uvod u mehaniku tla - grad.unizg.hr · traže numeričkim postupcima, kao što je na primjer metoda...

Mehanika tla i stijena str. 1

Vlasta Szavits-Nossan 11. predavanje

SLIJEGANJE PLITKIH TEMELJA

1. Uvod

Iz razloga ekonomičnosti plitke temelje treba ih oblikovati štedljivo, ali da još uvijek

dovoljno sigurno zadovolje bitne uvjete svoje namjene. Najvažniji među tim uvjetima je

ograničenje pomaka izazvanih opterećenjem konstrukcije, a uvjetovanim krutošću temeljnoga

tla.

Zbog prevladavajućeg vertikalnog trajnog opterećenja građevinskih konstrukcija, koje

izaziva i prevladavajuće vertikalne pomake temelja, najveća se pozornost posvećuje

određivanju upravo vertikalnih pomaka temelja. Ti se vertikalni pomaci nazivaju slijeganjem.

Tako je proračun slijeganja temelja prisutan gotovo u svakom građevinskom projektu.

Iako je proračun slijeganja u praktičnoj provedbi relativno jednostavan, pouzdanost

prognoze slijeganja temelja u praksi je često problematična. Osnovni razlog toj

problematičnosti obično nisu neminovna pojednostavljenja izazvana idealizacijom problema

koji se rješava, već nepouzdanost u utvrđivanju profila tla sa svim njegovim geometrijskim

karakteristikama kao i nepouzdanost u određivanju parametara mehaničkih svojstava tla koji

bi trebali biti dovoljno vjerna slika mehaničkih svojstva realnog tla na razmatranoj lokaciji

buduće građevine. Izvori tih nepouzdanosti su brojni i sežu od prirodne heterogenosti tla,

koju je ponekad teško detaljno utvrditi, preko sastava i svojstava tla, koji ograničavaju

tehnološke postupke za njihovo utvrđivanje, zatim financijskih i vremenskih ograničenja

nametnutih posebnostima svakog građevinskog zahvata, pa do našeg još uvijek ograničenog

znanja o nekim bitnim vidovima ponašanja nekih vrsta tla. Razumno sagledavanje ovog

stanja nameće potrebu da se predviđanju slijeganja temelja u praksi pristupi odmjereno:

preciznost postupka proračuna slijeganja prilagoditi razumnoj mogućnosti određivanja

mehaničkih svojstava tla na svakoj pojedinoj lokaciji, a određivanju mehaničkih svojstava tla

pridati najveću moguću pozornost.

2. Primjena teorije elastičnosti u mehanici tla

Tradicionalno se u mehanici tla za proračun slijeganja temelja koriste rješenja teorije

elastičnosti. Osnovna je zadaća teorije elastičnosti rješavanje elastičnih diferencijalnih

jednadžbi za zadane rubne uvjete. Za neke jednostavnije slučajeve rubnih problema nađena

su analitička rješenja, dok se za složenije slučajeve koristi princip superpozicije ili se rješenja

traže numeričkim postupcima, kao što je na primjer metoda konačnih elemenata. Princip

superpozicije praktički se svodi na to da je rješenje za dva različita opterećenja istog



elastičnog tijela s istim rubnim uvjetima pomaka jednako zbroju rješenja za svako

opterećenje posebno. Mnoga su rješenja složenijih problema tako dobivena iz poznatih

rješenja nekoliko temeljnih rješenja. Jedno takvo temeljno rješenje, od posebne važnosti u

mehanici tla, je Boussinesqovo rješenje (Boussinesq 1885) za vertikalnu koncentriranu silu

na površini linearno elastičnog izotropnog i homogenog poluprostora. Elastični poluprostor

je elastično tijelo s jedne strane omeđeno horizontalnom ravninom, a neprekidno u svim

ostalim smjerovima. Taj poluprostor može poslužiti kao idealizacija tla na terenu s

horizontalnom površinom. U okviru linearne teorije elastičnosti, poluprostor može biti

izotropan, kad su svojstva elastičnog materijala u svim smjerovima jednaka, a može biti i

homogen, kad su mu mehanička svojstva u svim točkama tijela jednaka.

Opterećenje na površini deformira elastični poluprostor i u njemu izaziva dodatna

(dodatna u odnosu na moguća postojeća naprezanja od već postojećeg opterećenja)

naprezanja. Slika 9-1 prikazuje jedan takav primjer. Temeljna traka širine B jednoliko

opterećuje temeljno tlo opterećenjem p. Pretpostavlja se da je temeljno tlo homogen i

izotropan linearno elastičan poluprostor. Na horizontalnim presjecima kroz poluprostor

amplituda dodatnog vertikalnog naprezanja y pada, a njegova se raspodjela širi, što je

presjek dublje od površine. To je tipično za raspodjelu dodatnih naprezanja u poluprostoru od

površinskog opterećenja. Približno se ova pojava može opisati „širenjem“ dodatnog

vertikalnog naprezanja po osnovicama zamišljenih piramida, čije su stranice nagnute pod

nagibom V:H=2:1. Prosječno dodatno vertikalno naprezanje na osnovici zamišljene piramide,

na promatranoj dubini, jednako je opterećenju na površini p podijeljenom s površinom

osnovice piramide.

Slika 9-1. Raspodjela vertikalnih dodatnih naprezanja y / p na horizontalnim presjecima poluprostora od

jednolikog opterećenja na trakastoj površini (opterećenje i naprezanja prikazana su u istom mjerilu)

Drugi način prikaza „širenja“ normaliziranih dodatnih vertikalnih naprezanja u dubinu i

širinu linearno elastičnog izotropnog i homogenog poluprostora ilustriraju slike 9-2 i 9-3, za

jednoliko opterećenu trakastu plohu i rezultantno linijsko opterećenje (slika 9-2) te za

jednoliko opterećenu kvadratnu plohu i rezultantnu koncentriranu silu (slika 9-3), na površini

poluprostora. Iz ovih se slika, bez obzira što se odnose samo na jednu od šest komponenti

dodatnih naprezanja, mogu izvesti sljedeći zaključci:

Dodatno se naprezanje širi u širinu i dubinu elastičnog poluprostora. Pri tome mu

veličina pada s porastom udaljenosti od njegova izvora na površini poluprostora.



Dodatna naprezanja od opterećenja temeljne trake, odnosno linijskog opterećenja na

površini poluprostora manje opadaju s dubinom od naprezanja izazvanih

opterećenjem na kvadratnoj plohi, odnosno od koncentrirane sile.

Slika 9-2. Linije jednakih dodatnih vertikalnih naprezanja y / p ispod jednolikog normalnog opterećenja

na trakastoj površini širine B (desno) i ispod rezultantnog linijskog opterećenja (lijevo) na površini linearno

elastičnog izotropnog i homogenog poluprostora



Slika 9-3. Linije jednakih normaliziranih dodatnih vertikalnih naprezanja y / p ispod jednolikog

normalnog opterećenja na kvadratnoj površini širine B (desno) i ispod rezultantne koncentrirane sile

(lijevo), na površini linearno elastičnog izotropnog i homogenog poluprostora

Većina projektnih profila tla u prirodi karakterizira uslojenost pa se ne može opisati kao

homogeni poluprostor. Međutim, istraživanja su pokazala da, za mnoge praktične slučajeve,

uslojenost najviše utječe na raspodjelu deformacija, a time i na pomake, dok je njen utjecaj na

raspodjelu dodatnih naprezanja često moguće zanemariti. Ovaj zaključak najviše doprinosi

praktičnoj primjeni teorije elastičnosti u mehanici tla.



3. Neka osnovna rješenja teorije elastičnosti za homogeni i izotropni poluprostor

U prikazima koji slijede, koriste se Kartezijev i cilindrični koordinatni sustav, kako prikazuje

slika 9-4.

y

y

x

r

z

O

re

ye

e

r

Slika 9-4. Kartezijev (x, y, z) i cilindrični (r, , y) koordinatni sustav te jedinični vektori (er, e, ey) cilindričnog

sustava

Jedno od temeljnih rješenja teorije elastičnosti je ranije spomenuto Boussinesqovo

rješenje za koncentriranu vertikalnu silu na površini linearno elastičnog, homogenog i

izotropnog, elastičnog poluprostora. Pripadne izraze za naprezanja i pomake (sy i sr) prikazuje

slika 9-5. Rješenje ima singularnu točku na mjestu djelovanja koncentrirane sile gdje

naprezanja i pomaci teže u beskonačnost.

Integracijom Boussinesqovog rješenja po raznim konturama na površini poluprostora, a

koristeći princip superpozicije, dobivena su mnoga druga praktična rješenja. Tako je

prikazano rješenje za linijsko vertikalno opterećenje na površini poluprostora (slika 9-6), za

opterećenje kružnog temelja (slika 9-7) i za opterećenje pravokutnog temelja (slika 9-8).

Koncentrirana sila V

y

r

2 2R r y

R

( , )r y

V

3

5

2

2 3

2

2

5

2

y2

2

32

3 (1 2 )2

(1 2 )2

32(1 )

2(1 )2

(1 ) (1 2 )2

yy

rr

ry

r

VyRV r y RR R R y

V R yR R y R

VryR

V ys

ER R

V ry rs

ER R R y

Slika 9-5. Boussinesqovo rješenje za koncentriranu vertikalnu silu na površini linearno elastičnog, izotropnog i

homogenog poluprostora (Boussinesq 1885)



Linijsko opterećenje p

(sila po jedinici dužine)

y

x

2 2R x y

R

( , )x y

p

3

4

2

4

2

2

4

12

2

max2

2

2

2

2

2(glavno naprezanje u smjeru )

0 (glavno naprezanje okomito na )

yy

xx

zz

xy

pyRpx yRp yRpxyRpy

RR

R

pyR

Slika 9-6. Rješenje za linijsko vertikalno opterećenje na površini linearno elastičnog, izotropnog i homogenog

poluprostora

Kružno opterećenje p (sila po jedinici površine)

y

r

2a D p

y

A

ispod središta kružnog opterećenja ( 0r ):

3/22

2

1/22

3

3/22

2 2

2

( / )1

1 ( / )

2(1 )( / )(1 2 )

1 ( / )

( / )2

1 ( / )

2 (1 )1 / /

/1

2(1 ) 1 /

za / 0

yy

rr

y

y ap

y a

y a

y apy a

y a

pas y a y a

E

y a

y a

y a22 (1 )

: ypa

sE

Slika 9-7. Rješenje za vertikalno jednoliko opterećenje na kružnoj plohi na površini linearno elastičnog,

izotropnog i homogenog poluprostora za točke ispod središta kružne plohe

Treba uočiti da je na slici 9-7, za y = 0, vertikalni pomak

2y (1 )pD

sE

(9.1)

Na osnovi izraza (9.1), vertikalni pomak ispod središta jednoliko opterećenog kružnog

temelja (za y > 0) može se izraziti u obliku



2y sy(1 )pD

s IE

(9.2)

gdje je Isy utjecajni koeficijent za slijeganje. Prikaz tih utjecajnih koeficijenata, za tri

vrijednosti Poissonovog koeficijenta, dan je na slici 9-8.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

norm alizirani vertikalni pom ak točke A , Isy = (sy /D ) (E /p) [1/(1 -

10

1

0.1

0.01

2

3

5

0.2

0.3

0.5

0.02

0.03

0.05

no

rma

liz

ira

na

du

bin

a,

y /

D

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

10

1

0.1

0.01

Slika 9-8. Utjecajni koeficijent Isy za proračun vertikalnih pomaka ispod središta jednoliko opterećene kružne

plohe na površini linearno elastičnog, izotropnog i homogenog poluprostora



Pravokutno

opterećenje p (sila po

jedinici površine)

y

x

p

y

blz

ispod vrha pravokutnika ( 0x , 0z ): 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2

(1 2 )arctan

2 (1 )( ) 1 1

arctan2 ( ) 1 1

1 12(1 2 ) arctan arctan

2 (1 ) 12

yy

xx

zz

p mn m n m

n m n m n n m nmn m

p m n m n n m n

m n

m mn

mn

p n m

2 2

2 2

2 2

2

2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1arctan

1(1 2 ) arctan arctan

1 1

2 (1 ) 1

1 1

2 1 ( ) 1

11 1

2

yz

xy

xz

n m n

mn

m m nm

n

pn m

n m n n m n

pnn n m n m n

n n n

p n m n 2 2

2 2

2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 1(1 2 ) ln ln

11 2

(1 )( )1

1 (1 1 ) ( 1 )ln

2 (1 )( )

arctan , / , /2 1

za 1 i 0 : 0,561

y

m

m

y

m nn n m n

n n n m npb

s A BE

m n m m nA

n m nn m

B m l b n y bn m n

m n s2(1 )pb

E

Slika 9-9. Rješenje Newmarka (1935) i Steinbrennera (1934) za raspodjelu naprezanja i pomaka ispod vrha

pravokutne plohe na površini linearno elastičnog, izotropnog i homogenog poluprostora opterećenog

jednoliko rasprostrtim vertikalnim opterećenjem (prema Poulos i Davies 1974).

Rješenje Newmarka i Steinbrennera za proračun dodatnih vertikalnih naprezanja ispod

vrha pravokutne plohe (slika 9-9), može se prikazati u obliku dijagrama sa slike 9-10, za koji

se koristi izraz

y p I (9.3)

gdje je I utjecajni koeficijent za vertikalna naprezanja, prikazan na apscisi slike 9-10.



Slika 9-10. Utjecajni koeficijent za dodatno vertikalno naprezanje ispod vrha pravokutne plohe

odnosa stranica , na površini linearno elastičnog, izotropnog i homogenog poluprostora opterećenog

jednolikim vertikalnim opterećenjem (Steinbrenner 1934, Newmark 1935, Poulos i Davies 1974, Milović

1974)

Rješenje Newmarka i Steinbrennera za dodatna naprezanja ispod vrha pravokutne plohe

na površini elastičnog, izotropnog i homogenog poluprostora, može poslužiti za proračun

dodatnih naprezanja ispod bilo koje druge točke na površini temeljnoga tla. Pri tome se

koristi princip superpozicije, kako prikazuje slika 9-11.

A A A

AA

I

II

III

IV

I II III IV( ) ( ) ( ) ( ) ( )A A A A Af y f y f y f y f y

( )a

aa

b b

cc

dd

A

( )b

AA

AA

I

II

III

IV

aa

b

b

c

cdd

I II III IV( ) ( ) ( ) ( ) ( )A A A A Af y f y f y f y f y

Slika 9-11. Superpozicija rješenja za pravokutna opterećenja na površini elastičnog poluprostora, za određivanje

dodatnih naprezanja

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

I

10

1

0.1

20

30

50

2

3

5

0.2

0.3

0.5

0.05

y/b

10

1

0.1

20

30

50

2

3

5

0.2

0.3

0.5

0.05

y/b

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

0.2

0.5 1

l/b = 0

.1

2

5

10



Za proračun vertikalnih pomaka ispod vrha pravokutnog opterećenja prema rješenju

Newmarka i Steinbrennera, kao i za kružni temelj, može se koristiti izraz (9.2), s tim da se u

izrazu (9.2) promjer kružnog temelja D zamijeni stranicom pravokutnika b. Za ovaj su slučaj

utjecajni koeficijenti Isy prikazani na slici 9-12.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

normalizirani vertikalni pomak točke A, Isy = (sy /b)(E/p)[1/(1 -

100

10

1

0.1

0.01

20

30

50

2

3

5

0.2

0.3

0.5

0.02

0.03

0.05

norm

aliz

iran

a dub

ina,

y/b

(-)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

100

10

1

0.1

0.01

20

30

50

2

3

5

0.2

0.3

0.5

0.02

0.03

0.05

odnos stranica, l/b = 1 2 3 5 10 20

y

x

p

y

blz

A

Slika 9-12. Utjecajni koeficijent Isy za proračun vertikalnih pomaka ispod vrha pravokutne plohe na površini

linearno elastičnog, izotropnog i homogenog poluprostora opterećenog jednolikim vertikalnim

opterećenjem prema rješenju Newmarka (1935) i Steinbrennera (1934) (Poulos i Davies 1974, Milović

1974)



4. Proračuni slijeganja

4.1. Tradicionalni proračun slijeganja

Tradicionalni proračun slijeganja temelji se na već spomenutoj postavci o približnoj

jednakosti raspodjele dodatnih naprezanja u homogenom i u nehomogenom tlu. Deformacije i

slijeganja se tada računaju iz raspodjele dodatnih naprezanja koristeći odnose deformacija i

naprezanja i odgovarajuće parametre krutosti pojedinog sloja u profilu tla.

Raspodjela vertikalnih normalnih deformacija po dubini ispod točke 0 0( , )x y dobije se iz

izraza

y

y

ds

dy (9.4)

gdje je ys vertikalni pomak promatrane točke.

Prema teoriji elastičnosti je

y y x z

1( ) ( ) ( ( ) ( ))

( )y y y y

E y (9.5)

gdje se dodatna efektivna naprezanja računaju da su (nakon što eventualan višak tlaka vode

padne na nulu) jednaka ukupnim dodatnim naprezanjima.

Tada je slijeganje površine terena jednako

y y y x z

0 0

1( 0) ( ) ( ) ( ( ) ( ))

( )s y y y y y dy

E y (9.6)

Ovaj se integral obično integrira numerički i to do dubine iza koje je utjecaj deformacije

dubljih slojeva zanemariv, koja se obično zove utjecajnom dubinom. Ta dubina iznosi obično

nekoliko širina temelja na površini poluprostora, a jedan od uobičajenih kriterija je i dubina

na kojoj dodatno vertikalno naprezanje bude manje od, recimo, 10% efektivnog vertikalnog

naprezanja na toj dubini, tj. do dubine d za koju vrijedi y y0/ 0,1 . U tom slučaju

(9.6) postaje približno

y y x z

0

1( 0) ( ) ( ( ) ( ))

( )

d

s y y y y dyE y

(9.7)



Izraz (9.7) u praksi se još pojednostavljuje zanemarivanjem utjecaja dodatnih bočnih

naprezanja (ili pretpostavkom da je Poissonov koeficijent 0 ), u kojem slučaju Youngov

modul E poprima vrijednost edometarskog modula oedE pa dobijemo

y

yoed0

( )( 0)

( )

dy

s y dyE y

(9.8)

Ovaj posljednji izraz uobičajeno se koristi u geotehničkoj praksi. Osim prednosti zbog

svoje jednostavnosti, ovaj pristup ima, međutim, niz mana. Među glavnima su zanemarivanje

bočnih deformacija i nemogućnost proračuna trenutačnog slijeganja u nedreniranim uvjetima.

Metoda opisana u sljedećem poglavlju uklanja oba ova nedostatka bez potrebe za složenijim

proračunima.

4.2. Metoda Maynea i Poulosa

Metoda Maynea i Poulosa (Mayne i Poulos 1999) uvažava prihvatljivo pojednostavljenje da

je raspodjela naprezanja u nehomogenom tlu približno jednaka raspodjeli u homogenom

poluprostoru. Budući da to ne vrijedi za deformacije, nehomogeno se tlo podijeli na n

homogenih slojeva. Za vertikalno slijeganje yis , i-tog od ukupno n slojeva u profilu tla tada

vrijedi

yi ygi ydis s s (9.9)

gdje je ygis vertikani pomak točke na gornjoj granici, a ydis vertikalni pomak točke na donjoj

granici i-tog sloja. Ove se veličine, za drenirano i nedrenirano stanje, mogu izračunati za

točke ispod središta kružne plohe promjera D, opterećene vertikalnim jednolikim

opterećenjem prema izrazu (9.2)

2i

yi syi

1

i

s p D IE

(9.10)

gdje je

syi sygi sydiI I I (9.11)

a sygiI i sydiI su utjecajni koeficijenti za slijeganje točke na gornjoj, odnosno donjoj granici

sloja. Raspodjelu veličina syI po dubini za kružnu plohu opterećenu vertikalnim jednolikim

opterećenjem prikazuje slika 9-8. Za pravokutnu plohu opterećenu vertikalnim jednolikim

opterećenjem, promjer kružnog temelja D iz izraza (9.10) treba zamijeni stranicom

pravokutnika b, a slika 9-12 prikazuje odgovarajuću raspodjelu veličina syI po dubini. Ako



se slojevi počnu brojati od najveće dubine prema površini tla, tada je za najdublji sloj i = 1,

kojemu je donja granica niži potpuno kruti sloj ili daleka granica poluprostora, pa vrijedi

sydi 0I .

Ukupno slijeganje točke na površini nehomogenog poluprostora dobije se kao zbroj

deformacija svih n slojeva u profilu tla

2i

y yi syi1 1

1( 0)

n n

i i i

s y s p D IE

(9.12)

U izrazu (9.12) treba uvrstiti odgovarajuće elastične efektivne ili nedrenirane parametre tla.

Mayne i Poulos pokazuju da se ovaj izraz za kružni temelj može, uz prihvatljivo malo

odstupanje, koristiti i za temelje općeg oblika ako se umjesto promjera D uzme

4A

D (9.13)

gdje je A površina osnovice temelja.

Reference

Boussinesq, J. (1885). Application des potentiels a l'étude de l'équilibr et du mouvement des solides élastiques.

Gauthier-Villars, Paris.

Kany, M. (1964). Baugrundverformungen infolge waagerechter Schubbelastung der Baugrundoberfläche. Die

Bautechnik, Heft 10, Berlin.

Mayne, P. W., Poulos, H. G. (1999). Approximate dispalcement influence factors for elasic shallow foundations.

Journ. Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, Vol. 125, No. 6, 453-460.

Milović, M. D. (1974). Analiza napona i deformacija u mehanici tla. Institut za građevinarstvo SAP Vojvodine,

Subotica.

Poulos, H. G., and Davis, E. (1974). Elastic solutions for soil and rock mechanics. Wiley, New York.

uvod u mehaniku tla - grad.unizg.hr · traže numeričkim postupcima, kao što je na primjer metoda...

Documents