Mediciones con el gnomon 1

Mediciones con el gnomon Cálculo del radio de la Tierra

Participan: IES Trassierra. 1º BTO-CT

Profesores: E. Gijón – F. Luque

Actividad seleccionada como Proyecto Emblemático de la red española AIA09

Mediciones con el gnomon 2

PresentaciónUn gnomon (un objeto vertical que proyecta la sombra sobre un plano horizontal) es un instrumento astronómico antiguo, con el que se pueden realizar diferentes actividades y mediciones astronómicas.

El gnomon permite la realización de muchas actividades, tanto de observación como de medida y cálculo.

Se propone además, con motivo del Año Internacional de la Astronomía 2009, una repetición (y pequeña modificación) de la medida de Eratóstenes, abierta a todos los centros escolares que deseen participar en la experiencia:

Determinar del radio de la Tierra

a partir de las medidas realizadas un mismo día en todos los centros participantes.Nosotros realizaremos también otras medidas trigonométricas.

Mediciones con el gnomon 3

Razones de la propuestaMedir siempre lo que sea medible, y hacer medible lo que no lo es (*)

Dentro de su sencillez, ES CIENCIA.No se limita a la pura observación. Exige la toma de medidas, su tabulación, la realización de cálculos, el cotejo de resultados y la presentación de conclusiones.

Instrumental sumamente simple (*) Cita no original. Comentario Bertold

Brecht

Mediciones con el gnomon 4

Distintas longitudes de la sombra

La bola blanca (Porexpan®) permite ver la sombra más nítida

La forma esférica de la Tierra es la causa de las distintas longitudes de la sombraAlgunos griegos fueron capaces de adivinar la forma esférica, observando las diferencias de la longitud de la sombra

Eratóstenes (s. II a.C) fue capaz de tomar medidas y hacer la primera estimación del radio de la Tierra Detalle de las distintas longitudes de la sombra

Mediciones con el gnomon 5

Problema de Eratóstenes (de Cyrene)

Eratóstenes había oído relatos de viajeros que decían que a mediodía del 21 de junio el sol no arrojaba sombra en un manantial de Syene. Él sabía que en Alejandría (donde residía) el sol siempre arrojaba sombra. Se le ocurrió entonces que si podía medir la longitud de la sombra del sol en Alejandría a la hora en que no había sombra en Syene, podría calcular la circunferencia de la Tierra. El 21 de junio Eratóstenes midió la sombra de un obelisco de Alejandría y mediante simple geometría calculo que la sombra proyectada correspondía a una desviación de los rayos solares respecto a la vertical de 7º 14'. Esto corresponde a 1/50 de la circunferencia total de la Tierra (360º). La circunferencia de la Tierra era por tanto igual a 50 veces la distancia que mediaba entre Syene y Alejandría.

Mediciones con el gnomon 6

Principios matemáticosLa diferencia de alturas del Sol permite medir el valor angular del arco entre dos observatorios

De la equivalencia entre este valor y la distancia en kilómetros entre los observatorios se calcula el radio de la Tierra

Mediciones con el gnomon 7

Cálculo del radio en otras latitudes

β

α

Luz solar.

Haces paralelos

Gnomon verticales (perp. al suelo).

Diferente longitud de sombra.

α

βSombras

RLong arco= radio x ángulo (radianes)

L

L= R · (β-α); R=L/(β-α)Pozo en Syene (Assuan)

β - α

Mediciones con el gnomon 8

¿Qué mediremos?

Necesitamos: Ángulo de la sombra en dos puntos distintos de España

(α y β) Distancia sobre la Tierra entre los puntos en que

medimos (L)

R=L/(β-α)

Mediciones con el gnomon 9

Diferentes latitudes en España

43º

42º

41º

Lat. N 40º

39º

38º

37º

Diferente declinación solar

D1

D2

Mediciones con el gnomon 10

Para calcular L, debemos tomar distancia sobre mapas.

Todos daremos la distancia al paralelo 40º (Di)

Entre dos puntos (Córdoba y S. Sebastián, p.ej. L= D1+D2)

¿Cómo lo haremos?

Mediciones con el gnomon 11

Todo lo que hace falta es...

¿Cómo medimos el ángulo?

Mediciones con el gnomon 12

...plantar un gnomon...

El gnomon ha de estar estable, en posición verticalLa sombra se ha de proyectar en una superficie completamente horizontalConviene disponer un papel grande (tipo embalaje) para registrar las posiciones de la sombraAlcalà de Guadaira.- Mayo 08

Barcelona.- Septiembre 07

Castelló de la Plana.- Marzo 08

Mediciones con el gnomon 13

... e ir registrando las posiciones del extremo de la sombra del gnomon, en un

intervalo de 3-4 horas centrado en el mediodía local

Mediciones con el gnomon 14

¿En qué momento debemos medir el ángulo?

- En el mismo instante solar.- Mediodía solar de cada punto. (Sombra

mínima)

Mediciones con el gnomon 15

Diferentes longitudes España

Lat. N 40º

9ºW 6º 5º 3º 0º 3ºE

Diferente mediodía

Mediciones con el gnomon 16

Longitud mínima de la sombra

A partir del registro de las posiciones de la sombra se ha de determinar:– el instante en que la sombra del gnomon es mínima– la longitud de la sombra, en este instante, que es el de

paso del Sol por el meridiano del lugar

Y a partir de esta longitud mínima de la sombra se determina– la altura del Sol sobre el horizonte, en el momento del

paso por el meridiano

Mediciones con el gnomon 17

Determinación de la dirección Norte-Sur

Una vez hechas las medidas, la mediatriz del segmento P1P2, puntos de intersección de la trayectoria de la sombra (línea roja) con cada uno de los círculos concéntricos de centro en el pie del gnomon, determina la dirección Norte-Sur del lugar de observación

Mediciones con el gnomon 18

¿Cómo se hará el cálculo?El cálculo de Eratóstenes se basa en la determinación de:

- Altura del Sol- Distancia lineal entre los dos lugares de observación, situados sobre el mismo meridiano

Como los centros escolares participantes no cumplen esta última condición, se sustituirá por la distancia, en dirección Norte-Sur, al paralelo 40ºN, que es el que pasa por el centro de la Península

Estas distancias se medirán sobre un mapa o atlas, con una regla milimetrada. A partir de la escala del mapa se determinará la distancia en kilómetros

Mediciones con el gnomon 19

Currículum escolar: Ciencias Naturales

El instante de sombra de longitud mínima, ¿es el mismo en todos los lugares?

Para un determinado lugar, ¿sucede siempre a la misma hora?

Para un determinado lugar, ¿la sombra mínima marca siempre la misma dirección?

¿Qué es un día?¿Qué es un año?

Mediciones con el gnomon 20

Currículum escolar: Matemáticas

Trigonometría: determinación de la altura del Sol

)(arctan nDeclinaciósombraladelongitud

gnomondellongitudSoldelaltura

Mediciones con el gnomon 21

Currículum escolar: Matemáticas

Semejanza de triángulosPosible determinación de alturas (edificios, farolas, monumentos) y posterior comprobación del resultado.

Podemos calcular la altura de cualquier elemento a partir de la proporción.

He

Se

Hgn

SgnSe

He

Sgn

Hgn

Mediciones con el gnomon 22

Aspectos críticos para el éxito

Absoluta horizontalidad del suelo sobre el que se proyecta la sombra

Tamaño y forma (grosor) del gnomon que diferencie bien las zonas de sombra y penumbra

Anotación correcta de las horas: uso de un único reloj, con la hora ajustada poco antes del inicio de la experiencia

Fechas de realización de la experiencia:En el dossier se justificará que los resultados más precisos se pueden obtener realizando las medidas en fechas próximas a los equinoccios PRÓXIMOS AL 21 DE MARZO –COMIENZO DE LA PRIMAVERALa medida del radio de la Tierra exige que la medidas se realicen en todos los centros en un mismo díaLa fecha decidida para la experiencia por la web AIA09 es el: 26 DE MARZO DE 2009, JUEVES.

Mediciones con el gnomon 23

Comunicación de resultadosLos centros participantes deberán comunicar: Nombre del centro escolar Población y provincia Altura del Sol, en el momento del tránsito por el meridiano Distancia en Km al meridiano 40ºN (N/S) Persona y dirección e-mail de contacto

Con los datos recibidos se realizará un cálculo conjunto del valor del radio de la Tierra ¡¡Hay más de 500 centros inscritos!! 

Nosotros compartiremos (y calcularemos) con otro centro voluntario nuestro RADIO TERRESTRE.

Los datos altura del Sol y distancia al meridiano 40ºN se publicarán en las páginas Web de la red AIA09

Mediciones con el gnomon 24

MOVIMIENTO DEL SOL EN EL FIRMAMENTO. SOMBRAS DEL GNOMON. DECLINACIÓN.

Zenit

 

Vertical

 

 

Norte

Declinación 

Gnomon Trayectoria solar Este

  W

 

Ocaso Amanecer (Orto)

 

Sur

 

Mediciones con el gnomon 25

Sombras y penumbras

Invierno: sol bajo, sombra y penumbra largas. Mucho error

sombra penumbra

Mediciones con el gnomon 26

Sombras y penumbras

Primavera: sol medio, sombra y penumbra medias. Menor error

sombra penumbra

Mediciones con el gnomon 27

Sombras y penumbrasVerano: sol alto, sombra y penumbra muy

cortas. Mayor error proporcional

sombra penumbra