mestrado integrado em engenharia biomédica faculdade de...
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Slide 1 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
Un
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rsid
ad
e d
e C
oim
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Cap. 5-Transformada de Z
Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Universidade de Coimbra
Análise e Processamento de BioSinais
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Cap. 5-Transformada de Z
Tópicos:
Introdução
A Transformada de Z
Propriedades da Transformada de Z
Função de Transferência
Causalidade e Estabilidade
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Cap. 5-Transformada de Z
Introdução :A transformada de Z permite a caracterização de sinais e SLITs discretos no tempo.
A transformada de Z, em semelhança à DTFT, possui um conjunto de propriedades que são úteis na análise de sinais e SLITs.
Caracterizando um SLIT usando a transformada de Z, a saída de um sistema resulta da multiplicação da transformada de Z do sinal de entrada pela transformada de Z da resposta a impulso do sistema.
A transformada de Z é expressa de duas formas:
Unilateral – adequada para obter soluções de equações de diferenças com condições iniciais.
Bilateral – adequada para análise de estabilidade, causalidade e resposta em frequência de sistemas discretos.
A transformada de Z permite caracterizar funções próprias de um sistema. As funções são exponenciais complexas discretas no tempo.
Em análise de SLITs uma função própria corresponde a um sinal aplicado àentrada de um sistema que gera um sinal de saída correspondente àentrada, mas modificado por um escalar.
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Cap. 5-Transformada de Z
Transformada de Z :Se é um complexo que pode caracterizar um sinal
com uma exponencial complexa através de
A é um co-seno
exponencialmente amortecido
A é um seno
exponencialmente amortecido
Em ambos os casos um valor de determina o factor de amortecimento. Com o sinal é uma sinusóide.
Ω= jrez
[ ] ( ) ( )njrnrznx nnn Ω+Ω== sincos
Re nz
Im nz
[ ] nznx =
r[ ]nx1=r
Slide 5 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
Transformada de Z :A função própria
Considerando um SLIT com resposta a impulso e ao qual éaplicado um sinal de entrada
Definindo a função de transferência
Podendo ser expresso por
nz
[ ]nh[ ] n
znx =
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∞
−∞=
−=∗==k
knxkhnxnhnxHny
[ ] [ ] [ ]
== ∑∑
∞
−∞=
−∞
−∞=
−
k
kn
k
knzkhzzkhny
( ) [ ]∑∞
−∞=
−=k
kzkhzH
[ ] ( ) nnzzHrHny ==
Função PrópriaValor Próprio
[ ] ( ) ( ) nzjzezHny
φ=
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Cap. 5-Transformada de Z
Transformada de Z :Sendo
Como podemos reescrever a equação
O sinal de saída corresponde ao sinal de entrada
- Alterado em amplitude e fase
- Não é alterada a frequência do sinal, nem o factor de amortecimento
[ ] ( ) ( )( ) ( )( ) ΩΩΩ +Ω++Ω= jjnjrenjrenrreHny φφ sincos
Ωr
[ ] ( ) ( ) nzjzezHny
φ=
Ω= jrez
Slide 7 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
Transformada de Z :Representação da Transformada:
A função corresponde à DTFT do sinal . A DTFT inversa é
Sendo a integração só em , o valor de pode ser considerado constante e pois
Como varia de a , o valor de descreve um círculo
[ ] ( )∫−ΩΩ− Ω=
π
ππdereHrnh
njjn
2
1
[ ] nrnh
−
( ) [ ]∑∞
−∞=
−=k
kzkhzH ( ) [ ]( ) [ ]( )∑∑
∞
−∞=
Ω−−∞
−∞=
−ΩΩ ==n
njn
n
njjernhrenhreH
( )ΩjreH
[ ] ( )( )∫−ΩΩ Ω=
π
ππdrereHnh
njj
2
1
Ω= jrezΩ rΩ= Ω
djredzj
dzzdj
11 −=ΩΩ π− π z
[ ] ( )∫−= dzzzH
jnh
n 1
2
1
π
Slide 8 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
Transformada de Z :Representação da Transformada:
Considerando um sinal genérico a transformada de Z vem
Sendo a sua inversa dada por
Podendo ser este par expresso por[ ] ( )zXnx
z→←
Par da Transformada
[ ]nx
( ) [ ]∑∞
−∞=
−=n
nznxzX( ) [ ]∑
∞
−∞=
−=k
kzkhzH
[ ] ( )∫−= dzzzH
jnh
n 1
2
1
π [ ] ( )∫−= dzzzX
jnx
n 1
2
1
π
Slide 9 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
Transformada de Z :Convergência:
A condição necessária para a convergência da transformada de Z éa convergência do somatório
Sendo então a condição vem expressa por
A gama de valores de para a qual a transformada-Z converge designa-se região de convergência (ROC).
r
DTFS não convergente Transformada-Z é convergente
Vantagem!
( ) [ ]∑∞
−∞=
−=n
nznxzX
[ ] [ ] nnrnxznx
−− =
[ ]∑∞
−∞=
− ∞<n
nrnx
Slide 10 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
Transformada de Z :Plano complexo (plano-Z):
Se a transformada-Z é convergente então a transformada de Fourier discreta DTFT corresponde à transformada-Z com (no plano-Z corresponde ao círculo unitário).
O círculo unitário segmenta o plano-Z em duas partes (interior ao
círculo e exterior ao círculo).
A existência de pólos ou zeros numa destas partes é importante para a análise do comportamento do sistema
1=r( )zX
( ) ( ) Ω=
Ω = jez
jzXeX
Slide 11 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
Transformada de Z :Pólos e Zeros no plano-Z:
A razão entre dois polinómios em
é a forma mais comum da transformada-Z.
( )0
1
1
0
1
1
azaza
bzbzbzX
N
N
M
M
+++
+++=
−−
−−
L
L
( )( )
( )
11
11 0
1 11 0
1
1
1
MM
kkM
NN
N kk
b c zb z b z bX z
a z a z a d z
−− −=
− − −
=
−+ + += =
+ + + −
∏∏
%L
L Pólos
Zeros
Zero
Pólo0z zeros =
α=z pólos
1−z
00 abcom
Slide 12 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
Transformada de Z :Exemplo: Transformada-Z e um DTFT
Determine a transformada-Z do sinal
Use a transformada-Z para determinar a DTFT
Substituindo os valores obtemos
A DTFT é obtida pela substituição
[ ]
=
=−
=
−=
=
outros
n
n
n
n
nx
,0
2,1
1,1
0,2
1,1
( ) 212 −− +−+= zzzzX
[ ]nx( ) [ ]∑∞
−∞=
−=n
nznxzX
( ) Ω−Ω−ΩΩ +−+= 22 jjjjeeeeX
1, === ΩΩrcomrerez
jj
Slide 13 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
Transformada de Z :Exemplo: Transformada-Z e um Sinal Exponencial
Determine a transformada-Z do sinal e defina a respectiva região de convergência (ROC).
Substituindo os valores obtemos
Esta série converge se
[ ] [ ]nunxnα=
( ) [ ]∑∞
−∞=
−=n
nznxzX [ ] [ ]nunxnα=
( ) [ ] ( )∑∑∞
=
∞
−∞=
− ==0n
n
z
n
nnznuzX αα
αα >< zouz
,1
( ) ααα
>−
=−
=−
zz
z
zzX ,
1
11
0z zeros =
α=z pólos
Slide 14 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
Transformada de Z :Exemplo: Transformada-Z e um Sinal
Determine a transformada-Z do sinal e defina a respectiva região de convergência (ROC).
Substituindo os valores obtemos
Esta série converge se
[ ] [ ]1−−−= nunynα
( ) [ ]∑∞
−∞=
−=n
nznxzX
( ) [ ] ( ) ( ) ( )∑∑∑∑∞
=
∞
=
−
−∞=
∞
−∞=
− −=−=−=−−−=01
1
11k
kz
k
kz
n
n
z
n
nnznuzX αα
αα
αα << zouz ,1
( ) 1
11 ,
1
zY z z
z zα
α α−= − = <
− −0z zeros =
α=z pólos
[ ] [ ]1−−−= nunynα
Slide 15 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
Transformada de Z :Exemplo: Transformada-Z e um Sinal
Determine a transformada-Z do sinal e defina a respectiva região de convergência (ROC).
Substituindo os valores obtemos
Esta série converge se
[ ] [ ] ( ) [ ]12
1n
x n u n u n= − − − +
( ) [ ]∑∞
−∞=
−=n
nznxzX
( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑∑∞
=
∞
=
−
−∞=
∞
=
∞
−∞=
−− −+=−=−−−=00
21
1
1
0
21
21 11
k
k
n
n
z
n
n
z
n
n
z
n
nnnzznuznuzX
1,21 <> zz
( )
( )( )( )
1,1
2
1
11
1
1
21
21
23
1
21
<<−−
−=
−−+
−=
−
zzz
zz
zzzX 4
3,0z zeros == z
1, pólos21 == zz
[ ] [ ] ( ) [ ]nununxn
211 −−−−=
Slide 16 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
Transformada de Z :Transformadas de Z de um Sinal
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Cap. 5-Transformada de Z
Transformada de Z:As propriedades da transformada-Z
Sendo
As propriedades são similares às das transformada DTFT sendo uma das várias propriedades a da linearidade
e a convolução
Notar que a região de convergência (ROC) de um sinal composto por vários sinais pode ser maior que a intercepção das regiões de convergência (ROC) de cada sinal individual se os pólos e os zeros se cancelam na adição.
[ ] ( ) x
zRROCzXnx ,→← [ ] ( ) y
zRROCzYny ,→←
[ ] [ ] ( ) ( ) yx
zRRROCacomzbYzaXnbynax ∩+→←+ ,
[ ] [ ] ( ) ( )zYzXnynxz→←∗
Slide 18 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
Slide 19 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
Transformada de Z:Exemplo: Aplicação de Propriedades
Determinar a transformada-Z do sinal
Tendo em conta que é um real positivo.
Sendo
Reescrevendo
obtemos
[ ] ( ) [ ]nunanx n
0cos Ω=
a
[ ] [ ] ( ) azcomaz
zYnuanyzn >
−=→←=
−,
1
11
[ ]nx
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nyenyenuaenuaenxnjnjnnjnnj 0000
2
1
2
1
2
1
2
1 Ω−ΩΩ−Ω +=+=
[ ]
→←
αα
zXnx
zn
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
0 0
0 01 1
1
0
1 2 2
0
1 1 1 1 1 1
2 2 2 21 1
1 cos,
1 2 cos
j j
j jX z Y e z Y e z
ae z ae z
a zcom ROC z a
a z a z
− Ω Ω
Ω − Ω− −
−
− −
= + = +− −
− Ω= >
− Ω +
Slide 20 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
Transformada de Z:Exemplo: Cancelamento de Zeros e Pólos
Considerando
Determinar a transformada-Z do sinal
Os sinais têm as seguintes ROC
se
[ ] [ ] [ ] ( )( )( ) 2
321
23
21
,12
3
2
1<<
−−
−=→←−−
−
= zROC
zz
zzXnununx
z
nn
[ ] [ ] [ ] ( )( )( ) 2
1
21
41
41
,2
1
4
1>
−−
−=→←
−
= zROC
zz
zzYnununy
z
nn
[ ] [ ]nbynax +
[ ] [ ] ( )( ) ( )( )21
41
41
23
21 −−
−
−−− +→←+
zz
z
zz
zzbanbynax
ba =
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )
( )( )( )( )23
21
41
21
45
21
41
41
23
21
−−−
−−
−−
−
−−−
=
+=+
zzz
zz
zz
z
zz
z
a
azaYzaX
Slide 21 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
Transformada de Z:Exemplo: Cancelamento de Zeros e Pólos
Sendo
O zero em cancela o pólo em
Dando origem ao seguinte sinal
Que equivale a um alargamento da zona de convergência (ROC)
( ) ( )( )( )
23
41
45
−−
−=+
zz
zazaYzaX
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )
23
21
41
21
45
21
41
41
23
21 −−−
−−
−−
−
−−− =+=+
zzz
zz
zz
z
zz
z aazaYzaX
21=z 2
1=z
Slide 22 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
Transformada de Z:Transformada -Z Inversa
Sendo a transformada-Z expressa pela razão de dois polinómios em
com podemos inverte-la utilizando
Ou o par exterior à circunferência
Ou o par interior à circunferência
A ROC associada com determina a escolha do par interior ou exterior
NM <
( ) ( )( ) ∑
=−−
−−
−=
+++
+++==
N
k k
k
N
N
M
M
zd
A
azaza
bzbzb
zA
zBzX
11
01
0
1
1
1L
L
( ) [ ] k
k
kzn
kk dzROCzd
AnudA >
−→←
−,
1 1
( )zX
1−z
( ) [ ] k
k
kzn
kk dzROCzd
AnudA <
−→←−−−
−,
11
1
z
z
Slide 23 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
Transformada de Z:Exemplo: Transformada Inversa
Considerando o sinal
calcule a sua inversa da transformada de Z.
Usando a expansão em fracções parciais
e cuja região de convergência é
( )( )( )( )
21:,1211
1111
21
21
<<−−−
+−=
−−−
−−
zROCcomzzz
zzzX
( )( ) ( ) ( )
21,1211 1
3
1
2
1
21
1 <<−
+−
+−
=−−−
zROCz
A
z
A
z
AzX
( )( ) ( ) ( )
21,1
2
21
2
1
1111
21
<<−
−−
+−
=−−−
zROCzzz
zX
Slide 24 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
Transformada de Z:Exemplo: Transformada Inversa
e cuja região de convergência é
Combinando todos os termos
( )( ) ( ) ( )
21,1
2
21
2
1
1111
21
<<−
−−
+−
=−−−
zROCzzz
zX
( ) [ ] k
k
kzn
kk dzROCzd
AnudA >
−→←
−,
1 1
( ) [ ] k
k
kzn
kk dzROCzd
AnudA <
−→←−−−
−,
11
1
( ) [ ] exteriorlado,1
11
212
1
−−→←
znu
zn
( ) [ ] interiorlado,21
2122
1−−→←−−−
znu
zn
[ ] exteriorlado,1
22
1−−−→←−
znu
z
[ ] [ ] ( ) [ ] [ ]nunununxn
n
21222
1−−−−
=
Slide 25 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
A Função de Transferência :A saída de um SLIT está relacionada com o sinal à entrada do sistema pela convolução da resposta a impulso com o sinal de entrada
A função de transferência corresponde à razão entre a transformada-Z do sinal de saída e a transformada-Z do sinal de entrada.
Esta definição aplica-se para valores de z em que
Mas sabemos que sendo uma função própria de um SLIT
Então
o que permite determinar a função transferência mais facilmente.
[ ] [ ] [ ]nhnxny ∗= ( ) ( ) ( )zXzHzY =
( ) ( )( )zX
zYzH =
( ) 0≠zX
[ ] ( ) nnzzHzHny ==
[ ] nznx =
Slide 26 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
A Função de Transferência :Exemplo: Identificação Um Sistema (Designa-se identificação ao processo que permite expressar analiticamente o sinal de saída de um sistema em função de um sinal de entrada.)
Sendo a entrada de um SLIT e a sua saída dada por
Determinar a função de transferência e a resposta a impulso do sistema.
A transformada-Z do sinal de entrada e do sinal de saída são
( )( )
31,311
11
>+
=−
zROCz
zX
[ ] ( ) [ ]nunxn
31−=
[ ] ( ) [ ] ( ) [ ]nununynn
3113 +−=
[ ] ( ) [ ]nunxn
31−=
[ ] ( ) [ ] ( ) [ ]nununynn
3113 +−=
( )( )
( ) ( )( ) 1,3111
4
311
1
1
3
11
11
>−+
=
−+
+=
−−
−−
zROCzz
zzzY
Slide 27 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
A Função de Transferência :Exemplo: Identificação Um Sistema
Sendo a função de transferência dada por
A transformada inversa tem a resposta a impulso dada por
( )( )
31,311
11
>+
=−
zROCz
zX ( ) ( ) ( )( ) 1,3111
411
>−+
=−−
zROCzz
zY
( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( ) ( ) 1111
1
311
2
1
2
3111
3114−−−−
−
−+
+=
−+
+==
zzzz
z
zX
zYzH
Expansão em fracções parciais
[ ] ( ) [ ] ( ) [ ]nununhnn
31212 +−=
Slide 28 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
A Função de Transferência :Considerando uma equação de diferenças que relaciona a entrada com a saída
Se então a saída de um SLIT é . O que permite substituir e .
Podendo exprimir a função de transferência por
[ ] [ ]∑∑==
−=−M
k
k
N
k
k knxbknya00
( )∑
∑
=
−
=
−
=N
k
k
k
M
k
k
k
za
zb
zH
0
0
[ ]nx[ ]ny
[ ] nznx = [ ] ( )zHzny n=[ ] knzknx −=− [ ] ( )zHzkny kn−=−
( ) ∑∑=
−
=
− =M
k
k
k
nN
k
k
k
n zbzzHzaz00
Slide 29 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
A Função de Transferência :Exemplo: Função Transferência de Um Sistema
Considerando a equação de diferenças
Determine a sua função de transferência.
Usando a expressão
Aplicando a transformada-Z inversa obtemos a resposta a impulso
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1121
1
431
1
211
2
83411
21−−−−
−
−+
+
−=
−−
+−=
zzzz
zzH
[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] [ ]12283141 −+−=−−−− nxnxnynyny
[ ] ( ) [ ] ( ) [ ]nununhnn
43212 +−−=
Slide 30 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
Un
ive
rsid
ad
e d
e C
oim
bra
Cap. 5-Transformada de Z
Causalidade e Estabilidade:A localização dos pólos plano-Z permitem analisar a resposta a impulso de um sistema.
Sistema Causal:
Se o sistema é causal então a sua resposta a impulso é zero para .
Um pólo em do circulo interior do plano-Z contribui para um decaimento exponencial da resposta a impulso.
Um pólo em do circulo exterior do plano-Z contribui para um crescimento exponencial da resposta a impulso.
1<kd
0<n
1>kd
Slide 31 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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oim
bra
Cap. 5-Transformada de Z
Causalidade e Estabilidade:A localização dos pólos plano-Z permitem analisar a resposta a impulso de um sistema.
Sistema Estável:
Se um sistema é estável então a resposta a impulso é possível somar e isso implica que exista transformada de DTFT. Logo o circulo unitário
deverá estar incluído na região de convergência (ROC).
Uma resposta a impulso estável (o somatório é convergente) não poderáconter termos exponenciais absolutamente crescentes.
1<kd 1>kdTermo para [ ]nu −
Slide 32 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
Causalidade e Estabilidade:A localização dos pólos plano-Z permitem analisar a resposta a impulso de um sistema.
Os SLIT discretos são estáveis e causais se todos os seus pólos estão interior do circulo unitário do plano-Z.
Slide 33 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
A Função de Transferência :Exemplo: Causalidade e Estabilidade
Considerando um sistema SLIT que se expressa pela seguinte função de transferência
Determine a resposta a impulso assumindo que o sistema é estável (a) ou causal (b). Este sistema pode ser estável e causal?
Pressuposto SISTEMA ESTÁVEL
O sistema tem pólos no interior e exterior do circulo unitário.
Para o sistema ser estável deverá incluir o circulo unitário. Assumindo que o sistema é estável obtemos
a resposta a impulso
( )1
141421
3
9.01
2
9.01
2−
−−
− ++
−
+
−
=z
zeze
zHjjππ
[ ] [ ] [ ] ( ) [ ]
( ) [ ] ( ) [ ]1234
cos9.04
1239.029.02 44
−−−−
=
−−−−
+
=
−
nunun
nunuenuenh
nn
n
nj
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π
ππ
0<n
Slide 34 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
A Função de Transferência :Exemplo: Causalidade e Estabilidade
Pressuposto SISTEMA CAUSAL
Neste pressuposto a resposta a impulso obedece àrestrição
A resposta a impulso é dada por
O SLIT não pode ser simultaneamente estável e causal porque tem um
pólo exterior ao circulo unitário.
[ ] [ ] [ ] ( ) [ ]nunuenuenhn
n
j
n
j
239.029.02 44 −+
+
=
−ππ
[ ] 00 =→< nhn
Slide 35 Análise e Processamento de BioSinais – MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias
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Cap. 5-Transformada de Z
Sumário
oIntrodução
oA Transformada de Z
oPropriedades da Transformada de Z
oFunção de Transferência
oCausalidade e Estabilidade