metod konaČnih elemenata€¦ · katedra za tehničku mehaniku i teoriju konstrukcija metod...
TRANSCRIPT
Univerzitet u BeograduGrađevinski fakultet
Katedra za tehničku mehaniku i teoriju konstrukcija
METOD KONAČNIH ELEMENATA
V. PROF. DR MARIJA NEFOVSKA‐DANILOVIĆ
Uvod
Šta je MKE?Numerička metoda za rešavanje diferencijalnihjednačina kojim se opisuju fizički fenomeni urazličitim oblastima inženjerstva (mašinstvo,građevinarstvo, elektrotehnika, ...)Sistem diferencijalnih jednačina sa odgovarajućim graničnim uslovima čine GRANIČNI PROBLEM
METOD KONAČNIH ELEMENATA 2
Uvod
Osnove MKEFizička diskretizacijaKonačni elementi (KE) međusobno povezani u čvorovimaOsnovne nepoznate veličine definisane u čvorovima KEMetoda deformacijeMetoda silaMešovita (hibridna) metodaInterpolacione funkcije
METOD KONAČNIH ELEMENATA 3
Uvod
Razlika između MKE i drugih numeričkih metoda (metoda konačnih razlika‐MKR)?U MKR vrši se aproksimacija izvoda nepoznatefunkcije, koji se pojavljuju u diferencijalnojjednačini.U MKE vrši se aproksimacija nepoznate funkcije,tj. polja pomeranja svakog konačnog elementapomoću interpolacionih funkcija
METOD KONAČNIH ELEMENATA 4
Uvod
Prednosti MKE u odnosu na ostale numeričke metode:Nema ograničenja u geometriji, opterećenju, graničnim uslovima, materijaluKombinovanje različitih tipova KETačnost rešenja se može povećati povećanjem broja KE...
METOD KONAČNIH ELEMENATA 5
Uvod
Primeri primene MKE
METOD KONAČNIH ELEMENATA 6
Formiranje matematičkog modela
METOD KONAČNIH ELEMENATA 7
Fizički model (realna konstrukcija)
Matematički modelDiferencijalne jednačine
+ granični uslovi
Idealizacija Geometrija Materijal Opterećenje Granični uslovi Kinematika
Pitanja Koji su najvažniji fizički fenomeni? Da li problem zavisi od vremena? Da li je problem linearan ili nelinearan? Koje rezultate želimo da dobijemo? Tačnost rezultata?
Da li možemo da rešimo matematički model analitički?
Primer formiranja matematičkog modela
METOD KONAČNIH ELEMENATA 8
E=210 GPa=0.3h=10 cmd= 0.2 cml=60 cma=35 cmB=20 cm2c=6cmp=0.5 kN/cm²
Cilj analize:
1. Naponi u preseku-
2. Maksimalni ugib na delu dužine l
Primer formiranja matematičkog modela
Izbor matematičkog modela zavisi od: Fenomena koji nas u konkretnom primeru zanima i koje želimo da analiziramo Geometrije Opterećenja Graničnih uslovaMaterijalnih karakteristika Koje rezultate želimo da dobijemo i koja je zahtevana tačnost
METOD KONAČNIH ELEMENATA 9
1D (linijski) matematički model
METOD KONAČNIH ELEMENATA 10
Cilj analize:
1. M =?
2. T=?
3. vA = ?
Pretpostavka: Euller-Bernoulli-eva greda
Diferencijalna jednačina?
Granični uslovi?
Da li matematički model možemo rešiti analitički?
1D (linijski) matematički model
Pitanja:Pouzdanost? Efikasnost? Koncentracije napona? Uticaji u ostalim delovima?Odgovor: Složeniji matematički model – 2D
METOD KONAČNIH ELEMENATA 11
2D matematički model
METOD KONAČNIH ELEMENATA 12
u = v = 0
00
nt
n
00
nt
n
0
nt
n p
Numerički model‐MKE
METOD KONAČNIH ELEMENATA 13
Da li možemo da rešimo ovaj matematički model analitički?
TEŠKO!
NUMERIČKI POSTUPAKMKE
Fizički model (realna konstrukcija)
Matematički model(Diferencijalne jednačine
+Granični uslovi)
Numerički model
(MKE)
Numerički model ‐ MKE
METOD KONAČNIH ELEMENATA 14
Geometrijski model Numerički model – MKE
Algoritamski koncept MKE
METOD KONAČNIH ELEMENATA 15
1. Korak – DiskretizacijaMatematički (geometrijski model) se pomoćuzamišljenih linija (površi) deli na podddomene –KONAČNE ELEMENTE koji su međusobno povezani uČVOROVIMA
K. e.
čvor
Greške diskretizacije?
Preprocesing
Algoritamski koncept MKE
METOD KONAČNIH ELEMENATA 16
2. Korak – Opis ponašanja svakog konačnog elementa Definisanje polja pomeranja – Interpolacione funkcije
Osnovna relacija u MKE:
3. Korak – Opis ponašanja sistema “Assembling”:
e e eK q Q
Kq Q
Algoritamski koncept MKE
METOD KONAČNIH ELEMENATA 17
4. Korak – Rešavanje sistema jednačina (određivanje nepoznatih u čvorovima)5. Korak ‐ Određivanje uticaja u elementima (pomeranja, naponi, deformacije, ...) – postprocessing6. Korak – Analiza, verifikacija, kritički osvrt
Da se vratimo na primer ...
METOD KONAČNIH ELEMENATA 18
Pomeranja
Da se vratimo na primer ...
METOD KONAČNIH ELEMENATA 19
x
Da se vratimo na primer ...
METOD KONAČNIH ELEMENATA 20
y xy
Analiza rezultata
1D MATEMATIČKI MODEL
Maksimalni ugib
Normalni napon
2D MATEMATIČKI MODEL
Maksimalni ugib
Normalni napon
METOD KONAČNIH ELEMENATA 21
11.34 /
0.1706
11.10 /
Zaključak: Efikasnost 1D modela ogleda se u njegovoj jednostavnosti, tj. dopouzdanih rezultata se dolazi na jednostavan način, bez primenenumeričkog postupka i računara.
0.1429
Da rezimiramo....
Izbor matematičkog modela izmeđuostalog zavisi i od toga šta želimo dadobijemo kao rezultat analize. Najefikasniji je matematički model kojidaje pouzdane rezultate uz najmanji utrošakresursa, vremena i napora. Rešenje numeričkog modela je tačnoonoliko koliko je tačan matematički model.
METOD KONAČNIH ELEMENATA 22
Umesto zaključka...
METOD KONAČNIH ELEMENATA 23
Fizički model
Matematički model
Numerički model
Progušćenje mreže, promena tipa k.e., ...
Kraj!Da
Ne
Promena fizičkog modela
Zadovoljni dobijenim rezultatima? Promena
matematičkog modela