mekanik fk2002m f¨orel¨asning 7 potentiell energi och energins

Mekanik FK2002m

Forelasning 7Potentiell energi och energins bevarande

2013-09-13

Sara Strandberg

SARA STRANDBERG P. 1 FORELASNING 6

Introduktion

• Idag ska vi behandla potentiell energi.

• Har att gora med konfigurationen av system i vilka objekten

paverkar varandra med krafter.

• T.ex. relaterat till avstandet mellan tva foremal som dras till

varandra p.g.a. gravitationen.

→ Lagesenergi.

• Eller relaterat till deformationen av ett elastiskt objekt.

→ Elastisk energi.

• Ska ocksa titta pa applikationer av energins bevarande.


Arbete och potentiell energi

gF

gF

gF

d

0v

v

• Forra gangen tittade vi narmre pa det

arbete som utfors av gravitationen pa

ett foremal som kastas upp i luften.

• Gravitationen utfor ett negativt arbete

da foremalet fardas uppat (gravita-

tionenen minskar foremalets kinetiska

energi).

• Nu kan vi konstatera att denna kinetiska

energi omvandlas till gravitationell po-

tentiell energi hos systemet som utgors

av foremalet och jorden.

• Da foremalet fardas nedat galler det

omvanda - gravitationskraften overfor

potentiell energi hos systemet till kinetisk

energi hos foremalet.


Arbete och potentiell energi

• Kallar andringen i gravitationell potentiell energi for ∆U .

• Relaterar till arbetet W genom:

∆U = −W

• Denna relation mellan potentiell energi och arbete galler ocksa

for andra typer av system, t.ex. det med en kloss och en fjader.

• Da fjadern dras ut utfor

fjaderkraften ett negativt

arbete pa klossen.

• Denna energi overfors till po-

tentiell energi i systemet som

utgors av fjadern och klossen.x

x positive negativexF

0

d

sF

x


Konservativa och icke-konservativa krafter

• Betrakta ett system som bestar av tva eller fler objekt.

• En kraft verkar mellan ett partikel-liknande foremal i systemet

och resten av systemet.

• Nar systemets konfiguration andras, utfor kraften ett arbete W1

pa det partikel-lika foremalet. Energi overfors mellan foremalets

kinetiska energi och nagon annan typ av energi i systemet.

• Nar konfigurationsandrigen ar den omvanda ar ocksa

energioverforingen den omvanda. Kraften utfor ett arbete W2.

• Om sambandet W1 = −W2 alltid ar uppfyllt sa ar kraften en

konservativ kraft.

• Gravitationskraften och fjaderkraften ar bada konservativa.

• Om sambandet inte allid ar uppfyllt ar kraften en

icke-konservativ kraft.

• Friktionskraften ar icke-konservativ.



• Foljande test visar om en kraft ar konservativ eller inte:

- Lat kraften verka pa en partikel som ror sig i en sluten bana

(kommer tillbaka till sin slutposition).

- Kraften ar endast konservativ om den total energi som den

overfor till och fran partikeln ar noll.

Det totala arbetet som utfors av en konservativ kraft pa

en partikel som ror sig i en sluten bana ar noll.

• En viktig konsekvens av testet med den slutna banan ar:

Arbetet som utfors av en konservativ kraft pa en partikel

som forflyttar sig mellan tva punkter beror inte av vagen

som partikeln tar.



a

b1

2

Forflyttning runt en sluten bana

resulterar i att arbetet ar noll.

Wab,1 +Wba,2 = 0

a

b1

2

For en konservativ kraft resulterar alla

mojliga vagar till samma utforda arbete.

Wab,1 = Wab,2

• Viktiga resultat eftersom manga komplicerade problem nu kan

forenklas. Byt bara fran en komplicerad till en enklare vag!


Uttryck for den potentiella energin

• Om en konservativ kraft utfor ett arbete W sa andras den

potentiella energin med −∆U :

∆U = −W (1)

• Arbetet kan skrivas som

W =

∫ xf

xi

F (x)dx (2)

• Genom att kombinera Eq. (1) och Eq. (2) far vi:

∆U = −

∫ xf

xi

F (x)dx (3)


Uttryck for gravitationell potentiell energi

• Da F (x) ar gravitationskraften far vi:

∆U = −

∫ yf

yi

(−mg)dy = mg [y]yf

yi= mg(yf − yi) = mg∆y (4)

• Det ar egentligen bara meningsfullt att prata om andringar, ∆y, i

den potentiella energin.

• Men ibland underlattar det att definera en potentiell energi U

relativt en viss referensniva Ui, enligt:

U − Ui = mg(y − yi) (5)

• Om vi valjer Ui = 0 och yi = 0 far vi:

U = mgy (6)

Den gravitationella potentiella energin hos i ett system

som utgors av en partikel och jorden beror bara pa par-

tikelns hojd relativt referenspositionen (y = 0).


Problem 8

A q.50 kg snowball is fired from a cliff 11.5 m high. The snowball’s

initial velocity is 16.0 m/s, directed 41◦ above the horizontal. (a) How

much work is done on the snowball by the gravitational force during

its flight to the flat ground below the cliff? (b) What is the change in

the gravitational potential energy of the snowball-Earth system

during the flight? (c) If the gravitational potential energy is taken to

be zero at the height of the cliff, what is its value when the snowball

reaches the ground?


Uttryck for elastisk potentiell energi

• Om F (x) istallet ar fjaderkraften far vi:

∆U = −

∫ xf

xi

(−kx)dx = k

∫ xf

xi

xdx =1

2k[

x2]xf

xi=

1

2kx2

f −

1

2kx2

i (7)

• Om vi valjer vilolaget (Ui = 0) for fjadern (xi = 0) som var

referensposition far vi:

U(x) =1

2kx2 (8)


Problem 1

What is the spring constant of a spring that stores 25 J of elastic

potential energy when compressed 7.5 cm?


Den mekaniska energins bevarande

• Den mekaniska energin Emec hos ett system ar summan av den

potentiella energin U och den kinetiska energin K hos de

ingaende objekten:

Emec = K + U (9)

• Anta att systemet ar isolerat (dvs inga externa krafter verkar pa

systemet) samt att endast konservativa krafter verkar inom

systemet.

• Da en konservativ kraft utfor ett arbete W pa ett objekt i

systemet overfors energi mellan objektets kinetiska energi och

systemets potentiella energi enligt:

∆K = W (10)

∆U = −W (11)


Den mekaniska energins bevarande

• Kombinerar vi Eq. (10) och Eq. (11) far vi:

∆K = −∆U (12)

• Skriver vi om Eq. (12) som K2 −K1 = −(U2 − U1) far vi

K2 + U2 = K1 + U1 (13)

• Detta visar att den totala mekaniska energin ar bevarad.

I ett isolerat system dar bara konservativa krafter verkar

kan den kinetiska och potentiella energin andras, men

deras summa, denmekaniska energin Emec, andras inte.

• En annan formulering ar:

∆Emec = ∆K +∆U = 0 (14)


Problem 15

In Fig. 8-33, a runaway truck with failed brakes is moving downgrade

at 130 km/h just before the driver steers the truck up a frictionless

emergency escape ramp with an inclanation of θ = 15◦. The truck’s

mass is 1.2× 104 kg. (a) What minimum length L must the ramp have

if the truck is to stop (momentarily) along it? (Assume that the truck is

a particle and justify that assumption.) Does the minimum length L

increase, decrease or remain the same if (b) the truck’s mass is

decreased and (c) its speed is decreased?


Berakna kraften fran energin

• Vi vet att andringen i den potentiella energin ges av integralen

av kraften:

∆U(x) = −

∫ xf

xi

F (x)dx

• For att ga at andra hallet och erhalla kraften fran energin

konstaterar vi att

∆U(x) = −W = −F (x)∆x

• Loser vi it F (x) och later ∆x ga mot noll far vi:

F (x) = −

dU(x)

dx

• Test: stoppa in U(x) = 1

2kx2 vilket med derivering ger F (x) = −kx.


Potentiella energikurvor

• I en graf av U(x) som funktion av x kan vi fa kraften F (x) som

lutningen, med ett minustecken.



• Den totala mekaniska energin Emec ar en horisontell linje.

• Subtrahera U fran Emec for att fa K.

¡

• Eftersom K inte kan vara negativt sa kan partikeln aldrig rora sig

till vanster om x1.



• Vid x1 ar K = 0, men F > 0, sa partikeln stannar inte vid x1 utan

vander. Alltsa ar x1 en vandpunkt.

• Om Emec=4 J far vi en vandpunkt mellan x1 och x2. Dessutom

har alla punkter till hoger om x5 K = 0 och F = 0, sa partikeln ar i

vila. Kallas for ett neutralt jamviktslage.

• Om Emec=3 J har vi tva vandpunkter. Dessutom ar K = 0 och

F = 0 vid x3. Kallas for ett instabilt jamviktslage.

• Om Emec=1 J ar partikeln fast vid x4 (negativt K om den flyttas

det minsta). Kallas for ett stabilt jamviktslage.


Problem 38

Figure 8-47 shows a plot of potential energy U versus position x of a

0.200 kg particle that can travel only along an x axis under the

influence of a conservative force. The graph has these values:

UA = 9.00 J, UC = 20.00 J and UD = 24.00 J. The particle is released at

the point where U forms a “potential hill” of “height” UB = 12.00 J,

with kinetic energy 4.00 J. What is the speed of the particle at (a)

x = 3.5 m and (b) x = 6.5 m? What is the position of the turning point

on (c) the right side and (d) the left side?


Arbete utfort pa ett system av en extern kraft

• Vi har hittills pratat om arbete som nagot som utfors av en kraft i

ett isolerat system.

• Kan ocksa ha en extern kraft som verkar pa ett system.

Arbete ar energi som overfors till eller fran ett system

genom att en extern kraft verkar pa systemet.

• Positivt arbete: energi overfors till systemet.

• Negativt arbete: energi overfors fran systemet.

• For ett system som bestar av mer an en partikel kan den externa

kraften andra aven t.ex. den potentiella energin hos systemet,

sa arbete-rorselseenergi-teoremet (∆K = W ) galler inte.



• Utan friktion:

W = ∆K +∆U = ∆Emec

• Med friktion:

• En kraft ~F drar en kloss en forflyttning ~d langs x-axeln.

Hastigheten okar fran v0 till v. En kinetisk friktionskraft ~fk verkar

mellan klossen och golvet.

F

kf

0v v

d

x



• Newtons andra lag i x-led ger:

F − fk = ma (15)

• Eftersom kraften ar konstant ar ocksa acelerationen det, sa:

v2 = v20+ 2ad (16)

• Loser vi ut a och stoppar in i Eq. (15) far vi:

Fd =1

2mv2 −

1

2mv2

0+ fkd = ∆K + fkd (17)

• Om klossen t.ex. ror sig uppfor ett lutande plan kan vi ocksa ha

potentiell energi, sa ett mer generellt uttryck ar:

Fd = ∆Emec + fkd = ∆Emec + Eth (18)

dar Eth ar varmeenergin (friktionen genererar varme).

• Fd ar arbetet W utfort av den externa kraften pa

kloss-golv-systemet, sa:

W = ∆Emec + Eth (19)


Problem 44

A horizontal force of magnitude 41.0 N pushes a block of mass 4.00

kg across a floor where the coefficient of kinetic friction is 0.600. (a)

How much work is done by that applied force on the block-floor

system when the block slides through a displacement of 2.00 m

across the floor? (b) During that displacement, the thermal energy

of the block increases by 40.0 J. What is the increase in thermal

energy of the floor? (c) What is the increase in the kinetic energy of

the block?


Energins bevarande

Den totala energin E hos ett system kan bara andras

med den mangd energi som overfors till eller fran sys-

temet.

• Med total energi menas mekanisk energi, termisk energi och

andra typer av intern energi (som vi inte diskuterat annu).

W = ∆E = ∆Emec +∆Eth +∆Eint (20)

• Denna lag har vi inte raknat fram, utan den bygger pa

experimentella resultat.


Energins bevarande

• Om ett system ar isolerat fran sin omgivning, kan ingen

energioverforing ske till eller fran det.

Den totala energin E hos ett isolerat system kan inte

andras.

• Genom att satta W = 0 kan vi skriva:

∆Emec +∆Eth +∆Eint = 0 (21)


Problem 53

In Fig. 8-50, a 3.5 kg block is accelerated from rest by a compressed

spring of spring constant 640 N/m. The block leaves the spring at the

sping’s relaxed length and then travels over a horizontal floor with a

coefficient of kinetic friction µk = 0.25. The frictional force stops the

block in distance D = 7.8 m. What are (a) the increase in the thermal

energy of the block-floor system, (b) the maximum kinetic energy of

the block, and (c) the original compression distance of the spring?


Externa krafter och intern energioverforing

• En extern kraft kan andra den kinetiska eller potentiella energin

hos ett objekt utan att utfora ett arbete pa det objektet.

• For aven om inte nagon energi overfors kan kraften overfora

energi fran en typ av energi till en annan inom objektet.

• Exempel: En isprinsessa i vila trycker ifran mot racket pa rinken

och aker pa sa vis bakat over isen. Hennes kinetiska energi okar

pga att en extern kraft ~F fran racket verkar pa henne. Men

kraften overfor inte energi frn racket till henne. Istallet ar det en

intern energioverforing (biokemisk energi i hennes muskler

omvandlas till kinetisk energi).


Effekt

• En mer generell definition pa medeleffekt en den vi angav forra

gangen ar:

Pavg =∆E

∆t(22)

• Pa samma satt blir momentaneffekten

Pavg =dE

dt(23)

• Effekt ar alltsa ett matt pa hur snabbt en energioverforing sker.


Sammanfattning

• Arbete kan inte bara andra den kinetiska energin utan ocksa

den potentiella energin hos ett system (∆U = −W ).

• Den potentiella energin kan beraknas enligt ∆U = −

∫ xf

xiF (x)dx.

• For en konservativ kraft galler Wab,1 +Wba,2 = 0 och Wab,1 = Wab,2.

• I ett isolerat system dar bara konservativa krafter verkar ar den

mekaniska energin ar bevarad: Emec = ∆K +∆U = 0

• Om en extern kraft paverkar ett system ar arbetet den energi

som den externa kraften overfor till eller fran systemet.

• For ett system galler W = ∆E = ∆Emec +∆Eth +∆Eint dvs

energin kan bara andras med den mangd energi som overfors

till eller fran systemet.

• For ett isolerat system galler ∆Emec +∆Eth +∆Eint = 0

• Effekt definieras som P = dE/dt.


mekanik fk2002m f¨orel¨asning 7 potentiell energi och energins

Documents