memorex matemática
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ARITMÉTICA BÁSICA V
"'"-J Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando
l_,. o algarismo das unidades for O, 2, 4, 6 ou 8. Um número que é divisível por 2 é denominado par, caso contrário, ímpar. -f"" Divisibilidade por 3:
\.....I Um número é divisível por 3, quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.
Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando o
\......- número formado pelos dois últimos alga-rismos da direita for 00 ou divisível por 4.
v Divisibilidade por 5: • Um número é divisível por 5 quando \....... o algarismo das unidades for zero ou 5.
~ Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando for
'--'" divisível por 2 e por 3 simultaneamente.
Divisibilidade por 1 O: ~ Um número é divisível por 1 O quan-
do o algarismo das unidades for zero.
Conhecer os critérios de divisibilidade ....__.. facilita a resolução de cálculos envol
vendo divisões.
....._... Números Primos Um número natural é denominado
de "número primo" quando apresenta · apenas dois divisores naturais: ele mesmo e a unidade. Existem infinitos números primos. A seguir indicamos os números primos menores que 100:
2 13
3 17 5 19 7 23
11 29
31
37 41 43 47
53
59 61
67 71
73 79 83 89 97 ...
Números Primos entre Si Dois números naturais são denomi
nados de "números primos entre si" quando apresentam como único divisor comum a unidade (número 1).
Exemplo: 15 e 16
d(15) = {1 ; 3; 5; 15} d(16) = {1 ; 2; 4; 8; 16}
d(15) n d(16) = {1}
Portanto, 15 e 16 são primos entre si.
Máximo Divisor Comum O máximo divisor comum (mdc) en
tre dois números naturais é obtido a partir da intersecção dos divisores naturais, escolhendo-se o maior. O mdc pode ser calculado pelo produto dos fatores primos que são comuns tomando-se sempre o de menor expoente.
Exemplo: 120 e 36
120=23. 3. 5 36 = 22. 32
mdc {120, 36} = 22. 3 = 12
Mfnimo Múltiplo Comum O mínimo múltiplo comum (mmc)
entre dois números naturais é obtido a partir da intersecção dos múltiplos naturais, escolhendo-se o menor excetuando o zero. O mmc pode ser calculado pelo produto de todos os fatores primos, considerados uma única vez e de maior expoente.
Exemplo: 120 e 36
120 = ~.3.5 36 = 22. J2
mmc {120, 36} = 23 . J2. 5 = 360
Observação 1 :
O I'T'In; pode ser calculado pela del;orrposição sirrultânea em fatores primos.
Exemplo: 120 e 36
120; 36 2 60; 18 2 30; 9 2 15; 9 3 5· '
3 3 5· '
5
1' ' m.m.c. {120, 36} = 23.32. 5 = 360
Observação 2: O mdc pode ser calculado pela de
composição simultânea em fatores primos, tornando-se apenas os fatores que dividem os números simultaneamente.
Exemplo: 120 e 36
120; 36 2 (*) 60•
' 18 2 (*)
30; 9 2 15; 9 3 (*) 5; 3 3 5; 5 1•
' m.d.c. {120, 36} = 22. 3 = 12
Observação 3: Existe urna relação entre o mrnc e o
mdc de dois números naturais a e b, ou seja,
mmc {a; b} . indc {a; b} = a . b
Sistsrnas de Eqt.r;IÇ6es do 111 GtarJ
Processo da Substituição Este processo consiste em isolar
urna incógnita numa equação e substituíla na outra equação do sistema dado, recaindo-se numa equação do 12 grau numa variável.
Exemplo: f - 2x + Y = 1 1 2x + 3y = 2
·-2x+y=1 ~ y=1 +2x • 2x+3y=2
2x + 3 . (1 + 2x) = 2 8X=-1
X= ~~ ~ y = 1+2. ( -~ ) Y=4
Processo da Adição Este processo consiste em deixar os
coeficientes de urna mesma incógnita opostos. Desta forma, somando-se membro a membro as duas equações recai-se em urna equação com urna única incógnita.
.... )
./ ..... ......
I
Exemplo: { - 2x + Y = 1 ..../ 2x+3y=2
- 2x + y = 1 J + 2x + 3y = 2 """'-
4y = 3 ../
Y=i ~ 2x + 3.i = 2 )
Produtos Notáveis Quadrado de uma Soma
O quadrado da sorna de dois termos é o quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.
(a+ b)2= a2+ 2ab + b2 Quadrado de uma Diferença
O quadrado da diferença de dois termos é o quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.
(a - b)2.;: a2- 2ab + f)2
..__,
r-'-"'
Produto da Soma pela Diferença E ~rtence ...... O produto da soma pela diferença
de dois termos é igual ao quadrado do ~ não pertence ~ primeiro termo, menos o quadrado do c está contido
segundo termo.
""' (a + b) . (a - b) = a2- !>2 <:t não está contido
Outros ~ contém -(a- b)3 = aL 3a~ + 3ab2- b3
p não contém ......_.,
(a+ b)3= a3+ 3a~ + 3ab2 + b3 I tal que ou tais que
..._. =::) implica ou então
Expressões Algébricas <::::} se, e somente se '-.....-'
Fator Comum 3 existe
~ A fatoração de expressões algébri-
~ não existe cas é efetuada colocando-se o fator co-
~ mum em evidência. V' para todo ou qualquer
a . X + b . X = X • (a + b) 0 conjunto vazio ~
a . X - b . X = X • (a - b) IN naturais ....., IN* naturais excluindo o zero
Exemplo: z inteiros - x3-x2+x= z+ inteiros não negativos
,. ...... ./ x. (x2 - x + 1) z... inteiros não positivos
- Agrupamento Q racionais
Algumas expressões algébricas po- irracionais -.._.;
dem ser fatoradas por agrupamento de IR reais '-.....-
dois ou mais termos. a . x+b . x+a.y+b.y= IR+ reais não negativos
....__,. = x . (a + b) + y . (a + b) = = (a + b) . (x + y)
IR_ reais não positivos
J Au8 A união com 8
1
.._.... Exemplo: An B A intersecção com 8
'-' Diferença de A com 8 I x3+x2+x+ 1 = A-8
'- = x2 . (x + 1) + (x + 1 ) = 8-A Diferença de 8 com A = (x + 1) . (x2 + 1) a<b amenorqueb v
Teoria dos Conjuntos a ::;; b a menor ou igual a b
\._.., a>b . a maior que b Símbolos Importantes , __
Os símbolos a seguir são muito utili- a~b a maior ou igual a b zados no estudo não só da Teoria dos 8Ab aeb .. Conjuntos, como também em outros tó--... picos da Matemática . avb aoub
.......__.. """ .
J
I I
Conjunto Vazio É o oonjunto que não possui elemen
tos. O conjunto vazio é representado por 0 ={ }
Subconjuntos Quando todos os elementos de um
conjunto A qualquer pertencem a outro oonjunto B, diz-se então que A é suboonjunto de B, ou seja,
AcB
Observação: A c A e 0 c A
União de Conjuntos Dados dois oonjuntos A e B, define
se oomo união de A com B ao conjunto A v B fonnado por todos os elementos que pertencem a A ou B.
A v B={x/x e Aoux e B}
co Observação:
A v A=A A v0 =A
Intersecção de Conjuntos Dados dois conjuntos A e B, define-se
como intersecção de A oom B ao conjunto A n B fonnado por todos os elementos que pertencem a A e a B, simultaneamente.
A n B={x/x e Aex e B}
• A n B=A
OCJ Observação:
A n A = A An0=0
Diferença de Conjuntos Dados os conjuntos A e B, define
se oomo diferença entre A e B ao conjunto A - B formado por todos os elementos que pertencem a A, mas que não pertencem a B.
A - B={x/x e A ex ~ B} Observação:
A- Bi'B - A
Exemplo: A={2; 3; 4} B = {1 ; 4; 2; 7}
• A v B = {2; 3; 4; 1; 7} • A n B ={2; 4} • A - B = {3} • B - A ={1; 7}
Conjunto das partes de um Conjunto O conjunto das partes de um con
junto qualquer é fonnado por todos os seus subconjuntos.
Se um oonjunto A possuir n elementos, o total de subconjuntos que ele admite é igual a 2n
,
-
-
J
l
Exemplo:
A= {1; 2; 3} => n = 3 Subconjuntos de A: 23 = 8 0 ; {1 }; {2}; {3}; {1 ;2}; {1 ;3}; {2;3}; A
Produto Cartesiano Dados os conjuntos A e 8, chama-se
produto cartesiano A com 8 ao conjunto representado por A x 8, formado por todos os pares ordenados (x; y), onde x é elemento de A e y é elemento de 8.
A x B = {(x;y) I x E A e y E B}
Representação Gráfica A todo par ordenado (a; b) existe
associado um ponto no plano e, reciprocamente, a todo ponto do plano existe associado um par ordenado.
y
____ ____ • (a, b)
b
a X
Exemplo: A = {2; 3} 8 ={O; 1; 2}
AxB = {(2;0); (2;1); (2;2); (3;0); (3;1); (3;2)} A 8 C D E F
2 -- -- ----.r:-- - ·0 I I
I I
•B ' E 1 -- - ---~ - - ~
I I
:A I F 2 3
Observação: Geralmente, A x B * B x A
Conjuntos Numéricos Números-Naturais
Os números naturais surgiram de uma necessidade do ser humano em fiscalizar os seus bens. Os símbolos que representam os números naturais são chamados de algarismos.
N = {O; 1; 2; 3; 4; 5; ... } Números Inteiros
Os números inteiros são todos os números naturais e tani:lém os seus opostos.
Z = { ... ; 3; -2; -1; O; 1; 2; 3; ... }
Observação:
Todo número natural é inteiro. Nc Z
Números Racionais Os números racionais são aqueles
que podem ser obtidos como o quociente de dois números inteiros.
Q = {xlx = *' onde p, q E Z e q * O}
Observação:
Todo número natural é racional. Todo número inteiro é racional.
N c QeZ c Q
Números Irracionais Os números irracionais são aqueles
que não podem ser obtidos como o quociente de dois números inteiros. Exemplo: São números irracionais:
1t = 3, 1415926 .. .
-./2 = 1,4142135 .. .
-./3 = 1 '7320508 .. . e = 2,7182818 .. .
Números Reais O conjunto dos números reais é defi
nido como a união entre os conjuntos dos números irracionais e racionais.
IR=Q v l
• VISUALIZAÇÃO
~6
)
I I
Observação: Todo número real JXx:le ser repre
sentado por um ponto sobre uma reta e, reciprocamente, qualquer ponto sobre uma reta JXx:le ser associado a um número real.
o +
Intervalo Aberto É um subconjunto dos números
reais que estão compreendidos entre dois reais quaisquer.
(a;b) = ]a; b[ = {x E IR I a < x < b}
a b
Intervalo Fechado É um Slixmjurto cts IÚ11ala> reais que
estão ~ entre cbs reais Q.JaisCJ.!Elr, p:x::1e1rt> ac>st.JTir oo cbs exlrerros.
[a; b] = { x E IR I a ~ x ~ b}
a b
Exemplo:
(2;4)={XE IR/2 <X< 4}
[2 ; 4) = {x E IR I 2 ~X ~ 4}
Módulo de um Número O módulo, ou valor absoluto, de um
número real qualquer é a distância deste número à origem (zero). O módulo de um número real x pode ser definido também por:
lxl = { x , se x ~ O - x , sex < O
Exemplo:
1- 101 = - (- 10} = 10
I+ 71 =+ 7=7
Observação:
filE = lxt
Inequações Modulares
lxl ~ a
-a sx ~ a
-a a
lxl ~ a
x ~ - a ou x ~ a
- a a
Exemplo: lXI = 3 ~ X= 3 OU X =-3
lxl < 3 (:::} -3 < x < 3 lXI > 3 (:::} X < - 3 OU X > 3
Potenciação Dado um número real "a" qualquer,
sendo "n" um número natural, define-se por a potência n ao produto de a por a n vezes, ou seja,
an = a.a.a. ( ... ) • a
n vezes
Casos Particulares
aO= 1
a-1 =.! (a _. O) a a1 =a
Propriedades da Potenciação
am . a"= am+n
Observação:
Exemplo:
am - = am-n a"
n n (am) _. am
232 =29 =512 2
(23) = 26 = 64
'-·
~·
-~
/
,_
-...,_J
'-
'-
J
1 "--"'
'-..-/
I ...._,.
'--'
v
'--..._..
'---~
Potências de 1 O
10n= 10000( ... )000
n zeros
1~= 0,000( ... )001
n casas decimais
Radiciação Defin&Se romo raiz de íncic:e n, de um
número real a, ao número real x tal que
~=x (:) x" = a
Observação: Em todo radical, cujo índice é número
par, a raiz considerada é sempre positiva.
Propriedades da Radiciação n m {ãfif = an
n
{f !l/ffi n.m "'I Ta= -{8
Observação: Em caso de índice par, os radican
dos devem ser positivos.
Racionalização Racionalizar uma fração consiste em
eliminar, através de operações algébricas, o radical ou os radicais do denominador.
Existem três casos
N N ..fã N • ..Ja N . ..Ja -{8 ra . ..fã = ..[àE = - a-
n n n N N .Jan-x N • ._fãn-Y N. ,fãf1-Y
n .,fãX = ",fãX n .JarHê = n ,fãil a
N N (-/ã -,fb) N (Va -..fb ) {ã + ,fb= (-lã+ ,fb) · (-lã - ,fb) a- b
-----
Equações do 211 Grau Urna ~uação na incógnita x é dita do
2º grau, quando pode ser escrita na forma
a . x2 + b • x + c = O (a "' O) As raízes (soluções) desta equação
são obtidas a partir da fórmula.
-b ± .,Jt)2 -4ac x:o 2a
ou -b ±...fi
X = 2ã
Observações:
• As equações incompletas que são da forma
a.x2+b . x=O
podem ser resolvidas por fatoração.
• As equações incompletas que são da forma
a . x2+c=O
podem ser resolvidas isolando-se o x.
Discriminante Conforme o valor do discriminante
t. = IJ2 - 4 ac, têm-se as seguintes possibilidades quanto à natureza das raízes da equação ax2 + bx + c =O:
t. > O => Existem duas raízes reais e que são distintas.
ô = O => Existem duas raízes reais e que são iguais (dupla).
ô < O => Existem duas raízes que são imaginárias.
Propriedades das Raízes Soma das Raízes
b S=x1 +x2 ::-ã
Produto das Raízes c
P=X1.X2=ã Equação a partir das Raízes
x2-Sx + P = 0 Teorema da Decomposição
ax2 + bx + t = a . (x- x1) • (X- x2)
Equações Biquadradas Uma equação é denominada de
equação biquadrada na variável x, quando pode ser escrita na forma
a .x4+b.x2+c =O
A resolução de uma equação biquadrada é através da troca de variáveis, ou seja,
x2 = y ~ a. y2 + b. y + c = O
Números Proporcionais
Razão A razão entre dois números é o quo
ciente do primeiro pelo segundo. Desta forma, a razão entre os números a e b, nesta ordem, é o quociente
a antecedente b conseqüente (b "'0)
("a:· está para ''b").
Proporção Denomina-se proporção a igualdade
entre duas ou mais razões. a c b = d
(a e d são extremos; b e c são meios)
Propriedades da Proporção
!. = E. ~ a . d = b . c b d a c a + c b = d = b + d a c a-c b = d = b-d
Porcentagem
Razão Centesimal As razões, cujos conseqüentes são
iguais a 100, são chamadas de razões centesimais.
Exemplo:
7 . 81 . 15 100' 100 ' 100
Porcentagem Porcentagem ou percentagem é uma
razão centesimal que é representada pelo símbolo% que significa por cento.
Exemplos:
7' 100 = 0,07 = ?<'lo
81 100 = 0,81 = 81%
15 100 = 0,15 = 15%
Observações: A partir de urna certa quantidade ge
nérica x, observe as seguintes afirmações verdadeiras:
0,15.x = 1~0 .x ~15%dex 8
O,OB.x = 1oQ· x ~ 8% de x
37 0,37.x =
100. x => 37% de x
1,15.x = (1 + 0,15).x ~ x mais 15% de x
1 ,OB.x = (1 + O,OB).x ~ x mais 8% de x
1 ,37.x = (1 + 0,37).x ~ x mais 37% de x
Médias
Média Aritmética Denonina-se média aritmética dos nú
meros x1, x2, ... ,x, ao número mA tal que
n Exemplo:
Calcule a média aritmética entre os números 1; 3; 7; 8; 9; 10
1 + 3 + 7 + 8 + 9+10 mA= 6
mA= 6,333 ...
Média Geométrica Denomina-se média geométrica ou
média proporcional dos números positivos x1.x2, ... , x, ao número I'T1G tal que
· mG = \ /x1 . x2. ( ... ) .x., Exemplo:
Calcule a média geométrica entre os números 1; 2; 4; 8; 16
5 ,..-;;.:-;-;:;-:;-:;;-mG = ..J1.2.4.8.16 I'T1G = 4
--
J
1
I
Média Harmônica Denomina-se média harmônica entre
os números x1, x2····· Xn ao número mH tal que
Exemplo: Calcule a média hannônica entre os
números 2; 5; 9
mH = 3,69
Média Ponderada Denomina-se média ponderada en
tre os números x1, x2, ... , Xn com pesos iguais a P1. P2····· Pn. respectivamente, ao número mp, tal que
Sistema Métrico Decimal
Unidades de Comprimento As unidades de comprimento são ba
seadas no metro, unidade principal, seus múltiplos e submúltiplos.
Os múltiplos formam-se da unidade prindpal, precedida dos prefixos gregos deca (dez), hecto (cem) e quilo (mil).
Os submúltiplos formam-se da unidade principal, precedida dos prefixos gregos deci (décimo), centi (centésimo) e mili (milésimo).
'-' Assim
---------------------1~m
--------- 100 m
10 m
0,1 m
Observações: \
• Dado um número qualquer represen-tando um certo comprimento, em uma das unidades, para transfonná-lo em uma unidade imediatamente superior, basta deslocar a vírgula uma casa para a esquerda Para transfonná-lo na unidade imeáatamente inferior, basta deslocara vírgula uma casa para a cireita.
• Uma maneira mais simples é: cada "degrau" para dma, desloca-se para a esquerda uma casa dedmal e, cada "degrau" que se desce, desloca-se para a direita uma casa decimal.
Unidades de Área As unidades de área são quadrados
cujos lados são tomados corno unidade de comprimento.
A unidade principal de área é o metro quadrado, ou seja, a área de um quadrado cujo lado mede um metro de comprimento.
1m2= (1m) . (1m)
---------- +(1000m)2
-------------+ (100 m)2
----- --- (10m)2
Observações:
• Dado um número qualquer representando uma área, em uma das unidades, para transfonná-lo em uma unidade imediatamente superior, basta deslocar a "vírgula" duas casas para a esquerda. Para transfonná-lo na unidade imediatamente inferior, basta deslocar a vírgula duas casas para a direita.
• Uma maneira mais simples é: a cada "degrau" para cima, deslocam-se para a esquerda duas casas decimais e, a cada "degrau" para baixo, deslocamse para a direita duas casas decimais.
Unidades de Volumes As unidades de volumes são cubos
cujas arestas são tomadas como unidade de comprimento.
A unidade principal de volume é o metro cúbico, ou seja, o volume de um cubo cuja aresta mede um metro de comprimento.
TUJJ: 1m :
1 _}----- --., 1'm .~--1m --.!'
1m3 = (1m). (1m). (1m)
---------- (1000m)3
- ------- (100m)3 (1 0 m)3
Observações:
• Dado um número qualquer representando um volume em uma das unidades, para transformá-lo em uma unidade imediatamente superior, basta deslocar a "vírgula" três casas para a esquerda. Para transformá-lo na unidade imediatamente inferior, basta deslocar a vírgula três casas para a direita.
• Uma maneira mais simples é: a cada "degrau" para cima, deslocam-se para a esquerda três casas decimais e, a cada "degrau" para baixo, deslocamse para a direita três casas decimais.
Unidades de Capacidade As unida~s de capacidade são
baseadas no litro, unidade principal. Os múltiplos formam-se de unidade
principal, precedida dos prefixos gregos deca (dez), hecto (cem) e quilo (mil).
Os submúltiplos formam-se da unidade principal, precedida dos prefixos gregos deci (décimo), centi (centésimo), e mili (milésimo).
------------1ooo t
------~----- 100 t 10 t
Observações:
• Para transformação de unidades, o procedimento é análogo ao de mudança de unidades de medidas de comprimento.
I 1 dm
1 .__1 dm---<
Unidades Agrárias São unidades de medidas de áreas
utilizadas para avaliar superfícies de terras cultivadas, campos, matas, etc.
A unidade é o "are". O múltiplo do are é o hectare (100 vezes o are) e o submúltiplo é o centiare (0,01 vezes o are).
are: 1a =100m2
hectare: 1 ha =100 a= 10 000 m2
centlare: 1 ca = 0,01 a = 1 m2
/._.
J
'-...--'
-.........
...........
J
'...../
..._/
'--"'
'-..__..;
'--
'--
'--'
"'--
Observação: Os lavradores brasileiros medem suas terras em unidade diferente: o alqueire
(paulista):
alqueire: 1 alqueire = 24200 m2
Importante: 1 alqueire = 2,42 hectares
Potências
20= 1 ~=64 31 = 3 37 = 2187 21 =2 27 = 128 32 = 9 22=4 2B = 256 33=27 38=6561
23=8 29= 512 3'4=81 39= 19683
24= 16 210: 1024 35=243
25=32 30= 1 36= 729 310= 59049
Raiz Quadrada
{f= 1 ..J676 = 26 .J2601 = 51 .J5n6 = 76
-14 = 2 ../729 = 27 .J2704 =52 .J5929 = n -..[9 = 3 ..f7ã4 = 28 .J2809 = 53 .J6084 = 78 {f6 =4 ,1841 = 29 'Q2916 = 54"}_ .J6241 = 79 ..[25 = 5 mo= 3o .J3025 =55 .J6400 = 80 .,[36 = 6 V961 = 31 -.'3136 = 56 -.'6561 = 81
-149 = 7 .J1024 = 32 .J3249 = 57 -.'6724 = 82
-J64 = 8 .J1089 =33 .J3364 =58 -.'6889 = 83 {ãf = 9 .J1156 =34 .J3481 = 59 .J7056 = 84
..[100 = 10 .J1225 = 35 .J3600 = 60 .J7225 = 85
.J12f = 11 -.'1296 = 36 .J3721 = 61 .J7396 = 86 '1'144 = 12 -.'1369 = 37 -.'3844 = 62 .J7569 = 87
@"=~ -.'1444 = 38 .J3969 = 63 .Jn44 = 88
'@[.f= 14 .J1521 = 39 .J4096 = 64 -.'7921 = 89
-./225 = 15 .J1600 = 40 .J4225 = 65 .J8100 = go
-J256 = 16 .J1681 = 41 .J4356 = 66 .J8281 = 91
../289 = 17 .J1764 = 42 .J4489 = 67 .J8464 = 92
../324 = 1~ .J1849 = 43 .J4624 = 68 .J8649 = 93
...J36f = 19 .J1936 = 44 .J4761 = 69 -.'8836 = 94
.,f4õif = 20 .J2025 = 45 .J4900 = 70 .J9025 = 95
.,1441 =21 .J2116 = 46 .J5041 = 11 .J9216 = 96
.J4ã4 = 22 .J2209 = 47 .J5184 = 72 .J9409 = 97
&9= 23 .J2304 = 48 -.'5329 = 73 -.'9604 = 98
..[576 = 24 .J2401 = 49 -.'5476 = 74 .J9801 = 99
-1625 = 25 .J2500 =50 .J5625 = 75 -.' 10000 = 100
ESTUDO DAS FUNÇÕES I( Função Imagem e Cont~omfnio
Dados dois conjuntos A e B, chama- Sendo a função f: A -+ B, o conjunto se função f: A -+ B a toda relação na B é chamado de contradomínio da fun-qual, para todo elemento de A, existe ção f, e o conjunto formado pelos ele-um único correspondente em B. mentos de B, que estão relacionados
através de f com elementos do conjunto A, é chamado conjunto-imagem.
f: A-+ B f x -+ y =f(x)
C?fC0 Obs~rvação:
E necessário que todo elemento x E A esteja relacionado com algum elemento y E B, e esta relação deve ser única.
Exemplos de Funções:
I. A
A B 11.
A B
A B
I.
A B
11.
Exemplo:
f:A-+ B Domínio· O(f) = A = {- 1· - 2· 1· 2· 3} Imagem:. lm(f) = {O; - 1; :.._ 2; '3; '4} ' Contradomínio: CO (f)= B
Função Constante Uma função f: IR -+IR é denomina
da de função constante quando definida por uma sentença do tipo
Y=f(x) = K
onde k é um número real.
Exemplo:
Seja f: IR -+ IR tal que f(x) = 3 IR IR
Qáficode lml fU1ção Coosta1le O gráfico de uma função constante,
y = f(x) = K, será uma reta paralela ao eixo das abscissas, ou seja,
y
f(x) =k k
k { X
I
'--"
J
I I
Função do 1g Grau ,__, Função do 1 2 grau, ou função afim, é
-
aquela que associa a todo número real x, um outro número real y, tal que
y = f(x) = ax + b onde a, b e IR (a ;e O)
Exemplo: f(x) = 2x - 5
Gráfico de uma Função do 12 Grau O gráfico de uma função do 12 grau
é uma reta não paralela ao eixo das abscissas.
Graficamente, existem duas situações a considerar:
• 12 Caso Função Crescente: a > O
y
f(x)=aX+ b
X
• 22 Caso: Função Decrescente: a < O
y
f(x) = ax +b
Exemplo:
f(x) = 2x- 7 (crescente)
f(x) =~4x + 1 (decrescente)
Sinal de uma Função do 12 Grau
X
O sinal de uma função do 1 2 Grau é qeterminado pela variação da imagem. E o sinal do y.
f(x) = ax + b a~ o
f(x) = O - para x = ><o f(x) > O - para x > ><o f(x) < O - para x < ><o
f(x) = ax + b a<O
y
f(x) = O - para x = ><o f(x) > O - para x < ><o f(x) < O - para x > ><o
Observação:
X
Através do estudo do sinal de uma função resolvem-se inequações do 12
grau (assunto posterior).
Função do 22 Qal Uma função f: IR-+ IR é denomina
da de função do 22 grau ou função quadrática, quando associa a todo número real x, um outro número real y, tal que
y = f(x) = ax2 + bx + c
onde a, b e c e IR (a ;e O).
Exemplo:
f(x) = 7x2- 4x -1
Gráfico de uma Função do 22 Grau , O gráf~co de uma função do 2º grau e uma parábola no plano cartesiano.
Graficamente, existem duas situações a considerar:
• 1 º Caso: a > O Concavidade voltada para cima.
y
X
Exemplo:
f(x) = 2x2 + 7x - 6
(concavidade voltada p/cima)
• 22 caso: a < O Concavidade voltada para baixo.
y
Exemplo:
f(x) = ex2 + 7x - 5
(concavidade voltada plbaixo)
Zeros da Função Quadrática São os valores da variável x para os
quais a função se anula, ou seja,
f(x) = ax~ bx + c = O
Graficamente são os pontos de intersecção da parábola com o eixo das abscissas.
a>O
LI.<O
a<O
LI.<O
Observação: _ A inter~o da parábola de equa
çao y = ax2 + bx + c com o eixo das ordenadas é o ponto de coordenadas {O, c).
c
Vértice da Parábo a É o ponto extremo de uma função
do 2º grau da forma y = f(x) = ax2 + bx + c. . Se a , cx_:>ncavidade é voltada para
c1ma, o vert1ce representa um ponto de mínimo da função.
v
.J
I I
--
Se a concavidade é voltada para baixo, o vértice representa um ponto de máximo da função.
Coordenadas do Vértice As coordenadas do vértice da parábola
obtidas através da função do 2-2 grau y = ax2 + bx +c é (xv; Yv), onde
b 6. Xv =- 2a e Yv =- 4a
Exemplo:
y = f(x) = - 2x2 + 6x - 1
• X =-_Ê_ v 2a 6 6 3
Xv= - 2(- 2) = 4 = 2
A b2 - 4ac • Yx = - 4a = - 4a
- - 62 - 4 . ( -2) . ( -1) - 7 Yv - 4(- 2) -2
• V= (~ · I. ) 2 ' 2
Observação: O Yv pode ser calculado a partir do
valor do xy. ou seja:
Yv = f(xv)·
Sinal de uma Função do 2º Grau O sinal de uma função do 2-2 grau é de
terminado pela variação da imagem: é o sinaldoy.
f(x) = ax2 + bx + a>O [ill]
f(x) = O - para nenhum x f(x) > O - para todo x E IR f(x) < O - para nenhum x
f(x) = ax2 + bx + c a>O \ 6.=0 ----
f(x) = O - para x = Xo f(x) > O - para x < Xo ou x > Xo f(x) < O - para nenhum x
f(x) = ax2 + bx + c a>O 6.>0
f(x) =O - para x = x1 ou x =X2 f(x) >O - para x < x1 ou x > x2 f(x) <O - para x1 < x < x2
f(x) : ax2 + bx + c a<O JA ~s
f(x) = O - para nenhum x f(x) > O - para nenhum x f(x) <O - para todo x E IR
f(x) = ax2 + bx + c 8<0 t> =O
Xo
f(x) = O - para x = Xo f(x) > O para nenhum x f(x) < O - para x < Xo ou x > Xo
f(x) = ax2 + bx + c 8<0 ~>0
f(x) = O - para x = x1 ou x = x2 f(x) >O - para x1 < x < x2 f(x) <O - para x < x1 ou x > x2
Resolução de Inequações do 12 Grau A partir do sinal de uma função do 1º
grau na variável x, estuda-se a resolução de inequações do 12 grau da forma
ax+b>O
ax+b ~ O
ax+b<O
ax+b ::;; O
Resolução de Inequações do 2!1 Grau A partir do sinal de uma função do 2º
grau na variável x, estuda-se a resolução de inequações do 2º grau da forma
ax2+bX+C>0
ax2+bX+C ~ 0
ax2+bX+C<0
ax2+bX+C ::;; 0
Inequações Produto As inequações do tipo produto, na
variável x, são aquelas do tipo
f(x) . g(x) ~ O
ou
f(x) . g(x) ::;; O
ou
f(x) . g(x) > O
ou
f(x) . g(x) < O
onde f(x) e g(x) são funçX)es de 1 º e/ou 2º graus.
A resolução de tais inequações é através da regra de sinais, pois o resul- __./ tado é um produto.
Lembrete:
Exemplo:
(+). (+) = (+)
(+). (-) = (-) (-) . (+) = (-) (-) . (-) = (+)
(2x- 4) . (x2 -16) <O
2x-4 - --- ---2 .-'!·++++ + .· -...../
x2-16-++-+--~~+ ~ Produto- --- + + -- +++
'lll!llillti!IIIM '---' -4 2 4
Portanto
X<-40U2<X<4
Inequação Quociente As inequações do tipo quociente na '-'
variável x são aquelas do tipo
f(x) ~ 0 g(x)
ou
f(x) ::;; 0 g (x)
ou
f(x) > 0 g(x)
ou
f(x) < 0 g (x )
onde f(x) e g(x) são funções de 1 º e/ou 2º graus.
A resolução de tais inequações é através da regra de sinais, pois o resultado é um quociente.
\ .. ../
j
1 l
/ '-
Observação:
g(x) * O
Exemplo:
(x2 - 4x + 3) > 0 (x2 +7x - 10)
x2-4x+3
x2+ 7x-10
Quociente -----, + + ++
'"'"""
\
5 ___ -
2 3 5
.__... Portanto, 1 ~ x < 2ou3 ~ x<5
Problemas de Domínio de Funções Obter o domínio de uma função f dada por uma sentença y = f(x) significa determi
nar qs valores da variável x para os quais existem valores de y em correspondência. E importante lembrar-se da aritmética que:
--la existe para a:::-: O (real) a b existe para b * O
~ existe para b > O
-vf existe para~ :::-: O
Composição de Funções
--la -.Jb existe para a :::-: O e b > O
A composição entre duas funções é uma operação que tem por objetivo substituir as atuações sucessivas destas funções por uma única função.
Função Composta Sendo as funções f: A- B e g: B -C, denomina-se função composta gof: A -C
a função definida por
Exemplo:
Cálculo de (gof) (3)
(gof) (3) = g(f(3))' (gof) (3) = g (2.3 + 1) (gof) (3) = 9J7) (gof) (3) = 7 (gof) (3) = 49
(gof) (x) = g (f(x))
f(x) =2x + 1
g(x) =x2
g (f(x)) = f(x)2
g (f(x)) = (2X+ 1 ~ g (f(3)) = (2.3 + 1 ~ g (f(3)) = 49
Funções Pares Uma função f será denominada de
função par quando para todo x do seu domínio:
f(- x) = f(x)
Exemplo:
f(x) = x4- 3x2
f(- x) = (- x)4 - 3 (- x)2 = x4- 3x2 = f(x)
Observação 1 :
A função f(x) = cos x é uma função par, pois cos (- x) = cos x.
Observação 2:
Toda função polinominal que apresenta somente expoentes pares é uma função par.
Observação 3:
O gráfico de qualquer função par é simétrico em relação ao eixo dos y.
y
X
Funções Ímpares Uma função f será denominada fun
ção ímpar quando para todo x do seu domínio:
f(- x) =- f(x).
Exemplo:
t(x) = x3 + Sx
f(- x) = (- x)3 + 5(-x)=-x' -Sx =-(x' + Sx)=-f(x)
Observação 1.:
A função f(x) = sen x é uma função ímpar, po1s sen (- x) =- sen x.
Observação 2:
' . Toda função polinominal que apresenta somente expoentes ímpares é uma função ímpar.
Observação 3:
O gráfico de qualquer função ímpar é sirnétrioo em relação à origem do sistema cartesiano. y
X
Tlpologia das Funções Existem algumas funções que, devido
às suas características, podem ser dassificadas em funções: injetora, sobrejetora e bijetora.
Função Injetora Uma função f: A - 8 é denominada
de função injetora se, e somente se, ~lamentos distintos em seu do~~Jínio co~iatas.Ao seu contradomínio.
A B
X1 ;o!o X2 ~
Observação: O reconhecimento, a partir do gráfico,
de uma função injetora é feito traçandose retas paralelas ao eixo x: se essas retas interceptam o gráfico de f, no máximo em um ponto, a função é injetora.
y
X
./
)
'
Função Sobrejetora ..__r~ ~~rvO ·....c, r Observação: Uma função f: A -+ 8 é denomi~~ O recbnhecimento, a partir do gráfi-
de função sobrejetora se, e somente se, co, de uma função bijetora é feito tra-o conjunto-imagem da função for çando-se retas paralelas ao eixo x no igual ao contradomínio_ contradomínio: se estas retás intercep-
A 8 tam o gráfico de f, em um e um só
lm(f) = 8
Observação: O reconhecimento, a partir do gráfi
co, de uma função sobrejetora é feito traçando-se retas paralelas ao eixo x: se essas retas interceptam o gráfico de f, em pelo menos um ponto (no seu contradomínio), a função é sobrejetora .
y
f : A -+ 8
Função Bijetora Uma fuQÇão f: A -+ 8 é denominada
de função bijetora se, e somente se, for injetora e sobrejetora.
ponto, a função é bijetora.
y --------- - f: A ... B
B
A X
Função Inversa Toda função bijetora f: A -+ 8 admi
te uma função r-1: 8 -+A denominada de inversa de f.
A B
Observação: r , Uma função admite inversa, se e so
mente se, for bijetora.
Regra Prática: Para se obter a inversa de uma fun
ção, devemos proceder da seguinte forma:
troca-se x por y e y por x; isola-se o y em função do x;
Exemplo: A B
f : A -+ 8 r-1 : 8 -+ A
f(2) = 5 - r-1 (5) = 2 t(3) = 7 - r1 (7) = s f(4) = 9 - r-1 (9) =4
ESTUDO DOS lOGARITMO~ Equações Exponenciais
Uma equação é classificada de equação exponencial quando apresenta uma incógnita no expoente. Resolver uma equação exponencial consiste em determinar o valor da incógnita, que aparece como expoente, que verifica a correspondente sentença dada.
Resolução de Equações Exponenciais A resolução de uma equação expo
nencial é efetuada através das propriedades de potenciação objetivando sempre chegar-se numa igualdade do tipo
aX =aY
que por COI'Jl)alaÇão tem como cons& qüência
Exemplo 1:
Exemplo2:
x=y.
2x= .Y128
2X:..J2T
7 7 2X:2 2 => X=2
s2X-6.SX+5=0
• 5x = y => 1-s • y + 5 = o
y=1
ou
y=5
• 5X = 1 => 5X = 5° => X = 0
ou
• 5X = 5 => 5X = 51 => X = 1
Logaritmos Palavra Logaritmo
A palavra "Logaritmo" tem o seguinte significado:
Expoente a que se deve elevar um número constante para se obter outro número.
Palavra Logaritmação A palavra "Logaritmaçãd' tem o se
guinte significado: Operação inversa da potenciação,
pela qual, dadas a potência e a base, se determina o expoente.
Exemplo:
~=32
5 é o logaritmo de 32 na base 2
Definição de Logaritmo Dados dois números reais positivos
a e N, com a * 1 , denomina-se logaritmo de N na base a o expoente x ao qual deve-se elevar a base a para obter-se o número N.
~ log~x <=> aX = N
(a > O, a* 1, N > O)
Exemplos
• log~2 = 5 <=> 25 = 32
• log10100 = 2 <=> 102 = 100 1
1 2 • logg3 = 2 <=> 9 = 3
Observação 1 :
la:base
log8 N = x - N : logaritmando x : logaritmo
Observação 2: Por convenção, quando não se escreve
a base do logaritmo Sl.bentende-se base 1 O.
log X = log10X
Esta convenção é feita pelo fato de ser a base mais utilizada.
Observação: Existe na aplicação de Matemática
Financeira, da Física e da Biologia, o logaritmo natural ou também conhecido logaritmo neperiano, que nada mais é que logaritmo de base e, ou seja,
enx=IOQeX,
onde e= 2,718 ...
I ,___,
L
L
L
'---" Conseqüências da Definição
J
'---
~
......._.
'-"'
__)
...._)
J
A partir da definição de logaritmos provam-se as seguintes conseqüências:
Exemplos:
1oga1 =O
logaa = 1
logaa"= n
alog: =X
• log3 1 =0 ~ 3°=1
• log77 = 1 ~ 71 = 7
• logs53 =3 ~ 53= 53
• 2 109~ = 10
Importante Urna conseqüência importante da
definição é:
a = ~ n IOQa a = Ioga ~
Logaritmo do Produto O logaritmo do produto de dois ou
mais números é a sorna dos logaritmos destes números.
log8 (A.8) = log8 A + Ioga 8
(a > O, a* 1, 8 > O, A> O)
Verificação:
• logaA=m ~ am=A
• 1oga8=n ~ am=8
Ioga (A . 8} = Ioga (am . a") Ioga t . 8) = Ioga am+n Ioga A . 8 = m + n Ioga A . 8~ = Ioga A+ Ioga 8
Logarit~do Quociente O logaritmo do quociente de dois nú
meros é a diferença entre os logaritmos destes números.
A Ioga (0 ) =Ioga A - Ioga 8
(a > O, a* 1, A > O, 8 >O)
Verificação:
• Ioga A = m ~ am = A
• Ioga 8 = n ~ a" = 8 A am
Ioga (-B) =Ioga (a")
Ioga(~) =Ioga am-n A
Ioga (8 ) = m- n A Ioga (8 ) =Ioga A-Ioga 8
Logaritmo da Potência O logaritmo da potência de um nú
mero é o produto do expoente desta potência pelo logaritmo do número dado.
log8 A"=n . log8 A
(a > O, a* 1, A > O)
Obser\tação:
logaA" * (logaA)"
Verificação:
•logaA=m ~ am=A
Ioga A"= Ioga (al"ll)" Ioga A" = Ioga am.n logaA"=m.n logaA"=n.m Ioga A" = n.loga A
Cologaritmo O cologaritmo de um número dado,
numa certa base, é o oposto do correspondente logaritmo do mesmo número e na mesma base, ou seja,
Exemplo:
colog8 N = -log8 N (N>O; a>O; a * 1)
colog3 71 = - log3 71
Importante:
Utilizando a definição de cologaritmos e as propriedades de logaritmos, temos: colog. N = - log.N =- 1.1og.N = log.N"""1 = logo (~ ) ou seja, o cologaritmo de um número é o logaritmo do inverso deste número.
Mudança de Base É possível, utilizando a definição e
as propriedades de logaritmos, efetuarmos mudança de base quando necessário. Para tanto, verifica-se a seguinte relação:
log8 N 1ogb N = log ab
(N>O,a>O,b>O,a * 1, b * 1)
Exemplo:
Importante:
Urna conseqüência de mudança de base
1 Ioga N = log Na
Logaritmos Decimais
O sistema de logaritmos mais utilizados é o de base 1 O. Este sistema é chamado de logaritmo decimal.
O logaritmo decimal de qualquer número real positivo pode ser decomposto numa sorna de um número inteiro com um número real m e [0, 1 ), ou seja,
log10 N =C + m
onde c = parte inteira (característica) m =parte decimal (mantissa)
Ptoprledades da caacta ística A característica do logaritmo decimal
de um número real e positivo N admite as seguintes propriedades:
• N>1
' A característica da logN, aumentada de l.llla unidade (1), fornece o número de algarismos da parte inteira de N.
Exemplo:
- log1oX=21,345 característica = 21
{ nº de. algarismos de x = 22 mantissa = 0,345
• 0<N<1
A característica do logN é igual ao oposto do número de zeros que precede o primeiro algarismo significativo de N.
Exemplo:
- log0,00213 característica = - 3
- log0,00041 característica = - 4
Propriedade da Mantlssa A mantissa do logaritmo decimal de
um número N, log N, não se altera se multiplicarmos o número N por urna potência de 1 O com expoente inteiro.
log (10X. N) = log10X + logN = x + log N
Exemplo: log 2 = 0,3010 log20 = 1 ,3016 log200 = 2,301 o log2000 = 3,301 o
Logaritmo Preparado Quando aparecem logaritmos nega
tivos, para que a leitura, tanto da característica quanto da mantissa, possa ser efetuada sem qualquer cálculo, é conveniente o uso da forma preparada, onde somente a característica é negativa.
Exemplo: log X = - 2,317 log X = - 2 - 0,317 log X =-2- 1 + 1 - 0,317 log X =-3 + 0,683 logx = 3,683
Esta última forma é chamada de forma mista ou preparada.
Equações Logarítmicas As equações logarítmicas são de
grande importância para fixação da definição e das propriedades sobre logaritmos.
As equações logarítmicas podem ser reduzidas em três casos:
fi caso: Um logaritmo de um lado da igual
dade e um número no outro:
Exemplo:
log8 x=a
log2 (x- 4) = 4 x - 4=:?4 x-4=16
X=~
Observações:
• Neste caso deve-se aplicar a definição de logaritmo, para eliminá-lo.
• Se ocorrer mais de um termo envolvendo logaritmo, deve-se primeiro, através das propriedades, reduzi-los a um só.
~caso:
Um logaritmo de um lado da igualdade e um outro logaritmo na mesma base, do outro lado.
Ioga x = Ioga y
~
X=Y
Exemplo:
' log2 (x- 4) = log216 x-4=16
X=~
Observações:
• Neste caso, a resolução é feita eliminando-se os "log" membro a membro e, então, comparando-se os antilogaritmos.
• Caso apareçam vários logaritmos, deve-se primeiro, através das propriedades, reduzi-los a dois logaritmos, um em cada membro ..
Importante
Toda solução deve verificar as restrições quanto à existência dos logaritmos.
39Caso Logaritmos em bases diferentes de
vem ser reduzidos a uma única base.
log8 N 1ogb N = log ab
Função Exponencial
Sendo a E IR,ondea>Oea;t 1, define-se corno função exponencial de base a toda sentença f: IR -+ IR, que a cada x E IR faz corresponder um aX E IR, ou seja,
y=f(x) = aX Observações:
(1) O domlnio de uma função exponencial é IR.
(2) O conjunto-imagem de uma função exponencial é 1 ~ •
Gráfico de uma Função Exponencial O gráfico de f(x) = aX é uma curva
situada acima do eixo das abscissas, pois as imagens desta função são estritamente positivas. A curva de uma função exponencial pode ser:
• Crescente: a > O
y
y=a'
X
• Decrescente: O < a < 1
y
y=a'
X
Exemplos:
(1) f(x) = 2x
função crescente, pois a base é superior a 1 (um).
1 X (2) f(x) = (3)
função decrescente, pois a base está entre O (zero) e 1 (um).
Inequações Exponenciais As inequações exponenciais são
aquelas em que a variável (incógnita) aparece sob a forma de um expoente. Existem duas situações:
(2) o < a< 1: ax1 < ax2 cz rP .... x1 > x2
t 1nve e t
A explicação do correspondente procedimento está no crescimento ou não de uma função exponencial.
-~-----~-
a>1:
a'> ---------
a''
o< a< 1:
Função Logarftmlca Sendoa E IR,ondea>Oea #1,
define-se, como função logarítmica de base a, toda sentença f: I~*-+ IR, que a cada x E IR faz corresponder um l09a x E IR, ou seja,
y = f(x) = Ioga x
Observações:
(1 ) O domínio de uma função loga-rítmica é 1~*. ·
(2) O conjunto-imagem de uma função logarítmica é IR.
Gráfico de uma Função Logarítmica O gráfico de f(x) = logaX é um~ curya
situada no 1 2 e 42 quadrantes, po1s existe somente para valores reais positivos dex.
A curva de uma função logarítmica pode ser:
'---'.
____ ,
'--"
'--'
"---/
"--"
\..._...
\..../
'--'
'-./
"---/
"---/
J
l '--"
'--' I .....__
"--'
'--'
'--'
'-./
'-.../
-~
• Crescente: a > O
Y= IOQa X
• Decrescente: O < a < 1
y =logax
Exemplos:
(1) f(x) = log2 x função crescente, pois a base é superior a 1 (um).
(2) f(x) = log1/3 X função decrescente, pois a base esta entre O (zero) e 1 (um).
Inequações Logarítmicas
As inequações logarítmicas são resolvidas de maneira análoga a inequações exponenciais. Existem duas situações:
A explicação de tal procedimento está no c~scimento ou não de uma função logarítmica.
a>1:
0<8<1:
X1 < X2 ~ Ioga X1 > Joga X2
PROGRESSÃO ARITMÉTICA V Deflniçlo
Uma seqüência (a1, a21 a3! .. an, ... ) é uma progressão aritmética (PA) se, e somente se, cada termo, a partir do segundo, for igual à soma do termo .anterior com uma constante r denominada razão da PA.
Exemplo:
(5, 8, 11, ... ) ----r=3
111 Genericamente:
+r +r +r... + r (á;,'l~';a4 . ... , a~n .. .. )
Exemplos:
a) (3, 5, 7, 9, ... ) ~ r= 2 >O
(crescente)
b)(21, 18, 15, 12, ... )--H=-3< 0
(decrescente)
c) (8, 8, 8, 8, ... ) ~ r= O
(constante)
CALCULO DA RAZÃO r
l n e IN lr=an- an- 11 e
n ~ 2
ou simplesmente:
I r = T. qualquer - T. anterior I
Nos exemplos anteriores, temos:
a) r = 5 -- 3 = 7 - 5 = ... = 2 b) r = 18 - 21 = 15 - 18 = ... = --3 c) r = 8 - 8 = ... = O
' Fórmula do termo Geral
an = a1+(n - 1).r
Esta igualdade é conhecida como fórmula do termo geral de uma PA. Ela fornece um termo qualquer (Sn) da PA em função da posição (n) de~ termo, do primeiro termo (a1) e da razao (r) da PA considerada. Exemplos: a) FJ
a8 = a1 + 7.r
tal b)
A fórmula do termo geral generalizada fica:
8n = ak + (n - k) • r
onde élt< é um termo intermediário da PA. Exemplos:
a) A a1o = a4 + 6.r
ta-+
Notações Especiais
PA com 3 termos:
(x- r, x, x + r) razão ~ r PA com 4 termos:
(x - 3t, x - t, x + t, x + 3t) razão ~ 2t PA com 5 termos:
(x - 2r, x-r, x, x +r, x +2r) razão ~ r
""---·
·...___ Exemplos: CD A soma de 3 termos em PA é 21, o produto do menor termo pelo termo do meio é 28. Determine a PA. Solução: Sendo (x-r, x, x +r) PA crescente, temos:
'-../ {X - r + X + X + r = 21 (X-r).X=28 v
Do sistema vem x = 7 e r ::;: 3. Portanto, a PA é (4, 7, 10).
@ Numa PA, a soma dos 4 termos é 24 e o produto do menor pelo maior é 27. Determine a PA. Solução: Sendo (x - 3t, X- t, X+ t, X+ 3t) a PA, vem:
{
X - 3t + X - t + X + t + X + 3t = 24 '-" (X - 3t) (X + 3t) = 27
Resolvendo o sistema, resulta x ::;: 6 e t ::;: 1 ou t ::;: - 1. Logo, temos 2 soluções: • (3, 5, 7, 9} ou (9, 7, 5, 3)
Propriedades I . .....__,
c> P1: TERMO MÉDIO
J
1 I
Dados três termos oonsecutivos em PA, o termo do meio é média aritmética dos outros dois.
se ( ... ,a, b, c, ... ) é PA, então:
Exemplo:
b _ a + c - 2
(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14)
4 = 2;6; 6=4;8; 8 = 6+210;
O P.2: SOMA DOS TERMOS EQUIDISTANTES DOS EXTREMOS
Em toda PA finita a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Exemplo:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13)
t t LJ t t 1 +13=3+11 =5+ 9
c> Pa: Nt.rna PA com rúnero Írt1)ar de terrms, o terrro médo é média aritmética
dos e~ e, !X)rtanto, é tarrbém média~ de qJakJJer ~ de termos eqüidistantes dos extremos. Exemplo:
(1,3, 5, 7,9,11 , 13) ~ n::;:7
l T m (termo médio)
T -7 - 1+13 _ 3+11 _ 5 + 9 m- -~- 2 - 2
Observação: Dada a PA (a1 •... , ap , .. , aq , ... , éln),
para descobrirmos se os termos ap e élq são eqüidistantes dos extremos, basta: verificar se:
p +q=n+1
Interpolação Aritmética lnterpolar ou inserir K meios aritméti
cos entre os números a e b significa construir uma PA com (k + 2) termos, onde a é o primeiro termo e b é o último.
(a,_ , ... ,_ ,b) ~ PA
Kmeios ::: ~ I -+ r =? n = k +2
Geralmente resolve-se esse problema calculando-se a razão através da fórmula do termo geral. Exemplo: lnterpolar três meios aritrnélico:; entre 2 e 14.
a1 =2 a0 = 14 n=5 r=?
a0 = a1 + (n -1). r 14 = 2 +(5-1). r
I r= 31 Logo: (2, 5, 8, 11 , 14)
Soma dos Termos
A soma Sn dos n primeiros termos de uma PA é dada por:
Exemplo:
~ _ ( a1 + a, ) n ~ - 2
obter a soma dos termos da PA.
(- 6, -3, o, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21) ~ n = 10 ~ . a1 a10
(a1 + a10). 10 5 10 = = (- 6 + 21 ) . 5 = 75
PROGRESSÃO GEOMÉTRIC~ V Definição
Uma seqüência (a1•. ~ <la •.. , a.,. ... ) é uma progressão geomenica (PG) se, e ser mente se, cada termo, a partir do ~undo, for igual ao produto do termo antenor por uma constante q denominada razão PG Exemplo:
(3, 6, 12, 24, ... ) -t q = 2 ~ ~ ~ ~ a1, a2, ~ ~ •...
Genericamente:
xqxqxq  (C,'à~~ .... ' á, _,.).n, ... )
Exemplos: a) (1, 2, 4, 8, 16, ... ) -t q = 2
1 b) (81' 27, 9, 3, 1' ... ) -t q = 3
c) (4, 4, 4, 4, 4 , ... ) -t q = 1
Cálculo da Razão q As progressões geométricas que
abordaremos em nossos estudos são aquelas de termos não nulos e de razão diferente de zero. Assim, a partir da definição decorre de imediato que:
a q = - "- , V n e Nen ~ 2
Bn - 1
ou simplesmente:
q = tenno quar3nõ; tenno a
Exemplo: (4, 12, 36, ... )
12 36 q = 4 = 3 ou q = 12 = 3
Classificação Basicamente podemos classificar as
progressões geométricas em:
c> CRESCENTES: Gada tenno é maior que o anterior.
Exemplo: (1' 4, 16, 64, ... ) -t q = 4
c> DECRESCENTES: Cada termo é menor que o anterior.
Exemplo: 1
(32, 16, 8, 4, ... ) -t q = 2
c> CONSTANTES: Cada termo é igual ao anterior.
Exemplo: (5, 5, 5, 5, ... ) -t q = 1
c> OSCILANTES: Gada termo tem sinal contrário ao do termo anterior.
Exemplo: (3, - 6, 12,-24, ... ) -t q = - 2
Fórmula do Termo Geral
8n = a1. qn -1
Esta fórmula é conhecida como fórmula do termo geral de uma PG. Ela fornece um termo qualquer (Sn) da PG em função da posição (n) desse termo, do primeiro termo (a1) e da razão (q) da PG considerada. Exemplos:
a)
b) ~9 a10 = a1 . q
ta-J A fórmula do termo geral generaliza
da fica: Sn =Si( . qn- k
onde 8k é um termo intermediário da PG.
Exemplos: a) ~4
a7 = a3 . q
!a-J
b)
-
Notações Especiais Para resolvermos problemas de PG
com 3 4 ou 5 termos desconhecidos, é conveniente utilizarmos as seguintes notações:
PG com 3 termos:
X ( - , x, xq ) razão ~ q
q
PG com 4 termos:
x x 3 razão ~ ~ (ti't'xt , xt )
ou
(x, xq, xq2, xq1 razão ~ q
PG com 5 termos:
x x 2) razão ~ q ( q2 , q , x, xq , xq
Exemplo: _ • Determine a razao da PG de tres
termos, em que a soma dos termos é 14 e o produto 64.
Solução:
Sendo (~ , x , xq) os termos da PG, temos:
l~+x+xq = 14 (I)
~ . x . xq = 64 (11) q
(11) ~ x3 = 64 ~ X = 4 (1 11)
(111) ~ (I) ~ ~ + 4 + 4q = 12
Donde vem:
<q = 2
2q2 - 5q+2 = 0 1 q =2
Resposta: A razão vale 2 ou ~
Propriedades
O P1 : TERMO MÉDIO Dados três termos consecutivos em
PG o termo do meio é média geométrica dos outros dois.
Sencb ( ... , a, b, c, ... ) uma PG, terra;:
b2 =a.c
Exemplo: (1, 2, ~. 8, 16) 22 = 1 . 4; 42 = 2 . 8; 82= 4 . 16; ...
O P2: PRODUTO DOS TERMOS EQÜIDISTANTES DOS EXTREMOS Em toda PG finita o produto de dois
termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos.
Exemplo: (1 , 2, 4, 8, 16, 32, 64)
t t LJ t t 1 . 64 = 2.32 = 4 . 16
Observação: Dada a PG (a1, ... , ap. ···· aq. ... , <in),
para descobrirmos se os termos Bo e ~ são eqüicfistantes dos extremos, basta venficarse:
O P3:
Numa PG com número ímpar de termos o termo médio é média geométrica dos extremos e, portanto, é também média geométrica de qualquer par de termos eqüidistantes dos extremos.
Exemplo:
(1 , 2, 4,8, 16, 32, 64) ~ n = 7 ~ T m (termo médio)
i = a2 = 1 . 64=2 . 32 = 4.16 m
Interpolação Geométrica
Interpelar ou inserir k meios geométricos entre os números a e b dados, significa construir uma PG com k + ~ termos, onde a é o primeiro termo e b e o último.
{a, _,_, ... , __ ,b) ~ PG
Kmeios :::: I n = K +2
Geralmente resolve-se esse problema calculando-se a razão através da fórmula do termo geral.
Exemplo: Interpelar três meios geométricos
entre 2 e 32.
Solução: Devemos formar uma PG onde: a1 = 2 a, = 32 n = 3 + 2 = 5 Aplicando a fórmula do termo geral
para calcular a razão, vem: an=a1.qn- 1
32 = 2.q4
<f= 16 < q = 2
q= - 2
Então, teremos:
Para q = 2 ~ (2, 4, 8, 16, 32)
Para q =-2 ~ (2, ~ 4, 8, - 16, 32)
Produto dos Termos Sendo a PG (a1, ~ ... , an, ... ) , o procli
to P n de seus n primeiros tenros é daOO por.
Pn = ± --i(a1 • an)"
A escolha do sinal de Pn deve ser feita de acordo com um dos casos a se-guir:
{
se todos os termos forem positivos
-+ ou
se o número de termos negativos for par.
0 -+ { se o número de termos negativos for
U fmpar.
Uma outra fónnula para o cálculo do produto Pn é expressa por:
n(n - 1) Pn = (a1)" . q- 2-
0bservação: Essa fórmula fornece o produto já
como sinal. Exemplo:
Calcular o produto dos sete primei-ros termos da PG (2,- 4, 8, ... )
Solução: Temos: a1 = 2 • a7 = a1 . q6
q = - 2 a7 = 2 . (- 2)6 n = 7 a7 = 27
• Observe que os termos de ordem par são negativos. Portanto, temos três termos negativos entre os sete termos que estamos tomando da PG. Logo, o produto desses sete termos é negativo.
• Pn = ± 'l/ca1 ., a,)"
P1=-..Jca1 .a7/
p7 = - 228
ou, pela outra fórmula: n n (n -1 )
•Pn=(a1) .q 2
7 (7-1) p7 = (2)7 . - 2-2-
p7 = 27 . (- 2)21
Soma dos termos de uma PG Finita A sara Sn cbs n ptneiros tenros 00. PG. (a1, a2 , ... , ao-h a,, ... ) é dada por:
a1 ( q"- 1 ) Sn = 1 com q ;e 1 q -
ou, então por: an . q- a1
Sn = q _ 1 com q ;e 1
Observação: para q = 1 , temos:
Sn=n . a1
Exemplos: a) Obter a soma dos 1 O primeiros termos
da PG ( 3, 6, 12, ... ). Temos:
s10 = 3069 b) Obter a soma dos termos
(2, 4, ... • 512). Temos:
a1 = 2
q = 2
an = 512
s = 512 .2 -2 " 2-1
Sn = 1022
da PG
r '·
Soma dos termos de uma PG Infinita
Consideremos a PG inifinita (a1, a2, ... an . ... ) com -1 < q < 1 . Nessas condições a soma converge para um valor que indicaremos por S~ e que será calculado através da seguinte fórmula:
a, s~ = 1 - q
Exemplo: Calcule a sGma dos termos da PG
1 1 1 ( 1 • 2 . 4 . 8 . .. . ).
Temos:
a1 = 1 1 q=-2
1 8~ =--1
1-2
S~ =2
TRIGONOMETRIA Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Triângulo retângulo é qualquer triângulo que possui um ângulo reto (900). Assim, o triângulo ABC, a seguir, é retângulo em A.
.'~ A ·a
Sendo a a medida de um ângulo agudo de um triângulo retângulo, definimos as seguintes razões trigonométricas.
Q Chama-se seno de a ao quociente entre a medida do cateto oposto ao ângulo de medida a e a medida da hipotenusa
sen _ Cateto oposto a a. a. - Hipotenusa
Q Chama-se co-seno de a. ao quociente entre a medida do cateto ad-jacente ao ângulo de medida a e a medida da hipotenusa.
Cateto Adjacente a a. cos a = Hipotenusa
Q Chama-se tangente de a ao quociente entre a medida do cateto oposto ao ângulo de medida a. e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.
tg a = Cateto Oposto a a. Cateto Adjacente a a.
Exemplos: a)
A 8
Temos:
senB=E_ a e sen C=ã
COSB=ã e cos C=~ b
tg B=c e c
tg C= 0
b) Calcule sen a + cos a - tg a considerando a figura a seguir:
c
A 1 B
• Aplicando Pitágoras, temos:
BC 2 = AB 2 + AC 2
AC = -{3
AC -{3 • sen a. = -=- ~ sen a. = 2
BC
AB 1 • cos a. =-=- ~ cos C/.= 2
BC
AC ..f3 • tg a. = --= =} tg a. = T =} tg a. = ..f3
AB
• Portanto: sena+COSa - tga =
Observação:
l sen a = cos~ a+~ = goo~
sen ~ = cosa Ângulos
Complementares
Ângulos Notáveis
~ o 30° 45°
1 -{2 sen - -
2 2
~ -{2 c os - -
2 2
tg ~
1 -3
Relações Trigonométricas num Triângulo Qualquer
Lei dos Senos
60°
~ -2
1 2
~
G "Em qualquer triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. A constante de proporcionalidade é igual à medida do diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo."
a b c ------,.. = --,.- =------,.. = 2R sen A sen 8 sen C
Exemplo:
Num triângulo ABC, Â = 3)0,
e = 105° e BC = 2cm. Calcular AC e o
- ~-
raio R da circunferência circunscrita ao
t~Uo @, • Sabemos que  + ~ +e = 180°,
então:
30° + ~ + 105° = 180°
~ =45°
• Pela lei dos senos, temos:
CD
l ' ~=~=2R sen  sen ~
t t ®
2 AC CD ~--=-
sen 30° sen 45°
.. AC
2 ®~---=2R
sen 30°
= 2 '1'2 1
:. R=2cmJ
Lei dos Co-Senos
G "Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o duplo produto desses lados pelo co-seno do ângulo formado por eles."
1\ c a
2= b
2+C
2- 2bccos A Q
2 2 2 1\ b =a +c -2accos ~ b a
c2 = a2 + b2
- 2ab cos C A c B
J
~ _..-........
~
'---'
'-'
...._,
-.........-
...._,
_..
'-'
..........
.._
'-"
'\.....;
\.._....
\...../
\....i
"'"-./
...._
I '-' J
1 '"--'
'\.....;
I '-"
'-.../
>.....,;
~
'-"
.........
'<
Exemplo: Num triângulo ABC, b = 4 an,
c = -./3 em e  = 3QO. Calcular o valor de a.
A
b
B a c
• Pela Lei dos Co-Senos, temos: 1\
a2 = 1)2 + c2- 2bc cosA
a2 = 42 + (-{3)2- 2. 4. -J3 . cos 3QO
-./3 a2 = 16 + 3-2. 4 -J3 . 2
a2 = 19-12
a= '-'7 cm l
Medidas de Arcos e Arcos Trigonométricos
Arco e Ângulo Central
ARCO é cada uma das partes em que fica dividida uma circunferência, quando consideramos dois de seus pon-tos.
A cada arco corresponde um ângulo central, cujo vértice é o centro da circun-ferência.
B
ângulo central AÓB
Medida de Arcos As unié:lades de medida de um arco
são: o grau, o radiano e o grado. Observação:
Um arco e o ângulo central a ele associado têm medidas iguais .
Arco de um Grau
o É o arco unitârio que corresponde a
3~0 da circunferência .
Representação: 1 ° A circunferência: 3600
Submúltiplos do grau
. ut 1' 10
1• =60' m.n o: = 60 ~
ndo 1" 1' 1' = 60" segu : = 60 ~
Arco de um Radiano
O É o arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência.
Representação: 1 rad A circunferência: 6,28 ... rad = 2n rad
B'
m (AB) = 1 rad
Observação:
e~ comprimento do arco AB
m (AB) =a rad
R~ raio
t a = - rad
R
Exemplo: Determine a medida do arco AB em
radianos.
B
Temos: { e = 15 em R = 3cm
queremos a, logo:
Arco de um Grado
. ' c> E o arco unitário que corresponde a
460 da circunferência.
Representação: 1 gr A circunferência: 400 gr
" o m (AB) = 1gr
Transformação de Unidades Já vimos que a medida de uma cir
cunferência qualquer é dada por 3000, ou 2 1t rad, ou 400 gr.
Assim, temos as seguintes correspondências:
ARCO GRAU RADIANO GRADO
~ 90° ~ rad 2
100 gr
í\ 180° 1t rad 200gr
(? 270° 31t
300 gr - rad 2
o 360° 27t rad 400 gr
A transformação de unidades é feita através de regra de três utilizando as igualdades:
180° = 1t rad = 200 gr.
-
-...
J
I I
No entanto, na maioria das vezes utilizaremos a seguinte regra prática:
mult iplique por 1 :o o
~ troque n por 180°
Observação:
1 rad = 57°
Exemplo:
CD Transformar 120° em radianos:
• Por regra de três: 1800 ---n rad 1200 --x
Donde: 120° .7t 2n
X=--- ~ X = -3
rad 180°
• Por regra prática:
120° = 120°. _ n_ = 27t rad 180° 3
Observação: Note que a regra prática é uma sim
plificação da regra de três.
®Transformar 29n rad em graus.
• Por regra de três: n rad -- 1800
~n rad -- x
Donde:
.?; . 180° X = ~ X = 40°
7t
• Por regra prática 2n _ 2 . 180° _ 400 9 - 9 -
Circunferência Trigonométrica Consideremos urna circunferência de
raio unitário (R = 1 ), associada a um sistema de eixos cartesianos ortogonais, para a qual valem as seguintes convenções:
I. A origem do sistema coincide com o centro da circunferência.
11. O ponto A de coordenadas (1, O) é a origem de todos os arcos a serem medidos na circunferência.
111. O sentido positivo de percurso é o anti-horário e o negativo é o horário.
IV. Os pontos A (1, 0), B (0, 1), C (-1, O) e D (0, - 1) dividem a circunferência em quatro partes denominadas quadrantes que são contados a partir de A no sentido anti-horário.
r 8(0,1)
19~ 2?0 A(1 , O)
(- 1, O) C-t----t==::::;::::;;::=::;:=t~-R = 1 origem dos
3?0 4? o J J arcos
-:/H 0 (0, - 1)
Tal circunferência é chamada de circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico. Os arcos contidos nessa circunferência são denominados arcos trigonométricos. Observação:
O ponto A está associado ao arco de 00 (O rad). Os pontos B, C e D estão associados, respectivamente, às extre-
midades dos arcos de 900 ( 2 rad) ,
1800 ( n rad) e 2700 ( 32n rad) .
Expressão Geral de todos os Arcos Côngruos a um Arco a
Dado um arco a no ciclo trigonométrico, tal que:
0° ~a <36Q'> ou Orad <::;a <2n rad
A expressão geral de todos os arcos que são côngruos a a é dada por :
I EG = a +360°. K I (em graus)
ou
EG = a+ 2 K n I (em radianos)
J
1 I
Observação:
a é a menor determinação do arco
dadoeKE Z
Cálculo da menor determinação de um Arco
Regra Prática
G ARCO DADO EM GRAUS Divide-se por 36QO, o quociente in
dica o número de voltas; e o resto, a menor determinação a do arco dado.
Exemplo: Obter a menor determinação e dar
a expressão geral de todos os arcos côngruos do arco de 12100. Resolução:
1210° 1360° • 130° 3
L L... número de voltas menor determinação (a)
• EG = a + 360° K (K E Z) Logo: EG = 1300 + 36QO K
G ARCO DADO EM RADIANOS (FRAÇÃO) Decompõe-se em duas outras fra
ções de mesmo denominador, tal que o numerador da primeira seja o maior número contido no numerador da fração dada que, dividido pelo denominador, dê para quociente um número par. A segunda fração é a menor determina-ção a do arco dado.
Exemplo: Obter a menor determinação e dar a
expressão geral de todos os arcos côn-
gruos do arco de ~7t rad.
Resolução:
281t 287t 47t • -s=--s- +3 rad
L L menor determinação (a)
8a rad =4 . 2 arad -+4voltas
• EG = a + 2Kn (K E Z)
47t Logo: EG = 3 + 2Kn
Funções Trigonométricas
' Seno e Co-Seno de um Arco __........ Considerando um arco AM de medi
da x, definimos:
• co-seno de x (cos x) corno sendo a absc~ do ponto M extremidade do arcoAM.
• seno de x (sen x) como sendo a ordenada do ponto M extremidade do arcoÁM.
"-: {o (O, o ) R= 1
C (-1 , O)
y
, A(j, O) X
D(0, - 1)
Observando a figura, temos:
sen 0° =O
cos 90° =o sen go• = 1
cos 180° = - 1
cos 270° =o
cos 360° = 1 sen 360° = o
Observação:
Para todo arco x, tem-se:
- 1 ~ cosx ~ 1 e - 1 ~ senx ~ 1
J
I l
! -
"'-""
'-"
..........
.._
-.........-
'-'
'-../
v
'--"'
'-'
\......'
.........-
'-...,.;
Variação do Sinal De acordo com as definições ante
riores, temos:
I. Seno
sen
8
+ +
c A
D
11. Co-seno
8
+
c A
c os +
D
Função Seno --.;~ Chama-se função seno a toda fun-
ção f: IR ~ IR definida por
y = f(x) = sen x
Gráfico (senóide) \
y
7t l
2 : go:
O I
- 1 ------ -' - --- ---' - ----27t rad
(período)
Função Ca.Seno
.. ,
Chama-se função co-seno a toda função f: IR~ IR definida por
y = f(x) = cos x
Gráfico (Co-Senóide)
' ' '
y
o
-----r------r- - ----r- - -- - - , I I ' I I \
<±> : <±>1 \ I I
X
21t: X I I
' I ' I - 1 ____ __ _! _ __ __ _ ______ _ _ _ _ _J
2n rad (período)
.. ,
J
1 I
Propriedades
Função y = sen x Y=COSX
Quadrantes 12 I 22 I 32 I 42 12 I 22 I 32 I 42 ---+----+----I---- ---+---~----~---
Sinais + I + I - I - + I - I - I + ---+----+----I---- ---+---~----~- --Flutuação c I D I D I
Domínio D=IR
Imagem lm = {y E IR / -1 ~ y ~ 1}
Período 21t rad
ímpar Paridade sen (- x) = - sen x
Observação: O período de funções da forma y = a + b sen (mx + n) ou y = a + b cos (mx + n)
comb*Oe m*Oédadopor:
21t P =~m~ rad lm =[a-b, a+ b]
(b deve ser tomado em módulo)
Tangente de um Arco Consideremos no ciclo trigonométri
<;o._um ponto M, extremidade de um arco AM de medida x. Tracemos uma reta t , paralela ao eixo do y peiQ___Qonto A. Prolonguemos o segmento OM até encontrar a reta t no ponto T. Nessas condições definimos tangente de x (tg x) como sem;!Q a medida algébrica do segmentoAT
y t tgx=AT
T
A partir da definição pode-se mostrar a validade dos seguintes resultados:
X
tg X o o o
c D I D I c I c D = IR
lm = {y E IR / - 1 ~ y ~ 1}
21t rad
par cos (- x) = cos x
Variação do Sinal da Tangente
y
Função Tangente Chama-se função tangente a toda
função
1t f: {x E IR I x * 2 + K 1t} ~ IR defini-
da por
y=f(x)=tgx
Gráfico (tangentóide)
y
21t
e e
•' ...
~.......,'
'-"
'-"
'-./
..........
\.....I
'-"'
..._,
..._,
'-"
'-'
Propriedades
. n DOfvW«)~ D={XE IR/x#2 + K.n},KE Z
IMAGEM ~ lm = IR
FLUTUAÇÃO~ essermmente aeoo:nte
FUNÇÃO PERIÓDICA~ período = n rad
FUNÇÃO ÍMPAR ~ tg (- x) ;;: - tg x
Observação:
O período de funções da forma
y =a + b tg (mx + n)
com b* O em * O é dado por:
1t P =Tmf
Relações Trigonométricas Fundamentais
~a:cos2 a;;: 1 \ (VaE IR). ~---
sen a 1t tg ll = -- ( V a * 2 + K1t , K E Z ). cosa
cotga = cosa sen a
( V a* K 1t, K E Z ).
1 1t '-" ' seca=-- (V a * 2 + K 1t , K E Z ).
cosa
'-"' cosec a : - 1- ( V a ;to K1t , KE Z ). sen a
A partir das relações fundamentais, \.....i podemos deduzir outras duas, que são
conhecidas como relações derivadas.
'-' J 1t \ sec2 a = 1 + t~:~ a (V a*2 + k1t+, K E Z).
\.../
") cosec2 a = 1 + cotg2 a (V a * K1t, K E Z) '-'
'Exemplo:
Sabendo que x E 32 Q e que
sen x = - ;, calcule as demais razões
trigonométricas do arco x.
l 13 COS X = ± "-~f ~ :}
I COSX=-2
ex E 3º a Ç:) cos x < O)J
sen x • tgx = cos x
1 • cotg x = !QX
{3 tg x= 3
cotg x = -1- :} cotgx = {3
-./3 3
1 • secx = cos x
1 213 sec x = 13
:} sec x = - -3
-
-2
1 • cosec x = sen x
1 cosec x = - 1 :} cosecx =- 2
-2
Redução ao 19 Quadrante
Para reduzir um arco "a" qualquer pertencente ao 2º, 3º ou 42 quadrantes, a um correspondente arco no primeiro quadrante, com o mesmo valor da razão trigonométrica (em módulo), procede-se: (1) Localize o quadrante em que está o
arco a ser reduzido. (2) Verifique o sinal da razão trigono
métrica no referido quadrante. (3) Faça a redução do arco conforme
segue:
J
1
I
.ij.-210
22 => Quanto falta para 180°
311 => Quanto passa de 180°
42 => Quanto falta para 360°
Exemplos: 1
a) cos 120° =- cos 60° =- 2 T 2!1Q
b) tg 225°= tg 45° = 1 T 32 Q
{3 c) sen ~ = - sen 6QO = - 2
4ºQ
Simplificação de expressões da fonna F(Kn±X}
Sendo F uma razão trigonométrica, e k um número inteiro, pode-se simplificar [F (k 1t ± x)] para ± F(x), supondo, sem perda de generalidade, o arco x pertencente ao 12 quadrante, e procedendo de acordo com a redução ao 12 quadrante, mantendo a razão trigonométrica.
Exemplos:
a) sen ( 1t + x ) = - sen x --. 311Q
b) cos ( Jt-x) =-cosx -r 21lQ
Simplificação df expressões da tonna
F (~ ± x) Sendo F uma razão trigonométrica,
e k um número inteiro ímpar, pode-se
simplificar F (~ ± x I para ± 'I (x), su
pondo, sem Jerda de @eneralidade, o arco x pertencente ao 1 quadrante, e procedendo de acordo com a redução ao 12
quadrante, trocando F por 'I , onde
F
sen cos
tg-- - cotg
sec --- cosec
Exemplos:
lt a) sen ( 2 - x ) = cos x
-,-12 Q
lt b) cos ( 2 : x ) =- sen x
22Q
3lt c) tg ( 2 t x ) = - cotg x
42Q
Adição de Arcos
sen (a+ b) = sen a. cos b + sen b . cos a cos (a+ b) =cosa . cos b - sen a. sen b
_ tga + tgb tg (a + b) - 1 - tg a . tg b
Subtração de Arcos
sen (a - b) = sen a • cos b - sen b . cos a c) tg {21t + X ) = tg X -.--
12Q l cos (a - b) = cos a . cos b + sen a • sen b
tg (a- b) = . tg a - tg b 1 + tga . tgb
j
I !
-
-
v . :\ I
Exemplos:
CD Calcule o valor de sen 75°.
• sen 75° = sen (30° + 45°) =
= sen 300 . cos 45° + sen 45° . cos 30° =
4
@ Obtenha o valor de cos 15° .
• cos 15° = cos (45° - 300) =
= cos 45° . cos 300 + sen 45° . sen 300 =
-YB+--12 = - 4-
® Sabendo que tg a =i e tg b = ~· cal
cule tg (a+ b}.
tga + tgb • tg (a+ b) 1 - tg a . tg b
2 4 3+3
1- _g_ i 3 " 3
2
9
= 18
Duplicação de Arcos
( sen2a=2sena.cosa
t s 2a = cos2a - sen2a '\
tg2a= 2tg a 1 - tg2 a
Observação: A partir da relação fundamental e do
co-seno do arco duplo, obtém-se:
cos2a=1 - 2sen2 a
Exemplo: , 3
• Sendo sen a = 4 , a e 1º Q, calcule
sen 2a, cos 2a e tg 2a
• sen2 a+cos2a= 1
cos2a = 1-(iJ
cosa=~
• sen2a=2.sena.cosa=
3..[7 =-a
• cos2a=cos2a -sen2 a =
sen a etga=cosa
3 4
tg a = ..[7 . .
4
317 tga = -
7-
2 tg a etg2a =
1 -tg2 a
2 3 ..[7
. 7
= - 3 ..[7
J
I I
Observação: sen 2a
• tg 2a = CoS2a =
3..ff a-=-,= - -g
= - 3 ..[7
Bisseção de Arcos
\ ! -+ .... /1-cosa
sen2 -- \f 2 I
\cos! - ± - /1 + cos a
2 - -\[ 2
I a -v1-cosa \
ti - ± . 2 - 1 + COS8
Fórmulas de Fatoração
(P + q) (p-q) sen p + senq = 2 . aen - 2- . C08 - 2-
CXJS p - CXJ6 q ; - 2 . sen (Y)· een (~)
\ Equações Trigonométricas
Resolução de Equações Trigonométricas
Resolver uma equação trigonométrica consiste em determinar todos os arcos que verificam a igualdade apresentada.
Uma equação trigonométrica, quando apresenta solução, o faz de infinitas maneiras, ou seja, existem infinitos arcos côngruos cujas razões trigonométricas são iguais. Portanto, é necessário representar todos estes arcos através de generalizações.
Generalizaç~s
(1) O rad::; a< 27t rad
x=2k1t + a
x=2k7t ± a
(2) CASOS PARTICULARES
lt
;,ri\ ~ w ·· 3Jt 2
Observação:
X= k7t
K E Z = {0, ± 1, ± 2, ± 3, ... }
-·
r
J
1 I
Simetria
• EM GRAUS
cl'iO • EM RADIANOS
Procedimento Prático
Para resolverem-se equações trigonométricas de uma maneira mais simples, adota-se o seguinte procedimento prático:
3º)
42)
52)
Reduzir as equações, através de relações trigonométricas, a equações fundamentais (sen x = a; cos x = a; tg x = a).
Localizar os quadrantes onde há solução, pelo sinal de "a", marcando os pontos numa circunferência trigonométrica.
Encontrar o valor correspondente no 1 2 quadrante, mesmo que nele não admita solução.
Transferir o arco correspondente aos quadrantes onde existe solução, através de simetria (procedimento inverso do estudo na redução ao 12 quadrante).
Generalizar a solução, conforme o caso.
Observação: A grande marona das equações
apresentam como solução arcos notáveis, cujas razões trigonométricas são conhecidas.
Exemplos:
CD Resolj er as equações: 1 a) sen x == 2
O seno é positivo no 1º e~ quadrantes. Oprimeiroarcoquepárano 1ºponto
no sentido positivo, cujo seno vale;. é
~e seu correspondente no~ quadrante
é 561t ( simatria : 1t - ~ = 561t)
~ttr GENERALIZANDO:
1t 5rc • X = 21<1t + 6 OU X = 2K7t + lf
--12 b) cos (2x) = 2
O co-seno é positivo no 1 º e 4º quadrantes. No caso do co-seno só precisa-
mos do 1 2 quadrante, no caso ~ .
Os arcos que param no 4º quadrante são registrados quando da generalização.
GENERALIZANDO:
1t 1t <X= K1t+g
•~ = 2K7t ± ~ 1t X= Kn - 8 c) tg (x + 30°) = --./3
A tangente é positiva no 1 º e 3º quadrantes. O primeiro arco que pára no 1º ponto no sentido positivo, cuja tangente vale ..f3, é 6QO e seu correspondente no ~quadrante é 2400 (simetria: 1800 + 6QO = 2400).
GENERALIZANDO:
• x+3QO= 18001<+600 ~
X = 1800!< + 3()01
Funções arrolares Inversas função Alto Seno
Função Arco Seno A função inversa da função seno é
definida como y =are sen (x), se e somente se, sen y = x, onde
Y E [ - ~· 2 J e- 1 :5 X :51.
1t
2
y:arcsenx ~ seny=x
Exemplo:
y = are sen ( - ~) <=> sen y = - ~
Logo, y = - 3QO
Função Arco Co-Seno
A função in\ ersa da função co-seno é definida como y =are cos (x), se e somente se, cos y = x, onde Y E (0, 1t) e -1 :5 X ,S: 1 .
y=arccos x ~ cos y=x
Exemplo:
y=arccos(- ~) <=> cosy=-~.
Logo, y = 180• - 45°= 135°
Função Arco Tangente
A função inversa da função tangente é definida como y = are tg (x), se e so-
mente se, tg y = x, onde
e x é um número real. 1t
2
y=arctgx ~ tgy=x
Exemplo: y = are tg (-1) <=> tg y = - 1
Logo, y = - 45°
J
1 I
MATRIZES E DETERMINANTES v Definição Numa h,atriz A = (8.ij)nxn quad~ad~
Uma matriz de ordem m x n é qual- de or~em n o~ element~ ~i com 1 = J ._ quer conjunto de m . n elementos dis- constituem a d1~gon.a1 pnnc1pal. Os ele-
postos em m linhas e n colunas. ~ntos aij com ~ 7- J = n + 1 formam a REPRESENTAÇÃO d1agonal secundá na.
~ = Ai::;~:;:~{i;·g :~ ~ A·~
._. ..........
\._J
...........
'-'
'-.........,
~
..........
Cada elemento de uma matriz é localizado por dois índices:1áij:'O primeiro indica a linha e o segundo, a coluna.
A matriz A pode ser representada abreviadamente através de uma sentença matemática que indica uma lei de formação para seus elementos.
A= (8.ij)mxn
Ex.: A = (~j)2x3
lei de formação
~j=i.j
a22 ~- [: : :] Classificação das Matrizes
Em função dos valores de m e n, classifica-se a matriz A = (8.ij)mxn em:
Matriz retangular, se m * n
[01 22 41 ] Ex.: A2 x3=
Matriz linha, se m = 1
Ex.: A1 x3 = [ 1 o - 3]
Matriz coluna, se n = 1
Ex.: A3x 1 = [ ~ ] Matriz quadrada, se m = n
l' 2 -3] Ex.: A3x3 = 4 - 5 6 2 o 4
é uma matriz quadrada ~ ordem 3 .
Diagonal Diagonal secundária principal
Tipos de Matrizes
Matriz Nula ou Matriz Zero É a matriz onde todos os elementos
são nulos.
Ex.:
Matriz Oposta
Matriz oposta de uma matriz A = (aij)rnxn é a matriz B = (bij)rnxn tal quebij= - aij
[
- 3 Ex.: A=
1 2] [ 3 -2] O ; B=-A = - 1 O
Matriz Identidade ou Matriz Unidade
É a matriz A = (aij)nxn tal que
{1, sei=j
~· -J- O, se i *Í
Ex.:
o o] 1 o o' 1
)
l I
Matriz Transposta (A1)
É a matriz que se obtém trocando ordenadamente as linhas pelas colunas da matriz dada.
Se 8 = (biJrwn é transposta de A (éijj)mxll entao bji = aij·
Ex.: A= [-! ~]; 8=At= [: -~ :]
Matriz Diagonal É uma matriz quadrada onde ar = O,
para i *" j, isto é, os elementos qu~ não estão na diagonal principal são nulos.
o o~ 2 o o - 2
Ex.: A = [8 Matriz Simétrica
É uma matriz quadrada A tal que At = A, isto é, aij = aii para i *" j
Ex. [-i -f!] Matriz Anti-simétrica
É uma matriz (J..Ialiada A tal que At =-A, isto é, aij = - élji para i e j quaisquer.
Ex.: A= r ? ~5
-1 5] o - 3 3 o
'
Operações Com Matrizes
Igualdade de Matrizes Duas matrizes A = (éliUmxn e 8 =
(bjj)mxn de mesma ordem, sao iguais se, e somente se, aij = bij·
[ 109 1 m]
Ex.: 20 (- 3)2 =
Propriedades • Se A = 8, então At = 8t
• (At)t = A
Adição de Matrizes A soma de duas matrizes
A = (élij)mxn e 8 = (bij)n;u<J1 de mesma or-dem é uma matriz C= (élijJmxn tal que '-Cij=ar+br.
A ~ubt~ação de matrizes é dada pela sentença:
A-8 = A+ (- 8)
Ex &.mA~ ~ : l e B { -: - ~ ~ r
-[-2 3 2] A - 8=
1 -2 2
Propriedades da Adição de Matrizes
Comutativa
(A + 8) + C = A + (8 + C) Associativa
A+O =O +A=A Elemento neutro
A+ (-A) = (-A) +A= O Elemento oposto .J
(A + 8)t = At + 9t Transposta da soma
Produto de um Número Real por uma Matriz
Se a é . um número real, o produto desse número por uma matriz A = (éijj)mxn é uma matriz 8 = (bij)mxn tal que bij = a aii
Ex.: Sendo A = [ 1 3
] - 1 2
3A= [ 3 9] - 3 6
/
v
Propriedades do Produto de um Número por uma Matriz
Se A e B são matrizes de mesma ordem e a e ~ são números reais, valem as seguintes propriedades: • 1A=A
• a . (A + B) = a A + a B
• a . (~ . A) = (a . ~) . A
• (a+~) . A= a . A+~ . A
• (a . A)t =a . At
Produto de Matrizes Dadas duas matrizes A = (~j) e
B = (bij) m o produto da matnz rl)f pela matriz ~ nesta ordem, somente será possível quando o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.
Então:
(A X B)mxn
I
A matriz produto (A x B)mxn terá o número de linhas de A e número de colunas de B.
Os elementos da matriz produto são obtidos multiplicando-se cada elemento das linhas da matriz A pelo correspondente elemento das colunas da matriz B e adicionando os produtos obtidos.
IL1C1 L1~ ] [ 0.1 + 1.0 0.3 + 1.2] AxB= ~1 lM = 2.1 +1.0 2.3+1.2
L3C1 L3C2 3.1 + 4.0 3.3 + 4.2
AxB= [~ 1~]
Propriedades do Produto de Matrizes Sendo\A, B e C matrizes, e a um nú
mero real e supondo as operações abaixo possíveis, temos que:
• A . (B . C) = (A . B) . C Associativa • A . (B + C) = A.B + A. C Distributiva à
direita • (A+ B).C =A. C+ B.C Distributiva à
esquerda • Amxn. In= A I é a identidade ~ - Amxn=A
• la Al.BfAf(a B)= a . (A.B) • (A.B) = B . A
Observações Importantes:
1 íl) A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é , existem matrizes A e 8 tais que A8 ~ 8A.
2íl) Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento do produto, isto é, podemos ter A.8 = O mesmo com A~ O e 8~0.
3ª) Não vale também a lei da simplificação, isto é, podemos ter AB=AC, mesmo com A~Oe 8~C.
Matriz Inversa Uma matriz quadrada A de ordem n
diz-se inversível ou não singular se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A- 1, denominada inversa de A, tal que:
A.A- 1=A- 1. A=In
Ex.: AmatrizA-1 { 3
-s] éainversade -1 2
h[~ : ] po;sA.A- 1 "A- '.A"I>
Condição de Existência da Matriz Inversa Uma matriz quadrada A é inversível
se, e somente se, o determinante de A for diferente de zero. Portanto: det A= O ~ ~ A- 1 (A é singular) det A ~ O ~ 3 A- 1 (A é não singular)
Elemento da Inversa
_1 co-fator de aii de A bij de A = det A
Obtenção da Matriz Inversa
a) Calcule det A b) Determine a matriz dos co-fatores
de A: A' c) Q.etermine a matriz adjunta:
A = (A')1 _
d) Aplique a fórmula: A-1 = -d 1
. A · et A
Ex.: Obter a inversa da matriz
a) Det A = 6 - 5 = 1 det A ;é O
1 3 -1] b)At = ~5 2
c)A= [ 3 -5] - 1 2
d)A- 1=.!. ~ 3 -5] = [ 3 -5] 1 [-1 2 -1 2
Propriedades da Matriz Inversa
• A- 1 é única
• (A- 1)- 1 =A
• (A.Bf1 = s- 1 . A-1
• (Atf 1 = (A- 1)t
- 1 1 • det (A ) = det A
Equação Matricial Sendo X, A e B matrizes quadradas
de mesma ordem, demonstra-se que, se A e B admitem inversas, então
X . A = B ~ X=B . A- 1
A . X=B ~ X = A-1 . 8
Detenninante A toda matriz quadrada A = (ajj)nxn
de elementos reais de ordem n esta associado um único número real chamado determinante da matriz A.
Representação O determi~ante da matriz A pode ser
representado por:
detA= !:!. =
Regras Práticas
a11 a12 ··· a1n a21 a22 ··· a2n
an1 an2 ... ann
Para o cálculo de determinantes de --?rdem _n (n ~ 3), procede-se da seguinte
rorma:
Determinante de ordem 1 ª Para a matriz A = [a11l o determi
nante é o próprio elemento a11· det A= a11
Ex.: A= [3] => det A= 3
Determinante de ordem 2ª
Para a matriz A = [ a11
a12l o
a21 a22j
determinante é igual à diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
detA =~ 1- a12 · a21 J .-1 _+_a_11_a_22_,J
det A= a11 a22 - a12 a21
Ex.: Sendo A= [ 31 54]
detA = M v~ G e
det A = 3 . 4 - 1~ 5 = 7
Determinante de ordem 3ª Para a matriz de 3ª ordem
J
1 I
"-' .
I
'-"'
v
v
Para calcular o detenninante de uma matriz de ordem 3, existe o seguinte dispositivo prático conhecido como REGRA DE SARAUS:
Repetem-se, à direita da matriz, as duas primeiras colunas. Acompanhando as flechas em diagonal, multiplicam-se os elementos entre si, associando-lhes o sinal indicado.
J a11 a1~1Ea11 a12 det A a21 à22.:,. a23 ..... a21~22
a31-"'á32 a33 /a31 a32 // ........... ,
886 8@0 Somam-se algebricamente os pro
dutos obtidos, calculando-se, assim, o valor do detenninante.
Ex.: Sendo A =[~ ~ J] 1 4 2
3......_2/1~/2 detA = 2/1"><0 2.....,_ 1
1 4 2 1, 4, /// ...... "
- 1+0- 8 + 6 + 0 +8
detA = - 1 +0 - 8+6+0+8 = 5
Propriedades dos Determinantes
Determinante igual a Zero O determinante de uma matriz qua
drada é igual a zero, se a matriz possui:
a) urna fila nula
Ex.: 12 :o: I= o; 3 LOJ
2 5 6 r------~
10 o o '= o L __ __ _ _ ...J
3 8
b} duas filas paralelas iguais
r- - --- - -, r -, r1
' 2 -1 3• L-- - ---....J
:1 : 2 :1: I I I I
:2: 7 :2 : =0
L3_l o L~
c) dua!\filas paralelas proporcionais
~2- -=- 1--~ ~1~ 2 ~i L_ _ _ _ ___ ...J I I I I
I I I I
Ex. : O 1 4 =O; :2 : 7 ~ : =O r -- - - -- .., ~~ --:~--~ L3_j o L~
d) uma fila que é combinação linear (C.L.) das outras filas paralelas
t 2 7 1 2 3.1 + 2.2
Ex. : 3 9 = 1 3 3.1+ 2.3 = 0
6 12 o 6 3.0 + 2.6
Observe que c3 = 3 c1 + 2 ~. isto é, c 3 é C.L. de C1 e ~
Determinante Não se Altera O detenninante de uma matriz qua
drada não se altera se:
Ex.:
a) trocarmos ordenadamente linhas por colunas.
2 o -1 o -1 3 1
o o 4 2 3 o = 20
o 1 4
det A= det At
b) somarmos a uma fila uma combinação linear de outras filas paralelas (TEOREMA DE JACOBI).
7 o 2 1 o 2
Ex.: 11 3 1
11 -1 4
2 3 1 = 3
1 -1 4
c1 + 2C2 +3~ Alterações no Determinante
O detenninante de uma matriz quadrada de ordem n altera-se:
a) trocando de sinal, quando duas filas paralelas trocam de posição entre si.
3 4
Ex.: - 2 O
2
3
6
-2 o 3 J 3 4
2 6
b) ficando multiplicado por K, quan-do os elementos de uma fila são Exemplo: multiplicados por K.
Ex.:
• r------, •8 4 2 • L _ __ _ __ .J
4 3 1
1 7 - 1
r- - --- -, 14 2 1 1 L __ ____ J
=2 4 3 1
1 7 -1
c) ficando multiplicado por K" quando a matriz é multiplicada por K.
2 o 4 o 2
4 6 2 = 23 2 3 1
2 -2 8 1 - 1 4
Portanto: det (K . Anxn) = K" . det A
Teorema de Binet Se A e B são matrizes quadradas de
mesma ordem, então det (A . 8) = det A . det 8
Determinante de Vandermonde ou de potências
É qualquer determinante do tipo:
É determinado pelo produto das diferenças entre cada elemento da 2ª fila (base), a partir do segundo, e cada elemento anterior.
2 3 6 = (3--2).(6-2).(6--3) = 1.4.3 = 12 ,-4 9 36
Para ordens superiores, o procedi- '-' mento é análogo, ou seja, é igual aos produtos das diferenças entre os ele-mentos da 2ª fila. '-.__/
Definições
M~nor Complementar Chama-se menor complementar Mii
do elemento aiL de uma matriz quadrada ,. de ordem n ~ 2, o determinante da ma- __.. triz que se obtém de A, eliminando-se a linha i e a coluna j.
Ex.: Dada a matriz A= [
2~ - 014 145]
11 = - 4 Eliminando-se a
4 1 ª linha e a 1 ª coluna.
11 = 11 Eliminando-se a
4 1 ª linha e a 2ª coluna.
M13 = 1
3 - 1 ~ = 1 Eliminando-se a 1 O 1 ª linha e a 3ª coluna.
Co-fator ou Complemento Algébrico ou Adjunto
Co-fator ou complemento algébrico Ai do elemento éljj é o número r!')ÇII que se obtém multiplicando-se (- 1 )1+J pelo menor complementar de aii·
Ai= (-1)i+i . Mii
Portanto: Se ~ + j for par: Ai = Mij Se 1 + J for 1mpar: Ai = - Mii Assim, do exemplo anterior, temos:
A11 = (-1)1+1. M11 = (+ 1). (-4) =-4
A12 =(- 1)1+2. M1 2=(- 1). (11) =-11
A13 = (-1)1+3. M13= (+ 1). (1) = 1
-
·.
Teorema de Laplace O determinante de uma matriz qua
drada de ordem n <:: 2 é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer pelos respectivos co-fatores.
2 4 5
Ex.: Calcule det A = 3 - 1 1
1 o 4
Procedimento
I. Escolhe-se uma fila qualquer do determinante:
®®® det A = 3 - 1
o 4
11. Coloca-se o siníl.l. correspondente à potência (- 1 )1+1, do cálculo do co-fator, em cima dos elementos da fi la selecionada:
+ +
® @® detA= 3 - 1
o 4
111. Multiplica-se cada elemento da fila selecionada, com o sinal do co-fator, pelo seu menor complementar.
det A= a11A11 + a1:t-12 + a1:f\13
~ 1 3 ~ 3 -1 detA=2. -4. +5 o 4 1 1 o
det A = 2 (- 4) - 4 (11) + 5 (1) = - 47
Regra de Chló Para calcular o determinante de uma
matriz de ordem n > 3 é necessário abaixar a ordem. Uma maneira de abaixar a ordem é usar o Teorema de Laplace. Existe, além disso, uma regra prática dada por Chió que consiste em:
12) Escolh~r um elemento aii = 1 (caso não exlsta, aplicar as propriedades para que apareça o elemento 1 ).
22) Suprimir a linha (i) e a coluna O) do elemento aii = 1 , obtendo-se o menor complementar do referido elemento.
3º) Subtrair de cada elemento do menor complementar obtido o produto dos elementos que ficam nos pés das perpendiculares traçadas do elemento considerado às filas suprimidas.
4º) Multiplicar o determinante obtido no 3º item por (- 1 )'+J onde i e j designam as ordens da linha e da coluna às quais pertence o elemento aij = 1.
Exemplo:
r -T - - -- - - - - --,
I 1 I 1 3 ~ I 1--.J.~--------'
delA = :1 : (1 r 3 2 I I
:2 : 5 3 3 I I
~c
3- (1)(1) 3 - (1)(3) 2-(1)(1)
det A = (-1)1+1 5- (2)(1) 3- (2)(3) 3- (2)(1)
1- (1)(1) 1- (1)(3) 1- (1)(1)
2 o det A= 3 -3
o -2 o
J
l I
r/ SISTEMAS LINEARES r É todo conjunto de m equações li
neares e n incógnitas, da forma
a11 x1+a12X2+ ... + a1 nXn=b1
a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2n Xn = b2
onde: • x1. x2 •... , Xn são as incógnitas • aü são os coeficientes • b1 são os termos independentes
Se bi = O (Vi) o sistema é homogêneo
Classificação Um sistema linear pode ser:
!Determinado (solução única) Possível
lndeteiTlinado (infinitas soluções)
Impossível - não admite solução
Um sistema homogêneo nunca será impossível, pois admitirá pelo menos a solução trivial (0, O, ... , O).
Regra de Cramer Qualquer sistema em que m = n e
D *O (determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas) é possível e determinado.
A solução é única e dada por:
Ex.: Resolver o sistema
l3x + 4y - z = 8
4x + 5y + 2z = 20
x - 2y+3Z=6
3 4 - 1
D = 4 5 2 =30 *0
- 2 3
Dx 30 2 = 30 :. X = D = 30 = 1
I I
: 6 :- 2 3 L • .J
3 4 ~ 8 ~~ I I
: : Dz 90 Dz = 4 5 :2o : 90:. z= 0 =
30 =3
I I
1 - 2 I 6 I L.J
Solução: S = {(1; 2; 3)}
Sistema Escalonado É todo sistema no qual:
• as incógnitas das equações lineares estão escritas numa mesma ordem;
• em cada equação há pelo menos um coeficiente não nulo;
• o número de coeficientes nulos aumenta de equação para equação.
Exemplo:
lx+y+2z=5
OX + y + Z = 3
ox + oy + z = 1
Escalonamento de um Sistema Para escalonar um sistema seguem
se passos: • Coloca-se como primeira equação do
sistema uma equação com coeficiente da primeira incógnita igual a 1.
• Elimina-se a primeira incógnita de todas as equações, a partir da ~unda equação.
• De1xa-se de lado a primeira equação e repetem-se os passos anteriores para as demais equações.
, --
-L
, .........
-I ........,
"-" Exemplo: A discussão pode ser feita por escalona-
"--- mento. J
<-y+,= -2~ "-.,..; x - 2y - 2z=-1 +
Exemplo: 2x+y+3z=1 +
v Discutir o sistema em função dos ·- j '=~=:::,~
parâmetros a e b.
{ X+y = b "-"
3y + z = 5 + 2x + ay = 6
...........
,._, l <-Y H =-2 Calculamos o determinante (D) do -y-3z = 1 sistema.
"-"' -8Z =8
........ S={(1,2, - 1)} D = =a - 2
2 a ........... Se durante o escalonamento surgir
uma equação do tipo: • 0 # 0 a-2 # 0 '-" ..
Ox1 + Ox2 + ... + Oxn = b a# 2
......... Se b = O: eliminamos a equação e
continuamos o escalonamento. Sistema possível determinado "-../
'-"
Se b ;e 0: conclui-se de imediato que o sistema é impossível.
• D = O :. a- 2 = O
Classificação do Sistema pelo método do a=2
'-" Escalonamento /
{ X+y = b ---@ '- Seja um sistema escalonado de m
equações e n incógnitas. 2x+2y=6. !-J "-'' m = n -+ sistema possfvel determinado
J
l ....._, { X+y=b
~ m < n -+ sistema possfvel e indeterminado
0=6-2b I
Se durante o escalonamento surgir -- uma equação do tipo: Se b = 3 então o sistema é possível indeterminado
'-" Ox1 + Ox2 + ... + Oxn = b com b "" O, en-tão o sistema é impossível. ...._, Se b "" 3 então o sistema é impossí-
Sistemas Lineares com Parâmetros vel
.........,
....._, São sistemas condicionados a parâ-metros inseridos em seus coeficientes .
~
-~.,•,?•t•isr-. .... ____ ~ ANÁLISE COMBINATÓRIA {/ I
A análise combinatória é a parte da Matemática que estuda e desenvolve métodos para a resolução de problemas que envolvem contagem.
Para estes problemas, usamos dois princípios:
Principio Aditivo
Se um evento pode ocorrer por m ou por n maneiras distintas e independentes, então para a ocorrência desse evento existem:
m + n possibilidades
Exemplo:
Estou em Curitiba e desejo viaJar para o Recife. Existem 3 empresas de ônibus e 2 companhias de aviação que fazem este trajeto. Escolhendo um ônibus ou um avião, de quantas maneiras posso realizar a viagem?
ônibus ou
---1,.• 3 + 2 = 5 maneiras Observação:
avião
As possibilidades foram somadas porque são independentes e alternativas, não sendo possível a escolha das duas simultaneamente. Escolhe-se ou um dos ônibus, ou um dos aviões.
Principio Multiplicativo
Se um evento pode ser dividido em duas etapas, em que para realizar a 1 <~ etapa, existem m maneiras e, para realizar a 2ª etapa, n maneiras, então para a ocorrência do evento, ou seja, uma das m maneiras e uma das n maneiras existem:
m x n possibilidades
Exemplo:
Estou em Curitiba e desejo viaJar para o Recife. Existem 3 empresas de ônibus que fazem o trajeto de Curitiba a São Paulo e 2 companhias de aviação de São Paulo ao Recife. Escolhendo um ônibus e um avião, de quantas maneiras posso realizar a viagem?
__ _,,.. 3 x 2 = 6 maneiras
Observação:
As possibilidades são multiplicadas porque são realizadas escolhas sucessivas. Primeiro de um ônibus e, depois, de um avião.
O trajeto da viagem depende de cada uma delas.
{
'-.. ....._
,-..., ......
r ' '-r'-'
J
1 '"-'
I v
Fatorial
Dado um número natural n, n 2': 2, chama-se fatorial de n, e indica-se por n!, ao produto de n fatores consecutivos decrescentes de n a 1 , ou seja:
n! = n . (n - 1) . (n - 2) ... 3.2.1
Observação:
OI = 1 e 1! = 1
Exemplos: 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040
6! 6.5.4.3! - =--=120 3! 3!
3! - 2! = 3.2.1 - 2.1 = 6- 2 = 4
4! . 2! = 4.3.2.1 . 2.1 = 24 . 2 = 48
Arranjos Simples Dado um conjunto com n elementos,
chama-se arranjo simples dos n elementos dados, agrupados p a p, a qualquer seqüência de p elementos distintos formada com elementos do conjunto. O número de arranjos simples é dado por:
Observação:
nt AP = - -·
n (n- p)!
Como arranjos são seqüências, interessa saber a ordem dos p elementos no agrupamento.
Exemplo: Em uma maratona, 1 O corredores
disputam a prova, sendo premiados os 3 primeiros colocados. Quantos resultados diferentes podem ocorrer?
Resolução: Os resultados da prova são seqüên
cias de 3 elementos (corredores). Se mudarmos a ordem, temos um resultado diferente. Por isso usamos arranjos simples.
3 10! 10.9.8.7! A,o = ( 10 _
3)! = - 7- 1
- = 720 resultados
Permutações Simp/esJ
Dado um conjunto qualquer com n elementos, chama-se permutação simples dos n elementos dados, a qualquer arranjo simples dos n elementos dados, agrupados n a n, ou seja:
Observação:
A permutação simples é um caso particular de arranjos simples onde n = p (todos os elementos disponíveis são escolhidos para formar a seqüência). Assim,para um agrupamento com 4 elementos, temos:
Exemplo:
Estando 6 pessoas na fila de um Banco, de quantas maneiras podemos ordená-las?
Resolução:
Cada maneira que temos de formar a fila é uma seqüência com todas as 6 pessoas. Isto quer dizer que permutar as 6 pessoas, significa arranjar as 6 pessoas em 6 posições.
P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 maneiras
Permutações com Repetição Se, na permutação de n elemen
tos, existirem alguns elementos que apareçam a vezes, ~ vezes, 'Y vezes, ... , o número de permutações com esses elementos repetidos será:
Exemplo:
p a, p, y, ... n
nl
a ! ~I y! ...
Determine o número de anagramas da palavra "BATATA". Resolução:
Cada anagrama é obtido permutando-se 6 letras com 3 repetições da letra A e 2 da letra T, logo:
32 6! 6.5.4.3! P
6 = -
1 -
1 = -;---
2 1 = 60 anagramas
3. 2. 3 ..
)
l I
--------------------------------~~---------------------~ -
Permutações Circulares
O número de permutações circulares é dado por:
nl P = - => P = (n - 1 )! c n c
Observação:
Essa fórmula é usada apenas quando dispomos elementos ao redor de um círculo.
Exemplo:
De quantas maneiras podemos dispor 5 pessoas ao redor de uma mesa circular?
Resolução: Pc =(5-1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 maneiras
Combinações Simples Dado um conjunto de n elementos,
chama-se combinação simples dos n elementos dados agrupados p a p, a qualquer subconjunto de p elementos distintos, formado com elementos do conjunto. O número de combinações simples é dado por:
I AP ~ = _ n_._ = __!!_
n p!(n -p)! p!
Observação:
Como combinações são subconjuntos, não interessa saber a ordem dos p elementos escolhidos no agrupamento.
Exemplo: Em uma sala de aula existem 1 O alu
nos e deve ser formada uma comissão de 3 alunos. Quantas comissões diferentes podem ter?
Resolução:
As comissões são subconjuntos de 3 elementos (alunos) escolhidos entre os
1 O. Se mudarmos a ordem dos alunos, permanecemos com a mesma comissão. Por isso usamos combinações simples.
3 10! 10.9.8.7!
I
_/ -
c, o= 3!(1 o- 3)! = 120 comissões 3.2.1.7! r
Números Binomiais
Dados dois números naturais n e p, com n ~ p, chama-se número binomial n
sobre p ao número representado por~) e definido por:
(~)= p!(~~p) ! = c~ O número n é denominado numera
dor do número binomial e p é o denominador ou classe, sendo também chamado de taxa da combinação.
Exemplo:
(5) 3 5! 5.4.3! 3 = cs = 31(5 - 3)! = 3!2.1 = 10
Conseqüências:
Sendo n um número natural, valem os seguintes resultados:
Binomiais Complementares
Dois números binomiais são complementares se:
• têm o mesmo numerador;
• a soma das taxas é igual a este numerador.
-./
-
, "'
' ..._..
c
,_
.._.
"-.../
\......
.........
v ..._,
'-..-/
'\..I
'"-J
"-""'
'-"
"--'
"-./
..._.,
' J
'-'
-...../
..._..
I '-.J
J
1 ~
'-' l v
~
"-..../
___,,
'-"
'--'
j .... 111 -==-------·•""'""" ... ~ .. Então
c~ e c~
são complementares se p + k = n .
Propriedade Dois números binomiais comple
mentares são iguais, ou seja
p+k = n ~ C~= c~
ou
k = n-p ~ C~=
Exemplo:
c n-p n
c~ = c: ' pois 5 + 3 = 8
Importante
A partir da propriedade anterior, pode-se afirmar que, se dois números binomiais de mesmo numerador são iguais, então suas taxas são iguais ou são complementares, ou seja
C~= C~~ p=koup+k n
Exemplos:
a) c;= c; X = 3 OU X+ 3 = 7 :. X = 4
(iguais) (complementares)
s = {3; 4}
2X + 1 = X - 3 OU 2x + 1 + X - 3 = 1 0
X= -4 X=4 (não convém)
s = {4}
Triângulo de Pascal 1
Os números binomiais podem ser dispostos numa configuração triangular formando o Triângulo de Pascal.
Na mesma linha temos os números binomiais de mesmo numerador e, na mesma coluna, os de mesmo denominador (taxa).
co 2 C' 2 c2 2
co 3 C' 3 c2 3 c3 3
co 4
C' 4
c2 4
c3 4
c• 4
co 5 c~ c~ c~ c: c5 5
ou com os resultados:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Propriedades do Triângulo de Pascal
• cada uma de suas linhas começa e termina com o número 1;
• em cada linha, os números binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais;
Exemplo: linhaS
5 10 10 5 1
t t ~ t t Relação de Stifel
Em uma mesma linha, a soma de dois números binomiais consecutivos é igual ao número binomial da linha seguinte, abaixo do segundo número somado, ou seja
c~ + c~· 1 = c~:: Exemplo:
c: + ~ = C!
Essa relação permite construir com facilidade o Triângulo de Pascal.
3
4
5 5
• • • • • •
Soma dos elementos de uma linha A soma dos elementos de uma mes
ma linha do Triângulo de Pascal é igual a uma potência na base 2 cujo expoente é o numerador desta linha, ou seja
c~+ c~ + ~ + ... + c~-1 + c~ = 2"
Observe a soma v~rificada com os resultados
1 2·0
1 + 1 -------· 21
1+2+1 22
1+3+3+1 ~ 1+4+6+4+1 IJil 24
1 +5+10 + 10+5+1--.25
Soma dos elementos de uma coluna '-/ A soma dos elementos de uma mes
ma coluna é igual ao número binomial que está na linha e na coluna seguintes ao último número binomial somado.
Soma dos elementos de uma diagonal
A soma dos elementos de uma diagonal é igual ao número binomial da linha seguinte abaixo do último elemento somado.
r '
/
\
j
1 I
v
=----M ... ._..._-BINÔMIO DE NEWTON /
Denomina-se binômio de Newton a todo binômio da forma (x + a)", com n E
IN. A fórmula do desenvolvimento é:
(x + a)" = C~ a• X' +C:a' x~' + ... +C~a" x•
Pode ainda ser expressa por um somatório:
(x + a)" = Í,c~ ap x"·P p=O
Exemplo: 3
(x + a)3 = I,c~ .aP .x3-p P=O
Propriedades
• O desenvolvimento de (x + a)" possui n + 1 termos.
• Em (x + a)", os expoentes de a crescem de O a n, e os expoentes de x decrescem de n a O.
• Em cada termo, o expoente de a é igual à taxa da combinação, e o expoente de x é igual à diferença entre o numerador e a taxa da combinação.
Assim, se a combinação for C~, en-
tão O termo será C~ . 8 3 .X n-3
Soma dos coeficientes A soma dos coeficientes do desenvol
vimento do binômio (x + a)" é obtida substituindo as variáveis x e a pelo valor 1. Exemplo:
(2x + y)5 ~ (2.1 + 1)5 = 35 = 243
• Para o desenvolvimento de (x - a)", basta observar que
(x-a)" = [x + (-a)]". Lembrando que se a;?: O, temos que:
(-a)par =+ a e (- a)fmpar =-a
Então, o desenvolvimento vai apresentar sinais alternados, sendo o primeiro termo sempre positivo.
(x -a)"= C~a0 x" - C~a1 x,..1+ C~a2 x,..2-
- C~a3 xn-3 + ...
Termo geral Qualquer um dos n + 1 termos do
desenvolvimento de (x +a)" pode ser obtido pela relação:
Tp+1 =c~ . aP. xr>-p
Exemplo: T ,_ ( ~.t) c.~' xv.- r i> -~'1 f 1 6
No desenvolvimento de (x2 + x) ,
calcule: a) o termo em x6
T = CP. xc12 - 3 P>=s • 12 - 3p = 6 p+1 6
P=2
b) o termo independente de x
O termo independente de x é aquele que apresenta expoente nulo.
Termo geral
T = CP.x(12-3p)a0 •12-3p =0 p-tl 6
p=4
TEORIA DAS PROBABILIDADES I
Todos os princípios e fórmulas usados na Análise Combinatória podem também ser usados aqui.
Para este assunto, a diferença é que, agora, não queremos apenas o número de maneiras de realizar determinada tarefa, mas, sim, estamos interessados também em descobrir a chance para que aleatoriamente possamos realizar essas tarefas.
No vestibular, precisamos conhecer alguns conceitos:
Extrações de bolas de uma urna
Diversas situações práticas podem ser comparadas com extrações de bolas de uma urna. Por esse motivo, é comum, em probabilidade, testes que possam ser comparados com essa situação.
As extrações podem ser com ou sem reposição.
Extrações com reposição Nessas extrações, cada bola retira
da é examinada e devolvida à urna antes da extração da bola seguinte.
Extrações sem reposição Nessas extrações, cada bola retira
da não é devolvida à urna.
Experimentos determinísticos
Denominam-se experimentos determinísticos aqueles experimentos cujos resultados podem ser determinados antes mesmo de sua realização.
Exemplo: Ao aquecermos a água à pressão
de 1 atmosfera, podemos prever antecipadamente ·que ela vai ferver quando chegar à temperatura de 10o•c.
Experimentos aleatórios
Denominam-se experimentos aleatórios aqueles experimentos que repetidos várias vezes, nas mesmas condições, apresentam resultados variados,
não sendo possível se determinar antecipadamente seus resultados.
Exemplo:
Ao lançarmos uma moeda usual, sabemos que pode cair cara ou coroa. No entanto, não podemos prever antecipadamente qual vai ser o resultado.
Observação: A teoria das probabilidades estuda
e desenvolve as possibilidades de ocorrência de experimentos aleatórios.
Na realização de um experimento aleatório, a fim de observar a ocorrência de um resultado qualquer, dois conjuntos descrevem a situação:
Espaço Amostra/
É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Será representado pela letra maiúscula E. Em alguns vestibulares, pode ainda ser representado pela U ou pela letra grega n.
Exemplo 1: Descreva o espaço amostrai do se
guinte experimento: lançar um dado e observar o número obtido na face superior.
• Espaço Amostrai
E = {1; 2; 3; 5; 6;}
n(E) =6
Exemplo 2: Descreva o espaço amostrai do se
guinte experimento: lançar uma moeda e observar a face voltada para cima.
• Espaço Amostrai
E = {cara; coroa}
n(E) = 2
\ .... ...-
(
I
( -
(
J
l I
Evento
É qualquer subconjunto do espaço amostrai. Assim, os elementos de um evento são também elementos do espaço amostrai. No entanto, o evento é formado apenas pelos resultados que nos interessam.
Os eventos geralmente são repre-'-../ sentados pelas letras latinas maiúsculas
A, B,C, ...
-Exemplo:
No lançamento de duas moedas, descreva o espaço amostrai e o evento A formado pelos resultados que apresentam pelo menos uma cara .
.....__. • Espaço Amostrai
........... E= {(Ca; Ca); (Ca; Co); (Co; Ca); (Co; Co)}
n(E) = 2.2 = 4
• Evento A (pelo menos uma cara)
..._... A = {(Ca; Ca); (Ca; Co); (Co; Ca)} n(A) = 3
Evento Impossível
"--- É o subconjunto vazio do espaço amostrai.
Exemplo: No lançamento de um dado, o evento
formado pelos resu~ados que são maiores que 6 é um evento vazio, pois não existem no dado resu~ados maiores que 6.
Evento Certo
O espaço amostrai também é um evento. Ele é chamado evento certo.
Exemplo: No lançamento de um dado, o
evento formado pelos resultados que são menores que 1 O é um evento certo, pois todos os resultados do dado são menores que 1 O. Com certeza esse evento vai ocorrer.
Evento Complementar
Se A é um evento de um espaço amostr;&E, o complementar de A indicase por A , é o evento formado pelos resultados de E que não pertencem a A.
A = {xl x E E e x E A}
E
Exemplo:
• E = {1; 2; 3; 4 ; 5; 6}
• A = {1 ; 2; 5}
• A = {3; 4; 6}
Intersecção de Eventos
Sendo A e B eventos de um mesmo espaço amostrai E, a intersecção de A e B indica-se por A n B, é um evento formado pelos resultados comuns a A e B.
An B = {x e E I x E A ex E 8}
A B
E
Exemplo:
• A = {1; 4; 5}
• B = {3; 5}
• A n B = {5}
União de Eventos Sendo A e B eventos de um espaço
amostrai E, a união de A e B indica-se por Au B, é um evento formado pelos resultados de A ou de B.
A u B={x e E /xe Aou x e B}
A B
E
Exemplo:
• A = {2; 5; 6}
• B = {2; 3; 4}
• A u B = {2; 3; 4; 5; 6}
Eventos mutuamente exclusivos Dois eventos A e B são mutuamen
te exclusivos quando não apresentam resultados em comum, ou seja
A n B= 0
A B
E
Exemplo:
A ={1; 3} e B = {2; 5; 6}
são mutuamente exclus ivos pois A n B = 0 .
Probabilidade de ocorrer Ut7J evento A probabilidade de ocorrer um
evento A de um espaço amostrai E representa-se por p(A), é o número real dado por:
onde
n(A) p (A) = n(E)
• n(A) é o número de resultados favoráveis, quanto à ocorrência de A;
• n(E) é o número de resultados possíveis do experimento.
Exemplo: No lançamento de dois dados
usuais e honestos, calcule a probabilidade de se obterem dois números cuja soma seja 8.
• Espaço Amostrai
(1 ;1 ); (1;2); (1;3); (1 ;4); (1;5); (1;6)
(2;1); (2;2); (2;3); (2;4); (2;5); (2;6)
E= (3;1); (3;2); (3;3); (3;4); (3;5); (3;6)
(4;1); (4;2); (4;3) (4;4); (4;5); (4;6)
(5;1); (5;2); (5;3); (5;4); (5;5); (5;6)
(6;1); (6;2); (6;3); (6;4); (6;5); (6;6)
n(E) = 6.6 = 36
• Evento A (soma 8) A = {(2; 6); (3; 5); (4; 4); (5;3); (6, 2)} n(A) =5
• Probabilidade de A n(A) 5
p(A) = n(E) = 36
Propriedades das probabilidades As seguintes propriedades são veri
ficadas em qualquer experimento aleatório:
• p(E) = 1 (evento certo)
• p( 0 ) =O (evento impossível)
• O ~ p(A) ~ 1 (qualquer evento)
• p(A) + P(A) = 1
·'--
--
(
'-'
~
' '--'
........
-......./
-......-'
..._.,
v -......./
'--'
._....
""---"
'-.../
'"-...-
..__,
-....../
J
1 ..__..,
\...._...
I '-"""
...........
v
....../
.._,
~
... ,
A probabilidade de ocorrer o evento A somada com a probabilidade de não ocorrer é igual a 1 (100%) .
Adição de probabilidades
A probabilidade da união de dois eventos A e B é igual à soma das probabilidades de A e B, menos a probabilidade da intersecção de A com B.
A B
p (A u B) = p(A) + p(B) - p(A n B)
Exemplo: No lançamento de um dado, calcule
a probabilidade de se obter um número par ou múltiplo de 3.
• Espaço Amostrai
E = {1 ; 2; 3; 4; 5; 6}
n(E) = 6
• Evento A : A = {2, 4, 6}
n(A) = 3
• Evento B : B = {3, 6}
n(B) = 2
• Evento A n 8: A n B = {6}
n(An B) =1
• Probabilidade de A n B
p(A u B) = p(A) + p(B) - p(A n B)
3 2 .11 p(Au B) = - + - - -
6 6 6
4 2 p(Au B) =- = -
6 3
Eventos Independentes Muitas vezes o fato de sabermos
que um determinado evento ocorreu altera a probabilidade de ocorrência de outro.
Dois eventos são independentes quando a informação da ocorrência de um evento não altera a probabilidade de ocorrência do outro.
Matematicamente a independência entre dois eventos A e B pode ser expressa pela seguinte relação:
p(An B) = p(A). p(B)
Exemplo:
No lançamento de um dado honesto, considere os seguintes eventos:
A o resultado é ímpar;
B o resultado é menor que 3
Os eventos A e B são independen-tes?
• Espaço Amostrai
E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
n(E) = 6
• Evento A : A = {1; 3; 5}
n(A) = 3
3 p(A)= -
6
J
I I
• Evento B : B = {1; 2}
n(B) =2
2 p(B) = -
6
• Evento A r. 8: A r. B = {1}
n(A rt B) = 1
1 p(A rt B) = -
6
3 2 1 • p(A) . p(B) = 6 . 6 = 6
logo, A e B são independentes pois p(A r. B) = p(A) . p(B)
Exemplo: No lançamento de um dado e uma
moeda, calcule a probabilidade de obtermos um número ímpar no dado e cara na moeda.
• Espaço Amostrai
(dado)
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Evento A : A = {1, 3, 5}
• Probabilidade de A
3 p(A)=-
6
Observação: • Espaço Amostrai (moeda)
Eventos independentes não são E ={cara, coroa} eventos mutuamente exclusivos.
Multiplicação de probabilidades
Se um acontecimento é composto por vários eventos sucessivos e independentes, a probabilidade de ocorrência desse acontecimento é dada pelo produto das probabilidades dos eventos componentes.
p = p(A) . p(B) . p(C) ...
onde
• p é a probabilidade resultante;
• p(A), p(B), p(C), ... são as probabilidades dos eventos sucessivos e independentes.
• Evento 8 : 8 ={cara}
• probabilidade de B
1 p(8) =-
2
• probabilidade resultante
p = p(A) .p(8)
r ---
'-"
J
I ......-'
"--' I
...........
...__,
'-...-
'-
GEOMETRIA PLANA Teorema de Tales
"Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais quaisquer duas sucessões de segmentos diretamente proporcionais."
N2 de diagonais D =c~ - n ou 0
n(n - 3) =~
Soma dos ângulos internos Si = 180° (n - 2)
Soma dos ângulos externos Se = 360°
• independa do n2 de lados
+-+-----+--fi-• u Exemplos:
Exemplo: Sendo r, s e t retas paralelas, deter
minexey.
01 . Qual é o polígono convexo em que o n2 de diagonais é o dobro do nº de lados?
Sol: O =2n~
n(n- 3) 2n=~ ~ 4=n-3
l n = 7l (pentágono)
02. Um polígono convexo tem 1080° +-----J~-~----l,__-+ s como soma dos ângulos internos.
6 X 12 2 =1=-y
6 X 2=1
2x = 6 => I x = si
3 12 T= y
3y = 12 =>I Y= 41
Polígonos Convexos
Calcule o n2 de lados.
Sol: 1080° = 180~ (n-T) n-2=6 ~ n = 8 (octógono)
Triângulos
Propriedades Gerais
Teorema de Tales:
1•) A soma dos ângulos Internos em qualquer triângulo é Igual a 180°.
A
" " " A + B +C=180°
21) Em um triângulo, ao maior lado se opõe o maior ângulo e vice-versa.
31) Em um triângulo, qualquer lado é menor que a soma dos outros dois e maior que a diferença.
,.A lb - cl<a<b+c
L__~ Exemplos:
Determinar o valor de c para que exista o triângulo abaixo:
sol: 14- 81 < c < 4 + 8
·=4 A . l4<c<121
~ Triângulo Retângulo: Relações Métricas
A
b
a~ hipotenusa b e c~ catetos h ... altura relatrva
á hipotenusa
I a2 = b2 + ~~ (Teorema de Pitágoras)
área: j S = b:!c I ou~ comparando I b . c = a . ij
Ainda
~ Exemplo: Determinar os demais ele
mentos do triângulo abaixo.
c
n = 32
. a sol: a = m + n = 50 m *
b2 =18.50 ~ b q om•
c2 =32.50 ~c=40m*
"'/ ' 150. h= 30. 40 ~ Ih = 24~m· ,,__ .
S=40230~S=600m2*
Triângulo Eqüilátero
Fórmulas
I h = e: I
I r =~ . h I
~ l s=~
i I
Exemplo: Num triângulo eqüilátero, o apótema vale 3 em. Calcule os demais elementos:
Sol: R = 2 . 3 = 6 em * h=R+r=9cm*
h= e: ~ e: 613cm *
S - (613l..f3 = 2713 cm2 * - 4
Quadriláteros
Paralelogramo
Um quadrilátero é classificado de paralelogramo se, e somente se, possuir os lados opostos paralelos:
.I
1 !
Tipos especiais de Paralelogramos: \....... Retângulo, Quadrado e Losango.
Retângulo
~b l s=a.bl , a \
'- Quadrado Fórmulas
ld=H2 1
Trapézio I Um quadrilátero é classificado como
trapézio se, e somente se, possuir dois lados paralelos e dois lados não paralelos.
b2 I R=~ =~ Os fados paralelos são chamados
2 2 '--' bases do trapézio.
I•= ~ I ÁREA; I b, +b, I ls=t2 1 s =----r- .h "---' Losango
Um quadrilátero é classificado de lo..__. sango se, e somente se, possuir os qua
tro lados iguais . ......,
- Exemplos:
"-./ 01. Um quadrado está inscrito num círculo de raio igual a 2f2 em. Calcule a área deste quadrado. c--'· 2R = 4f2 como d = 2R= ef2 ~- 2 2 e-.12 =4f2.Daíe=4eS=4 =16cm
02. Num losango, o lado vale 5 em e a diagonal maior 8 em. Calcule a área Sol:
Por Pitágoras x = 3 em e d = 6 em
Exempfo:Cafcufar a área do Trapézio abaixo:
PoÍ pitágr as Sem Sol: h = 4
h~ ,j<-- 8 em L=y;J I
3 Então, S = ~ . 4 = 26 cd
Hexágono Regular
Fórmulas
Jr= e 2~ I * É a junção de 6 triângulos eqüiláteros I s _ 6 e 2 • ~ I igua1s - • 4
Um hexágono regular está inscrito num cí rcufo de raio f2 em. Calcule sua área.
Sol: Como e = R ~ e= f2
S = 6 < -../2 t .,f3 = 3~ cm2
.J
l I
--------------------------------------------~~~
Circunferência e Cfrculo Circunferência: é o lugar geométrico dos pontos num plano eqüidistante de um ponto chamado centro. Círculo: é a região limitada pela circunferência.
Comprimento
R IC=21tR I - ----1
Área:
Exemplo:
04. (PUC - PR) - Na figura, as 4 semicircunferências tangenciam-se 2 a 2, formando urna flor. Sendo 4 em o lado do quadrado, qual a área da região hachurada?
I
Sol: Sh = S quadrado-S flor
Área da flor:
1t22 2 . 2 s1 =-;r - - 2- = 1t- 2
S flor = 8 (7t - 2) = 81t - 16
Sh = 42 - (& - 16) = (32 - 8Tt)cm2
GEOMETRIA DE POSIÇÃO V Elementos Geométricos Primitivos
Ponto, reta, plano e espaço.
Postulados
a) por um ponto passam infinitas retas; b) por urna reta passam infinitos planos; c) um ponto da reta divide-a em duas
semi-retas; d) urna reta do plano divide-o em dois
semi-planos; e) um plano do espaço divide-o em dois
semi-espaços.
Determinações
(elementos que individualizam a reta ou plano)
Urna reta é determinada por dois pontos DISTINTOS.
Um plano é determinado por: a) três pontos NÃO COUNEARES; b) urna reta e um ponto FORA dela; c) duas retas concorrentes; d) duas retas paralelas distintas.
Posições Relativas
Duas retas podem ser: COPLANARES: quando é possível admitir um plano contendo as 2 retas. Sendo coplanares podem ser: a) Paralelas: não têm ponto em comum.
I ·7 b) Concorrentes: quando têm um só
ponto em comum. Interceptam-se num ponto.
Obs.: Quando, além de concorrentes as retas formam ângulos retos, dizem-se PERPENDICULARES.
'-
)
l !
NÃO COPLANARES: quando não existe plano que possa conter as duas retas simultaneamente. Neste caso, as retas não têm ponto em comum e são chamadas REVERSAS.
s
"Uma condição necessária e suficiente para que uma reta seja paralela a um plano é que ela não esteja contida no plano e seja paralela a uma reta deste."
1/1! Se s c a, r ct a, r 11 s => r 11 a
Reta Perpendicular a Plano Uma reta perpendicular a um plano
será ortogonal a todas as retas desse Ângulo entre duas Retas Reversas plano. (Será perpendicular apenas
É o ângulo obtido traçando paralelas àqueles que passam pela sua intersec-às retas dadas por um ponto qualquer ção com o plano) r
;E..:;~~~:··~ & .. -+[I __ · -+~--y+-j -1---,
caracterizada quando duas retas for· Uma condição para que uma reta mam ângulo reto de qualquer forma seja perpendiculár a um plano: (reversas ou concorrentes). "Uma condição necessária e suficien-
A condição perpenclcUares apenas te para que uma reta seja perpendicular a quando além do Angulo reto houver a I~ um plano é que forme ângulo reto com ta secção. (apenas sendo COIICOt'UIIIies) duas retas Concorrentes do plano."
Uma reta e um plano Possibilidades
I j Dois Planos podem ser j_ JY - · a) Paralelos - -
a) Reta contida no plano (Ex\: r c a) / 13 P/ Tem todos os seus pontos no plano. Distintos: não se cortam. Não é considerada como paralela ao Nenhum ponto em comum. plano. EX.: (r n a= r) Coincidentes: têm todos os pontos
b) Reta paralela ao plano (Ex.: t 11 a) em comum/L. I 7/ Quando nunca encontra o plano.
« = ~ (Ex.:tna = 0)
c) Incidente ou concorrente ao plano (Ex.: S n a = P) Fura o plano num ponto.
Uma condição para que uma reta seja paralela a um plano:
b) Incidentes ou Concorrentes: interceptam-se segundo uma reta.
J
1
I
Obs.: Quando a projeção de um plano sobre o outro for uma reta, diz-se que os planos são PERPENDICULARES.
Uma condição para que dois pla-nos sejam paralelos.
"Uma condição necessária e suficiente para que dois planos distintos sejam paralelos é que um deles contenha duas retas CONCORRENTES, paralelas ao outro."
I! ~ / L__/~1
se r c a, s c a, r e s são concorren-tes, r I/ ~. s 11 ~ ~ a I/ ~
"Uma condição necessária e suficiente para que dois planos distintos sejam perpendiculares é que um deles contenha uma reta perpendicular ao outro.n
Ser c a, er.l~ ~ a.l ~ Se uma reta é perpendicular a um
plano, todos os planos que a contêm são perpendiculares a esse plano.
Se uma reta é oblíqua a um plano, existe um único plano que a contém e é perpendicular ao plano considerado.
Exemplos:
01. (UFPR) - Nas afirmações seguintes, r, s e t representam retas no espaço e a representa um plano no espaço. Some as afirmações corretas:
01) Se r é paralela a s e s intercepta t, então r necessariamente intercepta t.
02) Se r é paralela a a, então todas as retas que pertencem a a são paralelas a r.
04) Se r é paralela a a, existem infinitas retas pertencentes a a que são paralelas a r.
08) Se r e s são paralelas a a, então r é necessariamente paralela as.
16) Se r é perpendicular a s e s é per\[ pendicular a t, então pode ocorrer
que r seja perpendicular a t. 32) Se r é perpendicular a a, então '-./ todos os planos que contêm r
são perpendiculares a a. 64) Se r é perpendicular a a, então
( toda reta coplanar com r é também perpendicular a a.
02. (PUC- PR) -Assinale a alternativa correta:
a) Uma condição necessária e suficiente para que dois planos sejam paralelos é que duas retas de um sejam paralelas ao outro.
b) No espaço, duas retas perpendiculares a uma terceira são sempre paralelas entre si.
c) Se dois planos se interceptam, um terceiro plano que intercepta um dos primeiros deve sempre interceptar o outro.
d) Um plano perpendicular a uma reta de um outro plano é perpendicular a este último plano.
e) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos. Respostas: 01 . 52 (04, 16, 32) 02. alternativa O
----------------------------------------
GEOMETRIA ESPECIAL "--- Poliedros Convexos
'--' Um poliedro convexo é caracteriza-do pela reunião de um número finito de
'---" polígonos planos onde:
1) dois polígonos nunca estão num mesmo plano;
2) cada aresta de polígono sempre está em dois e somente dois polígonos.
face (F)
vértice (V)
Relações:
Relação de Euler Em todo poliedro convexo de V vérti
ces, A arestas e F faces vale a relação
s ti = 360° . (V - 2)
Ainda é válida a relação: I N = 2A I onde N é o número total de
lados das faces separadas.
Exemplo: Um poliedro convexo é composto de 4 faces pentagonais e 6 faces hexagonais.
Calcule o n2 de vértices: Sol: F = 10 4LJ +GÜ N = 4 x5 +6x6 =56~ 56=2A~ I A = 281
V +F=A+2~ V+ 10=28+2~V=20f
J Poliedros Regulares
Os poliedros regulares são cinco:
~ ~
@ ' ' ' ;L
'
tetraedro
hexaedro
octaedro
dodecaedro
icosaedro
Hexaedro Regular (cubo)
V=4 A=6 F=4
V=8 A= 12 F=6
V=6 A= 12 F=8
V=20 A =30 F = 12
V= 12 A=30 F = 20
V= volu me da pirâmide
d = a "2 D = a -5 St = 6a2 V=a3
Exemplos:
01. Um tetraedro regular tem aresta igual a --16 em. Calcule o volume e a área.
Sol . St a2 --13 _rn 2 ·· =4 - 4 - =6v3 em
h - a..f6 - rs o rs - 2 v - 1 a2--/3 - 3 - 3 - ~ - 3 - 4 - o h
v -.!_ (-J6)2
-13 2 - _/n3 3 - 3 4 . -'~ "'em
02. Uma secção num cubo determina um triângulo eqüilátero de ár3la S. Sendo o volume do cubo 8 m , calculeS.
Sol:
a
a3 = 8 => a = 2 em e= a.J2 (diagonal
a da face)
OCTAEDRO REGULAR
V = 2 • V pirâmide
I OUV;~ I Exemplo: Um octaedro tem área total
igual a 2-13 cm2. Calcule seu volume.
a2-.J3 I Sol: 2-13 = 8-4
- ~ a= 1cm
a3~~ ~ V =-3- = ~
Prisma Reto
Apresenta bases p&igonais iguais e paralelos. /, / ~•
~ , ~= 2Pb . H
H
' ' ' ' ' ' ' ' ' ~ ' ' ' --------- ---
"''----- _ _ _J/
V=Sb . H 2P5 = perímetro
da base
Obs.: Quando for um prisma regular, a base é um polígono regular.
Ex.: Um prisma hexagonal regular tem a altura igual a 6 em e a base inscrita num círculo da área 47t crn2. Calcule o volume e a área lateral. Sol:
em ' H;6
t t t
47t = 1tR2 => R = 2 em Como R =e=> e= 2 em
V = Sb H = 6 e 2{:3 H 4 .
v - 6 2213 6 - 4 .
V= 36 ..f3 cm3
st = 2pb . H = Ei . H st = 6 . 2 . 6 = 72 em2
Paralelepípedo Retângulo ou Ortoedro
a
,....-----"---
(a+b+ c'? = a2+ b2 + c2+2a + 2bc + 2ac
Ex.: Um ortoedro tem a soma das dimensões igual a 7 em e a diagonal do sólido igual a 6 em. Calcule a área total.
a
Sol: a + b +c = 7
(a + b + c)2 = [)2 + St
72=62 + St ~ St = 13cm2
--- ~
J
l !
Cilindro Circular Reto ou de Revolução
r h
L R
As fórmulas são as mesmas do prisma reto
2p = 27tR Sb = 7tR2
se= 2p. h ~ se= 21tRh
s 1 = se + 2 . sb ~ s1 = 27tRh + 21tR2
2 V=Sb . h ~ V=7tR . h
Cilindro Eqüilátero: Quando H=2R
St= 47tR2 5t =&R2 V= 21tR3
Exemplo: Num cilindro eqüilátero a área total é igual a 67tcm2.
Calcule o volume. A 67t = 27tR . H+ 27tR2 = &R2
~H =2A ~ IR=11
V= nR2 . H= n 12. 2 V =l2n cm31
Pirâmide Regular Apresenta uma base regular e a al
tura incide no centro da base.
St=PtJ.ap
~ St=St+Sb
1 v=3 St,.h
ap = denominado apótema da pirâmide
Ex.: Uma pirâmide triangular regular tem volume unitário e altura -./3 u.c. Cal-cule a aresta da base.
Sol:
V - .!. Fvs H - 3 4 . 1 _.!. F -./3 ~3
- 3 4 . \f.j
f2=4 I e=2 u. cl
Cone Circular Reto ou de Revolução
As fórmulas sãó as mesmas da pirâmide regular.
st = nR . g
g St=Sh 7tR2
Cone Eqüilátero: Quando I g = 2 R I ~=2nR2
St = 37tR2
1 v =sn R3 -./3
Exemplo: (UFPR) - NLrn cme drruar reto o ciârretro de 00se é 1 O em e a geralriz 13cm. Calcule o volume.
132=H2 + s2~ H2 = 144 ~ I H = 121
V =~nR2.H=~ns2.12
I v = 100 n cm31
Esfera
S = 47tR2
4 V= 31tR3
Exemplo: Numa esfera de raio 5 em foi feita uma secção a 3 em do centro.
Calcule a área desta secção.
p/ Pitágoras: r = 4
S = nr2 = 16n cm2
PARTES DA ESFERA Fuso Esférico
Cunha Esférica
Zona Esférica
Calota esférica
~ ~
TRONCOS Tronco de Pirâmide
Tronco de Cone
S=27tRh
S = 27tRh
5t = {7tR + 7tr) .g "---
S1 = 1tR2 + nr2 + {nR + nr) g 1 _,
h V = 3(JtR2 + nr2 + ltRr) '----
v-
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\..J
0
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v \..)
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J
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/
ESTUDO DOS POLINÔMIOS ± I O estudo dos polinômios tem por ob
jetivo maior o desenvolvimento de operações, mecanismos e propriedades que permitam a resolução de equações polinomiais (algébricas).
Em nível de vestibular, deve-se dar ênfase para a divisão de polinômios.
Polinómio Um polinômio, na variável x, é uma
função definida pela relação
P(X)=Srrlfl+~1 ~1 +3n-2X~+- +3jX+ll()
onde: • an, an--1. an--2 , ... , a1 e ao
são números reais denominados de coeficientes
• n, n - 1 , n - 2, ... são números naturais
• x é variável complexa.
Exemplos:
P1(x) = x3 - 2x2 + 7x + 5
P2(x) = 320 + 7x3-2x2
P3(x) = 2x2 + 3x + 1
P4(x) =4X +3
P5(x) = 41
Grau de um Polinômio É o maior expoente do polinômio
dado, e representa-se por gr(P).
Observação: Se P(x) = O, não se define grau do
polinômio.
Exemplos:
P1(x) =x3- 2Yl- + 7x + 5 :} gr(P1) = 3 P2(x) = 32J<4 + 7x3- 2:Yl-:} gr(P2) = 4
P3(x) = 2x2 + 3x + 1 :} gr (P3) = 2
P 4(x) = 4x + 3 :} gr (P 4) = 1 P5(x) = 41 :} gr (Ps) = O
Valor Numérico O valor numérico de um polinômio
P(x) para o número a é igual a P(a), que se obtém substituindo a variável x no polinômio por a.
Exemplo:
·• P(x) = x3-7x
P(2) = 23- 7.2 = - 6
Importante:
Quando o valor numérico do polinômio P(x) para x = a é igual a zero, então a é denominado raiz ou zero do correspondente polinômio.
P(a) = o Ç:> a é raiz de P(x)
Igualdade de Polinômios
Dois polinômios P1(x)e P:z(x) são iguais ou idênticos quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum atribuído à variável x, ou seja,
P1(x) = P:z(x) Ç:> P1(a) = P:z(a)
paraa E C.
A condição necessária e suficiente para que dois polinômios P1(x) e P2(x) sejam iguais é que os coeficientes dos termos semelhantes sejam iguais entre si.
Ilustração:
n n-1 2 x P1(x) = anx + an-1x + ... + a2x + a1 + ao
P2(x) = bnx" + b'n-1xn-1 + .... b2xl + b1 x + bo
P1 (x) = P2(x)
n sn=bn; &n-1 = bn-1; ... ; 82 = ~; 8 1 = b1; ao=bo
J
Polinômio Identicamente Nulo Um polinômio P(x) é denominado de
identicamente nulo quando possui todos os seus coeficientes nulos.
Ilustração:
P(x) = anx" + an-1xn-1 + ... + a2 x2 + a1x +ao
P(x)=O
8n = Sn-1 = ( .•. ) = 32 = 31 = S0 = 0
Multiplicação de Polinômios A multiplicação de polinômios é efe
tuada utilizando-se a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ou subtração.
Exemplo:
P1(x) = 2i3-4x + 1
P2(x) = 3x + 4
• P1(x) . P2(x) = (2x3 - 4x + 1). (3x + 4)
P1(x). P2(x)= sx4+ax3-12Jt2-16X+3x+4
P1(x). P2(x)=sx4+sx3-12x2 -13x+4
Divisão de Polinômios Dividir um polinônlo P(x) por um ou
tro polinômio D(x) consiste em obter dois polinômios Q(x) e R(x) tais que
P(x) I D(x) R(x) Q(x)
onde: (1) P(x) = D(x). Q(x) + R(x) (2) gr(R) < gr(D) ou R(x) = O.
Observação:
P(x) - dividendo D(x) - divisor Q(x) - quociente R(x)- resto
A divisão entre polinômios é efetuada utilizando-se o método das chaves.
Exemplo:
x4- 7x3+fix2 +5X-3Jt+2x-3 - x4 - 2x3+3x2 -9x+27
-9x3+ 9x2+ Sx + 9x3 + 18x2- 27x
27x2_22x-3 -27x2- 54x + 81
-76 X+ 78 Quociente: Q(x) = x2_ 9x + 27 Resto: R(x) = - 76 x + 78
Dispositivo Prático Quando o divisor for um polinômio
do 12 grau da forma x - a ou x + a, ...... pode-se obter o quociente e o resto da ....__ divisão através do Dispositivo de BriotRuffini: este processo opera somente com os coeficientes. Exemplo:
P(x) = 3x3-7x~ + Sx + 1 x-2
2 I ~ -7 5 -1 3 7
Q R
Q(x) = 3x2 -1 x + 3 R(x) = 7
Divisão de um Polinômio por Binômio A divisão de um polinômio P(x) de
grau n ~ 1 por um binômio do 12 grau !XJde ser efetuada através do método das chaves, ou do dispositivo prático de BriotRuffini ou ainda pelo método dos coeficientes a determinar.
Entretanto, em alguns problemas, é necessário o cálculo apenas do resto, e isto pode ser feito conforme o teorema do resto.
Teorema do resto
..... ..-
O resto da divisão de um polinômio ......... P(x) por um binômio do 1 Q grau do tipo x - a é igual ao valor numérico do polinômio P(x) para x = a, ou seja,
R= P(a)
'-;
J
l I
Verificação P(x)l x - a R Q(x)
l P(x) =(x-a). O (x) +R
x =a-+ P(a) = (a - a). O( a) + R P(a) = O. O( a) + R P(a) = R
Exemplo: P(x) = 2>é3- 5x + 7 x - 2 R= P(2) R =2 .23- 5.2+ 7 R= 13 2 I ~ ~ -; 1
73
Teorema de D' ALEMBERT Um polinômio P(x) é civisível pelo bi
nônio x-a, se e sorrente se, P(a) =o. Verificação
P(x)~ O Q(x)
l P(x) = (x - a) . Q(x)
x = a -+ P(a) = (a- a) . O (a) P(a) = O . Q(a) P(a) = O.
• Generalização: O resto da divisão de um polinômio
P(x) por um binômio do 111 grau, da forma ax + b, é igual ao valor numérico de P(x) para a raiz do binômio, ou seja,
Verificação
b R= P(- a )
P(x) I ax+ b R Q(x)
P(x) = (ax + b) . Q(x) +R b b b b
X= - -+ P(- )= [é(- -) +b].Q~ )+R a b a a b a
P( - - ) = (- b + b) . O(- - )+ R a b a
P(-- )=R a
Divisão pelo prodljtO (x-a) (x- b) Se um polinômio P(x)é divisível se
paradamente pelos binôr'rlos x - a e x - b, com a * b, então P(x) é divisível pelo produto (x - a) . (x - b).
Verificação
•P(x) I x - a R1 Q1(x) P(a) =O (D'Aiembert)
•P(x)~ R2 Q2(x) P(b) =O (D'Aiembert)
•P(x) 1 (x-a) (x - b) R Q(x) P(x) = (x - a) (x - b) . Q(x) + R
P(a) = P(b) =O= R
Logo R = O Observação:
A recíproca do teorema acima é verdadeira, ou seja:
Se um polinômio P(x)é divisível pelo produto (x-a) . (x - b), então P(x) é civisível separadamente por x - a e por x-b
Verificação
P(x) 1 (x - a) (x-b) O Q(x)
• P(x) = (x-a) . (x - b) . Q (x)
•x = a -+ P(a) =(a-a) (a-b). Q(a) P(a) =O (divisível por x-a)
• x = b-+ P(b) = (b- a) (b- b). Q(b) P(b) = O (divisível por x - b)
NÚMEROS COMPLEXOS (/ I
No conjunto dos números complexos, além de todos os números reais já conhecidos, incluímos também as raízes de números negativos.
Portanto, o conjunto dos números complexos é uma ampliação do conjunto dos números reais.
O conjunto dos números complexos foi formado admitindo-se a ex istência da unidade imaginária.
Unidade Imaginária
A unidade imaginária dos números complexos, representada por i, é a raiz quadrada da unidade negativa, ou seja:
i= --1-1 Elevando ao quadrado ambos os
membros da equação, temos:
i2 = - 1
Observação:
Na resolução de uma equação do 22 grau, com discriminante negativo (L\ < O), as raízes complexas imaginárias são obtidas a partir da unidade imaginária. Veja:
~ -6X+ 13 = 0
- b ± ~b2 -4. a c x = (Bháskara)
2a
-(-6) ± ~(-6)2 - 4. 1. 13 X= 2. 1
6 ± .J-16 X= - - 2- -
6 ± ~16i2 X=--2- -
6±4i x= - -
2
x1 = 3 + 2i ou x2 = 3 - 2i
Observando os resultados, podemos afirmar que todos os números complexos são compostos de duas partes. Uma delas é real, e a outra é imaginária.
Fonna Algébrica
Todo número complexo Z pode ser representado pela forma algébrica
Z=a+bi
onde a e b são números reais.
Observação:
Na forma algébrica, a é a parte real e b é a parte imaginária do número complexo Z, ou seja:
{a: parte real
a + bi b: parte imaginária
Exemplo:
z = 3- 8i
Re (z) = 3 e lm (Z) =- 8
Importante:
Para Z = a + bi, temos:
• a = o e b* o ~z é Imaginário puro
• b = O ~ Z é real
• b *o ~ Z é imaginário
Exemplo:
Z = (x - 1) + (y - 5)i
• x = 1 e y * 5 ~ Zé imaginário puro.
• y = 5 ~ Z é real.
• y * 5 ~ Z é imaginário.
Conjunto dos números Complexos
Como o conjunto IR dos números reais é subconjunto do conjunto C dos nú-meros complexos, todo número real '--'"'
.._, também é um número complexo.
c
Observação:
A diferença C - IR resulta no conjunto dos números imaginários.
Igualdade de números complexos Dois números complexos são iguais
se, e somente se, têm respectivamente as mesmas partes reais e as mesmas partes imaginárias, ou seja:
Z1 = a + bi e ~ = c + di
Z1=~~ a = c e b = d
Exemplo:
Sendo Z um número complexo e i a unidade imaginária, resolva a equação:
Z + iZ =3 + 7i
'-" Resolução:
Z = a+ bi ~(a+ bi) +i . (a+ bi) = 3 + 7i
a + bi + ai + bi2 = 3 + 7i
y + (a + b) . i = 3 + 7i
y YY {a - b = 3 a+b= 7 ~a=Seb = 2 .. z = S+2i
Operações na Fonna Algébrica
Adição e Subtração
A soma (ou diferença) de dois números complexos é obtida através da soma (ou diferença) das partes reais e das partes imaginárias, ou seja:
Z, = a+ bl e z. = c + di Z, + Z. = (a + bi) + (c + di) = (a+ c) + (b + d). i Z, - Z. = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d). i
Exemplo: Z1 = 3 - si e ~ = 4 + i z1 + z2 = (3- Si) + (4 + i) = 7- 4i z1 - ~ = (3- si) - (4 + i) =- 1 - si
Multiplicação O produto de dois números comple
xos é obtido através da propriedade distributiva usual para expressões reais.
Exemplo:
z1 = 3 - i e ~ = 7 + 2i
z1 . z2 = (3 - i) . (7 + 2i)
z1 . ~ = 21 + 6i - 7i - 2i2
z1· ~ = 23-i
Conjugado de um complexo O conjugado de um número CQ_mple
xo Z = a + bi, rep&senta-se por Z, é o número complexo Z = a - bi.
Z =a + bi ~Z = a - bi
Exemplos:
z = 4 - 8i ~ z = 4 + 8i Z=7 ~Z=7 Z=2i ~Z=-2i
Propriedades do conjugado
Para quaisquer números complexos Z1 e ~. valem as propriedades:
z1 + z2 = z;-+ z2
(Z")= (z)"
Divisão A divisão entre dois números com
plexos é efetuada multiplicando-se e dividindo-se o quociente dado pelo complexo conjugado do denominador, ou seja:
Exemplo:
~- (3- i) (2- Si) _ 2 + Si- (2+ Si) . (2- Si)-
6 - 1Si - 21 + Si2
22 - (5i)2
Potências de I
1-17i
29
1 17. - - - 1 29 29
As potências do tipo i", com n natural, se repetem periodicamente:
rio = 1
~ i1 =i
li2 = -1
i3 = i.i2 =i.(-1)=- i
r i4 = i2 .i2 = (-1).(-1) = 1
~ i5 = i4 .i = 1.i = i
li6 =i4.i2 = 1.(-1) = - 1 . i7 = i4 . i3 = 1.(-i) =i
E assim sucessivamente.
Desta forma, existemJapenas quatro resultados possíveis para as potências de i. Conhecendo esses resultados, pode-se descobrir o resultado de uma potência com expoente muito maior. Veja:
i4003 = (i4)1000. i3 = 11000.(-i) = - i
Conclusão
Para um expoente maior ou igual a quatro, basta dividirmos por 4 e tomarmos o resto, ou seja:
i" = i' onde r é o resto da divisão n I_A_
Exemplo:
4003 4
3 1000
·4003 . 3 . I = I =-1
Módulo de um complexo O módulo de um número complexo
Z = a + bi, representa-se por IZI, é o número real não negativo dado por:
IZI = ~a2 +b2
Exemplo:
Z=4 - 3i
IZI = ~42 + (- 3)2
IZI = 5 Observação:
O módulo de um número complexo é a distância até a origem. Assim, números complexos que têm maiores módulos estão mais afastados da origem e, analogamente, aqueles que têm menores módulos estão mais próximos da origem.
Norma de um complexo
A norma de um número complexo Z = a + bi, representa-se por N (z), é dada por:
Exemplo:
Z=4-3i
N(z) = 42 + (-3)2
N(z) = 25
.......
J
1 I
Propriedades do módulo
O módulo de um número complexo verifica as seguintes propriedades:
• IZI~O
• IZ1 • Z21 = IZ1 1.1~1
· /z' /= jz, j (Z *o) z2 iz21 2
• IZI2 = Z. Z
• IZI = IZI
• IZI" = IZ"I, n e IN
Observação:
Como todo numero real é também um número complexo, a definição de módulo e suas propriedades são válidas também para números reais.
O plano de Argand-Gauss
Os números complexos podem ser representados por pontos de um plano, onde se estabelece uma origem e uma unidade de medida.
Em homenagem aos seus criadores, este plano é chamado de plano de Argand-Gauss.
A cada número complexo a + bi temos associado um único par ordenado (a, b) e, reciprocamente, a cada par ordenado, um único número complexo.
a+ bi H (a, b)
Convenciona-se que a parte real do número complexo será marcada no eixo das abscissas (eixo x) e que a parte imaginária será marcada no eixo das ordenadas (eixo y).
Eixo imaginário
b P(a, b)
Eixo real
Observações: f
• O número zero (O + Oi) será representado na origem (0, O).
• O ponto de coordenadas P (a, b) recebe o nome de afixo do número complexo Z.
• A distância da origem ao afixo é o módulo do número complexo, sendo representado pela letra grega p .
Aplicando o teorema de Pitágoras podemos concluir que:
p = IZI = .Ja2 + b2
• O ângulo formado pelo semi-eixo positivo das abscissas com o segmento de reta OP, medido no sentido antihorário, chama-se argumento do número complexo. Geralmente ele é representado pela letra grega e e considerado no intervalo o::;e< 2 1t.
Forma Trigonométrica ou Polar
A partir da interpretação geométrica, pode-se expressar um número complexo Z = a + bi de outra forma.
Do triângulo retângulo, usando razões trigonométricas, temos:
b • sene= - => b = p.sene
p
a • cose = - => a = p. cose
p
logo,
Z =a+ bi
z = p . cose+ p . sen e .i
Portanto,
Exemplo:
z = p(cose+ i.sene)
(forma trigonométrica)
-~•,z•É•'ir•z .... ----~= --- - - --- - - -/'
• Cálculo do módulo
p= IZl=~ p= ~12+(-J3)2 ::::}p= 2
• Cálculo do argumento
lm
(1, -J3) afixo
2
• Forma trigonométrica Z = p.(cose+i.sene)
7t 7t Z = 2.(cos3+i.sen3)
Observação:
R e
Para, da forma trigonométrica, retornar à forma algébrica, basta calcular os valores das razões trigonométricas e, em seguida, multiplicar pelo módulo.
Veja como faríamos no exemplo anterior:
7t . 7t Z = 2 .(cos- + l.sen- )
3 3 Z = 2. (cos60° + i.sen60°)
Z=2.(~+i.~) · z=1+-J3i
Operações na forma trigonométrica
Multiplicação Dados os números complexos
Z1 = p1 • (cose, + i. sene1)
z, = p, . (cose,+ i. sene1)
produto. z, . z2 é dado por:
Z, .~ = P, -P2 [cos(e1 +~)+i. sen (e, +~)]
Exemplo: z, = 3 (cos60° + r.sen60°) '--
~ = 2 (cos90° + i.sen90°) Z, ~ = 3.2 [cos(60° + 90} + i.sen(60° + 90}] '-'
Z, ~ = 6(cos 150° +i. sen 150°)
Divisão Dados os números complexos
Z1 = p1 • (cose, + i . sene,)
~=P:I. (co~+ i . se~)
z O quociente f é dado por:
2
Z, P, . z =- . [cos(e, - ~) +1. sen (e, -~) ] 2 p 2
Exemplo:
Z1 = 6. (cos90° + i.sen90°)
z2 = 2. (cos30° + i.sen30°)
z, 6 z =2. [cos (9<f-30/ +i. sen (90° -30} 2
z, . z = 3. (cos60° +i. sen 60°) 2
Observação: O inverso de um número complexo
não nulo na forma trigonométrica é dado por:
r ,= p-1 • [cos(- e) + i .sen (- e)]
Potenciação
Sendo Z = p. (cose + i.sen e) e n e Z, a potência Z" é dada por:
Z" = p". [(cos(n e) + i.sen (n e)]
(1 ª fórmula de Moivre) Exemplo:
Sendo Z = 1 + -J3 i, calcule Z10
Resolução:
Por ser muito trabalhoso desenvolver (1 + -J3 i )10
, temos que expressar Z na forma trigonométrica:
Z = 2 . (cos60° + i.sen60°) Utilizando a 1 ª fórmula de Moivre, temos:
Z10 = 210• [cos(10.60°) +i. sen(10.60°)]
Z10 = 1024 . (cos600° + i.sen600°) a menor determinação pcmva de OCif é 240".
.\
Z10 = 1024. (cos 240° +i. sen240°)
z10 - 1024 (-.:!_-i .,[3) - . 2 . 2
z10= - 512-i.512.J3
Radiciação
Qualquer número no conjunto dos números complexos admite n raízes enésimas.
Assim, o número 8 admite três raízes cúbicas:
r 2(real)
if8 = ~ - 1+ .J3 i(imaginária)
l-1- .J3 i(imaginária)
pois 23 = (-1 + .J3 i)3 = (- 1 - .J3 i)3 = 8
Definição
Dado um número complexo
z = p.(cose+ i. sere)
e seja num número natural (n E IN), as n raízes enésimas de Z são dadas por:
zk = ~.[ cos(9
+ ~ }i.se{e+~ )] k =O, 1, 2, ... , n - 1
(21 fórmula de Moivre)
Para cada valor de k obtém-se uma raiz.
Obtenção das n raizes
Determine as raízes cúbicas de 8.
• Z = 8 Z = 8 . (cos O + i . sen O)
• Z.= ~-[ cos(9
+ ~ )+ i.sen(9
+ ~ )]
• Z.= Vã.[ cosC + ~ )+ i.sen(0
+ ~ )]
• z. = 2. [ cos(~ )+i.sen(~)J • k = O ~zo = 2 .(cosO+ i. senO)
Zo = 21 • k = 1 ~Z, = 2{cos~+i.sen~)
z, = -1 +i . .J3 1
... ~ • k= 2 ~~= 2 { co:
4; +i.sen
4; )
~ = -1-i . .,[31 Interpretação Geométrica
Por apresentarem o mesmo módulo, as três raízes cúbicas são eqüidistantes da origem.
lm
Conclusão
• No plano de Argand-Gauss as raízes serão vértices de um polígono regular inscrito numa circunferência com centro na origem, cujo raio tem medida~-
• Os argumentos das raízes estão em progressão aritmética tal que
e 2Jt a1= ne r = --,-
Forma Exponencial Um número complexo Z na forma ex
ponencial é dado por: Z=p. efJ.
Onde p é o módulo de Z, 9 é o argumento de Z e e é a base do sistema de logaritmos neperianos.
Então, para o vestibular, existem três formas distintas de se expressar um número complexo: algébrica, trigonométrica e exponencial.
a+ bi = p.(cose + i.sere) = p.ea
Exemplo:
• Z = .J3 + i ~ Algébrica
• Z = 2. (cos ~ + i . sen ~) ~ Trigono
métrica ~ I • Z = 2 . es ~ Exponencial
~ ----------------
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Denomina-se equação polinomial ou
equação algébrica de grau n, na variável x, toda equação que pode ser reduzida à forma
anx" + an -1 xn--1 + ... + a2x2 + a1x + a0 =O
onde • an, an-1, ... , a2, a1, ao são números
complexos (coeficientes) • x é variável complexa • n número natural
Observação:
Vamos estudar equações algébricas com coeficientes reais.
Exemplos:
2x5-7x2+6x-1 =0 --/2. x3-10=0 2x - 51 =0
Raiz de uma Equação Dada ura eq..ação algébrica P(x) =O, de
coeficientes reais, o número r é uma raiz da equação se, e somente se, P(r) = O.
Exemplo:
x3-x2+x - 1 =0 x = 1 é raiz pois 13- 12+1-1=0
Conjunto-Solução Conjunto-Solução ou Conjunto-Ver
dade de uma equação algébrica é o conjunto formado por todas as raízes (e somente por elas) da equação. Resolver uma equação é obter o seu conjuntoverdade.
Equação do 12 Grau Uma equação é classificada como
equação do 12 grau quando puder ser escrita sob a forma
a.x+b=O
onde a e b são reais, com a "' O. Uma equação do 12 grau tem apenas uma raiz que pode ser obtida isolando-se x, ou seja,
ax+b=O
ax=-b b
X=- a Equação do 2º Grau
Uma equação é classificada como equação do 2º grau quando puder ser escrita sob a forma
onde a, b e c são reais, com a "' O. Uma equação do 2º grau tem ao máximo '--' duas raízes, que podem ser obtidas pela fórmula
- b ± --lb2 - 4ac X= 2a
- b ± Wl = 2a
Importante:
• Se t. > O, então a equação admite duas raízes reais e qistintas.
• Se t. = O, então a equação admite uma raiz real de multiplicidade dois.
• Se t. < O, então a equação admite duas raízes com~xas da forma r ± si, onde i= "-1-1.
Importante: As equações do 3º grau e do 42
grau, através de transformações extremamente trabalhosas, admitem fórmulas resolutivas. Entretanto, os matemáticos Abel e Galois provaram que não existem fórmulas resolutivas para equações de grau superior a 4.
Teorema Fundamental da Álgebra Toda equação algébrica, de grau es
tritamente positivo, admite, no conjunto dos números complexos, pelo menos uma raiz.
Observação:
O teorema garante a existência tle pelo menos urna raiz, no entanto, não diz como obtê-la.
'-'
.............
\.......'
\......-
.._,.
'--"
'-'
'-"
..........
'-./
'-'
\.......'
-
Teorema da Decomposição Toda equação algébrica de grau n
pode ser decomposta em n fatores do 1 2
grau, a partir de suas raízes.
a0 x0 + a0 _1xn-1 + ... + a2x2 + a1x +ao = O
n éln-(X - x1) (x - x2) •.. (x - x0 ) =O
Esta forma fatorada mostra que a equação tem no máximo n raízes.
Conclusão Toda equação algébrica de grau n
tem no mínimo uma raiz e no máximo n raízes.
Multiplicidade de uma Raiz Uma raiz Xr, de uma equação algé-
brica é de multiplicidade m quando, na fatoração em fatores do 12 grau, existem m fatores da forma (x - Xr).
Exemplo:
(x -1) (x-1) (x - 1) (x +2) =0 n (x - 1 )3 . (x + 2) =O
x =1 é uma raiz de multiplicidade três.
Teorema de D'ALEMBERT O teorema de D'Aiembert permite o
rebaixamento do grau de uma equação conhecendo-se uma de suas raízes.
Exemplo:
P(x) =x3 - 3x2 + 3x - 1 é divisível por x-1.
'I -3 3 - 1
-2 o
Teorema das Raízps Racionais
Se x = ~ é uma raiz racional de uma
equação algébrica de c:oefidentes reais e inteiros, então p é divisor do termo inde-pendente de x, e q é divisor do c:oefidente de maior grau (positivos e negativos).
Ilustração
anX" + ao....-pcll-""1 + ... +a1x+ao= O
x=E.- d (élo) q - d (éin)
Observação:
Este teorema permite verificar se a equação algébrica de coeficientes intei-ros admite ou não raiz racional. Basta, através do dispositivo prático de Briot-Ruffini verificar por tentativa.
Exemplo:
20-5x3 - 2x2_4x + 3 =O
• d(3) = { ± 1 ; ± 3} • d(2) = { ± 1; ± 2}
Números para verificação
d (3) - { ± 1• ± .!_. ± 3 . ± ~ } d (2) - ' 2 ' ' 2
Deve-se verificar um por um dos valores acima.
Teorema de Raízes Complexas Se um rúnero CCJrll)lexo x = a + bi (a,
b e R) é raiz de uma equação algébrica com c:oefidentes reais, então o seu conju. gado x = a- bi tarTtlém é raiz dessa equação.
J
I I
Importante:
O Teorema das raízes complexas apresenta duas conseqüências extremamente importantes:
(11) O número de raízes imaginárias de uma equação algébrica de coeficientes reais é sempre par.
(2!1) Toda equação algébrica de coeficientes reais e grau ímpar admite ao menos uma raiz real.
Visualização
~~ i~!~~::S o~R C R: rea1s ~ C: complexos IR - Q: irracionais C - R: imaginários
Relações de Girard
A partir de uma equação algébrica de coeficientes reais podem-se estabelecer relações entre os coeficientes e as raízes da equação.
• Equação do 22 Grau
• Equação do 32 Grau
a . x3+b.x2 +c . x+d = O
l x1 + x2 + x3 = - Q
x1 x2 u 1 x3d+ x: x3 =; X1 X2 X3 =-;
• Equação do 4º Grau ~
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = O
Observações:
(1) As relações de Girard são insuficientes para a obtenção das raízes, a menos que sejam dadas informações adicionais.
(2) As relações de Girard são válidas mesmo quando a equação não admite raízes reais.
(3) Quando uma raiz é de multiplicidade m, ela deve ser considerada m vezes nas relações de Girard.
(4) Uma equação algébrica de grau n admite n relações entre suas raízes e seus coeficientes.
Exemplos:
j
l
- 7 7 x1 +x2 = -s=s
- 8 X1. X2 =s
(2) 2x3+ 6x2 +9x-8 =O
6 x1 + x2 +X3 =-2 =-3
9 x1 x2 + x1. XS + X2. X3 = 2
- 8 x1. x2. xs.=-2 =4
~_._ ____________ __
'
.......
/'
...._
...........
---'
-'-""
'-"
'-
'-r
...........
'-"
Teorema de Bolzano O teorema de Bolzano permite verifi-
car se uma determinada equação algé-brica P(x) = O admite raízes reais em um certo intervalo aberto (a; b).
Sejam P(x) = O uma equação polino-miai com coeficientes reais e (a; b) um intervalo real aberto.
• Se P(a) e P(b) têm sinais contrários, então existe um número ímpar de raí-zes reais da equação no intervalo (a; b).
P(a) . P(b) <O
Interpretação Geométrica
P(a) -· · uma raiz em (a; b)
P(b) .. . .••••.•••••.••• , • .
três rafzes em (a: b)
cinco rafzes em (a; b)
Observação: Se P(a) . P(b) > O, ou seja, P(a) e
P(b) têm sinais iguais, o teorema não garante a existência de raízes reais, podendo no entanto existirem raízes reais em número par ou em multiplicidade par.
=-I raiz em (a; b)
P(a)
---L P(b) ' ' ' a b
uma raiz dupla
P(b)
P(a)
duas rafzes em (a; b)
quatro rafzes em(a; b)
P(a)
P(b)
Equações Recíprocas Uma equação algébrica de coefi
cientes reais é denominada de equação recíproca quando: • os coeficientes eqüidistantes dos ex
tremos são iguais ou • os coeficientes eqüidistantes dos ex
tremos são opostos. Exemplos
5x4 + 6x3-6x-5 =o t LJ t (opostos)
3x5- 9x4 + 6x3 +6x2- 9x + 3 =O
(iguais) I ! tj ! I
J
I I
GEOMETRIA ANALÍTICA t ./
Coordenadas Cartesianas no Plano
É composto por dois eixos perpendiculares, de origem comum e de mesma unidade.
y
r. Yp • P(xp• Yp)
o
-----------· I I I I I I I I I .
Nesta figura, temos que:
Ox é o eixo das abscissas;
Oy é o eixo das ordenadas;
X
O é o ponto origem das ordenadas;
xOy é o sistema cartesiano ortogo-nal;
o número real xP é a abscissa do ponto P;
o número real Yp é a ordenada do ponto P;
xP, yP são as coordenadas do ponto P.
o ponto P é representado pelo par de suas coordenadas.
Assim, o ponto origem do sistema é representado por (0, 0).
Estudo dos Sinais
O sistema cartesiano ortogonal divide o plano em quatro quadrantes. Através dos sinais das coordenadas de um ponto, sabemos em que quadrante ele se localiza. Assim:
·Y
112Q 12 Q
xP <O Xp > 0
Yp > O Yp > O
o X
11120 IV2Q
~< 0 lv2 >0 Yp < O Yp < O
Observações Importantes:
Pe o. Ç::) P (~. O)
{bissetriz dos qua -
Pe b Ç::> p X • 13 ( P' ~.) drantes 1mpares
{bissetriz dos qua -
Pe b24 Ç::) p (xP,- xp,) drantes pares
y
45°
X
x- y =O X+y = O
-,
-.
Distância entre dois Pontos
y
Ye
B
I I I
d I Ye- YA I I I I
A --------E1 X,- XA
XA
Pelo Teorema de Pitágoras
d2 = (xe- x,,f + (Ye- y,f
Razão de Secção
y B
Ye
y _________ {;
A
o X
X
X
'-' O ponto divisor C divide o segmento
/ -......
~
AB numa razão r, denominada razão de secção, dada por:
r= AC JEmO,: r
CB I y-yA lEmOY: r =
Xe -yA
Coordenadas do ponto divisor C:
X= XA +r Xa 1+r
Y A+ r Ys Y = 1+r
Propriedades da ; azão de secção: ~
r > o~ C é interior a AB ~
r < O ~ C é exterior a AB
r=O~C=A
~
r = 1 ~C é o ponto médio de AB
j rseC = B
V C, r* - 1
Ponto Médio
No caso particular de C ser o ponto ~
médio de AB, então r = 1 .
XA +Xa x=-- ·
2 '
y =YA+Ye 2
Baricentro de um Triângulo
O baricentro G de um triângulo ABC de coordenadas A (xA, y,J, B (x8 , Ye) e C (Xç, yc) é dado por:
y
c
B
0 X
O baricentro do triângulo é obtido geometricamente pela intersecção de suas medianas.
O baricentro divide cada mediana na razão de 1 para 2.
j
l I
~•t•zÉ•Nr•? ...... --~= Área de um Triângulo
A área S de um triângulo ABC de coordenadas A (xA, YA), B (x8 , y8 ) e C (><c, yc) é dada por:
y
A
0 X
XA YA 1 1
S = 2 101, onde O = Xe Ya 1
Xc Yc 1
A área do triângulo ABC é dada por metade do módulo do determinante.
Área de um Polfgono em função das Coordenadas dos Vértices
Área de um polígono poderia ser calculada pela soma das áreas dos triângulos definidos mediante o traçado de convenientes diagonais.
No entanto, esse processo um tanto trabalhoso pode ser substituído pelo seguinte dispositivo prático:
G(f)eo e e IW ··· ~{ II
S=~V.X\ ). ~ A área do polígono é dada pela me
tade do módulo do valor obtido pelo dispositivo prático.
Condição de alinhamento de três pontos
Dados três pontos A (xA, YA), B (x8 , y8 ) e C (xc, yc), dizemos que os pontos estão alinhados, isto é, pertencem a uma reta se, e somente se:
XA YA 1
O = Xe Ya 1 =O
Xc Yc 1
Se o determiante não é nulo, os pontos A, B, e C são vértices de um triângulo.
Coeficiente angular de uma reta r, não paralela ao eixo y , áo número real dado por
m, = tgcx
y y
a x
X
Caso particular: r paralela ao eixo Ox
y
--l-------+ X
m, =O
Obs.: Retas paralelas ao eixo OY não têm coeficiente angular
Determinação do coeficiente angular reta dada por dois de seus pontos.
y
Ys
A
!}Á,= YA - Ys
------ B - - : __ _8 1'-y-JI
(l : !:J.x = XA - X8 : X I I
Xs /'iy XA
mr = tQ(l = l'ix
Equação Geral da Reta Chama-se equação geral da reta a
equação do tipo
A .x+ B.y + C=O
com A, B e C reais e A e B não simultaneamente nulos. Equação Reduzida da Reta
Chama-se equação reduzida da reta a equação do tipo
y = mx+q
sendo: q o coeficiente linear da reta
Obs.: O coeficiente linear q é a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo oy.
-.
J
1 I
' - Equação Segmentária da Reta Seja r uma reta não paralela a ne
nhum dos eixos coordenados e que não passa pela origem. Sendo P e Q os in-terceptas da ..... ..... reta com os eixos o x e o y temos:
o p X
~ Chama-se equação segmentária a equação do tipo.
Equações Paramétricas da Reta Estas equações dão as coordenadas
(x, y) de um ponto qualquer da reta em função de um parâmetro t:
{
X = f1 (t)
y = f2 (t)
A partir das equações paramétricas obtém-se a equação geral da reta eliminando-se o parâmetro t. Ex.: As equações paramétricas de uma reta são x = t + 2, onde t e IR.
Y=2t-1
Determine a equação geral da reta
x =t + 2 entãot = x-2
y=2t-1 =2(x-2)-1 =2x- 4-1 =2x-5
:. 2x-y - 5 =o
Posição Relativa de duas Retas no Plano
r: y = m,x + b, r.A,x+Bty+~=O
tas s: y = m.x + bs s:A>x+a&'+Ce=O
s X r
s concorrentes
~ concorrentes
I perpendiculares
Paralelas distintas
Paralelas coincidentes
m, -F ms
A1 B1 c 1 A2 ="B2 ="C2
Distância de um Ponto a uma Reta Sejam P (><o Yw um ponto e uma reta r
de equação Ax + By + C = O do plano cartesiano.
y
d /
/ /
/ /
/
P (Xo, Yo) '
X
A distância entre P e r é dada por:
d = IAxo+ByO+C I
..JA2 + 8 2
j
1 I
Distância entre duas Retas Paralelas
Dadas duas retas r: k<+ By+C=Oes=k<+By+C =0
paralelas: y
Tem-se:
o X
s Ex.: A distância entre as refas paralelas de equações:
3x + 4y + 2 = O e 3x + 4y + 12 = O é:
d = 112-2 I = 10 = 2 ~õ
Ângulo entre duas Retas Sejam as retas r e s indicadas nas fi
guras. O ângulo agudo e entre elas é tal que:
s y
O módulo garante o cálculo do ângulo agudo entre as retas.
A medida do ângulo obtuso é o suplemento do ângulo e . Caso Particular: Uma das Retas é Vertical
y s
tg9= 1 ~r I
Circunferência ~
É o lugar geométrico dos pontos de um plano, eqüidistantes de um ponto fixo C do mesmo plano, denominado centro da circunferência.
A
D
_B_ Em que CA = CB = CD = R, raio da
circunferência.
Equação Reduzida ou Cartesiana da Circunferência
Seja a circunferência de centro C (a, b) e raio R e seja P (x, y) um ponto do plano pertencente à circunferência.
y
b -----@''· y)
a
Pe circunferência dPC = R
..J(x - a)2 +(y - b):r = R
Elevando ao quadrado, temos:
(x - a)2+ (y - b)2 = R2
X
que é denoninacla EQUAÇÃO REDUZIDA '--' da circunferência.
Caso Particular Se o centro C coincidir com a origem
(0, 0), a equação será: ,,
y
X
---------------------------------------------------Y~
I
J
1
-' - Equação Normal ou geral da Circunferência
Desenvolvendo-se os quadrados da equação reduzida, obtemos:
(x-a)2 + (y- b~ = R2
x2 +y2- 2ax-2by + (a2 + b2- R~= O
que é a EQUAÇÃO NORMAL OU GERAL da circunferência.
Reta Tangente à Circunferência
y
b -- - --
X
o • a
'-.../ Para que uma reta t de equação geral Ax. + By +C= O (com A e B não simulta-neamente nulos) seja tangente à circunferência de centro C(a , b) e raio R devemos
'-' ter:
-'-
"-"'
"-"
'-"'
'-'
'-'
'-' ....._
"-"
""-
...
dc,t= R
ESTUDO DOS LIMITES Noção intuitiva de Limites
A teoria dos limites tem por finalida-de maior estudar o comportamento de uma função. (Sua imagem) quando sua variável se aproxima de um número real, podendo a função estar ou não definida para este número.
Existem as seguintes situações:
• lim f(x): pode existir mesmo que f( a) x -+a não exista
• lim (fx): pode existir e ser diferente de x-+a f( a)
• lim f(x) =f( a): neste caso a função é x -+a contínua em x = a.
Exemplo 1:
y =f(x) = x + 2
X y 1 3
1,5 3,5 1,7 3,7 1,8 3,8 1,9 3,9
1,95 3,95 1,96 3,96 1,97 3,97 1,98 3,98 199 399
' '
f(x) - 4 5
4
3
1/2' / 1
· ;j -y 1 o
/
y
v X
1
X y 3 5
2,5 4,5 2,3 4,3 2,2 4,2 2,1 4,1
2,05 4,05 2,04 4,04
' / '
2,03 4,03 2,02 4,02 2 01 4 01
/ v
f-+2 x- 2+ - -2 ;j 4 X
• À medida que x se aproxima do número 2 pela esquerda, f(x) tende a 4
lim f(x) = lim (x + 2) = 4 x-+2'" x-+2'"
• À medida que x se aproxima do número 2 pela direita, f(x) tende a 4
lim f(x) = lim (x + 2) = 4 x-+~ x-+~
• Intuitivamente: À medida que x se aproxima do nú-mero 2, f(x) tende a 4.
lim f(x) = lim (x+2) =4 x-+2 x-+2
Exemplo2:
x2 - 4 y=f(x)= - -x - 2
X y X y
3 3 5 1,5 3,5 2,5 4,5 1,7 3,7 2,3 4,3 1,8 3,8 2,2 4,2 1,9 3,9 2,1 4,1
1,95 3,95 2,05 4,05 1,96 3,96 2,04 4,04 1,97 3,97 2,03 4,03 1,98 3,98 2,02 4,02 1,99 3,99 2,01 4,01
y
f(x -4 4 lL
L
v ~
/ L_ X -2 X 2 --/ 2 X
/
• f(2) não é definido ~
• lim f{x) = lim f(x) = 4 x-+2 x-+2+
• lim f(x) =4 x-+2
Exemplo 3: l x2 _ 4 --,se X -# 2 y =f(x) = x - 2
5, se X=2
X y X
1 3 3 1,5 3,5 2,5 1,7 3,7 2,3 1,8 3,8 2,2 1,9 3,9 2,1
1,95 3,95 2,05 1,96 3,96 2,04 1,97 3,97 2,03 1,98 3,98 2,02 1,99 3,99 2,01
5 y
/ f(x) - 4 4 v
1/ v 1/
L -2 x- 2 --/ /
• f(2) = 5
• lim f{x) = lim !.<l-> = 4 x-+2 x-+2
• lim f(x) =4 x-+2
Conclusões Sobre Limites • Condição de Existência
IIm f(x) = IIm f(x) x-+a- x-+ a+
y 5
4,5 4,3 4,2 4,1
4,05 4,04 4,03 4,02 4,01
X
Os limites laterais devem ser iguais para existir o limite. • Função Continua
lim f(x) = f(a) x-+a
.· "\
.....
--
...........
O limite existe e é igual ao valor da ·- função. Neste caso (exemplo 1), f é con
tínua em x = a. -
-.~
• lim f{x) existe mas, x-a f{ a) não é definida para x = a
• Função Descontínua
lim f{x) * f{ a) x-a
O limite é diferente do valor de f no ponto. Neste caso (exemplo 3), f é descontínua em x = a.
Cálculo Algébrico de um Limite É possível a obtenção de um limite
de uma função sem a análise gráfica. O cálculo algébrico do limite de uma função é feito baseado na continuidade ou não da função. • Quando a função é contínua no ponto, o
linite é igual ao valor da função no ponto. • Quando a função não é contínua no ~
to, deve-se obter algebricamente uma função simlar que seja contínua no ponto.
Exemplo 1:
Dada a função f(x) = x + 2
1/
• f é contínua para todo x e IR
• f(2) = 2 + 2 = 4
• lim f(x) = f(2) = 4 x - 2
Observação:
lim f{x) = lim (x + 2) = 2 + 2 = 4 x-2 x-2
(cálculo algébrico do limite)
Exemplo 2: .I
x2 4 Dada a função f(x) = - - - (x * 2) x-2
v kl
2
v
• f não é contínua para x = 2.
• f(2) não existe.
• lim f(x) = 4 (pelo gráfico). x-2
Observação:
lim f(x) = lim x2 - 4 = 22 - 4 = Q {*) x-2 x-2x-2 2-2 o
como x - 2, então x * 2, logo
(*) l"m x2 - 4 1• (x + 2) (x - 2 ) 1 -- = •m = X-2X- 2 X- 2 X - 2
= lim (x + 2) = 2 + 2 = 4 x-2
{cálculo algébrico do limite)
Importante (*)
Na obtenção algébrica do limite de uma função descontínua, é freqüente o aparecimento de
o o
Porém este não é um resultado de um limite e sim um símbolo de indeterminação. Através de operações algébricas deve-se eliminar esta indeterminação. Exemplo3:
x2 + 5x Dada a função f{x) = --x + 5
• Cálculo do lim f(x)
x- - 5
lim (-5)2 + 5 (-5) o
x-+-5X+5 -5+5 =u indeterminação t
= lim X . (X+ 5) x-+-5 (x + 5)
limx =~ x-+-5
Propriedades dos Limites As seguintes propriedades são veri
ficadas para o cálculo de limites.
P.1) Limite de uma soma é igual à soma dos limites
lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) x-+a x-+a x-+a
P.2) Limite de uma diferença é igual à diferença dos limites
lim [f(x) - g(x)] = lim f(x) -lim g(x) x-+a x-+a x-+a
P.3) Limite de uma constante é igual à própria constante
IIm k= k x-+a
P.4) Limite de um produto é igual ao produto dos limites.
Infinito . É muito freqüente, ~a resolução en
volvendo limites, o aparecimento do símbolo
(infinito).
Deve, no entanto, ficar bem claro que oo não é um número, e sim uma idéia associada a uma tendência, ou seja; oo é um símbolo utilizado para representar o equivalente a: está tendendo a um "número" muito grande.
Exemplo 1:
Dada a função f(x) = -1 -
lx - 21
y
I . I~
m / I \ I
1\ I
/ 1: _... / 1: ' 1:2
1:
Intuitivamente
X
...-.
-.._.
-
IIm [f(x) . g(x)] = lim f(x) . IIm g(x) À medida que x se aproxima de 2, a x-+ a x -+ a x -+ a imagem da função tende "a número mui- "
to grande"
P.5) Limite de um quociente é igual ao quociente dos limites. Algebricamente ,.,
. f(x) lim f(x) hm - = x-+a x-+ag(x) fim g(x)
x-+ a
Observação:
Existem outras propriedades que são conseqüências destas.
lim f(x) = lim -1
- = - 1 - = ~ (*) = oo
X -+ 2 X -+ 2x - 21 12 - 21
* É claro que esta igualdade só tem sentido quando aplicada no desenvolvimento algébrico de limites.
---"
--
Exemplo2: 1 Dada a função f(x) = - x - 2
y
H
~'i-
2
• Intuitivamente
X
"À medida que x tende a um valor cada vez menor, a imagem da função se aproxima de zero." • Algebricamente
- -- - ---~ - - - -; --- -1 - - ~ limf(x)= tim --= - -=* - =* O
x -2 -oo -2 x-+ - oo x-+ - 00
• Intuitivamente
"À medida que x aumenta cada vez mais, a imagem da função tende a zero."
.._.. • Algebrica~t~ _ _ _ _ - - -
-
- _1_ = _ 1_ =* 1::--o lim f(x) = lim x - 2 oo - 2
x-+ oo x-+ oo
(*) Estas igualdades só têm sentido quando no desenvolvimento algébrico de limites.
Símbolos de Indeterminação Os seguintes símbolos, no estudo
de limites, representam indetenninações que devem ser levantadas na resolução delimites:
Limites Tendendo ,ao Infinito O limite de uma função polinomial,
quando x -+ ± oo , é calculado a partir do termo de maior grau, ou seja, lim (a,xn + an-1xn-1 + ... a1x +ao)= x-+oo
limX1. (~+~+-+~~ ')= x-+ oo \ xn ~ X\
o o o
= lim (anXrl) n-+ oo
Exemplo: lim (4x3+7x2-3x+1)
~~;?. ( 4+\-~+~ ) = = lim 4x3 = O O O x -+ oo =4. oo3 =
y
J v :....-
1
'" ,2 t71 !21 h R
I/ l..t -./.,.,.
X
(a imagem da função tende a um número muito grande quando x aumenta cada vez mais)
Função Racional Chama-se função racional a toda
função da forma
f(x) = P(x) Q(x)
onde P(x) e Q(x) são polinômios.
O limite, tendendo a ± oo, de uma função racional é calculado tomando-se o termo de maior grau no numerador e no denominador, ou seja,
x-+oo
n ( an - 1 a1 ao J x. an+--+ ... +--+n x xn - 1 x
lim ______ ____ _
X-+oo
X • bm+--+ ... + - -+---;n m ( bm- 1 a1 ao J x xm -1 x
"'-Xn =lim _"'"fl _ _
x-+ oo bmxm
Exemplos:
5 2 5 • lim 3x + 2x = lim ~ = lim x?- = oo X-+ oo 2x + 3x3 X-+ oo 3x3 X-+ oo
2 2 • lim 4x + 7x = lim ~ = lim i =i x-+oo3x2 + 2 x -+oo 3x2 x -+oo 3 3
I. 7x+ 8
1. 7x
1. 7
0 •1m = lm - = 1m - = x-+oo 4x2 + 2x x-+ oo 4x2 x -+ oo 4X
Observação:
Uma substituição direta numa função racional pode resultar em indeterminações do tipo.
00
- OU oo-oo
Limites Irracionais São limites que envolvem funções
que se apresentam sob um radical. O problema maior será "levantar" possíveis indeterminações que surgem no cálculo destes limites. No entanto, a grande maioria destes problemas são resolvidos racionalizando-se a expressão que envolve radical, ou seja,
N N (-.ia+ vb) ..Ja - ,fD = ( ..Ja - ,fD) ( {ii + ...fb)
N _ N (-.ia+ vb) ...ra- ...fb - (..f8)2 - (...fb)2
N N (-.ia+ vb) ...fa-...fb= a - b
Exemplo:
lim x-+1
-./X- 1 --11- 1 o ~=~=o
(Indeterminação)
-rx - 1 c..JX - 1)(--IX + 1) (x - 1)
.......
X -1 (X - 1) (X + 1) (X - 1) (-fX + 1) -..../
Logo,
lim -{X - 1 = lim iX--11 = X -+ 1 X - 1 X -+ 1 ~ (-{X+ 1)
=lim -1- =-
1- =; x-+1 -1X+ 1 --11+ 1
Limite Trigonométrico O limite trigonométrico é o quociente
de seno de um arco sobre o arco {dado em radianos), quando este tende a zero.
Sendo x um arco dado em radianos (supondo x e 1º0), da trigonometria no círculo trigonométrico, obtemos:
lim
x ~ O
senx= 1 X
--
v
'-'
-
ESTUDO DAS DERIVADAS f
Derivada de uma Função Interpretação Geométrica O valor numérico da derivada de
uma função y = f(x) no ponto de coordenadas
{Xo; yo)
é o coeficiente angular da reta tangente à curva obtida pela função dada neste ponto, ou seja,
y-y0 = m. (x-xo)
ou
Y- Yo= f{xo) . {x- xo)
Verificação:
y , f(x) - ------ ------------------ /
Uma função f diz-se derivável em um certo intervalo aberto, se for derivável em todos os pontos deste intervalo. A função derivada de f, representada por f e obtida pelo limite.
f(x + !J.x)
f'(x) = lim LU:-+0
f(x - âlc) - f(X)
6x
ou f'(x) = IIm tJ.y
LU:-+0 âX
y = f(x)
////,/ : ,,,,_.~, ,,,, ~--~ ~ ~- ~ ~ ---.:_-~~:-:.:~,:~-~.r f(Xo)
,' , - , I I e I I
------;.:: ~-- --'--~ -+----x'-------x-+~!J.x-~
6x ·I f(X) - f (x0)
tg a = - - --'-x- ><o
fazendo a -+ ~
f(X)- f(Xo) tg ~ =lim
x-+Xo x- ><o
tg ~ =f(Xo)
X
Exemplo:
f(x) = 2x-3
f'(x) = lim f(x + tJ.x) - f(x) !J.X -+0 6x
Portanto, a equação da reta tangente no ponto de abscissa Xo. é:
f'(x) = lim 2 . (x + tJ.x) - 3 - (2x - 3) ÔX
ô'X-+0
Y- Yo = m . {X- xo)
ou
Y- Yo = tg ~ . {x- xo)
ou
Y-Yo=f(xo). {x- xo)
f(x) = lim 2 · !J.x ô'X-+Oõ.x
f' (x) = 2
-
Observação 1 : Como conseqüência imediata do limi
te Trigonométrico Fundamental, temos lim sen kx = 1 x--+0 kx
Observação 2: Como conseqüência imediata do limi
te Trigonométrico Fundamental, temos lim sen kx = k x--+0 x
Observação 3: Como conseqüência do limite Trigo
nométrico Fundamental, temos lim sen ax =a
x --+ 0 sen bx o Limite Exponencial x
Dada a função f(x) = ( 1 + ~ ) , à
medida que x tende ao infinito, a imagem de f tende ao número 2,7182818 ... , também conhecido por número de Euler.
Verificação
f(x) =( 1 + ~ r X= 1--+ f(1) = ( 1 ++ r = 2
X = 2 ...... f(2) = ( 1 + ~ r = 2.25
X= 4--+ f(4) = ( 1 +i r = 2.441406
X = 8 ...... f(8) = ( 1 + ~ r = 2.565784
X =16--+ f(16) = ( 1 + 1~) 16
= 2,637928
x = 32 ...... f(32) = ( 1 + 31) 32 = 2,676990
X = 64 --+ f(64) = ( 1 + 6~) 64
= 2,697344
X= 12B--+~12B)=( 1+1~ ra3 =2,~
X = 256 ...... f(256) = ( 1 + 2~ r56 =2. 712991
X=512--+~512) =( 1+51121512
=2,715ffi2
1024 X= 1024--+f(1024) =( 1+ 1~4 ) =2,71a:J55
10000
x= 1om-+ f(1cx:x:Q=( 1+ 1~ ) =2.718145
x--+ = então f(x) --+ 2,7182818 .•.
e= 2,7182818
O número 2,7182818 ... é um número irracional, que é a base dos logaritmos neperianos. Sua representação é a letra e, ou seja,
e= 2,7182818 ••.
Conclusão:
lim x --+oo
lim x--+- oo
Observação 1 :
lim ( 1 +~r= ( 1 +~ r = (1 +0)~ = 1~ x --+ oo
1~ = símbolo de indeterminação
Observação 2:
Como conseqüência imediata do limite exponencial, temos
1 lim (1 + x) x = e X--+0
Observação 3: ex ac
~~ = ( 1 + :X J d =e bd
Observação 4:
O gráfico da função
f(x) = (1 + ~)x
\ . ..-
-
-
-
c
-Regras de Derivação
"-" Através da definição, dada anterior-mente, de derivada de uma função, pro
- vam-se as seguintes regras de derivação.
_ • Derivada de uma Constante
'-' Sendo K um número real qualquer, tem-se
f (x) = k -+ f'(x) = O
• Derivada da Função Identidade
A derivada da função identidade é igual à unidade
f (x) = x -+ f'(x) = 1
• Derivada de uma Função do 19 grau
A derivada de uma função do 1 º grau é igual ao coeficiente de x.
f(x) = ax + b -+ f' (x) = a
• Derivada da Função Potência
A derivada de uma função potência de x, de expoente genérico "n", é verificada pela definição de derivadas e pelo binômio de Newton.
f(x) = x" -+ f'(x) = n. x n-1
• Derivada do Produto de Função Constante
A derivada do produto de uma cons"- tante por yma função é igual ao produto
da constante pela derivada da função. \......'
g(x) = K . f(x) -+ g'(x) = K . f '(x)
• Derivada da Soma de Funções
A derivada de uma soma de funções é igual à soma das derivadas dessas funções.
f(x) = u(x) + v(x) -+ f'(x) = u'(x) + v'(x)
• Derivada da Função Potência
Sendo u uma função real de x, e sendo n um número real, então, aderivada da função y = u" é dada por
y = u" -+ y'= n . u n-1 . u'
onde u' é a derivada de u em relação a x.
• Derivada do prod&to de Funções Sendo u e v funções de x, a deriva
da do produto de duas funções é igual à soma dos produtos de uma das funções pela derivada da outra.
y =U .v-+ y'= u' v + uv' onde u' e v' são as derivadas de u e v, respectivamente, em relação a x. • Derivada do Quociente de Funções
Sendo u e v funções reais de x, a derivada do quociente destas funções é dada pela relação:
Y -~-+ y, _liv - IN' -v - y2
onde u' e v' ·são as derivadas de u e v, respectivamente, em relação a x.
• Derivada da Função Exponencial Sencb ''à' t.rn rúrero real (a> O e a* 1)
e "u" uma função de x, então a derivada da função y = ax é dada por
y = au -+ y' = au . t na . u'
Importante:
Como conseqüência desta relação, obtém-se a seguinte fórmula:
y = eu -+ y' = eu • u'
• Derivada da Função Logarítmica A derivada de uma função logarítmi
ca é dada pela fórmula:
I , li Y= OQaU -+ y = u . ena
Importante:
Como conseqüência desta relação, obtém-se a seguinte fórmula:
y =e nu -+ y'= ~
• Derivada da Função Seno A derivada da função seno de um
arco u, onde u é uma função de x, é:
y = sen u -+ y = u' . cos u
-
.J
1 I
Exemplo:
y = sen (5x2)
1 U= 5x2
u' = 10x y' = 10 x. cos (5x2)
Derivadas da Função Co-Seno A derivada da função co-seno de um
arco u, onde u é uma função de x, é:
y = cos u -+ y' =-u' sen u
Exemplo: y = cos (2x3- 3)
1 U=2i3-3 u' =6x2
y' = - 6x2 . sen (2x3 - 3)
Derivada da Função Tangente A derivada da função tangente de
um arco u, onde u é uma função de x, é:
y = tg u -+ y' = u' . sec2u Importante
y = senx-+ y' = cosx y = cos x -+ y' = - sen x
Outras Fórmulas de Derivação A seguir uma tabela de funções trigonométricas com as respectivas derivadas:
y = cotg u -+ y' =- li. cosec2u
y = secu -+ y'=u'secu .tgu
y = oosec u -+y' =-lioosec u .axg u
y = are sen u -+
y=arccos u -+
y = arctg u -+
y = are cotg u -+
y=arcsec u-+
y = are cosec u -+
y' __ _ li _
~ - u'
y'=--~
u' y'= -1 + u2
u' y'= - -1 + u2
u' y' = -u-. -:..J=u2=+= 1
li y' =- u.~
~ ........ ____ ~ ~ Observação:
.I
y = uv -+ y' =v . uY-1 . u' + uv. ~ n u. v'
Variação de uma Função Ao introduzirmos o conceito sobre ,.....
derivadas, observamos a interpretação geométrica do valor da derivada de uma ,... função em um ponto: coeficiente angu-lar da reta tangente neste ponto.
y
Yo
Xo
y- Yo = m . (x - xo) X
onde: m = tg ex. = f'(xo)
A partir desta interpretação geomé
r \ . .../
c
-trica, podemos analisar a variação de \_ uma função quanto ao seu crescimento, ou seja, • Função Constante
yl
y= f(x)
+---·X a =O
m=tg a =f'(x)=O
(Derivada nula)
• Função Crescente y
O<a <; m = tg a = f'(x) > O
(Derivada Positiva)
X
-'J
-"
I -.._;
........
;.,....:
'--'
'-'
~
v
~
.._., .......,
\,./
'-"
._,
.._,.
..._
-I '-"
,J
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• Função Decrescente
y
1t 2<CL<1t
m = tg a = f'(x) < O
(Derivada Negativa)
Conclusões:
• Se a função f é derivável em um certo intervalo aberto e f'(x) > O para todo x neste intervalo, então a função é crescente (no intervalo).
• Se a função f é derivável em um certo intervalo aberto e f'(x) < O para todo x neste intervalo, então a função é decrescente (no intervalo).
• Se a função f é derivável em um certo intervalo aberto e f'(x) = O para todo x neste intervalo, então a função é constante (no intervalo).
Concavidade de uma Função A concavidade da curva de uma fun
ção f pode ser determinada através do sinal da derivada de segunda ordem de f, ou seja,
f"(x) > o-+ concavidade voltada para cima.
f'(x) <O -+ concavidade voltada para baixo.
(Num certo intervalo aberto.)
Máximos ou Mfnimos Relativos A partir do sinal da derivada de se
gunda ordem de uma função f, além da concavidade, podem-se obter pontos de
maxtmos ou m1n1mos, relativos a um certo intervalo desta função. Sendo o gráfico a seguir de uma função f qualquer, tem-se:
y
• X1 = abscissa de um ponto de máximo local.
• X2 = abscissa de um ponto de mínimo local.
• X3 = abscissa de um ponto de máximo local.
• As retas tangentes r1, r2 e r3 nos pontos de abscissas x1. X2 e X3. respectivamente, são paralelas ao eixo x, logo, a derivada de f se anula para x1 , X2 e X3. ou seja, f(X1) =f(X2) =f(X3) = 0.
Observação:
Nos pontos de mínimo ou máximo relativo, a derivada primeira se anula.
Teste da Derivada de 2! Ordem A fim de verificar se um ponto, que
anula a derivada primeira de uma função, representa um ponto de máximo ou mínimo local, faz-se o teste da derivada de segunda ordem, ou seja,
• deriva-se a função
• iguala-se a derivada primeira a zero
• faz-se o teste da derivada de 2ª ordem para a raiz da derivada primeira
f'(Xo) = O -+ ~anula a derivada primeira.
f"(Xo) > O- Xo é abscissa de um mínimo local.
f"(Xo) < O - Xo é abscissa de um máximo local.
Ponto de Inflexão Se f '(Xn) = O e f "(Xo) "* O, então Xo é
abscissa de um ponto de inflexão.
Regra de L 'Hospital Ao resolvermos exercícios relaciona
dos com limites é muito freqüente o aparecimento de indeterminações do tipo:
Tais indeterminações podem ser levantadas através da Regra de L'Hospital, ou seja,
Deriva-se separadamente o numerador e o denominador da função dada, tantas vezes quantas necessárias.
Exemplo 1:
. x2 - 4 O hm - - = -x-2 x- 2 o
-Aplicando a Regra de L'Hospital
lim :;x = 2 . 2 = 4 x -2
Exemplo2:
lim 5x3 + 3x2 + 1
x-oo
Aplicando a Regra de L' Hospital I"
lim x-oo
Aplicando a Regra de L' Hospital
lim 30x + 6 =~ x- oo ~ 00
Aplicando a Regra de L' Hospital
30 30 5 lim 12 =12 =2 x- oo
Observação:
A Regra de L'Hospital só pode ser utilizada quando o limite existir e a indeterminação for
o 00
ou - ou o co
,..._...,
(
'-
-
-
c