mekanika klasik pak guntur
DESCRIPTION
semoga bermanfaatTRANSCRIPT
-
MEKANIKA KLASIK
Obyek yang dikaji dalam mekanika klasik dapat digolongkan menjadi tiga
jenis. Ketiga jenis obyek tersebut adalah (1) partikel tunggal; (2) banyak partikel
yang bersifat diskrit, baik partikel bebas maupun terikat (tegar); (3) banyak partikel
yang bersifat kontinyu/malar, sebagai contoh adalah fluida dan benda tegar. Ketiga
obyek tersebut dikaji dengan menggunakan tiga metoda yaitu (1) Newton, (2)
Lagrange, (3) Hamilton.
Selain obyek dan metoda juga terdapat perangkat pembahasan atau konsep-
konsep. Konsep-konsep tersebut adalah konsep dasar dan konsep turunan. Konsep
dasar dibagi menjadi tiga yaitu ruang, waktu, dan massa. Ruang, waktu dan massa
disebut sebagai konsep dasar karena ketiganya dapat berdiri sendiri tidak bergantung
dengan yang lain. Selain konsep dasar disebut sebagai konsep turunan, dan
berikutnya disebut sebagai besaran. Contoh konsep turunan adalah vektor posisi (),
kecepatan (), energi kinetik
=
, dan masih banyak lagi konsep-
konsep turunan yang lain.
PARTIKEL TUNGGAL
Keberadaan partikel dalam ruang dinyatakan dengan vektor posisi yang terjadi
pada saat . Fungsi vektor posisi ada dua yaitu (1) memastikan posisi partikel, (2)
menyatakan posisi partikel secara kuantitatif. Untuk menyatakan vektor posisi
diperlukan suatu kerangka acuan
dalam bentuk sistem koordinat.
Sebagai contoh dalam ruang tiga
dimensi dikenal sistem koordinat
kartesius. Posisi partikel terhadap
pusat koordinat pada saat dapat
dinyatakan sebagai vektor posisi
seperti tampak pada gambar di
samping.
Konsep dasar ruang
menuntun munculnya vektor
posisi . Konsep dasar waktu menuntun munculnya waktu . Akibatnya keberadaan
-
partikel pada suatu tempat dan saat tertentu dapat dituliskan sebagai (). Posisi
benda sebagai fungsi waktu () disebut sebagai gerak. Oleh karena itu = ()
disebut sebagai persamaan gerak partikel. Persamaan gerak partikel jika dinyatakan
dalam komponen-komponennya maka dapat dituliskan sebagai berikut.
Di ruang 1 dimensi ( 1)
() = ()
Persamaan gerak tersebut adalah persamaan gerak lurus.
Di ruang 2 dimensi( 2)
() = ()+ ()
Di ruang 3 dimensi( 3)
() = ()+ ()+ ()
Persamaan gerak benda = () mengindikasikan bahwa posisi partikel setiap
saat berubah-ubah. Dari perubahan posisi tersebut dapat diketahui laju perubahan
posisi yang dituliskan sebagai
()
() disebut sebagai kecepatan sesaat. Jika dinyatakan dalam komponen-
komponenya maka () dapat dituliskan sebagai berikut
() =
() =
(()+ ()+ ())
() =()
+
()
+
()
() = ()+ ()+ ()
Karena kecepatan sebagai fungsi waktu maka kecepatan tersebut akan berubah-ubah
seiring dengan berjalannya waktu . Laju perubahan kecepatan dinyatakan sebagai
=
()
() disebut sebagai percepatan sesaat. Jika dinyatakan dalam komponen-
komponenya maka () dapat dituliskan sebagai berikut
() =
() =
(()+ ()+ ())
-
() =()
+
()
+
()
() = ()+ ()+ ()
Jika diketahui () maka dapat dicari persamaan () dengan menggunakan
persamaan berikut ini.
() =
() =
Ruas kiri diintegralkan terhadap sedangkan ruas kanan diintegralkan terhadap
()
=
()
()
()
= | () ()
()
= () (0)
() = ()
+ (0)
atau
() = (0) + ()
Jika diketahui () maka dapat dicari persamaan () dengan menggunakan
persamaan berikut ini.
() =
() =
Ruas kiri diintegralkan terhadap sedangkan ruas kanan diintegralkan terhadap
()
=
()
()
()
= |()()
-
()
= () (0)
() = ()
+ (0)
atau
() = (0) + ()
Semua aspek tersebut (), (), () dibahas dalam kinematika, dan besaran-
besarannya disebut sebagai besaran kinematika.
Fakta di alam menunjukkan bahwa benda-benda bergerak dengan style
berbeda-beda. Perbedaan tersebut disebabkan oleh resultan gaya yang bekerja pada
benda. Akibatnya dalam pembahasannya memerlukan konsep dasar massa ().
Pembahasan ini masuk ke dalam aspek dinamika.
Persamaan gerak benda ditentukan oleh resultan gaya dan massa benda. Kaitan
antara resultan gaya dan persamaan gerak tunduk pada hukum II Newton yaitu
=
Untuk partikel tunggal maka massa adalah konstan. Persamaan di atas merupakan
persamaan differensial yang harus dicari persamaan geraknya (), dimana ()
yang diperoleh tergantung pada resultan gaya . Jadi setiap ada ketentuan mengenai
maka dapat ditentukan persamaan gerak (). Secara umum adalah fungsi dari
posisi, kecepatan dan waktu yaitu = , , . Pada ruang satu dimensi maka
= , , .
Persamaan Hukum Newton pada Ruang Satu Dimensi
Persamaan hukum Neewton pada ruang satu dimensi dapat dituliskan sebagai
berikut.
=
dimana adalah massa partikel/benda, adalah resultan gaya yang bekerja pada
benda bermassa . Berbagai kemungkinan gaya yang bekerja pada benda adalah
sebagai berikut.
-
1. Resultan gaya nol ( = 0)
2. Resultan gaya konstan ( = 0)
3. Resultan gaya sebagai fungsi posisi = ()
4. Resultan gaya sebagai fungsi kecepatan = ()
5. Resultan gaya sebagai fungsi waktu = ()
6. Resultan gaya sebagai fungsi posisi dan kecepatan = (, )
7. Resultan gaya sebagai fungsi posisi dan waktu = (, )
8. Resultan gaya sebagai fungsi kecepatan dan waktu = (, )
9. Resultan gaya sebagai fungsi posisi, kecepatan dan waktu = (, , )
Resultan gaya nol ( = 0)
Jika resultan gaya adalah nol ( = 0), maka persamaan hukum Newton dapat
dituliskan sebagai berikut.
=
= 0
= 0
Karena
= 0 maka harus konstan. Jadi benda yang mengalami resultan gaya nol
maka benda akan bergerak dengan kecepatan konstan atau yang sering disebut
sebagai gerak lurus beraturan. Karena konstan maka persamaan posisi benda dapat
dinyatakan sebagai berikut.
=
=
=
()
()
| = |()
()
( 0) = () (0)
() = (0) +
-
Berdasarkan persamaan posisi () tersebut tampak bahwa posisi benda berubah
terhadap waktu secara linear. Gambar berikut adalah grafik hubungan antara
kecepatan dan waktu serta posisi dan waktu.
Resultan Gaya Konstan ( = = )
Jika benda mengalami resultan gaya konstan ( = = ), maka
persamaan hukum Newton dapat dituliskan sebagai berikut.
=
Dari persamaan tersebut dapat diperoleh persamaan berikut
=
Sebagaimana yang telah diketahui bahwa
adalah percepatan benda. Karena massa
benda dan resultan gaya adalah konstan, maka
juga merupakan sebuah nilai
yang konstan. Jadi benda yang mengalami resultan gaya konstan akan mengalami
percepatan konstan. Jika dinyatakan
dalam grafik hubungan antara
percepatan dan waktu adalah
sebagai berikut.
-
Dari persamaan hukum Newton di atas dapat ditentukan persamaan kecepatan
benda sebagai berikut.
=
=
Dimana dan adalah konstan.
=
()
()
=
()
()
=
|()()
=
|
() (0) =
( 0)
() = (0) +
Persamaan kecepatan benda tersebut
menunjukkan bahwa kecepatan benda
yang mengalami gaya konstan
merupakan fungsi linear dari waktu .
Berdasarkan persamaan kecepatan di
atas maka dapat dibuat grafik
hubungan antara kecepatan dan waktu
seperti tampak pada gambar.
Persamaan kecepatan di atas
dapat digunakan untuk mencari persamaan posisi benda. Berikut adalah langkah
untuk menemukan persamaan posisi benda dari persamaan kecepatan ().
() = (0) +
= (0) +
-
= (0) +
()
()
= (0) +
|()()
= (0) +1
2
() (0) = (0) +1
2
(0)0 +1
2
0
() (0) = (0) +1
2
() = (0) + (0) +1
2
Berdasarkan persamaan tersebut tampak bahwa posisi benda merupakan fungsi
kuadrat dari waktu , sehingga grafik hubungan antara posisi dan waktu dapat
digambarkan sebagai berikut.
Resultan Gaya sebagai Fungsi Waktu = ()
Benda yang mengalami resultan gaya sebagai fungsi waktu, maka persamaan
hukum Newtonnya adalah sebagai berikut.
= ()
= ()
Dari persamaan tersebut dapat diperoleh beberapa besaran yang terkait dengan gerak
benda. Berikut adalah besaran-besaran yang dimaksud.
= ()
-
()
= ()
Besaran disebut sebagai momentum linear .
= ()
= ()
()
()
= ()
|()()
= ()
() (0) = ()
() (0) = ()
()
Pada persamaan tersebut tampak bahwa di ruas kiri adalah perubahan momentum
linear, sedangkan di ruas kanan adalah impuls gaya yang bekerja pada benda/partikel
selama . Jadi adanya impuls yang bekerja pada benda menyebabkan terjadinya
perubahan momentum linear benda.
Persamaan kecepatan benda sebagai fungsi waktu dapat ditentukan dengan
langkah-langkah berikut.
= ()
=
1
()
=1
()
()
()
= 1
()
|()()
=1
()
() (0) =1
()
-
() = (0) +1
()
Persamaan kecepatan tersebut bergantung pada bentuk persamaan resultan gaya
sebagai fungsi waktu (). Jika bentuk dari () diketahui maka dapat dtentukan
integralnya.
Setelah diketahui persamaan kecepatan sebagai fungsi waktu, maka dapat
ditentukan pula persamaan posisi benda sebagai fungsi waktu. Berikut adalah
persamaan posisi sebagai fungsi waktu yang diperoleh dari persamaan kecepatan.
() = (0) +1
()
= (0) +
1
()
= (0) +1
()
()
()
= (0) +1
()
|()()
= (0) +1
()
() (0) = (0) +1
()
() = (0) + (0) +1
()
Seperti halnya dengan persamaan kecepatan sebagai fungsi waktu di atas, maka
persamaan posisi sebagai fungsi waktu juga sangat bergantung pada bentuk
persamaan resultan gaya (). Jika () diketahui maka () dapat ditentukan.
Contoh :
Benda bermassa 2 kg mengalami gaya () = 2 selama 4 sekon. Tentukanlah :
a. Kecepatan benda
b. Posisi benda
-
c. Momentum benda
Jika (i) (0) = (0) = 0, (ii) (0) = 2, (0) = 1
Jawab :
a. Kecepatan benda
= ()
= 2
=1
2
()
()
=1
2
|()()
=1
|
() (0) =1
( 0)
() = (0) +1
Jika (0) = (0) = 0 maka pada saat = 4 s
(4) = 0 +1
24
(4) = 8 m/s
Jika (0) = 2, (0) = 1 maka pada saat = 4 s
(4) = 1 +1
24
(4) = 9 m/s
b. Posisi benda
Persamaan posisi benda dapat diperoleh dari persamaan kecepatan sebagai
fungsi waktu.
() = (0) +1
= (0) +
1
= (0) +1
-
()
()
= (0) +1
|()()
= (0) +1
1
3
() (0) = (0) +1
3 (0)0 +
1
30
() = (0) + (0) +1
3 2
() = (0) + (0) +1
6
Jika (0) = (0) = 0 maka pada saat = 4 s
(4) = 0 + 0 4 +1
64
(4) =64
6=
32
3m
Jika (0) = 2, (0) = 1 maka pada saat = 4 s
(4) = 2 + 1 4 +1
64
(4) = 6 +64
6=
100
6=
50
3m
c. Momentum benda
() = ()
Jika (0) = (0) = 0 maka pada saat = 4 s
(4) = (4)
(4) = 2 8
(4) = 16 kgm/s
Jika (0) = 2, (0) = 1 maka pada saat = 4 s
(4) = (4)
(4) = 2 9
(4) = 18 kgm/s
Resultan Gaya sebagai Fungsi Posisi = ()
Persamaan hukum Newton bagi benda yang mengalami resultan gaya sebagai
fungsi kecepatan adalah sebagai berikut.
= ()
-
= ()
= ()
= ()
= ()
1
2
()
= ()
1
2() = ()
1
2 = ()
= ()
Di ruas kiri persamaan di atas adalah perubahan tenaga kinetik . Di ruas kanan
() adalah usaha yang dilakukan oleh gaya sebagai fungsi posisi () pada
benda sehingga benda berpindah sejauh . Karena gaya merupakan fungsi posisi,
maka besarnya gaya yang bekerja pada benda selalu berubah-ubah seiring perubahan
posisinya. Contoh gaya yang berubah terhadap posisi adalah gaya gravitasi antara
dua benda, dimana gaya gravitasi berbanding terbalik dengan kuadrat jarak kedua
benda.
Andaikan suatu benda bermassa diletakkan sejauh dari permukaan bumi,
maka benda tersebut mengalami gaya gravitasi sebesar
() =
() =
() = ()
dengan arah gaya menuju ke pusat bumi. Untuk memindahkan benda tersebut
menuju ke tempat yang jaraknya dari permukaan bumi + maka diperlukan
gaya luar () yang arahnya berlawanan dengan arah gaya gravitasi atau dapat
dituliskan () = (). Akibat gaya luar () benda mengalami perpindahan
dari menjadi + , sehingga usaha yang dilakukan oleh gaya () terhadapa
benda adalah
()([ + ] ) = ()([ + ] )
-
()[ + ] () = ()([ + ] )
() + () () = (()[ + ] ())
() = (() + () ())
() = ()
Suku di ruas kanan persamaan tersebut adalah perubahan tenaga potensial, sehingga
persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.
() = ()
Kembali ke persamaan = (), maka akan diperoleh persamaan berikut.
=
+ = 0
( + ) = 0
= 0
Persamaan tersebut menunjukkan bahwa tenaga total benda () adalah konstan.
Dengan demikian gaya () disebut sebagai gaya konservatif karena tidak
mengubah tenaga total benda.
Bagaimanakah bentuk persamaan gerak kecepatan dan posisi benda?
Persamaan kecepatan benda yang mengalami resultan gaya sebagai fungsi posisi
() dapat diturunkan sebagai berikut.
= ()
= ()
= ()
-
= ()
=1
()
()
()
=1
()
()
()
1
2|()
()=
1
()
()
()
() (0) =2
()
()
()
() = (0) +2
()
()
()
() = (0) +2
()
()
()
Persamaan posisi benda sebagai fungsi waktu adalah sebagai berikut.
() = (0) +2
()
()
()
= (0) +
2
()
()
()
=
(0) +2
()
()
()
()
()
=
(0) +2
()
()
()
|()()
=
(0) +2
()
()
()
-
() (0) =
(0) +2
()
()
()
() = (0) +
(0) +2
()
()
()
Persamaan kecepatan sebagai fungsi posisi dapat diperoleh dengan
mendifferensialkan persamaan posisi di atas.
() =()
() =
(0) +
(0) +2
()
()
()
Sedangkan persamaan percepatannya adalah
() =()
() =
(0) +
(0) +2
()
()
()
Pada ruang tiga dimensi maka tenaga potensial = (, , ) sehingga
berlaku persamaan
=
=
=
Sehingga secara keseluruhan menjadi
= + +
=
=
+
+
=
-
Jika diketahui maka dapat dicari tenaga potensilanya, begitu juga sebaliknya jika
tenaga potensial diketahui maka dapat dicari gayanya.
Contoh
Jika diketahui = 2 maka tentukan persamaan untuk gaya !
Jawab
=
= (2)
+
(2)
+
(2)
= 2 + 6 + 4
Jika diketahui = + 6 + 4 maka tentukan persamaan tenaga
potensialnya!
Jawab
() = 2
() = 2 + (, )
() = 6
() = 2 + (, )
() = 4
() = 2 + (, )
Maka persamaan untuk tenaga potensialnya adalah = 2 (setiap suku yang
muncul hanya diambil satu kali)
Jika diketahui = + maka tentukan persamaan gaya sebagai fungsi
posisi!
Jawab
=
= ( + )
+
( + )
+
( + )
= ( ) + ( + ) + ( )
= ( ) ( + ) + ( )
-
Jika diketahui = ( ) ( + ) + ( ), maka tentukn persamaan tenaga
potensialnya!
Jawab
() = ( )
() = + (, )
() = + +
() = ( + )
() = + + (, )
() = + + +
() = ( )
() = + (, )
() = + +
Sehingga = + +
Persamaan = berlaku untuk gaya yang konservatif. Gaya konservatif
adalah gaya yang tidak menyebabkan perubahan pada energi total sistem. Akibat dari
gaya konservatif ini adalah usaha yang dilakukan oleh gaya tersebut tidak
bergantung pada lintasannya, melainkan bergantung pada perpindahan. Secara
matematis dapat dinyatakan sebagai
()
=
Jika = berarti lintasan yang bentuk adalah lintasan tertutup, sehingga
perpindahannya adalah nol. Jika perpindahan benda akibat gaya konservatif adalah
nol, maka usaha yang dilakukan oleh gaya tersebut juga nol. Jika diungkapkan secara
matematis adalah sebagai berikut.
()
= ()
0 = ()
() = 0
-
Jadi cara untuk menguji gaya itu koservatif atau tidak adalah dengan melakukan
rotasi pada gaya. Jika hasil rotasi adalah nol, maka gaya tersebut adalah gaya
konservatif, sedangkan jika hasil rotasinya tidak nol maka gaya tersebut tidak
konservatif.
Contoh
Dengan menggunakan integral lintasan tunjukkan apakah gaya berikut konservatif
atau tidak.
a. = +
b. =
Gunakan lintasan berikut.
Jawab
a. = +
Lintasan
=
+
Dimana = sehingga =
=
+
= 2
= 2.1
2|
= 1
-
Lintasan
=
+
Pada lintasan maka = 0 sehingga = 0, pada lintasan maka
= 1 maka = 0 sehingga
=
+
+
+
=
+ 0
+ 0 +
=1
2|
+1
2|
=1
2+
1
2
= 1
b. =
Lintasan
=
Dimana = sehingga =
=
= 0
Lintasan
=
+
-
Pada lintasan maka = 0 sehingga = 0, pada lintasan maka
= 1 maka = 0 sehingga
=
+
= [0 0] + 0 1
= |
= 1
Karena hasilnya berbeda maka = tidak konservatif.
Resultan Gaya sebagai Fungsi Kecepatan = ()
Contoh kasus benda yang mengalami resultan gaya
sebagai fungsi kecepatan adalah ketika sebuah bola besi
dimasukkan ke dalam fluida yang memiliki viskositas
(kekentalan) sehingga bola besi tersebut mengalami gaya
gesek yang besarnya sebanding dengan kecepatan benda.
Persamaan hukum Newton untuk keadaan tersebut adalah
sebagai berikut ini.
() =
=
=
()
()
=
1
ln( )
()
()
= |
ln () ln (0) =
-
ln ()
(0) =
()
(0)=
() = [ (0)]
() = + (0)
() =
+ (0)
() =
1
+ (0)
Dari persamaan kecepatan tersebut, jika = maka
0 sehingga kecepatan
benda akan konstan. Kecepatan ini disebut sebagai kecepatan terminal.
() =
Setelah diperoleh persamaan kecepatan benda, maka dapat juga diturunkan
persamaan posisi benda. Berikut adalah penurunan untuk menentukan persamaan
posisi benda.
() =
1
+ (0)
=
1
+ (0)
=
1
+ (0)
()
()
=
+ (0)
|()()
=
+
(0)
() (0) =
+
(0)
0 +
(0)
() (0) =
+
(0)
+
(0)
() (0) =
+
(0)
+
(0)
-
() = (0) +
+
+
(0)
1
Contoh :
Perahu bergerak dari pantai menuju ke tengah laut dengan kecepatan . Setelah
menempuh jarak tertentu, mesin perahu dimatikan dan perahu mengalami gaya gesek
dengan air laut dengan persamaan = . Tentukanlah :
a. Persamaan kecepatan perahu
b. Persamaan posisi perahu
Jawab :
a. Persamaan kecepatan perahu
=
=
=
()
=
[ln ]()
=
|
ln () ln =
( 0)
ln ()
=
()
=
() =
Dari persamaan tersebut nampak bahwa kecepatan perahu menurun secara
eksponensial. Berikut adalah grafik yang menggambarkan hubungan antara
kevepatan dan waktu.
-
b. Persamaan posisi perahu
() =
=
=
()
=
|()
=
() =
() = +
1
Berikut adalah grafik hubungan posisi dan waktu.
GETARAN SELARAS SEDERHANA
Sistem benda yang mengalami resultan gaya () = adalah sistem yang
mengalami getaran selaras sederhana. Resultan gaya tersebut merupakan fungsi dari
-
posisi dengan adalah tetapan gaya. Karena resultan gaya sebagai fungsi posisi,
maka adalah gaya konservatif, sehingga terdapat hubungan
=
=
=
=1
2
Persamaan tersebut adalah persamaan untuk tenaga potensial getaran selaras
sederhana.
Benda yang mengalami gaya konservatif maka total tenaganya konstan
sehingga berlaku.
=1
2
+1
2
Dimana adalah kecepatan benda saat simpangannya sebesar . Ketika benda
berada di titik setimbang ( = 0) maka resultan gayanya adalah nol sehingga
persamaan tenaganya adalah.
=1
2
Pada saat simpangannya maksimum maka kecepatan benda adalah nol sehingga
tenaga totalnya sama dengan tenaga potensialnya. Simpangan maksimum benda
yang bergetar harmonis sederhana disebut sebagai amplitudo (), sehingga
persamaan tenagany menjadi.
=1
2
Dari ketiga persamaan tenaga di atas semuan memiliki besar yang sama, sehingga
dapat dituliskan sebagai
=1
2
+1
2 =
1
2
=1
2 = konstan
Jika dinyatakan dalam grafik, maka tenaga total, tenaga kinetik dan tenaga
potensialnya adalah sebagai berikut.
-
Hubungan antara tenaga saat simpangan maksimum dan saat di titik setimbang
dapat digunakan untuk menentukan kecepatan benda saat dititik setimbang.
1
2
=1
2
=
=
=
=
adalah kecepatan sudut yang dinyatakan sebagai = 2 = 2
dengan adalah
frekuensi sedangkan adalah periode. Ternyata tampak seperti gerak melingkar
beraturan, dan memang getaran selaras sederhana adalah poryeksi dari benda yang
mengalami gerak melingkar beraturan dengan jari-jari dan kecepatan sudut .
-
Berdasarkan ilustrasi di atas jelas bahwa benda yang bergetar selaras sederhana
identik dengan titik yang bergerak melingkar beraturan. Pada persamaan
sebelumnya telah dituliskan bahwa
=
-
Karena = 2 =
maka besarnya frekuensi dan periode dapat diperoleh dengan
persamaan
2 =
=1
2
dan
2
=
= 2
Ketiga besaran tersebut (, dan ) disebut sebagai bersaran-besaran identik,
karena jika salah satu besaran diketahui maka besaran yang lain dapat diketahui.
Besaran (, , ) disebut sabagai parameter getaran selaras sederhana. Dari ketiga
besaran tersebut (, , ) dapat diperoleh beberapa hubungan sebagai berikut.
Hubungan antara dan
=
Hubungan antara dan
1
2 =
= 2
Hubungan antara dan
1
2
=
= 2
Besaran , , disebut sebagai karakter getaran selaras sederhana.
Dari persamaan resultan gaya () = dapat diturunkan persamaan gerak
bagi getaran selaras sederhana. Berikut ini adalah penurunan persamaan tersebut.
() =
-
=
=
+
= 0
Solusi bagi persamaan diferensial tersebut adalah
() = cos( + )
() = cos
+
Persamaan tersebut adalah persamaan gerak bagi getaran selaras sederhana. dan
adalah tetapan tetapan integrasi yang nilainya ditentukan oleh syarat awal
fisisnya. Persamaan kecepatan getaran adalah sebagai berikut.
() =()
() =
( cos( + ))
() = sin( + )
Dimana adalah besarnya kecepatan maksimumnya. Percepatan getaran dapat
diperoleh dengan menurunkan persamaan kecepatan di atas terhadp waktu.
() =()
() =
( sin( + ))
() = cos( + )
() = cos( + )
() = ()
Jika dihubungkan dengan resultan gaya, maka diperoleh
=
= ()
Dimana = sehingga
= ()
Jika sudut fase awal = 0 maka persamaan gerak bagi getaran selaras
sederhana menjadi berikut.
() = cos()
-
() = sin()
() = cos()
Jika dinyatakan dalam grafik akan tampak sebagai berikut.
GETARAN SELARAS TEREDAM
Sebuah sistem yang mengalami resultan gaya (, ) = adalah
sebuah sistem yang mengalami getaran dengan redaman. Suku adalah suku
yang berfungsi untuk mempercepat atau memperlambat gerakan sistem. Sedangkan
suku adalah suku yang selalu memperlambat atau dengan kata lain mengurangi
tenaga dari sistem.
Gambar di sebelah kiri adalah sistem yang sedang bergerak ke kanan dengan
kecepatan . Sistem tersebut mengalami perlambatan oleh gaya yang besarnya
dan . Jadi kedua gaya tersebut bersifat memperlambat. Gambar sebelah kanan,
sistem sedang bergerak ke kiri dengan kecepatan . Pada gambar tampak bahwa
gaya searah dengan kecepatan sistem sehingga gaya ini mempercepat gerakan
sistem. Gaya arahnya berlawanan dengan arah kecepatan sistem, hal ini berarti
bersifat memperlambat sistem.
Gejala semacam ini dapat diamati pada sistem yang mengalami getaran selaras
teredam. Parameter redaman dalam sistem dengan resultan gaya (, ) =
-
adalah . Persamaan resultan gaya tersebut jika diuraikan ke dalam bentuk
persamaan diferensial adalah sebagai berikut.
=
=
+
+ = 0
Dimana , , adalah parameter-parameter sistem yang menentukan karakter sistem
tersebut. Bagaimanakah solusi persamaan gerak pada sistem semacam ini? solusi
yang paling memungkinkan adalah dalam bentuk eksponensial.
Andaikan ditentukan fungsi coba () = dengan adalah suatu tetapan.
Persamaan untuk kecepatan dan percepatannya adalah sebagai berikut.
() =()
() =()
() =
dan
() =()
() =()
() =
Sehingga persamaan diferensial di atas menjadi
+ + = 0
( + + ) = 0
Karena tidak mungkin nol maka
+ + = 0
Persamaannya menjadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya dapat ditentukan
dengan cara berikut.
, = 4
2
Akar-akar persamaan kuardat tersebut , sangat bergantung pada
4 . ada tiga kemungkinan nilai dari 4, yaitu positif, nol atau negatif.
1) 4 > 0
-
Jika 4 > 0 maka
, = 4
2
, =
2
4
Suku
adalah frekuensi sudut dari getaran selaras tidak teredam . Dengan
demikian solusi umumnya adalah
() = +
() =
+
Tetapan dan pada persamaan di tersebut adalah tetapan integrasi yang
ditentukan oleh keadaan/syarat awal sistem fisinya. Berdasarkan persamaan
tersebut jelas bahwa semakin besar waktunya maka simpangannya akan
menuju ke nol, dan tidak ada getarannya. Tidak munculnya getaran adalah
karena besarnya faktor redaman karena
4 > 0
> 4
Jika simpangan pada keadaan teredam kuat digrafikkan, maka akan diperoleh
grafik seperti tampak pada gambar.
Tampak jelas bahwa sistem tidak melalui titik setimbang, sehingga dapat
dikatakan bahwa sistem tidak mengalami getaran.
2) 4 = 0
Jika 4 = 0 maka akar-akar bagi persamaan kuadrat di atas menjadi
, = 4
2
-
, =
2
Akar-akarnya ternyata sama/kembar sehingga solusi umumnya adalah
() =
Berdasarkan persamaan solusi tersebut maka dapat disimpulkan bahwa
simpangan sistem meluruh secara eksponensial dan tidak melewati titk
setimbang karena
tidak mungkin negatif. Jadi keadaannya hampir
sama dengan kasus teredam kuat, hanya saja untuk kasus ini sistem akan
mencapai titik setimbang dalam waktu yang lebih cepat. Kasus semacam ini
disebut sebagai sistem teredam kritis.
Grafik tersebut tampak bahwa simpangannya meluruh lebih curam jika
dibandingkan dengan keadaan teredam kuat yang berarti waktunya lebih
singkat.
3) 4 < 0
Jika 4 < 0 maka < 4 sehingga
4 = ( 1)(4 )
4 = (4 )
Sehingga akar-akar dari persamaan kuadrat di atas adalah
, = 4
2
, =
2
4
Maka solusi umum bagi gerak sistem adalah
() = +
() =
+
-
() =
+
Andaikan
= adalahfaktor redaman,
= adalah kecepatan sudut
tanpa redaman, maka persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi
() =
+
() = cos + sin
+ cos sin
Dimana = yaitu kecepatan sudut getaran teredam
() =
cos( + )
Berdasarkan persamaan tersebut tampak bahwa amplitudo getarannya meluruh
secara eksponensial mengikuti persamaan . Pada saat = 0 maka
simpangannya maksimum sebesar . Sedangkan suku cos( + )
menunjukkan adanya getaran dengan kecepatan sudut < . Agar pada
saat = 0 simpangannya , maka
cos( + ) = 1
cos(0 + ) = cos 0
= 0
Jika digrafikkan akan tampak seperti berikut.
Dari persamaan peluruhan amplitudo , maka =
adalah tetapan
peluruhan amplitudo. Dari grafik di atas dapat dibandingkan dua amplitudo
yang berdekatan. Waktu dari satu amplitudo ke amplitudo yang berdekatan
adalah satu periode , dimana
-
=2
=2
Maka
() = cos( + )
() =
dan
() = cos( + )
() =
Dimana = + sehingga perbandingannya adalah
()
()=
()
()=
()
()
()=
()
()=
1