
waktu maka konsentrasi akan meningkat karena telah tersebarnya konsentrasi dari
posisi awal ke posisi akhir. Peristiwa penyebaran konsentrasi pada persamaan
difusi ini relevan dengan keadaan fisis dalam kehidupan nyata.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
E. Solusi Persamaan Gelombang Kinematik
Persamaan gelombang kinematik (Miller, 1983) adalah penyederhanaan
dari persamaan gelombang air dangkal. Gelombang kinematik mendeskripsikan
fenomena dari limpasan air pertanian kecil dan DAS (Daerah Aliran Sungai)
perkotaan. DAS adalah suatu daerah sebagai tempat berkumpulnya air hujan yang
dibatasi titik-titik tinggi. Ketika menerapkan teori gelombang kinematik untuk
aliran di atas permukaan tanah, aliran lateral harus diperhatikan. Aliran di atas
permukaan tanah adalah air hujan yang meninggalkan daerah aliran sungai (DAS)
setelah terjadi hujan. Aliran di atas permukaan tanah terjadi ketika hujan yang
jatuh melebihi tingkat infiltrasi sehingga membentuk suatu aliran di atas
permukaan tanah.
Gambar. 5.1. Daerah Aliran Sungai (gambar diambil dari
http://dassolo.litbang.menlhk.go.id/berita/baca/170/mengenal-daerah-aliran-sungai-das-dan-
pengelolaannya )
Persamaan gelombang kinematik berasal dari penggabungan persamaan Manning:
𝑄 =∝ ℎ𝑚, (3.176)
dengan persamaan kontinuitas:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
𝜕ℎ
𝜕𝑡+
𝜕𝑄
𝜕𝑥= 0.
(3.177)
Di sini ∝ dan 𝑚 adalah koefisien yang terdefinisi pada setiap penampang kanal
atau saluran. Persamaan (3.176) dan (3.177) disebut sebagai persamaan
gelombang kinematik. Ketika mengaplikasikan teori gelombang kinematik untuk
aliran di atas tanah, digunakan kedua persamaan tersebut sehingga menjadi:
𝜕ℎ
𝜕𝑡+
𝜕𝑄
𝜕𝑥= 𝑞(𝑥, 𝑡).
(3.178)
Dimana 𝑞 adalah aliran masuk (inflow) lateral dalam bentuk aliran di atas
permukaan tanah menuju saluran penerima. Berdasarkan persamaan aliran,
dengan 𝑄 =∝ ℎ𝑚. Kemudian, 𝜕𝑄
𝜕𝑡 dapat dideterminasi dari persamaan (3.176):
𝜕𝑄
𝜕𝑡=∝ 𝑚ℎ𝑚−1
𝜕ℎ
𝜕𝑥,
(3.179)
sehingga didapatkan persamaan dasar untuk gelombang kinematik adalah
𝜕ℎ
𝜕𝑡+∝ 𝑚ℎ𝑚−1
𝜕ℎ
𝜕𝑥= 𝑞(𝑥, 𝑡).
(3.180)
Di sini ℎ adalah simpanan air setiap unit luas, 𝑡 adalah waktu, 𝑥 adalah koordinat
ruang, 𝑞(𝑥, 𝑡) merepresentasikan laju perpindahan aliran masuk, ∝ dan 𝑚 secara
berturut-turut adalah parameter kemiringan dan kekasaran permukanan tanah dan
alirannya berlapis berdasarkan persamaan Manning. Parameter-parameter tersebut
terhitung sebagai berikut:
∝=𝑆0.5
𝑛, (3.181)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
𝑚 =5
3, (3.182)
dimana 𝑛 adalah nilai kekasaran Manning dan 𝑆 adalah kemiringan bidang. Dalam
kasus ini, diambil ∝=3
5 sebagai penyederhanaan serta fungsi 𝑞(𝑥, 𝑡) = 𝑥,
sehingga didapatkan persamaan paling sederhana dari gelombang kinematik.
ℎ𝑡 + ℎ2
3ℎ𝑥 = 𝑥. (3.183)
Dengan mengambil kondisi nilai awal:
ℎ(𝑥, 0) = ℎ0 = 1, (3.184)
maka akan dicari solusi dari persamaan gelombang kinematik. Seperti yang telah
dilakukan sebelumnya, dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian,
pertama akan digunakan notasi derivatif :
𝐿𝑥 =𝜕
𝜕𝑥 dan 𝐿𝑡 =
𝜕
𝜕𝑡. (3.185)
Dengan mengaplikasikan derivatif kepada kedua ruas maka akan didapatkan:
𝐿𝑡ℎ + ℎ2
3𝐿𝑥ℎ = 𝑥. (3.186)
Setelah itu, inverskan kedua ruas, sehingga didapat:
𝐿𝑡−1𝐿𝑡ℎ + 𝐿𝑡
−1 (ℎ2
3𝐿𝑥ℎ) = 𝐿𝑡−1𝑥,
(3.187)
ℎ(𝑥, 𝑡) − ℎ(𝑥, 0) + 𝐿𝑡−1 (ℎ
2
3𝐿𝑥ℎ) = 𝐿𝑡−1𝑥,
(3.188)
ℎ(𝑥, 𝑡) = ℎ(𝑥, 0) − 𝐿𝑡−1 (ℎ
2
3𝐿𝑥ℎ) + 𝐿𝑡−1𝑥.
(3.189)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Polinomial dari metode dekomposisi:
ℎ(𝑥, 𝑡) = ∑ ℎ𝑛
∞
𝑛=0
, (3.190)
∑ 𝐴𝑛
∞
𝑛=0
= ℎ2
3ℎ𝑥, (3.191)
sehingga didapatkan:
∑ ℎ𝑛
∞
𝑛=0
= ℎ(𝑥, 0) + 𝐿𝑡−1 (∑ 𝐴𝑛
∞
𝑛=0
) + 𝐿𝑡−1𝑥.
(3.192)
Dengan menggunakan MAPLE maka didapatkan komponen-komponen dari suku-
suku hasil adalah sebagai berikut.
ℎ0 = ℎ(𝑥, 0), (3.193)
ℎ1 = 𝐿𝑡−1(𝐴0) + 𝐿𝑡
−1𝑥, (3.194)
ℎ2 = 𝐿𝑡−1(𝐴1) + 𝐿𝑡
−1𝑥, (3.195)
⋮
ℎ𝑛+1 = 𝐿𝑡−1(𝐴𝑛) + 𝐿𝑡
−1𝑥, (3.196)
dimana :
𝐴0 = ℎ0
2
3ℎ0𝑥, (3.197)
𝐴1 = ℎ1
2
3ℎ0𝑥+ ℎ0
2
3ℎ1𝑥, (3.198)
𝐴2 = ℎ2
2
3ℎ0𝑥+ ℎ1
2
3ℎ1𝑥+ ℎ0
2
3 ℎ2𝑥, (3.199)
𝐴3 = ℎ3
2
3ℎ0𝑥+ ℎ2
2
3ℎ1𝑥+ ℎ1
2
3ℎ2𝑥+ ℎ0
2
3ℎ3𝑥, (3.200)
⋮
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
Berdasarkan perhitungan persamaan (3.196) dan dengan mengacu pada nilai awal,
maka dapat digambar grafik solusi pendekatan dari ℎ pada persamaan kinematik
dengan menggunakan MDA.
Gambar 5.2. Grafik solusi pendekatan dari ℎ(𝑥, 𝑡) menggunakan metode dekomposisi Adomian
ketika 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 0.4
Gambar 5.3. Grafik solusi pendekatan dari ℎ(𝑥, 𝑡) menggunakan metode dekomposisi Adomian
ketika 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 0.4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Gambar 5.4. Grafik solusi pendekatan dari ℎ(𝑥, 𝑡) menggunakan metode dekomposisi Adomian
ketika 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 0.4
Berdasarkan grafik di atas diketahui bahwa pada saat 𝑡 = 0 maka
simpanan air ℎ tidak mengalami pergerakan di 𝑥 manapun. Pada posisi awal,
simpanan air ℎ mengalami penurunan untuk sementara waktu, kemudian semakin
waktu bertambah, maka simpanan air ℎ semakin bertambah dan terus bertambah.
Kecepatan peningkatan simpanan air ℎ akan semakin bertambah seiring dengan
pertambahan waktu. Untuk nilai waktu yang kecil, seperti terlihat pada Gambar
5.2, Gambar 5.3 dan Gambar 5.4, hasil ini sesuai dengan keadaan fisis DAS
seperti Gambar 5.1 DAS, awalnya hujan turun dan air terkumpul pada posisi awal
DAS kemudian air mengalir melewati saluran DAS. Namun, semakin waktu
bertambah sampai tak hingga, maka simpanan air ℎ akan semakin membesar
menuju tak hingga. Dalam penelitian ini ditemukan bahwa metode dekomposisi
Adomian relevan untuk nilai waktu yang kecil dan tidak relevan untuk nilai waktu
yang besar.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
F. Kekurangan Penelitian
Hasil dari penelitian ini masih jauh dari sempurna. Berikut ini merupakan
kekurangan-kekurangan yang ada dalam penelitian.
1. Solusi yang ditemukan dalam persamaan gelombang air dangkal,
persamaan gelombang kinematik, persamaan gelombang elastic dan
persamaan gelombang akustik masih berupa solusi pendekatan karena
persamaan-persamaan tersebut juga tidak memiliki solusi eksak secara
umum. Oleh karena itu, masih dibutuhkan penelitian tentang konvergensi
dari metode dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan permasalahan-
permasalahan persamaan diferensial parsial agar diketahui error dari solusi
perhitungan dengan metode dekomposisi Adomian.
2. Solusi yang diperoleh dari hasil analisis menunjukkan bahwa solusi-solusi
tersebut hanya relevan untuk nilai waktu yang kecil (kurang dari 1). Hal
ini dikarenakan iterasi yang dilakukan hanya sedikit (sampai iterasi
keempat) sehingga untuk meningkatkan keakuratan dan relevansinya,
diperlukan iterasi yang lebih besar lagi. Untuk seberapa besar iterasi yang
dibutuhkan, penulis belum meneliti tentang hal ini.
3. Persamaan gelombang elastik dan akustik yang diteliti merupakan
persamaaan yang disederhanakan sehingga terbentuk persamaan yang
paling sederhana seperti pada penelitian ini. Untuk permasalahan-
permasalahan nyata yang lebih kompleks tentu masih ada variabel-variabel
lain yang juga mempengaruhi. Oleh karena itu persamaan ini harus
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
disesuaikan lagi dengan kasus-kasus yang mungkin akan diteliti lagi lebih
lanjut sesuai dengan keadaan nyata.
4. Persamaan gelombang air dangkal yang dibahas dalam tesis ini merupakan
kasus yang umum. Untuk kasus-kasus khusus terkait gelombang air
dangkal seperti misalnya bendungan bobol (dam break) memiliki variabel
lain yang butuh dipertimbangkan dalam persamaan, misalnya gravitasi.
Kasus-kasus lain terkait dengan gelombang air dangkal juga pasti
memiliki variabel-variabel lain yang perlu dipertimbangkan juga.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
BAB IV
ASPEK PENDIDIKAN
A. Implikasi Pembelajaran di Sekolah Menengah
Pembelajaran matematika di Sekolah Menengah Atas atau SMA terkadang
menjadi pembelajaran rumus. Pembelajaran rumus yang dimaksud adalah siswa
mengingat rumus-rumus yang ada dalam materi namun kurang dapat memaknai
arti dari rumus tersebut. Pembelajaran yang seperti ini yang membuat siswa
kurang dapat menganalisis permasalahan nyata yang berhubungan dengan materi
yang disampaikan. Materi dalam tesis ini diharapkan dapat membantu siswa untuk
lebih mudah memahami materi matematika terutama materi diferensial (turunan).
Pada bab ini akan digunakan salah satu persamaan gelombang yaitu persamaan
gelombang difusi sebagai contoh agar lebih mudah dipahami.
Solusi dari persamaan gelombang difusi dimensi satu telah dibahas pada
Bab III. Berikut ini merupakan grafik solusi persamaan gelombang difusi yang
telah diperoleh dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Gambar 6.1. Pendekatan dari konsentrasi menggunakan metode dekomposisi Adomian (versi
zoom)
Gambar 6.1 merupakan grafik solusi persamaan gelombang difusi pada
beberapa keadaan waktu yang berbeda-beda. Sumbu vertikal pada grafik tersebut
merupakan variabel konsentrasi (𝑞) sedangkan, sumbu horizontal pada grafik
tersebut menunjukkan variabel posisi (𝑥).
Pada materi SMA, untuk mencari gradient garis, salah satu caranya dapat
dilihat dengan turunan dari persamaan garis yang dicari. Pada pembahasan aspek
pendidikan pada bab ini, akan diasumsikan persamaan tersebut hanya memiliki
satu variabel bebas 𝑥 dan satu variabel terikat 𝑞. Hal tersebut dilakukan untuk
mempermudah siswa dalam memahaminya.
Gradien garis-garis pada persamaan difusi tersebut merupakan perubahan 𝑞
terhadap perubahan 𝑥 yang kemudian dilambangkan dengan 𝑚 =𝑑𝑞
𝑑𝑥. Pertama,
dicari dahulu persamaan-persamaan garis diatas. Materi persamaan garis lurus
juga telah diajarkan di SMP. Berikut adalah penjelasannya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
1. Persamaan garis pertama (ketika 𝑡 = 0) garis melewati titik (0, 1)
dan titik (0, 1) sehingga persamaan garisnya: 𝑞1 = 1.
2. Persamaan garis kedua (ketika 𝑡 = 0.1) garis melewati titik (0.05 ,
1) dan titik (0, 0.995) sehingga persamaan garisnya: 𝑞2 = 0.1𝑥 +
0.995.
3. Persamaan garis ketiga (ketika 𝑡 = 0.2) garis melewati titik (0.1 ,
1) dan titik (0, 0.98) sehingga persamaan garisnya: 𝑞3 = 0.2𝑥 +
0.98.
4. Persamaan garis keempat (ketika 𝑡 = 0.3) garis melewati titik
(0.15, 1) dan titik (0, 0.955) sehingga persamaan garisnya: 𝑞4 =
0.3𝑥 + 0.955.
5. Persamaan garis kelima (ketika 𝑡 = 0.4) garis melewati titik
(0.2, 1) dan titik (0, 0.92) sehingga persamaan garisnya: 𝑞5 =
0.4𝑥 + 0.92.
Persamaan garis tersebut dicari dengan cara:
𝑦 − 𝑦1 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
(𝑥 − 𝑥1)
dimana gradien 𝑚 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1.
Dari kelima garis tersebut, gradien 𝑚𝑞1=
𝑑𝑞1
𝑑𝑥= 0, 𝑚𝑞2
=𝑑𝑞2
𝑑𝑥= 0.1,
𝑚𝑞3=
𝑑𝑞3
𝑑𝑥= 0.2, 𝑚𝑞4
=𝑑𝑞4
𝑑𝑥= 0.3, dan 𝑚𝑞5
=𝑑𝑞5
𝑑𝑥= 0.4. Gradien dari masing-
masing besarnya sama dengan 𝑡 masing-masing. Ini berarti bahwa gradien garis
𝑚𝑞𝑛=
𝑑𝑞𝑛
𝑑𝑥= 𝑡𝑛. Dalam grafik terlihat membentuk garis-garis lurus maka 𝑚𝑞𝑛
=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
𝑑𝑞𝑛
𝑑𝑥=
△𝑞𝑛
△𝑥. Secara fisis, semakin 𝑡 bertambah maka gradien dari 𝑞 akan semakin
besar. Gradien dari 𝑞 sebesar 𝑡 (waktu). Sehingga semakin 𝑡 membesar maka
perubahan konsentrasi (𝑞) terhadap perubahan ruang/posisi akan semakin cepat.
Secara matematis, berarti bahwa, ketika gradien membesar maka kemiringan dari
garis lurus tersebut akan semakin curam. Contoh dalam kehidupan nyata adalah
penyebaran limbah. Dari grafik terlihat jelas bahwa jika dilihat dari titik 𝑥 yang
sama, semakin 𝑡 meningkat maka 𝑞 akan semakin menurun, artinya, semakin
berlalunya waktu, konsentrasi dari limbah sungai pada suatu tempat 𝑥 akan
semakin berkurang karena telah terjadi penyebaran.
Implikasi lainnya adalah mengajarkan gelombang kepada siswa SMP
dengan bekal pengetahuan yang mereka miliki. Disini peneliti menyusun panduan
untuk bereksperimen sebagai media untuk mengenalkan gelombang kepada siswa
SMP. Tujuan dari penelitian ini adalah siswa dapat mengukur berapa kedalaman
gelombang air pada waktu 𝑡 tertentu di titik 𝑥 tertentu. Berikut merupakan
panduannya.
PANDUAN PENELITIAN
SISWA SEKOLAH MENENGAH PERTAMA
MATERI : GELOMBANG
Bahan-bahan yang perlu disiapkan:
1. Alat tulis: penggaris, spidol, pulpen, dan buku. (disiapkan oleh masing-
masing siswa)
2. Stopwatch (disiapkan oleh guru)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
3. Akuarium berisi air (disiapkan oleh guru)
Langkah-langkah kerja:
1. Guru mempersiapkan bahan-bahan yang diperlukan.
2. Guru membagi siswa dalam kelompok-kelompok kecil (1 kelompok terdiri
dari 4 orang).
3. Guru melakukan demonstrasi di depan kelas. Demonstrasi tersebut adalah
pada air yang tenang dalam akuarium kemudian diberikan gangguan
dengan menggunakan bantuan penggaris.
Gambar 4.1. Akuarium berisi air yang mula-mula tenang
a. Kemudian pada air yang tenang tersebut diberikan gangguan dengan
bantuan penggaris. Penggaris diletakkan pada tepi salah satu akuarium
(pada gambar ini pada tepi kanan akuarium) sampai menempel.
b. Tunggu sesaat agar guncangan air yang di dalam akuarium karena
proses memasukkan penggaris menjadi hilang (airnya tenang kembali).
Penggaris yang
separuh bagian
dimasukkan ke air dan
separuhnya lagi tidak
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
Gambar 4.2. Akuarium berisi air kemudian dimasukkan penggaris
c. Setelah air tenang kembali, penggaris digerakkan kearah kiri sejauh 10
cm. Pada titik 10 cm, penggaris diangkat dari akuarium.
Gambar 4.3. Penggaris kemudian digeser ke kiri sejauh 10 cm
4. Guru meminta siswa mengamati apa yang terjadi. Kemudian setelah siswa
mengamati, diberikan pertanyaan-pertanyaan sebagai berikut:
a. Saat penggaris digeser ke kiri, apa yang terjadi?
b. Setelah 1 detik, pada titik 10 cm (diukur dari dari ujung kanan
akuarium), berapa kedalaman airnya?
c. Setelah 1.5 detik, pada titik 10 cm (diukur dari dari ujung kanan
akuarium), berapa kedalaman airnya?
d. Setelah 20 detik, pada titik 10 cm (diukur dari dari ujung kanan
akuarium), berapa kedalaman airnya?
e. Setelah 1 detik, pada ujung kiri akuarium, berapa kedalaman airnya?
f. Setelah 1.5 detik, pada ujung kiri akuarium, berapa kedalaman airnya?
g. Setelah 20 detik, pada ujung kiri akuarium, berapa kedalaman airnya?
10 cm
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
h. Berapa lama waktu yang dibutuhkan (dimulai dari saat penggeseran
penggaris) agar air menjadi tenang kembali?
i. Berapa kedalaman air ketika air sedang dalam keadaan tenang?
5. Guru meminta siswa melakukan percobaan sebanyak mungkin kemudian
meminta siswa menyimpulkan hasil penelitiannya.
B. Implikasi Pembelajaran di S1 Pendidikan Matematika
Dalam salah satu langkah dekomposisi Adomian terdapat langkah
pengubahan variabel dalam bentuk deret tak hingga dari polinomial Adomian.
Misalnya dalam persamaan-persamaan pada Bab III, subbab dekomposisi
Adomian untuk persamaan gelombang air dangkal,
∅1(ℎ, 𝑢) = ∑ 𝐴𝑛
∞
𝑛=0
, ∅2(ℎ, 𝑢) = ∑ 𝐵𝑛, ∅3(𝑢) = ∑ 𝐶𝑛
∞
𝑛=0
∞
𝑛=0
, (4.1)
∅1 = 𝑢ℎ𝑥, ∅2 = ℎ𝑢𝑥 dan ∅3 = 𝑢𝑢𝑥 , ⋯, (4.2)
𝐴0 = 𝑢0ℎ0𝑥 , (4.3)
𝐴1 = 𝑢1ℎ0𝑥+ 𝑢0ℎ1𝑥
, (4.4)
𝐴2 = 𝑢2ℎ0𝑥+ 𝑢1ℎ1𝑥
+ 𝑢0ℎ2𝑥 , (4.5)
𝐴3 = 𝑢3ℎ0𝑥+ 𝑢2ℎ1𝑥
+ 𝑢1ℎ2𝑥+ 𝑢0ℎ3𝑥
, (4.6)
⋮
𝐵0 = ℎ0𝑢0𝑥 , (4.7)
𝐵1 = ℎ1𝑢0𝑥+ ℎ0𝑢1𝑥
, (4.8)
𝐵2 = ℎ2𝑢0𝑥+ ℎ1𝑢1𝑥
+ ℎ0𝑢2𝑥 , (4.9)
𝐵3 = ℎ3𝑢0𝑥+ ℎ2𝑢1𝑥
+ ℎ1𝑢2𝑥+ ℎ0𝑢3𝑥
, (4.10)
⋮
𝐶0 = 𝑢0𝑢0𝑥 , (4.11)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
𝐶1 = 𝑢1𝑢0𝑥+ 𝑢0𝑢1𝑥
, (4.12)
𝐶2 = 𝑢2𝑢0𝑥+ 𝑢1𝑢1𝑥
+ 𝑢0𝑢2𝑥 , (4.13)
𝐶3 = 𝑢3𝑢0𝑥+ 𝑢2𝑢1𝑥
+ 𝑢1𝑢2𝑥+ 𝑢0𝑢3𝑥
, (4.14)
⋮
Persamaan-persamaan tersebut termasuk persamaan diferensial biasa, dimana
hanya terdapat satu variabel bebas, yaitu 𝑥. Dengan latihan yang berulang-ulang
maka kemampuan menyelesaikan permasalahan persamaan diferensial biasa akan
semakin cepat. Begitu pula sebaliknya. Materi persamaan diferensial biasa
merupakan materi yang sangat mendukung dalam metode dekomposisi Adomian.
Implementasi dari penulisan tesis ini terhadap mahasiswa S1 Pendidikan
Matematika misalnya, mahasiswa dapat dimotivasi dengan menyelesaikan
langkah dalam metode dekomposisi Adomian seperti yang telah dijelaskan, dapat
melatih kemampuan mahasiswa dalam menyelesaikan berbagai jenis
permasalahan persamaan diferensial biasa. Hal lainnya adalah bahwa banyak
sekali persamaaan yang sulit diselesaikan, dapat diselesaikan dengan metode
dekomposisi Adomian.
C. Refleksi Pengalaman Penelitian Matematika
Pengalaman penelitian matematika bagi penulis merupakan tantangan
yang cukup membuat penasaran. Banyak sekali hal-hal baru yang penulis
temukan dalam penelitian ini, baik materi maupun pengalaman. Namun, karena
penelitian ini pula banyak hal yang dapat penulis petik, seperti misalnya kekuatan
untuk melawan diri sendiri, melawan malas, melawan rasa ingin menyerah dan
masih banyak lagi. Berikut ini merupakan penjelasannya.
Penelitian Pertama
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
Penelitian matematika menjadi hal baru yang penulis teliti. Hal-hal baru
yang penulis temukan bukan hanya tentang penelitian di bidang matematika,
namun juga materi yang diteliti. Metode dekomposisi Adomian belum pernah
penulis jumpai sebelumnya baik di sekolah maupun di jenjang kuliah S1.
Awalnya mempelajari metode dekomposisi Adomian menjadi sangat sulit bagi
penulis dan banyak sekali tantangannya. Penulis sudah bertanya kepada beberapa
dosen namun belum pernah ada yang menjumpai metode tersebut. Namun
demikian, dosen pembimbing sangat membantu penulis dalam memahami metode
dekomposisi Adomian. Meskipun jadwal dosen pembimbing sangat sibuk, selalu
menyempatkan waktu untuk membimbing penulis.
Bukan hanya itu, penelitian pertama yang berawal sekitar bulan November
2015 tentang persamaan gelombang air dangkal juga merupakan hal yang sangat
baru bagi penulis. Penulis sebelumnya belum mengerti apa itu gelombang air
dangkal, apa itu metode dekomposisi adomian, dan bagaimana caranya. Saat itu
motivasi penulis adalah karena ingin mengikuti seminar internasional dengan
mendaftarkan paper tentang materi tersebut. Seminar tersebut diadakan pada
bulan Januari 2016 sehingga penulis benar-benar berpikir keras selama liburan
untuk memahami kedua materi tersebut. Awalnya sangat sulit memang, namun
bimbingan yang rutin yang diberikan oleh dosen pembimbing menjadi alasan
utama paper tersebut bisa selesai.
International Conference Pertama
Saat itu adalah seminar kedua penulis sejak penulis kuliah dari S1 sampai
S2 dan merupakan seminar internasional pertama yang pernah penulis ikuti
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
sebagai pemakalah. Penulis tentunya merasa rendah diri karena kemampuan
bahasa Inggris penulis masih sangat kurang. Begitu pula dengan materi yang
disajikan. Penulis merasa takut ketika hari H pelaksanaan seminar berlangsung
terutama ketika sudah memasuki ruangan parallel session. Ketika giliran penulis
mempresentasikan makalah, penulis berusaha tetap tenang meskipun sudah
berkeringat dingin, meskipun ruangannya ber-AC. Masih banyak kata yang
kadang-kadang memakai bahasa Indonesia.
Presentasi selesai dan akhirnya sesi tanya jawab. Peserta dalam ruangan
tersebut lebih banyak dosen baik dari matematika maupun fisika, daripada
mahasiswa. Penulis sudah ketakutan karena pada peserta sebelumnya terjadi
diskusi yang cukup pelik diantara pemakalah dan peserta ketika sesi tanya jawab.
Namun demikian, ketakutan tersebut akhirnya tidak menjadi kenyataan. Peserta
yang sempat bertanya pada urutan sebelumnya tidak memberikan pertanyaan yang
berat kepada penulis dan lebih banyak memberikan saran daripada pertanyaan.
Beliau terlihat senang karena penulis adalah mahasiswa tetapi sudah berani ikut
seminar tersebut. Pengalaman pertama mengikuti seminar internasional
merupakan pengalaman yang menantang bagi penulis karena dari sana penulis
menang dalam pertempuran melawan diri sendiri. Tentunya banyak motivasi yang
diberikan oleh dosen pembimbing juga sehingga penulis berani untuk maju.
Pengalaman Lainnya
Setelah langkah pertama tersebut, langkah berikutnya menjadi lebih
mudah namun bukan berarti akan mulus. Setelah penelitian tentang persamaan air
dangkal, penulis dan pembimbing melakukan penelitian tentang empat persamaan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
lainnya, yaitu, persamaan difusi, persamaan gelombang kinematik, persamaan
gelombang elastik, dan persamaan gelombang akustik. Salah satu persamaan dari
keempat persamaan tersebut kemudian diseminarkan lagi dalam seminar
internasional yang diadakan oleh LIPI di Banten, Jakarta. Kedua paper tersebut
akhirnya terpilih untuk terbit dalam jurnal internasional terindeks Scopus. Setelah
pengalaman-pengalaman tersebut, penulis baru menyadari bahwa ternyata penulis
mampu untuk melaksanakannya meskipun tertatih ketika di awal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
BAB V
PENUTUP
Bab ini berisi kesimpulan dari seluruh pembahasan pada tesis serta saran
yang dapat penulis berikan kepada pembaca. Berikut merupakan uraiannya.
A. Kesimpulan
Kesimpulan berisi jawaban dari rumusan masalah yang telah dibuat.
Kesimpulan dari penelitian tesis ini adalah sebagai berikut.
1. Penyelesaian persamaan air dangkal dengan menggunakan metode
dekomposisi Adomian.
Metode dekomposisi Adomian mampu menyelesaikan persamaan
gelombang air dangkal beserta penyederhanaannya, yaitu persamaan air
dangkal, persamaan gelombang difusi dan persamaan gelombang
kinematik. Dalam penelitian ini ditemukan solusi pendekatan dari
persamaan air dangkal dan persamaan kinematik nonlinear dimensi satu
serta ditemukan solusi eksak dari persamaan difusi nonlinear dimensi satu.
Solusi dari ketiga persamaan tersebut yang diselesaikan dengan metode
dekomposisi Adomian, sangat relevan dengan keadaan fisis dalam
kehidupan nyata. Namun, metode ini kurang relevan untuk nilai waktu (𝑡)
yang besar.
2. Penyelesaian persamaan elastisitas menggunakan metode dekomposisi
Adomian.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
Metode dekomposisi Adomian mampu menyelesaikan persamaan
gelombang elastik beserta penyederhanaannya, yaitu persamaan elastik
dan persamaan akustik dimensi satu. Ditemukan solusi pendekatan dari
kedua persamaan tersebut. Solusi dari kedua persamaan tersebut yang
diselesaikan dengan metode dekomposisi Adomian, sangat relevan dengan
keadaan fisis dalam kehidupan nyata baik untuk waktu (𝑡) yang kecil
maupun waktu (𝑡) yang besar. Untuk menambah keakuratan dari solusi
pendekatan kedua persamaan tersebut, dibutuhkan iterasi yang lebih
banyak lagi dalam proses perhitungan menggunakan metode dekomposisi
Adomian.
3. Aspek Pendidikan dari penelitian yang telah dilakukan.
Penelitian tentang gelombang air dangkal serta gelombang elastik
maupun tentang metode dekomposisi Adomian sangat jarang dibahas
dalam perkuliahan S1 Jurusan Pendidikan Matematika serta bagi siswa
SMP maupun SMA. Namun, ada beberapa aspek pendidikan yang
berhubungan dengan materi di sekolah maupun dalam perkuliahan S1
Pendidikan Matematika. Untuk siswa SMP, penelitian ini dapat
memberikan wawasan tentang makna gradien dari garis lurus untuk
aplikasinya. Selain itu, terdapat materi turunan dan integral di SMA juga
sangat berhubungan dalam penelitian ini. Untuk perkuliahan S1
Pendidikan Matematika, materi dalam penelitian ini sangat erat kaitannya
dengan materi Persamaan Diferensial Biasa dan materi Pengantar
Pemodelan Matematika.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
B. Saran
Saran yang dapat penulis berikan dari penulisan penelitian ini adalah sebagai
berikut.
1. Untuk mahasiswa S2 Pendidikan Matematika
Penulis berharap agar mahasiswa S2 Pendidikan Matematika lebih banyak
lagi mempelajari aplikasi-aplikasi dari teori maupun teorema matematika
yang pernah dipelajari sehingga menambah pengetahuan akan kegunaan
dan keindahan matematika bukan hanya berhenti pada teknik
perhitungannya.
2. Untuk mahasiswa penggelut matematika terapan
Supaya penelitian tentang gelombang dengan metode dekomposisi
Adomian dapat lebih dikembangkan untuk permasalahan yang lebih
kompleks dan untuk waktu yang besar. Selain itu, diperlukan juga
penelitian yang dapat menemukan solusi eksak dari persamaan-persamaan
gelombang yang belum ditemukan solusi eksak umumnya. Selain itu,
perlu penelitian lanjutan tentang konvergensi metode dekomposisi
Adomian agar ditemukan keakuratan dari metode tersebut.
3. Untuk guru-guru matematika
Penulis berharap para guru matematika baik di SMP maupun SMA dapat
memberikan wawasan tentang aplikasi matematika di bidang sains
sehingga dapat menjadi motivasi bagi siswa untuk mempelajari
matematika.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
DAFTAR PUSTAKA
Adomian, G. (1998). “Solutions of nonlinear P.D.E.” Applied Mathematics
Letters,11: 121–123.
Al-Khaled, K. dan Allan, F. (2004). “Construction of solutions for the shallow
water equations by the decomposition method.” Mathematics and
Computers in Simulation,66: 479–486.
Dispini, M. dan Mungkasi, S. (2016).“Adomian decomposition method used to
solve the shallow water equations.”AIP Conference
Proceedings,1746:020055.
Dispini, M. dan Mungkasi, S. (2017). “Adomian decomposition method used to
solve the acoustics equations.”Journal of Physics: Conference Series.
(akan terbit).
LeVeque, R. J. (2002).“Finite-volume methods for non-linear elasticity in
heterogeneous media.”International Journal for Numerical Methods in
Fluids,40: 93-104.
LeVeque, R. J. (1992). Numerical Methods for Conservation Laws (Second
edition). Springer Basel AG.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
Miller, J. E. (1984). Basic Concepts of Kinematic-Wave Models. United States:
Geological Survey.
Mungkasi, S. dan Dheno, M. F. S. (2016).“Adomian decomposition method used
to solve the gravity wave equations.”AIP Conference Proceedings,1788:
030103.
Mungkasi, S. dan Ningrum, G. I. J. (2016). “Numerical solution to the linear
acoustics equations.”AIP Conference Proceedings,1746:020056.
Supriyadi, B. dan Mungkasi, S. (2016). “Finite volume numerical solvers for non-
linear elasticity in heterogeneous media.”International Journal for
Multiscale Computational Engineering,14: 479-488.
Wazwaz, A. M. (2009).Partial Differential Equations and Solitary Waves Theory.
Berlin: Springer.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI