medidas de hausdorff e o teorema de morse-sard
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MEDIDAS DE HAUSDORFF E O TEOREMA
DE MORSE-SARD
Alexandre Miranda Alves
Orientador: Carlos Augusto Arteaga Mena
Departamento de Matematica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
Belo Horizonte - Marco de 2004
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Agradecimentos
Finalizar uma monografia de final de curso, neste caso mestrado emmatematica, e muito gratificante. A princıpio o trabalho e individual, maspara o exito do mesmo muitos contribuıram direta ou indiretamente, assimquero deixar registrado alguns agradecimentos, mesmo correndo o risco deomitir uma ou outra pessoa. Em primeiro lugar agradeco a Deus, criador esoberano de todo universo, o qual tem me sustentado e guiado em todos osmomentos. Agradeco ao professor Carlos A. A. Mena, meu orientador, pelapaciencia e apoio, com os quais foi possıvel terminar este trabalho. Tambemfoi de grande importancia o apoio e dedicacao de minha esposa Viviane, etambem de meus familiares, pais, irmaos e os pais de minha esposa, espe-cialmente minha mae pelo incentivo constante. Aos meus colegas e amigosdo curso, agradeco o apoio e a paciencia, que em muitos momentos foramde grande importancia. Tambem a varios professores do departamento dematematica, como Sarmiento e Ana Cristina dentre outros, agradeco o apoioe incentivo durante o curso. Nao poderia omitir os funcionarios da secre-taria, em especial a Sandra, que sempre foram atentos e prestativos durantetodo o curso.
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iv
Sumario
Agradecimentos iii
Introducao vii
1 Medida e dimensao de Hausdorff 11.1 Definicoes e alguns resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Medida e Dimensao de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Propriedades da Dimensao de Hausdorff . . . . . . . . 91.2.2 Relacao entre as Medidas de Hausdorff e de Lebesgue 10
1.3 exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Teorema classico de Morse-Sard 152.1 O caso n < m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 O caso n = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 O caso n > m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 O Teorema de Morse-Sard envolvendo medidas de Haus-dorff 273.1 Apresentacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Resultados Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 O resultado principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A 49
B 51
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Introducao
Nesta monografia descrevemos os resultados do artigo “Hausdorff Mea-sure and the Morse-Sard Theorem” de Carlos Gustavo T. A. Moreira [7].O teorema de Morse-Sard e um resultado classico em analise, importanteespecialmente na teoria da transversalidade e tambem em topologia diferen-cial. O teorema de Morse-Sard afirma que a imagem do conjunto dos pontoscrıticos de uma funcao F : IRn −→ IRm de classe Cn−m+1 tem medida deLebesgue zero em IRm. Este resultado foi provado por Morse no caso emque m = 1 e por Sard no caso geral.
Devido a sua importancia teorica, o teorema de Morse-Sard foi general-izado em varias direcoes. Varias destas generalizacoes sao relacionadas commedidas e dimensao de Hausdorff. O resultado de [7] fornece um refina-mento do teorema de Morse-Sard envolvendo medida de Hausdorff no lugarda medida de Lebesgue.
A prova do teorema classico de Morse-Sard baseia-se numa decomposicaoestrategica do conjunto dos pontos crıticos em subconjuntos cujas intersecoescom os hiperplanos de IRn possuem medida de Lebesgue nula. Isto permiteaplicar o teorema de Fubini e concluir que esses subconjuntos possuem me-dida de Lebesgue nula. No teorema 3.4 de [7] essa estrategia nao funcionapois em geral as medidas de Hausdorff nao coincidem com a medida deLebesgue e nem sao medidas produto, e portanto nao podemos aplicar oteorema de Fubini. Esta dificuldade e resolvida substituindo a aplicacaodo teorema de Fubini por uma decomposicao estrategica do conjunto dospontos crıticos.
No capıtulo 1, fazemos um breve relato da teoria da medida, onde defini-mos a medida e dimensao de Hausdorff e apresentamos algumas propriedadesque serao importantes no decorrer do texto. Um resultado importante ap-resentado neste capıtulo e uma relacao entre a medida de Hausdorff e amedida de Lebesgue em conjuntos de diemnsao inteira, e mostramos atravesde um exemplo que a medida de Hausdorff e mais fina do que a medidade Lebesgue, ou seja, calculamos a medida Hausdorff em conjuntos onde amedida de Lebesgue e nula, mas a medida de Hausdorff nao. Damos outrosexemplos onde calculamos a dimensao e tambem a medida de Hausdorff. Ocapıtulo 2 e dedicado a prova do teorema classico de Morse-Sard. No capıtulo3 provamos o resultado principal da monografia, o teorema de Morse-sard
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envolvendo medida de Hausdorff. Alguns resultados usados no decorrer dotexto, que sao bem conhecidos na matematica, sao enunciados no apendice,onde tambem apresentamos algumas demonstracoes muito extensas de al-guns resultados relacionadas com o exemplo 2 do capıtulo 1.
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Capıtulo 1
Medida e dimensao de
Hausdorff
1.1 Definicoes e alguns resultados
Nesta secao apresentamos um breve relato da teoria da medida que serausado ao longo do texto. Para mais detalhes consultar [3] ou [8].
Definicao 1.1 Seja X um conjunto qualquer. Uma colecao A de subcon-juntos de X e chamada uma algebra de conjuntos se:
(i) A ∪B ∈ A sempre que A,B ∈ A;
(ii) Ac ∈ A sempre que A ∈ A;Segue de (i) e (ii) que A ∩B ∈ A sempre que A,B ∈ A.
Definicao 1.2 Uma algebra A de conjuntos e chamada uma σ-algebra setoda uniao enumeravel de conjuntos de A esta em A, isto e, se a sequencia{Ai}i∈N e tal que, se Ai ∈ A, ∀ i, entao
⋃iAi ∈ A. Segue da definicao 1.1
item (ii) que se Ai ∈ A, ∀ i, entao⋂
iAi ∈ A.
Proposicao 1.1 Dada uma colecao C de subconjuntos de X, existe umamenor σ-algebra que contem C, isto e, existe uma σ-algebra A contendo C
tal que, se B e qualquer σ-algebra contendo C entao A ⊂ B.
Demonstracao: Suponha F a famılia de todas as σ-algebras de subconjuntosde X que contem C. Coloque A =
⋂{B; B ∈ F}, desta forma C ⊂ A jaque cada B contem C. Vamos verificar agora que A e uma σ-algebra. Se{Ai}i∈N ⊂ A ⇒ {Ai} ⊂ B para cada B ∈ F ⇒ ⋃
Ai ∈ B para cada B ∈ F ⇒⋃Ai ∈ A. Se A ∈ A ⇒ A ∈ B, ∀ B ∈ F ⇒ Ac ∈ B ∀ B ∈ F ⇒ Ac ∈ A.
Portanto, A e uma σ-algebra e por definicao e a menor σ-algebra contendoC.
1
Definicao 1.3 O limite superior e o limite inferior de uma sequencia deconjuntos {Ej}j∈N sao definidos como:
lim infj→∞
Ej =∞⋃
j=1
∞⋂
k=j
Ek
lim supj→∞
Ej =∞⋂
j=1
∞⋃
k=j
Ek.
Observe que lim supj→∞
Ej consiste dos pontos que estao numa quantidade in-
finita dos Ej e o lim infj→∞
Ej consiste dos pontos que nao pertencem apenas a
uma quantidade finita dos Ej.
Definicao 1.4 Uma medida m e uma funcao definida sobre uma σ-algebraA de subconjuntos de X e tomando valores em [0,+∞] tal que:
(i) m(∅) = 0;
(ii) m(∞⋃
j=1
Ej) =∞∑
j=1
m(Ej) para toda sequencia de conjuntos {Ej}j∈N em
A dois a dois disjuntos.
Observacao 1.1 Segue da definicao 1.4 que m e uma funcao nao decres-cente, ou seja, se E ⊂ E ′, E,E′ ∈ A, entao m(E) ≤ m(E ′).
Observacao 1.2 Por convencao estendemos o sistema de numeros reaisadicionando os elementos +∞ e −∞. Esse conjunto aumentado e chamadoreta real estendida. A relacao de ordem tambem e estendida postulando que−∞ < x < +∞ para todo x ∈ IR. Em relacao as operacoes de soma eproduto definimos:
• x+ ∞ = +∞, x−∞ = −∞
• x(+∞) = +∞ e x(−∞) = −∞ se x > 0, x(+∞) = −∞ ex(−∞) = +∞ se x > 0
• ∞ + ∞ = +∞, −∞−∞ = −∞, ∞(±∞) = ±∞, 0.∞ = 0A operacao ∞−∞ fica indefinida.
Teorema 1.1 Se m e uma medida sobre uma σ-algebra A de subconjuntosde X, entao:(a) Se E1 ⊂ E2 ⊂ . . . e uma sequencia crescente em A, entao
m
(lim
j→∞(Ej)
)= lim
j→∞m(Ej)
2
(b) Se F1 ⊃ F2 ⊃ . . . e uma sequencia decrescente em A e m(F1) < ∞,entao
m
(lim
j→∞(Fj)
)= lim
j→∞m(Fj)
(c) Para qualquer sequencia de conjuntos {Fj}j∈N em A temos que
m
(lim infj→∞
(Fj))≤ lim inf
j→∞m(Fj)
Demonstracao:(a) Podemos escrever
⋃∞j=1Ej = E1 ∪ (E2 \ E1) ∪ (E3 \ E2) . . .,
dessa igualdade obtemos que m
(lim
j→∞(Ej)
)= m
(∪j (Ej)
)= m(E1) +
∞∑
j=2
m(Ej \ Ej−1) = limj→∞
(m(E1) +
j∑
i=2
m(Ei \ Ei−1))
=
limj→∞
(m(E1 ∪ (∪j
i=2(Ei \ Ei−1)))) = limj→∞
m(Ej)
(b) Coloque Ej = F1 \ Fj , j ≥ 2, assim E1 ⊂ E2 ⊂ . . ., como em(a), por outro lado, m
(lim
j→∞(Fj)
)= m
(∩∞
j=1 Fj
)= m
(F1 \ ∪∞
j=1Ej
)=
m(F1) − m(∪jEj) = m(F1) − limj→∞
m(Ej) = limj→∞
(m(F1) − m(Ej)) =
limj→∞
(m(F1 \ Ej)) = limj→∞
m(Fj)
(c) Coloque Ek = ∩∞j=kFj , assim E1 ⊂ E2 ⊂ . . . . Por (a) temos que
m(lim infj→∞
Fj) = m(∪∞j=1 ∩∞
k=j Ej) = m(∪∞j=1Ej) = lim
j→∞m(Ej) =
limj→∞
m(∩∞k=jFj) ≤ lim inf
j→∞m(Fj)
Definicao 1.5 Uma medida exterior m∗ sobre um conjunto X e uma funcao
definida sobre todos os subconjuntos de X tomando valores em [0,+∞]tal que:
(i) m∗(∅) = 0
(ii) m∗(A) ≤ m
∗(B) se A ⊂ B
(iii) m∗(∪∞
i=1Ai) ≤∞∑
i=1
m∗(Ai) para quaisquer conjuntos Aj de X.
Definicao 1.6 Um subconjunto E ⊂ X e chamado m∗-mensuravel (ou men-
suravel com respeito a medida exterior m∗) se ele decompoe todo subconjunto
de X aditivamente, isto e,
m∗(A) = m
∗(A ∩ E) + m∗(A \ E) ∀ A ⊂ X (1)
3
Observacao 1.3 Note que para mostrar que um conjunto E e m∗-mensuravel
basta mostrar que m∗(A) ≥ m
∗(A ∩ E) + m∗(A \ E) ∀ A ⊂ X. Claramente
X e ∅ sao mensuraveis. Tambem e de facil verificacao que se m∗(E) = 0
entao E e m∗-mensuravel.
Teorema 1.2 Seja m∗ uma medida exterior. A colecao A de conjuntos
m∗-mensuraveis forma uma σ-algebra , e m
∗ |A e uma medida.
Demonstracao: Claramente ∅ ∈ A, logo A e nao vazio. E facil ver queA ∈ A ⇔ Ac ∈ A (isto devido a (1)), portanto A e fechado em relacao atomar o complementar. Falta mostrar que A e fechado em relacao a uniaoenumeravel.Suponha {Ei}i∈N uma sequencia de conjuntos tal que Ei ∈ A ∀ i e sejaA ⊂ X. Assim temos que
m∗(A) = m
∗(A ∩ E1) + m∗(A ∩ Ec
1)
= m∗(A ∩ E1) + m
∗((A ∩ Ec1) ∩ E2) + m
∗((A ∩ Ec1) ∩ Ec
2)
...
=( k∑
j=1
m∗((A ∩ (∪j−1
i=1Eci ) ∩ Ej)
)+ m
∗(A ∩ (∩kj=1E
cj )) ∀ k
⇒ m∗(A) ≥
( k∑
j=1
m∗((A ∩ (∪j−1
i=1Eci ) ∩ Ej)
)+ m
∗(A ∩ (∩∞j=1E
cj ))
⇒ m∗(A) ≥
( ∞∑
j=1
m∗((A ∩ (∪j−1
i=1Eci ) ∩ Ej)
)+ m
∗(A ∩ (∩∞j=1E
cj )) (2)
por outro lado, A∩ (∪∞j=1Ej) = ∪∞
j=1((A∩ (∩j−1i=1E
ci ))∩Ej) e pela definicao
de medida exterior temos que
m∗(A) ≤ m
∗(A ∩ (∪∞j=1Ej)) + m
∗(A ∩ (∩∞j=1E
cj ))
≤∞∑
j=1
m∗((A ∩ (∩j−1
i=1Eci ) ∩ Ej) + m
∗(A ∩ (∩∞j=1E
cj ))
≤ m∗(A)
⇒ ∪∞j=1Ej ∈ A e portanto A e uma σ-algebra.
Agora sejam E1, E2, . . . conjuntos dois a dois disjuntos de A. Tome
A = ∪∞j=1Ej , por (2) temos m
∗(A) = m∗(∪∞
j=1Ej) ≥∞∑
j=1
m∗(Ej),
isto implica que m e uma medida sobre A.
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Definicao 1.7 Nos dizemos que uma medida exterior m∗ e regular se para
todo conjunto A existe um conjunto E m∗-mensuravel tal que
m∗(A) = m
∗(E).
Lema 1.1 Se m∗ e uma medida exterior regular e {Ai}i∈N uma sequencia
crescente de conjuntos, entao limi→∞
m∗(Ai) = m
∗( limi→∞
Ai).
Demonstracao: Podemos escolher um Ei mensuravel com Ei ⊃ Ai em
∗(Ei) = m∗(Ai) ∀ i (veja em [8]). Pela definicao 1.5 (ii) e pelo Teo-
rema 1.1 (c) temos que, m∗(limAi) = m
∗(lim inf Ai) ≤ m∗(lim inf Ei) ≤
lim inf m∗(Ei) = lim m
∗(Ai). Pela definicao 1.5, temos quelim m
∗(Ai) ≤ m∗(limAi) ja que Ai ⊂ Ei, assim esta provado o lema.
Definicao 1.8 Seja (X, d) um espaco metrico. Os conjuntos pertencentesa σ-algebra gerada pelos subconjuntos fechados de X sao chamados de con-juntos de Borel.
Observacao 1.4 Os conjuntos de Borel incluem os conjuntos abertos (comocomplemento dos fechados), os conjuntos Fσ (que sao as unioes enumeraveisde fechados) e os Gδ (que sao as unioes enumeraveis de abertos).
Definicao 1.9 Uma medida exterior m∗ sobre X e chamada medida exterior
metrica se m∗(E∪F ) = m
∗(E)+m∗(F ) sempre que E e F sao positivamente
separados, ou seja, d(E,F ) = inf{d(x, y);x ∈ E, y ∈ F} > 0.
Lema 1.2 Seja m∗ uma medida exterior metrica sobre (X, d). Seja {Ai}i∈N
uma sequencia crescente de subconjuntos de X, com A = limi→∞
Ai, e suponha
que d(Ai, A \Ai+1) > 0 ∀ i. Entao m∗(A) = lim
i→∞m
∗(Ai).
Demonstracao: Basta provarmos que m∗(A) ≤ lim
i→∞m
∗Ai ja que a outra
desigualdade segue da definicao 1.5 (ii). Coloque B1 = A1 e Bj = Aj \Aj−1
para j ≥ 2. Se j + 2 ≤ i ⇒ Bi ⊂ A \ Ai−1 ⊂ A \ Aj+1 e assim Bi e Bj saopositivamente separados ja que Bj ⊂ Aj . Temos pela definicao de m
∗ que
m∗(Bi ∪Bj) = m∗(Bi) +m∗(Bj) (?)
aplicando (?) (m− 1) vezes obtemos que
m∗(∪mk=1B2k−1) =
m∑
k=1
m∗(B2k−1) (1)
m∗(∪mk=1B2k) =
m∑
k=1
m∗(B2k) (2)
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Assim podemos assumir que (1) e (2) convergem quando m→ ∞, pois casocontrario terıamos lim
j→∞m∗(Aj) = ∞, ja que ∪m
k=1B2k−1 e ∪mk=1B2k estao am-
bas contidas em A2m. Portanto m∗(A) = m∗(∪∞j=1Aj) =
m∗(Aj∪(∪∞k=j+1Bk)) ≤ m∗(Aj)+
∞∑
k=j+1
m∗(Bk) ≤ limj→∞
m∗((Aj)+
∞∑
k=j+1
m∗(Bk))
⇒ m∗(A) ≤ limj→∞
m∗(Aj), ja que∞∑
k=j+1
m∗(Bk) → 0 quando j → ∞.
Teorema 1.3 Se m∗ e uma medida exterior metrica sobre (X, d), entaotodos os subconjuntos de Borel de X sao m∗-mensuraveis.
Demonstracao: Os conjuntos m∗-mensuraveis formam uma σ-algebra e ossubconjuntos de Borel formam a menor σ-algebra contendo os subconjuntosfechados de X, logo basta mostrarmos que m∗(A) = m∗(A∩E)+m∗(A∩Ec)para E fechado e A arbitrario. Sejam Aj = {x ∈ A \ E; d(x,E) ≥ 1
j }.Desta forma temos d(Aj , A ∩ E) ≥ 1
j para cada j, assim
m∗(A ∩ E) +m∗(Aj) = m∗((A ∩ E) ∪Aj) ≤ m∗(A) (?)
ja que m∗ e uma medida exterior metrica. A sequencia (Aj) e crescente e jaque E e fechado temos que A \ E = ∪∞
j=1Aj . Portanto, sed(Aj , (A \ E) \ Aj+1) > 0 ∀ j, pelo lema 1.2 temos quem∗(A \ E) ≤ lim
j→∞m∗(Aj) e desta forma por (?) temos que
m∗ (A) ≥ m∗(A ∩ E) + limj→∞
m∗(Aj) ≥ m∗(A ∩ E) +m∗(A \ E).
Encerramos a demonstracao provando que d(Aj , A \ (E \ Aj+1)) > 0 ∀ j.Se x ∈ A \ (E \ Aj+1) entao existe z ∈ E com d(x, z) < 1
j+1 , e assim se
y ∈ Aj ⇒ d(x, y) > d(y, z) − d(x, z) > 1j − 1
j+1 > 0, logod(Aj , A \ (E \Aj+1)) > 0.
A medida n-dimensional de Lebesgue e obtida como uma extensao da usualdefinicao do volume no IRn. Abaixo damos uma definicao formal.
Definicao 1.10 (Medida de Lebesgue) Seja C um cubo aberto em IRn
da forma, C = (a1, b1) × . . .× (an, bn), onde ai < bi. Defina o volume de Cpor: V (C) = (b1 − a1) . . . (bn − an). Se E ⊂ IRn definam
n(E) = inf∑
i V (Ci), onde o ınfimo e tomado sobre todas as coberturas deE formadas por sequencias Ci de cubos.
Nao e de difıcil verificacao que mn e uma medida exterior metrica, chamada
de medida exterior metrica n-dimensional de Lebesgue. Podemos verificarque o volume de um cubo aberto e igual ao volume do fecho do mesmo cubo
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e que o volume de mn(E) = V (E) se E e um cubo qualquer (ver em [8]).
A restricao de mn para os conjuntos m
n-mensuraveis que incluem os conjun-tos de Borel e chamada de medida de Lebesgue n-dimensional.
1.2 Medida e Dimensao de Hausdorff
Definicao 1.11 Se E ⊂ ⋃iBri
e 0 < ri < ε para cada i, onde Brisao bolas
abertas em IRn, nos denotamos esta cobertura por {Bri,ε}i∈N e chamamos
de ε-cobertura de E.
Definicao 1.12 Dado ε > 0, α > 0 e E ⊂ X ⊂ IRn, defina
λ(ε)α (E) = inf
∞∑
i=1
rαi , onde o ınfimo e tomado sobre todas as ε-coberturas
{Bri,ε} de E.
Proposicao 1.2 λ(ε)α cresce quando ε decresce.
Demonstracao: Tome E ⊂ X e defina.
Aε = {{Bri,ε} ⊂ X; E ⊂ ∪iBri,ε
e ri,ε < ε}Aδ = {{Bri,δ
} ⊂ X; E ⊂ ∪iBri,δe ri,δ < δ}
Suponha δ < ε. Toda colecao (Bri,δ) ∈ Aδ pertence tambem a Aε
⇒ Aδ ⊂ Aε ⇒ inf∑∞
i=1 rαi,ε ≤ inf
∑∞i=1 r
αi,δ, ou seja, λ
(ε)α (E) ≤ λ
(δ)α (E)
Definicao 1.13 Defina (Hα)∗(E) = supε→0
λ(ε)α (E)
Observacao 1.5 supε→0
λ(ε)α (E) = lim
ε→0λ(ε)
α (E)
Proposicao 1.3 (Hα)∗ e uma medida exterior, chamada de medida exte-rior de Hausdorff α-dimensional.
Demonstracao: Seja ε > 0 dado. O item (i) da definicao 1.5 segue trivial-mente. Para (ii), suponha A ⊂ B ⊂ X. Para toda sequencia de bolas {Bri
}que cobrem B, temos que A ⊂ ∪Bri
, desta forma
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{{Bri}; B ⊂ ∪Bri
} ⊂ {{Ari}; A ⊂ ∪Bri
}⇒ infA⊂∪Ari
∑rαi,ε ≤ infB⊂∪Bri
∑rαi,ε
⇒ supε→0
(infA⊂∪Ari
∑rαi,ε) ≤ sup
ε→0(infB⊂∪Bri
∑rαi,ε)
⇒ (Hα)∗(A) < (Hα)∗(B)
Para o item (iii) suponha E ⊂ ∪∞i=1Ei, onde Ei ⊂ X para cada i.
Se (Hα)∗(Ei) = ∞ para algum i, entao segue o resultado desejado. Casocontrario, dado ε > 0, para cada Ei ⊂ X existe uma sequencia de bolas{Bri,j
}j tal que Ei ⊂ ∪jBri,je ri,j < ε para todo j, tal que
∞∑
j=1
rαi,j < λ(ε)
α (Ei) +ε
2i(onde a ultima desigualdade e devido
a definicao de inf). Por (ii) temos que λ(ε)α (E) < λ
(ε)α (∪Ei) =
inf∪Ei⊂∪i(∪jBri,j)
∑
i
∑
j
rαi,j ≤
∑
i
∑
j
rαi,j <
∑
i
(λ(ε)
α (Ei) +ε
2i
)<
∑
i
λ(ε)α (Ei) + ε⇒ λ(ε)
α (E) ≤∑
i
λ(ε)α (Ei) ja que ε e arbitrario. Como a de-
sigualdade acima vale para cada ε > 0 segue que (Hα)∗(E) ≤∑
i
(Hα)∗(Ei).
Corolario 1.1 (Hα)∗ e uma medida exterior metrica.
Demonstracao: Suponha que E,F ⊂ IRn sao positivamente separados. Seδ e menor do que a distancia entre E e F , entao nenhum conjunto em umaδ-cobertura de E∪F pode interceptar ambos os conjuntos E e F . Portanto,
λ(δ)α (E ∪F ) = λ
(δ)α (E)+λ
(δ)α (F ) ⇒ (Hα)∗(E ∪F ) = (Hα)∗(E)+(Hα)∗(F )
Observacao 1.6 Na definicao 1.12 nos poderıamos ter usado colecoes enu-meraveis arbitrarias de abertos {Ui}i∈N no lugar das bolas Bri
, e o diametro|Ui| no lugar dos raios ri, e obterıamos a mesma medida exterior acima.Isto nos permite usar tanto bolas como conjuntos abertos arbitrarios emsituacoes em que um ou outro seja mais conveniente.
Pelo teorema 1.2 a restricao de (Hα)∗ para a σ-algebra dos conjuntos (Hα)∗-mensuraveis, que pelo teorema 1.3 incluem os conjuntos de Borel, e umamedida e e chamada medida α-dimensional de Hausdorff e denotadapor Hα.
Observacao 1.7 Pela Proposicao 1.2 temos que para qualquer conjunto E,(Hα)∗(E) decresce quando α cresce de 0 para ∞, ou seja, se α < β, entao
λ(ε)α (E) ≥ εα−βλ
(ε)β (E), de fato; basta notar que rα
i = rα−β+βi = rα−β
i rβi ≥
εα−βrβi ⇒ inf
∑rαi ≥ εα−βinf
∑rβi ⇒ inf
∑rαi → ∞ quando ε→ 0.
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Definicao 1.14 (Dimensao de Hausdorff) Pela observacao 1.7 existe umunico valor, HD(E), chamado de dimensao de Hausdorff de E, tal queHα(E) = ∞ se 0 ≤ α < HD(E) e Hα(E) = 0 se HD(E) < α <∞.
1.2.1 Propriedades da Dimensao de Hausdorff
1.2.1.1 Seja f : X −→ Y Lipschitziana, onde X e Y sao espacos metricosseparaveis. Se K ⊂ X entao HD(f(K)) ≤ HD(K).
Dem: Suponha HD(K) = β e tome α > β. Queremos mostrar queHα(f(K)) = 0.Como f e Lipschitziana, existe C > 0 tal que ‖f(x) − f(y)‖ ≤C‖x − y‖ para todos x, y ∈ X ⇒ |f(K)| ≤ C|K|, onde |.| denota odiametro do conjunto. Suponha que {Ui}i∈N seja uma δ-cobertura de f(K),assim {Vi}, onde Vi = f−1(Ui) e uma cobertura de K. Temos entao que∑
i |Ui|α ≤ C∑
i |Vi|α ⇒ λ(δ)α (f(K)) = infK⊂∪iUi
∑i |Ui|α ≤
infK⊂∪iVi
∑i |Vi|α = λ
(δ)α (K) ⇒ limδ→0 λ
(δ)α (f(K)) ≤
C limδ→0 λ(δ)α (K) = 0 ⇒ Hα(f(K)) = 0
1.2.1.2 Suponha que X e Y sao sao espacos metricos separaveis.Se f : X −→ Y e um difeomorfismo e K ⊂ X e compacto entaoHD(K) = HD(f(K)).
Dem: Suponha g a inversa de f. Temos que f e g sao Lipschitzianas,portanto aplicando a propriedade 1.2.1.1 obtemos HD(f(K)) ≤ HD(K)e HD(g(f(K))) ≤ HD(f(K)) ⇒ HD(K) ≤ HD(f(K)), ja queg(f(K)) = K. Portanto HD(K) = HD(f(K)).
1.2.1.3 Se K ⊂ IRn tem dimensao de Hausdorff menor do que n, entaotem medida de Lebesgue nula.
Dem: Suponha HD(K) = d < n e seja ε > 0 dado.Temos que Hn(K) = 0, portanto existe uma cobertura {Ui}i∈N de K talque
∑i |Ui|n < ε, . Para cada x ∈ Ui defina Ci
x um cubo centrado em xtal que Ci
x ⊂ Ui e |Cix| ≤ |Ui|n, assim
⋃i{Ci
x;x ∈ Ui} e uma cobertura deK. Pelo teorema de Lindelof essa cobertura possui subcobertura enumeravel{Cxi
}i∈N, e temos que⋃Cxi
⊂ ⋃Ui ⇒
∑V (Cxi
) ≤ ∑ |Cxi| ≤ ∑ |Ui|n < ε,
donde concluımos que mn(K) = 0.
1.2.1.4 Seja f : [a, b] → IR uma funcao contınua. Entao a HD(Γ) ≥ 1.(Aqui Γ = {(x, f(x));x ∈ [a, b]} denota o grafico de f)
9
Dem: Podemos escrever L(Γ) = supn∑
i=1
‖f(ti) − f(ti−1)‖, onde L denota
o comprimento e o sup e tomado sobre todas as particoesa = t0 < t1 < . . . < tn = b de [a, b]. Pela proposicao B.1 do apendiceB, temos que H1(Γ) = L(Γ). Entao, se L(Γ) < ∞ ⇒ 0 < H1(Γ) < ∞ ⇒HD(Γ) = 1, de outro lado se L(Γ) = ∞ ⇒ H1(Γ) = ∞ ⇒ HD(Γ) > 1.
1.2.2 Relacao entre as Medidas de Hausdorff e de Lebesgue
Abaixo nos enuciamos um teorema que fornece uma relacao direta entre amedida de Hausdorff e a medida de Lebesgue.
Teorema 1.4 Se E ⊂ IRn entao knHn(E) = m
n(E), onde kn e umaconstante que depende apenas de n.
Demonstracao: Suponha E ⊂ IRn e ε > 0.Seja (Bri
) uma cobertura para E tal que∑rni < Hn(E) + ε. Temos que
mn(Bri
) = V (Bri) = knr
ni , onde kn e uma constante de volume em IRn.
Temos tambem que mn(E) ≤ ∑
mn(Bri
) =∑knr
ni < knH
n(E) + ε ⇒m
n(E) ≤ knHn(E).
Por outro lado, suponha (Ri) uma colecao de cubos tal que E ⊂ ∪iRi e∑i V (Ri) < m
n(E) + ε (?)Para cada i, as bolas fechadas contidas em Ri de raio menor ou igual a ε for-mam uma classe de Vitali I (ver definicao A.1 no apendice) para Ri, ou seja,para cada x ∈ Ri e ε′ > 0 existe uma bola Bri
∈ I onde x ∈ Brie ri ∈ (0, ε′].
Pelo teorema de Vitali (teorema A.1 do apendice), existe uma sequencia dis-junta de bolas (Bri,j
)j em Ri com raio ri,j ≤ ε′, tal que Hn(Ri \ ∪jBri,j) =
0 ⇒ λ(ε′)n (Ri\∪jBri,j
) = 0. Ja que mn e tambem uma medida de Borel, temos
que∑
j mn(Bri,j
) = mn(∪jBri,j
) ≤ mn(Ri), assim temos que, λ
(ε′)n (E) ≤
∑i λ
(ε′)n (Ri) =
∑i
(λ
(ε′)n ((∪jBri,j
) ∪ Ri \ ∪jBri,j))≤ ∑
i
(λ
(ε′)n (∪jBri,j
) +
λ(ε′)n (Ri\∪jBri,j
))≤ ∑
i
∑j λ
(ε′)n (Bri,j
)+
=0︷ ︸︸ ︷∑
i
λ(ε′)n (Ri \ ∪jBri,j
) ≤ ∑i
∑j r
ni,j =
∑i
∑j k
−1n m
n(Bri,j) ≤ k−1
n
∑i
∑j m
n(Bri,j)
por (?)< k−1
n mn(E) + k−1
n ε ⇒knλ
(ε′)n (E) ≤ m
n(E) + ε ⇒ knλ(ε′)n (E) ≤ m
n(E) ⇒ knHn(E) ≤ m
n(E).Portanto concluımos que knH
n(E) = mn(E).
10
1.3 exemplos
Em geral e muito difıcil determinar a dimensao de Hausdorff de um conjuntoe tambem bastante difıcil encontrar a medida de Hausdorff deste conjunto.Nos encerraremos este capıtulo com dois exemplos onde determinamos adimensao e a medida de Haudorff no primeiro exemplo, e dado um numeros ∈ (0, 1), construımos um conjunto Γ com HD(Γ) = s no segundo.
Exemplo 1.1 . O conjunto de Cantor K do terco medio e construıdo daseguinte forma: considere o intervalo E0 = [0, 1] em IR, deste intervaloretire o seu terco medio (aberto). Daı obtemos E1 = [0, 1
3 ]⋃
[23 , 1] de onderetiramos o terco medio de cada um dos intervalos de E1, continuamosassim este processo e obtemos na i-esima etapa 2i intervalos fechados decomprimento 1
3i . O conjunto de Cantor e entao K =⋂∞
i=0Ei, (veja figuraabaixo).
Figura 1.1: Construcao do conjunto de Cantor K
O conjunto de Cantor K tem dimensao de Hausdorff α = HD(K) = log 2log 3
e Hα(K) = 1.
Dem: Seja α = log 2log 3 e K o conjunto de Cantor.
Suponha β > α. Considere a sequencia (Jn), onde Jn = {Jn1 , . . . , J
n2n} e os
Jnk , k = 1, . . . , 2n, sao os intervalos fechados restantes da n-esima etapa de
construcao do conjunto de Cantor. Para cada n temos que
λ(ε)β (
⋃2n
i Jni ) = inf
2n∑
i=1
(r(n)i )β = (
2
3β)n, onde ε = 1
3n . Temos que
23β < 1 (ja que log( 2
3α ) = 0) ⇒ λ(ε)β (
⋃2n
i Jni ) → 0 quando n → ∞, ou
seja, supε→0
λ(ε)β (∪2n
i Jni ) = 0. Portanto se β > α⇒ Hβ(K) = 0.
Suponhamos agora que β < α.Como K e compacto ele possui uma cobertura finita U = {U1, . . . , Ur},onde os Ui sao bolas abertas, e novamente pela compacidade de K, U pos-sui um numero de Lebesgue, digamos τ > 0. Considere a cobertura deK, Jn = {Jn
1 , . . . , Jn2n} da primeira parte da prova, com n suficientemente
grande tal que 13n < τ . Pela definicao de numero de Lebesgue Jn
i ⊂ Uj
para algum j, entao podemos supor que Jni , . . . , J
ni+p ⊂ Uj para algum
11
p ≥ 0. Desta forma
p∑
k=i
rJni≤ rUj
⇒ p1
3n≤ rUj
⇒ (p
3n)β ≤ rβ
Uj. Como
∪si=1J
ni ⊂ ∪r
i=1Ui ⇒s∑
i=1
rJni
≤r∑
i=1
rUi⇒ λ
(ε)β (∪s
iJni ) ≤ λ
(ε)β (∪r
iUi), onde
s ≥ r. Note que λ(ε)β (∪iJ
ni ) = 1
2( 23β )n e 2
3β > 1 ⇒ λ(ε)β (∪iJ
ni ) → ∞ quando
n→ ∞, ou seja, λ(ε)β (∪2n
i Ui) → ∞ quando ε→ 0, como U e arbitraria temos
que Hβ(K) = ∞, logo temos que α = log 2log 3 .
Falta mostrarmos que Hα(K) = 1. Para isto considere uma coberturaarbitraria finita de intervalos abertos U = U1, . . . , Um de K e considere-mos tambem a cobertura Jn = {Jn
1 , . . . , Jn2n} de K como acima.
Afirmacao: Hα(U) ≥ Hα(Jn) = 1.De fato; K ⊂ ∪m
i=1Ui e U possui numero de Lebesgue, digamos δ. Existe umn0 ∈ N, tal que |Jn
j | = 13n < δ se n ≥ n0. Assim cada Jn
i esta contido emalgum Uj para algum j. Portanto |Jn
1 |α+ . . .+ |Jn2n |α ≤ |U1|α+ . . .+ |Um|α ⇒
( 23α )n ≤ ∑m
i=1 |Ui|α ⇒ λ(ε)α (U) ≥ λ
(ε)α (Jn) ⇒ sup
ε→0λ(ε)
α (U) ≥ supε→0
λ(ε)α (Jn) =
limε→0
inf2n∑
i=1
(1
3n)α = 1 ⇒ Hα(U) ≥ Hα(Jn) = 1, o que prova a afirmacao.
Como a cobertura U foi tomada arbitraria e Hα(Jn) = 1, obtemos assim oresultado desejado, ou seja, Hα(K) = 1 .
Exemplo 1.2 Considere a funcao g (zig-zag) de perıodo 4 definida sobre IRpor
g(4k + x) =
x, se 0 ≤ x < 12 − x, se 1 ≤ x < 3x− 4, se 3 ≤ x < 4
, onde k ∈ Z, 0 ≤ x < 4.
Figura 1.2: Grafico da funcao g
12
Suponha que {λi}i∈N e uma sequencia de numeros positivos que satisfaz
λi+1
λi→ ∞ e log(λi+1)
log λi→ 1. Seja Γ o grafico da funcao f(x) =
∞∑
i=1
λs−2i g(λix)
para x ∈ [0, 1], onde 1 < s < 2. Entao HD(Γ) = s.Obs. A demonstracao e muito extensa e e apresentada no apendice B napagina 52.
13
14
Capıtulo 2
Teorema classico de
Morse-Sard
Neste capıtulo nos apresentamos o classico teorema de Morse-Sard paraaplicacoes em espacos euclidianos, o qual afirma que; dado uma funcao sobrealgum subconjunto aberto de IRn tomando valores em IRm, a imagem doconjunto de pontos que tem posto inferior ao min{m,n} tem medida deLebesgue nula.A demonstracao sera dividida em tres casos. O primeiro caso tratara asituacao mais simples,ou seja, quando n < m. O segundo caso, n = m, ea versao mais conhecida que aparece em grande parte dos livros de analise.Por fim trataremos o caso mais complicado quando n > m.
Definicao 2.1 O posto de uma aplicacao diferenciavel f : U ⊂ IRn → IRm
num ponto x ∈ U e a dimensao da imagem de sua derivadaf ′(x) : IRn → IRm.
Teorema 2.1 Seja f : U −→ IRm uma aplicacao de classe Ck, k ≥ 1 ,onde U e um aberto em IRn, e seja B = {x ∈ U ; posto(f(x)) < m}. Entaof(B) tem medida de Lebesgue zero se k − 1 ≥ max(n−m, 0).
2.1 O caso n < m
Demonstracao: Neste caso temos que B = U e o conjunto W = U × {0},onde 0 ∈ IRm−n, tem medida zero em IRm. Defina g : U × IRm−n −→ IRm
por g(x, y) = f(x), desta forma temos que g e de classe C1. Note que B×{0}tem medida nula em IRm ja que B × {0} = U × {0}. Nestas condicoes como seguinte lema terminamos prova deste caso.
15
Lema 2.1 Seja g : Z −→ IRm uma aplicacao de classe C1 no abertoZ ⊂ IRm. Se M ⊂ Z tem medida nula em IRm entao g(M) tambem temmedida nula.
Demonstracao: Primeiro vejamos que g e localmente Lipschitziana.Seja x ∈ Z e Bx uma bola de centro em x tal que Bx ⊂ Z e sejaKx = sup{‖g′(y)‖; y ∈ Bx} (O sup existe por g ser de classe C1). Peladesigualdade do valor medio temos que ‖g(y) − g(z)‖ ≤ Kx‖y − z‖ (∗)∀ y, z ∈ Bx, ou seja, g e Lipschitziana em Bx. Consideremos em IRm anorma do maximo (‖x‖ = maxi=1,...,m{|xi|}). Seja {Bx}x∈M a colecao debolas fechadas, onde Bx e a bola centrada em x ∈ M e Bx ⊂ Z. PeloTeorema de Lindelof existe uma subcolecao enumeravel Bxi
cobrindo M, ouseja, M ⊂ ∪Bxi
. Defina Mi = M ∩Bxi. Note que Mi tambem tem medida
nula e isto implica que dado ε > 0, existe uma cobertura enumeravel por
cubos {Cj}j∈N de arestas aj , tal que Mi ⊂ ⋃{Cj} e∑
j
vol(Cj) <ε
Kmxi
,
onde Kxie a constante de Lipschitz de g em Bxi
. Se x, y ∈ Mi ∩ Cj ⇒‖x − y‖ ≤ 1aj ⇒ ‖g(x) − g(y)‖ ≤ Kxi
‖x − y‖ ≤ Kxiaj . Desta forma
g(Mi ∩Cj) esta contido num cubo Dj cujo volume e Kmxiam
j = Kmxivol(Cj).
Entao g(Mi) ⊂⋃
j
g(Mi ∩ Cj) ⊂⋃
j
Dj e∑
j
vol(Dj) =∑
j
Kmxivol(Cj) =
Kmxi
∑
j
vol(Cj) < Kmxi
ε
Kmxi
= ε concluimos que a medida de g(Mi) e nula.
Isto e o fato que g(M) ⊂⋃
i
g(Mi) implicam que g(M) tem medida nula,
isto conclui a prova do caso I.
2.2 O caso n = m
Demonstracao: Seja ε > 0 arbitrario.Considere C ⊂ U , onde C e um cubo fechado com lado de comprimento l.Divida C em pequenos cubos S de lado l
N , N ∈ N (veja figura 2.1).
Obtemos dessa forma Nn cubos do tipo de S. Como f e de classe C1, pelacompacidade de C existe δ > 0 tal que, se x, y ∈ C e ‖x − y‖ < δ entao‖f ′(x)(x− y) − f(y) − f(x)‖ < ε‖x− y‖.Escolhemos N suficientemente grande tal que l
N < δ. Se x ∈ S, entaotemos que
‖f ′(x)(x − y) − f(y) − f(x)‖ < ε‖x − y‖ < ε l√
nN para todo y ∈ S, onde
l√
nN e o diametro de S.
Se S ∩B 6= ∅ tome x ∈ S ∩B, entao o det(f ′(x)) = 0 portanto o conjunto
1A desigualdade vale pois estamos considerando a norma do maximo
16
Figura 2.1: Divisao de C em pequenos cubos
{f ′(x)(y−x); y ∈ S} esta contido num subespaco (n− 1)-dimensional V deIRn, logo o conjunto {f(x) − f(y); y ∈ S} esta a uma distancia menor do
que ε l√
nN de V, e portanto o conjunto {f(y); y ∈ S} esta a uma distancia
menor do que ε l√
nN de V + f(x) .
Seja M=sup{|f ′(x)|;x ∈ S}, temos entao que ‖f ′(x)(y− x)‖ ≤M‖y− x‖ ≤M l
√n
N para todo y ∈ S, logo o ponto f(x) + f ′(x)(y − x) pertence a um
cubo Q de aresta 2M l√
nN que esta contido no subespaco afim V + f(x).
Consideremos o cubo P em IRn que tem o cubo Q como secao media e
altura 2ε l√
nN (veja figura 2.2); temos que f(y) ∈ P ∀ y ∈ S.
vol(P ) = 2ε l√
nN .vol(Q) = 2ε l
√n
N 2n−1Mn−1(√n)n−1 ln−1
Nn−1 = Kε( lN )n, onde
K = (2√n)nMn−1
A imagem de B∩C por f esta contida no maximo em Nn desses cubos, ondea soma dos volumes dos cubos e menor ou igual NnKε ln
Nn = Kεln. Comoε e arbitrario, obtemos que f(B ∩ C) tem medida nula.
Figura 2.2:
17
2.3 O caso n > m
Consideremos a seguinte decomposicao de B, B =⋃m−1
r=0 Ar, onde Ar eo conjunto dos pontos onde f tem posto r. Com esta decomposicao emmaos, a prova se reduz a seguinte proposicao.
Proposicao 2.1 Seja f : U −→ IRm uma aplicacao de classe Cq, q ≥ 1 ,onde U e um aberto em IRn, n > m, e seja Ar = {x ∈ U ; posto(f(x)) = r},onde 0 ≤ r < m esta fixo. Entao f(Ar) tem medida nula se q ≥ n−r
m−r .
Observacao: A hipotese do teorema 2.1 , q − 1 ≥ n − m, implica queq ≥ n−r
m−r (0 ≤ r < m).De fato, coloque b = n − r e c = m − r, note que 0 ≤ (b − c)(c − 1) =bc− c2 + c− b = (b− c+ 1)c− b ≤ qc− b⇒ qc ≥ b⇒ q ≥ b
c = n−rm−r , ja que
q > n−m+ 1 = b− c+ 1.
Na demonstracao desta proposicao usaremos os seguintes lemas, que seraoprovados posteriormente.
Lema 2.2 Seja f : U −→ IRm de classe Cq, U aberto em IRn, sejaC ⊂ U o cubo unitario e A = {x ∈ C; posto(f(x)) = 0}. Entao f(A)tem medida nula se q ≥ n
m .
Lema 2.3 Seja B ⊂ IRn = IRk ⊕ IRn−k compacto cuja intersecao comcada (n-k)-plano P (x1, ..., xk), definido por x1 = x1 , ... , xk = xk, e(x1, ..., xk) ∈ IRk, k < n, tem medida nula em P (x1, ..., xk),∀ (x1, ..., xk, 0) ∈ IRk × {0}. Entao B tem medida nula em IRn.
Prova da proposicao 2.1
Se r = 0 a prova e o lema 2.2, podemos entao supor r ≥ 1.E suficiente mostrar que todo ponto de Ar tem uma vizinhanca Vx, tal que,f(Vx ∩Ar) tem medida nula.De fato; temos que {Vx ∩ Ar;x ∈ Ar} e uma cobertura para Ar. Como atopologia de IRn tem base enumeravel, nos podemos encontrar uma colecaoenumeravel {Vxi
∩Ar; i ∈ N} ⊂ {Vx∩Ar;x ∈ Ar} que tambem e uma cober-tura para Ar (ver em [4] pag 274). Temos entao que Ar =
⋃i(Vxi
∩ Ar),onde m(f(Vxi
∩ Ar)) = 0 ∀ i, logo m(f(Ar)) = 0. O trabalho entao emostrar que dado x ∈ Ar existe Vx ⊂ U tal que m(f(Vx ∩Ar)) = 0.Tome z◦ ∈ Ar. Coloque n = n − r e m = m − r.
18
Seja E = f ′(z◦)(IRr+n) ⊂ IRr+m, logo a dimensao de E e r. Existe umadecomposicao em soma direta IRr+m = IRr ⊕ IRm, tal que a projecaoπ : IRr+m −→ IRr aplica E isomorficamente sobre IRr (ver em [4], pag299). Assim (π◦f)′(z◦) = π◦f ′(z◦) : IRr+n −→ IRr e sobrejetiva. Pelaforma local das submersoes (ver apendice A, teorema A.5), existe um difeo-morfismo α : M ×N −→ Vz◦ , onde M ×N e um aberto em IRr × IRn e Vz◦
e uma vizinhanca aberta de z◦, tal que π◦f ◦α(x, y) = x ∀ (x, y) ∈ M ×N .Entao f ◦α(x, y) = (x, λ(x, y)), onde λ : M × N −→ IRm e de classe Cq,dependendo apenas de f.
Afirmacao: ∂2λ(x, y) = 0 para todo (x, y) ∈ (M ×N) ∩ α−1(Ar).De fato, note que
(f ◦α)′(x, y) =
(I 0. . . B
), onde I =
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
......
...0 . . . 0 1
e B=
∂λ1∂y1
. . . ∂λ1∂yn
......
...∂λm
∂y1. . . ∂λm
∂yn
O posto(f ◦α(x, y)) = r ∀ (x, y) ∈ (M × N) ∩ α−1(Ar) ⇒ B ≡ 0 em(M ×N) ∩ α−1(Ar) ⇒ ∂2λ(x, y) = 0.
Da afirmacao acima decorre que o posto(λ(x, y)) = 0∀ (x, y) ∈ (M ×N) ∩ α−1(Ar).Fixe x = x ∈ M, x = (x1, ..., xr). Defina λx : N ⊂ IRn −→ IRm porλx(y) = λ(x, y), dessa forma o posto(λx(y)) = 0 ∀ (x, y) ∈ (M×N)∩α−1(A).Temos por hipotese que q ≥ n
m , portanto podemos aplicar o lema 2.2, deonde obtemos m(λx(N ∩ π2(α
−1(A)))) = 0, onde π2 e a projecao deIRr × IRn em IRn. Isto implica que m(λ(x× (N ∩π2(α
−1(Ar))))) = 0, poisλ(x× (N ∩ π2(α
−1(Ar)))) = λx(N ∩ π2(α−1(A))).
Temos que f ◦α(x, y) = (x, λ(x, y)) logo f ◦α(x × (N ∩ π2(α−1(Ar)))) ⊂
P (x1, ..., xr), onde P (x1, ..., xr) e o plano de dimensao m, definido porx1 = x1, ..., xr = xr. Note que f ◦α(x× (N ∩ π2(α
−1(Ar)))) =W︷ ︸︸ ︷
f ◦α(M ∩ π1(α−1(Ar)) × (N ∩ π2(α
−1(Ar)))) ∩ P (x1, ..., xr) ⊂{x} × λx(N ∩ π2(α
−1(Ar))) ⊂ P (x1, ..., xr).
Afirmacao: A medida de (f(Vz◦∩A)∩P (x1, ..., xr)) e zero em P (x1, ..., xr) .De fato; P (x1, ..., xr) = x× IRm. Temos que λx(N ∩π2(α
−1(Ar))) tem me-dida nula em IRm, logo x×λx(N∩π2(α
−1(A))) tem medida nula em x×IRm.
19
Portanto m(f(Vz◦∩Ar)∩P (x1, ..., xr)) = m(x×λx(N ∩π2(α−1(Ar))) = 0 . 2
Afirmacao: Se f : U ⊂ IRn −→ IRm e de classe C1 e tem posto rem x ∈ U , entao existe uma vizinhanca aberta de x tal que, posto(f(y)) ≥ rpara todo y na vizinhanca de x.Com efeito, se f tem posto r em x, entao existe um determinante menorr × r da matriz jacobiana Jf(x) que e nao nulo. Por continuidade, estedeterminante menor e nao nulo em todos os pontos de uma vizinhanca dex, de modo que o posto(f(y)) ≥ r para todos os pontos dessa vizinhanca,provando a afirmacao .
Podemos encontrar uma vizinhanca compacta Vz◦ ⊂ Vz◦ de forma que sey ∈ Vz◦ ⇒ posto(f(y)) ≥ r.
Vz◦ ∩ Ar e compacto. De fato, se y ∈ (Vz◦ ∩ Ar)c ⇒ posto(f(y)) =
k > r, logo existe uma bola B(y, ε) ⊂ Vz◦ tal que, o posto(f(x)) ≥ k∀ x ∈ B(y, ε) ⇒ B(y, ε) ⊂ (Vz◦∩Ar)
c. Logo (Vz◦∩Ar)c e aberto ⇒ Vz◦∩Ar
e fechado e portanto compacto, logo f(Vz◦ ∩ Ar) e compacto. Podemosentao aplicar o lema 2.3, de onde obtemos o resultado desejado, ou seja,f(Vz◦ ∩Ar) tem medida nula.
Observacao 2.1 A condicao k − 1 ≥ max{0, n − m}(⇒ k ≤ n−rm−r ), onde
0 < r < min{m,n} e necessaria. Um contra-exemplo para o caso que naovale a desigualdade e dado por [9].
As provas dos lemas 2.2 e 2.3 se baseiam nos seguintes resultados.
Lema 2.4 Seja A um subconjunto de IRn e k ∈ N. Entao existe umasequencia de conjuntos Ai, i ≥ 0, tais que A0 e enumeravel,
A =⋃
i
Ai e para i ≥ 1, existem aplicacoes ϕi : Bmiεi
−→ IRn, onde
Bmiεi
= {x ∈ IRmi
i ; ‖x‖ < εi}, mi ≤ n, satisfazendo:(i) ϕi e um C1 homeomorfismo de Bmi
εisobre sua imagem em IRn com
Ai ⊂ ϕi(Bmiεi
), e ‖ϕi(x) − ϕi(y)‖ ≥ ‖x− y‖, ∀ x, y ∈ Bmiεi
;(ii)Para qualquer funcao f : IRn −→ IR de classe Ck, k ≥ 1, que anula-sesobre A, existem funcoes monotonas bi : IR −→ IR com lim
ε→0bi(ε) = 0, tais
que, |f(ϕi(x)) − f(ϕi(y))| < bi(‖x − y‖)‖x − y‖k, ∀ x, y ∈ Bmiεi
, tal queϕi(y) ∈ Ai.
2Nos poderıamos aplicar neste ponto o teorema de Fubini para obter o resultado dese-jado
20
Demonstracao:
Suponhamos primeiramente k=0 e n arbitrario;Defina Ai = A∩Ki, onde os Ki sao bolas fechadas que constituem uma baseenumeravel para IRn.Defina ϕi : Bεi
(0) −→ Ki como uma translacao da bola centrada emzero para a bola Ki, desta forma ϕi e um homeomorfismo C∞, tal que,Ai ⊂ ϕi(Bεi
(0)) e ‖ϕi(x) − ϕi(y)‖ = ‖x− y‖, satisfazendo (i).Suponha f ∈ Ck anulando-se sobre A. Temos que f e uniformemente contınuasobre ϕi(Bεi
(0)), pois ϕi(Bεi(0)) e compacto e f e de classe Ck, portanto
existe M > 0 tal que |f(ϕi(x))− f(ϕi(y))| < M‖x− y‖ ∀ x, y ∈ ϕi(Bεi(0)).
Defina bi(r) = Mr, desta forma |f(ϕi(x) − f(ϕi(y)| < bi(‖x− y‖)‖x− y‖k,onde k=0.
Consideremos agora o caso n = 1 e k > 0 arbitrario.Defina A0 como o conjunto dos pontos discretos de A. Tome ϕi para ser atranslacao I i
0ϕi−→ Ki, onde I i
0 e um intervalo fechado centrado em zero eraio εi e os Ki intervalos fechados que formam uma base enumeravel de IR.Defina Ai = (A \ A0) ∩ Ki. Desta forma ϕi e um C∞-homeomorfismo talque Ai ⊂ ϕi(I
i0) e tambem |ϕi(x) − ϕi(y)| = |x− y| sastifazendo (i).
Suponha f : IR −→ IR de classe Ck tal que f |A = 0 ; para i ≥ 1temos que se x ∈ Ai entao existe uma sequencia {xn} em Ai tal que
xn −→ x e f(xn) = 0 ∀ n, assim f ′(x) = limn→∞
f(xn) − f(x)
xn − x= 0 ja que
f(xn) = f(x) = 0, portanto f ′(x) = f ′′(x) = · · · = f (k)(x) = 0.Pelo teorema da formula integral de Taylor de ordem k − 1 temos que,para x, y ∈ Ki tal que x ∈ Ai,
f(y) = f(x)+ f ′(x)(y−x)+ · · · + f (k−1)(x)(y−x)k−1
(k−1)! +[ ∫ 1
0
(1 − t)k
k!f (k)(x+
t(y−x))dt](y−x)k =
[ ∫ 1
0
(1 − t)k
k!(f (k)(x+t(y−x))−f (k)(x))dt
](y−x)k ≤
[ ∫ 1
0
(1 − t)k
k!(M |x− y|)dt
](y − x)k 3.
⇒ |f(y)| <[ ∫ 1
0
(1 − t)k
k!(M |x − y|)dt
](y − x)k <
[ ∫ 1
0(1 − t)k(M |x −
y|)dt](y − x)k.
Defina bi(r) =
∫ 1
0(1− t)kMrdt, note que bi(r) −→ 0 se r → 0, desta forma
temos que |f(y)| < bi(|y−x|)|y−x|k, satisfazendo (ii) e provando assim estecaso.
3a desigualdade e devido a continuidade de fk no compacto Ki, existindo assim M > 0,tal que, ‖fk(z) − fk(y)‖ ≤ M‖z − y‖ para todo z, y ∈ Ki
21
O restante da prova sera feito por inducao sobre n+ k, n > 1, k > 0.
Seja A ⊂ IRn
Defina A1 = {x ∈ A;n∑
j=1
( ∂f∂xj
)2(x) = 0, ∀ f : IRn −→ IR ∈ Ck,
f |A≡ 0} e A2 = A \ A1. Primeiro mostraremos que o lema vale parao conjunto A1.Por hipotese de inducao para n + (k − 1), existe uma decomposicao de
A1 =∞⋃
r=0
A1r e aplicacoes ϕ1
r : Bmrε −→ IRn tal que A1
r ⊂ ϕ1r(B
mrε ) valendo
que ‖ϕ1r(x) − ϕ1
r(y)‖ ≥ ‖x− y‖, ∀ x, y ∈ Bmrε , e
(∗) ‖g(ϕ1r(x))‖ ≤ b1r(‖x−y‖)‖x−y‖k−1, ∀ g ∈ Ck−1 que anula-se sobre A1.
Em particular (∗) vale para g = ∂f∂xi
Afirmacao: A1r e ϕ
1r satisfazem (ii) para n+ k.
A prova desta afirmacao segue diretamente do lema abaixo.
Lema 2.5 Seja ϕ : Bm −→ IRn uma aplicacao de classe C1 ( ondeBm ⊂ IRm, m ≤ n, e uma bola fechada), satisfazendo:‖ϕ(x) − ϕ(y)‖ ≥ ‖x − y‖, ∀ x, y ∈ Bm. Se f : IRn −→ IR e de classeCq , q ≥ 1, e | ∂f
∂xj(ϕ(x))| ≤ b(‖x−y‖)‖x−y‖k−1, x 6= y, com b monotona e
limε→0
b(ε) = 0, j = 1, · · · , n, entao |f(ϕ(x))−f(ϕ(y))| < Kb(‖x−y‖)‖x−y‖k,
onde K depende apenas de ϕ.
Dem: Defina F (t) = f(ϕ(y + (x − y)t)). Desta forma temos queF (0) = f(ϕ(y)) e F (1) = f(ϕ(x)). Aplicando o teorema do valor medioa F no intervalo [0,1] obtemos t ∈ (0, 1) tal que F ′(t) = F (1) − F (0) =f(ϕ(y))−f(ϕ(x)). Derivando F obtemos, F ′(t) = f ′(ϕ(y+(x−y)t)).ϕ′(y+(x− y)t)(x− y). Ponha K1 = maxt∈[0,1]{‖ϕ′(y + (x− y)t)‖}.
|F ′(t)| < K1‖x−y‖‖f ′(ϕ(y+(x−y)t))‖ ≤ K1‖x−y‖n∑
j=1
| ∂f∂xj
(ϕ(y+(x−y)t))|
⇒ |F ′(t)| < K1nb(‖x− y‖)‖x− y‖k
⇒ |f(ϕ(x)) − f(ϕ(y))| < Kb(‖x− y‖)‖x− y‖k,onde K = K1n depende somente de ϕ.
Desta forma esta provado o lema 2.4 para o conjunto A1.
22
Consideremos agora o conjunto A2.Tome z ∈ A2. Existe alguma funcao g de classe Ck que anula-se so-bre A, tal que ∂g
∂xj(z) 6= 0 para algum 1 ≤ j ≤ n, Suponha j = n.
Pelo teorema da funcao implıcita, podemos encontrar uma vizinhanca dez, Vz, e uma funcao ϕn : Bn−1 −→ J , onde J ⊂ IR e um intervaloaberto e Bn−1 ⊂ IRn−1 e uma bola aberta, tal que (Bn−1, ϕn(Bn−1)) =Vz e g(x1, ..., xn−1, ϕ
n(x1, ..., xn−1)) = 0, ∀ (x1, ..., xn−1) ∈ Bn−1.Defina ϕ : Bn−1 −→ IRn por ϕ = (ϕ1, ..., ϕn) ondeϕi(x1, ..., xn−1) = xi, i = 1, ..., n − 1, e ϕn(x1, ..., xn−1) =ϕn(x1, ..., xn−1). Desta forma ϕ ∈ Ck e ‖ϕ(x) − ϕ(y)‖ =‖(x1 − y1, ..., xn−1 − yn−1, ϕ
n(x1, ..., xn−1) − ϕn(y1, ..., yn−1)‖ ≥‖(x1 − y1, ..., xn−1 − yn−1)‖ com Vz ∩A ⊂ ϕ(Bn−1).Aplicando a hipotese de inducao para o conjunto ϕ−1(Vz∩A), temos que ex-iste uma colecao enumeravel de conjuntos {Dr}∞r=0, tal que D0 e enumeravel
e ϕ−1(Vz ∩A) ⊂⋃
r
Dr, e aplicacoes ψr : Bmrεr
−→ IRn−1 de classe Ck satis-
fazendo (i) e tambem (ii), onde |h(ψr(x))−h(ψr(y))| < br(‖x−y‖‖x−y‖k seψr(y) ∈ ϕ−1(Vz∩A) e h : IRn−1 −→ IR uma funcao de classe Ck que anula-se sobre ϕ−1(Vz ∩A).Se f e de classe Ck e anula-se sobre A, entao podemos escrever h = f ◦ ϕ,que anula-se sobre ϕ−1(Vz ∩ A), e definimos ϕr = ϕ ◦ ψr. Desta formaobtemos uma decomposicao {ϕ(Dr)}∞r=0 de Vz ∩ A que satisfaz (i) e(ii). Com efeito, as aplicacoes ϕr : Bmr
εr−→ IRn sao C1-homeomorfismos
sobre sua imagem com ϕ(Dr) ⊂ ϕr(Bmrεr
) e ‖ϕr(x) − ϕr(y)‖ =‖ϕ(ψr(x)) − ϕ(ψr(y))‖ ≥ ‖ψr(x) − ψr(y)‖ ≥ ‖x − y‖ e tambem|fϕr(x) − fϕr(y)| = |fϕψr(x) − fϕψr(y)| = |hψr(x) − hψr(y)| <br(‖x− y‖)‖x− y‖k, ∀ x, y ∈ Bmr
εrcom ϕψr(y) ∈ N ∩A.
Podemos cobrir A2 por vizinhancas Vz ∩A, z ∈ A2, da qual extraımos umasub-colecao enumeravel Vzi
∩ A tal que A2 ⊂ ⋃i(Vzi
∩ A). Deste modo,a uniao das decomposicoes dos conjuntos Vzi
∩ A juntamente com a de-composicao de A1(obtidas acima) formam uma decomposicao de A comodesejado, onde colocamos A◦ como a uniao dos conjuntos enumeraveis, eassim esta provado o lema.
Corolario 2.1 Seja A um subconjunto de IRn e q ∈ N. Entao A =∞⋃
i=0
Ai
onde A◦ e enumeravel e Ai, i ≥ 1, tem a seguinte propriedade:Seja f : U ⊂ IRn −→ IR de classe Cq onde A ⊂ U , tal que todo pontode A e um ponto crıtico de f. Entao existem funcoes bi : (−a, a) −→ IR(dependendo de f) tal que as bi sao monotonas com bi → 0 quando ε→ 0, e|f(x) − f(y)| < bi(‖x− y‖)‖x− y‖q ∀ x, y ∈ Ai.
Dem: Aplicamos primeiramente o lema 2.4 sobre a derivada de f e depoiso lema 2.5.
23
Prova do lema 2.2
Demonstracao: Usando o corolario 2.1 podemos decompor A, tal queA ⊂ ⋃
iAi. Nos queremos mostrar que f(Ai) tem medida nula ∀ i.Para i = 0 temos que Ai e enumeravel, portanto segue que f(A0) tem me-dida nula. Considere i ≥ 1.A funcao f = (f1, ..., fm) tem posto zero em x se, e so se, x e ponto crıtico defi ∀ i = 1, ...,m. Ainda pelo corolario 2.1, se x, y ∈ Ai, e ‖x−y‖ < ε entao|fi(x) − fi(y)| < b(ε)εq, onde b, que depende de f, e monotona. Portanto
‖f(x)− f(y)‖ =((f1(x)− f1(y))
2 + ...+(fm(x)− fm(y))2)1/2 ≤ √
m b(ε)εq.Dividimos C em pn cubos Ci de lado 1
p .
Se x, y ∈ Ai ∩Cj entao ‖x− y‖ <√
np , onde
√n
p e o diametro de Cj . Desta
forma, ‖f(x) − f(y)‖ ≤ √m b(
√n
p )(√
np
)q, portanto f(Ai ∩ Cj) esta con-
tido em uma bola de raio√m b(
√n
p )(√
np
)q. Assim o volume total de f(Ai) e
menor do que pn(√m b(
√n
p )(√
np
)q)mvm =
V (p)︷ ︸︸ ︷pn
(√m (
√n)q
)mvm (b(
√n
p))mp−qm,
onde vm e o volume total da bola unitaria em IRm. Portanto, se q ≥ nm
entao V (p) → 0 quando p→ ∞ e isto prova que f(Ai) tem medida nula. Consequentemente f(A) tem medida nula.
Prova do lema 2.3
Afirmacao: Para qualquer cobertura de [a, b] ⊂ IR por intervalos, pode-mos obter uma subcobertura cujo comprimento total dos intervalos e menorou igual a 2|b− a|.De fato; podemos escolher uma subcobertura minimal, ou seja, escolher in-
tervalos I1, ..., Is da cobertura tal que [a, b] ⊂s⋃
i=1
Ii mas
[a, b] 6⊂s⋃
i=1,i6=j
Ii. Coloque Ii = Ii∩[a, b]. Podemos renumerar essa subcober-
tura da seguinte forma, (ai, bi), (ai+1, bi+1), onde ai < ai+1 ≤ bi < bi+1,
note que
s⋃
i=1
|Ii| = |b−a|+s−1∑
i=1
|Ii∩ Ii+1| e
s−1⋃
i=1
(Ii∩ Ii+1) ⊂ [a, b], portanto
s⋃
i=1
|Ii| ≤ 2|b− a|, e a afirmacao esta provada.
24
Agora suponha B ⊂ IRn−1 × [a, b] compacto e a medida de B ∩ Pxn sejanula em Pxn , onde Pxn e o plano xn = xn. Dado ε > 0, podemos encontrarconjuntos abertos Ri
xnque cobrem B ∩ Pxn e m(
⋃Ri
xn) < ε, onde m e a
medida de Lebesgue . Pela compacidade de B, existe α > 0 suficientementepequeno tal que os conjuntos Ri
xn× Ixn
α cobrem B ∩ (⋃
z∈IxnαP (z)), onde
Ixnα e um intervalo de comprimento α centrado em xn e P (z) sao planos
definidos por xn = z. (Veja na figura 2.3)
Figura 2.3: B ∩ P (z), z ∈ Ixnα
De fato, B e compacto logo B ∩ Pxn e compacto e B ∩ Pxn ⊂ R =⋃
i
Rixn
onde R e aberto, logo existe c > 0 tal que d(x, y) ≥ c ∀ x ∈ B ∩ Pxn ey ∈ Pxn \R (onde d denota a funcao distancia ). Ver em [5].
D = Pxn \R e fechado. Defina D′ = D × Ixnc e D = D′ ∩B, desta forma
D e compacto e portanto existe α > 0 tal que d(Pxn , D) = 2α > 0, ja queD ∩ Pxn = ∅, logo B ∩ (
⋃z∈Ixn
αP (z)) ⊂ ⋃
i(Rixn
× Ixnα ).
Os intervalos Ixnα cobrem [a, b], logo existe uma subcobertura finita {Ij}s
j=1
com⋃s
j=1 |Ij | ≤ 2|b− a|. Suponha que Rij denota Ri
xnse Ij = Ixn
α , entao
os Rij × Ij formam uma cobertura de B cujo volume total ≤ ε2|b− a|, daı
segue que m(B) = 0.
Para o caso geral suponha que m(B ∩ P (x1, ..., xr)) = 0 em P (x1, ..., xr),onde 1 ≤ r < n. Coloque B1 = B ∩ P (x1, ..., xr−1).B ∩P (x1, ..., xr) = B1 ∩P (xr), logo m(B1 ∩P (xr)) = 0 e pelo caso anteriorm(B1) = 0. Defina B2 = B ∩ P (x1, ..., xr−2).B2 ∩ P (xr−1) = B ∩ P (x1, ..., xr−2) ∩ P (xr−1) = B ∩ P (x1, ..., xr−1) =B1 ⇒ m(B2 ∩ P (xr−1)) = 0 ⇒ m(B2) = 0.Prosseguindo dessa forma obtemos que m(Br ∩ P (x1)) = 0 em P (x1)⇒ m(B) = 0 em IRn.
25
26
Capıtulo 3
O Teorema de Morse-Sard
envolvendo medidas de
Hausdorff
3.1 Apresentacao
O objetivo deste capıtulo e provar uma versao geral do teorema de Morse-Sard usando medidas de Hausdorff.
Definicao 3.1 Seja k ≥ 1 inteiro e α ∈ [0, 1]. Dizemos queF : U ⊂ IRn −→ IRm e de classe Ck+(α) em um subconjuntoA ⊂ U se F e Ck em U e para cada x ∈ A existe εx > 0 e Kx > 0,tal que se ‖x − y‖ < εx ⇒ |DkF (y) − DkF (x)| ≤ Kx‖x − y‖α (Isso emenos restritivo do que supor F ∈ Ck+α, isto e, F ∈ Ck e DkF e α-Holder-contınua ).
O resultado central deste trabalho segue abaixo.
Teorema 3.1 Seja F : U ⊂ IRn −→ IRm uma funcao de classe Ck, k ≥ 1,e seja p < m um inteiro. Se B = {x ∈ U ; posto(F (x)) ≤ p} e F e de classeCk+(α) em B, onde α ∈ [0, 1], entao a (p + n−p
k+α)−medida de Hausdorff deF (B) e nula.
Observacao 3.1 Se k + α < n−pm−p ⇒ p + n−p
k+α < m, entao a (p + n−pk+α)-
medida de Haudorff nao e a medida de Lebesgue ou uma medida produto emIRm, e portanto nao podemos aplicar o teorema de Fubini. Esta dificuldadee resolvida substituindo a aplicacao do teorema de Fubini por uma cuidadosadecomposicao do conjunto dos pontos crıticos.
27
3.2 Resultados Preliminares
Para demonstrar o teorema principal (teorema 3.1), usaremos alguns resul-tados que demonstraremos nesta secao. O proximo teorema sera de grandeimportancia na demonstracao de resultados posteriores antes de atacarmoso Teorema 3.1 .
Teorema 3.2 Seja k ≥ 1, α ∈ [0, 1], n > p e A ⊂ U ⊂ IRn, onde U e umconjunto aberto. Entao existe uma colecao de conjuntos {Ai}∞i=0 contidosem A tal que A =
⋃∞i=0Ai, onde A0 e enumeravel e para cada i ≥ 1 temos
que;
(i) existem funcoes ψi : Bi×Vi −→ U de classe C1, onde Bi e uma bola emalgum espaco IRri , ri ≥ 0 e Vi e uma bola em IRp, tal que ψi(x, y) =(ψi(x, y), y), e ‖ψi(x1, y1) − ψi(x2, y2)‖ ≥ ‖(x1, y1) − (x2, y2)‖ paratodo (x1, y1), (x2, y2) ∈ Bi × Vi, e Ai ⊂ ψi(Bi × Vi) com a seguintepropriedade : Podemos escrever Ai = A′
i ∪A′′i , onde ψ−1
i (A′′i ) tem me-
dida nula em Bi × Vi, e
(ii) se f : U −→ IR anula-se em A e f e de classe Ck+(α) em A entaotemos que
• lim sup(x,y0)→(x0,y0)
|f(ψi(x, y0))|‖x− x0‖k+α
< +∞ para todo (x0, y0) ∈ Bi × Vi tal que
ψi(x0, y0) ∈ Ai
• lim(x,y0)→(x0,y0)
f(ψi(x, y0))
‖x− x0‖k+α= 0 para todo (x0, y0) ∈ Bi × Vi tal que
ψi(x0, y0) ∈ A′i.
Demonstracao:A prova sera feita por inducao sobre n e k.
Consideremos primeiramente o caso n = k = 1, onde A ⊂ U ⊂ IR(note que neste caso p = 0).Defina A0 = {x ∈ A; ∃ ε > 0 tal que (x− ε, x+ ε)∩A e enumeravel}. Sejam{Bi}i∈N as componentes conexas de U (caso sejam em numero finito entaoexiste um n0 tal que Bn0+r = ∅ para todo r ≥ 1).Defina Ai = (A \ A0) ∩ Bi e ψi = Id|Bi
, assim Ai ⊂ ψi(Bi). Coloque
Ai = A′i ∩A′′
i , onde A′i e o conjunto dos pontos de densidade de Ai, ou seja,
A′i = {x ∈ Ai; lim
ε→0
m1(Ai ∩ (x− ε, x+ ε))
2ε= 1} (onde m
1 denota a medida
1-dimensional de Lebesgue), e A′′i = Ai \A′
i.
28
Pelo teorema de densidade de Lebesgue (ver apendice A), temos que A′′i
tem medida de Lebesgue nula em Bi, logo ψ−1(A′′i ) tem medida nula, satis-
fazendo assim a condicao(i) do teorema 3.2.Se f : U −→ IR e de classe C1+(α) em A, com f |A≡ 0, entao f ′(x) = 0 paratodo x ∈ Ai, i ≥ 1. Com efeito, todo ponto de Ai e ponto de acumulacao,portanto se x ∈ Ai existe uma sequencia {xn} em Ai com xn → x tal
que limn→∞
f(xn) − f(x)
xn − x= 0.
Se x ∈ Ai e y ∈ Bi temos que f(y) = f(y) − f(x) = f ′(z)(y − x), ondea ultima desigualdade e devida ao teorema do valor medio, com z ∈ (x, y).Como f e de classe C1+(α) em A, por definicao existe εx > 0 e Kx > 0, talque, se |x− y| ≤ εx entao |f ′(y) − f ′(x)| ≤ Kx|y − x|α, desta forma
|f(y) − f(x)| = |f ′(z)||y − x| = |f ′(z) − f ′(x)||y − x| ≤ Kx|z − x|α|y − x| ≤Kx|y − x|1+α, pois |z − x| ≤ |y − x|.
⇒ lim supy→x
|f(y)||y − x|1+α
< +∞
Se x ∈ A′i tome y ∈ Bi tal que |y − x| < εx, logo se t ∈ (x, y) ⇒ |f ′(t)| ≤
Kx|t− x|α. Pelo Teorema Fundamental do Calculo temos que,
f(y) = f(y) − f(x) =
∫ y
xf ′(t)dt ≤
∫ y
xKx|y − x|αdt ≤ Kx|y − x|α
∫ y
xdt =
Kx|y − x|αm1({t ∈ (x, y); f ′(t) = 0}⋃{t ∈ (x, y); f ′(t) 6= 0}
).
Note que {t ∈ (x, y); f ′(t) = 0} ={{Ai ∩ (x, y)} ∪
({t ∈ (x, y); f ′(t) =
0} \ {Ai ∩ (x, y)})}
, portanto
limy→xm
1({t∈(x,y)})|y−x| =
limy→xm
1({t∈(x,y);f ′(t)6=0}∪
({t∈(x,y);f ′(t)=0}\{Ai∩(x,y)}
)∪{Ai∩(x,y)}
)
|y−x|
= 1 = limy→xm
1({t∈(x,y);f ′(t)6=0})|y−x| + limy→x
m1({t∈(x,y);f ′(t)=0}\{Ai∩(x,y)})
|y−x| +
limy→xm
1({Ai∩(x,y)})|y−x| ⇒ lim
y→x
m1({t ∈ (x, y); f ′(t) 6= 0})
|y − x| = 0,
pois limy→x
m1({Ai ∩ (x, y)})
|y − x| = 1 ja que x ∈ A′i
⇒ limy→x
|f(y)||y − x|1+α
= 0, isto prova a condicao (ii) do teorema.
Consideremos agora o caso k = 1, n arbitrario e df(x)v = 0 para todo
x ∈ A, v ∈ IRn−p × {0} , onde f : UC1
−→ IR cumpre que f |A ≡ 0.Coloque A2 = A \ A1, onde A1 e o conjunto dos pontos de densidade de A
29
na direcao de IRn−p × {0}, ou seja,
A1 ={(x, y) ∈ A; lim
ε→0
me(B(x, ε) × {y} ∩A
)
me(B(x, ε))
= 1},
onde e = n− p e me e a medida e−dimensional de Lebesgue e B(x, ε) e a
bola aberta de raio ε > 0 e centro x, em IRn−p. Pelo Teorema de Densidadede Lebesgue, A2∩P (y0) tem medida nula em cada plano IRn−p×{y0}, ondeP (y0) e o plano y = y0. Logo, pelo lema 2.3, A2 tem medida nula.Se (x0, y0) ∈ A e f e C1+(α) em A entao tomamos uma bolaB
((x0, y0), ε(x0,y0)
)
contida em U e definimos ψ = Id|B((x0,y0),ε(x0,y0)
). Pelo Teorema do Valor
Medio, existe t ∈ (0, 1) tal que,
f(x, y0) = f(x, y0) − f(x0, y0) = df((x0, y0) + t(x− x0, 0)
)(x− x0, 0), mas
df((x0, y0) + t(x− x0, 0)
)(x− x0, 0) = df
((x0, y0) + t(x− x0, 0)
)(x−
x0, 0) + df(x0, y0)(x− x0, 0) ⇒ |df((x0, y0) + t(x− x0, 0)
)| =
|df((x0, y0) + t(x− x0, 0)
)− df(x0, y0)| ≤ K(x0,y0)‖x− x0‖α
⇒ lim sup(x,y0)→(x0,y0)
|f(x, y0)|‖x− x0‖1+α
< +∞
Afirmacao 1: Se (x0, y0) ∈ A1 temos que
limε→0
me((B(x0, ε) × {y0}) ∩A
)
me(B(x0, ε))
= 1
⇒ limε→0
1
vol(Sn−p−1)
∫
Sn−p−1
(1
ε
∫ ε
0χA(x0 + tv, y0)dt
)dv = 1.
De fato; coloque n − p = s. A funcao σ : Ss−1 × (0, ε) −→ B(x0, ε) \ {0}definida por σ(t, v) = x0 + tv e um difeomorfismo e induz uma medidaµ sobre Ss−1 × (0, ε) atraves da medida de Lebesgue da seguinte forma:µ(E) = m
e(σ(E)), E ⊂ Ss−1 × (0, ε).Defina a medida ρ sobre (0, ε) por ρ(D) =
∫D t
s−1dt. Entao existeuma unica medida γ sobre Ss−1 tal que µ = ρ × γ (ver [3], pag
243). Desta forma temos que
∫
Ss−1
∫ ε
0ts−1χA(x0 + tv, y0)dtdv = ρ× γ(C),
onde C = {(t, v) ∈ Ss−1 × (0, ε); (x0 + tv, y0) ∈ B((x0, y0), ε) ∩ A},assim ρ × γ(C) = m
e(σ(C)) =ρ× γ(Ss−1 × (0, ε))
me(B(x0, ε))
me(σ(C)) =
εs
s
vol(Ss−1)
me(B(x0, ε))
me(σ(C))
⇒ 1
vol(Ss−1)
∫
Ss−1
∫ ε
0ts−1χA(x0 + tv, y0)dtdv =
εs
s
me(σ(C))
me(B(x0, ε))
⇒ 1
vol(Ss−1)
∫
Ss−1
εs−1
s
∫ ε
0χA(x0 + tv, y0)dtdv =
εs
s
me(σ(C))
me(B(x0, ε))
30
⇒ 1
vol(Ss−1)
∫
Ss−1
1
ε
∫ ε
0χA(x0 + tv, y0)dtdv =
me(σ(C))
me(B(x0, ε))
.
⇒ limε→0
1
vol(Ss−1)
∫
Ss−1
1
ε
∫ ε
0χA(x0 + tv, y0)dtdv = 1
Afirmacao 2: Para todo ε > 0 dado existe δ > 0 tal que,se ‖x − x0‖ < δ existe v ∈ Ss−1 com ‖v − x−x0
‖x−x0‖‖ < ε e
‖ 1‖x−x0‖
∫ ‖x−x0‖
0χA(x0 + tv, y0)dt− 1‖ < ε.
De fato, pela afirmacao 1 existe δ > 0 tal que, se ‖(x, y0)− (x0, y0)‖ < δ ⇒
‖ 1
vol(Ss−1)
∫
Ss−1
( 1
‖x− x0‖
∫ ‖x−x0‖
0χA(x0 + tv, y0)dt
)dv − 1‖ < ε
vol(Ss−1)
⇒ ‖ 1
vol(Ss−1)
∫
Ss−1
( 1
‖x− x0‖
∫ ‖x−x0‖
0(χA(x0+tv, y0)−1)dt
)dv‖ < ε
vol(Ss−1).
Coloque M ={u ∈ Ss−1; ‖u− x−x0
‖x−x0‖‖ < ε}, deste modo temos que,
‖ 1
vol(M)
∫
M
( 1
‖x− x0‖
∫ ‖x−x0‖
0(χA(x0 + tv, y0) − 1)dt
)dv‖ < ε
vol(M), e
pelo Teorema do Valor Medio para integrais (ver [4], pag 370), existe v0 ∈M
tal que
∫
M
( 1
‖x− x0‖
∫ ‖x−x0‖
0(χA(x0 + tv, y0) − 1)dt
)dv =
1
‖x− x0‖
∫ ‖x−x0‖
0(χA(x0+tv0, y0)−1)dt, daı seguindo o resultado desejado.
Por outro lado, coloque z = v0‖x− x0‖+ x0. Note que ‖z− x0‖ = ‖x− x0‖‖f(x, y0), f(x0, y0) ≤ ‖f(x, y0)−f(z, y0)‖+‖f(z, y0)−f(x0, y0)‖ e pelo Teo-rema do Valor Medio existe w ∈ ((x, y0), (z, y0)) tal que f(x, y0)−f(z, y0) =df(w)(x− z, 0).Observe que ‖w − (x, y0)‖ ≤ ‖(x, y0) − (z, y0)‖ (Veja figura abaixo)
Figura 3.1:
31
Se ε < ε(x0,y0) ⇒ ‖w − (x0, y0)‖ < ε(x0,y0) ⇒ |df(w) − df(x0, y0)| ≤K(x0,y0)‖w − (x0, y0)‖α ≤ K(x0,y0)‖x− x0‖α
⇒ |f(x, y0) − f(z, y0)| ≤ K(x0,y0)‖x− x0‖α‖x− z‖ =
K(x0,y0)‖x− x0‖α∥∥∥x− v0‖x− x0‖ − x0
∥∥∥ =
K(x0,y0)‖x− x0‖α∥∥∥ x−x0‖x−x0‖‖x− x0‖ − v0‖x− x0‖
∥∥∥ =
K(x0,y0)‖x− x0‖α∥∥∥‖x− x0‖( x−x0
‖x−x0‖ − v0)∥∥∥ =
K(x0,y0)‖x− x0‖α‖x− x0‖‖ x−x0‖x−x0‖ − v0‖ ≤ K(x0,y0)‖x− x0‖1+αε.
Restringindo f ao segmento [(x0, y0), (z, y0)], temos pelo Teorema Funda-mental do Calculo que
f(z, y0) − f(x0, y0) =
∫ ‖z−x0‖
0df(x0 + tv, y0)vdt ≤
∫
C
∣∣(df(x0 + t(z − x0), 0) − df(x0, y0)
)v∣∣dt,
onde C = {t ∈ [0, ‖z − x0‖];∂f(x0 + tv, y0)
∂x6= 0}
⇒ |f(z, y0) − f(x0, y0)| ≤ K(x0,y0)‖x− x0‖αm
1(C) ≤ K(x0,y0)‖x− x0‖1+αε
pois m1([0, ‖z − x0‖]) = m
1(([0, ‖z − x0‖] \ C) ∪ C
)=
m1([0, ‖z − x0‖] \ C) + m
1(C) = ‖z − x0‖ ⇒ m1(C) =
‖z − x0‖ −∫
‖z−x0‖\Cdt ≤ ‖z − x0‖ −
∫ ‖z−x0‖
0χA(x0 + tv, y0)dt, pois
{t ∈ [0, ‖z−x0‖]; (x0+tv, y0) ∈ A} ⊂ ‖z−x0‖\C, pela afirmacao 2 segue que
m1(C) ≤
∣∣‖z − x0‖ −∫ ‖z−x0‖
0χA(x0 + tv, y0)dt
∣∣ < ε‖z − x0‖ = ε‖x− x0‖,portanto |f(x, y0) − f(x0, y0)| ≤ 2K(x0,y0)‖x− x0‖1+αε
⇒ lim(x,y0)→(x0,y0)
|f(x, y0)|‖x− x0‖1+α
= 0.
Para cada (x0, y0) ∈ A escolhemos uma bola aberta B((x0, y0), ε(x0,y0)
)
tal que B((x0, y0), ε(x0,y0)
)⊂ U , e desta colecao de bolas podemos extrair
uma sub-colecao enumeravel {B((xi, yi), ε(xi,yi)
)} que cobre o conjunto A.
Colocamos Ai = A∩B((xi, yi), ε(xi,yi)
)e ψi = Id|Bi
, desta forma obtemoso resultado desejado e terminamos a prova para este caso.
Consideremos o caso k ≥ 1, n arbitrario.
Coloque A = A1 ∪ A2, onde A1 = {w ∈ A; ∃ g : UCk
−→ IR, g|A ≡ 0,
32
∃v ∈ IRn−p×{0}, dg(w)v 6= 0}, e A2 = A\A1. Se (x0, y0) ∈ A1 entao existe
g : UCk
−→ IR tal que g|A ≡ 0 e ∃v ∈ IRn−p ×{0} tal que dg(x0, y0)v 6= 0,
e pelo Teorema da Funcao Implıcita existe ψn : B × VCk
−→ J , onde B euma bola aberta contida em IRn−p−1, V um aberto em IRp e J um in-tervalo aberto em IR, tal que g(x1, ..., xn−1, ψ
n(x1, ..., xn−1) = 0, para todo(x1, ..., xn−1) ∈ B × V .Defina ϕ : B × V → U por ϕi(x1, ..., xn−1) = xi, i = 1, ..., n − 1,e ϕn(x1, ..., xn−1) = ψn(x1, ..., xn−1). Deste modo ϕ e de classe Ck,‖ϕ( z1) − ϕ(z2)‖ ≥ ‖z1 − z2‖ e
((B × V × J) ∩ A1
)⊂ ϕ(B × V ). Por
hipotese de inducao, o resultado vale para k ≥ 1 e n − 1, para o conjuntoϕ−1(W ) ⊂ IRn−1, onde W = (B × V × J)∩A1. Existem, portanto, conjun-
tos D0, D1, ..., onde ϕ−1(W ) =∞⋃
r=0
Dr e funcoes ψr : Br × Vr −→ B × V ,
de classe C1, onde Br e uma bola aberta em algum IRsr , sr ≥ 0, e Vr euma bola aberta em IRp tal que ‖ψr(z1) − ψr(z2)‖ ≥ ‖z1 − z2‖, para todoz1, z2 ∈ Br × Vr, Dr ⊂ ψr(Br × Vr), onde Dr = D′
r ∪D′′r tal que ψ−1
r (D′′r )
tem medida nula em Br × Vr. Se h : B × V −→ IR e uma funcao de classe
Ck+(α) em W e h|W ≡ 0 entao lim sup(u,u0)→(u,u0)
h(ψr(u, u0))
‖u− u‖k+α< +∞ para todo
(u, u0) ∈ Br × Vr tal que ψr(u, u0) ∈ Dr e lim(u,u0)→(u,u0)
h(ψr(u, u0))
‖u− u‖k+α= 0
para todo (u, u0) ∈ Br × Vr tal que ψr(u, u0) ∈ D′r.
Defina ϕr = ϕ ◦ ψr e Wr = ϕ(Dr), assim obtemos uma decomposicaopara W e aplicacoes ϕr que satisfazem (i) e (ii). De fato, claramenteW ⊂ ⋃
r Wr, onde ϕr sao aplicacoes de classe Cr tal que Wr ⊂ ϕr(Br ×Vr)e ‖ϕr(z1)−ϕr(z2)‖ = ‖ϕψr(z1)−ϕψr(z2)‖ ≥ ‖ψr(z1)−ψr(z1)‖ ≥ ‖z1−z2‖,e mais, Wr = W ′
r ∪ W ′′r , onde ϕ−1
r (W ′′r ) tem medida nula em Br × Vr
pois ϕ−1r (ϕ(D′′
r ) = ψ−1r (ϕ−1(ϕ(D′′
r ))) = ψ−1r (D′′
r ) que tem medida nula emBr × Vr por hipotese de inducao.Se f : U −→ IR e de classe Ck+(α) em A e f|A ≡ 0, entao f ◦ ϕanula-se sobre ϕ−1(W ) e temos que lim sup
(u,u0)→(u,u0)
f(ϕr(u, u0))
‖u− u‖k+α=
lim sup(u,u0)→(u,u0)
f ◦ ϕ(ψr(u, u0))
‖u− u‖k+α< +∞ para todo (u, u0) ∈ Br × Vr tal que
ψr(u, uo) ∈Wr. Analogamente obtemos lim(u,u0)→(u,u0)
f(ϕr(u, u0))
‖u− u‖k+α= 0 para
todo (u, u0) ∈ Br × Vr tal que ϕr(u, u0) ∈W ′r.
Considere agora o conjunto A2.Se k = 1, o resultado ja foi provado, portanto consideremos k > 1.Se f : U −→ IR e Ck+(α) em A e f|A ≡ 0 entao df|
A2≡ 0. Assumimos
33
por inducao que o resultado vale para k − 1, n arbitrario. Suponha que{A2
i }∞i=0 seja uma decomposicao para o conjunto A2, tal que A2 =⋃
iA2i ,
onde A20 e enumeravel e para i ≥ 1 existem aplicacoes ψi : Bi × Vi
C1
−→ Utal que A2
i ⊂ ψi(Bi × Vi) e A2i = (A2
i )′ ∪ (A2
i )′′ onde ψ−1
i
((A2
i )′′) tem
medida nula. Temos tambem que lim sup(x,y0)→(x0,y0)
df(ψi(x, y0))
‖x− x0‖k−1+α< +∞ para
todo (x0, y0) ∈ Bi × Vi tal que ψi(x0, y0) ∈ A2i
⇒ |df(ψi(x, y0))| < K(x0,y0)‖x− x0‖K−1+α
Aplicando o Teorema do Valor Medio e usando o fato que ψi e local-mente lipschitziana, obtemos
|f(ψi(x, y0)−f(ψi(x0, y0)| ≤ K(x0,y0)‖x−x0‖K−1+α‖ψi(x, y0)−ψi(x0, y0)‖ ≤
MK(x0,y0)‖x − x0‖K−1+α‖x − x0‖ ⇒ lim sup(x,y0)→(x0,y0)
f(ψi(x, y0))
‖x− x0‖k+α< +∞,
onde M e a constante de lipschitz.
Analogamente, por hipotese temos que lim(x,y0)→(x0,y0)
|df(ψi(x, y0))|‖x− x0‖k−1+α
= 0
para todo (x0, y0) ∈ Bi × Vi tal que ψi(x) ∈ (A2i )
′.
Dado ε > 0 existe δ > 0 tal que, ‖(x, y0) − (x0, y0)‖ < δ ⇒
|df(ψi(x, y0)−df(ψi(x0, y0)| ≤ ε‖(x, y0)−(x0, y0)‖k−1+α‖ψi(x, y0−psii(x0, y0‖
< εM‖x − x0‖k−1+α. Novamente aplicando o Teorema do Valor Medio
obtemos, |f(ψi(x, y0)−f(ψi(x0, y0)| ≤ ε‖x−x0‖k−1+α‖ψi(x, y0)−ψi(x0, y0)‖ ≤
εM‖x− x0‖k+α ⇒ lim(x,y0)→(x0,y0)
|f(ψi(x, y0))|‖x− x0‖k+α
= 0.
Corolario 3.1 Seja k ≥ 1, α ∈ [0, 1], n > p e A ⊂ U ⊂ IRn, onde U e umconjunto aberto. Entao existe uma colecao de conjuntos {Ai}∞i=0 contidosem A tal que A =
⋃∞i=0Ai, onde A0 e enumeravel e para cada i ≥ 1 temos
que;
(i) existem funcoes ψi : Bi × Vi −→ U de classe C1, onde Bi e umabola em algum espaco IRri , ri ≥ 0 e Vi e uma bola em IRp, tal queψi(x, y) = (ψi(x, y), y), e ‖ψi(x1, y1) − ψi(x2, y2)‖ ≥‖(x1, y1) − (x2, y2)‖ para todo (x1, y1), (x2, y2) ∈ Bi × Vi, eAi ⊂ ψi(Bi × Vi) com a seguinte propriedade : Podemos escrever
34
Ai = A′i ∪A′′
i , onde ψ−1i (A′′
i ) tem medida nula em Bi × Vi, e
(ii) se f : U −→ IR e de classe Ck+(α) em A e Dxf = 0 em A, entaotemos que
• lim sup(x,y0)→(x0,y0)
|f(ψi(x, y0)) − f(ψi(x0, y0))|‖x− x0‖k+α
< +∞ para todo
(x0, y0) ∈ Bi × Vi tal que ψi(x0, y0) ∈ Ai
• lim(x,y0)→(x0,y0)
|f(ψi(x, y0)) − f(ψi(x0, y0))|‖x− x0‖k+α
= 0 para todo
(x0, y0) ∈ Bi × Vi tal que ψi(x0, y0) ∈ A′i.
Demonstracao: Se k = 1, entao estamos exatamente no caso k = 1 nademonstracao do teorema 3.2, logo a prova e a mesma. Se k ≥ 2, entaoa prova segue do teorema 3.2 aplicado a Dxf e da desigualdade do valormedio.
Corolario 3.2 Nas hipoteses do corolario 3.1, para qualquer z ∈ Bi × Vi
tal que ψi(z) ∈ Ai, existem εz > 0 e Kz > 0 tal que ‖w − z‖ <εz ⇒ |f(ψi(w)) − f(ψi(z))| ≤ Kz‖w − z‖k+α, e para qualquer ε > 0 dado,
existe um δ > 0 tal quem
(ri+p)(ψ−1i (Ai) ∩B(z, r))
m(ri+p)(B(z, r))
> 1 − δ ⇒
|f(ψi(w)) − f(ψi(z))| ≤ εKzrk+α, se r ≤ εz e ‖w − z‖ ≤ r. (Aqui δ
depende somente de ε e n)
Demonstracao: A primeira parte segue diretamente docorolario 3.1. A segunda parte tambem, basta notar que sem
(ri+p)(ψ−1i (Ai) ∩B(z, r))
m(ri+p)(B(z, r))
> 1 − δ para todo δ > 0 entao z e ponto de
densidade de ψ−1i (Ai), e entao o resultado segue novamente do corolario 3.1.
Observacao 3.2 Se k = 0 entao nos ainda temos os mesmos resultados
do teorema 3.2, exceto que limw→z
f(ψi(w))
‖w − z‖k+α= 0 para cada z ∈ Bi × Vi tal
que ψi(z) ∈ A′i
3.3 O resultado principal
Os seguintes resultados serao necessarios na demonstracao do teorema prin-cipal deste trabalho.
35
Lema 3.1 Seja A ⊂ IRm com mm(A) < ∞, onde m
m denota a medidade Lebesgue m-dimensional, e seja Γ uma familia de bolas abertas B(x, r),x ∈ A e r > 0, tal que para cada x ∈ A existe um εx > 0 tal quer ≤ εx ⇒ B(x, r) ∈ Γ. Entao para cada ε > 0 existem sequencias {xn} e {rn},onde xn ∈ A e rn > 0 com B(xn, rn) ∈ Γ e A ⊂ ⋃∞
n=1B(xn, rn), tal que∞∑
n=1
mm(B(xn, rn)) < m
m(A) + ε.
Demonstracao: Seja ε > 0 dado.Tome um aberto U contendo A tal que m
m(U) < mm(A)+ ε
2 . Escolhemos asbolas abertas e disjuntas B(x1, r1), ..., B(xn, rn) em U , onde xi ∈ A e ri > 0.Defina sn = sup{r > 0; ∃ x ∈ A tal que r < εx
5 , B(x, r) ⊂ U eB(x, r) ∩ (B(x1, r1) ∪ ... ∪B(xn, rn)) = ∅}.Escolha B(xn+1, rn+1) tal que xn+1 ∈ A e sn
2 < rn+1 <εxn+1
5 ,B(xn+1, rn+1) ⊂ U e B(xn+1, rn+1) ∩ (B(x1, r1) ∪ ... ∪ B(xn, rn) = ∅.Da mesma forma escolhemos B(xn+2, rn+2) e assim por diante.Ja que as B(xi, ri) sao disjuntas e estao contidas em U , temos que∞∑
i=1
mm(B(xi, ri)) < m
m(A) +ε
2, portanto existe um n0 ∈ N tal que
∞∑
i=n0
mm(B(xi, 5ri)) <
ε
2(∗).
Coloque B(xi, ri) = B(xi, ri) se i < n0 e B(xi, ri) = B(xi, 5ri) se i ≥ n0.
Por (∗) temos que∞∑
i=1
mm(B(xi, ri)) < m
m(A) + ε.
Queremos mostrar agora que A ⊂ ⋃∞i=1B(xi, ri), para isto primeiro
mostraremos que A ⊂ ⋃∞i=1B(xi, ri). Tome x ∈ A e coloque
r = min{rn0 ,εx
5 , d(x, Uc ∪ (∪i<n0B(xi, ri)))} (aqui, d denota a funcao
distancia).Se r = 0 entao d(x, U c ∪ (∪i<n0B(xi, ri))) = 0 ja que rn0 > 0, εx > 0 etemos tambem que d(x, U c) > 0 ja que U e aberto, logo x ∈ B(xi, ri) paraalgum i < n0.Se r > 0, escolha o menor inteiro positivo k tal que sk < r, este k existeja que sn → 0 quando n → ∞, e escolha o menor inteiro positivo l tal quer ≤ sl, tambem existe tal l ja que r ≤ rn0 ≤ sn0−1.Se sk < r ⇒ B(x, r) ∩ (B(x1, r1), ..., B(xk, rk)) 6= ∅, e portanto existe j ≤ ktal que B(x, r)∩B(xj , rj) 6= ∅. Note que devemos ter k ≥ n0, pois r ≤ sn0−1
e tambem temos que l ≤ k−1, e se l < k−1 entao sl = ... = sk−1, desta formaconcluımos que rj >
sk−1
2 ≥ r2 , pois j ≤ k ⇒ r < 2rj ⇒ x ∈ B(xj , 5rj) =
B(xj , rj). Isto prova que A ⊂ ⋃∞n=1B(xn, rn).
Coloque rn =( m
m(A) + ε∑∞i=1 m
m(B(xi, ri))
) 12m rn, assim temos queA ⊂ ⋃∞
n=1B(xn, rn)
36
e∑∞
n=1 mm(B(xn, rn)) =
∑∞i=1C
( mm(A) + ε
mm(B(xn, rn))
) 12 rm
n , onde C e a
constante de volume da bola em IRm, isto implica que,∑∞
n=1 mm(B(xn, rn)) = (mm(A) + ε)
12∑∞
n=1
( Crmn
(mm(B(xn, rn)))12
)=
(mm(A) + ε)12
∞∑
n=1
mm(B(xn, rn))
(mm(B(xn, rn))12
=
(mm(A) + ε)12
( ∑∞n=1 m
m(B(xn, rn)) 1
2 < mm(A) + ε.
Observacao 3.3 No lema 3.1, nos podemos trocar a familia de bolas B(x, r)por uma familia de cubos C(x, r) =
∏mi=1[xi−r, xi+r], onde x = (x1, ..., xm),
usando a mesma prova.
Lema 3.2 Seja F : U −→ IRm uma funcao definida no aberto U ⊂ IRn, A ⊂U e d > 0 tal que para qualquer x ∈ A existem εx > 0, Kx > 0 tal queHd(F (B(x, ε) ∩ A)) ≤ Kxm
n(B(x, ε)) ∀ ε < εx, onde B(x, ε) e uma bolaaberta centrada em x e Hd e a medida de Hausdorff de dimensao d, e existe
A′ ⊂ A tal que mn(A \ A′) = 0 e lim
ε→0
Hd(F (B(x, ε) ∩A))
mn(B(x, ε))
= 0 ∀ x ∈ A′i.
Entao Hd(F (A)) = 0.
Demonstracao: Podemos supor que A tem medida de Lebesgue finita, poisA pode ser escrito como uma uniao enumeravel de conjuntos com medidade Lebesgue finita . Nos podemos tambem decompor A da seguinte forma:A =
⋃∞k=1Ak onde Ak = {x ∈ A; Kx ≤ k}, e assim podemos supor que
Kx ≤ K ∀ x ∈ A. A justificativa aqui e a mesma dada no caso onde afir-mamos que podemos supor que A tem medida de Lebesgue finita. Seja C amedida de Lebesgue de A.Dado ε > 0, para cada x ∈ A′ tome δx > 0 tal que B(x, δx) ⊂ U e ser < δx
⇒ Hd(F (B(x, r) ∩A))
mn(B(x, r))
≤ ε
2(C − 1). Pelo lema 3.1, nos podemos cobrir A′
com uma colecao de bolas
B(xn, rn), onde xn ∈ A′, e∑∞
n=1 mn(B(xn, rn) < C + 1 e rn < δxn ∀n
⇒ ∑∞n=1H
d(F (B(xn, rn) ∩A)) ≤ ε2(C+1)
∑∞n=1 m
n(B(xn, rn))
⇒ ∑∞n=1H
d(F (B(xn, rn) ∩A)) ≤ ε2(C+1)(C + 1) = ε
2
⇒ Hd(F (A′)) ≤ Hd(F (⋃∞
n=1B(xn, rn) ∩A)) ≤
Hd(⋃∞
n=1(F (B(xn, rn) ∩A))) ≤ ∑∞n=1H
d(F (B(xn, rn) ∩A)) ≤ ε2 .
Novamente pelo lema 3.1, nos podemos cobrir A \ A′ com uma colecao
37
enumeravel de bolas B(xn, rn), onde xn ∈ A \ A′ tal que B(xn, rn) ⊂ U ,
rn < εxn ∀ n ∈ N e∑∞
n=1 mn(B(xn, rn) <
ε
2K, ja que m
n(A \A′) = 0
⇒ ∑∞n=1H
d(F (B(xn, rn)) ∩A) ≤ K∑∞
n=1 mn(B(xn, rn) ∩A) = ε
2
⇒ Hd(F (A \ A′)) ≤ ε2 ⇒ Hd(F (A)) < ε. Ja que ε e arbitrario, nos temos
que Hd(F (A)) = 0.
Observacao 3.4 O mesmo resultado do lema 3.2 ainda vale se trocarmosas bolas B(x, ε) pelos cubos C(x, ε).
Observacao 3.5 No lema 3.2, nos podemos mudar a condicao“Hd(F (B(x, ε) ∩ A)) ≤ kxm
n(B(x, ε)), ∀ ε ≤ εx” por “F (B(x, ε) ∩ A))
pode ser coberto por bolas abertas B(yi, δ(ε)i ), i ∈ N, yi ∈ F (B(x, ε) ∩ A)
com∑∞
i=1(δ(ε)i )d ≤ kxm
n(B(x, ε)), ∀ ε ≤ εx”, e a condicao
“limε→0
Hd(F (B(x, ε) ∩A)
mn(B(x, ε))
= 0, ∀ x ∈ A′” por “F (B(x, ε) ∩ A) pode ser
coberto por bolas B(yi, δ(ε)i ), i ∈ N, com lim
ε→0
∑∞i=1(δ
(ε)i )d
mn(B(x, ε))
= 0, ∀ x ∈ A′”, e
a prova permanece essencialmente a mesma.
Dem: Seja ε > 0 dado. Lancando mao das observacoes iniciais da demon-stracao do lema 3.2, seja C = m
n(A). Para cada x ∈ A′ tome ηx > 0 tal que
B(x, ηx) ⊂ U , e se r < ηx ⇒∑∞
i=1(δ(r)i )d
mn(B(x, r))
<ε
2(C + 1).
Pelo lema 3.1 existem bolas abertas B(xn, rn), onde xn ∈ A′, tal queA′ ⊂ ⋃
nB(xn, rn) e∑
n mn(B(xn, rn)) < C + 1 e
rn < ηxn⇒
∑
n
( ∑
i
(δ(ε)i )d
)≤ ε
2(C + 1)
∑
n
mn(B(xn, rn)) ≤ ε
2⇒
∑
n
( ∑
i
(δ(ε)i )d
)≤ ε
2. Novamente pelo lema 3.1 , existem bolas B(xn, rn),
xn ∈ A\A′, tal que A\A′ ⊂ ⋃nB(xn, rn), com
∑n m
n(B(xn, rn)) ≤ ε2K , e
B(xn, rn) ⊂ U para rn < ε ∀ n ⇒∑
i
(δ(rn)i )d < Km
n(B(xn, rn)) ⇒∑
n
( ∑
i
(δ(rn)i )d
)< K
∑
n
mn(B(xn, rn)) ≤ ε
2⇒
∑
n
( ∑
i
(δ(rn)i )d
)<
ε
2.
Coloque⋃
mB(xm, rm) =( ⋃
nB(xn, rn)) ⋃ ( ⋃
nB(xn, rn)). Temos que
F (A) = F (∪mB(xm, rm) ∩ A) ⊂ ⋃n
((∪iB(yi, δ
rn
i )) ∪ (∪jB(yj , δrn
j ))).
Coloque ∪iδni = (∪j δ
(rn)j ) ∪ (∪kδ
(rn)k ). Tomando a medida de Hausdorff
obtemos Hd(F (A)) ≤ Hd( ⋃
n
[(∪iB(yi, δ
rn
i )) ∪ (∪jB(yj , δrn
j ))])
≤
38
∑
n
∑
i
(δni )d ≤ ε
2+ε
2= ε, e como ε e arbitrario segue que Hd(F (A)) = 0.
Observacao 3.6 Se mudarmos as condicoes do lema 3.2 por“F (B(x, ε) ∩ A)) pode ser coberto por bolas B(yi, δi), ondeyi ∈ F (B(x, ε) ∩ A) e i ∈ N, com
∑∞i=1 δ
di ≤ kmn(B(x, ε)), ∀ ε ≤ εx
(onde k nao depende de x), e mn(A) < ∞”, entao nos podemos concluir,
usando a mesma prova, que Hd(F (A)) ≤ kmn(A).
Teorema 3.3 Seja F : X ⊂ IRn −→ IRn uma funcao e sejaA = {x ∈ X; DF (x) existe e nao e sobrejetiva}. Entao m
n(F (A)) = 0.
Demonstracao: Seja ε > 0 dado. Podemos supor que mn(A) = C < ∞,
pois podemos escrever A =⋃Ak, onde m
n(Ak) < ∞ ∀ k, e a uniao enu-meravel de conjuntos de medida nula tem medida nula. Tome x ∈ A, pordefinicao do conjunto A temos que, F (x+h)−F (x) = DF (x)h+r(h), onde
limh→0
r(h)
‖h‖ = 0. Seja K = ‖DF (x)‖. Existe δx > 0 tal que se ‖h‖ < δx ⇒‖r(h)‖‖h‖ <
ε
2(K + 1)n−1.
Seja M um subespaco (n-1)-dimensional em IRn que contem a imagem deDF (x). Note que a imagem do conjunto {h; ‖h‖ ≤ δx} por DF (x) estacontida em uma bola de raio K‖h‖ no subespaco M . Assim para todo h,onde ‖h‖ < δx, temos que
‖F (x+ h) − F (x)‖ ≤ K‖h‖ +ε‖h‖
2(K + 1)n−1,
logo F (x+ h)− F (x) pertence a um cilindro em IRn que e o produto carte-siano de uma bola de raio (K + 1)‖h‖ no subespaco M por um intervalo de
raioε‖h‖
2(K + 1)n−1(veja figura 3.2).
Deste modo, se r < δx ⇒ mn(F (B(x, r)) ≤ εr
2(K + 1)n−1(K+1)n−1rn−1vn−1 =
εrnvn−1, onde vn−1 e o volume da bola unitaria em IRn−1, logo
mn((F (B(x, r)))
mn(B(x, r))
≤ εrnvn−1
rnvn≤ ε
⇒ limr→0
mn((F (B(x, r)))
mn(B(x, r))
= 0
⇒ limr→0
mn((F (B(x, r) ∩A))
mn(B(x, r))
= 0.
39
Figura 3.2:
Escolha δ′x ≤ δx tal que se r ≤ δ′x ⇒ mn((F (B(x, r) ∩A))
mn(B(x, r))
≤ ε
C + 1.
Pelo lema 3.1, nos podemos cobrir o conjunto A por bolas abertas B(xn, rn),onde xn ∈ A,
∑n m
n(B(xn, rn)) ≤ C + 1 e rn < δ′xn∀ n, desta forma
temos∑
n mn(F (B(xn, rn)∩A)) ≤ ε
C+1
∑n m
n(B(xn, rn)) ≤ εC+1(C+1) = ε
⇒ mn(F (A)) ≤ m
n(F (⋃
n(B(xn, rn) ∩A))) = mn(
⋃n F (B(xn, rn) ∩A)) =
∑n m
n(F (B(xn, rn) ∩A)) ≤ ε.
Portanto, como ε e arbitrario, temos que mn(F (A)) = 0
Finalmente abordaremos o resultado principal deste trabalho , o Teoremade Morse-Sard envolvendo a medida de Hausdorff. (teorema 3.1)
Seja F : U ⊂ IRn −→ IRm de classe Ck e seja p < m um inteiro.Se B = {x ∈ U ; posto(F (x)) ≤ p} e F de classe Ck+(α) em B, entao a(p+ n−p
k+α)−medida de Hausdorff de F (B) e nula.
Demonstracao: Para demonstrarmos o teorema 3.1, basta provarmos que oconjunto Bp = {x ∈ U ; posto(DF (x)) = p} tem medida de Hausdorff dedimensao (p+ n−p
k+α) nula.De fato, note que podemos escrever B =
⋃pr=0{x ∈ U ; posto(F (x)) = r} e
40
que, para 0 ≤ r ≤ p, r +n− r
k + α≤ p+
n− p
k + α, pois 0 ≥ (k + α− 1)(r − p) =
(k + α)(r − p) − (r − p) = (k + α)(r − p) + (n− r) − (n− p) ⇒0 ≥ (k + α)(r − p) + (n− r) − (n− p)
k + α= r − p +
n− r
k + α− n− p
k + α
⇒ r +n− r
k + α≤ p+
n− p
k + α.
Pela definicao de dimensao de Haudorff, temos que se a (r + n−rk+α)-medida
de Hausdorff e zero entao a (p+ n−pk+α)-medida de Hausdorff tambem e zero.
Se x0 ∈ Bp, seja E = F ′(x0)(IRn) ⊂ IRm, onde a dimensao de E e p.
Existe uma decomposicao em soma direta IRp+(m−p) = IRp ⊕ IRm−p, talque a projecao πp : IRp+(m−p) → IRp aplica E isomorficamente sobre IRp
(ver em [4], pag 299). Assim (πp◦F )′(x0) = πp◦F ′(x0) : IRp×IRn−p −→ IRp
e sobrejetiva, e pelo Teorema da forma local das submersoes, existe umdifeomorfismo α de classe Ck, de um aberto Z × Y ⊂ IRp × IRn−p, sobreuma vizinhanca aberta V de x0, tal que F ◦ α(z, y) = (z,G(z, y)), ondeG : V ⊂ IRp × IRn−p −→ IRm−p e uma funcao de classe Ck. Sem perda degeneralidade consideraremos F (z, y) = (z,G(z, y)).
Afirmacao 1: (z, y) ∈ V ∩Bp ⇐⇒ DyG(z, y) = 0De fato: basta olharmos para a matriz Jacobiana de F em (z, y)
J(F )(z, y) =
(I 0. . . DyG(z, y)
), note que a dim(I)=p
Agora podemos aplicar os resultados, Teorema 3.2, Corolario 3.2 eObservacao 3.2 para a funcao DyG e obter uma decomposicao A =
⋃∞i=1Ai,
Ai ⊂ ψi(Vi ×Bi), onde A = {(z, y) ∈ V ; DyG(z, y) = 0}.Fixemos Ai para algum i.
Afirmacao 2: ψ−1i (Ai) =
⋃
m∈N
{x ∈ ψ−1i (Ai); εx ≥ 1
me Kx ≤ m}, onde
εx e Kx sao do corolario 3.2.De fato: se x ∈ ψ−1
i (Ai), claramente existem ∈ N, tal quem ≥ max{ 1εx,Kx}
⇒ x ∈⋃
m∈N
{x ∈ ψ−1(Ai); εx ≥ 1
me Kx ≤ m}, o que prova a afirmacao.
Ja que ψ−1i (Ai) =
⋃m∈N
{x ∈ ψ−1i (Ai); εx ≥ 1
m , Kx ≤ m}, nos pode-mos supor que V tem medida de Lebesgue finita m
n(V ), e que existe M talque εx ≥ 1
M e Kx ≤M para todo x ∈ ψ−1(Ai). (*)
Afirmacao 3: Com essas hipoteses em maos, provaremos que existe umaconstante K0, tal que, para qualquer conjunto X ⊂ V, η > 0, nos podemos
41
cobrir F (Ai ∩X) por bolas B(pi, δi), tal que∑
i δdi ≤ K0(m
n(X) + η).Com efeito; dado x = (z, y) ∈ Ai ∩ X, seja ε < 1
2√
nM. Dividimos o cubo
Cε(x) =n∏
i=1
[xi − ε, xi + ε] = Cε(z) × Cε(y) em ([ε1−(k+α)] + 1)p caixas
Cδ(zi) ×Cε(y) ([ ] denota o menor inteiro), i = 1, ..., ([ε1−(k+α)] + 1)p, ondeδ < εk+α (ver figura 3.3).
Figura 3.3: Divisao do cubo Cε(x) em caixas Cδ(zi) × Cε(y)
Se existe algum ponto (zi, yi) ∈ (Cδ(zi) × Cε(y)) ∩ (Ai ∩ X), entao paraqualquer ponto (z′i, y
′i) ∈ Cδ(zi) × Cε(y) nos temos que
‖F (z′i, y′i) − F (zi, yi)‖ ≤ ‖F (z′i, y
′i) − F (zi, y
′i)‖ + ‖F (zi, y
′i) − F (zi, yi)‖ ≤
K ′δ + ‖F (zi, y′i) − F (zi, yi)‖ = K ′δ + ‖(zi, G(zi, y
′i)) − (zi, G(zi, yi))‖,
onde K ′ =√pK, e K e a constante de Lipschitz de F restrito a V que
podemos supor que existe. Note que (zi, yi) = (zi, ψi(p1)) e (zi, y′i) =
(zi, ψi(p2)) para algum p1, p2 ∈ {zi}×Bi com ‖p1−p2‖ ≤ ‖ψi(p1)−ψi(p2)‖ =‖yi − y′i‖ ≤ 2ε
√n, pois yi, y
′i ∈ Cε(x).
Defina γ : [0, 1] −→ Vi ×Bi o caminho reto ligando p1 a p2. Pelo Teorema
Fundamental do calculo temos, G(zi, y′i) − G(zi, yi) =
∫ 1
0
∂G
∂y(γ(t))γ′(t)dt,
onde γ = ψi ◦ γ.
∂G
∂y(γ(0)) =
∂G
∂y(ψi(p1)) =
∂G
∂y(zi, yi) = 0 ja que (zi, yi) ∈ Ai
⇒ ‖∂G∂y
(γ(t))‖ = ‖∂G∂y
(γ(t))−∂G∂y
(γ(0))‖ ≤M‖p1−p2‖k+α−1 ≤M(2ε√n)k+α−1,
onde a ultima desigualdade e devida a (*) e ao corolario 3.2.Temos que o segmento [p1, p2] e compacto e portanto ‖γ ′(t)‖ e limitadapor uma constante multipla de ‖p1 − p2‖ ≤ 2ε
√n, assim temos que
42
‖∂G∂y
(γ(t))‖ ‖γ′(t)‖ ≤ K ′′εk+α para alguma constante K ′′
⇒ ‖G(zi, y′i) −G(zi, yi)‖ ≤
∫ 1
0‖∂G∂y
(γ(t))‖ ‖γ′(t)‖dt ≤ K ′′εk+α
⇒ ‖F (z′i, y′i)− F (zi, yi)‖ ≤ K ′δ +K ′′εk+α ≤ K ′
0εk+α, onde K ′
0 = K ′ +K ′′
Desta forma F (Cδ(zi) × Cε(y)) esta contido em uma bola B(qi, δi), comδi ≤ K ′
0εk+α, e portanto
∑i δ
di ≤ ((ε1−(k+α)) + 1)p(K ′
0εk+α)d =
(K ′0)
d(ε1−(k+α) + 1)p(εk+α)p+ n−pk+α =
(K ′0)
d(ε1−(k+α) + 1)p(εk+α)pεn−p =(K ′
0)d(ε+ εk+α)p εn
εp = (K ′0)
d(1 + εk+α−1)p
︸ ︷︷ ︸K0
εn = K0εn.
Assim F (Cε(x)) pode ser coberto por bolas B(qi, δi), com∑
i δdi ≤ K0ε
n =K0m
n(Cε(x))2n , pelo lema 3.2 e observacoes 3.4 e 3.6, nos concluımos que
Hd(F (Ai ∩ X)) ≤ K0mn(X), onde K0 = 2nK0, assim podemos cobrir
F (Ai ∩X) por bolas B(pi, δi) tal que∑
i δdi ≤ K0(m
n(X) + η) e assim ficademonstrada a afirmacao 3.
Nos queremos mostrar agora que existe um conjunto A′i ⊂ Ai com
mn(Ai\A′
i) = 0, tal que, F (Cε(x)∩Ai) pode ser coberto por bolas B(wi, δ(ε)i ),
i ∈ N, com limε→0
∑i(δ
(ε)i )d
mn(Cε(x))
= 0, ∀ x ∈ A′i. Isto feito, usando o lema 3.2
e observacoes 3.4, 3.5 e 3.6, o teorema estara provado, ja que verificamosacima que Hd(F (Cε(x) ∩ Ai)) ≤ K0m
n(Cε(x)), ∀ ε < 12√
nM. Nos temos
Ai ⊂ ψi(Vi ×Bi), onde Bi ⊂ IRri , ri ≤ n− p.Se ri < n − p ⇒ a dimensao(Vi × Bi) < dimensao(U) = n ⇒ m
n(Ai) = 0e neste caso tomamos A′
i = Ai, portanto podemos supor que ri = n− p.Escolha A′
i igual ao conjunto dos pontos de densidade de Ai e consideremosψi = Id.Dados x ∈ A′
i e η′ > 0, nos queremos encontrar um ε0 > 0 tal que ,
ε < ε0 ⇒ F (Cε(x) ∩ Ai) pode ser coberto por bolas B(wi, δ(ε)i ), i ∈ N, tal
que∑
i(δ(ε)i )d ≤ η′mn(Cε(x)).
Sejam η, η > 0, ε < 12√
nMtal que
mn(Cε(x) ∩Ai)
mn(Cε(x))
> 1 − η2 ∀ ε < ε.
(Existe tal ε pois x e um ponto de densidade de Ai). Divida o cuboCε(x) = Cε(z) ×Cε(y) em N = ([ε1−(k+α)η−1] + 1)p caixas Cδ(zi) ×Cε(y),δ < ηεk+α, i = 1, ..., N . Entao, para pelo menos (1 − η)N valores de i,
existe um zi ∈ Cδ(zi), tal que,m
n−p({y ∈ Cε(y); (zi, y) ∈ Ai})m
n−p(Cε(y))> 1 − η,
43
pois mn(Cε(x) ∩ Ai) > (1 − η2)mn(Cε(x)). Para um tal i, tome yi tal
que (zi, yi) ∈ Ai. Entao aplicando o teorema 3.2 e os corolarios 3.1 e3.2, dado η, nos podemos escolher η tal que, se ‖F (zi, y) − F (zi, yi)‖ ≤ηεk+α ⇒ ‖F (z, y)−F (zi, yi)‖ ≤ ‖F (z, y)−F (zi, y)‖+‖F (zi, y)−F (zi, yi)‖ ≤K ′‖(z, y) − (zi, yi)‖ + ηεk+α, onde K ′ e a constante de Lipschitz de F |V e(z, y) ∈ Cδ(zi) × Cε(y).Temos que ‖(z, y) − (zi, yi)‖ ≤ 2
√nδ, ja que (z, y), (zi, yi) ∈ Cδ(zi) × Cε(y)
que e uma caixa n-dimensional, assim ‖F (zi, y) − F (zi, yi)‖ ≤2K ′√nηεk+α + ηεk+α = K ′′ηεk+α, onde K ′′ = 2K ′√n+ 1.Portanto F (Cδ(zi) × Cε(y)) esta contido em uma bola B(qi, δi),onde i percorre os valores de 1 ate pelo menos (1 − η)N , e∑
i
δdi ≤ ((ε1−(k+α)η−1) + 1)p(K ′′ηεk+α)d =
(K ′′)d((ε1−(k+α)η−1) + 1)p(ηεk+α)p−n−pk+α ≤
(K ′′)d((ε1−(k+α)η−1) + 1)p(ηεk+α)p(ηεk+α)n−pk+α =
(K ′′)d(ε+ ηεk+α)pηn−pk+α
εn
εp=
(K ′′)d(1 + εk+α−1)pηn−pk+α εn ≤
(K ′′)d(1 + η)p
︸ ︷︷ ︸K0
ηn−pk+α εn = K0η
n−pk+α εn.
A uniao das caixas restantes (que sao no maximo ηN) tem volume, nomaximo, 2nηεn, ja que o volume do cubo Cε(x) e 2nεn ⇒ a uniao da imagemda intersecao de Ai com a uniao dessas caixas por F, esta contida em umauniao de bolas B(qi, δi) com
∑i δ
di ≤ 2K0ηε
n, onde
K0 = K02n. Portanto F (Cε(x)) pode ser coberto por bolas B(Qi, δi), tal
que,∑
i δdi ≤ (2K0η+K0η
n−pk+α )εn. Escolhemos η, η suficientemente pequenos
tal que K0ηn−pk+α +2K0η < η′ e assim nos obtemos o resultado desejado, colo-
cando ε0 = ε.
3.4 Exemplos
Nesta secao daremos alguns exemplos que mostram que as hipoteses doteorema principal nao podem ser enfraquecidas. Usaremos alguns tipos defuncoes sobre a reta real e tambem conjuntos de Cantor centrais, que seraodescritos abaixo, na construcao dos exemplos.
Definicao 3.2 Seja (λn)n∈N uma sequencia de numeros reais, com0 < λi <
12 ∀ i ∈ N. O conjunto de Cantor central Kλ e construıdo
da seguinte maneira: removemos do intervalo [0, 1] o intervalo aberto cen-tral U1,1 de proporcao 1−2λ1. Dos dois intervalos restantes nos removemosos intervalos centrais abertos U2,1 e U2,2 de proporcao 1 − 2λ2, ou seja,
44
U2,1 e U2,2 tem comprimento |U2,1| = [1−(1−2λ1)]2 (1 − 2λ2) = λ1(1 − 2λ2).
Apos o r-esimo passo dessa construcao, restam 2r intervalos de comprimentoλ1λ2...λr. A intersecao de todos esses conjuntos e o Kλ conjunto de Cantorcentral. Os intervalos abertos removidos no r-esimo passo da construcaotem comprimento λ1λ2...λr−1(1 − 2λr).
Observacao 3.7 Seja ψ : IRC∞
−→ IR uma funcao fixada tal queψ(IR) ⊂ [0, 1], ψ(x) = 0 se x ≤ 0, ψ(x) = 1 se x ≥ 1. Um exemploe a funcao, ξ : IR −→ IR que e dada por
ξ(x) =
0, se x ≤ 0
δ(x), se 0 < x < 11, se x ≥ 1
onde a funcao δ e construida como segue; defina α : IR −→ IR por α(t) =0 se t ≤ 0 e α(t) = exp(−1
t ) se t > 0. Defina β : IR −→ IR pondoβ(t) = α(t + 2)α(−1 − t) ∀ t ∈ IR. Note que α e de classe C∞ logo β
tambem e de classe C∞. Coloque b =
∫ +∞
−∞β(t)dt =
∫ −1
−2β(t)dt, (b 6= 0).
Defina agora γ : IR −→ IR por γ(t) = β(t)b se t ≤ 0 e γ(t) = −β(−t)
b se t > 0.
Defina δ : IR −→ IR por δ(t) =
∫ t
−∞γ(s)ds + 2 =
∫ t
−2γ(s)ds + 2, note que
δ tambem e de classe C∞. Finalmente defina δ(t) = δ(t+ 2), onde δ e C∞
e δ(0) = 0 e δ(1) = 1.
Observacao 3.8 Seja ψ : IR −→ IR como a funcao da observacao 3.7.Dados dois conjuntos de Cantor centrais Kλ e Kµ, nos construimos a funcaofλ,µ : IR −→ IR como segue: fλ,µ(x) = 0 ∀ x ≤ 0, fλ,µ(x) = 1 ∀ x ≥ 1,se Ui,j = (a, b) e Vi,j = (c, d) sao os correspondentes intervalos removi-dos no r-esimo passo da construcao de Kλ e Kµ respectivamente, entaonos definimos fλ,µ(x) = c + (d − c)ψ(x−a
b−a ) ∀ x ∈ (a, b). Nos esten-demos fλ,µ para Kλ por continuidade, ou seja, se x → x entao temos
que limx→x
fλ,µ(x) = limx→x
(c + (d − c)ψ(x− a
b− a))
(∗)= c + (d − c)ψ(0) = c ∈ Kλ,
onde (*) e devido a continuidade de ψ.
Se k ≥ 1 e inteiro e limr→∞
gr
gkr
= 0 onde gr = λ1λ2...λr−1(1 − 2λr) e
gr = µ1µ2...µr−1(1 − 2µr), entao fλ,µ e de classe Ck. De fato; suponhaε > 0 arbitrario. A derivada k-esima de fλ,µ no intervalo do r-esimo passoda construcao de Kλ e dada por:
f(k)λ,µ(x) =
(d− c)
(b− a)kψk(
x− a
b− a)
Existe r0 ∈ N tal que, se r ≥ r0 ⇒ gr
gkr
<ε
M⇒ (d(r) − c(r))
(b(r) − a(r))kψk(
x(r) − a(r)
b(r) − a(r)) ≤
45
gr
gkr
M < ε, onde M = sup{ψk(x);x ∈ [0, 1]} e (a(r), b(r)), (c(r), d(r)) sao os
intervalos retirados no r-esimo passo da construcao de Kλ e Kµ. Portanto
f(k)λ,µ converge uniformemente para zero quando r → ∞ ⇒ f
(k)λ,µ ∈ Ck.
Exemplo 3.1 Seja λn = 12 − 1
2n e µn ≡ a (n ≥ 2).
Temos que,gn
gqn
=a.a...a(1 − 2a)
[(12 − 1
2.2)...(12 − 1
2(n−1))(1 − 2(12 − 1
2n))]q
=an−2(1 − 2a)
[(12)n−2(1 − 1
2)...(1 − 1n−1)( 1
n)]q
=(1 − 2a)(a2q)n−2
[(1 − 12)(1 − 1
3)...(1 − 1n−1)]q( 1
n)q
⇒ gn
gqn→ 0 quando n→ ∞ e a2q < 1.
Portanto, para todo q < − log alog 2 temos que
gn
gqn
→ 0 quando n → ∞.
De outro lado, a medida de Haudorff de dimensao d = − log 2log a de Kµ e igual
a 1 (ver em [2], pag 14-17). Mais ainda, ja que a ∈ (0, 12) e lim
n→∞gn
gqn
= 0
entao f ′λ,µ(x) = 0 para todo x ∈ Kλ. Se F : IRn+p −→ IRn+p e dadopor F (x1, . . . , xn, xn+1, . . . , xn+p) = (fλ,µ(x1), . . . , fλ,µ(xn), xn+1, . . . , xn+p)e Bp = {x ∈ IRn+p; posto(DF (x)) ≤ p}, entao F (Bp) =F (Kλ × Kλ × . . .Kλ × IRp) = Kµ × . . .Kµ × IRp que e um conjunto com(nd+p)-medida de Haudorff positiva.De fato, a derivada de fλ,µ se anula em Kλ e e nao nula em IR \ Kλ.Portanto DF (x) tem posto p para todo x ∈ Kµ × . . .Kµ × IRp e tem posto
maior que p em IRn+p \ Kµ × . . .Kµ × IRp. Para d = − log alog 2 temos
Hd(Kλ) = 1, portanto o conjunto Kµ × . . .Kµ × IRp tem (nd+ p)-medida deHaudorff positiva.Isto mostra que dado q > 1 e 0 < p < n inteiro, existe uma funcaoF : IRn −→ IRn tal que Hd(F (Bp)) > 0, onde d = p + n−p
q e F e de classe
Cq′ para cada q′ < q .
Exemplo 3.2 Seja λn = 12 − 1
3n2 e µn = a − 2an se n ≥ 3 e µn = a se
n = 1 ou n = 2 onde a ∈ (0, 12 ], entao lim
n→∞gn
gqn
= 0 onde q = − log alog 2 ,
portanto fλ,µ e de classe Cq. De outro lado temos que HD(Kµ) ≥ − log 2log a .
Com efeito, se b < a e θn ≡ b entao fµ,θ e de classe C1 e fµ,θ(Kµ) = Kθ ⇒HD(Kµ) ≥ HD(Kθ) = − log 2
log a , ∀ b < a, onde a ultima
46
desigualdade decorre do fato que f e Lipschitziana em [0, 1] (ver propriedade1.2.1.1 na pagina 9). Se F : IRn+p −→ IRn+p e dada porF (x1, . . . , xn, xn+1, . . . , xn+p) = (fλ,µ(x1), . . . , fλ,µ(xn), xn+1, . . . , xn+p) eBp e como no exemplo 3.1, entao F (Bp) = Kµ × . . .Kµ × IRp, ou seja, e um
conjunto com dimensao de Hausdorff nd + p, onde d = − log 2log a . Isto mostra
que dado q ≥ 1 e 0 < p < n inteiros, existe uma funcao F : IRn −→ IRn
tal que HD(F (Bp)) = p+ n−pq , e F e de classe Cq.
47
48
Apendice A
Os resultados que enunciaremos abaixo nao serao demonstrados por seremamplamente conhecidos, ja que constam em grande parte da literaturamatematica basica.
Definicao A.1 (Classe de Vitali) Uma colecao de conjuntos I e chamadauma classe de Vitali para um conjunto E ⊂ X, onde (X, d) e um espacometrico, se para cada x ∈ E e δ > 0 existem U ∈ I com x ∈ U e 0 < |U | ≤ δ.(Aqui |.| representa o diametro de U)
Teorema A.1 (Vitali) (a) Seja E um subconjunto Hα-mensuravel de IRn
e seja I uma classe de Vitali de conjuntos fechados para E. Entao podemosselecionar uma sequencia disjunta finita ou enumeravel Ui de I tal que ou∑ |Ui|α = ∞ ou Hα(E \ ∪iUi) = 0.(b) Se Hα(E) < ∞, entao, dado ε > 0, nos podemos obterHα(E) <
∑ |Ui|α + ε.
Teorema A.2 (Lindelof) Seja X ⊂ IRn um conjunto arbitrario. Todacobertura aberta de X, X ⊂ ∪λ∈ΛAλ, admite uma subcobertura enumeravel,X ⊂ Aλ1 ∪ . . . ∪Aλn
∪ . . ..
Teorema A.3 (Densidade de Lebesgue) Seja E um subconjunto Hα-mensuravel de IRn. Entao a densidade de Lebesgue de E em x,
limδ→0
mn(E ∩Bδ(x))
mn(Bδ(x))
, existe e e igual a 1 se x ∈ E e e 0 se x /∈ E,
exceto para um conjunto de x ∈ E de medida de Lebesgue nula. (Aqui Bδ(x)denota as bolas fechadas de raio δ e centro x).
Teorema A.4 (Fubini) Sejam (X,A, µ) e (Y,B, γ) espacos completos demedida e f uma funcao integravel sobre X × Y . Entao(i) para quase todo x a funcao fx definida por fx(y) = f(x, y) e uma funcaointegravel sobre X (analogo para fy);
49
(ii)
∫
Yf(x, y)dγ(y) e uma funcao integravel sobre X (analogo
para
∫
Xf(x, y)dµ(x));
(iii)
∫
X
[ ∫
Yfdγ
]dµ =
∫
X×Yfd(µ× γ) =
∫
Y
[ ∫
Xfdµ
]dγ.
Definicao A.2 Uma funcao diferenciavel f : U −→ IRn, definida no abertoU ⊂ IRm, chama-se uma submersao quando, para todo x ∈ U , sua derivadaf ′ : IRm −→ IRn e uma transformacao linear sobrejetiva. Para que istoocorra, e necessario que se tenha m ≥ n.
Teorema A.5 (Forma Local das Submersoes) Seja f : U −→ IRn
definida no abertu U ⊂ IRm+n e fortemente diferenciavel no ponto a ∈ U .Se f ′(a) : IRm+n −→ IRn e sobrejetiva, ou mais precisamente, se e dada umadecomposicao em soma direta do tipo IRm+n ⊕ IRn tal que a = (a1, a2) e aderivada parcial ∂2f(a) = f ′(a) |IRn : IRn −→ IRn e um isomorfismo, entaoexistem abertos V,W e Z com a ∈ Z, a1 ∈ V ⊂ IRm, f(a) ∈ W ⊂ IRn,e um homeomorfismo h : V ×W −→ Z, fortemente diferenciavel no ponto(a1, f(a)), tal que fh(x,w) = w para todo (x,w) ∈ V ×W . Se f e de classeCk em U (k ≥ 1), podemos restringir V,W,Z, se necessario, de modo que hseja um difeomorfismo de classe Ck.
50
Apendice B
Definicao B.1 A imagem Γ de uma funcao contınua e injetivaψ : [a, b] −→ IRn e chamada uma curva de Jordan. Se L(Γ) < ∞ entaoΓ e dita ser retificavel. Obs. L denota o comprimento da curva.
Proposicao B.1 Se Γ e uma curva de Jordan, entao L(Γ) = H1(Γ).
Usaremos o seguinte lema na demonstracao da proposicao B.1.
Lema B.1 Seja ψ : E ⊂ IRn −→ F ⊂ IRn uma funcao sobrejetiva, tal que,|ψ(x) − ψ(y)| ≤ C‖x − y‖ para todo x, y ∈ E, onde C e alguma constantepositiva. Entao Hs(F ) ≤ CsHs(E).
Demonstracao: Seja {Ui}i∈N uma δ-cobertura de E arbitraria.Como ψ e sobrejetiva segue que {ψ(Ui ∩ E)} e uma cδ-cobertura de F,ja que |ψ(Ui ∩ E)| ≤ C‖Ui‖. Assim
∑i ‖ψ(Ui ∩ E)‖s ≤ ∑
iCs‖Ui‖s
⇒ inf{ϕ(Ui∩E)}∑
i ‖ψ(Ui ∩ E)‖s ≤ inf{Ui}∑
iCs‖Ui‖s
⇒ limδ→0
λscδ(F ) ≤ lim
δ→0Csλs
δ(E) ⇒ Hs(F ) ≤ CsHs(E).
Demonstracao: (proposicao B.1)Suponha ψ : [a, b] ⊂ IR → IRn seja uma funcao contınua e injetiva eΓ = {(x, ψ(x)); x ∈ [a, b]}. Note que Γ e uma curva ligando ψ(a) a ψ(b).Suponha que proj denota a projecao ortogonal de IRn sobre a reta quepassa pelos pontos ψ(a) e ψ(b). Assim ‖proj(x) − proj(y)‖ ≤ ‖x− y‖ paratodo x, y ∈ IRn. Note que a igualdade vale somente se a reta que passa porx e y e paralela a reta que passa por ψ(a) e ψ(b). Pelo lema B.1 temosH1(proj(Γ)) = H1(‖proj(ψ(a)) − proj(ψ(b)‖) ≤ H1(Γ)⇒ m([ψ(a), ψ(b)]) = H1([ψ(a), ψ(b)]) ≤ H1(Γ)⇒ H1(ψ([t, u])) ≥ ‖ψ(t) − ψ(u)‖ para quaisquer t, u ∈ [a, b].Suponha a = t0 < t1 < . . . < tn = b uma particao arbitraria de [a, b], destaforma
∑i ‖ψ(ti − ψ(ti−1‖ ≤ ∑
iH1(ψ([ti−1, ti]) = H1(Γ) ja que
ψ((ti−1, ti)) ∩ ψ((tj−1, tj)) = ∅ para i 6= j ⇒ m(Γ) ≤ H1(Γ).
51
Se m(Γ) = ∞ ⇒ m(Γ) = H1(Γ). Vejamos o caso m(Γ) <∞. Podemos suporψ parametrizada pelo comprimento do arco. (Isto e sempre possıvel para cur-vas retificaveis. De fato, basta definir ψ0 : [0,m(Γ)] → IRn por ψ0(t) = ψ(u),onde m(ψ([a, u])) = t). ψ e sobrejetiva e vale que ‖ψ(t1)−ψ(t2)‖ ≤ ‖t1− t2‖e pelo lema B.1 temos que H1(Γ) ≤ H1([0,m(Γ)]) = m(Γ).
Proposicao B.2 Suponha que {λi}i∈N e uma sequencia de numeros posi-
tivos que satisfaz λi+1
λi→ ∞ e log(λi+1)
log λi→ 1. Seja Γ o grafico da funcao
f(x) =∞∑
i=1
λs−2i g(λix) para x ∈ [0, 1], onde 1 < s < 2. Entao HD(Γ) = s.
Obs. Um exemplo que satisfaz as condicoes da sequencia {λi}i∈N acima eλi = i!.
O seguinte lema sera util na demonstracao da proposicao.
Lema B.2 Suponha f : [0, 1] −→ IR satisfazendo |f(x+h)−f(x)| ≤ ch2−s
(*) para todo x ∈ (0, 1) e para todo h com 0 < h ≤ h0 e 1 ≤ s < 2,onde c e h0 sao constantes positivas e Γ = {(x, f(x));x ∈ [0, 1]}. EntaoHs(Γ) <∞.
Demonstracao: Seja I um intervalo qualquer de IR tal que |I| = h < h0 eseja ΓI = {(x, f(x);x ∈ I}.
Afirmacao: ΓI pode ser coberto por, no maximo, h−1ch2−s +1 quadradosde lado h.Com efeito, por (*) a variacao maxima de f em I e ch2−s. Sejam x1, x2 ∈ Icom x1 < x2 e coloque h = x2−x1, entao |f(x1+h)−f(x1)| ≤ ch2−s ≤ ch2−s.Assim dividindo ch2−s por h temos h−1ch2−s + 1 quadrados que cobrem ΓI
provando a afirmacao.
Figura B.1: Cobertura de Γ por quadrados
52
Dividindo [0,1] em m partes iguais de comprimento h = 1m tal que
h < min{h0, c} temos que Γ ⊂ ∪iQi onde os Qi sao os quadrados que
cobrem Γ e entao Hs
212 h
(Γ) = inf{Ui}
∞∑
i=1
|Ui|s ≤ m(h−1ch2−s + 1)|Qi|s =
m(h−1ch2−s + 1)(212h)s = m(ch1−s + 1)(2
12h)s = m(2
s2 ch + 2
s2hs) =
hm(2s2ch
h+ 2
s2hs
h) = 2
s2 c+ 2
s2hs−1 = 2
s2 (c+ hs−1)
se s = 1 ⇒ H1
212 h
(Γ) ≤ 212 (c+ 1)
se s > 1 ⇒ hs−1 < c para m suficientemente grande, logoHs
212 h
(Γ) ≤ 2s2 (c+ hs−1) ≤ 2
s2 2c = 21+ s
2 c.
Em ambos os casos, fazendo m → ∞ obtemos h → 0, logoHs(Γ) = lim
h→0Hs
212 h
(Γ) ≤ 21+ s2 c.
Passamos agora para a demonstracao da proposicao B.2.Demonstracao: A funcao g acima e uma funcao tipo zig-zag de perıodo 4definida sobre IR por
g(4k + x) =
x, se 0 ≤ x < 12 − x, se 1 ≤ x < 3x− 4, se 3 ≤ x < 4
, onde k ∈ Z, 0 ≤ x < 4.
Observe que |g′(4k + x)| = 1 para x nao inteiro e |g(4K + x)| = |x| .Suponha 1
λk+1≤ h < 1
λkpara algum k ∈ Z+, assim temos que
|f(x+ h) − f(x)| = |∞∑
i=1
λs−2i g(λi(x+ h)) −
∞∑
i=1
λs−2i g(λix)|
= |k∑
i=1
λs−2i [g(λi(x+ h)) − g(λix)] +
+( ∞∑
i=k+1
λs−2i g(λi(x+ h)) −
∞∑
i=k+1
λs−2i g(λi(x))
)|
≤k∑
i=1
λs−2i |g(λi(x+ h)) − g(λix)| +
+∞∑
i=k+1
λs−2i |g(λi(x+ h))| +
∞∑
i=k+1
λs−2i |g(λix)|
≤k∑
i=1
λs−2i λih+ 2
∞∑
i=k+1
λs−2i
= hk∑
i=1
λs−1i + 2
∞∑
i=k+1
λs−2i
53
Afirmacao:
k∑
i=1
λs−1i ≤ 2λs−1
k para algum k suficientemente grande.
A prova sera feita por inducao sobre k.
Para k = 1 temos claramente que λs−11 ≤ 2λs−1
1 .Suponha ser verdadeiro para k, ou seja, suponha valer a desigualdade
k∑
i=1
λs−1i ≤ 2λs−1
k .
Para k+1 temos quek+1∑
i=1
λs−1i = λs−1
1 + . . . λs−1k + λs−1
k+1 ≤ 2λs−1k + λs−1
k+1
Como o λi+1
λi→ ∞ a partir de um determinado i0 suficientemente grande,
temos queλi0+1
λi≥ 2 ⇒ λi0+1 ≥ 2λi0 ⇒ λs−1
i0+1 ≥ 2λs−1i0
, portanto, para
k ≥ i0 ⇒ λs−1k+1 ≥ 2λs−1
k , assim 2λs−1k + λs−1
k+1 ≤ λs−1k+1 + λs−1
k+1 = 2λs−1k+1,
assim esta provada a afirmacao.
Obtemos entao h
k∑
i=1
λs−1i ≤ h2λs−1
k ≤ 2h(1
h)s−1 ≤ 2hh1−s = 2h2−s, ja que
h < 1λk
. Por outro lado temos que∞∑
i=k+1
λs−2i = λs−2
k+1 + λs−2k+2 + λs−2
k+3 . . . ≤
λs−2k+1 +
1
2λs−2
k+1 +1
4λs−2
k+1 + . . . pois para i1 suficientemente grande temos
que 12λ
s−2k+1 > λs−2
k+2 ⇒ 12λ
s−2k+2 > λs−2
k+3 ⇒ . . . (isto devido a λi+1
λi→ ∞).
Assim∞∑
i=k+1
λs−2i ≤ λs−2
k+1(
=2︷ ︸︸ ︷1 +
1
2+
1
4+ . . .) = 2λs−2
k+1, k ≥ max{i0, i1}. (*)
Portanto |f(x+h)+f(x)| ≤ hk∑
i=1
λs−1i +2
∞∑
i=k+1
λs−2i ≤ 2h2−s +2(2λs−2
k+1) =
2h2−s + 4( 1
λk+1
)2−s ≤ 2h2−s + 4h2−s = 6h2−s, entao, pelo lema B.2, temos
que Hs(Γ) <∞.
Vamos provar agora que Hs(Γ) > 0Seja S um quadrado com lado de comprimento h e paralelo com os eixos coor-denados. Seja I o intervalo de projecao de S sobre o eixo-x. Nos mostraremosque medida de Lebesgue do conjunto E = {x; (x, f(x)) ∈ S} nao pode serarbitrariamente grande.
54
Defina a soma parcial fk =k∑
i=1
λs−2i g(λix). Escolha k suficientemente
grande tal que λk+1 ≥ λk ≥ 4 eλ
k+1
λk> λ1. Para k ≥ k, |f(x) − fk(x)| =
|∞∑
i=k+1
λs−2i g(λix)| ≤
∞∑
k+1
λs−2k
por (∗)≤ 2λs−2
k+1 (1)
Se x ∈ [0, 1] tal que |g(λix)| 6= 1 entao |f ′k(x)| = |k∑
i=1
λs−1i g′(λix)| =
|k∑
i=1
λs−1i | ≥ λs−1
k −k−1∑
i=1
λs−1i ≥ 1
2λs−1
k (2)
Suponha que o lado de S, h = λ−1k , para algum k ≥ k. Suponha m (m ≥ 1)
o menor inteiro positivo tal que λk ≤ λ2−sk+m ⇒ λ2−s
k+m−1 < λk, portanto
1λ2−s
k+m
≤ 1λk< 1
λ2−sk+m−1
⇒ λs−2k+m ≤ λ−1
k < λs−2k+m−1 (3)
Por outro lado, ja que λi+1
λie estritamente crescente, temos que
(λk+1
λk
)(m−1)(2−s)λ2−s
k =(
λk+1
λk. . .
λk+1
λkλk
)2−s<
(λk+m−1
λk+m−2. . .
λk+1
λkλk
)2−s=
λ2−sk+m−1 < λk. Entao
(λk+1
λk
)(m−1)(2−s)λ2−s
k < λk ⇒(
λk+1
λk
)(m−1)(2−s)<
λs−1k =
(λk
λk−1. . . λ2
λ1λ1
)s−1<
(λk+1
λk
)(k−1)(s−1)λs−1
k ⇒ log(
λk+1
λk
)(m−1)(2−s)<
log[(
λk+1
λk
)(k−1)(s−1)λs−1
1
]⇒ (m− 1)(2 − s) log
λk+1
λk<
(s− 1)(k − 1) logλk+1
λk+ (s− 1)
λk+1
λk⇒ (m− 1) < k s−1
2−s
⇒ (m − 1) < kb + 1 < k(
a︷ ︸︸ ︷b+ 1) ⇒ m < ka, onde a nao depende de k.
Assim temos que 1 ≤ m < ka.
Se m = 1.Por (1) temos que (x, f(x)) esta em S somente se (x, f(x)) esta em S1, ondeS1 e um retangulo obtido por extender S a uma distancia 2λs−2
k+1 que e menordo que 2h (por (2)) para cima e para baixo.
Afirmacao: f ′k(x) muda de sinal, no maximo, uma vez no intervalo I.
De fato, f ′k(x) = λs−11 g′(λ1x) + . . . + λs−1
k g′(λkx), de (1) temos quek−1∑
i=1
λs−1i < λs−1
k , portanto |λs−1k g′(λkx)| > |
k−1∑
i=1
λs−1i g′(λix)|, logo f ′k muda
de sinal quando g′(λkx) muda de sinal.Em I g′(λkx) muda de sinal, no maximo, uma vez. Com efeito, I =[x0, x0 + λ−1
k ], onde x0 ∈ [0, 1]. Temos que g′(λkx) esta sendo avaliada em
55
Figura B.2: Extensao de S
[x0λk, x0λk + 1]. Pela definicao da funcao g, g’ muda de sinal, no maximo,uma vez em cada intervalo de comprimento 1, tal como [x0λk, x0λk + 1],o que prova a afirmacao.
Sobre cada subintervalo no qual, f ′k tem sinal constante, temos que
|f ′k| ≥1
2λs−1
k , assim (x, fk(x)) pode estar em S1 somente para x em um
intervalo de comprimento, no maximo, 2λ1−sk vezes a altura de S1. De fato,
suponha f ′k(x) > 0 para todo x ∈ I0 = (a, c) ⊂ I (f ′k(x) < 0 para x ∈ I \I0).Seja r a reta que passa pelos vertices superiores de S1 e b = {eixo-y} ∩ r.Seja b = max{x ∈ I0; f(x) ≤ b}. Temos que (a, b) ⊂ I0 e pelo Teoremado Valor Medio segue que b − a ≤ 2λ1−s
k (f(b) − f(a)) ≤ 2λ1−sk l, onde
l = altura de S1. Note que 2λ1−sk l ≤ (h + 4λs−2
k+1) ≤ 5h. Deste modo
temos que m(E) ≤ 2(2λ1−sk 5h) = 20hs (4)
Se m > 1Podemos dividir I em, no maximo duas partes, onde f ′k(x) tem sinal con-stante. Por (3) temos que a altura de S1 e h+4λs−2
k+1 ≤ 5λs−2k+1. Entao em cada
parte nos necessitamos apenas considerar x pertencente a um subintervalode comprimento 2λ1−s
k 5λs−2k+1 quando procuramos pontos de E. Dividindo
cada um destes subintervalos em partes onde f ′k+1(x) tem sinal constante,obtemos no maximo
2λ1−sk 5λs−2
k+1λk+1 + 1 ≤ 11(λk+1
λk
)s−1(5)
novos intervalos de cada um dos anteriores. De fato, note que seI1 = [x0, x0 + 2λ1−s
k 5λs−2k+1] ⇒ |I| = 2λ1−s
k 5λs−2k+1, dividimos entao o inter-
valo I1 porλk+1
2 .
Se m > 2Repetimos o processo para obter de cada um dos ultimos intervalos, no
56
maximo, 11(
λk+2
λk+1
)s−1intervalos sobre os quais f ′k+2(x) tem sinal constante.
Procedendo desta maneira, nos vemos que E e coberto por no maximo
2(11m−1
(λk+1
λk
λk+2
λk+1. . .
λk+m−1
λk+m−2
)s−1)
= 2(11m−1
(λk+m−1
λk
s−1))intervalos
sobre cada qual f ′k+m−1(x) tem sinal constante.
De fato: para m > 1, temos 2(6(λk+1
λk
)s−1)
para m > 2, temos 2(6(λk+1
λk
)s−1)6(λk+2
λk+1
)s−1= 2
(62
(λk+2
λk
)s−1)
para m > 3, temos 2(6(λk+1
λk
)s−1)6(λk+2
λk+1
)s−16(λk+3
λk+2
)s−1= . . .
Segue por (1) que sobre cada tal subintervalo (x, f(x)) ∈ S, somente se(x, fk+m−1(x)) ∈ S2, onde S2 e o retangulo obtido pela extensao de S poruma distancia 2λs−2
k+m acima e abaixo. A altura de S2 e h + 4λs−2k+m ≤ 5h.
Considerando o sinal de fk+m−1 sobre cada subintervalo e usando (2) e (3),obtemos:
m(E) ≤ 2(11m−1
(λk+m−1
λk
)s−1
altura de S2︷ ︸︸ ︷5h2λ1−s
k+m−1 ≤ 20(11m−1hs) ≤ 20(11akhs)
Portanto existem constantes b e c tais que m(E) ≤ cbkhs se h = λ−1k .
Suponha agora que S tem lado h, onde λ−1k+1 < h ≤ λ−1
k .
Se t < s⇒ m(E) ≤ cbkhs ≤ cbkλ−sk = cλ−t
k+1
λtk+1
λs+t2
k
bk
λs−t2
k
.
Afirmacao: (a)λt
k+1
λs+t2
k
< 1 para k suficientemente grande;
(b)bk
λs−t2
k
para k suficientemente grande;
De fato:
(a) Temos quelog λk+1
log λk→ 1 e alem disto
log λk+1
log λk> 1 e
s+ t
2> t.
Suponhas+ t
2− t = α > 0, entao
t log λk+1
(t+ α) logk
− t
t+ α> 0, mas
t
t+ α< 1,
entao escolhemos k suficientemente grande tal que,( t
t+ α
) log λk+1
log λk< 1 ⇒
log(λk+1)t <
(log λk
)t+α ⇒ λtk+1 < λt+α
k = λs+t2
k .
57
(b) bk = 11ak. Escolha k suficientemente grande tal que λk+1 > λk.
Comoλk+1
λk→ ∞ segue que
λk+2 > (b+ ε2)λk+1 > (b+ ε2)bλk
λk+3 > (b+ ε3)λk+2 > (b = ε3)(b+ ε2)bλk
...
λk+s > (b+ εs)(b+ εs−1) . . . (b+ ε2)bλk
Escolha s suficientemente grande tal que (b+ εs)(b+ εs−1) . . . (b+ ε2)bλk >bsbk = bs+k ⇒ λk+s > bk+s.Agora seja α > 0 e kα tal que λα
k+1 > bλαk+1, da mesma forma temos que
λαk+1 > (b+εs)(b+εs−1) . . . (b+ε2)bλk > bk+s, para s suficientemente grande.
Alem disso,bk
λαk+s
→ 0. De fato, se M > o, escolhemos s suficientemente
grande tal que (b + εs)(b + εs−1) . . . (b + ε2)bλk > Mbk+s ⇒ bk+s
λαk+s
< M .
Portanto m(E) ≤ c1ht, onde c1 = c
λtk+1
λs+t2
k
bk
λs−t2
k
.
Seja {Ui} uma cobertura qualquer de Γ, e para cada Ui seja Si um quadradode lado |Ui| contendo Ui. Defina Ei = {x; (x, f(x)) ∈ Si}, temos assim que[0, 1] ⊂ ∪iEi.∑
i
|Ui|t =∑
i
(1√2)t|Si|t ja que |Si| =
√2|Ui| ⇒
∑
i
(√
2)−t|Si|t ≥
c−11
∑
i
m(Ei) ≥ c−11 > 0 pois [0, 1] ⊂ ∪iEi. Como a cobertura
{Ui} e arbitraria, temos que infΓ⊂∪Ui
∑
i
|Ui|t ≥ c−11 > 0
⇒ lim|Ui|→0
infΓ⊂∪Ui
∑
i
|Ui|t > c−11 > 0 ⇒ H t(Γ) > c−1
1 > 0 ∀ t < s.
Quando |Ui| → 0 ⇒ lado(Si) → 0 ⇒ λ−1k+1 → 0, ou seja,
k → ∞ ⇒ c−11 → 0 ⇒ H t(Γ) = ∞ ∀t < s. Como Hs(Γ) < ∞ concluimos
que HD(Γ) = s..
58
Referencias Bibliograficas
[1] BAMON, R., MOREIRA, Carlos Gustavo T. A., PLAZA, S. andVERA, J.. “Diferentiable Structures of Central Cantor Sets”, ErgodicTheory Dynamic Systems. Publ. Mat. 17(5) (1997),1027-1042.
[2] FALCONER, K. J.. “The Geometry of Fractal Sets”. Cambridge Tractsin Mathematics. Cambridge University Press, 1985.
[3] FOLLAND, Gerald B. Real Analysis: Modern Techniques and TheirAplications. Wiley-Interscience Publication. New York, 1984.
[4] LIMA, Elon Lages. Curso de Analise vol II, sexta edicao. IMPA. Riode Janeiro.
[5] LIMA, Elon Lages. Espacos Metricos. IMPA .Rio de Janeiro, 1977.
[6] MOREIRA, Carlos Gustavo T. A.. Conjuntos de Cantor, Dinamica earitmetica. Publicacoes Matematicas-IMPA. Rio de Janeioro, 1999.
[7] MOREIRA, Carlos Gustavo T. A.. “Haudorff Measure and the Morse-Sard Theorem”. Publ. Mat. vol 45(1) (2001), 149-162.
[8] ROYDEN,H. L., Real Analysis. New York : Macmillan, c1968
[9] WHITNEY, H.,“A function not constant on a conected set of criticalpoints”. Duke Math. J., vol 1 (1935) pg. 544-517
59
Indice Remissivo
algebrade conjuntos, 1sigma, 1
coberturaε-cobertura, 7
conjuntoBorel, 5Cantor, 11Cantor central, 44mensuravel, 3
dimensao de Haudorff, 9
funcaoCk+(α), 27Curva de Jordan, 51submersao, 50
lemaMorse, 28
liminf, 2limsup, 2
medida, 2, 15exterior, 3
Hausdorff, 7metrica, 5regular, 5
Hausdorff, 8Lebesgue, 15, 25
n-dimensional, 6
norma, 16maximo, 16
posto, 15
proposicaoCurva de Jordan, 51
teorema, 15Densidade de Lebesgue, 49Forma Local das Submersoes,
50forma local das submersoes, 19Fubini, 49Lidelof, 49Morse-Sard, 15Morse-Sard envolvendo medida
de Haudorff, 27Vitali, 49
Vitaliclasse, 49
60