gaceta mefisto 03
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Gaceta de divulgación publicada por iniciativa de profesores de la UACM San Lorenzo Tezonco.TRANSCRIPT
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Mefisto Número 3 Octubre de 2011
El buen cristiano debe estar precavido frente a los matemáticos y todos aquellos que hacen profecías vacías. Existe el peligro de que los matemáticos hayan hecho un pacto con el diablo para ofrecer el espíritu y confinar al hombre en el infierno.
San Agustín, De genesi ad Litteram, libro II, capítulo xviii, verso 37.
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ContenidoPresentación 3Octavio Campuzano Cardona
Volcanes 4Fausto Cervantes Ortiz
Numerales 9Agustín González Villanueva El cielo de otoño 12
Frases célebres 21
Acertijos 22
Sudoku 24
Publicada electrónicamente en:
http://issuu.com/gacetamefisto
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Editor
Fausto Cervantes Ortiz
Comité Editorial
Ana Beatriz Alonso OsorioOctavio Campuzano CardonaFausto Cervantes Ortiz Daniel Maisner Bush Verónica Puente Vera
Universidad Autónoma de la Ciudad de MéxicoNada humano me es ajeno
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PresentaciónOctavio Campuzano Cardona
Academia de Cultura Científico-HumanísticaPlantel San Lorenzo Tezonco
Las regularidades en la naturaleza han inquietado y fascinado a los hombres de todas las culturas por igual. En los albores de la humanidad, encontrar eventos en secuencias regulares (en entornos es-paciales y temporales) significaba la posibilidad de supervivencia, por lo que las relaciones simbólicas, primero codificadas en mitos y después expresadas en formas cada vez más complejas, fueron parte nodal de la cultura en todas las civilizaciones por igual. Indudablemente fueron los griegos quienes in-tentando ordenar y clarificar la vida de la Polis le dieron, por primera vez, una forma de ley a los fundamentos del debate parlamentario. De ese tipo de “formalización” con el tiempo se pasó a las descripciones de la naturaleza. En occidente, las formalizaciones en la naturaleza siguieron un rumbo incierto (pero muy vivo en monasterios y otros lugares) a lo largo de la edad media y du-rante el renacimiento; en palabras de Francis Ba-con, se inició una apuesta por el sometimiento de la naturaleza. Entrada la modernidad (después del descubrimiento de América), demonios y magos fueron despojados del lugar de mediadores entre la naturaleza y el mundo, y sustituidos por relaciones abstractas útiles para el comercio y el emergente capitalismo.
Sin embargo, occidente no sólo controló y sometió lo inanimado, también despojó a “los otros” de su identidad contando una historia donde los otros son los sometidos, la periferia de un centro que supuestamente ocupan ellos. No obstante, Europa quiere negar con su discurso colonialista que su razón de ser, su esencia misma, se ha construido a partir de las aportaciones de otras regiones: Eu-
ropa no es nada sin árabes, orientales, americanos y muchos más. La historia de los números y los nu-merales es una muestra de las contribuciones de muchas culturas a la constitución de occidente.
Por otra parte, las manifestaciones plenas de la naturaleza incomodan al hombre moderno de la misma forma que a los primeros hombres. Las ca-tástrofes naturales colocan al hombre frente a un espejo donde se mira impotente, donde las relacio-nes son insuficientes para predecir (y menos aún controlar) un ámbito de lo inanimado. Después de todo, el temor persiste entre los hombres, muchas veces culpables de su propia desgracia en su insis-tencia por intentar imponerle normas a la natura-leza.
Aún así los sucesos naturales incontenibles des-piertan inquietudes entre los científicos, quienes se empeñan en conocer las causas de los fenóme-nos y los llevan a proponer teorías y a establecer estándares para por lo menos medir los daños. Los volcanes, esos gigantes de fuego, son un ejemplo de los fenómenos incontrolables e impredecibles, y las catástrofes que provocan son también un lla-mado de atención para el hombre en su intento por colonizar lugares riesgosos en aras de pensar la Tierra como una mercancía.
En este número de Mefisto se ha procurado mostrar (abordando el estudio de los numerales y de los volcanes) cómo la ciencia se ha desarro-llado junto con la modernidad (y su otra cara, la colonialidad) con todas sus promesas de progreso, pero también con sus limitaciones para compren-der la naturaleza como una regularidad.
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VolcanesFausto Cervantes Ortiz
Academia de MatemáticasPlantel San Lorenzo Tezonco
MéxicoEn la mañana del pasado 3 de junio de 2011, a las 6:37 AM, el volcán Popocatépetl emitió una co-lumna de ceniza de unos 3 km de altura. El Cen-tro Nacional de Prevención de Desastres (CENA-PRED) declaró: “El evento inició con una señal de tremor, la cual fue aumentando su amplitud por algunos minutos. Este tipo de eventos están con-siderados en la fase 2, color amarillo. Se esperan exhalaciones moderadas, algunas con emisión de ceniza, explosiones de nivel bajo a moderado y probablemente haya emisión de fragmentos in-candescentes a corta distancia del cráter”. Desde el mes de diciembre de 2005 en que se tuvo la última erupción violenta del volcán, no ha habido au-mento considerable en la actividad del mismo. Sin embargo, ladel año 2000 es la más recordada por la violencia de las erupciones con lava y ceniza que se presentaron el mes de diciembre de ese año.
Figura 1b. Erupción del volcán Popocatépetl en 2011.
IntroducciónCuando se habla de volcanes, muchas veces nos llegan a la mente imágenes históricas, como son, las ciudades hundidas en lava de Pompeya o Pa-rangaricutiro. Tales ciudades sufrieron esa fatali-dad como producto, respectivamente, de las erup-ciones del Vesubio y del Paricutín. Sin embargo, la actividad volcánica es permanente, anterior a la llegada del hombre a la Tierra y probablemente será posterior a su extinción. En el presente artí-culo se reseñan algunas de las erupciones volcáni-cas más recientes. Se recapitulan no sólo aquellos eventos que han acaparado las pantallas, sino tam-bién aquellos que pasan casi sin notarse. Al final presentamos algunos breves comentarios sobre qué son y cómo se forman los volcanes.
Figura 1a. Erupción del volcán Popocatépetl en 2001.
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IslandiaUnos días antes, el 21 de mayo, el volcán Gríms-vötn, ubicado en Islandia, inició una erupción. Hubo exhalaciones de ceniza, acompañadas de pequeños temblores, lo que provocó la cancelación de 900 vuelos en ese país, así como en varios países de Europa, incluyendo a Inglaterra, Irlanda, Esco-cia, Alemania, Noruega y Groenlandia. Inclusive, se canceló un concierto de Elton John en Francia, mientras que Barack Obama tuvo que cambiar sus fechas de vuelo para una reunión del G-8.
También en Islandia, pero en 2010, el volcán Ey-jafjallajökull tuvo erupciones del 14 al 20 de abril, y del 21 al 24 de mayo. Las erupciones afectaron severamente el tráfico aéreo de Europa, llegándose a cancelar todos los vuelos, inclusive hasta en el aeropuerto de Moscú. Quizá fue esa falta de vue-los lo que hizo que se le diera un gran revuelo a la erupción de este volcán a lo largo y ancho del mundo, pero el Grimsvötn expulsó más material en un solo evento que toda la erupción de este vol-cán durante 2011.
Figura 3. Erupción del volcán Grímsvötn en 2011.
ChileEl mismo 3 de junio, a las 16:30 hrs, el volcán Puyehue, ubicado en Chile, tuvo una exhalación de humo y ceniza que se extendió unos diez km a la redonda. La actividad del volcán continuó, por lo que el gobierno de ese país subió paulatinamente el nivel de alerta, hasta llegar a la fase 6. Esto afectó todo el sistema vial y carretero del sector, debido a las cenizas y piedras volcánicas que se han ex-pulsado. También preocupó la caída de material volcánico en ríos y lagunas, pues ello provocaría daños considerables aguas abajo. Las emisiones del Puyehue poco a poco alcanzaron a otros países de Sudamérica. Esto provocó suspensiones de vuelos en Argentina, Uruguay y Brasil. Se dio el incidente de que la selección de fútbol de Argentina se quedó varada en Sao Paulo. En Chile y Argentina algunas ciudades sufrieron apagones a causa de las cenizas, que provocaron daños en las centrales del sistema eléctrico.
Figura 2. Erupción del volcán Puyehue en 2011.
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EritreaHace unos meses se monitoreaba al volcán Nabro, en Eritrea, muy cerca de la frontera con Etiopía, dado que existía el peligro de una erupción. A principios de junio, la región experimentó una serie de terremotos moderados, seguidos por dos más intensos, de magnitud 5.7.
A la media noche del 13 de junio de 2011, el vol-cán lanzó una enorme nube de humo, que alcanzó los 15 km de altura, y se expandió hasta 50 km de ancho y cientos de kilómetros de largo. La Secre-taria de Estado de los Estados Unidos, Hillary Clinton, canceló un viaje a Etiopía, debido a la nube de cenizas. El tráfico aéreo se suspendió en Arabia Saudita y Egipto. Antes de esta erupción se creía que el Nabro estaba extinto. Eso mismo se ha pensado de muchos otros volcanes a lo largo de la historia, con consecuencias fatales.
Figura 5. Erupción del volcán Nabro en 2011, vista desde el espacio.
Figura 4. Erupción del volcán Lokon en 2011.
IndonesiaEl jueves 14 de julio de 2011, el volcán Lokon, localizado en Indonesia, comenzó a hacer erup-ción, continuando la actividad por varios días. El domingo 17 de julio tuvo su mayor erupción, cuando lanzó al aire enormes columnas de ceniza que alcanzaron los 3.5 km de altura. La actividad volcánica se reanudó el lunes 18, con dos erup-ciones que lanzaron sendas columnas de cenizas y humo de 600 m de altura. Desde el jueves 14, las autoridades locales ya habían evacuado de los al-rededores a unas 5000 personas, dado el nivel de alerta declarado previamente.
El archipiélago de Indonesia tiene docenas de vol-canes activos, los cuales también han provocado gran actividad telúrica en las islas que forman ese país. El 3 de noviembre del año pasado, el volcán Mount Merapi, ubicado también en Indonesia, tuvo una serie de erupciones violentas, que por lo sorpresivo provocaron la muerte de más de 350 personas. A la fecha, Indonesia es uno de los países con mayor actividad volcánica. De hecho, el escu-do de islas que forma el país, tiene su origen sólo en la actividad volcánica.
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¿Qué son los volcanes?Los volcanes son vías de intercambio de materia entre la superficie terrestre y las capas más internas de la corteza. El intercambio básicamente es hacia el exterior, y se expulsa ceniza y gas, o en actividad más intensa, roca fundida en forma de lava. Los eventos de actividad cuando se expulsan materia-les al exterior se llaman “erupciones”, las cuales a veces pueden variar en intensidad, duración y fre-cuencia. Dependiendo de sus características, una erupción puede causar sólo leves molestias o des-trucción masiva.
La forma cónica de los volcanes se debe en primer lugar a la presión que ejerce el material subterráneo sobre la corteza, y en segundo, a la acumulación de materiales en cada nueva erupción. El cráter del volcán, que está en la punta del cono, es el extremo del conducto por donde se expele material al exte-rior. Frecuentemente está sellado con una costra de lava endurecida, pero en periodos de actividad leve y moderada esta costra puede fragmentarse, lo que provoca que haya expulsión de rocas. Tam-bién suele llenarse de agua, así que muchas veces hay eyecciones de vapor que anuncian la próxima salida de ceniza y otros materiales.
Generalmente, los volcanes se forman en las re-giones de separación entre dos placas tectónicas. Por ejemplo, en México hay una zona alrededor del paralelo 19º donde existe una cordillera de-nominada “Eje Neovolcánico Transversal”, que es donde están los volcanes más importantes de México: Pico de Orizaba, Cofre de Perote, Ma-linche, Popocatépetl, Iztaccíhuatl, Ajusco, Nevado de Toluca, Nevado de Colima, etc. Sin embargo, también existen volcanes aislados en el interior de alguna placa tectónica. Este es el caso de las islas de Hawái, formadas enteramente de lava volcánica de los volcanes Mauna Loa, Mauna Kea, Kiliuea, Hohala y Hualalai.
Los geólogos han clasificado los volcanes como: volcanes en escudo, que tienen pendiente suave y están formados de erupciones sucesivas con la-
ItaliaEl 30 de julio de 2011, el volcán Etna, situado en la isla italiana de Sicilia, expulsó lava que alcanzó una altura de entre 450 y 500 m. El 6 de agosto, la actividad volcánica se repitió con una erupción de lava, y para el 12 de agosto hubo un evento más de intensidad similar. Esto se suma a otros eventos menores, donde sólo se enviaron al exterior fuma-rolas y nubes de ceniza. Dado que estos últimos eventos no tuvieron lava, no se han monitoreado con similar cobertura a los otros.
El volcán Etna es uno de los más activos en la ac-tualidad, ya que en este siglo ha presentado perio-dos de actividad frecuente. Tanto así, que George Lucas decidió filmar los eventos de erupción de lava en 2005, e integrarlos a su entonces más re-ciente producción de la saga de Star Wars, La ven-ganza de los Sith.
Figura 6. Erupción del volcán Etna en 2011.
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vas de baja viscosidad; conos de cenizas, que están formados por la acumulación de lava muy viscosa y cenizas y tienen pendientes más empinadas; y estratovolcanes (o conos compuestos), que están formados por cenizas y lava altamente viscosa en-durecida y tienen diferentes capas, formadas por varios periodos de actividad.
Actualmente no es posible predecir una erupción, ni tampoco lo fuerte que podrá ser dicha erupción cuando ya hay indicios de actividad inminente, como las fumarolas y expulsiones de gases.
Estudiando las rocas formadas por las lavas de un volcán se puede calcular la antigüedad de las erup-ciones. En la actualidad se acepta que un volcán está extinguido si han pasado más de 25 000 años desde su última actividad. Este es el caso del vol-cán Iztaccíhuatl, por ejemplo. Otros volcanes pa-recen estar temporalmente inactivos, pero un día pueden volver a mostrar actividad. Este es el caso de volcanes como el Popocatépetl, el Chichonal y otros.
En la actualidad, la actividad de los volcanes se ha vuelto un factor determinante para la transpor-tación aérea. Esto ocurre porque las cenizas que expele un volcán son altamente abrasivas; lo cual
quiere decir que el cruce de un aeroplano a través de una nube de ceniza sería equivalente a que ese aeroplano estuviera sometido a un proceso de es-merilado a través de toda su superficie, durante todo el tiempo que dure su vuelo.
Sin embargo, no debemos olvidar que la actividad volcánica renueva la corteza terrestre, que se va erosionando y degradando paulatinamente. Por ejemplo, los pobladores de Amecameca y otras re-giones vecinas al Popocatépetl se resisten a aban-donar sus tierras debido a que el suelo de los alre-dedores es muy fértil.
Los volcanes, pues, son parte del ambiente, de manera que el ser humano debe aprender a convi-vir con ellos y tomar sus precauciones para evitar que afecten su modo de vida, cada vez más com-plejo.
ReferenciasEnciclopedia Universal Ilustrada Espasa CalpeLa JornadaThe New York TimesThe Ottawa CitizenWikipedia
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NumeralesAgustín González Villanueva
Academia de MatemáticasPlantel San Lorenzo Tezonco
Nos es difícil hoy en día, saber cómo hicieron nuestros antepasados para llevar la cuenta de las cosas, entre otras razones porque la naturaleza tiene mala memoria y no le gusta guardar todo lo que sucede. Esta característica de la naturaleza es también la razón principal por la que debemos ir llevando registros duraderos. Los registros históri-cos nos muestran el uso frecuentes de líneas |,— o puntos •. Con ellos podemos formar a los prime-ros numerales {|, ||, |||, ...} o bien {•, ••, •••, ...}. Para números medianamente grandes estas notaciones se vuelven ineficientes, por lo que tenemos que re-currir a un sistema alternativo de representación. Lo primero que aprendió la gente fue a formar unidades mayores y a combinar los signos bajo el principio de adición, es decir, que al juntar distin-tos signos tenemos un número nuevo sumando el valor de cada uno de ellos.
Por ejemplo, si al uno le asociamos una raya | y al cinco una letra G, podemos formar más números que con un signo. Para contar del uno al diez hare-mos |, ||, |||, ||||, G, G|, G||, G|||, G||||, GG. Si quere-mos contar hasta cien este sistema es muy engo-rroso por lo que tenemos que inventar un signo
Conteos y símbolosTodos los pueblos del mundo han tenido la necesi-dad de llevar la cuenta de los días. La cuenta sobre la vida, la muerte, son asuntos esenciales en la vida de las personas. Todavía más importante es llevar un registro de las cuentas que hagamos. Por estas razones, casi todas las culturas han desarrollado distintas formas de contar y de llevar los registros. Si no queremos reprimendas de los dioses o de la naturaleza debemos ser capaces de calcular las fe-chas de siembra y cosecha en base a los ciclos de estrellas, animales y plantas. En otras palabras, una mala gestión de la abundancia nos llevará directo contra las múltiples complicaciones que conlleva la escasez.
para diez que simplifique de nuevo la notación. Para ello usamos el D para diez y podemos contar menos incómodamente hasta cien: {10, 12, 20, 37, 54}, D, D||, DD, DDDG||, DDDDD||||. Podemos ver que si queremos registrar números mayores debe-mos buscar una forma mejor de usar los signos, sin que aumente el número de ellos significativa-mente.Observemos que nuestros antepasados usaron sig-nos de mayor valor para minimizar la aparición ex-cesiva de signos, pero eso no resuelve el problema. Lo mejor es usar los mismos signos e inventar un signo nuevo para separar los numerales menores de los mayores. Es decir, en lugar de usar nuevas letras como G y D usamos letras de separación. Por ejemplo, ||D||| representará 2 decenas más 3 uni-dades, o 23. G||C|||D|||| representará 7 de cien más 3 de diez más 4 ó 734. El sistema se simplifica más si usamos comas en lugar de decenas y centenas: ||’|||’G||| = 238. Con este sistema podemos contar hasta mil o diez mil sin inventar nuevos signos.
1. Recordar un número b llamado base.2. Definir un alfabeto numeral con b símbolos
distintos. {S1, S2, S3, ... , Sb}. El último símbolo es el cero. Sin él no habría sistema posicional.
3. Distinguir el valor de los símbolos por su posición.
4. En cada posición no puede haber un símbolo de un valor mayor a b.
Así al comenzar a contar, comenzamos en la pri-mera posición hasta que se nos acaben los signos. Entonces empezamos el conteo en la segunda posición sin detener el conteo en la primera. Cuan-do se nos acaben los signos en la segunda posición comenzamos el conteo en la tercera posición sin detener el conteo en las dos anteriores. Así pode-mos reproducir cualquier cantidad con los mismos signos usando las posiciones que se necesiten. Para reproducir el sistema necesitamos saber solamente cuatro cosas:
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Con estas condiciones podemos construir el número natural que deseamos usando cuatro prin-cipios básicos:
1. Principio de adición. Sumamos el valor de to-dos los signos.
2. Principio de sustracción. En ocasiones debe-mos restar el valor de algunos signos cuando se indica.
3. Principio de multiplicación. De una posición a otra, el signo toma su valor con productos sucesivos de la base . . . |b2|b1|b0.|b−1|b−2| . . ..
4. Principio de división. Para contar partes de un entero dividimos sucesivamente entre la base.
Como las multiplicaciones y divisiones sucesivas por la base implican el concepto de potencia, cada número puede ser expresado en forma compacta por una sucesión de signos:
. . . SaSbSg.S S S . . . ,
que significa
... + Sab2 + Sbb1 + Sgb
0 + S b−1 + S b−2 + S b−3 + ...
y los b signos con subíndice Si son obtenidos del grupo de numerales pertenecientes al alfabeto numeral elegido {S1, S2, S3, ... , Sb} en cualquier posición.
Como ejemplo tenemos que (S1S3S5.S6S2)7, (S1S1S1.S3)12, (S2S2S2S2)3 y (S3S5S19S2S2.S20S17S1)20, repre-sentan números válidos en la base indicada por el subíndice de los paréntesis, como lo harían los números 123, 64023.34, 2222.3333, en nuestra base 10.
Conteos egipcios
Los numerales antiguos están asociados muy fuertemente a la escritura en dos representaciones principales: la religiosa y la popular. Por esa razón encontramos numerales en representación hieráti-
Sistemas hierático y jeroglífico
Los egipcios usaron la numeración jeroglífica al principio y la numeración hierática después de algunos siglos, pues la escritura que al inicio era pictográfica pasó a ser logográfica. Es decir, al ini-cio los símbolos representan cosas que se miran y después son usadas como raíces de la lengua para formar palabras. Los numerales también pasaron por el procesode representar cantidades y sílabas a la vez.Los egipcios construyeron sus sistemas numéricos en base 10 como lo hacemos nosotros actualmente. Para costruir los diez signos básicos usaron signos elementales y formaron otros compuestos. Por esta razón se dificulta a veces entender los sistemas an-tiguos. Un número en sistema decimal egipcio ten-drá un valor determinado por:
Sa100 + Sb101 + Sg102 + Sdb3 + ...
donde los dígitos Sk, k = 1, 2, . . . , 10, los com-ponemos de las tablas siguientes:
ca y jeroglífica que marcan eventos propios de los cálculos religiosos, mientras que la representación demótica es usada por comerciantes, constructo-res y maestros en las actividades cotidianas de los pueblos.
Desgraciadamente los registros de numerales usa-dos por la mayoría de la gente en el antiguo Egipto se han perdido y es asunto de especialistas recu-perarlos. Por el contrario, los numerales religiosos se conservaron en las estelas y muros de edificacio-nes importantes debido a la obsesión de los egip-cios por trascender a la muerte.
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Análogamente a los alfabetos árabe y hebreo, los números egipcios se leen de derecha a izquierda. Por ejemplo, las siguientes cantidades tienen su equivalencia en el decimal actual:
Aunque los egipcios no usaron su sistema de posición para manejar decimales, centesimales, etc., definieron el primer sistema de uso de frac-ciones como lo usaron los griegos posteriormente. Usaron intensivamente fracciones con numerador 1 y 2, utilizando una boca en el sistema jeroglífico y un punto en el hierático.
Operaciones
Como en cualquier sistema de posición, la suma y la resta de dos números se hace por posición. Lo interesante del sistema egipcio es que aprendieron a multiplicar usando sólo la tabla del dos. Vea-mos un ejemplo. Si queremos multiplicar 21 por 13, duplicamos sucesivamente comenzando por la unidad y un factor hasta obtener por suma el otro factor. Marcamos los números cuya suma totalicen un factor y sumamos de la otra columna los corres-pondientes a la marca para obtener el resultado.
Sistema babilónicoSexagésimos
Hoy en día usamos algunas herencias del sistema babilónico como son: dividimos el día en 24 horas (12 de día y 12 de noche) y cada hora en 60 minu-tos. A la vez dividimos cada minuto en 60 segun-dos. Estas divisiones sucesivas de 60 nos forman un sistema de posición en base 60 llamado sexa-gesimal. Los ángulos usan divisiones análogas.
Los babilonios fueron herederos de varias culturas. En el transcurso de milenios consolidaron un siste-ma de posición en base 60. Con un signo para 1 y otro para 10 construyeron los 59 numerales nece-sarios y el resto los obtuvieron de la posición. Con-temporáneos de algunas dinastías egipcias compi-tieron en las obras monumentales de gran destreza técnica. Los babilonios trabajaron la posición en orden contrario al egipcio, más parecido a como lo hacemos nosotros:
... + Sab2 + Sbb1 + Sgb
0 + S b−1 + S b−2 + S b−3 + ...
donde los signos Sl, l = 1, 2, . . . , 59 son compues-tos en base a la siguiente tabla.
Para representar algunas cantidades, debemos re-cordar que organizamos unidades mayores multi-plicando por 60 en lugar de 10.
Lo sorprendente de los babilonios es que usaron con profundidad este sistema y manejaron las par-tes de un entero usando la posición.
(Continúa en la página 15)
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El cielo de otoño
Fases de la Luna
Luna nueva
25 de noviembre24 de diciembre23 de enero
Cuarto creciente
2 de noviembre2 de diciembre31 de diciembre
Luna llena
10 de noviembre9 de diciembre8 de enero
Cuarto menguante
17 de noviembre16 de diciembre15 de enero
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Lluvias de estrellas
Leónidas
18 de noviembre
Gemínidas
14 de diciembre
Úrsidas
23 de diciembre
Planetas
Mercurio y Venus en LibraMarte en PiscisNeptuno en AcuarioPlutón en Sagitario
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PROGRAMA DE MATERIALES EDUCATIVOSPARA ESTUDIANTES DE LA UACM
www.freewebs.com/matsedusuacm
[email protected] lorenzo tezonco E-207
5850-1901 x 14507
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Sistema hebreoNumerales alfabéticos
Los hebreos trajeron de Egipto su sistema posi-cional en base diez, pero a falta de signos usaron su alfabeto para formar numerales. El sistema permite mezclar la escritura y la aritmética, de tal manera que cualquier texto tiene una equivalen-cia numérica y permite el pensamiento profético-aritmético. El uso de los afijos superiores (puntos) para denotar factores de 100 y de 1000 permite un buen manejo de cantidades hasta un millón. Con un alfabeto de 22 letras pueden construirse las cantidades fundamentales hasta el 400 y después usar el principio de adición 400+100=500 o bien usar un punto para multiplicar por 100 y dos pun-tos para multiplicar por 1000.
El sistema hebreo tiene el mismo orden que el egip-cio. Es decir, se debe leer de derecha a izquierda. Para escribir cantidades tendremos que escribir:
Sistema griego
Numerales alfabéticos
Los griegos usaron varios sistemas de numeración. Al igual que los hebreos con su alefato, tomaron las letras del alfabeto y les asignaron valores para representar y operar con cualquier cantidad. La tabla siguiente muestra los numerales usados y or-ganizados al estilo egipcio.
Sistema herodiánico
Atribuido al gramático Herodiano se usó también un sistema antiguo conocido por los fenicios que se basaba en la combinación de letras con los va-lores | = 1, 5 = G = pente, 10 = D = deka, 100 = H = ekaton, 1000 = X = cilion, 10000 = M = murioi, GD = 50, GH = 500, GX = 5000, GM = 50000. Con este sistema se puede expresar bien un grupo grande de números como 2635 = XXGHHDDDG, 365 = HH-HDDDDDD|||||, como se explicó al inicio.
Sistema geométrico
Los griegos tomaron de los egipcios las artes geo-métricas, pero las desarrollaron a un nivel de abs-tracción nunca antes visto. Con base en la geometría construyeron un sistema formal de demostraciones que cimentó las bases del pensa-miento moderno para las ciencias. Lo primero que establecieron fue el concepto de razón, pues con un esquema sencillo podían dividir un segmento en cualquier número de partes. Con este método podían comparar cualesquiera dos o más segmen-tos que desearan, de aquí nacieron los números racionales. Con estos números establecieron las medidas de todas las cantidades con un grado de precisión asombroso. Observe la figura y razona-miento siguientes.
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1. Primero trazamos una línea auxiliar AB’ en cualquier dirección y de cualquier tamaño.
2. Con el compás podemos marcar esta línea a partes iguales (representado por la línea de abajo) y marcamos los números 1, 2, 3, . . . por puntos {•, ••, •••}.
3. Trazar la línea bB.4. Trazar la paralela a bB que pasa por a y define
el punto C.5. En virtud del teorema de Tales, C divide a AB
en dos partes iguales.
Ahora podemos comparar los segmentos nuevos escribiendo
Deseamos partir el segmento AB en dos partes iguales.
Esta forma de expresar cantidades lleva a la repre-sentación p/q con un profundo sentido visual. Mientras suma y resta son operaciones muy trivia-les, la multiplicación y la división aparecen de un esquema asombrosamente estético.
y tambiéna•
•• •
En estas figuras se muestra cómo multiplicar y dividir dos segmentos ya razonados con respecto a una unidad común Aa. Para multiplicar trace dos líneas auxiliares AC y AC’. Marque como se indica con el compás a los segmentos razonados AB y AB0 y trace las paralelas correspondientes al segmento que pasa por la unidad. Obtendrá la multiplicación en la primera figura y la división en la segunda, puesto que en ambas se cumple el teo-rema de Tales.
y en la segunda
A los griegos les llevó un tiempo pasar de la repre-sentación por razón a la de proporción. Aquí mez-clamos notaciones por claridad. El signo “=” llegó hasta el siglo XVI con el inglés Robert Recorde.
ABAB
ABAB
==
AC : AB :: AB’ : •, = , AC = AB AB’,
AC •
AB’ AB
= AC = .
AC AB
AB’ •
Todo mundo conoce como sistema maya a un sistema de numeración que apareció en nuestro continente antes del 600 AC por Monte Albán. Es decir, mientras Tales de Mileto demostraba su fa-moso teorema y predecía eclipses, nuestros ante-pasados indígenas se aventuraban a contar los días y construir el calendario sagrado de 260 unidades. Con el paso de los siglos, un grupo de pueblos avecindados en la península de Yucatán refinaron tanto el sistema que para el siglo VII DC se da-ban el lujo de edificar complejos arquitectónicos propios de ser habitados por los dioses. El sistema es vigesimal o de base 20. Se compone de cuatro signos simples que combinados forman un sistema perfecto y completo de 20 signos compuestos.
Sistema mesoamericano
Sistema demótico
Dos formas de organizar el sistema usaron los ma-yas. Un arreglo horizontal para representar canti-dades, escrito de derecha a izquierda y otro vertical escrito de abajo hacia arriba. Los signos Sm de S1, S2, . . . , S20 se organizaban para formar la expresión . . . + Sd203 + Sg202 + Sb201 + Sa200.
Los epigrafistas mayas describen el número al ini-cio de la página siguiente leyendo de arriba hacia abajo para organizarlo de izquierda a derecha, par-tiendo de las unidades mayores como en nuestro sistema decimal; así 11.2.14.19.0.5.9 se debe leer 11 alauales 2 kinchiles 14 kalabales 19 pikales 5 kales 9 hunes. Estos nombres se aclaran en la sub-sección siguiente.
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bulucalau tu cakinchil tu kanlahunkalabaltu bolonlahunpikal tuhokal tu bolonhun
Sistema jeroglífico
Para conmemorar eventos importantes, los mayas desarrollaron un conjunto de numerales sagra-dos en un sistema de 20 glifos. Cabe mencionar que usan aquí varios signos de completamiento en lugar del cero. Un cero es usado para el diez porque los primeros nueve numerales de cabeza se usan para representar a los nueve dioses prin-cipales. Con el diez y los nueve dígitos básicos se forman los restantes numerales complementarios para llegar al 19. Aquí entra en uso otro signo para cero si se observa el glifo para diez.
oxlahunka-labal tu uacpikal tu kanbakal tu bolonhun
Los numerales de cabeza tienen muchas variantes para cada signo. Aquí presento las más cercanas a la estructura fonética para entender la razón de los numerales complementarios del 11 al 19. Los mayas usaron indistintamente otros glifos o estos para llevar la cuenta de cosas ajenas a los asuntos temporales. Después del número diecinueve co-mienza la cuenta de un ciclo llamado kal = 201 de 20 unidades, luego comienza un ciclo llamado bak = 202 de 20 kales, entonces comienza otro ci-clo llamado pik = 203 de 20 bakales, luego sigue el periodo kalab = 204 de 20 pikales para llegar a otro periodo kinchil = 205 de 20 kalabales y un último alau = 206 de 20 kinchiles. A partir de aquí se agre-gan consecutivamente ciclos mayores llamados kal-alau 207, bak-alau 208, pik-alau 209, kalab-alau 2010, kinchil-alau 2011 y alau-alau 2012.
El número que se encuentra al calce se or-dena de abajo hacia arriba y se lee de arriba hacia abajo agregando la partícula tu cada que se cambia de posición. La lectura es oxla-hunkalabal tu uacpikal tu kanbakal tu bolon-hun. El valor del número en nuestro sistema decimal será 13 · 204+6·203+4·202+0·201+9 = 13(160,000)+6(8,000)+4(400)+0+9 = 2,129,609 es decir, dos millones, ciento vein-tinueve mil, seiscientos nueve. En la actualidad se dice 13.6.4.0.9 o 13 kalabales 6 pikales 4 bakales 9 hunes.
Compare estos postfijos de escala vigesimal explicados anteriormente contra el sistema de prefijos de escala usados hoy en día en la no-tación científica. Nuestro prefijo más grande es el yotta= 1024 y el postfijo mayor maya es el alaualau= 2012
Mefisto
18
Sistema vigesimal mixto
Para asuntos temporales, los mayas fueron muy cuidadosos. Una vez que aprendieron a manejar el sistema vigesimal puro, se lanzaron a la titánica obra de usar su sistema perfecto para represen-tar a la naturaleza. Debido a la complejidad de la tarea, construyeron un sistema de numeración equivalente más cercano a los ciclos naturales y que comenzara emulando el paso del tiempo. Por esa razón, de la tercera posición quitaron dos veintenas del 400 para obtener un ciclo completo (tun=piedra) de 360 unidades, es decir, 18 meses de veinte días llamados uinales o lunaciones. Con ello formaron un marco de referencia aritmético temporal que se acercaba a los ciclos lunares y so-lares. Pero los periodos naturales son más com-plicados que eso y tuvieron que optar por dejar que se acumularan los fragmentos de entero hasta completar nuevos ciclos que pudieran registrar, en lugar de tomar nuevos lugares a la derecha para los vigesimales menores al entero. Así formaron un combinado de cuatro ciclos fundamentales: un ciclo de 13 para ajustar el paso de las 13 constela-ciones de su zodiaco, dos ciclos de 20, de natura-leza aritmética y otro de 18 de naturaleza religiosa.
Sistema calendárico hierático
Estos cuatro ciclos se combinaron en dos grandes calendarios llamados tzolkin de 260 días y haab de 365 días. Con ellos se hacían las correcciones temporales necesarias para la organización de los eventos religiosos, sociales, conmemorativos, catastróficos, solares, lunares, siderales y planeta-rios. Puesto que los días solar, lunar y sideral, así como sus meses y años se desfasan, deben hacerse continuamente las correcciones pertinentes.
Sistema temporal referencial o cuenta largaPara registrar los eventos naturales, se ajustó el sistema de base 20. Con este nuevo sistema lleva-ron la cuenta de varios períodos temporales y los registraron en un esquema vertical, de abajo ha-cia arriba. En la parte más baja contaban los días llamados kin hasta completar un ciclo (mes) de 20 días llamado uinal, registrados en la segunda posición. Cuando completaban un ciclo de 18 ui-nales formaban un tun (piedra) de 360 días. A par-tir de la cuarta posición comenzaban de nuevo a formar unidades mayores de 20 en 20 katun, bak-
Mefisto
19
es decir, se tiene 1.1.11.19.9.3.11.2.0 que se puede leer como 1 alautun 1 kilchintun 11 kalabtunes 19 piktunes 9 baktunes 3 katunes 11 tunes 2 uinales 0 kines. También se puede leer como hun alautun tu hun kilchintun tu buluckalabtun tu bolonlahun-piktun tu oxkatun tu buluctun tu canuinal. Es una proeza de cálculo si se toman en cuenta las correc-ciones astronómicas que tuvieron que utilizar para incluir con detalle los periodos correspondientes al tzolkin y el haab que se incluyen adicionalmente 2ahau-13ceh. Para tener una idea de su significa-do, el tzolkin de 260 días y el haab de 365 días for-man ciclos mayores de 52 haabs con precisión. Si se agregan las correcciones correspondientes den-tro de estos ciclos llamados la rueda calendárica, las diferencias entre los ciclos solar, sideral, lunar y planetarios, se corrigen dentro de un periodo de ¡20 gigaaños!
Posición Nombre Múltiplo Días8a alautun 20 kinchiltunes 2.304 1010
8a kinchiltun 20 kalabtunes 1.152 109
7a kalabtun 20 piktunes 5.76 107
6a piktun 20 baktunes 2.88 106
5a baktun 20 katunes 144 0004a katun 20 tunes 72003a tun 18 uinales 3602a uinal 20 kines 201a kin 1 sol (día) 1
El sistema de registro temporal refleja la forma en que nuestros antepasados mesoamericanos entendían la naturaleza y su lugar en ella. Con la hazaña intelectual de haber encontrado el sistema de posición vigesimal puro, y dominar los detalles de su operación, se empeñaron a representar la na-turaleza con base en este marco conceptual. El uni-verso que conocemos ha iniciado antes en periodos de tiempo que llevan la marca 13, de tal manera que nuestra era comienza en el final del treceavo piktun o 13.0.0.0.0.0, 4 ahau-8cumkú -aproximadamente el 12 de agosto de 3114 AC (-3113)-. Las útimas dos posiciones representan la cuenta del tzolkin y del haab respectivamente, más correcciones as-tronómicas. Esta era terminará al concluir el gran ciclo cósmico de 13’s ...13.13.13.13.13.13.13.13, es decir, según algunos (incorporado el error de con-teo) el día 12.19.19.17.19, 3 cauac-2kankin (apro-ximadamente el 22 de diciembre de 2012) usando la correlación 584285 GMT (Goodman-Martínez-Thompson). Un periodo de más de (1,44 · 105) · (13) = 1872000 días o 5125 años.
Rueda calendáricaA la cuenta temporal, los mayas agregaron una cuenta dual de la forma numeral-día, numeral-mes.
Tzolkin Esta cuenta contiene un viejo calendario usado en toda mesoamérica de 260 días llamado tzolkin u ordenador de los días (conocido en el centro de México como tonalpoualli) que toma en cuenta los ciclos de Venus. El tzolkin combina un periodo de 13 numerales con otro ciclo de 20 días. En total se forma un gran semiciclo de 260 días, relacionado con el tiempo en el que Venus transita de ser lucero de la mañana a ser lucero de la tarde.
Tun Combinando 20 numerales del 0-19 y 18 ui-nales o meses de 20 días, se forma un ciclo anual de 360 días.
Haab El ciclo anual de 365 días era reconocido perfectamente y su desfasamiento de 1 día cada 4 años corregido en ciclos más largos que hacen la contabilidad temporal a gran escala mucho más precisa que la que tenemos hoy. Se compone de 18 periodos de 20 días (tun) y al final se agrega un diecinueveavo periodo adicional de 5 días llamado uayeb.
Combinando el Tzolkin y el Haab en una cuenta única, los mayas formaron un ciclo completo de 18,980 días (52 haabs y 73 tzolkines) distinguibles con las combinaciones de los cuatro elementos mencionados: numeral-día, numeral-mes. A este ciclo se le ha denominado rueda calendárica, pen-
tun, piktun, kalabtun, kinchiltun, alautun. El con-teo de los días anteriores a nuestra era, en ciclos gigantescos, lo grabaron en la estela 10 de Tikal y se esquematiza a continuación:
Mefisto
20
sando en una gran circunferencia seccionada en 18,980 partes y que lleva la contabilidad de las co-rrecciones astronómicas.
Cuenta cortaDado que la cifra de los baktunes incluye periodos muy largos y el 90% de los fechamientos ocurrie-ron dentro del 9° baktun, las periodicidades en-contradas en ciclos de 13 katunes y 52 años per-mitieron reducir la representación temporal a un sistema más simplificado llamado la cuenta corta. Este sistema redujo las fechas de cuenta larga a un sistema de tres posiciones, que bajo periodos conocidos del tzolkin y el haab permitieron reduc-ciones importantes en el número de glifos, den-tro del cual no se perdía la relación con la cuenta larga, si se registraban los términos de cada katun. Así aparecieron los fechamientos reducidos del tipo término katun m,x día-y mes. Este tipo de fe-chamiento se usó durante la llegada de los espa-ñoles al continente.
Referencias1) A history of mathematical notations, Florian Cajori, Ed. Dover, New York, US, 1993.2) A manual of greek mathematics, Thomas L. Heath, Ed. Dover New York, US, 2003.3) The world of mathematics, James Newmann et al, Ed. Dover New York, US, 2000.4) History of mathematics, David Eugene Smith, Ed. Dover New York, US, 1958.
5) Observadores del cielo en el México antiguo, Antho-ny F. Aveni, Ed. Fondo de Cultura Económica, México, 2005.6) Maya Hieroglyphs An introduction to the study of the, Sylvanus Griswold Morley, Ed. Dover New York, US, 1975.7) The heritage of Thales Undergraduate Texts in Math-ematics, W.S. Anglin & J. Lambek, Ed. Springer-Verlag, New York, US, 1995.8) Redefining geometrical exactness Sources and Stud-ies in the History of Mathematics and Physical Scienc-es, Henk J.M. Bos, Ed. Springer- Verlag New York, US, 2001.9) Numerología matemática maya, Paulino Romero Conde, Ed. Centro de estudios del mundo maya, Méxi-co, 2004.10) Inscripciones en monumentos mayas, Rolando Al-aniz Serrano, Ed. Plaza y Valdés, México, 1999.11) Pensamiento matemático y astronómico en el México precolombino, Guillermo Garcés Contreras, Ed. IPN, México, 2001.12) Calendario Maya proyectos de divulgación gráfica, sin autor, Ed. Dante, México, 2001.13) Introducción a los jeroglíficos egipcios, Mark Col-lier y Bill Manley, Ed. Alianza Editorial, España, 2001.14) La biblia latinoamericana, Moisés et al, Ed. San Pablo-Verbo Divino, España, 1997.15) Kabaláh, diccionario kabaláh contemporánea, Ione Szalay, Ed. Kier, Argentina, 2005.16) La palmera transparente Arca de Sabiduría, Mario Satz, Ed. EDAF, España, 2000.17) The Art of the Maya Scribe, Michael D. Coe & Justin Kerr, Ed. Harry N. Abrams, Inc, Publishers, US, 1998.
Mefisto
21
La libertad es uno de los más preciosos dones que a los hombres dieron los cielos.
Miguel de Cervantes Saa-vedra. (1547 - 1616)Escritor español.
Frases célebres
¿Y para qué quieren ser li-bres, si no saben ser libres?
Ermilo Abreu Gómez. (1894 - 1971)Escritor mexicano.
La primera ley del arte es la verdad y la expresión.
Theodor Lessing. (1872 - 1933)Filósofo alemán.
Ama el arte; de todos los engaños es todavía el que miente menos.
Gustave Flaubert. (1821 - 1880)Escritor francés.
Internet es mucho más que una tecnología: es un medio de comunicación, de interacción y de orga-nización social.
Manuel Castells (1942 - )Sociólogo español.
... maldita cultura de in-ternet, que deseduca al mundo y enseña a todos a escribir las palabras más simples con faltas de orto-grafía.
Robert Fisk. (1946 - )Periodista británico.
Mefisto
22
1 Dos leñadores trabajaban desde la madrugada, así que deciden sentarse a desayunar. El primer leñador llevaba 4 panes, mientras que el segundo llevaba 7 panes. En eso llega un cazador, que les pide compartir con él su desayuno. Los 11 panes se dividen en partes iguales y cada uno de ellos come la misma cantidad de pan. Cuando terminan de desayunar, el cazador les entrega 11 pesos, que es todo el cambio que trae, para que se lo repartan de la forma más justa. El primer leñador dice que de-ben repartirse el dinero en partes iguales, a lo que el segundo replica que, puesto que el primero sólo puso 4 panes, sólo le tocan cuatro pesos; mientras que como él puso 7 panes, a él le tocan 7 pesos. ¿Como deben repartirse el dinero?
2 Tres trabajadores entraron a un hotelito a des-cansar y a comer. Encargaron a la dueña que les cociera unas papas y se fueron a dormir. La dueña coció las papas, pero para no despertarlos, dejó la olla sobre la mesa y se fue. Uno de los trabajadores despertó, contó las papas, se comió su parte y se volvió a dormir. El segundo despertó, y creyendo que era el primero en despertar, conto las papas, se comió su parte y se volvió a dormir. El tercero tam-bien despertó, contó las papas y se comió su parte. En eso volvieron a despertar los otros dos, con lo cual se aclaró la situación. En la olla quedaban aún ocho papas. ¿Cuántas papas coció la dueña del ho-telito?
3 Una campesina trae al tianguis una cesta de naranjas para vender. Llega un comprador y se lle-va la mitad de las naranjas que había, más media naranja. Un segundo comprador llega y se lleva la mitad de naranjas que quedan más media naran-ja. El tercer comprador también se lleva la mitad de las que quedan más media naranja. Así siguen
Acertijos
hasta que el sexto comprador se lleva la mitad de las naranjas que quedan más media naranja, con lo cual la campesina termina de vender sus naranjas. Los compradores sólo llevaron naranjas enteras. ¿Cuántas naranjas trajo al mercado la campesina?
4 Cuatro campesinos rusos regresaban a su ran-cho quejándose de no haber ganado nada en la ciudad. El primero de ellos decía: si me encon-trara una cartera llena de dinero, agarraría sólo la tercera parte y lo demás se lo dejaría a ustedes. El segundo campesino dijo: si yo me encontrara la cartera, tomaría sólo la cuarta parte y lo demás lo dejaría para ustedes. El tercer campesino dijo: si yo me encontrara la cartera, me bastaría con la quinta parte del dinero y lo demás para ustedes. Y el cuarto campesino dijo: pues si yo me encon-trara la cartera, me conformaría con la sexta parte del dinero. Un poco más adelante, los campesinos encuentran tirada una cartera con 8 billetes: uno de 3 rublos (el rublo es una moneda rusa), y los otros de 1 rublo, 5 rublos y 10 rublos. Pero al in-tentar repartirse el dinero conforme a lo expresado anteriormente, resultó que ninguno podía tomar su parte, porque no traían cambio. Entonces pasó un jinete al que le pidieron que les cambiara un billete de un rublo. El jinete les dijo que no tenía cambio, pero les propuso lo siguiente: yo pondré un rublo en la cartera y despues daré a cada uno su parte, quedándome con la cartera. A los campesi-nos les pareció bien el trato, e hicieron conforme a lo anterior. Cuando se retiró el jinete, notaron que ninguno de ellos tenía el billete de 3 rublos (o sea que se lo había llevado el jinete en la cartera) y sin embargo cada uno de ellos había recibido más de lo esperado. ¿Cuánto dinero había originalmente en la cartera? ¿Qué billetes dio el jinete a cada uno de los campesinos?
Mefisto
23
1 Debe cortar sólo un eslabón, el que está en la posición número 3, de modo que tiene 1, 2 y 4 esla-bones. El primer día paga con el eslabón solo. El segundo día paga con dos eslabones y recibe el que entregó el día anterior como cambio. El tercer día paga con el eslabón solo. El cuarto día paga con los cuatro y recibe los otros tres de cambio. El quinto día paga con el eslabón solo. El sexto día paga con los dos eslabones y recibe uno de cambio. El úl-timo día paga con el eslabón solo.
2 Para distinguir los diamantes, numerémoslos del 1 al 10.
Primera pesada: 1, 2, 3, 4 contra 5, 6, 7, 8
A) Si se balancean: el falso es 9 ó 10. Entonces:
Segunda pesada: 9 contra 1
Si no se balancean, entonces el 9 es el falso. Si sube, es que pesa menos, si baja es que pesa más.
Si se balancean, el falso es el 10. Entonces:
Tercera pesada: 10 contra 1
Si 10 sube, pesa menos, si baja, pesa más.
B) Si no se balancean:
a) Supongamos que 1, 2, 3, 4 bajan (si no sucede así, los renumeramos para que así sea)
Segunda pesada: 1, 2, 8, 9 contra 3, 4, 7, 10
i) Si 1, 2, 8, 9 bajan, el falso debe ser 1 ó 2 (y más pesado), o bien 8 (y más ligero). Entonces:
Tercera pesada: 1 contra 2
Si alguno baja, ése es el falso. Si se balancean, el falso es 8.
ii) Si 3, 4, 7, 10 bajan, el falso es 3 ó 4 (y más pesa-do) ó 7 (y más ligero). Entonces:
Tercera pesada: 3 contra 4
Si alguno baja, ése es el falso, si se balancean, el falso es 7.
Recomendamos al lector con conocimientos de programación hacer un diagrama de flujo para esta solución. También recalcamos que tal solu-ción no es única.
3 Identifiquemos a cada uno de los nietos como sigue: el primero es P, el segundo es S, el tercero es T y el cuarto es C. Entonces tenemos lo siguiente:
P recibió 8 hongos del abueloS recibió 12 hongosT recibió 5 hongosC recibió 20 hongos
Al llegar a la casa, cada uno de los nietos llevaba 10 hongos.
AcertijosSolución a los anteriores
Mefisto
24
Sudoku
Fácil
Difícil
Solución al anterior
Solución al anterior
11
1
1
11
11
1
22
2
22
2
22
2
33
3
33
3
33
3
44
4
44
4
44
4
5
55
55
55
55
6
66
66
6
6
66
77
7
7
77
77
7
88
8
88
8
88
8
9
99
9
99
9
99
11
11
11
1
11
2
22
22
2
22
2
3
33
3
33
3
33
44
4
44
4
44
4
55
5
5
55
55
5
66
6
6
6
6
66
6
7
77
7
7
7
7
77
88
8
8
88
88
8
99
9
99
99
99
22
3
4
4
44
5
5
5
66
7
7
7
7
8
8
89
9
9
9
2
33
33
4
4
4
5
5
5
66
66
7
77
88
88
99
9
11
21
1