aula semelhança

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1 Teorema de Tales e Semelhança

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Teorema de Tales e Semelhança

Teorema de Tales

Tales de Mileto viveu Na Grécia por volta dos anos 600 antes de Cristo.

Em muitas de suas viagens, diz a lenda, foi desafiado a calcular a altura de uma pirâmide, no Egito.

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Feixe de retas paralelas

Exemplo 1 Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:

Semelhançade

Figuras

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Semelhança de Figuras

NOÇÃO DE FORMA

Qual das figuras (1, 2, 3 ou 4) tem a mesma forma da figura A?

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Semelhança de FigurasDevem ter reparado que apenas a figura 1 tem a mesma forma da figura A.

Isso só acontece porque:

a figura 1 é uma redução da figura Aou

a figura A é uma ampliação da figura 1.

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Semelhança de Figuras

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Duas figuras têm a mesma forma se uma delas é uma ampliação ou redução da outra ou se forem geometricamente iguais.

Semelhança de FigurasConclusão:Duas figuras são semelhantes setiverem a mesma forma.

As 3 figuras são semelhantes. F1 e F3 são geometricamente

iguais e F2 é uma ampliação das

outras.

Para dizer que as figuras sãosemelhantes escreve-se:

F1 ~ F2 ~ F3

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Semelhança de FigurasOs dois quadrados representados ao lado são semelhantes.

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Repare que o quadrado B é uma ampliação do quadrado A.

Se dividirmos o comprimento do lado do quadrado B pelo comprimento do lado do quadrado A, teremos:

A medida dos lados do quadrado B é o dobro da medida dos lados do quadrado A.

O número 2 é a razão de semelhança na ampliação.

Semelhança de FigurasPara representar a razão de semelhança usa-se a letra k.

Para o caso anterior, podemos dizer que a razão de semelhança na ampliação do quadrado A para o quadrado B é:

k = 2

Pode ainda dizer-se que o quadradoB é uma ampliação do quadrado Ana escala 2:1.

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Semelhança de FigurasObserve os retângulos A e B da figura.O retângulo B é uma redução do retângulo A.Repara que os lados do retângulo B têm ambos metade do comprimento dos lados do retângulo A.Para calcular a razão de semelhança na redução teremos que dividir o comprimento do lado do retângulo menor pelo lado correspondente do maior.

A razão de semelhança é: k = 0,5.

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Semelhança de Figuras

Se as duas figuras forem geometricamente iguais, qual será a razão de semelhança de uma para a outra?

Repare que, sendo as figuras geometricamente iguais, elas têm as mesmas dimensões.

Neste caso, a razão de semelhança é 1 (ou seja, k = 1).

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Semelhança de Figuras

CONDIÇÃO: Dois ou mais polígonos são ditos semelhantes

quando:

- Os ângulos correspondentes são congruentes;

- As medidas de lados correspondentes são proporcionais.

- Neste caso é necessário satisfazer as duas condições.

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Semelhança de Figuras

Numa redução a razão de semelhança é menor do que 1 (k < 1).

Numa ampliação a razão de semelhança é maior do que 1 (k > 1).

Entre duas figuras geometricamente iguais a razão de semelhança é igual a 1 (k = 1).

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Semelhança de Polígonos

CONDIÇÃO: Dois ou mais polígonos são ditosSemelhantes quando:

- Os ângulos correspondentes são congruentes;

- As medidas de lados correspondentes são proporcionais.

- Neste caso é necessário satisfazer as duas condições.

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1º CASO: AA (Ângulo,Ângulo)

Dois triângulos semelhantes tem os mesmos ângulos.

Os lados correspondentes são proporcionais.

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2º Caso: LLL (Lado, Lado, Lado)

Dois triângulos são semelhantes se os lados de um são proporcionais aos lados do outro

A partir dos dados indicados na figura, verifique se os

triângulos representados são ou não semelhantes.

 

                                                                                         

                           

3º Caso: LAL Dois triângulos são semelhantes se os

lados de um são proporcionais aos lados do outro e se o ângulo por eles compreendido tem a mesma medida.

Observação

Com base nos casos de semelhança estudados, podemos ter os seguintes resultado:

Se a razão de semelhança de dois triângulos semelhantes é k, então:

A razão entre os lados correspondentes é k;

A razão entre as alturas correspondentes é k;

A razão entre os perímetros é k;

1) Diga se os pares de triângulos abaixo são ou não semelhantes.

2) Nas figuras abaixo, determine as medidas x e y.

3) Na figura abaixo, MN// BC. Nessas condições, determine:

a) As medidas x e y indicadas.b) As medidas dos lados AB e AC.c) Os perímetros dos triângulos ABC e AMN.d) A razão de semelhança entre os triângulos ABC e AMN.

Problemas