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MEFISTONúmero 17 Enero de 2016

En este número:

Presentación 3Octavio Campuzano Cardona

La medalla Fields 4Joel García León Urnas electrónicas 10Daniel Maisner Bush

El buen cristiano debe estar precavido frente a los matemáticos y todos aquellos que hacen profecías vacías. Existe el peligro de que los matemáticos hayan hecho un pacto con el diablo para ofrecer el espíritu y confinar al hombre en el infierno.

San Agustín, De genesi ad Litteram, II, xviii, 37.

El cielo de verano 12

Integración en términos elementales 16Fausto Cervantes Ortiz

Frases célebres 21

Acertijos 22

Sudoku 24

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MefistoEditor

Publicada electrónicamente en:

http://issuu.com/gacetamefisto

Toda contribución deberá enviarse en versión electrónica a:

gaceta.mefisto@gmail.com

Registro ISSN en trámite. Las opiniones expresa-das en los artículos son puntos de vista del (los) autor(es) y no necesariamente reflejan la opinión del Comité Editorial.

Universidad Autónoma de la Ciudad de México

Nada humano me es ajenoRector

Hugo Aboites

Secretaria General Ma. Auxilio Heredia Anaya

Coordinadora Académica Micaela Rosalinda Cruz Monje

Encargado del Despacho de la Coordinación del Colegiodde Ciencia y Tecnología

Igor Peña Ibarra

Coordinador de Difusión Cultural y Extensión UniversitariaKoulsy Lamko

Responsable del área de PublicacionesFelipe Vázquez

Corrección:Rebeca Lozada

Fausto Cervantes Ortiz

Comité Editorial

Ana Beatriz Alonso Osorio

Octavio Campuzano Cardona

Daniel Maisner Bush

Verónica Puente Vera

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PresentaciónOctavio Campuzano Cardona

Academia de Cultura Científico-Humanística

La matemática es indispensable en nuestros días: no hay ámbito de la vida en el que no esté presen-te, a la hora de levantarnos contamos las horas de sueño, revisamos las cuentas pendientes y calcula-mos los intereses de un préstamo mientras desayu-namos; vamos de compras a la tienda y mientras vamos llenando el carrito sumamos y restamos para, al final, revisar el cambio entregado por la cajera. Nuestros hijos van a la escuela y se encuen-tran con la aritmética, el álgebra y la geometría, porque son herramientas básicas para andar en el mundo. Otras matemáticas, más elevadas pero no necesariamente desarrolladas por matemáticos, se emplean en las ciencias naturales, en las ciencias sociales y en las humanidades. Por ejemplo, están en la física, la economía. Finalmente están las ma-temáticas puras, aquellas desarrolladas por mate-máticos y que no buscan aplicaciones concretas sino resultados abstractos.

Miles de matemáticos trabajan en todo el mundo en el ámbito de la matemática y de otras discipli-nas, pero constituyen un porcentaje muy bajo de científicos en activo y desarrollan un porcentaje mínimo de las matemáticas empleadas a diario. No obstante, a los investigadores matemáticos común-mente se les considera genios, quizás debido a la dificultad de la mayoría de la población para com-prenderlas, sin embargo, realmente pocos lo son y han hecho contribuciones sobresalientes. A estos se les entrega cada cuatro años la Medalla Fields, el Nobel de los matemáticos. En este número de la

Gaceta Mefisto se describe el origen y la naturaleza de la presea y se habla de su creador, J. C. Fields, persona con pocos atributos como matemático pero apasionado organizador de un gremio, al pa-recer, plagado de egos muy elevados.

Por otra parte, para ilustrar qué tipo de problemas aborda la matemática, en el presente número se incluye una interesante aplicación al ámbito elec-toral, tema sensible en nuestro país debido a la his-tórica falta de transparencia electoral, inaugurada por aquella famosa frase emitida por el encargado de organizar las elecciones en 1988: “se cayó el sis-tema”. En el artículo se exponen simpáticamente una serie de inconsistencias en las urnas electró-nicas, supuesto remedio tecnológico ante los frau-des, que llevarían a dudar de la transparencia de elecciones por medio de este soporte. A su vez, se expone el método clave compartida, basado en los desarrollos de la criptografía, para realizar eleccio-nes electrónicas impecables.

Finalmente, incluimos una reflexión sobre un as-pecto de la enseñanza de la matemática para lograr una comprensión más profunda por parte de los estudiantes. Se aborda el tema de las funciones ele-mentales y su papel en la relación entre integral y derivada, dos conceptos fundamentales del cálculo. Para ello se apela al teorema de Liouville, el cual es-tablece las condiciones para que una función tenga una antiderivada que sea una función elemental.

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Figura 1. John Charles Fields.

La Medalla FieldsJoel García León

Academia de Matemáticas, SLT

No es muy conocido el hecho de que no existe premio Nobel de matemáticas. En su lugar, los mate máticos otorgan, cada cuatro años, la Medalla internacional para descubrimientos sobresalientes en matemáticas, mejor conocida como Medalla Fields, a cuatro de los matemáticos más destaca-dos por sus aportaciones a esta disciplina. En ge-neral, este premio es mucho menos publicitado y conocido que el Nobel; incluso llega a ser descono-cido entre quienes que se dedican a la creación y al desarrollo de las matemáticas. ¿Qué es la Medalla Fields? ¿Cuál es su origen? En el presente artícu-lo presentaremos una breve biografía del funda-dor de la medalla que hoy lleva su nombre, John Charles Fields, y una somera historia sobre el pre-mio mismo. Es importante hacer notar que, cuando afirma-mos que no existe el premio Nobel de matemáti-cas, no estamos afirmando que no existan mate-máticos que lo han obtenido, como es el caso de John Forbes Nash, cuya vida fue popularizada en la película Una mente brillante (A Beautiful Mind). Sucede que se puede otorgar el Nobel a matemáti-cos que han realizado importantes aportaciones a otras áreas del conocimiento, frecuentemente di-señando modelos matemáticos. A Nash se le otor-gó el Premio Nobel de Economía; y un caso aún más curioso es el de Bertrand Russell, quien ganó el Premio Nobel de Literatura. El nombre de la medalla se debe a su fundador John Charles Fields (1863-1932), quien más que un gran matemático fue un gran promotor de la unión de la comunidad matemática mundial. Ha-cer una biografía de Fields conlleva una importante dificultad porque no existen demasiadas referen-cias sobre él, más allá de sus cartas personales y de algunas publicaciones que se han realizado sobre su persona.

Charles FieldsJ. Charles Fields nació en la ciudad de Hamilton, Canadá. Hijo de una maestra de escuela y de pa-dre talabartero, cursó la educación primaria en su ciudad natal en escuelas públicas. Pronto desarro-lló el gusto por las matemáticas y se convirtió en un excelente estudiante de ellas, cursó la licencia-tura en la Universidad de Toronto, Canadá, bajo la dirección de James Loudon, y se tituló en 1884. Por aquellos años, las universidades canadienses sólo ofrecían licenciatura como máximo grado

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de estudios matemáticos, por lo que Fields emi-gró a los Estados Unidos para obtener el grado de doctor en la Universidad John Hopkins, el cual obtuvo en 1887. A finales del siglo XIX, Canadá contaba con un número reducido de investigadores, ninguno de los cuales era matemático puro. James Loudon era el único profesor en el Departamento de Ma-temáticas y Filosofía Natural en la Universidad de Toronto, y de sus obras solamente se tiene eviden-cia en textos utilizados en las escuelas canadienses; ningún artículo de investigación. Sin embargo, dos de sus profesores merecen una mención especial por sus investigaciones: J. W. Spencer, doctorado en la Universidad de Göttingen, Alemania, y George Dickson, químico. Ambos trabajaron en conjunto con la British Association for the Advancement of Science (Asociación Británica para el Avance de la Ciencia, BA o BAAS, por sus siglas en inglés) para la realización de su congreso de 1884, cuya sede fue Montreal, Canadá. La ubicación del encuentro en América provocó la protesta de 141 miembros de la BAAS, como lo muestra la siguiente cita del diario londinense Times:

El encuentro en Canadá será meramen-te un picnic glorioso debido a que grandes hombres de ciencia se reunirán allá, no por interés científico sino simplemente por visi-tar esas tierras donde la ciencia no es pre-cisamente grandiosa… personas humildes y menos ilustradas servirían para el mismo propósito, que es el de instruirlos [a los ca-nadienses].

Como puede verse, los británicos no ocultaban sus prejuicios hacia los habitantes de sus ex-colonias y protectorados: tanto instituciones educativas como científicos americanos eran considerados, por igual, de baja categoría. Después de graduarse como doctor, Fields per-manece en Baltimore, convirtiéndose en becario de la Hopkins; entre sus obligaciones se incluía en-señar en licenciatura por cierto tiempo. En 1889 se muda a Meadville, Pennsylvania, para desempe-ñarse como profesor de matemáticas en Allegheny College, una escuela dedicada a las artes liberales, donde trabajó hasta 1892.

Figura 2. John Forbes Nash. Figura 3. Bertrand Russell.

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Figura 4. La Universidad de Toronto.

En ese año de 1892 un hecho trascendental cam-bió el rumbo de la vida de Fields al heredar una inmensa fortuna familiar. Su primera decisión fue invertirla de manera honrosa: su propia edu-cación. Emigra entonces al viejo continente para emprender lo que hoy llamaríamos años de es-tudios de posgrado y estancias de investigación. París y Berlín son las ciudades donde se estableció por diez años y trabajó al lado de algunos de los más grandes matemáticos de la época, como Felix Klein (1849-1925) y Georg Frobenius (1849-1917). La estancia europea de Fields fue fructífera; no obstante la carencia de publicaciones propias, su legado son notas de diversas áreas de las matemá-ticas, existentes en bibliotecas de distintas univer-sidades canadienses y estadunidenses, que siguen inspirando a generaciones de matemáticos. Algu-nas de estas notas están escritas en alemán, otras en inglés, y otras tantas en una mezcla de ambos idiomas; sin embargo, para un matemático profe-sional el idioma de las matemáticas es universal. A principios del siglo XX, Fields retorna a su na-tal Canadá en donde su antiguo mentor, J. Loudon, quien fungía como presidente de la Universidad de Toronto, le ofrece un nombramiento como maestro

de matemáticas (lecturer, en inglés). Finalmente, en 1923 adquiere el nombramiento de profesor- investigador en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Toronto, mismo que mantu-vo hasta su muerte en 1932.

Surgimiento de asociaciones matemáticas internacionalesLa existencia de una asociación mundial de ma-temáticos, que organiza un congreso cada cuatro años y que, como acto principal del mismo, otorga un premio a los más destacadas aportaciones ma-temáticas realizadas durante el periodo nos parece ahora algo usual. Pero otra realidad se vivía a prin-cipios de siglo XX, durante la vida adulta de Fields, quien, ya doctor en matemáticas, promovió el premio que hoy lleva su nombre y, lo que es más importante, impulsó la unión en la comunidad matemática internacional. Corrían los años posteriores a la primera guerra mundial, cuyo espectro había cambiado las actitu-des de países ganadores y perdedores, y la ciencia no era, en absoluto, ajena a este hecho. En 1919,

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tras un año de planeación, apareció públicamente el Consejo Internacional de Investigación (Inter-national Research Council, IRC por sus siglas en inglés), dirigido por el matemático francés Émile Picard, y al cual perteneció Charles Fields. En sus estatutos, por ejemplo, se establecía claramente que no era permitida la participación activa de los científicos que provenían de los “poderes centra-les”, esto es:

1. Imperio Alemán2. Imperio Otomano (Turquía)3. Imperio Austro-Húngaro y4. Reino de Bulgaria

En 1920 se conforma la Unión Matemática In-ternacional (International Mathematical Union, IMU por sus siglas en inglés) en la ciudad de Es-trasburgo, que hereda las medidas establecidas por

la IRC; esto es, los miembros pertenecientes a los “poderes centrales” seguirían vetados, esta vez por al menos doce años. En consecuencia, se decidió que el congreso de la IMU se realizara fuera de Eu-ropa, quedando como la alternativa más viable los Estados Unidos. Las condiciones políticas hereda-das de la primera guerra aún estaban latentes en la agrupación y, de forma muy loable, una parte im-portante de matemáticos estadunidenses se negó a aceptar la exclusión de sus colegas provenientes de los “poderes centrales”. Charles Fields entendía la complicada situación por la que atravesaban, por lo cual propuso un te-rreno neutral para la realización del congreso de 1924. Es así como el pequeño grupo de matemáti-cos canadienses encabezados por Fields emprende, en 1922 (cuando fue aprobada la moción), el enor-me trabajo de organizar el encuentro internacional en su país. El congreso se desarrolló en la ciudad de Toronto; sin embargo, a consecuencia de las restricciones impuestas a los “poderes centrales”, el encuentro no fue realmente internacional, la au-

Figura 5. Félix Klein.

Figura 6. Ferdinand Georg Frobenius.

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sencia más notoria fue la de los matemáticos ale-manes, quienes han jugado un papel importante en el desarrollo de la matemática moderna desde mediados del siglo XIX.

La medalla FieldsAunque el premio Nobel se propone por allá de 1895, no es sino hasta 1915 que se entrega por primera ocasión. A pesar de que en su origen este premio se otorga a investigadores de distin-tas ramas de la ciencia, la matemática no estaba considerada. El por qué de esta decisión de Alfred Nobel no está realmente documentado y se en-cuentra rodeado de leyendas. Según algunos autores, la creciente enemistad entre Nobel y el matemático sueco Gösta Mittag-Leffler (1848-1927), causada por motivos per-sonales, es la razón de su inexistencia. Biógrafos de Fields aseguran que, durante su larga estancia en Europa, cultivó una gran amistad con Mittag-Leffler. Debido a ello, Fields estaba al tanto de los planes de Alfred Nobel, y se hablaba de su conster-nación por el desdén con que éste ignoraba a la rei-na de las ciencias: la matemática. Otras versiones consideran que esto no es correcto, y lo atribuyen a que ya existía el premio escandinavo de mate-máticas. Una explicación más sugiere que, desde la perspectiva de Nobel las matemáticas, al ser más teóricas, no cumplían con los requerimentos del premio; es decir: “una fuente de progreso y felici-dad para la humanidad.” Después del primer congreso internacional de la IMU en Toronto, durante la preparación de las actas, Charles Fields concibe la idea, aún vaga, de otorgar un premio internacional a los mejores avances en matemáticas. Originalmente, dicho premio carecía de nombre. El problema inmediato para la creación del pre-mio era, una vez más, la delicada situación políti-ca de la época. Los científicos provenientes de los “poderes centrales” miraban con desconfianza tan-to al IRC como al IMU, que en ese momento eran los únicos grupos con capacidad real de organizar el encuentro. Del otro lado del mapa, la contra-parte de las sociedades europeas, era la Sociedad

Matemática Americana (American Mathematical Society, AMS por sus siglas) cuyos integrantes co-menzaban a tener su propio peso. Por supuesto, el no saber quién financiaría dicho premio también resultaba un impedimento; sin embargo, la idea —a sugerencia de Fields— de que se creara el premio en forma de me dalla como reconocimiento a los me-jores trabajos en matemáticas era unánime. Finalmente la idea se consolida en 1929, cuan-do se propone la creación de dicho premio a las sociedades matemáticas existentes. Así, en 1930 la AMS vota por unanimidad apoyar la creación de la medalla propuesta por el matemático canadien-se, y en 1931 se suman las sociedades matemáticas de Suecia, Francia, Italia y Alemania. Por supuesto, el votar favorablemente su crea-ción sólo era el primer paso; quedaba aún el pro-blema de quién administraría los fondos recabados hasta ese entonces y, muy importante, quién otorga-ría formalmente la medalla, pues seguía habiendo una fuerte animadversión de los “poderes cen-trales” tanto hacia el IRC como hacia el IMU. La solución fue crear un organismo independiente a ambas asociaciones: este organismo levantaba el veto impuesto a los “poderes centrales” y se encar-garía de administrar todo lo concerniente al otorga-miento de la medalla. El nombre con el que se bautizó a tal instancia fue Congreso Internacional

Figura 7. La medalla Fields.

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Figura 8. Maryam Mirzajani.

de Matemáticas (International Mathematical Con-gress, IMC). Paralelamente, Fields logra que el gobierno ca-nadiense done, de forma periódica, una cuantiosa cantidad para la creación de la medalla, en aquel entonces aún sin nombre. Sería finalmente en 1932 cuando se forma, en la ciudad de Zürich, el comité que revisará las publicaciones y nombrará al gana-dor. Originalmente, el plan era otorgar la medalla en el congreso de 1936, y cada cuatro años se ga-lardonaría con ella a la contribución internacional más sobresaliente en matemáticas, acuerdo vigente hasta nuestros días. Lamentablemente, John Charles Fields fallece el 2 de agosto de 1932, cuatro años después de la entrega de la primera medalla. Desde entonces, a este premio se le ha llamado Medalla Fields en ho-nor a su creador; sin embargo, se desconoce el dato exacto de alguna ceremonia oficial en la que el co-mité encargado hubiera formalizado el nombre o si, simplemente, nombrarla así era ya un hábito establecido de años atrás.

Reflexiones finalesDesde que fue instaurada en 1936, 56 matemáti-cos han recibido la Medalla Fields. Entre los cuatro premiados en 2014, estaba Maryam Mirzajani, que fue muy bien recibida, tanto por ser la primera mu-jer a la que se otorgaba la presea en la historia de la matemática mundial, como porque era originaria de Irán, uno de los países donde el absolutismo re-ligioso aún predomina como gobierno. Es difícil responder a la pregunta ¿quién fue realmente J. C. Fields? Su vida privada, sus hábi-tos, su personalidad, incluso su trabajo académico, son un misterio. Sólo se cuenta con sus notas para cursos en alemán e inglés, sus artículos de inves-tigación son escasos, nunca ocupó cargo público alguno, no fue rector de ninguna universidad, ni director de algún instituto, ni siquiera fue presi-dente de la Sociedad Matemática Canadiense, de la cual, paradójicamente, fue fundador. Sin em-bargo, la labor de impulso y apuntalamiento a la investigación matemática le otorgó su merecido lugar en la historia.

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Fraude preventivoHace muchos años, en la Universidad Autónoma de Paradojalandia (UAP), se aproximaba un proce-so electoral, y quienes ostentaban el poder tenían miedo de perder, aunque fuera parcialmente, algo de éste. Como siempre acontece en estos casos, co-menzaron a ver con buenos ojos la posibilidad de hacer trampa o, por lo menos, de preparar el terre-no para poder realizalarla en caso necesario. Lo primero que hicieron fue crear un sistema complejo de conteo de los votos, introduciendo una ponderación que aseguraba la victoria, con sólo el voto duro de su gente, podrían ganar. Pero seguían teniendo miedo: ¿qué tal si de todas for-mas perdían? Fue entonces cuando decidieron realizar un frau-de preventivo; es decir, diseñar un mecanismo de elección en donde tuvieran la plena seguridad de triunfo sin importar la buena voluntad de los votantes ni los resultados obtenidos. La idea era simple: organizar una elección en la que tuvieran el control pleno de todo el proceso; desde la apertura de casillas, hasta la declaración del ganador, inclu-yendo la votación, el conteo y, por supuesto, la reso-lución sobre las impugnaciones. Como muchas veces sucede, mientras más gran-de es el fraude, más cuidado se pone en aparentar absoluta legalidad. Así que buscaron afanosamente el pretexto que les pemitiera realizar un fraude de grandes proporciones, pero que simultáneamente diera la imagen de completa neutralidad. Final-mente, echaron mano de un viejo artilugio: cam-biar el mecanismo de elección pretextando que había que estar acorde con los tiempos modernos. Con bombo y platillo anunciaron que la elección sería electrónica, siguiendo un mecanismo por

IntroducciónCon el gran avance de la informática, sobre todo a partir de los años 80 del siglo pasado, nos enfrenta-mos cotidianamente al problema de convertir pro-cedimientos que tradicionalmente se realizaban de forma manual (valga la expresión), a procedimien-tos informatizados. Uno de los más polémicos es el que se refiere a la organización de comicios a tra-vés de voto y conteo de forma electrónica. Es bas-tante común pensar que una elección electrónica es fraudulenta per se; parecería como si fueran las máquinas —y no los seres humanos que las pro-graman— las que realizan el fraude. Sin embrago, desde un punto de vista teórico, esto no tiene por qué ser así, dado que existen algoritmos criptográ-ficos que permiten crear mecanismos de seguri-dad para las elecciones electrónicas, similares a los utilizados en las elecciones tradicionales, y con un grado de eficiencia igual o mejor que estos. Comenzaremos este artículo con una fábula sobre las elecciones electrónicas y sobre cómo un uso incorrecto de las mismas puede contribuir a la realización de fraudes de dimensiones escandalo-sas. Posteriormente presentamos una breve expli-cación de cómo el método criptográfico conocido como clave de secreto compartido puede contri-buir a diseñar elecciones electrónicas que sean tan seguras como las realizadas en urnas de cartón o plástico. Teniendo claro, por supuesto, que sin vo-luntad, convencimiento y organización adecuada ningún mecanismo, por perfecto que sea, garanti-za la realización de elecciones limpias.

Urnas electrónicasDaniel Maisner Bush

Academia de Matemáticas, SLT

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ellos propuesto que, sobra decir, nada tiene que ver con los procedimientos establecidos para este tipo de votaciones. Cada elector involucrado votaría desde su cuen-ta de correo electrónico, depositando su voto en el servidor de la UAP, de forma secreta para todos me-nos para el administrador quien, adicionalmente, sería el encargado de contar los votos y declarar al ganador. Sobra decir que la elección se realizó después de acallar, amenazando y descalificando a las pocas voces que se opusieron abiertamente al procedimiento propuesto. Además, una vez finali-zada la elección, sus creadores recibieron muchos reconocimientos públicos por parte de las autori-dades por su extraordinaria contribución a la de-mocracia. El resto del artículo hablaremos de algunos mecanismos correctos para la realización de elec-ciones. Por el momento mencionemos que en la fábula presentada se podría mejorar la elección si se eligiera un servidor habilitado sólo para este fin y se dotara a la misma de un sistema de emisión de votos creado exprofeso para el proceso electo-ral y una apertura pública del archivo que contie-ne los votos, bajo una clave de secreto compartido en donde no se pueda realizar la apertura sin to-dos los representantes y organizadores neutrales designados. Las siguientes preguntas son de interés para este modesto trabajo: ¿son todos los sistemas electróni-cos de votación fraudulentos por naturaleza?, ¿debe ser rechazado a priori un sistema de votación elec-trónica? o, de forma más moderada, ¿ ha avanzado la tecnología lo suficiente como para poder permitir votaciones electrónicas confiables? Con el avance de la criptografía, una de las áreas más activas, y de resultados más sorprendentes en las matemáticas en los últimos años, es perfecta-mente posible diseñar sistemas de votación elec-trónica con el mismo grado de seguridad que los presenciales. Es decir, la votación electrónica fun-ciona bastante bien cuando los organizadores de la elección actúan con neutralidad; pero, al igual que con las votaciones tradicionales, el sistema es vulnerable a la trampa previamente orquestada por quienes organizan, vigilan y contabilizan los resultados.

Claves de secreto compartidoImaginemos que la elección antes mencionada se realiza en una urna tradicional y, para asegurar que cada candidato esté representado a la hora de abrir la misma, se utiliza un sistema semejante al de las cajas de seguridad bancarias: para cada re-presentante u observador se coloca una cerradura de la cual sólo él tiene la llave; de tal forma que la urna no se puede abrir si no se cuenta con el total de las llaves. El análogo electrónico consiste en generar una clave que abra la urna electrónica, clave que ha de ser desconocida para toda la población, y ha de estar dividida en n piezas, una por cada repre-sentante u observador participante, de tal forma que el archivo no se pueda abrir si sólo se cuenta con n–1 piezas. Por supuesto, la descripcción anterior no sólo sirve para elecciones electrónicas; sino que es un método útil para cualquier tipo de secreto que, siendo tan importante, no es adecuado que se co-nozca por un solo individuo. Por ejemplo, supon-gamos que se trata de la combinación de una caja fuerte que consta de 5 números correspondientes a cada vuelta de la perilla que la abre. Entonces, podemos repartir a cada uno de los cuidadores de ésta uno de los números de la combinación, de tal forma que sólo la podrán abrir mediante la contri-bución de los cinco: basta que falte uno para que esto no sea posible. Como en las películas clásicas de busca teso-ros: existen varios individuos que han heredado una pequeña pieza de un rompecabezas que, al ar-marlo, se convierte en la llave que da acceso a una cámara secreta. Cada uno de ellos sólo tiene una pieza de la que no puede deducir nada, y desco-noce quiénes tienen las demás. Hasta que un día el malvado de la cinta decide hacerse del tesoro y, poco a poco, va reuniendo todas las piezas, ma-tando y robando a los demás poseedores hasta casi triunfar. Pero, justo cuando sólo le falta una, que es la perteneciente al muchacho chicho de la historia, éste le hace fracasar, obteniendo el anhelado con-tenido y llevándolo a resguardo.

(continúa en la página 14)

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El cielo de otoño

Fases de la Luna

Enero

2 Cuarto menguante 9 Luna nueva16 Cuarto creciente23 Luna llena31 Cuarto menguante

Febrero

8 Luna nueva15 Cuarto creciente22 Luna llena

Marzo

1 Cuarto menguante 8 Luna nueva15 Cuarto creciente23 Luna llena

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Lluvias de estrellas

Cuadrántidas: 4 de eneroa Centáuridas: 8 de febrerog Nórmidas: 14 de marzo

Planetas

Mercurio en CapricornioVenus en CapricornioMarte en LibraJúpiter en LeoSaturno en EscorpiónUrano en PiscisNeptuno en Acuario

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NOVEDADESUNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE LA CIUDAD DE MÉXICO

funciones que no tienen antiderivada, para aproxi-marlas en caso necesario.

ConclusiónLa integración en términos elementales abrió una nueva rama de las matemáticas a la que se deno-minó álgebra diferencial. En esta rama fue pionero Liouville, por supuesto, y después, matemáticos como Ritt, Hardy, Risch, Rosenlicht y otros, han llevado a cabo desarrollos posteriores. En los últi-mos años se han dado adelantos significativos del álgebra diferencial. Quizás esto sea tema de futuras publicaciones.

BibliografíaHardy, G. H. The Integration of Functions of a Single Va-

riable, 2a ed. Cambridge Univ. Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, no. 2, Cambridge, 1916.

Liouville, J. “Extension d’un théorème de calcul inté-gral”. Journal de mathématiques pures et appliquées 2e série, tome 1 , p. 190-192, París, 1856.

Ritt, J. F. Integration in Finite Terms: Liouville’s Theory of Elementary Models. Columbia University Press, Nueva York, 1948.

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La agresión ya no es el supre-mo crimen internacional. No puede compararse con la des-trucción de las vidas de gene-raciones futuras para obtener mayores ganancias hoy.Noam Chomsky (1928 - )lingüista y filósofo estaduni-dense.

Frases célebres

¿No había lugar bastante para que los hombres vivie-sen en paz en un mundo bello, bajo un infinito cielo estrellado?

León Tolstoi (1828 - 1910) Escritor ruso.

Ser honrado tal como anda el mundo, equivale a ser un hombre escogido entre diez mil.

William Shakespeare (1564 - 1616) Escritor británico.

Para un delincuente, la hon-radez es de tontos.

John Steinbeck (1902 - 1968) Escritor estadunidense.

Allí donde habla el corazón es de mala educación que la razón lo contradiga.

Milan Kundera (1929 - )Escritor checo.

Hay que escuchar a la cabeza, pero dejar hablar al corazón.

Marguerite Yourcenar (1903 - 1987) Escritora francesa.

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?

x 2y

2

z2

¿

Acertijos

Z

xy

+

=+

1 Usando tres cincos y cualesquiera operaciones aritméticas entre ellos, obtener 1. Bajo las mismas condiciones, obtener 2, luego 3, 4, 5 y 0.

2 Usando cuatro cuatros y cualesquiera operacio-nes aritméticas, obtener 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

3 Usando cinco treses y cualesquiera operaciones matemáticas entre ellas, obtener 31.

4 Usando las cifras del 1 al 9 y cualesquiera opera-ciones matemáticas entre ellas, obtener 100.

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AcertijosSolución a los anteriores

1

7 2 3

5

04

6

8

9

1 Se tiene que cumplir que x2+Bx+C=(x-B)(x-C)= x2-(B+C)x+BC. Esto implica que las constantes B y C deben satisfacer las ecuaciones B=-(B+C) y BC=C. Resolviendo (considerando la restricción de que C sea diferente de cero) obtenemos que B=1 y C=-2, así que la única ecuación que cumple las condiciones del problema es:

x2+x-2=0

2 Como los otros 6 sabores no le gustan a Pedro, en la eventualidad de que su pobre mamá elija esos sabores, debe agregar otros dos para garantizar que hay dos que le gustan a su especial hijo. El mínimo de galletas que debe comprar para satisfacerlo es 8.

3 Sea x el número de respuestas correctas y y el número de incorrectas. Puesto que respondió todas las preguntas, se cumple que:

x+y=30.Por otra parte, como cada respuesta correcta vale 6 y cada incorrecta vale -3, el total de puntos cumple:

6x-3y=0.Resolviendo este sistema lineal se obtiene x=10, y=20.

4 Sabiendo que la masa M de una esfera es proporcional a su volumen, mientras que la cantidad de pintura P necesaria para pintarlas es proporcional al área; y a su vez que el volumen de una esfera es proporcional al cubo de su radio, mientras que su área es proporcional al cuadrado del mismo, tenemos que:M1=k(r1

3), M2=k(r23), M2/M1=27/8=r2

3/r13;

P1=c(r12), P2=c(r2

2),P2/P1=r22/r1

2=9/4;por lo tantoP2=(4/9)P1=(4/9)(900)=400 mililitros.

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Sudoku

Fácil

Difícil

Solución al anterior

Solución al anterior

8

54

3

34

95

6

7

81

78

4

6

2 11

9

6

6

5

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6 5

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8

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24

7

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1

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1

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5

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72

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1

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4

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1

1

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3

1

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3

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5

4

1

9543 2

4

2 6

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8 7 41 4 6 39 52 7 846

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7

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6 8

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38 29

3

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6 79