medidas de variabilidad y distribución normal
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Medidas de variabilidad, Distribución Normal,Validez,confiabilidad, Rango, Varianza Desviación estándar, Coeficiente de VariaciónTRANSCRIPT
Objetivos :
María Isabel [email protected]
Medidas de variabilidad y Distribución Normal
Comprender el significado de las Medidas de variabilidad
Comprender el significado de la Distribución Normal
Comprender el significado de las Medidas de variabilidad
Comprender el significado de la Distribución Normal
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Medidas de variabilidad y Distribución Normal2
Validez y confiabilidad
Un procedimiento de medición será confiable en la medida en que proporciona datos con poca variación.
Si el proceso es válido mide lo que se desea medir, por tanto disponer de un procedimiento de medición válido y confiable será muy deseable.
Por ejemplo, una prueba con elevada confiabilidad y validez medirá el conocimiento que se pretende evaluar de manera repetible cuando se aplique una y otra vez.
Un procedimiento de medición será confiable en la medida en que proporciona datos con poca variación.
Si el proceso es válido mide lo que se desea medir, por tanto disponer de un procedimiento de medición válido y confiable será muy deseable.
Por ejemplo, una prueba con elevada confiabilidad y validez medirá el conocimiento que se pretende evaluar de manera repetible cuando se aplique una y otra vez.
Un procedimiento de medición que sea confiable proporciona datos con poca variación
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Dispersión
¿Cuánto se alejan los datos de la Media que es igual a 6?
Calificaciones obtenidas en el examen de Inglés, escala del 0 al 10
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Dispersión
Si la media µx = 6La dispersión es la media de la diferencia entre cada valor y la media
La suma de las desviaciones respecto a la media siempre es igual a cero
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Medidas de variabilidad y Distribución Normal5
Media
Dispersión
Las medidas de dispersión cuantifican la separación, la dispersión, la variabilidad de los valores de la distribución respecto al valor central denominado Media
Distinguimos entre medidas de dispersión absolutas, que no son comparables entre diferentes muestras y las relativas que nos permitirán comparar varias muestras.
Las medidas de dispersión cuantifican la separación, la dispersión, la variabilidad de los valores de la distribución respecto al valor central denominado Media
Distinguimos entre medidas de dispersión absolutas, que no son comparables entre diferentes muestras y las relativas que nos permitirán comparar varias muestras.
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Si se mide cierta propiedad de dos objetos o sucesos, los resultados pueden ser diferentes. Tal variación ocurre de modo natural y por eso se denominan “variables”
La problemática de la variación se complica al reconocer que ella también ocurre en quienes miden y en los instrumentos: encuestas, exámenes, etc. que se usan para medir.
En esta sesión estudiaremos las medidas de variación que indican cuan alejados pueden estar los valores de la media.
Si se mide cierta propiedad de dos objetos o sucesos, los resultados pueden ser diferentes. Tal variación ocurre de modo natural y por eso se denominan “variables”
La problemática de la variación se complica al reconocer que ella también ocurre en quienes miden y en los instrumentos: encuestas, exámenes, etc. que se usan para medir.
En esta sesión estudiaremos las medidas de variación que indican cuan alejados pueden estar los valores de la media.
Media
Esto nos ayuda a:
1. Calibrar el análisis de mas medidas de tendencia central
2. Cuestionar el valor de la muestra
3. Juzgar la confiabilidad de las medidas de tendencia central. Si los datos están muy dispersos las medidas de TC no son representativas de los datos de la muestra como un todo
Variación
6 Medidas de variabilidad y Distribución Normal
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Medidas de variabilidad y Distribución Normal7
Variación
En el caso estudiado de sesiones anteriores, Nota final promedio obtenida en Física 9º de una muestra de 25 instituciones privadas del Distrito Capital
¿Qué factores pueden afectar la media obtenida?
En el caso estudiado de sesiones anteriores, Nota final promedio obtenida en Física 9º de una muestra de 25 instituciones privadas del Distrito Capital
¿Qué factores pueden afectar la media obtenida?
1. Calidad y experiencia de los docentes de cada centro.
2. El número de horas de estudio
3. El número de estudiantes por aula de clase.
4. Recursos Tecnológicos del centro de estudio
5. Estrategias de enseñanza
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Medidas de variabilidad y Distribución Normal8
Una vez localizado el centro de la distribución de frecuencias (Me) de un conjunto de datos,
el siguiente paso es buscar una medida de la variabilidad o dispersión de los datos,
ya que es importante conocer si los valores en general están cerca o alejados de los valores centrales.
Las medidas de variación o dispersión son:
RangoVarianzaDesviación estándarCoeficiente de Variación
Medidas de variación o dispersión
µ
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Medidas de variabilidad y Distribución Normal9
Rango
Es la diferencia entre el valor máximo y el mínimo de los datos observados
Es la más simple de las medidas de dispersión
Sólo es válida para datos numéricos
No cuenta absolutamente nada sobre la distribución de los datos dentro del mismo
Es la diferencia entre el valor máximo y el mínimo de los datos observados
Es la más simple de las medidas de dispersión
Sólo es válida para datos numéricos
No cuenta absolutamente nada sobre la distribución de los datos dentro del mismo
En este ejemplo vemos 2 distribuciones de datos totalmente diferentes, con igual Rango
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Medidas de variabilidad y Distribución Normal10
La Varianza S2
La Varianza (S2) de los datos es la medida de dispersión más utilizada.
¿Cómo calcularla?
Es la media de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de la variable (xi) y la media aritmética (X) de la distribución.
La Varianza (S2) de los datos es la medida de dispersión más utilizada.
¿Cómo calcularla?
Es la media de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de la variable (xi) y la media aritmética (X) de la distribución.
Interpretación:
La varianza mide la mayor o menor dispersión de los valores de la variable respecto a la media aritmética.
Cuanto mayor sea la varianza mayor dispersión existirá y por tanto menor representatividad tendrá la media aritmética.
La varianza se expresa en las mismas unidades que la variable analizada, pero elevadas al cuadrado.
La varianza siempre es mayor o igual que cero y menor que infinito
S2
Nomenclatura: S2 o
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Medidas de variabilidad y Distribución Normal11
Desviación Estándar (S)
Es la medida de variabilidad utilizada con más frecuencia en la investigación por ser la más estable de todas y se basa en los desvíos de los datos originales con respecto a la media x.
Se define como la raíz cuadrada con signo positivo de la varianza.
Corrige la posible distorsión del valor obtenido en la Varianza (S2), producto de la sumatoria de las diferencias al cuadrado del valor de las observaciones menos la Media Aritmética
Nomenclatura: S o
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Medidas de variabilidad y Distribución Normal12
Comportamiento de la Desviación Estándar
Datos concentrados en la media
Datos cercanos a la media
Datos dispersos con respecto a la media
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Medidas de variabilidad y Distribución Normal13
Comportamiento de la Desviación Estándar
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Medidas de variabilidad y Distribución Normal14
Análisis de la Varianza y la Desviación estándar
Para Calcular la Varianza y la Desviación estándar revisa eltutorial de excel y observa en el paso 1
Interpreta sabiendo que:
Cuando los valores de un conjunto de observaciones están muy próximos a su Media (11.916), la dispersión es menor que cuando están distribuidos sobre un amplio recorrido.
Una Varianza pequeña nos indica que la variable no se desvía "demasiado" de su media , que es "poco" probable que haya valores alejados de la media, o dicho de otra manera que es "muy" probable que los valores se encuentren alrededor de la media.
Para Calcular la Varianza y la Desviación estándar revisa eltutorial de excel y observa en el paso 1
Interpreta sabiendo que:
Cuando los valores de un conjunto de observaciones están muy próximos a su Media (11.916), la dispersión es menor que cuando están distribuidos sobre un amplio recorrido.
Una Varianza pequeña nos indica que la variable no se desvía "demasiado" de su media , que es "poco" probable que haya valores alejados de la media, o dicho de otra manera que es "muy" probable que los valores se encuentren alrededor de la media.
Para saber cómo utilizar Excel y construir esta tabla, revisa el material de apoyo respectivo a esta sesión.
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Para julio de 2004 la media de inasistencia de los alumnos de un colegio A era de 0,221 mientras que para el colegio B alcanzaba 0,276.
El cálculo de la desviación estándar en cada grupo SA= 0,048 y SB = 0,077 nos permite apreciar la consistencia en el promedio de asistencia de los estudiantes del colegio A
El mayor valor de la desviación estándar indica que hay mayor variabilidad en torno a la media en el colegio B y podemos concluir que el colegio A ha sido más exitoso en motivar una mayor asistencia a clases de los estudiantes.
Esto lo podemos apreciar en la siguiente representación gráfica.
Colegio A
Colegio B
Interpretación de la Desviación Estándar
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Medidas de variabilidad y Distribución Normal16
Distribución Normal
Así como la media es muy sensible a la presencia de valores atípicos también lo son S y S2, porque en esencia también son medias. Cuando hay valores atípicos puede resultar una mejor idea recurrir al uso de la Distribución Normal
Se presenta ahora una regla que describe adecuadamente la variabilidad de una distribución acampanada y razonablemente bien la variabilidad de otras distribuciones que se acercan a esta forma.
Así como la media es muy sensible a la presencia de valores atípicos también lo son S y S2, porque en esencia también son medias. Cuando hay valores atípicos puede resultar una mejor idea recurrir al uso de la Distribución Normal
Se presenta ahora una regla que describe adecuadamente la variabilidad de una distribución acampanada y razonablemente bien la variabilidad de otras distribuciones que se acercan a esta forma.
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Medidas de variabilidad y Distribución Normal17
Importancia de la Distribución Normal
Nos hemos centrado en la distribución normal, cuya relevancia en estadística se debe a que muchos fenómenos físicos, biológicos, psicológicos o sociológicos, pueden ser adecuadamente modelizados mediante ella.
La distribución normal es también una buena aproximación de otras distribuciones, como la binomial, Poisson o T de Student, para ciertos valores de sus parámetros.
Una buena cantidad de mediciones de características de seres vivos y otras variables que se observan en la naturaleza siguen una distribución en forma de campana u otra forma similar a ésta.
Nos hemos centrado en la distribución normal, cuya relevancia en estadística se debe a que muchos fenómenos físicos, biológicos, psicológicos o sociológicos, pueden ser adecuadamente modelizados mediante ella.
La distribución normal es también una buena aproximación de otras distribuciones, como la binomial, Poisson o T de Student, para ciertos valores de sus parámetros.
Una buena cantidad de mediciones de características de seres vivos y otras variables que se observan en la naturaleza siguen una distribución en forma de campana u otra forma similar a ésta.
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Curva de Gauss
Medidas de variabilidad y Distribución Normal18
Para representar distribuciones de frecuencias se utiliza la llamada “Curva de Gauss”. Para visualizarla, en el Museo de Ciencia de París se dispone de la “Plancha de Galton” presente en la fotografía.
Si se dejan caer metras de la parte superior de la plancha, ellas se dirigen al azar, a la izquierda o a la derecha cada vez que tropiezan con un obstáculo.
Con el uso de la curva de Gauss, es predecible la distribución en la parte baja de la plancha, de una gran cantidad de metras que hayan sido dejadas caer.
La curva que está dibujada con color verde representa la distribución de 256 metras.
Para representar distribuciones de frecuencias se utiliza la llamada “Curva de Gauss”. Para visualizarla, en el Museo de Ciencia de París se dispone de la “Plancha de Galton” presente en la fotografía.
Si se dejan caer metras de la parte superior de la plancha, ellas se dirigen al azar, a la izquierda o a la derecha cada vez que tropiezan con un obstáculo.
Con el uso de la curva de Gauss, es predecible la distribución en la parte baja de la plancha, de una gran cantidad de metras que hayan sido dejadas caer.
La curva que está dibujada con color verde representa la distribución de 256 metras.
Fuente: Museo de Ciencia y Tecnología La Villete, París, Francia.
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Medidas de variabilidad y Distribución Normal19
Distribución Normal, la regla empírica
Dada una distribución de las observaciones con forma aproximadamente acampanada, entonces, el intervalo:
• (Media ± S) contiene aproximadamente al 68% de las observaciones
• (Media ± 2S) contiene aproximadamente al 95% de las observaciones
• (Media ± 3S) contiene casi todas las observaciones
La distribución acampanada se conoce como la distribución normal.
La importancia de la regla empírica consiste en su utilidad para describir adecuadamente la variación de un gran número de tipos de datos.
Dada una distribución de las observaciones con forma aproximadamente acampanada, entonces, el intervalo:
• (Media ± S) contiene aproximadamente al 68% de las observaciones
• (Media ± 2S) contiene aproximadamente al 95% de las observaciones
• (Media ± 3S) contiene casi todas las observaciones
La distribución acampanada se conoce como la distribución normal.
La importancia de la regla empírica consiste en su utilidad para describir adecuadamente la variación de un gran número de tipos de datos.
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Medidas de variabilidad y Distribución Normal20
Distribución Normal, la regla empírica
Problema
Se realiza un estudio del tiempo necesario para realizar una prueba de admisión de la Universidad José María Vargas.
Se mide el tiempo necesario para realizar la prueba para n = 40 bachilleres.
Se calculan la media y la desviación estándar obteniéndose 12.8 y 1.7 respectivamente.
Cómo describiría la Regla Empírica los datos en esta muestra.
Problema
Se realiza un estudio del tiempo necesario para realizar una prueba de admisión de la Universidad José María Vargas.
Se mide el tiempo necesario para realizar la prueba para n = 40 bachilleres.
Se calculan la media y la desviación estándar obteniéndose 12.8 y 1.7 respectivamente.
Cómo describiría la Regla Empírica los datos en esta muestra.
– Para describir los datos se calculan los intervalos
– De acuerdo con la regla empírica se espera que:
• aproximadamente el 68% de las observaciones estarán en el intervalo de 11. 1 a 14.5,
• 95% de las observaciones estarán en el intervalo de 9.4 a 16.2,
• y casi todas ellas en la intervalo de 7.7 a 17.9.
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Construir Gráfico de Distribución Normal
Medidas de variabilidad y Distribución Normal21
¿Cómo construir un gráfico que compara la Nota final promedio obtenida en Física de noveno de una muestra de 25 instituciones privadas del Distrito Capital con una curva de Distribución Normal?
Siga los 6 pasos que aparecen explicados en el la Hoja de Calculo Excel que aparece publicada como material de apoyo a esta sesión.
Interpreta lo que expresa el gráfico
¿Cómo construir un gráfico que compara la Nota final promedio obtenida en Física de noveno de una muestra de 25 instituciones privadas del Distrito Capital con una curva de Distribución Normal?
Siga los 6 pasos que aparecen explicados en el la Hoja de Calculo Excel que aparece publicada como material de apoyo a esta sesión.
Interpreta lo que expresa el gráfico
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
- 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00
Serie Original
Serie Aleatoria
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Medidas de variabilidad y Distribución Normal22
Mendenhall, Willian. (1978), Estadística para Administradores y Economía. Universidad Nacional Autónoma de México. Grupo Editorial Iberoamérica. México.
Navarro, A. (2000), Estadística Aplicada al área económica y empresarial. Ediciones de la Universidad Ezequiel Zamora. Colección Docencia Universitaria. Barinas, Venezuela
Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Estadística • 20 http://www.fundacionempresaspolar.org/matematica2/fasciculo20.pdf
Lista de Referencias