metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. prilikom rješavanja vodi se računa o...

Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje

155

RAVNO NAPONSKO I RAVNO DEFORMACIONO STANJE

555

5.1. Uvod U ovom poglavlju se razmatraju dvodimenzionalni (ravni) konačni elementi. To su takvi elementi kod kojih dvije koordinate definiraju položaj tačke na površini elementa. Elementi su spojeni u čvorovima i duž ivica i tako predstavljaju kontinuiranu strukturu. U procesu diskretizacije nekog ravnog problema cijeli domen se podijeli na konačne elemente kako bi se izvršila neka analiza (npr. napona). Čvorovi u kojima se vežu elementi moraju zadovoljavati uslove kompatibilnoti. Za izabrane funkcije pomjeranja mora se osim kompatibilnosti u čvorovima zadovoljiti i kompatibilnost duž stranica. Dvodimenzionalni elementi su izuzetno važni u analizi napona i obuhvataju npr. probleme ploča sa otvorima ili promjenom geometrije sa opterećenjem u ravni elementa. Rezultat djelovanje opterećenja takvih struktura su lokalne koncentracije napona. Dvodimenzionalna analiza pomjeranja uključuje probleme dvodimenzio-nalnih struktura izloženih djelovanju ravnomjernog opterećenja koje dovodi do pozitivnih ili negativnih pomjeranja. Matrice krutosti se postavljaju za dvodimenzionalne ravanske konačne elemente oblika trougla. Najjednostavniji sa aspekta dobivanja matrice krutosti je trokutni konačni element sa konstatnim pomjeranjem (CST). Matrica krutosti ovog elementa može de dobiti korištenjem principa minimuma potencijalne energije. Minimum potencijalne energije je najlakši način za dobivanje jednačina za dvodimenzionalne elemente.


156

5.2. Najvažniji koraci u postavljanju jednačina ravnog trokutnog elementa

Prije postavljanja jednačina za trokutni konačni element treba dati i osnovne jednačine za ravno stanje napona i ravno stanje deformacija kako bi kasnije analize imale kontinuitet i jasnoću. Ravno naponsko stanje definira se kao naponsko stanje u kome su normalni i tangencijalni naponi okomiti na ravan elementa jednaki nuli. To se može pokazati na primjerima, slika 5.1.

Slika 5.1. Ravni problemi Ako djeluje istežuća sila F kako je prikazano na slici 5.1a) i b), tada su normalni napon z i tangencijalni naponi xz i yz jednaki nuli. U opštem slučaju ploče su tanke, odnosno zanemarljive debljine z. Ravno deformaciono stanje predstavlja takvo stanje deformacija u kome su normalna deformacija z i klizanja xz i yz jednaka nuli.

y

x

F

a)

b)

x

y

F F


157

Ravne deformacije za tijela znatne dužine u z pravcu koja imaju konstantan poprečni presjek ne mijenjaju se u z pravcu, ako opterećenje djeluje u x i y pravcu, slika 5.1.b. Dvodimenzionalno stanje napona i deformacija i veza između napona i deformacija su potrebni kako za razumijevanje tako i za postavljanje matrice krutosti ravnog trokutog konačnog elementa. Na slici 5.2. prikazan je ravni element dimenzija dx i dy sa normalnim x i y i tangencijalnim xy naponima.

Slika 5.2. Naponsko stanje dvodimenzionalnog elementa Ravno naponsko stanje na slici može se definirati vektorom napona:

xy

y

x

(5.1)

Naponi se mogu izraziti preko pomjeranja čvorova. Ako su poznata pomjeranja čvorova mogu se izračunati i naponi. Glavni naponi dati su izrazima (5.2) za ravno stanje napona:

y

y yx

xy

xy

yx

x x dy

dx


158

min2xy

2

yxyx2

max2xy

2

yxyx1

22

22

(5.2)

Glavni ugao definira položaj glavnih pravaca i dat je izrazom (5.3)

yx

xy22tg

(5.3)

U ravnima u kojima djeluju glavni normalni naponi tangencijalni naponi jednaki su nuli, slika (5.3)

Slika 5.3. Glavni normalni napon

Slika 5.4. Ravne deformacije

x 2

2 1

1

dy

dx

dyy

u

dxx

v


159

Na slici 5.4 prikazane su deformacije elementarnog pravougaonika u x y ravni i to:

x

v

y

v

y

v

x

uxyyx

,, (5.4)

x i y su linearne deformacije uzdužne ili poprečne, a xy je klizanje. Izraz za ravno stanje deformacija dat je u obliku:

xy

y

x

(5.5)

Veza između deformacija i pomjeranja data je izrazima (5.4). Za ravno stanje napona uzima se da je: 0yzxzz (5.6)

Za naponsko-deformaciono stanje kod koga je xy = yx = 0 i z 0, napon u ravni je dat izrazom (5.7): D (5.7) gdje je:

2

100

01

01

1 2

ED (5.8)

Matrica D zove se veza između napona i deformacija ili konstitutivna matrica. E je modul elastičnosti a Poissonov broj. Za ravno deformaciono stanje smatra se ono stanje kod koga je: 0yzxzz (5.9)


160

Za takvu vezu napona i deformacija kod koje su tangencijalni naponi nule xz = yz = 0 i z 0 konstitutivna matrica ima oblik (5.10):

2

2100

01

01

)21()1(

ED (5.10)

Slika 5.5. Slika ravne ploče opterećene na zatezanje i diskretizirane na konačne elemente oblika trokuta

Sve navedene relacije poznate su iz otpornosti materijala. Za analizu konačnim elementima posmatra se ploča opterećena na zatezanje, slika 5.5, diskretizira-izdijeli na dijelove oblika trokuta. Svi dijelovi su konačnih dimenzija, a ne beskonačno mali, pa se zovu konačni elementi. Čvorovi konačnog elementa su i, j, m. U podjeli ravnih struktura na konačne elemente, svakom čvoru pridružen je broj čvora. Svaki čvor trokutnog elementa ima dva stepena slobode, jedan u x a drugi u y pravcu. Pomjeranja se označavaju kao ui i vi . Za neki čvor "i" pomjeranja se mogu pisati u obliku:

i

ii v

ud (5.11)

a pomjeranja čvorova i, j, m su:

m

i jT T

y

x


161

m

m

j

j

i

i

m

j

i

v

u

v

u

v

u

dili

d

d

d

d (5.12)

Diskretizacija predstavlja prvi korak u metodu konačnih elemenata. Slijedeći korak je izbor funkcije pomjeranja u čvorovima. Funkcija pomjeranja bira se prema vrsti konačnog elementa. Za ravanski element oblika trokuta funkcija pomjeranja je linearna. Konačni elementi su spojeni po stranicama i u vrhovima. Linearna funkcija pomjeranja je dovoljna da omogući kontinuitet između elemenata. Funkcija pomjeranja zavisi od pomjeranja u čvorovima i piše se u obliku (5.13):

),(

),(

yxv

yxu (5.13)

Treći korak je postavljanje veza između deformacija i pomjeranja kao i veza napona i deformacija. To su izrazi (5.4) i (5.7) koji se postave uz odgovarajuću matricu D. Četvrti korak je dobivanje elemenata matrice krutosti i jednačina. Korištenjem principa o minimumu potencijalne energije dobije se osnovna matrica krutosti elementa i jednačine elementa u obliku: dkf (5.14) Princip minimuma potencijalne energije je bolji nego direktni metod. Direktni metod se koristi zbog pojašnjenja pošto je očigledan. U petom koraku dobije se ukupna matrica krutosti strukture ili globalna matrica krutosti korištenjem pomenutog direktnog metoda..

dKF


162

gdje je F ukupno opterećenje čvorova koje sadrži sva opterećenja svedena na čvorove. Matrica K je ukupna matrica strukture koja se sastoji od matrica pojedinih elemenata strukture. Slijedeći korak predstavlja određivanje pomjeranja u svim čvorovima strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije a poslije toga i naponi.

5.3. Matrica krutosti i jednačine ravnog konačnog trokutnog elementa

Diskretizacijom ravne ploče na trokutne konačne elemente dobiju se elementi sa čvorovima i, j, m čije su koordinate (xi, yi), (xj, yj) i (xm, ym).

Slika 5.6. Trokutni konačni element Pomjeranja čvorova data su vektorom:

m

m

j

j

i

i

v

u

v

u

v

u

d (5.15)

m(xm,ym

)

i(xi,yi) j(xj,yj)

x

y


163

Za svako pomjeranje izabere se funkcija pomjeranja u linearnom obliku:

u (x,y) = a1 + a2x + a3 y (5.16)

v (x,y) = a4 + a5x + a6 y Za ovu vrstu elemenata dovoljna je linearna funkcija da se obezbijedi kompatibilnost. To znači da će čvorne tačke na elementima čiji su to zajednički elementi imati isto pomjeranje kao i stranice koje spajaju takve elemente. Pomjeranje se može pisati u obliku:

6

5

4

3

2

1

654

321

1000

0001

y a x a a

y a x a a

a

a

a

a

a

a

yx

yx (5.17)

To bi za čvorove trokuta na slici 5.6 bilo:

jjm

jjj

iii

mmm

jjj

iii

yaxaav

yaxaav

yaxaav

yaxaau

yaxaau

yaxaau

654

654

654

321

321

321

(5.18)

ili u matričnom obliku:

3

2

1

1

1

1

1

a

a

a

yx

yx

yx

u

u

u

mm

j

ii

m

j

i

(5.19)

Za rješavanje šest jednačina (5.19) traži se šest koeficijenata a1 do a6

uxa 1


164

x-1 je inverzna matrica koja se određuje preko kofaktora:

mji

mji

mji

Ax

2

11 (5.20)

Determinanta od x glasi:

mm

jj

ii

yx

yx

yx

A

1

1

1

2 (5.21)

tj. 2A = xi (yj-ym) + xj (ym-yi) + xm (yi-yj). A je površina trokuta konačnog elementa, a kofaktori

ijm

jim

jijim

mij

imj

mimjj

jmi

mji

mjmji

xx

yy

xyyx

xx

yy

yxxy

xx

yy

xyyx

(5.22)


165

Koeficijenti ai mogu se napisati u obliku:

m

j

i

mji

mji

mji

u

u

u

Aa

a

a

2

1

3

2

1

(5.23)

m

j

i

mji

mji

mji

v

v

v

Aa

a

a

2

1

6

5

4

Nakon koeficijenata računa se pomjeranje u x pravcu u obliku funkcije pomjeranja u (x,y). Po istom postupku računa se i pomjeranje u y pravcu u obliku v (x, y). Pomjeranje u (x,y) dobije se na osnovu koordinata x i y čvornih tačaka i poznatih koeficijenata i j ... m . U opštem slučaju čvorna pomjeranja ui , uj , um su:

3

2

1

1

a

a

a

yxu (5.24)

a može se pisati i u obliku (5.25), (5.26) i (5.27)

m

j

i

mji

mji

mji

u

u

u

yxu

1 (5.25)

mmjjii

mmjjii

mmjji

uuu

uuu

uuu

yxA

u

1

12

1 (5.26)

mmmmjjjjiiii uyxuyxuyxA

yxu )()()2

1),( (5.27)

Po analogno provedenom postupku dobije se pomjeranje u y pravcu tj. v (x,y), izraz (5.28):


166

mmmmjjjjiiii vyxvyxvyxA

yxv )()()2

1),( (5.28)

Iz jednačina (5.27) i (5.28) mogu se napisati izrazi u obliku:

yxA2

1N

yxA2

1N

yxA2

1N

mmmm

jjjj

iiii

(5.29)

Funkcije Ni , Nj i Nm zovu se funkcije oblika. Pomjeranja izražena preko funkcija oblika su:

mmjjii

mmjjii

vNvNvNyxv

uNuNuNyxu

),(

),( (5.30)

a matrica pomjeranja:

mmjiii

mmjjii

vNvNvN

uNuNuN

yxv

yxu

),(

),( ili

m

m

j

j

i

i

mji

mji

v

u

v

u

v

u

NNN

NNN

000

000 (5.31)

U izrazu: dN . (5.32)


167

Matrica N je matrica čiji su članovi funkcije oblika, a d vektor pomjeranja. Funkcije oblika predstavljaju oblike kada se crtaju nad posmatranim elementom. Npr. Ni predstavlja oblik varijable "u" crtane nad površinom elementa. Za ui = 1, a za sve ostale stepene slobode je nula. To je uj = um = vi = vj = vm = 0. Odavde slijedi da u (x,y) mora biti ui, a Ni = 1 Nj = Nm = 0. Na slici 5.7 prikazana je promjena Ni nacrtane iznad površine posmatranog elementa. Funkcija Ni nije nula izuzev duž linije spajanja sa čvorovima j i m.

Slika 5.7. Promjena Ni iznad xy ravni Zbir Ni + Nj + Nm = 1 za bilo koji položaj na površini elementa. Nakon izračunavanja pomjeranja za svaki čvor treba odrediti i vektor deformacija. Za dvodimenzionalni element vektor deformacija dat je u obliku:

x

v

y

uy

vx

u

xy

y

x

(5.33)

Parcijalni izvodi pomjeranja u i v po x i y potrebni u jednačini (5.33) su:

mmjjii uNuNuNxx

u

1

i

m

j

x

y

Ni


168

mm

jj

ii u

x

Nu

x

Nu

x

N

x

u

(5.34)

Pokazano je da funkcija pomjeranja ui = ui (xi yi) ima konstantne vrijednosti, a isto se može zaključiti i za funkcije uj i um . Zato su njihovi izvodi po odgovarajućim pomjeranjima jednaki nuli. Na osnovu izraza (5.29) mogu se naći izvodi funkcija Ni , Nj i Nm .

A2

yxxA2

1

x

NA2

yxxA2

1

x

NA2

yxxA2

1

x

N

mmmm

m

jjjj

j

iiii

i

(5.35)

pa se na osnovu (5.34) i sličnog postupka za x

v

y

ui

y

v

dobije:

mmmmjjjjiiii

mmjjii

mmjjii

vuvuvuAx

v

y

u

vvvAy

v

uuuAx

u

2

1

2

12

1

(5.36)

U matričnom obliku:

m

m

j

j

i

i

mmjjii

mji

mji

v

u

v

u

v

u

A

000

000

2

1 (5.37)


169

m

j

i

mji

d

d

d

BBB (5.38)

gdje su:

mm

m

m

m

jj

j

j

j

ii

i

i

i AB

AB

AB

0

0

2

10

0

2

10

0

2

1 (5.39)

dB

gdje je: mji BBBB

Nakon izračunavanja deformacija mogu se izračunati naponi po izrazima:

xy

x

x

xy

y

x

D

(5.40)

dBDD (5.41)

5.4. Izračunavanje matrice krutosti primjenom principa minimuma potencijalne energije

Princip minimuma potencijalne energije se koristi za dobivanje jednačina trokutnog konačnog elementa. Polazi se od potencijalne energije koja je funkcija pomjeranja čvorova elementa. mjiipp vuvu ,...,, (5.42)

Ukupna potencijalna energija jednaka je zbiru potencijalne energije deformacije i potencijalne energije sila.


170

Up (5.43)

Potencijalna energija deformacije data je izrazom:

v

T

v

T dVDdVU 2

1

2

1 (5.44)

Potencijalna energija sila sastoji se od potencijalne energije koncentrisanih sila, površinski raspoređenih sila i sila sopstvene težine.

Pd Tp (5.45)

U izrazu 5.45 za potencijalnu energiju koncentrisanih sila P su spojašnje koncentrisane sile:

S

TS dST (5.46)

Izraz (5.46) predstavlja potencijalnu energiju površinski raspoređenih sila gdje je T vektor opterećenja po jedinici površine. Sile težine tijela imaju potencijalnu energiju:

v

Tb dVX (5.47)

gdje je funkcija pomjeranja a X težina tijela po jedinici zapremine ili specifična gustina. Ukupna potencijalna energija može se napisati u obliku:

dSTNdPddVXNd

dVdBDBd

T

S

TT

v

TT

v

TTp

2

1

(5.48)

Ukupno opterećenje koje djeluje na tijelo može se izdvojiti iz izraza (5.48) i napisati kao:


171

v S

TT dSTNPdVXNf (5.49)

u kome se pojavljuju sile težine, zatim koncentrisane sile i kontinuirano opterećenje. Potencijalna energija je tada:

v

TTTp fdddVBDBd

2

1 (5.50)

Parcijalni izvod potencijalne energije po pomjeranju je:

0

fddVBDB

d v

Tp (5.51)

v

T fddVBDB (5.52)

Veza između sila i pomjeranja u izrazu (5.52) data je matricom krutosti elementa:

v

T dVBDBk (5.53)

Ako je element iste debljine t, što je slučaj sa ravanskim elementima, može se pisati:

dydxBDBtkA

T (5.54)

Ako su deformacije konstantne može se pisati:

BDBAtk T (5.55) Matrica krutosti k je funkcija čvornih koordinata jer su B i A njihove funkcije.


172

Matrica D zavisi od osobina materijala definiranih karakteristikama E i . Matrica krutosti konačnog elementa može se napisati u obliku:

mmmjmi

jmjjji

imijii

kkk

kkk

kkk

k (5.56)

u kojoj su submatrice reda 2x2

AtBDB

AtBDB

AtBDB

k

k

k

mT

m

jT

j

iT

i

im

ij

ii

(5.57)

Matrica k je reda 6x6 tj. ima ukupno šest stepeni slobode pomjeranja, za svaki od tri čvora po dva pomjeranja. U izrazu (5.49), f predstavlja vektor čvornih sila i može se napisati kao

3

3

2

2

1

1

666261

262221

161211

3

3

2

2

1

1

...

...

...

v

u

v

u

v

u

kkk

kkk

kkk

f

f

f

f

f

f

y

x

y

x

y

x

(5.58)

Sile f zovu se konzistentne sile ako su dobivene po energetskom principu. Za elemente višeg reda, tj. one čija je funkcija pomjeranja kvadratna ili kubna parabola obavezno se koristi jednačina (5.58).

5.5. Globalna matrica krutosti Za dobivanje globalne matrice krutosti koristi se direktni metod. Ona se predstavlja izrazom:


173

N

e

kK1

(5.59)

gdje je: e broj elementa, a N ukupan broj elemenata. Matrica dKF (5.60) predstavlja vektor sila cijelog sistema i postavlja se u odnosu na globalni koordinatni sistem. Vektor d predstavlja vektor pomjeranja svih čvorova strukture. Često se jednačina (5.60) zove i jednačina strukture. Za razliku od izraza (5.59) i (5.60) koji su definisani u globalnim koordinatama prethodne (5.56), (5.57) i (5.58) jednačine su postavljene u lokalnim koordinatama. Veza lokalnih i globalnih koordinata data je matricom transformacije T u obliku:

CS

SC

CS

SC

CS

SC

T

0000

0000

0000

0000

0000

0000

(5.61)

gdje je C = cos i S = sin . Jednačina (5.60) u sebi sadrži nepoznata pomjeranja u čvorovima i ona se odrede iz sistema jednačina (5.60). Nakon što se odrede pomjeranja u svim čvorovima u x i y pravcu izračunaju se deformacije po izrazu (5.33) a zatim glavni naponi 1 i 2 prema izrazima (5.2).


174

PRIMJER 5.1

Treba odrediti matricu krutosti i napone trokutnog elementa prikazanog na

slici 5.8. Dato je 3,0,10202

6 cm

NE i debljina t = 1 cm. Neka su

pomjeranja u čvorovima: u1 = 0 v1 =0,001 u2 = 0,0005 v2 = 0 u3 = 0 v3 = 0,001 cm.

Slika 5.8. Ravna trokutna ploča U rješavanju zadatka kreće se od matrice krutosti elementa

BDBAtk T Prvo se izračunaju članovi matrica B i D i nađe transponovana matrica BT. Koeficijenti su:

202101

0002)1(1

220110

ijmjim

mijimj

jmimji

xxyy

xxyy

xxyy

x

y (0,1)

m=3

i=1 (0,-1)

j=2

(2,0)


175

122012

200020

010201

22

1000

000

2

1

mmjjii

mji

mji

AB

2,000

07,01

017,0

4,03,1

1020

2

2100

0)1(

0)1(

)21)(1(

6ED

122012

200020

010201

4

1

2,000

07,01

017,0

120

201

200

002

120

201

52,0

1020

4

21 6

k

43,14544,11924,124,19506,12696,7

544,11215,7848,3734,6696,7481

924,1848,3848,30924,1848,3

24,19734,60468,1324,19734,6

506,12696,7924,124,1943,14544,11

544,11215,7848,3734,6696,7481,0

106k


176

001,0

0,0

0,0

0005,0

001,0

0,0

122012

200020

010201

2,000

07,01

017,0

52,40

1020 6

dBD

xy

y

x

8462,3

6154,9

7308,6

103

MPa

MPa

MPa

z

y

x

46,38

15,96

3,67

Glavni naponi su prema (5.2) 1 = 122,802 MPa 2 = 42,648 MPa

5.6. Površinske sile i sile sopstvene težine Osim koncentrisanih sila na element djeluju sile sopstvene težine koje se zovu i gravitacione sile. One su date izrazom:

v

Tb dVXNf (5.62)


177

Vektor

b

b

Y

XX (5.63)

u kome su xb i yb gustine u x i y pravcu. Ako su gustine iste u svim čvorovima može se pisati:

3

At

y

x

y

x

y

x

f

f

f

f

f

f

f

b

b

b

b

b

b

bmy

bmx

bjy

bjx

biy

bix

b

(5.64)

Površinske sile date su izrazom:

S

Ts dSTNf (5.65)

gdje je: T površinsko opterećenje:

y

x

p

pT

px i py djeluju u pravcu osa x i y.

Slika 5.9. Ako opterećenje djeluje u pravcu ose x onda je:

p

y

x

1

a

L


178

,

o

pT a

3

3

2

2

1

1

0

0

0

0

0

0

N

N

N

N

N

N

N T (5.66)

N1, N2 i N3 se računaju po izrazima (5.29), a koeficijenti po izrazima (5.22). Ako su čvorovi označeni kao i = 1, j = 2 i m = 3, izračunaju se:

A

ayLxNiaL

A

xaLNiLLa

A

ayNia

20

2

)(0

200

3333

2222

1111

(5.67)

pa se može pisati:

02

0

0

02

)2/(22

2

2

apL

L

pL

a

aL

tfs (5.68)

ili


179

0

2/

0

0

0

2/

3

3

2

2

1

1

pLt

pLt

f

f

f

f

f

f

f

ys

xs

ys

xs

ys

xs

s (5.69)

5.7. Konačan oblik matrice krutosti Na osnovu izraza (5.55) za matricu krutosti

BDBtAk T uvrštavanjem matrica D i B dobije se konačan oblik matrice krutosti:

mmjjii

mji

mji

mm

mm

jj

jj

ii

ii

A

tEk

000

000

2

2100

010

01

0

0

0

0

0

0

)21)(1(4

(5.70)

PRIMJER 5.2 Tanka ploča (slika 5.9) izložena je djelovanju kontinuiranog opterećenja

T = 1000 N/cm2. Ploča je debljine t = 1 cm, a zadano je 2

61020cm

NE ,

= 0,3. Odrediti napone i deformacije ploče.


180

Slika 5.10 a) Tanka ploča; b) Diskretizirana ploča Prvi korak u rješavanju je diskretizacija ploče. Ploča se može podijeliti na 2 ili više elemenata, ali zbog prikazivanja postupka dovoljno je podijeliti na dva elementa. Odabere se koordinatni sistem i obilježe čvorovi elemenata i elementi. Opterećenje se rasporedi u čvorove i za svaki čvor je:

NF

ATF

5000

11010002

1

2

1

Ako se globalna matrica

dKF napiše u proširenom obliku:

1 cm

10 cm

20 cm T=1000 N/cm2

x

y

2

1

5000 N

5000 N

2 3

1 4


181

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

y

x

x

d

d

d

dK

d

d

d

d

d

d

d

d

KR

R

R

R

F

F

F

F

F

F

F

F

4

4

3

3

4

4

3

3

2

2

1

1

2

2

1

1

4

4

3

3

2

1

2

1

0

0

0

0

0

5000

0

5000 (5.71)

Matrica K ima dimenzije 8x8, jer ploča ima 4 čvora i svaki ima po dva pomjeranja. U čvorovima 3 i 4 djeluju sile u x pravcu, a u y pravcu nema sila dok su u osloncima 1 i 2 reakcije u oba pravca. Ukupna matrica krutosti dobije se na osnovu matrica krutosti pojednih elemenata. Element 1 određen je čvorovima 1, 3 i 2 čije su koordinate u globalnom sistemu i (0,0); j (20, 10); m (0, 10).

Slika 5.11. Element 1.

Površina trokuta 210010202

1

2

1cmhbA

.

Za računanje matrice krutosti elementa prema (5.55) prvo se odrede matrice B i D, pa je:

mmjjii

mji

mji

AB

000

000

2

1 (5.72)

j=3

x

y

m=2

i=1

1


182

odnosno koeficijenti matrice za problem koji se rješava su:

20020

000

20200

10100

10010

01010

ijm

mij

jmi

jim

imj

mji

xx

xx

xx

(5.73)

1020100020

20000200

01001000

200

1B (5.74)

Za ravno stanje napona matrica

2

100

01

01

1 2

E

D (5.75)

koja za konkretni slučaj ima oblik:

35,000

013,0

03,01

91,0

1020 6

D (5.76)

Matrica krutosti elementa 1 dobije se u obliku:

1020100020

20000200

01001000

200

1

35,000

013,0

03,01

91,0

1020

10200

20010

1000

0010

0200

2000

200

1001 6

k


183

čije je konačno rješenje:

i=1 j=3 m=2

435130356040070

1302407010060140

3570350070

601000100600

400600604000

701407000140

91,0

00050k (5.77)

Na isti način odredi se matrica krutosti elementa 2, a prema slici 5.12.

Slika 5.12. Element 2 Koordinate čvorova u globalnom koordinatnom sistemu su: i (0, 0); j (20, 0) m (20, 10), pa su koeficijenti:

20020

20200

02020

000

10010

10100

ijm

mij

jmi

jim

imj

mji

xx

xx

xx

(5.78)

0201020100

20020000

00010010

200

1B (5.79)

m=3

j=4 i=1

x

y 2


184

35,000

013,0

03,01

91,0

1020 6

D (5.80)

0201020100

20020000

00010010

200

1

35,000

013,0

03,01

91,0

1020

0200

2000

10200

20010

1000

0010

200

1001 6

k

400040060060

014070140700

400704351303560

6014013024070100

0703570350

600601000100

91,0

00050k (5.81)

Matrice krutosti elemenata 1 i 2 se prošire do reda veličine ukupne matrice krutosti tj. 8x8 pa je matrica krutosti elementa 1:

00000000

00000000

0070714014

000201220120

0071287268014

00142026481228

000128012800

001401428028

91,0

000250k (5.82)


185

Matrica krutosti elementa 2 1 2 3 4

8726801400712

26481228001420

801280000012

142802800140

00000000

00000000

7140140070

122012000020

91,0

000250k (5.83)

Ukupna matrica krutosti je: 1 2 3 4

8726801400712

26481228001420

8012870714026

14280481220260

0071287268014

00142026481228

7140268012870

12202601428048

91,0

000250K (5.84)

Jednačina strukture ima oblik:

y

x

y

x

y

x

y

x

d

d

d

d

R

R

R

R

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0

0

0

8726801400712

26481228001420

8012870714026

14280481220260

0071287268014

00142026481228

7140268012870

12202601428048

91,0

000250

0

5000

0

5000

(5.85)


186

Dodavanjem graničnih uslova neka pomjeranja postaju nula pa se piše:

y

x

y

x

d

d

d

d

4

4

3

3

87268014

26481228

8012870

1428048

91,0

000250

0

5000

0

5000

(5.86)

Nakon transponovanja i množenja dobije se vektor nepoznatih pomjeranja:

00878,0

05470,0

00034,0

05024,0

50

91,0

4

4

3

3

y

x

y

x

d

d

d

d

(5.87)

cm

d

d

d

d

y

x

y

x

6

4

4

3

3

10

8,159

5,999

2,6

4,914

(5.88)

Naponi se izračunaju korištenjem izraza: dBD (5.89) Za element 1 naponi su:

y

x

y

x

y

x

d

d

d

d

d

d

A

E

2

2

3

3

1

1

223311

231

231

2000

000

2

1

2

100

01

01

)1(

(5.90)


187

0

0

2,6

4,914

0

0

1020100020

20000200

01001000

35,010

013,0

03,01

20091,0

101020 66

(5.91)

2

3846,2

45,301

8,1004

1,9

1

7,21

2,2743

0,9144

cm

N

xy

y

x

(5.92)

Za element 2 naponi su:

y

x

y

x

y

x

d

d

d

d

d

d

A

E

3

3

4

4

1

1

334411

341

341

2000

000

2

100

01

01

2

1

)1(

(5.93)

2,6

4,914

8,159

5,995

0

0

0201020100

20020000

00010010

35,010

013,0

03,01

20091,0

101020 66

(5.94)

2

74,307

582,22

73,948

cm

N

xy

y

x

(5.93)


188

Glavni naponi se odrede prema (5.2)

MPacmN

MPacmN

xyyxyx

12,1/8744,111

38,10/0224,1038

22

22

21

2/1

2

2

2,1

metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. prilikom rješavanja vodi se računa o...

Documents