menemukan kembali rumus heron - rumah belajar matematika · menemukan kembali rumus heron rumus...
TRANSCRIPT
theresiaveni.wordpress.com
1 | H a l a m a n
Menemukan kembali rumus Heron
Rumus heron dapat digunakan untuk mencari luas segitiga sembarang yang hanya diketahui panjang ketiga
sisinya.
Rumus Heron dikenal sebagai berikut:
( ) (s b) (s )L ABC s s a c
dengan s = 1
2keliling segitiga =
1( )
2a b c
Materi prasyarat yang dapat digunakan:
1) Faktorisasi bentuk aljabar:
2 2x y x y x y
2 2 22x y x xy y
2 2 22x y x xy y
2) Aturan cosinus:
2 2 22 2 2 2 cos C cos
2
a b cc a b ab C
ab
2 2 22 2 2 2 cos cos
2
b c aa b c bc A A
bc
2 2 2
2 2 2 2 cos cos2
a c bb a c ac B B
ac
3) Identitas trigonometri
2 2 2 2 2sin cos A 1 sin 1 cos A sin 1 cos AA A A
4) Teorema phytagoras
2 2 2c a b
5) Rumus luas segitiga ABC
L ABC 1
alas tinggi2
L ABC jika diketahui sisi, sudut, sisi:
a. 1
sin2
L ABC ab A
theresiaveni.wordpress.com
2 | H a l a m a n
b. 1
sin2
L ABC ac B
c. 1
sin2
L ABC bc A
Permasalahan:
Diketahui segitiga ABC dengan panjang AC = b, BC = a,
AB = c , dan keliling segitiga = a + b + c = 2s. Tentukan
luas segitiga tersebut!
Jawab:
Alternatif Cara 1:
L ABC = 1
alas tinggi2 .
Namun dari soal tersebut tidak diketahui tinggi segitiga karena
hanya diketahui panjang tiga sisi segitiga.
Akan dicari bentuk lain dari: L ABC =1
alas tinggi =2
1
2bd .
1) Misalkan BD = d adalah tinggi segitiga, CD = x dan AD = y , sehingga b x y
Perhatikan ABD dan BCD
Pada ABD berlaku: 2 2 2d c y ..................................................................................... persamaan (i)
Pada BCD berlaku: 2 2 2d a x .................................................................................... persamaan (ii)
2) Dari persamaan (i) dan (ii)
2 2 2 2c y a x
2 2 2 2x a c y ................................................................................................................... persamaan (iii)
3) Karena b x y x b y sehingga
x b y
22x b y ........................................................................................................ kedua ruas dikuadratkan
2 2 22x b by y ................................................................................................................. persamaan (iv)
theresiaveni.wordpress.com
3 | H a l a m a n
4) Dari persamaan (iii) dan (iv)
2 2 2 2 22a c y b by y
2 2 22by b a c
2 2 2
2
b a cy
b
............................................................................................................persamaan (v)
5) Lihat kembali persamaan (i)
2 2 2d c y
2 ( )( )d c y c y
2 2 2 2 2 2
2 ( )( )2 2
b a c b a cd c c
b b
................................................ substitusi
2 2 2
2
b a cy
b
2 2 2 2 2 22 2b 2
2 2
c b a c bc b a cd
b b
2 2 2 2 2 22
2b 2
2 2
a b c c b bc c ad
b b
2 22 2
2
2 2
a b c b c ad
b b
.......sifat: 2 2 22x y x xy y dan
2 2 22x y x xy y
2
24
a b c a b c b c a b c ad
b
......................sifat: 2 2x y x y x y
2
24
a b c a b c b c a b c ad
b
2 24b d a b c a b c b c a b c a
6) Diketahui: a + b + c = 2s
2 24b d a b c a b c b c a b c a
2 2 2 2( )a b c a b c b s b s b ................................................................. persamaan (vi)
2 2 2 2( )a b c a b c c s c s c ............................................................... persamaan (vii)
2 2 2 2(s a)b c a a b c a b c a s a ............................................ persamaan (vii)
2a b c s ...................................................................................................................... persamaan (ix)
theresiaveni.wordpress.com
4 | H a l a m a n
7) Substitusi persamaan (vi), (vii), (viii) dan (ix) ke persamaan:
2 24b d a b c a b c b c a b c a
2 24 2( ) 2( ) 2( ) 2b d s b s a s c s
2 24 16 ( ) ( ) ( )b d s s a s b s c
2 2 4 ( ) ( ) ( )b d s s a s b s c
2 ( ) ( ) ( )bd s s a s b s c .......................................................... kedua ruas ditarik akar kuadrat
1( ) ( ) ( )
2bd s s a s b s c
( ) ( ) ( )L s s a s b s c
8) Jadi luas segitiga ABC = 1
( ) (s b) (s )2
bd s s a c dengan 1
2s a b c
Alternatif Cara 2:
L ABC = 1
alas tinggi2 .
Namun dari soal tersebut tidak diketahui tinggi segitiga karena
hanya diketahui panjang tiga sisi segitiga.
Misalkan BD = d adalah tinggi segitiga, CD = x dan AD = b x .
Akan dicari bentuk lain dari:
L ABC =1
alas tinggi =2
1
2bd .
1) Perhatikan ABD dan BCD
Pada ABD berlaku: 2 2 2 2 2 2 2( ) 2c d b x d c b bx x ............................ persamaan (i)
Pada BCD berlaku: 2 2 2 2 2 2a d x d a x ....................................................... persamaan (ii)
theresiaveni.wordpress.com
5 | H a l a m a n
2) Akan dicari penyelesaian dari x . Persamaan (i) = persamaan (ii)
2 2 2 2 22c b bx x a x
2 2 22bx a b c
2 2 2
2
a b cx
b
3) Substitusi persamaan 2 2 2
2
a b cx
b
ke persamaan 2 2 2d a x
2 2 2d a x
22 2 2
2 2
2
a b cd a
b
2
2 2 2
2 2
24
a b cd a
b
2 2 2 2 2 22
2 2
a b c a b cd a a
b b
2 2 2 2 2 22 2 2
2 2
ab a b c ab a b cd
b b
2 2 2 2 2 2
2
2
2 2
4
ab a b c ab a b cd
b
4) Luas segitiga = =L 1
alas tinggi =2
1
2bd .
1
2L bd 2L bd
2 2 24L b d ............................................................................................................ kedua ruas dikuadratkan
5) Substitusi 2 2 2 2 2 2
2
2
2 2
4
ab a b c ab a b cd
b
ke 2 2 24L b d
2 2 24L b d
2 2 2 2 2 2
2 2
2
2 24
4
ab a b c ab a b cL b
b
2 2 2 2 2 2 216 2 2L ab a b c ab a b c
theresiaveni.wordpress.com
6 | H a l a m a n
2 2 2 2 2 2 216 2 2L b ab a c a ab b c
2 22 2 216L c b a a b c ....sifat: 2 2 22x y x xy y dan
2 2 22x y x xy y
216L c b a c b a a b c a b c .................. sifat: 2 2 ( )x y x y x y
216L c b a c b a a b c a b c
6) Diketahui: a + b + c = 2s
216L c b a c b a a b c a b c
2 2 2 2( )c b a a b c b s b s b ............................................................... persamaan (iii)
2 2 2 2(s a)c b a a b c a b c a s a ............................................. persamaan (iv)
2 2 2 2( )a b c a b c c s c s c ................................................................... persamaan (v)
2a b c s ...................................................................................................................... persamaan (vi)
7) Substitusi persamaan (iii), (iv), (v) dan (vi) ke persamaan:
216L a b c a b c b c a b c a
216 2( ) 2( ) 2( ) 2L s b s a s c s
216 16 ( ) ( ) ( )L s s a s b s c
2 ( ) ( ) ( )L s s a s b s c
( ) ( ) ( )L s s a s b s c ............................................................... kedua ruas ditarik akar kuadrat
8) Jadi luas segitiga ABC = 1
( ) (s b) (s )2
bd s s a c dengan 1
2s a b c
Alternatif Cara 3:
L ABC = 1
alas tinggi2 .
Namun dari soal tersebut tidak diketahui tinggi segitiga karena
hanya diketahui panjang tiga sisi segitiga.
Misalkan BD = d adalah tinggi segitiga, CD = x dan AD = b x .
Akan dicari bentuk lain dari:
theresiaveni.wordpress.com
7 | H a l a m a n
L ABC =1
alas tinggi =2
1
2bd .
1) 1
2L bd
2 2 21
4L b d ................................................................................................................. kedua ruas dikuadratkan
2 2 2 21
4L b a x ....................................................................................................... substitusi 2 2 2d a x
2 2 2 2 21
4L a b b x .................................................................................................................... persamaan (i)
2) Melakukan manipulasi aljabar untuk mendapat bentuk 2 2b x , sebagai berikut:
2 2
b x b x
2 2 2 22 ( 2 )b bx x b bx x
2 2 2 22 2b bx x b bx x
4bx
Diperoleh 2 2
b x b x 4bx ..................................................................................... persamaan (ii)
Sehingga dari persamaan (ii):
2 2
b x b x 4bx
2 2 22 ( ) 4b bx x b x bx
2 2 2( ) 2b x b x bx .............................................................. mengurangkan kedua ruas dengan 2bx
2 2 2 2( ) 2b x c d bx ..................................... Teorema phytagoras pada ABD: 2( )b x = 2 2c d
2 2 2 2 2b x c d bx
2 2 2 2 2b x d c bx
2 2 2 2b a c bx ........................................................ Teorema phytagoras pada BCD: 2 2 2x d a
22 2 2
2 2
2
b a cb x
............................................ Kedua ruas dibagi dengan 2 kemudian dikuadratkan
theresiaveni.wordpress.com
8 | H a l a m a n
3) Substiutsi
22 2 2
2 2
2
b a cb x
ke persamaan (i): 2 2 2 2 21
4L a b b x
22 2 2
2 2 21
4 2
b a cL a b
2
2 2 2
2 2 21
4 4
b a cL a b
2
2 2 2 2 2
241
4 4
a b b a cL
22 2 2 2
22
16
ab b a cL
2 2 2 2 2 2
22 2
16
ab b a c ab b a cL
................................ sifat: 2 2 ( )x y x y x y
2 2 2 2 2 2
22 2
16
ab b a c ab b a cL
2 22 2
2
16
c a b a b cL
..........sifat:
2 2 22x y x xy y dan 2 2 22x y x xy y
2
16
c a b c a b a b c a b cL
....................... sifat: 2 2 ( )x y x y x y
2
16
c a b c a b a b c a b cL
4) Diketahui: a + b + c = 2s
2
16
c a b c a b a b c a b cL
2 2 2 2(s a)c a b a b c a b c a s a .............................................. persamaan (iii)
2 2 2 2( )c a b a b c b s b s b ................................................................. persamaan (iv)
2 2 2 2( )a b c a b c c s c s c ................................................................... persamaan (v)
2a b c s ..................................................................................................................... persamaan (vi)
theresiaveni.wordpress.com
9 | H a l a m a n
5) Substitusi persamaan (iii), (iv), (v) dan (vi) ke persamaan:
2
16
c a b c a b a b c a b cL
22 2 2 2
16
s a s b s c sL
216
16
s a s b s c sL
2 ( ) ( ) ( )L s s a s b s c
( ) ( ) ( )L s s a s b s c ............................................................... kedua ruas ditarik akar kuadrat
6) Jadi luas segitiga ABC ( ) (s b) (s )s s a c dengan 1
2s a b c
Alternatif Cara 4:
L ABC = 1
alas tinggi2 .
Namun dari soal tersebut tidak diketahui tinggi segitiga karena
hanya diketahui panjang tiga sisi segitiga.
Misalkan BD = d adalah tinggi segitiga dan CD = x .
Akan dicari bentuk lain dari: L ABC =1
alas tinggi =2
1
2bd .
1) Diketahui:
2 2 2 2 cos Cc a b ab ................................................................................................................ aturan cosinus
2) Pada segitiga BCD berlaku:
cos C cosx
x a Ca
......................................... nilai perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku
2 2x a d .................................................................................................................... terorema phytagoras
3) Pada segitiga ABD berlaku:
2 2 2 2 cos Cc a b ab
2 2 2 2 .x
c a b aba
..................................................................................................... substitusi cos Cx
a
d
theresiaveni.wordpress.com
10 | H a l a m a n
2 2 2 2c a b bx
2 2 22bx a b c
2 2 2 2 22b a d a b c ........................................................................................ substitusi 2 2x a d
2
2 2 2 2 2 24b a d a b c ................................................................................. kedua ruas dikuadratkan
2
2 2 2 2 2 2 24 4a b b d a b c
2
2 2 2 2 2 2 24 4b d a b a b c
222 2 2 2 24 2b d ab a b c
2 2 2 2 2 2 2 24 2 2b d ab a b c ab a b c .................................... sifat: 2 2 ( )x y x y x y
2 2 2 2 2 2 2 24 2 2b d ab a b c ab a b c
2 2 2 2 2 2 2 24 2 2b d a ab b c c a ab b
2 22 2 2 24b d a b c c a b .........sifat: 2 2 22x y x xy y dan
2 2 22x y x xy y
2 24b d a b c a b c c a b c a b
4) Diketahui: a + b + c = 2s
2 24b d a b c a b c c a b c a b
2a b c s .................................................................................................................... persamaan (i)
2 2 2 2( )a b c a b c c s c s c ................................................................... persamaan (ii)
2 2 2 2( )c a b a b c b s b s b .................................................................. persamaan (iii)
2 2 2 2(s a)c a b a b c a b c a s a ............................................. persamaan (iv)
5) Substitusi persamaan (i), (ii), (iii), dan (iv) ke persamaan:
2 24b d a b c a b c c a b c a b
2 24 2( ) 2 2(s b) 2(s a)b d s c s
2 2 4 ( ) (s b) (s )b d s s a c
theresiaveni.wordpress.com
11 | H a l a m a n
2
2
4 ( ) (s b) (s )s s a cb
d
2( ) (s b) (s )b s s a c
d ............................................................ kedua ruas ditarik akar kuadrat
1( ) (s b) (s )
2bd s s a c .............................................................................. rumus luas segitiga
6) Jadi luas segitiga ABC = 1
( ) (s b) (s )2
bd s s a c dengan 1
2s a b c
Alternatif Cara 5:
Diketahui:
L ABC = 1
alas tinggi =2
1sin
2bc A .
Akan dicari bentuk lain dari L ABC =1
sin2
bc A .
1) Diketahui:
2 2sin 1 cos AA ...................................................................................................... identitas trigonometri
2sin 1 cos A 1 cos AA
2 2 2 2 2 22sin 1 1
2 2
b c a b c aA
bc bc
................................ substitusi 2 2 2
cos2
b c aA
bc
2 2 2 2 2 22 2 2
sin2 2 2 2
b c abc bc b c aA
bc bc bc bc
2 2 2 2 2 22 2 2
sin2 2
bc b c a bc b c aA
bc bc
2 2 2 2 2 22
2 2sin
2 2
b bc c a b bc c aA
bc bc
2 22 2
2sin2 2
b c a b c aA
bc bc
...........................................................................................
....................................................................sifat: 2 2 22x y x xy y dan
2 2 22x y x xy y
theresiaveni.wordpress.com
12 | H a l a m a n
2 22 2
2sin2 2
a b c b c aA
bc bc
2sin2 2
a b c a b c b c a b c aA
bc bc
........ sifat: 2 2 ( )x y x y x y
2
2sin
2
a b c a b c b c a b c aA
bc
2) Diketahui: a + b + c = 2s
2
2sin
2
a b c a b c b c a b c aA
bc
2 2 2 2( )a b c a b c b s b s b .................................................................... persamaan (i)
2 2 2 2( )a b c a b c c s c s c ................................................................... persamaan (ii)
2 2 2 2(s a)b c a a b c a b c a s a ............................................. persamaan (iii)
2b c a a b c s ................................................................................................... persamaan (iv)
3) Substitusi persamaan (i), (ii), (iii), dan (iv) ke persamaan:
2
2sin
2
a b c a b c b c a b c aA
bc
2
2 2
2( )2( )2( )2sin
4
s b s c s a sA
b c
2
2 2
16( ) ( ) ( )sin
4
s b s c s a sA
b c
2 ( ) ( ) ( )sin
s b s c s a sA
bc
................................................ kedua ruas ditarik akar kuadrat
1bcsin ( ) ( ) ( )
2A s b s c s a s
1bcsin ( ) (s b) (s )
2A s s a c ................................................................... rumus luas segitiga
4) Jadi luas segitiga ABC = 1
bcsin ( ) (s b) (s )2
A s s a c dengan 1
2s a b c
theresiaveni.wordpress.com
13 | H a l a m a n
Alternatif Cara 6:
Diketahui:
L ABC = 1
alas tinggi =2
1sin
2bc A .
Akan dicari bentuk lain dari L ABC =1
sin2
bc A .
1) L ABC =1
sin2
bc A
L = 211 cos
2bc A ....................................... substitusi identitas trigonometri: 2sin 1 cos AA
22 1 cosL bc A
2 2 2 24 1 cosL b c A ................................................................................... kedua ruas dikuadratkan
22 2 2
2 2 24 12
b c aL b c
bc
............................. substitusi aturan cosinus: 2 2 2
cos2
b c aA
bc
22 2 2 2 2
2 2 2
2 24
4
b c b c aL b c
b c
22 2 2
2 2 244
b c aL b c
2
2 2 2 2 2 216 4L b c b c a .............................................................. kedua ruas dikalikan dengan 4
222 2 2 216 2L bc b c a
2 2 2 2 2 2 216 2 2L bc b c a bc b c a ............................ sifat: 2 2 ( )x y x y x y
2 2 2 2 2 2 216 2 2L bc b c a bc b c a
2 2 2 2 2 2 216 2 2L b bc c a b bc c a
2 2 2 2 2 2 216 2 2L b bc c a b bc c a
2 22 2 216L a b c b c a ....sifat: 2 2 22x y x xy y dan
2 2 22x y x xy y
216L a b c a b c b c a b c a .................... sifat: 2 2 ( )x y x y x y
216L a b c a b c b c a b c a
theresiaveni.wordpress.com
14 | H a l a m a n
2) Diketahui: a + b + c = 2s
216L a b c a b c b c a b c a
2 2 2 2( )a b c a b c b s b s b ................................................................... persamaan (i)
2 2 2 2( )a b c a b c c s c s c ................................................................... persamaan (ii)
2 2 2 2(s a)b c a a b c a b c a s a ............................................ persamaan (iii)
2b c a a b c s .................................................................................................... persamaan (iv)
3) Substitusi persamaan (i), (ii), (iii), dan (iv) ke persamaan:
216L a b c a b c b c a b c a
216 2( )2( )2( )2L s b s c s a s
216 16( )( )( )L s b s c s a s
2 ( )( )( )L s b s c s a s .......................................................................... bagi kedua ruas dengan 16
2 ( )( )( )L s s a s b s c
( ) ( ) ( )L s s a s b s c ......................................................... kedua ruas ditarik akar kuadrat
4) Jadi luas segitiga ABC = 1
bcsin ( ) (s b) (s )2
A s s a c dengan 1
2s a b c