menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer
TRANSCRIPT
![Page 1: Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081804/5a66da7c7f8b9a3c0e8b5add/html5/thumbnails/1.jpg)
MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN
OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)
Pada Operasi Baris Elementer, sistem persamaan linear ditulis menjadi matriks keseluruhan
atau matriks augmentasi : 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2} ⟹ (
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22| 𝑏1
𝑏2)
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 𝑏1
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦+ 𝑎23𝑧 = 𝑏2
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦+ 𝑎33𝑧 = 𝑏3
} ⟹ (𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
𝑏1
𝑏2
𝑏3
)
Aturan Operasi Baris Elementer
Tiap operasi baris elementer pada matriks keseluruhan berikut menghasilkan suatu matriks
yang menampilkan sistem persamaan linear yang ekuivalen:
1. Menukar letak dua baris;
2. Mengganti suatu baris dengan baris semula dikali dengan bilangan tak nol;
3. Mengganti suatu baris dengan jumlah baris itu dan perkalian terhadap baris lainnya.
Ada dua metode berdasarkan OBE, yaitu metode Gauss dan metode Gauss-Jordan.
Metode Gauss
Pada metode Gauss, dengan menggunakan operasi baris elementer kita akan mengubah matriks
keseluruhan sehingga diagonal utamanya menjadi 1 dan elemen dibawah diagonal utama
menjadi 0.
Contoh
Selesaikan SPL berikut : {−𝑥 + 5𝑦 = −132𝑥 − 3𝑦 = 12
.
Jawab
Matriks keseluruhan : [−1 52 −3
| −1312
]
Elemen baris 1 kolom 1 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan
baris pertama dengan –1.
[−(−1) −(5)
2 −3| −(−13)
12] = [
1 −52 −3
| 1312
]
Elemen-elemen pada kolom pertama selain elemen diagonal utama harus nol, sehingga
dilakukan OBE yang ketiga pada baris kedua (𝐵2 = 𝐵2 − 2𝐵1).
[1 −5
2 − 2(1) −3 − 2(−5)|
1312 − 2(13)
] = [1 −50 7
| 13−14
]
Elemen baris 2 kolom 2 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan
baris kedua dengan 1/7.
[1 −5
1
7(0)
1
7(7)
| 13
1
7(−14)
] = [1 −50 1
| 13−2
]
Karena semua elemen diagonal utama sudah menjadi 1 dan elemen dibawah diagonal utama
sudah menjadi 0, maka diperoleh SPL :
![Page 2: Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081804/5a66da7c7f8b9a3c0e8b5add/html5/thumbnails/2.jpg)
𝑥 − 5𝑦 = 13 dan 𝑦 = −2
𝑥 − 5(−2) = 13
𝑥 = 3 Jadi, penyelesaiannya adalah 𝑥 = 3 dan 𝑦 = −2.
Contoh
Selesaikan SPL berikut : {
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2 4𝑥 + 6𝑦 + 𝑧 = 152𝑥 + 2𝑦 + 7𝑧 = −1
.
Jawab
Matriks keseluruhan : [2 1 24 6 12 2 7
| 215−1
]
Elemen baris 1 kolom 1 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan
baris pertama dengan 1/2.
[
1
2∙ 2 1
2∙1
1
2∙2
4 6 12 2 7
|
1
2∙ 2
15−1
] = [1 1
21
4 6 12 2 7
| 115−1
]
Elemen-elemen pada kolom pertama selain elemen diagonal utama harus nol, sehingga
dilakukan OBE yang ketiga pada baris kedua (𝐵2 = 𝐵2 − 4𝐵1) dan ketiga (𝐵3 = 𝐵3 − 2𝐵1).
[
1 1
21
4 − (4 ∙ 1) 6 − (4 ∙1
2) 1 − (4 ∙ 1)
2 − (2 ∙ 1) 2 − (2 ∙1
2) 7 − (2 ∙ 1)
|| 1
15 − (4 ∙ 1)
−1 − (2 ∙ 1)]
= [1 1
21
0 4 −30 1 5
| 111−3
]
Elemen baris 2 kolom 2 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang pertama yaitu menukar
baris kedua dan ketiga.
[1 1
21
0 1 50 4 −3
| 1
−311
]
Elemen-elemen pada kolom kedua yang ada di bawah elemen diagonal utama harus nol,
sehingga dilakukan OBE yang ketiga pada baris ketiga (𝐵3 = 𝐵3 − 4𝐵2).
[
1 1
21
0 1 50 4 − (4 ∙ 1) −3 − (4 ∙ 5)
| 1
−311 − (4 ∙ −3)
] = [1 1
21
0 1 50 0 −23
| 1
−323
]
Elemen baris 3 kolom 3 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan
baris ketiga dengan –1/23.
[
1 1
21
0 1 50 0 −1
23∙(−23)
|
1−3
−1
23∙(23)
] = [1 1
21
0 1 50 0 1
| 1
−3−1
]
Karena semua elemen diagonal utama sudah menjadi 1 dan elemen dibawah diagonal utama
sudah menjadi 0, maka diperoleh SPL :
𝑧 = −1, 𝑦 + 5𝑧 = −3 dan 𝑥 +1
2𝑦 + 𝑧 = 1
𝑦 + 5 ∙ (−1) = −3 𝑥 +1
2∙ 2 + (−1) = 1
𝑦 = 2 𝑥 = 1
Jadi, penyelesaiannya adalah (1, 2,−1).
Metode Gauss-Jordan
![Page 3: Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081804/5a66da7c7f8b9a3c0e8b5add/html5/thumbnails/3.jpg)
Pada metode Gauss-Jordan, dengan menggunakan operasi baris elementer kita akan mengubah
matriks keseluruhan sehingga diagonal utamanya menjadi 1 dan elemen di atas dan di bawah
diagonal utama menjadi 0.
Contoh
Selesaikan SPL berikut : {−𝑥 + 5𝑦 = −132𝑥 − 3𝑦 = 12
.
Jawab
Matriks keseluruhan : [−1 52 −3
| −1312
]
Elemen baris 1 kolom 1 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan
baris pertama dengan –1.
[−(−1) −(5)
2 −3| −(−13)
12] = [
1 −52 −3
| 1312
]
Elemen-elemen pada kolom pertama selain elemen diagonal utama harus nol, sehingga
dilakukan OBE yang ketiga pada baris kedua (𝐵2 = 𝐵2 − 2𝐵1).
[1 −5
2 − 2(1) −3 − 2(−5)|
1312 − 2(13)
] = [1 −50 7
| 13−14
]
Elemen baris 2 kolom 2 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan
baris kedua dengan 1/7.
[1 −5
1
7(0)
1
7(7)
| 13
1
7(−14)
] = [1 −50 1
| 13−2
]
Elemen-elemen pada kolom kedua selain elemen diagonal utama harus nol, sehingga
dilakukan OBE yang ketiga pada baris pertama (𝐵1 = 𝐵1 + 5𝐵2).
[1 −5 + (5 ∙ 1)0 1
| 13 + (5 ∙ −2)−2
] = [1 00 1
| 3−2
]
Karena semua elemen diagonal utama sudah menjadi 1 serta elemen di atas dan di bawah diagonal utama sudah menjadi 0, maka diperoleh penyelesaiannya adalah 𝑥 = 3 dan 𝑦 = −2.
Contoh
Selesaikan SPL berikut : {
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2 4𝑥 + 6𝑦 + 𝑧 = 152𝑥 + 2𝑦 + 7𝑧 = −1
.
Jawab
Matriks keseluruhan : [2 1 24 6 12 2 7
| 215−1
]
Elemen baris 1 kolom 1 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan
baris pertama dengan 1/2.
[
1
2∙ 2 1
2∙1
1
2∙2
4 6 12 2 7
|
1
2∙ 2
15−1
] = [1 1
21
4 6 12 2 7
| 115−1
]
Elemen-elemen pada kolom pertama selain elemen diagonal utama harus nol, sehingga
dilakukan OBE yang ketiga pada baris kedua (𝐵2 = 𝐵2 − 4𝐵1) dan ketiga (𝐵3 = 𝐵3 − 2𝐵1).
![Page 4: Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081804/5a66da7c7f8b9a3c0e8b5add/html5/thumbnails/4.jpg)
[
1 1
21
4 − (4 ∙ 1) 6 − (4 ∙1
2) 1 − (4 ∙ 1)
2 − (2 ∙ 1) 2 − (2 ∙1
2) 7 − (2 ∙ 1)
|| 1
15 − (4 ∙ 1)
−1 − (2 ∙ 1)]
= [1 1
21
0 4 −30 1 5
| 111−3
]
Elemen baris 2 kolom 2 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang pertama yaitu menukar
baris kedua dan ketiga.
[1 1
21
0 1 50 4 −3
| 1
−311
]
Elemen-elemen pada kolom kedua kecuali elemen diagonal utama harus nol, sehingga
dilakukan OBE yang ketiga pada baris pertama (𝐵1 = 𝐵1 −1
2𝐵2) dan baris ketiga
(𝐵3 = 𝐵3 − 4𝐵2).
[1 1
2−(
1
2∙1) 1 − (
1
2∙ 5)
0 1 50 4 − (4 ∙ 1) −3 − (4 ∙ 5)
| 1 − (
1
2∙ −3)
−311 − (4 ∙ −3)
] = [1 0 −
3
2
0 1 50 0 −23
|
5
2
−323
]
Elemen baris 3 kolom 3 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan
baris ketiga dengan –1/23.
[1 0 −
3
2
0 1 50 0 −1
23∙(−23)
|
5
2
−3−1
23∙(23)
] = [1 0 −
3
2
0 1 50 0 1
|
5
2
−3−1
]
Elemen-elemen pada kolom ketiga kecuali elemen diagonal utama harus nol, sehingga
dilakukan OBE yang ketiga pada baris pertama (𝐵1 = 𝐵1 +3
2𝐵3) dan baris kedua
(𝐵2 = 𝐵2 − 5𝐵3).
[1 + (
3
2∙ 0) 0 + (
3
2∙ 0) −
3
2+ (
3
2∙ 1)
0 − (5 ∙ 0) 1 − (5 ∙ 0) 5 − (5 ∙ 1)0 0 1
|
5
2+ (
3
2∙ −1)
−3 − (5 ∙ −1)−1
] = [1 0 00 1 00 0 1
| 12−1
]
Karena semua elemen diagonal utama sudah menjadi 1 serta elemen di atas dan di bawah diagonal utama sudah menjadi 0, maka diperoleh penyelesaiannya adalah 𝑥 = 1, 𝑦 = 2 dan
𝑧 = −1.
Catatan penulis :
- Penyelesaian diatas bukanlah penyelesaian baku dalam menggunakan Metode Gauss dan Gauss -Jordan,
kalian bisa menggunakan aturan OBE manapun yang penting tujuan akhirnya membuat semua elemen
diagonal utama menjadi 1 dan elemen lainnya 0.
- Penulis lebih senang menyelesaikan per kolom, dimana tiap kolomnya selalu dimulai dengan mengubah
elemen diagonal utama menjadi 1 baru elemen lainnya menjadi 0.
- Setiap elemen diagonal utama yang sudah menjadi 1 tidak boleh ditukarkan dengan baris lainnya untuk
langkah berikutnya.