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Mecânica Quântica
Carlos Eduardo AguiarCarlos Eduardo Aguiar
Programa de Pós-Graduação em Ensino de FísicaInstituto de Física - UFRJ
1º período letivo, 2014
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Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
• Dificuldades conceituais– Superposição quântica
– Probabilidade subjetiva x objetiva
– Complementaridade
– O problema da medida
– Realismo vs. localidade– Realismo vs. localidade
• Dificuldades matemáticas– Vetores
– Números complexos
– Espaços vetoriais complexos
– Operadores, autovalores, autovetores
– Dimensão infinita, operadores diferenciais, funções especiais
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 2
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Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica
• D. F. Styer, Common misconceptions regarding quantum mechanics, American Journal of Physics 64 , 31, 1996.
• I. D. Johnston, K. Crawford, P. R. Fletcher, Student difficulties in learning quantum mechanics, International Journal of Science Education 20 , 427, 1998.
• S. Vokos, P. S. Shaffer, B. S. Ambrose, L. C. McDermott, Student understanding of the wave nature of matter: Diffraction and interference of particles, American Journal of Physics 68, S42, 2000.
• G. Ireson, The quantum understanding of pre-university physics students, Physics Education 35, 15, 2000.
• M. A. Moreira, I. M. Greca, Uma revisão da literatura sobre estudos relativos ao ensino da mecânica quântica introdutória, Investigações em Ensino de Ciências 6, 29, 2001.
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mecânica quântica introdutória, Investigações em Ensino de Ciências 6, 29, 2001.• I. M. Greca, M. A. Moreira, V.E. Herscovitz, Uma proposta para o ensino de mecânica quântica,
Revista Brasileira de Ensino de Física 33, 444, 2001.• C. Singh, Student understanding of quantum mechanics, American Journal of Physics 69, 885, 2001.• E. Cataloglu, R. W. Robinett, Testing the development of student conceptual and visualization
understanding in quantum mechanics through the undergraduate career, American Journal of Physics 70, 238, 2002.
• K. Mannila, I. T. Koponen, J. A. Niskanen, Building a picture of students’ conceptions of wave- and particle-like properties of quantum entities, European Journal of Physics 23, 45, 2002.
• R. Müller, H. Wiesner, Teaching quantum mechanics on an introductory level, American Journal ofPhysics 70, 200, 2002; ver também Am. J. Phys. 70, 887, 2002.
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Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica
• I. M. Greca, O. Freire Jr, Does an emphasis on the concept of quantum states enhance students’ understanding of quantum mechanics?, Science & Education 12 , 541, 2003.
• F. Ostermann, T. F. Ricci, Construindo uma unidade didática conceitual sobre mecânica quântica: um estudo na formação de professores de física, Ciência & Educação 10, 235, 2004.
• D. T. Brookes, E. Etkina, Using conceptual metaphor and functional grammar to explore how language used in physics affects student learning, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 3, 010105, 2007.
• S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Why we should teach the Bohr model and how to teach it effectively, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 4, 10103, 2008.
• C. Singh, Student understanding of quantum mechanics at the beginning of graduate instruction, American Journal of Physics 76, 277, 2008.
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• C. Singh, Student understanding of quantum mechanics at the beginning of graduate instruction, American Journal of Physics 76, 277, 2008.
• C. Singh, Interactive learning tutorials on quantum mechanics, American Journal of Physics 76, 400, 2008.
• L. D. Carr, S. B. McKagan, Graduate quantum mechanics reform, American Journal of Physics 77, 308, 2009.
• M. Dubson, S. Goldhaber, S. Pollock, K. Perkins, Faculty Disagreement about the Teaching of Quantum Mechanics, 2009 Physics Education Research Conference, AIP Conference Proceedings 1179, 137, 2009.
• C. Baily, N. D. Finkelstein, Development of quantum perspectives in modern physics, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 5, 10106, 2009.
• C. Baily, N. D. Finkelstein, Teaching and understanding of quantum interpretations in modern physics courses, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 10101, 2010.
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Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica
• S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Design and validation of the Quantum Mechanics Conceptual Survey, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 020121, 2010.
• L. Deslauriers, C. E. Wieman, Learning and retention of quantum concepts with different teaching methods, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 7, 010101, 2011.
• M. Ayene, J. Kriek, B. Damtie, Wave-particle duality and uncertainty principle: Phenomenographiccategories of description of tertiary physics students’ depictions, Physical Review Special Topics -Physics Education Research 7, 020113, 2011.
• G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum mechanics via the Stern–Gerlachexperiment, American Journal of Physics 79, 499, 2011.
• G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. I. Investigation of
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• G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. I. Investigation of difficulties, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, 101117, 2012.
• G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. II. Development of research-based learning tools, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, 101118, 2012.
• O. Levrini, P. Fantini, Encountering Productive Forms of Complexity in Learning Modern Physics, Science & Education 22,1895, 2013.
• A. Kohnle et al., A new introductory quantum mechanics curriculum, European Journal of Physics 35, 015001, 2014.
• J. Castrillon, O. Freire Jr, B. Rodriguez, Mecánica cuántica fundamental, una propuesta didáctica, Revista Brasileira de Ensino de Física 36, 1505, 2014.
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Leituras recomendadas
• R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Lições de Física de Feynman, vol. III, Bookman, 2008. • R. P. Feynman, QED - A estranha teoria da luz e da matéria, Gradiva, 1988.• H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica: Ótica, Relatividade, Física Quântica, Blucher, 2002.• O. Pessoa Jr, Conceitos de Física Quântica, Livraria da Física, 2003.• A. Zeilinger, A Face Oculta da Natureza, Globo, 2005.• M. Le Bellac, The Quantum World, World Scientific, 2013.• T. Hey, P. Walters, The New Quantum Universe, Cambridge UP, 2003.• V. Scarani, Quantum physics: a first encounter, Oxford UP, 2006.• B. Rosenblum , F. Kuttner , Quantum Enigma: Physics Encounters Consciousness, Oxford UP,
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 6
• B. Rosenblum , F. Kuttner , Quantum Enigma: Physics Encounters Consciousness, Oxford UP, 2006.
• L. Susskind, A. Friedman, Quantum Mechanics: The Theoretical Minimum, Basic Books, 2014• A. Rae, Quantum Physics: Illusion or Reality?, Cambridge UP, 2012. • J. Polkinghorne, Quantum Theory: A Very Short Introduction, Oxford UP, 2002. • D. F. Styer, The Strange World of Quantum Mechanics, Cambridge UP, 2000.• D. McIntyre, C. A. Manogue, J. Tate, Quantum Mechanics: A Paradigms Approach, Addison-
Wesley, 2012.• M. Le Bellac, Quantum Physics, Cambridge UP, 2006.
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Simulações
• Interferômetro de Mach-Zehnder (Universidade Federal do Rio Grande do Sul)http://www.if.ufrgs.br/~fernanda/
• Experiência de Stern-Gerlach (Universidade Federal do Rio Grande do Sul)http://www.if.ufrgs.br/~betz/quantum/SGtexto.htm
• QuantumLab (Universität Erlangen-Nürnberg)http://www.didaktik.physik.uni-erlangen.de/quantumlab/english/index.html
• PhET (University of Colorado)http://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/category/physics/quantum-phenomena
• SPINS (Oregon State University)http://www.physics.orst.edu/~mcintyre/ph425/spins/index_SPINS_OSP.html
• Quantum physics (École Polytechnique)http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/index.html
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Internet
• Quantum Physics (IoP)http://quantumphysics.iop.org/
• Quantum Mechanics (Leonard Susskind)http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-mechanics/2012/winter
• Quantum Entanglement (Leonard Susskind)• Quantum Entanglement (Leonard Susskind)http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-entanglement/2006/fall
• Advanced Quantum Mechanics (Leonard Susskind)http://theoreticalminimum.com/courses/advanced-quantum-mechanics/2013/fall
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Sumário
1. Fenômenos quânticos
2. Princípios da mecânica quântica
3. Sistemas quânticos simples: aplicações
4. Realismo, contextualidade e não-localidade
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5. Partículas idênticas
6. Operadores, autovalores e autovetores
7. Simetrias
8. Posição e momentum
9. Partícula em uma dimensão
não estão nestas notas
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Fenômenos Quânticos
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Charles Addams, New Yorker, 1940
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Um experimento com a luz
espelho
detetoresde luz D1
D2
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feixe luminosopouco intenso
semiespelho (50-50%)
espelho
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Resultado do experimento
• Os detectores nunca disparam ao mesmo tempo: apenas um, ou D1 ou D2, é ativado a cada vez.
D1 D1
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D2 D2
ou
50% 50%probabilidade
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Se a luz fosse uma onda
D1
D
... os detectores deveriam disparar ao mesmo tempo.
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D2
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Se a luz é composta por partículas
D1
D2
D1
D2
... ou D1 dispara, ou D2 dispara.
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ou
D2D2
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Conclusão
• A luz é composta por partículas: os fótons.
• O detector que dispara aponta “qual caminho” o fóton tomou.
D
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caminho 2
caminho 1
D2
D1
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O experimento de Grangier, Roger & Aspect
• Experimento realizado pela primeira vez em 1986 por Philippe Grangier, Gérard Roger e Alain Aspect.
• A fonte luminosa de “pouco intensa” usada no experimento não é fácil de construir.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 16
ν1
ν2
átomo de cálcio τ = 4,7 ns
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O experimento de Grangier, Roger & Aspect
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w = 9 ns
P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)
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Resultado do experimento de Grangier et al.
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Sobre o ensino do conceito de fóton
• Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência simples e direta da natureza corpuscular da luz.
• Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio) que o efeito fotoelétrico.
• Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton • Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e Compton.– G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927)
– E. Schroedinger, Annalen der Physik 82, 257 (1927)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 19
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Outro experimento com a luz
D2
D1
segundo
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 20
interferômetro de Mach-Zehnder
segundosemiespelho
feixe luminoso“fóton a fóton”
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Preliminares: um feixe bloqueado
50%
25%
25%
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 21
1
2
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O outro feixe bloqueado
25%
25%
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 22
1
2
50%
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Resultado fácil de entender com partículas
50%
25%
25%
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 23
= caminho do fóton
1
2
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De volta ao interferômetro
D1
D2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 24
2
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Resultado do experimento:
0%
100%
D1
D2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 25
D2
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Difícil de entender se os fótons seguem caminhos definidos
caminho 1 caminho 2
25%
25%
25%
25%
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 26
1
25%2
25%
Se o fóton segue o caminho 1 (2) não deve fazer diferençase o caminho 2 (1) está aberto ou fechado, e portanto valeo resultado do experimento preliminar.
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)2()1( PPP +=
Proposição:*
Cada fóton segue ou o caminho 1 ou o caminho 2
consequência:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 27
)2(D
)1(DD nnn
PPP +=
probabilidade dodetetor Dn disparar apenas o caminho
1 aberto
apenas o caminho2 aberto
* The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-5
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Teste da Proposição
Experimentalmente:
%25P )1(D1
=
%25P )2(D1
=
%25P )1(D2
=
%25P )2(D2
=
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 28
)2(D
)1(DD nnn
PPP +≠
%100P1D = %0P
2D =
a proposição é falsa!
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Repetindo:
A afirmativa
“o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2”
é falsa.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 29
é falsa.
“\ um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível,de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si ocoração da mecânica quântica.”
R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1
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Por onde vai o fóton?
1 e 212
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 30
ou 1 ou 2
nem 1 nem 2
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Por onde vai o fóton?
• Experimentalmente, a opção “ou 1 ou 2” é falsa.
• Se os dois caminhos forem fechados, nenhumfóton chega aos detetores. Logo, “nem 1 nem 2”também não é aceitável.também não é aceitável.
• Parece restar apenas a opção “1 e 2”: o fótonsegue os dois caminhos ao mesmo tempo.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 31
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Uma resposta melhor
• Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro,pois a montagem experimental não permite distinguir oscaminhos 1 e 2.
• A pergunta “qual o caminho do fóton?” só faz sentido frente a umaparato capaz de produzir uma resposta.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 32
Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer comas palavras “posição de um objeto”, por exemplo do elétron(em um sistema de referência), ele deve especificarexperimentos determinados com os quais pretende medir talposição; do contrário essas palavras não terão significado.
- W. Heisenberg, The physical content of quantum kinematics and mechanics
(o artigo de1927 sobre o princípio da incerteza)
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Fácil de entender num modelo ondulatório
D1
D
interferênciaconstrutiva
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 33
D2
interferênciadestrutiva
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Comprimentos variáveis
L2
PD2
PD1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 34
L1
L1, L2 = comprimentos ajustáveis dos “braços” do interferômetro
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Resultado experimental:
L1 – L2
0
1
PD1
L1 – L2
1
0
PD2
• Padrão de interferência: é possível definir um comprimento de onda.
• Só há um fóton de cada vez no interferômetro: o fóton “interfere comele mesmo”.
• Se cada fóton seguisse um único caminho (ou 1 ou 2), ocomprimento do outro caminho não deveria influenciar o resultado.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 35
(linha tracejada: “ou 1 ou 2” ↔ PD(1) + PD
(2))
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O experimento de Grangier, Roger & Aspect
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 36
P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)
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O experimento de Grangier, Roger & Aspect
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 37
L1 – L2 (λ/50) L1 – L2 (λ/50)
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Interferência de nêutrons
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 38
interferômetro de nêutrons
S. A. Werner, Neutron interferometry, Physics Today 33, 24 (dezembro1980)
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Interferência de átomos
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 39
interferômetro de átomos
A. D. Cronin, J. Schmiedmayer, D. E. Pritchard, Optics and interferometrywith atoms and molecules, Reviews of Modern Physics 81, 1051 (2009)
![Page 40: Mecânica Quântica - IFcarlos/fismod/antigo/MecanicaQuantica_2014.pdf · Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • I. M. Greca,O. FreireJr, Does an emphasis on the](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052710/5a9ba4327f8b9ad96f8e2056/html5/thumbnails/40.jpg)
Interferência de elétrons
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 40
A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up
of an interference pattern, Am. J. Phys. 57, 117 (1989)
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E se os caminhos forem distinguíveis?
interferênciadesaparece !
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 41
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer
at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
diferença de “caminhos” (ajustável)
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E se os caminhos forem distinguíveis?
• Massa = 0• caminho
identificado• não há padrão de
• Massa → ∞• caminho não
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 43
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer
at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
N ↔ Massa
• não há padrão de interferência
• caminho nãoidentificado
• padrão de interferência
![Page 43: Mecânica Quântica - IFcarlos/fismod/antigo/MecanicaQuantica_2014.pdf · Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • I. M. Greca,O. FreireJr, Does an emphasis on the](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052710/5a9ba4327f8b9ad96f8e2056/html5/thumbnails/43.jpg)
E se a informação sobre o caminho for apagada?
impossível determinar o caminho
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 44
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer
at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
interferência
![Page 44: Mecânica Quântica - IFcarlos/fismod/antigo/MecanicaQuantica_2014.pdf · Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • I. M. Greca,O. FreireJr, Does an emphasis on the](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052710/5a9ba4327f8b9ad96f8e2056/html5/thumbnails/44.jpg)
Quando há interferência?
Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, indistinguíveis experimentalmente
interferência(“1 e 2”)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 45
Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, distinguíveis experimentalmente
(“ou 1 ou 2”)
não há interferência
![Page 45: Mecânica Quântica - IFcarlos/fismod/antigo/MecanicaQuantica_2014.pdf · Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • I. M. Greca,O. FreireJr, Does an emphasis on the](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052710/5a9ba4327f8b9ad96f8e2056/html5/thumbnails/45.jpg)
Princípios da Mecânica Quântica
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 46
![Page 46: Mecânica Quântica - IFcarlos/fismod/antigo/MecanicaQuantica_2014.pdf · Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • I. M. Greca,O. FreireJr, Does an emphasis on the](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052710/5a9ba4327f8b9ad96f8e2056/html5/thumbnails/46.jpg)
Princípios da Mecânica Quântica
• Vetores de estado e o princípio da superposição
• A regra de Born
• Complementaridade e o princípio da incerteza
• Colapso do vetor de estado• Colapso do vetor de estado
• Evolução unitária
• Sistemas de N estados
• Sistemas compostos. Emaranhamento
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 47
![Page 47: Mecânica Quântica - IFcarlos/fismod/antigo/MecanicaQuantica_2014.pdf · Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • I. M. Greca,O. FreireJr, Does an emphasis on the](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052710/5a9ba4327f8b9ad96f8e2056/html5/thumbnails/47.jpg)
Vetores de Estado e o
Princípio da SuperposiçãoPrincípio da Superposição
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 48
![Page 48: Mecânica Quântica - IFcarlos/fismod/antigo/MecanicaQuantica_2014.pdf · Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • I. M. Greca,O. FreireJr, Does an emphasis on the](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052710/5a9ba4327f8b9ad96f8e2056/html5/thumbnails/48.jpg)
Sistemas de dois estados
• esquerda / direita
• horizontal / vertical
• para cima / para baixo• para cima / para baixo
• sim / não
• 0 / 1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 49
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Sistemas de dois estados
fóton refletido
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 50
cara coroafóton transmitido
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Sistemas de dois estados
=2
1
a
aAgrandeza física observável:
a2a1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 51
A = ? a2a1
a2a1medidor de “A”
ou
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Sistemas clássicos
• Sistema clássico de dois estados, A = a1 e A = a2.
• Representação dos estados: pontos no “eixo A”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 52
Aa1 a2
sistema temA = a1
sistema temA = a2
![Page 52: Mecânica Quântica - IFcarlos/fismod/antigo/MecanicaQuantica_2014.pdf · Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • I. M. Greca,O. FreireJr, Does an emphasis on the](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052710/5a9ba4327f8b9ad96f8e2056/html5/thumbnails/52.jpg)
Sistemas quânticos: vetores de estado
• Sistema quântico de dois estados, A = a1 e A = a2.
• Representação dos estados: vetores ortogonais (e de comprimento unitário) em um espaço de duas dimensões
a
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 53
1a
2a
sistema temA = a2
sistema tem A = a1
![Page 53: Mecânica Quântica - IFcarlos/fismod/antigo/MecanicaQuantica_2014.pdf · Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • I. M. Greca,O. FreireJr, Does an emphasis on the](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052710/5a9ba4327f8b9ad96f8e2056/html5/thumbnails/53.jpg)
A notação de Dirac
vetor ↔ L
identificação
aa
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 54
↓↑
b↔
21 aa
direitaesquerda
10
exemplos:
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O que muda?
Passar de dois pontos em uma reta para doisvetores perpendiculares não parece ser mais domudar o sistema de “etiquetagem” dos estados.
2a?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 55
1aAa1 a2
O que muda é o seguinte:
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O Princípio da Superposição
Qualquer combinação linear dos vetores |a1⟩ e |a2⟩representa um estado físico do sistema.
2211 acac +=ψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 56
1a
2a ψ
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Significado de |ψ⟩
• A = a1 e A = a2 ?
• esquerda e direita?
• horizontal e vertical?
2a ψ
• horizontal e vertical?
• sim e não?
• 0 e 1?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 57
1a
![Page 57: Mecânica Quântica - IFcarlos/fismod/antigo/MecanicaQuantica_2014.pdf · Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • I. M. Greca,O. FreireJr, Does an emphasis on the](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052710/5a9ba4327f8b9ad96f8e2056/html5/thumbnails/57.jpg)
O espaço de estados é grande
• Um sistema quântico de dois estados tem muito mais que dois estados, tem infinitos estados.
• Os estados |a1⟩ e |a2⟩ formam uma “base” do espaço de estados.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 58
1a
2a
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Princípio da Superposição: formulação geral
Se |ϕ⟩ e |χ⟩ são vetores de estado, qualquer combinação linear deles representa um estado físico do sistema.
χβ+ϕα=ψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 59
ϕ
χ ψ
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Uma complicação
• As constantes c1 e c2 podem ser números complexos (o espaço de estados é um espaço vetorial complexo).
• Deve-se ter cuidado com figuras como esta:esta:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 60
1a
2a
ψc2
c1
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Outras complicações
• Qual o significado de “ortogonalidade” num espaço vetorial complexo?
• Como se define “comprimento” de um vetor nesse espaço?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 61
1a
2a
?
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Produto escalar
O produto escalar ⟨ϕ|ψ⟩ dos vetores |ϕ⟩ e |ψ⟩ é umnúmero complexo com as seguintes propriedades:
1. |ψ⟩ = |ψ1⟩ + |ψ2⟩ ⇒ ⟨ϕ|ψ⟩ = ⟨ϕ|ψ1⟩ + ⟨ϕ|ψ2⟩
2. |χ⟩ = c |ψ⟩ ⇒ ⟨ϕ|χ⟩ = c ⟨ϕ|ψ⟩
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 62
2. |χ⟩ = c |ψ⟩ ⇒ ⟨ϕ|χ⟩ = c ⟨ϕ|ψ⟩
3. ⟨ψ|ϕ⟩ = ⟨ϕ|ψ⟩* (* indica o conjugado complexo)
4. ⟨ψ|ψ⟩ ≥ 0 (note que (3) implica em ⟨ψ|ψ⟩ real)
5. ⟨ψ|ψ⟩ = 0 ⇔ |ψ⟩ = 0 (“0” é o vetor nulo)
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Produto escalar
Forçando um pouco a notação de Dirac, podemos escrever as propriedades (1) e (2) como
1. ⟨ϕ|ψ +ψ ⟩ = ⟨ϕ|ψ ⟩ + ⟨ϕ|ψ ⟩
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 63
1. ⟨ϕ|ψ1+ψ2⟩ = ⟨ϕ|ψ1⟩ + ⟨ϕ|ψ2⟩
2. ⟨ϕ|cψ⟩ = c ⟨ϕ|ψ⟩
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Produto escalar
• É importante notar que num espaço vetorial complexo o produto escalar não é comutativo; pela propriedade (3), a ordem dos fatores altera o produto.
• Uma consequência disso é que o produto escalar é • Uma consequência disso é que o produto escalar é antilinear no primeiro argumento:
⟨ cϕ|ψ⟩ = c*⟨ϕ|ψ⟩
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 64
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Ortogonalidade
Os vetores |ϕ⟩ e |ψ⟩ são ortogonais se seu produto escalar é zero:
0=ψϕ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 65
0=ψϕ
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Norma
A norma ||ψ|| do vetor |ψ⟩ é definida por
ψψ=ψ
• ||ψ|| é o “comprimento”, “tamanho”, “módulo” do vetor |ψ⟩
• |χ⟩ = c |ψ⟩ ⇒ ||χ|| = |c| ||ψ||
• ||ψ|| = 0 ⇔ |ψ⟩ = 0
• outra notação: || |ψ⟩ || ≡ ||ψ||
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 66
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O produto escalar em termos das componentes
2211
2211
adad
acac
+=ϕ
+=ψ
121*2212
*1222
*2111
*1 aacdaacdaacdaacd +++=ψϕ
• Usando as propriedades (1), (2) e (3):
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 67
• Como |a1⟩ e |a2⟩ são ortogonais, ⟨a1|a2⟩ = ⟨a2|a1⟩ = 0 e portanto
222*2111
*1 aacdaacd +=ψϕ
• Como |a1⟩ e |a2⟩ têm comprimento unitário, ⟨a1|a1⟩ = ⟨a2|a2⟩ = 1, temos finalmente que:
2*21
*1 cdcd +=ψϕ
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As componentes em termos do produto escalar
2211 acac +=ψ
2121111 aacaaca +=ψ
• Usando as propriedades (1) e (2) temos
• Como ⟨a1|a1⟩ = 1 e ⟨a1|a2⟩ = 0,
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 68
• Como ⟨a1|a1⟩ = 1 e ⟨a1|a2⟩ = 0,
ψ= 11 ac
• Da mesma forma,
ψ= 22 ac
2,1n,ac nn =ψ=• Ou seja:
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A norma em termos das componentes
2*21
*1 cdcd +=ψϕ
2
2
2
12*21
*1 cccccc +=+=ψψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 69
2
2
2
1 cc +=ψ
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A Regra de Born
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 70
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A Regra de Born
2211 acac +=ψ
a
2a
ψc2
c
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 71
1a c1
A probabilidade de uma medida da grandeza física A resultar em A = an é
2
2
2
1
2
nn
cc
c)a(P
+=
(n = 1, 2)
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A Regra de Born
2211 acac +=ψ
a2a122
2
11
cc
c)a(P
+=
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 72
|ψ⟩ a2a1
a2a1
medidor de “A”
2
2
2
1 cc +
2
2
2
1
2
22
cc
c)a(P
+=
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A regra de Born
Como
e
ψ= nn ac
2
2
2
1 cc +=ψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 73
2
2
nn
a)a(P
Ψ
Ψ=
a regra de Born pode ser escrita de forma independente das coordenadas:
21 cc +=ψ
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Probabilidade total
1cc
c
cc
c)a(P)a(P 2
2
2
1
2
22
2
2
1
2
121 =
++
+=+
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 74
Só há dois resultados possíveis, ou a1 ou a2.
A probabilidade da medida resultar ou em a1 ou em a2 é 1 (100%)
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Normalização do vetor de estado
Ψ
Ψλ=Φ
2211 acac λ+λ=Φ2211 acac +=Ψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 75
|Φ⟩ e |Ψ⟩ têm normas diferentes mas representam o mesmo estado físico!
)a(Pcc
c
cc
c)a(P n2
2
2
1
2
n2
2
2
1
2
nn ΨΦ =
+=
λ+λ
λ=
Ψ×λ=Φ
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Normalização do vetor de estado
Todos os vetores ao longo de uma dada “direção” representam o mesmo estado
físico.
Podemos trabalhar apenas
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 76
Podemos trabalhar apenas com vetores “normalizados”:
1=Ψ
1cc,acac2
2
2
12211 =++=Ψou seja,
1aa 21 ==Note que |a1⟩ e |a2⟩ já estão normalizados:
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2
nn c)a(P =
Vetores normalizados: a Regra de Born
2211 acac +=ψ
aa2
c)a(P =
(normalizado)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 77
a2a1
a2a1
a2a1
medidor de “A”
11 c)a(P =
2
22 c)a(P =
|ψ⟩
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Vetores normalizados: a Regra de Born
Em termos do produto escalar, se |Ψ⟩ está normalizado a probabilidade é dada por:
2a)a(P Ψ=
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 78
2
nn a)a(P Ψ=
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Amplitude de probabilidade
cn = ⟨an|Ψ⟩ ⇔ amplitude de probabilidade
probabilidade = |amplitude de probabilidade|2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 79
Ψ=Ψ nn x)x(função de onda:
2
nn )x()x(P Ψ=
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Amplitude de probabilidade
De forma mais geral:
• ⟨Φ|Ψ⟩ = amplitude de probabilidade de uma medida resultar em |Φ⟩, para um sistema no estado |Ψ⟩
Ψ → Φ ⟨Φ Ψ⟩
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 80
• P(Ψ → Φ) = |⟨Φ|Ψ⟩|2 = probabilidade de uma medida resultar em |Φ⟩, para um sistema no estado |Ψ⟩
• P(Ψ → Φ) = P(Φ → Ψ) embora ⟨Φ|Ψ⟩ ≠ ⟨Ψ|Φ⟩ (⟨Φ|Ψ⟩ = ⟨Ψ|Φ⟩*)
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Frequência dos resultados de medidas
N medidas de A(N→ ∞)
a2a1
a2a1
Ψ
Ψ
N1 ↔ a1
N2 ↔ a2
acac +=Ψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 81
Ψa2a1
••• podemos prever
a frequência dosresultados:
2
111 c)a(P
N
N==
2
222 c)a(P
N
N==
2211 acac +=Ψ
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Valor médio dos resultados
valor médio de A:
NaNaN
A 2211 +=
a2a1
a2a1
Ψ
Ψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 82
Ψa2a1
•••
2211 acac +=Ψ
2
2
21
2
1 acacA +=
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Incerteza
2211 acac +=Ψ
a
2a
Ψc2
c1, c2 ≠ 0
impossível prever o
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 83
possível prever o resultado(probabilidade = 100%):
valor de A “bem definido”
1a
c1
impossível prever o resultado de uma medida
0c,1ca 211 ==↔=ΨouSe
1c,0ca 212 ==↔=Ψ
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Incerteza
2211 acac +=Ψ
∆A = incerteza de A no estado |Ψ⟩
( ) 2222 AAAA)A( −=−=∆
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 84
( ) AAAA)A( −=−=∆
1a=Ψou
2a=Ψ∆A = 0
![Page 84: Mecânica Quântica - IFcarlos/fismod/antigo/MecanicaQuantica_2014.pdf · Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • I. M. Greca,O. FreireJr, Does an emphasis on the](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052710/5a9ba4327f8b9ad96f8e2056/html5/thumbnails/84.jpg)
Complementaridade e o
Princípio da IncertezaPrincípio da Incerteza
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 85
![Page 85: Mecânica Quântica - IFcarlos/fismod/antigo/MecanicaQuantica_2014.pdf · Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • I. M. Greca,O. FreireJr, Does an emphasis on the](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052710/5a9ba4327f8b9ad96f8e2056/html5/thumbnails/85.jpg)
Complementaridade
a2a1
A1a
2a
duas grandezasfísicas: A e B
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 86
B
b2b1
2b
1b
físicas: A e B
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Grandezas compatíveis e incompatíveis
1a
2a
1b
2b
A e B compatíveis
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 87
2b
1b
2a
1a
A e B incompatíveis
A e B complementares: incompatibilidade “máxima”
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O Princípio da Incerteza
2b2a
Ψ
A e B incertos (∆ A ≠ 0, ∆ B ≠ 0)
A bem definido, B incerto(∆ A = 0, ∆ B ≠ 0)
B bem definido, A incerto
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 88
1b
1a
B bem definido, A incerto(∆ B = 0, ∆ A ≠ 0)
![Page 88: Mecânica Quântica - IFcarlos/fismod/antigo/MecanicaQuantica_2014.pdf · Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • I. M. Greca,O. FreireJr, Does an emphasis on the](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052710/5a9ba4327f8b9ad96f8e2056/html5/thumbnails/88.jpg)
O Princípio da Incerteza
2b2a
Ψ
A e B incompatíveis ⇒nenhum estado |Ψ⟩ com ∆A = 0 e ∆B = 0
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 89
1b
1a
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Exemplo: posição e momentum
Xx1 x2
duas posições: |x1⟩, |x2⟩ (“aqui”, “ali”)
dois estados de movimento: |p ⟩, |p ⟩ (“repouso”, “movimento”)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 90
dois estados de movimento: |p1⟩, |p2⟩ (“repouso”, “movimento”)
2p1p
2x
1x
impossível ter um estado com posição e momentum bem definidos
![Page 90: Mecânica Quântica - IFcarlos/fismod/antigo/MecanicaQuantica_2014.pdf · Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • I. M. Greca,O. FreireJr, Does an emphasis on the](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052710/5a9ba4327f8b9ad96f8e2056/html5/thumbnails/90.jpg)
Resumo da “cinemática” quântica
estado físicovetor no espaço
de estados
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 91
grandeza físicasistema de eixos (uma “base”) no
espaço de estados
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Resumo da “cinemática” quântica
probabilidade de uma medida da grandeza A resultar em A = a1
ou A = a2
2a
a
projeção do vetor de estado no eixo |an⟩
⇓probabilidade damedida resultar
em A = a
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 92
grandezas físicasincompatíveis
(complementares)
diferentes sistemas de eixos no espaço
de estados
1a em A = an
![Page 92: Mecânica Quântica - IFcarlos/fismod/antigo/MecanicaQuantica_2014.pdf · Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • I. M. Greca,O. FreireJr, Does an emphasis on the](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052710/5a9ba4327f8b9ad96f8e2056/html5/thumbnails/92.jpg)
• “Colapso” durante uma medida
• Evolução unitária (equação de
Como o vetor de estado muda com o tempo?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 93
• Evolução unitária (equação de Schroedinger)
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Colapso do Vetor de Estado
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Colapso do vetor de estado
a2a1Ψantes damedida
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 95
a2a1 2a depois damedida
![Page 95: Mecânica Quântica - IFcarlos/fismod/antigo/MecanicaQuantica_2014.pdf · Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • I. M. Greca,O. FreireJr, Does an emphasis on the](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052710/5a9ba4327f8b9ad96f8e2056/html5/thumbnails/95.jpg)
Colapso do vetor de estado
2a
Ψ
resultadoA = a2
resultadoA = a
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 96
1a
A = a1
medida de A resulta em an ⇒ logo após a medida o vetor de estado do sistema é |an⟩
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Colapso do vetor de estado
• O colapso garante que a medida é repetível: se obtemos A = an e imediatamente refazemos a medida, encontramos A = an novamente com 100% de probabilidade.
• O estado | an ⟩ é o único em que a nova medida resultará em A = an com 100% de probabilidade.
• |Ψ⟩ → |an⟩: a medida causa uma alteração imprevisível e incontrolável do estado quântico; versão moderna do “salto quântico”.estado quântico; versão moderna do “salto quântico”.
• O colapso aplica-se a medidas “ideais” (medidas de von Neuman, ou projetivas). Na prática, muitas vezes não faz sentido falar em colapso. Por exemplo:
– Um fóton geralmente é absorvido durante sua detecção – não há mais fóton após a primeira medida.
– Medidas de grandezas contínuas como posição e momentum não têm resultados absolutamente precisos; os detectores necessariamente possuem uma resolução finita.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 97
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Medidas simultâneas de duas grandezas
Ψ Φa2a1
b2b1
(A, B)
(∆ A ≠ 0, ∆B ≠ 0) (∆ A = 0, ∆B = 0)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 98
(A, B)
Se A e B são incompatíveis (complementares), não existe estado |Φ⟩ com ∆A = 0 e ∆B = 0.
É impossível realizar um experimento no qual A e B são medidos simultaneamente (de forma reprodutível).
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Evolução Unitária
![Page 99: Mecânica Quântica - IFcarlos/fismod/antigo/MecanicaQuantica_2014.pdf · Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • I. M. Greca,O. FreireJr, Does an emphasis on the](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052710/5a9ba4327f8b9ad96f8e2056/html5/thumbnails/99.jpg)
A equação de Schroedinger
• Evolução temporal do vetor de estado:
|Ψ(0)⟩ → |Ψ(t)⟩
• Dinâmica quântica: determinada pelaenergia do sistema (o conceito de forçaé pouco relevante).
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 100
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A (solução da) equação de Schroedinger
2E
1E
Sistema de dois estados
Dois níveis de energia: E1, E2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 101
2211 EcEc)0t( +==Ψ
2/tEi
21/tEi
1 EecEec)t( 21 hh −− +=Ψ
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• ћ = constante de Planck (÷ 2π) ≈ 1×10-34 Js
• Números complexos são inevitáveis. Mesmo que ascomponentes do vetor de estado sejam reais em t = 0,
para t ≠ 0 elas serão complexas:
A (solução da) equação de Schroedinger
• A evolução |Ψ(0)⟩ → |Ψ(t)⟩ ditada pela equação deSchroedinger é contínua (sem ‘saltos quânticos’) edeterminista (sem elementos probabilísticos).
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 102
h/tEinn
nec)t(c −=
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Propriedades da equação de Schroedinger
• Linearidade:
)t()0(
)t()0(
bb
aa
Ψ→Ψ
Ψ→Ψ)0()0()0( ba Ψβ+Ψα=Ψ
)t()t()t( ba Ψβ+Ψα=Ψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 103
t = 0 t ≠ 0
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Demonstração da linearidade
2211b
2211a
EdEd)0(
EcEc)0(
+=Ψ
+=Ψ
ba
E)dc(E)dc(
)0()0()0(
β+α+β+α=
Ψβ+Ψα=Ψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 104
222111 E)dc(E)dc( β+α+β+α=
( ) ( ))t()t(
EecEecEecEec
Ee)dc(Ee)dc()t(
ba
2/tEi
21/tEi
12/tEi
21/tEi
1
2/tEi
221/tEi
11
2121
21
Ψβ+Ψα=
+β++α=
β+α+β+α=Ψ−−−−
−−
hhhh
hh
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Propriedades da equação de Schroedinger
• Conservação da norma do vetor de estado:
)0()t( Ψ=Ψ)t(Ψ
)0(Ψtamanho não muda
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 105
• Conservação da ortogonalidade entre vetores:
)0(Ψ
)t(Ψ
)0(Φ)t(Φ
dois vetores perpendicularescontinuam perpendiculares
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Conservação do produto escalar
2/tEi
21/tEi
1
2/tEi
21/tEi
1
EedEed)t(
EecEec)t(
21
21
hh
hh
−−
−−
+=Φ
+=Ψ
2*21
*1
/tEi2
/tEi*2
/tEi1
/tEi*1
cdcd
)ec)(ed()ec)(ed()t()t( 2211
+=
+=ΨΦ −−−+ hhhh
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 106
2211 cdcd +=
)0()0()t()t( ΨΦ=ΨΦ
conservação da norma:
conservação da ortogonalidade:
)0()t( Ψ=Ψ
0)t()t(0)0()0( =ΨΦ⇒=ΨΦ
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• Determinismo
• Continuidade
• Linearidade
Propriedades da equação de Schroedinger
“evolução unitária”
• Conservação da norma
• Conservação da ortogonalidade
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 107
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Estados estacionários
nE)0( =Ψ n/tEi Ee)t( n h−=Ψ
mesma “direção” que |En⟩
• Estado de energia bem definida En:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 108
• |Ψ(0)⟩ e |Ψ(t)⟩ representam o mesmo estado físico.
• Estados de energia bem definida são “estacionários”.
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Conservação da energia
2/tEi
21/tEi
1 EecEec)t( 21 hh −− +=Ψ
2
n
2/tEinn cec)t,E(P n == − h
22EcEcE)t,E(PE)t,E(PE +=+=
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 109
)0()t(EE
ΨΨ=
)0t,E(P)t,E(P nn ==
2
2
21
2
12211)t(EcEcE)t,E(PE)t,E(PE +=+=
Ψ
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Eq. de Schroedinger x Processos de medida
• Equação de Schroedinger:– contínua
– determinista
– válida enquanto não se faz uma medida
• Colapso do vetor de estado:– descontínuo
– probabilístico
– ocorre durante a medida
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 110
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Eq. de Schroedinger x Processos de medida
Dois tipos de evolução temporal?
• Equação de Schroedinger:
– interação do sistema quântico com outros sistemas quânticos.
– A = a e A = a– A = a1 e A = a2
• Colapso do vetor de estado: – interação do sistema quântico com um aparato
clássico, o aparelho de medida (o “observador”).
– A = a1 ou A = a2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 111
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O “problema da medida”
Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger?
a2a1 a2a1 a2a1
Descrição quântica do aparelho de medida:
| ⟩| ⟩↑ | ⟩
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 112
| ⟩| ⟩↑ | ⟩
22 aa ⇒↑
11 aa ⇒↑22112211 acacacac +⇒+↑ ↑
equação de Schroedinger:
o ponteiro aponta em duas direções ao mesmo tempo!
aparelho de medida:
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O “problema da medida”
• Porque as superposições quânticas não são encontradasno mundo macroscópico?– Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em
duas direções ao mesmo tempo.
– Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto.
• Como conciliar o espaço quântico de infinitos estadoscom a observação de apenas alguns poucos estadosmacroscópicos?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 113
Uma descrição do processo de medidabaseada na equação de Schroedingerdeve dar respostas a essas questões.
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Física quântica x física clássica
• Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquerprocesso de interação entre objetos clássicos e quânticos…
L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics
• … os instrumentos de medida, para funcionarem como tal,não podem ser propriamente incluídos no domínio denão podem ser propriamente incluídos no domínio deaplicação da mecânica quântica.
N. Bohr, carta a Schroedinger, 26 de outubro de 1935
• …o ‘aparato’ não deveria ser separado do resto do mundo emuma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e nãofosse governado pela mecânica quântica.
J. Bell, Against measurement
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 114
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Física quântica x física clássica
físicaquântica
físicaclássica
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 115
…a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teoriasfísicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas aomesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação...
- L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics
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Sistemas de N Estados
Você está emtodo lugar
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 116
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Sistemas de 3 estados
2a
1a a3a1a2
Três valores possíveis para a grandeza A:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 117
1a
3a
332211 acacac ++=Ψ
3,2,1,||)( 2 == ncaP nn
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Sistemas de N estados
2a
1a
N valores possíveis para a grandeza A:
aNa1a2 ...
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 118
3aNa...
(impossível desenharN eixos perpendiculares) ∑
=
=ΨN
1nnn ac
N,2,1n,|c|)a(P 2nn K==
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Sistemas de infinitos estados
• N pode ser infinito:
∑∞
=
=Ψ1n
nn ac
• N pode ser infinito, e a ter valores contínuos:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 119
• N pode ser infinito, e a ter valores contínuos:
∫=Ψ a)a(cda
∫′′
′
=′′′a
a
2|)a(c|da)a,a(P
2|)a(c|)a(p =densidade de probabilidade:
probabilidade:
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Exemplo: a = x = posição de uma partícula
Sistemas de infinitos estados
∫ Ψ=Ψ x)x(dx
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 120
∫ Ψ=2
1
x
x
221 |)x(|dx)x,x(P
2|)x(|)x(p Ψ=densidade de probabilidade:
probabilidade:
função de onda: Ψ(x)
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Sistemas de infinitos estados
• A grandeza a pode ter valores discretos e contínuos:
∫∑ +=Ψ a)a(cdaacn
nn
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 121
Exemplo: a = E = energia de uma partícula
∫∑ +=Ψ E)E(cdEEcn
nn
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Produto escalar
∑∑==
=Φ=ΨNN
1nnn
1nnn ab,ac
∑∑∞∞
=Φ=Ψ nnnn ab,ac
∑=
=ΨΦN
1nnn c*b
∑∞
=ΨΦ nn c*b
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 122
∑∑== 1n1n
∑=1n
∫∫ Φ=ΦΨ=Ψ x)x(dx,x)x(dx
∫ ΨΦ=ΨΦ )x()x(*dx
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Produto escalar
∫∑
∫∑+=Φ
+=Ψ
E)E(bdEEb
E)E(cdEEc
nnn
nnn
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 123
∫∑ +=ΨΦ )E(c)E(*bdEc*bn
nn
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Sistemas Compostos
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 124
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Sistemas compostos
|an⟩I |bs⟩II
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 125
sistema I sistema II
∑β=χs
IIssIIb∑α=ϕ
nInnI
a
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Sistemas compostos
subsistema I
|an, bs ⟩
subsistema II
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 126
∑=Ψs,n
sns,n b,ac
subsistema I subsistema II
sistema composto
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Produto tensorial
IIsInIIsInsn babab,a ⊗≡≡
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 127
A notação do produto tensorial tornaevidentes algumas propriedades que osestados do sistema composto devem ter.
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Produto tensorial
Por exemplo:
∑β=χs
IIssIIb
∑α=ϕn
InnIa• sistema I no estado
• sistema II no estado
sistema composto no estado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 128
sistema composto no estado
∑
∑
∑∑
βα=
βα=
β
α=χϕ=χϕ
s,nsnsn
s,nIIsInsn
sIIss
nInnIII
b,a
ba
ba,
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Produto tensorial
IIsIIInIsnsn ba,b,a χϕ=βα=χϕ
Note que
ou, de maneira geral,
**)(*)(,,
ββ′
αα′=βαβ′α′=χϕχ′ϕ′ ∑∑∑
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 129
IIIIII
sss
nnnsn
s,nsn **)(*)(,,
χχ′ϕϕ′=
ββ′
αα′=βαβ′α′=χϕχ′ϕ′ ∑∑∑
)b(P)a(P)b,a(P sIInIsn =
Uma consequência disso é
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Estados separáveis
• Estados separáveis (estados “produto” ou “fatorizáveis”):
IIIχϕ=Ψ ↔ sistema I no estado |ϕ⟩, sistema II no estado |χ⟩
∑=Ψs,n
sns,n b,acEstado geral do sistema composto:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 130
IIIχϕ=Ψ ↔ sistema I no estado |ϕ⟩, sistema II no estado |χ⟩
∑ βα=Ψs,n
snsn b,a
sns,nc βα=
Nem todo estado é separável, pois nem sempre .sns,nc βα=
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Estados emaranhados
2211 b,a2
1b,a
2
1+=Ψ
0e1
12212211 =βα=βα=βα=βα
Exemplo: o estado
não é separável, do contrário deveríamos ter
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 131
0e2 12212211 =βα=βα=βα=βα
Estados não-separáveis são chamados deestados emaranhados.
o que é impossível. A primeira equação diz que todos os α’s e β’s são diferentes de 0 e a segunda diz que pelo menos dois deles são nulos.
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Estados emaranhados
∫ Ψ=Ψ 212121 x,x)x,x(dxdx
)x()x()x,x( 2121 χϕ=Ψ
Outro exemplo: a função de onda de duas partículas
O estado |Ψ⟩ é separável se
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 132
pois nesse caso
( ) ( )IIIII222I111 x)x(dxx)x(dx χ⊗ϕ=χ⊗ϕ=Ψ ∫∫
Se o estado |Ψ⟩ é emaranhado.)x()x()x,x( 2121 χϕ≠Ψ
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Emaranhamento
• Não é possível associar vetores de estado aos subsistemasindividuais.
• O emaranhamento pode ocorrer mesmo quando ossubsistemas estão separados por distâncias macroscópicas,
• Um dos mais estranhos e surpreendentes aspectos damecânica quântica.mecânica quântica.
“O melhor conhecimento possível de um todo não inclui omelhor conhecimento possível de suas partes, nem mesmoquando essas estão completamente separadas umas dasoutras e no momento não influenciam umas às outras.”
- E. Schrödinger, The Present Situation in Quantum Mechanics(o artigo de 1935 onde apareceu o gato de Schroedinger)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 133
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Aplicações a sistemas simples
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 134
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Informação quântica
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 135
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Aplicações a sistemas simples
• Interferômetro de Mach-Zehnder
• Medida sem interação
• O problema de Deutsch
• Molécula de H2+
• Benzeno, amônia
• Polarização do fóton
• Oscilação de neutrinos
• Spin ½
• Informação quântica
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 136
ainda não estãonestas notas
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Interferômetro de Mach-Zehnder
• Interferência de uma partícula
• Descrição quântica do interferômetro
• Interferência e indistinguibilidade
• Defasagem
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 137
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O interferômetro de Mach-Zehnder
0%
100%
D1
interferênciaconstrutiva
interferênciadestrutiva
“ondas”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 138
D2
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O interferômetro de Mach-Zehnder
50%
25%
25%
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 139
D1 e D2 nunca disparam em coincidência “partículas”
1
2
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Descrição quântica do interferômetro
1 (caminho 1)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 140
2 (caminho 2)
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Espaço de estados
2c1c 21 +=Ψ2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 141
=
=2
22
2
11
cP
cPprobabilidades:
1
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Semiespelho
22
11
21
1 +→1 1
2
2evoluçãounitária
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 142
22
11
21
2 −→1
2
2
probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2
unitária
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Semiespelho
22
11
21
+
2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 143
22
11
21
−
1 sinal negativo: evolução unitária conserva a
ortogonalidade
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Interferômetro
D1
D2
2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 144
11
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Interferômetro
Primeiro semiespelho: 22
11
21
1 +→
Estado inicial: 1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 145
22
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Interferômetro
Segundo semiespelho:
−+
+→+ 2
21
12
12
12
21
12
12
12
21
12
1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 146
ou seja, o estado final é
1221
21
121
21
=
−+
+
interferência destrutiva
interferência construtiva
P1 = 100%P2 = 0%
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O que interfere?
221
21
121
21
−+
+
(1-1-1) (1-2-1) (1-1-2) (1-2-2)
1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 147
11
2
1 1
22
soma das amplitudes de probabilidade associadas a caminhos alternativos indistinguíveis
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Caminho bloqueado
D2
D1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 148
1
2
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Caminho bloqueado
Primeiro semiespelho: 22
11
21
1 +→
Estado inicial: 1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 149
22
Bloqueio: ⊗+→+2
11
21
22
11
21
fóton bloqueado
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Caminho bloqueado
Segundo semiespelho:
⊗+
+→⊗+
21
22
11
21
21
21
12
1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 150
ou seja, o estado final é
⊗++2
12
21
121
P1 = 25%P2 = 25%P⊗ = 50%
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Por que não há interferência?
(1-1-1) (1-1-2)
1
⊗++2
12
21
121
(1-2-⊗)
2 2⊗
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 151
não há caminhos alternativos para cada um dos estados finais ⇒ não há interferência
11 1 1
2
1
2⊗
![Page 151: Mecânica Quântica - IFcarlos/fismod/antigo/MecanicaQuantica_2014.pdf · Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • I. M. Greca,O. FreireJr, Does an emphasis on the](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052710/5a9ba4327f8b9ad96f8e2056/html5/thumbnails/151.jpg)
Caminhos alternativos distinguíveis
D1
D2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 152
mola
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Caminhos alternativos distinguíveis
Estado inicial: R1
• 1, 2: caminho do fóton• R: espelho em repouso• M: espelho em movimento
M2,M1,R2,R1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 153
Primeiro semiespelho: M22
1R1
21
R1 +→
Estado inicial: R1
![Page 153: Mecânica Quântica - IFcarlos/fismod/antigo/MecanicaQuantica_2014.pdf · Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • I. M. Greca,O. FreireJr, Does an emphasis on the](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052710/5a9ba4327f8b9ad96f8e2056/html5/thumbnails/153.jpg)
Caminhos alternativos distinguíveis
Segundo semiespelho:
−+
+→+ M2
2
1M1
2
1
2
1R2
2
1R1
2
1
2
1M2
2
1R1
2
1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 154
ou seja, o estado final é
M221
R221
M121
R121
−++
P1 = P(1, R) + P(1, M) = 50%
P2 = P(2, R) + P(2, M) = 50%
soma de probabilidades,não de amplitudes
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Apagando a informação sobre o caminho
D1 100%
D2 0%
mola
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 155
mola
![Page 155: Mecânica Quântica - IFcarlos/fismod/antigo/MecanicaQuantica_2014.pdf · Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • I. M. Greca,O. FreireJr, Does an emphasis on the](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052710/5a9ba4327f8b9ad96f8e2056/html5/thumbnails/155.jpg)
Apagando a informação sobre o caminho
Segundo semiespelho:
−+
+→+ M2
2
1R1
2
1
2
1M2
2
1R1
2
1
2
1M2
2
1R1
2
1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 156
ou seja, o estado final é
R1
a informação sobre o caminho foi apagada e a interferência restabelecida
![Page 156: Mecânica Quântica - IFcarlos/fismod/antigo/MecanicaQuantica_2014.pdf · Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • I. M. Greca,O. FreireJr, Does an emphasis on the](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052710/5a9ba4327f8b9ad96f8e2056/html5/thumbnails/156.jpg)
Defasagem
As probabilidades P1 e P2 dependem de diferenças entre os dois caminhos.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 157
L1 – L2 (λ/50)
distânciapercorrida
densidade do material atravessado
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Defasagem
características do caminho percorrido ↔ “fase”
ϕ1
1e 1iϕ1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 158
ϕ2
2e 2iϕ2
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Defasagem
D1
D2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 159
ϕ1
ϕ2
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Defasagem
Primeiro semiespelho: 22
11
21
1 +→
Estado inicial: 1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 160
Defasadores:
2e2
11e
21
22
11
21
21 ii ϕϕ +→+
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Defasagem
Segundo semiespelho:
−+
+→+
ϕϕϕϕ
22
11
21
2e
22
11
21
2e
22
e1
2e 2121 iiii
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 161
ou seja,
22
ee1
2ee
22
e1
2e 212121 iiiiii
−+
+→+
ϕϕϕϕϕϕ
![Page 161: Mecânica Quântica - IFcarlos/fismod/antigo/MecanicaQuantica_2014.pdf · Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • I. M. Greca,O. FreireJr, Does an emphasis on the](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052710/5a9ba4327f8b9ad96f8e2056/html5/thumbnails/161.jpg)
Defasagem
2c1c 21 +=Ψ• Após o segundo semiespelho:
2ee
c21 ii
1
ϕϕ +=
2ee
c21 ii
2
ϕϕ −=
• Probabilidades:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 162
( )[ ]21
2
11 cos12
1cP ϕ−ϕ+== [ ])cos(1
2
1cP 21
2
22 ϕ−ϕ−==
ϕ1 – ϕ2
0
1P1
π ϕ1 – ϕ2
1
0
P2
π
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Defasagem
λ
nnn LkL2
=λπ
=ϕ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 163
L1 – L2 (λ/50)
após uma distância “extra” x: nen xki→
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Medida sem interação
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 164
![Page 164: Mecânica Quântica - IFcarlos/fismod/antigo/MecanicaQuantica_2014.pdf · Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica • I. M. Greca,O. FreireJr, Does an emphasis on the](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052710/5a9ba4327f8b9ad96f8e2056/html5/thumbnails/164.jpg)
O palito de fósforo quântico
fóton
• fósforo “bom”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 165
fóton
• fósforo “ruim”
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O palito de fósforo quântico
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 166
palitos bons e ruins misturados
Problema: como encher uma caixa de fósforos apenas com palitos bons?
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Teste clássico
palito bomqueimado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 167
palito ruim
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Teste quântico
D1
D2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 168
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Palito ruim
D1 100%
D2 0%
transparente
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 169
palito ruim ⇒ D2 nunca dispara
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Palito bom
D2 25%
D1 25%50%
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 170
palito bom ⇒ D2 dispara em 25% das vezes, e o fósforo permanece intacto
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Teste quântico
• D2 → fósforo bom intacto
• D1 → fósforo bom intacto ou fósforo ruim
• Fósforo acende → fósforo bom queimado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 171
Dos fósforos bons:• 25% estão identificados e intactos• 50% foram queimados• 25% em dúvida
Retestando os casos duvidosos é possível identificar 1/3 dos fósforos bons.
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O problema de Deutsch
Como saber se uma moeda é honesta ou viciada?
1ª lado 2ª lado 1ª lado 2ª lado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 172
moeda honesta moeda viciada
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O problema de Deutsch
Resposta “clássica”: olhando os dois lados
1ª lado 2ª lado
honesta
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 173
4 possibilidades
honesta
viciada
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O problema de Deutsch
Podemos espiar os dois lados da moeda com um único fóton?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 174
Aparentemente, não!
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Vendo os dois lados da moeda com um único fóton
cara: ϕ = 0 coroa: ϕ = π
D1
D2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 175
ϕ2
ϕ1
D2
2
1
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Vendo os dois lados da moeda com um único fóton
cara: ϕ = 0 coroa: ϕ = π D1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 176
D2
2
1ϕ1
ϕ2
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Vendo os dois lados da moeda com um único fóton
D1
moeda viciada:
ϕ1 = ϕ2
ϕ1 − ϕ2 = 0
fóton em D1
( )[ ]21
2
11 cos12
1cP ϕ−ϕ+==
[ ])cos(12
1cP 21
2
22 ϕ−ϕ−==
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 177
D2
2
1ϕ1
ϕ2
moeda honesta:
ϕ1 ≠ ϕ2
ϕ1 − ϕ2 = ±π
fóton em D2
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O início da computação quântica
x = 0 x = 1
f1 0 0
f2 1 1
f3 0 1
f 1 0
f constante
f “balanceada”
}1,0{}1,0{:f →
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 178
• D. Deutsch, Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer, Proceedings of the Royal Society A 400, p. 97-117 (1985).• D. Deutsch, R. Jozsa. Rapid solutions of problems by quantum computation, Proceedings of the Royal Society of London A 439, p. 553-558 (1992).• R. Cleve, A. Ekert, C. Macchiavello, M. Mosca, Quantum algorithms revisited, Proceedings of the Royal Society of London A 454, p. 339-354 (1998).
f4 1 0f “balanceada”
É possível descobrir se a função é constante com um único cálculo de f ?
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Realismo, Contextualidade e Localidade
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 181
“Eu só gostaria de saber que diabos está acontecendo, é só! Eu gostaria de saber que diabos está acontecendo! Você sabe que diabos está acontecendo?”
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Variáveis ocultas
)(A λ
Medidas:• revelam um valor preexistente?• criam o resultado encontrado?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 182
)(A λ
variável “oculta” quedetermina o valor de A
grandeza medidano experimento
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Experimentos com um sistema composto
I II
AI = ±1 AII = ±1
incompatíveis
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 183
BII = ±1BI = ±1
incompatíveis
compatíveis
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Quatro experimentos com um sistema composto
Quatro experimentos possíveis:
1) Medida de AI e AIIAI = +1 e AII = +1 ↔ encontrado algumas vezes
2) Medida de A e B2) Medida de AI e BIIAI = +1 e BII = +1 ↔ nunca encontrado
3) Medida de BI e AIIBI = +1 e AII = +1 ↔ nunca encontrado
4) Medida de BI e BIIBI = -1 e BII = -1 ↔ nunca encontrado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 184
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Quatro experimentos com um sistema composto
1) P(AI+, AII+) (em %)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 185
A. G. White, D. F. V. James, P. H. Eberhard, P. G. Kwiat, Nonmaximally Entangled States: Production, Characterization, and Utilization, Physical Review Letters 83, 3013 (1999)
grau de emaranhamento
2) P(AI+, BII+) = 03) P(BI+, AII+) = 04) P(BI−, BII−) = 0
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Experimentos com um sistema composto
AI = +1 AII = +1
Se os valores de AI, AII, BI e BII já existiam antes das medidas:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 186
BI = -1 BII = -1
sempre
!!
Mas BI = BII = -1 nunca é encontrado (exp. 4)!
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Estados de Hardy
( )+−+−++++=Ψ IIIIIIIII B,BB,BB,B3
1
estado emaranhado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 187
P(BI−, BII−) = 0 ⇐ experimento 4
L. Hardy, Quantum Mechanics, Local Realistic Theories, and Lorentz-Invariant Realistic Theories, Physical Review Letters 68, 2981 (1992).L. Hardy, Nonlocality for two particles without inequalities for almost all entangled states, Physical Review Letters 71, 1665 (1993)
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Estados de Hardy
( )−++=+ AA1
B +B−B
−A
Experimentos 1, 2 e 3:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 188
( )
( )−++−=−
−++=+
AA2
1B
AA2
1B +B
+A
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Estados de Hardy
( )1
( )−−++−+−+=Ψ IIIIIIIII A,BA,BA,B26
1
Experimentos 1, 2 e 3:
3)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 189
( )−−+−+++−=Ψ IIIIIIIII B,AB,AB,A26
1
( )−−++−+−++++−=Ψ IIIIIIIIIIII A,A3A,AA,AA,A12
1
2)
1)
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Contextualidade
)C,(A 21 λ )C,(B 21 λ
a2a1
b2b1
(A, B)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 190
o que está sendo medido em 2 (A2 ou B2)
(A, B)
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Contextualidade
)C,(A III λ
o que está sendo
medido em II (AII ou BII)
)C,(B III λ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 191
)C,(A III λ
o que está sendo
medido em I (AI ou BI)
)C,(B III λ
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Não-localidade
AI AII
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 192
I II
AI AII
BIIBI
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O teorema de Bell
Qualquer teoria de variáveis ocultas compatível com a mecânica quântica
é necessariamente não-local.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 193
é necessariamente não-local.